SOLITONS, DISPERSION ET EXPLOSION Une introduction à l ...

SOLITONS, DISPERSION ET EXPLOSION

Une introduction à l’étude des ondes non linéaires

Raphaël Danchin et Pierre Raphaël

12 juillet 2015

Table des matières

1 Analyse fonctionnelle 111.1 Compacité dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Compacité dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Un résultat de compacité canonique : le théorème d’Ascoli . . . . . . . . 13

1.2 La convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Convergence faible dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Opérateurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3 Opérateurs compacts dans le cadre hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4 La convergence faible étoile dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . 23

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Espaces de Lebesgue 292.1 Structure d’espace de Banach et réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Structure d’espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Réflexivité de Lp et compacité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Un résultat d’interpolation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Le théorème d’interpolation de Riesz-Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Extension aux Lebesgue espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Les inégalités de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Inégalités de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Décomposition atomique des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3 Démonstration des inégalités de Young précisées . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Espaces de Sobolev 453.1 Les espaces de Sobolev Hs(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Définition, structure hilbertienne et premières propriétés . . . . . . . . . 453.1.2 Le dual de Hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.4 Corollaires des injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.5 Compacité locale de l’injection de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.6 Le cas d’un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 L’espace de Sobolev W k,p(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.1 Définition et structure d’espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.2 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.3 Compacité locale de l’injection de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.4 Le cas d’un domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Dispersion dans l’équation de Schrödinger linéaire 734.1 Le groupe de l’équation de Schrödinger linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.2 Le groupe de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.3 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Estimations espace-temps de Strichartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3 Décroissance locale de l’énergie dans les espaces à poids . . . . . . . . . . . . . 834.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Résolution locale et globale du problème de Cauchy 895.1 Le problème de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.1 Contraction à la Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.2 Démonstration du Théorème 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 Lois de conservation et existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.1 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.2 Un théorème d’existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3 Dispersion et explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.1 Identité du viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3.2 Explosion en temps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3.3 Scattering pour (5.1) défocalisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Existence d’ondes solitaires 1076.1 Le cadre variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 L’espace H1r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1.2 Un problème de minimisation compacte sur H1r . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Etude des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.1 Positivité d’un minimiseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.2 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.3 Régularité et unicité des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.4 Classification des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7 Stabilité orbitale de l’onde solitaire 1197.1 Stabilité orbitale de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.1.1 Instabilité induite par les symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.2 Stabilité orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.3 La caractérisation variationnelle de l’état fondamental . . . . . . . . . . 121

7.2 Minimisation de l’énergie à masse fixée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2.1 Calcul de I(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2.2 Classification des minimiseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3 Description des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3.1 Description de la perte de compacité de l’injection de Sobolev . . . . . . 1267.3.2 Compacité H1 des suites minimisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.3.3 Le lemme de concentration compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4

8 Explosion : une introduction 1358.1 Dynamiques critiques et objets minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.1 Nouvelle caractérisation variationnelle de Q . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.1.2 Stabilité orbitale généralisée de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . 1388.1.3 Minimalité de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2 Classification dynamique de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2.1 Existence de la solution explosive minimale . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2.2 Unicité et classification dynamique de l’onde solitaire . . . . . . . . . . . 1418.2.3 Démonstration du Théorème 8.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Bibliographie 146

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Introduction

L’objectif de ce cours est de présenter quelques méthodes mathématiques modernes pourl’analyse des Equations aux Dérivées Partielles non linéaires. Le domaine de l’analyse non li-néaire a considérablement progressé ces trente dernières années avec l’importation d’outils ré-volutionnaires au confluent de domaines très divers des mathématiques : l’analyse harmonique,l’analyse fonctionnelle, le calcul des variations et les systèmes dynamiques par exemple. Unaspect fondamental de cette progression est l’accession aux premières descriptions qualitativesprécises de solutions d’EDP non linéaires et la découverte de nouveaux régimes véritablementnon linéaires au cœur de certaines modélisations.

Ce cours a pour vocation de présenter et d’illustrer l’efficacité de certaines de ces mé-thodes d’analyse non linéaire dans un contexte le moins technique possible, permettant néan-moins d’observer un large éventail de comportements qualitatifs. Nous avons choisi pour thèmed’étude une équation de Schrödinger non linéaire que l’on retrouve dans de nombreuses modé-lisations physiques. L’analyse de cette équation nous permettra de découvrir un objet centralqui surgit dans de très nombreux phénomènes ondulatoires : le soliton ou onde solitaire, etd’initier le lecteur au problème de formation des singularités dans les équations d’évolutionnon linéaires 1.

1. L’onde solitaire en mécanique ondulatoire

L’une des toutes premières observations d’ondes solitaires remonte à la fin du 19e siècleavec les travaux pionniers de D.J. Korteweg et G. de Vries [23]. L’objet d’étude est un canalpeu profond d’une cinquantaine de mètres de large et de plusieurs kilomètres de long. L’ob-servation spectaculaire et fondamentale de Korteweg–de Vries est la présence d’ondes quasiunidirectionnelles à la surface du canal, se propageant sans déformation sur plusieurs kilo-mètres. La modélisation de ce phénomène est claire : notons u(t, x) ∈ R la hauteur de lasurface de l’eau à l’instant t par rapport à un niveau de référence plat, où x est la directionde propagation dans la longueur du canal 2. Alors la surface donnée par u(t, x) est soumise àla contrainte de gravité pour les particules d’eau et l’égalité de la pression de l’air et de l’eau àla surface. Cette situation physique est bien décrite par le système dit des « water waves » quiest déjà relativement complexe et dont une version très simplifiée dans la limite de petitesdéformations et grande longueur d’onde est donnée par le modèle dit de Korteweg–de Vries :

(KdV )

∂tu+ ∂x(∂xxu+ u2) = 0,

u(t, x) ∈ R, (t, x) ∈ R× R.

1. Pour les équations de Navier-Stokes incompressibles de la mécanique des fluides, la question de l’apparitionéventuelle de singularités en temps fini fait partie des problèmes du Millenium proposés par le Clay Institute.

2. On néglige les effets transverses.

7

Trouver des ondes progressives se propageant sans déformation et rendant compte de l’ob-servation initiale de Korteweg–de Vries revient à chercher des solutions de la forme

u(t, x) = Qc(x− ct)

où c > 0 est la vitesse de propagation ou célérité. En injectant cette expression dans (KdV ),on constate que le profil Qc de la vague doit vérifier

(Qc)xx − cQc +Q2c = 0, x ∈ R.

Cette équation différentielle ordinaire admet une unique solution non triviale tendant vers 0à l’infini :

Qc(x) = cQ(√c x) où Q(x) =

3

2 cosh2(x2

) · (1)

L’onde progressive uc(t, x) = Qc(x − ct) ainsi obtenue se propage donc sans déformation ouamortissement : c’est le soliton de (KdV ).

Si le calcul de Korteweg–de Vries et sa pertinence eu égard au phénomène observé sontspectaculaires, l’importance tant d’un point de vue physique que mathématique de la notiond’ondes solitaires s’est imposée dès les années 60 via la théorie de la complète intégrabilité dueen particulier à Peter Lax [25] qui permet essentiellement de calculer toutes les solutions de(KdV ) . On peut en particulier montrer que toute solution se décompose en une somme finied’ondes solitaires et d’une onde résiduelle qui sera asymptotiquement dispersée 3 à la surfacede l’eau. Le lecteur familier avec les systèmes dynamiques de dimension finie (ou EquationsDifférentielles Ordinaires) sait qu’il est souvent extrêmement difficile de décrire toutes lesdynamiques possibles. Il est donc tout à fait remarquable de pouvoir le faire sur un systèmedynamique de dimension infinie (ou Equation aux Dérivées Partielles) comme (KdV ).

Si cet exemple nous apprend que l’onde solitaire joue un rôle fondamental dans la descrip-tion en temps long de la dynamique des ondes à la surface d’un canal, le soliton s’est en faitimposé comme un objet central dans de très nombreux domaines de la physique, bien au-delàde la mécanique des fluides, dès que coexistent phénomènes ondulatoires et phénomènes nonlinéaires.

L’exemple que nous étudierons dans ce cours provient de la mécanique quantique, à traversla modélisation de la propagation d’un faisceau laser dans un milieu non linéaire (typiquementune fibre optique censée transporter un signal électromagnétique sur de longues distances).Deux phénomènes dominants entrent en jeu : la dispersion, c’est-à-dire de façon naïve lapropension du faisceau à s’étaler en espace comme il le ferait dans le vide, et la concentration,conséquence de l’interaction du milieu et de l’onde qui tend à focaliser les rayons. La dispersionpermet la propagation du faisceau, la focalisation confine cette propagation au centre de lafibre optique. La modélisation de l’interaction entre l’onde et le milieu de propagation permet àl’aide des équations de Maxwell de dériver le système d’équations gouvernant la dynamique del’onde. Comme dans l’exemple du canal, un modèle simplifié peut être extrait en approchant ladynamique d’ondes très oscillantes se propageant dans la direction de la fibre, par la dynamiquedont l’enveloppe est donnée par l’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) (pour NonLinearSchrödinger) suivante :

(NLS)

i∂tψ + ∆ψ + ψ|ψ|2 = 0,ψ(0, x) = ψ0(x),

(t, x) ∈ R× Rd, ψ(t, x) ∈ C.

3. et donc non plus propagée

8

Les cas physiquement pertinents correspondent à d = 1, 2, 3 suivant le type de modélisationutilisé. La variable « de temps » t correspond en réalité dans la modélisation physique à la di-rection de propagation de l’onde. L’onde solitaire se propageant sans amortissement correspondici à une solution périodique en temps

ψ(t, x) = ei√c tQc(x) (2)

de fréquence√c > 0 et où le profil Qc doit satisfaire l’EDP elliptique non linéaire :

∆Qc −Qc +Qc|Qc|2 = 0. (3)

Une solution explicite est fournie en dimension d = 1 via une formule totalement similaire àcelle du soliton de (KdV ) donné par (1) :

Qc(x) =√cQ(√c x) avec Q(x) =

(2

cosh2(x)

) 12

.

En dimension d = 2, 3, il n’y a plus de formule explicite, mais un argument variationnelpermettra de démontrer l’existence de solutions pour (3).

2. La stabilité de l’onde solitaire : point de vue mathématique

Nous nous concentrerons dans tout ce cours sur le modèle de Schrödinger non linéaire(NLS) qui est l’un des modèles les plus simples sur lequel on puisse faire une étude qualitativeprécise des solutions. Une première question fondamentale pour le dynamicien est la suivante :on peut certes montrer qu’il existe des ondes solitaires de (NLS) de la forme (2), mais que direde leur stabilité ? Sont-elles complètement « miraculeuses » et « exceptionnelles », ou peut-onencore les observer par perturbation de l’onde initiale ?

Le but de ce cours est de mettre en place les outils mathématiques modernes permettantd’aborder ce problème. Nous verrons essentiellement deux cas de figure : pour des non linéaritéssuffisamment faibles (dites sous-critiques), les ondes solitaires de type (2) sont stables. C’est laconséquence d’une approche systématique mise en place T. Cazenave et P.-L. Lions dans leurarticle de référence [6] de 1983. En revanche, pour des non linéarités plus fortes (dites critiquesou sur-critiques), les ondes solitaires deviennent instables, l’instabilité correspondant en fait àune formation de singularités avec concentration de l’énergie.

Il est remarquable et symptomatique de l’analyse moderne des EDP non linéaires quel’étude de l’existence et de la stabilité des ondes solitaires pour (NLS) fasse appel à desbranches très diverses des mathématiques. Ci-dessous, nous indiquons très schématiquementles trois grandes étapes qui guideront notre démonstration :

– Etape 1 : Analyse fonctionnelle. Dans les trois premiers chapitres, nous introduironsdes outils de base de l’analyse fonctionnelle, dont une application est la dérivation depropriétés de compacité dans les espaces fonctionnels de la physique mathématique (quisont, en premier lieu, les espaces de Sobolev et les espaces de Lebesgue). Les conceptsessentiels de cette étape sont la convergence faible et la description des suites bornéesdans les espaces de Sobolev. Cette première partie doit beaucoup à un cours d’analysenon linéaire conçu par Jean-Yves Chemin, Isabelle Gallagher et E. Grenier au début desannées 2000, puis reprise par le premier auteur (voir [11]).

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– Etape 2 : Analyse harmonique. Les outils d’analyse harmonique seront surtout pré-sents dans les chapitres 4 et 5 (et aussi dans les chapitres 2 et 3, mais dans une moindremesure). Ils nous serviront à donner une démonstration simple et auto-contenue des es-timations de Strichartz, dans l’esprit des travaux pionniers de Ginibre et Velo [16] pourl’équation de Schrödinger linéaire suivante :

(L) i∂tψ + ∆ψ = 0.

Ces estimations donnent via des techniques importées de l’analyse harmonique 4 unemesure simple de la dispersion associée aux solutions de (L). Au chapitre 5, elles vontnous permettre de résoudre (NLS) vue comme une ODE dans un espace de dimensioninfinie, à savoir l’espace de Sobolev H1(Rd) qui est l’espace d’énergie « naturel » associéà (NLS), via le théorème du point fixe dans les espaces métriques complets. Ces estima-tions nous fourniront ensuite des résultats de scattering non linéaires qui montrent quepour des non linéarités pas trop fortes, la dynamique non linéaire est asympotiquementattirée par la dynamique linéaire.

– Etape 3 : Méthodes variationnelles. Ces méthodes seront omniprésentes dans lestrois derniers chapitres de ce cours. Nous verrons en effet que la propriété fondamentaleau cœur de la stabilité de l’onde solitaire est sa caractérisation variationnelle en tant queminimiseur de l’énergie naturelle 5 associée à (NLS). Cette caractérisation découlera desrésultats d’analyse fonctionnelle de l’étape 1 et de la mise en œuvre de techniques varia-tionnelles élémentaires. L’ultime clé de la démonstration de la stabilité de l’onde solitairedans le cas sous-critique sera le lemme de « concentration-compacité » découvert parP.-L. Lions au début des années 1980 dans [27]. En poussant l’analyse variationnelle dansses recoins, nous pourrons même aborder le cas d’une non-linéarité critique, et présenterle résultat fondateur de F. Merle [29] sur la description de l’instabilité par explosion dansce cas, et la classification dynamique de ce que l’on appelle la bulle explosive minimale.

4. étude d’intégrales oscillantes du type intégrale de Fourier par exemple5. ou Hamiltonien

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Chapitre 1

Analyse fonctionnelle

Nous présentons ici les éléments de base d’analyse fonctionnelle dans les espaces de Hilbertet les espaces de Banach réflexifs, en insistant sur la notion de compacité en dimension infiniequi est centrale dans tout ce cours.

Nous supposons connus les rudiments de l’analyse hilbertienne (projection sur un convexefermé, théorème de représentation de Riesz-Fréchet et existence d’une base hilbertienne dansle cas séparable) et renvoyons à [3], [4], [9] et [18] pour les définitions et notions de base. Lelecteur désireux d’approfondir ses connaissances en analyse fonctionnelle pourra par exempleconsulter [5], [33], [36].

1.1 Compacité dans les espaces de Banach

Dans cette section, nous rappelons brièvement la notion de compacité dans un espace mé-trique puis introduisons les opérateurs compacts entre espaces de Banach. Nous donnons en-suite un résultat de compacité fondamental pour les fonctions continues : le théorème d’Ascoli,puis un exemple canonique d’opération compacte en dimension infinie : la convolution.

1.1.1 Compacité dans un espace métrique

La notion de compacité est centrale en mathématiques et fondamentale pour les applicationsque nous présenterons en physique mathématique, car elle permet de justifier l’existence delimites (à extraction près) pour les suites bornées, vérifiant des hypothèses supplémentairestrès faibles. Rappelons tout d’abord la définition de la compacité dans le cadre des espacestopologiques abstraits.

Définition 1.1.1. On dit qu’un espace topologique séparé (X,O) est compact si de tout re-couvrement de X par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Dans le cas des espaces métriques (et donc a fortiori des espaces vectoriels normés), ondispose du théorème de Bolzano-Weierstrass permettant de caractériser la compacité par lessous-suites convergentes.

Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Un espace métrique (X, d) est compact si et seule-ment si toute suite d’éléments de X admet une sous-suite convergente.

Il est bien connu que dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, les ensemblescompacts sont les ensembles fermés bornés. Ce résultat est faux en dimension infinie, commeen atteste le théorème de Riesz :

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Théorème (de Riesz). Soit E un espace vectoriel normé ; la dimension de E est finie si etseulement si la boule unité fermée de E est compacte.

La notion de compacité est plus subtile en dimension infinie, où les compacts sont beaucoupplus “rares” que les fermés bornés (une conséquence facile du théorème de Riesz est que dansun e.v.n. de dimension infinie, les compacts sont d’intérieur vide). Dans les paragraphes quisuivent, nous allons développer des outils pour identifier les parties compactes d’un espace deBanach.

1.1.2 Opérateurs compacts

On appellera opérateur borné toute application linéaire continue entre deux espaces vec-toriels normés. En dimension infinie, la notion d’opérateur compact que nous définissons ci-dessous est fondamentale 1 :

Définition 1.1.2 (Opérateur compact). Soient E et F deux espaces de Banach. Un élémentu de l’ensemble L(E;F ) des applications linéaires continues (ou opérateurs bornés) de E dansF est dit compact si l’image par u de la boule unité de E est d’adhérence compacte dans F.

Remarque. Il est bien sûr équivalent de demander à u(A) d’être d’adhérence compacte pourtoute partie bornée A de E.

Une autre conséquence évidente de la définition est que la composée (à droite ou à gauche)d’un opérateur compact par un opérateur borné redonne un opérateur compact.

Donnons tout de suite une caractérisation séquentielle des opérateurs compacts très utiledans la pratique.

Proposition 1.1.1. Soient E et F deux espaces de Banach. Un élément u de L(E,F )est compact si et seulement si pour toute suite bornée (xn)n∈N d’éléments de E , la suite(u(xn))n∈N possède une valeur d’adhérence.

Dém. Supposons que u soit compact et considérons une quelconque suite bornée (xn)n∈N .Si M déf

= supn ‖xn‖E , la suite (u(xn))n∈N est incluse dans l’ensemble u(BE(0,M)) dontl’adhérence est compacte. On peut donc extraire de (u(xn))n∈N une sous-suite conver-gente.Réciproquement, soient A une partie bornée de E et (yn)n∈N une suite d’éléments del’adhérence de u(A) . Il existe une suite (zn)n∈N d’éléments de u(A) telle que

‖yn − zn‖F ≤1

n·

Par hypothèse, la suite (zn)n∈N admet une valeur d’adhérence, donc la suite (yn)n∈Naussi.

Exemple. En vertu du théorème de Riesz, les opérateurs bornés de rang fini, c’est-à-dire lesapplications linéaires continues dont l’image est un sous-espace vectoriel de dimension finie,sont compacts.

Nous verrons plus loin qu’il existe bien d’autres opérateurs compacts. Enonçons maintenantun résultat fondamental pour identifier des opérateurs compacts.

1. En dimension finie, tout opérateur borné est compact.

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Proposition 1.1.2 (Fermeture des opérateurs compacts). Soient E,F deux espaces de Ba-nach. Alors le sous-ensemble des éléments de L(E;F ) qui sont compacts est un sous-espacevectoriel fermé de L(E;F ) . En d’autres termes, une limite uniforme d’opérateurs compacts estcompacte.

Dém. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que L(E;F ) est stable par combinaisonslinéaires. Montrons maintenant que L(E;F ) est fermé. Soit donc u une limite uniformed’opérateurs compacts un , autrement dit :

∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n ≥ N(ε), ∀x ∈ E, ‖un(x)− u(x)‖F ≤ ε‖x‖E . (1.1)

Soit (xp)p∈N une suite bornée de E, que l’on peut supposer vérifier ‖xp‖E ≤ 1 sansperte de généralité. Par compacité de u0 , on peut extraire de (u0(xp))p∈N une sous-suite(u0(xφ0(p)))p∈N convergente. Par récurrence sur n ≥ 0 , on construit des extractionssuccessives φ0, · · · , φn, · · · telles que (un(xφ0···φn(p)))p∈N converge. On considère alorsl’extraction diagonale

φ(n) = φ0 · · · φn(n)

qui vérifie par construction :

∀n ∈ N,(un(xφ(p))

)p∈N

converge. (1.2)

Montrons maintenant que la suite(u(xφ(p))

)p∈N est de Cauchy dans F complet, ce qui

par la Proposition 1.1.1 assurera la compacité de u et conclura la démonstration. Eneffet, soit ε > 0 et N = N(ε) tel que (1.1) soit vérifiée, alors :

‖u(xφ(p′))− u(xφ(p))‖F≤ ‖u(xφ(p′))− uN (xφ(p′))‖F +‖uN (xφ(p′))− uN (xφ(p))‖F +‖uN (xφ(p))− u(xφ(p))‖F≤ 2ε+ ‖uN (xφ(p′))− uN (xφ(p))‖F ≤ 3ε

pour p, p′ ≥ P (ε) suffisamment grands par (1.2) appliqué à n = N(ε).

1.1.3 Un résultat de compacité canonique : le théorème d’Ascoli

Nous présentons maintenant un résultat de compacité canonique tant par sa démonstrationqui revêt un caractère universel, que par son importance puisqu’il est par exemple au cœur desrésultats de compacité des injections de Sobolev du chapitre 3. La version du théorème quenous énonçons ci-dessous est celle qui nous servira dans la suite. Le lecteur intéressé par unénoncé plus général est invité à résoudre l’exercice 1.4.

Théorème (Théorème d’Ascoli). Soit d, p ≥ 1 et BR = x ∈ Rd, ‖x‖ ≤ R . Soit (fn)n∈Nune suite bornée d’applications continues de BR dans Rp i.e.

supn≥1‖fn‖L∞(BR) < +∞.

On suppose en outre que la suite (fn)n∈N est équicontinue :

∀ε > 0, ∃η > 0 tel que ∀n ∈ N, (‖x− y‖ < η =⇒ ‖fn(x)− fn(y)‖ < ε). (1.3)

Alors il existe f ∈ C(BR;Rp) et une suite extraite (fφ(n))n∈N telles que

fφ(n) → f uniformément sur BR.

13

En d’autres termes, le sous-ensemble de la boule unité de l’espace de Banach C(BR;Rp)constitué par les applications équicontinues vérifiant (1.3) (avec le même ε pour η donné) estrelativement compact dans C(BR;Rp) . Il est facile de voir que la condition d’équicontinuité(1.3) est en fait nécessaire et suffisante pour décrire les sous-ensembles relativement compactsde C(BR;Rp) (cf exo 1.5). Elle peut être pensée comme une version faible du contrôle uniformedes dérivées de fn et est par exemple assurée par

supn→+∞

‖∇fn‖L∞(BR) < +∞.

L’obstruction typique pour l’extraction d’une sous-suite uniformément convergente est la pré-sence de fortes oscillations comme dans la suite de fonctions fn(x) = sin(nx) (voir exo 1.6).

Dém. du théorème d’Ascoli. On va encore utiliser le processus d’extraction diagonale.Soit m ≥ 1 et εm = 1

m · La boule fermée BR étant compacte, on peut extraire durecouvrement BR ⊂

⋃x∈B B(x, εm) un sous-recouvrement fini. Soit donc (x

(m)i )1≤i≤N(m)

tel que

BR ⊂N(m)⋃i=1

B(x(m)i , εm).

Soit m = 1 , alors les N(1) suites(fn(x

(1)i ))n≥1

, 1 ≤ i ≤ N(1) sont bornées dans Rp ,et donc on peut trouver une extraction φ1(n) telle que

∀1 ≤ i ≤ N(1), fφ1(n)(x(1)i ) −→ f

(1)i,∞ quand n −→ +∞.

En raisonnant par récurrence sur m , on construit des extractions φ1, · · · , φm telles que :

∀1 ≤ i ≤ N(m), fφ1···φm(n)(x(m)i )→ f

(m)i,∞ quand n→ +∞.

On considère maintenant l’extraction diagonale

φ(n)déf= φ1 . . . φn(n)

qui vérifie par construction :

∀1 ≤ m, ∀1 ≤ i ≤ N(m), fφ(n)(x(m)i ) −→ f

(m)i,∞ quand n→ +∞. (1.4)

Montrons que la suite (fφ(n))n∈N est de Cauchy dans l’espace de Banach (C(BR;Rp), ‖ ·‖L∞) , ce qui achèvera la démonstration. En effet, soit ε > 0 , et η = η(ε) donné parla propriété d’équicontinuité (1.3). Soit m = m(ε) tel que εm < η . Soit x ∈ BR , alors∃i ∈ [1, N(m)] tel que

‖x− x(m)i ‖ < η

et donc par (1.3), pour tout n ≥ 1,

‖fφ(n)(x)− fφ(p)(x)‖ ≤ ‖fφ(n)(x)− fφ(n)(x(m)i )‖

+‖fφ(n)(x(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖+ ‖fφ(p)(x

(m)i )− fφ(p)(x)‖

≤ 2ε+ ‖fφ(n)(x(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖.

14

Mais la suite fφ(n)(x(m)i ) est convergente dans Rp donc de Cauchy, et donc pour n, p ≥

P (ε) assez grand :

∀1 ≤ i ≤ N(m), ‖fφ(n)(x(m)i )− fφ(p)(x

(m)i )‖ ≤ ε.

On en déduit :

∀n, p ≥ P (ε), ∀x ∈ BR, ‖fφ(n)(x)− fφ(p)(x)‖ ≤ 3ε,

et donc (fφ(n))n∈N est de Cauchy dans (C(BR;Rp), ‖ · ‖L∞).

Concluons cette section par un exemple explicite d’opération compacte qui intervient dansde très nombreuses modélisations physiques allant du traitement du signal à l’étude des ondesnon linéaires : la convolution. Rappelons au préalable la définition de l’espace de Schwartz(voir [4] pour plus de détails sur cet espace) :

Définition 1.1.3 (Espace de Schwartz). On dit que qu’une fonction φ ∈ C∞(Rd;R) est dansl’espace de Schwartz S = S(Rd) si pour tous multi-indices (α, β) ∈ Nd × Nd ,

‖xβ∂αφ‖L∞(Rd) < +∞

avec la notationxβ∂αφ

déf= xβ11 . . . xβdd ∂

α1x1 . . . ∂

αdxdφ.

Etant donnée ψ ∈ S , on considère l’opérateur de convolution

Tψ : f 7→ ψ ? f où ψ ? f(x)déf=

∫Rdψ(x− y)f(y) dy.

Les propriétés de régularisation de Tψ sont bien connues. Mentionnons par exemple que Tψtransforme les fonctions Lp en fonctions C∞ (voir [4, 17]). Une conséquence fondamentale duthéorème d’Ascoli est que c’est une opération compacte au sens suivant :

Proposition 1.1.3 (Compacité de l’opération de convolution). Soit d ≥ 1, 1 ≤ p ≤ +∞ etBR = x ∈ Rd, ‖x‖ ≤ R . Alors, pour tout ψ ∈ S(Rd), l’opérateur

Tψ : (Lp(Rd), ‖ · ‖Lp(Rd))→ (C(BR;R), ‖ · ‖L∞(Rd))

est compact. Autrement dit, de toute suite (fn)n∈N bornée dans Lp(Rd) , on peut extraire unesous-suite (fφ(n))n∈N telle que (ψ ? fφ(n))n∈N converge uniformément sur BR .

Dém. Soit (fn)n∈N une suite bornée de Lp(Rd) . Montrons dans un premier temps queles fonctions ψ ? fn appartiennent à C1(Rd), puis que la suite (ψ ? fn)n∈N vérifie leshypothèses du Théorème d’Ascoli.

Fixons n ∈ N et supposons que p est fini. Alors l’ensemble D(Rd) des fonctions C∞(Rd)à support compact est dense dans Lp(Rd) (voir e.g. [34]). On peut donc trouver unefamille de fonctions fn,η ∈ D(Rd) (avec η > 0) telle que fn,η → fn dans Lp(Rd) quandη tend vers 0. Alors ψ ? fn,η ∈ S(Rd) et, par l’inégalité de Hölder (voir le chapitresuivant),

‖ψ ? fn − ψ ? fn,η‖L∞(Rd) ≤ ‖fn − fn,η‖Lp(Rd)‖ψ‖Lp′ (Rd) → 0 quand η → 0.

15

Autrement dit, ψ ? fn est limite uniforme de fonctions continues, et est donc continue.Le même raisonnement en utilisant

∂i(ψ ? fn,η) = ∂iψ ? fn,η

assure que ψ ? fn est C1 . Si p = +∞, on obtient le même résultat en appliquantdirectement les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe intégral.Enfin, pour tout 1 ≤ p ≤ +∞, toujours par l’inégalité de Hölder, on obtient de plus lescontrôles uniformes :

‖ψ ? fn‖L∞(Rd) ≤ ‖ψ‖Lp′ (Rd)‖fn‖Lp(Rd) ≤ C,‖∇(ψ ? fn)‖L∞(Rd) = ‖∇ψ ? fn‖L∞(Rd) ≤ ‖∇ψ‖Lp′ (Rd)‖fn‖Lp(Rd) ≤ C.

Donc la suite (ψ?fn)n∈N est uniformément bornée et équicontinue sur BR. Cela permetd’appliquer le théorème d’Ascoli et d’achever la démonstration.

1.2 La convergence faible

Dans les applications, il est rare que l’on puisse montrer qu’une suite converge en exhibantsa limite. Si l’on parvient à démontrer que la suite appartient à un compact, alors l’existenced’une valeur d’adhérence est assurée, ce qui est souvent une étape fondamentale pour résoudredes problèmes d’existence en analyse. En dimension infinie, la topologie de la norme est “tropforte” en ce sens qu’elle ne fournit que peu de parties compactes (un fermé borné n’étant pasnécessairement compact). Nous allons dès lors affaiblir la notion de convergence, ou de manièreéquivalente munir l’espace d’une topologie plus grossière, pour augmenter le nombre de partiescompactes. Ce but sera atteint grâce à la convergence faible que nous allons introduire danscette section. Nous présentons d’abord cette notion en détails dans le cadre des espaces deHilbert séparables puis, plus brièvement, dans les espaces de Banach séparables. Le lecteur estrenvoyé à [5, 9, 36] pour une présentation plus complète.

1.2.1 Convergence faible dans les espaces de Hilbert

Soit (H, (·|·)) un espace de Hilbert séparable (i.e. qui admet une sous-suite dénombrabledense) 2. Rappelons qu’un tel espace admet une base hilbertienne (ei)i∈N et que

x =+∞∑i=0

xiei ∈ H ⇐⇒+∞∑i=0

|xi|2 < +∞,

auquel cas on dispose de l’égalité de Parseval :

‖x‖2 =+∞∑i=0

|xi|2 avec xi = (x|ei).

La topologie faible est définie de façon séquentielle comme suit :

Définition (Convergence faible). Soient (xn)n∈N une suite d’éléments d’un espace de Hil-bert H et x un élément de H . On dit que la suite (xn)n∈N converge faiblement vers x et l’onnote xn x si

∀h ∈ H , limn→∞

(xn|h) = (x|h).

2. Nous renvoyons au chapitre 4 de [3], ou à [17], pour les définitions et propriétés de base des espaces deHilbert. Dans tout ce chapitre, nous conviendrons que le produit scalaire est anti-linéaire à droite.

16

Remarque. Si xn x alors on a convergence “coordonnée par coordonnée” dans la basehilbertienne :

∀i ∈ N, xni = (xn|ei)→ (x|ei) = xi.

Les premières propriétés de la convergence faible sont les suivantes :

Proposition 1.2.1. Soit (xn)n∈N et (yn)n∈N deux suites d’éléments d’un espace de Hilbert Het x, y deux éléments de H . On a alors :(i) Convergence forte implique convergence faible :

xn → x =⇒ xn x.

(ii) Bornitude :

xn x =⇒ (xn)n∈N est bornée et ‖x‖ ≤ lim inf ‖xn‖. (1.5)

(iii) Convergence fort-faible :

xn → x et yn y =⇒ limn→∞

(xn|yn) = (x|y). (1.6)

Dém. Le point (i) résulte simplement de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

∀h ∈ H, |(xn|h)− (x|h)| ≤ ‖h‖ ‖xn − x‖ → 0 quand n→ +∞.

Le point (ii) est non trivial et découle d’un résultat célèbre d’analyse fonctionnelle : lethéorème de Banach-Steinhaus dont la démonstration est proposée dans l’exercice 1.8.Le point (iii) en découle puisque

|(xn|yn)− (x|y)| ≤ |(xn − x|yn)|+ |(x|yn − y)|≤ ‖xn − x‖ ‖yn‖+ |(x|yn − y)|,

et la propriété (1.5) assure que la (yn)n∈N est bornée, donc :

|(xn|yn)− (x|y)| ≤(supn∈N‖yn‖

)‖xn − x‖+ |(x|yn − y)| → 0 quand n→ +∞,

ce qui achève la démonstration de la proposition.

En dimension infinie, il existe beaucoup de suites qui convergent faiblement sans convergerfortement. Un exemple instructif est celui d’une base hilbertienne (ei)i∈N. Le fait que toutélément x de H satisfasse

x =

+∞∑i=0

(x|ei) ei

montre que ei 0. Mais il n’y a pas convergence forte (vers 0) puisque tous les ei sont denorme 1.

La proposition suivante montre que le défaut de convergence forte d’une suite faiblementconvergente est essentiellement explicite.

Proposition 1.2.2 (Défaut de convergence forte). Soit (xn)n∈N ∈ H une suite faiblementconvergente, et x sa limite faible. Soit (ei)i∈N une base hilbertienne et xni = (xn|ei). Lesconditions suivantes sont équivalentes :

17

(i) La suite est équicontinue pour la norme :

∀ε > 0, ∃I(ε) tel que ∀n ∈ N,∑i≥I(ε)

|xni |2 < ε. (1.7)

(ii) La norme converge :‖xn‖H → ‖x‖H quand n→ +∞.

(iii) Il y a convergence forte :xn → x quand n→ +∞.

Dém. Supposons (i). Soit ε > 0 . Alors pour I(ε) assez grand, on a

∀n ∈ N,( ∑i≥I(ε)

|xni |2)

+

( ∑i≥I(ε)

|xi|2)< ε avec xi = (x|ei).

Or par définition de la convergence faible, on a xni → xi pour tout i ∈ N, et donc

I(ε)∑i=0

|xni |2 −→I(ε)∑i=0

|xi|2 quand n→ +∞.

En conséquence, pour n ≥ N(ε) assez grand :

∣∣‖xn‖2H − ‖x‖2H∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣I(ε)∑i=0

|xni |2 −I(ε)∑i=1

|xi|2∣∣∣∣∣∣+

∑i≥I(ε)

(|xni |2 + |xi|2) ≤ 2ε.

Le point (ii) s’ensuit.

Supposons (ii), alors

‖xn − x‖2H = ‖xn‖2H − ‖x‖2H − 2Re (xn − x|x)→ 0 quand n→ +∞.

L’implication (iii) =⇒ (i) découle du fait que pour n ≥ N(ε) avec N(ε) assez grandalors ‖xn − x‖2 < ε/4, ce qui entraîne pour tout I ∈ N que∑

i≥I|(xn − x|ei)|2 < ε/4.

Mais il existe I(ε) tel que ∑i≥I(ε)

|xi|2 < ε/4,

et donc, pour n ≥ N(ε), on a (1.7). Comme les indices n < N(ε) sont en nombre fini, onpeut conclure, quitte à prendre I(ε) plus grand, que (1.7) est vérifiée pour tout n ∈ N.

Exemple. La propriété d’équicontinuité (1.7) permet d’exhiber des compacts de H qui ne sontpas inclus dans des s.e.v. de dimension finie. En effet, étant donnée une suite (ai)i∈N avec+∞∑i=0

|ai|2 < +∞ , le cube de Hilbert

x =

+∞∑i=0

xiei, |xi| ≤ |ai|

18

est un compact de H . De même, on voit que l’ensemble

x =

+∞∑i=0

xiei,

+∞∑i=0

(1 + i2)|xi|2 ≤ 1

est un compact de H, ce qui permet de montrer la compacité de l’injection de Sobolev de H1

dans L2 pour les fonctions périodiques sur R (voir [11] et l’exercice 3.17).

La motivation principale pour l’introduction de la topologie faible est le résultat de com-pacité suivant :

Théorème 1.2.1 (Compacité faible de la boule unité). Le boule unité de H est faiblementcompacte. De manière équivalente, de toute suite bornée d’un espace de Hilbert séparable, onpeut extraire une sous-suite faiblement convergente.

Dém. Le résultat est, comme le théorème d’Ascoli, basé sur le procédé d’extraction diagonale.Soit (xn)n∈N une suite bornée de H et (ei)i∈N une base hilbertienne de H. En notantM = supn∈N ‖xn‖, et xni = (xn|ei), on obtient pour tout i ∈ N et n ∈ N,

|xni |2 ≤+∞∑j=0

|xnj |2 ≤M2

et donc toutes les suites coordonnées (xni )n∈N sont bornées. Pour i = 0 , on peut doncextraire de la suite bornée (xn0 )n∈N une sous-suite (x

φ0(n)0 )n∈N et trouver un scalaire x∞0

tels que

limn→+∞

xφ0(n)0 = x∞0 quand n→ +∞.

On construit de même par récurrence sur m des extractions φ1, · · · , φm telles que

xφ0···φm(n)m = (xφ0···φm(n)|em) −→ x∞m quand n→ +∞.

L’extraction diagonaleφ(n) = φ0 · · · φn(n)

vérifie par construction :

∀m ∈ N, xφ(n)m → x∞m quand n→ +∞. (1.8)

Soit maintenant I ∈ N. Alors par (1.8) :

I∑i=0

|x∞i |2 = limn→+∞

I∑i=0

|xφ(n)i |2 ≤ ‖xφ(n)‖2H ≤M2,

et donc+∞∑i=0

|x∞i |2 < +∞ et xdéf=

+∞∑i=0

x∞i ei ∈ H.

19

Montrons finalement que (xφ(n))n∈N converge faiblement vers x. Soit donc h ∈ H etε > 0. Pour I(ε) assez grand, on a, en notant hi

déf= (h|ei),

∀n ∈ N,∣∣∣∣ ∑i>I(ε)

xφ(n)i hi

∣∣∣∣ ≤ ( ∑i>I(ε)

|xφ(n)i |2

) 12( ∑i>I(ε)

|hi|2) 1

2

≤ ‖xφ(n)‖H( ∑i>I(ε)

|hi|2) 1

2

≤ M

( ∑i>I(ε)

|hi|2) 1

2

< ε.

Or par (1.8)I(ε)∑i=0

xφ(n)i hi −→

I(ε)∑i=0

xihi,

et donc

(xφ(n)|h) =

+∞∑i=0

xφ(n)i hi −→

+∞∑i=0

xihi = (x|h) quand n→ +∞,

comme annoncé plus haut.

1.2.2 Opérateurs adjoints

Rappelons tout d’abord la notion d’adjoint d’un opérateur borné dans le cadre hilbertien :

Définition (et théorème). Soit T un opérateur borné entre deux espaces de Hilbert H1 etH2. Il existe un unique opérateur borné T ∗ de H2 dans H1 vérifiant

∀(x, y) ∈ H1 ×H2, (T (x)|y)H1 = (x|T ∗(y))H2 .

L’opérateur T ∗ est appelé opérateur adjoint de T , et vérifie

‖T ∗‖L(H2;H1) = ‖T‖L(H1;H2).

Remarque. L’adjoint peut être défini dans un cadre plus général (voir par exemple [5, 36]).Dans le chapitre 4, nous utiliserons le cas où l’opérateur borné T : H → B est défini entreun espace de Hilbert H et un espace de Banach B. Si l’on note B′ le dual topologique deB, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues sur B, on remarque que pour toutx′ ∈ B′, l’application 3

x 7−→ 〈x′, T (x)〉B′×Bdéf= x′(T (x))

est une forme linéaire continue sur H. Donc d’après le théorème de Riesz-Fréchet, il existeT ∗(x′) ∈ H tel que

〈x′, T (x)〉B′×B = (x | T ∗(x′))H pour tout x ∈ H.

Disposer de la notion d’adjoint permet de démontrer l’équivalence entre la continuité forteet la continuité faible pour les applications linéaires. Plus précisément :

3. La présence du conjugué résulte d’un souci de cohérence avec la définition précédente dans le cas où Best un espace de Hilbert.

20

Définition 1.2.1. On dit qu’une application linéaire T : H1 → H2 est faiblement continue sipour toute suite (xn)n∈N ∈ HN

1 , on a xn x implique T (xn) T (x).

On a alors l’équivalence :

Proposition 1.2.3. Une application linéaire est continue si et seulement si elle est faiblementcontinue.

Dém. Soit T : H1 → H2 continue et (xn)n∈N ∈ HN1 telle que xn x. On a donc pour tout

y ∈ H2,

(T (xn) | y)H2 = (xn | T ∗(y))H1 −→n→+∞ (x | T ∗(y))H1 = (T (x) | y)H2 .

Donc T est faiblement continue.

Réciproquement, soit T faiblement continue. Supposons par l’absurde que T ne soit pasfortement continue. Alors T n’est pas bornée : il existe une suite (xn)n∈N dans la bouleunité de H1 telle que

‖T (xn)‖H2 → +∞ quand n→ +∞. (1.9)

Par le théorème de compacité faible, il existe une suite extraite (xφ(n))n∈N et x ∈ H1 telsque xφ(n) x, et donc T (xφ(n)) T (x). Mais par la proposition 1.2.1, cela impliqueque la suite (T (xφ(n)))n∈N est bornée, en contradiction avec (1.9).

1.2.3 Opérateurs compacts dans le cadre hilbertien

Dans ce paragraphe, nous présentons quelques propriétés classiques des opérateurs com-pacts. Là encore, nous nous limitons au cadre hilbertien (qui sera suffisant pour traiter leproblème d’analyse que nous avons en vue), et invitons le lecteur à consulter [5] ou [36] pourle cadre des espaces de Banach. Notons d’emblée que la proposition 1.1.3 fournit un premierexemple d’opérateur compact 4 entre deux espaces de Hilbert séparables de dimension infi-nie. Elle assure clairement que pour tout ψ ∈ S(Rd) et R ≥ 0, l’opérateur de convolutionTψf

déf= f ? ψ est compact de L2(Rd) dans L2(BR).

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu qu’un opérateur borné entre deux espaces deHilbert était faiblement continu. La proposition suivante montre que les opérateurs compactssont précisément ceux qui transforment les suites faiblement convergentes en suites fortementconvergentes.

Proposition 1.2.4. Soit T un opérateur continu de l’espace de Hilbert H1 dans l’espace deHilbert H2. Les deux énoncés suivants sont équivalents :(i) L’opérateur T est compact.(ii) Pour toute suite (xn)n∈N ∈ HN

1 , on a(xn x

)=⇒

(T (xn)→ T (x)

).

Dém. Supposons d’abord que T soit compact. Soit (xn)n∈N une suite faiblement conver-gente de H1, et x sa limite faible. Un opérateur compact étant continu, donc faiblementcontinu, on a T (xn) T (x) . Mais toute suite faiblement convergente est bornée, donc(T (xn))n∈N admet une sous-suite fortement convergente. La limite de cette sous-suitene peut être que T (x). Remarquons par ailleurs que (xn)n∈N est bornée car faiblementconvergente, donc, en vertu de la compacité de T , la suite (T (xn))n∈N est à valeurs dans

4. il s’agit d’un d’opérateur dit de Hilbert-Schmidt

21

un compact. Comme elle admet T (x) pour unique valeur d’adhérence, on en déduit quela suite toute entière converge fortement vers T (x).Réciproquement supposons que la propriété (ii) soit vérifiée. Soit (xn)n∈N une quel-conque suite bornée de H1. Alors il existe x ∈ H1 et une sous-suite (xϕ(n))n∈N tellesque xϕ(n) x. D’après l’hypothèse, on a donc T (xϕ(n)) → T (x). En conséquence,l’opérateur T est compact.

Proposition 1.2.5. Soit T un opérateur borné de H1 dans H2. Alors T est compact si etseulement si T ∗ est compact.

Dém. Supposons que T : H1 → H2 soit compact. Soit (yn)n∈N une suite faiblementconvergente d’éléments de H2. Notons y sa limite faible. Comme T ∗ est faiblementcontinu car linéaire continu, on a T ∗(yn) T ∗(y). Donc, par compacité de T, on a aussiT (T ∗(yn))→ T (T ∗(y)) Par ailleurs,

‖T ∗(yn)‖2H1= (T ∗(yn) | T ∗(yn))H1

= (yn | T (T ∗(yn)))H2 → (y | T (T ∗(y)))H2 = ‖T ∗(y)‖2H1

car yn y et T (T ∗(yn))→ T (T ∗(y)).

On a donc à la fois ‖T ∗(yn)‖H1 → ‖T ∗(y)‖H1 et T ∗(yn) T ∗(y), ce qui entraîne parla proposition 1.2.2 que T ∗(yn) → T ∗(y). Donc T ∗ est compact d’après la propositionprécédente.

La réciproque se démontre en appliquant le raisonnement précédent à T ∗ et en utilisantle fait que (T ∗)∗ = T.

La proposition suivante donne une caractérisation universelle des opérateurs compactscomme limite d’opérateurs de rang fini, et complète donc la Proposition 1.1.2.

Proposition (Approximation uniforme des opérateurs compacts). Un opérateur T : H1 → H2

est compact si et seulement si il est limite uniforme d’opérateurs de rang fini.

Dém. Un opérateur de rang fini est compact, et la limite uniforme d’opérateurs compactsest compacte par la Proposition 1.1.2.

Montrons la réciproque. Soit T : H1 → H2 un opérateur compact. Alors K déf= T (B(0, 1))

est un compact de H2. Soit m ≥ 1 et εm = 1m , alors on peut extraire du recouvrement

K ⊂ ∪y∈KB(y, εm) un sous-recouvrement fini. Notons (ymi )1≤i≤N(m) les centres des

boules de rayon εm correspondantes. L’ensemble Fmdéf= Vect(ym1 , . . . , ymN(m)) est un

sous-espace vectoriel de dimension finie, donc est convexe fermé. Soit Pm l’opérateur deprojection sur Fm , alors :

∀y ∈ K, dist(y, Fm) = ‖y − Pm(y)‖H2 ≤ εm

donc

∀x ∈ B(0, 1), ‖T (x)− Pm T (x)‖H2 ≤ εm

et donc T est limite uniforme des opérateurs de rang fini Pm T.

22

1.2.4 La convergence faible étoile dans les espaces de Banach

Nous concluons ce chapitre par une courte présentation de la notion de convergence faible *dans les espaces de Banach. Il se trouve en effet que les espaces de Lebesgue Lp , 1 ≤ p ≤ +∞ ,sont fondamentaux pour l’analyse non linéaire (et en particulier pour le problème que noussouhaitons aborder dans ce cours), mais que seul l’espace L2 peut être muni d’une structurehilbertienne.

Le cadre général d’étude de la convergence faible ou faible * dans les espaces de Banachest aujourd’hui bien compris après une percée spectaculaire dans les années 1960. Le lecteurest renvoyé à [5] pour une exposition exhaustive de la théorie. Nous nous contentons pour cesnotes d’un cadre élémentaire mais représentatif : la convergence faible * dans les espaces deBanach séparables (i.e. comportant une partie dénombrable dense).

Définition 1.2.2. Soit E un espace de Banach sur K = R ou C et E′ son dual topologique.On dit qu’une suite (fn)n∈N d’éléments de E′ converge faiblement * vers f ∈ E′ si

∀x ∈ E, 〈fn, x〉E′×E → 〈f, x〉E′×E .

On note alors fn f faible *.

La convergence faible * a des propriétés très similaires à la convergence faible dans lesespaces de Hilbert :

Théorème 1.2.2. Soit (xn)n∈N une suite de l’espace de Banach E et (fn)n∈N un suite deE′. Soit x ∈ E et f ∈ E′. On a alors :

fn f =⇒ (fn)n∈N est bornée et ‖f‖E′ ≤ lim inf ‖fn‖E′ ; (1.10)

limn→+∞

‖fn − f‖E′ = 0 =⇒ fn f faible * ; (1.11)

xn → x et fn f faible * =⇒ limn→+∞

〈fn, xn〉E′×E = 〈f, x〉E′×E . (1.12)

Dém. Comme dans le cas hilbertien, le premier point est une conséquence du théorème deBanach-Steinhaus. Pour démontrer (1.11), il suffit d’écrire que, par définition de la normede E′, on a pour tout x ∈ E,

|〈fn − f, x〉E′×E | ≤ ‖fn − f‖E′‖x‖E .

Pour démontrer la dernière propriété, on écrit que

|〈fn, xn〉E′×E − 〈f, x〉E′×E | ≤ |〈fn − f, x〉E′×E |+ |〈fn, xn − x〉E′×E |≤ |〈fn − f, x〉E′×E |+ ‖fn‖E′‖xn − x‖E .

Le premier terme tend vers 0 par hypothèse et, en vertu de (1.10), (‖fn‖E′)n∈N estborné, donc le second terme tend aussi vers 0. Cela achève la démonstration de (1.12).

La compacité faible * de la boule unité de E′ est le résultat fondamental de cette section.Il doit être vu comme une généralisation aux espaces de Banach du Théorème 1.2.1.

Théorème 1.2.3 (Compacité faible * de la boule unité). Si E est un espace de Banachséparable alors toute suite bornée de E′ admet une sous-suite faiblement * convergente.

23

Dém. Comme E est séparable, il existe une suite (ej)j∈N qui est dense dans E. Soit (fn)n∈Nune suite de E′, bornée par M. Comme dans le cas hilbertien, par extraction diagonale,on obtient une sous-suite (fψ(n))n∈N telle que pour tout j ∈ N, la suite (fψ(n)(ej))n∈Nsoit convergente. Remarquons que la linéarité des fψ(n) assure également la convergencede (fψ(n)(λej))n∈N pour tout j ∈ N et λ ∈ C et que si l’on note

f(λej)déf= lim

n→+∞fψ(n)(λej), λ ∈ C, j ∈ N

alors on af(λej) = λf(ej). (1.13)

Par hypothèse, la partie A déf= ej , j ∈ N est dense dans E. Il est par ailleurs clair que

pour tout n ∈ N, la fonction fψ(n) est M -lipschitzienne sur A ; il en est donc de mêmepour f. Enfin f est à valeurs dans K qui est complet. En conséquence, un théorème deprolongement très classique (proposé dans l’exercice 1.2) assure l’existence d’une fonctionuniformément continue f sur E qui prolonge f. De plus, vu que f est M -lipschitzienne,f l’est aussi. Le fait que, pour tout x ∈ E, (fψ(n)(x))n∈N converge vers f(x) résulte dela convergence sur A et de la densité de A dans E. En effet, si x ∈ E, alors pour toutε > 0 il existe y ∈ A tel que ‖x− y‖E ≤ ε. On utilise ensuite l’argument habituel :

|fψ(n)(x)− f(x)| ≤ |fψ(n)(x)− fψ(n)(y)|+ |fψ(n)(y)− f(y)|+ |f(y)− f(x)|,

et comme f est M -lipschitzienne, il est facile de conclure à la convergence.

Il ne reste plus qu’à vérifier que f est linéaire. Pour ce faire, fixons (x, y) ∈ E2. Soit(xj)j∈N et (yj)j∈N des suites de points de A tendant vers x et y, respectivement.Considérons finalement (zj)j∈N une suite de A convergeant vers x+ y.

Pour tout j ∈ N, on a

f(zj)− f(xj)− f(yj) = limn→+∞

(fψ(n)(zj)− fψ(n)(xj)− fψ(n)(yj)

).

Donc, en utilisant la linéarité de fψ(n) et le fait que la suite est bornée par M,

|f(zj)− f(xj)− f(yj)| ≤M‖zj − xj − yj‖E .

Si l’on fait tendre j vers l’infini, cela donne bien

|f(x+ y)− f(x)− f(y)| = 0.

Enfin, en utilisant la densité de A et (1.13), on obtient également f(λx) = λf(x) pourtout λ ∈ C et x ∈ E.

1.3 Exercices

Exercice 1.1. Soit (X, d) un espace métrique complet. Montrer qu’une partie A de X estd’adhérence compacte si et seulement si

∀ε > 0, ∃N ∈ N∗, ∃(xj)1≤j≤N ∈ AN / A ⊂N⋃j=1

B(xj , ε).

24

Exercice 1.2 (Théorème de prolongement).(i) Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, A une partie dense de X , et f une

application uniformément continue de (A, d) dans (Y, δ) . Montrer que si Y est complet,alors il existe une unique application continue f de (X, d) dans (Y, δ) telle que f|A = f,

et que f est de plus uniformément continue.(ii) Soient E et F deux espaces vectoriels normés, V un sous-espace vectoriel dense de E

et L une application linéaire continue de V dans F . On suppose que F est complet.Montrer qu’il existe une unique application linéaire continue L de E dans F telle queL|V = L .

Exercice 1.3. Soit H1 et H2 deux espaces de Hilbert séparables de base hilbertienne (en)n∈Net (fn)n∈N, respectivement. Soit (εn)n∈N une suite de nombres réels ou complexes tendantvers 0.

(i) Montrer qu’il existe un unique opérateur borné T de H1 dans H2 vérifiant

∀n ∈ N, T (en) = εnfn.

(ii) Montrer que T est compact.

Exercice 1.4. Montrer la version générale du théorème d’Ascoli :

Théorème (d’Ascoli). Soit (X, d) un espace métrique compact et (Y, δ) un espace métriquecomplet. Soit A une partie de C(X;Y ) ayant les deux propriétés suivantes :(i) la partie A est équicontinue i.e.

∀x ∈ X , ∀ε > 0 , ∃α > 0 / d(x, x′) < α⇒ ∀f ∈ A , δ(f(x), f(x′)) < ε ;

(ii) pour tout x ∈ X , l’ensemble f(x) , f ∈ A est d’adhérence compacte.Alors A est d’adhérence compacte pour la distance de la convergence uniforme.

Indication : Après avoir vérifié que C(X;Y ) muni de la distance de la convergence uni-forme est complet, on pourra montrer que pour tout ε > 0, la partie A peut être recouvertepar un nombre fini de boules de rayon ε de C(X;Y ), centrées en des points de A, puis utiliserl’exercice 1.1.

Exercice 1.5. Démontrer la réciproque du théorème d’Ascoli ci-dessus, à savoir que si unepartie A de C(X;Y ) est relativement compacte, alors elle vérifie les conditions i) et ii) del’énoncé du théorème d’Ascoli.

Exercice 1.6. Soit une suite de fonctions (fn)n∈N de C([0, 1];R) qui converge uniformémentvers f sur [0, 1] . Soit x0 ∈ [0, 1] et une suite xn → x0 . Montrez que

fn(xn)→ f(x0).

En déduire que la suite de fonctions fn(x) = sin(nx) n’admet pas de sous-suite uniformémentconvergente.

Exercice 1.7. Soit (X, d) un espace métrique compact. On considère sur l’espace Cα(X;K)(avec K = R ou C) des fonctions hölderiennes d’indice α ∈]0, 1] de X dans K , la norme

‖f‖α = supx∈X|f(x)|+ sup

(x,y)∈X2

x 6=y

|f(x)− f(y)|d(x, y)α

·

25

(i) Démontrez que cette norme munit Cα(X;K) d’une structure d’espace de Banach.

(ii) Démontrez que, pour tout α , l’inclusion de Cα(X;K) dans l’espace de Banach des fonc-tions continues de X dans K est compacte.

(iii) Montrer plus précisément que si (fn)n∈N est une suite bornée de Cα(X;K) alors il existef dans Cα(X;K) et une extraction ψ telles que fψ(n) tende vers f au sens de la normede Cα′(X;K), pour tout α′ ∈]0, α[.

Exercice 1.8 (Théorèmes de Baire et de Banach-Steinhaus).

(i) Démontrez le théorème de Baire : soit (X, d) un espace métrique complet. Alors pourtoute suite (Ωn)n∈N d’ouverts denses de X, l’ensemble

⋂n∈N Ωn est dense dans X.

(ii) En déduire que pour toute suite (Fn)n∈N de fermés de X d’intérieur vide, l’ensemble⋃n∈N Fn est aussi d’intérieur vide.

(iii) Démontrez le théorème de Banach-Steinhaus : soit E un espace de Banach, F unespace vectoriel normé et (Ti)i∈I une famille d’opérateurs de E dans F. On suppose deplus que pour tout x ∈ E, l’ensemble Ti(x) / i ∈ I est borné.En considérant les ensembles An = x ∈ E / supi∈I ‖Ti(x)‖F ≤ n, montrez que

supi∈I‖Ti‖L(E;F ) <∞.

(iv) En déduire que, dans un espace de Hilbert H , si une suite (xn)n∈N tend faiblementvers x , alors elle est bornée et

‖x‖H ≤ lim inf ‖xn‖H.

(v) Dans le cas du dual d’un espace de Banach E, montrer que si la suite (xn)n∈N d’élémentsde E′ converge faiblement * alors (xn)n∈N est bornée dans E′ et vérifie

‖x‖E′ ≤ lim inf ‖xn‖E′ .

Exercice 1.9. Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie. Trouver deux suites(xn)n∈N et (yn)n∈N d’éléments de H telles que

xn x , yn y et limn→+∞

(xn|yn) 6= (x|y).

Exercice 1.10. Démontrer que pour un espace de Hilbert de dimension finie, convergenceforte et convergence faible coïncident. Même question avec la convergence faible * pour unespace de Banach de dimension finie.

Exercice 1.11. Soit H un espace de Hilbert quelconque. Montrer que toute suite bornée deH admet une sous-suite faiblement convergente.

Exercice 1.12. Soit H un espace de Hilbert séparable et A une partie convexe fermée nonvide de H. Soit φ : A → R une fonction convexe continue tendant vers l’infini à l’infini.Montrer que φ est minorée et atteint son minimum absolu.

Exercice 1.13 (Théorème de l’application ouverte). Dans tout cet exercice, on supposeque E et F sont deux espaces de Banach.

(i) On considère une application linéaire T continue et surjective de E dans F.

26

(a) À l’aide du théorème de Baire, montrer que T (BE(0, 1)) n’est pas d’intérieur vide,puis qu’il existe c > 0 tel que BF (0, 4c) ⊂ T (BE(0, 1)).

(b) Soit y ∈ BF (0, c). Construire une suite (xn)n∈N telle que

∀n ∈ N∗, ‖xn‖E < 2−(n+1) et ‖y − T (x1 + · · ·+ xn)‖F < 2−nc

puis conclure que BF (0, c) ⊂ T (BE(0, 1)).

(c) Montrer que T est une application ouverte (i.e l’image de tout ouvert de E par Test un ouvert de F ).

(d) En déduire que si T est bijective alors T−1 est continue.

(ii) Application : soit T un opérateur compact bijectif de E dans F. Montrer que E et Fsont de dimension finie.

Exercice 1.14 (Théorème du graphe fermé). Soient E et F deux espaces de Banach.Montrer que l’application linéaire T : E −→ F est continue si et seulement si son graphe

G(T )déf=

(x, T (x)), x ∈ E

est fermé dans E × F.On pourra utiliser l’application linéaire P :

G(T ) −→ E(x, y) 7−→ x.

27

Chapitre 2

Espaces de Lebesgue

Nous collectons dans ce chapitre quelques propriétés fondamentales des espaces de Le-besgue Lp. Après avoir rappelé des inégalités classiques (Hölder, Minkowski et Young no-tamment), nous présentons dans ce cadre la notion de convergence faible * et le théorème decompacité faible *, comme illustration et corollaire du chapitre précédent. Dans la deuxièmesection du chapitre, nous présentons succinctement la théorie de l’interpolation complexe, quis’avère être un outil simple mais très puissant et dont les applications en analyse sont mul-tiples. La fin du chapitre est dédiée à la démonstration d’inégalités de convolution de typeHardy-Littlewood-Sobolev, et constitue une première incursion dans le monde de l’analyseharmonique.

2.1 Structure d’espace de Banach et réflexivité

Dans cette section, après un bref rappel de la définition et des propriétés fonctionnellesclassiques des espaces de Lebesgue sur un espace topologique mesuré (X,O, µ) général 1, onmet en œuvre l’analyse fonctionnelle abstraite du chapitre précédent pour établir la compacitéfaible de la boule unité.

Le lecteur souhaitant approfondir ses connaissances sur les espaces de Lebesgue pourraconsulter par exemple [3], [17] et [34].

2.1.1 Structure d’espace de Banach

Rappelons tout d’abord la définition d’un espace de Lebesgue :

Définition 2.1.1. Soit (X,µ) un espace topologique mesuré. Si 1 ≤ p < +∞ alors l’es-pace Lp = Lp(X,µ) désigne l’ensemble des classes d’équivalence (pour la relation d’égalité µpresque partout) des fonctions boréliennes f sur X à valeurs dans R ou C telles que |f |p soitsommable. On pose

‖f‖Lpdéf=

(∫X|f(x)|pdµ(x)

) 1p

.

Si p = +∞, on définit l’espace L∞(X,µ) comme étant l’ensemble des classes d’équivalence(pour la relation d’égalité µ presque partout) des fonctions boréliennes f sur X telles quel’ensemble des réels positifs λ vérifiant µ

(x ∈ X / |f(x)| > λ

)> 0 soit majoré. On pose

‖f‖L∞déf= sup

λ > 0 / µ

(x ∈ X / |f(x)| > λ

)> 0·

1. Pour simplifier les notations, on n’indiquera pas explicitement la topologie dans le reste du chapitre.

29

Le théorème suivant est fondamental et repose sur la construction de la mesure :

Théorème 2.1.1. La fonction ‖ · ‖Lp est une norme sur Lp(X,µ), et l’ensemble Lp(X,µ)muni de ‖ · ‖Lp est un espace de Banach.

Lorsque p est fini, le fait que Lp soit un espace vectoriel résulte simplement de

|f(x) + g(x)|p ≤ 2p−1(|f(x)|p + |g(x)|p).

Le reste de la démonstration (qui n’est pas immédiate, voir e.g. [5, 34] pour les détails) reposeessentiellement sur l’inégalité dite de Hölder suivante :

Lemme (Inégalité de Hölder). Soit p ∈ [1,+∞] . On note p′déf=

p

p− 1l’exposant conjugué

de p (avec la règle que 1/0 =∞). Soient f dans Lp et g dans Lp′ , alors fg ∈ L1 et

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lp′ .

Dém. L’inégalité est évidente si p vaut 1 ou ∞ . Dans les autres cas, la démonstrationrepose sur la concavité de la fonction logarithme qui assure que si (a, b) est un couplede réels strictement positifs et θ un réel de l’intervalle [0, 1] , alors

θ log a+ (1− θ) log b ≤ log(θa+ (1− θ)b).

En appliquant l’exponentielle à cette inégalité, on obtient

aθb1−θ ≤ θa+ (1− θ)b. (2.1)

Quitte à multiplier f et g par une constante, on peut supposer que ‖f‖Lp = ‖g‖Lp′ = 1 .De l’inégalité ci-dessus avec θ = 1/p, a = |f(x)|p et b = |g(x)|p′ , on déduit que

|f(x)| |g(x)| = (|f(x)|p)1p (|g(x)|p′)

1p′

≤ 1

p|f(x)|p +

(1− 1

p

)|g(x)|p′ .

L’intégration de cette inégalité par rapport à la mesure µ conclut la démonstration.

Remarque. Le fait que ‖ · ‖Lp soit une norme est une conséquence de l’inégalité de Hölder. Eneffet,

|f(x) + g(x)|p = |f(x) + g(x)| |f(x) + g(x)|p−1

≤ |f(x)| |f(x) + g(x)|p−1 + |g(x)| |f(x) + g(x)|p−1.

Comme f +g appartient à Lp , |f +g|p−1 appartient à Lp′ . D’après l’inégalité de Hölder, on a∫Ω|f(x) + g(x)|pdµ(x) ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)

(∫Ω|f(x) + g(x)|pdµ(x)

)1− 1p.

Il en résulte que ‖ · ‖Lp vérifie l’inégalité triangulaire suivante (dite inégalité de Minkowski) :

‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp .

La démonstration de la complétude de (Lp, ‖ · ‖Lp) est très analogue à celle des théorèmes3.2.4 page 81 et 3.3.2 page 87 de [3], et se trouve in extenso dans [34].

30

Les variantes suivantes de l’inégalité de Hölder sont très utiles, la démonstration élémentaireest laissée au lecteur :

Corollaire 2.1.1 (Variantes de l’inégalité de Hölder). Dans tout espace mesuré on a les in-égalités suivantes :

– Pour 1 ≤ p, q ≤ ∞ et 0 ≤ θ ≤ 1 ,

‖f‖Lr ≤ ‖f‖θLp‖f‖1−θLq avec1

r=θ

p+

1− θq·

– Pour 1 ≤ p, q, r ≤ +∞ , alors

‖fg‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq avec1

r=

1

p+

1

q·

– Plus généralement, si 1 ≤ p1, · · · , pN , r ≤ +∞ alors

‖N∏i=1

fi‖Lr ≤N∏i=1

‖fi‖Lpi avec1

r=

N∑i=1

1

pi·

La séparabilité de Lp pour p < +∞ repose sur des théorèmes de densité standard, nousrenvoyons à [34] pour une démonstration.

Proposition 2.1.1. Si p est fini alors pour tout borélien A de Rd et mesure borélienne µabsolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, l’espace Lp(A,µ) est séparable.De plus, l’ensemble des fonctions simples 2 est dense dans Lp(A,µ) ainsi que l’ensemble desfonctions C∞ à support compact dans l’adhérence de A.

Soulignons que ce résultat est faux pour p = +∞. De manière générale, les cas limitesp ∈ 1,+∞ sont toujours à traiter avec précaution.

2.1.2 Réflexivité de Lp et compacité faible

Etudions maintenant la structure du dual topologique de Lp . Commencons par la carac-térisation duale 3 des fonctions de Lp .

Lemme 2.1.1. Soit (X,µ) un espace mesuré avec µ mesure σ -finie 4, f une fonction mesu-rable et p un élément de [1,+∞] . Alors f appartient à Lp si et seulement si

sup‖g‖

Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)|dµ(x) <∞. (2.2)

Si de plus la fonction f appartient à Lp , alors

‖f‖Lp = sup‖g‖

Lp′≤1

∣∣∣∣∫Xf(x)g(x)dµ(x)

∣∣∣∣ .2. C’est-à-dire des combinaisons linéaires (finies) de fonctions indicatrices de sous-ensembles mesurables

disjoints et de mesure finie de A.3. qui dans le cadre d’un espace de Banach général est une conséquence classique du théorème de Hahn-

Banach, cf [5].4. i.e. il existe une suite croissante (Xn)n∈N de boréliens de mesure finie, et de réunion égale à X.

31

Dém. Supposons sans perte de généralité f non nulle µ p.p. Pour λ ≥ 0, on note Eλdéf=(

|f | ≥ λ). Commençons par considérer le cas où p = +∞ . Fixons un λ > 0 tel que

µ(Eλ)> 0. Soit g0 une fonction de L1 , positive, supportée dans Eλ , et d’intégrale 1 .

On pose

g(x) =f(x)

|f(x)|g0 si f(x) 6= 0, et g(x) = 0 sinon.

On a alors ∫Xf(x)g(x) dµ(x) =

∫X|f(x)|g0(x) dµ(x) ≥ λ

∫Xg0 dµ(x) ≥ λ

ce qui montre que la quantité définie en (2.2) est infinie si f n’est pas dans L∞, et que

‖f‖L∞ ≥ sup‖g‖L1≤1

∣∣∣∣∫Xf(x)g(x)dµ(x)

∣∣∣∣si f est dans L∞. L’inégalité opposée étant évidente, on a démontré le lemme dans lecas p = +∞.Supposons maintenant que 1 ≤ p < +∞ , et considérons alors une suite croissanted’ensembles de mesure finie (Xn)n∈N dont la réunion est X. Posons

fn = 1Xn∩|f |≤nf, gn(x) =fn(x)|fn(x)|p−1

|fn(x)| ‖fn‖pp′Lp

si fn(x) 6= 0 et gn(x) = 0 sinon.

Il est clair que la fonction fn appartient à L1 ∩ L∞, donc à Lp, et que l’on a

‖gn‖p′

Lp′=

1

‖fn‖pLp

∫X|fn(x)|(p−1) p

p−1dµ(x) = 1.

La définition des fonctions fn et gn assure que∫Xf(x)1Xn∩(|f |≤n)gn(x)dµ(x) =

∫Xfn(x)gn(x)dµ(x) =

(∫X|fn(x)|pdµ(x)

)‖fn‖

− pp′

Lp

= ‖fn‖Lp

et donc ∫X|fn(x)|pdµ(x) ≤

(sup

‖g‖Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)|dµ(x)

)p.

Si le terme de droite est fini, le théorème de convergence monotone appliqué à la suitecroissante (|fn|p)n∈N implique immédiatement que

f ∈ Lp et ‖f‖Lp ≤ sup‖g‖

Lp′≤1

∫X|f(x)g(x)| dµ(x).

Mais, si f appartient à l’espace Lp , alors en posant g(x) =f(x)|f(x)|p−1

|f(x)| ‖f‖pp′Lp

, on a

‖g‖p′

Lp′=

1

‖f‖pLp

∫X|f(x)|(p−1) p

p−1dµ(x) = 1 et ‖f‖Lp =

∫Xf(x)g(x) dµ(x),

ce qui achève la démonstration.

32

Donnons un corollaire fondamental du lemme précédent qui correspond au théorème deRiesz dans le cas Hilbertien p = 2 , et étend ce dernier pour p < +∞ .

Théorème 2.1.2 (de représentation de Riesz). Soit 1 ≤ p < +∞ et p′ l’exposant conjuguéde p. Soit ϕ une forme linéaire continue sur Lp . Alors il existe un unique u ∈ Lp′ tel que

∀f ∈ Lp, 〈ϕ, f〉 déf= ϕ(f) =

∫Xuf dµ(x).

De plus ‖ϕ‖(Lp)′ = ‖u‖Lp′ . Autrement dit, l’application T : u 7→ Tu définie pour tout u ∈ Lp′

et f ∈ Lp par Tu(f) =∫X fu dµ(x) est une isométrie bijective de Lp′ sur

(Lp)′.

Dém. Dans le lemme 2.1.1, nous avons déjà établi que T : u 7→ Tu était une isométrie deLp′ dans (Lp)′. La surjectivité est non triviale et repose sur des propriétés géométriques

de la norme Lp liées aux inégalités de Clarkson (voir e.g. [5]).

Remarque. Le lecteur familier de la théorie des distributions sait bien que le théorème 2.1.2est faux pour p = +∞ : la masse de Dirac

〈δ0, f〉déf= f(0)

est l’exemple canonique de forme linéaire continue sur C(Rd, ‖ · ‖L∞) telle qu’il n’existe pasde u localement intégrable avec 〈δ0, f〉 =

∫uf dx pour tout f ∈ C(Rd, ‖ · ‖L∞) . Le dual

topologique de L∞ est ainsi strictement plus gros que L1 :

L1 ( (L∞)′.

Le théorème de représentation de Riesz implique que pour 1 < p < +∞ l’espace Lp estun dual : Lp′ ' (Lp)′ , et est réflexif, c’est-à-dire isomorphe à son bidual :

(Lp)′′ ' Lp.

En conséquence Lp est un un espace de Banach réflexif séparable dans ce cas, et un corollaireimmédiat du théorème 1.2.3 est la compacité faible * de la boule unité au sens suivant :

Corollaire 2.1.2 (Compacité faible de la boule unité). Soit 1 < p < +∞ et (fn)n∈N unesuite bornée de Lp(A,µ) avec A borélien de Rd et µ absolument continue par rapport à lamesure de Lebesgue. Alors il existe une sous-suite (fϕ(n))n∈N et une fonction f de Lp(A,µ)telles que

limn→+∞

∫Afϕ(n)(x)g(x) dµ(x) =

∫Af(x)g(x) dµ(x)

pour toute fonction g de Lp′(A,µ).

Remarque. Comme toute forme linéaire continue sur l’espace séparable L1(A,µ) peut êtreidentifiée à une fonction de L∞(A,µ), le théorème 1.2.3 assure que le résultat ci-dessus demeurevrai dans le cas p = +∞ bien que L∞(A,µ) ne soit pas séparable. Mais il est en revanchegrossièrement faux dans le cas p = 1 (voir exercice 2.2).

2.2 Un résultat d’interpolation complexe

Nous présentons maintenant un outil technique élémentaire mais très puissant : l’inter-polation complexe. Nous donnerons une illustration de la puissance de cette méthode quandnous démontrerons les estimées de Strichartz pour le groupe de Schrödinger libre. Le lecteurtrouvera des applications plus modestes -mais non triviales- avec les Exercices 2.5 et 2.6. Enfinle lecteur motivé pourra s’initier aux techniques de l’interpolation réelle dans [33].

33

2.2.1 Le théorème d’interpolation de Riesz-Thorin

Le résultat principal de l’interpolation complexe est le :

Théorème (de Riesz-Thorin). Soit 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞. Soit (X,µ) et (Y, ν) deuxespaces mesurés. Soit T un opérateur linéaire de Lp0(X,µ) + Lp1(X,µ) dans Lq0(Y, ν) +Lq1(Y, ν), qui est borné de Lp0(X,µ) dans Lq0(Y, ν) et de Lp1(X,µ) dans Lq1(Y, ν). Alorsl’opérateur T est également borné de Lp(X,µ) dans Lq(Y, ν) pourvu qu’il existe θ ∈]0, 1[ telque

1

p=

θ

p0+

1− θp1

et1

q=

θ

q0+

1− θq1·

De plus, on a‖T‖L(Lp;Lq) ≤ ‖T‖θL(Lp0 ;Lq0 )‖T‖

1−θL(Lp1 ;Lq1 ).

La démonstration de ce théorème repose sur la version suivante du principe du maximumpour les fonctions holomorphes.

Lemme (de Phragmen-Lindelöf). Soit F une fonction de la variable complexe continue etbornée dans la bande

Sdéf=x+ iy / x ∈ [0, 1], y ∈ R

et holomorphe à l’intérieur de S. Soit

M0 = supy∈R|F (iy)| et M1 = sup

y∈R|F (1 + iy)|.

Alors pour tout x ∈ [0, 1] et y ∈ R on a

|F (x+ iy)| ≤M1−x0 Mx

1 .

Dém. Quitte à perturber F par une constante pouvant être choisie arbitrairement pe-tite, on peut supposer que M0 et M1 sont strictement positifs et donc poser G(z) =M z−1

0 M−z1 F (z). La fonction G a les mêmes propriétés que F et est de plus bornée par1 sur le bord de S. Pour conclure au résultat voulu, il suffit donc de démontrer que Gest bornée par 1 sur S entier.Introduisons la suite de fonctions (Gn)n≥1 définie sur S par

Gn(z) = G(z) exp

(z2 − 1

n

)·

Comme G est bornée sur S, il est clair que (Gn)n∈N converge uniformément vers G surS. Il suffit donc de montrer que Gn est bornée par 1 pour n assez grand.Pour tout n ∈ N, la fonction Gn est continue bornée sur tout rectangle x+ iy / 0 ≤ x ≤1, |y| ≤ N et holomorphe à l’intérieur du rectangle. Le principe du maximum assuredonc que Gn atteint son maximum sur le bord du rectangle. Comme G est bornée sur Set |Gn(z)| ≤ |G(z)| exp(−y2/n), on voit que si N a été choisi suffisamment grand alors|Gn| n’excède pas 1 sur les bords du rectangle, donc est bornée par 1 dans le rectangletout entier. En faisant tendre N vers l’infini, on peut donc conclure que Gn est bornéepar 1 sur toute la bande S.

34

Passons à la démonstration du théorème de Riesz-Thorin. Fixons un opérateur T vérifiantles hypothèses de l’énoncé, et θ ∈ [0, 1]. Par dualité (cf lemme 2.1.1), la propriété à démontrerest équivalente au fait que

∀f ∈ Lp(X,µ), ∀g ∈ Lq′(Y, ν),

∣∣∣∣∫YT (f) g dν

∣∣∣∣ ≤M θ0M

1−θ1 ‖f‖Lp‖g‖Lq′ . (2.3)

En vertu de la proposition 2.1.1, il suffit de démontrer le résultat lorsque f et g sont desfonctions simples (du moins lorsque p et q′ sont finis). On peut donc supposer que f et g sontde la forme

f =

p∑j=1

aj1Aj et g =

q∑k=1

bk1Bk

où les coefficients aj et bk sont tous non nuls et où les ensembles Aj et Bk sont µ-mesurables.Quitte à renormaliser, on peut, sans nuire à la généralité, supposer de plus que ‖f‖Lp =‖g‖Lq′ = 1. Pour tout nombre complexe z appartenant à la bande S du lemme de Phragmen-Lindelöf, posons

fz =

p∑j=1

aj|aj ||aj |

p( 1−zp0

+ zp1

)1Aj et gz =

q∑k=1

bk|bk||bk|

q′( 1−zq′0

+ zq′1

)1Bk .

Il est clair que fθ = f, gθ = g et qu’à x fixé, les fonctions z 7→ fz(x) et z 7→ T (gz)(x)sont holomorphes à l’intérieur de S et continues bornées dans S. En utilisant le théorèmede dépendance holomorphe sous le signe intégral, cela permet de montrer que la fonction Fdéfinie sur S par

F (z) =

∫YT (fz) gz dν

satisfait les hypothèses du lemme de Phragmen-Lindelöf.Plus précisément, on remarque que pour tout t ∈ R,

‖fit‖Lp0 = ‖f‖p/p0Lp = 1, ‖f1+it‖Lp1 = ‖f‖p/p1Lp = 1

et que

‖git‖Lq′0 = ‖g‖q′/q′0Lq′

= 1, ‖g1+it‖Lq′1 = ‖g‖q′/q′1Lq′

= 1.

En conséquence, d’après l’inégalité de Hölder, les égalités précédentes et les hypothèses sur T,

|F (it)| ≤ ‖T (fit)‖Lq0‖git‖Lq′0 ≤M0‖fit‖Lp0 = M0,

|F (1 + it)| ≤ ‖T (f1+it)‖Lq1‖g1+it‖Lq′1 ≤M1‖f1+it‖Lp1 = M1.

Le lemme de Phragmen-Lindelöf donne donc

∀x+iy ∈ S, |F (x+ iy)| ≤Mx0M

1−x1 .

En remarquant que F (θ) n’est autre que le membre de gauche de (2.3), on conclut au résultatannoncé.

35

2.2.2 Extension aux Lebesgue espace-temps

Nous présentons maintenant sans démonstration une extension élémentaire des énoncésprécédents au cas des espaces de Lebesgue dépendant d’une autre variable (temporelle). Cesespaces fonctionnels sont d’une importance capitale pour l’étude des équations aux dérivéespartielles d’évolution et apparaîtront naturellement pour quantifier les propriétés dispersivesde l’équation de Schrödinger linéaire (cf chapitre 4).

Soit E un espace de Banach muni d’une mesure borélienne ν , (X,µ), un espace topologiquemesuré, et p ∈ [1,+∞] , on définit Lp(X;E) comme étant l’ensemble des classes d’équivalencede fonctions f mesurables de X muni de la mesure µ, dans E muni de ν, et telles que (avecla modification habituelle si p = +∞)

‖f‖Lp(X;E)déf=

(∫X‖f(x)‖pE dµ(x)

) 1p

<∞.

On dispose encore de résultats de densité similaires à la proposition 2.1.1 (voir par exemplel’appendice de [13]) et du résultat suivant :

Théorème 2.2.1. La fonction ‖·‖Lp(X;E) est une norme sur Lp(X;E) et l’ensemble Lp(X;E)muni de cette norme est un espace de Banach. De plus, si p est fini, alors il existe un isomor-phisme isométrique du dual topologique de Lp(X;E) vers Lp′(X;E′).

Nous serons en fait amenés à utiliser ces espaces uniquement dans le cas où X est unintervalle I de R et où E est lui-même un espace de Lebesgue sur Rd. On notera alors l’espacecorrespondant Lp(I;Lq(Rd)). Dans ce contexte, le théorème de Riesz-Thorin s’énonce commesuit :

Théorème 2.2.2. Soit 1 ≤ m0,m1, p0, p1, q0, q1, r0, r1 ≤ ∞. Soit T un opérateur linéaire deLm0(I;Lp0) + Lm1(I;Lp1) dans Lq0(I;Lr0) + Lq1(I;Lr1), qui est borné de Lm0(I;Lp0) dansLq0(I;Lr0) et de Lm1(I;Lp1) dans Lq1(I;Lr1). Alors pour tout θ ∈ [0, 1], l’opérateur T estégalement borné de Lmθ(I;Lpθ) dans Lqθ(I;Lrθ) avec

1

mθ=

θ

m0+

1− θm1

,1

pθ=

θ

p0+

1− θp1

,1

qθ=

θ

q0+

1− θq1

,1

rθ=

θ

r0+

1− θr1·

En outre :

‖T‖L(Lmθ (I;Lpθ );Lqθ (I;Lrθ )) ≤ ‖T‖θL(Lm0 (I;Lp0 );Lq0 (I;Lr0 ))‖T‖1−θL(Lm1 (I;Lp1 );Lq1 (I;Lr1 )).

2.3 Les inégalités de convolution

Nous présentons ici des inégalités de convolution classiques qui interviennent dans de trèsnombreuses modélisations physiques et problèmes d’analyse mathématique. Le lecteur familieravec la théorie des distributions et de l’analyse de Fourier connaît déjà l’importance de la notionde convolution. Les estimations classiques de Young que nous rappelons ci-dessous, et leurgénéralisation que sont les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev, sont des outils canoniquespour quantifier l’effet régularisant de l’opération de convolution. La démonstration de cesdernières mettra en œuvre la décomposition atomique des espaces Lp qui est une nouvelleincursion dans le monde de l’analyse harmonique.

36

2.3.1 Inégalités de convolution

Rappelons que la convolution entre deux fonctions f et g de Rd dans R ou C est définie(formellement) sur Rd par

f ? g(x)déf=

∫Rdf(x− y)g(y) dy =

∫Rdf(y)g(x− y) dy.

La notion de convolution intervient fréquemment en analyse et en physique. En analyse, onl’utilise par exemple pour démontrer des inégalités fonctionnelles ou régulariser des fonctions.En physique, elle intervient pour décrire l’interaction coulombienne ou dans la loi de Biot-Savart en mécanique des fluides ou électromagnétisme.

Rappelons tout d’abord les inégalités de convolution “classiques” pour les fonctions définiessur Rd et mesurables au sens de Lebesgue.

Lemme (Inégalité de Young). Soit (p, q, r) ∈ [1,∞]3 tel que

1

p+

1

q= 1 +

1

r· (2.4)

Alors pour tout couple (f, g) ∈ Lp × Lq ,

f ? g ∈ Lr et ‖f ? g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Dém. La démonstration proposée ici repose sur l’inégalité Hölder (mais on peut aussiprocéder par interpolation, voir exercice 2.5). Le cas r = +∞ correspondant exacte-ment à l’inégalité de Hölder, supposons désormais que r est fini, et observons que l’onpeut se limiter à des fonctions f et g positives que l’on peut normaliser de telle sorteque ‖f‖Lp = ‖g‖Lq = 1 . On a, pour tout θ dans ]0, 1[ ,

(f ? g)(x) =

∫Rdfθ(x− y)g1−θ(y)f1−θ(x− y)gθ(y) dy.

L’inégalité de Hölder implique que, pour tout réel s ≥ 1 , et tout θ ∈]0, 1[ , on a

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfθs(x− y)g(1−θ)s(y) dy

) rs(∫

Rdf (1−θ)s′(x− y)gθs

′(y) dy

) rs′

.

On choisit θ et s tels que θs = p et θs′ = q . En utilisant (2.4), on trouve que

θ =r

r + 1, s =

p(r + 1)

ret s′ =

q(r + 1)

r· (2.5)

On en déduit que

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfp(x− y)g

pr (y) dy

) rs(∫

Rdfqr (x− y)gq(y) dy

) rs′

.

Posonsα =

qr

pet β =

pr

q·

Remarquons que, comme r ≥ maxp, q , les réels α et β sont supérieurs ou égauxà 1 . En appliquant l’inégalité de Hölder, avec α (resp. β ) et la mesure fp(x − y) dy(resp. gq(y) dy ), on trouve que

(f ? g)r(x) ≤(∫

Rdfp(x− y)gq(y) dy

)r( 1sα

+ 1s′β

).

37

Par définition de θ , s , α et β , nous avons

r

(1

sα+

1

s′β

)= r

(rp

p(r + 1)qr+

rq

q(r + 1)pr

)=

r

r + 1

(1

q+

1

p

)= 1.

D’où il vient(f ? g)r(x) ≤ (fp ? gq)(x).

Le théorème vient par intégration.

Remarque 2.3.1. La définition de convolution s’étend aux suites numériques : à partir dedeux suites (an)n∈Z et (bn)n∈Z, on peut (au moins formellement) en définir une troisièmenotée a ? b par la relation

(a ? b)ndéf=∑m∈Z

ambn−m =∑m∈Z

an−mbm.

Pour p ∈ [1,∞[, notons `p l’ensemble des suites (an)n∈Z telles que

‖(an)n∈N‖`pdéf=

(∑n∈Z|an|p

) 1p

et `∞ l’ensemble des suites bornées. En suivant pas à pas la démonstration du lemme 2.3.1, onmontre sans difficulté que pour tout (p, q, r) ∈ [1,∞]3 vérifiant (2.4) et (a, b) ∈ `p × `q on a

a ? b ∈ `r et ‖a ? b‖`r ≤ ‖a‖`p‖b‖`q .

La faiblesse des inégalités de Young est de demander que le noyau de convolution soitdans un espace Lp . Cette propriété est manifestement fausse pour certains noyaux issus de laphysique. Par exemple, le potentiel coulombien créé par une distribution de masse (ρ(x), x ∈R3) est 5

V = − 1

4π|x|? ρ.

Cela découle du fait que ce potentiel est solution de l’équation de Poisson ∆V = ρ. Clairement,le noyau 1

|x| n’appartient à aucun espace Lp(R3). Cependant, il est “presque” dans L3(R3) , ladivergence en 0 et l’infini étant seulement logarithmique.

Le même type de noyau singulier apparaîtra dans notre étude de la dispersion pour l’équa-tion de Schrödinger linéaire et la démonstration des estimations de Strichartz. Les inégalitésde Young se généralisent pour ce type de noyau singulier hors des exposants limites :

Théorème (Inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev). Soit α ∈]0, d[ et (p, r) ∈]1,∞[2

tels que1

p+α

d= 1 +

1

r· (2.6)

Alors pour toute fonction f de Lp(Rd), la fonction | · |−α ? f appartient à Lr(Rd) et il existeune constante C indépendante de f telle que

‖ | · |−α ? f‖Lr(Rd) ≤ C‖f‖Lp(Rd).

5. après normalisation des constantes physiques.

38

Ce théorème est en fait un cas particulier d’inégalités de convolution plus générales que nousdémontrerons ci-dessous, et qui précisent les inégalités de Young. Afin d’énoncer ces inégalités,nous devons définir ce qu’est l’espace Lq faible.

Définition 2.3.1. Pour q ∈ [1,+∞[, l’espace Lq faible noté Lqf est l’ensemble des fonctions gsur Rd mesurables au sens de Lebesgue et telles que ‖g‖Lqf soit fini avec

‖g‖qLqf

déf= sup

λ>0λq | |g| > λ |<∞.

Remarque. Toute fonction de Lq est aussi dans Lqf . En effet, on a

λq | |g| > λ |≤∫|g|>λ

|g(x)|q dx ≤ ‖g‖qLq . (2.7)

A contrario, la fonction1

|x|α∈ L

dαf (2.8)

mais n’appartient à aucun Lp .

Nous pouvons maintenant énoncer les inégalités de Young précisées, qui redonnent lesinégalités de Young classiques à une constante multiplicative près, sauf dans les cas limites, etimplique l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev en vertu de (2.8).

Théorème 2.3.1. Soit (p, q, r) ∈]1,∞[3 vérifiant (2.4). Il existe une constante C telle quepour toute fonction f de Lp(Rd) et toute fonction g de Lqf (Rd), on ait f ? g ∈ Lr(Rd) et

‖f ? g‖Lr ≤ C‖f‖Lp‖g‖Lqf .

Remarque. La démonstration standard des inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev repose surla fonction maximale (voir exercice 2.8) mais ne permet pas d’obtenir les inégalités de Youngprécisées dans toute leur généralité. Signalons également que certaines plages d’exposants deHardy-Littlewood-Sobolev peuvent s’obtenir directement comme conséquence des injections deSobolev, voir le chapitre suivant et notamment l’exercice 3.20.

Remarque. Pour toutes les inégalités énoncées dans cette sous-section, les relations entre lesindices et exposants peuvent être “devinées” a priori par un simple argument d’analyse d’échellequi reviendra à maintes reprises dans ce cours. L’heuristique est qu’une norme Lp a la dimen-sion d’un volume à la puissance 1/p alors qu’une convolution a la dimension d’un volume. Enconséquence, pour que les deux membres de l’inégalité de Young soient comparables, on doitnécessairement avoir (2.4). La même heuristique conduit à (2.6) pour les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev. La démonstration rigoureuse utilise des fonctions dilatées : fλ(x) = f(λx)et gλ(x) = g(λx), avec λ décrivant ]0,+∞[.

La fin de ce chapitre est consacrée à la démonstration du Théorème 2.3.1 et requiert l’in-troduction de la décomposition atomique des espaces Lp.

2.3.2 Décomposition atomique des espaces Lp

On appelle décomposition atomique d’une fonction de Lp (avec 1 ≤ p < +∞) la caracté-risation donnée par la proposition suivante.

39

Proposition 2.3.1. Soit (X,µ) un espace mesuré et 1 ≤ p < +∞. Pour toute fonction fpositive de Lp , il existe une suite de nombres positifs (ck)k∈Z et une suite de fonctions positivesbornées (fk)k∈Z (appelées atomes) à supports deux à deux disjoints telles que

f =∑k∈Z

ckfk

et en outre :

µ(Supp fk) ≤ 2k+1, (2.9)

‖fk‖L∞ ≤ 2− kp , (2.10)

1

2‖f‖pLp ≤

∑k∈Z

cpk ≤ 2‖f‖pLp . (2.11)

Dém. Il suffit de traiter le cas p = 1. En effet, on a f ∈ Lp si et seulement si |f |p ∈ L1, et

‖f‖pLp = ‖|f |p‖L1 .

Soit donc f ∈ L1 positive. Posons Eλdéf= f > λ. La fonction λ 7→ µ(Eλ) est dé-

croissante sur R+, et tend vers 0 à l’infini (du fait de (2.7)). Pour k ∈ Z, on posealors

λkdéf= inf

λ /µ(Eλ) < 2k

, ck

déf= 2kλk et fk

déf= c−1

k 1λk+1<f≤λkf.

La suite (λk)k∈Z ainsi définie est décroissante et converge vers 0 lorsque k tend vers+∞. De plus, vu que Eλk+1

=⋃λ>λk+1

Eλ, on a µ(Eλk+1) ≤ 2k+1, et donc (2.9) est

vérifié. Il est aussi clair que ‖fk‖L∞ ≤ 2−k . Ecrivons alors que∑k∈Z

ck =∑k∈Z

2kλk =∑k∈Z

∫ ∞0

2k1]0,λk[(λ) dλ.

Du théorème de Fubini, on tire que∑k∈Z

ck =

∫ ∞0

( ∑k / λk>λ

2k)dλ.

Par définition de (λk)k∈Z , avoir λ < λk implique que µ(Eλ) ≥ 2k . En conséquence,∑k∈Z

ck ≤∫ ∞

0λ

( ∑k / 2k≤µ(Eλ)

2k)dλ ≤ 2

∫ ∞0

µ(f > λ) dλ.

Mais, en vertu du théorème de Fubini, on a∫ ∞0

µ(Eλ) dλ =

∫ ∞0

∫X1f>λ dµ(x) dλ =

∫X

(∫ f(x)

0dλ

)dµ(x) = ‖f‖L1 .

Pour achever la démonstration de (2.11), il suffit de remarquer que, étant donné que lessupports des fonctions (fk)k∈Z sont deux à deux disjoints, on peut écrire :

‖f‖L1 =∑k∈Z

ck‖fk‖L1 .

De (2.9) et de (2.10), il découle que

‖fk‖L1 ≤ 2 pour tout k ∈ Z.

Cela donne l’inégalité de gauche de (2.11).

40

2.3.3 Démonstration des inégalités de Young précisées

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 2.3.1. Pour ce faire, nous allons utiliserla décomposition atomique introduite dans le paragraphe précédent, et la caractérisation dualede la norme de Lebesgue du lemme 2.1.1.

Soit donc f et g deux fonctions vérifiant les hypothèses du théorème à démontrer, et hune fonction de Lr

′. On peut sans perte de généralité supposer que les trois fonctions sont

positives. Définissons alors

I(f, g, h)déf=

∫Rd×Rd

f(y)g(x− y)h(x) dx dy.

Par homogénéité, on peut se ramener au cas où ‖f‖Lp = ‖g‖Lqf = ‖h‖Lr′ = 1 . Si l’on

pose Cjdéf= z ∈ Rd , 2j ≤ g(z) < 2j+1 , on peut écrire

I(f, g, h) ≤ 2∑j∈Z

2jIj(f, h) avec (2.12)

Ij(f, h)déf=

∫Rd×Rd

f(y)h(x)1Cj (x− y) dx dy. (2.13)

Comme ‖g‖Lqf = 1, on a ‖1Cj‖Ls ≤ 2−jqs pour tout s ∈ [1,∞]. Si l’on applique maintenant

l’inégalité de Young démontrée précédemment avec p , q et r , on constate que Ij(f, h) ≤2−j . Cette inégalité n’est pas assez précise car elle n’entraîne pas la convergence de la sé-rie∑

2jIj(f, h). Pour pallier cette difficulté, on introduit les décompositions atomiques

f =∑k∈Z

ckfk et h =∑k∈Z

dkhk

données par la proposition 2.3.1. On peut donc écrire

Ij(f, h) =∑k,`

ckd`Ij(fk, h`).

Le gain obtenu grâce à cette nouvelle décomposition (apparemment plus compliquée) est queles atomes fk et h` appartiennent à tous les espaces de Lebesgue. On peut donc jouer sur toutela gamme d’inégalités de Young et de Hölder pour majorer chaque terme de la somme. Plusprécisément, pour tout (a, b) ∈ [1,∞]2 tel que b ≤ a′, on peut écrire pour tout (k, `) ∈ Z2,

Ij(fk, h`) ≤ ‖fk‖La‖h`‖Lb‖1Cj‖Lc′ avec1

a+

1

b= 1 +

1

c·

DoncIj(fk, h`) ≤ 2−jq(2− 1

a− 1b )‖fk‖La‖h`‖Lb .

En utilisant la proposition 2.3.1, on trouve donc que

2jIj(fk, h`) ≤ 2jq(

1q−2+ 1

a+ 1b

)2k(

1a− 1p

)2`(

1b− 1r′ ).

La condition (2.4) sur (p, q, r) donne donc

2jIj(fk, h`) ≤ 2(jq+k)

(1a− 1p

)2(jq+`)( 1

b− 1r′ ). (2.14)

Soit ε déf= 1

4

(1p −

1r

)· Comme q > 1 , la condition (2.4) implique que p < r, et donc ε > 0.

Choisissons alors a et b tels que1

a

déf=

1

p− 2ε sg(jq + k) et

1

b

déf=

1

r′− 2ε sg(jq + `)

avec sg n = 1 si n ≥ 0 , et sg n = −1 si n < 0 .

41

En remarquant que l’on a bien b ≤ a′, l’inégalité (2.14) devient grâce à l’inégalité triangu-laire :

2jIj(fk, h`) ≤ 2−2ε|jq+k|−2ε|jq+`|

≤ 2−ε|jq+k|−ε|jq+`|−ε|k−`|.

En utilisant maintenant la remarque 2.3.1, on en déduit que

I(f, g, h) ≤∑j,k,`

ckd`2−ε|jq+k|−ε|jq+`|−ε|k−`|

≤ C

ε

∑k,`

ckd`2−ε|k−`|

≤ C

ε2‖(ck)‖`p‖‖(d`)‖`p′ .

Comme r′ ≤ p′, on a a fortiori,

I(f, g, h) ≤ C

ε2‖(ck)‖`p‖‖(d`)‖`r′ .

Vu les propriétés de (ck) et (d`) données par la proposition 2.3.1, on conclut à l’existenced’une constante C telle que I(f, g, h) ≤ C pour toutes fonctions positives f ∈ Lp, g ∈ Lq eth ∈ Lr′ de norme 1. Cela achève la démonstration du théorème.

2.4 Exercices

Exercice 2.1 (Principe de Cavalieri). Soit p ∈ [1,+∞[ et µ une mesure borélienne.

(i) Démontrer que pour toute fonction borélienne f , on a

‖f‖pLp = p

∫ ∞0

λp−1µ(|f | > λ) dλ. (2.15)

(ii) Démontrer plus généralement que si Φ : R+ −→ R+ est une fonction C1 croissante etnulle en 0 alors ∫

ΩΦ(|f(x)|) dµ(x) =

∫ +∞

0Φ′(λ)µ(|f | > λ) dλ.

Exercice 2.2. Soit ϕ ∈ C∞c (R) d’intégrale 1. Pour n ≥ 1, on pose ϕn(x) = n−1ϕ(n−1x).

(i) Montrer que la suite (ϕn)n≥1 est bornée dans L1, et calculer la limite de∫R ϕnf dx pour

toute fonction f de L∞, nulle p.p. au voisinage de 0.

(ii) La suite converge-t-elle faiblement dans L1 ?

Exercice 2.3 (Lemme de Schur). Soit K un réel positif et k : Rd × Rd → R une fonctionlocalement intégrable telle que pour presque tout x ∈ Rd et y ∈ Rd, on ait∫

Rd|k(x, y′)| dy′ ≤ K et

∫Rd|k(x′, y)| dx′ ≤ K.

Pour toute fonction f intégrable sur Rd, on pose Tf(x) =∫Rd k(x, y)f(y) dy.

(i) Montrer que l’application T est linéaire continue de L1(Rd) dans L1(Rd).

42

(ii) Soit p ∈ [1,+∞]. Montrer que T se prolonge de façon unique en une application linéairecontinue de Lp(Rd) dans Lp(Rd) (encore notée T ) et que l’on a

∀f ∈ Lp(Rd), ‖Tf‖Lp ≤ K‖f‖Lp .

On pourra s’inspirer de la preuve des inégalités de Young ou utiliser le théorème deRiesz-Thorin.

Exercice 2.4. Étudier les cas limites des inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev.

Exercice 2.5. À l’aide du théorème de Riesz-Thorin, proposer une démonstration élémentairedes inégalités de Young.

Exercice 2.6. Soit 1 ≤ p ≤ 2 . Montrer que la transformée de Fourier envoie continûment Lp

dans Lp′ .

Exercice 2.7. Dans cet exercice on considère une application linéaire T définie sur l’ensembleCc des fonctions continues à support compact, et à valeurs dans l’ensemble des fonctions me-surables. On suppose que T commute avec les translations c’est-à-dire que pour tout h ∈ Rdet f ∈ Cc,

T (f τh) = (T (f)) τh.

(i) Montrer que pour tout f ∈ Cc et p ∈ [1,∞], on a

limh→∞

‖f + f τh‖Lp = 21p ‖f‖Lp .

(ii) En déduire que si T est prolongeable par densité en un opérateur borné de Lp dans Lq

alors nécessairement q ≥ p.

Exercice 2.8 (Fonction maximale et inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev). Si fest une fonction borélienne sur R, on pose ‖f‖L1

f:= supλ>0 λµ(Eλ) où µ désigne la mesure

de Lebesgue et Eλ := |f | > λ. On associe à f sa fonction maximale Mf définie sur R par

Mf(x) := supr>0

1

2r

∫ x+r

x−r|f(y)| dy.

(i) (a) Soit (Ij)j∈1,··· ,p une famille d’intervalles ouverts de R. Montrer que l’on peuttrouver une sous-famille (Ijk)k∈1,··· ,q de (Ij)j∈1,··· ,p constituée d’intervalles deuxà deux disjoints tels que

q∑k=1

µ(Ijk) = µ

( q⋃k=1

Ijk

)≥ 1

3µ

( p⋃j=1

Ij

).

Indication : raisonner par récurrence après avoir rangé les intervalles Ij par ordredécroissant.

(b) Dans cette question, on fixe λ > 0 et un compact K de l’ensemble Eλ relatif à lafonction Mf.

i. Montrer que K peut être recouvert par un nombre fini d’intervalles ouverts Ijtels que ∫

Ij

Mf(x) dx > λµ(Ij).

43

ii. En déduire queλµ(K) ≤ 3‖f‖L1 .

(c) Montrer que∀f ∈ L1(R), ‖Mf‖L1

f≤ 3‖f‖L1 .

(d) Généraliser à la dimension d ≥ 2 en définissant la fonction maximale de f par

Mf(x) := supr>0

1

µ(B(x, r))

∫B(x,r)

|f(y)| dy.

(ii) Dans cette question on fixe une fonction positive f de Lp avec p ∈]1,+∞[, et unparamètre α dans ]0, 1[. On rappelle que

‖f‖pLp = p

∫ +∞

0λp−1µ

(f > λ

)dλ.

(a) Vérifier que ‖Mf‖L∞ ≤ ‖f‖L∞ .(b) Vérifier que pour tout λ > 0, on a

Mf > λ ⊂ Mfλ > (1− α)λ avec fλ := (f − λα)1f≥λα.

(c) Montrer qu’il existe une constante C ne dépendant que de d telle que

µ(Mfλ > (1− α)λ

)≤ C

(1− α)λ‖fλ‖L1 .

(d) En déduire qu’il existe une constante C telle que pour tout p ∈]1,+∞] et f ∈ Lp,on ait

‖Mf‖Lp ≤ C1p

p

p− 1‖f‖Lp .

(e) Que dire si p = 1 ?(iii) Dans cette partie, on fixe α ∈]0, d[ et 1 < p, q < +∞ tels que 1 + 1/q = 1/p+ α/d.

Pour f ∈ C∞c (Rd), x ∈ Rd et R > 0, on pose

T1f(x) =

∫|y|<R

f(x− y)

|y|αdy et T2f(x) =

∫|y|≥R

f(x− y)

|y|αdy.

On note Tf := T1f + T2f.

(a) Vérifier qu’il existe C > 0 telle que pour tout x ∈ Rd,

|T2f(x)| ≤ CRd( 1p′−

αd

)‖f‖Lp .

(b) En décomposant∫|y|<R en

∑∞k=0

∫2−(k+1)R<|y|≤2−kR, montrer que

∀x ∈ Rd, |T1f(x)| ≤ CRd−αMf(x).

(c) En déduire qu’il existe C > 0 (indépendante de f ) telle que

∀x ∈ Rd, |Tf(x)| ≤ C(Mf(x))p/q‖f‖1−p/qLp

puis retrouver l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.

44

Chapitre 3

Espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev sont le cadre naturel pour formaliser un grand nombre de pro-blèmes de la physique mathématique. Nous verrons plus loin deux applications au cœur desdéveloppements récents de l’analyse non linéaire pour lesquelles ils jouent un rôle essentiel : unproblème de minimisation en dimension infinie, et la résolution du problème de Cauchy pourune équation dispersive non linéaire.

Dans ce chapitre, nous présentons tout d’abord les espaces de Sobolev de type hilbertiensur Rd à l’aide de la transformation de Fourier. Cette approche permet d’introduire des tech-niques de localisation fréquentielle qui sont le point de départ de révolutions fondamentalesen analyse des EDP ces trente dernières années. Même si nous ne les utiliserons pas dans lesapplications proposées aux chapitres suivants, nous présentons ensuite des espaces de Sobolevplus généraux : définis sur un domaine ou construits à partir d’espaces de Lebesgue Lp avecp 6= 2.

Dans tout ce chapitre, nous insisterons sur la notion de compacité (celle des injections deSobolev) qui s’avère fondamentale pour les applications que nous avons en vue.

3.1 Les espaces de Sobolev Hs(Rd)

Cette section est dédiée aux espaces de Sobolev de type hilbertien défini sur un domaineΩ. Nous étudierons principalement le cas où Ω = Rd. A titre informatif, nous présenteronsquelques extensions au cas d’un domaine plus général dans la dernière sous-section.

3.1.1 Définition, structure hilbertienne et premières propriétés

La transformée de Fourier u (ou Fu) d’une fonction u ∈ L1(Rd) est définie par 1

u(ξ) =

∫e−i(x|ξ)u(x) dx.

et cette transformation s’étend plus généralement à toute distribution tempérée (voir [4]).Rappelons les propriétés de base pour lesquelles nous renvoyons à [17, 18].

Proposition (Transformée de Fourier). (i) La transformée de Fourier échange dérivationet multilplication :

∂ju(ξ) = iξj u(ξ). (3.1)

1. Attention, certains auteurs utilisent une normalisation un peu différente, ce qui modifie les constantesdans la proposition qui suit.

45

(ii) L’espace S de Schwartz de la Définition 1.1.3 est stable par transformée de Fourier.(iii) La transformée de Fourier est, à une constante multiplicative près, une isométrie bijective

sur L2(Rd). Plus précisément, on dispose de l’ identité de Fourier-Plancherel suivante :

1

(2π)d

∫Rdu(ξ) v(ξ) dξ =

∫Rdu(x) v(x) dx pour u ∈ L2(Rd), v ∈ L2(Rd). (3.2)

(iv) L’inverse de la transformée de Fourier est donné par :

u(x) =1

(2π)d

∫ei(x|ξ)u(ξ) dξ. (3.3)

Nous pouvons maintenant très simplement introduire les espaces Hs(Rd) .

Définition (Espace de Sobolev Hs(Rd)). Soit s un réel. On dit qu’une distribution tempéréeu sur Rd appartient à l’espace de Sobolev d’indice s , noté Hs(Rd) (ou simplement Hs enl’absence d’ambiguïté) si

u ∈ L2(Rd; (1 + |ξ|2)s dξ).

On pose alors

‖u‖Hs =

(∫Rd

(1 + |ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ) 1

2

. (3.4)

On adoptera par la suite la notation du crochet japonais :

〈ξ〉 déf=√

1 + |ξ|2.

Proposition 3.1.1. Pour tout réel s , l’ensemble Hs muni du produit scalaire

(u|v)Hsdéf=

∫Rd〈ξ〉2su(ξ)v(ξ) dξ

est un espace de Hilbert.

Dém. Le fait que l’ensemble Hs soit un espace vectoriel résulte de l’inégalité

|a+ b|2 ≤ 2|a|2 + 2|b|2.

Il est clair que ‖·‖Hs est bien une norme (provenant du produit scalaire (·|·)Hs ). Démon-trons que Hs est complet. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy de Hs . Par définition de lanorme dans Hs, la suite (un)n∈N est de Cauchy dans l’espace vectoriel normé completL2(Rd; 〈ξ〉2s dξ) . Donc il existe une fonction u appartenant à l’espace L2(Rd; 〈ξ〉2s dξ)telle que

limn→∞

‖un − u‖L2(Rd;〈ξ〉2s dξ) = 0. (3.5)

A fortiori (un)n∈N tend vers u dans l’espace S ′ des distributions tempérées. Soit u =F−1u . Comme la transformée de Fourier est un isomorphisme de S ′ dans lui-même, lasuite (un)n∈N tend vers u dans l’espace S ′ , mais aussi dans Hs d’après (3.5).

Remarque. Dit sèchement, ce qui précède n’est rien d’autre que le fait que la transformée deFourier est un isomorphisme isométrique de Hs dans L2(Rd; 〈ξ〉2s dξ) .

L’échelle de Sobolev mesure la décroissance de la transformée de Fourier de u , et doncla régularité de u en vertu de (3.1). La proposition suivante établit ce lien de manière plusexplicite pour s entier.

46

Proposition 3.1.2. Si m est un entier positif alors Hm(Rd) coïncide avec l’espace vecto-riel des fonctions u de L2 dont toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à m sont desdistributions appartenant à L2 . De plus,

‖u‖Hmdéf=

√ ∑|α|≤m

‖∂αu‖2L2

est une norme hilbertienne sur Hm, équivalente à la norme ‖ · ‖Hm .

Dém. Le fait que

‖u‖2Hm = (u|u)Hm avec (u|v)Hmdéf=

∑|α|≤m

∫Rd∂αu(x)∂αv(x) dx

assure que la norme ‖ · ‖Hm provient d’un produit scalaire. De plus, il existe uneconstante C telle que

∀ξ ∈ Rd , C−1∑|α|≤m

|ξ|2|α| ≤ 〈ξ〉2m ≤ C∑|α|≤m

|ξ|2|α|. (3.6)

Notons que (3.1) implique que pour tout multi-indice α de Nd on a

∂αu ∈ L2 ⇐⇒ ξαu ∈ L2.

Donc, on en déduit que

u ∈ Hm ⇐⇒ ∀|α| ≤ m, ∂αu ∈ L2.

Enfin, l’inégalité (3.6) assure l’équivalence des normes puisque la transformation de Fou-rier est une isométrie L2 – à une constante près.

Nous collectons dans la proposition suivante certaines propriétés standard des espaces deSobolev :

Proposition 3.1.3. Soit s un réel quelconque.

(i) L’espace D(Rd) des fonctions C∞(Rd) à support compact est dense dans Hs(Rd).(ii) Pour s < t, Ht ⊂ Hs et on a l’inégalité d’interpolation :

∀θ ∈ [0, 1], ‖u‖Hθs+(1−θ)t ≤ ‖u‖θHs‖u‖1−θHt . (3.7)

(iii) La multiplication par une fonction de S est un opérateur borné sur Hs.

Remarque. Par (i), on aurait pu définir Hs(Rd) comme le complété hilbertien de D(Rd) pourla norme (3.4).

Dém. Pour (i), considérons une distribution u de Hs telle que, pour toute fonction test f ,on ait (f |u)Hs = 0 . On a donc,

∀f ∈ D(Rd),∫Rdf(ξ)〈ξ〉2su(ξ) dξ = 0.

47

Vu que S est continûment inclus dans Hs (cf exercice 3.1), que D est dense dans S , etque la transformée de Fourier est un isomorphisme de S dans lui-même, on a pour toutefonction f de S , ∫

Rdf(ξ)〈ξ〉2su(ξ) dξ = 0.

Comme pour tout σ ∈ R, l’opérateur de multiplication par 〈ξ〉σ envoie continûment Sdans S (voir exercice 3.2), ceci entraîne que

∀ϕ ∈ S , 〈u, ϕ〉 = 0

donc u = 0, puis u = 0 .Pour (ii), on utilise l’inégalité de Hölder une fois remarqué que

‖u‖2Hθs+(1−θ)t =

∫ (〈ξ〉2s|u(ξ)|2

)θ(〈ξ〉2t|u(ξ)|2)1−θ

dξ.

La démonstration de (iii) est plus délicate et présentée ici à titre culturel. D’après lethéorème VI. 3.28 page 103 de [18] et la formule d’inversion de Fourier, on sait que

ϕu = (2π)−dϕ ? u.

Il s’agit donc de majorer la norme L2 de la fonction définie par

U(ξ) = (1 + |ξ2|)s2

∫Rd|ϕ(ξ − η)| × |u(η)| dη.

Soit I1(ξ) = η / 2|ξ − η| ≤ |η| et I2(ξ) = η / 2|ξ − η| > |η| . Il est clair que l’on a

U(ξ) = U1(ξ) + U2(ξ) avec

Uj(ξ) = 〈ξ〉s∫Ij(ξ)|ϕ(ξ − η)| × |u(η)| dη.

Tout d’abord, observons que si η ∈ I1(ξ) alors on a

1

2|η| ≤ |ξ| ≤ 3

2|η|.

On en déduit que, pour tout réel s , il existe une constante C telle que, pour tout couple(ξ, η) tel que η appartienne à I1(ξ) , on ait

〈ξ〉2s ≤ C〈η〉2s.

D’où il vient que

U1(ξ) ≤ C∫Rd|ϕ(ξ − η)|〈η〉s|u(η)| dη.

Comme ϕ appartient à S , en particulier ϕ appartient à L1. Donc, d’après les inégalitésde Young,

‖U1‖L2 ≤ C‖ϕ‖L1‖u‖Hs .

Reste à traiter U2. Pour η ∈ I2(ξ), on a |η| ≤ 2|ξ − η|. Donc on peut écrire

U2(ξ) ≤ 〈ξ〉|s|∫I2(ξ)|ϕ(ξ − η)|〈η〉|s|〈η〉s|u(η)| dη

≤ C

∫Rd|ϕ(ξ − η)|〈ξ − η〉2|s|〈η〉s|u(η)| dη.

48

On sait que ϕ appartient à S . Il existe donc une constante C telle que

|ϕ(ζ)| ≤ C〈ζ〉−d−1−2|s|.

D’où l’on obtient que

U2(ξ) ≤ C∫Rd〈ξ − η〉−d−1〈η〉s|u(η)| dη.

D’où ‖U2‖L2 ≤ C‖u‖Hs , et (iii) est démontrée.

3.1.2 Le dual de Hs

L’espace de Sobolev Hs étant hilbertien, il est isomorphe à son dual topologique (Hs)′ viale produit scalaire sur Hs, en vertu du théorème de représentation de Riesz-Fréchet. Néan-moins, il est d’usage d’identifier (Hs)′ à l’espace de Sobolev H−s, via le produit scalaire sur L2 ,comme énoncé ci-dessous :

Proposition 3.1.4. Soit s ∈ R et f ∈ S ′ telle que f ∈ L2loc(Rd). Alors f ∈ H−s si et

seulement siMf

déf= sup

ϕ∈S‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ <∞.De plus, pour f ∈ H−s, la forme linéaire Lf définie sur S par Lf (ϕ) = 〈f, ϕ〉S′×S se prolongesur Hs en une forme linéaire continue 〈f, · 〉H−s×Hs et l’on a

‖f‖H−s = (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ = (2π)d supϕ∈Hs

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉H−s×Hs

∣∣.Enfin, l’application f 7→ (2π)d〈f, · 〉H−s×Hs est un isomorphisme isométrique de H−s dans(Hs)′.

Dém. Supposons d’abord que f est dans H−s. En utilisant la définition de la transforméede Fourier sur S ′ et l’expression de son inverse, on constate que pour toute fonction ϕde S,

〈f, ϕ〉S′×S = (2π)−d〈f , ϕ〉S′×S .

Donc, comme d’après l’exercice 3.2, les espaces S et S ′ sont stables par multiplicationpar 〈·〉±s,

〈f, ϕ〉S′×S = (2π)−d〈〈·〉−sf , 〈·〉sϕ〉S′×S .

Comme 〈·〉−sf est dans L2, on a, en vertu de l’égalité de Parseval puis de l’inégalité deCauchy-Schwarz,

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ = (2π)−d∣∣∣∣∫ 〈ξ〉−sf(ξ) 〈ξ〉sϕ(ξ) dξ

∣∣∣∣,≤ (2π)−d‖f‖H−s‖ϕ‖Hs .

Donc(2π)d sup

ϕ∈S‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ ≤ ‖f‖H−s .49

En conséquence, par l’exercice 1.2, la forme linéaire Lf définie dans l’énoncé peut seprolonger en une forme linéaire continue sur Hs de même norme que sa restriction surS. On a donc

supϕ∈Hs

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉H−s×Hs

∣∣ = supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∣∣〈f, ϕ〉S′×S∣∣ ≤ (2π)−d‖f‖H−s .

Enfin, si l’on définit ϕ par sa transformée de Fourier

ϕ(ξ)déf=〈ξ〉−2sf(ξ)

‖f‖Hs,

on constate que ϕ est dans Hs et de norme 1, et que

〈f, ϕ〉H−s×Hs = (2π)−d‖f‖H−s .

Donc la forme linéaire (2π)d〈f, · 〉H−s×Hs est de norme exactement ‖f‖H−s .Afin d’achever la démonstration de la proposition, il ne reste plus qu’à vérifier que l’isomé-trie définie précédemment est bien surjective. Pour cela, on considère une forme linéaireL continue sur Hs et l’on se ramène au cas s = 0 en posant

M(ϕ)déf= L(〈D〉−sϕ) pour ϕ ∈ L2,

où 〈D〉−s désigne l’opérateur de dérivation fractionnaire défini par

F(〈D〉−sϕ

)= 〈·〉−sFϕ. (3.8)

Il est clair que M est une forme linéaire continue sur L2 de norme ‖L‖(Hs)′ . Doncd’après le théorème de représentation de Riesz, il existe g dans L2 telle que pour toutϕ ∈ L2 on ait

M(ϕ) =

∫g ϕ dx.

En conséquence,∀ϕ ∈ S, L(〈D〉−sϕ) =

⟨〈D〉sg, 〈D〉−sϕ

⟩S′×S .

Comme la multiplication par 〈D〉−s est un isomorphisme sur S (voir exercice 3.2), onen déduit que

L(ψ) =⟨〈D〉sg, ψ

⟩S′×S pour tout ψ ∈ S.

Comme g est dans L2, la fonction 〈D〉sg est dans H−s. Par densité, on peut alorsconclure que L = 〈〈D〉sg, ·〉H−s×Hs .

Supposons finalement que f ∈ S ′ vérifie f ∈ L2loc et que Mf est fini. Alors il est clair

que pour tout K > 0, la fonction fK de transformée de Fourier 1B(0,K)f est dans H−s.En remarquant que pour toute fonction ϕ de Hs on a F−1(1B(0,K)ϕ) ∈ Hs, il est alorsaisé de vérifier que

‖fK‖H−s ≤Mf .

À l’aide de la définition de la norme H−s et du théorème de convergence monotone, onconclut donc que f est dans H−s et de norme au plus Mf .

50

3.1.3 Injections de Sobolev

Nous démontrons ici un résultat fondamental pour l’analyse non linéaire : les injections deSobolev –toujours dans le cadre hilbertien pour l’instant. Il s’agit de comparer la régularitéSobolev avec un autre type de régularité mesurée par l’échelle des espaces de Lebesgue Lp.Cette comparaison est non triviale 2, et source d’inégalités fonctionnelles d’usage constant enanalyse.

Théorème 3.1.1 (Injection de Sobolev). Soit s un nombre réel positif.

(i) Si s > d2 alors Hs(Rd) s’injecte continûment dans l’espace des fonctions continues qui

tendent vers 0 à l’infini.

(ii) Si 0 ≤ s < d2 , soit l’exposant critique pc défini par

−s+d

2=

d

pci.e. pc =

2d

d− 2s∈ [2,+∞[. (3.9)

Alors pour tout p ∈ [2, pc], Hs(Rd) s’injecte continûment dans Lp(Rd) :

∃Cp,s > 0 tel que ∀f ∈ Hs(Rd), ‖f‖Lp(Rd) ≤ Cp,s‖f‖Hs(Rd). (3.10)

(iii) Pour s = d2 , H

s(Rd) s’injecte continûment dans Lp(Rd) pour tout 2 ≤ p < +∞.

En fait, nous aurons besoin d’une version précisée de l’inégalité (3.10) :

Lemme 3.1.1 (Injection de Sobolev homogène). Soit 0 < s < d2 et l’exposant critique pc

donné par (3.9). Alors :

∀f ∈ D(Rd), ‖f‖Lpc (Rd) ≤ Cs‖f‖Hs(Rd) (3.11)

où la semi-norme de Sobolev homogène est donnée par :

‖f‖Hs

déf=

(∫Rd|ξ|2s|f(ξ)|2 dξ

) 12

.

Remarque. Pour s = 1 , on obtient ainsi que les fonctions de H1(R) sont continues, et que lesfonctions de H1(R2) sont dans tous les Lp(R2) avec 2 ≤ p < +∞. En dimension 3, le théorème3.1.1 assure que les fonctions de H1 admettent l’intégrabilité supplémentaire L6 ce qui est uneinformation non triviale a piori. Plus précisément, par l’identité de Fourier-Plancherel on a

‖f‖H1 h ‖∇f‖L2 ,

et donc le lemme ci-dessus donne l’estimation :

∀f ∈ D(R3), ‖f‖L6(R3) ≤ C‖∇f‖L2(R3).

Remarque. Un des intérêts de (3.11) par rapport à (3.10), est son invariance d’échelle, quiconditionne l’expression de l’exposant critique (3.9). En effet, si f ∈ D(Rd) et si l’on définit ladilatée fλ(x)

déf= f(λx) pour λ > 0 alors :

∀p ∈ [1,+∞], ‖fλ‖Lp = λ− dp ‖f‖Lp ,

2. Le lecteur motivé pourra rechercher dans [37] la preuve originale de Sobolev qui est longue et délicate.

51

et (∫|ξ|2s|fλ(ξ)|2 dξ

) 12

=

(λ−2d

∫|ξ|2s|f(λ−1ξ)|2 dξ

) 12

= λ−d2

+s‖f‖Hs ,

Les deux quantités ‖·‖Lp et ‖·‖Hs ont donc la même homogénéité (et sont donc comparables)si et seulement si −s+ d

2 = dp i.e. p = pc .

Dém. du théorème 3.1.1. On admet provisoirement l’inégalité (3.11). On distingue alorstrois cas :(i) Cas s > d

2 : Alors la fonction 〈·〉−s appartient à L2 et l’inégalité de Cauchy-Schwarzdonne donc :

‖u‖L1 ≤(∫〈ξ〉−2s dξ

) 12(∫〈ξ〉2s|u(ξ)|2 dξ

) 12

≤ C‖u‖Hs .

On conclut grâce à la formule d’inversion de Fourier en utilisant le fait que latransformée de Fourier d’une fonction L1 est bornée et continue (par convergencedominée) et tend vers 0 à l’infini (en vertu du lemme de Riemann-Lebesgue).

(ii) Cas 0 < s < d2 : Le Lemme 3.1.1 assure l’injection continue Hs ⊂ Lpc . Or Hs ⊂ L2

par définition, et donc par Hölder, Hs ⊂ Lp pour tout p ∈ [2, pc].

(iii) Cas s = d2 : Si 2 ≤ p < +∞ alors

σ =d

2− d

pvérifie 0 ≤ σ < d

2= s et pc(σ) = p

et doncHs(Rd) ⊂ Hσ(Rd) ⊂ Lp(Rd),

ce qui achève la démonstration.

La démonstration du lemme 3.1.1 s’inspire de la méthode dite d’interpolation réelle dontla portée dépasse largement le cadre de ce cours, et qui est une première illustration de lapuissance de l’analyse de Fourier et des découpages basses/hautes fréquences.

Dém. Après avoir fixé un seuil arbitraire A > 0, découpons f en basses et hautes fréquencessuivant

f = f1,A + f2,A avec f1,A = F−1(1B(0,A)f) et f2,A = F−1(1 cB(0,A)f). (3.12)

Comme le support de la transformée de Fourier de f1,A est compact, la fonction f1,A estbornée et, plus précisément,

‖f1,A‖L∞ ≤ (2π)−d‖f1,A‖L1 ≤ (2π)−d∫B(0,A)

|ξ|−s|ξ|s|f(ξ)| dξ

≤ (2π)−d(∫

B(0,A)|ξ|−2s dξ

) 12

≤ CsAd2−s‖f‖Hs . (3.13)

Or, d’après l’inégalité triangulaire, on a, pour tout réel strictement positif A ,

|f | > λ ⊂ |f1,A| > λ/2 ∪ |f2,A| > λ/2.

52

L’inégalité (3.13) ci-dessus implique que

A ≤ Aλdéf=

(λ

4Cs

) pd

=⇒∣∣∣∣|f1,A| >

λ

2

∣∣∣∣ = 0.

On en déduit donc par (2.15) :

‖f‖pLp ≤ p∫ ∞

0λp−1

∣∣∣∣|f2,Aλ | >λ

2

∣∣∣∣ dλ.Afin de majorer l’intégrand, nous allons faire intervenir une norme L2. Pour cela, onécrit (c’est l’inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev) que∣∣∣∣|f2,Aλ | >

λ

2

∣∣∣∣ =

∫|f2,Aλ |>

λ2

1 dx ≤∫|f2,Aλ |>

λ2

4|f2,Aλ(x)|2

λ2dx ≤ 4

‖f2,Aλ‖2L2

λ2·

Il en résulte donc que l’on a

‖f‖pLp ≤ 4p

∫ ∞0

λp−3‖f2,Aλ‖2L2 dλ. (3.14)

Mais, on sait que la transformée de Fourier est (à une constante près) une isométriede L2 , donc :

‖f2,Aλ‖2L2 = (2π)−d

∫|ξ|≥Aλ

|f(ξ)|2 dξ.

D’après l’inégalité (3.14), il vient

‖f‖pLp ≤ 4p(2π)−d∫R+×Rd

λp−31(λ,ξ) / |ξ|≥Aλ(λ, ξ)|f(ξ)|2 dξ dλ.

Or, par définition de Aλ , on a

|ξ| ≥ Aλ ⇐⇒ λ ≤ Cξdéf= 4Cs|ξ|

dp .

D’après le théorème de Fubini, on a pour p > 2,

‖f‖pLp ≤ 4p(2π)−d∫Rd

(∫ Cξ

0λp−3 dλ

)|f(ξ)|2 dξ

≤ 4p(2π)d

p− 2(4Cs)

p−2∫Rd|ξ|

d(p−2)p |f(ξ)|2 dξ.

Comme 2s =d(p− 2)

p, l’inégalité (3.11) est démontrée.

3.1.4 Corollaires des injections de Sobolev

Donnons deux corollaires simples mais fondamentaux des injections de Sobolev. Toutd’abord l’injection duale :

Théorème 3.1.2 (Injection duale de Sobolev). Si p ∈]1, 2] alors l’espace Lp(Rd) s’injectecontinûment dans H−s(Rd) avec s = d/p− d/2.

53

Dém. Par densité, il suffit de démontrer l’existence d’une constante C telle que pour toutu ∈ S, on ait

‖u‖H−s ≤ C‖u‖Lp . (3.15)

D’après la proposition 3.1.4,

‖u‖H−s = (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

∫uϕdx.

Donc d’après l’inégalité de Hölder,

‖u‖H−s ≤ (2π)d supϕ∈S

‖ϕ‖Hs≤1

‖u‖Lp‖ϕ‖Lp′ .

Mais comme d/p′ = d/2−s, les inclusions de Sobolev ci-dessus assurent l’existence d’uneconstante C telle que pour toute fonction ϕ de S on ait

‖ϕ‖Lp′ ≤ C‖ϕ‖Hs ,

ce qui donne bien l’injection souhaitée.

Remarque. Vu que le lemme 3.1.1 ne met en jeu que des normes de Sobolev homogènes, onpeut remplacer ‖u‖H−s par ‖u‖H−s dans (3.15). Ceci permet par exemple de retrouver demanière élégante certaines inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev, cf Exercice 3.20.

Comme deuxième corollaire des injections de Sobolev, nous présentons les inégalités d’in-terpolation dites de Gagliardo-Nirenberg qui joueront un rôle fondamental dans notre étudedes problèmes de minimisation en dimension infinie.

Corollaire 3.1.1 (Inégalités de Gagliardo-Nirenberg). Notons

2∗ =

+∞ pour d = 1, 2,2dd−2 pour d ≥ 3.

Si 2 ≤ p < 2∗ , alors

∀u ∈ H1(Rd), ‖u‖Lp ≤ C‖u‖1−σL2 ‖∇u‖σL2 avec σ =d(p− 2)

2p· (3.16)

Remarque. 2∗ est la notation consacrée pour l’injection de Sobolev homogène H1(Rd) ⊂L2∗(Rd) en dimension d ≥ 3. Voir le Lemme 3.2.1 pour une généralisation au cas non hil-bertien.

Dém. D’après (3.11), on a‖u‖Lp ≤ C‖u‖Hσ .

En remarquant que la contrainte 2 ≤ p < 2∗ assure σ ∈ [0, 1[ et en procédant commepour la démonstration de (3.7) mais avec |ξ| au lieu de 〈ξ〉, on obtient

‖u‖Hσ ≤ ‖u‖1−σL2 ‖u‖σH1 ,

d’où le résultat.

54

3.1.5 Compacité locale de l’injection de Sobolev

Nous établissons ici une deuxième propriété de l’injection de Sobolev qui sera fondamentaledans notre étude ultérieure des problèmes de minimisation en dimension infinie : elle est loca-lement compacte pour une plage d’exposants bien choisie. L’exemple typique que nous auronsà traiter est celui d’une suite de fonctions bornée dans H1 vérifiant une équation non linéaire(avec une non linéarité de type puissance). Si le théorème de compacité faible assure l’existenced’une sous-suite faiblement convergente dans H1, il n’est pas possible de passer à la limitedans le terme non linéaire sans information de convergence supplémentaire. Cette propriétémanquante sera assurée par des injections de Sobolev localement compactes bien choisies.

Pour préciser ce que nous entendons par compacité locale, commençons par une définition :

Définition (Convergence Lploc ). Soit 1 ≤ p < +∞ et Ω un ouvert de Rd .(i) On dit qu’une distribution f sur Ω est dans Lploc(Ω) si

∀K compact de Ω, f ∈ Lp(K).

(ii) On dit qu’une suite (fn)n∈N de fonctions de Lploc(Ω) converge dans Lploc(Ω) s’il existef ∈ Lploc(Ω) telle que :

∀K compact de Ω, fn → f dans Lp(K). (3.17)

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat de compacité locale :

Théorème 3.1.3 (Compacité locale de l’injection Hs ). Soit d ≥ 1 , s > 0 et

pc =

2dd−2s pour s < d

2 ,

+∞ sinon.

Alors l’injection

Hs(Rd) → Lploc(Rd) est compacte pour tout 1 ≤ p < pc.

Autrement dit, pour toute suite (fn)n∈N bornée dans Hs(Rd) , on peut trouver f ∈ Hs(Rd) etune sous-suite (fφ(n))n∈N telles que :

fϕ(n) f dans Hs(Rd),fϕ(n) → f dans Lploc(R

d) ∀1 ≤ p < pc.

Si s > d2 alors la convergence est, de plus, uniforme sur tout compact de Rd.

Dém. La clé de la démonstration est le fait que l’application

Id : (Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd))→ L2(BR, ‖ · ‖L2(BR)) (3.18)

avec BRdéf= x ∈ Rd , ‖x‖ ≤ R est limite uniforme d’opérateurs de convolution vérifiant

les conditions de la proposition 1.1.3.

Pour construire ces opérateurs, fixons ζ ∈ C∞c (Rd) positive telle que

ζ(x) =

1 pour ‖x‖ ≤ 1,0 pour ‖x‖ ≥ 2

et∫Rdζ(x)dx = 1, (3.19)

55

et la famille, dite approximation de l’identité, suivante :

ζε(x)déf=

1

εdζ(xε

), ε > 0. (3.20)

Soit l’opérateur de convolutionTε(f) = ζε ? f.

Par l’identité de Fourier-Plancherel et le théorème de convergence dominée (voir la dé-monstration de (3.26) ci-dessous), on montre aisément que

∀f ∈ L2(Rd), Tε(f)→ f dans L2(Rd) quand ε→ 0.

Supposons d’abord que 0 < s ≤ d2 et admettons provisoirement que la convergence est

uniforme sur la boule unité de Hs(Rd), c’est-à-dire que :

sup‖f‖Hs≤1

‖Tεf − f‖L2(Rd) → 0 quand ε→ 0 pour 0 < s ≤ d

2. (3.21)

La propriété (3.21) implique que pour tout R > 0 l’application définie en (3.18) estlimite uniforme des applications Tε . Or par la Proposition 1.1.3, pour tout ε > 0 fixé,Tε est compacte de (L2(Rd), ‖ · ‖L2(Rd)) dans C(BR, ‖ · ‖L∞(BR)) et donc a fortiori de(Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd)) dans L2(BR, ‖ · ‖Lp(BR)) . Donc

Id : (Hs(Rd), ‖ · ‖Hs(Rd))→ L2(BR, ‖ · ‖L2(BR)) est compacte (3.22)

comme limite uniforme d’applications compactes, en vertu de la Proposition 1.1.2.Soit alors (fn)n∈N une suite bornée dans Hs. Par compacité faible de la boule unité deHs(Rd) , il existe f ∈ Hs(Rd) et une extraction ψ(n) telles que

fψ(n) f dans Hs(Rd). (3.23)

En prenant R = m , on construit par (3.22) et récurrence sur m ≥ 1 des extractionssuccessives φ1, · · · , φm, · · · , telles que

∀m ≥ 1, fψφ1···φm(n) → f dans L2(Bm) quand m→ +∞.

Le fait que la limite forte locale soit nécessairement donnée par f est une conséquenceimmédiate de la convergence faible (3.23). La suite extraite (fφ(n))n∈N où

φ(n) = ψ φ1 · · · φn(n)

vérifie donc par construction :

fφ(n) f dans Hs(Rd), fφ(n) → f dans L2loc(Rd), (3.24)

et donc par inégalité de Hölder appliquée sur tout compact de Rd :

fφ(n) → f dans Lploc(Rd) pour 1 ≤ p ≤ 2.

Soit alors 2 ≤ p < pc et 0 < α ≤ 1 tels que

1

p=α

2+

1− αpc

,

56

et soit K un compact de Rd. Les inégalités de Hölder et de Sobolev (3.10), et la propriétéde convergence (3.24) entraînent que :

‖fφ(n) − f‖Lp(K) ≤ ‖fφ(n) − f‖αL2(K)‖fφ(n) − f‖1−αLpc (K)

≤ Cp‖fφ(n) − f‖αL2(K)(‖fφ(n)‖1−αHs(Rd)+ ‖f‖1−α

Hs(Rd))

≤ Cp‖fφ(n) − f‖αL2(K) → 0 quand n→ +∞.

Le raisonnement est identique pour s > d2 , une fois acquis que

sup‖f‖Hs≤1

‖Tεf − f‖L∞(Rd) → 0 quand ε→ 0 pour s >d

2· (3.25)

Les détails sont laissés au lecteur.

Pour terminer la démonstration, il nous reste à justifier (3.21) et (3.25). Un calcul directdonne

ζε(ξ) = ζ(εξ) et (Tεf − f)(ξ) = (1− ζ(εξ))f(ξ).

En conséquence, par l’identité de Fourier-Plancherel :

(2π)d∫Rd|Tε(f)− f |2dx =

∫Rd|Tεf − f |2 dξ =

∫Rd|1− ζ(εξ)|2|f(ξ)|2 dξ (3.26)

≤ ‖f‖2Hs(Rd) supξ∈Rd

[|1− ζ(εξ)|2

〈ξ〉2s

].

Or ζ ∈ S entraîne ζ ∈ S , et

ζ(0) =

∫Rdζ(x) dx = 1 (3.27)

implique donc 3 si s > 0,

supξ∈Rd

[|1− ζ(εξ)|2

〈ξ〉2s

]→ 0 quand ε→ 0,

et (3.21) est démontré.

Pour démontrer la convergence dans L∞(Rd) si s > d2 , on procède de manière similaire :

(2π)d‖Tεf − f‖L∞(Rd) ≤∫Rd|Tεf − f |(ξ) dξ ≤

∫Rd|1− ζ(εξ)||f(ξ)| dξ

≤

(∫Rd

|1− ζ(εξ)|2

〈ξ〉2sdξ

) 12

‖f‖Hs → 0 quand ε→ 0

par convergence dominée en utilisant (3.27), et (3.25) est démontrée.

Le Théorème de compacité 3.1.3 est essentiellement optimal. En particulier, l’inclusionHs(Rd) ⊂ Lp(Rd) n’est pas compacte, le contre-exemple canonique étant la suite translatée

fn(x) = f(x− xn), |xn| → +∞

3. on peut par exemple couper en |ξ| ≤ 1√εet |ξ| ≥ 1√

ε·

57

pour un profil fixe f non nul donné. Ce type de perte de compacité peut être évité sous deshypothèses supplémentaires de symétrie (cf Proposition 6.1.1). La description fine du défautde compacité de l’injection H1(Rd) ⊂ Lp(Rd) sera étudié en détails dans le chapitre 7.

Enfin, l’injection locale critique Hs(Rd) ⊂ Lpcloc(Rd) n’est jamais compacte en raison du

phénomène de concentration : soit un profil fixe f ∈ C∞c (Rd) non nul à support dans B1 etune suite (λn)n∈N tendant vers 0. Alors la suite

fn(x)déf= λ

s− d2

n f

(x

λn

)est à support dans B1 et est bornée dans Hs(Rd) car de norme constante, mais

|fn|pc =1

λdn|f |pc

(x

λn

) ‖f‖pc

Lpc (Rd)δ0 au sens des distributions,

et donc n’admet pas de valeur d’adhérence pour la convergence forte dans Lpc(B1) .

3.1.6 Le cas d’un domaine borné

Bien que l’analyse de Fourier ne soit pas adaptée à l’étude des fonctions définies sur unsous-ensemble strict de Rd, certains résultats simples mais fondamentaux se déduisent de notreanalyse sur Rd . Dans ce paragraphe, nous présentons certains de ces résultats.

Définition 3.1.1 (Espaces H10 (Ω), H−1(Ω)). Soit Ω un ouvert (quelconque) de Rd. L’espace

H10 (Ω) est l’adhérence de l’espace D(Ω) des fonctions C∞ à support compact dans Ω , au sens

de la norme H1(Rd) . L’espace H−1(Ω) est son dual tologique ou, de manière équivalente,l’ensemble des distributions u sur Ω telles que

‖u‖H−1(Ω)déf= sup

ϕ∈D(Ω)‖ϕ‖

H1(Rd)≤1

|〈u, ϕ〉| <∞.

Rappelons que d’après la Proposition 3.1.3, l’espace H1(Rd) est la fermeture de D(Rd)pour la norme de H1(Rd). Donc H1

0 (Ω) s’identifie à un sous-espace vectoriel fermé de l’espacede Hilbert H1(Rd). On dispose donc de la décomposition

H1(Rd) = H10 (Ω)⊕ (H1

0 (Ω))⊥.

On en déduit que l’espace H10 (Ω) muni du produit scalaire

(u, v) 7−→∫

Ωu v dx+

∑1≤j≤d

∫Ω∂ju ∂jv dx

est un espace de Hilbert.

Remarque. L’espace H−1(Ω) étant le dual de H10 (Ω), on peut le munir d’une structure d’espace

de Hilbert. Nous renvoyons à [11] pour plus de détails.

Dans le cas où Ω est borné, l’injection de H10 (Ω) dans H1(Rd) étant continue, on déduit

immédiatement du Théorème 3.1.3 et de la remarque page 12 :

Théorème (de Kato-Rellich). Soit Ω un ouvert borné de Rd .(i) Pour d = 1, l’injection H1

0 (Ω) → C(Ω) est compacte.

58

(ii) Pour d = 2 et tout 2 ≤ p < +∞, l’injection H10 (Ω) → Lp(Ω) est compacte.

(iii) Pour d ≥ 3 , notons

2∗déf=

2d

d− 2∈]2,+∞[

l’exposant critique. Alors pour tout p ∈ [1, 2∗] , l’espace H10 (Ω) s’injecte continûment

dans Lp(Ω) avec injection compacte si p < 2∗ .

Remarque. Plus généralement, l’injection de H10 (Ω) dans L2(Ω) (ou même Lp(Ω) avec p < 2∗ )

est compacte dès que Ω est de mesure finie (voir exercice 3.12).Remarque. Par dualité, on obtient également que l’injection de Lp(Ω) dans H−1(Ω) est com-pacte si p > 2d

2+d ·Le théorème suivant est fondamental tant pour l’analyse que pour les applications, car

implique que les normes Sobolev non homogènes et homogènes sont équivalentes sur un domaineborné.

Théorème ( Inégalité de Poincaré). Soit Ω un ouvert borné de Rd . Alors il existe λ1(Ω) > 0tel que :

∀u ∈ H10 (Ω) , ‖∇u‖2L2(Ω) ≥ λ1(Ω)‖u‖2L2(Ω) (3.28)

où

‖∇u‖2L2(Ω) =d∑j=1

‖∂ju‖2L2(Ω).

Remarque. Le réel strictement positif λ1(Ω) est la première valeur propre du Laplacien aveccondition de Dirichlet nulle sur le bord de Ω, et correspond par exemple à la fréquence derésonance fondamentale d’un tambour de surface Ω . L’estimation (3.28) est un premier exemplede trou spectral 4. La dépendance de λ1(Ω) en le domaine est un problème géométrique subtilet non complètement élucidé.

Nous proposons deux démonstrations de l’inégalité de Poincaré. La première, quantitative,donne une estimation – grossière – de λ1(Ω) . La deuxième, qualitative, ne donne aucune esti-mation, mais fournit un cadre de démonstration extrêmement robuste et puissant au cœur destechniques variationnelles et de l’analyse spectrale (voir l’exercice 3.12 pour d’autres applica-tions de ce procédé).

Démonstration quantitative : L’ouvert Ω étant borné, il est inclus dans ]0, R[×Rd−1

pour R assez grand. Maintenant, pour toute fonction u régulière à support compactdans ]0, R[×Rd−1, on a

u(x1, · · · , xd) =

∫ x1

0

∂u

∂y1(y1, x2, · · · , xd) dy1.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que

|u(x1, · · · , xd)|2 ≤ R∫ R

0

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1.

Comme Supp u ⊂]0, R[×Rd−1, on trouve après intégration en x1 ,∫R|u(x1, · · · , xd)|2dx1 ≤ R2

∫ R

0

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1.

4. D’autres exemples abordables sont présentés dans le cours de G. Allaire [1], Chap. 7.

59

Puis, en intégrant par rapport aux d− 1 variables restantes,∫Rd|u(x1, · · · , xd)|2dx ≤ R2

∫Ω

∣∣∣∣ ∂u∂y1(y1, x2, · · · , xd)

∣∣∣∣2 dy1 dx2 · · · dxd

≤ R2‖∂1u‖2L2(Ω).

Comme D(Ω) est dense dans H10 (Ω) , l’inégalité (3.28) est démontrée.

Démonstration qualitative : Soit

λ1(Ω) = infu∈H1

0 (Ω)\0

‖∇u‖2L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

·

Supposons par l’absurde que λ1(Ω) = 0 . Alors il existe une suite (un)n≥1 telle que

∀n ∈ N∗, ‖un‖L2(Ω) = 1 et ‖∇un‖L2(Ω) ≤1

n·

Comme la suite (un)n∈N est bornée dans H1(Ω), on peut par les théorèmes de compacitéfaible et de Kato-Rellich, en extraire une sous-suite (uφ(n))n∈N et trouver u ∈ H1

0 (Ω)tels que

uφ(n) u dans H10 (Ω) et uφ(n) → u dans L2(Ω).

La convergence faible dans H10 (Ω entraînant la convergence dans D′(Ω), on peut affirmer

que ∇uφ(n) ∇u dans L2(Ω) et donc, par semi-continuité inférieure de la norme L2 ,∫Ω|∇u|2 dx ≤ lim inf

n→+∞

∫Ω|∇un|2 dx = 0.

Donc u est une fonction constante de H10 (Ω) ce qui implique u ≡ 0 . En outre, par

convergence forte L2(Ω) :∫Ω|u|2 dx = lim

n→+∞

∫Ω|uφ(n)|2 dx = 1,

ce qui est impossible.

L’inégalité de Poincaré implique de manière évidente le corollaire suivant.

Corollaire 3.1.2. Soit Ω un ouvert borné de Rd , alors l’application

(u, v) 7−→∑

1≤j≤d

∫Ω∂ju ∂jv dx

est un produit scalaire sur H10 (Ω) équivalent à celui de la définition 3.1.1.

3.2 L’espace de Sobolev W k,p(Rd)

Les espaces de Sobolev Hs(Rd) que nous avons vus jusqu’à présent sont construits surl’espace de Lebesgue L2(Rd). Pour de nombreux problèmes non linéaires ce cadre s’avèreinsuffisant, et il devient nécessaire de disposer d’un plus grand éventail d’espaces de Lebesgue.Nous présentons ici la théorie des espaces de Sobolev W k,p(Rd) pour 1 ≤ p < +∞ construitsà partir de Lp(Rd). Pour simplifier la présentation, nous nous limitons à des exposants de

60

régularité k entiers, afin de se cantonner à des démonstrations élémentaires côté espace, sansanalyse de Fourier. Nous proposerons en particulier une autre démonstration des injections deSobolev (redonnant le Théorème 3.1.1 dans le cas d’exposants entiers) basée uniquement surdes intégrations par parties et l’inégalité de Hölder.

Il existe un cadre général pour traiter d’une manière unifiée tous les espaces de Sobolevpossibles, incluant le cas de dérivées fractionnaires, mais il dépasse le cadre de ce cours. Lelecteur motivé pourra s’adonner aux joies de l’analyse de Littlewood-Paley, des espaces deBesov et autres espaces de Triebel-Lizorkin en consultant par exemple [2, 31].

3.2.1 Définition et structure d’espace de Banach

La définiton suivante est une généralisation naturelle de la caractérisation donnée pourHs(Rd) avec s entier dans la proposition 3.1.2 :

Définition (Sobolev W k,p(Rd)). Soit 1 ≤ p < +∞ et k ∈ N∗ . On note W k,p(Rd) l’ensembledes fonctions f sur Rd telles que :

∀α ∈ Nd avec |α| ≤ k, ∂αf ∈ Lp(Rd).

On a alors le Théorème de structure :

Théorème 3.2.1. Soit 1 ≤ p < +∞ et k ∈ N∗ . Alors (W k,p(Rd), ‖ · ‖Wk,p(Rd)) est un espacede Banach pour la norme :

‖f‖Wk,p(Rd) =

∑|α|≤k

‖∂αf‖pLp(Rd)

1p

.

En outre, D(Rd) est dense dans W k,p(Rd).

Dém. Le fait que ‖ · ‖Wk,p soit une norme est une conséquence immédiate de l’inégalité deMinkowski. Soit maintenant une suite de Cauchy (fn)n∈N dans W k,p(Rd) , alors pourtout |α| ≤ k , (∂αfn)n∈N est une suite de Cauchy dans l’espace complet Lp(Rd). Elle estdonc convergente vers une limite gα. Si l’on note g la limite de (fn)n∈N dans Lp alorsil y a aussi convergence au sens des distributions, et donc

∀|α| ≤ k, ∂αfn ∂αg.

En conséquence, par unicité de la limite au sens des distributions, on peut affirmer quegα = ∂αf, et donc conclure que (fn)n∈N converge vers g dans W k,p(Rd).

Afin de démontrer la densité de D(Rd) dans W k,p, introduisons une approximation del’identité (ζε)ε>0 comme dans (3.20). Alors classiquement 5, cf [17] :

∀g ∈ Lp(Rd), ζε ? g → g dans Lp(Rd)

et donc, si f ∈W k,p,

∀|α| ≤ k, ∂α(ζε ? f) = ζε ? ∂αf → ∂αf dans Lp(Rd).

5. Pour g ∈ S(Rd) , la convergence ζε ? g → g est vraie au sens de S(Rd) , et le résultat s’ensuit trèssimplement par densité de S(Rd) dans Lp(Rd) et inégalité de Young.

61

Doncζε ? f ∈ C∞(Rd) et ζε ? f → f dans W k,p(Rd).

Si l’on suppose de plus que f est à support compact alors il en est de même pour ζε ? f,et l’on a donc obtenu la densité de D dans l’ensemble des fonctions de W k,p à supportcompact.Pour traiter le cas général, on introduit une fonction de troncature χ ∈ C∞c (B(0, 2))valant 1 sur B(0, 1), et l’on remarque que les fonctions χ(R−1·)f appartiennent à W k,p

et sont à support compact. De plus elles convergent vers f dans W k,p quand R→ +∞.Les détails sont laissés au lecteur.

3.2.2 Injections de Sobolev

Dans ce paragraphe, on établit un théorème d’injection de Sobolev qui généralise le théo-rème 3.1.1. On se limite à des exposants de régularité entiers.

Théorème 3.2.2 (Injection de Sobolev). Soit d ≥ 1 , k ∈ N∗ et 1 ≤ p < +∞.

(i) Si p > dk ou p = d = k = 1 alors W k,p(Rd) s’injecte continûment dans C0(Rd) muni

de la norme ‖ · ‖L∞(Rd) où C0(Rd) désigne l’ensemble des fonctions continues sur Rdtendant vers 0 à l’infini.

(ii) Si 1 ≤ p < dk , soit pc l’exposant critique défini par

−k +d

p=

d

pci.e. pc =

p

d− kp∈]p,+∞[.

Alors pour tout p ≤ q ≤ pc , W k,p(Rd) s’injecte continûment dans Lq(Rd) .(iii) Si p = d

k ≥ 1 et d ≥ 2 alors pour tout p ≤ q < +∞, W k,p(Rd) s’injecte continûmentdans Lq(Rd).

Comme pour le Théorème 3.1.1, le cœur de la démonstration est une famille d’injectionsde Sobolev homogènes et invariantes d’échelle :

Lemme 3.2.1 (Injections homogènes pour W 1,p ). Soit d ≥ 1.

(i) Si 1 ≤ p < d et p∗ est défini par

−1 +d

p=

d

p∗i.e. p∗ =

pd

d− p∈]p,+∞[

alors∀f ∈W 1,p(Rd), ‖f‖Lp∗ (Rd) ≤ Cp‖∇f‖Lp(Rd). (3.29)

(ii) Si p > d et α = 1− dp alors on a l’estimation höldérienne uniforme :

∀(x, y) ∈ R2d, |f(x)−f(y)| ≤ Cp,d|x−y|α‖∇f‖Lp(Rd) pour tout f ∈W 1,p(Rd). (3.30)

Dém. Nous suivons [5] 6. Notons que le théorème 3.2.1 permet de réduire la démonstrationau cas où les fonctions f considérées sont dans D.

6. Une autre méthode est proposée dans l’exercice 3.19.

62

Etape 1 : Le cas p = 1 et d ≥ 2. Pour x ∈ Rd , notons

xi = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd), 1 ≤ i ≤ d.

Soit (g1, . . . , gd) ∈ D(Rd−1) et g(x) =d∏i=1

gi(xi). Montrons par récurrence sur d que

‖g‖L1(Rd) ≤d∏i=1

‖gi‖Ld−1(Rd−1). (3.31)

L’inégalité est immédiate pour d = 2 . Afin de passer de d à d + 1, on fixe la variablexd+1 ∈ R. Alors par inégalité de Hölder, on a∫

|g(x)| dx1 . . . dxd ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

(∫|g1 . . . gd|

dd−1dx1 . . . dxd

) d−1d

.

On applique alors l’hypothèse de récurrence à |g1|dd−1 , . . . , |gd|

dd−1 et donc :∫

|g1 . . . gd|dd−1 dx1 . . . dxd ≤

d∏i=1

‖|gi|dd−1 ‖Ld−1(Rd−1) =

d∏i=1

‖gi‖dd−1

Ld(Rd−1).

On a donc obtenu :∫|g(x)| dx1 . . . dxd ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

d∏i=1

‖gi‖Ld(Rd−1).

On intègre maintenant en xd+1 . Chacune des fonctions xd+1 7→ ‖gi‖Ld(Rd−1) pour 1 ≤i ≤ d est dans Ld(R) avec∥∥∥xd+1 7→ ‖gi‖Ld(Rd−1)

∥∥∥Ld(R)

= ‖gi‖Ld(Rd),

et donc à nouveau par inégalité de Hölder avecd∑i=1

1

d= 1 :

∫|g(x)| dx1 . . . dxd dxd+1 ≤ ‖gd+1‖Ld(Rd)

∫ d∏i=1

‖gi‖Ld(Rd−1) dxd+1 =d+1∏i=1

‖gi‖Ld(Rd).

Etape 2 : Le cas p < d et d ≥ 2. Si p = 1 alors l’estimation (3.29) découle d’uneintégration par parties : on écrit pour tout 1 ≤ i ≤ d :

|f(x)| =

∣∣∣∣∫ xi

−∞∂if(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xd) dt

∣∣∣∣≤ fi(xi)

déf=

∫R|∂if(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xd) dt| ,

et donc

|f(x)|d ≤d∏i=1

fi(xi).

63

On déduit alors de (3.31) :∫|f(x)|

dd−1dx ≤

d∏i=1

‖fi‖1d−1

L1(Rd−1)=

d∏i=1

‖∂if‖1d−1

L1(Rd)

et donc

‖f‖L

dd−1 (Rd)

≤d∏i=1

‖∂if‖1d

L1(Rd)(3.32)

ce qui démontre (3.29) pour p = 1 et d ≥ 2.

Si 1 1 et f ∈ D puis on applique (3.32) à f |f |t−1. En utilisantensuite l’inégalité de Hölder, il vient

‖f‖tL

tdd−1 (Rd)

≤ Cp,t

d∏i=1

∥∥|f |t−1∂if∥∥ 1d

L1(Rd)≤ Cp

d∏i=1

[‖f‖t−1

Lp′(t−1)(Rd)

‖∂if‖Lp(Rd)

] 1d

≤ Cp,t‖f‖t−1

Lp′(t−1)(Rd)

d∏i=1

‖∂if‖1d

Lp(Rd). (3.33)

Le choixt =

d− 1

dp∗ i.e.

td

d− 1= p′(t− 1) = p∗

pour lequel t ≥ 1 (puisque p < d) assure :

‖f‖Lp∗ (Rd) ≤ Cpd∏i=1

‖∂if‖1d

Lp(Rd)≤ Cp‖∇f‖Lp(Rd).

L’estimation (3.29) est donc démontrée pour f ∈ D(Rd) , et le cas général f ∈W 1,p(Rd)s’ensuit par densité.Etape 3 : Le cas p > d . Comme dans les étapes précédentes, il suffit de traiter le casoù f ∈ D. L’estimation (3.30) est triviale en dimension d = 1. En effet, par l’inégalitéde Hölder :

|f(x)− f(y)| =∣∣∣∣∫ y

xf ′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ |x− y|1/p′‖f‖Lp(R).

La démonstration est à nouveau plus subtile en dimension d ≥ 2 . On commence parécrire que pour r > 0 et Q = [−r, r]d , on a

∀x ∈ Q, |f(x)− f(0)| =∣∣∣∣∫ t

0x · ∇f(tx) dt

∣∣∣∣ ≤ r ∫ 1

0|∇f(tx)| dt. (3.34)

Soit fQ la valeur moyenne de f sur Q donnée par

fQ =1

|Q|

∫Qf(x) dx.

Alors l’intégration de (3.34) pour x ∈ Q implique via le théorème de Fubini, un change-ment de variable et l’inégalité de Hölder :

|fQ − f(0)| ≤ r

|Q|

∫ 1

0

∫Q|∇f(tx)| dx dt =

r

|Q|

∫ 1

0

1

td

∫tQ|∇f(x)| dx dt

≤ r

(2r)d

∫ t

0‖∇f‖Lp(Rd)

|tQ|1p′

tddt ≤ r

1−d+ dp′

2d/p‖∇f‖Lp(Rd)

∫ 1

0tdp′−d dt

≤ Cp,d r1− d

p ‖∇f‖Lp(Rd)

64

où l’on a utilisé l’hypothèsed

p′− d = −d

p> −1.

Par invariance translationnelle, on en déduit que pour tout cube Q de côté 2r parallèleaux axes de coordonnées :

∀x ∈ Q, |fQ − f(x)| ≤ Cp,d r1− dp ‖∇f‖Lp(Rd),

et donc

∀(x, y) ∈ Q2, |f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fQ|+ |fQ − f(y)| ≤ Cp,d r1− dp ‖∇f‖Lp(Rd).

Comme deux points (x, y) ∈ R2d peuvent toujours être mis dans un tel cube avec r =2|x− y| , on conclut à (3.30).

Nous avons maintenant tous les éléments pour démontrer le Théorème 3.2.2. Concentrons-nous sur le cas k = 1.

(i) Cas p > d : Par (3.30), toute fonction f ∈ W 1,p(Rd) avec p > d est höldérienne, donccontinue. En outre, si x ∈ Rd et Q = Πd

1=1[xi− 1, xi + 1] , alors il existe y ∈ Q tel que 7 :

|f(y)| ≤ 1

|Q|

∫Q|f(z)|dz ≤ Cp‖f‖Lp(Rd)

et donc par (3.30) :

|f(x)| ≤ |f(y)|+ Cp,d‖∇f‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖W 1,p(Rd).

Cela montre non seulement que f est bornée mais aussi que la norme de la convergenceuniforme est contrôlée par la norme dans W 1,p. Comme les fonctions régulières à supportcompact sont denses dans W 1,p et que la convergence uniforme préserve la limite à l’infini,on en déduit que f est bien dans C0.

(i’) Cas p = d = 1. On utilise juste le fait que pour f régulière à support compact,

|f(x)| ≤∫ x

−∞|f ′(t)| dt,

et la densité de D dans W 1,1(R).

(ii) Cas d ≥ 2 et 1 ≤ p < d avec p ≤ p∗ : c’est une conséquence directe de (3.29) et del’inégalité de Hölder.

(iii) Cas p = d ≥ 1 : Soit f ∈ D(Rd) , alors par (3.33) : ∀t ≥ 1 ,

‖f‖L

tdd−1 (Rd)

≤ Cp,t‖f‖t−1t

Lp′(t−1)(Rd)

‖∇f‖1t

Lp(Rd)

≤ Cp,t[‖f‖Lp′(t−1)(Rd) + ‖∇f‖Lp(Rd)

](3.35)

où l’on a utilisé l’inégalité de Young ab ≤ 1pa

p + 1p′ b

p′ · Le choix

p′(t− 1) = p i.e. t = p = d

assure‖f‖

Ld2d−1 (Rd)

≤ Cd‖f‖W 1,p(Rd).

On itère le procédé, en appliquant (3.35) sur la suite (tj = d+ j)j≥1 qui tend vers +∞quand j → +∞.

7. raisonner par l’absurde

65

Une fois acquis le cas k = 1, le cas k ≥ 2 s’obtient par itérations successives 8.

Remarque. Ce nouveau théorème d’injection permet aussi de comparer les échelles Hs et W 1,p ,cf Exercice 3.18.

3.2.3 Compacité locale de l’injection de Sobolev

A l’instar des espaces de Sobolev Hs, les espaces W k,p admettent des propriétés de com-pacité locale. Dans cette section, on étudie ces propriétés dans le cas k = 1.

Théorème 3.2.3 (Compacité locale de l’injection W 1,p(Rd)). Soit d ≥ 1, p ≥ 1 et

p∗ =

pdd−p pour p < d

+∞ sinon.

Alors pour tout 1 ≤ q < p∗ l’injection W 1,p(Rd) → Lqloc(Rd)est compacte.

De manière équivalente, pour toute suite (fn)n∈N bornée dans W 1,p(Rd) , on peut trouverf ∈W 1,p(Rd) et une sous-suite (fφ(n))n∈N telles que :

fϕ(n) → f dans Lqloc(Rd), ∀1 ≤ q < p∗. (3.36)

Pour p > d, la convergence est uniforme sur tout compact de Rd.

Dém. Soit (fn)n∈N une suite bornée de W 1,p(Rd) et R > 0. Montrons qu’on peut extraireune sous-suite telle que

fϕ(n) → f dans Lq(BR), ∀1 ≤ q < p∗, (3.37)

avec de plus convergence uniforme si p > d .

• Si p > d , l’estimation de Hölder uniforme (3.30) implique que la famille (fn)n≥1 estéquicontinue sur BR , et (3.37) est donc une conséquence directe du Théorème d’Ascoli.• Si p ≤ d , soit q < p∗ . Considérons une approximation de l’identité ζε donnée par(3.20). Admettons provisoirement que

sup‖f‖

W1,p(Rd)≤1‖ζε ? f − f‖Lp(Rd) → 0 quand ε→ 0. (3.38)

Alors Id : W 1,p(Rd)→ Lp(BR) est limite uniforme des applications f 7→ ζε?f qui, par laProposition 1.1.3 sont compactes de Lp(Rd)→ C(BR) et donc a fortiori de W 1,p(Rd)→Lp(BR). Donc Id : W 1,p(Rd) → Lp(BR) est compacte par la Proposition 1.1.2. Laconvergence (3.36) dans Lploc(R

d) s’obtient maintenant par extraction diagonale sur lasuite Rm = m comme pour la preuve du Théorème 3.1.3, puis dans Lqloc(R

d) pour1 ≤ q < p∗ par l’inégalité de Hölder sur un compact fixe pour 1 ≤ q ≤ p et les injectionsde Sobolev pour p ≤ q < p∗ . Le raisonnement est similaire pour p > d , et les détailssont laissés au lecteur.

8. c’est l’avantage de se limiter aux espaces de Sobolev d’ordre entier. . .

66

Il nous reste donc à démontrer (3.38) pour 1 ≤ p < d . Par changement de variable et(3.19) :

|ζε ? f(x)− f(x)|p =

∣∣∣∣∫Rdζ(y)(f(x− εy)− f(y)) dy

∣∣∣∣p≤

∣∣∣∣∣∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)| dy

∣∣∣∣∣p

(3.39)

≤ Cp

∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)|p dy. (3.40)

Soit alors h ∈ Rd. Pour ϕ ∈ D(Rd) , on calcule :

|ϕ(x+ h)− ϕ(x)|p =

∣∣∣∣∫ 1

0h · ∇ϕ(x+ th) dt

∣∣∣∣p ≤ |h|p ∫ 1

0|∇ϕ(x+ th)|p dt

et donc par changement de variable x 7→ x+ th,∫Rd|ϕ(x+ h)− ϕ(x)|pdx ≤

∫ 1

0|h|p

∫Rd|∇ϕ(x+ th)|p dx dt ≤ |h|p‖∇φ‖p

Lp(Rd).

On en déduit par densité que

∀f ∈W 1,p(Rd), ∀h ∈ Rd,∫Rd|f(x+ h)− f(x)|p dx ≤ |h|p‖f‖p

W 1,p(Rd).

Nous injectons cette estimation dans (3.39) et obtenons :∫Rd|ζε ? f(x)− f(x)|p dx ≤ Cp

∫Rd

∫|y|≤2

|f(x− εy)− f(y)|p dy

≤ Cp|ε|p‖f‖pW 1,p(Rd),

et (3.38) est démontré.

3.2.4 Le cas d’un domaine borné

Comme pour le cas H1, la théorie W 1,p s’étend de manière élémentaire à un domaine.Commençons pas une définition.

Définition. Soit Ω un ouvert de Rd et 1 ≤ p < ∞ . L’espace W 1,p0 (Ω) est l’adhérence de

D(Ω) pour la norme ‖ · ‖W 1,p(Rd).

Donc (W 1,p0 (Ω), ‖ · ‖W 1,p(Rd)) est un sous espace fermé de (W 1,p(Rd), ‖ · ‖W 1,p(Rd)) et donc

un espace de Banach. Les injections de Sobolev impliquent alors immédiatement :

Théorème (Kato-Rellich pour W 1,p(Ω)). Soit Ω un ouvert borné de Rd .(i) Pour p > d, l’injection W 1,p

0 (Ω) → C(Ω) est compacte.

(ii) Pour p = d et 1 ≤ q < +∞ , l’injection W 1,p0 (Ω) → Lq(Ω) est compacte.

(iii) Pour 1 ≤ p < d, soit l’exposant critique

p∗ =pd

d− p·

Alors pour tout q ∈ [1, p∗] , W 1,p0 (Ω) s’injecte continûment dans Lq(Ω) avec injection

compacte pour 1 ≤ q < p∗ .

67

Enfin on peut comme dans le cas p = 2 retrouver une inégalité de Poincaré :

Théorème 3.2.4 (Inégalité de Poincaré). Soit Ω ouvert borné de Rd et 1 ≤ p < +∞ . Alorsil existe C(p,Ω) telle que

∀f ∈W 1,p0 (Ω), ‖f‖Lp(Ω) ≤ C(p,Ω)‖∇f‖Lp(Ω).

La démonstration est très semblable à celle du Théorème 3.1.6, et laissée au lecteur.

3.3 Exercices

Exercice 3.1. Démontrer que l’espace S est continûment inclus dans l’espace Hs , et ce pourtout réel s .

Exercice 3.2. Montrer que pour tout réel s, la multiplication par 〈·〉s envoie continûmentl’espace S dans lui-même. Même question pour l’opérateur de dérivation fractionnaire définien (3.8). Généraliser à l’espace S ′.

Exercice 3.3. Démontrer que, pour toute distribution à support compact u , il existe un réel stel que u appartienne à l’espace de Sobolev Hs .

Exercice 3.4. Démontrer que la constante 1 n’appartient à aucun espace Hs.

Exercice 3.5. Démontrer que la masse de Dirac δ0 appartient à l’espace de Sobolev H−d2−ε

pour tout ε > 0 , mais que δ0 n’appartient pas à H−d2 . Généraliser aux dérivées de δ0.

Exercice 3.6. Pour s ≤ d/2, démontrer que l’ensemble des fonctions test à support dansRd\0 est dense dans Hs. On pourra étudier l’orthogonal de D(Rd\0) et utiliser l’exerciceprécédent.

Exercice 3.7. Dans tout cet exercice, on note R =∑d

i=1 xi∂xi .

(i) Calculer R| · |−2.

(ii) Montrer que pour toute fonction test f supportée dans Rd \ 0 on a∫Rd

|f(x)|2

|x|2dx =

∫Rd

f(x)Rf(x)

|x|2dx+

d

2

∫|f(x)|2

|x|2dx.

(iii) Si d ≥ 3, démontrer l’inégalité de Hardy suivante pour toute fonction f de H1(Rd) :(∫Rd

|f(x)|2

|x|2dx

) 12

≤ 2

d− 2‖∇f‖L2 . (3.41)

(iv) Que dire si d = 2 ?

Exercice 3.8. Cas critiques des injections de Sobolev.

(i) Montrer que Hd2 (Rd) ne s’injecte pas continûment dans L∞(Rd).

(ii) Dans quels espaces de Sobolev l’espace L1(Rd) s’injecte-t-il continûment ?

(iii) Si d ≥ 3, montrer que H1(Rd) n’est pas inclus dans Lp(Rd) pour p > 2d/d− 2.

(iv) En dimension deux, donner un exemple de fonction qui est H1 mais qui n’est pas bornée.

68

Exercice 3.9. Soit r ∈]0, 1[. Démontrer que l’espace Hd2

+r(Rd) est continûment inclus dansl’espace de Hölder Cr(Rd) défini dans l’exercice 1.7.

Exercice 3.10. Soit s > d2 · Démontrer l’existence d’une constante C > 0 telle que toute

fonction u de Hs(Rd) vérifie l’inégalité

‖u‖L∞ ≤ C‖u‖1− d

2s

L2 ‖u‖d2s

Hs·

On pourra utiliser la transformée de Fourier et séparer en basses et hautes fréquences.

Exercice 3.11. Soit s > 0 et Ω domaine borné de Rd . Montrer qu’il existe une constanteλs(Ω) telle que

∀ϕ ∈ D(Ω), ‖ϕ‖2Hs(Rd)

≥ λs(Ω)‖ϕ‖2L2(Ω).

Exercice 3.12. Soit Ω un domaine de Rd de mesure finie.(i) Montrer que l’injection de H1

0 (Ω) dans L2(Ω) est compacte. On pourra, à l’aide de latransformée de Fourier, remarquer que si (gn)n∈N est bornée dans H1

0 (Ω) alors (gn)n∈Nest bornée dans l’ensemble des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini.

(ii) En déduire que l’inégalité de Poincaré est encore vraie pour ce type de domaine.(iii) Montrer enfin pour toute fonction u de H1(Ω) l’inégalité de Poincaré-Wirtinger :

‖u− u‖L2 ≤ C‖∇u‖L2

où u désigne la moyenne de u sur Ω. On pourra raisonner par l’absurde.

Exercice 3.13. Soit s un réel de l’intervalle ]0, 1[ . À l’aide de l’égalité de Fourier-Plancherel,démontrer que Hs est l’espace des fonctions u de L2 telles que∫

Rd×Rd

|u(x+ y)− u(x)|2

|y|d+2sdx dy <∞

et qu’il existe une constante C telle que, pour toute fonction u de Hs , on ait

C−1‖u‖2Hs ≤ ‖u‖2L2 +

∫Rd×Rd

|u(x+ y)− u(x)|2

|y|d+2sdx dy ≤ C‖u‖2Hs .

Exercice 3.14. Soit FL1 = u ∈ S ′ / u ∈ L1 .(i) Démontrer que, pour tout s > 0 le produit est une application bilinéaire continue de(

FL1 ∩Hs)2 dans

(FL1 ∩Hs

).

(ii) Qu’en déduire lorsque s > d2 ?

Exercice 3.15. Dans tout l’exercice u et v désignent deux éléments de S(Rd).(i) Exprimer ‖uv‖2

Hs+t− d2en fonction de u et v.

Dans la suite de l’exercice, on pose

J1 =

∫〈ξ〉2s+2t−d

∣∣∣∣∫2|ξ−η|≤|η|

u(ξ − η)v(η) dη

∣∣∣∣2 dξ,J2 =

∫〈ξ〉2s+2t−d

∣∣∣∣∫ |η|2≤|ξ−η|≤|η|

u(ξ − η)v(η) dη

∣∣∣∣2 dξavec 〈ξ〉 :=

√1 + |ξ|2.

69

(ii) On suppose que s < d2 ·

(a) Montrer qu’il existe une constante C ne dépendant que de s et d telle que

∀ξ ∈ Rd,∫

2|ξ−η|≤|η|

∣∣u(ξ − η)∣∣ dη ≤ C‖u‖Hs〈ξ〉

d2−s,

∀η ∈ Rd,∫

2|ξ−η|≤|η|

∣∣u(ξ − η)∣∣ dξ ≤ C‖u‖Hs〈η〉

d2−s.

(b) En déduire l’existence d’une constante C ′ ne dépendant que de s et de d telle que

J1 ≤ C ′‖u‖2Hs‖v‖2Ht .

(iii) Dans cette question, on suppose que (s, t) ∈ R2 vérifie s + t > 0. Montrer qu’il existeune constante C ′′ (ne dépendant que de d et de s+ t) telle que

J2 ≤ C ′′‖u‖2Hs‖v‖2Ht .

(iv) On suppose que s < d2 , t <

d2 et s+ t > 0.

Montrer que l’opérateur de multiplication (u, v) 7→ uv se prolonge en un opérateurbilinéaire continu de Hs ×Ht dans Hs+t− d

2 .

Exercice 3.16. Soit s un réel strictement supérieur à 1/2 . Démontrer que l’application trace γdéfinie par

γ :

D(Rd) −→ D(Rd−1)ϕ 7−→ γ(ϕ) : (x2, · · · , xd) 7→ ϕ(0, x2, · · · , xd)

se prolonge en une application continue de Hs(Rd) dans Hs− 12 (Rd−1) .

Indication : Écrire que la transformée de Fourier F ′ par rapport aux d−1 dernières variablesvérifie :

F ′ϕ(0, ξ2, · · · , ξd) = (2π)−1

∫RFϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξd) dξ1.

Exercice 3.17. On note L2per(Rd) l’ensemble des fonctions u : Rd → C qui sont 2πZd pério-

diques et telles que u restreinte à Qddéf= ]0, 2π[d appartienne à L2(Qd). On note H1

per(Rd) l’en-semble des fonctions de L2

per(Rd) telles que ∇u soit aussi dans L2per(Rd). On munit L2

per(Rd)et H1

per(Rd) des normes hilbertiennes :

‖u‖L2per

déf=

√1

(2π)d‖u‖L2(Qd) et ‖u‖H1

per

déf=

√1

(2π)d(‖u‖2

L2(Qd)+ ‖∇u‖2

L2(Qd)

)·

Pour k ∈ Zd, on note ek(x)déf= ei(k|x) et on définit les coefficients de Fourier de u par

ukdéf=

1

(2π)d

∫Qd

e−i(k|x)u(x) dx.

(i) Calculer ‖u‖L2per

et ‖u‖H1per

en fonction des uk.

(ii) Soit Tn : u 7→∑|k|≤n ukek.

(a) Montrer que (Tn)n∈N converge vers l’application Id au sens de L(H1per;L

2per).

(b) En déduire que l’injection de H1per(Rd) dans L2

per(Rd) est compacte.

70

Exercice 3.18. Soit 1 ≤ p < d . On définit l’indice de Sobolev critique par −sc+ d2 = −1 + d

p ·

(i) Pour p ≥ 2 , montrer que ∀s ≥ sc , Hs(Rd) →W 1,p(Rd).(ii) Pour 1 ≤ p ≤ 2 , montrer que ∀s ≤ sc , W 1,p(Rd) → Hs(Rd).

Exercice 3.19. Dans cette exercice, on propose une démonstration des injections de Soboleven dimension d ≥ 2, basée sur l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.

(i) Montrer qu’il existe une constante C telle que pour tout f ∈ C∞c (Rd) et x ∈ Rd, on ait

|f(x)| ≤ C∫Rd

|∇f(y)||x− y|d−1

dy.

Indication : on pourra remarquer que si f est supportée dans B(0, R) alors pour tout ωappartenant à la sphère unité Sd−1, on a

f(0) = −∫ R

0

d

drf(rω) dr.

(ii) En déduire que si d < p < ∞ alors W 1,p(Rd) s’injecte continûment dans l’ensembleC0(Rd) des fonctions continues sur Rd tendant vers 0 à l’infini.

(iii) Dans le cas 1 < p < d, retrouver l’injection homogène critique (3.29).

Exercice 3.20. On se place en dimension d = 3 .

(i) Soit ψ(x) = 1|x| · Montrer que ψ est une fonction homogène de degré −2 à symétrie

sphérique, et en déduire queψ(ξ) =

c

|ξ|2

pour une constante universelle c ∈ R∗ .On pourra utiliser le fait que toute distribution supportée en 0 est somme (finie) dedérivées de la masse de Dirac δ en 0, et montrer qu’une dérivée d’ordre k de δ esthomogène de degré −3− k.

(ii) En déduire en utilisant le Théorème 3.1.2 une preuve élémentaire de l’estimation deHardy-Littlewood-Sobolev :

‖ 1

|x|? f‖L6(R3) . ‖f‖L 6

5 (R3).

Exercice 3.21. Soit χ ∈ C∞c (Rd) et 0 < s < 1. Soit le multiplicateur de Fourier homogène|D|sv déf

= |ξ|sv . On note As = [|D|s, χ] le commutateur

Asv = |D|s(χv)− χ|D|sv.

(i) Pour v ∈ C∞c (Rd) , calculer Asv sous la forme d’un opérateur intégral sur v .

(ii) A l’aide de l’identité de Plancherel-Plancherel, montrer que As est un opérateur bornésur L2 .

(iii) En déduire une autre démonstration du point (iii) de la Proposition 3.1.3, dans le cadredes espaces de Sobolev homogènes.

71

Chapitre 4

Dispersion dans l’équation deSchrödinger linéaire

Ce chapitre est consacré à la présentation et à l’analyse d’un phénomène central en mé-canique ondulatoire linéaire : la dispersion, c’est-à-dire la propension d’un paquet d’ondesà s’étaler en espace tout en gardant une énergie totale constante. Cet étalement du paquetd’ondes qui se rencontre dans de nombreux modèles physiques est dû au caractère dispersif dela propagation : la vitesse de propagation en espace d’un paquet d’ondes localisé en Fourierà la fréquence ξ ∈ Rd, est une fonction croissante de |ξ|. Dans le cas qui nous intéresse ici,l’équation de Schrödinger linéaire :

i∂tu+ ∆u = 0u|t=0 = u0

, (t, x) ∈ R× Rd, u(t, x) ∈ C, (4.1)

la relation de dispersion 1 montre que les ondes les plus oscillantes (i.e. de plus grandes fré-quences) sont les plus rapides. L’onde linéaire se décompose donc asymptotiquement en tempsen une somme de paquets d’ondes décorrélés en espace et en fréquence : elle se disperse.

Si le phénomène physique est parfaitement clair, sa traduction en termes mathématiquesexploitables est moins évidente. Si l’on regarde le point de vue de l’analyse fonctionnelle,trouver des normes pertinentes pour mesurer la dispersion n’est pas une problème facile. Laréponse à cette question naturelle est centrale pour l’étude qualitative des EDP non linéaires. Ila pourtant fallu attendre la fin des années 1970 avec les travaux remarquables de R. Strichartz[38] pour que l’on parvienne à transcrire le phénomène dispersif en inégalités “robustes.” Lestravaux originaux de R. Strichartz (qui étaient motivés par des problèmatiques abstraitesd’analyse harmonique : les théorèmes de restriction), ont été repris de façon particulièrementefficace dans [16] et ont fourni des méthodes qui ont complètement révolutionné l’analyse nonlinéaire des EDP dispersives. Le point clef est que les estimations de Strichartz permettent deconvertir la dispersion en gain d’intégrabilité spatial par moyenne temporelle.

Nous présentons dans ce chapitre deux aspects du phénomène de dispersion : les estima-tions espace-temps de Strichartz qui sont le pur fruit de méthodes d’analyse harmonique et seretrouvent dans d’autres équations dispersives, et un jeu de relations ponctuelles spécifiquesà l’équation de Schrödinger et qui précisent la structure spatiale de l’étalement du paquetd’ondes.

1. obtenue en cherchant sous quelle condition l’onde monochromatique (t, x) 7→ ei(ξ·x−ωt) vérifie (4.1) ; ontrouve bien sûr ω = |ξ|2 .

73

4.1 Le groupe de l’équation de Schrödinger linéaire

Cette section est dédiée à la résolution l’équation de Schrödinger linéaire (4.1) pour desdonnés initiales u0 ∈ Hs(Rd) .

4.1.1 Résolution explicite

Commençons par résoudre (4.1) explicitement en Fourier pour des données initiales u0

dans S(Rd) :

Lemme (Résolution explicite en Fourier). Soit u0 ∈ S(Rd) , alors l’unique solution u ∈C1(R;S(Rd)) de (4.1) est donnée par 2

u(t, ·) = S(t)u0 = St ? u0 = F−1(e−it|ξ|2u0(ξ)) (4.2)

avec∀t ∈ R∗, St

déf=

1

(4πit)d2

ei|x|24t et S0

déf= δ0.

Dém. Soit u ∈ C1(R;S(Rd)) solution de (4.1), alors en prenant la transformée de Fourieren x de (4.1), on obtient :

∀(t, ξ) ∈ R× Rd, id

dtu(t, ξ)− |ξ|2u(t, ξ) = 0, u(0, ξ) = u0(ξ),

qui s’intègre explicitement en :

∀(t, ξ) ∈ R× Rd, u(t, ξ) = e−it|ξ|2u0(ξ),

et la formule côté Fourier (4.2) est démontrée. La formule de convolution côté espace estune conséquence immédiate du calcul de la transformée de Fourier des Gaussiennes quenous rappelons ci-après.

Lemme 4.1.1. Pour tout nombre complexe z non nul à partie réelle positive, on a

F(e−z|·|

2)

(ξ) =(πz

) d2e−|ξ|24z

avec z−d2déf= |z|−

d2 e−i

d2θ si z = |z|eiθ avec θ ∈ [−π/2, π/2] .

Dém. Pour tout ξ de Rd , les fonctions

z 7−→∫Rde−i(x|ξ)e−z|x|

2dx et z 7−→

(πz

) d2e−|ξ|24z

sont holomorphes sur l’ensemble D des nombres complexes à partie réelle strictementpositive. La formule classique pour la transformée de Fourier d’une gaussienne nous ditque ces deux fonctions coïncident sur la demi-droite réelle positive privée de l’origine.Donc elles coïncident aussi sur le domaine D .

2. Dans toute cette section, on convient que u ou Fu désigne la transformée de Fourier en espace, la variabletemporelle t étant vue comme un paramètre.

74

Fixons it avec t 6= 0 et considérons une suite (zn)n∈N de D convergeant vers it. Envertu du théorème de convergence dominée, pour toute fonction φ de S, on a

limn→∞

∫Rde−zn|x|

2φ(x) dx =

∫Rde−it|x|

2φ(x) dx et

limn→+∞

(π

zn

) d2∫Rde−|ξ|24zn φ(ξ) dξ =

(π

it

) d2∫Rde−|ξ|24it φ(ξ) dξ.

Vu que

F(e−zn|·|

2)

=( πzn

) d2e−|ξ|24zn ,

on peut donc écrire, en revenant à la définition de la transformée de Fourier d’une dis-tribution (cf [4, 17]),

〈e−it|·|2 , φ〉 = 〈e−it|·|2 , φ〉

= limn→+∞

∫e−zn|x|

2φ(x) dx

= limn→+∞

∫e−zn|·|2(ξ)φ(ξ) dξ

= limn→+∞

(π

zn

) d2∫e−|ξ|24zn φ(ξ) dξ =

(π

it

) d2∫e−|ξ|24it φ(ξ) dξ,

d’où l’égalité annoncée pour z = it.

Les solutions du problème homogène (4.1) fournissent la solution du problème inhomogènegénéral :

Lemme (Formule de Duhamel). Soit u0 ∈ S(Rd) et f ∈ C(R;S(Rd)), alors la solutionu ∈ C1(R;S(Rd)) du problème inhomogène

i∂tu+ ∆u = fu|t=0 = u0

(4.3)

est donnée par la formule de représentation de Duhamel :

u(t) = S(t)u0 − i∫ t

0S(t− t′)f(t′) dt′. (4.4)

Dém. En Fourier, u est solution si et seulement si

∀t ∈ R, id

dtu(t, ξ)− |ξ|2u(t, ξ) = f(t, ξ), u(0, ξ) = u0(ξ) (4.5)

qui s’intègre explicitement en

u(t, ξ) = e−it|ξ|2u0(ξ)− i

∫ t

0e−i(t−t

′)|ξ|2 f(t′, ξ) dt′,

ce qui en appliquant la transformée de Fourier inverse en espace donne (4.4).

75

4.1.2 Le groupe de l’équation de Schrödinger

Observons que la représentation explicite (4.2) fait parfaitement sens pour u0 ∈ Hs(Rd)– et même plus généralement pour u0 ∈ S ′(Rd) . La Définition–Proposition suivante est doncune conséquence immédiate de la formule de représentation en Fourier (4.2) et de l’égalité dePlancherel :

Proposition (Semi-groupe sur Hs(Rd)). Soit s ∈ R , on définit pour u0 ∈ Hs(Rd) le groupede l’équation de Schrödinger sur Hs par

∀t ∈ R, S(t)u0 = St ? u0 = F−1(e−it|ξ|2u0). (4.6)

Alors (S(t))t∈R est un groupe fortement continu d’opérateurs unitaires sur Hs, c’est-à-direque l’on a les propriétés suivantes :

– Régularité : t→ S(t)u0 ∈ C(R;Hs) .– Isométrie Hs : ‖S(t)u0‖Hs = ‖u0‖Hs .– Propriété de groupe : ∀(t, t′) ∈ R2, S(t)S(t′)u0 = S(t+ t′)u0 et S(0) = Id.– Calcul de l’adjoint : S(t)∗ = S(−t) où l’adjoint est pris au sens de la structure hilber-tienne de Hs .

La propriété fondamentale suivante du groupe de Schrödinger dite de dispersion ponctuelleest une conséquence de la représentation explicite (4.2).

Proposition (Dispersion ponctuelle). Soit t ∈ R∗ et p ∈ [2,+∞] , alors S(t) est un opérateurcontinu de Lp′ dans Lp et

∀t ∈ R∗, ‖S(t)u0‖Lp ≤1

|4πt|d2

( 1p′−

1p

)‖u0‖Lp′ . (4.7)

Dém. Soit t 6= 0 , il suffit par densité d’établir (4.7) pour u0 ∈ S(Rd) , mais alors l’inégalitéde Young sur la formule de représentation explicite (4.2) assure :

‖S(t)u0‖L∞ ≤ ‖u0‖L1‖St‖L∞ ≤1

|4πt|d2

‖u0‖L1 . (4.8)

D’un autre côté, par isométrie L2 :

‖S(t)u0‖L2 = ‖u0‖L2 .

Le théorème d’interpolation complexe de Riesz-Thorin permet de conclure.Donnons une conséquence naïve mais néanmoins importante de la propriété de dispersion

ponctuelle (4.7). Prenons u0 ∈ S(Rd). Alors, puisque l’opérateur S(t) est unitaire sur L2 , lamasse de la solution est conservée :

‖S(t)u0‖L2 = ‖u0‖L2 .

Pour autant la masse est dispersée localement en espace au sens suivant 3 : soit R > 0 , alors∫|x|≤R

|S(t)u0|2 dx . Rd‖S(t)u0‖2L∞ .Rd

|t|d−→ 0 quand |t| → +∞.

On dit que la masse est dispersée à l’infini. Notons, et c’est une spécificité importante desproblèmes dispersifs, que la vitesse à laquelle la masse est dispersée est intimement liée à larégularité et la décroissance de la donnée initiale. Nous verrons un deuxième exemple illustrantcette propriété au paragraphe suivant.

3. Dans ce qui suit, on notera parfois . au lieu de ≤ C × (. . . ) avec C “constante” ne dépendant que dela dimension d et, éventuellement d’exposants de Lebesgue, suivant le contexte.

76

4.1.3 Solutions faibles

Si la formule du groupe de Schrödinger (4.6) s’étend naturellement à des faibles régula-rités Hs , s ∈ R , les distributions correspondantes demeurent des solutions de l’équation deSchrödinger linéaire (4.1) au sens des distributions, comme introduit dans le cours de F. Golse[17] :

Définition 4.1.1 (Solutions faibles). On dira qu’une distribution u ∈ C(R;S ′(Rd)) est solutionfaible du problème inhomogène (4.3) si pour tout ϕ ∈ C1(R;S(Rd)), on a∫ t

0

⟨u(t′),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′ = −i

⟨u0, iϕ(0)

⟩+ i⟨u(t), ϕ(t)

⟩+

∫ t

0〈f(t′), ϕ(t′)〉 dt′

où 〈·, ·〉 désigne le crochet de dualité entre S ′ et S.

On peut alors très facilement étendre le groupe de Schrödinger comme suit :

Proposition 4.1.1. Si u0 ∈ S ′ alors la distribution définie par

S(t)u0 = F−1(e−it|ξ|

2u0

)= St ? u0 avec St(x) =

1

(4πit)d2

ei|x|24t (4.9)

appartient à C∞(R;S ′) et est solution faible de l’équation de Schrödinger (4.1).

La formule (4.9) montre d’une part l’étalement de la donnée initiale au cours de l’évolutionet d’autre part la propagation à vitesse infinie. En effet, si l’on prend pour u0 la masse deDirac en 0, la formule ci-dessus montre que

u(t) = St pour tout t 6= 0,

donc en particulier u(t) n’est nulle en aucun point de l’espace bien que le support de la donnéeinitiale soit réduit à un point. Inversement, si u0(x) = e−ia|x|

2 alors on a

u(t, ξ) = e−it|ξ|2

(π

ia

) d2

ei|ξ|24a ,

et donc

u( 1

4a

)=( πia

) d2δ0.

Donc le support de la solution au temps 1/(2a) est réduit à un seul point bien qu’il soit égalà Rd entier au temps 0. Cet exemple montre également que la régularité de la solution estétroitement liée à la localisation de la donnée initiale.

Dém. de la Proposition 4.1.1. Soit u(t) = F−1(−eit|ξ|2 u0(ξ)

). Pour ϕ ∈ C∞(R;S), on

note

Iϕ(t)déf=

∫ t

0

⟨u(t′),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′.

Par définition de u , on a

Iϕ(t) =

∫ t

0

⟨F−1

(e−it

′|ξ|2 u0(ξ)),∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

⟩dt′,

=

∫ t

0

⟨e−it

′|ξ|2 u0(ξ),F−1(∆ϕ(t′)− i∂tϕ(t′)

)⟩dt′,

= −∫ t

0(2π)−d

⟨u0(ξ), e−it

′|ξ|2 (|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂tϕ(t′,−ξ))⟩

dt′.

77

La théorie classique des distributions nous autorise à permuter l’intégration et l’actionde la distribution u0. On obtient ainsi

Iϕ(t) = −(2π)−d⟨u0,

∫ t

0e−it

′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂tϕ(t′,−ξ)

)dt′⟩.

Sachant que

∂t′(e−it

′|ξ|2iϕ(t′,−ξ))

= e−it′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂t′ϕ(t′,−ξ)

),

on trouve que∫ t

0e−it

′|ξ|2(|ξ|2ϕ(t′,−ξ) + i∂t′ϕ(t′,−ξ)

)dt′ = ie−it|ξ|

2ϕ(t,−ξ)− iϕ(0,−ξ).

Donc

Iϕ(t) = i(2π)−d〈u0, e−it|ξ|2ϕ(t,−ξ)〉 − i(2π)−d〈u0, ϕ(0,−ξ)〉,

= i〈u(t),F−1ϕ(t)〉 − i〈u0,F−1ϕ(0)〉,

= i〈u(t), ϕ(t)〉 − i〈u0, ϕ(0)〉.

Cela montre que u est bien une solution faible de l’équation de Schrödinger linéairehomogène (4.1).

On peut de même étendre la validité de la formule de Duhamel (4.4) au cas de solutions peurégulières ce qui sera pertinent pour résoudre le problème non linéaire, et montre une formed’unicité des solutions faibles du problème linéaire.

Proposition 4.1.2 (Formule de Duhamel en faible régularité). Si u0 ∈ L2 et f ∈L1loc(R;L2)

alors l’équation de Schrödinger (4.3) admet une unique solution faible u ∈ C(R;L2) qui estdonnée par la formule de Duhamel (4.4). En outre, la loi d’évolution de la masse (i.e. de lanorme L2 au carré de la solution) est :

∀t ∈ R, ‖u(t)‖2L2 = ‖u0‖2L2 + 2=m∫ t

0

∫Rdf(τ, x)u(τ, x) dx dτ. (4.10)

Dém. Supposons dans un premier temps que u0 ∈ H∞(Rd) et que f ∈ C(R;H∞(Rd))avec H∞(Rd) déf

=⋂s∈RH

s(Rd). Alors u ∈ C1(R;H∞(Rd)) et on peut prendre u commefonction test dans la définition de solution faible. On obtient ainsi après division par i,

‖u(t)‖2L2 = ‖u0‖2L2 + i

∫ t

0

∫Rdfu dx dτ − i

∫ t

0

∫Rdu(∆u− i∂tu) dx dτ.

On observe que −i∂tu+ ∆u = f , d’où le résultat dans le cas régulier 4.On obtient alors facilement l’unicité. En effet, par linéarité, il suffit d’établir que la seulesolution u ∈ C(R;L2) associée à (4.1) avec donnée initiale nulle, est la solution identique-ment nulle. Pour justifier ce fait, on peut introduire une suite (χn)n≥1 d’approximations

de l’identité définie par χn(t, x)déf= n1+dχ(nt, nx) avec χ ∈ C∞c (R1+d) d’intégrale 1. Le

fait que u soit solution faible de (4.1) avec donnée initiale nulle entraîne que χn ? u estégalement solution. Mais comme clairement χn ? u ∈ C1(R;H∞(Rd)), l’égalité (4.10)s’applique, et donne χn ? u ≡ 0. Comme il y a convergence dans C(R;L2), on conclutque u ≡ 0.

4. Cette égalité peut aussi se démontrer côté Fourier en multipliant (4.5) par ¯u puis en prenant la partieréelle et en intégrant sur [0, t]× Rd.

78

Reste à démontrer (4.10) dans le cas où u est seulement dans C(R;L2). Pour cela, onpeut régulariser les données u0 et f en une suite (un0 )n∈N d’éléments de H∞(Rd) tendantvers u0 dans L2, et une suite (fn)n∈N d’éléments de C(R;H∞(Rd)) tendant vers f dansL1loc(R;L2). Ces deux suites peuvent s’obtenir par convolution avec des approximations

de l’identié, comme dans la démonstration de l’unicité. Soit donc un ∈ C1(R;H∞) lasolution associée aux données (un0 , f

n) par la formule de Duhamel. On a pour tout(n,m) ∈ N2,

i∂t(un − um) + ∆(un − um) = fn − fm et (un − um)|t=0 = un0 − um0 .

Donc

‖(un − um)(t)‖L2 ≤ ‖un0 − um0 ‖L2 +

∣∣∣∣∫ t

0‖fn − fm‖L2 dτ

∣∣∣∣.En conséquence (un)n∈N converge fortement dans C(R;L2). Cela permet de passer à lalimite dans la définition de solution faible, et de vérifier que l’égalité evolutionmasse estencore valable pour la limite u de cette suite.

4.2 Estimations espace-temps de Strichartz

Dans cette section, nous présentons les inégalités de Strichartz. La philosophie est de passerd’une estimation de décroissance ponctuelle en temps (à savoir (4.7)) à un gain d’intégrabilitéspatiale après moyenne en temps adéquate. Il s’avère que cette idée simple fournit un cadreredoutablement efficace pour résoudre (NLS) ainsi qu’une information qualitative non trivialesur la régularisation de la solution et l’étalement du paquet d’ondes associé au flot dispersif.

Plus précisément, les estimations de Strichartz reviennent à transformer l’inégalité ponc-tuelle en temps (4.7) en un contrôle en moyenne temporelle de la forme

‖S(t)u0‖LqtLrx ≤ C‖u0‖L2 (4.11)

où la norme de Lebesgue espace–temps introduit au premier chapitre est notée

‖u‖LqtLrx =

(∫R‖u(t, ·)‖qLrx dt

) 1q

si q est fini, et ‖u‖L∞t Lrx = supt∈R‖u(t, ·)‖Lrx .

Une estimation telle que (4.11) ne peut être vraie (pour tout u0 ∈ L2 ) que pour certainscouples (q, r). Cela peut se voir en faisant agir le groupe de symétries des dilatations : pourλ ∈ R∗ , soit uλ(x) = u(λx) alors

S(t)uλ = (S(λ2t)u)λ.

Un calcul élémentaire laissé au lecteur montre que q et r doivent donc être liés par la relation

2

q+d

r=d

2· (4.12)

Par ailleurs, l’inégalité (4.11) met en valeur un “gain d’intégrabilité” par rapport aux injec-tions de Sobolev. En effet, le caractère unitaire du groupe de Schrödinger sur Hs nous garantitque u(t) reste dans Hs pour tout temps si u0 est dans Hs. Pour en déduire que u(t) ∈ Lr parinjection de Sobolev, il faudrait donc supposer que s = d/2 − d/r. L’inégalité (4.11) montreque S(t)u0 est dans Lr pour presque tout t même si u0 n’est que dans L2 !

79

Définition (Paire admissible). On dit qu’un couple (q, r) de [2,∞]2 est admissible si (4.12)est vérifiée et (q, r, d) 6= (2,∞, 2).

On dit qu’il est strictement admissible si de plus (q, r) 6= (2, 2dd−2)·

Nous pouvons maintenant énoncer les inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrö-dinger (4.1) :

Théorème (Inégalités de Strichartz).(i) Equation homogène : soit u0 dans L2(Rd) et S(t)u0 ∈ C(R;L2(Rd)) la solution du problèmehomogène :

i∂tu+ ∆u = 0,

u|t=0 = u0.(4.13)

Alors pour tout couple admissible (q, r), il existe une constante C telle que

‖S(t)u0‖Lqt (Lrx) ≤ C‖u0‖L2 . (4.14)

(ii) Soit un couple admissible (q2, r2) et f ∈ Lq′2(R;Lr′2(Rd)), alors l’équation de Schrödinger

inhomogène i∂tu+ ∆u = f,

u|t=0 = 0(4.15)

admet une unique solution v dans C(R;L2(Rd)) donnée par la formule de Duhamel, et pourtout couple admissible (q1, r1) , il existe une constante C telle que

‖u‖Lq1t (Lr1x ) ≤ C‖f‖Lq

′2t (L

r′2x ). (4.16)

Dém. Nous nous limitons aux couples strictement admissibles. On renvoie à l’article fonda-teur de M. Keel et T. Tao [20], ou à [2] pour le cas limite

(q, r) =

(2,

2d

d− 2

)et d ≥ 3.

Comme de coutûme, en raisonnant par densité, on peut supposer que toutes les fonctionsconsidérées sont régulières et tendent vers 0 à l’infini. On peut donc finalement se limiterà la démonstration des inégalités (4.14) et (4.16).

Etape 1. Le lemme TT ? . Commençons par un lemme abstrait élémentaire :

Lemme (TT ? ). Soit T un opérateur continu d’un espace de Hilbert H dans un espacede Banach B et T ? : B′ → H l’opérateur adjoint défini par

(T ?x|y)H = 〈x, Ty〉B′×B.

Alors :‖TT ?‖L(B′;B) = ‖T‖2L(H;B) = ‖T ?‖2L(B′;H). (4.17)

Autrement dit, il est équivalent de montrer que T ∈ L(H;B) , que T ? ∈ L(B′;H) ou queTT ? ∈ L(B′;B) ; et, bien plus important pour les applications, on dispose de (4.17).

Dém. Par caractérisation de la norme d’un vecteur dans un Hilbert, on a

‖T ?x‖H = sup‖y‖H=1

|(T ?x|y)H|.

80

Donc‖T ?x‖H = sup‖y‖H=1 |〈x, Ty〉B′×B|,

≤ ‖x‖B′ sup‖y‖H=1 ‖Ty‖B,≤ ‖T‖L(H;B)‖x‖B′ ;

et donc ‖T ?‖L(B′;H) ≤ ‖T‖L(H;B).

De même ‖T‖L(H;B) ≤ ‖T ?‖L(B′;H) puis ‖TT ?‖L(B′;B) ≤ ‖T‖L(H;B)‖T ?‖L(B′;H) parcomposition. Enfin en utilisant à nouveau la structure hilbertienne :

‖T ?x‖2H = (T ?x|T ?x)H = 〈x, TT ?x〉B′×B ≤ ‖x‖2B′‖TT ?‖L(B′;B)

et donc ‖T ?‖2L(B′;H) ≤ ‖TT?‖L(B′;B) et (4.17) est démontrée.

Etape 2. Identification de T , T ? et TT ? . Soit (q, r) un couple strictement admissible.D’un point de vue formel, nous allons appliquer le lemme TT ? avec 5

H = L2(Rd), B = Lq(R;Lr(Rd)), B′ = Lq′(R;Lr

′(Rd))

etT : u0 7−→

[t 7→ S(t)u0

].

Notons que l’on a en vertu de S?(t) = S(−t)

〈g, Tu0〉B′×B =

∫R×Rd

g(t, x)S(t)u0(x) dx dt =

∫R

(g(t, ·)|S(t)u0)H dt

=

∫R

(S(−t)g(t, ·)|u0)H dt =

(∫RS(−t)g(t, ·) dt

∣∣∣∣u0

)H

d’où le calcul de l’adjoint :

T ? : ϕ 7−→∫RS(−t′)ϕ(t′, ·) dt′ et TT ? : ϕ 7−→

[t 7→

∫RS(t− t′)ϕ(t′, ·) dt′

].

En particulier, on voit qu’aux bornes d’intégration en temps près, TT ∗f est le terme deDuhamel (4.4) associé à l’équation inhomogène (4.15).

Etape 3. Estimation homogène. L’idée clef est d’estimer la norme de TT ? au lieu decelle de T, puis d’utiliser l’estimation de dispersion ponctuelle (4.7) comme suit :

‖TT ?g(t, ·)‖Lrx =

∥∥∥∥∫RS(t− t′)g(t′, ·) dt′

∥∥∥∥Lrx

≤∫R‖S(t− t′)g(t′, ·)‖Lrx dt

′

.∫R

1

|t− t′|d2

( 1r′−

1r

)‖g(t′, ·)‖Lr′x dt

′

=

∫R

1

|t− t′|2q

‖g(t′, ·)‖Lr′x dt′

où l’on a utilisé la relation de paire admissible :

d

2

(1

r′− 1

r

)=d

2

(1− 2

r

)=

2

q·

5. Comme d’habitude, il suffit de raisonner sur des fonctions régulières à décroissance rapide. Pour de tellesfonctions, la définition de T et de T ? ne pose pas de problème. Par conséquent, seule la norme dans les espacesH, B et B′ nous intéresse.

81

On applique ensuite l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev en temps (donc en dimen-sion 1). Cela donne, si 0 < 2/q < 1,∥∥∥ 1

|t|2q

? h∥∥∥Lqt

. ‖h‖Lγt avec 1 +1

q=

1

γ+

2

q·

On en déduit que γ = q′, et donc

‖TT ?g‖LqtLrx .∥∥∥ 1

|t|2q

‖g(t, ·)‖Lr′x∥∥∥L

2qt

. ‖g‖Lr′t L

q′x,

puis, grâce au lemme TT ? :

‖T‖2L(H;B) = ‖T ?‖2L(B′;H) = ‖TT ?‖L(B′;B) <∞ (4.18)

ce qui conclut la démonstration de l’estimation homogène (4.14) dans le cas 2 < q <∞.Mais on notera que si q = ∞ alors r = 2, et donc l’inégalité à démontrer est juste uneconséquence de la conservation de la norme L2 par le groupe de Schrödinger.Etape 4. Estimation inhomogène. La démonstration de l’estimation inhomogène (4.16)dans le cas d’une même paire (q1, r1) = (q2, r2) = (q, r) est similaire à l’étape 3 car laformule (4.4) avec u0 = 0 n’est autre que TT ∗ avec intégration restreinte à l’intervalle[0, t]. En effet, on remarquera que la solution v du problème inhomogène (4.15) vérifie

v(t, ·) = −i∫Rχ(t, t′)S(t− t′)f(t′, ·) dt′

avec

χ(t, t′)déf=

1 si 0 ≤ t′ ≤ t ou t ≤ t′ ≤ 0,

0 sinon.

Comme la fonction χ est bornée par 1, on peut écrire

‖v(t, ·)‖Lrx ≤∫ t

0‖S(t− t′)f(t′, ·)‖Lrx ds

et donc comme précédemment les inégalités de dispersion ponctuelle et de Hardy-Little-wood-Sobolev assurent que

‖v‖LqtLrx .

∥∥∥∥∫ t

0

1

|t− t′|2q

‖f(t, ·)‖Lr′x dt′∥∥∥∥Lqt

.

∥∥∥∥ 1

|t|2q

? ‖f(t, ·)‖Lr′x

∥∥∥∥Lqt

. ‖f‖Lq′t L

r′x.

Montrons maintenant que‖v‖L∞t L2

x. ‖f‖

Lq′2t L

r′2x

. (4.19)

Pour ce faire, on utilise la structure de groupe de S(t) qui donne que

v(t, ·) = −i∫Rχ(t, t′)S(t− t′)f(t′, ·) dt′ = −iS(t)

∫Rχ(t, t′)S(−t′)f(t′, ·) dt′

= −iS(t)T ? (χ(t, ·)f)

et donc en utilisant la conservation L2 pour S(t) et l’estimation homogène (4.18) pourT ?, on obtient pour tout t ∈ R, si (q2, r2) est admissible,

‖v(t, ·)‖L2x

= ‖T ∗ (χ(t, ·)f) ‖L2x

. ‖χ(t, ·)f‖Lq′2t L

r′2x

. ‖f‖Lq′2t L

r′2x

,

d’où (4.19).

82

L’application linéaire U : f 7→ v est donc bornée de Lq′2t L

r′2x dans L∞t L2

x ∩ Lq2t L

r2x . En

vertu du théorème d’interpolation de Riesz-Thorin généralisé (cf Théorème 2.2.2), cetopérateur est donc aussi borné de Lq

′2t L

r′2x dans Lq1t Lr1x pour toutes paires strictement

admissibles (q1, r1) et (q2, r2) telles que q2 ≤ q1 ≤ +∞ .Le cas q2 ≥ q1 s’en déduit par dualité. Plus précisément, si l’on parvient à démontrerque

U est bornée de L1tL

2x dans Lq1t L

r1x (4.20)

pour tout (q1, r1) strictement admissible, alors sachant que U est aussi continu de Lq′1t L

r′1x

dans Lq1t Lr1x , on aura (4.16) pour toutes paires strictement admissibles (q1, r1) et (q2, r2)telles que q1 ≤ q2 ≤ +∞ .

Pour démontrer (4.20), on écrit (généralisation évidente du lemme 2.1.1) :

‖v‖Lq1t Lr1x = sup‖φ‖

Lq′1t L

r′1x

≤1

∣∣∣∣∫R×Rd

v φ dx dt

∣∣∣∣.Par densité, on peut se limiter aux fonctions φ régulières et à décroissance rapide. Enprenant v = Uf et en utilisant la définition de U, il vient donc∫

R×Rdv φ dx dt =

∫R×Rd

∫ t

0S(t− t′) f(t′) φ(t) dt′ dt dx

=

∫R

∫ t

0

(S(t)S(−t′)f(t′)|φ(t)

)L2(Rd)

dt′ dt

=

∫R

(S(−t′)f(t′)

∣∣∣ ∫RS(−t)χ(t, t′)φ(t) dt

)dt′

avec χ définie plus haut. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur L2(Rd), on conclut doncque ∣∣∣∣∫

R

∫Rdv φ dx dt

∣∣∣∣ ≤ ∫R‖S(−t′)f(t′)‖L2(Rd) ‖T ∗(χ(·, t′)φ)‖L2(Rd) dt

′.

Or T : L2 → Lq1t Lr1x implique T ∗ : L

q′1t L

r′1x → L2. Donc, pour tout t′ ∈ R,

‖T ∗(χ(·, t′)φ)‖L2(Rd) . ‖χ(·, t′)φ‖Lq′1t L

r′1x

≤ ‖φ‖Lq′1t L

r′1x

,

et l’on a donc, vu que S(−t′) est unitaire sur L2(Rd),∣∣∣∣∫R

∫Rdv φ dx dt

∣∣∣∣ . ‖f‖L1tL

2x‖φ‖

Lq′1t L

r′1x

.

Ceci conclut la démonstration du Théorème 4.2 pour les couples strictement admissibles.

Les cas limites q = 2 et r = 2d/(d − 2) avec d ≥ 3 sont beaucoup plus délicats (voirl’article original [20], ou [2] pour une démonstration un peu différente reposant sur unedécomposition atomique analogue à celle du Chapitre 2).

4.3 Décroissance locale de l’énergie dans les espaces à poids

Si l’estimation de dispersion ponctuelle (4.8) est optimale au sens des normes utiliséesde part et d’autre de l’inégalité, rien n’empêche a priori que des données plus régulières en-gendrent une décroissance plus rapide. A nouveau la nature des espaces fonctionnels en jeu est

83

essentielle, et il existe un nombre très important d’estimations dont la pertinence dépend duproblème considéré. Dans cette section, nous présentons une algèbre très simple, et spécifiqueau groupe de Schrödinger qui permet de comprendre la structure en temps long d’une solutionde l’équation de Schrödinger linéaire (4.1) dans l’espace à poids

Σdéf=u ∈ H1 : xu ∈ L2

· (4.21)

Dans toute cette section, nous admettrons le résultat classique suivant (démontré par exempledans le livre de T. Cazenave [7]) :

Théorème 4.3.1. Le groupe S(t) de l’équation de Schrödinger linéaire (4.1) est fortementcontinu sur Σ.

Le fait algébrique fondamental qui va nous permettre de préciser le comportement dessolutions de (4.1) appartenant à Σ est l’existence d’une symétrie exceptionnelle :

Proposition (Invariance conforme). Si v est solution de (4.1) alors

u(t, x)déf=

1

(1 + t)d2

v

(t

1 + t,

x

1 + t

)ei|x|2

4(1+t) (4.22)

aussi, pour tout t 6= −1.

Dém. La vérification peut se faire par calcul direct, mais nous proposons plutôt de retrouver(4.22) par une méthode dynamique 6 qui s’avère être transposable à de nombreux pro-blèmes. Procédons à l’envers : on se donne une solution u de (4.1) et on fait le changementde variable espace-temps suivant :

u(t, x) =1

λ(t)d2

w(s, y) avecds

dt=

1

λ2(t)et y =

x

λ(t)· (4.23)

La fonction de renormalisation λ(t) est, pour l’instant, indéterminée.

En notant λs la dérivée de λ, un calcul immédiat assure :

0 = (i∂tu+ ∆u) (t, x) =1

λ2+ d2

(i∂sw − i

λsλ

[d

2w + y · ∇w

]+ ∆w

)(s, y).

Nous transformons maintenant l’équation de w en changeant d’inconnue, comme suit :

w(s, y) = v(s, y)e−ib(s)|y|2

4 avec b = −λsλ,

ce qui aboutit à l’équation renormalisée :

i∂sv + ∆v +

(bs + b2

4

)|y|2v = 0. (4.24)

La chaîne de transformations que nous venons d’effectuer va bien au-delà du miraclealgébrique, et il y aurait beaucoup à dire. Pour l’heure, nous nous contenterons d’observerque le choix du système dynamique suivant pour définir le paramètre de renormalisationλ(t) :

λsλ = −b,bs + b2 = 0,dsdt = 1

λ2,

(4.25)

6. L’analogue sur la formule en Fourier serait de "compléter le carré" dans la Gaussienne complexe.

84

assure que v vérifie aussi (4.1). Autrement dit, pour ce choix de λ, la transformation(4.23) traduit une symétrie de l’équation. Il nous reste à intégrer (4.25). On calcule(

b

λ

)s

=bsλ− bλs

λ2=bs + b2

λ= 0

et doncb = −λs

λ= −λλt = cλ.

Le choix c = −1 (i.e. λ(0) = 1 et λt(0) = 1) correspond donc à

λ(t) = 1 + t, b(t) = −λ(t) = −(1 + t)

puis

s(t) = s(0) +

∫ t

0

dτ

λ2(τ)=

t

1 + t·

Pour un choix convenable de s(0), c’est bien la formule (4.22).

Une conséquence spectaculaire de l’invariance conforme est la description dans l’espacephysique de la dispersion du paquet d’ondes :

Proposition (Dispersion dans Σ). Soit u0 ∈ Σ et u la solution correspondante de (4.1)donnée par le théorème 4.3.1. Alors il existe u∗ ∈ Σ tel que∥∥∥∥∥u(t, ·)− 1

|t|d2

(u∗eit

|y|24

)( ·t

)∥∥∥∥∥H1

−→ 0 quand s→ +∞. (4.26)

Dém. Définissons v par (4.22). Alors v vérifie (4.1) et

s(t) =t

1 + t→ 1 quand t→ +∞.

Donc par continuité H1 du groupe S(t), on obtient

v(s, y)→ v(1, y) dans Σ quand t→ 1,

et (4.26) s’ensuit par un calcul explicite.

En d’autres termes, l’étalement du paquet d’ondes par dispersion dû à la séparation fréquen-tielle se traduit dans l’espace physique par un profil qui s’étale à une vitesse universelle λ(t) ∼ tmodulo une oscillation quadratique qui se factorise explicitement -un miracle algébrique-. Undeuxième corollaire est la vitesse de décroissance de l’énergie dans des espaces à poids :

Proposition (Décroissance locale de l’énergie dans les espaces à poids). Pour s ≥ 0, définis-sons le multiplicateur de Fourier |D|s par

F(|D|sv)déf= |ξ|sFv.

Alors pour toute solution u de (4.1) dans C1(R;S), on a :

∥∥∥∥|D|s(ue−i |x|24(1+t)

)∥∥∥∥L2

≤ Cs

∥∥∥∥|D|s(ue−i |x|24 )∥∥∥∥L2

(1 + t)s· (4.27)

85

Dém. Considérons à nouveau (4.22). Alors comme v est solution de (4.1), la conservationdes semi-normes ‖ · ‖Hs par le groupe S(t) et le fait que

‖|D|sz(λ−1·)‖L2 = ‖z(λ−1·)‖Hs = λd2−s‖z‖Hs = λ

d2−s‖|D|sz‖L2

impliquent ∥∥∥∥|D|s(ue−i |x|24(1+t)

)∥∥∥∥L2

=1

(1 + t)s

∥∥∥∥|D|sv( t

1 + t, ·)∥∥∥∥

L2

=1

(1 + t)s‖|D|sv (0, ·)‖L2 .

Il ne reste plus qu’à remplacer v(0, ·) par sa valeur pour conclure.

Remarque. En combinant la proposition ci-dessus avec l’estimation de Gagliardo-Nirenbergsuivante (proposée dans l’exercice 3.10) :

‖U‖L∞ . ‖|D|sU‖d2s

L2‖U‖1− d

2s

L2

avec U = ue−i |x|

2

4(1+t) , on retrouve les inégalités de dispersion (4.7), mais avec une normedifférente sur la donnée initiale.

Comparée à (4.7), l’estimation (4.27) exprime une décroissance locale de l’énergie accéléréepour les normes Sobolev d’ordre supérieur, modulo une phase quadratique 7, mais au prixde contrôles plus exigeants sur la donnée initiale. La pertinence de ces estimations dépenddu contexte, et l’analyse non linéaire consiste très largement à combiner ces estimations demanière souvent non triviale. Pour l’équation de Schrödinger, l’estimation (4.27) est un exemplecanonique de la "méthode des champs de vecteurs" de Klainerman : on démontre une estimationde décroissance via une estimation d’énergie sur une déformation bien choisie de la solution, uneidée dont les ramifications -notamment pour les ondes non linéaires et les équations d’Einsteinde la relativité générale- sont extrêmement profondes. Le lecteur motivé pourra consulter [8].

4.4 Exercices

Exercice 4.1 (Dispersion pour l’équation de transport linéaire). On considère l’équation ditede transport décrivant l’évolution de la densité microscopique f(t, x, v) ∈ R+ de particuleslibres se trouvant en x ∈ Rd à vitesse v ∈ Rd au temps t ∈ R :

(T )

∂tf + v · ∇xf = 0,

f|t=0 = f0.

(i) Dans le cas où f0 = f0(x, v) est une fonction différentiable, calculer l’unique solutiondifférentiable de (T ).

(ii) Si f0 est de plus intégrable, montrer que la masse totale∫Rd×Rd

f(t, x, v) dx dv,

est conservée durant l’évolution.

7. rappelons que seules les normes de Sobolev sont conservées.

86

(iii) On définit la densité macroscopique :

ρ(t, x)déf=

∫Rdf(t, x, v) dv.

Montrer que

‖ρ(t, ·)‖L∞ ≤1

|t|d‖ sup

v′f0(·, v′)‖L1 pour tout t 6= 0.

Exercice 4.2 (Equation des ondes). On s’intéresse à l’équation des ondes suivante :

(W )

2u = 0

(u, ∂tu)|t=0 = (u0, u1)

avec 2déf= ∂2

t − ∆ et où la fonction inconnue u = u(t, x) est à valeurs réelles et dépendde (t, x) ∈ R× Rd.(i) Si d = 1 et si les données u0 et u1 sont respectivement C2 et C1, vérifier que toute

solution C2 est donnée par la formule de d’Alembert :

u(t, x) =1

2

(u0(x+ t) + u0(x− t) +

∫ x+t

x−tu1(y) dy

).

Que peut-on dire du phénomène de dispersion dans ce cas-là ?(ii) Si d = 3, on rappelle (voir [17]) que la solution est donnée par

u(t, x) =1

4π

(1

t

∫S(x,t)

u1(σ) dσ +d

dt

(1

t

∫S(x,t)

u0(σ) dσ

))où S(x, t) désigne la sphère de centre x et de rayon t.

En déduire que dans le cas u0 ≡ 0 (pour simplifier), on a

‖u(t)‖L∞ .‖∇u1‖L1

|t|+‖u1‖L1

t2,

et comparer avec l’estimation de dispersion ponctuelle pour Schrödinger.

Exercice 4.3. EXERCICE A CREER SUR LA REMARQUE CONCERNANT LA GAUS-SIENNE COMPLEXE.

Exercice 4.4 (Intégrales oscillantes). Soit a une fonction C∞ à support compact dans R etΦ une fonction de classe C2 telle que pour un nombre c0 > 0 on ait

∀x ∈ Supp a, Φ′′(x) ≥ c0.

Pour tout t ∈ R, on définit l’intégrale oscillante I(t) par

I(t)déf=

∫ReitΦ(x)a(x) dx.

Pour t 6= 0, on définit l’opérateur différentiel Lt agissant sur toute fonction dérivable b par laformule

Ltb(x)déf=

1

1 + t(Φ′(x))2

(b(x)− iΦ′(x)b′(x)).

87

(i) À l’aide de Lt, montrer que I(t) = I1(t) + I2(t) avec

I1(t)déf=

∫eitΦ(x) iΦ′(x)

1 + t(Φ′(x))2a′(x) dx et

I2(t)déf=

∫eitΦ(x)

1 + t(Φ′(x))2

(1 + iΦ′′(x)− 2i

t(Φ′(x))2Φ′′(x)

1 + t(Φ′(x))2

)a(x) dx.

(ii) En remarquant que pour x ∈ Supp a, on a

1

1 + t(Φ′(x))2≤ 1

c0

Φ′′(x)

1 + t(Φ′(x))2,

montrer que

|I2(t)| ≤ π

2

(1

c0+ 3

)1

|t|12

‖a′‖L1(R).

(iii) En déduire l’existence d’une constante C0 ne dépendant que de c0 et telle que

|I(t)| ≤ C0

|t|12

‖a′‖L1 ·

(iv) Application : On considère l’équation d’Airy (linéarisé de KdV)

∂tu+ ∂3xxxu = 0

avec une donnée initiale u0 intégrable et à transformée de Fourier supportée dans

[−2,−1/2] ∪ [1/2, 2].

(a) Vérifier que la norme L2 de la solution est conservée puis, en écrivant que u(t) =kt ? u0 pour une fonction kt adéquate, montrer que

‖u(t)‖L∞ ≤ C|t|−12 ‖u0‖L1 .

Indication : pour faire le lien avec la question précédente, utiliser le fait que si ϕ estune fonction régulière à support dans 1

3 ≤ |ξ| ≤ 3 et valant 1 sur 12 ≤ |ξ| ≤ 2

alors on a u0 = ϕu0.

(b) Quelle estimation de type Lp–Lp′ obtient-on si u0 est supportée dans l’ensemble[−2λ,−λ/2] ∪ [λ/2, 2λ] ?

88

Chapitre 5

Résolution locale et globale duproblème de Cauchy

Le but de ce chapitre est de résoudre localement ou globalement en temps le problème deCauchy associé à l’équation de Schrödinger non linéaire suivante :

i∂tu+ ∆u+ εu|u|p−1 = 0, (t, x) ∈ [0, T [×Rd,u(0, x) = u0(x),

(5.1)

où p est un entier strictement positif donné, et ε ∈ −1, 1 dicte la nature de la non linéarité :focalisante pour ε = 1 , défocalisante pour ε = −1 .

La problèmatique est la même que pour les EDO : la connaissance de u0 permet-elle dedéterminer u de façon unique sur un petit intervalle de temps ou, éventuellement, pour touttemps, et la nature de la non linéarité (focalisante ou défocalisante) est-elle déterminante pourl’existence globale ou l’explosion en temps fini ?

Si l’on voit la solution cherchée u comme une fonction de t à valeurs dans un espace deBanach X de dimension infinie, une première difficulté, propre aux EDP, est que le choix deX n’est pas imposé a priori, et conditionne la réponse à la question.

Dans ce chapitre, nous verrons que les estimations de Strichartz fournissent un cadre fonc-tionnel adapté pour résoudre (5.1). Nous montrerons d’abord que ces estimations permettentd’obtenir des solutions locales et un “critère d’explosion”, puis que les lois de conservation as-sociées à l’équation donnent de plus l’existence globale ou l’explosion en temps fini, suivant lataille de la donnée et la nature de la non linéarité.

Pour simplifier la présentation, nous nous concentrerons sur l’évolution pour les tempspositifs. Les résultats obtenus s’étendent sans aucune difficulté supplémentaire aux temps né-gatifs 1.

5.1 Le problème de Cauchy local

Le résultat principal de cette section est un théorème de type Cauchy-Lipschitz pour l’équa-tion (5.1) vue comme une EDO autonome sur l’espace de Sobolev H1. Ce choix d’espace fonc-tionnel est dicté par la nature des lois de conservation associées à (5.1), comme nous le verronsdans les sections suivantes.

1. En remarquant par exemple que si u est solution de (5.1) de donnée u0 , alors v(t, x) = u(−t, x) est lasolution de donnée v0 = u0 pour t < 0 .

89

Théorème 5.1.1 (Résolution locale du problème de Cauchy). Soit d ≥ 1 et u0 ∈ H1(Rd).Supposons que l’entier p vérifie

1 0 tel que le problème de Cauchy (5.1) admette une unique solutionmaximale u dans l’espace C([0, T [;H1). En outre, il existe deux constantes strictement positivesC et α ne dépendant que de p et de d et telles que

T ≥ C‖u0‖−αH1 .

Enfin, on a la critère d’explosion :

T < +∞ implique limtT‖u(t)‖H1 = +∞. (5.3)

En d’autres termes, pour des non linéarités pas trop fortes (c’est ce que traduit l’hypothèse(5.2)), le problème de Cauchy est localement bien posé au sens classique des EDO dans l’espacevectoriel normé de dimension infinie H1 , avec un critère d’explosion (5.3) qui rappelle aussile critère classique de sortie de tout compact. La théorie locale ne dépend pas de la nature(focalisante ou défocalisante) de la non linéarité.

La démonstration générale du Théorème 5.1.1 est donnée dans [7]. Elle nécessite l’utilisationde toute la gamme des couples de Strichartz admissibles, ce qui la rend assez technique, et doncplutôt rébarbative en première lecture. Pour simplifier la présentation, nous nous limitons ici aucas école 2 d = 2 et p = 3, sachant que le cas général repose sur des arguments complètementsimilaires 3.

5.1.1 Contraction à la Picard

Le principe de la démonstration, dû à Ginibre et Velo [16], est remarquablement élémentaireet robuste. Il repose avant tout, comme le théorème de Cauchy-Lipschitz classique, sur lethéorème du point fixe de Picard, une fois trouvé un espace de Banach convenable pour sonimplémentation. On remarquera en effet que, grâce à la formule de Duhamel, pour résoudre(5.1), il suffit de trouver un point fixe pour l’application Φ définie (formellement pour l’instant)par

Φ(u)(t, x) = S(t)u0(x) + iε

∫ t

0S(t− s)

(u(s, x)|u(s, x)|2

)ds. (5.4)

Toute la difficulté est d’exhiber un espace complet sur lequel Φ soit définie et strictementcontractante, sachant que H1 n’est pas une algèbre en dimension d = 2, et que le fait queu(t) soit dans H1 n’assure donc pas a priori que la non linéarité u(t)|u(t)|2 soit aussi dansH1. Le choix de l’espace de résolution sera guidé par les estimations de Strichartz qui, commesouligné au chapitre 4, donnent un gain d’intégrabilité par rapport aux injections de Sobolev.

Pour alléger la présentation, nous noterons dans la suite

‖u‖LpTLqxdéf=

(∫ T

0‖u(t, ·)‖pLq dt

) 1p

pour T > 0.

2. et physiquement pertinent3. Voir aussi l’Exercice 5.1 pour une démonstration simplifiée dans le cas d = 1

90

Plus généralement, pour E espace de Banach, nous ferons appel à la notation

‖u‖LpTEdéf=

(∫ T

0‖u(t)‖pE dt

) 1p

.

A partir de l’inégalité de Hölder classique (cf Chapitre 2), on obtient aisément l’inégalitéde Hölder généralisée suivante :∥∥∥∥ r∏

j=1

uj

∥∥∥∥LpTL

qx

≤r∏j=1

‖uj‖LpjT Lqjx

(5.5)

avec1

p=

r∑j=1

1

p j,

1

q=

r∑j=1

1

q j, 1 ≤ p, q, pj , qj ≤ +∞.

En dimension d = 2 , les paires(∞, 2) et (3, 6)

sont admissibles, et nous verrons que la norme de Lebesgue espace-temps suivante :

‖u‖ST = max‖u‖L∞T L2x, ‖u‖L3

TL6x, (5.6)

joue un rôle important.Plus précisément, on introduit l’espace de Banach espace-temps suivant :

XT = u : ‖u‖XT = ‖u‖ST + ‖∇u‖ST < +∞ avec ∇ déf= ∇x = (∂x1 , · · · , ∂xd).

La clé du théorème 5.1.1 réside dans la proposition suivante :

Proposition 5.1.1 (Contractivité de Φ en temps petit). Il existe des constantes universellesC1, C2 > 1 telles que pour tout u0 ∈ H1 , si

0 < T <C1

‖u0‖3H1

et BT = u ∈ XT : ‖u‖XT ≤ C2‖u0‖H1, (5.7)

alors Φ : BT → BT est strictement contractante.

Dém. Montrons d’abord que Φ est strictement contractante sur BT pour T suffisammentpetit, c’est-à-dire :

∃k < 1 t.q. ∀(u, v) ∈ BT ×BT , ‖Φ(u)− Φ(v)‖XT ≤ k‖u− v‖XT .

En effet,

Φ(u)(t)− Φ(v)(t) = iε

∫ t

0S(t− s)

(u(s, x)|u(s, x)|2 − v(s, x)|v(s, x)|2

)ds,

et donc les estimations de Strichartz inhomogènes et l’inégalité de Hölder généralisée(5.5) avec (p, p1, p2) = (1, 3, 3/2) et (q, q1, q2) = (2, 3, 6) assurent :

‖Φ(u)− Φ(v)‖ST . ‖u|u|2 − v|v|2‖L1TL

2x

. ‖(u− v)(|u|2 + |v|2)‖L1TL

2x

. ‖u− v‖L3TL

6x

(‖u‖2L3

TL6x

+ ‖v‖2L3TL

6x

).

91

Prenons maintenant une dérivée de Φ(u) . Notons que S(t) et ∇ commutent donc

(∇Φ(u)) (t, x) = S(t)(∇u0(x)) + i

∫ t

0S(t− s)

[∇(u(s, x)|u(s, x)|2)

]ds,

et donc à nouveau les inégalités de Strichartz inhomogène et de Hölder (5.5) avec(p, p1, p2, p3) = (1, 3, 3, 3) et (q, q1, q2, q3) = (2, 6, 6, 6) assurent :

‖∇Φ(u)−∇Φ(v)‖ST . ‖∇(u|u|2)−∇(v|v|2)‖L1TL

2x

. ‖|∇(u− v)|(|u|2+|v|2)‖L1TL

2x+‖|u− v|(|∇u|+|∇v|)(|u|+|v|)‖L1

TL2x

. ‖∇(u− v)‖L3TL

6x

(‖u‖2L3

TL6x

+ ‖v‖2L3TL

6x

)+‖u− v‖L3

TL6x

(‖∇u‖L3

TL6x

+ ‖∇v‖L3TL

6x

)(‖u‖L3

TL6x+‖v‖L3

TL6x

).

On en déduit donc avec (5.8) l’estimation :

‖Φ(u)− Φ(v)‖XT . ‖u− v‖XT(‖(u,∇u)‖L3

TL6x

+ ‖(v,∇v)‖L3TL

6x

) (‖u‖L3

TL6x

+ ‖v‖L3TL

6x

). (5.8)

L’observation fondamentale est maintenant le caractère “sous-critique” de cette estima-tion 4. Cela va nous permettre de montrer que Φ est une contraction dans BT pour untemps T = T (‖u0‖H1) assez petit. En effet, par injection de Sobolev en dimension d = 2,on a

‖u‖Lp . ‖u‖H1 ∀p ∈ [2,+∞[.

Donc‖u‖L3

TL6x. ‖u‖L3

TH1x. T

13 ‖u‖L∞T H1

x. T

13 ‖u‖XT . (5.9)

On en déduit avec (5.8) qu’il existe une constante universelle c1 > 0 telle que :

∀(u, v) ∈ XT ×XT , ‖Φ(u)− Φ(v)‖XT ≤ c1T23(‖u‖2XT + ‖v‖2XT

)‖u− v‖XT . (5.10)

Reste à démontrer que Φ envoie BT dans BT si T est assez petit. Pour cela, on appliquel’inégalité (5.10) avec u, et v ≡ 0. Comme, grâce à l’inégalité de Strichartz homogène,on peut écrire

‖Φ(0)‖XT = ‖eit∆u0‖XT . ‖u0‖H1 ,

on conclut qu’il existe c2 > 0 universelle telle que

∀u ∈ XT , ‖Φ(u)‖XT ≤ c2‖u0‖H1 + c2T23 ‖u‖3XT .

Choisissons alorsC2 = 2c2

dans (5.7), et soit u0 ∈ BT . Alors

‖Φ(u)‖XT ≤ c2

(‖u0‖H1 + 8c3

2T23 ‖u0‖3H1

)≤ 2c2‖u0‖H1

dès que

8c32T

23 ‖u0‖2H1 ≤ 1 i.e. T ≤

(1

8c32‖u0‖2H1

) 32

. (5.11)

4. qui dans le cas général serait lié à l’hypothèse (5.2)

92

Pour un tel T la boule fermée BT est donc stable par Φ , et maintenant grâce à (5.10),Φ est lipschitzienne sur BT de rapport

k ≤ 2c1T23C2

2‖u0‖2H1 < 1 pour T <

(1

2c1C22‖u0‖2H1

) 32

.

Ceci conclut la preuve de la Proposition 5.1.1.

5.1.2 Démonstration du Théorème 5.1.1

Passons maintenant à la démonstration du Théorème 5.1.1.

Dém. Etape 1. Existence et régularité d’une solution. Soit u0 ∈ H1 , soit C1, C2 donnéespar la proposition 5.1.1 et

T =C1

2‖u0‖3H1

,

alors le théorème de Picard 5dans l’espace métrique complet (BT , ‖ · ‖XT ) assure que Φadmet un unique point fixe u dans BT . Montrons que, de plus,

u ∈ C([0, T ];H1). (5.12)

En effet, soit v ∈ C([0, T ];H1). Alors en utilisant la représentation explicite côté Fourier(cf (4.6)), on montre facilement que

S(t)v ∈ C([0, T ];H1).

Or la formule de Duhamel se réécrit via la propriété de groupe de S(t) :

u = Φ(u) = S(t) [u0 + iεΦ1(u)(t)] avec Φ1(u)(t) =

∫ t

0S(−s)(u(s)|u(s)|2) ds.

Donc il nous suffit de vérifier que

u ∈ XT implique Φ1(u) ∈ C([0, T ];H1). (5.13)

Or le groupe S(t) étant isométrique sur L2 , on estime grâce à l’injection continue de H1

dans L6 et l’inégalité de Hölder :

‖Φ1(u)(t′)− Φ1(u)(t)‖L2x

=∥∥∥∫ t′

tS(−s)(u(s)|u(s)|2) ds

∥∥∥L2x

≤∫ t′

t‖u|u|2(s)‖L2

xds

. |t− t′|‖u‖3L∞T H1x. |t− t′|‖u‖3XT ,

et de même en appliquant une dérivée en espace :

‖∇Φ1(u)(t′)−∇Φ1(u)(t))‖L2x

.∫ t′

t‖∇(u|u|2)(s)‖L2

xds .

∫ t′

t‖∇u(s)‖L6

x‖u(s)‖2L6

xds

. |t− t′|23 ‖u‖2L∞T H1

x‖∇u‖L3

TL6x. |t− t′|

23 ‖u‖3XT ,

ce qui conclut la preuve de (5.13) 6, et donc de (5.12).

5. voir [18].6. On voit ici que la régularité temporelle de la fluctuation Φ1(u) est bien meilleure que celle de S(t)u0

(elle est höldérienne d’exposant 2/3). Ce fait remarquable est une conséquence du caractère sous-critique duproblème étudié.

93

Etape 2. Unicité et critère d’explosion. Soit u donnée par l’étape 1 qui est donc unesolution u ∈ C([0, T ];H1) du problème de Cauchy (5.1). Soit v ∈ C([0, T ];H1) une autresolution. Notons M une borne commune pour ‖u‖L∞T H1

xet ‖v‖L∞T H1

x.

Les hypothèses assurent que v|v|2 ∈ L1TL

2x par injection de Sobolev et inégalité de Hölder,

et donc la Proposition 4.1.2 donne que

v = Φ(v).

Or v ∈ L∞T H1x ⊂ L3

TL6x toujours par injection de Sobolev. Donc par (5.8) et (5.9), on a

pour tout T0 ∈]0, T ],

‖u− v‖L3T0L6x

= ‖Φ(u)− Φ(v)‖L3T0L6x

. ‖u− v‖L3T0L6x

(‖u‖2L3

T0L6x

+ ‖v‖2L3T0L6x

). T

23

0 ‖u− v‖L3T0L6x

(‖u‖2L∞T0H1

x+ ‖v‖2L∞T0H1

x

). T

23

0 M2‖u− v‖L3

T0L6x.

Cette dernière inégalité montre qu’il existe une constante universelle c > 0 telle que

‖u− v‖L3T0L6x≤ 1

2‖u− v‖L3

T0L6x

avec T0déf= min

(c

M3, T

)·

En conséquence u = v sur [0, T0]. Etant donné que T0 ne dépend que d’une borne H1

des deux solutions sur l’intervalle entier [0, T ], on peut reprendre le raisonnement à partirde T0, et obtenir l’unicité sur [T0, 2T0], et ainsi de suite. On en conclut que l’on a bienunicité sur [0, T ].

Montrons finalement le critère d’explosion (5.3). Soit donc u ∈ C([0, T [;H1) une solutionmaximale telle que T < +∞. Supposons par l’absurde qu’il existe M ≥ 0 fini tel que

∀t ∈ [0, T [, ‖u(t)‖H1 ≤M. (5.14)

Alors, par (5.7), pour tout t0 ∈ [0, T [, on peut construire une solution de (5.1) avecdonnée u(t0) en t = t0 sur un intervalle de temps de longueur égale à CM−3 avecC constante universelle (voir (5.11)). Si l’on prend t0 tel que T − t0 < CM−3 alors onobtient ainsi une nouvelle solution définie au-delà du temps T et qui, en vertu du résultatd’unicité, coïncide avec u sur [0, T [. Cela contredit la maximalité de u. Donc (5.14) estfausse.

5.2 Lois de conservation et existence globale

Dans cette section, nous cherchons à déterminer des conditions sous lesquelles les solutionslocales données par le théorème 5.1.1 sont en fait globales en temps. Remarquons tout d’abordque la démonstration de l’existence de solutions locales n’utilise pas vraiment la structurede la non linéarité. On peut en fait la remplacer sans trop de difficulté par n’importe quellefonction f(u) dès lors que f est suffisamment régulière et vérifie des hypothèses raisonnablesde croissance à l’infini. La situation est sensiblement différente quand il s’agit du problèmede l’existence globale, et notamment le signe de ε (non linéarité focalisante ou défocalisante)s’avère déterminant.

94

L’objet de cette section est de montrer que la structure algébrique particulière de la nonlinéarité u|u|p−1 lorsqu’elle est sous-critique permet d’obtenir un résultat optimal et remar-quable d’existence globale.

5.2.1 Symétries et lois de conservation

Nous décrivons dans cette section deux faits de structure fondamentaux : l’existence desymétries et de lois de conservation, les deux étant d’ailleurs intimement liés. Commençonspar les symétries. La proposition suivante résulte d’un calcul explicite :

Proposition 5.2.1 (Symétries de (NLS)). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution duproblème de Cauchy (5.1.1). Alors les transformations suivantes de la donnée initiale induisentles transformations de la solution données par :

– Scaling : ∀λ > 0 , λ2p−1u0(λx) ; λ

2p−1u(λ2t, λx) ;

– Translation : ∀x0 ∈ Rd , u0(x+ x0) ; u(t, x+ x0) ;– Phase : ∀γ ∈ R , u0(x)eiγ ; u(t, x)eiγ ;– Galilée : ∀β ∈ R , u0(x)eiβ·x ; u(t, x− 2βt)eiβ·(x−βt) ;

L’invariance d’échelle joue un rôle fondamental dans la description du comportement entemps grand des solutions ou de leur explosion éventuelle. Elle permet notamment de calculerle scaling de l’équation sur lequel repose le critère d’existence globale.

Définition (Paramètre de scaling). Le scaling associé à (5.1) est l’exposant sc tel que le chan-gement d’échelle u(t, x) ; uλ(t, x)

déf= λ

2p−1u(λ2t, λx) laisse invariante la norme de Sobolev

homogène Hsc , soit :‖uλ(t, ·)‖Hsc = ‖u(λ2t, ·)‖Hsc .

Explicitement 7,

sc =d

2− 2

p− 1· (5.15)

On dit alors que (5.1) est Hsc critique.

Exemple. Prenons p = 3 . Alors pour d = 2 , on a sc = 0 , et l’on dit que l’équation estL2–critique. En revanche sc = −1

2 pour d = 1 , et l’équation est dite L2–sous-critique carl’espace critique H−

12 est “sous” L2 dans l’échelle des espaces de Sobolev. Enfin, sc = 1

2 pourd = 3. Donc l’équation est H

12 critique, et L2–sur-critique. Nous verrons que cette terminologie

correspond à un changement de comportement drastique des solutions (voir théorème 5.2.1) 8.

Parallèlement, l’équation (5.1) admet trois lois de conservation liées à sa structure hamil-tonienne.

Proposition 5.2.2 (Lois de conservation). Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution duproblème de Cauchy (5.1). Alors on a pour tout t ∈ [0, T [ :(i) Conservation de la masse :∫

Rd|u(t, x)|2 dx =

∫Rd|u0(x)|2 dx. (5.16)

7. Le calcul est élémentaire en passant en Fourier, et laissé au lecteur.8. Schématiquement, et c’est un fait général pour les EDP d’évolution possédant un scaling, il n’est pas

possible de résoudre le problème de Cauchy par point fixe de Picard dans le cas sur-critique, et il est “facile”de le faire dans le cas sous-critique, au moins à temps petit. La compréhension du cas critique est souventfortement liée à celle du problème de l’existence globale.

95

(ii) Conservation de l’énergie :

E(u(t))déf=

1

2

∫Rd|∇u(t, x)|2 dx− ε

p+ 1

∫Rd|u(t, x)|p+1 dx = E(u0). (5.17)

(iii) Conservation du moment cinétique 9 :

M(u(t))déf= Im

(∫Rd∇u(t, x)u(t, x) dx

)= M(u0). (5.18)

Ces trois lois de conservation sont intimement liées aux symétries de (5.1) présentées dansla proposition 5.2.1 (voir e.g. [22] ou [39] pour une discussion plus précise sur les liens entreles symétries et les invariants). Elles ont une interprétation physique claire : conservation dela probabilité de présence pour la masse totale, et du moment cinétique total pour le moment.L’énergie E(u) est la somme de l’énergie cinétique totale et de l’énergie potentielle. Dans le casε = 1, le signe − dans l’énergie potentielle est la marque du caractère focalisant de l’interactionentre l’onde et son milieu qui s’oppose à la tendance naturelle du faisceau à s’étaler.Dém. Les lois de conservation reposent sur le calcul formel suivant où toutes les intégrales

sont posées sur Rd , et pour lequel on rappelle la formule d’intégration par parties pour(u, v) ∈ H1 : ∫

∇u · ∇v dx = −∫

∆u v dx.

Faisons le calcul en supposant dans un premier temps que u est régulière et décroissanteà l’infini ainsi que toutes ses dérivées. Pour la masse :

1

2

d

dt

∫|u(t, x)|2 dx

= Re

(∫∂tu(t, x)u(t, x) dx

)= Im

(∫i∂tu(t, x)u(t, x) dx

)= − Im

(∫(∆u+ εu|u|p−1)(t, x) u(t, x)dx

)= Im

(∫|∇u(t, x)|2 dx

)= 0.

Pour l’énergie, on a

d

dtE(u) = Re

(∫∇∂tu · ∇u dx− ε

∫∂tuu|u|p−1 dx

)= −Re

(∫∂tu

[∆u+ εu|u|p−1

]dx

)= − Im

(∫i∂tu

[∆u+ εu|u|p−1

]dx

)= Im

(∫|∆u+ εu|u|p−1|2 dx

)= 0.

Pour le moment, soit 1 ≤ j ≤ d ,d

dtM(u) = Im

(∫∂2tjuu dx+

∫∂ju∂tu dx

)= −2 Im

(∫∂tu∂ju dx

)= 2 Re

(∫i∂tu∂ju dx

)= −2 Re

(∫(∆u+ εu|u|p−1) ∂ju dx

)= 0

9. Noter que M(u) est le vecteur de coordonnées Im(∫

Rd ∂ju(t, x)u(t, x) dx), 1 ≤ j ≤ d .

96

où l’on a utilisé l’intégration par parties suivante pour les fonctions nulles à l’infini :

Re

(∫∆u ∂ju dx

)= −Re

∑k 6=j

∫∂ku ∂

2jku dx

= 0.

Ces trois calculs peuvent se justifier pour u ∈ C([0, T [;H1) modulo un argument derégularisation simple mais fastidieux et qui dépasse le cadre de ce cours, le lecteur motivépouvant consulter [7].

Remarque. Nous pouvons maintenant réinterpréter la contrainte (5.2) sur la taille de p. Soitsc le paramètre de scaling associé à (5.1) :

sc =d

2− 2

p− 1·

Alors (5.2) est équivalente àsc < 1,

c’est-à-dire au fait que (5.1) soit H1–sous-critique. De manière équivalente, (5.2) se lit

p+ 1 <2d

d− 2= 2∗ où H1 → L2∗ pour d ≥ 3

et donc les inégalités de Sobolev assurent que l’énergie E(u) donnée par (5.17) est bien finiepour u ∈ H1 . Il en est de même pour les deux autres lois de conservation, et H1 est doncl’espace de régularité Sobolev minimale pour lequel les trois lois de conservation de (5.1) ont unsens, d’où l’intérêt d’avoir une théorie de Cauchy complète pour cet espace 10. On dit souventque H1 est l’espace d’énergie.

5.2.2 Un théorème d’existence globale

Nous pouvons maintenant énoncer notre théorème d’existence globale :

Théorème 5.2.1 (Existence globale). Soit d ≥ 1 et p > 1 vérifiant (5.2). Soit sc l’exposantde scaling donné par (5.15). Considérons l’un des deux cas suivants :

(i) Non linéarité défocalisante, énergie sous-critique : ε = −1 et sc < 1 ;

(ii) Non linéarité focalisante, masse sous-critique : ε = 1 et sc < 0 .

Alors pour tout u0 ∈ H1 , la solution du problème de Cauchy (5.1) donnée par le théorème5.1.1 est globale et bornée dans H1 ; plus précisément,

T = +∞ et supt∈R+

‖u(t)‖H1 ≤ C(u0)

avec C(u0) ne dépendant que de normes adéquates de la donnée initiale.

En d’autres termes, pour des non linéarités soit défocalisantes, soit suffisamment faibles(i.e. p < 1 + 4

d ), le phénomène de concentration de l’onde ne peut pas dominer la dispersiondu paquet d’ondes, et aucune explosion ne se produit.

10. Comme souligné dans l’introduction, lorsque l’on résout une EDP, l’espace de résolution n’est pas donnéa priori. Le choix d’un espace adéquat pour la résolution du problème de Cauchy est souvent une questiondélicate. En ce qui concerne (5.1) avec p = 3 et d = 2 , on peut donner sens au problème de Cauchy pouru0 ∈ L2 seulement, voir Exercice 5.2.

97

Dém. Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution maximale de (5.1) donnée par leThéorème 5.1.1. L’existence globale est une conséquence de la conservation de la masseet de l’énergie qui, couplées avec les inégalités de Sobolev, induisent une borne uniformesur ‖u(t)‖H1 , d’où la conclusion avec (5.3). Le contrôle uniforme de la norme H1 estimmédiat dans le cas défocalisant ε = −1 puisqu’alors les deux termes dans l’énergie(5.17) sont sous contrôle. Dans le cas focalisant ε = 1 l’inégalité de Gagliardo-Nirenbergdu chapitre 3 assure que

‖u‖Lp+1 ≤ C‖u‖1−σL2 ‖∇u‖σL2 avec − σ +

d

2=

d

p+ 1·

On injecte cette inégalité dans la conservation de l’énergie pour majorer l’énergie poten-tielle :

E(u0) = E(u) ≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C‖u‖(p+1)(1−σ)

L2 ‖∇u‖(p+1)σL2

≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C‖u0‖(p+1)(1−σ)

L2 ‖∇u‖(p+1)σL2 (5.19)

où l’on a utilisé la conservation de la norme L2 dans la dernière étape. On a maintenant

sc < 0 11 équivalent à (p+ 1)σ =d(p− 1)

2< 2.

Donc la fonctionx→ 1

2x2 − C‖u0‖(p+1)(1−σ)

L2 x(p+1)σ

diverge vers +∞ quand x→ +∞ , et (5.19) implique

supt∈[0,T [

‖∇u(t)‖L2 ≤ C(u0).

Comme il y a conservation de la norme L2, on conclut, quitte à augmenter C(u0) que

∀t ∈ [0, T [, ‖u(t)‖H1 ≤ C(u0).

Le critère d’explosion (5.3) assure alors que T = +∞.

5.3 Dispersion et explosion

Dans cette section, nous souhaitons préciser le résultat du Théorème 5.2.1. D’une partnous voulons trouver des exemples de données et de non linéarités pour lesquelles il n’y a pasexistence globale (on parle alors d’explosion en temps fini), et d’autre part nous allons décrirele comportement en temps long des solutions globales dans le cas défocalisant.

Il n’existe pas vraiment de méthode générale pour décrire la dynamique en temps long oul’explosion des solutions d’EDP non linéaires, et c’est d’ailleurs ce qui fait l’un des intérêts etla richesse de ce domaine des mathématiques. En fait, la plupart des résultats connus reposenttrès fortement sur des propriétés de monotonie non linéaires des équations étudiées 12. Lesexemples exposés ici sont bien représentatifs des raisonnements canoniques que l’on rencontreen analyse des EDP non linéaires.

11. C’est-à-dire p < 1 + 4d

12. comme par exemple pour la démonstration de la conjecture de Poincaré par Gr. Perelman qui repose entout premier lieu sur la dérivation d’une nouvelle fonctionnelle de Lyapounov pour le flot non linéaire de Ricci.

98

5.3.1 Identité du viriel

La formule de monotonie fondamentale pour (5.1) repose sur les identités du viriel qui fontsens dès que la solution appartient à l’espace du viriel Σ défini en (4.21).

Lemme (Identité du viriel). Soit u0 ∈ Σ et u ∈ C([0, T [; Σ) la solution correspondante de(5.1) donnée par le théorème 4.3.1. Alors on a les deux identités :

d

dt

∫|x|2|u(t, x)|2 dx = 4 Im

(∫x · ∇uu dx

)(5.20)

1

2

d

dtIm

(∫x · ∇uu dx

)=

∫|∇u|2 dx− ε

[d

2− d

p+ 1

] ∫|u|p+1 dx. (5.21)

Dém. Même s’il est possible de démontrer les deux identités par des calculs directs, nousallons ici les obtenir à partir de l’identité de Pohozaev suivante :∫

∆u

(d

2u+ x · ∇u

)dx = −

∫|∇u|2 dx, (5.22)

qui nous servira à plusieurs reprises dans les chapitres suivants.Etape 1. Identité de Pohozaev. Nous allons établir (5.22) pour u ∈ C∞c , ce qui serasuffisant pour démontrer les identités du viriel dans le cas régulier. On peut ou bienraisonner directement à coup d’intégrations par parties, ou bien utiliser des changementsd’échelles, comme proposé ici. Posons donc

uλ(x)déf= λ

d2u(λx).

Alors ∫|∇uλ|2 dx = λ2

∫|∇u|2 dx.

En dérivant cette relation par rapport à λ, et en écrivant le résultat pour λ = 1 , il vient∫∇u · ∇

(d2u+ x · ∇u

)dx =

∫|∇u|2 dx.

Une intégration par parties dans le membre de gauche donne (5.22).

Au passage, remarquons qu’en appliquant le même procédé à l’égalité∫|uλ|q dx = λ

dq2−d∫|u|q dx, q ≥ 2,

on obient l’identité

Re

∫u(d

2u+ x · ∇u

)|u|q−2 dx =

(d

2− d

q

)‖u‖qLq , (5.23)

qui servira à plusieurs reprises dans les chapitres 7 et 8.Etape 2. Viriel. Supposons que u soit régulière en espace temps et bien localisée enespace. On calcule alors en intégrant par parties :

1

2

d

dt

∫|x|2|u(t, x)|2 dx = Re

(∫|x|2∂tuu dx

)= Im

(∫|x|2i∂tuu dx

)= − Im

(∫|x|2(∆u+ εu|u|p−1)u dx

)= Im

(∫∇u · (|x|2∇u+ 2xu) dx

)= Im

(∫x · ∇uu dx

)99

et (5.20) est démontrée. Puis :

d

dtIm

(∫x · ∇uu dx

)= Im

(∫x · ∇∂tuu+ x · ∇u ∂tu dx

)= − Im

(∫∂tu

[∇ · (xu) +∇u

]dx

)= −2 Im

(∫∂tu

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)= 2 Re

(∫i∂tu

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)= −2 Re

(∫ [∆u+εu|u|p−1

] [d2u+x · ∇u

]dx

)· (5.24)

On invoque maintenant l’identité de Pohozaev (5.22) après décomposition en partiesréelles et imaginaires pour calculer :

−2 Re

(∫∆u

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)= 2 Re

(∫∇u · ∇

[d

2u+ x · ∇u

]dx

)= 2

∫|∇u|2 dx.

Le terme non linéaire de (5.24) est calculé par intégration par parties :

−2 Re

(∫εu|u|p−1

[d

2u+ x · ∇u

])dx = −2ε

[d

2− d

p+ 1

] ∫|u|p+1dx,

et (5.21) est démontrée. La démonstration des identités du viriel dans le cas général u ∈C([0, T [; Σ) repose sur des arguments d’approximation standard, mais un peu fastidieux(voir e.g. [7]).

Il y a deux conséquences simples et spectaculaires de l’identité du viriel, et apparemmentantagonistes : l’explosion en temps fini si sc ≥ 0 pour (5.1) avec ε = 1 (cas focalisant), etl’existence globale et scattering pour toute donnée dans Σ si 0 < sc < 1 dans le cas ε = −1(défocalisant).

5.3.2 Explosion en temps fini

Dans cette section, nous allons démontrer un célèbre résultat d’explosion pour (5.1), re-montant à la littérature de physique théorique russe des années 1950.

Théorème (Explosion en temps fini). Soit sc ≥ 0 pour (5.1) focalisant ε = 1. Soit

u0 ∈ Σ telle que E0 < 0. (5.25)

Alors la solution maximale correspondante u ∈ C([0, T [; Σ) de (5.1) explose en temps fini.

Remarque. Insistons tout d’abord sur le fait que ce théorème n’est pas vide : il existe desdonnées initiales vérifiant la condition (5.25). Il suffit de partir de u0 ∈ Σ non nulle quelconque,et de poser u0,λ(x)

déf= λ

d2−1u0(λx) pour λ > 0. L’énergie correspondante est :

E(u0,λ) =1

2‖∇u0‖2L2 − λαp‖u‖Lp+1 avec αp

déf= (p+ 1)

(d2− 1)− d.

L’hypothèse sc ≥ 0 assure αp < 0. En conséquence, E(u0,λ) < 0 pour λ assez proche de 0.

100

Ce théorème montre donc que la plage d’exposants pour l’existence globale du Théorème5.2.1 (correspondant à sc < 0) est optimale. Le cas école est l’équation de Schrödinger cubiqueen dimension d = 2

i∂tu+ ∆u+ u|u|2 = 0

qui a été introduite dans les années 1950 pour modéliser la focalisation d’un faisceau laser, etqui est précisément un modèle L2 critique (sc = 0).

Dém. En combinant les identités du viriel (5.20), (5.21) avec la conservation de l’énergie etl’observation que car 2(p− 1)sc = (p− 1)d− 4 ≥ 0, on obtient

1

16

d2

dt2

∫|x|2|u|2 dx =

1

2

∫|∇u|2 − 1

2

[d

2− d

p+ 1

] ∫|u|p+1 dx

= E(u)− 1

2

[d(p− 1)

2(p+ 1)− 2

p+ 1

] ∫|u|p+1 dx

= E0 −(p− 1)sc2(p+ 1)

∫|u|p+1 dx ≤ E0.

La quantité positive∫|x|2|u(t, x)|2dx est donc ‘sous’ la parabole inversée de coefficient

dominant E0 < 0, et devient donc négative en temps fini. Il ne peut donc pas y avoirexistence globale.

De façon générale, la question de l’explosion en temps fini pour les solutions d’EDP d’évo-lution non linéaires est encore très mal comprise. Dans un contexte un peu différent – celuides équations de Navier-Stokes incompressibles en mécanique des fluides, la réponse à cettequestion vaut un million de dollars... 13

Pour (5.1), l’argument du viriel est extraordinaire par sa simplicité et sa robustesse. Ilmontre notammment que non seulement l’explosion arrive, mais qu’elle se produit pour l’en-semble ouvert des données initiales telles que E0 < 0 . L’algèbre du viriel, qui fut découvertedans le cadre de l’optique non linéaire (voir [41]) est plus universelle qu’il n’y paraît, et futpar exemple utilisée pour montrer l’existence d’ondes de choc en mécanique des gaz compres-sibles, [35]. Néanmoins l’argument est instable par perturbation de l’équation, et donne trèspeu d’informations qualitatives sur la description de la singularité. L’objet de cette sectionétait précisément de donner un bref aperçu de ce thème au cœur d’une activité internationaletrès importante depuis le début du millénaire.

5.3.3 Scattering pour (5.1) défocalisant

On conclut ce chapitre par la présentation d’un résultat dit de scattering 14 qui précise leThéorème 5.2.1 d’existence globale, dans le cas défocalisant.

Proposition (Scattering dans Σ). Soit u0 ∈ Σ et u ∈ C(R; Σ) la solution globale de (5.1)donnée par le Théorème 5.2.1, dans le cas défocalisant ε = −1, avec 0 < sc < 1. Alors lasolution u se disperse en temps grand, au sens où il existe u−∞ et u+∞ dans Σ tels que

limt→±∞

‖u(t, ·)− S(t)u±∞‖L2 = 0. (5.26)

13. C’est l’un des sept problèmes du millenium proposés par la fondation Clay en 2000.14. Le terme français de diffusion est rarement employé par les mathématiciens dans ce contexte.

101

La Proposition ci-dessus donne une description complète du système dynamique en tempslong : le paquet d’ondes se disperse et tend localement en espace vers zéro, de sorte qu’asymp-totiquement en temps long le terme non linéaire devient négligeable et le flot est attiré parune dynamique linéaire. A toute donnée initiale u0 , on peut associer l’unique donnée ditede scattering u±∞ , et l’application u−∞ 7→ u+∞ est appelée opérateur d’ondes. C’est l’ob-jet fondamental de mesure physique qui quantifie l’effet de la non linéarité sur un systèmeasymptotiquement libre 15.Remarque. La Proposition ci-dessus ne couvre pas la plage d’exposants sc < 0 du Théorème5.2.1. La résulat reste valable pour une plage p∗ < p ≤ 1 + 4

d , mais la démonstration secomplique, et des contre-exemples existent pour p < p∗ , on parle de ‘scattering modifié’.

Dém. Afin de ne mettre en jeu que des estimations de Strichartz ‘simples’, nous nous limitonsau cas d ≥ 3. La démarche générale est la même en dimension d = 1, 2.

Etape 1. Décroissance ponctuelle. Considérons la quantité

F (t)déf=

∫|xu+ 2it∇u|2dx+

8t2

p+ 1

∫|u|p+1dx.

Alors en développant :

F (t) =

∫|x|2|u|2dx− 4t Im

(∫x · ∇uu dx

)+ 8t2E(u0)

et donc en utilisant les identités de viriel (5.20), (5.21) avec ε = −1 :

dF

dt= − 4t

p+ 1[d(p− 1)− 4]

∫|u|p+1 dx ≤ 0. (5.27)

En outre, soit v(t, x) = e−i|x|24t u(t, x), alors un calcul direct assure

F (t) = 8t2E(v)

et donc par la monotonie (5.27) :

t2E(v) ≤ F (0) = ‖xu0‖2L2 i.e. 4t2‖∇v(t)‖2L2 ≤ ‖xu0‖2L2 . (5.28)

Soit2 ≤ r ≤ 2d

d− 2·

Nous transformons maintenant l’estimation de décroissance (5.28) en utilisant l’inégalitéde Gagliardo-Nirenberg :

‖v‖Lr ≤ cr,d‖∇v‖αL2‖v‖1−αL2 avec α =d

2− d

r·

Donc en utilisant la conservation de la masse, il vient

‖u(t)‖Lr = ‖v(t)‖Lr . C(u0)‖∇v(t)‖d2− dr

L2 .C(u0)

td2− dr

·

C’est la version non linéaire de l’inégalité de dispersion ponctuelle (4.7).Etape 2. Contrôle d’une norme Strichartz.Nous renvoyons le lecteur à [7].

15. Cette application est l’identité si le flot est linéaire.

102

5.4 Exercices

Exercice 5.1 (Le problème de Cauchy (5.1) en dimension d = 1).

(i) Dans cette question, on suppose la non linéarité quelconque (p ∈ N \ 0, 1), et on sedonne u0 ∈ H1.

(a) En utilisant seulement la propriété d’isométrie L2 de eit∆ et l’injection de SobolevH1 → L∞, montrer que l’application (5.4) est une contraction sur une boule bienchoisie de l’espace XT = C([0, T ];H1) muni de la norme ‖ · ‖L∞([0,T ];H1) .

(b) En déduire le théorème 5.1.1 dans le cas d = 1.

(ii) Dans cette question on suppose que p = 3 (pour simplifier), et on se donne u0 ∈ L2.

(a) Démontrer qu’il existe un temps T > 0 tel que (5.1) admette une unique solutiondans l’espace

YTdéf= C([0, T ];L2(R)) ∩ L4([0, T ];L∞(R)).

(b) Montrer que toutes les solutions maximales issues de u0 sont globales, appartiennentà YT pour tout T > 0, et que la masse est conservée.

(c) Vérifier que pour une telle solution u, on a pour tout 0 ≤ t0 ≤ t,

‖u‖L4([t0,t];L∞) ≤ C‖u0‖L2

(1 +

∫ t

t0

‖u‖2L∞ dτ),

puis en déduire qu’il existe une constante C ′ universelle telle que

‖u‖L4([0,t];L∞) ≤ C ′‖u0‖L2eC′‖u0‖4

L2 t pour tout t ≥ 0.

Exercice 5.2 (Le problème de Cauchy critique).On s’intéresse au problème de Cauchy (5.1) avec d = 2 , p = 3 , et u0 ∈ L2 seulement.

(i) Montrer que l’application correspondante (5.4) est une contraction sur une boule bienchoisie de ST = C([0, T ];L2) ∩ L3([0, T ];L6) muni de la norme donnée par (5.6).

(ii) Enoncer un théorème d’existence et d’unicité locale dans XT , et montrer qu’il y a conser-vation de la masse (5.16).

(iii) Que devient le critère d’explosion (5.3) ?(iv) Dans la suite de l’exercice, on suppose que ‖u0‖L2 est petit.

(a) Montrer qu’il y a existence globale dans l’espace S∞déf= C(R+;L2) ∩ L3(R+;L6).

(b) Soit v∞déf= iε

∫ +∞

0S(−τ)(u(τ)|u(τ)|2) dτ. Vérifier que v∞ ∈ L2 puis calculer

u(t)− S(t)v∞.

(c) Comment choisir u∞ ∈ L2 pour avoir limt→+∞

‖u(t)− S(t)u∞‖L2 = 0 ?

Exercice 5.3 (Borne inférieure de la vitesse d’explosion).Soit u0 ∈ H1 et u ∈ C([0, T [;H1) la solution de (5.1) donnée par le Théorème 5.1.1. Soit

sc le scaling associé donné par (5.15). On suppose que T < +∞ . Montrer qu’il existe uneconstante C(u0) telle que pour t proche de T ,

‖∇u(t)‖L2 ≥C(u0)

(T − t)1−sc

2

·

Indication : Etant donné t fixé, on raisonnera sur la solution v(τ, x) de (5.1) de donnée initialev(0, x) = (λ(t))

2p−1u(t, λ(t)x) pour un λ(t) bien choisi.

103

Exercice 5.4 (Existence locale H2 pour (5.1) cubique en dimension 2).On s’intéresse à la résolution de l’équation de schrödinger cubique

(Sε) i∂tu+ ∆u+ ε|u|2u = 0 dans R× R2, ε ∈ −1, 1

avec donnée initiale u0 ∈ H2(R2).

Soit ETdéf= C([0, T ];H2) et uL

déf= S(t)u0. Pour u ∈ ET , on pose

∀t ∈ [0, T ], Φ(u)(t) = uL(t) + iε

∫ t

0S(t− τ)((|u|2u(τ)) dτ.

(i) A l’aide de la Proposition 3.1.2 et des injections de Sobolev, vérifier que l’espace H2(R2)est une algèbre.

(ii) Montrer que Φ est bien définie de ET dans ET , et qu’il existe deux constantes C1, C2 > 0telles que pour tout u et v dans BET (uL, R), on ait

‖Φ(u)− uL‖ET ≤ C1TR3 et ‖Φ(u)− Φ(v)‖ET ≤ C2T (R2 + ‖u0‖2H2)‖u− v‖ET .

(iii) En déduire l’existence d’une constante c > 0 et d’un temps T ≥ c/‖u0‖2H2 tel que Φadmette un point fixe dans ET .

(iv) En déduire finalement qu’il existe T∗ > 0 tel que (Sε) avec donnée initiale u0 ∈ H2

admette une unique solution maximale u ∈ C([0, T ∗[;H2) ∩ C1([0, T ∗[;L2).

(v) Dans cette question, on cherche à démontrer un critère d’explosion.(a) En raisonnant par densité et en utilisant une intégration par parties, démontrer

l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg suivante :

∀u ∈ H2(R2), ‖∂1u‖2L4 ≤ 3‖u‖L∞‖∂21u‖L2 .

(b) En déduire l’estimation douce :

∀(u, v) ∈ H2 ×H2, ‖uv‖H2 ≤ C0

(‖u‖L∞‖v‖H2 + ‖v‖L∞‖u‖H2

)avec C0 constante universelle (dont on ne cherchera pas à calculer la valeur).

(c) En déduire l’existence d’une constante C > 0 telle que toute solution u ∈ ET de(Sε) vérifie

∀t ∈ [0, T ], ‖u(t)‖H2 ≤ ‖u0‖H2 + C

∫ t

0‖u‖2L∞‖u‖H2 dτ.

(d) Conclure que T ∗ < +∞ si et seulement si∫ T ∗

0 ‖u(t)‖2L∞ dt = +∞.Dans le cas ε = −1, cela permet-il de conclure directement à l’existence globale(T ∗ = +∞) ?

(vi) A l’aide du théorème 5.2.1, démontrer l’existence globale H2.

Exercice 5.5 (Equation des ondes cubiques).On s’intéresse à la résolution du problème de Cauchy pour l’équation des ondes cubiques

en dimension trois :

(NLW ε)

∂2ttu−∆u+ εu3 = 0, (t, x) ∈ I × R3,

u|t=0 = u0, ∂tu|t=0 = u1,

avec I intervalle de R contenant 0, u0 : R3 → R et u1 : R3 → R donnés, et ε ∈ −1, 1· Lanon linéarité est dite défocalisante si ε = 1, et focalisante si ε = −1.

104

On considère également l’équation des ondes linéaire

(W )

∂2ttu−∆u = f, (t, x) ∈ I × R3,

u|t=0 = u0, ∂tu|t=0 = u1,

avec u0 : R3 → R, u1 : R3 → R et f : I × R3 → R donnés.

(i) Dans le cas où f ≡ 0, u0 et u1 sont dans S(R3) , montrer que la solution u de (W ) estdonnée par la formule :

u(t) = U+(t)γ+ + U−(t)γ−

avec F(U±(t)z)(ξ) = e±it|ξ|Fz(ξ) et

Fγ±(ξ) =1

2

(Fu0(ξ)± 1

i|ξ|Fu1(ξ)

)·

(ii) Montrer que la quantité ‖∇t,xu(t)‖2L2(R3)

déf= ‖∇xu(t)‖2L2(R3) + ‖∂tu(t)‖2L2(R3) est indé-

pendante du temps.Indication : Calculer la dérivée en temps de cette quantité, et utiliser l’équation.

(iii) Soit H1(R3) l’adhérence de S(R3) pour la norme ‖z‖H1

déf= ‖∇z‖L2 . Expliquer briève-

ment pourquoi cet ensemble coïncide avec l’ensemble des fonctions de L6(R3) dont legradient est dans L2(R3), puis montrer que pour tout couple de données (u0, u1) avecu0 ∈ H1(R3) et u1 ∈ L2(R3), l’équation des ondes linéaire (W ) avec f ≡ 0 admet uneunique solution u dans C(R; H1(R3)) ∩ C1(R;L2(R3)) (le deuxième espace signifie justeque ∂tu ∈ C(R;L2(R3))).

(iv) Dans le cas général où f n’est pas nul, vérifier que les solutions assez régulières etdécroissantes à l’infini de (W ) vérifient

1

2

d

dt‖(∂tu,∇u)‖2L2 =

∫R3

f ∂tu dx

puis que pour tout t ∈ R,

‖∇t,xu(t)‖L2 ≤ ‖(∇u0, u1)‖L2 +

∣∣∣∣∫ t

0‖f‖L2 dτ

∣∣∣∣avec

‖(∇u0, u1)‖L2déf=√‖∇u0‖2L2 + ‖u1‖2L2 .

Pour u0 ∈ H1(R3), u1 ∈ L2(R3) et f ∈ L1loc(R;L2(R3)), on admettra que cette égalité

reste vraie et que la solution engendrée appartient encore à C(R; H1(R3))∩C1(R;L2(R3)) .

(v) Dans cette question, on s’intéresse à la résolution locale de (NLW ε) avec u0 ∈ H1(R3)et u1 ∈ L2(R3). Soit uL la solution de (W ) avec f ≡ 0 et donnée initiale (u0, u1).

Soit Φε : v 7→ w avec w solution de∂2ttw −∆w = −εv3

(w, ∂tw)|t=0 = (0, 0).

On note XT l’espace de Banach C([0, T ]; H1(R3))∩C1([0, T ];L2(R3)) et BT (R) la boulefermée de XT de centre 0 et de rayon R.

105

(a) Montrer qu’il existe C > 0 telle que

∀v ∈ BT (R), ‖Φε(v)‖XT ≤ ‖(∇u0, u1)‖L2 + CTR3

et∀(v, w) ∈ BT (R)× BT (R), ‖Φε(v)− Φε(w)‖XT ≤ CTR

2‖v − w‖XT .

(b) En déduire qu’il existe c > 0 (indépendant de u0 et de u1 ) tel que l’applicationv 7→ uL + Φε(v) admette un unique point fixe dans BT0(R) avec

R = 2‖(∇u0, u1)‖L2 et T0 =c

‖(∇u0, u1)‖2L2

·

(c) En déduire que (NLW ε) admet une unique solution dans XT0 .

(d) Soit T ∗ le temps maximal d’existence de cette solution. Montrer que si T ∗ < ∞alors lim supt→T ∗ ‖∇t,xu(t)‖L2 = +∞, puis qu’il existe C0 > 0 tel que

‖∇t,xu(t)‖L2 ≥C0√T ∗ − t

pour tout t ∈ [0, T ∗[.

(e) Si u est une solution régulière de (NLW ε) sur l’intervalle [0, T ], montrer que

(E) ∀t ∈ [0, T ],d

dt

(‖∂tu‖2L2 + ‖∇xu‖2L2 +

ε

2‖u‖4L4

)(t) = 0.

(f) On admet que si u0 ∈ L4(R3) ∩ H1(R3) et u1 ∈ L2(R3) alors la solution maximaleconstruite précédemment vérifie l’égalité (E). Que peut-on en conclure sur le tempsd’existence dans le cas défocalisant ?

106

Chapitre 6

Existence d’ondes solitaires

Considérons l’équation de Schrödinger non linéaire (5.1) en dimension d ≥ 1 et dans le casfocalisant ε = 1 . Etant donné u0 ∈ H1(Rd) , le théorème 5.1.1 assure l’existence d’une uniquesolution maximale u ∈ C([0, T [;H1) avec T = +∞ si p < 1 + 4

d · La question naturelle est lasuivante : à quoi ressemble la solution quand t→ +∞ ?

Nous connaissons la réponse dans le cas linéaire : toutes les solutions se dispersent vers zéroà une vitesse qui dépend de la régularité de la donnée initiale. Nous avons aussi obtenu uneréponse dans le cas non linéaire défocalisant : la dynamique non linéaire est asymptotiquementattirée par la dynamique linéaire. La situation s’avère très différente pour le problème nonlinéaire focalisant qui a des solutions du type ondes solitaires (ou solitons) périodiques nontriviales qui, manifestement, ne tendent pas vers 0 quand t tend vers +∞ mais sont aucontraire propagées sans déformation par le flot. On conjecture en fait qu’une solution généralede (5.1) se décompose en temps grand en un train de solitons et une partie dispersive qui étaleson paquet d’ondes. A l’heure actuelle, ce résultat est cependant encore hors de portée. Décrireles propriétés qualitatives fines d’un système hamiltonien de dimension infinie comme (5.1),qui est pourtant l’un des plus simples que l’on puisse écrire, est un problème difficile !

Jusqu’à la fin du cours, nous allons donc restreindre notre analyse à des solutions prochesdes solutions particulières de type ondes solitaires, et chercher à montrer que dans ce cas ladynamique non dispersive est stable en un sens que nous allons préciser.

Dans ce chapitre, nous allons montrer que (5.1) admet des ondes solitaires périodiques dutype

u(t, x) = Q(x)eit

avec Q ∈ H1(Rd) vérifiant

∆Q−Q+Q|Q|p−1 = 0. (6.1)

Pour résoudre l’équation elliptique ci-dessus, nous allons mettre en œuvre dans un cadre simpledes techniques variationnelles classiques. Les solutions Q seront obtenues en résolvant unproblème de minimisation sous contrainte adéquat.

6.1 Le cadre variationnel

Dans cette section, nous introduisons le cadre fonctionnel qui va nous permettre d’étudier(6.1), puis résolvons un problème de minimisation lié à cette équation.

107

6.1.1 L’espace H1r

Plaçons-nous en dimension d ≥ 2 et considérons l’espace H1r des fonctions de H1(Rd;C)

qui sont radiales (ou à symétrie sphérique), c’est-à-dire telles que

u(x) = u(Rx), ∀R ∈Md(R) avec RtR = Id,

ou de manière équivalente

u(x) ≡ u(r) avec r = |x| =( d∑i=1

x2i

) 12

et u : R+ → C.

L’ensemble H1r peut être aussi vu comme le complété des fonctions radiales de C∞c (Rd) pour

la norme

‖u‖2H1 =

∫Rd

(|∇u(x)|2 + |u(x)|2

)dx = cd

∫ +∞

0

(|∂ru(r)|2 + |u(r)|2

)rd−1 dr

où cd est l’aire de la sphère unité de Rd . Dans la suite, nous identifierons systématiquementu : Rd → C radiale, et son représentant u : R+ → C .

Lemme (Régularité et décroissance dans H1r ). Soit d ≥ 2 et u ∈ H1

r , alors u est dans l’espacede Hölder C

12 (]0 +∞[;C) défini dans l’exercice 1.7 et

‖rd−12 u‖L∞ . ‖u‖H1 . (6.2)

Dém. Soit φ ∈ C∞c (Rd) à symétrie sphérique. Alors

φ2(r) = −2

∫ +∞

rφ(τ)φ′(τ) dτ.

Donc, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

φ2(r) ≤ 2rd−1

∫ +∞

r|φ(τ)φ′(τ)|τd−1 dτ,

. 1rd−1 ‖∇φ‖L2(Rd)‖φ‖L2(Rd),

d’où (6.2).

De même, pour 0 < r1 ≤ r2 < +∞ ,

|φ(r1)− φ(r2)| = 2

∣∣∣∣∫ r2

r1

φ′(τ)dτ

∣∣∣∣ . 1

rd−12

1

‖φ‖H1(r2 − r1)12

où l’on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans la dernière étape. Le lemme s’ensuitpar densité.

Un corollaire important est la compacité des injections de Sobolev radiales 1 :

Proposition 6.1.1 (Compacité de H1r dans Lp , 2 < p < pc ). Soit d ≥ 2 et

pcdéf=

+∞ pour d = 2,2dd−2 pour d ≥ 3.

Alors pour tout 2 < p < pc , l’injection H1r → Lp est compacte.

1. Rappelons que ce résultat de compacité est faux pour des fonctions non radiales, du fait de l’invariancepar translation des espaces de Sobolev.

108

Dém. Soit u ∈ H1r et 2 < p < pc , alors (6.2) implique∫|x|≥R

|u|p dx ≤‖r

d−12 u‖p−2

L∞

R(p−2)(d−1)

2

∫Rd|u|2 dx .

1

R(p−2)(d−1)

2

‖u‖pH1 . (6.3)

Considérons maintenant une suite bornée (un)n∈N de H1r (Rd). Le calcul précédent mon-

tre que (un)n∈N est Lp–étroite c’est-à-dire que

∀ε > 0, ∃R > 0, ∀n ≥ 1, ‖un‖Lp(|x|≥R) < ε. (6.4)

Par ailleurs, en vertu du théorème 3.1.3, il existe u ∈ H1(Rd) telle que, quitte à extraire,on ait

un → u dans Lp(|x| ≤ R), ∀R > 0.

En combinant avec (6.4), il est alors facile de conclure que (toujours à extraction près),

un → u dans Lp(Rd).

Enfin u ∈ H1r par préservation de la symétrie radiale par passage à la limite.

Remarque. L’injection H1r → L2 n’est jamais compacte, le contre-exemple canonique étant la

suite évanescenteun(r) = λ

d2nU(λnr), λn → 0

pour un profil fixe radial U ∈ C∞c non nul. On vérifiera facilement que un 0 dans H1 maisque ‖un‖L2 = ‖U‖L2 6= 0, et donc il ne peut y avoir convergence forte L2 pour une sous-suite.

6.1.2 Un problème de minimisation compacte sur H1r

Grâce à la compacité des injections de Sobolev, nous allons maintenant pouvoir montrerl’existence d’un minimiseur pour des fonctionnelles non linéaires qui apparaissent naturellementen physique mathématique. Nous laissons de côté le cas de la dimension d = 1 pour lequell’existence d’ondes solitaires résulte d’un calcul explicite -cf Exercice 6.1. En dimension d ≥ 2,l’existence va découler d’une caractérisation variationnelle, nettement plus délicate.

Proposition 6.1.2 (Minimisation compacte). Soit d ≥ 2 et p > 1 vérifiant (5.2). Pour toutM > 0 , notons

AM =

u ∈ H1

r t.q.∫Rd|u|p+1 dx = M

·

Alors le problème de minimisation

IM = infu∈AM

‖u‖2H1 (6.5)

admet une solution uM dans AM .

Dém. La quantité à minimiser étant positive, on peut considérer une suite minimisante(un)n∈N de AM telle que

‖un‖2H1 → IM ≥ 0.

La suite (un)n∈N est radiale et bornée dans H1 , donc par la proposition 6.1.1, (un)n∈Nconverge dans Lp+1 à extraction près. Donc il existe u ∈ H1

r telle que :

un → u dans Lp+1 et un u dans H1.

109

Par semi-continuité inférieure de la norme par passage à la limite faible

‖u‖2H1 ≤ lim infn→+∞

‖un‖2H1 = IM

et par limite forte Lp+1 :

‖u‖p+1Lp+1 = lim

n→+∞‖un‖p+1

Lp+1 = M.

Donc u ∈ AM et ‖u‖2H1 ≤ IM , donc l’infimum est atteint en u.

6.2 Etude des minimiseurs

Nous allons maintenant classifier les minimiseurs donnés par la proposition 6.1.2 et montrerque ce sont des profils d’ondes solitaires périodiques pour (NLS).

6.2.1 Positivité d’un minimiseur

Ce paragraphe est dédié à la démonstration de minimiseurs positifs pour (6.5). C’est uneconséquence immédiate du lemme suivant :

Lemme 6.2.1 (Positivité). Si u ∈ AM est un minimiseur de (6.5), alors |u| aussi.

Ce lemme est un conséquence directe de la propriété de convexité suivante de la fonction-nelle de Dirichlet :

Lemme 6.2.2 (Inégalité de convexité pour le gradient). Pour tout u ∈ H1(Rd;C) on a|u| ∈ H1(Rd;R+) et ∫

|∇u|2 dx ≥∫|∇|u||2 dx. (6.6)

En outre, si u−1(C \ 0) est un ouvert connexe alors on a égalité si et seulement si il existeγ ∈ R tel que u = |u|eiγ .

Dém. Décomposons u en parties réelle et imaginaire : u = f + ig. Alors, presque partout 2

∇|u| = ∇√f2 + g2 =

f∇f + g∇g√f2 + g2

·

Et donc ∫|∇|u||2 dx =

∫|f∇f + g∇g|2

f2 + g2dx

=

∫1

f2 + g2

[f2|∇f |2 + g2|∇g|2 + 2fg∇f · ∇g

]dx

=

∫|∇f |2 dx+

∫|∇g|2 dx−

∫|g∇f − f∇g|2

f2 + g2dx,

d’où (6.6).

2. Cette formule peut se justifier via un argument de régularisation, voir [26], page 152.

110

Supposons maintenant |u| ∈ H1(Rd;R+∗ ) avec égalité dans (6.6). Alors

p.p. x ∈ Rd, f∇g = g∇f. (6.7)

Si les fonctions f et g sont continues, alors les hypothèses de l’énoncé assurent que A∪Bavec A déf

= f−1(R \ 0) et B déf= g−1(R \ 0) est un ouvert connexe. Soit φ ∈ C∞c (Rd)

supportée dans B. Alors

h =φ

g∈ H1(Rd) et ∇h =

∇φg− ∇g

g2φ.

On peut donc écrire ∫f

g∇φdx =

∫f∇(φ

g

)dx+

∫fφ∇gg2

dx,

=

∫f∇h dx+

∫hf∇gg

dx,

=

∫f∇h dx+

∫h∇f dx = 0

en vertu de (6.7). Ceci étant vrai ∀φ ∈ C∞c (B) , on en déduit que

∇(f

g

)= 0 dans D′(B).

Donc f/g est constante sur B. Le même raisonnement donne g/f constante sur A.Comme A ∪B est convexe, on en conclut qu’il existe γ ∈ C tel que u = |u|eiγ sur C.

6.2.2 Equation d’Euler-Lagrange

Nous sommes donc ramenés via le Lemme 6.2.1 à classifier les minimiseurs u ∈ H1r (Rd;R+) .

La proposition suivante, qui n’est autre qu’une application du théorème des extrema liés endimension infinie, donne une propriété fondamentale des minimiseurs

Proposition 6.2.1. Soit u ≥ 0 minimiseur de (6.5), alors ∃λ ∈ R tel que

∆u− u = −λup dans H−1. (6.8)

En outre,

λ =IMM

> 0. (6.9)

Dém. On peut appliquer directement le théorème de minimisation sous contrainte (dansles Banach de dimension infinie) après avoir vérifié que les fonctionnelles en jeu dans leproblème (6.5) sont bien C1, ou faire un calcul “à la main”, comme proposé ci-dessous.

Pour t ∈ R et h ∈ C∞c (Rd;R) radiale, posons ut = u+ th. On renormalise ut en

vtdéf=‖u‖Lp+1

‖ut‖Lp+1

ut

de telle sorte que vt soit dans AM . Cette renormalisation a un sens pour t suffisammentpetit car u n’est pas nulle. Nous allons montrer que Φ : t 7→ ‖vt‖2H1 est dérivable en 0.Comme le minimum est atteint en 0, vu la définition de u, il sera alors facile d’établir(6.8), en exprimant que Φ′(0) = 0.

111

Pour commencer, un calcul immédiat donne

‖u+ th‖2L2 = ‖u‖2L2 + 2t

∫uh dx+ t2‖h‖2L2

et ‖∇(u+ th)‖2L2 = ‖∇u‖2L2 + 2t

∫∇u · ∇h dx+ t2‖∇h‖2L2 .

Donc‖u+ th‖2L2 = ‖u‖2L2 + 2t

∫uh dx+O(t2), (6.10)

et, par intégration par parties,

‖∇(u+ th)‖2L2 = ‖∇u‖2L2 − 2t〈∆u, h〉H−1×H1 +O(t2). (6.11)

Ensuite, pour calculer un développement à l’ordre 1 de ‖ut‖p+1Lp+1 , on part de l’estimation

d’homogénéité suivante 3, valable pour tout q ≥ 2 :

||1 + z|q − 1− qz| ≤ Cq(|z|2 + |z|q), ∀z ∈ R,

avec Cq ne dépendant que de q.En choisissant z = th/u puis en intégrant, on obtient alors, après multiplication desdeux membres par uq,∣∣∣∣∫ |ut|q dx− ∫ uq dx− q

∫th uq−1 dx

∣∣∣∣ ≤ Cq(t2 ∫ h2uq−2 dx+ tq∫|h|q dx

)·

Si l’on prend q = p + 1, on en déduit par l’inégalité de Hölder puisque h est à supportcompact :∫

|ut|p+1 dx =

∫|u|p+1 dx+ (p+ 1)t

∫hup dx+O(t2) quand t→ 0. (6.12)

Vu la définition de vt, on obtient alors facilement en combinant (6.10), (6.11) et (6.12) :

‖vt‖2H1 =

(‖u‖2H1 + 2t

∫uh dx− 2t〈∆u, h〉H−1×H1

)(1− 2t

M

∫up h dx

)+O(t2).

En conséquence, pour t assez proche de 0,

Φ(t) = Φ(0) + 2t

(∫(u− λup)h dx− 〈∆u, h〉H−1×H1

)+O(t2) avec λ

déf=

IMM·

On en déduit que Φ est dérivable en 0, de dérivée

Φ′(0) = −〈∆u− u+ λup, h〉H−1×H1

puis que〈∆u− u+ λup, h〉H−1×H1 pour tout h ∈ C∞c (Rd) radial.

Par densité, on peut étendre l’égalité ci-dessus à tout h ∈ H1r , et conclure que (6.8)

est vérifiée au sens du dual de H1r , ce qui est un peu moins bien ce que l’on voulait.

Cependant, la distribution ∆u− u+ λup étant elle-même radiale, on vérifie aisément endécomposant toute fonction h de C∞c (Rd) en h = hr+g avec hr radiale et g à moyennenulle sur toutes les sphères centrées en 0, que∫

(∆u− u+ λup)h dx =

∫(∆u− u+ λup)hr dx = 0,

et l’on conclut à (6.8) dans H−1 = (H1)∗, par densité.

3. Qui se démontre en observant que les deux membres ont le même comportement près de 0 et à l’infini.

112

6.2.3 Régularité et unicité des minimiseurs

Nous allons maintenant obtenir la classification complète de la famille des minimiseurs.Remarquons tout d’abord que si u vérifie (6.8) avec λ = λ(M) > 0 d’après (6.9), alors

v =

(1

λ

) 1p−1

u

vérifie∆v − v + vp = 0, v ≥ 0. (6.13)

On est donc ramené à classifier les solutions positives dans H1r de (6.13).

Notons que l’équation (6.13) est à comprendre au sens des distributions ou dans H−1

puisque v ∈ H1r . Commençons par montrer que v est en fait régulière et donc une solution

classique :

Lemme 6.2.3 (Régularité). La solution v de (6.13) appartient à C2(Rd) et il existe a > 0 telque v soit l’unique solution sur R+ du problème de Cauchy :

d2v

dr2+d− 1

r

dv

dr= v − vp,

v(0) = a,dv

dr(0) = 0.

(6.14)

Dém. Pour démontrer que v est C2, on utilise essentiellement un argument de bootstrapreposant sur l’effet régularisant du laplacien. Pour simplifier la présentation, on se limiteau cas école p = 3 et d = 2, le cas général reposant sur des arguments similaires.Montrons dans un premier temps que v est H2(R2). Pour cela, on remarque que lefait que v soit H1(R2) combiné à l’injection de Sobolev H1(R2) → L6(R2) assure quev3 ∈ L2(R2). Donc (6.13) nous donne (Id−∆)v ∈ L2, ce qui entraîne trivialement quev ∈ H2, vu que ‖v‖H2 = ‖(Id−∆)v‖L2 .

Ensuite, en prenant le Laplacien de (6.13), on remarque que

(Id−∆)∆v = ∆(v3) = 6v|∇v|2 + 2v2∆v.

Le fait que H2 s’injecte dans L∞, et que H1 s’injecte dans L4 permet de constater quele membre de droite est dans L2. On en déduit donc que ∆v est dans H2, puis que v estdans H4. Les injections de Sobolev assurent alors que v ainsi que ses dérivées d’ordre1 et 2 sont bornées et continues. Donc la fonction v appartient bien à C2(R2). Etantdonné que la fonction v est radiale, le calcul de l’expression du Laplacien en coordonnéespolaires donne bien

∀r > 0,d2v

dr2+

1

r

dv

dr= v − v3. (6.15)

La bornitude C2 de v permet d’affirmer en sus que

v′(r)→ 0 quand r → 0

et donc v vérifie (6.14) avec a > 0 (le cas a = 0 entraînant v ≡ 0, ce qui est exclupuisque M > 0).

113

Le fait que le problème de Cauchy (6.14) soit localement bien posé se voit aisément enremarquant que

d2v

dr2+d− 1

r

dv

dr=

1

rd−1

d

dr

(rd−1dv

dr

)et en résolvant par point fixe dans C1([0, R]) , R = R(a) > 0 assez petit, l’équationintégrale correspondante :

v(r) = a+

∫ r

0

(ds

sd−1

∫ s

0τd−1f(v(τ))dτ

)avec f(v) = v − vp.

Cela achève la démonstration du lemme.

Décrire les solutions positives dans H1r de l’équation aux dérivées partielles (6.13) revient

donc à décrire les solutions du système dynamique (6.14) qui est de dimension 1, indexé parle paramètre de shooting a . On peut essentiellement tracer le portrait de phase correspondantet obtenir le résultat de rigidité suivant démontré en 1987 par Kwong [24] puis simplifié parla suite par MacLeod [28], le lecteur motivé pouvant consulter l’appendice de [39] pour unedémonstration particulièrement élégante :

Théorème 6.2.1 (Unicité au sens des systèmes dynamiques). Il existe un unique a > 0 telque la solution correspondante v(r) de (6.14) vérifie

∀r > 0, v(r) ≥ 0

et la condition aux limitesv(r)→ 0 quand r → +∞. (6.16)

En outre,∀r ≥ 0, v(r) > 0. (6.17)

On notera Q(r) cette solution : c’est l’état fondamental de (6.14).

Notons que la positivité stricte (6.17) est une conséquence directe du théorème de Cauchy-Lipschitz : si Q(r0) = 0 , alors Q′(r0) = 0 car Q est positive, et donc Q ≡ 0. Cette propositionest triviale en dimension d = 1 où l’équation (6.14) se résout explicitement, cf Exercice 6.1.

6.2.4 Classification des minimiseurs

Récapitulons. Soit u ∈ H1r un minimiseur de (6.5), alors |u| est un minimiseur positif par

le lemme 6.2.1. Puis par la proposition 6.2.1,

vdéf=

(1

λ

) 1p−1

|u| avec λ =IMM

> 0

est solution de∆v − v + vp = 0, v ≥ 0, v ∈ H1

r .

Donc par le lemme 6.2.3, v est une solution forte positive de (6.14). En outre, v ∈ H1r implique

v(r)→ 0 quand r → +∞

par (6.2), et donc le théorème 6.2.1 implique

v(r) = Q(r).

114

Donc |u| est continu et ne s’annule pas. Enfin, u et |u| étant tous deux minimiseurs, on estdans le cas d’égalité du Lemme 6.2.2, et donc

u = |u|eiγ , γ ∈ R.

Nous avons donc démontré :

Proposition 6.2.2 (Existence et unicité des minimiseurs). Soit M > 0 et

AM =

u ∈ H1

r avec∫Rd|u|p+1 dx = M

·

Le problème de minimisationIM = inf

u∈AM‖u‖2H1

a pour ensemble de solutions la famille à un paramètre de fonctions

eiγ(M

IM

) 1p−1

Q(r), γ ∈ R

où Q est l’état fondamental donné par le théorème 6.2.1.

6.3 Exercices

Exercice 6.1 (Calcul de l’état fondamental en dimension 1). Soit 1 < p < +∞ .(i) Soit a ∈ R+. Montrer qu’il existe une unique solution maximale u ∈ C1(]R1, R2[;R) de

l’ODE non linéaire : Q′′ −Q+Qp = 0,

Q(0) = a, Q′(0) = 0.

(ii) Exhiber une intégrale première de ce système dynamique (on multipliera par Q′ ).(iii) Montrer qu’il existe au plus une solution globale non triviale Q tendant vers 0 en +∞,

et que cette solution vérifie

∀x > 0, Q(x) > 0 et Q′(x) < 0.

(iv) En déduire via le changement de variable y = 1

Qp−12

la formule :

Q(x) =

p+ 1

2 cosh2(

(p−12 )x

) 1

p−1

.

Exercice 6.2. Soit V : Rd → R continue avec lim|x|→+∞ V (x) = 0.

(i) Montrer que pour tout s > 0 , l’opérateur T : u → V u est compact de Hs(Rd) dansL2(Rd) .

(ii) Soit l’énergie de l’état fondamental de l’opérateur de Schrödinger −∆− V :

Emindéf= infE(u), u ∈ H1(Rd), ‖u‖L2(Rd) = 1 où E(u)

déf=

∫Rd|∇u|2 dx−

∫RdV |u|2 dx.

On suppose que Emin < 0 . Montrer que Emin est atteint :

∃u ∈ H1(Rd) tel que ‖u‖L2(Rd) = 1 et E(u) = Emin,

et que toute suite minimisante converge fortement dans H1(Rd).

115

Exercice 6.3. Soit V : Rd → R+ une fonction continue positive avec

lim|x|→+∞

V (x) = 0.

(i) Soit (un)n∈N une suite bornée de H1(Rd). Montrer qu’il existe u ∈ H1(Rd) et unesous-suite (uφ(n))n∈N telles que

uφ(n) u dans H1(Rd) et∫RdV (x)|uφ(n)(x)|2 dx→

∫RdV (x)|u(x)|2 dx.

(ii) Soit

Jdéf= inf

∫Rd|∇u(x)|2 dx−

∫RdV (x)|u(x)|2 dx, u ∈ H1(Rd) t.q. ‖u‖L2(Rd) = 1

·

On suppose que J < 0. Montrer que J est atteint.(iii) En déduire l’existence d’un état propre de l’opérateur de Schrödinger −∆−V : il existe

λ < 0 et u ∈ H1(Rd) non nulle tels que

−∆u− V u = λu, u(x) ≥ 0.

(iv) Soit maintenant p ∈]1, 1 + 4/d[ , F la fonctionnelle non linéaire définie par

F (u) =1

2

∫Rd|∇u(x)|2dx− 1

2

∫RdV (x)|u(x)|2dx− 1

p+ 1

∫Rd|u(x)|p+1 dx

et le problème de minimisation pour M > 0 :

I(M) = infu∈H1

r (Rd)

F (u),

∫Rd|u(x)|2 dx = M

·

Montrer queI < 0.

(v) Montrer que les suites minimisantes sont bornées dans H1(Rd) .(vi) On suppose que I(M) est une fonction strictement décroissante de M. Montrer que I(M)

est atteint.(vii) En déduire l’existence d’un état propre non linéaire : il existe λ ∈ R et u ∈ H1(Rd) tels

que−∆u− V u− up = λu, u(x) ≥ 0.

Exercice 6.4 (Inégalité de Hardy en dimension 1). On se place sur R et toutes les fonctionsconsidérées sont à valeurs dans R.(i) Soit

A =

u ∈ C∞c (R;R),

∫R

|u(x)|2

1 + x2dx = 1

·

Montrer que

infu∈A

∫R|u′(x)|2 dx = 0.

On pourra considérer une fonction de la forme

un(x)déf= χ

(xn

)avec χ(x) =

1 pour |x| ≤ 10 pour |x| ≥ 2.

116

(ii) Montrer qu’il existe une constante universelle c1 > 0 telle que

∀u ∈ C∞c (R), u2(1) +

∫x≥1|u′(x)|2 dx ≥ c1

∫x≥1

|u(x)|2

x2dx.

On pourra faire une intégration par parties dans∫x≥1

u2

x2dx = −

∫x≥1

u2

(1

x

)′dx

et utiliser le fait que

2|xy| ≤ x2

A+Ay2, ∀A > 0.

(iii) Montrer qu’il existe une constante universelle c2 > 0 telle que

u2(1) +

∫|x|≤1

|u′(x)|2 dx ≥ c2

[u2(−1) +

∫|x|≤1

|u(x)|2

1 + x2dx

].

(iv) Conclure finalement qu’il existe une constante universelle c3 > 0 telle que

∀u ∈ C∞c (R), u2(1) +

∫R|u′(x)|2 dx ≥ c3

∫R

u2(x)

1 + x2dx.

(v) On se donne une fonction ψ de C∞c (R) telle que∫Rψ(x) dx 6= 0 et ψ(x) = 0 pour |x| ≥ 1.

Soit

Aψ =

u ∈ C∞c (R),

∫R

u2(x)

1 + x2dx = 1 et

∫Ru(x)ψ(x) dx = 0

·

On va montrer que

Iψ = infu∈Aψ

∫R|u′(x)|2 dx > 0. (6.18)

On raisonne par l’absurde en supposant

Iψ = 0.

Soit alors un ∈ Aψ telle que ∫R|u′n(x)|2 dx ≤ 1

n·

Montrer quelim infn→+∞

u2n(1) > 0.

(vi) Soit χ ∈ C∞c (R) avec

χ(x) =

1 pour |x| ≤ 10 pour |x| ≥ 2

et χ(x) > 0 pour 1 ≤ |x| ≤ 2.

Soitvn(x) = χ(x)un(x).

Montrer que (vn)n≥1 est bornée dans H1(R) et qu’il existe une sous-suite telle quevφ(n) v dans H1(R)

vφ(n) → v dans L∞(|x| ≤ 2).

117

(vii) Montrer que∫R vψ dx = 0.

(viii) Montrer que v(1) 6= 0.

(ix) Soit A > 0 et χA(x) = χ(xA

). Montrer que∫

χA|v′ − v′n|2 dx =

∫χA|v′n|2 dx−

∫χA|v′|2 dx− 2

∫χAv

′(v′n − v′) dx.

En déduire que

∀0 < A <1

2,

∫χA|v′|2 dx = 0.

(x) Conclure la démonstration de (6.18).

118

Chapitre 7

Stabilité orbitale de l’onde solitaire

Nous avons démontré dans le chapitre précédent l’existence de solutions H1 pour

∆Q−Q+Q|Q|p−1 = 0 (7.1)

en dimension d ≥ 1 et pour tout entier p > 1 vérifiant (5.2). Toute solution de (7.1) induitune solution périodique (ou onde solitaire) pour (NLS) via la formule

u(t, x) = Q(x)eit.

Une question naturelle et fondamentale tant pour le dynamicien que pour le physicien estalors : ces solutions particulières sont-elle stables ? Posée à ce niveau de généralité, la réponseest (génériquement) “non”. En fait, une solution quelconque de (7.1) aura tendance à engendrerune onde solitaire instable : une perturbation infime de la donnée initiale Q donnera unesolution de (NLS) qui n’a plus rien à voir avec Q(x)eit, en temps grand. Cependant, dufait de leur caractérisation variationnelle et du lemme 6.2.2, les solutions de (7.1) construitesdans le chapitre précédent ont la propriété supplémentaire d’être positives à déphasage près.Le but de ce chapitre est de démontrer que l’état fondamental Q de la Proposition 6.2.2engendre une onde solitaire stable de (NLS) dans le cas L2 sous-critique p < 1 + 4

d · Nousreprenons ici la démonstration originale de T. Cazenave et P.-L. Lions [6] qui repose sur uneautre caractérisation variationnelle de Q faisant intervenir les invariants du flot de (NLS), àsavoir l’énergie totale (5.17) et la masse (5.16) de la solution. Le cœur de la démonstration estle lemme de concentration-compacité de P.-L. Lions (issu de [27]), qui décrit le manque (oudéfaut) de compacité de l’injection de Sobolev H1 → Lp , si 2 ≤ p ≤ 2∗ .

7.1 Stabilité orbitale de l’onde solitaire

Dans tout ce chapitre, on se place dans Rd avec d ≥ 1 quelconque, et on considère unenon-linéarité L2 sous-critique pour (5.1), c’est-à-dire 1 0.

Nous souhaitons étudier la stabilité de l’onde solitaire Q(x)eit en tant que solution de (5.1).

1. On rappelle que l’unicité est triviale pour d = 1 , cf Exercice 6.1.

119

7.1.1 Instabilité induite par les symétries

Soit donc u0 ∈ H1 et u ∈ C([0,+∞[;H1) la solution globale de (5.1) donnée par leThéorème 5.2.1. Du point de vue système dynamique, la notion naturelle de stabilité fortedans H1 serait la suivante : pour tout ε > 0 , il existe δ(ε) > 0 tel que pour tout u0 ∈ H1 ,

‖u0 −Q‖H1 < δ(ε) implique supt≥0‖u(t, x)−Q(x)eit‖H1 < ε. (7.2)

Mais cette notion de stabillité est visiblement fausse pour (5.1), en raison de l’invariancepar translation de Rd et de l’existence d’un groupe de symétries non trivial agissant sur(5.1). En effet, l’invariance d’échelle et l’invariance de Galilée de la Proposition 5.2.1 donnent“gratuitement” deux types d’instabilité forte :

– Instabilité par déphasage : ∀λ > 0 , la solution de (5.1) de donnée initiale

(u0)λ(x) = λ2p−1Q(λx) est uλ(t, x) = λ

2p−1Q(λx)eiλ

2t.

Clairement,‖(u0)λ −Q‖H1 . |λ− 1| → 0 quand λ→ 1,

maisuλ

( πλ2, x)

= −λ2p−1Q(λx)

et donc, pour tout λ tendant vers 1,

supt≥0‖uλ(t, x)−Q(x)eit‖H1 ≥

1

2‖Q‖H1 .

– Instabilité par translation : ∀β ∈ Rd , la solution de (5.1) de donnée initiale

(u0)β(x) = Q(x)eiβ·x est uβ(t, x) = Q(x− 2βt)eiβ·(x−βt).

Elle vérifie‖(u0)β −Q‖H1 . |β| → 0 quand β → 0

mais∀β ∈ Rd \ 0, sup

t≥0‖uβ(t, x)−Q(x)eit‖H1 ≥ ‖Q‖H1

en raison du découplage en espace des deux bulles Q(x) et Q(x− βt) .

7.1.2 Stabilité orbitale

Les instabilités mises en valeur ci-dessus sont purement induites par le groupe de symétriesde l’équation, ce qui laisse augurer qu’il faut mesurer la distance de u(t, x) non pas au seulsoliton initial Q(x)eit , mais à la famille complète d’ondes solitaires induites par les symétries :

Qβ,γ(t, x) = Q(x− 2βt)eiγeiβ·(x−βt). (7.3)

Cette observation est au cœur du résultat suivant de stabilité orbitale obtenu par Cazenave etLions dans [6], en 1983 :

120

Théorème 7.1.1 (Stabilité orbitale de l’onde solitaire). Supposons que 1 0, il existe δ(ε) > 0 tel que pour toute donnée initiale u0 ∈ H1 avec

‖u0 −Q‖H1 < δ(ε),

il existe deux fonctions γ : R+ → R et x : R+ → Rd telles que la solution u ∈ C([0,+∞[;H1)de (5.1) vérifie :

supt≥0‖u(t, x)−Q(x− x(t))eiγ(t)‖H1 < ε. (7.4)

En d’autres termes, si l’on part près de l’état fondamental dans H1 , on reste pour touttemps près au sens de la norme de H1 de ce même état fondamental à deux paramètres (dephase et de translation) près. Notons que ce théorème donne un résultat plus faible que dedire que l’on reste près de la famille des Qβ,γ(t, x) donnés par (7.3) puisqu’on ne disposepas d’information a priori sur les paramètres x(t) et γ(t) . Le Théorème 7.1.1 est en fait lepoint de départ d’une telle analyse qui fait encore aujourd’hui l’objet d’une recherche active,la description fine en temps grand de la solution u(t, x) et de ses paramètres de modulation(x(t), γ(t)) étant un problème toujours ouvert.

7.1.3 La caractérisation variationnelle de l’état fondamental

Le reste du chapitre est consacré à la démonstratrion du théorème 7.1.1. L’observationfondamentale de Cazenave et Lions est que la stabilité orbitale ne repose pas sur des propriétésfines du flot, mais seulement sur une caractérisation variationnelle du soliton utilisant lesinvariants de masse et d’énergie. Le Théorème 7.1.1 est en effet une conséquence directe du :

Théorème 7.1.2 (Caractérisation variationnelle du soliton sous-critique). Soit 1 0. Alors :(i) Le problème de minimisation

I(M) = infE(u) : u ∈ H1 avec ‖u‖2L2 = M

où E(u) est la fonctionnelle d’énergie (5.17), est atteint sur la famille

Qλ(M)(x− x0)eiγ0 , x0 ∈ Rd, γ0 ∈ R

où

Qλ(M)(x)déf= (λ(M))

2p−1Q(λ(M)x) avec λ(M)

déf=

(M

‖Q‖2L2

)− 12sc

. (7.5)

(ii) Toute suite minimisante est fortement relativement compacte dans H1 à translation etdéphasage près. C’est-à-dire que si (un)n∈N est une suite de H1 telle que

‖un‖2L2 →M et E(un)→ I(M), (7.6)

alors il existe (xn)n∈N ∈ (Rd)N, γ ∈ R et une extraction φ : N→ N telles que :

uφ(n)(·+ xφ(n))eiγ → Qλ(M) dans H1. (7.7)

121

Remarque. L’hypothèse p < 1 + 4d est fondamentale pour cette nouvelle caractérisation de Q,

qui devient fausse pour p ≥ 1 + 4d · Dans ce dernier cas (L2 sur-critique), le soliton est instable

par blow-up et scattering : n’importe quel voisinage de Q contient d’une part des donnéesinitiales u0 qui engendrent des solutions globales (qui se comportent comme des solutionslinéaires en temps grand et donc tendent localement vers zéro dans L2 ) et d’autre part desdonnées initiales u0 qui génèrent des solutions explosant en temps fini.

Montrons que le Théorème 7.1.2 implique la stabilité orbitale du soliton du Théorème 7.1.1.Insistons sur le fait que la clé est d’avoir obtenu une caractérisation variationnelle du solitonne faisant intervenir que des invariants du flot. On procède par l’absurde : soit ε > 0 et unesuite (un)n∈N de solutions de (5.1) telle que

‖un(0, x)−Q‖H1 → 0 quand n→ +∞, (7.8)

et il existe (tn)n∈N avec tn ≥ 0 vérifiant

∀x0 ∈ Rd, ∀γ ∈ R, ‖un(tn, x)−Q(x− x0)eiγ‖H1 > ε. (7.9)

Par (7.8) et continuité de la fonctionnelle d’énergie sur H1 ,

E(un(0, x))→ E(Qλ(M)) = I(M), ‖un(0, x)‖2L2 →M.

Si wn(x) = un(tn, x) , on en déduit par conservation de l’énergie et de la masse que :

E(wn)→ I(M), ‖wn‖2L2 →M,

et donc par (7.7), on peut trouver xφn , γφn tels que

wφ(n)(·+ xφ(n))eiγ → Qλ(M) dans H1.

Cela contredit (7.9).

7.2 Minimisation de l’énergie à masse fixée

Le reste du chapitre est consacré à la démonstration du Théorème 7.1.2.

7.2.1 Calcul de I(M)

Commençons par démontrer la finitude de I(M) sous l’hypothèse p < 1 + 4d · En fait, on

peut calculer I(M) (à une constante multiplicative près) grâce aux propriétés d’homogénéitédu problème :

Lemme 7.2.1 (Calcul de I(M)). On a

∀M > 0, I(M) = M1−sc|sc| I(1) (7.10)

avec−∞ < I(1) < 0. (7.11)

122

Dém. Montrons d’abord queI(M) > −∞. (7.12)

Pour ce faire, on utilise l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg :

‖u‖Lp+1 ≤ C‖∇u‖σL2‖u‖1−σL2 avec − σ +d

2=

d

p+ 1·

Pour u ∈ H1 vérifiant ‖u‖2L2 = M , on a donc

E(u) ≥ 1

2‖∇u‖2L2 − C‖∇u‖

d(p−1)2

L2 M(p+1)(1−σ)

2 . (7.13)

Or

p < 1 +4

dest équivalent à

d(p− 1)

2< 2

et donc la fonction x 7→ x2 − Cxp−12 est minorée sur R+, ce qui implique (7.12).

Montrons maintenant queI(M) < 0. (7.14)

Soit donc à nouveau u ∈ H1 telle que ‖u‖2L2 = M. Pour λ > 0, posons

uλ(x) = λd2u(λx).

Alors‖uλ‖2L2 = ‖u‖2L2 = M

et

E(uλ) = λ2

(1

2

∫Rd|∇u|2 dx− 1

λ(p−1)|sc|

∫Rd|u|p+1 dx

),

et donc E(uλ) < 0 pour λ > 0 assez petit.

Pour montrer (7.10), on utilise un autre changement d’échelle :

uλ(x) = λ2p−1u(λx).

Alors‖uλ‖2L2 = λ

2p−1−d‖u‖2L2 = λ−2sc‖u‖2L2

etE(uλ) = λ2(1−sc)E(u).

Donc :∀M > 0, ∀λ > 0, I(λ−2scM) = λ2(1−sc)I(M)

ce qui implique (7.10), en prenant λ−2scM = 1, i.e. λ = M1

2sc .

123

7.2.2 Classification des minimiseurs

Dans ce paragraphe, nous supposons que l’infimum est atteint (ce que nous démontreronsplus tard), et classifions l’ensemble des minimiseurs.

Lemme 7.2.2 (Euler-Lagrange pour les minimiseurs). Soit u un minimiseur pour I . Alors :

(i) La fonction |u| est un minimiseur et∫|∇|u||2 dx =

∫|∇u|2 dx. (7.15)

(ii) Si u ≥ 0 alors il existe µ ∈ R tel que :

∆u+ up = µu. (7.16)

(iii) Le multiplicateur de Lagrange µ est indépendant du minimiseur et

µ = µ(M) > 0.

Dém. La démonstration commence comme celle de la Proposition 6.2.1 : si u est un mi-nimiseur, alors |u| aussi par (6.6), et E(u) = E(|u|) = I(M) implique

∫|∇u|2 dx =∫

|∇|u||2 dx, et le point (i) est démontré.

Soit maintenant u ≥ 0 un minimiseur, et h ∈ C∞c (Rd). Alors (6.10), (6.11) et (6.12)donnent (avec un léger abus de notation) :

d

dtE(u+ th)|t=0 = −

∫Rd

(∆u+ up)h dx etd

dt

(‖u+ th‖2L2

)|t=0

= 2

∫Rduh dx.

Et on peut donc, comme dans la démonstration de la Proposition 6.2.1, conclure à l’exis-tence d’un réel µ tel que u vérifie (7.16).Afin de montrer que µ ne dépend que de M, on multiplie (7.16) par u et on intègre :

−∫|∇u|2 dx+

∫up+1 dx = µ

∫u2 dx = µM. (7.17)

Puis on multiplie (7.16) par d2u+ x · ∇u. En combinant l’identité de Pohozaev (5.22) et

l’égalité (5.23) avec q = p+ 1, on obtient, en se souvenant que u est à valeurs réelles :

0 = −∫|∇u|2 dx+

∫up(d

2u+ x · ∇u

)dx = −

∫|∇u|2 dx+

(d

2− d

p+ 1

)∫up+1 dx

d’où la seconde relation : ∫|∇u|2 dx =

d(p− 1)

2(p+ 1)

∫up+1 dx. (7.18)

Ceci implique avec (7.17) :

µM =

(1− d(p− 1)

2(p+ 1)

)∫up+1 dx.

124

Or par (7.18),

I(M) = E(u) =1

2

∫|∇u|2 dx− 1

p+ 1

∫up+1 dx

=1

p+ 1

(d(p− 1)

4− 1

)∫up+1 dx

=1

p + 1

(d(p−1)

4 − 1

1− d(p−1)2(p+1)

)µM.

Donc µ ne dépend que de M. On remarque de plus que le facteur du membre de droiteest strictement négatif : c’est évident si d = 1, et si d ≥ 2 alors

p < 1 +4

d<d+ 2

d− 2implique

d(p−1)4 − 1

1− d(p−1)2(p+1)

< 0.

Comme I(M) < 0, on peut conclure que µ > 0.

Il s’agit donc finalement de classifier les minimiseurs des solutions positives de

∆u+ up = µu, µ > 0.

C’est un problème hautement non trivial. Un résultat spectaculaire du début des années 80dû à Gidas, Ni, Nirenberg (dans [15]) et qui est l’un des succès de l’analyse non linéaire deséquations aux dérivées partielles elliptiques de cette époque est le :

Théorème 7.2.1 (Unicité de l’état fondamental). Soit u ∈ H1 une solution de

∆u− u+ up = 0, u ≥ 0.

Alors il existe x0 ∈ Rd tel que u(x− x0) soit à symétrie radiale.

La démonstration de ce résultat repose sur une utilisation très astucieuse du principe dumaximum pour le Laplacien qui dépasse le cadre de ce cours, nous l’admettrons donc. Nouspouvons maintenant énoncer le résultat de classification :

Proposition 7.2.1 (Classification des minimiseurs). Soit u un minimiseur de

I(M) = infE(u) : u ∈ H1 avec ‖u‖L2 = M

·

Alors il existe (γ0, x0) ∈ R× Rd tel que

u(x) = Qλ(M)(x− x0)eiγ0

où Qλ(M) est donné par (7.5).

Dém. Si u est un minimiseur alors v = |u| ≥ 0 aussi. Par le Lemme 7.2.2, v est une solutionnon triviale (car I(M) < 0) de

∆v + vp = µv, v ∈ H1, v ≥ 0

avec µ = µ(M) > 0 . Alors

w =1

λ2p−1

v(xλ

)avec λ =

√µ

125

vérifie∆w − w + wp = 0, w ∈ H1, w ≥ 0.

Donc, pour un certain x0,

w = Q(x− x0)

par la combinaison des Théorèmes 6.2.1 et 7.2.1. Or Q ne s’annule pas donc par (7.15)et le Lemme 6.2.2, il existe γ ∈ R et x1 ∈ Rd tels que

u = |u|eiγ = Qλ(M)(x− x1)eiγ .

C’est bien la propriété voulue.

7.3 Description des suites minimisantes

Nous rentrons maintenant dans le cœur de la description des suites minimisantes. Celapermettra de conclure la démonstration du Théorème 7.1.2.

7.3.1 Description de la perte de compacité de l’injection de Sobolev

Soit (un)n∈N une suite minimisante pour I(M) :

‖un‖2L2 = M, E(un)→ I(M).

Alors (un)n∈N est une suite bornée dans H1 car d’après (7.13) :

E(u)→ +∞ quand ‖∇u‖L2 → +∞.

Afin de démontrer que toute valeur d’adhérence faible H1 de (un)n∈N (éventuellement transla-tée) est un minimiseur, il nous faut établir la compacité forte de la suite dans Lp+1∩L2. Cettepropriété est grossièrement fausse pour une suite bornée dans H1 “générale” car l’injectionH1 → Lp+1 n’est pas compacte. La clé de la démonstration du théorème 7.1.2 va consister àdécrire précisément la perte de compacité de l’injection de Sobolev dans le cas général, puis àdémontrer que les deux seuls scénarios de perte de compacité sont liés à l’invariance transla-

tionnelle un(· + xn) , |xn| → +∞ , et l’invariance d’échelle λd2nun(λnx) , λn → 0, de la norme

L2. C’est l’objet du lemme de concentration-compacité suivant démontré par P.-L. Lions en1983 dans [27] :

Lemme 7.3.1 (Concentration-compacité). Soit (un)n∈N une suite bornée dans H1 avec

∀n ∈ N,∫|un|2 dx = M.

Alors il existe une suite extraite (unk)k∈N qui vérifie l’une des propriétés suivantes :

(i) Compacité à translation près : il existe (yk)k∈N suite de Rd telle que

∀2 ≤ q < 2∗, unk(· − yk)→ u dans Lq quand k → +∞. (7.19)

(ii) Evanescence :

∀2 < q < 2∗, unk → 0 dans Lq quand k → +∞. (7.20)

126

(iii) Dichotomie : il existe (vk)k∈N et (wk)k∈N deux suites bornées dans H1 à support compact,et α ∈]0, 1[ tels que :

Supp vk ∩ Supp wk = ∅, et d(Supp vk,Supp wk)→ +∞ quand k → +∞, (7.21)∫|vk|2 dx→ αM et

∫|wk|2 dx→ (1− α)M quand k → +∞, (7.22)

∀2 ≤ q < 2∗,

∫|unk |

q dx−∫|vk|q dx−

∫|wk|q dx→ 0 quand k → +∞, (7.23)

lim infk→+∞

(∫|∇unk |

2 dx−∫|∇vk|2 dx−

∫|∇wk|2 dx

)≥ 0. (7.24)

En d’autres termes, s’il n’y pas compacité à translation près, alors à extraction près, seulsdeux scenarios sont possibles : la suite s’étale et “disparaît” dans L2

loc selon (7.20), ce que fait

par exemple toute suite (λd2nu(λnx))n∈N avec λn → 0 ; ou alors la suite se scinde en au moins

deux bulles disjointes dont les supports s’éloignent selon (7.21), chacune de ces bulles emportantune fraction non nulle de la masse totale (7.22), la scission se faisant sans perte de masse nid’énergie potentielle (7.23) et avec au pire une décroissance de l’énergie cinétique totale (7.24).Notons que dans le cas de la dichotomie, rien n’empêche d’appliquer le lemme de concentration-compacité à chaque bulle, et de mettre en route un raisonnement par récurrence qui aboutiraità la décomposition en profils 2 de la suite (un)n∈N. Ce principe de concentration-compacitéqui a permis de résoudre des problèmes variationnels importants aussi bien en géométrie qu’enanalyse non linéaire à la fin des années 1970, a retrouvé récemment un second souffle inattendudans l’étude de la dynamique des solutions d’équations dispersives non linéaires via les travauxpionniers de Kenig et Merle [21].

7.3.2 Compacité H1 des suites minimisantes

Admettons donc le Lemme 7.3.1 et démontrons le Théorème 7.1.2. Soit (un)n∈N une suiteminimisante. Il s’agit de démontrer la compacité à translation près. Pour ce faire, nous allonsétablir que les scenarios d’évanescence et de dichotomie ne peuvent se produire car la suite estminimisante.Etape 1. Evanescence est contradictoire. Si (7.20) se produit sur une suite extraite (unk)k∈Nalors, vu que 2 < p+ 1 < 2∗,

I(M) = limk→+∞

E(unk) = limk→+∞

(1

2

∫|∇unk |

2 dx− 1

p+ 1

∫|unk |

p+1 dx

)≥ 0

ce qui contredit I(M) < 0.

Etape 2.Dichotomie est contradictoire. C’est le cœur de la démonstration. Nous allons montrerque la dichotomie fait strictement décroître l’énergie totale, ce qui contredit le fait que la suiteest minimisante. En effet, par (7.22) :∫

|vk|2 dx→ αM et∫|wk|2 dx→ (1− α)M

et par (7.23), (7.24) :

I(M) = limk→+∞

E(unk) ≥ lim infk→+∞

[E(vk) + E(wk)] ≥ I(αM) + I(M(1− α)).

2. Voir les articles de P. Gérard [14], [19] pour une démonstration particulièrement simple et élégante.

127

Donc par (7.10), étant donné que I(1) < 0 :

(1− α)β + αβ ≥ 1, avec β =(1− sc)|sc|

> 1. (7.25)

Or pour β > 1 , la fonction x 7→ xβ + (1− x)β est strictement convexe sur [0, 1], et donc

∀0 < α < 1, (1− α)β + αβ < f(0) = f(1) = 1

ce qui contredit (7.25).

Etape 3. Conclusion. On en déduit que seule la propriété de compacité (7.19) à translationprès peut se produire. On peut donc quitte à renommer la suite supposer :

∃yn ∈ Rd telle que vn(x) = un(x− yn)→ u dans L2 ∩ Lp+1quand n→ +∞. (7.26)

Mais par convergence forte Lp+1 et semi-continuité inférieure de la norme pour le gradient, etinvariance translationnelle des fonctionnelles de masse et d’énergie :

M = limn→+∞

‖un‖2L2 = limn→+∞

‖vn‖2L2 = ‖u‖2L2 ,

IM = limn→+∞

E(un) = limn→+∞

E(vn) ≥ E(u)

et donc l’infimum est atteint en u . On déduit de la Proposition 7.2.1 qu’il existe (γ0, x0) ∈R× Rd tel que

u = Qλ(M)(x− x0)eiγ0 ,

ce qui avec (7.26) conclut la preuve de (7.7).

7.3.3 Le lemme de concentration compacité

Nous donnons ici la démonstration du Lemme de concentration-compacité telle qu’elle estfaite dans le livre de T. Cazenave [7]. Dans tout ce paragraphe, on fixe une suite (un)n∈N deH1(Rd) satisfaisant les hypothèses du lemme 7.3.1.

Etape 1. Fonction de concentration. Soit (ρn)n∈N la suite de fonctions de concentration définiepar

ρn(R) = supy∈Rd

∫B(y,R)

|un(x)|2 dx, R > 0.

Alors on a les propriétés suivantes :– Monotonie : ∀n ≥ 0 , ρn(R) est une fonction croissante de R qui tend vers M en +∞.– Point de concentration : pour R fixé, y 7→

∫B(y,R) |un|

2 dx est une fonction continue quitend vers 0 quand |y| → +∞ , donc le point de concentration est atteint :

∀R > 0, ∀n ≥ 0, ∃yn(R) ∈ Rd tel que ρn(R) =

∫B(yn(R),R)

|un(x)|2 dx.

– Continuité Hölder uniforme : ∃C,α > 0 indépendants de n tels que :

∀R1, R2 > 0, ∀n ≥ 0, |ρn(R2)− ρn(R1)| ≤ C|Rd2 −Rd1|α. (7.27)

128

En effet, supposons (sans perte de généralité) que R1 ≤ R2. Alors :

|ρn(R2)−ρn(R1)| =

∫B(yn(R2),R2)

|un|2 dx−∫B(yn(R1),R1)

|un|2 dx

=

∫B(yn(R2),R2)


|un|2 dx

+

∫B(yn(R2),R1)


|un|2 dx

≤∫R1≤|x−yn(R2)|≤R2

|un|2 dx.

Donc par les inégalités de Hölder et de Sobolev, pour tout p ∈]2, 2∗[,

|ρn(R2)− ρn(R1)| ≤ ‖un‖2p

Lp

(∫R1≤|x−yn(R2)|≤R2

1 dx

) pp−2

≤ Cp,d‖un‖2p

H1

(∫ R2

R1

rd−1 dr

) pp−2

,

et (7.27) s’ensuit.Etape 2. Limite de fonctions de concentration. L’estimation Hölder uniforme (7.27) nouspermet d’appliquer le Théorème d’Ascoli et d’extraire une sous-suite (nk)k∈N et une fonctionlimite croissante continue (et même höldérienne) ρ telles que :

∀R > 0, limk→+∞

ρnk(R) = ρ(R). (7.28)

Comme les fonctions ρn, la fonction ρ est à valeurs dans [0,M ]. Soit maintenant :

µdéf= lim

R→+∞ρ(R). (7.29)

Une conséquence très simple et générale de la monotonie des ρn est qu’il existe une suiteRk → +∞ telle que :

µ = limk→+∞

ρnk(Rk) = limk→+∞

ρnk(Rk2

) = limR→+∞

ρ(R). (7.30)

En effet, par définition,µ = lim

R→+∞lim

k→+∞ρnk(R)

et donc 3 il existe une suite Rk → +∞ telle que

limk→+∞

ρnk(Rk) = µ. (7.31)

Soit alors R > 0 , on peut trouver Rk ≥ 2R et donc par monotonie :

ρnk(R) ≤ ρnk(Rk2

) ≤ ρnk(Rk).

En conséquence, en faisant tendre k vers +∞, et en utilisant (7.28), (7.31) :

∀R > 0, ρ(R) = limk→+∞

ρnk(R) ≤ limk→+∞

ρnk(Rk2

) ≤ limk→+∞

ρnk(Rk) = µ.

On passe maintenant à la limite R→ +∞ ce qui avec (7.29) conclut la preuve de (7.30).

3. Raisonner par l’absurde.

129

Etape 3. µ = 0 : évanescence. Supposons µ = 0. Alors la fonction ρ étant croissante positive,ceci implique ρ(1) = 0, c’est-à-dire :

limk→+∞

ρnk(1) = limk→+∞

supy∈Rd

∫B(y,1)

|unk |2 dx = 0. (7.32)

Montrons que cette propriété de convergence forte L2 locale uniforme implique la convergenceforte suivante :

unk → 0 dans Lq, ∀2 < q < 2∗. (7.33)

Il nous faut une inégalité de Gagliardo-Nirenberg dite précisée. En effet,

∀u ∈ H1,

∫|u|2+ 4

d dx ≤ C‖u‖2H1‖u‖4d

L2 (7.34)

ne suffit pas et nous allons montrer que

∀u ∈ H1,

∫|u|2+ 4

d dx ≤ C

[supy∈Rd

∫B(y,1)

|u|2 dx

] 2d

‖u‖2H1 (7.35)

qui, combinée avec (7.32) et la borne H1 uniforme sur (un)n∈N implique (7.33) pour q = 2+ 4d ·

Etant donné que 2 < 2 + 4d < 2∗, il est facile de généraliser à tout 2 < q < 2∗ en utilisant les

inégalités de Hölder et de Sobolev.Pour montrer (7.35), considérons une partition de Rd par des rectangles Qj disjoints de

côté 12 . Supposons d ≥ 3 et écrivons l’inégalité de Hölder en remarquant que

1

2 + 4d

=α

2+

1− α2dd−2

avec α =2

d+ 2

et donc pour tout rectangle Qj ,

‖u‖L2+ 4

d (Qj)≤ ‖u‖αL2(Qj)

‖u‖1−αL2∗ (Qj)

puis par inégalité de Sobolev dans Qj :

‖u‖2+ 4d

L2+ 4d (Qj)

≤ C‖u‖4d

L2(Qj)‖u‖2H1(Qj)

où la constante de Sobolev ne dépend pas de j par invariance translationnelle de la mesure deLebesgue, et de la norme H1. Le fait que la norme H1 sorte avec l’exposant 2 justifie le choixde la puissance 2 + 4

d et permet de sommer sur les cubes Qj disjoints :∫Rd|u|2+ 4

d dx =∑j≥1

∫Qj

|u|2+ 4d dx

≤ C[supj≥1 ‖u‖2L2(Qj)

] 2d∑j≥1

‖u‖2H1(Qj)= C

[supj≥1‖u‖2L2(Qj)

] 2d

‖u‖2H1

ce qui démontre (7.35). Le cas d = 1, 2 s’ensuit de manière similaire et est laissé au lecteur.

130

Etape 4. µ = M : compacité. Etant donné R > 0 , soit yk(R) tel que

ρnk(R) =

∫B(yk(R),R)

|unk(x)|2dx. (7.36)

Soit ε ∈]0, M2 [ . Alors d’après (7.30), il existe R0, R(ε) > 0 tels que

ρ(R0) >M

2et ρ(R(ε)) > M − ε.

Donc il existe k0(ε) tel que : ∀k ≥ k0(ε) ,

ρnk(R0) =

∫B(yk(R0),R0)

|unk |2 dx >

M

2et ρnk(R(ε)) =

∫B(yk(R(ε)),R(ε))

|unk |2 dx > M − ε.

Mais la suite (unk)k∈N est de masse totale M , donc les boules

B(yk(R0), R0) et B(yk(R(ε)), R(ε))

ne peuvent être disjointes, et donc il existe R1(ε) et k0(ε) tels que :

∀k ≥ k0(ε),

∫B(yk(R0),R1(ε))

|unk |2 ≥M − ε.

Quitte à augmenter la valeur de R1(ε) pour les valeurs k ∈ 1, · · · , k0(ε) , on déduit dela propriété de masse constante que la suite vk = unk(· − yk(R0)) est L2 -étroite :

∀ε > 0, ∃R2(ε) > 0 telle que ∀k ≥ 1,

∫|y|≥R2(ε)

|vk(y)|2dy < ε.

La compacité locale de l’injection de Sobolev H1 → L2(B(0, R2(ε))) implique maintenant quevk est L2(Rd) compacte, et donc Lq(Rd) compacte par interpolation pour 2 ≤ q < 2∗ grâce àla borne H1 uniforme et au théorème 3.1.3.Etape 5. 0 < µ < M : dichotomie. Décomposons unk en

unk = vk + wk + zk

avec

vk = unk1|y−yk(Rk2

)|≤Rk2, wk = unk1|y−yk(

Rk2

)|≥Rk, zk = unk1Rk

2<|y−yk(

Rk2

)|<Rk.

La clé est de remarquer que (7.36) et (7.30) impliquent :∫|zk|2 dx =

∫B(yk(

Rk2

),Rk)|unk |

2 dx−∫B(yk(

Rk2

),Rk2

)|unk |

2 dx

≤ ρnk(Rk)−∫B(yk(

Rk2

),Rk2

)|unk |

2 dx = ρnk(Rk)− ρnk(Rk2

)

−→ 0 quand k → +∞. (7.37)

La dichotomie s’ensuit en remplaçant les fonctions caractéristiques par des fonctions régulièresqui passent de 1 à 0 sur des plages tendant vers 0. Les normes Lq , 2 ≤ q < 2∗ sur les plagesde transition tendront ainsi vers 0 par interpolation entre (7.37) et la borne uniforme H1 , etle lecteur motivé démontrera sans peine en écrivant les formules explicites que la norme L2 dugradient ne peut que décroître. Ceci conclut la preuve du Lemme 7.3.1.

131

7.4 Exercices

Exercice 7.1 (Etat fondamental radial d’une étoile gazeuse). On se place dans R3 . A toutefonction positive u : R3 → R+ , on associe le champ de Poisson

Eudéf= ∇φu avec φu

déf= − 1

4π|x|? u.

Le potentiel φu est donc solution de∆φu = u. (7.38)

(i) Montrer que

|Eu(x)| . 1

|x|2? |u|.

En déduire‖Eu‖L2 . ‖u‖

13

L2‖u‖23

L1 .

(ii) Calculer Eu en fonction de u . En déduire :

‖Eu‖H1 . ‖u‖L2 + ‖u‖L1 .

(iii) Soit (un)n∈N une suite bornée de L1 ∩ L2 telle que

un u dans L2.

Montrer en utilisant l’identité de Fourier-Plancherel que

∀φ ∈ C∞c (R3),

∫Eunφdx −→

∫Euφdx.

En déduire queEun Eu dans L2.

(iv) On suppose que u est à symétrie sphérique. On admet la formule de représentationradiale :

Eu(r) = φ′u(r)er =

(1

r2

∫ r

0τ2u(τ)dτ

)x

|x|·

Montrer que

∀R > 0,

∫|x|≥R

|Eu|2dx .‖u‖2L1

R·

(v) Soit (un)n∈N une suite bornée de fonctions positives et à symétrie sphérique de L1 ∩L2.Montrer qu’on peut trouver une sous-suite (uϕ(n))n∈N telle que

uϕ(n) u dans L2

etEuϕ(n) → Eu dans L2.

132

(vi) Soit M > 0 et

A(M) =u : R3 7→ R+ avec u ∈ L2(R3) et

∫R3

u dx = M·

Soit

I(M) = infu∈A(M)

[∫R3

|u|2 dx−∫R3

|Eu|2 dx].

Montrer que−∞ < I(M) < 0.

(vii) Calculer I(M) en fonction de M et I(1) .

(viii) Soit Arad(M) le sous-ensemble des fonctions u de A(M), qui sont à symétrie sphérique.Soit

Irad(M) = infu∈Arad(M)

[∫R3

|u|2 dx−∫R3

|Eu|2 dx].

Montrer que Irad(M) est atteint.

Exercice 7.2 (Modèle cinétique d’étoiles). Une galaxie est un amas de 1015 étoiles. On enfait une description statistique en considérant la fonction de distribution f(x, v) ≥ 0 quicorrespond à la densité d’étoiles qui en x ∈ R3 ont la vitesse v ∈ R3 . La densité d’étoilestotale en x est donc

ρf (x) =

∫v∈R3

f(x, v) dv.

Le nombre total d’étoiles est

‖f‖L1(R6) =

∫R6

f(x, v) dx dv =

∫R3

ρf (x) dx.

L’énergie cinétique totale de la galaxie est

Ecin(f) =1

2

∫R6

|v|2f(x, v) dx dv.

Enfin les étoiles sont soumises à leur seule interaction gravitationnelle, et donc l’énergie po-tentielle de la galaxie est donnée par

Epot(f) =

∫R3

|∇φf (x)|2 dx où φf (x) = − 1

4π

∫R3

ρf (y)

|x− y|dy.

Etant donnés M1,M2 > 0 , nous considérons le problème de minimisation suivant

I(M1,M2) = inff∈A(M1.M2)

E(f)

qui définit une galaxie stable, où

A(M1.M2) =f(x, v) ≥ 0, ‖f‖L1(R6) = M1, ‖f‖L2(R6) = M2

et

E(f) =1

2

∫R6

|v|2f dx dv −∫R3

|∇φf (x)|2 dx.

133

(i) Soit x ∈ R3 . En découpant en |v| ≤ R et |v| ≥ R , montrer que

|ρf (x)| . R32

(∫R3

f2(x, v) dv

) 12

+1

R2

∫R3

|v|2f(x, v) dv.

(ii) En déduire en optimisant sur R que

∀x ∈ R3, |ρf (x)| .(∫

R3

|v|2f(x, v) dv

) 37(∫

R3

f2(x, v) dv

) 27

.

(iii) En déduire en utilisant l’inégalité de Hölder que

‖ρf‖L

75 (R3)

. ‖|v|2f‖37

L1(R6)‖f‖

47

L2(R6).

(iv) En déduire toujours en utilisant l’inégalité de Hölder que

‖ρf‖2L

65 (R3)

. ‖|v|2f‖12

L1(R6)‖f‖

56

L1(R6)‖f‖

23

L2(R6).

(v) Montrer que

|∇φf (x)| . 1

|x|2? ρf .

En déduire l’inégalité d’interpolation :∫|∇φf (x)|2 dx . ‖|v|2f‖

12

L1(R6)‖f‖

56

L1(R6)‖f‖

23

L2(R6).

(vi) Montrer queI(M1,M2) > −∞.

(vii) En utilisant le changement d’échelle

fλ(x, v) = f(xλ, λv), λ > 0

montrer queI(M1,M2) < 0.

(viii) En utilisant un changement d’échelle de la forme

fλ,µ(x, v) =µ

λ2f(xλ, µv), λ, µ > 0,

montrer queI(M1,M2) = M

56

1 M13

2 I(1, 1).

134

Chapitre 8

Explosion : une introduction

Dans l’ensemble, les mécanismes d’explosion, c’est-à-dire de perte de régularité en tempsfini, pour les EDP d’évolution non linéaires sont encore très mal compris 1. Les scénarios pou-vant amener à l’explosion sont en général très complexes et prennent des formes très variées :ondes de chocs, turbulence, concentration de l’énergie sur des structures non linéaires com-plexes, etc. Elucider cette question quelque peu mystérieuse fait partie des grands défis ma-thématiques du 21e siècle. Un exemple célèbre issu de la mécanique des fluides est le problèmede l’explosion en temps fini pour le système de Navier-Stokes incompressible en dimension 3.L’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) est un problème de difficulté intermédiaire,dont la compréhension s’est considérablement accélérée ces quinze dernières années, grâce auxtechniques d’analyse présentées dans cet ouvrage notamment.

En guise d’introduction aux phénomènes d’explosion pour les EDP non linéaires, nousprésentons ici un résultat pionnier des années 1990 dû à Frank Merle, et qui est au cœur d’unerévolution conceptuelle dans l’approche des EDP dispersives 2 : la classification de la solutionexplosive minimale pour (NLS).

Pour simplifier au maximum la présentation, nous nous concentrerons dans tout ce chapitresur le modèle historique de l’optique non linéaire :

i∂tu+ ∆u+ u|u|2 = 0u|t=0 = u0

, (t, x) ∈ R× R2 (8.1)

qui est L2 critique en dimension d = 2.

8.1 Dynamiques critiques et objets minimaux

Au chapitre 6, nous avons présenté une première caractérisation variationnelle de l’ondesolitaire, qui est valable pour (5.1) dès que sc < 1 , et donc en particulier pour (8.1). Cependant,l’analyse de la stabilité de l’onde solitaire du chapitre 7 nécessite la condition plus forte sc < 0,et ne peut s’appliquer telle quelle au cas critique sc = 0. Dans cette section, nous allonsintroduire une caractérisation dynamique de l’onde solitaire qui s’applique à (8.1) : nous verronsque c’est le "plus petit objet non linéaire", c’est-à-dire la première solution (en termes de masse)qui ne se disperse pas en temps long.

1. Il existe quand même quelques (rares) classes d’équations pour lesquelles on sait classifier les solutionsexplosives : l’équation de la chaleur en symétrie sphérique autour de solutions particulières explicites, parexemple.

2. Voir la "route map" à la Kenig-Merle [32], pour une description documentée.

135

8.1.1 Nouvelle caractérisation variationnelle de Q

Cette sous-section est consacrée à la présentation d’une caractérisation alternative de l’ondesolitaire (découverte par M. Weinstein dans [40]) directement liée à la description des meilleuresconstantes dans les inégalités de Gagliardo-Nirenberg.

Proposition 8.1.1 (Meilleure constante dans l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg). Soit

J(u)déf=‖∇u‖2L2‖u‖2L2

‖u‖4L4

·

Alors

infu∈H1\0

J(u) = J(Q) =‖Q‖2L2

2, (8.2)

et l’ensemble des fonctions où l’infimum est atteint est donné par la famille

a0Q(λ0x+ x0)eiγ0 avec (a0, λ0, x0, γ0) ∈ R∗ × R∗+ × R2 × R.

Dém. La preuve est une variante des arguments variationnels que nous avons déja vus.Etape 1. Réduction à ‖u‖L2 = ‖u‖L4 = 1. En dimension d = 2 et pour p = 4, l’inégalitéde Gagliardo-Nirenberg (3.16) s’écrit :

∀u ∈ H1, ‖u‖4L4 . ‖∇u‖2L2‖u‖2L2 .

En conséquence,J = inf

u∈H1\0J(u) > 0. (8.3)

En outre, un calcul immédiat donne

J(au(λ·)) = J(u), ∀(a, λ) ∈ R∗ × R∗+,

et donc en ajustant les constantes a, λ, on constate que

J = inf‖u‖L2=1, ‖u‖L4=1

‖∇u‖2L2 . (8.4)

Etape 2. Infimum atteint. Etant donné u ∈ H1 , soit sa fonction de distribution

µu(t)déf=∣∣∣x ∈ R2 avec |u(x)| > t

∣∣∣, t ≥ 0.

On associe à u son réarrangement symétrique u∗ qui est l’unique fonction à symétrieradiale, décroissante telle que

∀t > 0, µu∗(t) = µu(t).

L’identité (2.15) assure∀p ≥ 1, ‖u∗‖Lp = ‖u‖Lp .

Ce qui est beaucoup moins trivial et que nous admettons, c’est que cette transformationfait décroître l’énergie cinétique 3 :∫

|∇u|2 dx ≥∫|∇u∗|2 dx.

3. Inégalité de Polya-Szego, [30].

136

Etant donnée une suite minimisante (un)n∈N avec ‖un‖L2 = ‖un‖L4 = 1 , on en déduitque la suite (vn)n∈N définie par vn = u∗n est une suite minimisante à symétrie sphérique.Par semi-continuité inférieure de l’énergie cinétique (cf (1.5)), et compacité de l’injectionde Sobolev H1

r → L4 , on peut extraire une sous-suite (vϕ(n))n∈N telle que vϕ(n) vdans H1 avec :

J ≥ ‖∇v‖2L2 , ‖v‖L4 = 1 et ‖v‖L2 ≤ 1.

Si ‖v‖L2 < 1 alors J(v) < J ce qui contredit la définition de J. Donc l’infimum estatteint en v.

Etape 3. Classification des minimiseurs. Tout d’abord observons que si u est un mini-miseur alors v = |u| aussi par (6.6). Donc on peut se limiter à l’étude des minimiseurspositifs. Nous voulons montrer l’existence de deux multiplicateurs de Lagrange λ, µ telsque

∆v − λv + µv3 = 0. (8.5)

Pour ce faire, en reprenant la démarche du chapitre 6, on fixe h ∈ C∞c (R2) puis, pourt ∈ R suffisamment proche de 0, on pose vt

déf= at(v + th)(λt·) avec at et λt choisis de

telle sorte que‖vt‖L2 = 1 et ‖vt‖L4 = 1.

Un calcul facile donne (en se souvenant que ‖v‖L2 = ‖v‖L4 = 1) :

at =‖v + th‖L2

‖v + th‖2L4

et λt =

(‖v + th‖L2

‖v + th‖L4

)2

·

Donc

‖∇vt‖2L2 = a2tλ

2t

∫|(∇(v + th))(λtx)|2 dx

=‖v + th‖2L2

‖v + th‖4L4

∫ (|∇v(x)|2 + 2t∇v(x) · ∇h(x) + t2|∇h(x)|2

)dx.

Puis en utilisant (6.10), (6.11), et (6.12) avec p = 3,

‖∇vt‖2L2 =

(1 + 2t

∫vh dx

1 + 4t∫v3h dx

)(‖∇v‖2L2 − 2t

∫∆v h dx

)+O(t2).

Donc

‖∇vt‖2L2 = ‖∇v‖2L2 + 2

(‖∇v‖2L2

∫(v − 2v3)h dx−

∫∆v h dx

)t+O(t2).

Cette expression assure que la fonction t 7→ ‖∇vt‖2L2 est dérivable près de 0. Commeelle atteint un minimum en 0, on conclut à (8.5) avec

λ = ‖∇v‖2L2 = J et µ = 2λ.

Comme λ et µ sont strictement positifs, on peut ajuster deux constantes a, b > 0 desorte que w déf

= av(b· ) satisfasse :

∆w − w + w3 = 0, w ≥ 0, w ∈ H1\0.

On conclut avec le Théorème 7.2.1 à l’existence de x0 ∈ R2 tel que w = Q(· −x0).

137

Revenons à u. Comme Q ne s’annule pas et u est un minimiseur, la relation∫|∇u|2 dx =

∫|∇|u||2 dx

assure u = |u|eiγ pour γ ∈ R, ce qui complète la classification des minimiseurs.Enfin pour démontrer (8.2), il nous reste à multiplier par Q+ x · ∇Q l’équation vérifiéepar Q, pour calculer grâce à l’identité de Pohozaev :∫

|∇Q|2 dx =1

2

∫Q4 dx i.e. E(Q) = 0. (8.6)

Donc J = J(Q) =1

2‖Q‖2L2 .

Nous utiliserons la Proposition 8.1.1 sous la forme du corollaire suivant :

Corollaire 8.1.1 (Borne inférieure de l’énergie). On a la borne inférieure optimale suivantesur l’énergie :

∀u ∈ H1, E(u)déf=

1

2

∫‖∇u‖2L2 −

1

4‖u‖4L4 ≥

‖∇u‖2L2

2

[1−‖u‖2L2

‖Q‖2L2

]· (8.7)

En outre, dans le cas ‖u‖L2 = ‖Q‖L2 , on a

E(u) = 0 si et seulement si u(x) = λ0Q(λ0x+ x0)eiγ0

pour un jeu de paramètres (λ0, x0, γ0) ∈ R∗+ × R2 × R.

Dém. Par la Proposition 8.1.1 :

∀u ∈ H1, J(u) =‖∇u‖2L2‖u‖2L2

‖u‖4L4

≥ J(Q) =‖Q‖2L2

2

ce qui implique immédiatement (8.7). En outre, si E(u) = 0 et ‖u‖L2 = ‖Q‖L2 , alorsJ(u) = J(Q) et donc u = a0Q(λ0x + x0)eiγ0 . La contrainte ‖u‖L2 = ‖Q‖L2 fixe laconstante a0 à λ0 .

En d’autres termes, l’énergie totale contrôle l’énergie cinétique pour les fonctions de masse‖u‖L2 < ‖Q‖L2 et est donc en particulier strictement positive, et au niveau critique ‖u‖L2 =‖Q‖L2 , la seule fonction d’énergie nulle est l’onde solitaire (aux symétries près).

8.1.2 Stabilité orbitale généralisée de l’onde solitaire

Un corollaire important de cette nouvelle classification dynamique est la proposition sui-vante qui est l’analogue L2 critique de la Proposition 7.1.2 dévolue au cas sous-critique.

Proposition 8.1.2 (Stabilité orbitale à masse critique). Soit (un)n∈N une suite de H1 telleque

‖un‖L2 = ‖Q‖L2 , ‖∇un‖L2 → ‖∇Q‖L2 et lim supn→+∞

E(un) ≤ 0. (8.8)

Alors à extraction près, il existe deux suites (xn)n∈N et (γn)n∈N d’éléments de R2 et de R,respectivement, telles que

un(·+ xn)eiγn → Q dans H1.

138

Dém. Il s’agit essentiellement d’appliquer le lemme de concentration compacité 7.3.1 à lasuite (un)n∈N qui est bornée dans H1 par hypothèse. Nous allons dans un premier tempsvérifier que les scénarios “évanescence” et “dichotomie” sont exclus.

Etape 1. “Evanescence” est impossible. On aurait alors un → 0 dans L4, et donc

E(un) =1

2‖∇un‖2L2 −

1

4

∫|un|4 dx→

‖∇Q‖2L2

2,

ce qui contredit (8.8).

Etape 2. “Dichotomie” est impossible. Si la dichotomie se produisait alors les suites(vn)n∈N et (wn)n∈N de dichotomie seraient asymptotiquement de masse strictement sous-critique par (7.22) : il existe α ∈]0, 1[ tel que∫

|vn|2 dx→ α‖Q‖2L2 et∫|wn|2 → (1− α)‖Q‖2L2 dx.

Donc par (8.7), pour n assez grand,

E(vn) & ‖∇vn‖2L2 et E(wn) & ‖∇wn‖2L2 .

Or par (7.23), (7.24) et l’hypothèse (8.8),

0 ≥ lim supE(un) ≥ lim sup(E(vn) + E(wn)

)& lim sup

n→+∞

[‖∇vn‖2L2 + ‖∇wn‖2L2

].

On en conclut par interpolation que (vn, wn) → 0 dans L4 et donc par (7.23), un → 0dans L4 . On est donc ramené au cas vanishing, dont on a démontré qu’il était impossible.

Etape 3. Convergence forte H1 à translation près. Des étapes 1 et 2 et du lemme deconcentration compacité, on déduit que la suite est compacte à translation (et extraction)près : il existe une suite (xn)n∈N de R2 telle que

un(·+ xn)→ v dans Lr, ∀ 2 ≤ r < +∞.

Quitte à extraire à nouveau, il y a aussi convergence faible dans H1 . Donc (8.8) implique

‖v‖L2 = ‖Q‖L2 , E(v) ≤ 0

et donc E(v) = 0 par l’inégalité (8.7). Finalement, on a donc

J(v) =‖Q‖2L2

2= J(Q).

Par la proposition 8.1.1, on conclut qu’il existe a0, λ0 > 0, γ0 ∈ R et x0 ∈ R2 tels quev(x) = a0Q(λ0x+x0)eiγ0 . Les deux contraintes ‖v‖L2 = ‖Q‖L2 et ‖v‖L4 = ‖Q‖L4 fixentles constantes : a0 = λ0 = 1.

8.1.3 Minimalité de l’onde solitaire

Une conséquence de la caractérisation variationnelle de l’onde solitaire est sa minimalitéau sens dynamique : c’est la solution dispersive de masse minimale.

139

Proposition 8.1.3 (Q est minimal). Soit u0 ∈ H1 avec

‖u0‖L2 < ‖Q‖L2 . (8.9)

Alors la solution correspondante de (8.1) est globale en temps et se disperse en ±∞ : il existeu±∞ dans H1 tels que

limt→±∞

‖u− eit∆u±∞‖H1 = 0. (8.10)

Dém. Etape 1. Existence globale. Il suffit de remarquer que l’inégalité (8.7) appliquée u(t),combinée avec la conservation de la masse et de l’énergie, implique une borne uniformesur la norme H1 :

∀t ∈ [0, T [, ‖u(t)‖H1 ≤ C(u0),

ce qui via le critère d’explosion (5.3) implique T = +∞ .

Etape 2. Scattering. Supposons pour simplifier la présentation que u0 a la régularitésupplémentaire 4 Σ. On peut alors utiliser la propriété d’invariance conforme (4.22) ducas linéaire, qui est encore une symétrie du flot non linéaire dans le cas L2 -critique quenous considérons ici. Définissons alors v par la relation :

u(t, x) =1

1 + tv

(t

1 + t,

x

1 + t

)ei|x|2

4(1+t) ·

La fonction v est encore solution de (8.1) et

∀t 6= −1, ‖v(T, ·)‖L2 = ‖u(t, ·)‖L2 < ‖Q‖L2 avec T =t

1 + t

car la symétrie conforme est une isométrie L2. Donc v est une solution globale de (8.1)vérifiant en particulier

v(T,X)→ v(1, X) dans H1 quand T → 1,

et (8.10) s’ensuit par un calcul explicite.

8.2 Classification dynamique de l’onde solitaire

Nous concluons ce chapitre par la présentation d’un résultat d’un genre sans doute nou-veau pour le lecteur mais qui est néanmoins un exemple canonique d’étude qualitative d’EDPdispersive non linéaire 5.

Nous avons jusqu’à présent caractérisé l’onde solitaire de manière variationnelle. Nous allonsmontrer ici une caractérisation dynamique au sein du flot de (8.1) : aux symétries près, c’estl’unique solution non dispersive de masse minimale. Cette caractérisation dynamique est aucœur d’une révolution conceptuelle dans l’analyse des EDP non linéaires, voir par exemple [32]pour une introduction élémentaire.

4. La propriété de dispersion demeure vraie sous la seule hypothèse que u0 est dans H1 et vérifie (8.9),mais est beaucoup plus subtile.

5. Voir [32] pour une introduction élémentaire à ce type de problématique.

140

8.2.1 Existence de la solution explosive minimale

Le critère d’existence globale (8.9) est optimal aux deux sens suivants : tout d’abord l’ondesolitaire u(t, x) = Q(x)eit est une solution globale mais non dispersive de masse minimale‖u(t, ·)‖L2 = ‖Q‖L2 , mais en outre il existe une solution explosive en temps fini de masseminimale ‖Q‖L2 . En effet, l’invariance conforme (4.22) est dans le cas L2 critique encore unesymétrie du flot non linéaire, et en échangeant les rôles de t et T = t

1+t , on obtient la formule

v(T,X) =1

1− Tu

(T

1− T,

X

1− T

)e−i |X|

2

4(1−T ) .

Appliquée à l’onde solitaire u(t, x) = Q(x)eit , on obtient la solution explicite

S(t, x) ≡ 1

1− tQ

(x

1− t

)e−i |x|

2

4(1−t)+ it1−t , (8.11)

qui correspond à la donnée initiale Q à un déphasage près :

S(0, x) = Q(x)e−i|x|24 .

La solution S explose au temps t = 1 à vitesse

‖∇S(t, ·)‖L2 =c

1− t,

mais est globalement définie pour les temps négatifs, et se disperse quand t→ −∞ . En outre,l’invariance conforme étant une isométrie L2 , cette solution a la masse minimale

‖S(t, ·)‖L2 = ‖Q‖L2 .

Ceci montre que le critère d’existence globale (8.9), dicté initialement par des considérationsvariationnelles, est en fait optimal.

8.2.2 Unicité et classification dynamique de l’onde solitaire

Une propriété spectaculaire de la solution S est que l’explosion au temps t = 1 correspondà la concentration de toute la masse en un seul point de l’espace : l’origine. En effet, à l’aidede l’expression de S donnée dans (8.11), on montre facilement que

|S(t, ·)|2 ‖Q‖2L2δx=0 dans D′(R2). (8.12)

Donc toute la masse disponible au temps t = 0 est concentrée dans la singularité. Tout commel’onde solitaire Q(x)eit qui ne perd aucune énergie en se propageant, la solution explosiveminimale est un objet non dispersif et compact dans H1 aux symétries du flot près, qui n’éjecteaucune masse durant l’évolution. L’intuition fondamentale pour l’étude des EDP dispersivesnon linéaires qui émerge depuis une vingtaine d’années est que ces solutions très particulièressont des bulles d’énergie isolées, et que génériquement n’importe quelle solution se décomposeen une somme de telles bulles, et un reste dispersif. Classifier dynamiquement les bulles nondispersives est donc une étape fondamentale de la compréhension du flot pour toute donnée.Un résultat pionnier dans le domaine est donné par un Théorème de F. Merle (1992), [29] :

141

Théorème 8.2.1 (Unicité de la solution explosive minimale). Soit u0 ∈ H1 telle que

‖u0‖L2 = ‖Q‖L2 .

Si la solution maximale correspondante u ∈ C([0, T [;H1) explose en temps fini T < +∞ , alors

u(t, x) ≡ S(t, x)

aux symétries du flot près 6.

De manière équivalente, l’invariance conforme permet d’obtenir la classification dynamique 7

de l’onde solitaire :

Corollaire 8.2.1 (Classfication dynamique de l’onde solitaire). Soit u0 ∈ H1 tel que

‖u0‖L2 = ‖Q‖L2 .

Si u n’est pas égale à l’onde solitaire alors il s’agit ou bien de la solution explosive minimaleS (aux symétries du flot près), ou bien u est globale en temps et se disperse en ±∞.

En d’autres termes, on peut étendre la Proposition 8.1.3 au cas limite ‖u0‖L2 = ‖Q‖L2 , etle même résultat reste vrai modulo l’apparition de deux solutions exceptionnelles complètementclassifiées : les dynamiques limites dont l’évolution est compacte dans H1 aux symétries du flotprès. Ce résultat est fondamental pour deux raisons. Tout d’abord la démonstration commenous allons le voir est dynamique et va très au-delà des seules méthodes variationnelles quisuffisent à démontrer la Proposition 8.1.3. Ensuite, elle constitue un tremplin pour l’analysede toutes les données initiales u0 telles que ‖Q‖L2 < ‖u0‖L2 < ‖Q‖L2 +α∗ , avec 0 < α∗ 1 ,pour lesquelles de nouvelles dynamiques ont été exhibées. C’est une première étape vers laclassification du flot autour de l’onde solitaire qui est le pendant masse critique de la stabilitéde l’onde solitaire pour sc < 0 du chapitre 7.

8.2.3 Démonstration du Théorème 8.2.1

Soit donc u0 ∈ H1 une solution explosive de masse critique : ‖u0‖L2 = ‖Q‖L2 , et u ∈C([0, T [;H1) la solution maximale correspondante de (8.1). On suppose que cette solutionexplose en temps fini : T < +∞ .Etape 1. Stabilité orbitale de l’onde solitaire et compacité H1 du flot. Introduisons le facteurde renormalisation

λ(t)déf=‖∇Q‖L2

‖∇u(t)‖L2

· (8.13)

Alors le critère d’explosion (5.3) assure

limtT

λ(t) = 0. (8.14)

Soit v la renormalisée de u définie par :

v(t, x)déf= λ(t)u(t, λ(t)x).

Alors par (8.13) :‖∇v(t, ·)‖L2 = ‖∇Q‖L2 .

6. C’est-à-dire scaling, phase et translations, voir Proposition 5.2.1.7. et non plus seulement variationnelle.

142

Puis par conservation de la masse :

‖v(t, ·)‖L2 = ‖u(t, ·)‖L2 = ‖Q‖L2

et par conservation de l’énergie et (8.14) :

E(v(t)) = λ2(t)E(u(t)) = λ2(t)E(u0)→ 0 quand t→ T.

On conclut de la Proposition 8.1.2 qu’il existe (x(t), γ(t)) ∈ R2 × R tels que :

v(t, ·+ x(t))eiγ(t) → Q dans H1 quand t→ T.

En revenant à u, on voit que cette convergence entraîne que

u(t, x) =1

λ(t)[Q+ ε]

(x− x(t)

λ(t)

)eiγ(t) avec lim

t→T‖ε(t, ·)‖H1 = 0. (8.15)

En d’autres termes, modulo les symétries du flot, u a une limite forte dans H1 quand t→ T,et n’éjecte pas de masse : on dit que le flot est non dispersif ou compact dans H1 .Etape 2. Une inégalité à la Cauchy-Schwarz. En vertu de (8.7), pour u ∈ H1 avec ‖u‖L2 <‖Q‖L2 , l’énergie totale contrôle l’énergie cinétique 1

2‖∇u‖2L2 . Dans cette étape, nous allons

démontrer une inégalité un peu plus faible, à savoir∣∣∣∣Im(∫ w∇w · ∇ψ dx)∣∣∣∣2 ≤ 2E(w)

∫|∇ψ|2|w|2 dx, (8.16)

valable pour tout w ∈ H1 avec ‖w‖L2 ≤ ‖Q‖L2 et ψ fonction régulière. En effet, on calculepour tout a ∈ R :

E(weiaψ) = E(w) + a Im

(∫w∇w · ∇ψ dx

)+

1

2a2

∫|w|2|∇ψ|2 dx.

Maintenant, il est clair que ‖weiaψ‖L2 = ‖Q‖L2 , et donc E(weiaψ) ≥ 0 par (8.7), ce qui donne(8.16) en écrivant que le discriminant du polynôme d’ordre 2 en a est négatif.Etape 3. Etroitesse L2 et contrôle du point de concentration. Nous injectons maintenant lapremière information dynamique. Elle est basée sur la localisation de la loi de conservation dela masse et va nous permettre de montrer que le flot est L2 étroit, c’est-à-dire :

∀ε > 0, ∃R > 0 t.q. ∀t ∈ [0, T [,

∫|x|≥R

|u(t, x)|2dx < ε. (8.17)

Observons par (8.15) que cela implique automatiquement le contrôle du point de concentration :

lim supt→T

|x(t)| < +∞. (8.18)

Montrons (8.17). Soit χ une fonction de localisation à symétrie sphérique telle que χ(r) = 0

pour r ≤ 12 et χ(r) = 1 for r ≥ 1 . Soit R > 0 et χR(x)

déf= χ

(xR

). On calcule l’évolution de

la masse localisée :1

2

d

dt

∫χR|u|2 dx = Re

(∫χR∂tuu dx

)= Im

(∫i∂tuχRu dx

)= − Im

(∫[∆u+ u|u|2)χRu dx

)= Im

(∫∇u · ∇(χRu) dx

)= Im

(∫∇u · ∇χRu dx

). (8.19)

143

On en déduit par (8.16) et en utilisant la conservation de la masse :

∣∣∣∣ ddt∫χR|u|2 dx

∣∣∣∣ .√E(u0)

(∫|∇χR|2|u|2 dx

) 12

.

√E(u0)‖u0‖L2√

R·

On intègre entre 0 et t < T et donc :

∀t ∈ [0, T [,

∫χR|u(t, x)|2dx ≤

∫χR|u0(x)|2dx+

C(u0)T√R

,

et (8.17) s’ensuit. Notons que cette étape utilise notre hypothèse d’explosion en temps fini.

Etape 4. Amélioration de la régularité. Nous allons maintenant démontrer que la solutionexplosive u est en fait plus régulière qu’escompté : elle est nécessairement dans C([0, T [; Σ) .Cette information qui ne peut être obtenue depuis la donnée initiale est une conséquence del’intégration rétrograde du flot depuis la singularité. C’est une étape très profonde de la dé-monstration, ce type de gain de régularité étant une propriété intrinsèque des objets compacts.En effet, remarquons tout d’abord par (8.18) que, quitte à translater u par un vecteur fixe, ilexiste une suite (tn)n∈N croissante tendant vers T vérifiant :

x(tn)→ 0 dans R2. (8.20)

Soit ψ une fonction radiale telle que ψ(r) = r2 pour r ≤ 1 , ψ(r) = 8 for r ≥ 2 et |∇ψ|2 ≤ Cψ.Soit A > 0 et ψA(r)

déf= A2ψ( rA). Alors il existe une constante C indépendante de A telle que

|∇ψA|2 ≤ CψA. (8.21)

On calcule alors à nouveau en combinant (8.19), (8.16) puis (8.21) :

∣∣∣∣12 d

dt

∫ψA|u|2 dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Im ∫ (∇ψA · ∇u u) dx

∣∣∣∣ .√E0

(∫|∇ψA|2|u|2 dx

) 12

.√E0

(∫ψA|u|2 dx

) 12

et donc : ∣∣∣∣∣ ddt√∫

ψA|u|2∣∣∣∣∣ .√E0. (8.22)

Par ailleurs, on voit directement avec (8.20) et (8.15) que∫ψA|u(tn)|2 dx→ 0 quand n→ +∞.

Donc, en intégrant (8.22) sur [t, tn] puis en faisant tendre n vers +∞, on obtient

∀t ∈ [0, T [,

√∫ψA|u(t)|2 dx ≤ C(E0)(T − t),

où nous avons à nouveau utilisé l’hypothèse de temps de vie fini.

144

Comme le membre de droite est indépendant de A , le lemme de Fatou assure en faisanttendre A vers +∞ que

∀t ∈ [0, T [, u(t) ∈ Σ avec∫|x|2|u(t, x)|2dx ≤ C(E0)(T − t). (8.23)

Etape 5. Invariance conforme et conclusion. La conclusion est maintenant purement algé-brique. Le contrôle (8.23) implique∫

|x|2|u(t, x)|2dx→ 0 quand t→ T.

Considérons alors la transformée conforme

v(t, x) =

(T

T + t

)N2

u

(tT

T + t,Tx

T + t

)ei|x|2

4(T+t) .

Alors‖v(t, ·)‖L2 = ‖u(t, ·)‖L2 = ‖Q‖L2

et un calcul direct assure :

E(v) =1

8limtT

∫|x|2|u(t, x)|2 dx = 0.

On déduit du Corollaire 8.1.1 que v ≡ Q aux symétries près, et donc u ≡ S aux symétriesprès.

8.3 Exercices

Exercice 8.1. Généraliser la Proposition 8.1.1 avec (p, d) tels que sc < 1 , et retrouver l’ondesolitaire comme atteignant la meilleure constante dans une inégalité de Gagliardo-Nirenbergadéquate.

Exercice 8.2. On considère une donnée initiale u0 ∈ H1 avec ‖u0‖L2 = ‖Q‖L2 +α∗ pour uncertain 0 < α∗ 1 . On suppose que la solution correspondante u ∈ C([0, T [;H1) de (NLS)L2 -critique (i.e. p = 1 + 4

d ) explose en temps fini. On définit v par la relation :

u(t, x) =1

λ(t)d2

v

(x

λ(t)

)avec λ(t)

déf=‖∇Q‖L2

‖∇u(t)‖L2

·

(i) Montrer quelimtT

E(v(t)) = 0.

(ii) En déduire qu’il existe (x(t), γ(t)) ∈ Rd × R tel que

∀x ∈ Rd, v(t, x+ x(t))eiγ(t) = Q(x) + ε(t, x)

avecsupt∈[0,T [

‖ε(t)‖H1 = o(1) quand α∗ → 0.

On raisonnera par l’absurde pour se ramener à la Proposition 8.1.2.

145

Exercice 8.3 (Concentration pour (NLS) cubique focalisant en dimension 2). On considère(8.1) avec une donnée initiale u0 ∈ H1

r . On suppose que la solution u radiale correspondanteexplose en temps fini 0 < T < +∞ . Nous allons montrer la propriété de concentration de lanorme L2 :

∀R > 0, lim inftT

∫|x|≤R

|u(tn, x)|2dx ≥ ‖Q‖2L2 .

On raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe ε,R > 0 et une suite (tn)n∈N convergeantvers T tels que

lim supn→+∞

∫|x|≤R

|u(tn, x)|2dx < ‖Q‖2L2 − ε.

(i) Soit

λ(t)déf=

1

‖∇u(t)‖L2

·

Rappeler pourquoiλ(t)→ 0 quand t→ T.

(ii) Soit vn(x) = λnu(tn, λnx) avec λn = λ(tn). Montrer que (vn)n∈N est une suite bornéedans H1 .

(iii) Calculer E(vn) .

(iv) Soit v une limite faible extraite de (vn)n∈N . Montrer que v est non nulle.

(v) Montrer que

E(v) ≤ 0 et 0 <

∫|v|2 dx ≤

∫Q2 dx − ε,

puis conclure.

146

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