Spr ue3.1 poly cours et exercices

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Stage de Pré-Rentrée du Tutorat

26 août 2013 – 6 septembre 2013

Polycopié de Physique et de Biophysique

UE 3.1 : Organisation des appareils et systèmes

Fiches de cours

Enoncés des exercices

Ne peut être vendu ou utilisé dans un but commercial sous peine de poursuite.

Ce fascicule de cours et d’exercices a été entièrement réalisé par le Tutorat

Ni les professeurs, ni la faculté ne pourront être tenus responsables de la validité des informations qu'il contient, même en cas d'une éventuelle relecture par un professeur.

3

Sommaire

Introduction à la physique Page 4

Chapitre n°1 : Rappels de mathématiques et de physique

- Cours Page 5 - Exercices 3

Chapitre n°2 : Mécanique

- Cours Page 41 - Exercices Page 48

Chapitre n° 3 : Magnétisme


Chapitre n° 4 : Introduction à la physique des ondes


Correction rapide des exercices de physique Page 103

Introduction à la biophysique Page 109

Chapitre n° 5 : Solutions et compartiments liquidiens

- Cours : Solutions Page 110 - Cours : Compartiments liquidiens Page 113 - Exercices Page 115

Correction rapide des exercices de biophysique Page 119

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INTRODUCTION A LA PHYSIQUE

Tu vas très vite entendre de nombreux préjugés à propos de la physique ! Faisons d’abord le point

sur le top 3 des phrases qu’on entend le plus souvent.

« La physique, c’est impossible ! » Il est vrai que la physique est une matière très exigeante qui

demande beaucoup de travail. Mais c’est loin d’être impossible, et ceux qui la travaillent

sérieusement sont généralement bien récompensés ! L’essentiel est de ne pas avoir de lacunes du

programme de terminale. Le premier chapitre de « rappels » sera donc pour toi l’occasion de revoir

tes éventuelles faiblesses et les combler au plus vite ! Ensuite, il faudra trouver ta méthode de

travail (voir plus bas).

« Travailler la physique, c’est inutile, ça paie pas ! » La physique représente les trois quarts de

l’épreuve d’UE3.1, coefficient 9. Si on classait les sous matières, la physique à elle seule serait le

deuxième coefficient de toute l’année ! C’est donc une matière sur laquelle il faut passer du temps

et qu’il ne faut pas abandonner. Durant le semestre, tu vas vite être débordé par les matières à par

cœur, c’est donc dès maintenant qu’il faut mettre un bon coup à la physique !

« Tout le monde a des mauvaises notes de toute façon ! » Les notes au concours sont relativement

faibles, mais le but n’est pas d’avoir 14, mais d’avoir plus que les autres ! Ne serait-ce qu’un 8/20

permet de gagner de nombreuses places. C’est ici que tu peux faire la différence.

Quel le programme de physique cette année ?

Quelques notions de maths indispensables. Il faut bien les maîtriser pour comprendre les cours

de physique qui suivent.

Mécanique : Des mouvements, des forces, les lois de Newton, les énergies cinétique et

potentielle, le travail d’une force... Beaucoup de choses qui te sont familières !

Magnétisme : C’est l’étude de la force que produisent des charges électriques en mouvement et

des effets des champs magnétiques sur les particules chargées ou circuits électriques.

RMN (résonnance magnétique nucléaire) : A cheval entre magnétisme et physique quantique,

la RMN est à l’origine d’applications médicales majeures, comme l’IRM fonctionnelle.

Les ondes, en trois parties : généralités, ondes sonores et ondes lumineuses.

La radioactivité : très médicale et en général appréciée par les P1, on étudie la décroissance

radioactive mais aussi les effets des radiations sur les tissus biologiques ou encore son utilisation

en thérapeutique.

Comment travaille-t-on la physique ?

Tu as le droit à tes documents lors du concours, il s’agit donc d’acquérir non pas seulement un

savoir, mais surtout un savoir-faire. Pour cela, il faut d’abord bien comprendre le cours. Je

recommande de ne pas le lire passivement, mais de prendre une feuille et un stylo et essayer de

faire en même temps les démonstrations et de « deviner » la suite. Ensuite, on fait de nombreux

exercices et des annales. Au programme du stage : maths, mécanique, magnétisme et introduction

aux ondes ! Bon courage !

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Cours

Nous essaierons dans ce cours de survoler l’ensemble des notions mathématiques qui seront

nécessaires pour résoudre les exercices de physique que vous rencontrerez lors de l’année. A cela,

s’ajoutent de nouveaux outils mathématiques (marqués d’un *) que vous devrez essayer de vite

assimiler pour viser à une bonne compréhension des cours. Il n’est pas nécessaire de tout retenir,

vous avez le droit à vos documents lors des épreuves !

PARTIE 1 : DERIVATION ET INTEGRATION

Il est très important en PAES d’avoir une maitrise parfaite de la dérivation et de l’intégration. Ce sont

des outils récurrents qui apparaitront dans la majorité des problèmes que vous rencontrerez.

I. La dérivation

La fonction dérivée

On définit la fonction dérivée de f(x), notée f’(x).

En physique on la note aussi

.

Cette fonction permet de traduire l’évolution f en fonction des valeurs de x.

A titre d’exemple, en considérant un problème sur un seul axe, l’axe des x :

- L’accélération se définit par

, c’est la manière dont la vitesse évolue en fonction du temps

- De même, la vitesse se définie par

, c’est la manière dont la position évolue en fonction du

temps

Propriétés

Il y a plusieurs choses à garder en tête :

Propriété fondamentale : L’étude du signe de la dérivée permet d’étudier les variations de

la fonction. Quand f’(x) est positive, f(x) est croissante, quand f’(x) est négative, f(x) est

décroissante. La dérivée est nulle aux extrema. (Voir exercice n° équilibre et énergie

potentielle.)

Une fonction constante possède une dérivée nulle : cette propriété revient très souvent en

physique

Note : un problème classique et de vous demander de déterminer la valeur limite prise par

une grandeur, par exemple « déterminez quel est la vitesse limite atteinte par une

particule ?».

Il faut alors avoir pour réflexe de chercher à résoudre l’équation :

Une fonction dite linéaire, c’est-à-dire qui évolue proportionnellement à la variable

considérée, a une dérivée constante.

Une telle fonction est représentée sous forme de droite, sa dérivée en tout point en est le

coefficient directeur.

6

Détermination des fonctions dérivée

Pour déterminer la fonction dérivée d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de

dérivées usuelles et de règles de calculs. Celles-ci sont à connaitre par cœur :

Fonction Fonction dérivée

Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des

fonctions auxquelles sont appliqués d’autres fonctions, leurs dérivées sont aussi à connaitre :

On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ sa fonction dérivée de u :

Fonction composée Dérivée de la composée

Enfin, des règles de calculs de bases sont à connaitre pour le calcul de dérivée.

Considérons deux fonctions notées u et v. On note u’ et v’ leurs dérivées respectives.

Opération sur les fonctions Opération sur les dérivées

7

Remarques sur la dérivation d’une fonction composée :

Dans le cours, lorsqu’une fonction f qu’on dérive dépend d’une variable u qui elle-même

dépend de x, on emploie souvent la notation suivante :

On peut être amené à faire une « triple » composition de fonctions. Par analogie, on a :

II. L’intégration

La primitive d’une fonction

Soit une fonction f telle que , on dit que F est une primitive de f.

Autrement dit, c’est en quelque sorte « l’inverse de la dérivation ».

Note : comme la dérivée d’une constante est nulle, chaque fonction présente une infinité de fonctions

primitives du fait de l’existence d’une constante d’intégration.

L’ensemble des fonctions primitives d’une fonction f sont notées F + k, avec .

Détermination de la primitive d’une fonction

Pour déterminer la fonction primitive d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de

primitives usuelles et de règles de calculs :

Fonction Fonction primitive

Pense-bête :

Il peut être facile de confondre la dérivée de cos et celle de sin.

Voici un petit moyen mnémotechnique pour ne plus vous tromper :

On considère que Cos est Con : il prend un – dans sa dérivée, on a donc

On considère que Sin est Sympa : il prend un + dans sa dérivée, on a donc

8

Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des

fonctions auxquelles sont appliqués d’autres fonctions, ces fonctions composées correspondent à

des primitives particulières, les voici :

On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ la fonction dérivée de u :

Fonction composée Primitive de la composée

Les intégrales

Reprenons l’exemple précédent, en notant cette fois-ci :

On note

la somme de toutes les valeurs prises par f entre les abscisses a et b.

Comme il y a une infinité de point entre a et b, on considère que la primitive correspond à la somme

d’un nombre infini de termes.

Il s’agit de l’aire sous la courbe représentant la fonction f entre a et b.

Par exemple ici nous avons coloriés la grandeur

:

Comment calculer une intégrale ?

Le calcul de l’intégrale nécessite la connaissance d’une primitive de la

fonction f.

On a :

Aussi, on note souvent la grandeur par l’écriture

Ainsi, dans l’exemple choisi on a :

On remarque que la constante d’intégration s’annule dans le calcul de l’intégrale, cette dernière n’y

interfère donc pas.

9

Opération entre les intégrales

Il y a un certain nombre d’opération mettant en jeu les intégrales à connaitre :

: c’est la relation de Chasles

Si pour tout x, alors

III. Le développement limité *

Le développement limité consiste à approximer une fonction en un point par un polynôme mettant

en jeu les dérivées au même point de la fonction à approximer.

On parle de développement limité d’ordre n lorsque la fonction est approximée par un polynôme de

degré n.

On définit, au voisinage de a :

Remarques importantes :

Cette formule peut être lourde à appliquer et donner lieu à des erreurs d’inattention. Faites

le calcul des dérivées à part au brouillon.

Souvent, on utilise la formule en a = 0, donc quand x est très petit.

Si l’énoncé ne le précise pas, on se limite en général à l’ordre 1 pour éviter les calculs trop

longs et lourds.

Le plus souvent, au concours, on ne précisera pas quand il faut utiliser un développement

limité. Il faudra donc repérer les « indices » dans l’énoncé : « Calculer quand x est très

proche de a », « Aux alentours de l’origine » (concours 2012), « pour des valeurs de x très

faibles », … => Exercices 4 et 8 TD

Exemples :

Fonction DL de premier ordre DL de second ordre

DL en 1

DL en 0

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PARTIE 2 : GRADIENT D’UNE FONCTION *

Comme nous allons être amenés à travailler avec des fonctions à plusieurs variables, en général 3

variables spatiales, il est important de définir la notion du gradient d’une fonction.

Pour cela, nous allons tout d’abord introduire celle de dérivée partielle.

I. Dérivée partielle d’une fonction à plusieurs variables

Prenons par exemple une fonction f(x,y,z) à 3 variables x, y et z.

Cette fonction dispose de 3 dérivées partielles : l’une par rapport à x, l’une par rapport à y et une

troisième par rapport à z.

C’est trois dérivées partielles sont respectivement notées

,

et

.

On définit ainsi la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x :

En pratique, on considère que y et z sont constants. De même :

Ici, on considérera respectivement :

- x et z constants pour le calculer de

- x et y constants pour le calculer de

Exemple :

Soit une fonction qui dépend de deux variables x et t. On peut étudier les

variations de la fonction quand on fait varier x à t constant.

-Ainsi la dérivée partielle de f par rapport à x est :

-De même, la dérivée partielle de f par rapport à t est :

Note : à la différence des dérivées classiques, lorsqu’on effectue une dérivée partielle, on utilise la

lettre au lieu de d habituel dans la notation de la dérivée.

Ainsi, au lieu de noter la dérivée de la fonction f en fonction de x :

, on la notera :

11

II. Gradient d’une fonction

La gradient se définit pour une fonction scalaire f(x,y,z). C’est-à-dire que la fonction f n’est

pas un vecteur.

Il s’agit alors du vecteur, noté

Il faut comprendre que le gradient de f représente l’évolution de la fonction f lors de variations

élémentaires le long des axes c'est-à-dire lorsque x, y et z varient de façon infinitésimale.

C’est notion est importante en mécanique et en électromagnétisme, elle prendra tout son sens

lorsque nous nous intéresserons à la définition de l’énergie potentielle.

Exemple :

On prend une fonction f(x,y), qui prend des valeurs d’autant plus élevées que la couleur est foncée.

On peut représenter le gradient de la fonction comme un ensemble de vecteurs, qui indiquent le

sens pour lequel la fonction augmente :

On appelle la différentielle d’une fonction scalaire f(x,y,z) la quantité :

Physiquement, représente donc l’accroissement de la fonction f, lorsque les variables x, y et z

connaissent des variations infinitésimales dx, dy et dz. Exercice 2 TD

Attention à ne pas confondre gradient et différentielle !

Propriété fondamentale du gradient

Si nous considérons un point M, quelconque de l’espace, de coordonnées M(x,y,z).

On a le vecteur

On définit alors une variation infinitésimale de la position, telle que

On réalise alors que :

En d’autres termes, l’accroissement de la fonction f correspond au produit scalaire entre son

gradient (soit son évolution lors d’une variation infinitésimale) et cette même variation.

12

PARTIE 3 : RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES *

L’intérêt des fonctions logarithme népérien et exponentielle (notions qui doivent absolument être

maîtrisées) se retrouve principalement dans la résolution des équations différentielles, très

fréquente en physique.

Une équation différentielle est une équation (ou un système d’équations) entre une fonction

inconnue et sa dérivée, la solution de cette dernière est une fonction.

Nous allons nous intéresser à 3 types d’équations différentielles :

1) Equations de la forme :

:

La variable peut être différente de x.

La notation mathématique de cette équation est Y’=aY, toutefois nous préférerons celle utilisée ci-

dessus qui est plus fréquente en physique.

Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la

forme :

Démonstration :

On a :

On reconnait l’expression

qui est la dérivée de , autrement dit est la dérivée

de

Par conséquent :

Soit, en appliquant la fonction exponentielle des deux coté :

En notant , en retrouve bien :


:


La notation mathématique de cette équation est Y’=aY + b, toutefois nous préférerons celle utilisée

ci-dessus qui est plus fréquente en physique.

Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions f qui vérifient cette égalité. Elles sont de la

forme :

13


:


La notation mathématique de cette équation est Y’=aY + g(x), toutefois nous préférerons cette

utilisée ci-dessus qui est plus fréquente en physique.

Méthode de résolution :

Tout d’abord, il faut déterminer la solution générale à

:

Ensuite, il faut considérer la constante comme une fonction à part :

Puis, il faut introduire la nouvelle expression de f(x) dans l’équation différentielle :

Il faut résoudre l’équation différentielle obtenue en intégrant, de façon à trouver C (x) :

Exercices 1 et 9 TD

14

PARTIE 4 : FONCTIONS SINUS ET COSINUS

La fonction cosinus

La fonction cosinus est une fonction paire :

elle est symétrique par rapport à l’axe des

ordonnées.

Définie sur , elle prend l’allure suivante :

La fonction sinus

La fonction sinus est une fonction impaire :

elle est symétrique par rapport à l’origine.

Définie sur , elle prend l’allure suivante :

Celle-ci est périodique de période 2π.

Celle-ci est périodique de période 2π.

Quelques données à connaitre par cœur

De même, les fonctions cos et sin étant périodiques de période 2π, on a :

et

15

Exemple :

Pour retenir toutes ses données, il peut être pratique de tout représenter sur un cercle

trigonométrique, qui permet de facilement tout percevoir :

De plus, il peut être utile, notamment dans le chapitre sur les ondes, de savoir effectuer quelques

manipulations avec les sinus :

16

PARTIE 5 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME

I. La fonction exponentielle Définition : La fonction exponentielle se définit sur telle que :

et .

Variations et signe : Elle est croissante sur et toujours positive.

Propriétés : Soient a, b , n :

II. La fonction logarithme népérien et le

Définition : La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; + [ telle que :

C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Variations et signe : Elle est croissante sur . Elle est négative sur et positive sur

.

Propriétés : Soient a et b :

17

avec

avec

Remarque :

Logarithme décimal : On définit le logarithme décimal ou et défini sur par :

C’est la fonction réciproque de .

18

PARTIE 5 : VECTEURS

I. Définitions Considérons un repère (O,x,y,z).

Soient deux points A et B de coordonnées respectives :

On définit le vecteur se caractérisant par :

Sa direction : le long de la droite (AB)

Son sens : il va de A vers B

Sa norme : c’est la longueur du segment [AB], elle est notée

Le vecteur opposé au vecteur de même norme, même direction mais de

sens contraire, noté est tel que :

Les coordonnées du vecteur sont :

Si on nomme les vecteurs unitaires, on peut aussi écrire :

Ainsi, le vecteur comprend plusieurs composantes, chacune est selon un des

vecteurs unitaires.

Prenons un vecteur qu’on appellera , nous pouvons décomposer ce vecteur en

plusieurs composantes :

Quelques opérations sur les vecteurs :

Soit k et k’ des réels quelconques.

o

o

o

Egalité entre deux vecteurs : soit deux vecteurs , on considère que les deux vecteurs

sont égaux lorsqu’ils ont : même direction, même sens et même norme.

Cela se traduit par une égalité entre les composantes de ces vecteurs.

Ainsi, soit deux vecteurs, on a :

Somme de deux vecteurs : soit deux vecteurs, on a :

19

Produit d’un vecteur par un réel : soit un vecteur et k un réel quelconque, on

a :

Dans un repère orthonormé, c’est-à-dire lorsque les vecteurs unitaires ont pour norme 1 et

sont orthogonaux entre eux, on peut calculer la norme d’un vecteur à l’aide de la formule

suivante :

Ainsi, pour un segment AB avec , on a :

En pratique, nous utiliserons un repère orthonormé dans la majorité des problèmes.

Déterminer les composantes d’un vecteur

En physique, nous serons très souvent amenés à travailler uniquement sur une seule composante

d’un vecteur. Il est donc important de savoir déterminer l’expression des composantes d’un vecteur

en fonction de sa norme. On notera F la norme de .

Ici nous prenons l’exemple d’un vecteur , celui-ci représente une force appliqué avec un angle α

par rapport à l’axe (Ox). On sait que peut s’écrire :

Déterminons l’expression de :

: on sait, grâce aux formules de trigonométrie que

.

Par conséquent :

: on sait, grâce aux formules de trigonométrie que

Par conséquent :

Par conséquent, les coordonnées du vecteur sont :

20

II. Le produit scalaire

Définition

Soit deux vecteurs. On appelle produit scalaire de ces deux vecteurs le nombre réel noté

défini par :

Cette définition, purement mathématique, ne nous sera pas d’une grande utilité. Il existe en effet

d’autres méthodes plus commodes pour calculer un produit scalaire.

Les voici :

Soit deux vecteurs, on a :

Il s’agit de la manière que vous serez amenés à utiliser le plus souvent.

Soit deux vecteurs et l’angle α tel que , on a :

Rappel :

Soit un triangle ABC rectangle en C, nous avons :

21

Soit deux vecteurs et D le projeté orthogonal de sur , on a :

si sont de même sens

si sont de sens contraire

Propriétés

Le produit scalaire est commutatif :

Quelques opérations avec les produits scalaires :

o

o

o

o

o

On note , et on a :

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux entre eux est nul : il s’agit de la

propriété du produit scalaire qui nous sera le plus utile ! => Exercice 6 TD

Théorème d’Al-Kashi

Soit un triangle ABC quelconque, on a :

Ces formules ne sont pas forcément à connaitre par cœur.

Mais en cas de besoin, il est nécessaire les avoir rapidement à disposition.

Vous pouvez donc soit les noter dans un formulaire, soit rapidement les retrouver.

22

En effet, ces formules se démontrent très facilement grâce au produit scalaire, nous allons faire

la démonstration d’une seule des trois formules, les autres démonstrations étant analogues à

cette dernière :

Remarque : Le nouveau professeur n’utilise pas ces formules dans son cours, mais on vous les laisse

quand même au cas où.

III. Le produit vectoriel *

Définition

On considère 2 vecteurs : et , exprimés sur la base composée des vecteurs unitaires .

On pose :

sont les différentes composantes de respectivement selon les axes et

sont les différentes composantes de respectivement selon les axes .

On appelle le produit vectoriel de et , noté et prononcé « A vectoriel B », le vecteur tel

que :

Conséquences :

Si on applique cette définition aux vecteurs unitaires, nous aurons par exemple :

Ainsi, on en déduit que :

Retenez bien ces 3 dernières expressions, elles vous permettront d’effectuer facilement la

majorité de vos calculs avec les produits vectoriels.

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Vous avez oubliés la formule de la définition du produit vectoriel ?

Cette petite astuce vous permettra de la retrouver rapidement :

Tout d’abord, commencez par écrire en ligne les coordonnées des vecteurs, comme ceci :

Tout d’abord, pour la composante selon l’axe , tracez un partant de :

On en déduit la composante sur :

On descend d’une ligne pour la composante selon l’axe :


Pour finir, on descend d’une ligne pour la composante selon l’axe :


Soit :

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Propriétés du produit vectoriel

L’anti-commutativité

A l’inverse de la majorité des outils mathématiques que vous avez manipulés jusqu’à maintenant, le

produit vectoriel n’est pas commutatif.

C’est-à-dire que :

L’ordre des vecteurs est importante, et il faudra faire attention à toujours la prendre en compte.

Cette petite astuce vous permettra de ne pas

vous tromper dans le sens des vecteurs.

Ici, on effectue le produit vectoriel

suivant :

Il vous suffit alors d’imaginer que vous avec

un bouchon d’une bouteille, et que vous le

tournez du sens de vers .

Si vous êtes en train de dévisser le bouchon :

le vecteur résultant sera vers le haut.

Sinon il sera vers le bas.

Si on avait effectuez le produit vectoriel , nous aurions trouvés le vecteur .

Distributivité par rapport à l’addition vectorielle

De même,

Associativité des scalaires

On considère : un vecteur , un vecteur et deux réels notés et .

On a alors :

Produit vectoriel de 2 vecteurs colinéaires

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

Soit et , deux vecteurs, et leur produit vectoriel. On a alors :

25

Propriété géométrique du produit vectoriel

On prend un repère tel que les vecteurs et soient compris dans le plan (Oxy).

On pose et tels que :

On note α l’angle entre et .

On démontre alors que :

La norme du produit vectoriel de et est l’aire du parallélogramme construit par les vecteurs

et .

Dérivation du produit vectoriel

Supposons que les vecteurs et dépendant d’une variable t.

On a :

Produit mixte

On appelle produit mixte des vecteurs la grandeur :

Il s’agit du produit scalaire avec du produit vectoriel de et .

Par exemple, on va vu précédemment que les produits mixtes : et valent 0.

Par la suite, il sera important de garder en tête une propriété du produit mixte qui est la suivante :

On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire.

Géométriquement, le produit mixte représente le volume du parallélépipède construit sur les trois

vecteurs

26

A première vue, le produit vectoriel peut vous sembler compliqué. Mais en réalité, ce qu’il

vous sera demandé en PAES ne sera pas d’avoir une maitrise « mathématiquement

rigoureuse » de l’outil, mais de pourvoir l’utiliser aisément lorsque celui-ci apparait dans

un problème.

Ainsi, voici ce que vous devez retenir en priorité les propriétés suivantes du produit

vectoriel :

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

En effet, avec ces propriétés du produit vectoriel, vous pourrez toujours ramener un calcul de

produit de vecteurs compliqués à un calcul simple mettant en jeu les vecteurs unitaires composants

ces derniers.

Bien que moins souvent utilisés, les propriétés concernant la dérivation du produit vectoriel

et le produit mixtes sont à toujours avoir sous la main. => Exercices 3 et 7 TD

27

PARTIE 6 : QUELQUES SYSTEMES DE COORDONNEES *

Afin de simplifier les calculs, on sera souvent amenés à considérer des systèmes de coordonnées

différents du système cartésien classique.

De tels systèmes de coordonnées permettent de travailler sur des vecteurs sans avoir à prendre en

considération leurs orientations dans la majorité des calculs (les vecteurs nous intéressant servant

alors de base aux vecteurs unitaires).

Nous allons nous intéresser à 2 types de systèmes de coordonnées :

Le système de coordonnées cylindriques

Le système de coordonnées sphériques

Le système de coordonnées cylindriques

On note la distance et l’angle

Concernant l’axe des z, on garde le même vecteur présent dans les

repères cartésiens.

On a alors comme vecteurs unitaires :

: ce vecteur est dans le prolongement de (HM)

tel que

orienté de la même façon que dans le repère cartésien

Ainsi, le vecteur a pour coordonnées :

Propriétés :

Il faut remarquer que, à l’inverse de et z qui sont des longueurs, est un angle, il est donc

sans dimensions.

Les vecteurs et dépendent de l’angle

Quand , il s’agit d’un système de coordonnées polaires.

L’expression du gradient d’une fonction f exprimée dans un système de coordonnées

cylindriques :

On a :

o

o

o

28

Le système de coordonnées sphériques

On note la distance , l’angle et

l’angle

On considère que :

- : toute la rotation autours de l’axe (Oz) est

décrite par l’angle

- : seul une rotation d’un maximum de 180° est

décrite par l’angle , en effet si la rotation dépasse cet angle,

cela sera décrit par l’angle qui verra sa valeur augmenter de

On a alors comme vecteurs unitaires :

: ce vecteur est dans le prolongement de (OM)

tel que dans le plan (OzM). est orienté dans le sens de .

tel que

Cette fois-ci, le vecteur ne s’exprime qu’en fonction d’un seul vecteur unitaire :

Propriétés :

Il faut remarquer que, à l’inverse de qui a la dimension d’une longueur, sont des angles,

ils sont donc sans dimensions.

Les vecteurs et dépendent des angles

Le vecteur ne dépend quant à lui que de l’angle

Expression du gradient d’une fonction f exprimée dans un système de coordonnées sphérique :

On a :

o

o

o

29

PARTIE 7 : NOMBRES COMPLEXES

Nous ne détaillerons que les propriétés des nombres complexes utiles à la compréhension des cours

et des exercices, en particulier de RMN et sur les ondes.

I) Définition

L’ensemble des nombres complexes, noté , est l’ensemble des nombres de la forme

, où a et b sont des nombres réels et i un nombre tel que .

a est la partie réelle et b la partie imaginaire de .

Le module de z est :

Le complexe conjugué de z est :

Le plan complexe orthonormé direct est la représentation graphique qui associe un

nombre z à un affixe M de telle sorte que : . Cela nous permet d’introduire

la notion d’argument de z :

II) Notation trigonométrique, notation exponentielle et formules

d’Euler

Notations trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme :

où r et sont respectivement le module et l’argument de z.

La notation exponentielle est souvent utilisée en physique des ondes :

Cette forme sera beaucoup plus simple à manipuler.

Formules d’Euler :

Elles sont à connaître :

et

Démonstration :

30

PARTIE 8 : RAPPELS EN PHYSIQUE DES ONDES

I) Les ondes mécaniques progressives

a) Définition

Une onde mécanique progressive correspond à la propagation d’une perturbation dans un milieu

matériel, avec transport d’énergie et sans transport de matière.

b) Propriétés

Les ondes se propagent à partir de la source dans toutes les directions qui leur sont offertes.

Selon les possibilités de propagation, il existe des ondes à une dimension (ébranlement le

long d’une corde), à deux dimensions (vagues à la surface de l’eau) ou à trois dimensions

(propagation du son dans l’air).

On distingue deux types d’ondes, selon la direction de la perturbation :

-Les ondes longitudinales ont une direction de perturbation parallèle à la direction de

propagation. Exemple : Ondes le long d’un ressort.

-Les ondes transversales ont une direction de perturbation perpendiculaire à la direction de

propagation. Exemple : ébranlement le long d’une corde.

Les ondes se croisent sans se perturber. Elles se superposent au moment de leur croisement

(cette notion est très importante !).

c) Célérité et retard

La célérité d’une onde est la vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu. Elle

dépend des propriétés du milieu de propagation (rigidité, inertie). Elle est donc constante dans un

milieu homogène.

Tous les points du milieu reproduisent le mouvement de la source avec un retard . Pour une

source située en M, le retard de la perturbation au point M’ est :

.

II) Les ondes progressives périodiques

a) Définition d’une onde progressive périodique

Un mouvement périodique est un mouvement qui se reproduit identique à lui-même à intervalle

régulier. Le mouvement périodique de la source génère une onde progressive périodique.

31

b) La double périodicité spatio-temporelle

La perturbation d’une onde progressive périodique se reproduit identique à elle-même dans le

temps et dans l’espace. Il y a donc une double périodicité :

Temporelle : à un point donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de

temps régulier. La période T est la durée d’une oscillation de la source. On définit aussi la

fréquence :

.

Spatiale : à un temps donné, le mouvement de la perturbation se répète à intervalle de

distance régulier. La longueur d’onde correspond à la distance parcourue par l’onde

pendant une période T :

c) Ondes progressives sinusoïdales

C’est un cas très particulier où le mouvement de la source et de tous les points du milieu est une

fonction sinusoïdale du temps. Vous allez particulièrement vous attarder sur ce type d’onde cette

année.

d) Diffraction et milieu dispersif

Lorsqu’une onde rencontre un obstacle (une fente ou un trou) de l’ordre de sa longueur d’onde,

l’onde est diffractée : l’ouverture se comporte comme une source ponctuelle et au-delà l’onde se

propage dans toutes les directions.

Un milieu est dispersif si sa célérité dépend de sa fréquence.

III) Le modèle ondulatoire de la lumière

a) Ondes électromagnétiques

La lumière se comporte comme une onde. Les ondes lumineuses appartiennent à la grande

famille des ondes électromagnétiques.

Elles se propagent en l’absence de milieu matériel, et dans le vide à une vitesse

.

Ce sont des ondes périodiques caractérisées par une longueur d’onde et une période.

La fréquence de l’onde est caractéristique de la longueur. Le domaine de la lumière visible

est compris entre 400nm et 800nm.

b) Diffraction

La lumière monochromatique correspond à une lumière dont la couleur n’est formée que d’une

seule longueur d’onde. La lumière polychromatique est une lumière composée de plusieurs

lumières monochromatiques.

32

On observe un phénomène de diffraction lorsque la lumière monochromatique rencontre un

obstacle du même ordre de grandeur que sa longueur d’onde. Elle est alors déviée d’un écart

angulaire .

Pour une fente de largeur a, on a :

Pour une ouverture circulaire de rayon a, on a :

c) Dispersion de la lumière

Dans un milieu transparent, la célérité de l’onde est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

On définit ainsi l’indice d’un milieu transparent :

Dans un milieu dit dispersif (comme un prisme en verre), l’indice n (et donc la célérité de l’onde)

dépend de la fréquence de l’onde. Ainsi, un milieu dispersif permet de séparer les ondes

polychromatiques.

33


Exercices

La difficulté des exercices est indiquée par le nombre d’étoiles. Seuls les 5 premiers exercices seront

corrigés pendant la séance d’ED.

Exercice 1 : Equations différentielles (*) Rédacteur : Xavier

1) Résoudre avec puis avec .

2) Résoudre avec et .

Rappel des formules d’équation différentielles :

L’équation admet pour solutions les fonctions



Exercice 2 : Différentielle exacte (*) Rédacteur : Xavier

1) Calculer la différentielle exacte de définie par et de définie par

2) Calculer la différentielle de sachant que

et

Rappel :

34

Exercice 3 : Produit vectoriel (**) Rédactrice : Chloé

A. QCM

Soient et les deux vecteurs suivants :

On souhaite déterminer les dispositions des vecteurs et possibles pour avoir

A. B. C.

D. E.

B. Question rédactionnelle

1) La matière aimantée possède un moment magnétique . Lorsqu’elle est soumise à un champ

magnétique , on définit son moment cinétique par

.

a) Sachant que (à noter que peut aussi bien être négatif que positif), déterminer

l’équation différentielle qui donne le moment magnétique d’une particule placée dans un

champ magnétique donné.

b) On se place maintenant dans un repère orthonormé.

On suppose alors que et que

Déterminer la projection selon les 3 vecteurs unitaires de l’équation différentielle trouvée à

la question précédente.

2) On rappelle qu’un circuit considéré comme ponctuel (placé en Mi) en rotation autour d’un axe de

vecteur directeur et passant par O a une vitesse .

Si l’on applique un champ magnétique responsable sur le circuit d’une force tangentielle à sa

trajectoire ; le travail pendant le temps dt de cette dernière est donnée par :

35

Exprimer en fonction de sachant que (pour information, T est appelé moment

du couple de forces exercé sur le circuit, mais ça vous le reverrez le moment voulu).

Exercice 4 : Développement limité (**) Rédacteur : Adrien

I) Parachutiste (rédactionnel)

L’expression de l’altitude d’un parachutiste soumis à des forces de frottement sans vitesse initiale

est :

Faites un développement limité d’ordre 3 au voisinage de .

II) Croissance de plante (QCM)

On appelle la taille en mètre d’une plante en fonction du temps en jour. Son expression est :

Au bout de 15 jours, la plante mesure

m. Calculer en utilisant un développement limité de

au premier ordre au voisinage de 1.

Aides :

Conserver les fractions dans vos calculs.

A)

B)

C)

D)

E)

36

Exercice 5 : Energie potentielle gravitationnelle, inspiré du concours 2012

(***) Rédacteur : Adrien

L’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps de masse m situé entre la Terre (de masse

) et le soleil (de masse ) a pour expression :

où R représente la distance Terre-Soleil.

r est toujours compris entre 0 et R.

1) Quelle est la dimension de G ?

A) [G] =

B) [G] =

C) [G] =

D) [G] =

E) [G] =

On recherche alors une position d’équilibre du système.

-C’est une valeur de r pour laquelle l’énergie potentielle atteint un extremum. Si c’est un

maximum, on parle d’équilibre instable, si c’est un minimum, on parle d’équilibre stable.

-Rappel : La fonction dérivée est nulle aux extrema.

2) En déduire une équation vérifiée par cette position d’équilibre en r :

A)

B)

C)

D)

E)

3) Quelles sont les propositions exactes concernant la position d’équilibre ?

(Penser à factoriser et à multiplier par l’expression conjuguée)

A) L’équilibre est atteint en

B) L’équilibre est atteint en

C) L’équilibre est atteint en

D) L’équilibre est stable.

E) l’équilibre est instable.

37

Même s’ils ne sont pas traités en ED, il est très important que vous fassiez les exercices qui suivent

pour être le mieux préparé possible.

N’hésitez-pas à venir poser des questions aux tuteurs sur le forum : http://forum.cemp6.org/

Exercice 6 : Produit scalaire (*) Rédactrice : Lisa

A. Le travail d’une force

Jean essaie de monter un carton jusqu’à lui. Dans un premier temps, il tire le carton de A à B en

appliquant une force

On rappelle que le travail d’une force se calcule par le produit scalaire de la force par le déplacement

du point où s’applique cette force. On considère que l’angle entre le vecteur représentant la force et

le sol reste constant.

1) Le travail de la force appliquée par Jean est : A. 23J B. 15,3J C. 30,6J D. 10x2 sin (130) E. 7,7J

Après avoir amené le carton en B, Jean continue à tirer pour le faire monter jusqu’en C.

38

2) En considérant que la force exercée par Jean est toujours de 10N, quel est le travail de cette

force ?

A. 7,6J

B.

C. 22,4J

D.

E. 3,4J

B. Une histoire de vecteurs

Soient A(2 ;4), B(3,-2), C(5 ;-1) et D(-4 ;-1). Quelles sont les propositions correctes ?

A.

B.

C.

D.

E.

Exercice 7 : Application du produit vectoriel (**) Rédacteur : Adrien

Cet exercice a pour but de vous entraîner aux calculs courants utilisant le produit vectoriel. Il doit être

parfaitement maîtrisé !

Partie 1

On travaille en coordonnées cylindriques dans la base orthonormée . On donne :

1) Calculer

2) Calculer

39

Partie 2

Aucune connaissance en magnétisme n’est requise pour cet

exercice.

On considère un circuit électrique carré de centre 0

parcouru d’un courant plongé dans un champ magnétique

.

Sur un côté du circuit, il s’exerce une force :

où est un vecteur unitaire ayant la même

direction et le même sens que le courant, est la longueur

du segment.

Par exemple pour le segment AB :

1) Calculer la résultante des forces sur le circuit :

Le moment d’une force exercée sur un segment de circuit est : , avec H le milieu du

segment.

2) Calculer la somme des moments des forces exercées sur le circuit :

Exercice 8 : Encore plus de développements limités ! (**) Rédacteur : Léon

A. On considère la fonction suivante :

1) Calculer sa fonction dérivée première et seconde, en déduire les valeurs de f’(0) et f’’(0)

2) Déterminer le développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0 lors d’un accroissement, x,

infinitésimal

B. Considérons la fonction suivante :

1) Calculer le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0 de la fonction f lors d’un

accroissement, x, infinitésimal

On admet qu’on exprime l’aimantation M d’une population de noyaux par la relation suivante :

40

2) En déduire d’après la question précédente que M n

en supposant

infinitésimal.

C. On considère f(x) =

1) Calculer le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 1 de la fonction f

Il a été établit qu’un potentiel V crée par un dipôle s’exprimait de la manière suivante :

, a << r, et θ un angle donné

2) En déduire d’après la question précédente que V =

. On négligera les termes très

inférieurs à 1 et on supposera

très petit.

Exercice 9 : Encore plus d’équations différentielles ! (***) Rédacteur : Ali

Soit la chaine de désintégration suivante :

1) Nous considérons l’équation différentielle reliant le nombre de désintégrations radioactives du

noyau A au nombre de noyaux A présents :

Exprimer NA en fonction du temps.

On notera NA,0 le nombre de noyaux au temps t = 0.

2) Maintenant nous nous intéressons au nombre de noyaux B.

Celui-ci se traduit par l’équation différentielle suivant :

En prenant soin de remplacer NA par la fonction établie à la question précédente, donner

l’expression de NB en fonction du temps.

Nous considérons NB,0 le nombre de noyaux au temps t = 0 est nul.

Une méthode de résolution de ce type d’équations est donnée dans le cours.

41


Cours

Introduction :

C’est parti pour le premier vrai cours de physique de P1 ! Nous avons adopté pour celui-ci une

présentation particulière : les diapos contiennent les informations essentielles et pourront être

utilisées comme fiches de révision ou antisèches. Nous avons rajouté des notes explicatives

complémentaires en-dessous des diapos. Une fiche de formules ci-dessous récapitule le cours. Enjoy !

Fiche de formules

• Définitions :

Si forces conservatives :

• Théorèmes :

PFD :

Th moment cinétique :

TEC :

TEM :

Utilisez les unités SI(m, kg, s, N, J…)

Puis convertissez à la fin

42

Théorèmes temporels

• Force en N (=m.kg/s²)

• Vitesse en m/s ( est le vecteur position)

• Accélération en m/s²

• Quantité de mouvement en m.kg/s

• Moment cinétique en m².kg/s ≈ Impulsion par rapport à un point, souvent lors d’une rotation.

• Moment d’une force en m².kg/s²≈Aptitude d’une force à faire tourner un objet autour d’un point.

Avant tout, voici quelques grandeurs que tu dois connaître. En physique on s’intéresse à deux

domaines : La cinématique ou le mouvement des corps (la position, la vitesse et l’accélération) et la

dynamique ou la cause des mouvements (les forces).

Dans un référentiel (observateur) donné, on peut repérer un point ponctuel par un quadruplet de

nombres réels (trois coordonnées spatiales et le temps). On utilise alors le vecteur position .

La dérivée par rapport au temps de ce vecteur position est le vecteur vitesse . La dérivée du

vecteur vitesse par rapport au temps correspond à un vecteur accélération .

La quantité de mouvement d’un corps est le produit de la masse et du vecteur vitesse.

Intuitivement, plus sa valeur est élevée, plus le corps en mouvement à tendance à « continuer sur

sa lancée ». Lors d’une rotation, le moment cinétique joue un rôle analogue à celui de lors d’une

translation.

Le moment d’une force appliquée en M est son aptitude à faire tourner un corps autour d’un

point O. On remarque d’ailleurs que lorsque et sont colinéaires, cette grandeur est nulle. Une

force à tendance à faire tourner le corps autour d’un axe colinéaire à son moment et passant par

le point O.

43

Théorèmes temporels• Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Utilité :

- Équations horaires : position (x,y) en fonction du temps (t) → dès qu’on demande un temps…

- Équation de trajectoire : ordonnée (y) en fonction de l’abscisse (x)→ calculer la flèche et la portée

• Théorème du Moment Cinétique

Utilité : exercice avec un point de rotation (ouverture d’une porte, tige en équilibre…)

Le PFD correspond à la seconde loi de Newton vue en terminale. Elle n’est valable que dans des

référentiels galiléens (le référentiel terrestre est supposé galiléen). Un cas particulier est celui où la

somme des forces est nulle, l’objet est alors au repos ou en mouvement rectiligne uniforme

(première loi de Newton).

Démonstration du théorème du moment cinétique :

On a : qu’on dérive par rapport au temps :

(rappel : le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul)

D’après le PFD :

Souvent, la somme des moments des forces est nulle. On en déduit que le moment cinétique est

constant et on peut écrire : ou encore .

44

Travail d’une force• Travail (en J)

Définition très abstraite :

- De A à B représente le trajet. Il faut l’équation de trajectoire et écrire le trajet en fonction de x.

- dl est le déplacement élémentaire, à exprimer en fonction de x et y.

• Si forces conservatrices

Le travail est indépendant du chemin suivi.

La force dérive toujours d’une énergie potentielle (en J) :

Exemples :- forces conservatives : poids, force électrostatique…- forces non conservatives : frottements…

Le travail d’une force constante sur un trajet AB, rectiligne ou non, s’écrit :

Dans le cas d’une force variable, on peut exprimer le travail élémentaire de la force sur un petit

élément de trajet :

Le travail total est la somme de l’ensemble des travaux élémentaires sur le trajet :

Notons que les forces constantes sont conservatives. Le travail d’une telle force peut s’écrire :

Les forces fondamentales sont conservatives, comme la force de Coulomb et la force

gravitationnelle.

45

Théorèmes énergétiques

• Energie cinétique

• Energie potentielle- poids : donc

- ressort : donc

- force électrostatique : donc•

• Energie mécanique

Déterminons ensemble l’énergie potentielle de la force de rappel d’un ressort (force conservative) :

Par identification :

. On cherche la primitive de :

L’énergie potentielle est toujours définie à une constante près choisie arbitrairement. Seule la

variation d’énergie potentielle a un « sens physique ».

A L’équilibre l’énergie potentielle atteint un extremum. Si c’est un maximum, l’équilibre est dit

instable. Si c’est un minimum, l’équilibre est dit stable (voir schéma). Pour comprendre cette notion,

imagine que tu places un ballon en équilibre au « sommet » ou au « fond » des courbes suivantes.

46

Théorèmes énergétiques

• Théorème de l’énergie cinétique (TEC)

Utilité :

- calculer un travail.

- quand l’énergie cinétique s’annule (soit vitesse=0) au départ/à l’arrivée.

- Calculer une vitesse connaissant le travail de chaque force.

• Théorème de l’énergie mécanique (TEM)

Est équivalent au TEC (on a remplacé le travail des forces conservatrices par la variation d’énergie potentielle)

La variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux de chaque force appliquée sur le

système (nécessité bilan de force +++). Dans le cas de forces conservatives, l’énergie potentielle « se

transforme » en énergie cinétique et inversement, d’où son nom.

Si un système n’est soumis qu’à des forces conservatives, l’énergie mécanique reste constante !

Mouvements circulaires uniformes

• Pensez au théorème du moment cinétique !

• Vitesse- V = vitesse (m/s)

- R = rayon (m)

- oméga = vitesse angulaire (tour/s ou rad/s)

• AccélérationOrientée vers le centre du cercle, « accélération centripète ».

47

Exemple : Th Moment cinétique• Ouverture d’une porte :Tori tire sur une porte avec un angle de 30° par rapport à la perpendiculaire, en plaçant sa main

à 1m des gonds.

De l’autre côté, Uke tire perpendiculairement avec une force de 400N en plaçant sa main à 0,90m des gonds.

Calculez la force appliquée par Tori si la porte ne bouge pas.

Solution :

Car si la porte est immobile, alors le moment cinétique est constamment nul donc sa dérivée est nulle.D’où la relation (±intuitive)

Conclusion

• Il faut connaître les (nombreuses) définitions et les (quelques) théorèmes.

• Un exo se résume (souvent) à choisir entre utiliser un théorème temporel ou énergétique.

48


Exercices

Tous les exercices seront traités en TD.

Exercice 1 : D1 parachutiste (**) Rédacteur : Yannick

Une future D1, nommée Goulard, qui pèse 63,0 Kg pour 1m80, profitant joyeusement de ses

vacances décide de faire un saut en parachute. Au moment du saut, l’avion est à 5000m d’altitude et

perd 800 m.min-1 que l’on prendra comme étant la vitesse initiale de Goulard. On négligera les

forces de frottement pour les 2 premières questions. On prendra .

1) A quelle sera l’attitude de notre belle étudiante ?

A) 0 m

B) 100m

C) 500m

D) 3000m

E) 4500m

2) En combien de temps Goulard atteint-t-elle 2000m d’altitude ?

A) 23s

B) 24s

C) 25s

D) 26s

E) 27s

Arrivé à 2000m, elle décide d’ouvrir son parachute et on prendra une force de frottement de

norme avec .

On considère qu’elle atteint la vitesse limite instantanément après l’ouverture du parachute.

3) Calculer la vitesse limite après l’ouverture du parachute

A)

B)

C)

D)

E)

49

4) Au bout de combien de temps (après l’ouverture du parachute) Goulard touche-t-

elle le sol ?

A)

B)

C)

D)

E)

Exercice 2 : Travail d’une force (**)

Rédacteur : Nicolas

Drame en ce 18 décembre, le RER amenant les P1 à Villepinte est en retard. Heureusement Flèche

des indestructibles est là. Il sort du RER et pousse le train.

Ainsi il réussit à augmenter la vitesse du train de 18km/h, juste ce qu’il faut pour que les P1 soient à

l’heure au concours !

1) Sachant que le train a une masse de 50 000kg et que normalement sa vitesse de croisière,

avant l’intervention de Flèche, lui permet de couvrir les 18km qui séparent Paris de

Villepinte en 12min, de combien l’énergie cinétique du train va-t-elle augmenter ?

A) 1,25.105 J

B) 4,50.105 J

C) 6,88.106 J

D) 1,38.107 J

E) 8,91.107 J

2) En considérant que la force qu’exerce Flèche sur le train est constante, rectiligne dans le

même direction que la trajectoire du train, et qu’il met 120m pour augmenter la vitesse du

train de 18km/h supplémentaires, quelle est la norme de la force ?

A) 3,75.103 N

B) 1,04.103 N

C) 7,43.105 N

D) 1,15.105 N

E) 5,73.104 N

3) En réalité il pousse de plus en plus fort, la force qu’il exerce augmente de façon

proportionnelle avec la distance. Sachant qu’au début il pousse avec une force de 0N et

qu’après 1m d’effort il exercerait une force de 1500N à quelle distance a-t-il gagné les

18km/h nécessaires ?

A) 12,9 m

B) 67,7 m

C) 95,8 m

D) 345 m

E) 9173 m

50

Exercice 3 : Toto et Riri

Toto et Riri jouent sur une balançoire pour gymnastes. Cette balançoire est un peu cassée, ainsi en la réparant ils ont été obligés d’en déplacer l’axe de rotation ; la balançoire a une longueur de 5 m mais l’axe de rotation ne se trouve qu’à 2,3 m de l’extrémité gauche, et sa hauteur est telle que lorsque le côté gauche est au sol le côté droit se trouve à 3m du sol. La balançoire est dans le plan (xOy). Toto se place à l’extrémité gauche et Riri est à l’autre extrémité. On donne la masse de Toto qui est de 80kg ainsi que celle de Riri qui elle est de 65kg.La balançoire est à l’équilibre avec le côté gauche qui touche le sol (le schéma représente la situation de la question 3 et 4).

1ère partie : à l’équilibre Question 1 : Pour quelle(s) masse(s) de Riri la balançoire va pencher du côté de Riri ? A. 66kg B. 67kg C. 68kg D. 69kg E. 70kg Question 2 : Concernant les moments des poids de Toto et Riri :

A)

sont de sens opposé.

B)

C)

D)

E)

51

2ème partie : en mouvement Question 3 : Riri saute en l’air à 5 mètre de hauteur (hauteur absolue), quelle est la vitesse de Riri juste avant qu’il touche la balançoire ? On négligera les frottements.

A) B) C) D) E)

Question 4 : Quelle est la vitesse de Toto juste après que Riri touche la balançoire ?

A) B) C) D) E)

Exercice 4 : Théorème de l’énergie cinétique (**)

Rédacteur : Guillaume

Partie I : tennis

Un célèbre tennisman espagnol lance à la main la balle en l’air pour servir.

Il lâche la balle à une hauteur avec une vitesse verticale vers le haut.

On donne : masse de la balle et accélération de pesanteur

1) Sans considérer les frottements, quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

A) 3,21 m B) 3,83 m C) 4,15 m D) 4,77 m E) 5,59 m

2) On considère maintenant les frottements. La balle monte à une hauteur maximale .

En déduire le travail des frottements au cours de la montée :

A) -0,12 J B) -0,24 J C) -0,37 J D) -0,49 J E) -0,68 J

Partie II : lancer de marteau

Une athlète russe (bon, d’accord, elle n’est pas aussi célèbre), tourne sur elle-même en tenant son

marteau (une boule d’acier de masse attachée à un fil de longueur , et pas

un truc pour planter les clous !).

Initialement, ses bras sont tendus (longueur ) et la boule a une vitesse .

On négligera les frottements et la masse du fil. Le mouvement est uniquement dans un plan

horizontal.

On assimilera le rayon de la trajectoire circulaire à la longueur du fil plus celle des bras.

52

1) Tatyana fléchit les bras, ce qui amène leur longueur à . En appliquant le théorème

du moment cinétique, calculer la nouvelle vitesse de la boule :

A) 6 m/s B) 11 m/s C) 15 m/s D) 20 m/s E) 23 m/s

2) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, calculer le travail effectué par les muscles

fléchisseurs de ses bras :

A) -208 J B) 0 J C) 350 J D) 608 J E) 750 J

Aide exercice 2 : la force est toujours colinéaire au fil mais pas toujours perpendiculaire au mouvement de la boule. Le

poids est perpendiculaire au mouvement à tout instant.

53

Chapitre n°3 : Magnétisme

Cours

Ce chapitre est réputé pour sa difficulté et est très souvent abandonné. Pourtant, c’est l’un des

chapitres les plus importants, car non seulement il vaut un nombre de points conséquent au

concours, mais il est aussi indispensable à la compréhension des chapitres sur la RMN et des ondes

électromagnétiques qui suivent. C’est maintenant qu’il faut le travailler, pendant que tu n’es pas

encore débordé par d’autres matières comme l’anat’.

Il faut l’aborder doucement, s’assurer de sa bonne compréhension partie par partie, poser des

questions, et faire de nombreux exercices pour se l’approprier. Il y a une articulation logique du cours

que tu dois repérer et que je m’efforcerai de mettre en évidence par mes commentaires.

Ici, tu dois maîtriser tes formules trigonométriques, les dérivées, les intégrales, les équations

différentielles et surtout le produit vectoriel pour bien suivre… Alors arme-toi de toutes les manières

possibles pour réussir à terrasser le magnétisme et le faire tomber de son piédestal ! Bon courage !

PARTIE 1 : INDUCTION DE CHAMP MAGNETIQUE

I) Loi de Biot et Savart

Une particule chargée en déplacement émet autour d’elle un champ magnétique, noté , exprimé

en Tesla (T = ). Ce champ fait correspondre à chaque point M de l’espace un vecteur

.

Par analogie, un petit élément de fil conducteur (dans

lequel se déplace des électrons), situé en A, émet un

champ magnétique au point M d’expression :

Où :

est le courant circulant dans l’élément de fil, en Ampère (A).

est la longueur infinitésimale (très petite) de l’élément conducteur. Sa direction est celle

de l’élément du fil, son sens est celui du courant par convention.

est le vecteur .

54

est une constante fondamentale appelée perméabilité du vide qui vaut exactement :

.

Astuce : pour déterminer l’orientation du champ, utilise la règle des trois doigts : le pouce

selon , l’index selon et le majeur indiquera la direction de .

Remarque : On peut dessiner des lignes de champ autour d’un conducteur. Une boussole

s’aligne selon les lignes de champ, c’est-à-dire dans le sens de (cf « Dipôle magnétique »)

II) Champ crée par un fil infini

Nous avons vu le champ crée par un petit élément de fil. Cependant, comprends bien que ce qui nous

intéresse, c’est de déterminer le champ d’un fil entier ! Nous allons donc voir des exemples sur la

méthode à employer (voir fiche méthodologie).

On travaille en coordonnées sphériques dans un repère . On peut déjà remarquer que :

Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément

de fil

On applique la loi de Biot et Savart :

Etape 2 : Tout exprimer en fonction d’une seule variable

Nous allons exprimer toutes les variables en fonction de l’angle . On remarque que

seuls r et dl dépendent de :

55

Enfin, on remplace dans l’expression de :

Etape 3 : Déterminer le champ total

Maintenant, nous allons additionner tous les crées par l’ensemble des petits éléments qui

composent le fil. Or l’addition d’un ensemble de composants infinitésimaux (très petits) définit

l’intégrale. Il faut bien choisir les bornes de celui-ci, de manière à décrire tout le fil, qui est infini : on

remarque que varie entre

et

.

Ouf ! On est arrivé au bout ! Si tu as compris le raisonnement, tu as probablement compris la partie

la plus compliquée du chapitre.

Remarque :

Cette formule est un résultat de cours, à savoir utiliser (tu perdras trop de temps à la

redémontrer le jour du concours) !

On peut facilement adapter la formule à un fil fini (ou même semi infini), en modifiant les

bornes de l’intégrale :

Attention au « sens » des bornes, il doit respecter les conventions qu’on a fixées par

rapport à et au sens du courant I (même sens).

56

III) Champ crée par une bobine

a) Champ induit par une spire sur son axe

Avant toute chose, imprègne-toi des schémas. Tu remarqueras que les composantes en dehors de

l’axe (Oz) s’annulent à cause de la symétrie de la spire. Nous ne calculerons donc que la composante

!

On remarque que :

Etape 1 : Déterminer le champ crée par un petit élément de fil :

Loi de Biot et Savart :

Dans le produit , seule la composante selon (0z) nous intéresse.

Or ne nous intéresse pas car il n’est pas selon .

57

Etape 2 : Tout exprimer en fonction d’une seule variable

On remarque que ne dépend ni de , ni de . En effet, ces deux derniers sont constants pour un

même point P d’application du champ. Donc pas de travail supplémentaire cette fois !

Etape 3 : Déterminer le champ total :

Il suffit de décrire le champ en intégrant selon la longueur du fil.

On a fini, mais comme cette formule n’est pas très pratique à utiliser, on va l’améliorer un peu :

Remarque : elle a l’air plus lourde, mais tu verras qu’elle est beaucoup plus facile à utiliser !

Cas particuliers (faites les démonstrations !) :

Le champ au centre de la spire (en d = 0) est :

Le champ très loin de la spire (d>>R) est :

58

b) Bobines d’Helmholtz

Une bobine (ou solénoïde) est un assemblage de plusieurs spires parcourues d’un courant.

Il existe un montage particulier, appelé bobines d’Helmholtz où l’on place deux bobines de

rayon R sur un même axe, espacées d’une distance R.

Sur le schéma suivant représente les champs émis par chaque bobine individuellement et le

champ total émis par une bobine d’Helmholtz.

Intérêt : Cette configuration permet de créer un champ uniforme (c’est-à-dire égale en tout point

de l’espace). Elle est à la base de nombreuses constructions, dont l’IRM (imagerie par résonnance

magnétique).

c) Champ crée par un solénoïde infini

Le champ à l’intérieur d’un solénoïde infini d’axe (Oz) est uniforme et vaut :

Avec N le nombre de spires par unité de longueur.

Remarques :

Pour trouver le sens du champ, « enroulez » avec votre main la spire/bobine dans le sens du

courant, votre pouce sorti vers l’extérieur indique la direction du champ.

En dehors du solénoïde infini, le champ est nul.

59

PARTIE 2 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UNE

PARTICULE

C’est bien de calculer des champs magnétiques, mais tu commences sans doute à te demander à quoi

ça sert. Nous allons voir dans cette partie les conséquences de l’application d’un champ sur une

particule en mouvement.

I) Force exercée sur une charge en mouvement : Force de Lorentz

a) Déviation d’une particule chargée

Les particules chargées sont déviées lors de leur déplacement dans un champ magnétique. Pour une

particule animée d’une vitesse de charge q et de masse m, l’expression de l’accélération est :

Le poids des particules étant négligeable, on déduit à l’aide du principe fondamentale de la

dynamique qu’il l’existe une force qui s’exerce sur la particule, telle que :

Cette force s’appelle la force de Lorentz.

b) Travail de la force de Lorentz

Le travail élémentaire est :

= Et comme

Par permutation circulaire du produit vectoriel (cf cours de mathématiques) :

dt

Sachant que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :

Conséquences :

La force de Lorentz ne travaille jamais.

Elle ne peut pas mettre une particule immobile en mouvement (théorème de l’énergie

cinétique).

Elle ne peut pas faire varier la vitesse d’une particule.

60

II) Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique

a) Caractéristique du mouvement

On peut décomposer le vecteur vitesse en deux composantes : une composante selon l’axe (Oz)

et une composante dans le plan (Oxy).

Nous avons vu que la force de Lorentz ne travaille pas, donc la vitesse totale est constante.

La force selon (Oz) est nulle : .

Donc, la composante est constante.

Comme et sont constantes, est constante.

On peut donc décrire comme un vecteur qui précesse autour

de l’axe de norme constante, ce qui est vérifié par l’égalité :

(Sa norme est bien constante :

)

On a donc d’une part :

(le provient du fait qu’on dérive des fonctions composées, de type (v°u)’ = u’v’(u) )

D’autre part, d’après le principe fondamental de la dynamique :

On en déduit l’égalité :

Donc :

La vitesse angulaire est donc constante !

61

b) Trajectoire de la particule

J’ai procédé différemment du professeur pour ce calcul, car je trouve celui-ci plus simple. Les deux

aboutissent au même résultat de toute façon.

Considérons que la particule se déplace dans le plan (Oxy), perpendiculaire au champ magnétique.

La force est radiale, la vitesse uniforme, on en déduit que la particule a un mouvement circulaire

plan.

Or, la norme de l’accélération centripète s’écrit :

D’où (PFD) :

c) Application : le spectromètre de masse

Le spectromètre de masse est une méthode

d’analyse utilisée en laboratoire :

On génère des ions, on les accélère grâce à un

champ électrique, puis ils pénètrent dans une

zone où le champ magnétique est uniforme

pour décrire un demi-cercle. En fonction de

leur masse, le rayon de leur trajectoire varie.

Ils sont alors détectés et identifiés en sortie.

On a toujours :

62

PARTIE 3 : FORCE EXERCEE PAR UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UN CIRCUIT

On va maintenant s’intéresser aux effets d’un champ magnétique sur l’ensemble d’un circuit. Nous

commencerons par le point de vue microscopique pour comprendre la force macroscopique.

Introduction : notions d’électrostatique

Le professeur considère que vous connaissez ces notions d’électrostatique sans réellement les

expliquer. Elles ne sont pas vraiment au programme, mais elles te permettront de comprendre les

prochaines lignes.

Loi de Coulomb :

Tu as appris au lycée que deux charges électriques distantes de r exercent l’une sur l’autre une force

régie par la loi de Coulomb (ou interaction électrostatique) :

Champ électrique :

On en déduit qu’une charge q’ émet un champ électrique (unité : autour d’elle, telle

qu’une charge q placée en M subit une force de :

avec

Potentiel électrique :

On définit le potentiel électrique par :

Le potentiel créé par une charge q à un point M est donc (à une constante d’intégration près) :

On s’intéresse souvent à la différence de potentiel de deux points distants de a (ou tension

électrique) :

63

I) Effet Hall

Pour rappel, un conducteur parcouru d’un courant est composé de charges mobiles (électrons) et de

charges fixes (positives) organisées en un réseau cristallin.

On s’intéresse à un conducteur soumis à un champ magnétique , parcouru par un courant

orienté selon . Déterminons d’abord la vitesse des électrons, qui circulent en sens inverse du

courant (voir schéma). On a :

Avec le nombre d’électrons par unité de volume et la charge élémentaire.

D’où

Ils subissent donc la force de Lorentz :

Cette force « pousse » donc les électrons vers les y négatifs, ce qui crée une accumulation de charge

négative de ce côté, une accumulation de charge positive de l’autre côté. Il apparait donc un champ

électrique qui engendre une force . Cette force attire les charges négatives vers les charges

positives, elle est donc orientée selon au niveau des électrons.

Conséquence : La force électrique contrecarre la force magnétique.

64

On écrit alors l’égalité :

On va donc avoir une différence de potentiel entre les deux côtés

qui sont espacés d’une distance a.

Intérêt :

On peut déterminer le nombre d’électron dans un conducteur en le soumettant à un

champ magnétique connu.

On peut mesurer l’intensité et la direction d’un champ magnétique inconnu. Pour ça, on

utilise des sondes à effet Hall, où n et b sont connus. Elles ont l’avantage d’être rapides, de

petite taille et sensibles.

II) Force de Laplace

Le même champ électrique que nous avons vu pousse les charges fixes du réseau cristallin.

Le nombre de charge par unité de volume a la même valeur que celle des électrons : n.

La charge totale d’un élément de fil de longueur dl vaut :

65

La force subie par le fil vaut donc :

qu’on réorganise un peu pour trouver :

On l’appelle Force de Laplace, il s’agit de la force électromagnétique qui s’exerce sur l’ensemble

des charges d’un matériau conducteur. C’est la force qui va déplacer macroscopiquement des

circuits en présence d’un champ.

PARTIE 4 : DIPOLE MAGNETIQUE

I) Définition d’un aimant et d’un dipôle

On appelle un matériau qui émet un champ magnétique :

aimant.

Exemples : Circuit parcouru d’un courant, mais aussi

certaines substances spontanément aimantées (Fe, Co,

Ni…), certains oxydes métalliques (magnétite, ilménite…)

et des alliages (Néodyme-fer-Bore est le plus puissant

d’entre eux). Certaines substances peuvent être

aimantées artificiellement.

Lorsqu’on s’éloigne suffisamment d’un aimant, on peut

considérer celui-ci comme un dipôle magnétique.

II) Champ magnétique et moment d’un dipôle

Loin d’un aimant, le champ est dipolaire. On peut l’écrire :

Où est le moment magnétique (dipolaire).

Ecrivons-le d’une autre façon :

66

Pour cela, on projette le moment sur et (petit schéma pour y

voir clair) :

On remplace :

Donc :

Moment dipolaire d’une spire :

Nous avons précédemment montré que le champ très loin de la spire ( ) est :

C’est le champ d’un dipôle magnétique de moment dipolaire : où S est la surface de la

spire et un vecteur normal perpendiculaire au plan où se trouve la spire, et orienté de façon à ce

que le courant tourne dans le sens positif trigonométrique par rapport à lui.

Cette formule de est valable pour toutes les formes de spires, c’est-à-dire pour tout circuit

fermé.

67

III) Travail de retournement et énergie potentielle d’un dipôle

On va s’intéresser au travail d’une force exercée par un opérateur pour

retourner un circuit dans un champ magnétique (voir schémas pour

comprendre le mouvement). On prend comme modèle une spire carrée.

La force de Laplace exercée sur les fils supérieur et inférieur vaut :

De même pour les fils antérieur et postérieur, on a :

On applique une force d’un opérateur, qui est l’opposé de la Force de Laplace. Le déplacement

obtenu est tel qu’on peut écrire le déplacement élémentaire : .

Remarquons que dz est dy sont négatifs.

Le travail est :

Pour le fil supérieur :

Pour le fil inférieur (le déplacement est l’opposé de ) :

Pour les fils antérieur et postérieur, le travail est nul :

Donc au total :

On intègre ensuite. Les bornes sont les positions initiale et finale sur l’axe (0y) :

avec S la surface de la spire.

68

D’un point de vue énergétique, le système est passé d’un équilibre d’énergie à un équilibre

d’énergie , tel que :

On peut donc écrire à une constante près :

et de telle sorte que

En généralisant, on trouve que l’énergie potentielle d’un dipôle magnétique est :

Il y a un équilibre stable lorsque et sont colinéaires de même sens et un équilibre instable

quand et sont colinéaires de sens opposé. Cette notion sera primordiale dans le chapitre de

la RMN !

IV) Couple agissant sur un moment magnétique

De la même manière qu’une force dérivant d’une énergie potentielle tend à ramener un objet à sa

position d’équilibre stable (comme le poids tend à ramener une bille au fond d’une baignoire), il

existe un couple qui tend à rapprocher de pour atteindre une position d’équilibre stable :

Application : La boussole s’oriente pour minimiser son énergie potentielle : son moment magnétique

s’aligne dans le sens du champ.

PARTIE 5 : INDUCTION MAGNETIQUE

I) Force électromotrice induite

Considérons que l’on met en mouvement un fil rectiligne de longueur L dans un champ

constant dans le temps. La vitesse du fil vaut .

Les électrons dans le fil subissent la force de Lorentz :

69

L’effet de cette force est le même qu’un champ électrique fictif, que l’on appelle champ

électromoteur :

Une différence de potentiels entre les extrémités du fil apparait alors. On parle de force

électromotrice induite ( ou f.é.m):

En l’écrivant différemment :

Avec qu’on appelle le flux magnétique de à travers le circuit :

avec (pour cf définition moment magnétique)

Remarques :

Dans le cas d’un champ variable dans le temps sur un circuit immobile, on retrouve la même

formule par changement de référentiel.

L’intégral se fait sur la surface délimitée par la spire (c’est une « double » intégrale, car on

intègre sur une longueur dl²)

II) Loi de Faraday

Quelle que soit la cause de la variation de flux magnétique, il apparait dans le circuit une force

électromotrice induite qui s’écrit :

Avec

III) Une application : le transformateur

Le transformateur est constitué de deux bobines de et

spires respectivement. Un noyau de fer permet de guider les

lignes de champ magnétique d’une bobine dans l’autre.

Elles sont alimentées par une tension variable et sinusoïdale de

la forme :

Calculons leur flux respectif : et où S est la surface d’une spire.

70

Deux cas :

Fonctionnement en court-circuit

On crée un court-circuit dans la bobine 2 (en reliant les extrémités du fil) :

Or d’après la loi de Faraday :

On en déduit que le champ est nul.

Or celui-ci vaut :

(formule adaptée du solénoïde)

On en déduit :

Fonctionnement à vide

C’est le fonctionnement dans le cas où et ne sont pas nuls.

71

PARTIE 5 : FICHES METHODOLOGIQUES

I) Méthodologie du calcul de champ magnétique

Etape 1 : Déterminer le champ magnétique crée par un petit élément du circuit.

-On applique la loi de Biot et Savart (valable pour tout type de circuit) :

Pour cela, on repère dans l’énoncé à quoi correspondent et .

-On réalise le produit vectoriel. Il faut exprimer ou en fonction de vecteur unitaire d’un

système de coordonnée. La règle des trois doigts ou du tire-bouchon peut être pratique pour

vérifier vos calculs.

Etape 2 : Exprimer toutes les variables en fonction d’une seule variable.

-Il sera impossible d’intégrer si on ne prend pas en compte toutes les variables. Il faut donc

toutes les exprimer en fonction d’une seule variable.

-Repérer quelles sont les variables et quelles sont les constantes.

-Souvent, on choisira un angle, il faudra recourir aux propriétés de trigonométrie pour exprimer

toute variable en fonction de constantes et de cet angle. Quand c’est possible, choisissez

d’intégrer en fonction d’une longueur, c’est beaucoup plus simple (mais impossible dans le cas

d’un fil infini par exemple).

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant

-La somme du champ induit par chaque petit élément permet de déterminer le champ global.

Or . L’opération de somme consiste donc en une intégration.

-Déterminer les bornes de l’intégrale : il faut « décrire » l’ensemble du système. La variable varie

de la borne 1 à la borne 2. Cette notion, un peu abstraite, sera mieux illustrée dans les calculs de

champ.

Remarque très importante :

Tu tomberas sur deux types de calculs de champ magnétique :

-Des circuits composés d’exemples du cours. Ne perds pas de temps à tout redémontrer et

utilise/adapte tes formules de cours. Exemples : un circuit composé de plusieurs spires, de fils

rectilignes, de solénoïdes…

- Des circuits « inédits ». Utilise cette méthodologie. Exemples : Spirale, sphère chargée en

mouvement, …

72

II) Quelques exemples de calcul de champ usuel

Pour mieux comprendre la méthodologie, voici quelques exemples de champ magnétique qu’on

pourrait te demander de calculer, issus des ED de l’année dernière. Essaie de les faire avant de

regarder la démonstration !

1) Adapter une formule de cours

Champ d’un fil fini

Calculer le champ magnétique au point P en fonction des angles et . On note

la distance HP. On reprend la formule du cours pour un fil infini, juste avant

d’intégrer :

On a changé les bornes de manière à décrire le fil, de haut en bas dans le sens de

l’intensité. On calcule alors :

Attention ! J’ai pris négatif !

Champ au centre d’une spire carrée de côté a

On calcule d’abord la contribution du champ du segment AD, qui

est celle d’un fil fini :

( pointe vers nous)

Avec :

,

et

Chaque côté crée un champ de même norme et même sens au centre, donc :

73

2) Calculer un champ « inédit »

Spirale logarithmique infini

Soit une spirale logarithmique d'équation

avec une constante. Elle est parcourue par un courant

d'intensité I, dirigé de son centre O vers l'infini. Calculer le champ

magnétique créé en O par une partie de la spirale comprise entre

et .



Les variables sont et . Nous allons intégrer en fonction de , donc exprimer en fonction de .

On a

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant.

Et oui, ça marche même avec des formes bizarres !

Solénoïde fini :

Celui-là, je le mets car il est assez « classique », mais le calcul n’est pas facile.

On considère un solénoïde de longueur L, d’axe de révolution Oz, de rayon R, comportant N spires

jointives, parcourues par un courant I. On note z la côte d’une spire vue sous un angle depuis un

point M de l’axe Oz à la distance z. Exprimer le champ magnétique en tout point M de l’axe Oz en

fonction des angles et , angles sous lesquels les faces du solénoïde sont vues (cf. figure).

74


On pose

le nombre de spires par unité de longueur. On considère le champ émis par un

petit nombre de spire , sur une longueur du solénoïde. On a donc :

Connaissant le champ d’une spire :


Les variables sont et r

On veut exprimer r en fonction de .

Pour exprimer dz en fonction de :

Remarque : la dérivée de

est

.

75

Etape 3 : Déterminer le champ total en intégrant.

Remarque : attention aux signes, il y a de quoi se tromper entre les moins de la primitive et

devant la formule.

76


Exercices : Séance 1

Exercice 1 : Champ magnétique d’un circuit (*)

Rédactrices : Lisa et Chloé

On considère un fil infini parcouru par un courant d’intensité I = 20 mA qui aurait été tordu autour

d’un point que l’on prendra comme origine du repère de telle sorte qu’on peut le décrire de la façon

suivante :

Une extrémité (fragment 1) rectiligne et contenue dans un plan parallèle à xOz et coupant

l’axe Oy en y = 4 cm

Un fragment (2) décrivant un demi-cercle de rayon r = 4cm

L’autre extrémité (fragment 3) est également rectiligne et contenue dans un plan parallèle à

xOz et coupant Oy en y = - 4 cm

Le courant circule dans le sens indiqué sur le schéma suivant :

1) Déterminer la contribution du premier fragment au champ qui règne en O ?

A)

B)

C)

D)

E)

77

2) Déterminer le champ total qui règne en O

A.

B.

C.

D.

E.

Exercice 2 : Loi de Biot et Savart (*)

Rédactrice : Chloé

On se place dans un référentiel orthonormé direct et dont les axes directeurs ont pour vecteur unitaire respectivement .

1) On considère à l’instant l'élément de courant placé à l’origine O du repère.

Exprimer au point à cet instant en utilisant la loi de Biot et Savart.

On donne , et a = . On rappelle que

A.

B.

C.

D.

E.

2) On considère toujours à l’instant l'élément de courant placé à l’origine O du repère.

Exprimer maintenant au point à cet instant.

On donne , et .

A.

B.

C.

D.

E.

78

3) On considère maintenant à l’instant l'élément de courant placé en .

Exprimer au point à cet instant en utilisant la loi de Biot et Savart.

On donne , , , et .

A.

B.

C.

D.

E.

Exercice 3 : Champ crée par un triangle équilatéral (**)


Calculez le champ magnétique créé au centre O d’un triangle équilatéral direct ABC et traversé par un courant d’intensité I (pour répondre à cette question il peut être utile de calculer dans un premier temps la contribution au champ en O d’un seul côté du triangle). On donne et .

A.

B.

C.

D.

E.

Exercice 4 : Mouvement d’une particule dans un champ (***)

Rédacteur : Ali et Adrien

Partie 1

Durant tout l’exercice, nous nous placerons dans le référentiel lié au fil infini.

Nous considérons un électron situé à une distance , d’un fil infini uniformément chargé.

Nous admettrons que le fil infini exerce à tout instant et en tout point sur l’électron, situé à une

distance de ce dernier, une force telle que :

Initialement, la particule a un mouvement de rotation dans le sens trigonométrique positif à vitesse

uniforme autour du point O (origine du repère) situé sur le fil infini.

79

Nous soumettons alors cette particule à un champ électrique tel que avec .

Nous considérerons que le champ exerce alors sur la particule une force , avec q la charge

de la particule.

On donne :

Combien de tour(s) la particule aura-t-elle fait lorsqu’elle arrivera au plan de cote ?

A) 1 tour

B) 2 tours

C) 3 tours

D) 4 tours

E) 5 tours

80

Partie 2

On accélère des ions dans un spectromètre de masse. Quel(s) ions aurai(ent) la même trajectoire

que les ions s’ils étaient accélérés à la même vitesse ?

A) Un cation azote :

B) Un anion azote :

C) Un dication azote :

D) Un cation diazote :

E) Un dication diazote :

81


Exercices : Séance 2

Exercice 1 : Force de Laplace (*)

Rédacteur : Léon

1) Un fil de longueur L = 1m orienté vers les x croissants et placé dans un champ d’induction

magnétique (en Tesla) est parcouru par un courant I = 5A.

Quelle est la force exercée sur le fil (en N) ?

A)

B)

C)

D)

E)

2) On place 2 fils infinis séparés l’un de l’autre par une distance D, parcourus par des courants I1 et

I2 de sens opposés.

82

A) L’expression du champ magnétique créée par le fil 1 en tout point du fil 2 est :

B) L’expression de la force créée par le fil 1 et agissant sur une partie infinitésimale du fil

2 est :

C) L’expression de la force créée par le fil 1 et agissant sur une partie infinitésimale du fil

2 est :

D) Les deux fils se repoussent l’un et l’autre avec une force de même norme.

E) Si les courants étaient de même sens, les fils s’attireraient l’un vers l’autre.

Exercice 2 : Dipôles magnétiques (***)


On se place dans un plan défini par les vecteurs unitaires et .

Deux dipôles magnétiques de moments et (avec et

) et sont placés respectivement en A et en B, situés à une distance

l’un de l’autre, ils peuvent s’orienter librement dans le plan.

On suppose que ces dipôles sont ponctuels car ils sont de dimensions négligeables face à d ;

on fera également l’approximation dans cet exercice qu’au voisinage de chaque dipôle, le

champ créé par l’autre dipôle est constant (à noter que ceci n’est plus vérifié si l’on s’éloigne

suffisamment).

On appelle l’angle entre (AB) et , tandis que correspond à l’angle entre (AB)

et .

83

1) Calculer l’énergie potentielle du dipôle 2 dans le champ crée par le premier dipôle

lorsque

et

A)

B)

C)

D)

E)

2) Déterminer l’expression (en ) du couple exercé par le dipôle de moment sur

celui de moment :

A)

B)

C)

D)

E)

3) Pour

, quelle doit être la valeur de (en degrés) pour observer un

équilibre stable ?

A)

B)

C)

D)

E)

Exercice 3 : Flux magnétique(**)


On dispose de deux conducteurs identiques parallèles que l’on suppose infiniment longs, de rayon , dont les axes sont distants d’une distance . Le conducteur de gauche est traversé par un courant d’intensité dirigé vers le haut et le conducteur de droite est traversé par un courant de même intensité mais dirigé vers le bas.

1) Calculer le champ magnétique au point M situé entre les deux conducteurs à une distance de l’axe du conducteur de gauche. Nous assimilerons les conducteurs à des fils de section négligeable.

A)

B)

C)

D)

E)

84

2) Calculer le flux magnétique à travers la surface rectangulaire délimitée par les deux conducteurs et de longueur (on fera attention pour cette question à choisir correctement la largeur de la surface considérée).

A) B) C) D) E)

Exercice 4 : Bobines d’Helmholtz (***)

Rédacteur : Adrien

Deux spires circulaires identiques de rayon R = 5cm sont placées sur un même axe (Oz), de part et

d’autre et à une distance

de l’origine. Elles sont parcourues par un même courant

(sens positif trigonométrique par rapport à l’axe). Pour des raisons de lisibilité, le schéma n’est pas à

l’échelle.

1) Calculer le champ induit par les deux spires à l’origine.

A)

B)

C)

D)

E)

2) On inverse le courant de la spire de gauche (z<0). Quel est alors le champ au centre de cette

même spire ?

A)

B)

C)

D)

E)

85

Un enfant s’amuse avec les boutons du générateur qui alimente les spires. Il fait varier l’intensité de

telle sorte que le champ magnétique total auquel la spire de droite est soumise s’écrit :

T avec

. La résistance de la spire est .

3) Il se demande (mais si !) quelle est l’intensité du courant induit par la variation de flux

magnétique au bout d’une seconde :

A)

B)

C)

D)

E)

86

Chapitre n°4 : Introduction à la physique des ondes

Cours

Au concours, les ondes représentent le tiers des questions : pas d’impasse possible ! Et il y avait des

points « faciles » ! Ce chapitre est abordable à condition de bien connaître (ou avoir sous les yeux)

vos formules de trigonométrie et le principe des dérivées partielles. Nous ne reviendrons pas sur les

notions de terminale déjà traitées, qui sont supposés acquises.

PARTIE 1 : MODELISATION MATHEMATIQUE D’UNE ONDE : cas général

I) Fonction d’onde à une dimension spatiale

On peut modéliser la perturbation créée par une onde à l’aide d’une fonction à deux variables qui

dépend du temps et de l’espace. On la note : .

Ces deux composantes et ne sont pas indépendantes, mais sont liés entre elles. On note u la

fonction qui relie t et x. Déterminons u :

La source crée une perturbation à l’origine à l’instant t : Le mouvement de la perturbation

au point d’abscisse est le mouvement de la source avec un retard :

. La perturbation au

point x sera celle de la source au temps : . On peut donc écrire au point x :

.

La relation entre t et x est donc

si la célérité est positive (l’onde se déplace vers les x

croissants), et

si la célérité est négative (l’onde se déplace vers les x décroissants).

Au final, on peut écrire .

Cette relation est générale et concerne tout type d’onde.

II) Equation d’Alembert

Ondes à une dimension :

Alembert propose une équation qui régit la propagation d’une onde dans le temps et l’espace

(admise) :

87

Sans la résoudre, on peut déjà donner quelques propriétés essentielles :

Elle est invariante dans le temps et dans l’espace. Toute variation dans le temps est

compensée par une variation dans l’espace. Donc si est solution, est

aussi une solution.

Elle est linéaire, il existe donc un principe de superposition : si et sont solutions, alors

est aussi solution.

Résolution :

Calcul lourd, âmes sensibles s’abstenir ! (seul le résultat est important)

On pose

et

. dépend donc à la fois de et de . On peut donc écrire, par le

théorème de composition de fonction :

Or

et

Notre système d’équation devient alors :

On recommence une deuxième fois :

On connait déjà

et

, donc on reporte :

88

On introduit ensuite le tout dans l’équation d’Alembert :

Et comme

:

où h est une fonction de v seulement ;

Qu’on intègre pour trouver :

où f est une constante vis-à-vis de v, mais pas de u.

La solution générale est :

La solution générale de l'équation de d'Alembert se met donc sont la forme d'une superposition

d'une fonction f quelconque qui représente une onde qui se propage vers les x croissants, et d'une

fonction g quelconque qui représente une onde qui se propage vers les x décroissants.

III) Ondes à deux ou trois dimensions

Equation d’Alembert à plusieurs dimensions

On réécrit simplement l’équation :

Pour simplifier les notations, on utilise souvent un opérateur appelé le Laplacien.

Onde plane

Quel que soit le nombre de dimension de l’onde, on peut toujours trouver une solution qui ne

dépend que d’une variable, par exemple x : . Cette fonction d’onde est alors

valable pour tout plan d’abscisse x, on parle d’onde plane.

89

Onde sphérique

On cherche la solution d’une onde à trois dimensions en coordonnées sphériques. Posons

.

On simplifie par

, équation qu’on a déjà résolue :

PARTIE 2 : ONDES SINUSOIDALES

I) Modélisation mathématique

Ceci est probablement LE paragraphe le plus important du cours. Il faut absolument le connaître

par cœur !

Rappel : Les ondes périodiques sont caractérisées par une double périodicité temporelle (période T)

et spatiale (longueur d’onde .

Il existe une certaine classe d’ondes périodiques qu’on peut modéliser par une fonction sinusoïdale :

Avec :

est appelé phase (en radian).

est appelé phase à l’origine ou déphasage (rad).

est l’amplitude de l’onde.

est la pulsation ( , définie par

où f est la fréquence.

est le nombre d’onde( , défini par

.

On remarque que l’espace et le temps sont reliés par :

.

90

Le signe avant est négatif pour un déplacement vers les x croissants, positif pour un déplacement

vers les x décroissants.

Remarquer qu’un déphasage de

transforme le sinus en un cosinus.

II) Théorème de Fourrier

Ce paragraphe a une importance pratique en physique des ondes, mais il est peu probable qu’on vous

fasse faire des calculs avec ce théorème, qui demande beaucoup de rigueur mathématique.

Soit f(u) une fonction périodique de période T, continue et dérivable partout. On peut la

décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de périodes sous-multiples de T :

Avec

la moyenne de la fonction d’onde.

Et

et

En pratique, on obtient une onde plus simple à manipuler. Vous remarquerez que la somme est

infinie, mais on peut faire une approximation en choisissant un (d’autant plus précise que

est grand).

III) Notation complexe

Il est possible d’utiliser la notation complexe pour une onde sinusoïdale. Prenons une onde :

Par invariance dans le temps, une autre solution est :

Par linéarité, est aussi solution :

L’intérêt est de la rendre plus simple à manipuler !

91

PARTIE 3 : L’EFFET DOPLER

I) Définition

L'effet Doppler est le changement de fréquence d'une onde périodique lorsque soit sa source

(émetteur) soit le récepteur est mobile.

Un exemple bien connu est celui d'une voiture de pompier ou une ambulance dont le son change de

hauteur lorsque qu’elle se rapproche puis s'éloigne. Nous verrons quelques applications en

médecine (enfin !).

II) Récepteur mobile, source fixe

La source, fixe, émet une onde :

L’onde émise vers les x croissants est donc :

Le récepteur, lui est mobile. Il se déplace à une vitesse vers les x croissants. Sa position est donc :

Comprendre que comme le récepteur s’éloigne de la source, il va recevoir l’onde plus tard qu’un

récepteur immobile en . On comprend déjà que la période T va être allongée.

Il reçoit finalement un signal de :

Or

Ainsi, l’onde reçue par le récepteur a la même amplitude, mais sa pulsation apparente est modifiée :

ou

La formule générale à retenir est :

)

Avec le vecteur vitesse du récepteur et le vecteur vitesse de l’onde parallèle à la direction de

propagation. est l’angle ( .

Dans l’exemple, comme étaient colinéaires et de même sens, .

92

III) Source mobile, récepteur fixe

Cette fois-ci, c’est la source qui est mobile. On considère que le signal de l’émetteur est :

et qu’il se déplace à vitesse v. Sa position est donc :

On cherche l’onde qui se propage, qu’on note :

La condition à respecter est qu’à tout instant, l’amplitude de cette onde doit être égal à celle de la

source là où est se trouve, en X(t).

Donc

Ce qui nous donne d’une part et d’autre part :

On peut alors faire une identification entre les termes qui dépendent du temps :

La formule générale à retenir est :

93

Exemples d’application de l’effet Doppler :

- En médecine : On utilise l’échographie Doppler pour calculer la vitesse du sang. Un ultrason se

réfléchit sur une hématie en mouvement et retourne à l’émetteur avec une fréquence modifiée.

On l’utilise également pour mesurer la vitesse des parois cardiaques.

- Chant : Les chanteurs d’opéra sont immobiles quand ils chantent, sinon leur public les entendrait

faux !

- Animaux : Les chauves-souris utilisent une écholocation pour détecter leur proie.

PARTIE 4 : REFLEXION D’UNE ONDE SUR UN OBSTACLE

I) Expérience

Considérons la réflexion d’une onde au bout d’une corde attachée à un mur. On secoue la corde loin

du mur, la perturbation se propage et elle se réfléchit en produisant une onde de même amplitude

mais de signe opposé.

II) Interprétation

La perturbation initiale se déplace vers les x croissants et se caractérise par une fonction

d’onde incidente : . On cherche la fonction de l’onde réfléchie, qui se déplace vers

les x décroissants.

Au point attaché au mur, en x = L, la fonction d’onde est nulle.

94

A partir de , l’onde réfléchie se déplace vers les x décroissants. On peut alors considérer que la

source de cette onde est en L, et utiliser le même raisonnement qu’au premier paragraphe du cours.

La perturbation à l’abscisse sera donc celle de la source avec un retard :

. La

perturbation en X sera celle de la source au temps .

Sachant que

On en déduit finalement que :

Dans le cas où est une fonction sinusoïdale, on observe un cas très particulier : l’onde est

stationnaire.

PARTIE 5 : ONDES STATIONNAIRES

I) Définition

La superposition de deux ondes sinusoïdales de même fréquence et même amplitude qui se

déplacent en sens opposé crée une onde stationnaire : on a l’impression qu’elle ne se propage plus

et qu’elle est statique. D’un point de vue mathématique, les variables du t et x ne sont plus liés

entre elles.

II) Exemple de calcul

Considérons l’onde résultante de la somme de deux cosinus :

On obtient le produit d’une fonction qui ne dépend que du temps et d’une fonction qui ne dépend

que de l’espace. C’est bien une onde stationnaire.

95

Pour vos calculs, rappels des formules de trigonométrie (à toujours avoir avec soi) :

III) Résonnance et harmoniques

Lorsqu’il y a une onde stationnaire, on dit que le système est en résonnance : On observe des points

qui correspondent à des extrema fixes, appelés ventres, et d’autres points qui sont immobile,

appelés nœuds. Déterminons les abscisses des nœuds :

Or, ni A, ni ne sont nulles pour tout temps t. Donc :

avec .

La distance entre deux nœuds est donc :

Même travail avec les ventres :

96

Et enfin, la distance entre un nœud et un ventre est :

Conditions limites (savoir-faire)

Il faut parfois que certaines conditions soient réunies pour rentrer en résonnance. Prenons une

corde dont les deux extrémités sont fixes, elle impose :

On reprend :

Première condition :

Deuxième condition :

La corde ne résonne que si cette relation entre sa longueur d’onde et la longueur de la corde est

respectée. De même, on peut remarquer que toutes les fréquences de résonnance sont des

harmoniques d’une fréquence fondamentale :

Concrètement, dans les exercices, il faut partir des conditions limites pour trouver la relation propre

au système entre la longueur d’onde et la longueur de la corde/tube/…

Application : Les instruments de musique utilisent les modes de vibrations dans leur fonctionnement.

97

IV) Expérience de la corde de Melde

Ceci est un exemple très particulier, il ne sera pas traité dans le cours oral.

On attache une corde d’un côté à un vibreur, de l’autre côté au mur. Le vibreur a un mouvement

sinusoïdal. La rencontre de l’onde incidente et de l’onde réfléchie produit une onde stationnaire.

Seulement, la résonnance n’apparait que si certaines conditions sont respectées. Les conditions

limites sont au nombre de deux :

L’onde est imposée par le vibreur en x = 0. On fixe :

L’onde est nulle au point x = L.

L’expression de l’onde totale est sous la forme :

1)

Or, A’ n’est pas nul, n’est pas constamment nul, donc :

On a donc :

2)

Par identification, .

98

Donc :

99

Chapitre n°4 : Introduction à la physique des ondes

Exercices

Nous n’avons pas de séance d’ED pour les ondes. Cependant, ces QCM supplémentaires

sont destinés à ceux qui souhaitent aller plus loin. A l’instar des autres chapitres, une

correction détaillée vous sera fournie.

Exercice 1 : Fonction d’onde sinusoïdale (*)

Rédacteur : Adrien

1) Soit une onde sinusoïdale représentée par une fonction , qui se déplace avec un

célérité de . On donne :

Calculer la fréquence et la longueur d’onde :

A)

B)

C)

D)

E)

2) Parmi ces propositions, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

A) L’onde est stationnaire.

B) L’onde se déplace vers les x croissants

C) L’onde se déplace vers les x décroissants

D) L’onde est périodique.

E) Cette onde déplace de la matière sans transport d’énergie

3) A un instant donné, quel est la distance entre deux nœuds ?

A)

B)

C)

D)

E)

100

Exercice 2 : Effet Doppler dans un capillaire sanguin (***)

Rédacteur : Adrien

On peut utiliser une sonde à ultrason pour

déterminer la vitesse du sang. Dans un premier

temps, dans une artère, l’onde se réfléchit sur une

hématie (cellule sanguine) animée d’une vitesse V.

Les trajectoires de l’onde incidente et de la cellule

forme un angle

.

Données : ; ; .

1) Déterminer différence de fréquence avec la fréquence de l’onde reçue par

l’hématie.

A)

B)

C)

D)

E)

2) Le rayon est alors réceptionné par le capteur. Calculer la différence de fréquence

avec la fréquence de l’onde reçue par le capteur.

A)

B)

C)

D)

E)

3) On utilise cette fois-ci ce dispositif sur un capillaire sanguin avec le même angle. L’appareil

reçoit une différence de fréquence . Déterminer la vitesse du sang dans ce

capillaire.

A)

B)

C)

D)

E)

101

Exercice 3 : Ondes et notation complexe (**) Rédacteur : Adrien

Le champ magnétique d’une onde électromagnétique polarisée en notation complexe est

avec

. Le champ magnétique est

la partie réelle de .

1) Déterminer l’expression du champ magnétique.

A)

B)

C)

D)

E)

De même, le champ électrique de cette onde en notation complexe est :

avec

.

2) Déterminer l’expression du champ électrique.

A)

B)

C)

D)

E)

Le vecteur de Poynting ou de densité de puissance s’écrit :

3) Déterminer le vecteur (une ou plusieurs proposition(s) possible(s)).

A)

B)

C)

D)

E)

102

Exercice 4 : Vagues (*)

Rédacteur : Adrien

1) On s’amuse à faire des vagues dans une piscine de 10 m de longueur qui contient en son

centre un ballon situé au point B.

On assimile les vagues à des ondes sinusoïdales se propageant dans le sens des x croissant.

On donne :

A) Ici, on a en .

B) Au temps , le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.

C) Au temps , le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.

D) Au temps , le ballon sera pour la première fois au plus haut sur la vague.

E) L’onde est de type transversal.

2) Les vagues sont ensuite réfléchies au bout de la piscine et on obtient

une onde . On nomme forme l’onde résultante de

la somme des deux ondes et .

A. L’onde stationnaire est de la forme .

B. L’onde stationnaire est de la forme .

C. L’onde stationnaire est de la forme .

D. L’onde stationnaire est de la forme .

E. SI l’onde réfléchie avait une amplitude de alors aurait eu une amplitude

de

103

Correction rapide des exercices

Rappels de maths

Exercice 1

1) et 2)

Exercice 2

1)

2)

Exercice 3

QCM : B

Rédactionnel :

1) a)

b)

2)

Exercice 4

I)

II) C

Exercice 5

1) A

2) C

3) AE

Exercice 6

Partie A : 1) BD 2) C

Partie B : AE

104

Exercice 7

Partie 1 :

1)

2)

Partie 2 :

1)

2)

Exercice 8

A) 1)

; 2) –

B) 1) 2)

C) 1)

2)

Exercice 9

1)

2)

105

Mécanique

Exercice 1

1) B

2) A

3) C

4) C

Exercice 2

1) C

2) E

3) C

Exercice 3

1) DE

2) AB

3) A

4) BE

Exercice 4

Partie 1

1) B

2) D

Partie 2

1) D

2) C

106

Magnétisme

Séance 1

Exercice 1

1) B

2) E

Exercice 2

1) C

2) A

3) C

Exercice 3

Réponse D

Exercice 4

1) E

2) AE

Séance 2

Exercice 1

1) C

2) CDE

Exercice 2

1) A

2) E

3) C

Exercice 3

1) E

2) D

Exercice 4

1) D 2) B 3) E

107

Introduction aux ondes

Exercice 1

1) BE

2) BD

3) C

Exercice 2

1) C

2) D

3) C

Exercice 3

1) A

2) A

3) DE

Exercice 4

1) CE

2) A

109

INTRODUCTION A LA BIOPHYSIQUE

Bonjour petit PAES !

Te voilà face à la partie Biophysique de la pré-rentrée, avant de te lancer dans la partie théorique

voici quelques petites choses à savoir :

La biophysique est une matière à réflexion, c’est donc une matière complexe parce qu’il faut

comprendre ce que tu fais et pas seulement appliquer sans réfléchir.

Cependant c’est une matière qui rapporte des points « facilement » car elle est regroupée avec la

physique (matière qui rapporte moins de points, soyons honnête…).

Il ne faut donc pas la négliger, même si au sein de l’épreuve d’UE3.1 elle représente peu de QCMs,

c’est elle qui sauvera probablement ta note.

C'est surtout une matière qui nécessite de l’entraînement pour réussir, ça peut être long, mais une

fois qu’on a compris la logique c’est gagné !

Même si on bloque il faut essayer de faire l’exercice, car c’est à force de se tromper qu’on apprend

et qu’on progresse.

En gros, pour progresser en biophysique, n’hésite pas à poser des questions (canal question, profs

d’ED, tuteurs…) jusqu’à ce que tu aies compris.

Nous te souhaitons donc bon courage dans ton apprentissage !

110

Chapitre n°5 : Solutions et compartiments liquidiens

Cours : Solutions

Le cours sur les solutions, c’est la base de la biophysique, il s’agit de calculs de concentrations,

volumes et autres. Ce qu’il faut bien comprendre c’est les différents termes et les différentes unités

que l’on utilise. Une simple petite erreur là-dessus et tous vos calculs seront faux ! Donc assurez-

vous d’avoir bien compris ce chapitre le plus tôt possible.

La première chose à comprendre, c’est que notre corps se compose de « compartiments », et ce

sont ces compartiments que l’on va étudier en biophysique. Donc à retenir :

Sang = plasma + globules

Globules = hémoglobine + autres-trucs-divers

Plasma = eau + protides

Ensuite vous devez connaitre certains calculs pour trouver les valeurs qui vous intéressent.

Ils sont tous regroupés dans la suite de ce cours.

Si l’on sépare les volumes des compartiments sanguins on aura donc un volume de plasma et un

volume de globules (= volume de tous les globules, pas d’un seul) que l’on peut exprimer en

pourcentage du volume de sang ce qui donne :

Hématocrite =

en % % de plasma dans le sang = 1 – Hématocrite

Maintenant on sépare ce qu’il y a à l’intérieur des globules et l’on va chercher à connaître la

concentration en hémoglobine dans les globules appelée concentration corpusculaire :

Concentration corpusculaire =

_____________________________

De manière plus générale on s’intéresse aux solutions (bah oui c’est quand même le titre du

chapitre…), ce sont des solutés (molécules, ions…) qui nagent dans un solvant.

On peut donc calculer, un peu comme l’hématocrite, le pourcentage de tel soluté sur l’ensemble de

la solution (rappel, la solution c’est les solutés ET le solvant et non pas juste le solvant).

C’est ce que l’on appelle la Fraction molaire =

=

Ce qui donne donc fH2O + fS = 1 (fraction de l’eau + fraction de tous les solutés = toute la solution)

_____________________________

111

Une notion importante de l’année, les différentes concentrations :

Que vous connaissez déjà :

Concentration massique / pondérale = ci-massique =

en kg/m3 ou g/L

Concentration molale = ci =

en mol/kg ou mmol/L d’eau

ci =

=

.

avec MH2O = masse molaire de l’eau = 0,018 kg/mol

Concentration molaire = ci-molaire =

en mol/m3 ou mmol/L de solution

ci-molaire =

Il faut bien comprendre la différence entre la concentration molale qui se calcule sur l’eau (le

solvant uniquement) et la concentration molaire qui se calcule sur la solution (solvant ET solutés).

Ainsi il existe un lien entre concentration molale et concentration molaire :

ci =

avec ф = fraction aqueuse de la solution =

(comme tout à l’heure il s’agit d’un pourcentage)

Revenons un peu sur les compartiments sanguins, le plasma est composé d’eau et de protides, on

peut donc calculer la fraction aqueuse du plasma :

ф plasma =

=

=

_____________________________

Une autre différence à bien saisir, les moles et les osmoles. Prenons un exemple, avec le NaCl. En

solution le NaCl se sépare en Na et Cl, on dit qu’une mole de NaCl se divise en deux osmoles (si l’on

avait du CaCl2 ce serait 3 osmoles bien sur). Ainsi pour une concentration molaire de NaCl de

140mmol/L on aura une concentration osmolaire de 280mOsm/L. Ce qui donne avec des formules :

Concentration osmolale = osmolalité = cosm =

en osm/kg ou osm/L d’eau

cosm =

=

.

fH2O =

cosm = ∑i . ci

112

Concentration osmolaire = osmolarité = cosmolaire =

en osm/m3 ou mOsm/L de solution

cosmolaire = ∑i . ci-molaire cosm =

D’où : Osmolarité du plasma = ф . osmolalité

_____________________________

Maintenant que vous avez fait le tour des notions principales, voici quelques rappels et aides qui

peuvent vous être utiles face à un exercice :

- Aide au calcul avec VIC/VEC (cf. chapitres suivants, mais je vous le mets ici pour plus tard) :

cosm =

=

(avec “ajouts éventuels” = par exemple lorsqu’on vous dit « on ajoute 15mmol de Na+ », sans

variation de volume)

- Concentration équivalente = céq = ∑cations. zi . ci = ∑anions. zi . ci avec zi = valence de l’ion.

- Electroneutralité de toutes les solutions : céq (anions) = céq (cations)

- Solution diluée : fH2O > 0,99 ; cosm < 0,56 osm/kg

- Concentration plasmatique des protéines = (1- ф) d

- Rappel de conversions : 1cm3 = 1mL ; 1dm3 = 1L ; 1m3 = 103 L

- Tableau récapitulatif des relations entre les diverses formules :

113


Cours : Compartiments liquidiens

Comme je vous le disais la biophysique étudie les compartiments du corps, on va donc entrer un peu

plus dans le vif du sujet. Ce début de chapitre est souvent l’objet des premières questions

d’exercices, ce sont des points facilement gagnés une fois qu’on a compris mais surtout tous vos

calculs dépendront de ces premières valeurs, donc ne vous trompez pas !

Volume de distribution :

Le principe : on injecte un traceur dans le corps pour mesurer un volume à l’aide de calculs grâce aux

données apportées par le traceur. Il ne s’agit pas de mesures directes donc le volume de distribution

est un volume fictif. Il se calcule ainsi :

Volume de distribution Vd =

On peut utiliser différents traceurs (les formules suivantes sont adaptées selon le traceur) :

- Traceur exogène ou endogène marqué : traceur absent du corps à l’état basal.

V =

=

Avec Qexcrété = curines Vurines

- Traceur endogène : traceur déjà présent dans le corps.

V =

Des traceurs à connaître et ce qu’ils permettent de mesurer :

Traceurs endogènes marqués (*) : Traceurs exogènes :

V plasmatique Albumine * Bleu Evans

Eau Extracellulaire Na*, SO42- * (le plus fiable) Mannitol

Eau totale Eau *, urée * Antipyrine

On en déduit : eau IC = eau totale – eau EC, et eau interstitielle = eau EC – eau plasma.

114

Mesure du stock de soluté :

Le traceur va occuper le même volume que le soluté non marqué dans le corps soit :

VX = VX*

=

stock X =

. stock X*

avec : stock X* = Qinjectée - Qexcrétée

Attention, on ne mesure que le stock atteint par l’isotope (ex pour le Na : Na échangeable

uniquement).

Estimation des concentrations cellulaires (exemple : Na+) :

Le stock de Na correspond au Na intra et extracellulaire.

Stock Na = [Na]molale, EC VEC + [Na]molale, IC VIC [Na]molale, IC =

115


Exercices

L’exercice 1 comporte des questions de cours pour vous entraîner à utiliser les formules de cours. Les

exercices 2 et 3 sont des exercices type-concours.

Exercice 1

1) On considère que dans le plasma seules les protéines on un volume non négligeable. Leur

densité est égale à 1.

La concentration plasmatique des protéines est de 65 g.L-1

- Quelle est la fraction aqueuse du plasma ?

2) On considère que dans les globules rouges seule l’hémoglobine a un volume non

négligeable. Sa densité est égale à 1.

La concentration dans les globules rouges est égale à 32 g.L-1

- Quelles est la fraction aqueuse des globules rouges ?

3) On cherche à calculer la concentration molale de l’urée plasmatique.

On a : фpl = 0,94 ; [urée]pl = 4,8 mmol.L -1 de plasma ; M(H20) = 18 g.mol-1

- Quelle est la concentration molale de l’urée plasmatique ?

- En déduire sa fraction molaire

4) La concentration molale du Na dans le plasma est de 150 mmol.L-1 ; фpl = 0,94

- Quelle est la concentration molaire du Na dans le plasma

5) On injecte en IV à un patient après lui avoir demandé de vider sa vessie, quelques ml d’une solution isotonique contenant 5200 unités d’urée marquée. Quelques heures après, on effectue un prélèvement sanguin et on demande au patient de vider à nouveau sa vessie : on recueille alors 180 ml d’urines. La quantité d’urée marquée est mesurée dans un échantillon de 10 ml de ces urines. Cette quantité est égale à 30 unités. Sur le prélèvement sanguin, on obtient les résultats suivants : concentration plasmatique de l’urée : 4,5 mmol/l de plasma ; concentration plasmatique de l’urée marquée : 0,088 unité/ml de plasma - En déduire le volume de distribution de l’urée ? - Sachant que l’urée diffuse uniformément dans tous les compartiments liquidiens de

l’organisme, que représente ce volume ?

6) On injecte à un patient après lui avoir demandé de vider sa vessie, une solution isotonique au plasma contenant 2200 unités de Na radioactif. Au bout de quelques heures on recueille 150 mL d’urines contenant 4 U.mL-1 de Na*et une concentration plasmatique d’urée radioactive de 100 U.L-1. - En déduire le volume de distribution du Na ? - A quoi correspond ce volume ? - Sachant que la concentration de Na dans ce milieu est de 140 mmol.L-1, quel est le stock

de Na ?

116

7) On injecte 150 mmol de mannitol (de volume négligeable) dans le milieu extra cellulaire d’un patient. A l’équilibre on observe une concentration de 8,3 mmol.L-1 de mannitol dans le compartiment EC. - Quel est le volume de distribution du mannitol ?

8) On cherche à connaitre le stock de Na d’un patient. On lui injecte alors 1300 unités de Na

radioactif, ce qui donne une concentration de Na* de 83,3 U.L-1 après élimination de 300 U radioactives - Quel est son stock de Na sachant que sa natrémie est à 138 mmol.L-1 ?

- Quel est son volume extracellulaire ?

Exercice 2

Dans tout l'exercice on prendra la valeur la plus proche de la valeur trouvée. Un P2 pesant 70 kg (et que du muscle!), a un volume total VT = 40 L. On considère que les boucles de contrôle du bilan hydrique et du bilan sodé fonctionnent normalement. Dans cet exercice, le corps sera considéré comme deux compartiments, un intracellulaire, et un extracellulaire, séparés par une membrane imperméable aux ions mais laissant passer l'eau. De plus on considérera qu'il n'y a que trois ions, Na+, Cl- et K+. On ne fera pas de distinction entre concentration molaire et molale. La concentration plasmatique de sodium cNa = 140 mmol.L-1 On souhaite mesurer son volume intra- et extracellulaire. Pour cela on injecte une solution isotonique au plasma contenant 1200 unités de sodium radioactif Na* (le volume injecté est suffisamment faible pour ne pas entraîner de mouvements d'eau ; on néglige la désintégration radioactive du Na*). Après injection, on mesure:

la concentration plasmatique de Na* : cNa*, P = 58,8 u.L-1

on recueille un volume d'urine : VU = 200 mL

on mesure dans ce volume une concentration cNa*, U = 1000 u.L-1

1) Le volume de distribution du sodium radioactif est : A. 14 L B. 16 L C. 17 L D. 20 L E. 22 L 2) En déduire le volume intracellulaire : A. 17 L B. 18 L C. 20 L D. 22 L E. 23 L 3) Quel est, en mmol, le stock de sodium SNa total ? A. 2381 B. 2857 C. 2,381

117

En déduire la concentration intracellulaire, en mmol.L-1, de sodium [Na+]ic : D. 0,43 E. 0,043

Exercice 3 (Concours Faculté de Médecine Pierre et Marie Curie 2007)

On rappelle que la fraction aqueuse d’une solution est définie comme le rapport du volume d’eau

contenue dans la solution au volume total de la solution et que l’hématocrite est défini comme le

volume des globules rouges contenu dans un échantillon sanguin au volume total de cet échantillon

(on néglige les globules blancs et les plaquettes). On considérera que, dans le plasma, seules les

protéines occupent un volume non négligeable et que leur densité est égale à 1 (c'est-à-dire que leur

masse volumique est la même que celle de l’eau). On considérera de même que, dans les globules

rouges, seule l’hémoglobine occupe un volume non négligeable et que sa densité est aussi égale à 1.

On rappelle enfin qu’il n’y a pas d’hémoglobine dans le plasma, que l’urée diffuse librement dans

tous les compartiments liquidiens de l’organisme et que sa masse molaire est égale à 60 grammes

par mole.

On injecte en IV à un patient de 70 kg, après lui avoir demandé de vider sa vessie, quelques ml d’une

solution isotonique contenant 4800 unités d’urée marquée (il n'est pas nécessaire de préciser ici ces

unités qui peuvent être des unités de radioactivité). Quelques heures après, on effectue un

prélèvement sanguin et on demande au patient de vider à nouveau sa vessie : on recueille alors 200

ml d’urines. La quantité d’urée marquée est mesurée dans un chantillon de 5 ml de ces urines. Cette

quantité est égale à 15 unités.

Sur le prélèvement sanguin, on obtient les résultats suivants :

- taux d’hémoglobine : 12,6 g / dl de sang

- hématocrite : 0,45

- concentration plasmatique des protides : 60 g de protides / l de plasma

- concentration plasmatique de l’urée : 4,7 mmol/l de plasma

- concentration plasmatique de l’urée marquée : 0,094 unité/ml de plasma

Dans cet exercice, on prendra soin de ne pas confondre concentration molaire et molale.

1) Quelle est (en g/l de globules rouges) la concentration de l’hémoglobine dans les globules rouges:

A. 5,7

B. 12,6

C. 23

D. 28

E. 280

2) Quelle est la fraction aqueuse des globules rouges (fraction aqueuse du liquide contenu dans les

globules rouges) :

A. 0,72

B. 0,87

C. 0,93

D. 0,97

E. 0,98

118

3) Quelle est (en mmol/l d’eau) la concentration molale de l’urée dans le plasma :

A. 4,4

B. 4,7

C. 5

D. 5,4

E. 6,5

4) Quelle est (en mmol/l de globules rouges) la concentration molaire de l’urée dans les globules

rouges :

A. 3,4

B. 3,6

C. 4,7

D. 6,5

E. 7

5) Quel est (en mmol/l de sang) le taux d’urée sanguine (quantité d’urée contenue dans 1 litre de

sang) :

A. 3,6

B. 4,2

C. 4,7

D. 5

E. 5,4

6) Comparer le stock d’urée de l’organisme du patient à la quantité d’urée (environ 40 grammes)

synthétisée chaque jour par l’organisme. Le stock d’urée du patient :

A. est à peu près égal au tiers de la quantité synthétisée chaque jour

B. est à peu près égal à la quantité synthétisée chaque jour

C. est à peu près égal à 10 fois la quantité synthétisée chaque jour

D. est à peu près égal à 100 fois la quantité synthétisée chaque jour

7) Sachant que l’urée se distribue uniformément dans tous les compartiments liquidiens de

l’organisme, en déduire la quantité (en litres) d’eau totale contenue dans l’organisme :

A. 5

B. 14

C. 42

D. 45

E. 48

119

Correction rapide des exercices

Exercice 1

1) фpl = 0,94

2) фGR = 0,68

3) curée = 5,1 mmol.L-1 d’H20

furée = 0,09

4) [Na+]pl = 141 mmol.L-1 de plasma

5) Vd =53 L

Le volume d’eau total de l’organisme

6) Vd = 16 L

Au volume extra cellulaire

Stock Na = 2240 mmol

7) 18 L

8) 1656 mmol

12 L

Exercice 2

1) C

2) E

3) AE

Exercice 3

1) E

2) A

3) C

4) B

5) B

6) A

7) C

120

REMERCIEMENTS

Ont participé à la rédaction de ce poly (QCM/Cours):

- Guillaume

- Léon

- Chloé

- Xavier

- Yannick

- Adrien

- Anne-Gaëlle

- Marie

Responsables de la rédaction du poly :

- Ali et Adrien pour la Physique

- Anne-Gaëlle et Marie pour la Biophysique

Merci à tous pour le temps précieux passé sur ce poly !

Spr ue3.1 poly cours et exercices

Education

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