• Sous-espaces de Rn:– Définition;– Sous-espaces associés à une matrice;– Bases;– Coordonnées;– Dimension;– Rang.

Rappel...

Aujourd’hui

• Déterminants:– définition;– propriétés;– règle de Cramer;– calcul de l’inverse d’une matrice;– aire et volume;– transformations linéaires.

9. Déterminants

• Aujourd’hui, on étudie surtout les « petits » déterminants.

• Matlab: det(A)

Définition du déterminant

Pour n, le déterminant d’une matrice nnA = [aij] est la somme des n termes de la forme a1jdetA1j, avec les signes plus et moins en alternance et où les éléments a11, a12, ... , a1n forment la première ligne de A.

Définition du déterminant (suite)

De façon symbolique, on écrit:

detA = a11detA11 - a12detA12+ … +(-1)1+na1ndetA1n

jj

n

j

j AaA 111

1 det)1(det

Notation

det(A)

detA

|A|

Calcul d’un déterminant

Le déterminant d’une matrice nn A peut être calculé par une expansion en cofacteur le long de toute ligne ou de toute colonne.

Soit Cij = (-1)i+jdetAij, le cofacteur-(i, j) de la matrice A. L’expansion le long de la i-ième ligne est donnée par:

detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

Calcul d’un déterminant (suite)

L’expansion le long de la j-ième colonne est donnée par:

detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

Que fait un ordinateur?

Pour calculer le déterminant d’une matrice 2525 selon la méthode de l’expansion en cofacteurs, il faut 25! (1.551025) opérations.

1000 Gflops 500000 ans!!!!

Il existe des méthodes plus efficaces (heureusement!)

Déterminant d’une matrice triangulaire

Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

Opérations sur les lignes

Soit A une matrice carrée.

a. Si un multiple d’une ligne de A est additionné à une autre ligne pour produire une matrice B, alors det B = det A.

b. Si deux lignes de A sont permutées pour produire B, alors det B = -det A.

c. Si une ligne de A est multipliée par k pour produire B, alors detB = kdetA.

A ~ U

detA = (-1)rdetU

Donc,

detA = (-1)r (produits des pivots de U), si A est inversible.

detA = 0, si A n’est pas inversible.

Ordinateurs

• Les ordinateurs utilisent la méthode précédente.

• 2n3/3 opérations.

• Matrice 2525: 10 kflops.

Matrices inversibles et déterminants

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A 0.

Déterminant de la transposée d’une matrice

Si A est une matrice n n, alors det AT = det A.

Déterminant d’un produit de matrices

Si A et B sont des matrices n n, alorsdet AB = (det A)(det B).

ATTENTION!

det(A+B) detA + detB

Règle de Cramer

Soit A une matrice réversible n n. Pour toutb Rn, l’unique solution x du système Ax = b est donnée par

où Ai(b) = [a1, … ai-1, b, ai+1, …, an].

niA

Ax i

i ,,2,1,det

)(det

b

Formule pour calculer l’inverse d’une matrice

Soit A une matrice n n inversible. Alors

AA

A adjdet

11

Matrice adjointe

La matrice adjointe de la matrice A est la transposée de la matrice des cofacteurs.

nnnn

n

n

CCC

CC

CCC

A

21

212

12111

adj

Calcul de l’aire et du volume avec des déterminants

Si A est une matrice 22, l’aire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est |det A|.

Si A est une matrice 33, le volume du parallélépipède déterminé par les colonnes de A est |det A|.

Matrice diagonale 22

y

x(a, 0)

(0, d)

Aire = |ad|

C’est vrai.

Matrice 22

ca1

a2 + ca1

a2 a2 + L

L

a1 0

Exemple

(-7, -4)

(-5, 1)

(-1, 3)

(-3, -2)

(6, 7)

(0,0)

(2,5)

(4, 2)

Transformations linéaires et calcul de l’aire

Soit T : R2R2 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 2 2. Si S est un parallélogramme dans R2 alors

{aire de T(S)} = |det A|{aire de S}

Transformations linéaires et calcul du volume

Soit T : R3R3 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 3 3. Si S est un parallélépipède dans R3 alors

{volume de T(S)} = |det A|{volume de S}

Prochain cours...

• Valeurs propres et vecteurs propres.