Stabilisation de la formule des traces torduewebusers.imj-prg.fr/~colette.moeglin/global.pdf2 La...

Stabilisation de la formule des traces tordue

C. Moeglin, J.-L. Waldspurger

10 juin 2015

2

La formule des traces est l’un des outils les plus puissants de la théorie des formes au-tomorphes. Elle a été établie en toute généralité par Arthur, sous différentes formes. Nousconsidérons la forme dite invariante. Dans l’ouvrage fondateur [56], Langlands a formulél’objectif de ”stabiliser” cette formule. Cette stabilisation est profondément reliée à la struc-ture des ”paquets” de représentations automorphes. Elle permet d’établir certains cas defonctorialité. Ces cas sont évidemment très élémentaires au regard des conjectures généralesmais sont tout de même assez consistants. De plus, établir la version stable de la formule destraces semble être un préalable indispensable à l’utilisation de cette formule dans l’optiquede ces conjectures générales. Pour la formule des traces ordinaire (non tordue), la stabilisa-tion a été obtenue par Arthur dans les trois articles [18], [19], [20]. On sait toutefois qu’unegénéralisation de la formule des traces, dite tordue, permet d’obtenir des cas de fonctorialitéinaccessibles à la formule des traces ordinaire. La situation tordue permet ainsi de traiterle ”changement de base” (cf. [57], [24]). Elle permet aussi de décrire le spectre discret desgroupes classiques à partir de celui des groupes linéaires généraux. Cette description a étéobtenue par Arthur il y a quelques années dans un livre retentissant [23]. Arthur y admetla stabilisation de la formule des traces pour un groupe GLn tordu par un automorphismeextérieur. C’est ce qui nous a décidé, à la suggestion de L. Clozel, à établir la stabilisationde la formule des traces tordue en toute généralité.

Nos données de départ sont un corps de nombres F , un groupe réductif connexe G définisur F , un espace tordu G̃ sur G et un caractère automorphe ω de G(AF ) (où AF est l’anneaud’adèles de F ). On emprunte la terminologie d’espace tordu à Labesse. Si l’on préfère, onpeut fixer un automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensembleG̃ = Gθ, qui est muni des actions de G à gauche et à droite définies par (g, γ = xθ, g′) 7→γ′ = gxθ(g′)θ. En particulier, à tout élément γ de G̃ est associé un automorphisme adγde G : si γ = xθ, adγ = adx ◦ θ, où adx est la conjugaison par x. Dans cette situation,la formule des traces ω-équivariante permet d’étudier les représentations automorphes π deG(AF ) telles que π ◦adγ ' π⊗ω, où γ est un élément quelconque de G̃(AF ). Elle se présentede la façon suivante. On fixe un ensemble fini V de places de F , assez grand (contenanttoutes les ”mauvaises” places). On note FV le produit des localisés Fv pour v ∈ V . PourfV ∈ C∞c (G̃(FV )), on a une égalité

IG̃géom(ω, fV ) = IG̃spec(ω, fV ),

le premier terme étant le côté ”géométrique” de la formule et le second étant son côté ”spec-tral”. Cette égalité a été établie par Arthur, cf. [8], à partir de la version non-ω-équivariantedémontrée dans le fameux ”Morning Seminar”. Celui-ci a été enfin rédigé il y a quelquesannées par Labesse et l’un de ses collaborateurs [54].

On introduit la notion de donnée endoscopique de (G, G̃, ω). Une telle donnée G′ estun objet assez riche et détermine en tout cas un groupe G′ réductif connexe défini sur Fet quasi-déployé et un espace tordu G̃′ sur G′. Il n’y a plus de caractère et l’espace torduG̃′ est assez simple : la torsion se fait par automorphismes intérieurs de G′. Cela étant, lastabilisation de la formule des traces tordue se fait par récurrence sur la dimension de Gselon le schéma assez simple suivant. On considère d’abord le cas où G est quasi-déployé, G̃est ”à torsion intérieure” et ω = 1 (comme on vient de le dire, ces conditions sont rempliessi l’on remplace la donnée de départ (G, G̃, ω) par celle issue d’une donnée endoscopique).Dans ce cas, pour un indice ? = géom ou ? = spec, on pose

SIG̃? (fV ) = IG̃? (fV )−

∑G′;G′ 6=G

i(G̃,G′)SIG̃′

? (fG̃′

V ).

On a supprimé le ω dans I?(fV ) puisqu’il est trivial. La somme porte sur les données en-doscopiques de (G, G̃, ω = 1) qui vérifient diverses conditions : ellipticité, non-ramification

3

hors de V etc... Il n’y en a qu’un nombre fini. Le terme i(G̃,G′) est une constante explicite.Puisqu’on impose de plus G′ 6= G, les groupes G′ qui apparaissent sont de dimension stricte-ment plus petite que celle de G. On peut donc supposer définies les distributions SIG̃

′

? (.). La

fonction f G̃′

V est le transfert de fV . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquencedes travaux de Shelstad dans le cas des places archimédiennes (cf. [73], de Ngo Bao Chaudans le cas des places finies. Le théorème que nous prouverons dans cette situation est que

la distribution fV 7→ SIG̃(fV ) est stable, c’est-à-dire qu’elle annule les fonctions dont toutesles intégrales orbitales stables sont nulles. Revenons maintenant à une donnée (G, G̃, ω) quel-

conque. On définit la version endoscopique IG̃,E? (ω, fV ) du terme géométrique ou spectral dela formule des traces par l’égalité

IG̃,E? (ω, fV ) =∑G′

i(G̃,G′)SIG̃′

? (fG̃′

V ),

avec les mêmes explications que ci-dessus. Le théorème principal que nous prouverons est

l’égalité IG̃,E? (ω, fV ) = IG̃? (ω, fV ). Pour ? = spec, celle-ci relie les représentations auto-

morphes π de G(AF ) vérifiant la condition π ◦adγ ' π⊗ω aux représentations automorphesdes groupes associés aux données endoscopiques de (G, G̃, ω).

Signalons tout de suite que la présentation ci-dessus est grandement simplifiée. D’abord,les places réelles nécessitent parfois de considérer ensemble plusieurs formes intérieures dugroupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici les K-espaces. On expliquera au chapitreI pourquoi leur introduction est utile, cf. [I] 1.11 et [I] 4.9. Mais ce n’est qu’une difficultémineure. D’ailleurs, les développements récents de la théorie des représentations suggèrentqu’il est parfois plus compréhensible de considérer simultanément plusieurs formes intérieuresd’un même groupe (cf. les ”stacks” de J. Bernstein ou Y. Sakellaridis). Plus perturbant est

le fait que les transferts que l’on a noté ici f G̃′

V vivent en général non pas sur G̃′, mais sur

une donnée auxiliaire G̃′1, laquelle est un espace tordu sur une extension G′1 de G

′ par untore central.

Le terme géométrique IG̃géom(ω, fV ) se présente comme une somme sur les espaces de

Levi M̃ de G̃ de sommes de termes IG̃M̃

(AM̃ (O, ω), fV ). Ici, AM̃ (O, ω) est une somme finie deω-intégrales orbitales sur des classes de conjugaison par M(FV ) d’éléments de M̃(F ) (c’est

un objet essentiellement global) et IG̃M̃

(., .) est une intégrale orbitale pondérée ω-équivariante(c’est un objet essentiellement local en les places dans V ). On doit stabiliser ces deux types

d’ingrédients. La stabilisation des termes globaux AM̃ (O, ω) a été l’objet de plusieurs travauxsuccessifs de Langlands, Kottwitz, Kottwitz et Shelstad, Arthur et Labesse. Arthur a traitéentièrement le problème, cf. [19], mais dans le cas non tordu. Labesse a traité le cas tordu, cf[53], mais seulement dans le cas des intégrales semi-simples. Nous reprenons les méthodes deces deux auteurs pour traiter le cas général dans le chapitre VII, en utilisant une techniquede descente. Toutefois, comme dans Arthur, certaines classes de conjugaison exceptionnellesne se traitent pas directement et leur stabilisation ne sera obtenue que dans le chapitre X.

La stabilisation des termes ”locaux” IG̃M̃

(., .) est plus difficile (pour M̃ 6= G̃). La raison en estque la méthode d’Arthur qui rend invariante la formule des traces est très dissymétrique :

elle concentre les difficultés du côté géométrique. En fait, ces distributions IG̃M̃

(., .) n’ont de

”géométrique” que leur ensemble d’indexation (des classes de conjugaison dans M̃(FV )).Leur définition fait intervenir des objets spectraux et en fait, ces distributions sont à peuprès incalculables en toute généralité. Leur stabilisation ne sera obtenue qu’au chapitre X,par voie globale c’est-à-dire en utilisant toute la force de la formule des traces. C’est donc cechapitre X qui contient l’essentiel de la preuve de la stabilisation géométrique. C’est aussicelui où sera abordé le côté spectral de la formule. Sa stabilisation résulte de celle de la

4

partie géométrique mais, comme on vient de le dire, par une démonstration qui effectue unva-et-vient entre les deux côtés de la formule. Signalons que notre présentation de la formulegéométrique est quelque peu simplifiée par rapport à celle d’Arthur quant aux questions deconvergence car on dispose aujourd’hui des résultats sur ce sujet de Müller [64] et Finis,Lapid et Müller [35].

Les cinq premiers chapitres sont préparatoires. Le premier expose la théorie de l’endo-scopie tordue sur un corps local, due à Kottwitz et Shelstad (cf. [48]) et à Labesse. Ons’est attaché à formaliser la question des données auxiliaires évoquée ci-dessus de sorte àobtenir une présentation qui les rende aussi invisibles que possible. On s’est aussi intéresséaux questions de choix de mesures : contrairement à une croyance répandue, la stabilisa-tion de la formule des traces est parfaitement indépendante de tout choix de mesures. Ondonne une présentation formelle qui met cela en évidence. Les quatre chapitres suivants sont

consacrés pour l’essentiel à prouver que la stabilisation des distributions IG̃M̃

(., .) aux pointssemi-simples très réguliers s’étend automatiquement aux points singuliers. Le chapitre VIprésente la partie géométrique de la formule et énonce les résultats concernant sa stabilisa-tion. On y énonce aussi les hypothèses de récurrence générales qui vaudront pour toute lasuite de la démonstration. Toutefois, dans bien des chapitres, une partie seulement de ceshypothèses sera utilisée et on expliquera selon les cas quelles sont les hypothèses vraimentutiles. On a déjà dit que le chapitre VII est consacré à la stabilisation de presque toutes

les intégrales orbitales AG̃(O, ω). C’est l’équivalent dans le cas tordu du deuxième article[19] d’Arthur. Le chapitre VIII commence la démonstration de la stabilisation des intégralesorbitales pondérées ω-équivariantes. On y démontre l’analogue de la proposition 3.1 de [20].Le chapitre IX démontre une proposition analogue mais sur le corps de base réel. En effet,contrairement à Arthur, nous utilisons la même méthode pour traiter les problèmes locaux,que le corps de base soit archimédien ou non. Les preuves sont toutefois assez différentes dansles deux cas. En particulier, les questions de K-finitude sont nettement plus compliquées surun corps de base archimédien. Le chapitre X contient l’énoncé de la partie spectrale de laformule des traces et celui de sa stabilisation. Il contient aussi un énoncé de stabilisationde la formule des traces locale tordue. Enfin, comme on l’a dit, il contient l’essentiel desdemonstrations. On y suit dans ses grandes lignes le troisième article d’Arthur [20]. Commeil s’agit de la partie la plus consistante de notre travail, on a choisi de renoncer dans ce cha-pitre à certains formalismes mis au point dans le premier chapitre. Ceux-ci n’auraient faitqu’obscurcir la rédaction et leur rétablissement ne serait qu’un exercice facile. Enfin, on aadjoint un appendice en guise de chapitre XI. Il contient des résultats sur les représentationssupertempérées ainsi qu’une extension au cas tordu des résultats d’Arthur contenus dansson très bel article à Selecta [13]. Cet appendice n’utilise pas les résultats des chapitresprécédents mais, au contraire, est utilisé dans ceux-ci.

A plusieurs reprises, nous énoncerons des résultats comme ”théorèmes à prouver”. Nousles démontrerons bel et bien mais souvent beaucoup plus tard. La raison d’être de ces énoncésà démonstration différée est la méthode de récurrence que nous utilisons. Pour démontrerles résultats pour un espace G̃, nous avons besoin d’utiliser toutes les conséquences de ceux-ci pour des espaces plus petits. On essaiera d’indiquer à chaque fois où se trouvent lesdémonstrations finales des résultats en question.

Enfin, puisque c’est le point qui nous a valu le plus de commentaires, signalons qu’ilreste un ”trou” dans la démonstration. En effet, nous utilisons des résultats sur le lemmefondamental pondéré qui ont été annoncés par Chaudouard et Laumon mais qui n’ont étépubliés par ces auteurs que sous des hypothèses restrictives. A nos yeux, ce problème n’estpas sérieux car il n’y a pas de doute que les méthodes des textes publiés permettent de traiterle cas général. Mais ce ne semble pas être l’opinion générale. En ce qui nous concerne, à notre

5

regret, les lois de notre pays ne nous donnent pas les moyens de contraindre Chaudouard etLaumon à publier la partie manquante de leurs résultats.

La partie ”géométrique” de nos résultats a été exposée au congrès international de Séoul,on peut se référer à [81] pour une présentation condensée.

Les renvois aux différents chapitres sont indiqués par des chiffres romains entre crochets :[VI] pour le chapitre VI par exemple.

Table des matières

I Endoscopie tordue sur un corps local 21I.1 Les définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.1.2 Paires de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.1.3 Eléments semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.1.4 L-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.1.5 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.1.6 Systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.1.7 Espace endoscopique tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.1.8 Correspondance entre classes de conjugaison semi-simples . . . . . . . 29I.1.9 Remarques sur le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . 30I.1.10 Correspondance entre éléments semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . 31I.1.11 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.1.12 L’ensemble G̃ab(F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.1.13 Caractères de G(F ), G0,ab(F ), G0,ab(F )/N

G(Gab(F )) . . . . . . . . . 39I.1.14 Image de la correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

I.2 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42I.2.1 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42I.2.2 Définition du bifacteur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43I.2.3 Bifacteur de transfert et K-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.2.4 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.2.5 Recollement de données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48I.2.6 Action de groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52I.2.7 Une propriété de transformation du facteur de transfert . . . . . . . . 53I.2.8 Le cas F = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.3 Levi et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.3.1 Espaces paraboliques, espaces de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.3.2 Données endoscopiques d’espace de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . 66I.3.3 Données endoscopiques de G̃ associées à une donnée endoscopique d’un

espace de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67I.3.4 Levi de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69I.3.5 K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.3.6 Preuve du lemme 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.4 Stabilité et image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.4.1 Rappels sur la descente d’Harish-Chandra et la transformation de Fourier 79I.4.2 Filtration de I(G̃(F ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80I.4.3 Image de la restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83I.4.4 Conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7

8 TABLE DES MATIÈRES

I.4.5 Conjugaison stable et application N G̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86I.4.6 Description locale des classes de conjugaison stable . . . . . . . . . . . 86I.4.7 Conjugaison stable et K-espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.4.8 Descente d’Harish-Chandra et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.4.9 Conjugaison stable et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91I.4.10 Rappels sur la transformation de Fourier et l’endoscopie . . . . . . . . 94I.4.11 Image du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95I.4.12 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas non-archimédien . . . . . . . 96I.4.13 Preuve de la proposition 4.11 dans le cas réel . . . . . . . . . . . . . . 100I.4.14 Un corollaire de la preuve dans le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . 104I.4.15 Filtration de l’espace SI(G̃(F )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104I.4.16 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105I.4.17 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I.5 Distributions ”géométriques” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115I.5.1 Distributions ”géométriques” dans le cas non-archimédien . . . . . . . 115I.5.2 Distributions ”géométriques” dans le cas archimédien . . . . . . . . . 116I.5.3 Filtration de Dgéom(G̃(F ), ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119I.5.4 Distributions géométriques stables dans le cas non-archimédien . . . . 123I.5.5 Distributions géométriques stables dans le cas archimédien . . . . . . 123I.5.6 Constructions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124I.5.7 Transfert de distributions ”géométriques” . . . . . . . . . . . . . . . . 126I.5.8 Preuve dans le cas non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128I.5.9 Preuve dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130I.5.10 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132I.5.11 Induction et classes de conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . 133I.5.12 Un résultat de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135I.5.13 Induction et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136I.5.14 Suite de la preuve, cas F non-archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . 139I.5.15 Suite de la preuve, cas F archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

I.6 Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143I.6.1 La situation non ramifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143I.6.2 Données endoscopiques non ramifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145I.6.3 Facteur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146I.6.4 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

I.7 Unitarité, conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152I.7.1 Données auxiliaires et unitarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152I.7.2 Unitarité du facteur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153I.7.3 Conjugaison complexe et intégrales orbitales . . . . . . . . . . . . . . . 155I.7.4 Conjugaison des données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 155I.7.5 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157I.7.6 Conjugaison complexe et transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162I.7.7 Formalisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

II énoncés des résultats 165II.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

II.1.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167II.1.2 Définition des intégrales pondérées d’après Arthur . . . . . . . . . . . 168II.1.3 Propriétés des termes ρArt(β, u)β̌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171II.1.4 Définition d’un nouveau terme ρ(β, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173II.1.5 Modification de la définition des intégrales orbitales pondérées . . . . 175

TABLE DES MATIÈRES 9

II.1.6 Définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . 178II.1.7 Propriétés des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . 179II.1.8 Variantes des termes ρ(β, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183II.1.9 Variantes des intégrales orbitales pondérées dans le cas quasi-déployé

à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II.1.10 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . 190

II.1.11 Définition d’un système de fonctions BG̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . 201II.1.12 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . 203II.1.13 Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205II.1.14 Formules de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206II.1.15 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . 225II.1.16 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

II.2 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227II.2.1 Germes de Shalika ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227II.2.2 Germes de Shalika et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228II.2.3 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . 229II.2.4 Définition des germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230II.2.5 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . 231II.2.6 Développement en germes d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes

endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233II.2.7 Une égalité de germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236II.2.8 Relation entre la proposition 2.7 et le théorème 1.16 . . . . . . . . . . 236II.2.9 Relation entre la proposition 2.4 et le théorème 1.10. . . . . . . . . . . 237II.2.10 Premières conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238II.2.11 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238II.2.12 Une formule d’induction, cas endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . 240II.2.13 Une formule d’induction, cas stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

II.3 Développements des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . 240II.3.1 Des espaces associés au couple (G̃, M̃) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.3.2 Un développement des intégrales pondérées ω-équivariantes . . . . . . 243II.3.3 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et fonc-

tion B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246II.3.4 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes et système

de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247II.3.5 Termes d’un développement stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248II.3.6 Quelques formalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249II.3.7 Développement des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . 251II.3.8 Termes d’un développement endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . 254II.3.9 Développement des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . 256II.3.10 Termes ρJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257II.3.11 Termes σJ et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

II.3.12 Termes ρG̃,EJ (M′, δ, a) et induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

II.4 Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261II.4.1 Intégrales orbitales pondérées de la fonction caractéristique d’un es-

pace hyperspécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261II.4.2 L’avatar stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261II.4.3 L’avatar endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263II.4.4 Le lemme fondamental pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264II.4.5 Développement en germes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264


II.4.6 Un espace de germes sous hypothèses sur p . . . . . . . . . . . . . . . 265

II.4.7 Développement des fonctions rG̃M̃

(., K̃) et sG̃M̃

(., K̃) . . . . . . . . . . . 266II.4.8 Preuve du théorème 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

IIIRéductions et preuves 269III.1 Le cas des groupes non tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

III.1.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271III.1.2 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272III.1.3 Germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274III.1.4 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . 275III.1.5 Germes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

III.2 cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277III.2.1 Un lemme sur les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 277III.2.2 Un lemme sur les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278III.2.3 Détordre un triplet (G, G̃,a) quasi-déployé et à torsion intérieure . . . 280III.2.4 Fonctions, intégrales orbitales, représentations . . . . . . . . . . . . . . 281III.2.5 Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286III.2.6 L’application φM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289III.2.7 Intégrales orbitales pondérées équivariantes . . . . . . . . . . . . . . . 291III.2.8 Intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292III.2.9 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . 294

III.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295III.3.1 Définition des homomorphismes de passage . . . . . . . . . . . . . . . 295III.3.2 Les termes ρGJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298III.3.3 Intégrales orbitales pondérées et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . 299III.3.4 Germes de Shalika et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301III.3.5 Revêtement et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302III.3.6 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303III.3.7 Revêtement et germes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

III.4 Germes et descente d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307III.4.1 Formule de descente pour les termes ρG̃J . . . . . . . . . . . . . . . . . 307III.4.2 Descente des germes d’intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . 310III.4.3 Formule de descente pour les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . 310III.4.4 Formule de descente pour les germes des intégrales orbitales pondérées

stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311III.5 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

III.5.1 Descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312III.5.2 Transfert des fonctions et des distributions . . . . . . . . . . . . . . . 314III.5.3 Levi et descente de données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . 316III.5.4 Facteurs de transfert et transfert des distributions . . . . . . . . . . . 319III.5.5 Applications de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

III.6 Triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322III.6.1 Apparition des triplets endoscopiques non standard . . . . . . . . . . . 322III.6.2 Définition de triplets (G, G̃,a) particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 325III.6.3 Mise en place des récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327III.6.4 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328III.6.5 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330III.6.6 Germes de Shalika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331III.6.7 Réduction des propositions 6.5 et 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

III.7 Preuves conditionnelles de deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336


III.7.1 Les termes ρG̃,EJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

III.7.2 Les termes ρG̃,EJ , variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342III.7.3 Les termes σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342III.7.4 Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8 et du théorème

[II] 1.16(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5 et du théorème [II] 1.10 . . . . 346III.7.7 Preuve de la proposition 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

III.8 Descente des germes de Shalika endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . 349III.8.2 Début de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350III.8.3 Calcul de x(s̄, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . 359III.8.6 Preuve de la proposition 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359III.8.7 Preuve de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

IV Transfert spectral archimédien 361IV.1 Théorème de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

IV.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364IV.1.3 Espaces de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard et le théorème 1.4 . . . . . 369IV.1.6 Extension au cas ω 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375IV.2.2 Les espaces Icusp(G̃(R)) et SIcusp(G̃(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 377IV.2.3 Un théorème de Paley-Wiener décrivant l’espace SI(G̃(R)) . . . . . . 380IV.2.4 Un résultat d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380IV.2.5 Un lemme sur les fonctions de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . 382IV.2.6 Fonctions fϕ à support assez régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384IV.2.7 Utilisation de la propriété : une représentation elliptique est super-

tempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386IV.2.8 L’espace Dstspec(G̃(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387IV.2.9 L’espace SI(G̃(R),K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

IV.3 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique . . . . . . . . . . . . . . . 388IV.3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388IV.3.3 Le transfert spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391IV.3.4 Transfert K-fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392IV.3.5 Transfert K-fini, version générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394IV.3.6 Le cas du corps de base C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

V Intégrales orbitales sur le corps réel 395V.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

V.1.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397V.1.2 L’application φM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397V.1.3 Définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . 402


V.1.4 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . 405V.1.5 Preuve du théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409V.1.6 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409V.1.7 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie . . . . . . 410V.1.8 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . 411V.1.9 Une propriété locale des intégrales orbitales ω-équivariantes endosco-

piques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412V.1.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières . . . . . . . . . . . 415V.1.12 Elimination des K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416V.1.13 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . 416

V.2 Un nouvel espace de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417V.2.1 Définition de l’espace Dtr−orb(G̃(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417V.2.2 Premières propriétés de l’espace Dtr−orb(G̃(R), ω) . . . . . . . . . . . 421V.2.3 Un lemme de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422V.2.4 Programme d’extension des définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425V.2.5 Réduction des conditions imposées dans le cas (A) . . . . . . . . . . . 429V.2.6 Réduction des conditions imposées dans le cas (C) . . . . . . . . . . . 432V.2.7 Réduction des conditions imposées dans le cas (B) . . . . . . . . . . . 433

V.3 Extension des définitions, cas des groupes non tordus . . . . . . . . . . . . . . 434V.3.1 Rappel des résultats d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434V.3.2 Réalisation du programme de 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434V.3.3 Passage à un revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435V.3.4 Revêtement et applications ρJ et σJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438V.3.5 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440V.3.6 Un corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

V.4 Extension des définitions, cas quasi-déployé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446V.4.1 Descente et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446V.4.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447V.4.3 Localisation des espaces Dtr−orb(O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448V.4.4 Un résultat d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450V.4.5 Définition des termes ρG̃J et σ

G̃J , premier cas . . . . . . . . . . . . . . . 451

V.4.6 Définition des termes ρG̃J et σG̃J , deuxième cas . . . . . . . . . . . . . 453

V.5 Extension des définitions, cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456V.5.1 Un résultat complémentaire pour l’endoscopie non standard . . . . . . 456V.5.2 Réalisation conditionnelle du programme de 2.4 . . . . . . . . . . . . . 458V.5.3 Preuve de la proposition 5.2, premier cas . . . . . . . . . . . . . . . . 460V.5.4 Comparaison des espaces KG̃ et KG̃J . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461V.5.5 Preuve de la proposition 5.2, deuxième cas . . . . . . . . . . . . . . . 462V.5.6 Preuve du lemme 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466V.5.7 Preuve du lemme 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

V.6 Un résultat d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474V.6.1 Un espace de germes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474V.6.2 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes . . . . . 475V.6.3 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes stables . 477V.6.4 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes associées

aux éléments de Dtr−orb(M̃(R))⊗Mes(M(R))∗ . . . . . . . . . . . . 478V.6.5 Preuve de la proposition 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

V.7 Le cas des groupes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482


VI La partie géométrique de la formule 483VI.1 Les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

VI.1.1 Groupes et espaces tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484VI.1.2 Remarque sur les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487VI.1.3 Mesures sur les espaces AM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488VI.1.4 Formule de descente des (G̃, M̃)-familles . . . . . . . . . . . . . . . . . 489VI.1.5 Caractères pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490VI.1.6 L’application φM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491VI.1.7 Une propriété globale de l’application φM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . 492VI.1.8 Espaces de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493VI.1.9 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494VI.1.10Système de fonctions B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495VI.1.11Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . . . . . . . 496VI.1.12Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497VI.1.13Le cas non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497VI.1.14Intégrales orbitales pondérées invariantes et systèmes de fonctions B . 498VI.1.15Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503VI.1.16K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504VI.1.17K-espaces de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

VI.2 La partie géométrique de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . 509VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante . . . . . 509VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante . . . . . . 510VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple . . . . 512VI.2.4 Développement de la partie géométrique de la formule des traces non

invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516VI.2.5 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516VI.2.6 Variante avec caractère central, suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante . . . . . 525VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante, variante avec

caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526VI.2.9 Variante pour les K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

VI.3 Endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527VI.3.1 Données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527VI.3.2 Plongements de tores et ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528VI.3.3 Données auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531VI.3.4 Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante pour une

donnée endoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . 534VI.3.7 Utilisation du facteur de transfert global, cas particulier . . . . . . . . 543VI.3.8 Une construction auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544VI.3.9 Facteur de transfert global, cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549VI.3.10Adaptation aux K-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

VI.4 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553VI.4.1 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . . . . . . . 553VI.4.2 Formules de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554VI.4.3 Une propriété de support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

VI.4.4 Le système de fonctions BG̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559VI.4.5 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques . . . . . 560


VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes565VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 565VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . 565

VI.5 La formule des traces stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566VI.5.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

VI.5.2 Les distributions SAG̃(V,O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567VI.5.3 Propriétés des distributions SAG̃(V,O) . . . . . . . . . . . . . . . . . 568VI.5.4 Les distributions AG̃,E(V,O, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569VI.5.5 Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569VI.5.6 Un théorème complémentaire concernant l’endoscopie non standard . 570VI.5.7 Réduction du théorème 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572VI.5.8 Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence . . . . . . 575VI.5.9 La formule stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575VI.5.10Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

VI.6 Preuve conditionnelle du théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576VI.6.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576VI.6.2 Au sujet des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577VI.6.3 Combinatoire des sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes de données en-

doscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579VI.6.5 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579VI.6.6 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581VI.6.7 Une première proposition auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584VI.6.10Preuve de la proposition 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588VI.6.11Le théorème 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

VIIDescente globale 611VII.1Coefficients et classes de conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

VII.1.1 Ensemble de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . 614VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 618VII.1.4 Le cas local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . 621VII.1.7 Paramètres et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes de conjugaison stable . . . 625VII.1.9 Distributions associées à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627VII.1.10Distributions stables et endoscopiques associées à un paramètre . . . . 628VII.1.11Formules dans la situation avec caractère central . . . . . . . . . . . . 629VII.1.12Relation avec les distributions associées aux classes de conjugaison

stable locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631VII.2Formules de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré . . . . . . . . . . . . 632VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré . . . . . . . . . . . . . 635VII.2.3 Enoncé des formules de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637VII.2.4 Preuve de la proposition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638VII.2.5 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642


VII.3Enoncés de nouveaux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643VII.3.1 Le théorème d’Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643VII.3.2 Définition d’une autre distribution stable . . . . . . . . . . . . . . . . 644VII.3.3 Enoncé du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645VII.3.4 Le théorème 3.3 implique les théorèmes 3.2, 1.10(ii) et [VI] 5.2 . . . . 646VII.3.5 Le théorème 3.3 implique presque les théorèmes 1.10(i) et [VI] 5.4 . . 647VII.3.6 Le théorème [VI] 5.4 implique le théorème 1.10(i) et étend le théorème

3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648VII.3.7 Quelques cas faciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

VII.4Distributions à support unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649VII.4.1 Mesures de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649VII.4.2 Compatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650VII.4.3 Coefficients et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653VII.4.4 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654VII.4.5 Données endoscopiques et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659VII.4.6 Coefficients stables et revêtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

VII.5Descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663VII.5.1 Une première transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663VII.5.2 Descente des données endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665VII.5.3 La sous-somme attachée à une donnée endoscopique H . . . . . . . . . 668VII.5.4 Propriétés de relevance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668VII.5.5 Les places hors de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670VII.5.6 Une conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672VII.5.7 Facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673VII.5.8 Début du calcul de AG̃,E(V,H, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675VII.5.9 Utilisation du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

VII.6Calculs de facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680VII.6.1 Rappels cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680VII.6.2 Groupes de cohomologie abélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681VII.6.3 Un lemme de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682VII.6.4 Fibres de la descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683VII.6.5 Dualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688VII.6.6 Description d’un annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691VII.6.7 L’ensemble DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693VII.6.8 L’ensemble DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697VII.6.9 Un résultat d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699VII.6.10Comparaison de deux facteurs de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 707

VII.7Le cas où DF [dV ] est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710VII.7.1 Une proposition de nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 . . . . . . . . . . . 711VII.7.3 Mise en place de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711VII.7.4 Une première propriété de nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713VII.7.5 Description de l’ensemble Ẏ?[dV ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722VII.7.8 Un caractère de Q∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732VII.7.10Calcul d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732VII.7.11Calcul de |P 0| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732VII.7.12Un premier calcul de |P 0||U|−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736


VII.7.13Comparaison de deux mesures de Tamagawa . . . . . . . . . . . . . . 739VII.7.14Calcul de d(I?, G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741VII.7.15Preuve de la proposition 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745VII.7.16Calcul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

VII.8Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746VII.8.2 Elimination de la somme en H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes . . . . . . . . . . . 748VII.8.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

VII.9Preuve du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard . . . . . . . . . . . . . . 752VII.9.3 Extension aux Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753VII.9.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

VIIIL’application �M̃ , cas non-archimédien 761VIII.1L’application cθM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

VIII.1.1Définition de fonctions combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762VIII.1.2Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763VIII.1.3L’application cφM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765VIII.1.4Propriétés de l’application cφM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768VIII.1.5Définition de l’application cθM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

VIII.1.6Propriétés de l’application cθG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772VIII.1.7Fonctions de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775VIII.1.8Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776VIII.1.9Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . 778

VIII.2Stabilisation de l’application cθM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779VIII.2.1Fonctions ωS̃ et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779

VIII.2.2Les applications cSθG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780VIII.2.3Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782VIII.2.4Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782VIII.2.5Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . 783

VIII.3L’application endoscopique cθG̃,EM̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783VIII.3.1Définition d’une première application endoscopique . . . . . . . . . . . 783VIII.3.2Action d’un groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784VIII.3.3Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785VIII.3.4Définition de cθG̃,E

M̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

VIII.3.5Commutation à l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786VIII.3.6cθG̃,E

M̃(f) est de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

VIII.3.7Une propriété d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789VIII.3.8Egalité de deux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790VIII.3.9Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . . . . . . . 790

VIII.4Les preuves et l’application �M̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791VIII.4.1Lien entre les intégrales orbitales pondérées stables ou endoscopiques

et leurs variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791VIII.4.2Preuves des propositions 2.2 et 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793


VIII.4.3Preuve conditionnelle des propositions 3.8 et 3.9 . . . . . . . . . . . . 793VIII.4.4L’application �M̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

IX le cas archimédien 799IX.1 Stabilisation d’une famille d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . 801

IX.1.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801IX.1.2 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

IX.1.3 Propriétés des opérateurs δG̃M̃

(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804IX.1.4 Rappels sur l’action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804IX.1.5 Une application d’Harish-Chandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806IX.1.6 Preuve de la proposition 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809IX.1.7 L’opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811IX.1.8 Variante avec caractère central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

IX.2 Endoscopie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816IX.2.1 Version stable des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 816IX.2.2 Propriétés des versions stables des opérateurs différentiels . . . . . . . 819IX.2.3 Variante endoscopique des opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . 821IX.2.4 Propriétés des opérateurs différentiels endoscopiques . . . . . . . . . . 825IX.2.5 Le résultat de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

IX.3 Majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831IX.3.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831IX.3.2 Majoration des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . 832IX.3.3 Majoration des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . 833IX.3.4 Majoration des intégrales orbitales endoscopiques . . . . . . . . . . . . 834

IX.4 Propriétés locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835IX.4.1 Sauts des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . . . . . 835IX.4.2 Sauts des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . . . . . 837IX.4.3 Sauts des intégrales orbitales pondérées endoscopiques . . . . . . . . . 850IX.4.4 Formules d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851IX.4.5 Preuve de la proposition 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

IX.5 Des variantes de l’application φM̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866IX.5.1 Normalisation partielle des opérateurs d’entrelacement . . . . . . . . . 866IX.5.2 Caractères pondérés rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

IX.5.3 L’application φrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870

IX.5.4 Relation entre les applications φG̃M̃

et φrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . 870

IX.5.5 L’application θrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873IX.5.6 Un lemme auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873IX.5.7 Propriétés de l’application θrat,G̃

M̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875

IX.5.8 L’application cφG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

IX.5.9 L’application cθrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880

IX.5.10Propriétés de l’application cθrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

IX.5.11L’application cθG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

IX.5.12Relation entre les applications θrat,G̃M̃

, cθrat,G̃M̃

et cθG̃M̃

. . . . . . . . . . 882IX.5.13Une variante des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes . . . . 884IX.5.14Preuve des propositions 5.9, 5.11 et de l’assertion 5.13(2) . . . . . . . 884

IX.5.15Une propriété de l’espace U G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885


IX.6 Endoscopie et applications θrat,G̃M̃

, cθrat,G̃M̃

, cθG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . 890IX.6.1 Les applications stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

IX.6.2 Propriétés de l’application cSθrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

IX.6.3 Propriétés de l’application Sθrat,G̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891

IX.6.4 Stabilité de l’application σG̃M̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892IX.6.5 Une variante des intégrales orbitales pondérées stables . . . . . . . . . 892IX.6.6 Les applications endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892IX.6.7 Egalité d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894

IX.6.8 Propriétés de l’application θrat,KG̃,EKM̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894

IX.6.9 Egalité des fonctions ρKG̃KM̃

et ρKG̃,EKM̃

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896IX.6.10Variante des intégrales orbitales pondérées elliptiques . . . . . . . . . 896IX.6.11Reformulation des énoncés dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure897

IX.7 Les preuves des assertions de la section 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898IX.7.1 Lien entre les intégrales orbitales pondérées endoscopiques et leurs

variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898IX.7.2 Relation entre les applications θrat,KG̃,E

KM̃, cθrat,KG̃,E

KM̃, cθKG̃,E

KM̃. . . . . . 899

IX.7.3 Preuves des propositions 6.1, 6.5 et du lemme 6.4 . . . . . . . . . . . . 901IX.7.4 Preuve conditionnelle des propositions 6.7 et 6.10 et du lemme 6.9 . . 903IX.7.5 Variante dans le cas quasi-déployé et à torsion intérieure . . . . . . . . 905

IX.8 L’application �M̃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906IX.8.1 Un lemme élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906IX.8.2 Définition locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907IX.8.3 Définition globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910IX.8.4 Retour sur la formule des traces locale symétrique . . . . . . . . . . . 911IX.8.5 Stabilisation de la formule précédente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916IX.8.6 Version endoscopique de la proposition 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 919IX.8.7 Expression de �KM̃ (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921IX.8.8 Description des fonctions ξKR̃,σ̃,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925IX.8.9 K-finitude, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

X Stabilisation spectrale 933X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933X.2 Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues . . . . . . . . . . . . . . 936

X.3.1 Le côté géométrique de la formule des traces locales . . . . . . . . . . 936X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces locales et

stabilisation des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . 938X.3.3 Le côté spectral de la formule des traces locales et sa stabilisation . . 941X.3.4 Elimination de certaines conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . 948X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres . . . . . 953X.3.7 Une réduction étonnament simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954X.3.8 Le cas des tores déployés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955X.3.9 Fin des réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

X.4 Les caractères pondérés et leur stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation . . . . . . 957X.4.2 Caractères pondérés invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964X.4.3 Le cas de la torsion intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968


X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971X.4.5 La stabilisation géométrique et la stabilisation spectrale . . . . . . . . 974X.4.6 Caractères pondérés semi-globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975X.4.7 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème d’annulation977X.4.8 Caractères pondérés semi-globaux et endoscopie, théorème de transfert 978X.4.9 Caractères pondérés globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978

X.5 Le côté spectral de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981X.5.1 Rappel des termes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981X.5.2 Rappel des termes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983X.5.3 Représentations semi-finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984X.5.4 Autres définitions des représentations semi-finies . . . . . . . . . . . . 985X.5.5 Représentation semi-finie et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988X.5.6 Enoncé du lemme fondamental tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990X.5.7 Transfert d’une représentation semi-finie stable . . . . . . . . . . . . . 990X.5.8 La variante stable de la partie discrète de la formule des traces . . . . 991X.5.9 Enoncé de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992X.5.10 L’hypothèse spectrale de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993X.5.11 Réduction de la stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

X.6 Digression, automorphismes de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994X.6.1 Action du groupe adjoint ou de son analogue dans le cas tordu . . . . 994X.6.2 Fonction caractéristique du compact et action du groupe adjoint . . . 996X.6.3 Action globale du groupe adjoint et de son analogue dans le cas tordu 997

X.7 Fin de la stabilisation locale géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998X.7.1 Mise en place des objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998X.7.2 Stabilisation de la formule des traces pour certaines fonctions . . . . . 1001X.7.3 Propriété de convergence absolue pour la formule des traces . . . . . 1003X.7.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005X.7.5 Propriétés de finitude du nombre de certaines données endoscopiques . 1006X.7.6 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007X.7.7 Preuve de la stabilisation géométrique locale . . . . . . . . . . . . . . 1008

X.8 Stabilisation de la formule des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011X.8.1 Stabilisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011X.8.2 Une décomposition parfois plus fine de l’égalité de stabilisation . . . . 1013X.8.3 Un exemple, le cas de GL(n) tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014X.8.4 Une remarque sur la finitude de πdisc,ν(c

V ) et son calcul pour lesgroupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015

X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence, récapitulatif . . . 1016X.8.6 Stabilisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale . . . . . . . . . . . . . . . 1017

X.9 Preuve de 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

XI Appendice 1023XI.1 Quelques définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024

XI.2.1 Rappel des définitions de [80] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024XI.2.2 La théorie du R-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . 1025XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non archimédien . . . . . . 1026XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet . . . . . . . . . . 1027XI.2.6 Le calcul en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028


XI.2.7 Le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien . . . . . . . . 1030XI.2.9 Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031XI.2.10Preuve du théorème de XI.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033XI.2.11Transfert de représentations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034XI.2.12Preuve du corollaire dans le cas archimédien . . . . . . . . . . . . . . 1034

XI.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035XI.3.1 Décomposition des représentations stables de G̃ . . . . . . . . . . . . . 1036

XI.4 Représentations elliptiques comme transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques . . . . . . . . 1038XI.4.2 Globalisation et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . 1039XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations ellip-

tiques et fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045XI.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

XI.5.1 Prolongement des formules de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction . . . . . 1046

XI.6 Transfert et ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047XI.7 Calculs cohomologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables modulo le centre . 1049XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable . . . . . . . . . . . . . 1049

XI.8 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052XI.8.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052XI.8.2 Rappel des globalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053XI.8.3 Globalisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053XI.8.4 Début de la preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054XI.8.5 Preuve du lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055

XI.9 La formule des traces simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056XI.10La formule des traces simple avec caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

Chapitre I

Endoscopie tordue sur un corpslocal

Introduction

Dans ce chapitre, on présente les définitions et propriétés de base de la théorie de l’endo-scopie tordue sur un corps local de caractéristique nulle, du côté ”géométrique”, c’est-à-diredu côté des intégrales orbitales.

Ainsi, ce chapitre ne contient guère de résultats originaux. Il reprend largement les tra-vaux fondamentaux de Kottwitz-Shelstad, Labesse et Shelstad sur la question. On a toutefoismodifié sur certains points la présentation de ces auteurs. Donnons un peu plus de détails. Lapremière section donne les définitions de base des espaces tordus et de leurs données endo-scopiques. Les espaces tordus ont été introduits par Labesse et remplacent, avantageusementnous semble-t-il, les couples formés d’un groupe connexe et d’un automorphisme de celui-ci.Notons que, dans le cadre le plus général, on doit aussi associer aux données endoscopiquesdes espaces tordus. On en donne en 1.7 une définition parfaitement canonique, ce qui estl’un des points nouveaux de notre présentation. Un autre point nouveau est que l’on a faitdisparâıtre le traditionnel groupe quasi-déployé G∗. A notre avis, ce groupe est mal adaptéà l’endoscopie tordue, parce qu’il n’y a pas d’espace tordu G̃∗. Plus exactement, on peutdéfinir un tel espace tordu, mais il n’y a pas de correspondance canonique entre les classesde conjugaison stable dans l’espace de départ G̃ et les classes de conjugaison stable dans cetespace G̃∗. Pour étudier la correspondance entre classes de conjugaison stable dans G̃ et dansun espace endoscopique G̃′, correspondance qui est parfaitement canonique et équivariantepour les actions galoisiennes, ce n’est pas un bon point de départ de la décomposer en deuxcorrespondances entre G̃ et G̃∗ d’une part, entre G̃∗ et G̃′ d’autre part, qui ne sont ni ca-noniques, ni équivariantes pour les actions galoisiennes. En fait, le groupe G∗ sert rarement.Ce qui sert, c’est son tore maximal T ∗. Mais ce tore se récupère facilement en utilisant laméthode qu’on a apprise de Deligne : c’est le tore maximal de G muni de son action galoi-sienne canonique, cf. 1.2. Dans la section 2, on récrit la définition des facteurs de transfertd’après Kottwitz et Shelstad, puis celle du transfert des intégrales orbitales. Une donnéeendoscopique G′ = (G′,G′, s̃) étant fixée, pour définir ce transfert d’intégrales orbitales, ondoit fixer des données auxiliaires, en particulier un groupe G′1 au-dessus de G

′, et un facteurde transfert pour ces données. Malheureusement, la stabilisation de la formule des tracestordue nécessite de pouvoir changer de données auxiliaires. La raison en est que si M̃ est unespace de Levi de G̃ et M′ est une donnée endoscopique de M̃ , M′ peut apparâıtre comme”donnée de Levi” de plusieurs données endoscopiques de G̃ et qu’on ne peut pas assurer que

21

22 CHAPITRE I. ENDOSCOPIE TORDUE SUR UN CORPS LOCAL

les restrictions à M′ des données auxiliaires affectées à ces diverses données cöıncident. Ilconvient donc de savoir ce qui se passe quand on change de données auxiliaires. Il s’avèreque les objets construits à l’aide de deux séries de données auxiliaires sont canoniquementisomorphes. Mais alors, il est aussi simple d’éliminer formellement les données auxiliaires enremplaçant ces objets par leur limite inductive (par ces isomorphismes canoniques) sur toutesles données auxiliaires possibles. C’est ce que l’on fait en 2.5. Cette présentation permet en-suite de définir naturellement sur ces objets une action du groupe d’automorphismes de ladonnée endoscopique G′, cf. 2.6. Cette action est assez subtile car, dans la situation tordue,ce groupe d’automorphismes contient un sous-groupe qui agit trivialement sur le groupe G′.Mais il agit sur l’espace des fonctions sur ce groupe par multiplication par des caractères.La section 3 compare les données endoscopiques d’espaces de Levi avec les Levi de donnéesendoscopiques. La section 4 décrit exactement l’image du transfert des intégrales orbitales.La section 5 introduit ce que l’on appelle les distributions ω-équivariantes ”géométriques”,qui sont celles dont le support est réduit à une réunion finie de classes de conjugaison. On adualement un transfert entre de telles distributions et on détermine son noyau. On examineaussi le comportement de ces distributions par descente d’Harish-Chandra. Signalons que,dans le cas d’un corps archimédien, les résultats des sections 4 et 5 reposent essentiellementsur ceux de Renard et Shelstad.

Dans la section 6, on traite le cas ”non ramifié”, où l’on peut définir des facteurs detransfert canoniques, modulo le choix ”d’espaces hyperspéciaux”.

Dans la section 7, on suppose que le caractère ω (qui fait partie des données) est uni-taire. On montre qu’alors, les facteurs de transfert, quand ils existent, peuvent être choisisunitaires. On étudie aussi ce qui se passe quand on remplace le caractère ω par ω−1. Lesdonnées endoscopiques sont échangées par une construction simple utilisant les automor-phismes ”antipodes”, que l’on reprend d’Arthur (cf. [20] paragraphe 6).

I.1 Les définitions de base

I.1.1 Groupes et espaces tordus

Soit F un corps de caractéristique nulle, dont on fixe une clôture algébrique F̄ . PosonsΓF = Gal(F̄ /F ). Soit G un groupe algébrique défini sur F , réductif et connexe. On l’identifieau groupe de ses points sur F̄ . Le groupe ΓF agit sur G. Pour σ ∈ ΓF , on note encore σ sonaction sur G, ou σG s’il semble bon de préciser. Pour g ∈ G, on note adg l’automorphismeintérieur x 7→ gxg−1 de G. On note Z(G) le centre de G et AG le plus grand sous-tore de Z(G)qui soit déployé sur F (remarquons que AG dépend du corps F ). On pose AG = X∗(AG)⊗ZR,avec la notation X∗ usuelle. On note GAD le groupe adjoint de G et GSC le revêtementsimplement connexe du groupe dérivé de G. On notera souvent de la même façon un élément,ou un sous-ensemble, de GSC et son image dans G. Néanmoins, si besoin est, on noteraπ : GSC → G l’homomorphisme naturel. Si X est un sous-ensemble de G, on note Xad sonimage dans GAD et Xsc l’image réciproque de Xad dans GSC (ce qui n’est pas forcémentl’image réciproque de X). On aura tendance à noter de la même façon deux objets qui sedéduisent l’un de l’autre par fonctorialité. Par exemple, pour g ∈ G, on note encore adg lesautomorphismes de GAD ou de GSC qui se déduisent de l’automorphisme adg de G.

Soit G̃ un espace tordu sous G. C’est une variété algébrique sur F . Le groupe G agit àdroite et à gauche sur G̃ et, pour chaque action, G̃ est un espace principal homogène sousG. Il y a une application γ 7→ adγ de G̃ dans le groupe des automorphismes de G telle queγg = adγ(g)γ pour tout g ∈ G. On a l’égalité adgγg′ = adg ◦adγ ◦adg′ pour tous g, g′ ∈ G etγ ∈ G̃. Les actions et applications ci-dessus sont toutes algébriques et définies sur F . Pour

I.1. LES DÉFINITIONS DE BASE 23

γ ∈ G̃, on note ZG(γ) son commutant dans G (c’est-à-dire l’ensemble des points fixes de adγ).On note Gγ = ZG(γ)

0 la composante neutre de ce groupe. L’image de adγ dans le groupedes automorphismes extérieurs de G ne dépend pas de γ. D’autre part, l’automorphisme adγdéfinit par fonctorialité des automorphismes de divers objets. Quand ils ne dépendent pasde γ (ou même de γ dans un sous-ensemble indiqué), on note ces automorphismes θ. Ainsi,il y a un automorphisme θ du centre Z(G). On note AG̃ le plus grand tore déployé sur Fcontenu dans Z(G)θ. On pose AG̃ = X∗(AG̃)⊗ R.

On dira que G̃ est à torsion intérieure si, pour γ ∈ G̃, l’automorphisme adγ de G estintérieur. En fixant γ et en le multipliant par un élément convenable de G, on obtient unélément tel que adγ soit l’identité. Alors l’application gγ 7→ g identifie G̃ à G muni de sesactions par multiplication à droite et à gauche. Mais cet isomorphisme n’est en général définique sur F̄ , car on ne peut pas toujours trouver de γ comme ci-dessus qui appartienne à G̃(F ).

Exemple. On fixe un entier n ≥ 1 et un élément d ∈ F×. On prend G = SL(n) etG̃ = {g ∈ GL(n); det(g) = d}. Cet espace tordu est trivial sur F si et seulement si dappartient au groupe F×,n des puissances n-ièmes dans F×.

I.1.2 Paires de Borel

On appelle paire de Borel de G un couple (B, T ) formé d’un sous-groupe de Borel B etd’un sous-tore maximal T de B. On ne suppose pas que B ou T soient définis sur F . Onappelle paire de Borel épinglée un triplet E = (B, T, (Eα)α∈∆) où (B, T ) est une paire deBorel et (Eα)α∈∆ est un épinglage relatif à cette paire. C’est-à-dire que ∆ est l’ensemble desracines simples de T agissant dans l’algèbre de Lie u du radical unipotent de B et, pour toutα ∈ ∆, Eα est un élément non nul de la droite radicielle uα ⊂ u associée à α. Pour deuxpaires de Borel épinglées E = (B, T, (Eα)α∈∆) et E ′ = (B′, T ′, (E′α′)α′∈∆′), il existe g ∈ GSCtel que adg transporte E sur E ′. Cet élément g n’est pas unique mais sa classe gZ(GSC)l’est. Les restrictions de adg à B et T sont uniquement déterminées. Cela autorise à définirla paire de Borel épinglée E∗ = (B∗, T ∗, (E∗α)α∈∆) comme la limite inductive de toutes lespaires de Borel épinglées, les applications de transition étant celles ci-dessus. Par un mêmeprocédé de limite inductive, on définit l’ensemble Σ des racines de T ∗ dans l’algèbre de Liede G, l’ensemble Σ̌ des coracines et le groupe de Weyl W . Pour une paire de Borel épingléeE , ces ensembles s’identifient évidemment aux mêmes ensembles relatifs à cette paire.

Le groupe ΓF agit naturellement sur l’ensemble des paires de Borel ou des paires de Borelépinglées. On en déduit une action de ΓF sur E∗, notée σ 7→ σG∗ . Pour n’importe quelle pairede Borel épinglée E , σG∗ est la composée des isomorphismes

E∗ ' E σG→ σG(E) ' E∗.

On en déduit une action de ΓF sur ∆, Σ, Σ̌ et W .Pour une paire de Borel épinglée E et pour σ ∈ ΓF , choisissons uE(σ) ∈ GSC tel que

aduE(σ) ◦ σG(E) = E . Alors l’isomorphisme de E sur E∗ transporte l’action σ 7→ aduE(σ) ◦ σGsur σ 7→ σG∗ . L’application σ 7→ uE(σ)ad est un cocycle à valeurs dans GAD dont la classene dépend pas de la paire E . On dit qu’une paire de Borel ou une paire de Borel épingléeest définie sur F si et seulement si elle est fixe par l’action naturelle σ 7→ σG. Dans le casd’une paire de Borel épinglée E , cela revient à dire que l’on peut choisir uE(σ) = 1 pour toutσ (mais, bien sûr, σG peut agir sur ∆ par une permutation non triviale). Dans ce cas, onpeut identifier E∗ à E et l’action σ 7→ σG∗ à l’action naturelle σ 7→ σG. On dit que G estquasi-déployé si et seulement s’il existe une paire de Borel épinglée définie sur F (il suffitd’ailleurs qu’il existe une paire de Borel tout court définie sur F ).

24 CHAPITRE I. ENDOSCOPIE TORDUE SUR UN CORPS LOCAL

Pour toute paire de Borel épinglée E , notons Z(G̃, E) l’ensemble des e ∈ G̃ tels que adeconserve E . C’est un espace principal homogène sous Z(G), à droite comme à gauche. NotonsZ(G̃, E) le quotient de Z(G̃, E) par l’action par conjugaison de Z(G). Alors Z(G̃, E) est unespace principal homogène, à droite comme à gauche, sous Z(G) := Z(G)/(1−θ)(Z(G)) (onnote 1 − θ l’homomorphisme z 7→ zθ(z)−1). Si E ′ est une autre paire de Borel épinglée, onchoisit comme ci-dessus g ∈ G tel que adg(E) = E ′. Alors adg : Z(G̃, E) → Z(G̃, E ′) est unisomorphisme. Il n’est pas uniquement défini car g n’est pas unique. Mais, par passage auxquotients, adg définit un isomorphisme de Z(G̃, E) sur Z(G̃, E ′) qui est uniquement défini. Onnote Z(G̃) la limite inductive des Z(G̃, E) sur les paires de Borel épinglées, les applicationsde transition étant les isomorphismes canoniques que l’on vient de définir. Alors Z(G̃) est unespace tordu sous le groupe Z(G). On définit une action σ 7→ σG∗ de ΓF sur Z(G̃) commeon a défini l’action sur E∗. On voit que Z(G̃) est un espace tordu sous Z(G), défini sur F .Remarquons que Z(G̃)(F ) peut être vide.

Soit E = (B, T, (Eα)α∈∆) une paire de Borel épinglée. Pour e ∈ Z(G̃, E), l’automorphismeade de G ne dépend pas du choix de e. On le note θE ou simplement θ. Remarquons que,si γ ∈ G̃ est tel que adγ conserve seulement (B, T ), la restriction de adγ à T cöıncide aveccelle de θ. Par restriction puis passage à la limite, on obtient un automorphisme de E∗ quel’on note θ∗. Il commute à l’action galoisienne sur E∗. Rappelons deux propriétés crucialesdu sous-groupe W θ

∗(avec la notation usuelle : c’est le sous-groupe des points fixes de θ∗

agissant dans W ) :(1) un élément ω ∈W appartient à W θ∗ si et seulement s’il conserve (T ∗)θ∗ ou (T ∗)θ∗,0 ;(2) pour E et e ∈ Z(G̃, E) comme ci-dessus, W θ∗ s’identifie au groupe de Weyl de Ge

relatif à son sous-tore maximal T θ,0.

I.1.3 Eléments semi-simples

Un élément γ ∈ G̃ est dit semi-simple si et seulement s’il existe une paire de Borel de Gqui est conservée par adγ (la terminologie plus correcte est ”quasi-semi-simple” ; en vertu del’hypothèse ”θ∗ est d’ordre fini” que l’on imposera dès 1.5, on peut aussi bien abandonnerle ”quasi”). Supposons γ semi-simple. On dit qu’il est fortement régulier si et seulementsi ZG(γ) est abélien et la composante neutre Gγ est un tore. On note G̃ss l’ensemble des

éléments semi-simples et G̃reg l’ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers.

Soient E = (B, T, (Eα)α∈∆) une paire de Borel épinglée et γ ∈ G̃ tel que adγ conserve(B, T ). On pose θ = θE . On a

(1) pour tout e ∈ Z(G̃, E), il existe t ∈ T tel que γ = te ;(2) une paire de Borel (B′, T ′) de G est conservée par adγ si et seulement s’il existe

ω ∈W θ et x ∈ Gγ tels que (B′, T ′) = adx ◦ ω(B, T ).Preuve. Il existe t ∈ G tel que γ = te. Puisque adγ et ade conservent (B, T ), adt aussi

donc t appartient à T . Pour ω ∈ W θ, on relève ω grâce à 1.2(2) en un élément n ∈ Ge quinormalise T θ,0, donc aussi son commutant T . La paire ω(B, T ) = adn(B, T ) est conservéepar ade. Elle l’est aussi par t ∈ T = adn(T ), donc elle est conservée par adγ . Pour x ∈ Gγ , lapaire adx◦ω(B, T ) l’est aussi. Inversement, soit (B′, T ′) une paire conservée par adγ . D’après[48] théorème 1.1.A, le couple (B′ ∩Gγ , T ′ ∩Gγ) est une paire de Borel de Gγ . Il existe doncx ∈ Gγ tel que l’image de cette paire par adx ait pour tore maximal T θ,0. Quitte à remplacer(B′, T ′) par adx(B

′, T ′), on peut supposer T ′ = T . Cette paire est alors conservée par adt,donc aussi par ade. Par le même argument, le couple (B

′ ∩Ge, T θ,0) est une paire de Borelde Ge. Grâce à 1.2(2), il existe ω ∈ W θ tel que (B′ ∩Ge, T θ,0) se déduise de (B ∩Ge, T θ,0)par l’action de ω. Autrement dit, (B′, T ) et (ω(B), T ) ont même intersection avec Ge. Or,parce que ade conserve un épinglage, cette opération d’intersection avec Ge est une bijection

I.1. LES DÉFINITIONS DE BASE 25

entre les paires de Borel de G conservées par ade et les paires de Borel de Ge, cf. [48] p.14.Donc (B′, T ) = (ω(B), T ). �

Notons p : T → T/(1 − θ)(T ) l’homomorphisme naturel. Le groupe W θ agit sur sur lequotient T/(1 − θ)(T ). Supposons T défini sur F et γ ∈ G̃(F ). Alors θ est défini sur F .Ecrivons γ = te comme en (1). Pour tout σ ∈ ΓF , on introduit un élément uE(σ) ∈

Stabilisation de la formule des traces torduewebusers.imj-prg.fr/~colette.moeglin/global.pdf2 La...

Documents

Transcript of Stabilisation de la formule des traces torduewebusers.imj-prg.fr/~colette.moeglin/global.pdf2 La...