Spectre des graphes aléatoires - Leçon IIgt-alea.math.cnrs.fr/alea2006/Conf/M-Bauer-C2.pdf ·...

Propriétés locales du spectre de matrices 0-1 Le cas de la valeur propre 0 Lien avec l’optimisation combinatoire

Spectre des graphes aléatoiresLeçon II

Michel Bauer

SPhT-SACLAY & [email protected]

Rencontres ALEA 2006CIRM, Marseille, 06-10 mars 2006

Spectre des graphes aléatoires Leçon II Rencontres ALEA 2006


Plan

Propriétés locales du spectre de matrices 0-1Examen du spectreÉtats localisés

Le cas de la valeur propre 0Hauteur du picÉtats localisésLocalisation et délocalisation

Lien avec l’optimisation combinatoireEffeuillage, binômage et couverturesLa synthèse des arbres



Résumé de l’épisode précédent

I Des exemples de matrices aléatoiresI Sans espace physique : matrices aléatoires gaussiennesI Avec espace physique : problème de

conduction-localisationI Intermédiaire :

matrices aléatoires 0-1 ↔ graphes aléatoires d’Erdös etRenyi

I Composantes connexes du modèle d’Erdös et Renyi,percolation

I Calcul des moments du spectre des matrices aléatoires 0-1



Propriétés locales du spectre de matrices 0-1



Examen du spectre

Observation plus attentive du spectre

I Expliquer l’existence de pics δ

I λ valeur propre d’un arbre T sur npoints

∼ N1sαn−1e−αn copies de T dans GN,α/N

→ T contribue 1s αn−1e−αnδ(x − λ)

à la densité spectrale ρ(x)



Examen du spectre

Observation plus attentive du spectre près de 0I C’est la qu’il y a le plus gros pic δ

I C’est la qu’on voit le mieuxI α grand : ρ(x) monte (pente infinie ?)

près de 0 α = 4I α ↘ : ρ(x) descend en 0± α = 2.6I α ↘ : pente de ρ(x) grande (infinie ?)

ρ(0±) 6= 0 α = 2I α ↘ : ρ(x) plat en 0± α = 1, 2I Un régime à pente finie entre deux

régimes à pente infinie α = 2, 8Biais : taille des casiers



États localisés

MotifsI Graphe arbitraireI Vecteur ↔ un nombre à chaque vertexI Vecteur propreI Support → points vertsI Voisins du support → points brunsI Motifs : (composantes connexes du)

graphe induit par les points verts etbruns : liens bleus

I Les motifs ne sont liés au reste que parles points bruns

Poids d’un motif sur GN,α/N : en plus du facteur de symétrieI Point vert → e−α Lien bleu → α



États localisés

Motifs

−1

1

0

1

1−1

00

0

0

0

−1

I Graphe arbitraireI Vecteur ↔ un nombre à chaque vertexI Vecteur propreI Support → points vertsI Voisins du support → points brunsI Motifs : (composantes connexes du)






États localisés

Motifs

−1

1

0

1

1−1

0

−1

0

I Graphe arbitraireI Vecteur ↔ un nombre à chaque vertexI Vecteur propreI Support → points vertsI Voisins du support → points brunsI Motifs : (composantes connexes du)






États localisés

Vecteur propres localisésI Déf : Vecteur propre localisé en taille ≤ n ↔ Motif associé

de taille ≤ nI ≤ n et pas = n : problème des dégénérescences

I On laisse alors N → ∞ à n fixéI Si le motif n’est pas un arbre : o(N) occurrencesI Si le motif est un arbre : ∼ N occurrences

I Vecteur propre qui s’annule sur les points bruns → pic δ

dans le spectreI On fait n → +∞ : vecteurs propres localisés

I Ils ne contribuent qu’à des pics δ dans le spectre, auxvaleurs propres des arbres

I Attention : des états non localisés pourraient contribuer àdes pics δ, même pour des valeurs propres d’arbres

I Le spectre contient-il autre chose ? Pour α ≤ 1 non ! Maissinon ?



Le cas de la valeur propre 0



Hauteur du pic

Valeur propre 0 et effeuillageI x = (xa)a∈V est dans le noyau de G = (V , E)∑

b voisin de a

xb = 0

I Si f feuille de G et p son portefeuille, xp = 0

I Pour les points autres que p et f :∑b 6=p

b voisin de a xb = 0

I Pour le point p : xf s’adapte xf = −∑b 6=f

b voisin de p xb

I Conclusion : la dimension du noyau Z (G) ne change pas sil’on effeuille {p, f }, i.e. si l’on remplace G par le sousgraphe induit par V/{p, f }

Exemple



Hauteur du pic

EffeuillageI On peut itérer l’effeuillage, jusqu’à épuisement des feuilles

I Parfois, choix entre plusieurs feuillesI Enlever une feuille peut en créer d’autres

I Ambiguïté ? NonI Le nombre final de points isolésI Le cœur, i.e. le graphe final à part les points isolés

ne sont pas ambigusI Preuve : analogie avec la décomposition de Jordan-Hölder

d’un groupeI On peut effeuiller par couches : ablation simultanée d’une

feuille dans chaque bouquetI Bouquet : ensemble des feuilles partageant le même

portefeuille



Hauteur du pic

Les résultats de Karp et Sipser (1981)I Si l’on effeuille un GN,α/N

I Pour α ≤ e la taille du cœur est o(N)I Pour α > e la taille du cœur est O(N)

α = e : point critique pour l’arrachage des paires {p, f }α = 1 : point critique pour l’arrachage des singletons {f }

I Si (A, B) solution de{

AeB = α

BeA = α(avec A < B pour α > e)

I Taille du cœur ∼ Nc(α)

c(α) =(B − A)(1 − A)

α

I Nombre de points isolés ∼ Ni(α)

i(α) =A + B + AB

α− 1



Hauteur du pic

Les fonctions A et B

I Le système{

AeB = α

BeA = αa

I Une seule solutionA = B ≡ W si α ≤ e

I Trois solutions si α > e,mais une seule avec A < B

I W est analytique sur R+ :fonction de Lambert

Pourquoi les fonctions A et B



Hauteur du pic

Hauteur du pic δ à l’origineI Le résultat de Karp et Sipser donne une minoration de

z(α), hauteur du pic delta à l’origine

z(α) ≥ i(α) =A + B + AB

α− 1

Preuve : Z (G) est invariant dans l’effeuillage, et chaquepoint isolé contribue une valeur propre 0

I α ≤ e : pas de cœur donc z(α) = i(α)I α > e : simulations numériques précises z(α) = i(α) reste

vraiI Le cœur semble porter o(N) valeurs propres nulles...

pourquoi ?I À quoi ressemblent les vecteurs propres localisés associés

à la valeur propre 0 ?



États localisés

Motifs du noyau : les 0-arbresI Déf : un 0-arbre est un arbre qu’on peut bicolorier en et

avec les conditionsI Deux points voisins n’ont pas la même couleurI Tout point a au moins deux voisins Exemples

I Propriétés :I L’effeuillage d’une 0-forêt donne une 0-forêtI Un 0-arbre porte |V | − |V | valeurs propres 0

I Preuve : chaque effeuillage enlève un et unI Les vecteurs propres correspondants s’annulent sur les

pointsI Preuve : récurrence sur le nombre de points et effeuillage

I Déf : un 0-motif dans un graphe est un sous graphe induitqui est un 0-arbre, lié au reste du graphe seulement via lespoints



États localisés

Fréquence des 0-motifsI Sur GN,α/N un 0-motif apparaît

∼ N1|S|

α|V |+|V |−1e−α|V | fois

I Mais attention aux double comptage : un 0-motif peut secacher dans un autre

I Si deux 0-motifs se touchent, les coloriages sontcompatibles

I Preuve par l’absurde : comme les points ont au moisdeux voisins et que tous les voisins des sont onobtient que l’intersection contient une chaîne infinie

I Sur GN,α/N , on peut donc parler de 0-motifs maximauxI En réunissant deux 0-motifs on ne crée pas de boucles

I Comprendre les 0-motifs maximaux : fonctionsgénératrices



États localisés

Détour par les fonctions génératricesI Fonctions génératrices des 0-arbres :

F =∑

0-arbres

1|S|

β|V |γ|V |

I Fonctions génératrices de 0-arbres enracinés :F ≡ β∂βF pour les 0-arbres enracinés à racineF ≡ γ∂γF pour les 0-arbres enracinés à racineF̃ pour les arbres enracinés dont

I La racine a au moins un descendantI La racine compte pour un poids βI Les arbres descendants de la racine sont des 0-arbres à

racine



États localisés

Détour par les fonctions génératrices

I Pour faire F on attache à la racine au moins deux F :F = β

(eF − F − 1

)I Pour faire F on attache à la racine des F̃ :

F = γeF̃

I Pour faire F̃ on attache à la racine au moins un F :F̃ = β

(eF − 1

)I On vérifie que

F = −F F̃ + β(eF − F − 1

)+ γeF̃ = −F F̃ + F + F

Solution en série formelle : unique



États localisés

Une identité utileI Si T est un(e classe d’isomorphismes de) 0-arbre(s) :∑

0-arbres T ′

1|S ′|

Mult (T : T ′)β|V ′|γ|V ′| =1|S|

(βeF

)|V |γ|V |,

où Mult (T : T ′) est le nombre de fois que T ′ contient TI Preuve : si T est un 0-arbre, on construit tous les 0-arbres

le contenant comme motif en attachant aux vertex de Tun nombre arbitraire de 0-arbres à racine

I Application aux graphes aléatoires : choisir β et γ tels que

βeF = α γ = αe−α

I Poids des 0-motifs libres vs maximaux :

∼ N1

|S|αα|V |

(αe−α

)|V | vs ∼ N1

|S|αβ|V |γ|V |



États localisés

Application aux graphes aléatoiresI En manipulant

γ = αe−α F̃ = β(

eF − 1)

F = γeF̃

on tombe sur F eβ = α

I Donc on doit résoudre

βeF = α F eβ = α

I Quelle solution choisir ? F = A(α) β = B(α)I Quand α est grand, tout 0-motif sur GN,α/N est

probablement maximal : chaque point vert de plus coûtee−α

I Donc β ∼ α, ok pour β = B(α)



Localisation et délocalisation

ResommationsI Soit zloc la contribution totale des 0-motifs au pic δ à

l’origine

zloc(α) =∑

0-arbres

|V | − |V |

|S|αB(α)|V |

(αe−α

)|V |

I Cette somme converge pour tout α ≥ 0 et

zloc(α) = −BeA?

α+

A? + B + A?Bα

où A?(α) est la petite solution de Pourquoi A? ?

A? = Aeα(eA?−A−1)




Fonctions spéciales

I 1 − αA = 0 a deux solutionsI αd = 1.421529 · · ·I αr = 3.154985 · · ·

I A? = Aeα(eA?−A−1)

I Pour α ∈]αd , αr [A? < A,

I Pour α ∈ [0, αd ] ∪ [αr ,+∞[A? = A

I B? : discussion analogue




Discussion

I Comparaison de zloc(α) à z(α) = A+B+ABα − 1 :

zloc(α) = z(α) pour 0 ≤ α ≤ αd et α ≥ αrzloc(α) < z(α) pour αd < α < αr

I 0 ≤ α ≤ αd et α ≥ αr :I Les 0-motifs rendent compte de tous les vecteurs propres

du noyau, à o(N) prèsI αd < α < αr

I les 0-motifs ne portent qu’une fraction des vecteurs propresde valeur propre nulle




DiscussionI Aux valeurs critiques αd et αr

I Les valeurs moyennes de V et V sont finiesI Exemple : à αd

E (V − V ) =1 + 2αd − α3

d

α3d − α2

d= 1.139353 · · ·

I Les second moments de V , V et même V − Vdivergent

I Exemple : quand α → α−d .

E (V − V )2∼

α5d − α4

d − 3α3d + α2

d + 3αd + 1(2α4

d − α3d − α2

d )(αd − α)

I Ces grandes fluctuations plaident en faveur deI Entre αd et αr , le noyau reçoit une contribution extensive

de vecteurs propres délocalisés




Résumé

I αd = 1.4215 · · · αe = 2.7182 · · · αr = 3.1549 · · ·



Lien avec l’optimisation combinatoire



Effeuillage, binômage et couvertures

Effeuillage et binômages (matchings)I Sur un graphe, des liens sont indépendants s’ils n’ont pas

de points communsI Un binômage est une famille de liens indépendants de taille

maximaleI Y (G) : taille d’un binômage du graphe G (≤ |V |/2)I Lors d’un effeuillage, Y diminue de 1

I Motivation originale de Karp et Sipser pour l’effeuillageI Ils montrent que dans un GN,α/N le cœur a

Y (K ) = |V (K )|/2 + o(N) (binômage presque parfait dans lecœur)

I A rapprocher de Z (K ) = o(N) (le noyau est presque trivialsur le cœur)

Compléments



Effeuillage, binômage et couvertures

Effeuillage et couvertures (minimal vertex covers)

I Une famille de point couvre un graphe si tous les lienscontiennent au moins un point de la famille

I Une couverture d’un graphe est une famille de points detaille minimale qui couvre le graphe

I X (G) : taille d’une couverture du graphe G (≤ |V |/2)I Lors d’un effeuillage, Z diminue de 1

I Trouver une couverture sur un graphe arbitraire est NPI Sur un GN,α/N avec α ≤ e trouver une couverture

thermodynamique est facileI Si α > e, trouver une couverture du cœur d’un GN,α/N

semble difficile

Compléments



La synthèse des arbres

Le cas des arbresI Si G = (V , E) est un arbre, il existe un unique triplet

(Vb, Vv , Er ) ⊂ V × V × E tel que1. Vb, Vv et l’ensemble des extrémités de Er , noté Vr , forment

une partition de V2. Les liens de Er sont indépendants3. Les voisins des points de Vv sont dans Vb4. Les points de Vb ont au moins deux voisins dans Vv .

I Preuve par effeuillage (exercice)



La synthèse des arbres

Le cas des arbresI Lien avec le noyau

I En liant les points de Vv à leurs voisins (tous dans Vb) onforme des arbres qui sont les 0-motifs maximaux

I Lien avec les binômagesI Les liens de Er sont dans tous les binômages, les points de

Vb sont extrémité d’un lien dans tout binômage, chaquepoint de Vv est extrémité d’un lien dans certains binômagesmais pas dans tous

I Lien avec les couverturesI Les points de Vb sont dans toutes les couvertures, ceux de

Vv ne sont dans aucune couverture, tout point de Vrapparaît dans certaines couvertures, mais jamais en mêmetemps que son voisin dans Er



Conclusions provisoires

Conclusions

I Dans le modèle d’Erdös et RenyiI Le spectre est très compliquéI Une physique très richeI Bonne compréhension du pic δ à l’origineI Liens avec l’optimisation combinatoireI Quid des autres pics δ

I La combinatoire joue un rôle important dans l’étude desmatrices aléatoires

I On peut faire de la physique avec la combinatoire


Appendices

Pourquoi les fonctions A et B

I en : fonction génératrice des arbres de profondeur n

e0 = α en+1 = αe−en

I L’effeuillage en couche fait apparaître après n étapese2n−1, e2n et e2n+1 avec des rôles différents

I Pour n → +∞e2n → B e2n+1 → A

Les fonctions A et B


Appendices

0-arbres avec au plus quatre points

0-arbres


Appendices

I Sur un grapheI Une feuille et son

portefeuilleI On les arrache, ainsi

que les liens qui lestouchent

I On obtient un nouveaugraphe

Effeuillage


Appendices

Origine de A∗

I Pour β ≥ 0 fixé et γ assez petit,F =

∑0-arbres

1|S|β

|V |γ|V | est solution de

F e−β(eF −1) = γ

I Pour β ≥ 0, f 7→ fe−β(ef −1) est{ ↗, f ∈ [0, fc(β)]↘, f ∈ [fc(β),+∞]

I fc(β) : solution dans R+ de βfcefc = 1I Si γ = F e−β(eF −1) mais F > fc(β),∑

0-arbres1|S|β

|V |γ|V | < FI Notre cas particulier : β = B(α), γ = αe−α, F = A(α)

I F = fc(β) ⇔ αA(α) = 1 → {αd , αr }

I∑

0-arbres1

|S|B(α)|V | (αe−α)|V |

= A∗(α)

I Exact analogue de Te−T = α vs T =∑

arbres1|S|α

|V | zloc


Appendices

Compléments sur les binômages

CC

C

CC

C

CC

I Algorithme de Karp et Sipser : partant d’une liste vide1. Si le graphe en a, choisir une feuilles, ajouter le lien à la

liste et enlever les liens adjacents2. Sinon, choisir un lien au hasard uniforme, l’ajouter à la liste

et enlever tous les liens adjacentsI Sur un GN,α/N : algorithme thermodynamiquement optimalBinômagesSpectre des graphes aléatoires Leçon II Rencontres ALEA 2006

Appendices

Compléments sur les couvertures

G

G

G

G

G

G

G

G

I Algorithme analogique : partant d’une liste vide1. Si le graphe à une ou plusieurs feuilles, ajouter le

portefeuille à la liste et enlever les liens adjacents2. Sinon, choisir un sommet au hasard uniforme, l’ajouter à la

liste et enlever tous les liens adjacentsI Sur un GN,α/N : non-optimal, répliques, K − sat , etcCouverturesSpectre des graphes aléatoires Leçon II Rencontres ALEA 2006

Spectre des graphes aléatoires - Leçon IIgt-alea.math.cnrs.fr/alea2006/Conf/M-Bauer-C2.pdf ·...

Documents

Transcript of Spectre des graphes aléatoires - Leçon IIgt-alea.math.cnrs.fr/alea2006/Conf/M-Bauer-C2.pdf ·...