Solutions Des Exercices de Micro
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Solutions des exercices deJehle et Reny (2001) : avanceThorie microconomiqueThomas Herzfeldseptembre 2010
Table des matires1 Annexe mathmatique21.1 Chapitre A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Chapitre A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Thorie des consommateurs122.1 Prfrences et l'utilit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Le problme de la consommation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Utility et dpenses indirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Proprits de la demande des consommateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 L'quilibre et bien-tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Thorie du producteur233.1 production Pro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 La dualit de la production. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 L' entreprise comptitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
1 Annexe mathmatique1 Annexe mathmatique1.1 Chapitre A1A1.7 Graphique chacun des ensembles suivants . Si l'ensemble est convexe, donner un prode . Si ce n'est pasconvexe , donner un contre-exemple.rpondre(a ) (x, y ) | y = exCet ensemble n'est pas convexe .Toute combinaison de points serait dehors de l'ensemble . Par exemple , ( 0 , 1 ) et( 1 , e ) (x, y ) | y = e, Mais la combinaison des deux vecteurs avec t =pas : (,) /x11e +12
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(x, y ) | y = e.x( b ) (x, y ) | y = ex
Cet ensemble est convexe.Preuve: Soit ( x, y) , ( X, y) = S (x, y ) | y = e. Puisque y = eest une constantexx
1122fonction , il su t de montrer que ( tx+ ( 1 - t) x, ty+ ( 1 - t ) y) S pour toute1
212particuliers t ( 0 , 1 ) . Rglez t =. Notre tche est de montrer que( x+ x) ,(y+ y)1111212222
S.(y
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+ y) =( e+ e) , Puisque y
= epour i = 1, 2 . aussi,11xxx121
12i221+ e) = E= ex 1
ex2xx1( x+ x12122222 ( ee+ e= 2ex 1 ex2
xx
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1222e
- 2ex1 ex2+ e= 0 ( e- e)2= 0 .
xxxx121222
( c) ( x , y) | y = 2x - x, X > 0, y > 02Cet ensemble n'est pas convexe .Par exemple,,, 1,S = ( x , y) | y = 2x - x, X > 0, y > 0 . Cependant,119121021021 ,=
,+
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1,S/1
11119122102
2102( d) (x, y ) | xy = 1 , x > 0, y > 0Cet ensemble est convexe.Preuve: Considrons tout (x, y) , ( X, y) = S (x, y ) | xy = 1 , x > 0, y > 0 . pour toute
1122t [ 0 , 1 ] ,(tx+ ( 1 - t) x) (ty+ ( 1 - t ) y) = Txy+ T ( 1 - t) ( xy+ xy) + ( 1 - t)xy22
12
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12111
22122> t+ ( 1 - t)+ T ( 1 - t) ( xy+ x
y) , Depuis xy> 1 .221221
ii= 1 + 2t- 2t + t ( 1 - t) ( xy+ xy)21221= 1 + 2t ( t - 1) + t ( 1 - t) ( xy+ xy)122
1= 1 + t ( 1 - t) ( x
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y+ xy- 2) = 1 i xy
+ xy= 0 .1221122
1yyxy+ xy= xy2
+ xy1- 2 = y2+ y1- 2 = 0122111y22yyy1
21
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2y - 1 - 2ay+ y= 0
122(y- y)= 0 ,212
2
1 Annexe mathmatiquece qui est toujours vrai et donc (tx+ ( 1 - t) x, ty+ ( 1 - t ) y) S qui est12
12convexe .( e ) (x, y ) | y = ln (x )Cet ensemble est convexe.Preuve . Soit ( x, y) + ( X, y) S. Ensuite,(y+ y) = ( Ln ( x) + Ln ( x) ) .111221
21
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22S est convexesi1
) + Ln ( x) = Ln ( 1+ 1)2 ln ( x122 x12 x
21x) = Ln ( 1+ 1)2 ln ( x122 x
12 x2( xx)= ( 1+ 1)1/2122 x12 x2x- 2 ( xx)+ x
= 01/2
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11222
x1/2+ x1/2= 012ce qui est toujours vrai.A1.40 esquisse quelques ensembles de niveaux pour les fonctions suivantes : y = xx
, Y = x+ xet1212y = min [x, x] .
12rpondrexxx222666@@@@@@ @@ @-@
--
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xxx11
1(a ) y = xx( b ) y = x+ x( c ) y = min ( x, x)12
1212Figure 1: Dfinit l'exercice A1.40A1.42 Soit D = [-2 , 2] et f : D r y = 4 - x. Esquisser attentivement cette fonction.2En utilisant la dfinition d'une fonction concave , prouver que f est concave. dmontrer quel'ensemble A est un ensemble convexe .
Rponse Preuve de concavit : tirer le premier et le deuxime drive partielle d'ordre :yy2= -2x = - 2xx2La drive premire est strictement positif pour des valeurs x < 0 et ngatif pour les valeurs x> 0 .La drive seconde d'ordre partiel est toujours infrieur zro. Par consquent , la fonctionestconcave.Preuve de convexit : La zone ci-dessous une fonction concave forme un ensemble convexe(thorme3
1 Annexe mathmatiqueA1.13 ) . Sinon, partir de la dfinition de la convexit l'ingalit suivante doitMaintenez 4 - (tx+ ( 1 - t) x
)T = ( 4 - ( x
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)) + ( 1 - t) ( 4 - ( x)) . Multipliez dehors pour obtenir1
2212224 - ( tx+ x- tx)
= 4 - x+ T [ ( x)- ( X)] . Encore une fois, la zone en dessous de la fonction forme1222
212222un ensemble convexe .y6x-Figure 2: Graphique l'exercice A1.42A1.46 examiner toute fonction linaire f ( x ) = a + b x pour un Ret b R.n( a) Montrer que toute fonction linaire est la fois concave et convexe , bien que ni eststrictementconcaves ni strictement convexe .Rponse La dclaration est vraie i , pour tout x, xR
, T [0 , 1] , il est vrai que1
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2nf (tx+ ( 1 - t) x) = Tf ( x
) + ( 1 - t) f (x) .1212Substituer une quation linaire dans cette dclaration donnef (tx+ ( 1 - t) x) = A [ tx
+ ( 1 - t) x] + b = impt+ ( 1 - t) hache+ tb + (1 -t) b = tf ( x) + ( 1 - t) f (x)1212
1212pour tout x, xR, T [ 0 , 1 ] .12n( b ) Montrer que toute fonction linaire est la fois quasi-concave et quasiconvexe et , pourn> 1,ni proprement . ( Il ya une lgre imprcision dans le livre. )Rponse Comme il est montr dans ( a) une fonction linaire est concave et convexe , il doitgalementtre quasi-concave et quasiconvexe (thorme A1.19 ) . Plus formellement, la dclarationest vrai que j'ai , pour tout x, xR( x
= x) Et t [ 0 , 1] , nous avons
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12n12
f (tx+ ( 1 - t) x) = Min [ f ( x) , F (x) ] ( quasiconcavity )1212f (tx
+ ( 1 - t) x) = Max [ f ( x) , F (x) ] ( quasiconvexity )1212Encore une fois en substituant l'quation dans la dfinition , nous obtenonstf ( x
) + ( 1 - t) f (x) = Min [ f ( x) , F (x) ]1212tf ( x) + ( 1 - t) f (x) = Max [ f ( x) , F (x) ] T [ 0 , 1 ]1212A1.47 Soit f ( x) une (convexe ) fonction relle concave. Soit g (t) soit un de plus enING concave fonction (convexe ) d'une seule variable . Montrer que la fonction composite ,h (x) = g ( f (x) ) est une fonction concave ( convexe ) .Rponse La composition avec une fonction ne conserve concavit ( convexit ) . As-
supposons que les deux fonctions sont deux fois di erentiable . Ensuite, le second ordrepartiel drivs -
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tion de la fonction composite , en appliquant la rgle de la chane et de la rgle du produit,est dfini comme tanth (x) = g ( f (x) ) f (x)+ G ( f (x) ) f (x)2
24
1 Annexe mathmatiquePour toute fonction concave ,f (x) = 0 ,g ( x) = 0 , il faut tenirh (x) = 0 . en22
2le cas o les deux fonctions sont convexes :f (x) = 0 etg ( x) = 0 , il faut tenir22h (x) = 0 .2A1.48 Soit f ( x, x
) = - ( X- 5 )- ( X- 5 ). Montrer que f est quasi-concave .221212Rponse Preuve: f est concave i H ( x ) est ngative semi-dfinie et il est strictementconcave sila Hesse est dfinie ngative .H = -2 00 -2zH (x) = z - 2z- 2z< 0 , pour z = ( z, z
) = 0T
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22121
2Alternativement, nous pouvons vrifier les principaux mineurs principaux de H: H( x ) = -2 < 0 et1H( x ) = 4 > 0 . Les dterminants de l' autre Hesse en commenant par un signe2valeur ngative . Par consquent, la fonction est encore strictement concave. Comme f estconcave , il estgalement quasi-concave .
A1.49 rpondre chacune des questions suivantes oui ou non , et justifiez votrerponse .(a ) Supposons que f (x) est une fonction croissante d'une variable . Est- f ( x ) quasi-concave ?Rponse Oui , une fonction croissante d'une variable est quasi-concave . toute convexecombinaison de deux points sur cette fonction sera au moins aussi grand que le plus petitdesles deux points . En utilisant l'approche base sur di erentielle , f est quasi-concave , si pourunex
et x, F (x) = F (x) F ( x) / X ( x- x) = 0 . Ce doit tre vrai pour tout0110010fonction croissante .( b ) Supposons que f (x) est une fonction dcroissante d'une variable . Est- f ( x ) quasi-concave ?Rponse Oui , une fonction dcroissante d'une variable est quasi-concave . De mme quepour ( a) ,f est quasi-concave si pour tout x, x
et t [ 0 , 1] , il est vrai que f (tx+ ( 1 - t) x
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) =0101
min [ f ( x) , F (x) ] .01( c ) Supposons que f (x ) est une fonction d' une variable et y est un nombre rel b de tellesorte quef (x) est dcroissante sur l'intervalle ( - inf , b] et croissante sur [ b , + inf ) . Est- f ( x )quasi-concave ?Rponse Non, si f est dcroissante sur (- inf, b] et croissante sur [b, + inf) puis f ( x ) est
pas quasi-concave .Preuve: Soit a < b < c , et laisser t=[ 0 , 1 ] , Ta + ( 1 - t) c = b . Compte tenu de la naturec -bbbb
c- unde f, f (b ) < min [ f (a) , f ( c ) ] . Alors f (ta + ( 1 - t) c ) < min [ f (a) , f ( c ) ] , si f n'est pasbbquasi-concave .( d) Supposons que f (x ) est une fonction d' une variable et y est un nombre rel b de tellesorte quef (x) est croissante sur l'intervalle ( - inf , b] et dcroissante sur [ b , + inf ) . Est- f ( x )quasi-concave ?Rponse Oui.Preuve: Soit a < b < c , pour x [a, b] , f ( x ) = f ( a) et pour x [b , c] , f ( x ) = f ( c).Par consquent, pour tout x [a, c ] , f ( x) = min [ f ( a) , f ( c) ] .5
1 Annexe mathmatique( e) Vous devriez maintenant tre en mesure d' arriver une caractrisation des quasi-concave fonctiontions d'une variable portant les mots en hausse et en baisse .Rpondez toutes les fonctions d'une variable f (x) est quasi-concave si et seulement si est
soit con -continuellement augmenter, diminuer de faon continue ou premire augmentation et la
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diminution ultrieure.1.2 Chapitre A2A2.1 Di erentiate les fonctions suivantes. Indiquer si la fonction est croissante ,dcroissant , ou constant au point x = 2 . Classer chacun comme localement concave ,convexe , ou
linaire au point x = 2 .(a ) f (x) = 11x- 6x + 8 f= 33x- 6321augmentant localement convexe( b ) f (x) = ( 3x
- X ) (6x + 1) f= 54x- 6x - 1221augmentant localement convexe( c ) f (x) = x- 1f
= 2x + 32x1x34augmentant localement concave( d) f (x) = ( x+ 2x )f= ( 6x + 6 ) ( x+ 2x )23221augmenter lo ment convexe- 3x+ 1
32
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( e ) f (x) = [ 3 x / ( x+ 1 ) ]f= 18x x3
21( x+ 1 )33augmentant localement concave13( f ) f (x) = [ ( 1 / x
+ 2 ) - ( 1 / x - 2 ) ]f= 4- 8- 1241xx
xx + 4232augmenter lo ment convexe1( g ) f (x) =edt f= -Et2x21xdiminuant localement convexeA2.2 Trouver tous les drives partielles du premier ordre .(a ) f (x, x
) = 2x- x
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- x2212
112f= 2 - 2x= 2 (1 - x) f= - 2x11
122( b ) f ( x, x) = X+ 2x- 4x22
12212f= 2xf= 4x- 411226
1 Annexe mathmatique( c ) f (x, x) = X- x
- 2x3
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( g ) g ( x, x, x) = Ln x- x
x- x22123231
313g= 2xg= -X12x
- xx- xx- xx- x222223231313- 2x2
3g
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= -X3x- xx
- x222313A2.4 Montrer que y = xx+ x
x+ xxsatisfait l' quation222231
123y+ y+ y= ( X+ x+ x)2.xxx123123
Les drives partielles du premier ordre sont y / x= 2x
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x+ x,21
123y / x= x+ 2xx, Et y / x= x+ 2x
x. Rsumant les donne22223331
12y+ y+ y= x+ x+ x+ 2xx+ 2xx+ 2xx= ( X+ x+ x)2.2
22
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xxx12
1323123123
123A2.5 Trouver la matrice de Hesse et de construire la forme quadratique , zH (x) z , oT(a ) y = 2x- x- x2
2112H = -2 00 -2zH (x) = z - 2z+ 2 * 0zz- 2zT221212( b ) y = x+ 2x- 4x
22
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212H = 2 04 0
zH (x) = z 2z+ 2 * 0zz+ 4zT2212
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1 Annexe mathmatique( c ) y = x- x+ 2x32
2120H = 6x10 -2zH (x) z = 6xz- 2zT22112( d) y = 4x+ 2x- x+ x
x- x
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22121
212H = -2 11 -2zH (x) = z - 2z+ 2zz- 2z
T221212(e) y = x- 6xx
- x331212-6H = 6x1-6 6x2zH (x) z = 6xz- 12zz+ 6xzT2
21
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12212
A2.8 Supposons que f ( x, x) = X+ x.22121
2( a) Montrer que f ( x, x) Est homogne de degr 1 .12f (tx, tx) = ( Tx)
+ (Tx)= t( x+ x) = T x+ x.2222222121212
12
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22121
212A2.9 Supposons que f ( x, x) = ( Xx)et g ( x, x
) = ( Xx).223121
21221(a ) f (x, x) Est homogne . Quel est son degr ?12f (tx, tx) = T( xx)k = 44212
12
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( b ) g ( x, x) Est homogne . Quel est son degr ?12
g ( tx, tx) = T( xx)k = 9923
1221( c ) h (x, x) = F (x, x) g ( x, x
) Est homogne . Quel est son degr ?121212h (x, x) = ( Xx)h (tx, tx) = T( xx)k = 2532
525
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1212128
1 Annexe mathmatique( d) k (x
, x) = G ( f (x, x) , F (x, x) ) Est homogne . Quel est son degr ?1212
12k (tx, tx) = T( xx)k = 3636181212( e ) Montrer que si f ( x, x) Est homogne de degr m et g (x, x) Est homo-1
21
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2simultane de degr n, k ( x, x) = G ( f (x, x
) , F (x, x) ) Est homogne de degr121212mn .
k (tx, tx) = [ T( f (x, x) , F (x, x) ) ]k = mnm
n121212A2.18 Soit f ( x ) une fonction numrique dfinie sur R, Et d'examiner la matricen+0 f f1nff f1111n
H=
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2122Arrow & Enthoven (1961 ) utilisent le modle signe de ces mineurs principaux pour tablir lasuite des rsultats utiles :( i) Si f ( x ) est quasi-concave , ces mineurs principaux alternent en signe comme suit: D
= 0 ,2D= 0 , . . . .3( ii ) Si pour tout x = 0, ces mineurs principaux (qui dpendent x ) alternent en signe commencer par strictement ngative : D< 0 , D> 0 , . . . , Alors f (x) est quasi-concave2
3sur le orthant non ngatif . En outre, il peut tre dmontr que si, pour tout x 0 , nousont ce mme motif de signe alternant sur les mineurs principaux , alors f ( x ) estquasi-concave strictement sur le orthant positive ( strictement ) .( a) La fonction f ( x, x) = Xx+ xest quasi-concave sur R
. Vrifiez que son principal212121+mineurs alternent signe comme en ( ii ) .Rponse La Hesse est bord0 x+ 1 x21.H=x+ 1 1 0*2
x1 0
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1 Annexe mathmatiqueLes deux mineurs principaux sont D
= - ( X1 )< 0 et D= 2xx+2 x= 0 . qui222
3121montre que la fonction sera quasi-concave et sera strictement quasi-concave pourtout X, x> 0 .12
( b ) Soit f ( x, x) = A ln ( x+ x) + B, o a> 0 . Cette fonction est strictement quasi-concave1212pour x 0 ? Il est quasi-concave ? Que diriez-vous pour x = 0? Justifier .Rponse La Hesse est bord0uneunex+ xx+ x121
2H
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une2212
3x+ xCe qui montre que la fonction peut ne pas tre strictement quasi-concave . Toutefois , il peuttre12quasi-concave qui suit ( i ) . pour x= x= 0, la fonction n'est pas dfinie . Par consquent,
12courbure ne peut tre vrifie en ce moment .A2.19 Soit f ( x, x) = ( Xx). F ( x ) concave sur R est? Est-il quasi-concave sur R
?2221212++Rponse La Hesse est bord0 2xx2xx221221
.2x
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x2x4xxH
=*22112222x
x4xx2x222121
1Les deux mineurs principaux sont D= - ( 2xx)< 0 et D= 16xx= 0 . qui244212312montre que la fonction sera strictement quasi-concave . Quasiconcavity stricte impliquequasioncavity .A2.25 rsoudre les problmes suivants . Indiquez la valeur optimale de la fonction l'
solution .(a ) min
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= x+ xs.t. xx= 1
22x, x121212
x= 1 et xX = 1 ou= -1 Et x= -1 , Valeur optimise = 21212( b ) min
= xxs.t. x+ x= 122x, x121212x= 1/2 et x= - 1/2 ou X= - 1/2 et x= 1/2 , la valeur optimise = -1 / 21
21
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2( c ) max= xxs.t. x
/ a+ x/ b= 122222x
, x121212x= a/ 3 et x
= 2b/ 3 ou x= - 2b/ 3 , valeur optimise =2ab22221223/ 23( d) max= x+ xs.t. x+ x= 1
44
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v2x, x12
1212x=1/2 et x=1/2 , la valeur optimise == 2
3/4434412( e ) max= xx
xs.t. x+ x+ x= 123x, x, x112323123x= 1/6 et x
= 1/3 = 2/6 , et x= 1/2 = 3/6 , la valeur optimise = 1/432 = 108/6
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612310
1 Annexe mathmatiqueGraphique A2.26 f (x) = 6 - x- 4x. Trouver le point o la fonction atteint son2contrainte maximale (global) et de calculer la valeur de la fonction ce moment-l .Comparez cela la valeur qu'il atteint lorsque maximis soumis la positivitcontrainte x = 0 .Rpondez cette fonction a un optimum global en x = -2 . Il est d'un maximum de ladeuxime
drive partielle d'ordre est infrieur zro. De toute vidence, le maximum global n'est pasune solutionen prsence d' une contrainte de positivit . Le problme de maximisation est contraintL (x , z ) = 6 - x- 4x + ( x - z)2Les conditions de premier ordre et les quations drives sont:Lx = - 2x - 4 + 0 = Lz = - = 0 L
= X - z = 0= X - z z = x x = 0Si = 0, alors x = -2 permettrait de rsoudre le problme. Toutefois, il ne rpond pas la non -contrainte de ngativit. Si = 0 , alors x = 0 . Comme la fonction est en baisse continuepour toutes les valeurs de x = 0 , c'est la seule Maximiseur dans cette gamme .y6-xFigure 3: Graphique l'exercice A2.2611
2 Thorie des consommateurs2 Thorie des consommateurs2.1 Prfrences et utilitaires1,6 citer un exemple crdible ont t les prfrences d'un consommateur ordinaire seraitpeu de chances de satisfaire l'axiome de la convexit .Rponse: courbes rence Indi reprsentant prfrences repus ne satisfont pas l'axiome deconvexit . C'est , en rduisant la consommation se traduirait par un niveau d'utilit pluslev. ngatifutilit de la consommation des maux ( trop d'alcool , de drogues , etc ) serait plutt
entranerconcave prfrences.
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1.8 Esquisser un plan d' indi rence ensembles qui sont parallles , les lignes droites pentengative ,avec une prfrence croissante nord-est . Nous savons que les prfrences telles quecelles-ci rpondentAxiomes 1, 2 , 3 et 4. Prouver qu'ils satisfont galement l' axiome 5 . Prouver qu'ils ne sont
passatisfaire Axiom 5.Rponse: Dfinition de la convexit ( Axiome 5 ) : Si xx, Puis tx+ ( 1 - t) xxpour10
100tout t [0 , 1] . Stricte convexit ( Axiome 5 ) exige que , si x= xet xx, puis10
10tx+ ( 1 - t) xxpour tout t [ 0 , 1 ] .100La carte des indi rence fixe dans la figure ci-dessous reprsente succdans parfaits. noussavonsque ces prfrences sont convexes mais pas strictement convexe. Intuitivement, toutes lescombinaisonsde deux faisceaux choisis au hasard partir d'une courbe rence indi va ncessairement setrouver sur lemme courbe d' indi rence . En outre, le taux marginal de substitution ne change pasen se dplaant partir de x x. Pour prouver la dclaration plus formelle , dfinir xcomme convexe0
1t
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combinaison de faisceaux x x: x= tx+ ( 1 - t) x
. Re - criture en termes de simple01t01produits nous donne :x= (Tx, tx
) + ( ( 1 - t) x, ( 1 - t) x) . Un peu de rarrangement et l'galisation des deuxt001112
12dfinitions rsultats dans l'galittx+ ( 1 - t) x= (Tx+ ( 1 - t) x) , Tx+ ( 1 - t) x) . Autrement dit, le consommateur est indi rents0101011122par rapport la combinaison convexe et les faisceaux d'origine, une violation claire de
convexit stricte .12
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2 Thorie des consommateursx26
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHhhhhhhhhhhhhhhhhhx0hhhhhhhhhhhhrxtrHHHHHH
x1r-x1Figure 4: Indi rence fixe l'exercice 1.81.9 Esquisser un plan d' indi ensembles rence qui sont parallles perpendiculaires que kink sur l'x ligne
= x. Si la prfrence augmente le nord-est , ces prfrences vont satisfaire les axiomes121 , 2, 3 , et 4 ' . Prouver qu'ils satisfont galement Axiom 5 ' . Ils rpondent galement Axiom4 ?Est-ce qu'ils rpondent Axiom 5 ?Rponse: Convexit ( Axiome 5 ) exige que , si xx, Puis tx+ ( 1 - t) xxpour10100tout t [0 , 1] .Prendre toutes les deux vecteurs x, x
telle que x~ x
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. tant donn la nature de ces prfrences, il0101
doit tre vrai que min [x, x] = Min [ x, x] . Pour tout t [0 , 1] considrer le point tx+ ( 1 -0011
11212t) x. Si nous pouvons montrer que min [ tx+ ( 1 - t) x, tx+ ( 1 - t) x
] = Min [ x, x= Min [ x, x] ,0011001121212121
2puis nous montre que ces prfrences sont convexes . min [ tx
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+ ( 1 - t) x, tx+ ( 1 - t) x] =0
0111212min [ tx, tx] + Min [ ( 1 - t) x
, + ( 1 - t) x] = Min [ x, x] + T [ min ( x, x) - Min ( x, x) ] =01
010101011122221122min [ x, x]
01
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22Dfinition de la stricte monotonie ( Axiome 4 ) : Pour tout x, xR
, Si x= x, puis01n01+x
x, Alors que si xx, Alors xx.0101
01La carte des indi rence fixe dans la figure ci-dessous reprsente un complment idal .prendredeux points x, xle long d'une courbe indi rence . Si xx, Les prfrences " augmentent nord-0101vers l'est " , alors xx. Pour deux vecteurs quelconques sur la mme courbe rence indi, c'est01x= x, Il s'ensuit x
x. Par consquent, la dfinition de la stricte monotonie est satisfait
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0101pour ces ensembles rence indica .
Stricte convexit ( Axiome 5 ) exige que , si x= xet xx, Puis tx+ ( 1 - t) xx101
0100pour tout t [ 0 , 1 ] .Prendre deux points quelconques le long de la partie horizontale ou verticale d'une courbede rence telle indicomme ( x, x) Et (x
, x) , O x> x. Toute combinaison convexe x= x, tx+ ( 1 - t) x000101t0011212
22
-
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122se trouve sur la mme courbe de rence comme indi xet x
. Par consquent, il n'est pas possible que10xtx+ ( 1 - t) x. Autrement dit, le consommateur est indi erent par rapport l' convexet01
combinaison et les faisceaux d'origine, une violation claire de stricte convexit .13
2 Thorie des consommateursx26x0r
x1r-x1Figure 5: Indi rence fixe l'exercice 1.91.12 Supposons que u ( x, x) Et v ( x, x) Sont des fonctions utilitaires .1212( a) Montrer que si u ( x, x) Et v ( x, x) Sont la fois homogne de degr r , puis s ( x
, x) =
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12121
2u (x, x) + V ( x, x) Est homogne de degr r .1212
Rponse: Chaque fois qu'il estime que tu (x, x) = U (tx, tx) Et tv (x, x) = V (tx, tx
)rr12121212pour tout r > 0 , il faut aussi considrer que ts (x, x) = U (tx, tx) + V ( tx, tx) =r1
21
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212tu (x
, x) + Tv (x, x) .rr121
2( b ) Montrer que si u ( x, x) Et v ( x, x) Sont quasi-concave , alors m ( x, x) = U (x, x) +
12121212v (x, x) Est galement quasi-concave .12De prfrence : la formation d' une combinaison convexe des deux fonctions u et v et lacomparaisonavec m ( x) Rpond la dfinition de quasiconcavity :tLorsque u ( x) = Min TU ( x) + ( 1 - t) u (x
) ett
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12v (x) = Min tv ( x) + ( 1 - t) v (x
), de sortet12m ( x) = Min u (x) + V ( x)tt
tT = ( u (x) + V ( x) ) + ( 1 - t) ( u (x) + V ( x) ) .1122
2.2 Problme du consommateur1.20 Supposons que les prfrences sont reprsentes par la fonction d'utilit Cobb -Douglas, u ( x, x) =12Axx, 0 0 . En supposant une solution intrieure , de rsoudre le marchal -1-aune12lian des fonctions de demande .Rponse: Utilisez soit le lagrangien ou l'galit des taux marginal de substitution etrapport qualit-prix . Le lagrangien est14
2 Thorie des consommateursL = Ax
x+ (Y - p
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x- px) . Les conditions de premier ordre ( FOC) sont1-a
une112212L= AAXx
- p= 0a-11-ax1121L
= ( 1 - a) Axx- p= 0une- un2x122Lx+ px= 0= Y - p1122
En divisant premire et deuxime FOC et certains rarrangement , on obtient soit x=
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axpou22
1( 1-a) p1x=( 1-a) px. En substituant l'une de ces expressions dans la contrainte budgtaire , les rsultats11
2AP2dans les fonctions de demande marshalliennes : x=et x=(1-a ) y.ay
12pp121.21 Nous avons constat que u ( x ) est invariant des transformations monotones positifs.Une com -mon transformation est la transformation logarithmique, ln ( u ( x)). Prenez le logarithmiquetrans -forme de la fonction d'utilit 1,20 , puis , l'aide que la fonction d'utilit , tirer leFonctions de demande marshalliennes et vrifiez qu'ils sont identiques ceux obtenus dansleexercice prcdent ( 1,20 ) .Rponse: Soit le Lagrange est utilise ou l'galit des taux marginal de substitutionavec le rapport qualit-prix . Le lagrangien estL = ln ( A) + a ln (x) + ( 1 - a) ln (x) + (Y - px- p
x) . L'OFC sont
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u = SSln ( x) + Ln ( x) + ln ( x
) + . . . + ln ( x)02t012t
Comme est infrieur un, cette srie se rapproche d'une valeur finie . Pour trouver lasolution , il faut multiplierl'expression par l'art et la soustraire de l'quation originale [ (1) - (2)] .SSU =ln ( x) + ln ( x) + ln ( x) + . . . +
ln ( x)123t 1012tu - SSU = (1 - ) u = ln ( x) - ln ( x)t 10t) - ln ( x)t 1
u = ln ( x0
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t)1 - = ln ( x0Ainsi , l'utilit de la consommation de maximisation du consommateur sera constant dans
toutes les paro d.2,3 utilit indirecte et dpenses1.30 Montrer que la fonction d'utilit indirecte dans l'exemple 1.2 est une fonction quasi -convexedes prix et des revenus.Rponse: La fonction d'utilit indirecte correspondant CES prfrences est : v (p , y) =y ( p+ p)-1 / R
, O r = / ( - 1 ) .rr12Il ya plusieurs faons . Tout d'abord, en utilisant la relation d' ingalit , soit p= tp+ ( 1 - t) p.t
01Nous devons montrer que la fonction d'utilit indirecte rpond l'ingalit-1 / R-1 / R-1 / Ry p+ p= Max [y p+ p, Y p+ p]trtr0r0r1r1r12
12
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2 Thorie des consommateurs
Ce qui donne:-1 / R-1 / R-1 / RY t(p+ p) + ( 1 - t)(p+ p
)= Max [y p+ p, Y p+ p] .r0r0rr
1r1r0r0r1r1r12121212Deuximement, la Hesse bordure peut tre drive et leurs dterminants coche. ledterminants seront tous ngatifs .0 p-ppy- pp
y-1 / R
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r-1-1/r-1r-1-1/r-11
2p0 pp-1 / R-1 / R-1 / RH =-pp
y pYPp( (1 - r) - rpp) (1 + r ) pppyr-1
r -2r-1r-1-1/r-1-1 / R-1 / R -1r-1-1/r-211112-ppy p(1 + r ) pppy YP
p( (1 - r) - rp
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p)r-1-1/r-1-1 / R
r-1r-1-1/r-2-1/r-1r -2r-1212
22, O p = (p+ p) .rr121.37 Vrifiez que la fonction de dpense obtenu partir de la fonction d'utilit directe CES
dans l'exemple 1.3 rpond toutes les proprits indiques dans le thorme 1.7.Rponse: La fonction de dpense pour les deux produits est e (p, u) = u (p+ p)1 / rorr12r = / ( - 1 ) .1 . Zro lorsque u prend le plus bas niveau d'utilit dans U .La valeur la plus basse en U est u ( (0)) parce que la fonction d'utilit est strictementcroissante .Par consquent, 0 (p+ p)= 0 .rr1 / r
12
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2 . Continue sur sa domaine R U .n+ +Cette proprit dcoule du thorme du maximum. Comme l' utilit CES directe
fonction satisfait l'axiome de continuit , la fonction de dpense drive seracontinue aussi.3 . Pour tout p >> 0 , strictement croissante et sans limite au-dessus de u.Prenez la premire drive partielle de la fonction de dpense par rapport l'utilit :e / u = (p+ p). Pour tous les prix strictement positifs , cette expression sera positif.rr
1 / r12Sinon, par le thorme de l'enveloppe , il est dmontr que la drive partielle dela fonction de valeur minimale e par rapport u est gale la drive partielledu lagrangien par rapport u , valu ( x,) , Ce qui quivaut . Un-**
boundness ci-dessus rsulte de la forme fonctionnelle de u.4 . De plus en plus p.Encore une fois, prendre toutes premires drives partielles par rapport aux prix : E / P= up(p+ p)( 1 / r ) -1,r-1rrii12ce qui est, videmment , positif .5 . Homogne de degr 1 en p.e (tp , u) = u ( (tp)+ (Tp
))
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1 / r= tu (p+ p)
1 / rrr1rr1212
17
2 Thorie des consommateurs6 . Concave p.La dfinition de la concavit des prix ncessite1 / r1 / rt u p+ p+ (1 - t) u p
+ p= E (p, U )0r0r1r1rt1212pour p= tp+ ( 1 - t) p. Branchement de la dfinition du vecteur de prix en e (p, U )t01t
on obtient la relation1 / r
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1 / rt u p+ p+ (1 - t) u p+ p
=0r0r1r1r12121 / r
u t (p+ p) + ( 1 - t) (p+ p).0r0r1r1r
1212Alternativement, nous pouvons vrifier la semidefiniteness ngatif de la Hesse associmatrice de toutes les drives partielles du second ordre de la fonction de dpense . Untroisimepossibilit est de vrifier ( rgle du produit !)e(p+ p)(p+ p)2rrr1 / r2r
rr
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1 / r= U ( r - 1 ) p
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ce qui est exactement la dfinition d'une demande de type CES hicksiennerr1 / r1
2fonction.1,38 Remplissez le pro du thorme de 1,9 en montrant quex(p, u ) = x (p, e (p , u ) ) .hRponse: Nous savons qu' la solution de la maximisation des dpenses ou utilitaire min-imisation problme e (p , u ) = y et u = V (P , Y ) . Remplacez la fonction d'utilit indirectev dans la fonction de demande de Hicks donne x(p, v (p , y) ) . Comme la nouvelle fonction est une
hfonction des prix et des revenus seulement , elle est identique la fonction de demande deMarshall .En outre, en remplacement de revenus par la fonction de dpense , nous obtenonsl'expressionx (p, e (p , u ) ) .2.4 Proprits de la demande des consommateurs1.40 Montrer que les demandes hicksiennes sont homognes de degr zro dans les prix.Rponse: Nous savons que la fonction de dpense doit tre homogne de degr undes prix. Parce que toute fonction de demande de Hicks est gal , en raison du lemme de
Shephard,la premire drive partielle de la fonction de dpense et, de plus , nous savons queLe degr d'homognit de l'instrument driv est k-1 . Les fonctions de demandehicksiennes doivent trehomogne de degr 1 - 1 = 0 dans les prix.18
2 Thorie des consommateurs1.43 Dans un deux bonnes raisons , montrer que si un bien est infrieure, de l'autre bon doittrenormale .Rponse: La Engel- agrgation dans un deux - bonne affaire est le produit de l'lasticit-revenuet la part des dpenses RESPECTIFS s+ s= 1 . Un infrieure go od se caractrise1122par une lasticit-revenu ngative , par consquent, l'un des deux oprandes sera infrieure
zro.Par consquent, pour obtenir cette agrgation , l'autre terme de la somme doit tre positive (
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encore plusun) et l'autre dit de Commo doit tre un bien normal (mme un produit de luxe ) .1.55 Quelles sont les restrictions doivent l' un, F (y) , w (p, p
) , Et z (p, p) Satisfaire si chacun desi1212suivante doit tre une fonction d'utilit indirecte lgitime?rponse:
( a) v ( p, p, p, Y) = f (y) pppLa fonction f ( y) doit tre continue , strictement en -uneuneune
123123123rainage et homogne de degr 0 - un. Chacun des exposants adoit tre infrieureii zro pour satisfaire v baisse des prix. En outre, les drives partielles ngatives dev uns par rapport aux prix sont ncessaires pour obtenir les fonctions de demandemarshalliennes positifsen utilisant l'identit de Roy .( b ) v ( p, p, Y) = p (p
, p) + z (p
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, p) / y Les fonctions w et z doivent tre continus et de-121
212froissement des prix. Fonction z doit tre homogne de degr un et homogne wde degr zro : v (tp, tp, Ty ) = tw (p, p) + (t
z (p, p)) / (ty ) = t( w (p, p) + Z (p, p) / y).01
01212121212Pour satisfaire v augmentation des revenus, z doit tre < 0.1.60 Montrer que la relation Slutsky peut tre exprim sous forme d' lasticit=-hijijsoest l'lasticit de la demande pour hicksienne x
par rapport au prix p,
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hjiij
ijet tous les autres termes sont comme dfinis dans la dfinition 1.6 . Rponse: La relationSlutsky estpropose parxxhii= x
- xijppy.jjEn multipliant l'expression totale avec y / y et pdonne
jxxxhip= xp- pjjiipjpjyy y .j
jEn supposant que x
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= xavant le changement de prix se produit, nous pouvons diviser les trois termeshii
par x. Le rsultat de cette opration estixppxyhi
j= xj- si==- sih
pxpxjyxijjiijjijiiExercice supplmentaire relation entre la maximisation et dpenses utilitaire min-imisationNous allons explorer la relation avec un exemple d'une fonction d'utilit concrte. Un con -La fonction d'utilit du consommateur est u = x1/2
x1/2
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. Pour les fonctions drives voient 11219
2 Thorie des consommateursCommencez partir de la fonction d'utilit Minimiser les dpenses st uet d'en tirer la demande marshalliens pour xpour trouver la fonction de demande de Hicks1x= y/2pxU = (p/ p
)1/2h11211Branchez les fonctions de demande respectives pour obtenir lefonction des dpenses de la fonction d'utilit indirecte
v = y / (4pp)e = u (4pp)1/21/21212Remplacez la fonction de dpense substituant la fonction d'utilit indirectedans la fonction de demande de Marshall dans la fonction de demande de Hickspour driver la fonction de demande de Hicks pour driver la fonction de demande deMarshallx= ( U (4pp)) / 2p
U = (p/ p
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)x= (P/ p)
y / (4pp)= y/2p1/21/2h1/21/21
1212121121
1Inverser v et y remplacer par u Inverser e et remplacer u par vpour obtenir la fonction de dpense pour obtenir la fonction d'utilit indirectevU = (4pp)e= Y (4pp)-11/2-1-1 / 21212Vrifiez le lemme de Shephard contrle d'identit de Roy-
v / p=
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2a (pp)1/2= y/2p
=U4PU = (p/ p)1/21122
1 e21v / y4 (p3p)p2 (4p
p)1/21/221121tablir l'quation Slutsky=-xuy11p2p2p
2 (pp
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)1/2221
12substituer u = v (p , y) dans la substitution e ect=-= 0yyx1
p4pp4pp21212
Tableau 1: Relation entre l'UMP et le PGE2.5 Equilibre et Bien-tre4.19 Un consommateur a des prfrences sur les seules bonnes x et tous les autres goo dsm repr-reprsente par la fonction d'utilit , u ( x , m) = ln ( x ) + m. Soit le prix de x soit p, le prix dem soit l'unit, et laissez le revenu soit y.( a) driver les exigences marshalliennes pour x et m.Rponse L' galit des taux marginal de taux de substitution et le prix donne 1 / x = p .Ainsi, la demande de Marshall pour x est x = 1 / p . La demande non compense pour mse spare en deux cas, selon le montant du revenu disponible :m = 0 lorsque y = 1y - 1 lorsque y> 1.( b ) En dduire la fonction d'utilit indirecte , v ( p , y).Rpondez Encore une fois, selon le montant du revenu disponible , il y aura deuxfonctions indirectes de services publics :lorsque m = 11v (p , y) = lnpy - 1 - ln p lorsque m> 1 .20
2 Thorie des consommateurs
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0Le calcul de la variation de l'utilit induite par un changement de prix donne :v = v(p, y
) - V(p, y) = Y - 1 - ln p- (Y - 1 - ln p) = Ln (p- p) .11
10101010Comme les deux expressions sont gales , la zone du surplus du consommateur donne unemesure exacte
de l'e et de la variation des prix sur le bien-tre des consommateurs dans le cas de la quasi-linaireprfrences.( e) illustrer soigneusement vos rsultats avec un ensemble de deux schmas : celui quidonne l' indiffrence -courbes Ference et des contraintes budgtaires sur le dessus, et l'autre donnant lemarshallienset Hicks demande ci-dessous. Soyez certain que vos diagrammes re ect tout qualitativeinformations sur les prfrences et les exigences que vous avez dcouvert . Soyez sr deconsidrerles deux prix pet p, Et d'identifier les exigences hicksiennes et marshalliens .01Rponse Voir Figure 6 . Veuillez noter que hicksiennes et marshalliens demandes sontidentique ici .21
2 Thorie des consommateurs
Figure 6: Graphique 4,1922
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3 Thorie Pro producteur3 Thorie du producteur3.1 Production3.1 L'lasticit du produit moyen est dfini comme
AP( x ). Montrer que c'estxiixAP( x )
iigal ( x ) - 1 . Montrer que produit moyen est en augmentation , constante ou diminue mesurequeiproduit marginal suprieur , est infrieure la moyenne produit ou gale .Rponse: L'application de la rgle du quotient pour obtenir la premire drive partielle de laproductivit moyennedonne :
AP( x )f (x) / x- F ( x )i= xii= MP- AP= MP - APxxxxx2iiii
iMultipliez ce terme la partie droite de la dfinition ( x
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/ AP) donne M P / AP - 1 ceiest exactement ( x ) - 1 .i
La premire partie de la dfinition ci-dessus est gale la pente de la moyenne des produits: ( MP -AP ) / x. Il est facile de montrer que chaque fois que pro duit marginal dpasse leimoyenne pro duit de la pente doit tre positif. Le produit moyen atteint un maximumlorsque le produit marginal est gal au produit moyen . Enfin, chaque fois MP < APmoyenne pro duit est en pente vers le bas .
iiii .le
, . . .
1Sla forme
( x. .( x
1( 1 )S
( x
i
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