STAT-G204 Chapitre I: ANOVA - Vrije Universiteit...

STAT-G204Chapitre I: ANOVA

Caroline Verhoeven

Table des matieres

1 Introduction

2 ANOVA a 1 facteur

3 ANOVA a mesures repetees

4 Randomized block design ANOVA

5 ANOVA a plusieurs facteurs

Caroline Verhoeven STAT-G204 2 / 64

1. Introduction

Augmentation du risque d’erreur du type I : Exemple I

Exemple 1

En 1995, Inaudi et al. ont publie un articlesatirique dans le journal “Annals of Impro-bable Research”.Sujet de l’article : l’effet papillon : le bat-tement d’ailes d’un papillon peut avoir desgrands effets, tels que le creation d’un ou-ragan sur un autre continent.


1. Introduction

Augmentation du risque d’erreur du type I : Exemple II

Exemple 1

Les chercheurs on attrape des douzaines de papillons et ont enregistrequotidiennement si ils battaient des ailes ou non en Suisse et onttelephone tous les jours a leur copine a Paris, pour demander si il pleut.

A la fin de l’etude, ils ont teste, pour chaque papillon, si il y avait un lienentre leur battement d’ailes et la pluie a Paris.

Ils ont trouve un papillon dont les jours des battement d’ailes etaitfortement correles avec les jours de pluie a Paris. Ils ont donc montre lelien entre les 2.

Leur erreur statistique : Si on fait suffisamment de tests, il y en aura bienun statistiquement significatif

Si on effectue N test independant avec un niveau significatif α, laprobabilite de ne pas faire d’erreur du type I est (1 − α)N . La probabilitede faire au moins 1 erreur du type I est 1 − (1 − α)N .


2. ANOVA a 1 facteur

Exemple : Description I

Exemple 2

Quand change de zone horaire, onsouffre du decalage horaire. Ensuite,on s’adapte au cycle lumineux percupar l’oeil et on resynchronise notrerythme circadien. Le changement dansce rythme se nomme un “shift”.

En 1998, Campbell et Murphy ontdeclare que ce shift pouvait egalementse faire en illuminant l’arriere du genoux.Le resultat fut tres controverse



Exemple : Description II

Exemple 2

En 2002, Wright et Czeisler ont reetudiece phenomene. Ils ont mesure le cyclede production de melatonine chez N =22 sujets aleatoirement soumis a un des3 traitement suivants.

Ils ont ete reveille durant leur sommeilet soumis a une forte lumiere dans lesyeux, a l’arriere du genoux ou a aucunelumiere, durant une periode de 3 heures.Apres 2 jours, on a mesure leur cycle demelatonine.

Le “shift” (en heures) est donnes pourchaque groupe sur le slide suivant. Unshift negatif montre un retard.



Exemple : donnees

Exemple 2

controle genoux yeux0,53 0,73 -0,780,36 0,31 -0,860,20 0,03 -1,35-0,37 -0,29 -1,48-0,60 -0,56 -1,52-0,64 -0,96 -2,04-0,68 -1,61 -2,83-1,27

groupe 1 : controle, N1 = 8

groupe 2 : genoux, N2 = 7

groupe 3 : yeux, N3 = 7



Qu’est-ce que l’ANOVA ?

Ne pas faire plusieurs test 2 groupes par 2 groupes !

ANOVA : generalisation du test t pour 2 echantillons independants,vers k > 2 echantillons independantsFormulation des hypotheses

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk

Ha : Au moins une des moyennes est differentes des autres

ANOVA : ANalysis Of VAriance



Notations

k : Nombre d’echantillons

xij : mesure pour le sujet i du groupe j

x j : moyenne des mesures du groupe j

x : Moyenne globale de toutes les mesures

Nj : Nombre de sujets du groupe j

N : Nombre total de sujets



Principe de resolution

Comparer la variabilite entre les groupes avec celle a l’interieur desgroupes

xij − x =(xij − x j)variation

intra-groupes+

(x j − x)variation

inter-groupes

Exemple 2

2,5

-1,5

-0,5

0,5

contr. gen. yeux2,5

-1,5

-0,5

0,5

contr. gen. yeux2,5

-1,5

-0,5

0,5

contr. gen. yeux

x

x1, x2, x3



Calcul de la variance inter-groupes

La variance inter-groupes :

MSB =

∑kj=1 Nj(x j − x)2

k − 1

Exemple 2

x1 = −0,31, x2 = −0,34 x3 = −1,55 x = −0,71

MSB =12

(

8(−0,31 + 0,71)2 + 7(−0,34 + 0,71)2 + 7(−1,55 + 0,71)2)

= 3,61



Calcul de la variance intra-groupes I

La variance intra-groupes :

MSW =

∑N1i=1(xi1 − x1)

2 +∑N2

i=1(xi2 − x2)2 + · · ·+

∑Nki=1(xik − xk )

2

N − k

Exemple 2

xi1 xi2 xi3 (xi1 − x1)2 (xi2 − x2)

2 (xi3 − x3)2

0,53 0,73 -0,78 0,70 1,14 0,600,36 0,31 -0,86 0,45 0,42 0,480,20 0,03 -1,35 0,26 0,13 0,04-0,37 -0,29 -1,48 0,00 0,00 0,01-0,60 -0,56 -1,52 0,08 0,05 0,00-0,64 -0,96 -2,04 0,11 0,39 0,24-0,68 -1,61 -2,83 0,14 1,62 1,63-1,27 0,92

2,67 3,75 2,99



Calcul de la variance intra-groupes II

Exemple 2

Valeur de la variance intra-groupes :

MSW =2,67 + 3,75 + 2,99

22 − 3= 0,50



Calcul de la statistique F

On veut comparer MSB a MSW

On calcule le rapport entre les 2

f =MSB

MSW, F ∼ F (k − 1,N − k)

Si H0 est vraie, on s’attend a ce que f = 1

SI Ha est vraie, on s’attend a ce que f > 1



Exemple : Calcul de f et conclusion

Exemple 2

On veut savoir si au moins un des groupes a en moyenne un shiftdifferent dans son rythme circadien, avec un niveau significatif α = 0,05.

On a

f =MSB

MSW=

3,610,50

= 7,289, F ∼ F (2,19)

Calcul de la valeur p

p = P(F > 7,29) = 0,004 < α = 0,05

⇒ On rejette H0

3,52 f

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0



Conditions

Les echantillons doivent etre aleatoires simples

Les echantillons doivent etre independants

Il faut que σ1 = σ2 = · · · = σk Pour verifier cela, on a le test deLevene

Il faut que la variable soit distribuee normalement pour les kpopulations



Donnees en SPSS

En SPSS : toutes les donnees d’un sujet sur une ligne



Menus SPSS



Definir les facteurs en SPSS I



Definir les facteurs en SPSS II

On met la variable numerique dans Dependent ListOn met la variable qui definit les groupes dans Factor



Le teste de Levene en SPSS

On choisit le test de Levene dans les options



Sortie en SPSS



Resultat du test de Levene

df1= k − 1, df2= N − k

Sig.= p

Ici : p = 0,856⇒ NRH0



Resultat du test ANOVA

df1= k − 1, df2= N − k

Sig.= p

Ici : p = 0,004⇒ RH0



Apres l’ANOVA

L’ANOVA ne permet de detecter que si toutes les moyennes sont lesmemes ou si au moins une est differente.Comment savoir lesquelles sont differentes ?

Si on ne rejette pas H0 : on peut s’arreterSi on rejette H0 : Il y a differentes possibilites (tests de comparaisonmultiples) :

BonferroniTukeyDunnettSidakScheffee...


3. ANOVA a mesures repetees

Exemple : Description

Exemple 3

Dans l’emission de realite “I’m acelebrity, get me out of here”, descelebrites doivent survivre dans lajungle et doivent subir des epreuvesdesagreables et humiliantes

Une de ces epreuves est de manger des choses peu appetissantes.

8 celebrites mangent chacune 4 de ces choses. On mesure le temps quileur faut avant d’avoir la nausee en secondes. Y a-t-il une difference detemps entre ces choses ?

Les donnees se trouvent sur le slide suivant



Exemple : Donnees

Exemple 3

celeb phasmes testicules yeux poisson larves1 8 7 1 62 9 5 2 53 6 2 3 84 5 3 1 95 8 4 5 86 7 5 6 77 10 2 7 28 12 6 8 1



Principe

On mesures k fois les memes sujets sous des conditions differentes

Generalisation du test t pour 2 echantillons apparies



Test preliminaire

Les variances des differences entre 2 groupes sont-elles toutes lesmemes ?Pour y repondre : test de Mauchly

H0 : les variances des differences entre 2 groupes sont les memesHa : Il y a au moins 1 variance des differences qui est differentes

p > 0,05 : NRH0

p < 0,05 : RH0

Si RH0 :correction de Greenhouse-Geissercorrection Huynh-Feldt



Donnees en SPSS



Menus en SPSS

Analyze → General Linear Model → Repeated Measures



Definir les facteurs en SPSS I



Definir les facteurs en SPSS II



Definir les facteurs en SPSS III



Definir les facteurs en SPSS IV



Definir les facteurs en SPSS V



Les resultats en SPSS



Resultats du test de Mauchly

Ici : test de Mauchly significatif (p = 0,047 < 0,05)ε (Epsilon)

Si ε = 1 : sphericite parfaiteAu plus ε petit, au plus eloigne de la sphericite

Choix de correction :Si pour Greenhouse-Geisser ε > 0,75 : Huynh-FeldtSi pour Greenhouse-Geisser ε < 0,75 : Greenhouse-Geisser



Resultats de l’ANOVA

Prendre la bonne correction : ici Greenhouse-Geisser

Pour Greenhouse-Geisser : p = 0,06 ⇒ NRH0

⇒ la difference n’est pas significative


4. Randomized block design ANOVA


Exemple 4

En 2007, Svanback et Bolnick ontteste l’impact de la quantite de pois-son sur la diversite du zooplanctondans un petit lac de l’ıle de Vancouver.Ils pensent que cette diversite varie enfonction de l’endroit dans le lac.Ils comparent 3 “traitements” dans des “cages” de 3m×3m

Ils ne rajoutent pas de poissons (controle)

Ils rajoutent 30 petits poissons (peu)

Ils rajoutent 90 poissons (beaucoup)

Block design5 endroits dans le lac et 3 “cages” a chacun de ces endroits :1 cage controle, 1 cage peu, 1 cage beaucoup



Exemple : Donnees

Exemple 4

L’abondance du zooplancton est donne par l’index D de Levin

controle peu beaucoup

lieux (bloques)

4,1 2,2 1,33,2 2,4 2,03,0 1,5 1,02,3 1,3 1,02,5 2,6 1,6



Principe du randomized block design ANOVA

Formulation des hypotheses :H0 : Tous les traitements ont en moyenne le meme effetHa : Au moins un traitement est different des autres

Les “randomized blocking design” sert a controler une variable noninteressante mais induisant une variabilite.

Classiquement : 1 mesure pour chaque “traitement” par bloque.

Le modele :

REPONSE = CONSTANTE + TRAITEMENT + BLOQUE

Dans l’exemple 4 :

DIVERSITE = CONSTANTE + POISSONS + LIEUX

On ne sait plus utiliser une ANOVA a 1 facteur



Les donnees en SPSS

Les donnees de tous les sujets sont sur une ligne



Les menus en SPSS I

Analyze → General Linear Model → Univariate



Les facteurs en SPSS

Variable dependante :diversite Facteurs fixes : bloque et traitement



Les modeles en SPSS I

Choisir “Model” dans le menu



Les modeles en SPSS II



La sortie SPSS



Les resultats

Nous somme interesses par les lignes “bloque” et “groupe”

groupe : Introduire cette variable ameliore significativement lemodele (F = 16,37, p = 0,001)

bloque : meme si l’amelioration n’est pas significative, il faut laisserla variable bloque


5. ANOVA a plusieurs facteurs


Exemple 5

En 2005, Walker et al ont etudie lestress chez les manchots de Magel-lan. Certains se reproduisent dansune region retiree avec peu d’ac-tivites humaine. D’autres se repro-duisent dans des regions touris-tiques.On veut savoir si les manchots stress plus en grandissant et si le fait degrandir dans une zone touristique ou non influence le stress.

Pour cela, on les capture et on mesure leur concentration decorticosterone 30 minutes apres. On fait cela pour 3 categories demanchots : recemment eclos, de 40 a 50 jours et juste adultes.

Les donnees sont sur le slide suivant



Exemple : Donnees

Exemple 5

bebes enfants adultes

retire

5,9 23,1 22,86,2 18,9 25,7

10,3 19,1 26,54,6 21,5 22,6

11,7 18,1 31,410,8 18,7 27,65,1 29,0 25,0

23,2 30,9

bebes enfants adultes

tourisme

24,4 12,5 29,320,6 17,3 24,316,5 12,9 33,929,5 12,0 29,623,4 16,4 34,426,8 21,4 33,126,5 18,0 25,6

20,2 23,128,1

On regarde stress en fonction de 2 facteurs :

l’age

l’environnement



Questions pour l’exemple

Exemple 5

Questions que l’on se pose :

L’age a-t-il une influence-t-il le stress chez les jeunes manchots ?

Le fait de grandir dans une zone retiree ou touristique influence-t-ille le stress chez les jeunes manchots ?

L’effet de l’age depend-il de la zone dans laquelle les jeunesmanchots grandissent ?

Debut de reponse a la derniere question :



ANOVA a 2 facteurs : Formulation des hypotheses

Exemple 5

1 un effet principal :H0 : Le taux de corticosterone ne differe pas que le manchot soitbebe, enfant ou juste adulteHa : Le taux de corticosterone est different pour au moins un desstades de croissance

2 un effet principal :H0 : Le taux de corticosterone ne differe pas en fonction del’environnement dans lequel le manchot granditHa : Le taux de corticosterone est different en fonction del’environnement dans lequel le manchot grandit

3 un effet d’interaction :H0 : L’effet de l’age ne depend pas de l’environnementHa : L’effet de l’age depend de l’environnement



ANOVA a 2 facteurs : Principe

Modele :

REPONSE = FACTEUR1 + FACTEUR2 + FACTEUR1 ∗ FACTEUR2

Dans l’exemple 5 :

STRESS = AGE + REGION + AGE ∗ REGION



Donnees en SPSS



Menus en SPSS I

Analyze → General Linear Model → Univariate



Menus en SPSS II



Menus en SPSS II

Dans “Options”, on coche “Homogeinity tests” (test de Levene)



Graphique de l’interaction

Choisir “Plots”



Sortie en SPSS



Resultats test de Levene

Test de Levene : p = 0,956 ⇒ NRH0

⇒ Pas de probleme pour l’ANOVA



Resultats de l’ANOVA a 2 facteurs

Effet de l’interaction age*region : p < 0,001 ⇒ RH0

Effet de l’age : p < 0,001 ⇒ RH0

Effet de la region : p < 0,001 ⇒ RH0



Graphe des effets

Effet de l’age : RH0

Effet de la region : RH0

Effet de l’interaction age*region : RH0



ANOVA a 3 facteurs

Modele

REPONSE =FACTEUR1 + FACTEUR2 + FACTEUR3

+ FACTEUR1 ∗ FACTEUR2



+ FACTEUR1 ∗ FACTEUR2 ∗ FACTEUR3


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