Slide 1 Energétique du bâtiment Septembre - Décembre 2009 Calcul et modélisation d'un bâtiment...

É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E F É D É R A L E D E L A U S A N N E Slide 1

Energétique du bâtimentSeptembre - Décembre 2009

Calcul et modélisation d'un bâtiment – Simulation du comportement dynamique

Nicolas Morel


1. Calcul du bilan thermique mensuel: méthode LESOSAI


2. Simulation du comportement dynamique d'un bâtiment


Simulation dynamique: Pourquoi ?

1. Evaluation du confort thermique intérieur:

– une moyenne mensuelle ou même journalière n'est pas suffisante pour évaluer le confort thermique

– le confort thermique devrait être caractérisé par des indicateurs tels que:» des histogrammes du PMV, PPD ou de la moyenne Tair et Tmr» la fraction du temps durant laquelle une de ces quantités est inférieure

ou supérieure à une valeur seuil, considérée comme une valeur limite de confort (par exemple, la fraction de surchauffe, soit la fraction de temps durant laquelle la température de l'air est supérieure à 26 °C)



2. Bilan thermique de systèmes intermittents ou de systèmes qui font intervenir des comportements complexes ou des stratégies temporelles:

– de tels systèmes ne peuvent pas être représentés correctement par un état moyen (température moyenne)

– exemples:» bâtments à forts gains solaires passifs

» systèmes de contrôle des installations techniques

» comportement stochastique des utilisateurs du bâtiment



Température intérieure, °C (mesure, contrôleur NEUROBAT vs. conventionel):

15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PMV=Predicted Mean Vote (mesure, contrôleur NEUROBAT vs. conventionel):

-3 -2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3 -3 -2 -1 0 1 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3


Approches possibles de la simulation dynamique du

comportement thermique d'un bâtiment


Approches de la simulation thermique

Catégories principales de méthodes:

– méthodes de type "facteurs de réponse"» calcul de la réponse thermique d'un bâtiment comme une somme de

réponses à des excitations élémentaires

» transformation de Laplace (fonctions saut unité élémentaires)

» réponse harmonique (fonctions périodiques élémentaires)

» ...

– méthodes numériques» bâtiment représenté par un système ou réseau équivalent

» système d'équations solution



Facteurs de réponse Méthodes numériques

Avantages calcul rapide validation facile programmes faciles à

utiliser (en général)

flexibilité élevée

Inconvénients peu flexibles difficulté de simuler

les services techniques et leurs stratégies de contrôle

approximations

puissance de calcul nécessaire

logiciels souvent difficiles à maîtriser et nécessitant de bonnes connaissances en physique du bâtiment



Processus thermo-physiques qui interviennent dans un bâtiment:– processus de transfert de chaleur:

» conduction» convection naturelle (air)» convection forcée (air/eau), transfert de chaleur par un fluide caloporteur» échanges radiatifs

– sources de chaleur:» rayonnement solaire» système de chauffage/refroidissement» personnes» appareils» ...

– stockage de chaleur (sensible/latente)


Modèles thermiquesdynamiques simples


Modèles thermiques simples

En général, le terme "simple" fait référence à 2 aspects:– prise en considération d'un modèle thermo-physique simple de

l'objet à simuler» modèles avec des couplages thermiques conductifs uniquement

» modèle de bâtiment avec un nombre limité de "zones thermiques"

» calcul simplifié des gains solaires

"simplification du modèle thermo-physique"

– réduction du nombre d'équations permettant une description correcte de l'objet à simuler

» réduction du nombre de variables d'état sans signification physique

"réduction du modèle"


Modèle simple: réseau nodal équivalent

Approximation du modèle de bâtiment:– un ensemble de "noeuds", c'est-à-dire de zones que l'on peut

considérer à température homogène, ou dont certaines parties n'ont que peu d'influence sur la chaleur stockée

– des connexions thermiques entre ces noeuds par des "conductances équivalentes"

– des sources de chaleur sur certains des noeuds

La méthode du réseau nodal équivalent:– peut être considérée comme une méthode par éléments finis

(décomposition du bâtiment en éléments de taille variable)– nécessite une bonne compréhension de la physique du bâtiment

si l'utilisateur doit définir lui-même les noeuds de façon optimale


Modèle simple: réseau nodal équivalent

Hypothèses:– les noeuds 1,...,m sont les noeuds dont la température doit être

calculée en fonction du temps (m = 2 pour l'exemple)

– les noeuds m+1,...,n sont les noeuds dont la température est donnée en fonction du temps (conditions aux limites; par exemple la température de l'air extérieur; n = 3 pour l'exemple)


Réseau nodal équivalent: équations

Flux de chaleur du noeud i (température Ti) au noeud j (température Tj):qij = hij · (Ti – Tj)

hij [W/K]: conductance équivalente du noeud i au noeud j– conductance pure

– conductance équivalente (par exemple à un couplage radiatif)



Source de chaleur additionnelle sur noeud j:Sj [W]– par exemple rayonnement solaire ou système de chauffage

Capacité thermique du noeud j:Cj [J/K]– matériaux à chaleur sensible

– matériaux à changement de phase/chaleur latente non pris en compte ici (traitement spécial nécessaire à cause de la discontinuité)



Equation pour le noeud j (conservation de la chaleur):

),...,1(1111

),...,1()(

111

,1

mjThC

SC

ThC

ThCdt

dT

mjSTThdt

dTC

n

miiij

jj

jj

n

iij

j

m

iiij

j

j

n

jiijjiij

jj



Notation matricielle: dT/dt = A T + B U

avec:– T = vecteur des températures de noeuds (T1,..., Tm)

– U = vecteur des excitations extérieures (S1,..., Sm suivi par Tm+1,...,Tn)

– A, B = matrices du système d'équations (possiblement dépendantes du temps ou des températures)



(vecteur colonne m x 1) (vecteur colonne n x 1)

n

m

m

m

T

T

S

S

S

U

T

T

T

T

.

.

.

.

1

2

1

2

1



(matrice m x m)

n

imi

mm

m

m

m

mn

ii

mn

ii

hCC

h

C

h

C

hh

CC

hC

h

C

hh

C

A

1,

,2,1

2

2,

12,

22

2,1

1

1,

1

1,2

11,

1

1..

.....

.....

..1

..1



(matrice m x n)

mnm

mmmm

nm

nm

hC

hCC

hC

hCC

hC

hCC

B

,,1

2,2

2,122

1,1

1,111

1.

110000

........

........

1.

1000

10

1.

10000

1


Réseau nodal équivalent: résolution

Méthode par différence finie:– discrétisation du temps résolution du système d'équations

par pas de temps (variable ou fixe)

– pour un pas de temps élémentaire: connaissant T(t0), trouver T(t0+t); puis recommencer le processus jusqu'au temps final tf

Schémas de résolution explicite/implicite:– considérer l'expansion de Taylor de la température autour de la

valeur courante T(t0):T(t0+t) = T(t0) + t · T'(t0) + t2/2 · T''(t0) + ...T(t0-t) = T(t0) - t · T'(t0) + t2/2 · T''(t0) - ...



Schéma explicite– évaluation de la dérivée par différence avant de premier ordre:

T'(t0) = (T(t0+t)-T(t0))/t + (t)

– l'erreur est d'ordre t: diviser t par 2 signifie que l'erreur est également divisée par 2

– insérer l'expression de la dérivée dans le système d'équations: (T(t0+t)-T(t0))/t = A T(t0) + B U(t0) T(t0+t) = T(t0) + t (A T(t0) + B U(t0))

– avantage: calcul facile, pas d'inversion de matrice

– inconvénient: si le pas de temps est trop grand, la solution peut diverger (condition de Fourier, voir plus loin)



Schéma implicite– évaluation de la dérivée par différence arrière de premier ordre:

T'(t0) = (T(t0)-T(t0-t))/t + (t)l'erreur est d'ordre t (comme pour le schéma explicite)

– insérer l'expression de la dérivée dans le système d'équations:

– (T(t0)-T(t0-t))/t = A T(t0) + B U(t0) (T(t0+t)-T(t0))/t = A T(t0+t) + B U(t0+t) (I-t A) T(t0+t) = T(t0) + t B U(t0+t) T(t0+t) = (I-t A)-1 (T(t0) + t B U(t0+t))

– avantage: stabilité (pas de risque de divergence)

– inconvénient: calcul plus lourd (inversion matricielle)



Schéma de différence centrale– évaluation de la dérivée par différence centrale:

T'(t0) = (T(t0+ ½ t)-T(t0- ½ t))/(t) + (t2)l'erreur est d'ordre t2: diviser t par 2 signifie que l'erreur est divisée approximativement par 4

– (T(t0+ ½ t)-T(t0- ½ t))/t = A T(t0) + B U(t0) (T(t0+t)-T(t0))/t = A T(t0+t/2) + B U(t0+t/2)

– approximation: T(t0+t/2)=(T(t0+t)+T(t0))/2 (I- ½ t A) T(t0+t) = (I+ ½ t A) T(t0) + t B U(t0+ ½ t) T(t0+t) = (I-½ t A)-1 ((I+½ t A) T(t0) + t B U(t0+½ t))

– méthode Crank-Nicholson

– avantage: bonne convergence, stabilité (pas de risque de divergence)

– inconvénient: calcul plus lourd (comme précédemment, il faut inverser une matrice)



Stabilité pour le schéma explicite:– nombre de Fourier F = g t/C

» g = conductance totale vers tous les autres noeuds [W/K]

» C = capacité thermique [J/K]

– F peut être interprété comme le rapport de l'énergie transmise par conduction à l'énergie stockée dans la capacité thermique, durant un pas de temps

– condition de stabilité de Fourier: F ≤ ½ t ≤ C/(2 g)



Stabilité pour le schéma explicite (suite):

– Exemple 1: un noeud correspondant à une surface de 1 m2 d'une tranche de 10 cm d'un mur en béton

» capacité thermique C = 0.1 m3 · 2400 kg/m3 · 1000 J/kg K = 240 kJ/K

» conduction vers les noeuds voisins équivalente à deux fois 5 cm de béton (g = 2 · 1 m2 · 1.8 W/m K /0.05 m = 72 W/K)

» condition de Fourier: t ≤ 1700 s (un peu moins d'une demi-heure)

– Exemple 2: un noeud correspondant à l'air d'une pièce de 50 m3

» capacité thermique C = 50 m3 · 1.2 kg/m3 · 1000 J/kg K = 60 kJ/K

» conduction équivalente vers 100 m2 de mur + plancher + plafond, soit approximativement 100 m2 · 8 W/m2 K = 800 W/K

» la condition de Fourier devient t ≤ 40 s !!!


Réseau nodal équivalent: complexification

Pour augmenter la précision du modèle, le réseau nodal équivalent peut être complexifié par:– l'ajout de noeuds additionnels (augmentation du nombre de

variables d'état et diminution de la dispersion de température dans un noeud)

– la prise en compte d'autres modèles de transfert de chaleur (convection, radiation, etc)

– la prise en compte d'une dépendance explicite du temps pour les caractéristiques du réseau nodal équivalent

– une meilleure modélisation des termes de sources de chaleur (par exemple un radiateur transmettant la chaleur par convection à l'air ambiant et par rayonnement vers les surfaces de la pièce)

– la prise en compte d'algorithmes complexes de réglage des installations techniques

– ...


Réseau nodal équivalent: noeuds additionnels

Le choix des noeuds représente le problème le plus difficile dans l'élaboration d'un réseau nodal équivalent pour un objet complexe

En général, pour augmenter la pertinence physique d'un modèle, des noeuds doivent être ajoutés pour:– les éléments lourds (murs, dalles, etc)

» utiliser davantage qu'un noeud pour modéliser un mur lourd, afin de tenir compte de la dispersion de tempéraure et de la propagation de la chaleur dans le mur

– les éléments recevant des sources de chaleur importantes» surface extérieure d'un mur recevant du rayonnement solaire

– des zones thermiques avec des caractéristiques différentes» éviter la modélisation d'un bâtiment sous forme d'une seule zone» stratification des températures davantage qu'un noeud pour l'air d'une

pièce


Réseau nodal équivalent: noeuds additionnels

Exemple: Mur lourd multicouches, plusieurs noeuds à différentes profondeurs, gains solaires à la surface extérieure

(a) mur isolé (b) mur non isolé


Exemple: simulation simple(1 ou 2 noeuds) d'un bâtiment

monozone


Caractéristiques thermiques du bâtiment

Sud


Caractéristiques thermiques du bâtiment

Bâtiment parallélipipédique de 10m x 10m au sol, hauteur 6 m (2 étages), situé dans le climat de Lausanne

Isolation des éléments de construction:– Uparois = 0.3 W/m2K– Utoit = 0.2 W/m2K– Udalle sol = 0.4 W/m2K

Renouvellement d'air:– 0.3 vol/heure

capacité thermique:– Ceff = 0.5 MJ/K m2 de plancher

Fenêtres:– 20 m2 en façade sud, 10 m2 pour chacune des façades est et ouest, 5 m2 en façade

nord– fraction de cadre 20 %– double vitrage avec couche IR (Ufenêtre = 1.5 W/m2K, g = 0.60)

Hypothèse supplémentaire: négliger le couplage thermique vers le sol !


Premier modèle: 1 noeud

Paramètres du modèle:– T0 = température

initiale noeud 1 [°C]

– Aequ,i = surface équivalente de captage des gains solaires, façade i [m2]

– g1e = conductance équivalente intérieur - extérieur [W/K]

– C1 = capacité thermique effective intérieure [J/K]


Premier modèle: 1 noeud

Valeurs des paramètres du modèle:– T0 = 20 °C

– Aequ,sud = 20 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 9.6 m2

– Aequ,est = 10 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 4.8 m2

– Aequ,ouest = 10 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 4.8 m2

– Aequ,nord = 5 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 2.4 m2

– g1e = Afenêtre · Ufenêtre + Amur · Umur + Atoit · Utoit + dVren air/dt · air · Cp,air= (146 + 60) W/K = 206 W/K

– C1 = 0.5 MJ/m2 K · 200 m2 = 100 MJ/K

Remarque: constante de temps = C1/g1e = 5.6 jours


Deuxième modèle: 2 neuds

Paramètres du modèle:– T10 = température initiale

noeud 1 [°C]– T20 = température initiale

noeud 2 [°C]– Aequ,i = surface équivalente de

captage des gains solaires, façade i [m2]

– fsol = fraction des gains solaires passifs sur noeud 1

– g1e = conductance équivalente noeud 1 - extérieur [W/K]

– g2e = conductance équivalente noeud 2 – extérieur [W/K]

– g12 = conductance équivalente noeud 1 – noeud 2 [W/K]

– C1 = capacité thermique effective noeud 1 [J/K]

– C2 = capacité thermique effective noeud 2 [J/K]


Deuxième modèle: 2 noeuds

Valeurs des paramètres du modèle:– T10 = 20 °C

– T20 = 20 °C

– Aequ,sud = 20 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 9.6 m2

– Aequ,est = 10 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 4.8 m2

– Aequ,ouest = 10 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 4.8 m2

– Aequ,nord = 5 m2 · (1 - fcadre) · gfenêtre = 2.4 m2

– fsol = 0.5

– g1e = Afenêtre · Ufenêtre + dVren air/dt · air · Cp,air= (68 + 60) W/K = 128 W/K

– g2e = Amur · Umur + Atoit · Utoit = 78 W/K

– g12 = (Amur + Atoit + Astruct) · 8 W/m2K = (195 + 100 + 200) m2 · 6 W/m2K = 3000 W/K

– C1 = 0.5 MJ/m2 K · 200 m2 = 100 MJ/K

– C2 = Vair · air · Cp,air · Kmob = 0.72 MJ/K · 3 = 2.16 MJ/K


Données météo

Les données météo (conditions aux limites) sont à lire sur le fichier laushour2.csv– Lausanne, année synthétique produite par le logiciel

MeteoNorm

– 1er janvier au 31 décembre, heure par heure

– une ligne par pas de temps


Données météo: colonnes

Valeurs MeteoNorm– mois

– jour du mois

– heure du jour

– heure de l'année

– Text [°C]

– Iglob,hor [W/m2]

– Idiff,hor [W/m2]

– Iglob,vert sud [W/m2]

– Idiff,vert sud [W/m2]

– Idir,normal [W/m2]

– hsol [degrés, 0°=hor, 90°=zenith]

– azsol [degrés, 0=sud, -90=est, 90=ouest, 180=nord]

Valeurs supplémentaires (reconstruites)– Iglob,vert sud [W/m2]

– Idiff,vert sud [W/m2]

– Iglob,vert est [W/m2]

– Idiff,vert est [W/m2]

– Iglob,vert ouest [W/m2]

– Idiff,vert ouest [W/m2]

– Iglob,vert nord [W/m2]

– Idiff,vert nord [W/m2]

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