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Mcanique Le Principe Fondamental de la Statique

Le Principe Fondamental de la Statique

La statique est une partie de la mcanique dont la finalit est ltude de lquilibre des systmes matriels (solide ou ensemble de solides) au repos ou en mouvement uniforme par rapport un repre suppos fixe (un repre Galilen).

En fait, la statique (solides au repos) nest quun particulier de la dynamique (solides en mouvement quelconque). En toute logique, et si nous possdions de bonnes connaissances mathmatiques, il nous faudrait commencer par tudier la dynamique pour en dduire la thorie concernant le cas particulier quest la statique

1. Enonc du Principe Fondamental de la Statique 1.1. Dfinition Un ensemble matriel {E} est en quilibre par rapport un repre R si, au cours du temps, chaque point de

{E} conserve une position fixe par rapport au repre R.

1.2. Enonc du Principe Fondamental de la Statique

Si un ensemble matriel {E} est en quilibre par rapport un repre R, la somme des actions mcaniques

extrieures {E} qui agissent sur {E} est nulle.

Nota : Le Principe Fondamental de la Statique est souvent not P.F.S. par les initis

1.3. Frontire disolement

Le PFS fait apparatre la notion dextrieur un ensemble matriel . Par consquent, avant denvisager lutilisation du PFS, nous devons installer une frontire disolement.

Toutes les actions mcaniques situes dans cette frontire seront donc internes au systme isol, et par consquent, elles ninterviendront pas dans lcriture du PFS.

(S1) (S2)A

BC

D (S0)P1

P2

Seules les actions mcaniques extrieures qui traversent cette frontire sont prendre en compte lors de lcriture du PFS. (S2)

B C

D

P2

G2

Exemples :

Isolons le solide S2. Les actions mcaniques extrieures S2 qui agissent sur S2 snumrent de la faon suivante : Poids de S2, Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2, Action, en B, de S1 sur S2. et sont concernes par le PFS. (S1) (S2)A

BC

D

Isolement de S1+ S2

P1

P2

G2G1

Si nous isolons les solides S1+S2. Les actions mcaniques

extrieures S1+S2 qui agissent sur S1+S2 snumrent de la faon suivante : Poids de S1, Poids de S2, Action, en A de S0 sur S1,

Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2.

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Nous tudions des mcanismes spatiaux (3D) ou admettant un plan de symtrie (2D). En fonction du problme traiter, certaines mthodes sont mieux adaptes la rsolution dun problme de statique.

2. Le Principe Fondamental de la Statique appliqu aux problmes 3D Pour rsoudre un problme de statique dfini dans lespace et ne possdant pas de plan de symtrie, deux

solutions soffrent nous : - Rsolution Informatique (Logiciel Mecanalyst, ) - Rsolution Analytique (utilisation des Torseurs).

2.1. Rsolution analytique dun problme de statique 3D Daprs le PFS, si un systme matriel {S} est en quilibre par rapport un repre R, la somme des actions

mcaniques extrieures {S} qui agissent sur {S} est nulle.

Mathmatiquement, nous pouvons traduire ce PFS par la relation suivante : (SS ){ }= 0{ }

Notation : S dsigne le complmentaire S (lenvironnement de S, sans S lui mme, donc lextrieur S). Cette relation fait intervenir un torseur. Elle cache donc deux relations entre des vecteurs.

La somme vectorielle (rsultante R(ss )) de toutes les forces extrieures S, agissant sur S est nulle :

Thorme de la Rsultante : R(ss ) = R(sis )i=1

n = 0 La somme vectorielle des moments en A (moment rsultant en A MA (ss ) ) de toutes les actions mcaniques extrieures S, agissant sur S, est nulle en un point A quelconque.

Thorme du moment rsultant en A: MA (ss ) = MA (sis )i=1n = 0

2.2. Application: Etude dun portique

Nous souhaitons tudier lquilibre du portique reprsent ci-contre. Nous mettrons les hypothses suivantes : les liaisons sont supposes parfaites. Nous ngligerons le poids du tirant 2 par rapport aux autres efforts mis en jeu.


O

A

FFx0

Fzx

y

z

OA = h.zOB = L.yOC = d.y

BC

2

1

0

Nous souhaitons exprimer les actions mcaniques dans les liaisons centres en O, A et B en fonction des paramtres d, h, L, Fx et Fz.


Si nous nous limitons ltude de la gomtrie du portique, nous constatons que le plan (O, y, z) est un plan de symtrie pour le mcanisme. Mais lorsque nous examinons leffort F qui sapplique au point C nous constatons que cet effort nest pas intgralement port par le plan (O, y, z) . Ce problme ne peut donc pas tre trait dans le plan. Cest un vritable problme 3D que nous traiterons avec loutil Torseur .

O

A

FFx0

Fzx

y

z


BC

2

1

0

1) Graphe des interactions

Rotule decentre A

Pivot daxe (O, x)

Force F

2

1 0

Rotule decentre B

2) Isolement du tirant 2

Si nous isolons le tirant 2, nous pouvons crire que: (22){ }= (02){ }+ (12){ }

3) Allure des torseurs intervenants dans lisolement du tirant 2

Laction mcanique exerce par le mur 0 sur le tirant 2 est transmise par une liaison. Nous crirons :

L02 : Liaison Rotule parfaite de centre A.

Mobilits : Tr000

RotRxRyRz

do le torseur associ

(x, y, z)

(02){ }A

X02 0Y02 0Z02 0

Il en est de mme pour la liaison rotule parfaite de centre B entre 1 et 2 :

(x, y, z)

(12)B

X12 0Y12 0Z12 0

{ }

4) criture au mme centre de rduction

Pour pouvoir additionner les torseurs, nous allons les crire au mme point B. (12){ est dj exprim au point B. Nous devons donc dplacer uniquement

} (02){ }.

MB (0 2) = MA (0 2) + BAR(02) or MA (0 2) = 0 et nous avons BA0

Lh

. Par consquent,

MB (0 2) = 0 +0

Lh

X02Y02Z02

=L.Z02 h.Y02h.X02L.X02

Soit

(x, y, z)

(02) =B

X02Y02Z02

{ }L.Z02 h.Y02h.X02L.X02


Mcanique Le Principe Fondamental de la Statique 5) Application du PFS au tirant 2

Si 2 est en quilibre, alors, daprs le PFS (22){ }= (02){ }+ (12){ }= 0{ }

quation de Rsultante quation de Moment Rsultant par rapport au point B R(02) + R(12) = 0 MB (0 2) + MB (1 2) = 0 Proj. Sur x (1) X02 + X12 = 0 Proj. Sur x (4) L.Z02 h.Y02 = 0 Proj. Sur y (2) Y02 +Y12 = 0 Proj. Sur y (5) h.X02 = 0 Proj. Sur z (3) Z02 + Z12 = 0 Proj. Sur z (6) L.X02 = 0

Les quations (5) et (6) sont linairement dpendantes. Nous obtenons donc 5 quations significatives,

pour 6 inconnues de liaison. Nous ne pourrons pas rsoudre compltement le problme. Par contre nous pouvons exprimer toutes les inconnues restantes en fonction dune seule inconnue

(5) -> X02 = 0 (1) -> X12 = X02 = 0 (4) -> Y02 = Lh .Z02 (2) -> Y12 = Y02 = Lh .Z02 (3) -> Z12 = Z02

(x, y, z)

(02){ }=A

0 0 Lh

.Z02 0

Z02 0

(x, y, z)

(12){ }=B

0 0Lh

.Z02 0

Z02 0

Pour poursuivre la rsolution de notre problme, nous devons isoler un autre systme matriel. 6) Isolement du portique 1

Si nous isolons le portique 1, nous pouvons crire que: (11){ }= (Op1){ }+ (01){ }+ (21){ }

7) Allure des torseurs intervenants dans lisolement du portique 1 Laction mcanique exerce en C par loprateur sur 1 est une force. Elle se modlise donc par un

glisseur en son point dapplication :

(x, y, z)

(Op1){ }C

Fx 00 0

Fz 0

Laction mcanique exerce par le mur 0 sur le portique 1 est transmise par une liaison. Nous crirons :

L01 : Liaison Pivot parfaite daxe (O, x).

Mobilits : Tr000

RotRx00

do le torseur associ

(x, y, z)

(01){ }O

X01 0Y01 M 01Z01 N01

Laction mcanique exerce par le tirant 2 sur le portique 1 a un air de dj-vu. En effet, nous lavons dj aborde lorsque nous avons isol le tirant 2. Un principe est notre disposition



Daprs le Principe des Actions Mutuelles, si un solide S1 exerce une action mcanique sur S2, alors, le solide S2 exerce une action mcanique S1 similaire mais oppose.

Le Principe des Actions Mutuelles peut donc scrire : (S1S2){ }= (S2S1){ }

Par consquent, daprs le principe des actions mutuelles, { } (21) = (x, y, z)

(12){ }=B

0 0 Lh

.Z02 0

Z02 0

8) criture au mme centre de rduction

Nous devons exprimer les torseurs au mme point. Le torseur (01){ } a une allure complique (5 inconnues). Nous allons donc le laisser au point O, et exprimer les deux autres torseurs en ce mme point O.

MO (Op 1) = MC (Op 1) +OCR(Op1) or MC (Op 1) = 0 et nous avons OC0d0

. Par consquent,

MO (Op 1) = 0 +0d0

Fx0

Fz=

d.Fz0d.Fx

Soit

(x, y, z)

(Op1){ }O

Fx d.Fz0 0

Fz d.Fx

MO (2 1) = MB (2 1) +OBR(21) or MB (2 1) = 0 et nous avons OB0L0

. Par consquent,

MO (2 1) = 0 +0L0

0

Lh

.Z02Z02

=L.Z0200

Soit (21){ }=(x, y, z)

O

0 L.Z02 Lh

.Z02 0

Z02 0

9) Application du PFS au portique 1

Si 1 est en quilibre, alors, daprs le PFS (11){ }= (Op1){ }+ (01){ }+ (21){ }= 0{ }.

quation de Rsultante quation de Moment Rsultant par rapport au point O R(Op1) + R(01) + R(21) = 0 MO (Op 1) + MO (0 1) + MO (2 1) = 0 Proj. Sur x (1) Fx + X01 + 0 = 0 Proj. Sur x (4) d.Fz + 0 + L.Z02 = 0 Proj. Sur y (2) 0 +Y01 Lh .Z02 = 0

Proj. Sur y (5) 0 +M 01 + 0 = 0

Proj. Sur z (3) Fz + Z01 + Z02 = 0 Proj. Sur z (6) d.Fx + N01 + 0 = 0 Nous obtenons un systme de 6 quations pour 6 inconnues. La rsolution est envisageable.


Mcanique Le Principe Fondamental de la Statique (5) -> M 01 = 0 (6) -> N01 = d (1) -> .Fx X01 Fx=

(4) -> Z =02 dL .Fz (2)-> Y =01Lh

.Z02 = Lh .dL

.Fz = dh .Fz (3) -> Z01 = Fz Z02 = Fz dL .Fz =

L dL

.Fz

Si nous rcapitulons les rsultats de nos deux tudes prcdentes, nous obtenons : Dans la pivot entre 0 et 1

(x, y, z)

(01){ }O

Fx 0dh

.Fz 0

L dL

.Fz d.Fx

Dans la rotule entre 1 et 2 Dans la rotule entre 0 et 2

(x, y, z)

(12){ }=B

0 0dh

.Fz 0

dL

.Fz 0

(x, y, z)

(02) =

A

0 0 dh

{ } .Fz 0dL

.Fz 0

O

A

FFx0

Fzx

y

z


BC

2

1

0

10) Application Numrique Avec L = h = 5 m d = 4 m Fx = 50 N Fz = 500 N , nous obtenons :

(x, y, z)

(01){ }O

50 N 0400 N 0100 N 200 N.m

et

(x, y, z)

(12) =B

0 0400 N 0400 N 0

{ }

2.3. Le retour du Portique

Page 6/

O

A

Px

y

zOA = d.xOC = h.zAB = L.yAG = L

2.y

P = P.z

B

C

G

2

1

0

Un cousin peu loign du portique que nous

venons dtudier est reprsent ci-contre. Nous mettrons les hypothses suivantes :

les liaisons sont supposes parfaites.

Nous ngligerons le poids du tirant 2 par rapport aux autres efforts mis en jeu.

Nous souhaitons exprimer les actions mcaniques dans les liaisons centres en A, B et C en fonction des paramtres d, h, L et P.

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3. Le Principe Fondamental de la Statique appliqu aux problmes 2D Pour rsoudre un problme de statique dfini dans le plan ou admettant un plan de symtrie, plusieurs

solutions soffrent nous : - Rsolution Informatique (Logiciel Mecanalyst, ), - Rsolution Analytique (utilisation des Torseurs), - Rsolution Analytique (utilisation des Moments par rapports un axe), - Rsolution Graphique.

3.1. Rsolution analytique dun problme de statique 2D

Une rsolution analytique grce loutil Torseur est bien entendu envisageable. Mme si cette mthode demande de nombreuses critures, et est parfois fastidieuse appliquer, elle a le mrite dtre systmatique. Il suffit de suivre la mthode indique au paragraphe 2.2. Les torseurs sont allgs car, seules les composantes de rsultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent.

Une Solution plus efficace, consiste utiliser la notion de moment par rapport un axe perpendiculaire au

plan dtude. Exemple : Equilibre dun vhicule sur un sol horizontal.

A B

G

1 A(Sol1)0YA

B(Sol1)0YB

O

x

y

z

P0

Pa b

h

1) Graphe des interactions

Solol

1Force en AA(sol1)

B(sol1)

Poids P

2) Isolement

Isolons le vhicule repr 1. Pour ce faire, traons une frontire disolement sur le graphe des interactions. Les actions mcaniques extrieures 1 qui agissent sur 1 sont : Le Poids de 1, Laction en A du Sol sur 1, Laction en B du Sol sur 1.

3) Enonc du PFS

Si le vhicule repr 1 est en quilibre par rapport au repre R, la somme des actions mcaniques extrieures 1 qui agissent sur 1 est nulle. Par consquent, lquilibre, nous pouvons crire :

quation de la rsultante : R(11) = P+ A(Sol1) + B(Sol1) = 0 et

quation du moment rsultant par rapport laxe (A, z) : MAz

(1 1) = MAz

(P)+MAz

(A(Sol1) )+MAz (B(Sol1) ) = 0


3 Nous devrons faire un choix judicieux pour lcriture de lquation du moment rsultant.

Mcanique Le Principe Fondamental de la Statique 4) Rsolution

quation de Rsultante quation de Moment Rsultant par rapport laxe (A, z) P+ A(Sol1) + B(Sol1) = 0 M

Az(P)+M

Az(A(Sol1) )+MAz (B(Sol1) ) = 0

Proj. Sur x (1) 0 + 0 + 0 = 0 (3) a.P + (a+b).YB = 0 Proj. Sur y (2) P +YA +YB = 0

Lquation (1) ne nous est pas dune grande utilit Il nous reste donc un systme de deux quations 2 inconnues (YA, YB). La rsolution de ce systme dquations est donc envisageable.

(2) P+YA +YB = 0(3) a.P+ (a+b).YB = 0

o encore, (2) YA = P YB(3) YB = a.P(a+b)

soit finalement :

YA = b.P(a+b)YB = a.P(a+b)

Par consquent les actions mcaniques en A et B scrivent : A(Sol1)0

b.P(a+b)

et B(Sol1)0

a.P(a+b)

3.2. Rsolution graphique dun problme de statique 2D

Lorsque nous souhaitons un rsultat rapide avec une prcision limite, il peut tre intressant dutiliser une mthode graphique pour rsoudre un problme de statique.

Nous naborderons que les problmes plans faisant intervenir 2 ou 3 forces par ensemble isol. Nous devons, au pralable, noncer deux thormes qui dcoulent du PFS.

3.2.1. Solide soumis laction de deux forces

Daprs le thorme des deux forces, un solide est en quilibre sous laction de deux forces si ces deux forces sont gales en intensit et directement opposes (mme direction et sens contraire).

Par consquent, les deux forces ont :

) la mme ligne daction (droite AB), ) la mme intensit, ) un sens oppos.

F

-F

Solide S enquilibre

A

B



3.2.2. Solide soumis laction de trois forces

Daprs le thorme des trois forces, un solide soumis laction de trois forces coplanaires (non parallles) est en quilibre si les trois forces sont concourantes au mme point et si la somme vectorielle de ces trois forces est nulle.

I

F1F2

F3

F1

F2

F3

F1 + F2 + F3 = 0

Triangle des forces nomm Dynamique

I: Point de concourance

A

B

C

3.2.3. Application : Potence tirant Une potence 2 est supporte par un mur 1 et par un tirant 3. Sur cette potence, en B, se situe un palan dont le poids est connu. Les points A, C et D sont des articulations, modlises par des pivots parfaits. Lensemble est suppos en quilibre. On nglige les poids de la potence 2 et du tirant 3 par rapport aux autres efforts mis en jeu.

30

A B

C

D

1350 800

2

31

P avec P = 2000daN

y

x 160

De toute vidence, ce problme admet comme plan de symtrie (pour la gomtrie et pour les efforts) le plan A, x, y( ). Nous pouvons donc envisager dutiliser une mthode graphique (entre autres) pour dterminer les efforts dans les diffrentes liaisons. Rapidement, nous constatons que le tirant 3 est soumis laction de deux forces D(13) et C (23) , tandis que la potence 2 est sollicite sous laction de trois forces P , A(12) et C (32) .


Mcanique Le Principe Fondamental de la Statique Nous commencerons notre tude en isolant le tirant 3.

Isolement du tirant 3 :

Force Direction Sens Intensit C (23) (1) CD (12) (12) 3150 daN D(13) (1) CD (12) (12) 3150 daN

En appliquant le thorme des deux forces, nous sommes capables de dterminer la direction des

supports des forces D(13) et C (23) . En effet, si le tirant 3 est en quilibre, et comme il est soumis laction de deux forces, ces deux forces ont obligatoirement la mme droite daction CD (1).

Cette dcouverte fate, nous traons et reprons ce support CD sur le document de la page suivante.

Pour le moment, nous ne pouvons rien dire de plus. Il nous faut donc isoler la potence 2. Isolement de la potence 2 :

Force Direction Sens Intensit P (2) Verticale (2) descendante (2) 2000 daN A(12) (5) AI2 (11) (11) 3050 daN C (32) (3) CD (11) (11) 3150 daN

Le poids de la potence 2 est intgralement connu (2). La force C (32) ne nous est pas totalement inconnue. En effet, daprs le Principe des actions mutuelles C (32) = C (23) . Nous en dduisons que le support de C (32) est aussi la droite CD (3). Nous la traons, en C, sur le document en page suivante concernant lisolement de 2. En utilisant la premire partie du thorme des trois forces, nous pouvons dterminer le point de concourance I2 des supports des trois forces. Pour ce faire, il suffit de prolonger les supports de P et de C (32). Nous localisons ainsi le point I2 (4). Remarque : Si ces supports taient parallles, il ny aurait pas de point de concourance, et nous ne pourrions pas appliquer cette mthode de rsolution graphique. Nous en dduisons, toujours en appliquant la premire partie du thorme des trois forces, que le support de A(12) est la droite AI2. Nous la traons et la reprons sur le document adquat (5). Il nous reste exploiter la deuxime partie de thorme des 3 forces. Si 2 est en quilibre sous laction de trois forces, alors, la somme vectorielle P+ A(12) +C (32) est nulle. Pour traduire graphiquement cette relation, nous allons construire le triangle des forces (aussi appel Dynamique).

Nous commenons par tracer, proximit de la pice isole, le vecteur force P qui est intgralement connu. Nous devons donc, dfinir une chelle des forces (6), puis tracer le vecteur P (7). Nous traons une parallle au support de A(12) passant par lorigine du vecteur P (8).

Nous traons une parallle au support de C (32) passant par lextrmit du vecteur P (9). Il nous reste plus qu tracer, sur le triangle que nous venons de construire, deux vecteurs pour

obtenir la somme vectorielle P+ A(12) +C (32) nulle (10). Nous devons complter les tableaux prcdents en exploitant les informations lues sur le

dynamique (11 et 12). En gnral, nous reportons les forces que nous venons de dterminer sur chacune des pices isoles

(13).




C

D

3

AB

C

1350 800

2

(2) P avec P = 2000daN

160

Isolement du tirant 3

Isolement de la potence 2

(1) Support de C (23) D(13)

(3) Support de C (32)

(4) Point I2 (5) Support de A(12)

(6) Echelle pour les forces: 1cm 500 daN

(7) P

(9) // au support de C (32)

(8) // au support de A(12)

Dynamique

(10) A(12)

C (32)

Enonc du Principe Fondamental de la StatiqueDfinitionEnonc du Principe Fondamental de la StatiqueFrontire disolement

Le Principe Fondamental de la Statique appliqu Rsolution analytique dun problme de statique Application: Etude dun portiquequation de Rsultantequation de Rsultante

Le retour du Portique

Le Principe Fondamental de la Statique appliqu Rsolution analytique dun problme de statique quation de Rsultante

Rsolution graphique dun problme de statique 2Solide soumis laction de deux forcesSolide soumis laction de trois forcesApplication: Potence tirant

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