statique_exos

7/22/2019 statique_exos

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Modlisation des actions mcaniques et statique des solides indformables, exercices______________________________________________________________________________________________________

Lyce Vauban, Brest classe de PTSI 1

Exercice n1 Panneau indicateur

Un panneau indicateur figure ci dessous est soumis son propre poids et laction du vent sur sa partie rectangulaire. Le poids linique des montants OAetABest q= qy.Le poids du panneau CDEFest P= Mgy.Laction du vent sur CDEFest reprsente par une densit surfacique deffortsp= pz(pconstant).

Calculer le torseur daction mcanique en Odu sol sur cette structure.

On donne les valeurs numriques suivantes :

OA= 7,5 m,AB= 3 m,DC= 3 m,DE= 4 m,q= 750 Nm1,p= 500 Nm2,Mg= 7000 N.

Exercice n2 Pse camion

On considre un bti 0, auquel est attach lerepre ( )0000 ,; zyxOR

rrr

. On pose :

0xaAO

rr

= 0ybBO

r

r

=

Le champ de pesanteur est :

0ygg rr

=

La barre 1 est lie au bti 0 par une liaison pivot parfaite daxe ( )0;zA r

. On pose :

0xcCA r

r

= .

Le plateau porte camion 2 est li la barre 1 par une liaison pivot parfaite daxe

( )0;zC

r

. On pose :0

ybDC r

r

= . Le levier 3 est lie au bti 0 par une liaison pivot parfaite

daxe ( )0;zB r

. On pose : 0xdEB r

r

= (d


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Ce levier est galement li au plateau 2 par une liaison pivot parfaite daxe ( )0;zD r

.

Le camion 4, de centre de masse Get de masse Minconnue, repose sur le plateau2. On pose : 0DG x e =

r

r

.

Laction mcanique connue est caractrise par :{ }/ 30E

FyTe

=

r

.

Le problme est considr comme plan. La masse des lments peut tre ngligepar rapport celle du camion.

1 Caractriser les liaisons.

2 A lquilibre statique, exprimer chaque action mcanique en fonction de M.

Exercice n3 une toiture bien sollicite !

Une toiture est soumise laction du vent surlun de ses versants et laction de la neige surlautre. Les actions des murs sur la charpentesont telles que seuls les dplacements en Asuivantxet y, et en Bsuivant ysoient bloqus.On ngligera les effets de bord suivant z danscet exercice, cestdire que lon considreraune paisseur unit (1 m) suivant z.

On suppose que lpaisseur constante de laneige sur la toiture est e= 20 cm, et que laction du vent est linaire suivant la cote

de la toiture avec une valeur maximale sur la fatire (en C) gale 1 kN.m leglisseur unitaire est orthogonal la toiture (voir figure) . Dterminer les actionsmcaniques de la toiture sur le mur.

Exercice n4 Centres d'inertie1

1 Dterminer le centre dinertiedu secteur circulaire dangle 2dune couronne de rayon intrieur

r et de rayon extrieur R,suppose homogne.

2 Dterminer la position ducentre d'inertie de la surface hachure ABC, la courbe ABtant un quart de cercle de rayon R.

Exercice n5 Dalle de bton

1C'est Euler qui a introduit le terme de centre d'inertie la place de celui de centre de gravit.

8 m

20 cm

4 m

BA

C

zx

y

x

y

r

R

x

y

O RA

BC


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Soit une surface planerectangulaire subissant unerpartition surfacique P

r

constantesuivantxtelle que :

zPLyPP m

r

r

+= 0

1 Calculer le torseur en Oreprsentant cette action rpartie.

2 Dterminer la position Idu glisseur quivalent cette rpartition.

Exercice n6 Limiteur de couple

Le dessin densemble en annexe 1 reprsente un limiteur de couple mont entre unlment moteur et un lment rcepteur. En cas de couple important requis auniveau du rcepteur, le limiteur de couple permettra un mouvement relatif arbremoteur/rcepteur vitant ainsi un chauffement du moteur.

Comme un embrayage, un limiteur de couple transmet un couple maximal. Ce couplemaximal est fix par le rglage de la pression exerce sur le plateau 3 en serrant lescrous 6.

Constitution du limiteur de couple

1 Plateau dentre portant 2 disques dantifriction li larbre moteur,2 Plateau de sortie en fonte li larbre rcepteur,3 Plateau de pression en fonte,4 Vis de pression,5 Rondelles lastiques au nombre de 4 par boulon presseur6 Ecrou Hm au nombre de 4.

Comportement des rondelles lastiques type Belleville .

Ces lments sont des ressorts coniques chargs axialement. Ils permettent deraliser des ressorts peu encombrants sous de fortes charges.

Lcrasement edune rondelle est sensiblement proportionnel la charge F qui leprovoque.

Groupement de deux rondelles lastiques

x

y

z

OI

Pm

A(L)

A A-e

FD

vide charge


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en parallles : une charge Fprovoque un crasement e/2 en opposition : une charge Fprovoque un crasement 2e

Schma technologique du limiteur de couple

Donnes

chaque vis de pression porte 4 rondelles lastiquesmontes en opposition, diamtre dune rondelle 8 mm donnant uncrasement de 0,4 mm, sous une charge F = 750 N, Vis 4, M8 pas = 1,25 mm, disques dantifriction

dintrieur d= 2r= 70 mmdextrieur D= 2R= 100 mm

coefficient de frottement fonte/antifriction f= 0,4.

tude raliser

1 Calculer le couple maximal transmissible par le limiteur en fonction de f, p, R, r, N(nombre de boulons presseurs), nnombre de tours de serrage des crous 6 (rq : leserrage commence avec lcrasement des rondelles).

2 Application numrique. En plus des donnes cidessus, prendre N= 4 et n= 1,5.

Exercice n7 Gouvernail

On propose ltude de lquilibre dun gouvernail (voirdessins en annexe 2) afin den dduire les effortsquilibrs par chacun des roulements et le coupleappliqu la partie suprieure lors de lorientation dugouvernail conduisant au changement de cap dunavire.

On propose cicontre une modlisation simplifie

permettant un calcul simple.

Bilan des actions mcaniques sur le gouvernail :

- action de la pesanteur : ( ){ }/0

G

PzT p G

=

r

action de leau : ( ){ }/0

G

FyT e G

=

r

action de la coque sur la mche du gouvernail :

1 2

3

4

56

arbre moteur arbre rcepteur

z

C

A

B

O

d

b

G

a

x

Centre du roulementsuprieur

Centre du roulementinfrieur


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en A : ( ){ }/0

A A A AA

A

R X x Y y Z z T c G

= + +=

r

r r r

modlisation rotule

en B : ( ){ }/0

B B BB

B

R X x Y y T c G

= +=

r

r r

modlisation linaire annulaire

commande de la rotation du gouvernail : ( ){ }0

/T m GCz

=

r

1 Dterminer les inconnues du problme

2 Application numrique :

P= 25 000 NF= 300 000 N d= 500 mm a= 2,5 m b= 1 m

2.1 Justifier la diffrence de dimensions des roulements2.2 Leffort axial quilibr par le roulement Ase rpartit uniformment sur 6 vis tton. Dterminer leffort quilibr par chacune des vis. Le tton ayant un diamtrede 30 mm : dterminer la pression de contact vis/bague de roulement en supposantla rpartition uniforme.

Exercice n8 Barrage poids

Le barrage poids cicontre est ralis en bton(de masse volumique b) et a pour fonction deretenir un grande quantit deau (de masse

volumique e) pour une centrale lectrique. Cebarrage cylindrique de section trapzodalecomme le prcise la figure repose sur un massifsuppos infiniment rigide.

1 Dterminer le torseur reprsentatif delaction de leau sur la paroi verticale. Prciserle centre de pousse.

2 Aprs avoir utilis le PFS, dterminer laposition Idu point dapplication de la rsultantedes actions exerces par le sol sur le barrage. Prciser la condition vrifie par lecoefficient de frottement fbton/massif.

3 Application numrique : b= 2500 kgm3 a= 5 m, b= 20 m, h= 30 m

Exercice n9 Train picyclodal

Au bti 0 est associ le repre ( )0 0 0 0, , ,R O x y z r r r

.

Le pignon 1, de rayon r1, est li au bti 0 par une liaison pivot parfaite daxe ( )0,O x

r

.On lui attache le repre ( )1 1 1 1, , ,R O x y z

r r r

et on pose : ( )0 1,y y = r r

-pnn

Mh

O

z

x

b

a


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Le bras 2 est li au bti 0 par une liaison pivot parfaite daxe ( )0,B xr

. Le repre

( )2 2 2 2, , ,R B x y z r r r

est li 2. On pose : 0 2BA ax Ly = +uuur

r r

et ( )0 2,y y = r r

.

La roue denture intrieure 3, de rayon r3est lie 0 par une liaison pivot parfaitedaxe ( )0,xB

r

. Le repre ( )3333 ,,, zyxBR rrr

est li 3. On pose : ( )30,yy rr

= .

Le pignon 4, de rayon r4, est lie 2 par une liaison pivot parfaite daxe ( )0,xA r

. Lerepre ( )4444 ,,, zyxBR

rrr

est li 4. On pose : ( )42,yy rr

= . Ce pignon roule sansglisser au point I sur le pignon 1 et au point J sur le pignon 2. En ces points, on a :

( ) ( )14 1 2 2 2sin cos1 40

I

T y zT

+ =

r r

( ) ( )34 3 2 4 2sin cos3 4

0J

T y zT

+ =

r r

avec = 20 1= 1, 2=1, 3=1, 4=1

Les effets dus aux masses des lments sont ngligs devant les autres actions

extrieures. Laction mcanique connue est caractrise par : ( )1 0

01

O

T eN x

=

r .

Et lon a : ( )2 0

02

O

T eN x

=

r ( )

3 0

03

O

T eN x

=

r

On suppose que le problme peut tre trait dans le plan ( )0 0, ,C y zr r

. Le systme est

lquilibre statique.

1 Caractriser les liaisons

2 Etablir une relation entre N1, N2, et N3.3 Dterminer les diffrentes actions mcaniques.

y2

x0

z0

y2

y0

y4

y1

y3

A IB

C

O

1

2

3

4

1

2

3

4I

J

J

C


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Exercice n10 Systme d'entranement d'un cble par poulies

On considre un systme d'entranement d'un cble 1 par un ensemble de troiscouples de poulies, telles que 2 et 3 qui pincent le cble pendant leur mouvement de

rotation, de faon obtenir le mouvement de translation rectiligne du cble (voirfigure).

( )z,y,x,OR rrr

est un repre li au bti 0. Le plan ( )y,x,O rr

est plan de symtrie du

mcanisme.La poulie 2 et le bti 0 ont une liaison pivot d'axe ( )z,O

r

. Le mouvement de rotationde la poulie 2 par rapport au bti 0 est dfini par le torseur cinmatique :

( )

=0

0/20

zV

r

avec > 0.

La gorge de la poulie a la forme d'un tore de rayon moyen R, de section circulaire derayon rlimit par le secteur circulaire d'angle 20.


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Le cble 1 est assimil un cylindre de rvolution de rayon r, d'axe (C,y) tel queOC = Rx. Le mouvement de translation rectiligne du cble 1 par rapport au bti 0 estdfini par le torseur cinmatique :

( )

= yVVC

r

0

0/1 avec V> 0.

Le cble 1 et la poulie 2 sont en contact avec frottement (facteur f) suivant un arc decercle de centre Cet de rayon rdu plan ( )z,x,O

r

. On noteAle point de contact situ

sur l'axe ( )x,O r

.

Questions :

1 Dterminer l'axe instantan de rotation du mouvement plan sur plan de la poulie

2 par rapport au cble 1. On notera Ile CIR situ dans le plan ( )y,x,O

rr

.

Entre quelles limites peut varier le rapportV

pour qu'il y ait roulement sans

glissement en un ou deux points de l'arc de contact entre 1 et 2 ? Cette condition estsuppose satisfaite par la suite.

2 dterminer, dans le mouvement de 2 par rapport 1, le vecteur vitesse deglissement d'un point Mde l'arc de contact entre le cble et la poulie.

Reprsenter graphiquement l'volution du vecteur vitesse de glissement en fonction

de la distance du point M l'AIR.

3 Dans l'action mcanique de 1 sur 2, on suppose la pression linique de contactuniforme. Reprsenter graphiquement l'volution de la densit linique tangentielledes forces de contact en fonction de la distance du point M l'AIR.

4 Dterminer, au point C, le torseur d'action mcanique de cble 1 sur la poulie 2.

5 En dduire, au point C, le torseur d'action mcanique du cble 1 sur les poulies 2et 3.

6 Tracer le graphe reprsentant la variation de l'oppose de la rsultante dutorseur d'action mcanique du cble 1 sur les poulies 2 et 3 en fonction de la positiondu CIR.Exercice n11 Chanette

Trouver la forme d'un fil homogne, parfaitement souple, desection uniforme, en quilibre sous l'action de son poids etdes actions des points de fixation O1et O2des extrmits.La masse linique sera note .

O1

O2

O x

y


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Exercice n12 Boite de vitesse

La figure ciaprs reprsente une partie d'une bote de vitesses crabot.L'actionneur est accoupl l'arbre I, et le rcepteur est accoupl l'arbre II.

On tudie ici, l'arbre intermdiaire comportant un pignon arbr ( droite) et un pignonencastr par cannelures, paulement et anneau lastique. Cet arbre est en liaison

pivot par l'intermdiaire de deux roulements contact radial.

La puissance transmise par la boite est de 920 W et l'arbre d'entre tourne avec untaux de rotation NI= 1500 tr.min

1.

1 Dterminer les taux de rotation possibles de l'arbre II.

2 Dterminer les torseurs des actions transmises au niveau des roulements billesralisant la liaison pivot de l'arbre intermdiaire.

Exercice n13 Montage d'usinage

L'tude porte sur la phase de serrage. Lorsque l'huile arrive sous pression en X, lesdeux tiges 6 du vrin s'cartent. Par l'intermdiaire des biellettes 4, les tiges 3descendent, entranant les brides 2 qui serrent les pices 1 en Eet E'.

On donne :

l'action de 2 sur 3 : ( )

=0

300032

yT

F

r

l'action de 4 sur 3, rductible en J a un glisseur dirig selon KJ. Les actions de 0 sur 3, rductibles des glisseurs en Get H. A l'quilibre strict :


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( ) ( )

+

=0

sincos30 03

yxGT

G

G

rr

r

et ( ) ( )

+

=0

sincos30 03

yxHT

H

H

rr

r

avec 1,0tan ==f

On demande de dterminer les actions ( )3/4Jr

, ( )3/0Gr

, ( )3/0Hr

Exercice n14 Montage automatis de coussinets

Le plan ciaprs reprsente un poste de montage automatis de coussinets fritts 6dans le solide 7. Le coussinet 6 est positionn sur le v 12 et le sousensemble

{ }6,5,4,2S= , guid dans la noix 3 par une douille billes rglable 10, est dplacvers la droite par le poussoir 8 du vrin.

On suppose que :

il existe un plan de symtrie ( )y,x,C rr

pour la gomtrie et les efforts,

la liaison 2/3 est parfaite, il existe des dfauts de paralllisme entre la face du poussoir 5 et celle du flasque

4, l'effort du ressort de rappel 9 est nglig, ainsi que les poids propres des pices, il n'y a pas de contact axial 5/3 l'quilibre, la liaison 7/11 est une liaison appui plan qui permet l'auto centrage de 7 sur 6 au

montage. Le torseur d'action mcanique de 7/6 est rductible en D un glisseur


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dont la rsultante ( )6/7RDr

est dirige selon l'axe ( )x,C r

au moment de l'entre encontact de 7 avec 6.

On donne :

La rsultante des actions de contact 8/4 : ( ) x90004/8RAr

r

= (N). Les dfauts deparalllisme existent. On adopte un modle linaire tel que le point d'application decette rsultante soit sur le pointAsitu 8 mm sous l'axe ( )x,C

r

.

On demande :

Calculer les composantes des lments de rduction de ( ){ })S/(3TC en C, centre deliaison 2/10 lorsque 6 entre en contact avec 7.

Exercice n15 Champs de glisseurs

L'espace est rapport un repre orthonorm ( )z,y,x,OR rrr

,un point M est tel que :

2222 Ryxr + , z = 0Un champ de glisseurs est dfini en tout point Mpar :

( ) zyxkMV 22 r

r

+=

Un second champ de glisseurs W(M)est tel que :

( ) 0zMW = r

r

, ( ) 0MOMW = rr

, et ( ) 22 yxkMW +=r

.

1 dterminer par ses lments de rduction en Ole torseur rsultant du champ V.

2 dterminer par ses lments de rduction en Ole torseur rsultant du champ W.


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Exercice n16 Variateur courroie

Un variateur permet la transmission de puissance d'un arbre moteur vers un arbrercepteur en faisant varier le rapport de rduction de la vitesse de manire continue

entre deux limites. Le variateur tudi comporte une poulie motrice 1, une poulierceptrice 2 et une courroie section trapzodale transmettant la frquence derotation. La variation de la vitesse s'obtient en rglant l'cartement des flasques des


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poulies, faisant ainsi varier les diamtres d'enroulement de la courroie.

Le repre ( )z,y,x,OR 1rrr

est li au bti 0 du mcanisme. Le plan de symtrie des

poulies et de la courroie est parallle au plan ( )y,x,O1rr

.

La poulie 1 est en liaison pivot parfaite d'axe ( )z,O1r

avec le bti 0. On pose

( ) z0/1 1r

r

= avec 1> 0. L'action mcanique de l'actionneur sur l'arbre de la poulie

1 se modlise par : ( )

=zC

mT r1

01 , avec C1> 0.

La poulie 2 est en liaison pivot parfaite d'axe ( )z,O2r

avec le bti 0, telle que

xdOO 21r

r

= (d > 0). On pose ( ) z0/2 2r

r

= avec 2 > 0. L'action mcanique du

rcepteur sur l'arbre de la poulie 2 se modlise par : ( )

=

zCrT r

2

02 , avec C2> 0.

La courroie 3de section trapzodale, inextensible, de masse linique , possdedes rayons moyens d'enroulement respectifs sur la poulie 1, r1et la poulie 2, r2. Onsuppose qu'il n'y a pas de glissement entre la courroie et les poulies. Les angles

d'enroulement sont respectivement = 2DOC 1 , sur 1 et =BOA 2 sur 2.L'inclinaison des flancs des flasques des poulies est note et le facteur defrottement entre une poulie et la courroie est not f.D'autre part, on note Vla vitesse linaire d'un point de la courroie par rapport au bti0, Tla tension du brin tendu BCde la courroie et tla tension du brin mou ADde la

courroie.

On considre une section droite de la courroie enroule sur la poulie 2, de centre

d'inertie Gtelle que : nrGO 22r

r

= et GO,AO 22rr

. nest le vecteur tel que nzt rr

r

= .

Dans la section droite repre par l'angle , l'action mcanique de la partie GBde la

courroie sur la partie GA est dfinie par le torseur ( ){ } ( )

=

=0

tFFT

G

rr

, F()

reprsente l'effort de traction dans la courroie.Les actions mcaniques des flasques 2a et 2bsur les flancs de la courroie 3 sontdfinies par les densits liniques de forces, au niveau du rayon d'enroulement (voirfigure cidessus) :


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( ) ( ) ( )ttip3/a2fIrrr

= , ( ) ( ) ( )ttjp3/b2fJrrr

=

op() et t() sont les densits liniques normale et tangentielle.

On pose t() = k2p(), k2est le coefficient de transmission de la poulie 2, supposconstant le long de l'arcAB. Le coefficient de scurit au glissement s (s> 1) est telque s k2= f.

Les effets d'inertie centrifuge sur la partie de la courroie enroule sur l'arc ABsontreprsents par la densit linique de forces : ( ) nrf 2

22G

r

r

=

L'action de la pesanteur est nglige devant les autres actions mcaniques.

1 En isolant l'lment MNde la courroie (voir figure prcdente), de centre d'inertie

G, enroul sur la poulie 2, tel que ( ) ( )2dNO,GOGO,MO 2222 ==

rrrr

, dterminer la relation

entre les tensions Tet tdes brins mou et tendu de la courroie en fonction de k2, , ,et V.

2 Dterminer la pression linique de contact p() entre les flasques de la poulie etla courroie. En dduire la composante axiale de la rsultante d'action mcanique dela courroie sur un flasque, en fonction de T, t, et k2.

3 Quelle relation y atil entre les moments C1 et C2 des couples moteur et

rcepteur ? Lorsque C1 = C2 = 0, alors T = t = T0 (T0 : tension de pose de lacourroie). On admet qu'en fonctionnement : T+ t= 2T0. En dduire Tet ten fonctionde C1, r1et T0.

4 Sur quelle poulie apparatra en premier un glissement entre la courroie et lapoulie ?

Exercice n17 Centre de gravit du plane

R10

R10

R20

10

10

30

30

L = 120

H= 100

20

20

2060

x

y

O


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La plaque plane cidessus a une paisseur de 1 mm. Elle est constitue en alliaged'aluminium et comporte deux trous circulaires et un trou oblong (voir dessin).Dterminer la position du centre de gravit de cette plaque.

Exercice n18 Losange articul

Le principe de Torricelli2 permet dnoncer quun ensemblede masses est en quilibre lorsque son centre de gravit estle plus bas possible. Appliquer ce principe au problme ciaprs.

tudier lquilibre dun losange articul pesant OABAsuspendu par un point fixe Olorsquon place lintrieur undisque homogne reposant sur les deux barresABetAB.

On nglige les frottements. Les quatre barres ont mmelongueur l, mme poids p. Le disque a pour rayon ret pourpoids q.

Exercice n19 Pselettres

Le mcanisme est constitu comme le prsente leschma cicontre. O1 et O2 sont des liaisons pivotsfixes par rapport au support,Aet Bsont des liaisonspivots mobiles. Toutes ces liaisons sont supposesparfaites et les masses des tiges sont ngligeables

par rapport aux autres masses prises en compte.

Sous laction du poids Pde la lettre, le systme prendla configuration dquilibre repre par langle . Onnote O1A = O2B = aet O2G2= b.

Dterminer la valeur de .

Exercice n20 Maintien dun cylindre entre deux plaques

Deux plaques carres chacune de masseM1, de ct 2L, et dpaisseurngligeable sont articules sansfrottement entre elles le long dune artecommune A. Une de ces plaques estmaintenue fixe horizontale, lautre fait unangle avec la premire. Un cylindre dervolution de masse M2 et de rayon R, est en contact avec ces deux plaques

2

Evangelista TORRICELLI (1608-1647) est notamment connu pour linvention du baromtre mercure.

A A

B

O

A

B

P

Q

O1

O2

G1

G2

A

B

C

FR2L


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respectivement le long de deux gnratrices B et C. En chaque contact il y a dufrottement de coefficient f. Une force horizontale Fest applique perpendiculairement laxe du cylindre.

1 Dterminer les actions de contact

inconnues.

2 Dterminer entre quelles limites peutvarier la force F, le systme restantimmobile.

Application numrique : M1 = 30 kg, M2 =150 kg, f= 0,25, L= 1 m, R= 0,25 m.

Exercice n21 Dispositif dablocage

Un dispositif de blocage est constitu parune bride coude 1, articule sur un axe 3fix sur un bti fixe 5 et dans lequel sevisse une vis de pression 2. Quand leblocage de la pice 4 est ralis, l'actionexerce par la vis sur la pice (A24) est de module 800 N en A. Les poids etfrottements sont ngligs.

1 Dterminer graphiquement l'action exerce par la bride sur la pice en B,

2 Dterminer graphiquement la rsultante des actions exerces par la bride et lavis sur la pice 4,

3 La pice repose sur un plan horizontal du bti 6 et s'appuie latralement en Mcontre ce dernier. Dterminer graphiquement la valeur des actions exerces par lebti sur la pice.

Exercice n22 Dispositif de levage

Un dispositif de levage de plaques de tles est constitu par deux pinces

symtriques donnes par la figure cicontre. La plaque pse 2000 N et l'effort detension de la chane est de 1000 N.Au moment du levage, sous l'effet dela tension progressive de la chane 4,la pice 1 ne glisse pas sur la tle,tandis que la pice 2 articule en C,serre la tle en A en glissant avantde prendre une position d'quilibre.

1 tudier l'quilibre de la pice 2,

2 tudier l'quilibre de la pice 1 etdterminer le point d'application de la rsultant de contact de la tle 3 sur la pice 1.


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Le coefficient de frottement aux contacts tle et pices 2 et 1 est f = 0,2. Lefrottement de l'axe 5 est nglig.

3 D'aprs les rsultats obtenus justifier leglissement de 2 sur la tle 3 et le nonglissement

de 1 sur la tle 3 au moment du serrage.

Exercice n23 Pompe huile monocoup

Une pompe huile monocoup est reprsent sur ledessin cicontre. Le ressort intrieur decompression, dans la position de fin de course (casde la figure), exerce une action de 10 N. Lefrottement du joint sur le piston est nglig.Sachant qu'on exerce au dmarrage (cas de lafigure), une action horizontale Fdont l'intensit estde 50 N en A (le bras de levier A axe 3 est de400 mm).

1 tudier l'quilibre du levier 4 sachant que lefacteur de frottement au contact B est f = 0,1.L'articulation 3 tant bien graisse, le coefficient ducontact de 3 et 4 est ngligeable,

2 tudier l'quilibre du piston 1 et trouver,

2.1 le point d'application de la rsultante des actions de contact du cylindre 2 sur lepiston 1,

2.2 la pression de l'huile,

3 Sachant que la force du ressort augmente au fur et mesure de sonaplatissement suivant une loi linaire de 10 N pour un aplatissement de 50 mm,prciser quelle sera la force exercer en A lorsque le piston aura accompli unecourse de 30 mm. On relvera les dimensionsutiles l'chelle du dessin.

Exercice n24 Freinage dun vlo

Lors du freinage de votre vlo, vous gnrezune tension dans votre cble de frein Tde 60 N.Calculer la force que vos patins de freinsappliquent sur la jante en sachant que le pointAest le pivot du frein.

Exercice n25 chelle double

Une chelle double se compose de deuxchelles simples AO et BOde mme longueur


18/20



L, de mme poids Mgr

, articules sans frottement au sommet commun O.

On note 2langle au sommet des deux chelles et le facteur de frottement avec lesol. Une personne P, de poids mg

r

, monte sur lchelle AO une distance x dusommet O.

1 Dterminer les efforts exercs enAet en Blorsque lchelle est en quilibre.2 Montrer que si langle augmente, cest lchelle BOqui glissera la premire.3 Discuter linfluence de x dans le cas particulier o m M= . Quel est langlemaximale douverture de lchelle pour que la personne puisse monter jusquen hautsans risques ?

Exercice n26 Blocs en quilibre

Deux blocs 1S et 2S , de poids respectifs

N55001 =Pr

et N125002 =Pr

, sont

maintenus en quilibre grce une

action mcanique Fr

applique sur 2S

(voir figure).

Hypothses : Les facteurs de frottement au

niveau des contacts sont prisgaux 0,25 ;

Le problme est considrcomme plan.

1 Dterminer graphiquement la normeminimale de F

r

qui maintient les blocs la limite de lquilibre.

2 Dterminer graphiquement la norme maximale de Fr

qui maintient les blocs lalimite de lquilibre.

lments de correction

Exercice n 1 : ++= zyx zyT

O

O rrr

rr

383753000045000 600014875

Exercice n 2 : ( )( )

+

=0

30 00y

d

cadMgx

b

MgeT

O

rr

, ( )

=0

32 00yMgx

b

MgeT

O

rr

Exercice n 3 : +

=0

26672000 yxT

A

A

rr

(Nm),

=0

7333yT

B

B

r

(Nm)

Exercice n 4 : 1 xsin1rR

rRrR32GO 22

r

r

+

++=


19/20



Exercice n 5 :

( )

+=

+=

=

xlLPP

OM

zLlPP

R

Tm

m

O

r

r

r

r

20

0

23

2

Exercice n 6 :22

33

rR

rRfF

3

2C

= , C = 121 Nm

Exercice n 7 :

+

+

=0

zPyFba

bxP

ba

dT

A

A

rrr

,

=

0

yFba

bxP

ba

dT

B

B

rr

, C=dF

Exercice n 9 :1

313 r

rNN = ,

( )

1

4112 r

rrN2N

+= ,

12

114 cos r

NT

= ,

34

334 cos r

NT

=

Exercice n10 : 1 0cos rR

VrR ,

4 ( ) ( )

( )

+=

zfpr

yfprxprT

C

r

rr

102

010

sin2sin2

22sin221

Exercice n 11 : ( )

= 0

00 xxT

gch

g

Tyy

Exercice n13 : ( ) N41503/4 =Jr

, ( ) N21503/0 =Gr

, ( ) N42503/0 =Hr

Exercice n14 : ( )

=

zST

C

C r72000

0)/(3

Exercice n15 :

=

03

233

zrR

kT

O

V

r

,

=z

rRk

T

O

w r

42

044

Exercice n16 : 1

=

sin

exp 22

2 k

Vt

VT

2 ( )

22

cos

k

tTA

=

3 2

1

2

1

r

r

C

C= ,

1

10 r2

CTT += ,

1

10 r2

CTt =

Exercice n17 : mm997,44xG= , 0yG=

Exercice n18 : langle vrifie ( ) += 3sin24cos lqpqr


20/20


Exercice n19 :

=

cos

sintan

PaQb

Pa

Exercice n20 : 1 2tancos11

= RL

gMN , 2tancos2tan 122

+

+= RL

gMFgMN

1

1 2

sin tan2

1 cos

LM g F

RT T

+

= =+

, 2 N430N170

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