STAT-G201: Chapitre 1: La statistique...

STAT-G201:Chapitre 1: La statistique descriptive

Caroline Verhoeven

Table des matières

1 Introduction

2 Types de données

3 TableauxDonnées quantitativesDonnées qualitatives

4 Mesures statistiquesMesures de positionStatistiques de dispersion

5 GraphiquesDonnées quantitativesDonnées qualitatives

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Caroline Verhoeven STAT-G201 2 / 49

1. Introduction

Acquisition des données : Types d’études

Etudes observationnellesObservation dans le tempsSans intervention externe

Etudes expérimentalesIntervention de l’expérimentateur

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1. Introduction

Etudes observationnelles

Prospectives (”cohort” studies)

Rétrospectives (”case-control” studies)

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1. Introduction

Etudes observationnelles : Prospectives

Suivi d’une cohorte d’individus au cours du temps

cohorte

sujets

contrôles

conséquence

sans conséquence

conséquence

sans conséquence

début étude tempssens de l’étude

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1. Introduction

Etudes observationnelles : Rétrospectives

Etudes d’individus possédant un même ”résultat”

sujets

contrôles

exposé

pas exposé

exposé

pas exposé

début étude tempssens de l’étude

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1. Introduction

Etudes expérimentales : Essais cliniques

Evaluation d’un traitement (intervention)

Etudes comparatives : un groupe reçoit le traitement, l’autre pasComment choisir les 2 groupes ? Idéalement identiques avant letraitement

Idéal : des jumeaux, 1 des 2 dans chaque groupeDes sujets dont “les variables relevantes” sont identiques2 groupes choisis au hasard

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2. Types de données

Types de données I

données

Qualitatives Quantitatives

Nominales Ordinales Discrètes Continues

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2. Types de données

Types de données II

Données qualitatives (catégorielles)Données nominalesExemple :Sexe : Homme ou femme, groupe sanguin : O, A, B, ABDonnées ordinalesExemple :Evaluation du prof : très défavorable, défavorable, satisfaisant,favorable, très favorable

Données quantitatives (intrinsèquement numériques)Données discrètesExemple :Nombre d’enfants dans un ménageDonnées continuesExemple :Poids, taille, taux de cholestérol

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3. Tableaux 1. Données quantitatives

Série statistique

Ce tableau contient l’énumération des données

Exemple 1

Poids de la prof de stati xi1 57,02 57,43 57,34 57,85 56,96 56,57 56,98 57,39 56,6

10 56,4

i : “identification” du sujet

xi : Mesures, ici poids de la prof

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Variables continues : table de fréquences

Lorsque les observations sont plus nombreuses, elles sont présentéessous forme groupées, on obtient un tableau de fréquences

Exemple 2

Le taux d’acide urique (mg/100ml) de N = 267 donneurs de sangrépartis en 8 classes

Classe j nj n′j]3,00;4,00] 17 0,064]4,00;4,50] 33 0,124]4,50;5,00] 40 0,150]5,00;5,50] 54 0,202]5,50;6,00] 47 0,176]6,00;6,50] 38 0,142]6,50;7,50] 3 0,116]7,50;9,00] 7 0,026

nj : Nombre de sujets dans laclasse j , fréquence absolue

n′j : n′

j = nj/N, fréquencerelative

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Variables continues : table de fréquences cumulées

On peut également faire une table de fréquences cumulées

Exemple 3

Le taux d’acide urique (mg/100ml) de N = 267 donneurs de sangrépartis en 8 classes

Classe j nj Nj N ′j]3,00;4,00] 17 17 0,064]4,00;4,50] 33 50 0,188]4,50;5,00] 40 90 0,338]5,00;5,50] 54 144 0,540]5,50;6,00] 47 191 0,716]6,00;6,50] 38 229 0,858]6,50;7,50] 31 260 0,974]7,50;9,00] 7 267 1,000

nj : Le nombre de sujets dansla classe j , fréquence absolue

Nj : Nj = n1 + n2 + · · ·+ nj ,fréquence cumulée jusqu’à laclasse j incluse

N ′j : Nj/N : fréquence cumuléerelative

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Variables discrètes : Table de fréquences

On regroupe les sujets ayant les mêmes mesures et on construit untableau de fréquences et de fréquences cumulées

Exemple 4

Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants

xj nj n′j Nj N′

j

0 161 0,004 161 0,0041 1152 0,030 1313 0,0342 3951 0,103 5264 0,1373 7603 0,198 12867 0,3354 10263 0,267 23130 0,6025 8498 0,221 31628 0,8236 4948 0,129 36576 0,9527 1635 0,042 38211 0,9948 284 0,007 38495 1,001

xj , (j : 1, . . . ,9) : Mesure, nombrede garçons par famille

nj : nombre de familles avec xjgarçons, fréquence absolue

n′j : fréquence relative

Nj : Nj = n1 + n2 + · · ·+ nj ,fréquence cumulée

N ′j : Nj/N, fréquence cumuléerelative

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3. Tableaux 2. Données qualitatives

Table de fréquences

Exemple 5

Tableau de fréquences des causes principales de mortalité chez lesjeunes de 15 à 19 ans aux Etats-Unis en 1999

Cause de la mort Fréquence Pourcentage1 Accidents 6.688 48.542 Homicide 2.093 15,193 Suicide 1.615 11,724 Tumeurs malignes 745 5,415 Maladies cardiaques 463 3,366 Anomalies congénitales 222 1,617 Maladies respiratoires chroniques 107 0,788 Grippes et pneumonies 73 0.539 Maladies cérébrovasculaires 67 0.49

10 Autres tumeurs 52 0,3811 Autres causes 1.653 12,00

Total 13.778 100,0

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4. Mesures statistiques 1. Mesures de position

La moyenne d’une série

Moyenne pour les séries : x =1N

N∑

j=1

xj

Exemple 6

Poids moyen de la prof de stat :

x =1

10(57, 0 + 57, 4 + 57, 3 + 57, 8 + 56, 9

+ 56, 5 + 56, 9 + 57, 3 + 56, 6 + 56, 4) = 57, 01

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La moyenne d’une série regroupée

Moyenne pour les séries regroupées : x =1N

c∑

j=1

njx∗

j

c : le nombre de classes

Exemple 7

Taux d’acide uriqueClasse j nj x∗j

]3, 00; 4, 00] 17 3,50]4, 00; 4, 50] 33 4,25]4, 50; 5, 00] 40 4,75]5, 00; 5, 50] 54 5,25]5, 50; 6, 00] 47 5,75]6, 00; 6, 50] 38 6,25]6, 50; 7, 50] 31 7,00]7, 50; 9, 00] 7 8,25

x∗j : centre de la classe

taux moyen d’acide urique :

x =1

267(17 × 3,50 + 33 × 4,25 + 40 × 4,75

+ 54 × 5,25 + 47 × 5,75 + 38 × 6,25

+ 31 × 7 + 7 × 8,25) = 5,45

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La moyenne de données discrètes

Moyenne pour des variables discrètes x =1N

c∑

j=1

njxj

c : le nombre de mesures discrètes différentes

Exemple 8


xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284

Moyenne du nombre de garçons :

x =1

38495(161 × 0 + 1152 × 1 + 3951 × 2

+ 7603 × 3 + 10263 × 4 + 8498 × 5

+ 4948 × 6 + 1635 × 7 + 284 × 8)

= 4, 13

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La médiane : principe

Définition 9

La médiane, x̃ , est “la mesure du milieu” : 50% des sujets auront desmesures plus petites, 50% des mesures plus grandes

Comment calculer la médiane ?

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La médiane d’une série

Pour les séries :

Exemple 10

Poids de la prof de stati xi1 57,02 57,43 57,34 57,85 56,96 56,57 56,98 57,39 56,6

10 56,4

i xi10 56,46 56,59 56,65 56,97 56,91 57,03 57,38 57,32 57,44 57,8

Ordonner les variables : petit −→ grand

N impair ⇒ la médiane : la mesure à laplace N+12Exemple : N = 7 ⇒ x̃ : la mesure à laplace 82 = 4

N pair ⇒ la médiane : la moyenne desmesures à la place N2 et

N2 + 1

Exemple : A gauche, N = 10 et doncx̃ = 12(56, 9 + 57, 0) = 56.95

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La classe médiane

Pour les séries regroupées :

Exemple 11

Taux d’acide uriqueClasse j nj Nj N ′j

]3, 00; 4, 00] 17 17 0,064]4, 00; 4, 50] 33 50 0,188]4, 50; 5, 00] 40 90 0,338]5, 00; 5, 50] 54 144 0,540]5, 50; 6, 00] 47 191 0,716]6, 00; 6, 50] 38 229 0,858]6, 50; 7, 50] 31 260 0,974]7, 50; 9, 00] 7 267 1,000

On utilise le tableau et/ou lediagramme de fréquencescumulées

La classe qui contient lamédiane : la 1ère classe pourlaquelle N ′j ≥ 0.5

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La médiane pour les données discrètes

Pour les variables discrètes

Exemple 12

Nombre de garçons dans une famille de 8 enfantsxj nj Nj N ′j0 161 161 0,0041 1152 1313 0,0342 3951 5264 0,1373 7603 12867 0,3354 10263 23130 0,6025 8498 31628 0,8236 4948 36576 0,9527 1635 38211 0,9948 284 38495 1,001

On utilise la table de fréquencescumulées

La médiane : la 1ère mesure pourlaquelle N ′j ≥ 0.5Exemple : On voit dans la tableauà gauche que cela correspond à 4garçons.

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centiles

Le cème centile est la mesure telle c% des sujets ont une mesureinférieure

La médiane est un cas spécial : c’est le 50ème centile

Pour calculer le centile exacte, on utilise souvent un logiciel.Pour les séries regroupées on peut aussi :

Déterminer la classe du centile

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Classe du centile : exemple

Exemple 13

Taux d’acide uriqueClasse j nj Nj N ′j

]3,00;4,00] 17 17 0,064]4,00;4,50] 33 50 0,188]4,50;5,00] 40 90 0,338]5,00;5,50] 54 144 0,540]5,50;6,00] 47 191 0,716]6,00;6,50] 38 229 0,858]6,50;7,50] 31 260 0,974]7,50;9,00] 7 267 1,000

Déterminons la classe du 60ème

centile

Considérons la table defréquences cumulées

La classe du 60ème centile est la1ère classe où N ′j ≥ 0.6

Dans notre exemple : c’ est laclasse ]5, 50; 6, 00]

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Les quartiles

Les quartiles sont des cas particuliers des centiles :

Le 1er quartile, Q1 correspond au 25èmecentile

Le 2èmequartile correspond à la médiane

Le 3ème quartile Q3 correspond au 75ème centile

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Le mode

La (les) mesure(s) de fréquence maximum

On utilise les tableaux de fréquences

Pour les séries et les variables discrètes : La (les) valeurs les plusobservées

Pour les séries regroupées ”la classe modale” est la classe defréquence maximum

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Conclusions tendances centrales

Quand utiliser les tendances centrales :Statistiques Quand ?

Moyenne quantitativespas de données aberrantesgrands échantillons

Médiane quantitatives, ordinalesok avec les données aberrantes

Mode quantitatives, qualitativesdistribution multimodale

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4. Mesures statistiques 2. Statistiques de dispersion

Statistiques de dispersion

Exemple 14

Les séries de mesures

{99, 100, 101}

{0, 100, 200}

on toutes 2 une moyenne x = 100, mais leur dispersion est trèsdifférente

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L’étendue

L’étendue E est donnée par

E=maximum - minimum

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Comment définir la variance ?

Pour les séries :

De quelle manière les mesurent diffèrent-elles de la moyenne ?

Proposition : Regardons la différence entre les mesures et lamoyenne

1N

N∑

i=1

(xi − x)

Problème : Exemple avec 3 données

13

(

(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x))

=13(x1 + x2 + x3)− x = x − x = 0

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La variance d’une série

Autre proposition : Regardons le carré de la différence entre lesmesures et la moyenne

s2x =1

N − 1

N∑

j=1

(xj − x)2,

la variance !

N − 1 : nombre de degrés de liberté1

N−1 ≃1N pour N grand

Exemple : 11000 = 0,001000 ≃1

999 = 0,001001

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La variance d’une série regroupée et de donnéesdiscrètes


s2x =1

N − 1

c∑

j=1

nj(x∗

j − x)2

c : nombre de classe, x∗j milieu de la classe j

Pour les variables discrètes :

s2x =1

N − 1

c∑

j=1

nj(xj − x)2

c : nombre des mesures discrètes différentes

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La déviation standard d’une série

La déviation standard sx :

sx =√

s2xPour les séries :

Exemple 15

i xi (xi − x)2

1 57,0 0,00012 57,4 0,15213 57,3 0,08414 57,8 0,62415 56,9 0,01216 56,5 0,26017 56,9 0,01218 57,3 0,08419 56,6 0,1681

10 56,4 0,3721

sx =

√

√

√

√

1N − 1

N∑

j=1

(xj − x)2

Pour notre exemple :

s2x =19(0,0001 + 0,1521 + 0,0841 + 0,6241

+ 0,0121 + 0,2601 + 0,0121

+ 0,0841 + 0,1681 + 0,3721) = 0,1966

⇒ sx =√

0, 1966 = 0, 44ULBBeamerlogo



La déviation standard d’une série regroupée


sx =

√

√

√

√

1N − 1

c∑

j=1

nj(x∗j − x)2

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La déviation standard de données discrètes

Pour les variables discrètes :

Exemple 16

Nombre de garçons dans une famille de 8 enfants (N = 38495)xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284

sx =

√

√

√

√

1N − 1

c∑

j=1

nj(xj − x)2

Pour notre exemple :

sx =

√

138494

(83.294, 24) = 1, 47

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L’écart interquartile

On en déduit l’écart interquartile IQR :

IQR = Q3 − Q1

Cette étendue va donc du 25ème centile au 75ème centile

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Conclusions : mesures de dispersion

Quand utiliser les mesures de dispersion :Statistiques Quand ?

Etendue quantitativespas de données aberrantesêtre prudent

Déviation standard quantitativespas de données aberrantesgrands échantillons

Ecart interquartile quantitatives, ordinalesok avec des données aberrantes

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5. Graphiques 1. Données quantitatives

Valeurs numériques continues : histogrammes

Exemple 17

Classe j nj Ij yj = nj/Ij]3, 00; 4, 00] 17 1,0 17,00]4, 00; 4, 50] 33 0,5 66,00]4, 50; 5, 00] 40 0,5 80,00]5, 00; 5, 50] 54 0,5 108,00]5, 50; 6, 00] 47 0,5 94,00]6, 00; 6, 50] 38 0,5 76,00]6, 50; 7, 50] 31 1,0 31,00]7, 50; 9, 00] 7 1,5 4,67

Ij : largeur de la classe3 4 5 6 7 8 9

20

40

60

80

100yj

taux d’acide urique(mg/100ml)

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Valeurs numériques continues : diagrammes desfréquences cumulées

Exemple 18

Classe j nj Nj N ′j]3, 00; 4, 00] 17 17 0,064]4, 00; 4, 50] 33 50 0,188]4, 50; 5, 00] 40 90 0,338]5, 00; 5, 50] 54 144 0,540]5, 50; 6, 00] 47 191 0,716]6, 00; 6, 50] 38 229 0,858]6, 50; 7, 50] 31 260 0,974]7, 50; 9, 00] 7 267 1,000 3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0N ′j

bb

b

b

b

b

b

b b

taux d’acide urique(mg/100ml)

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La médiane par le diagramme de fréquencescumulées


Exemple 19

Taux d’acide urique

3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0N ′j

bb

b

b

b

b

b

b b

0.5

x̃taux d’acide urique(mg/100ml)

x̃ : la valeur qui correspond àN ′j = 0, 5

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Le centile par le diagramme de fréquences cumulées

Exemple 20

3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0N ′j

bb

b

b

b

b

b

b b

c60taux d’acide urique(mg/100ml)

c60 : la valeur qui correspond à un N ′j =0, 6

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Variables discrètes : diagramme en bâtons pour lesfréquences

Exemple 21


xj nj0 1611 11522 39513 76034 102635 84986 49487 16358 284 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2000

4000

6000

8000

10000

12000nj

Nombre de garçons

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Variables discrètes : diagramme en bâtons pour lesfréquences cumulées

Exemple 22

xj nj Nj N ′j0 161 161 0,0041 1152 1313 0,0342 3951 5264 0,1373 7603 12867 0,3354 10263 23130 0,6025 8498 31628 0,8236 4948 36576 0,9527 1635 38211 0,9948 284 38495 1,001

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0N ′j

Nombre de garçons

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La boı̂te à moustaches I

Exemple 23

Le taux de fer (mg/100g) de 14 aliments différentsAliment fer (xi )boeuf, cuit 6,16graines de tournesol,grillées, salées 3,81chocolat 3,13purée tomate, conserve 2,98haricots blancs, bouillis 2,94choux de bruxelles, bouillis 1,20lait de soja 1,10laitue, crue 1,00brocoli, cru 0,91épinards, crus 2,70chou rouge, cru 0,80framboises, crues 0,69fraises, crues 0,42pommes de terre, cuites 0,35

x = 2, 014

x̃ = 1, 150

Q1 = 0, 828

Q3 = 2, 970

min= 0, 35

max= 6, 16

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La boı̂te à moustaches II

Les données sont représentées dans la boı̂te à moustaches :

1

2

3

4

5

6fe

r(m

g/10

0g)

min

max

Q1

x̃

Q3

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La boı̂te à moustaches III

Pourquoi a-t-on conseillé de manger des épinards ?

Exemple 24

Le taux de fer (mg/100g) de 14 aliments différentsAliment fer (xi )bœuf, cuit 6,16graines de tournesol,grillées, salées 3,81chocolat 3,13purée tomate, conserve 2,98haricots blancs, bouillis 2,94choux de bruxelles, bouillis 1,20lait de soja 1,10laitue, crue 1,00brocoli, cru 0,91épinards 35,00chou rouge, cru 0,80framboises, crues 0,69fraises, crues 0,42pommes de terre, cuites 0,35

x = 4, 321

x̃ = 1, 150

Q1 = 0, 828

Q3 = 3, 092

min= 0, 35

max= 35, 00ULBBeamerlogoCaroline Verhoeven STAT-G201 45 / 49


La boı̂te à moustaches IV

Les données sont représentées dans la boı̂te à moustaches :

10

20

30

fer

(mg/

100g

)

⋆

La boite à moustache met labarre au maximum que si

max≤ Q3 + 1.5 × IQR

La boite à moustache met labarre au minimum que si

min ≤ Q1 − 1.5 × IQR

Si ce n’est pas le cas, il prendles premières valeurs quisatisfont à ces conditions

Les autres mesures sontreprésentées à part et sontdite aberrantesULBBeamerlogo


5. Graphiques 2. Données qualitatives

On part de la table de fréquences

Exemple 25

Table de fréquences des causes principales de mortalité chez les jeunesde 15 à 19 ans aux Etats-Unis en 1999

Cause de la mort Fréquence Pourcentage1 Accidents 6.688 48.542 Homicide 2.093 15,193 Suicide 1.615 11,724 Tumeurs malignes 745 5,415 Maladies cardiaques 463 3,366 Anomalies congénitales 222 1,617 Maladies respiratoires chroniques 107 0,788 Grippes et pneumonies 73 0.539 Maladies cérébrovasculaires 67 0.49

10 Autres tumeurs 52 0,3811 Autres causes 1.653 12,00

Total 13.778 100,0

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Diagrammes en bâtons

Exemple 26

Données de l’exemple 23 en diagramme en bâtons

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Diagrammes en camembert

Exemple 27

Données de l’exemple 23 en diagramme en camembert

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IntroductionTypes de donnéesTableauxDonnées quantitativesDonnées qualitatives

Mesures statistiquesMesures de positionStatistiques de dispersion

GraphiquesDonnées quantitativesDonnées qualitatives

STAT-G201: Chapitre 1: La statistique...

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