– Cned, Mathématiques 3e 50

SÉQUENCE 3

LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE Séance 1 Je découvre la nouvelle propriété de Thalès Séance 2 J’applique la propriété de Thalès Séance 3 Je résous un problème Séance 4 J’étudie la hauteur d’une barrière

Séance 5 Je découvre la réciproque de la propriété de Thalès

Séance 6 Je démontre que des droites sont ou ne sont pas parallèles Séance 7 J’effectue des exercices de synthèse Séance 8 J’effectue des exercices de synthèse –suite– Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse –fin–

OBJECTIFS • Savoir appliquer la propriété de Thalès et sa

réciproque

• Etre capable de lier cette propriété à des

agrandissements ou à des réductions

Cned, Mathématiques 3e – 51

Séquence 3

Séance 1 Je découvre la nouvelle propriété de Thalès

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°3. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e

Les quatre questions sont liées les unes aux autres 1-

(MN) // (BC)

Quelles sont les données qui permettent

d’appliquer la propriété de Thalès dans le triangle

ABC ?

� C ∈ [AN)

� N ∈ [AC)

� (MN) // (BC)

� M ∈ [AB)

2- L’application de la propriété de Thalès permet d’affirmer que :

� Les longueurs des côtés correspondants des

triangles AMN et ABC sont proportionnelles.

� Le triangle ABC est un agrandissement du

triangle AMN.

� Le tableau :

est un tableau de proportionnalité.

AM AN MN AB AC BC

3- L’application de la propriété de Thalès permet également d’affirmer que :

� AM AB MB

AN AC NC= =

� AM AN MN

AB AC BC= =

� MN NC MN

AB AC BC= =

� AB NC BC

AN AM MN= =

4- On sait de plus que : MN = 6 cm BC = 9 cm

AN = 5 cm AB = 7,5 cm.

On a :

� AM = 5 cm et AC = 7,5 cm.

� AM = 7,2 cm et AC = 7,5 cm.

� AM = 7,2 cm et AC = 10

3 cm.

� On ne peut pas répondre.

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris : « SÉQUENCE 3 : LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE ». Effectue l’exercice suivant dans ton livret. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les commentaires du professeur ».

– Cned, Mathématiques 3e 52

Séquence 3

����EXERCICE 1 C est un point de [AB].

On a : AC = 6 cm et BC = 4 cm.

Les cercles C 1 et C 2 sont des cercles de diamètres respectifs [AC] et [BC].

M est un point de C 1 et N est un point de C 2 tels que : M, C et N sont alignés.

Problème : les longueurs AM et BN sont-elles proportionnelles ?

1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes. Aide : Quels sont les moyens permettant de déterminer si deux quantités sont proportionnelles ?

2- a) Construis une figure et place quelques points M. Pour chaque point M, mesure les longueurs AM et

BN. Reporte ces données dans un tableau comme celui-ci-dessous.

AM ….. ….. ….. …..

BN ….. ….. ….. …..

b) Que peux-tu dire de ce tableau ?

c) Représente sur le graphique ci-dessous la grandeur AM en fonction de AN.

Aide : il suffit d’utiliser les données qui sont dans le tableau.

Que remarques-tu ? Pourquoi ?

3- Construis la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Fais mesurer les longueurs AM et BN.

Fais calculer le quotient AM

BN.

Pour calculer le quotient AM

BN, j’ai fait mesurer les longueurs des segments

[AM] et [BN]. Ensuite, j’ai écrit dans le champs de saisie : « rapport = distanceAM/distanceBN »

Je peux maintenant lire le nombre rapport dans le volet « algèbre » qui se trouve à gauche de l’écran.

Cned, Mathématiques 3e – 53

Séquence 3

Aide : Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre la figure sequence3exercice1 à l’aide de geogebra.

Déplace le point M. Que remarques-tu ?

4- a) Ouvre la figure sequence3exercice1 à l’aide de geogebra et trace les droites (AM) et (BN). Déplace

le point M. Que remarques-tu ?

Emets une conjecture concernant la position relative des droites (AM) et (BN) puis démontre-la.

b) La situation est-elle une situation de Thalès ? Pourquoi ?

c) Construis :

● le symétrique A’ du point A par rapport à C,

● le symétrique M’ du point M par rapport à C.

Démontre que :

● l’on peut appliquer la propriété de Thalès dans le triangle CA’M’

● les longueurs AM et BN sont proportionnelles.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.

– Cned, Mathématiques 3e 54

Séquence 3

Séance 2 J’applique la propriété de Thalès

Ouvre le fichier d’Andry suivant : sequence3Thales à l’aide de Geogebra. Déplace le point M sur la droite (AB) puis le point N sur la droite (AC), et remarque que les quotients indiqués ne changent pas. N’oublie pas de déplacer M « de l’autre côté du point A » ! Cette nouvelle propriété de Thalès « généralise » la propriété de Thalès que tu

connais depuis la 4ème car elle est vraie pour un point M de (AB) et un point N de (AC), au lieu des demi-droites [AB) et [AC). Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.

JE RETIENS Propriété de Thalès : Dans les triangles AMN et ABC,

Si : ● M ∈ (AB) ● N ∈ (AC) ● (MN) // (BC)

situation 1 situation 2 (dite « situation en papillon »)

alors : les longueurs des côtés correspondants des triangles AMN et ABC sont proportionnelles.

Autrement dit : = =AM AN MN

AB AC BC

Idée de la démonstration : On se ramène à la propriété de Thalès vue en 4ème à l’aide d’une symétrie centrale.

Démonstration : Soit M’ le symétrique de M par rapport à A et N’ le symétrique de

N par rapport à A.

● Le symétrique d’une droite par une symétrie centrale est

une droite parallèle, donc : (N’M’) // (NM).

Comme on sait que : (MN) // (BC), on a donc : (N’M’) // (BC).

● D’après la propriété de Thalès de 4ème

, on sait que :

AM' AN ' M'N '

AB AC BC= =

● La symétrie centrale conserve les longueurs donc :

AM’ = AM AN’ = AN M’N’ = MN

On a donc : AM AN MN

AB AC BC= = .

Cned, Mathématiques 3e – 55

Séquence 3

Effectue les quatre exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

EXERCICE 2 On a :

AM = 4,5 cm AB = 6 cm

AC = 7 cm BC = 8 cm

(MN) // (BC).

Calcule, en cm, les longueurs MN et AN.

EXERCICE 3 On a : (JK) // (LM).

IL= 4 cm IM = 5 cm

IK = 5 cm JK = 7 cm.

Calcule, en cm, les longueurs LM et IJ.

EXERCICE 4 1- Construis un triangle TIC tel que TI = 3 cm, IC = 6 cm et CT = 4 cm. Place sur [TI) le point O tel que TO = 7 cm. La parallèle à (IC) passant par O coupe (CT) en S.

2- Calcule, en cm, les valeurs exactes de TS, CS et OS.

EXERCICE 5 Soit deux segments [AB] et [CD] sécants en O.

On a : AB = 9 cm OD = 6 cm OA = 2 cm AC = 4 cm (AC)//(DB).

Calcule, en cm, les valeurs exactes de OC, CD et de DB.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°5. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

A, M et B sont alignés ainsi que A, N et C.

K, I et L sont alignés ainsi que M, I et J.

– Cned, Mathématiques 3e 56

Séquence 3

Séance 3 Je résous un problème

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��������EXERCICE 6

ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD].

AB = 4 cm, BC = 6 cm, CD = 2 cm, (BC)⊥ (AB) et (BC)⊥ (CD).

M est un point de [BC] tel que BM = x. Problème : Déterminer où se trouve le point M tel que AM + DM soit minimum.

Rappel : un trapèze rectangle est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles (appelés les bases), et deux angles droits.

1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes.

2- Construis une figure puis fais des tests pour différentes positions du point M sur le segment [BC]. Aide : tu peux par exemple remplir un tableau comme celui-qui suit.

BM ….. ….. ….. …..

AM ….. ….. ….. …..

MD ….. ….. ….. …..

AM + MD ….. ….. ….. …..

3- Construis le trapèze à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Fais mesurer la longueur BM, puis la longueur AM, et enfin fais afficher le nombre AM + MD.

De quelle façon faire calculer le nombre AM + MD ? Lis la méthode d’Aurélie ci-dessous.

Je commence par faire mesurer la longueur AM. Elle s’appelle « distanceAM » dans

le volet algèbre (qui se trouve à gauche). Je fais ensuite mesurer MD. Cette

longueur s’appelle « distanceMD » dans le volet algèbre.

Pour faire calculer AM + MD, je peux écrire :

« somme = distance AM + distance MD »

Déplace ensuite le point M sur le segment [BC] et essaie d’émettre une conjecture.

Aide : Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique, ouvre le fichier sequence3exercice6 à

l’aide de geogebra.

Cned, Mathématiques 3e – 57

Séquence 3

4- a) Construis le symétrique D’ de D par rapport à (BC).

Tu effectueras cette construction sur une figure sur papier déjà construite, où à l’aide du logiciel de géométrie dynamique.

b) Prouve que : MD’ = MD puis déduis-en l’égalité : AM + MD = AM + MD’

c) Où doit-on placer le point M pour que AM + MD’ donc AM + MD soit minimale ?

5- Nous avons trouvé la position du point M pour laquelle AM + MD est minimale grâce à un raisonnement purement géométrique. Posons : BM = x. Nous allons maintenant calculer x lorsque AM + MD est minimale.

a) Fais une nouvelle figure sur du papier à petit carreaux en plaçant le point M de telle sorte que

AM + MD soit minimale. Quelle semble être la valeur de x ?

b) Détermine la valeur de x pour laquelle AM + MD est minimale.

Aide : essaie de voir une configuration de Thalès. Si tu n’y arrives pas, ouvre la figure dynamique sequence3exercice6question5

c) Contrôle ta réponse à l’aide de la figure dynamique.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°6. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.

– Cned, Mathématiques 3e 58

Séquence 3

Séance 4 J’étudie la hauteur d’une barrière

Prends ton cahier d’exercices puis effectue l’exercice suivant. ��������EXERCICE 7 Un chemin, bordé par deux murs [AB] et [CD], de hauteurs a et b, est barré par deux chevrons (planche de bois) [BC] et [AD].

Ces deux chevrons se coupent en O. On appelle h la hauteur OI.

Problème : la longueur h dépend-t-elle de la longueur AB ? de la longueur DC ? de la longueur AC ? a ≠ 0 b ≠ 0 1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème ci-dessus. Essaie d’utiliser tous les moyens : figures, géométrie dynamique (pour essayer d’émettre des conjectures), démonstrations pour essayer

de prouver ces conjectures.

2- a) Construis une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

J’ai réussi à construire la figure dynamique en plaçant le point A de coordonnées (0 ; 0), le point C sur l’axe des abscisses, et en traçant des perpendiculaires à la droite (AC) en A et en C.

Si tu n’arrives pas à la construire, ouvre le fichier sequence3exercice7 à l’aide de geogebra.

b)

● Déplace le point B puis le point D. Est-ce que h dépend de a et de b ? ● Déplace le point C. Est-ce que h semble dépendre de la distance AC ?

3- a) En utilisant la propriété de Thalès respectivement dans les triangles CAB et CIO puis dans les

triangles ACD et AIO, démontre que h dépend uniquement de a et de b.

Aide : démontre que h h

a b+ = 1.

Tu commenceras par exprimer h

aen fonction de CI et de CA, puis

h

b en fonction de AI et de AC).

b) Contrôle que : h h

a b+ = 1 à l’aide du logiciel de géométrie dynamique.

Si la distance AB est mesurée par distanceAB, la distance CD est mesurée par

distanceCD et la distance OI est mesurée par distanceOI, j’écris pour calculer

h h

a b+ dans le champ de saisie :

« calc = distanceOI/ distanceAB + distanceOI/ distanceCD ». 4- a) Calcule la valeur de h pour : a = 2 m et : b = 3 m. b) Quelle doit être la valeur de b pour que : a = 7 m et : h = 5 m ?

Cned, Mathématiques 3e – 59

Séquence 3

����EXERCICE 8 On cherche à savoir si les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

1- Prouve que : CA CB

CE CD≠

2- Si on avait : (AB) // (D ), démontre qu’alors on

aurait : CA CB

CE CD= .

Déduis-en que les droites (AB) et (D ) ne sont pas parallèles.

Nous venons de voir dans l’exercice précédent que la propriété de Thalès pouvait permettre dans

certains cas de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°7. Effectue ensuite la

série 3 de cette fiche.

Séance 5

Je découvre la réciproque de la propriété de Thalès

Prends ton cahier d’exercices puis effectue l’exercice suivant.

����EXERCICE 9

Deux cercles C et C ’ de rayons respectifs r et r’ ont le même centre O.

Deux droites d et d’ passant par O coupent respectivement C

en A et B et C ’ en C et D.

Problème : déterminer la position relative de (AC) et de (BD).

1- Lis attentivement le problème ci-dessus et essaie de le résoudre pendant 10 minutes.

2- Construis une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et émets une conjecture

concernant la position relative de (AC) et de (BD).

Aide : si tu n’arrives pas à construire la figure, ouvre le fichier sequence3exercice9 à l’aide de

geogebra.

3- Que peux-tu dire des segments [AB] et [CD] ? Déduis-en que les droites (AC) et (BD) sont

parallèles.

Aide de Pauline :

Pense à une propriété qui caractérise un parallélogramme !

A, C et E sont alignés ainsi que B, C et D.

– Cned, Mathématiques 3e 60

Séquence 3

Nous venons de voir dans l’exercice précédent que si on a :

● O ∈ [AB] ● O ∈ [CD] ● OA OC 1OB OD

= =

alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Est-ce que ceci est vrai si on a juste =OA OCOB OD

, au lieu d’avoir OA OC 1OB OD

= = ?

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 10 1- Etudions une première situation : Ouvre le fichier sequence3exercice10partie1 de Nadia. Les points sont placés de telle façon que :

● A ∈ [OB] ● C ∈ [OD] ● =OA OC

OB OD.

Déplace les points B et D et contrôle que les rapports OA

OB et

OC

ODsont toujours égaux.

Que remarques-tu concernant la position relative de (AC) et (BD) ?

2- Etudions une deuxième situation :

Ouvre le fichier sequence3exercice10partie2 de Thomas. Les points sont placés de telle façon que :

● O, A et B alignés ● O, C, D alignés ● =OA OC

OB OD.

a) Déplace les points B et D et contrôle que les rapports OA

OB et

OC

ODsont toujours égaux.

Que remarques-tu concernant la position relative de (AC) et (BD) lorsque O ∈ [AB] et O ∈ [CD] ?

b) Déplace le point A sur la droite (OB). Y a-t-il des positions du point A pour lesquelles les droites

(AC) et (BD) ne sont pas parallèles ?

Nous venons de voir deux situations :

Situation 1 : ● A ∈ [OB] ● C ∈ [OD] ● =OA OC

OB OD.

Situation 2 : ● O ∈ [AB] ● O ∈ [CD] ● =OA OC

OB OD.

Dans ces deux situations, il semble que les droites (AC) et (BD) soient parallèles. Nous allons admettre cette conjecture. Cette propriété est en quelque sorte le « contraire de celle de Thalès » : à partir d’une égalité de quotients, on déduit que deux droites sont parallèles. On l’appelle la réciproque de la propriété de Thalès.

Cned, Mathématiques 3e – 61

Séquence 3

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.

JE RETIENS Propriété (admise) : réciproque de la propriété de Thalès

Dans les triangles OAC et OBD,

si :

alors :

les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 11

1- Compare les quotients OA

OB et

OC

OD.

2- Est-ce que les droites (AC) et (BD) sont parallèles ? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

JE COMPRENDS LA MÉTHODE AB = 8 cm AM = 6 cm AC = 10 cm AN = 7,5 cm. Est-ce que les droites (MN) et (BC) sont parallèles ?

Dans les triangles AMN et ABC : Je peux aussi écrire ABC et AMN, cela n’a pas d’importance

● M ∈ [AB] Je rappelle les données.

● N ∈ [AC]

● AM 6

0,75AB 8

= = ● AN 7,5

0,75AC 10

= = Je compare les rapports de longueurs

D’où : AM AN

AB AC= Je conclus la comparaison.

D’après la réciproque de la propriété de Thalès, J’applique la propriété et je conclus.

les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

O, C et D sont alignés ainsi que O, A et B.

A, M et B sont alignés ainsi que A, N et C.

– Cned, Mathématiques 3e 62

Séquence 3

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

EXERCICE 12

1- Compare les quotients MP

MRet

MN

MO.

2- Est-ce que les droites (PN) et (RO) sont parallèles ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA MÉTHODE AB = 6 cm AC = 9 cm AM = 3 cm AN = 4 cm. Est-ce que les droites (MN) et (BC) sont parallèles ? ● A ∈ [BM] Je rappelle les données.

● A ∈ [CN]

●AM 3 1

AB 6 2= = ●

AN 4

AC 9= Je compare les rapports de longueurs

Je compare les produits en croix :

1 × 9 = 9 2 × 4 = 8

D’où : AM AN

AB AC≠ En effet, les produits en croix 1 × 9 et 2 × 4 ne

sont pas égaux. Je conclus la comparaison.

D’après la propriété de Thalès, les droites J’applique la propriété et je conclus.

(MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

M, P et R sont alignés ainsi que M, N et O.

N, A et C sont alignés ainsi que M, A et B.

Cned, Mathématiques 3e – 63

Séquence 3

Séance 6 Je démontre que des droites sont ou ne sont pas parallèles

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

EXERCICE 13 1- Est-ce que les droites (BC) et (DE) sont parallèles ?

2- Est-ce que les droites (MB) et (AC) sont parallèles ?

����EXERCICE 14

C est le cercle de centre O passant par P.

C’ est le cercle de centre I tangent en J à la droite (AP). On a :

AO = 5 cm OI = 7 cm

AP = 3 cm PJ = 4,2 cm.

1- Démontre que : (OP) // (IJ).

2- Déduis-en que (AJ) est tangente à C en P.

3- Calcule en cm la valeur exacte du rayon

de C .

D, A et B sont alignés ainsi que E, A et C.

N, M et A sont alignés ainsi que N, B et C.

A, O et I sont alignés.

– Cned, Mathématiques 3e 64

Séquence 3

EXERCICE 15 Hugo et Quentin font se croiser deux bouts de bois

de longueurs différentes.

1- On a : CD = 7 cm ED = 9,1 cm CO = 10 cm ER = 13 cm. Est-ce que les droites (CE) et (RO) sont parallèles ?

2- Hugo déplace les deux bouts de bois. Il ne connaît pas la longueur de [CD] mais sait que (CE) et (OR) sont parallèles et que ED = 8 cm. Quelle est la longueur exacte de [CD] ?

Aide : Appelle x la longueur CD, utilise la propriété de Thalès et les produits en croix puis résous une équation.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

Cned, Mathématiques 3e – 65

Séquence 3

Séance 7

J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

����EXERCICE 16

ABCD est un rectangle tel que AB = 8 cm et AD = 4,5 cm.

E est un point de (AD) tel que E ∉[AD] et AE = 1,5 cm.

La droite (EC) coupe [AB] en M.

N est le point de [DC] tel que : 3

DN DC4

= × .

Problème : calculer la valeur arrondie au mm près du périmètre du polygone (croisé) AMCBN.

1- Lis attentivement le problème ci-dessus puis essaie de le résoudre.

2- a) Calculons AM et MC.

● Calcule en cm la longueur EC en utilisant le théorème de Pythagore.

● Calcule en cm les longueurs AM et EM en utilisant la propriété de Thalès.

● Déduis-en la longueur MC en cm.

b) Quelle est, en cm, la longueur BC ? Pourquoi ?

c) Calculons BN.

● Calcule la longueur DN en cm avec les informations dans l’énoncé et déduis-en la longueur NC.

● Calcule l’arrondi au mm près de la longueur BN en utilisant le théorème de Pythagore.

d) Calculons AN.

● Prouve en utilisant les calculs précédents et les données de l’énoncé que AMCN est un

parallélogramme.

● Déduis-en la longueur AN en cm.

● Résous le problème.

EXERCICE 17 Pour régler des feux de croisement d’une voiture, on la place face à un

mur vertical. Le phare est identifié à un point P, la distance entre le sol et

le phare est HP. Le phare émet un rayon lumineux. Sans l’obstacle, ce

rayon atteindrait le sol en M. Il rencontre le mur en B.

La distance HM en m est appelée la portée des feux de croisements.

« Consignes de sécurité : La portée des phares d’un véhicule doit être à la fois :

● d’au moins 30 m (pour éclairer suffisamment loin),

● d’au plus 45 m (pour ne pas éblouir les autres usagers de la route). »

On a : HP = 0,6 m et HA = 3 m.

On appelle x la longueur AB en m.

Quel est l’encadrement, au cm près, de x, pour que les consignes de sécurité soient respectées ?

– Cned, Mathématiques 3e 66

Séquence 3

EXERCICE 18 Un pot de glace est représenté par la figure ci-contre : c’est un

cône C coupé par un plan parallèle à son disque de base. La section du cône par ce plan est un cercle de centre O et de

rayon 3 cm.

On a : OO’= 6 cm.

Détermine le volume en cL, arrondi à l’unité, du pot de glace.

Aide : Calcule la hauteur h du cône dont la base est le disque de centre O’ et de rayon 12 cm. N’hésite pas à faire une figure à main levée et à nommer d’autres points si cela te semble nécessaire.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

Séance 8 J’effectue des exercices de synthèse –suite–

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices. ����EXERCICE 19 On considère un parallélogramme ABCD. Soit R un point quelconque de la diagonale [AC].

La parallèle à (AB) passant par R coupe (AD) en M et (BC) en P.

La parallèle à (AD) passant par R coupe (AB) en N et (CD) en Q.

Problème : quelle est la nature du quadrilatère MNPQ ?

1- Essaie de résoudre le problème ci-dessus pendant 10 minutes. Tu peux essayer de construire une figure avec un logiciel de

géométrie dynamique.

Aide : Si tu n’arrives pas à construire une figure dynamique, ouvre le fichier sequence3exercice19 à l’aide de Geogebra.

2-

a) Utilise la propriété de Thalès pour prouver que : RA RM

RC RP= et :

RA RN

RC RQ= .

b) Utilise la réciproque de la propriété de Thalès pour résoudre le problème.

Cned, Mathématiques 3e – 67

Séquence 3

��������EXERCICE 20

Chacun des côtés d’un triangle ABC est partagé en trois segments de mêmes longueurs avec :

● I et J sur [AB] tels que les points A, I, J et B sont alignés dans cet ordre,

● K et L sur [BC] tels que les points B, K, L et C sont alignés dans cet ordre,

● M et N sur [AC] tels que les points A, N, M et C sont alignés dans cet ordre.

Aide de Thomas :

Le centre de gravité d’un triangle est le point de concours des médianes.

Le centre de gravité G d’un triangle ABC est situé aux 23

de chaque médiane de la

façon suivante :

AG = 23

AA’ BG = 23

BB’ CG = 23

CC’

1- Construis un triangle ABC en plaçant les points I, J, K, L, M et N définis dans l’énoncé ci-dessus.

2- Soit A’ le milieu de [BC] et G le point d’intersection des segments [AA’] et [JM]. Place A’ et G sur ta figure.

3- Nous allons prouver que le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

a) Que représente [AA’] pour le triangle ABC ?

b) Prouve que : (JM) // (BC).

c) Déduis-en : (JG) // (BA’).

d) Utilise la propriété de Thalès dans les triangles ABA’ et AJG et prouve que : AG 2

AA' 3=

Prouve ensuite que : AG = 2

3AA’.

e) Conclus en utilisant le a) et le d).

4- Nous allons démontrer que le point G est le milieu de [JM].

a) En appliquant la propriété de Thalès dans les triangles ABA’ et AJG puis dans les triangles AA’C et

AGM, montre que : JG = GM.

b) Déduis-en que G est le milieu de [JM].

5- En t’aidant des milieux B’ de [AC] et C’ de [AB], prouve que les droites (IL), (KN) et (JM) sont concourantes en G.

Aide : Utilise la réciproque de la propriété de Thalès dans les triangles BCB’ et BAB’ pour prouver que G est un point de (IL), puis dans les triangles CAC’ et CBC’ pour prouver que G est un point de (KN).

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°4. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

– Cned, Mathématiques 3e 68

Séquence 3

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse –fin–

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

����EXERCICE 21

1- ABC est un triangle tel que AB = 3 cm, AC = 4,5 cm et �BAC = 35°. Parmi les triangles AM1N1, AM2N2, A3M3N3 et A4M4N4 ci-dessous, lesquels sont des réductions du

triangle ABC ?

Nadia se souvient qu’un premier triangle est une réduction d’un deuxième si les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles, et que le premier triangle est « plus petit » que le deuxième.

M2, M1, A et B sont alignés

N2, A, N1 et C sont alignés

(M2N2) // (BC)

AM2 < AB

2- C est un cône de disque de base de rayon 9 cm et de hauteur SO = 20 cm.

Il est coupé par un plan parallèle à la base :

● S, B et A sont alignés et SO’ = 8 cm.

● r’ = O’B

a) Calcule r’. b) Calcule le coefficient de réduction k du petit cône par rapport au grand cône.

c) Soient A l’aire du disque de base de C et A’ l’aire du disque de base de C’.

Calcule A et A’. Trouve une relation liant A, A’ et k.

d) Soient V le volume du cône C et V ’ le volume du petit cône C’.

Calcule V et V ’. Trouve une relation liant V, V ’ et k. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

JE RETIENS : Propriété (admise) : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : ● l’aire d’une surface est multipliée par k2 ● le volume d’un solide par k3.

Cned, Mathématiques 3e – 69

Séquence 3

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. JE M’ÉVALUE 1- Parmi les propriétés ci-dessous, laquelle permet de démontrer que deux droites sont

parallèles ?

� la propriété de Thalès

� la réciproque de la propriété de Thalès

2- La propriété de Thalès permet :

� de démontrer que deux droites sont parallèles.

� de démontrer que des droites ne sont pas

parallèles.

� de calculer des longueurs.

3- ABC est un triangle tel que :

4- ABC est un triangle tel que :

● AB = 6 cm

● M∈[AB]

● MN = 5 cm

● AC = 8 cm

● N∈[AC]

● BC = 7,5 cm ● (MN) // (BC)

● AB = 6 cm

● M∈[AB]

● AN = 5 cm

● AC = 7,5 cm

● N∈[AC]

● BC = 8 cm

● AM = 4 cm

On a :

� AM = 4 cm et AN = 5,3 cm

� AM = 6 cm et AN = 16

3cm

� AM = 4 cm et AN = 16

3cm

� AM = 6 cm et AN = 5,3 cm

A-t-on : (MN) // (BC) ?

� oui

� non

5- On a :

� AE = 12

7cm et BC =

35

3cm

� AE = 28

3cm et BC =

15

7cm

� AE = 1,7 cm et BC = 11,7 cm

� AE = 9,3 cm et BC = 2,1 cm

6-

A-t-on : (DE) // (BC) ?

� oui

� non

D, A et B sont alignés ainsi que E, A et C. C, A et D sont alignés ainsi que B, A et E.

– Cned, Mathématiques 3e 70

Séquence 3

La figure ci-dessous est utilisée dans les questions 7 et 8.

7- On a :

� TV ≈ 2,6 cm � TV = 5 cm

� TV ≈ 3,8 cm � TV ≈ 1,4 cm

8- � US = 15 cm � US = 3 cm

� US = 0,6 cm � US = 2 cm

9- Le quotient de l’aire d’une pyramide P1 par l’aire d’une pyramide P2 est égal à 0,25.

Quel est le coefficient de réduction ?

� 0,0625 � 0,125

� 0,5 � 1

2

10- La pyramide P2 est une réduction de la pyramide P1, de coefficient de réduction 0,3. Le

volume de P1 est de 15 cm3. Quel est le volume de

P2 ?

� 4,5 cm3

� 50 cm3

� 0,405 cm3

� 555,6 cm3

Cned, Mathématiques 3e – 71

Séquence 3