Étude de l’utilisation par des professeurs et des élèves de quelques environnements

informatisés pour l’enseignement de l’arithmétique et de l’algèbre

Sophie René de Cotret

Université de Montréal

INRP UMR-ADEF

Gisèle Lemoyne et Lalina Coulange

Un peu de contexte

• Pas spécialiste des environnements informatisés en général

• Projet de recherche UdeM-Lemoyne al.• Conception et expérimentation d’un

environnement: Bouchons les trous (algèbre)

• Expérimentation pour d’autres (arithmétique…)

Plan

• Questions de recherche

• Trois environnements:– La calculatrice défectueuse– Al(ge)+br = e– Bouchons les trous

• Quelques caractéristiques de chacun

• Conclusion

Questions de recherche• Comment tirer profit des outils informatiques

pour repenser l’enseignement de notions sensibles dans le cursus mathématiques des élèves?

• Comment conjuguer libertés et contraintes des dispositifs pour soutenir et rendre plus efficaces les actions respectives du professeur et de l’élève?

• Quelles sont les conditions à mettre en place pour une intégration « harmonieuse et efficace » de ces environnements dans les classes de mathématiques?

Idées exploitées dans la conception des environnements• Les TIC peuvent être mises à contribution

pour:– Engager l’élève dans un processus de

construction des connaissances– Créer un canevas général de situations dont la

paramétrisation permet d’engendrer des situations spécifiques et laisse place à l’expertise didactique et pédagogique de l’enseignant

– Intégrer des dispositifs de rétroaction pour soutenir et orienter le travail de l’élève

• Rétroactions générées par l’environnement• Échanges en ligne avec des personnages didactiques

La calculatrice défectueuse

• 1ère tâche: Effectuer des calculs avec la calculatrice défectueuse

• 2e tâche: Décrire les nombres en jeu et la méthode utilisée pour réaliser le calcul

• 3e tâche: Associer les descriptions avec les calculs proposés et justifier

La calculatrice défectueuse

Le travail de l’enseignant

• Avant l’utilisation en classe– Choix des calculs– Choix des touches désactivées

• Pendant– Personnages en ligne…

• Après– Gestion des mises en correspondances

Exemple d’utilisation par un enseignant

• «  Moi je pense que ça va travailler les lacunes qu’ils ont au niveau de du sens du nombre… Quand j’arrive en algèbre et disons qu’ils ont 3x + 8 + 2x + 45; on veut simplifier ça l’écriture ... pour eux c’est pas dans leur mentalité… ils vont prendre le 5x et additionner 8 parce qu’ils cherchent une réponse … car depuis qu’ils sont petits on les confronte toujours on a un paquet de trucs à faire et ça donne une réponse …

En préparation à l’algèbre…

• … donc eux ils ne comprennent qu’on peut partir de quelque chose de long de même et faire la même chose; ils sont habitués de faire 6 x 7 = 42 mais ils ne sont pas habitués de dire 42 je peux écrire 6 x 7 à la place puis c’est la même chose …  »

Le travail des élèves:3 * 5 + 6

1279 x 797 : touches désactivées : 2,9,7

1279 x 797

=

1 019 363

1000+100+100+60+10

+10 –1 x 500 + 100 + 100

+ 80 + 10 + 5 + 1 + 1

=

1 077

-la calculatrice est vraiment folle ;

-c’est peut-être à cause du –1 x 500;

-on va le mettre avant

1279 x 797

=

1 019 363

1000+100+100+60+10

-1 + 10 x 500 + 100 + 100

+ 80 + 10 + 5 + 21 + 1

=

6566

-pourquoi on est si loin ; on va essayer avec 100

-on va voir ce qu’on gagne

1279 x 797

=

1 019 363

1000+100+10+60+10

-1 + 100 x 500 + 100 + 100

+ 80 + 10 + 5 + 1 + 1

=

51 416

-ça augmente presque de 10 fois….

-à cause de 100 qui est 10 fois plus que 10 ; la multiplication ne se fait pas sur les autres nombres…

- on peut mettre ensemble 2 nombres … on met des parenthèses

1279 x 797 : touches désactivées : 2,9,7

1279 x 797

=

1 019 363

1000+10+ 60 + 10

-1 + (100 + 100) x 500 + 100

+ 100 + 80 + 10 + 5 + 1 + 1

=

101 376

-on a doublé : comme 500 x 100 et un autre 500 x 100

-je pense qu’on peut tout mettre entre parenthèses

-même le - …

-oui … on multiplie 500 par chacun des nombres et on enlève –1 … 500

1279 x 797

=

1 019 363

(1000+10+ 60 + 10

-1 + 100 + 100) x 500 + 100 + 100 + 80 + 10

+ 5 + 1 + 1

=

639 797

-on est pas loin

-on doit mettre le 2e avec des parenthèses pour tout multiplier

-je suis sûr sûr

-la différence est grande

-oui … c’est comme si on faisait presque 300 fois l’autre nombre

1275 x 975 : touches désactivées : 2, 4,6,7,8,9,+,-, (, )(reste: 1, 3, 5, 0, * ÷)

1275 x 975

=

1 115 625

300 x 5 x 155 x 5

=

1 162 500

-on peut pas faire ça sans + -

-on va voir en divisant par 3

-par 5 : ça marche mais on a pas les nombres on va essayer avec 300 x 155

-on peut pas mettre des ()

-ça fait rien on essaie

1275 x 975

=

1 115 625

300 x 3 x 155 x 5

=

697 500

-quand on multiplie toutes les parenthèses ne sont pas nécessaires

-mettons 5 x 3 x 5 ou

-(5 x 5) x 3 … c’est pareil … c’est comme les + … on demande au prof.

1275 x 975

=

1 115 625

300 x 5 x 150 x 5

=

1 125 000

-c’est pas brillant ce qu’on a fait ;

-attends … les 2 nombres finissent par 75 … on peut pas entrer 75 …

-on peut faire 75 avec 25 x 3 et 25 tu le fais comment

1275 x 975

=

1 115 625

5 x 5 x 51 x 5 x 5 x 35

=

1 115 625

-on va essayer 300 x 5 x 135 x 5

-pas brillant …

-je suis sûr qu’on raisonne mal … regarde ce qu’ils ont fait

-j’ai trouvé on est pas pas brillant … faut faire des x 5 pour trouver 425 et 175 les deux nombres de tout à l’heure

-ce serait simple si on avait des () pour savoir où on est rendu; 5x5 = 25; 25 x 4 = 100….

-trouvent en oubliant la calculatrice et en comptant par 25 … 5 x 5 = 25 et combien de 25 dans 1275 …

2e tâche: Description

Exemple « fictif » de descriptions

Exemples de descriptions

• 1er nombre: nombre à virgule ... 2e nombre: nombre à virgule correspond à une fraction qui est la moitié de la moitié. Pour faire l'opération, j'ai entré le 1er nombre tel quel et le 2e j'ai fait une multiplication avec deux fois le même nombre

• 1er nombre c’est un nombre pair, il se divise par 10,5,2,6,3...Il est entre 10 et 70. Le 2e nombre est un nombre impair, il se divise seulement par 1. Il est plus petit que 15.

• 1er nombre : c’est un nombre a 4 chiffres, un nombre premier; 2e nombre: un nombre a 4 chiffres, un nombre composer, un nombre paire, aucune relation entre les nombres. La solution pour les deux c’est de faire plus 1 moins 1.

3e tâche: Calcul : 0,4 x 8 ; Touches désactivées : 0 et 4

• EL7 : Le premier nombre est pair, un nombre à virgule; il a 2 chiffres. Le deuxième nombre est pair; c’est un entier; c’est un nombre composé; il a 1 chiffre

• Le no 20 (référant au 20e calcul dans la liste : 0,5 x 0,25)• EL2 : Le no 21 (référant au 21e calcul dans la liste : 0.8 x 0.4)• EL7 : Le no 20 • ENS-A : EL2 pourquoi tu dis que c est le 21• EL5 : Madame   ça peut pas être le 21 • ENS-A : EL2 pourquoi tu dis le no. 21• EL2: Le nombre est pair .. il est à virgule• ENS-A : En passant est-ce que ça existe un nombre à virgule pair• EL2: Oui 2,2• ENS-A : On va se questionner; j’y pense c’est quoi la définition d’un nombre pair?• EL2: 2 4 6 8 10 il faut qu il finisse par 2 4 6 8 10• CH3 : Ah! Comment faire pour trouver un nombre pair; il faut qu’il se finisse par 2.

2, 4, 6, 8,10, c’est vrai ; mais 1,2 se finit par 2 est-ce que ça fait de 1,2 est un nombre pair?

• EL9: Il faut que ça finisse par 2 … ça se divise par 2.• CH3: EL9 est-ce que selon toi un nombre décimal ça peut être pair ou impair?• EL9: Non jamais pair toujours impair.

Quelques caractéristiques

• Environnement ouvert côté prof

• Environnement ouvert côté élèves

• Rétroaction directe de l’environnement (pour la tâche 1)

• Gestion en classe indispensable pour la tâche de correspondance

Al(ge)+br=e

• Environnement visant la généralisation ou l’abstraction des propriétés des nombres et des opérations dans N, Q+ et Z*.

• 4 séries d’activités:– 1ère et 2e sur les nombres naturels – 3e sur les rationnels positifs– 4e sur les entiers relatifs non nuls

Le travail du professeur

Le travail des élèves

Inscriptions des relations au fur et à mesure

Rédaction de commentaires

Discussion en classe• CH-1 : On va regarder des essais faits par une équipe pour

l’énoncé 2 de la série 1 • Par exemple, le 10e essai : a + b + d - c donne un résultat

négatif … on est dans les entiers • naturels … pourquoi pourrait-on obtenir un résultat négatif … • EL-1 : Le c est bien plus grand que tous les autres …. • CH-1 : C’est une hypothèse; comment pourrait-on voir que c est

plus grand que tous les autres… vous avez votre calculatrice … donnez-moi des nombres

• EL-2 : 1 + 1 +1 - 4 • CH-1 : Donnez-moi des nombres différents • EL-2: 1 + 2 + 3 - 4 … 1 + 2 + 3 - 6 ça donne 0 • CH-1 : Ça donne 0 ; si vous essayez 8 • EL-S: Ça donne 2 • CH-1: Votre hypothèse était bonne ? • EL-S : Oui d + c + b - a vous avez obtenu plus grand • ENS-A : Un autre : 2e d + c + b - a vous avez obtenu plus grand

et ensuite pour les autres • est-ce qu’on peut dire quelque chose• EL-3: Le a est petit • CH-1 : Votre hypothèse est que a est petit ; vous auriez dû

mettre a dans les premiers dans les relations … faut mettre l’information sinon on ne peut pas avancer

Suite…

• CH-1 : Le 3e essai : c + d + b –a• EL-4 : C’est la même chose … c’est normal que ça donne la

même longueur • EL-5 : Oui c’est pareil pas dans le même sens • EL-4 : Juste inversé • CH-1 : Comment ça s’appelle cette propriété de l’addition • EL-1 : les + et les – • CH-1 : On peut changer l’ordre sans changer le résultat ; il

y a un nom pour cette propriété • EL-2 : Bob • CH-1 : C’est Larry qui nous le disait ; il nous disait quoi?

… si vous aviez lu ce qu il nous disait• vous devriez vous en souvenir • ENS-A : a + b c’est la même chose que b + a comment on

appelle ça • EL-4: Faut changer des affaires • ENS-A : Ça commence par c • EL-S : commentateur ; composé, compétence ; communication,

commun, …• CH-1: Commutativité • EL-7: C’est ça que j’ai dit : communicativité

Énoncé de propriété

x - y - y même résultat que x + y + y

Al(ge)+br Quelques caractéristiques

• Environnement fermé côté prof

• Environnement semi-fermé côté élèves

• Rétroaction directe de l’environnement, mais par des flèches, donc à interpréter.

• Gestion « autonome » possible, mais…

Bouchons les trous

D’outil d’observation à outil d’enseignement

Le travail du professeur

Favorise des allers-retours

•Enseignant B: « C’est la seule façon peut-être d’essayer de passer du problème à l’équation, de l’équation au problème, du problème à l’équation… »

Pour la mise en équation

• Ens B: « Puis même quand on révise une équation qu’on a posée, je pense pas qu’on y aille morceaux par morceaux… On regarde plus en bloc (…) Ben peut-être quand on va leur demander de poser une équation, ils vont s’en… Ils vont dire, ben, j’ai un quart… Puis là, je sais pas quoi faire avec le double ici… Ben ce sera le trou dans mon équation. Je vais commencer par ce que je sais. »

Le travail des élèves

Interprétation de l’équation• CH1 : Ouais, la poule… On va les regarder séparément… On va

regarder la poule… Après ça, on va regarder la tirelire. Bon la poule, qu’est-ce que vous avez trouvé difficile ? S’il vous plaît ?

• EL1 : Mais pourquoi on a 21 en bas…• CH1 : C’est quoi le 21 en bas ? Est-ce que quelqu’un serait

capable de lui répondre ? Oui ? Vas-y…• EL1 : Le 21 de x plus 2y égale 21, c’est à peu… Faut d’abord

mettre les x et y comme poules et lapins. (S : Ok…). x, c’est des poules et y, c’est des lapins. Ensuite faut trouver euh… Comment on ferait pour avoir le bon nombre de pattes ? Ben je ferai 2x plus 4y égalent le nombre de pattes recherché…

• CH1: Pourquoi ce serait 2x plus 4y ? Pour que tout le monde suive bien ce que tu dis…

• EL1 : Parce que les poules ont deux pattes ! (S : Ok) Les lapins en ont quatre ! (…).ça donne 2x plus 4y égale 42… ça vaut le nombre de pattes. Mais là, ils donnent x plus 2 y égale 21. C’est la moitié ! De 2x plus 4y…

Rétroaction par le bilan

Modalité de composition

Utilisation par des élèves en difficulté

• Ne pas reprendre l’enseignement

• Ne pas faire faire des exercices

• Assumer le rôle de prof

• Demande: composer un item facile, un moyen et un difficile.

Exemples d’items d’élèves

• 2a + 3b + 9 = 53• Leur problème admet plusieurs solutions! 

Un pas de transformation

Un commentaire d’élève

• INT: Je veux juste savoir si toi, ça c’est bien personnel, est-ce que tu penses que le fait d’avoir fait ces problèmes là ça pourrait t’aider par exemple dans ton examen de la semaine prochaine ?

• F2 : Ah! C’est sûr parce que je sais plus comment... moi j’ai fait un problème, je sais comment on fait un problème, comme à cette heure je sais comment on fait un problème. Faique maique je vois le problème je vais pouvoir savoir par où commencer puis comment le déchiffrer, comme la formule mettons.

Quelques caractéristiques

• Environnement ouvert côté prof

• Environnement ouvert côté élève

• Très peu de rétroaction de l’environnement (bilan)

• Gestion: retour en classe presque inévitable.

Conclusions

• Tous ces environnements sont des outils pour l’enseignement et l’apprentissage. C’est le marteau pour le menuisier…

• Ils visent à faire travailler les élèves• Reste au prof à gérer le travail et

institutionnaliser les savoirs développés• Différence avec papier crayon…

– Dans certains cas, simplement pratique– Dans d’autres cas, permet du nouveau– Dans tous les cas: cueillette de données

• Souplesse pour permettre une évolution au fur et à mesure de l’utilisation en classe.

Rétroaction de personnages