Géométrie

SMA6, 2011-2013

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : lesfariahmed@yahoo.frSite Web : http://lesfari.com

Table des matières

1 Variétés réelles ou complexes 31.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Cartes et coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Changement de cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Cartes compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Variétés diérentiables, analytiques et atlas . . . . . . . . . . . . 61.6 Variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Exemples, exercices et problèmes fondamentaux 6

3 Applications diérentiables, espaces tangents, brés tangents 323.1 Applications diérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Espaces tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Applications tangentes, immersions, submersions, plongement 414.1 Applications tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Immersions, submersions, plongement . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Théorème du rang constant, sous variétés, théorèmes de Sardet de Whitney 435.1 Théorème du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Sous variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Théorèmes de Sard et de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Formes diérentielles, champs de vecteurs 516.1 Formes diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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1 Variétés réelles ou complexes

1.1 Variétés topologiques

Une variété topologique de dimension n, est un espace topologique donttout point possède un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de Rn. Au-trement dit,

M variété topologique de dimension n

⇐⇒M espace topologique tel que : ∀p ∈M,∃U voisinage ouvert de p∃E ouvert de Rn

∃ϕ : U −→ E, homéomorphismec-à-d. ϕ bijective continue et ϕ−1 continue.

1.2 Cartes et coordonnées locales

Le couple (U,ϕ) est appelé une carte et U le domaine de la carte.Si p est un point de U , alors ϕ(U) est un point de Rn. Désignons la ième

ccordonnée de ϕ(p) par xi(p). Dès lors, on a

ϕ(p) = (x1(p), ..., xn(p)).

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On obtient ainsi n fonctions x1, ..., xn de U dans R :

x1 : p 7−→ x1(p),...

xn : p 7−→ xn(p),

appelées coordonnées locales.

1.3 Changement de cartes

Considérons deux cartes

(U1, ϕ1) = (U1, x1, ..., xn),

et(U2, ϕ2) = (U2, y1, ..., yn),

sur une variété M de dimension n et supposons que U1 ∩ U2 6= ∅.

Comme l'application inverse ϕ−11 de ϕ1(U1∩U2) sur U1∩U2 et l'application

ϕ2 de U1 ∩ U2 sur ϕ2(U1 ∩ U2) sont des homéomorphismes, alors l'application

ϕ21 : ϕ1(U1 ∩ U2) −→ ϕ2(U1 ∩ U2),

u 7−→ ϕ21(u) = ϕ2oϕ−11 (u), (1.1)

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est un homéomorphisme (composé de deux homéomorphismes ϕ2 et ϕ−11 ). On

passe d'une carte à l'autre par le biais de cette application.Soient (u1, ..., un) les coordonnées du point u et (ϕ1

21(u1, ..., un), ..., ϕn21(u1, ..., un))

les coordonnées de ϕ21(u). Donc ϕi21(u1, ..., un) est une fonction continue de nvariables.

Soit p ∈ U1 ∩ U2, donc

(x1(p), ..., xn(p)) = ϕ1(p),

et(y1(p), ..., yn(p)) = ϕ2(p),

et puisque ϕ1(p) ∈ ϕ1(U1 ∩ U2), posons u = ϕ1(p) dans (1), d'où

ϕ21(ϕ1(p)) = ϕ2(p),

i.e., (ϕ1

21(x1(p), ..., xn(p)), ..., ϕn21(x1(p), ..., xn(p))

)= (y1(p), ..., yn(p)).

D'oùyi(p) = ϕi21(x1(p), ..., xn(p)), 1 ≤ i ≤ n (1.2)

Les fonctions ϕi21, 1 ≤ i ≤ n, s'appellent changements de cartes ou fonctionsde passage (sur U1 ∩ U2) des coordonnées x1, ..., xn aux coordonnées y1, ..., yn.Les formules (1.2) s'appellent formules de changement de cartes ou formulesde passage.

Remarque 1 Parfois on utilise d'autres notations. Si U1 et U2 sont deux do-maines quelconques d'une variété M de dimension n et si U1 ∩ U2 6= ∅, alorsU1 ∩U2 est aussi un domaine. Si U1 est muni d'un système de coordonnées lo-cales (x1, ..., xn) et U2 est muni d'un système de coordonnées locales (y1, ..., yn),alors U1∩U2 se trouve muni de deux systèmes de coordonnées locales (x1, ..., xn)et (y1, ..., yn). On demande que chacun des systèmes se laisse exprimer l'un enfonction de l'autre :

xi = xi(y1, ..., yn), 1 ≤ i ≤ nyj = yj(x1, ..., xn), 1 ≤ j ≤ n

(1.3)

Le jacobien

J = det

(∂xi∂yj

)1≤i,j≤n

,

sera alors non nul. Les fonctions (1.3) sont les fonctions de passage des coor-données x1, ..., xn) aux coordonnées y1, ..., yn et inversement. Lorsque le jaco-bien J est positif, on dira que la variété M est orientée.

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1.4 Cartes compatibles

Deux cartes (U1, ϕ1) et (U2, ϕ2) sont dites compatibles si ou bien U1∩U2 =∅, ou bien les applications (dénies si U1 ∩ U2 6= ∅),

ϕ21 : ϕ1(U1 ∩ U2) −→ ϕ2(U1 ∩ U2), u 7−→ ϕ21(u) = ϕ2oϕ−11 (u),

etϕ12 : ϕ2(U1 ∩ U2) −→ ϕ1(U1 ∩ U2), u 7−→ ϕ12(u) = ϕ1oϕ

−12 (u),

sont des diéomorphismes (c-à-d. ϕ21 bijective diérentiable et ϕ−121 diéren-

tiable. De même pour ϕ12).

1.5 Variétés diérentiables, analytiques et atlas

La variété M est dite- diérentiable de classe Cr (1 ≤ r ≤ ∞) si ϕ21 et ϕ12 sont des diéo-

morphismes de classe Cr.(Notons que si r = 0, c-à-d. ϕ21 et ϕ12 sont deshoméomorphismes, on obtient la dénition de variété topologique).

- analytique si ϕ21 et ϕ12 sont analytiques.On appelle atlas deM , un ensemble de cartes (Ui, ϕi) deM qui sont deux à

deux compatibles et dont les domaines Ui recouvrent toute la variétéM (c-à-d.pour tout p ∈ M , il existe au moins un indice i tel que : p ∈ Ui). La relationde compatibilité introduite ci-dessus est une relation d'équivalence pour lesatlas. Deux atlas sont équivalents si leur union est un atlas et une variétédiérentiable peut être considérée comme une classe d'équivalence d'atlas.

1.6 Variétés complexes

La notion de variété complexe se dénit en suivant une démarche similaireau cas précédent.

Dans la suite, on supposera qu'une variété est séparée et possèdeune base dénombrable d'ensembles ouverts. (M est séparée si ses deuxpoints quelconques possèdent deux voisinages disjoints. Une famille B d'ouvertsest une base deM , si tout ouvert deM peut être représenté comme une réuniond'ensembles de B).

2 Exemples, exercices et problèmes fondamen-

taux

Exercice 2.1 Soit M une variété diérentiable de dimension n. Soit A =(Ui, ϕi) un atlas de M , telle que : O ⊂

⋃i Ui. On suppose que pour tout i,

l'ensemble ϕi (O⋂Ui) soit un ouvert dans Rn.

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a) Montrer que l'ensemble O est un ouvert dans M .b) Réciproque ?c) En déduire que pour toute carte (U,ϕ) de la variétéM , un sous-ensemble

V ⊂ U est ouvert dans M si et seulement si ϕ (V ) l'est dans Rn.

Exercice 2.2 Soient M un espace topologique, Ui un ensemble ouvert dansM, ϕi : Ui → ϕi (Ui), un homéomorphisme et A = (Ui, ϕi) un atlas de M .Montrer que la structure diérentiable dénie par l'atlas A est compatible avecla topologie de l'espace M .

Exemple 2.1 (Espace discret dénombrable). Un tel espace est une variété dedimension 0. En eet, si (pi) est la suite de points de cet espace, les cartessont les couples ((pi), ϕi) où ϕi est l'unique application de (pi) sur R0 = 0.Les cartes de cette variété sont disjoints et donc celle-ci est de classe Cr.

Exemple 2.2 (Espaces Rn et Cn). Ces espaces sont des variétés de dimensionn. En eet, pour Rn une carte est constituée du couple (Rn, id) où id : Rn −→Rn est l'application identique. Un atlas est l'ensemble constitué de cette uniquecarte. Même chose pour l'espace Cn.

Exemple 2.3 Tout ouvert U de Rn est une variété. Les couples (U,ϕ) où ϕest un diéomorphisme de U sur un ouvert de Rn, sont des cartes. De même,tout domaine de Cn est une variété complexe de dimension n.

Exercice 2.3 Montrer que l'ensemble des matrices Mn(R) d'ordre n, a unestructure de variété diérentiable. Quelle est sa dimension ?

Exercice 2.4 Considérons sur R une carte (R, ϕ) où ϕ : R −→ R est uneapplication dénie par

ϕ (t) = t3, t ∈ R.Les cartes (R, id) et (R, ϕ) sont ils compatibles ? Justier la réponse.

Exercice 2.5 (Cercle S1). Soient U1, V1, U2, V2 des sous ensembles du cercleS1 composés de points p = (x, y) pour lesquels y > 0, y < 0, x > 0, y < 0,respectivement. Soient ϕ1, ψ1, ϕ2, ψ2 des applications de ces ensembles dansR dénies par

(x, y) 7−→ x, (x, y) 7−→ x, (x, y) 7−→ y, (x, y) 7−→ y,

respectivement.a) Montrer que les couples (Ui, ϕi), (Vi, ψi), i = 1, 2, sont des cartes sur

S1. En déduire que S1 est une variété topologique.

b) Quelles sont les formules qui déterminent les changements de cartes.c) Montrer que les cartes mentionnées dans a) sont compatibles.d) En déduire que S1 est une variété diérentiable.

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Exercice 2.6 (Sphère S2). Montrer que la sphère S2 dans R3

S2 = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x2

2 + x23 = 1,

est une variété diérentiable dont l'atlas est composé de deux cartes (U1, ϕ1),(U2, ϕ2) en projection stéréographique.

Exercice 2.7 (Sphère Sn). Soit Sn la sphère dénie dans Rn+1 par l'équation

x21 + x2

2 + · · ·+ x2n+1 = 1.

Montrer qu'on peut munir Sn d'une structure de variété diérentiable.

Exercice 2.8 Montrer qu'une variété compacte ne possède pas de carte glo-bale, donc pas d'atlas réduit à une carte. Citer un exemple concret de tellevariété.

Exercice 2.9 Montrer que le cône

x2 + y2 = z2,

de R3 n'est pas une variété.

Exercice 2.10 Montrer que le cône privé de 0 est une variété de dimension2.

Exercice 2.11 Montrer qu'une courbe du plan possèdant un point double n'estpas une variété de dimension 1. Citer un exemple concret de telle courbe.

Exercice 2.12 Montrer que le graphe de la fonction x 7−→ |x| est une variétéde dimension 1.

Exercice 2.13 On considère dans R2 les droites d1 et d2 d'équations

d1 : y = x,

d2 : y = −x,et soit D = d1∪d2 la réunion de d1 et d2. Montrer que D n'est pas une variété.

Exercice 2.14 (Espace projectif réel). Soit Pn(R) l'espace projectif réel. Ondésigne par

Ui = [X0, . . . , Xn] ∈ Pn(R) : Xi 6= 0 , 0 ≤ i ≤ n

l'ensemble des droites pour lesquelles Xi 6= 0. Soit ϕi l'application

ϕi ([X0, . . . , Xn]) =

(X0

Xi

, ...,Xi

Xi

, ...,Xn

Xi

),

où le terme chapeauté est omis. Montrer qu'on peut munir Pn(R) d'une struc-ture de variété diérentiable.

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Exercice 2.15 (Espace projectif complexe). Soit

Pn(C) =[Z] 6= 0 ∈ Cn+1

[Z] ∼ [λZ],

l'espace projectif complexe et désignons par Hi un hyperplan à l'inni.a) Montrer que Pn(C)\Hi est isomorphe à Cn.b) Déterminer un ensemble explicite de cartes sur Pn(C).c) Montrer que l'espace Pn(C) peut-être vu comme étant une compactica-

tion de Cn et que celle-ci s'obtient par l'adjonction à Cn de l'hyperplan Hi àl'inni.

d) En déduire que Pn(C) est une variété diérentiable.

Exercice 2.16 Montrer que P1(C) est diéomorphe à la sphère S2.

Problème 2.1 (Grassmannienne Gn,k). Soit Gn,k, 0 ≤ k ≤ n, une Grassman-nienne complexe c'est-à-dire l'ensemble des plans de dimension k de l'espaceCn passant par 0. Gn,k peut être considére comme espace des sphères de centre0 et de dimension k− 1 contenues dans la sphère Sn−1, ces sphères correspon-dant biunivoquement aux sous-espaces vectoriels de dimension k de Cn.

a) Que représentent Gn,0 et Gn,n ?b) Montrer que Gn,k peut être interprétée comme un ensemble de matrices

d'ordre n × k de rang k, modulo la relation A ∼ B s'il existe une matrice Cd'ordre k régulière telle que : B = CA.

c) On se propose dans la question suivante de montrer que l'interpretationdonnée dans b) permet d'introduire des coordonnées dans Gn,k. Soient π unélément de Gn,k, A = (aij) , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k, la matrice correspondante,I = i1, ..., ik ⊂ 1, ..., n et posons

PI = det

ai11 · · · ai1k...

. . ....

aik1 · · · aikk

. (2.1)

Montrer que les nombres PI ne sont pas tous nuls et qu'ils sont dénis à unfacteur multiplicatif complexe non nul près. Montrer que la donnée des mineursPI de la matrice A permet de dénir le plan π corresondant. Que peut-on diredes coordonnées (2.1) et quel est leur nombre ?

d) SoitUI = π ∈ Gn,k : PI (π) 6= 0 ,

où I est le sous-ensemble de 1, ..., n dénie dans c). Montrer que les points

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de U1,...,n peuvent être représentés par des matrices1 0 0 · · · 0 ∗ · · · · · · ∗0 1

... ∗ ......

. . ....

.... . .

......

. . . 0...

. . ....

0 · · · · · · · · · 1 ∗ · · · · · · ∗

,

c'est-à-dire de la forme (E,Z) où E est la matrice unité d'ordre k et Z = (zij)une matrice (n− k)× k quelconque.

e) Montrer que les domaines UI constituent un recouvrement de Gn,k.f) Montrer que les éléments de la matrice Z (voir question d)) déterminent

une application bijectiveϕI : UI −→ C(n−k)k.

g) En déduire que la famille (UI , ϕI) est un atlas de cartes de Gn,k .h) En déduire que Gn,k est une variété complexe diérentiable compacte et

connexe de dimension (n− k) k.i) Montrer que Gn,1 s'identie en tant qu'espace topologique, avec Pn−1(C)

et que celui-ci est une variété complexe de dimension n− 1. Montrer que cettestructure possède une description commode en coordonnées homogènes.

j) Montrer que Gn,k admet un plongement dans PCkn−1 (C) où Ck

n =n!

k!(n− k)!.

k) En remplaçant dans les questions précédentes les nombres complexespar les quarternions, montrer qu'on obtient une variété compacte connexe dedimension 4(n− k)k, notée HGn,k ou tout simplement Gn,k , que l'on appelleGrassmannienne quarternionnienne.

Exercice 2.17 (Produit de variétés). Soient M et N deux variétés diéren-tiables de dimensions m et n respectivement. Posons

M ×N = (p, q) : p ∈M, q ∈ N .

a) Montrer que si (U,ϕ) est une carte sur M et (V, ψ) est une carte sur N,alors (U × V, ϕ× ψ) est une carte sur M ×N .

b) Soient (U1, ϕ1) et (U2, ϕ2) deux cartes surM , compatibles. Soient (V1, ψ1)et (V2, ψ2) deux cartes sur N , compatibles. Montrer que les cartes (U1×V1, ϕ1×ψ1) et (U2 × V2, ϕ2 × ψ2) sur M ×N sont aussi compatibles.

c) Conclusion ?

Exercice 2.18 (Surfaces non singulières dénies par des équations). Soit Σune surface non-singulière de dimension k dénie dans Rn par un système

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d'équations :

F1 (x1, ..., xn) = 0,...

Fn−k (x1, ..., xn) = 0.

a) Soit (x01, ..., x

0n) un point non singulier de la surface Σ. Montrer qu'on

peut introduire des coordonnées locales dans le voisinage de ce point.b) Montrer que Σ admet une structure de variété diérentiable.c) Déterminer les coordonnées d'un vecteur tangent ainsi que l'espace tan-

gent à cette variété dans le voisinage du point non singulier.

Exercice 2.19 Soit V la variété dénie par

V =4⋂i=1

Qi (z) = ci, z ∈ C6

,

où

Q1 (z) = z1 + z2 − (z4 + z5)2 − z2

6 ,

Q2 (z) = z1z5 + z2z4 − z3z6 − z24z5 − z4z

25 ,

Q3 (z) = z23 − z1z

25 − z2z

24 + z2

4z25 ,

Q4 (z) = z1z2,

et ci ∈ C 1 ≤ i ≤ 4, n'est pas une valeur critique. Soit V la fermeture projectivede V ⊂ C6 dans P6(C). Analyser le lieu à l'inni V

⋂Z0 = 0, et décrire les

singularités de la variété projective V .

Exercice 2.20 (Tore T n). a) Soit T n un tore de dimension n c'est-à-dire leproduit direct de n cercles. Autrement dit, T n est le quotient Rn/L (resp. Cn/L)

de Rn (resp.Cn) par un sous-groupe engendré par une base de Rn (resp. Cn).Montrer que T n est muni d'une structure de variété diérentiable.

b) Soit C une variété complexe de dimension1 (une courbe complexe) déniepar l'équation :

f(w, z) = 0, (2.2)

où f(w, z) est une fonction analytique à deux variables w et z. Un point (w0, z0)de la courbe C est non-singulier si

grad f |w0,z0≡(∂f

∂w,∂f

∂z

)w0,z0

6= 0.

On suppose quef(w0, z0) = 0,

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etgradf |w0,z0 6= 0.

Montrer que si∂f

∂w6= 0,

alors l'équation (2.2) admet, dans un voisinage susamment petit du point(w0, z0),une solution unique w = w(z) qui est analytique complexe, de tellesorte que f

(w(z), z) = 0, w0 = w(z0),∂w

∂z≡ 0.

c) Supposons quef(w, z) = w2 − Pn(z) = 0, (2.3)

où Pn(z) est un polynôme de degré n. Montrer que la surface (2.3) est singulièresi et seulement si le polynôme Pn(z) n'a pas de racines multiples. Discuter lapossibilité d'introduire une coordonnée locale sur la surface (2.3).

d) On suppose que f(w, z) soit un polynôme de degré n en w et irréductible.• Montrer que l'équation (2.2) admet un prolongement au plan projectif

complexe P2(C) sous la forme

P (Z0, Z1, Z2) = 0, (2.4)

où Z0, Z1, Z2 sont des coordonnées homogènes.• Que représentent les points de la surface (3) en lesquels on a Z0 = 0.• Montrer que toute surface dans P2(C) dénie par (2.4) est compacte.• L'équation (2.4) dénit, en l'abscence de toute singularité, une variété

compacte à deux dimensions. Quelle est cette variété ? (Discuter le cas deséquations du type (2.3) et comparer avec c)).

Problème 2.2 (Surfaces de Riemann). Rappelons qu'en général, la dénitiond'une fonction fait qu'à une valeur de la variable correspond une seule va-leur de la fonction. Dans certains cas, celà n'est pas très naturel car l'usagedes fonctions complexes n'est pas simple. Lors de la dénition de telles fonc-tions, on rencontre généralement des dicultés au niveau de la déterminationde l'image : non unicité, défaut de continuité. On parle dans ce cas de fonc-tion multiforme. Si la dénition, par exemple, de la fonction carrée z2, de lafonction inverse 1

z, de la fonction exponentielle exp z, etc... ne pose pas de

problèmes majeurs, il n'en va pas de même, par exemple, avec les tentativesde dénition de la fonction racine carrée

√z, la fonction logarithme complexe

log z, etc... Considérons par exemple la fonction√z sur l'ensemble des nombres

complexes C. Si z est un nombre complexe, on peut l'écrire : z = rei(θ+2kπ) oùr est le module de z et θ est un argument de z, déni à 2kπ près. Lorsque kdécrit l'ensemble des entiers relatifs Z, z reste inchangé. Les racines carrées

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de z dans C sont alors√rei(

θ2+kπ). Supposons que le nombre complexe z décrit

un cercle ne contenant pas l'origine, son argument augmente puis revient à savaleur initiale après un tour complet. Par contre, si z décrit un cercle conte-nant 0, alors son argument augmente de 2π : z reprend donc sa valeur initialemais, pendant ce temps, l'argument de la racine carrée choisie verra son ar-gument augmenter de π. Au nal, on retombe sur l'autre détermination de laracine carrée ! L'origine 0 qui pose ici problème, est appelé point de branche-ment ou de ramication pour la fonction racine carrée : elle est une fonctionmultiforme autour de 0. On est donc en présence d'une fonction multiforme :deux images opposées. Si z est non nul, il existe deux valeurs possibles pour√z, et il n'y a pas de raison de préférer l'une à l'autre. Laquelle choisir ? Pro-

blème a priori insoluble quel que soit le choix car nous travaillons ici dans C.Les calculs faisant intervenir des fonctions multiformes sont parfois lourds etcompliqués. Riemann a eu l'idée de transformer les fonctions multiformes enfonctions uniformes (un point n'a qu'une seule image), en modiant le domainede dénition. Il recolle pour cela continûment plusieurs représentations du do-maine de dénition, les feuillets, et obtient le concept de surface de Riemann.Partant de diverses fonctions multiformes sur C, on peut les rendre uniformesen remplaçant leur domaine C par une surface de Riemann ; c'est le procédéd'uniformisation. Quoi qu'il semble compliqué à priori de remplacer C par unesurface, on peut se dire que cette surface est le domaine naturel sur lequel lafonction est dénie, ce qui justie son introduction. Parmi les problèmes quise posent, on ne peut pas dénir de façon cohérente les opérations de calculsur les fonctions multiformes : par exemple que vaut (±

√z ±√z) ? Sur la

surface de Riemann de√z, cette complication n'existe pas. Plus précisément,

pour remédier à ce problème, Riemann imagine un artice redénissant l'en-semble de dénition des fonctions complexes : on parle aujourd'hui de surfacesde Riemann sur lesquelles ces fonctions redeviennent uniformes (nos fonctionsusuelles : l'image est unique). Pour la fonction

√z, on clone le plan complexe

que l'on représente par deux feuillets reliés entre eux par le demi-axe positif,appelé coupure. Aucun cercle autour de 0 ne doit franchir cette coupure à moinsde passer d'un feuillet à l'autre ou inversement. Dans ces conditions, z ne re-prendra sa valeur initiale qu'au bout de deux tours. Ayant fait le choix d'unedétermination de la racine carrée, celle-ci devient uniforme sur la surface deRiemann (ici la sphère de Riemann), ce qui autorise alors la notation

√z.

Dans ce problème, on étudie les courbes algébriques (projectives lisses) ousurfaces de Riemann compactes X. Ce sont des variétés analytiques de di-mension 1 complexe (2 réelle) munies d'atlas dont les changements de cartessont holomorphes. Les surfaces de Riemann sont des objets d'une extraordi-naire richesse qui apparaissent dans de nombreux champs des mathématiques :géométrie et topologie diérentielle, théorie des nombres, topologie algébrique,géométrie algébrique, systèmes intégrables,... et sont la source de plusieurs do-

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maines de la recherche contemporaine. Nous allons étudier ces surfaces avecune approche de géométrie complexe. On montre que X est homéomorphe à untore à g trous (ou sphère à g anses) pour un certain entier g ≥ 0. Le nombreg est le genre de X. Celui-ci est la dimension de l'espace vectoriel complexeH1 (X,OX) (1ergroupe de cohomologie à coecients dans le faisceau OX desfonctions holomorphes sur X) ou ce qui revient au même c'est le nombre desintégrales abéliennes de 1ereespèce attachées à la courbe X, linéairement indé-pendants. Un cas particulier important est représenté par les courbes hyperel-liptiques de genre g ainsi que les courbes elliptiques (g = 1).

I) On demande dans cette question de construire le plus intuitivement pos-sible la surface de Riemann dans le cas elliptique et hyperelliptique.

Réponse : Soit w2 = P3(z), où P3 (z) est un polynôme de degré 3, ayanttrois racines distinctes e1, e2, e3. Considérons

C −→ C, z 7−→ w : w2 = P3(z),

Il est évident que w n'est pas une fonction (uniforme). A chaque valeur de zcorrespond deux valeurs diérentes de w sauf quand z = e1, z = e2 et z = e3.En ces points, w est univaluée : en eet, on a w = ±

√P3 (ei) = 0, une seule

valeur. Tous les points à l'inni dans toutes les directions seront identiés enun seul point que l'on désigne par ∞. Au point z =∞, w est aussi univaluée :en eet, posons z = 1

t, d'où

w2 = P3

(1

t

)=

(1

t− e1

)(1

t− e2

)(1

t− e3

),

et w ∼ ±√

1t3. Par conséquent, lim

t→0w = ±∞ c'est-à-dire ∞, une seule valeur.

Notre problème consiste à uniformiser w, autrement dit, on cherche un do-maine sur lequel w est une fonction (uniforme). Auparavant, étudions le com-portement de w au voisinage des racines de P3 (z) = 0 c'est-à-dire e1, e2, e3ainsi qu'au voisinage du point à l'inni ∞. Si z décrit un circuit (c'est-à-direun chemin fermé, par exemple un cercle) entourant un des points e1, e2, e3 et∞, alors w change de signe : en eet, supposons que z décrit un cercle centréen e1 et posons z − e1 = reiθ où r est le module de z − e1 et θ son argument.Evidemment r ne change pas tandis que θ varie de 0 à 2π. Au voisinage dee1, w =

√P3(z) se comporte comme w =

√z − e1 = r1/2eiθ/2. Dès lors, pour

θ = 0, on a w = r1/2 tandis que pour θ = 2π, on a w = −r1/2. Si on refaitde nouveau un tour complet autour de z = e1, l'argument θ varie de 2π à 4πet alors on obtient r1/2 qui est la valeur de départ. Pour z = e2 ou z = e3, ilsut d'utiliser un raisonnement similaire au cas précédent. En ce qui concernele point ∞, on pose comme précédemment z = 1

tet on étudie w2 = P3

(1t

)au

voisinage de t = 0. On a w ∼ ±√

1t3

= ±t−3/2. Soit t = reiθ. Autour de t = 0,

A. Lesfari 15

w se comporte comme w = t−3/2 = r−3/2e−3iθ/2. Dès lors, pour θ = 0, on aw = r−3/2 et pour θ = 2π, on a w = −r−3/2. Comme précédemment, si t refaitde nouveau un tour complet, w reprend la valeur de départ c'est-à-dire r−3/2.

Passons maintenant à la construction du domaine sur lequel w serait unefonction uniforme. Cette construction se fera en plusieurs étapes :

1ere étape : Prenons deux copies ou feuillets σ1 et σ2 du plan complexecompactié C ∪ ∞ ou ce qui revient au même de la sphère de Riemannpuisqu'ils sont homéomorphes. Plaçons le feuillet σ1 au dessus de σ2 et surchacun de ces feuillets marquons les points e1, e2, e3,∞. Supposons que lespoints de σ1 seront envoyés sur w =

√(z − e1) (z − e2) (z − e3), et que ceux

de σ2 seront envoyés sur w = −√

(z − e1) (z − e2) (z − e3).

2eme étape : Dans chaque feuillet, faisons deux coupures : une le long dela courbe reliant le point e1 au point e2 et l'autre le long de la courbe reliantle point e3 au point ∞. Désignons par A1, B1, C1, D1 (resp. A2, B2, C2, D2) lesbords des coupures dans le feuillet σ1 (resp. σ2). Rappelons que w change designe lorsque l'on tourne d'un tour autour d'un des points e1, e2, e3,∞. Doncen allant de A1 à B1, on change le signe de w c'est-à-dire on passe sur l'autrefeuillet, là où w a l'autre signe. De même pour les bords A2 et B2, C1 et D1, C2

et D2. Par conséquent, w a la même valeur sur A1 et B2, sur B1 et A2, surC1 et D2 et enn sur D1 et C2.

A. Lesfari 16

3eme étape : On identie les bords suivants : A1 à B2, B1 à A2, C1 à D2 etD1 à C2. Après recollement, on obtient un tore à un trou.

A. Lesfari 17

La surface à deux feuillets obtenue s'appelle surface de Riemann elliptiqueou courbe elliptique associée à l'équation : w2 = (z−e1)(z−e2)(z−e3). Sur cettesurface, w est une fonction uniforme. Lorsqu'on tourne autour d'un des pointse1, e2, e3, ou ∞, on passe d'un feuillet à l'autre. En ces points les deux feuilletsse joignent et on les appellent points de branchement ou de ramication de lasurface. La surface obtenue peut-être tracée de diérentes façons :

A. Lesfari 18

Si w2 = P4(z), où P4 (z) est un polynôme de degré 4, ayant quatre racinesdistinctes e1, e2, e3, e4, alors on obtient aussi une courbe elliptique. Les pointsde branchements sont e1, e2, e3 et e4. Notons que si

w2 = (z − e1) (z − e2) (z − e3) (z − e4) ,

alors la transformation (w, z) 7−→(yx2 , e1 + 1

x

), ramène cette équation à la

formey2 = (1 + (e1 − e2)x) (1 + (e1 − e3)x) (1 + (e1 − e4)x) .

Signalons enn que si w2 − Pn(z) = 0, où Pn (z) est un polynôme de degrén supérieur où égal à 5, ayant n racines distinctes, alors on obtient ce qu'onappelle surface de Riemann hyperelliptique ou courbe hyperelliptique. Plus pré-cisément, une surface de Riemann hyperelliptique ou courbe hyperelliptique degenre g se dénit par une équation de la forme

w2 = Pn(z) =

P2g+1(z) si n = 2g + 1

P2g+2(z) si n = 2g + 2

où P2g+1(z) et P2g+2(z) sont des polynômes sans racines multiples. On a

A. Lesfari 19

n g (genre) Surface de Riemann1 ou 2 0 sphère de Riemann3 ou 4 1 elliptique à un trou5 ou 6 2 hyperelliptique à deux trous7 ou 8 3 hyperelliptique à trois trous...

......

n[n−1

2

](partie entière) hyperelliptique à

[n−1

2

]trous

II) Une surface de Riemann est une variété diérentiable de dimension1 complexe (2 réelle) munie d'un atlas dont les changements de cartes sontholomorphes. Un théorème de Riemann arme que toute surface de Riemanncompacte X est (isomorphe à) une courbe algébrique (projective lisse), c-à-d.peut-être dénie par des équations algébriques. Soit

X = (w, z) ∈ C2 : F (w, z) = 0,

une courbe algébrique ane plane où

F (w, z) ≡ p0(z)wn + p1(z)w

n−1 + · · ·+ pn(z),

est un polynôme à deux variable complexes w et z, de degré n en w et irréduc-tible (c-à-d. sans facteurs multiples ou encore ne soit pas le produit de deuxautres polynômes en w et z). Ici p0(z) 6= 0, p1(z), . . . , pn(z) sont des polynômesen z. Pour qu'une telle courbe soit lisse (on dit aussi non-singulière), il sutque les fonctions ∂F

∂w, ∂F∂z

ne s'annulent identiquement sur aucune composantede X ou encore que grad F ≡

(∂F∂w, ∂F∂z

)6= 0. Dans la suite1, nous supposerons

ces conditions satisfaites. Nous montrerons que X est homéomorphe à un toreà g trous (ou sphère à g anses) pour un certain entier g ≥ 0, appelé genre deX.

1) Considérons donc l'équation F (w, z) = 0. A chaque valeur de z cor-respond n valeurs de w. Notre problème consiste à trouver un domaine pourlequel

C −→ C, z 7−→ w : F (w, z) = 0,

soit une fonction uniforme. Désignons par z1, ..., zm les zéros de p0(z) et leszéros communs de F (w, z) = 0 et ∂F

∂w(w, z) = 0. Ce sont les valeurs pour

lesquelles F (w, z) a un zéro double en w. Soit C = C ∪ ∞ le plan complexecompactié ou sphère de Riemann puisqu'ils sont homéomorphes. En résolvantl'équation F (w, z) = 0 pour z ∈ C\z1, ..., zm, on obtient n solutions wk(z),k = 1, 2, ..., n. Montrer que les solutions wk(z) sont localement analytiques.

1Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on rencontre aussi des surfacesde Riemann plus compliquées (non-algébriques) où F (w, z) n'est pas un polynôme. Parexemple, l'équation ew − z = 0 détermine la surface de Riemann du logarithme. De tellessurfaces de Riemann ne seront pas considérées ici.

A. Lesfari 20

Réponse : Posons z = x + iy et w = u + iv où u = u(x, y), v = v(x, y).Donc

F (w, z) = G(u, v, x, y) + iH(u, v, x, y),

où G et H sont des polynômes. Par conséquent

F (w, z) = 0 ⇐⇒

G(u, v, x, y) = 0,H(u, v, x, y) = 0.

Fixons un point z0 = x0 + iy0 ∈ C\z1, ..., zm. L'équation F (w, z) = 0 aexactement n racines distinctes : w = w01, w02, ..., w0n. Désignons par w0 =u0 + iv0 l'une de ces racines. Pour pouvoir appliquer le théorème des fonctionsimplicites, il sut de vérier que

det

(∂G∂u

∂G∂v

∂H∂u

∂H∂v

),

est non nul en (u0, v0). En eet, pour z xé, F (w, z0) est un polynôme en w etdonc F (w, z0) est analytique. D'après les équations de Cauchy-Riemann, on a

∂G

∂u=∂H

∂v,

∂G

∂v= −∂H

∂u,

et dès lors

det

(∂G∂u

∂G∂v

∂H∂u

∂H∂v

)=

∂G

∂u

∂H

∂v− ∂G

∂v

∂H

∂u,

=

(∂G

∂u

)2

+

(∂H

∂u

)2

,

=

∣∣∣∣∂G∂u + i∂H

∂u

∣∣∣∣2 ,=

∣∣∣∣∂F∂u∣∣∣∣2 .

De même, on a

det

(∂G∂u

∂G∂v

∂H∂u

∂H∂v

)=

∣∣∣∣∂F∂v∣∣∣∣2 .

Donc pour que

det

(∂G∂u

∂G∂v

∂H∂u

∂H∂v

)6= 0,

il sut que ∣∣∣∣∂F∂u∣∣∣∣2 6= 0 ⇐⇒

∣∣∣∣∂F∂v∣∣∣∣2 6= 0,

A. Lesfari 21

ou encore ∣∣∣∣∂F∂w∣∣∣∣2 6= 0.

Or par hypothèse, l'équation F (w, z) = 0 n'a pas de racines doubles en w pourz xé, c-à-d.,

∂F

∂w(w0, z0) 6= 0.

Par le théorème des fontions implicites, on peut résoudre w en fonction de zet exprimer que w est diérentiable dans un voisinage de z. Pour montrer quew = w(z) est analytique, on va vérier que les équations de Cauchy-Riemann

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂v

∂x= −∂u

∂y,

sont satisfaites. En eet, comme F (w, z) = 0, alors

∂F

∂x=

∂F

∂w

∂w

∂x+∂F

∂z= 0,

∂F

∂y= −∂F

∂w

∂w

∂y+ i

∂F

∂z= 0.

On multiplie la deuxième équation par i et on fait la somme avec la première.On obtient

∂F

∂w

(∂w

∂x+ i

∂w

∂y

)= 0.

Or ∂F∂w

(w0, z0) 6= 0, donc la seule possibilité qui reste est

∂w

∂x= −i∂w

∂y,

c-à-d.,∂u

∂x+ i

∂v

∂x= −i∂u

∂y+∂v

∂y.

2) L'objectif de cette question est de montrer que l'on peut prolonger analy-tiquement wk = wk(z) sur tout C\z1, ..., zm et chaque fonction ainsi obtenuesatisfait à l'équation F (w, z) = 0. Mais auparavant nous aurons besoin dequelques préliminaires. Soit D(a, ra) un disque de centre a et de rayon ra etsoit f une fonction analytique sur D(a, ra). Cette fonction admet un dévelop-pement en série entière convergente de la forme

f(z) = f(a) + a1(z − a) + a2(z − a)2 + · · ·

a) Soit b ∈ D(a, ra). Montrer que la fonction f admet un développementen série entière convergente autour de b de la forme

f(z) = f(b) + b1(z − b) + b2(z − b)2 + · · ·

A. Lesfari 22

Réponse : Posons z − a = (z − b) + (b− a), d'où

f(z) = f(a) + a1(b− a) + a2(b− a)2 + · · ·+a1(z − b) + 2a2(b− a)(z − b) + · · ·+ a2(z − b)2 + · · ·

On en déduit que

f(b) = f(a) + a1(b− a) + a2(b− a)2 + · · ·b1 = a1 + 2a2(b− a) + · · ·b2 = a2 + · · ·

etf(z) = f(b) + b1(z − a) + b2(z − a)2 + · · ·

Cette série converge en tout point du disque D(a, ra). Cherchons le disqueD(b, rb) de centre b et de rayon rb, dans lequel cette série converge. On saitque rb ≥ ra− | b−a |> 0, et il se peut aussi qu'on ait rb > ra− | b−a |> 0. Si telest le cas, la série en question convergera aussi à l'extérieur du disque D(a, ra),à savoir dans le domaine du disque D(b, rb) extérieur au disque D(a, ra) et lerésultat est démontré.

Soit f une fonction analytique sur D(a, ra) et soit b un point en dehorsde D(a, ra). On veut construire un prolongement analytique de f au point b.Du point a au point b, traçons un chemin C. Soit c1 ∈ C ∩ D(a, ra). On saitque la fonction f peut-être développée en série entière de z − c1 car c1 ∈D(a, ra). Soit D1, le disque de centre c1 dans lequel le développement obtenuest convergeant. Soit c2 ∈ D1 un point se trouvant sur le chemin entre c1 et b.En ce point, f admet un prolongement analytique. Soit D2, le disque de centrec2 dans lequel le développement obtenu est convergeant. De proche en proche,on avance progressivement sur C, vers le point b. Quand b sera dans un disqueDn de centre cn, on prendra b pour cn+1 et ainsi on obtiendra le prolongementanalytique cherché.

A. Lesfari 23

Signalons que cette construction ne démontre pas l'existence du prolonge-ment analytique. Nous avons montré qu'en tout point z ∈ C\z1, ..., zm, lessolutions wk(z), k = 1, 2, ..., n de l'équation F (w, z) = 0 sont localement ana-lytiques.

b) Montrer qu'on peut prolonger analytiquement les fonctions wk = wk(z)sur tout C\z1, ..., zm et chaque fonction ainsi obtenue satisfait à l'équation :F (w, z) = 0.

Réponse : Soit z0 ∈ C\z1, ..., zm. D'après les résultats précédents, on peutprolonger analytiquement wk le long de tous les chemins contenus dans un voi-sinage susamment petit de z0. Pour le reste, on va utiliser un raisonnementpar l'absurde.

Supposons qu'il existe un point a et un chemin C de z0 vers a, de sorte quel'on puisse prolonger wk le long de C jusqu'à tous les points b avant a, maispas jusqu'au a.

Dans D(a, ra), elles existent n séries entières wk(z) qui satisfont à l'équa-tion F (wk(z), z) = 0 et qui en donnent toutes les solutions. Choisissons b, desorte que la partie du chemin C comprise entre a et b, soit entièrement inclusedans le disque D(a, ra). Considérons la série w(z) résultant du prolongementanalytique de wk(z) de z0 jusqu'au b, le long du chemin C. D'après ce qui pré-cède, on a F (w(z), z) = 0 dans un disque D(b, rb) autour du point b. Donc

A. Lesfari 24

dans un disque D(b, r) de rayon r = min(ra− | a− b |, rb), w(z) doit coincideravec l'une des wk(z) puisque dans ce disque toutes les solutions de l'équationF (w, z) = 0 sont données par les fonctions wk(z) et que F (w(z), z) = 0. Soitwl qui coincide avec w dans D(b, r). Donc wk(z) peut-être prolongé de b versa le long de C. Ceci contredit l'hypothèse de départ et le résultat en découle.

On veut que le prolongement ne dépend pas du chemin. On utilise à cette nle théorème de monodromie2. Nous allons tout d'abord modier C\z1, ..., zmpour obtenir une surface simplement connexe. On procède comme suit : Soitz∗ ∈ C\z1, ..., zm un point arbitraire et considéronsm+1 chemins L1, ...,Lm+1

de z∗ jusque z1, ..., zm+1 =∞ respectivement. On suppose que chaque Li ne serecoupe pas et que Li ∩ Lj = z∗, pour tout i 6= j, (i, j = 1, ...,m+ 1).

En faisant des coupures le long de ces chemins, on obtient une surface σ =(C\z1, ..., zm

)\⋃i Li, homéomorphe à un disque, donc simplement connexe.

2Théorème (de monodromie) : Soit f une fonction analytique dans un voisinage de aet soit D un domaine simplement connexe. On suppose que pour tout x ∈ D, il existe unchemin de a vers x tel que f peut-être prolongée analytiquement en x. Alors ce prolongementne dépend pas du chemin suivi.

A. Lesfari 25

c) Sur la surface σ, le prolongement analytique des wk(z) ne dépend pasdu chemin.

Réponse : Il sut d'utiliser le théorème de monodromie et la constructionde la surface σ.

Considérons une coupure le long de Lj et la solution wk(z).

On tourne autour de zj pour atteindre l'autre coupure. Ceci revient à trans-former la solution wk(z) en une solution wlk(z). Donc pour chaque j xé, on aune permutation πj qui transforme k en lk. Prenons n copies σ1, ..., σn de σ etidentions le bord Bj de σi avec le bord Aj de σk=πj(i). On identie ainsi tousles bords deux à deux et on obtient une surface compacte. Nous allons montrerque cette surface, notée X, est connexe. Mais avant cela, nous aurons besoinde quelques résultats d'algèbre concernant les résultants. Soient

f(x) = a0xm + a1x

m−1 + · · ·+ am = a0

m∏k=1

(x− αk), a0 6= 0,

g(x) = b0xn + b1x

n−1 + · · ·+ bn = b0

n∏j=1

(x− βj), b0 6= 0,

A. Lesfari 26

deux polynômes de degré m et n respectivement. Ici (α1, ..., αm) et (β1, ..., βn)désignent les racines des polynômes f et g respectivement. Le résultant des po-lynômes f et g, noté Rés(f, g), est le déterminant de leur matrice de Sylvester,i.e., le déterminant de la matrice carrée d'ordre (m+ n) suivante :

a0 a1 . . . . . . . . . am 0 . . . 0

0 a0 a1 . . . . . . . . . am. . .

......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . 0 a0 a1 . . . . . . . . . amb0 b1 . . . . . . bn 0 . . . . . . 00 b0 b1 . . . . . . bn 0 . . . 0...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

0 . . . . . . 0 b0 b1 . . . . . . bn

d) Montrer que les polynômes f et g ont un facteur commun non nul si et

seulement si il existe deux polynômes F et G de degré strictement inférieur àm et n respectivement tels que : fG = gF .

Réponse : On a

f = Afm11 fm2

2 ...fmrr , g = Bgn1

1 gn22 ...g

nss ,

où A,B sont des constantes et fm11 , ..., fmr

r , gn11 , ..., g

nss sont des polynômes ir-

réductibles. Supposons que f et g ont un facteur commun non nul, disonsf1 = g1. Considérons les polynômes F = f

f1, G = g

g1. D'où deg F deg f = m,

deg G = deg g = n, et

fG =fg

g1

=gf

f1

= gF.

Réciproquement, on a fG = gF , avec deg F < m et deg G < n. Supposonsque f et g n'ont pas de facteur commun. Dans ce cas, puisque

Afm11 fm2

2 ...fmrr .G = Bgn1

1 gn22 ...g

nss .F,

alors pour tout j = 1, 2, ..., r, fmj

j doit apparaître comme facteur dans F , i.e.,f doit diviser F donc deg f ≤ deg F ce qui est absurde car par hypothèsedeg F < m.

e) Montrer que les polynômes f et g ont un facteur commun non nul si etseulement si Rés(f, g) = 0.

Réponse : D'après la proposition précédente, les polynômes f et g ont unfacteur commun non nul si et seulement si il existe deux polynômes

F (x) = A0xm−1 + A1x

m−2 + · · ·+ Am−1,

G(x) = B0xn−1 +B1x

n−2 + · · ·+Bn−1,

A. Lesfari 27

tels que : fG = gF , i.e.,

(a0xm+· · ·+am)(B0x

n−1+· · ·+Bn−1) = (b0xn+· · ·+bn)(A0x

m−1+· · ·+Am−1).

On identie les coecients :

xm+n−1 : a0B0 = b0A0,

xm+n−2 : a0B1 + a1B0 = b0A1 + b1A0,...

x0 : amBn−1 = bnAm−1.

D'où

a0B0 − b0A0 = 0,

a1B0 + a0B1 − b1A0 − b0A1 = 0,...

amBn−1 − bnAm−1 = 0.

On obtient un système linéaire homogène de (m+n) équations dont les incon-nues sont B0, ..., Bn−1, A0, , Am−1. Ce système admet une solution non trivialesi et seulement si

∆ ≡ det

a0 0 . . . 0 −b0 0 . . . 0

a1 a0. . .

... −b1 −b0. . .

...... a1

. . . 0... −b1

. . . 0

am...

. . . a0 −bn...

. . . −b00 am

... a1 0 −bn... −b1

.... . . . . .

......

. . . . . ....

0 . . . 0 am 0 . . . 0 −bn

= 0.

En mettant en évidence le signe − dans les m dernières colonnes et en tenantcompte du fait que le déterminant de la transposée d'une matrice est le mêmeque celui de la matrice initiale, on obtient ∆ = ±Rés(f, g), et le résultat endécoule.

f) Monter qu'il existe deux polynômes F et G de degré strictement inférieur

A. Lesfari 28

à m et n respectivement tels que :

fG− gF = Rés(f, g),

= polynôme en les coecients de f et g,

= an0bm0

m∏k=1

n∏j=1

(αk − βj),

= an0

m∏k=1

g(αk),

= (−1)mnbm0

n∏j=1

f(βj).

Réponse : Si f et g ont un facteur commun, alors d'après ce qui précèdeles polynômes F et G existent et on a

fG− gF = 0 = Rés(f, g).

Si f et g n'ont pas de facteur commun, alors on cherche F et G tels que :

fG− gF = Rés(f, g).

En raisonnant comme dans la proposition précédente, on obtient un systèmenon homogène ayant une solution non nulle. Autrement dit, le déterminant∆ utilisé dans la preuve de la proposition précédente est nul ou ce qui estéquivalent f et g n'ont pas de facteur commun, ce qui est vrai par hypothèse.

g) Soient α1, ..., αm les m racines du polynôme f comptées avec multiplicité.Le discriminant de f , noté Disc(f), est

Disc(f) = a2m−20 (−1)

m(m−1)2

∏i6=j

(αi − αj) = a2n−20

∏1≤j<i≤m

(αi − αj)2.

Montrer que le résultant de f et de son polynôme dérivé f ′ est

Rés(f, f ′) = (−1)m(m−1)

2 a0Disc(f).

Réponse : On a

f(x) = a0

m∏k=1

(x− αk), f ′(x) = a0

m∑k=1

∏j 6=k

(x− αj).

En remplaçant dans cette dernière équation x par αi, on constate que tous lestermes s'annulent sauf le i-ème et dès lors

f ′(αi) = a0

∏j 6=i

(αi − αj).

A. Lesfari 29

Par ailleurs, on sait que

Rés(f, f ′) = am−10

m∏i=1

f ′(αi) = a2m−10

∏j 6=i

(αi − αj).

Notons que dans le produit ci-dessus, il y a m(m−1) facteurs. Comme chacunde ces derniers s'écrit sous la forme αi−αj et sous la forme αj−αi, alors leurproduit est (−1)(αi − αj)2. En tenant compte du fait qu'il y a m(m−1)

2paires

d'indices i, j avec 1 ≤ j < i ≤ m, alors

Rés(f, f ′) = (−1)m(m−1)

2 a2m−10

∏1≤j<i≤m

(αi − αj)2 = (−1)m(m−1)

2 a0Disc(f).

h) Montrer que le discriminant du polynôme f est nul si et seulement siles polynômes f et f ′ ont un facteur en commun non constant ou encore si etseulement si le polynôme f admet une racine multiple.

Réponse : Il sut d'utiliser les résultats précédents.i) Montrer que la surface de Riemann X construite précédemment est

connexe.Réponse : Supposons que X n'est pas connexe. Il est donc possible de nu-

méroter les copies σ1, ..., σn de σ de sorte que les k premières σ1, ..., σk, k < n,soient reliées entre elles, formant ainsi une des composantes connexes de X.Du point de vue des permutations, celà signie que si πj envoit les indicesi = 1, ..., n sur les indices j1, ..., jn, alors j1, ..., jk est une permutation desindices 1, ..., k et jk+1, ..., jn est une permutation des indices k + 1, ..., n. Onconsidère

P (w, z) = p0(z)n∏i=1

(w − wi(z)),

G(w, z) = (w − w1(z))...(w − wk(z)),= wk − E1w

k−1 + E2wk−2 − · · ·+ (−1)kEk,

où

E1 =k∑i=1

wi(z), E2 =k∑

i,j=1i<j

wiwj, ..., Ek =k∑

i1,...,ij∈1,...,ki1<...<ij

wi1 ...wij ,

sont des polynômes symétriques en w1, ..., wk. Ce sont des fonctions ration-nelles. En eet, la permutation πj(j = 1, ...,m + 1) transforme l'ensemblew1, ..., wk en lui même. Comme Ek sont des polynômes symétriques en w1, ..., wk,alors cette permutation transforme aussi Ek en Ek. Pour passer les coupuresLj, on applique la permutation πj qui conserve la valeur de Ek, donc Ek(z)

A. Lesfari 30

est univaluée sur σ. En outre Ek est holomorphe sauf peut-être aux pointsde branchement où elle pourrait éventuellement avoir des pôles. Donc Ek estméromophe et par conséquent rationnelle. Dès lors G(w, z) est une fonctionrationnelle en w et z. En multipliant G(w, z) par le dénominateur commundes Ek, on obtient un polynôme Q(w, z) de degré k en w et dont les racinessont les fonctions w1, ..., wk. D'après la question f), il existe deux polynômesU et V tels que :

UP + V Q = polynôme (résultant) R(z) en z.

Par hypothèse P est irréductible. Comme deg Q < deg P , P et Q sont pre-miers entre eux, donc P et Q n'ont pas de facteur commun et par conséquentR(z) 6= 0. Mais que vaut l'expression UP + V Q = R(z), ∀z, pour les valeursparticulières w = wj(z), 1 ≤ j ≤ k ? On a

UP + V Q |w=wj(z)= U.0 + V.0 = 0 = R(z).

Donc R(z) = 0,∀z, ce qui est contradictoire.III (Facultatif). Dans cette question, on propose une liste des sujets d'étude

concernant les surfaces de Riemann :- Diérentielles abéliennes.- Relations bilinéaires de Riemann.- Diviseurs.- Le théorème de Riemann-Roch.- La formule de Riemann-Hurwitz.- Le théorème d'Abel.- Le problème d'inversion de Jacobi.

Pour l'étude détaillée de ces problèmes, on pourra consulter par exemple [10,14].

Exercice 2.21 Montrer que la courbe dénie par léquation

w2 =n∏k=1

(z − zk),

est non-singulière si et seulement si z1, ..., zn sont distincts.

Exercice 2.22 Quelle est la variété (complexe) associée à

w2 + Pn(z)w + 1 = 0,

où Pn(z) est un polynôme en z de degré n. Justier la réponse.

Exercice 2.23 Calculer le genre de la surface de Riemann X associée à l'équa-tion :

w4 = z4 − 1.

A. Lesfari 31

Réponse : Ici, on a quatre feuillets. Les points de ramications à distance niesont 1,−1, i,−i. On note que z = ∞ n'est pas un point de ramication. Legenre de la surface de Riemann en question est égal à 3.

Exercice 2.24 Considérons la courbe de Fermat X associée à l'équation :

wn + zn = 1, n ≥ 2.

Quel est le genre de X ?

Réponse : Ici on a un revêtement de degré n. Chaque racine nème de l'unitéest ramié d'indice n− 1 tandis que le point à l'inni ∞ n'est pas un point deramication et par conséquent

g(X) =(n− 1)(n− 2)

2.

L'équation de Fermat : Un + V n = W n, (avec w = UZ, z = V

Z), étant de genre

≥ 1 pour n ≥ 3, elle n'admet donc qu'un nombre ni de solutions. Ce fut unedes pistes utilisées par A. Wiles pour prouver le grand théorème de Fermat :pour n ≥ 3 cette équation n'a pas de solution non triviale.

Exercice 2.25 Quelle est la surface de Riemann associée à l'équation

w3 + P2(z)w2 + P4(z)w + P6(z) = 0, (z, w ∈ C)

où Pj(z) est un polynôme de degré j, sans racines multiples. Quelle est le genrede cette surface ?

Réponse : Le genre de la surface de Riemann en question est égal à 3.

Exercice 2.26 (Groupes classiques). D'autres exemples importants de varié-tés sont fournis par les groupes classiques.

a) Groupe linéaire : GL(n,K), K = R ou C.b) Groupe unimodulaire (ou spécial linéaire) : SL(n,K), K = R ou C.c) Groupe unitaire : U(n,C), que l'on note tout simplement U(n).d) Groupe spécial unitaire : SU(n,C), que l'on note tout simplement SU(n).e) Groupe orthogonal : O(n,R), que l'on note tout simplement O(n).f) Groupe spécial orthogonal (ou groupe des rotations) : SO(n,R), que l'on

note tout simplement SO(n).

A. Lesfari 32

3 Applications diérentiables, espaces tangents,

brés tangents

3.1 Applications diérentiables

Soient M et N deux variétés diérentiables de dimension m et n respecti-vement.

Dénition 2 On dit qu'une application continue f : M −→ N , est diéren-tiable si pour toute carte (U,ϕ) de M et toute carte (V, ψ) de N , telles que :f(U) ⊂ V , l'application

ψofoϕ−1 : ϕ(U) −→ ψ(V ),

est diérentiable3.

On écrit ψofoϕ−1 à la place de ψo(f |U)oϕ−1.

3Pour l'étude de la diérentiabilité des fonctions de Rn dans Rm, on pourra consulternotre polycopié : analyse 3, SMA 3 ou encore notre polycopié : calcul diérentiel sur lesespaces vectoriels normés, SMA 6.

A. Lesfari 33

Dans le cas de variété complexe, on remplace diérentielle par holomorpheet Rk par Ck.

Remarque 3 Si (x1, ..., xm) sont les coordonnées locales sur (U,ϕ) et (y1, ..., yn)les coordonnées locales sur (V, ψ), alors l'application ψofoϕ−1 est dénie parn fonctions

yi = fi(x1, ..., xm), 1 ≤ i ≤ n (3.1)

de m variables. Ces fonctions expriment les coordonnées y1, ..., yn du point

y = ψofoϕ−1 ∈ ψ(V ) ⊂ Rn,

au moyen des coordonnées x1, ..., xm du point

x ∈ ϕ(U) ⊂ Rm.

Autrement dit, elles expriment les coordonnées locales du point f(p) ∈ V enfonction de celles du point p ∈ U . On dit souvent que (3.1) est l'expression lo-cale de f dans les cartes (U,ϕ) et (V, ψ). Dès lors, une application diérentiableest une application qui s'exprime localement par des fonctions diérentiables.

A. Lesfari 34

Exemple 3.1 L'application identique id : M −→ M d'une variété diéren-tiable dans elle-même est diérentiable.

Exemple 3.2 Le composé de deux applications diérentiables est encore uneapplication diérentiable.

Exemple 3.3 La projection d'une sphère sur un plan est une application dif-férentiable f : S2 −→ R2.

Exemple 3.4 Si f est un homéomorphisme diérentiable, alors f−1 n'est pasnécessairement diérentiable. Par exemple, x 7−→3 est un homéomorphismediérentiable de R, mais x 7−→ 3

√x n'est pas une application diérentiable.

3.2 Espaces tangents

Soit M une variété diérentiable et soit p un point de M .

Dénition 4 Une courbe (diérentiable) sur M est une application diéren-tiable f : I −→M , d'un intervalle I (contenant 0) de R dans M .

Dénition 5 Deux courbes f(t) et g(t) sont équivalentes si- f(0) = g(0) = p (c-à-d. elles sont issues du point p)

- limt→0

f(t)− g(t)t

= 0

sur une carte.

Dénition 6 On appelle vecteur tangent à la variété M au point p, la classed'équivalence des courbes f(t), f(0) = p.

Remarque 7 Cette dénition du vecteur tangent s'accorde bien avec l'idéeintuitive de vitesse v = f ′(0).

A. Lesfari 35

Exercice 3.1 Montrer que la limite ci-dessus est nulle pour une carte quel-conque contenant le point p.

Réponse : La dénition précédente est indépendante du choix de la carte conte-nant le point p. En eet, puisque on peut passer d'une carte (U1, ϕ1) à unecarte quelconque (U2, ϕ2) par un diéomorphisme, alors l'équivalence sur lacarte (U1, ϕ1) entraîne celle sur la carte (U2, ϕ2).

Nous allons maintenant donner une autre dénition du vecteur tangent.Soient

- M une variété diérentiable de dimension n.- p un point de M .- C∞(p) l'ensemble des fonctions de classe C∞.- f ∈ C∞(p), dénie dans un voisinage U1 de p.- g ∈ C∞(p), dénie dans un voisinage U2 de p.

Alors, ∀α, β ∈ K(= R ou C),- αf est dénie dans U1.- βg est dénie dans U2.- αf + βg est dénie dans U1 ∩ U2.

Dénition 8 On appelle vecteur tangent à la variété M au point p, touteapplication

v : C∞(p) −→ R, f 7−→ v(f),

satisfaisant aux conditions suivantes : ∀α, β ∈ K(= R ou C), ∀f, g ∈ C∞(p),(i) v(αf + βg) = αv(f) + βv(g).(ii) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g).

Notation : on remplacera parfois v par Xp.

Proposition 9 Soit f, g ∈ C∞(p). Si f et g coincident dans un voisinage Ude p, alors v(f) = v(g).

Exercice 3.2 a) Soient deux sous-ensembles disjoints A,B ⊂ Rn, A est com-pact, B est fermé. Montrer qu'il existe sur Rn une fonction ϕ de classe C∞

telle que :

ϕ (x) =

1 sur A0 sur B

et 0 ≤ ϕ (x) ≤ 1 partout.b) Soient M une variété diérentiable et C un compact de M tels que :

C ⊂ V où V est un ouvert dans M . En utilisant a), montrer qu'il existe unefonction ϕ ∈ C∞ (M) telle que : 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 sur M , ϕ(x) = 1 sur C etϕ(x) = 0 en dehors de V .

c) Soient M une variété diérentiable compacte et (Ui) un recouvrementni quelconque de M par des domaines de coordonnées (par exemple par des

A. Lesfari 36

boules ouvertes). En utilisant ce qui précéde, montrer qu'il existe des fonctionsϕi ∈ C∞(M) telles que : supp ϕi ⊂ Ui pour i quelconque, 0 ≤ ϕi (x) ≤ 1,∀x ∈M et

∑i

ϕi(x) = 1, ∀x ∈M .

Soient v1 et v2 deux vecteurs tangents à la variété M au point p. L'appli-cation λv1 + µv2, (λ, µ ∈ R), dénie par

(λv1 + µv2)(f) = λv1(f) + µv2(f), f ∈ C∞(p)

vérie les conditions (i) et (ii). Donc λv1 + µv2 est aussi un vecteur tangent àM au point p. Par conséquent, l'ensemble des vecteurs tangents à M en p estun espace vectoriel. Cet espace est désigné par TpM .

Dénition 10 L'espace vectoriel TpM s'appelle espace tangent à la variété Mau point p.

A. Lesfari 37

Signalons que : TpM ∩ TqM = ∅ si p 6= q.SoientM une variété diérentiable de dimension n et (U,ϕ) = (U, x1, ..., xn)

une carte sur M . Pour tout point p ∈ U , on peut dénir n vecteurs tangents(∂

∂x1

)p

, ...,

(∂

∂xn

)p

en p, en posant (∂

∂xi

)p

f =

(∂f

∂xi

)(p), 1 ≤ i ≤ n

où f ∈ C∞(p). On peut aussi écrire(∂

∂xi

)p

f =

(∂f

∂xi

)ϕ(p)

foϕ−1, 1 ≤ i ≤ n

Rappelons que si p est un point de U , alors ϕ(p) est un point de Rn.

Théorème 11 Les vecteurs(∂

∂x1

)p

, ...,

(∂

∂xn

)p

forment une base de l'espace tangent TpM .

A. Lesfari 38

Corollaire 12 On adimTpM = dimM.

D'après le théorème ci-dessus, si v ∈ TpM et αi = v(xi), 1 ≤ i ≤ n, sont lescomposantes de v (par rapport à un système de coordonnées locales (x1, ..., xn),alors

v =n∑i=1

αi

(∂

∂xi

)p

.

Exercice 3.3 Soient (x1, ..., xn) et (y1, ..., yn) deux systèmes de coordonnéeslocales dans un voisinage U de p. Donc(

∂

∂x1

)p

, ...,

(∂

∂xn

)p

,

et (∂

∂y1

)p

, ...,

(∂

∂yn

)p

,

sont deux bases de TpM .a) Montrer que : (

∂

∂xi

)p

=n∑j=1

∂yj∂xi

(p)

(∂

∂yj

)p

,

(∂

∂yi

)p

=n∑j=1

∂xj∂yi

(p)

(∂

∂xj

)p

.

b) Si αi (resp. βi) sont les composantes de v ∈ TpM par rapport au systèmede coordonnées locales (xi) (resp. (yi), montrer que :

αi =n∑j=1

∂xi∂yj

βj,

βi =n∑j=1

∂yi∂xj

αj.

Soient M une variété diérentiable de dimension n, f une courbe dié-rentiable sur M dénie sur un intervalle I, t0 ∈ I, (x1, ..., xn) un système

de coordonnées locales sur M et((

df1dt

)t=t0

, ...,(dfn

dt

)t=t0

)les composantes du

A. Lesfari 39

vecteur tangent à la courbe f(t) en f(t0) par rapport à (x1, ..., xn) c-à-d.(dfi

dt

)t=t0

=(dxi(f(t))

dt

)t=t0

. Posons

v =n∑i=1

(dfidt

)t=t0

(∂

∂xi

)f(t0)

.

Alors v est un vecteur tangent à M en f(t0) et ne dépend pas du choix dusystème de coordonnées locales (x1, ..., xn). En fait, si (y1, ..., yn) est un autresytème de coordonnées locales en f(t0 et si

gi = fi(x1, ..., xn), 1 ≤ i ≤ n

alors on peut montrer que :

n∑i=1

(dfidt

)t=t0

(∂

∂xi

)f(t0)

=n∑i=1

(dgidt

)t=t0

(∂

∂yi

)f(t0)

.

Dénition 13 On dit que v est le vecteur tangent à la courbe diérentielle fen f(t0).

Signalons que l'espace cotangent à une variétéM en un point p est l'espaceT ∗pM dual de TpM c-à-d. l'ensemble de toutes les formes linéaires sur TpM .Cette notion sera étudiée plus loin.

Remarque 14 Dans le cas où M est une variété complexe de dimension n,on peut la traiter comme une variété réelle de dimension 2n. Rappelons que sif est une fonction diérentiable des variables x et y. On a,

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy.

Commez = x+ iyz = x− iy =⇒

dz = dx+ idydz = dx− idy =⇒

dx = 1

2(dz + dz)

dy = 12i

(dz − dz)

alors

df =1

2

(∂f

∂x− i∂f

∂y

)dz +

1

2

(∂f

∂x+ i

∂f

∂y

)dz.

Introduisons les deux opérateurs

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

).

A. Lesfari 40

Dès lors,

df =∂f

∂zdz +

∂f

∂zdz.

Revenons maintenant à la variété M et à la place des vecteurs ∂∂xi

, ∂∂yi

, onpeut introduire les opérateurs

∂

∂zj=

1

2

(∂

∂xj− i ∂

∂yj

),

∂

∂zi=

1

2

(∂

∂xj+ i

∂

∂yj

).

Dans ce cas tout vecteur v ∈ TpM peut s'écrire sous la forme

v =n∑i=1

(αj

(∂

∂zj

)p

+ αj

(∂

∂zj

)p

).

3.3 Fibrés tangents

Soit M une variété diérentiable de dimension n et soit

TM =⋃p∈M

TpM,

la réunion des espaces tangents à M en tout ses points. Soit

pr : TM −→M, v 7−→ pr(v) = p,

l'application qui à tout vecteur tangent v ∈ TpM , fait correspondre le point(unique) p ∈M .

A. Lesfari 41

Dénition 15 On appelle TM =⋃p∈M TpM , le bré tangent à M , la variété

M est appelée la base du bré, l'application pr s'appelle la projection du brésur sa base et enn pr−1(p) est appelée la bre au dessus de p.

La projection est une application surjective. Toutes les bres sont des es-paces vectoriels de même dimension.

Proposition 16 Soit M une variété diérentiable de dimension n et soit TMson bré tangent. Alors il existe sur TM une structure de variété diérentiablede dimension 2n.

4 Applications tangentes, immersions, submer-

sions, plongement

4.1 Applications tangentes

SoientM une variété diérentiable de dimension m, N une variété diéren-tiable de dimension n, F : M −→ N une application diérentiable et p ∈ M .On désigne par F∗p l'application induite entre les espaces tangents. On dénit cette application comme suit :

F∗p : TpM −→ TF (p)N.

Soit v ∈ TpM . Pour tout f ∈ C∞(F (p)), on pose

F∗pv(f) = v(foF ).

A. Lesfari 42

Dénition 17 L'application F∗p est appelée application tangente à F en p (ondit aussi dérivée de F au point p).

Proposition 18 On a F∗pv ∈ TF (p)N .

Soient (x1, ..., xm) des coordonnées locales dans le voisinage du point p ∈Met (y1, ..., yn) des coordonnées locales dans le voisinage du point F (p) ∈ N . Onsait que l'application F se représente en ces coordonnées par des formules dela forme

yi = Fi(x1, ..., xm), 1 ≤ i ≤ n

où Fi sont des fonctions diérentiables. L'application F∗p se dénit alors parla matrice jacobienne

ξj 7−→ ηi =∂Fi∂xj

ξj c-à-d. η =∂F

∂xξ

où ξ = (ξ1, ..., ξm) sont les composantes du vecteur v et η = (η1, ..., ηm) sontles composantes du vecteur F∗pv.

Si N = R, alors tous les espaces TF (p)R s'identient d'une façon naturelle àR (car R possède une coordonnée naturelle canonique). Donc l'application F∗pdénit une forme linéaire sur TpM , que l'on désigne par dF et qu'on appellediérentielle de la fonction F .

Proposition 19 Soient M , N , L trois variétés diérentiables.a) Si F : M −→ N et G : N −→ L sont deux applications diérentiables,

alors(GoF )∗p = G∗F (p)oF∗p.

b) Si id : M −→ M est l'application identique, alors id∗ : TpM −→ TpMest la matrice unité I.

c) Pour un diéomorphisme F : M −→M , on a

I = F−1∗F (p)oF∗p = F∗poF

−1∗F (p).

En outre, ona

dimTpM = dimTF (p)N = rg F∗p = rg F−1∗F (p).

4.2 Immersions, submersions, plongement

Soit F : M −→ N , une application diérentiable entre deux variétés dié-rentiables M et N .

A. Lesfari 43

Dénition 20 On appelle rang de F au point p ∈M et on note rgpF le rangde l'application linéaire tangente

F∗p : TpM −→ TF (p)N,

c-à-d. la dimension de l'image de l'espace tangent. Autrement dit, c'est le rangde la matrice jacobienne de F au point p :

rgpF = rg F∗p = rg∂F

∂x(x(p)).

Remarque 21 on a

0 ≤ rgpF ≤ inf(dimpM, dimF (p)N).

Dénition 22 On dit que F est(i) une immersion si dimM ≤ dimN et rgpF = dimM (en chaque point

p de M). Autrement dit, si l'application F∗p est injective.(ii) une submersion si dimM ≥ dimN et rgpF = dimN . Autrement dit,

si l'application F∗p est surjective.(iii) un plongement de M dans N si F est injective, une immersion et un

homéomorphisme de M sur son image F (M).

5 Théorème du rang constant, sous variétés, théo-

rèmes de Sard et de Whitney

5.1 Théorème du rang constant

Théorème 23 Soient M et N deux variétés diérentiables de dimension met n respectivement, p un point de M et F : M −→ N une application dif-férentiable de rang constant r = rgpF . Alors il existe une carte (U,ϕ) =(U, x1, ..., xm) sur M et une carte (V, ψ) = (V, y1, ..., yn) sur N telles que l'ap-plication F s'exprime dans les coordonnées locales x1, ..., xm et y1, ..., yn par

yi =

xi pour 1 ≤ i ≤ r0 pour r + 1 ≤ i ≤ n

5.2 Sous variétés

On dit qu'une variété diérentiable N est une sous-variété d'une variétédiérentiable M si elle est contenue dans M et si l'injection canonique

i : N −→M, p 7−→ i(p) = p,

A. Lesfari 44

est une immersion en tout point p de M (et en particulier est une applicationdiérentiable).

Comme N ⊂ M , on peut munir N de la topologie T MN induite par latopologie TM de M (en prenant comme ouverts les intersections de la formeU ∩ N où U est un ouvert de M). D'une façon générale, cette topologie estdiérente de la topologie TN de N (celle qui est engendrée par les domainesde cartes). On peu montrer que TN est plus ne que T MN c-à-d. T MN ⊂ TN .Cette inclusion est équivaut à la continuité de l'application i. Lorsque i estun homéomorphisme sur son image c-à-d. si T MN = TN , la variété N s'appellesous-variété plongée. Dans le cas contraire, N s'appelle sous-variété immergée.

Autre approche : Soit M une variété de dimension m et soit N une partiede M . On dit que N est une sous-variété de M , de dimension n, si pour toutp ∈ N , il existe une carte (U,ϕ) de M (U étant un voisinage de p) telle que :

ϕ(U ∩N) = ϕ(U) ∩ Rn.

L'entier m− n est appelé la codimension de N .

A. Lesfari 45

Le théorème suivant donne les diérentes manières de décrire localementles sous-variétés : par des équations, par le graphe d'une application et par uneparamétrisation.

Théorème 24 Soit N ⊂ Rn+1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :(i) N est une sous-variété de Rn+l de dimension n et de classe Ck, k ≥ 1.(ii) Pour tout p ∈ N , il existe un ouvert U de Rn+l contenant p et une

submersion de classe Ck, k ≥ 1,

f : U −→ Rl,

telle que :

U ∩N = x ∈ U : f(x) = 0 ,= U ∩ f−1(0),

= (x1, ..., xn+l) ∈ U : f1(x1, ..., xn+l) = 0, ..., fl(x1, ..., xn+l) = 0 .

(iii) Pour tout p =(x0

1, ..., x0n+l

)∈ N , il existe un ouvert U de Rn+l

contenant p et un ouvert V de Rn contenant (x01, ..., x

0n) et une application

g : V ⊂ Rn −→ Rl, (x1, ..., xn) 7−→ (g1 (x1, ..., xn) , ..., gl (x1, ..., xn)) ,

telle que (à une permutation des coordonnées près) :

U ∩N = graphe de g = x1, ..., xn, g1 (x1, ..., xn) , ..., gl (x1, ..., xn) .

(iv) Pour tout p ∈ N , il existe un ouvert U de Rn+l contenant p et unouvert Ω de Rn contenant 0 et une application

h : Ω ⊂ Rn −→ Rn+l, (t1, ..., tn) 7−→ (x1 (t1, ..., tn) , ..., xn+l (t1, ..., tn)) ,

avec h(0) = 0 et telle que h soit une immersion et

h : Ω −→ U ∩N,

soit un homéomorphisme pour la topologie induite sur N par celle de Rn+l.Autrement dit, si h est un plongement.

Exemple 5.1 Tout ouvert d'une variété M est une sous-variété de M .

Exercice 5.1 Montrer que le groupe spécial linéaire

SL(2,R) = A ∈M2(R) : detA = 1,

est une sous-variété (de dimension 3 et de classe C∞) de M2(R).

A. Lesfari 46

Exercice 5.2 Montrer que la sphère Sn est une sous-variété de Rn+1.

Exercice 5.3 Montrer que les ensembles suivants sont des sous-variétés deR3 :

(x, y, z) ∈ R3 :x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

,

(x, y, z) ∈ R3 :x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1

,

(x, y, z) ∈ R3 : z =x2

a2+y2

b2

,

(x, y, z) ∈ R3 : z =x2

a2− y2

b2

.

Exercice 5.4 Montrer que l'ensemble des points (x, y, z) ∈ R3 tels que :

x2 + 2y2 + z2 = 1,

(x− 1

2

)2

+ y2 − z2 = 0,

est une sous-variété de R3.

Exercice 5.5 Montrer que l'ensemble des points (x, y, z) ∈ R3 tels que :

x2 + 2y2 = z2, (cône)

n'est pas une sous-variété de R3.

Exercice 5.6 Montrer que l'ensemble

(x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 = 1, (ellipse)

est une sous-variété de R2.

Exercice 5.7 Montrer que l'ensemble

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1, x2 + z2 = 5,

est une sous-variété diérentielle de dimension 2.

Exercice 5.8 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimension ni, U ⊂ Eun ouvert et f : U −→ F une fonction de classe C∞. Montrer que l'ensemble

(x, f(x)) ∈ U × F, x ∈ U, (graphe)

est une sous-variété de E × F .

A. Lesfari 47

Exercice 5.9 Montrer que l'ensemble

N = A ∈M2(R) : A 6= 0, A2 = 0,

est une sous-variété de R3.

Indication : Montrer que A ∈ N ⇐⇒ A 6= 0 et (detA, tr A) = (0, 0).

Exercice 5.10 Soient Λ = (x, y) ∈ R2 : xy = 0 et Λ∗ = Λ\(0, 0). Mon-trer que :

a) Λ n'est pas une sous-variété de R2.b) Λ∗ est une sous-variété de R2.

Exercice 5.11 Soient M ⊂ Rm et N ⊂ Rn, deux sous-variétés. Montrer que

M ×N = (x, y) ∈ Rm+n : x ∈M, y ∈ N,

est une sous-variété de Rm+n.

Exercice 5.12 Soit l'application

[0, 2π] −→ R2, t 7−→ f(t) =(2 cos(t− π

2), cos 2(t− π

2)).

a) Est-ce que l'image est une sous-variété du plan ?b) Est-ce que l'image de la restriction g = f |]0,2π[ est une sous-variété ?

Réponse :a) Non car l'origine est un point double.b) La restriction g est une bijection sur l'image mais l'image de g n'est pas

une sous-variété car g n'est pas un homéomorphisme sur son image.

Exercice 5.13 Montrer que le cercle est une sous-variété de R2.

Réponse : En eet, le cercle peut être considérée comme image réciproque de1 par

f :(R2)∗ −→ R, f(x, y) = x2 + y2.

Exercice 5.14 Soient M et N deux variétés diérentiables de dimension met n respectivement. Soit F : M −→ N , une application diérentiable.

1) On suppose que : m = n.

a) Montrer que si rgp(F ) = m, p ∈ M , alors il existe un voisinage Ude p tel que F : U −→ F (U), est un diéomorphisme.

A. Lesfari 48

b) Montrer que si rgp(F ) = m, ∀p ∈M , et que de plus F est bijectivealors F : M → N est un diéomorphisme.

2) Soit f1, ..., fm des fonctions indépendantes autour d'un point p ∈ M.Montrer qu'ils existe un voisinage U de p tel que (U, f1, ..., fm) soit une carte.

3) Soit f1, ..., fk, k ≤ m, des fonctions indépendantes autour d'un pointp ∈M. Montrer qu'ils existent un voisinage U de p et des fonctions xk+1, ..., xmtels que (U, f1, ..., fm, xk+1, ..., xm) soit une carte.

4) Soit q ∈ N . Supposons que F−1(q) est non vide et que le rang de F entout point de F−1(q) soit égal à la dimension de N . Montrer que F−1(q) estune sous-variété de M . Quelle est sa dimension ?

5.3 Théorèmes de Sard et de Whitney

Un ensemble A ⊂ Rm est dit de mesure nulle si pour tout ε > 0, il existe unrecouvrement dénombrable de cubes tels que leur volume total soit inférieur àε. Dans ce cas, on dit que le complémentaire Rm\A est un ensemble dense dansRm. De même, pour une variété M de dimension m, un ensemble B ⊂ M estdit de mesure nulle dans M si pour toute carte (U , ψ) de M , l'image ψ(A∩B)est de mesure nulle dans Rm.

Soient M , N deux variétés diérentiables et ϕ : M −→ N une applicationlisse. Un point x ∈M est dit critique de ϕ si la diérentielle

dϕx : Tx −→ Tϕ(x),

a un rang strictement inférieur à dimM , autrement dit si ϕ n'est pas unesubmersion au point x. Si C ⊂ M est l'ensemble des points critiques (ou lieucritique) de ϕ, alors on dira que ϕ(C) est l'ensemble des valeurs critiques de ϕet N\ϕ(C) n'est autre que l'ensemble des valeurs régulières de ϕ. Notons quepour dimM < dimN , tout point de la variété M est un point critique de ϕ etdans ce cas les valeurs critiques sont les points de l'ensemble ϕ(M). Nous allonsétudier le théorème (ou lemme comme on l'appelle parfois) de Sard. Il permetd'avoir des informations utiles sur l'ensemble ϕ(C) des valeurs critiques. Nousverrons que celui-ci est négligeable même dans le cas où l'ensemble C des pointscritiques n'est pas négligeable ou même considérable.

Théorème 25 (Sard). Soient ϕ : M −→ N une application lisse et C l'en-semble de ses points critiques. Alors l'ensemble des valeurs critiques ϕ(C) deϕ est de mesure nulle dans N . En outre, l'ensemble des valeurs régulièresN\ϕ(C) est dense dans N .

Démonstration : Soit (Uj, ψj) une suite de cartes de M telle que les ouverts Ujforment un recouvrement de M et pour tout j, ϕ(Uj) soit contenu dans unecarte de N . Pour démontrer le théorème, il sut de montrer que pour tout j,

A. Lesfari 49

l'ensemble ϕ(C ∩ Uj) est de mesure nulle. Il sut évidemment de prouver lerésultat au cas où M = U est un ouvert de Rm et N = Rn. La preuve va sefaire par récurrence sur m. Pour m = 0, le résultat est évident car il y a auplus un point dans l'ensemble des points critiques C ≡ C0 de ϕ. En posant

Ck =

x ∈ U :

∂αϕ(x)

∂xα= 0,∀α ∈ Nm tel que |α| ≤ k

, k ∈ N∗

on obtient une suite décroissante de fermés

C ≡ C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ · · · ⊃ Ck ⊃ Ck+1 ⊃ · · ·

et on note que ϕ(Ck\Ck+1) est mesurable.(i) Montrons que ϕ(C0\C1) est de mesure nulle. En eet, soient ξ ∈ C0\C1

et ϕ1, ..., ϕn les fonctions coordonnées de ϕ. Comme ξ /∈ C1, alors parmi lesdérivées partielles d'ordre 1 de ϕ, il existe une qui est non nulle en ξ. On peutmoyannant un changement de coordonnées supposer que c'est ∂ϕ1

∂x1(ξ). Le rang

de l'application

f : U −→ Rm, (x1, ..., xm) 7−→ (ϕ1(x1, ..., xm), x2, ..., xm),

est égal à m au point ξ. D'après le théorème d'inversion local, il existe doncun voisinage ouvert V de ξ dans U tel que f induise un diéomorphisme deV sur W ≡ f(V) de f(ξ) dans Rm. L'ensemble C0\C1 peut être recouvert parune famille dénombrable d'ensembles V . En remplaçant ϕ par l'applicationcomposée

g ≡ ϕ f−1 :W −→ Rn,

et U par W , l'application g envoie W sur Rn. En outre, les valeurs critiquesde g sont les mêmes que celles de la restriction de ϕ à V . Autrement dit,l'ensemble des points critiques C ′ de g coincide avec f(V ∩C) et donc g(C ′) =ϕ(V ∩C) est l'ensemble des valeurs critiques de g. Dès lors, si prRk désigne laprojection canonique de Rk sur sa première composante, on peut supposer queprRn.ϕ = prRm. Autrement dit, chaque point (t, x2, ..., xm) ∈ W est envoyépar l'application g vers le point g(t, x2, ..., xm) de l'hyperplan t × Rn−1. Pourtout t, les dérivées partielles de l'application partielle

gt :(t× Rm−1

)∩W −→ t× Rn−1,

induite par g vérient

det

(∂gi∂xj

)= det

(∂(gt)i∂xj

),

où (∂gi∂xj

)=

(1 0

?∂gt

i

∂xj

),

A. Lesfari 50

est la matrice jacobienne g. Donc un point appartenant à t×Rm−1 est critiquepour gt si et seulement si il est un point critique de g. En appliquant l'hypothèsede récurrence à l'application gt, on en déduit que l'ensemble de ses valeurscritiques sont de mesure nulle dans t × Rn−1. Dès lors, l'intersection g(C ′) ∩(t × Rn−1) est un ensemble de mesure nulle pour tout t ∈ R et d'après lethéorème de Fubini, l'ensemble des valeurs critiques g(C ′) est aussi de mesurenulle.(ii) Supposons maintenant que k ≥ 1 et montrons que ϕ(Ck\Ck+1) est demesure nulle. En eet, soit ξ ∈ Ck\Ck+1. Dès lors, il existe une dérivée partiellev d'ordre j de ϕ qui est non nulle au point ξ et que l'une de ses dérivéeéspremières n'est pas nulle :

v(ξ) = 0,∂v

∂xj(ξ) 6= 0.

Par un changement de coordonnées, on peut supposer que j = 1. L'applicationdénie par

f : U −→ Rm, (x1, ..., xm)←→ (v(x1, ..., xm), x2, ..., xm),

est de rang m au point ξ. D'après le théorème d'inversion local, f est undiéomorphisme d'un voisinage ouvert V de ξ dans U sur un voisinage W de(0, ξ2, ..., ξm) dans Rm. L'image f(Ck ∩ V) par f est contenu dans l'hyperplanv(ξ) = 0. Dès lors, l'application f envoie Ck ∩ V dans 0× Rm−1. Considéronscomme précédemment l'application

g ≡ ϕ f−1 :W −→ Rn,

et sa restrictiongr :

(0× Rm−1

)∩W −→ Rn.

L'hypothèse de récurrence entraîne que l'ensemble des valeurs critiques de grest de mesure nulle dans Rn. Les points critiques de l'application g sont lesmêmes que ceux de la restriction gr ; tout point de l'ensemble f(Ck ∩ V) estun point critique de gr puisque toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal àk s'annulent en ces points et en particulier le rang de ϕ est inférieur à n. Dèslors, l'ensemble gr f(Ck ∩ V) est de mesure nulle dans Rn et cet ensemblen'est autre que ϕ(Ck∩V). Comme l'ensemble Ck\Ck+1 peut être recouvert parune famille dénombrable de voisinages V , on en déduit que ϕ(Ck\Ck+1) est demesure nulle.(iii) On montre enn que l'ensemble ϕ(Ck) est de mesure nulle pour k su-samment grand ; k > m

n− 1. En eet, soit K un cube de longueur d'arête d

dans U . Il résulte de la formule de Taylor et de la dénition de Ck que

ϕ(ξ + h) = ϕ(ξ) +R(ξ, h),

A. Lesfari 51

où‖R(ξ, h)‖ ≤ α‖h‖k+1, (α = constante)

pour tout ξ ∈ Ck ∩ K et tout point ξ + h ∈ K. Divisons chaque arête ducube K en l sous-intervalles de longueur d

l. On obtient ainsi une partition de

K en lm cubes, chacun d'arête dlet de volume dm

lm. Désignons par K1 l'un

de ces cubes qui contient le point ξ ∈ Ck. Pour tout point ξ + h ∈ K1, ona ‖h‖ ≤

√md

l. Dès lors, l'ensemble ϕ(K1) est contenu dans un cube d'arête

βlk+1 où β ≡ 2α(

√md)k+1 et de centre ϕ(ξ) dans Rn. L'ensemble ϕ(Ck ∩K) est

donc contenu dans la réunion des lm cubes dont le volume total V satisfait à

V ≤ lm(

β

lk+1

)n= βnlm−n(k+1).

Par hypothèse, on a k + 1 > mn, donc pour d → ∞, le volume V tend vers 0,

d'ou le résultat.Passons maintenant à la preuve que l'ensemble des valeurs régulières N\ϕ(C)est dense dansN . En eet, raisonnons par l'absurde n supposant que l'ensembleN\ϕ(C) n'est pas dense dans N . Dans ce cas, on peut trouver un ouvert∅ 6= Ω ⊂ N dont tous les éléments sont des valeurs critiques. Par hypothèse,la variété N est lisse, donc Ω est diéomorphe à un ouvert ∆ de Rp. Comme∆ n'est pas de mesure nulle, l'ouvert Ω est aussi de mesure non nulle ce quiest en contradiction avec le fait que l'ensemble des valeurs critiques de ϕ estde mesure nulle. Ce qui achève la preuve du théorème.

Exemple 5.2 La fonction f : R→ R dénie par

ϕ(x) =

e−

1x2 si x > 00 si x ≤ 0

est lisse. L'ensemble des points critiques de ϕ est ]−∞, 0] tandis que l'ensembledes valeurs critiques de ϕ n'est autre que 0.

Théorème 26 (Whitney). Toute variété de dimension n possède un plonge-ment dans R2n+1.

6 Formes diérentielles, champs de vecteurs

6.1 Formes diérentielles

Soient n, k ∈ N et U ⊂ M un ouvert (dans cette partie la variété M serasouvent choisie égale à Rn). Soit

ω =∑

1≤i1<...<ik≤n

fi1,...,ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

A. Lesfari 52

une k-forme diérentielle sur U . Les fi1,...,ik (1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n) sont desfonctions de U dans R (ou C), de classe C∞.

On dénit le produit extérieur de ω et λ (une l-forme diérentielle dans U)en posant

ω ∧ λ =∑

1≤i1,...,ik,j1,...,jl≤n

fi1,...,ikgj1,...,jldxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl

.

C'est une (k + l)-forme diérentielle dans U . On vérie aisément que :

k + l > n =⇒ ω ∧ λ = 0,

(ω ∧ λ) ∧ η = ω ∧ (λ ∧ η),(ω + η) ∧ λ = (ω ∧ λ) + (η ∧ λ),

ω ∧ λ = (−1)kl(λ ∧ ω).

On dénit la diérentielle extérieure de ω en posant

dω =∑

1≤i1,...,ik≤n

dfi1,...,ik ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik .

C'est une (k + 1)-forme diérentielle dans U . Dans le cas d'une 1-forme

ω =n∑i=1

fidx,

on a

dω =∑

1≤i,k≤n

(∂fj∂xi− ∂fi∂xj

)dxi ∧ dxj.

On vérie les formules suivantes :

d(aω + bλ) = adω + bdλ, (a, b ∈ R)

d(ω ∧ λ) = (dω ∧ λ) + (−1)k(ω ∧ dλ), k = deg ω

d(dω) = 0.

On dit que ω est fermée (ou un cocycle) si

dω = 0.

En particulier, une 1-forme

ω =n∑i=1

fidx,

est fermée si et seulement si

∂fi∂xj

=∂fj∂xi

, ∀1 ≤ i, j ≤ n.

A. Lesfari 53

On dit que ω est exacte (ou cohomologue à 0) s'il existe une (k− 1)-formediérentielle λ dans U telle que :

ω = dλ.

En particulier, une 1-forme diérentielle

ω =n∑i=1

fidx,

est exacte s'il existe une application h : U → R (de classe C1) telle que :

fi =∂h

∂xi.

Toute forme diérentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse en gé-néral et elle est vraie en degré ≥ 1 si l'ouvert U est étoilé (lemme de Poincaré).

Soient Ωk(M) l'espace vectoriel réel des k-formes diérentielles de classeC∞ sur M et

d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M),

la diérentielle extérieure. On appelle groupe de cohomologie de la variété M ,l'espace vectoriel réel

Hk(M,R) =ker[d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M)

]Im [d : Ωk−1(M) −→ Ωk(M)]

,

=k − formes diérentielles fermées surMk − formes diérentielles exactes surM

.

C'est le groupe de cohomologie de De Rham que l'on désigne aussi parHkDR(M,R).

Un élément de ce groupe est une classe d'équivalence de formes fermées dié-rent l'une de l'autre par une diérentielle :

ω1 ∼ ω2 si ω1 − ω2 = dλ.

Exemple 6.1 H0(M,R) est un espace vectoriel de dimension nie égal aunombre de composantes connexes de M . En eet, nous n'avons ici que des0-formes diérentielles, i.e., des fonctions f(x) sur M . Il n'y a pas de formesdiérentielles exactes. Dès lors,

H0(M,R) = f : f est fermée.

Comme df(x) = 0, alors dans toute carte (U, x1, ..., xn) de M , on a

∂f

∂x1

=∂f

∂x2

= ... =∂f

∂xn= 0.

Par conséquent, f(x) = constante localement, i.e., f(x) = constante sur chaquecomposante connexe de M . Donc le nombre de composantes connexes de Mest la dimension en question.

A. Lesfari 54

Le lemme de Poincaré peut-être vu comme un théorème d'annulation de lacohomologie :

Hk(U,R) = 0, k ≥ 1

où U ⊂ Rn est un ouvert étoilé.Soit I = [0, 1], Ik = I × ...× I (k-fois). Un k-simplexe (de classe Cr, r ≥ 1)

dans U est une applicationϕ : Ik −→ U,

qui est de classe Cr sur Ik. Comme Ik est le volume formé par k vecteursindépendants dans U , l'application ϕ est donc une déformation de Ik.Par exemple,

- un 0-simplexe est un point.- un 1-simplexe dans R3 est une courbe dans R3.- un 2-simplexe dans R3 est une surface dans R3 homéomorphe à I2 (un

triangle).- un 3-simplexe dans R3 est une boule.- un cube, un volume dans R3 homéomorphe à I3 (un tétraèdre).

Rappelons que pour intégrer une k-forme diérentielle sur une variétéM , ilfaut que celle-ci soit orientable. Cela signie queM vérie l'une des conditionséquivalentes suivantes :

(i) M est munie d'une forme volume, i.e., une k-forme diérentielle qui nes'annule nulle part.

(ii) Il existe surM un atlas tel que le jacobien de tout changement de cartesoit strictement positif.Par exemple,

- Rn est orientée par la forme volume dx1 ∧ ... ∧ dxn.- le cercle S1 est orienté par dθ.- le tore T 2 = S1 × S1 est orienté par la forme volume dθ ∧ dϕ.-toutes les variétés holomorphes sont orientables.-la sphère S2, l'espace projectif RPn (n paire), la bande de Möbius ne sont

pas orientables.Soient ω une k-forme diérentielle U ⊂M (orientable) et ϕ un k-simplexe

dans U de classe C1. L'intégrale de ω sur ϕ est dénie par∫ϕ

ω =

∫Ik

ω(ϕ).

On suppose que k ≥ 2 et soient π une permutation de (1, ..., k),

ϕ : Ik −→ U, (u1, ..., uk) 7−→ ϕ(u1, ..., uk),

un k-simplexe dans U , et

ϕπ : Ik −→ U, (u1, ..., uk) 7−→ ϕπ(u1, ..., uk) = ϕ(uπ(1), ..., uπ(1)),

A. Lesfari 55

un k-simplexe dans U . Pour toute k-forme diérentielle ω dans M , on a∫ϕπ

ω = sign π∫ϕ

ω,

où sign π désigne la signature de la permutation π.La relation ci-dessus, montre que l'ensemble des ϕπ lorsque π parcourt

les permutations de (1, 2, ..., k) peut être divisé en deux classes : La premièrecorrespond au cas où π est paire (sign π = 1) ; ϕπ et ϕ ont même orientation eton posera dans ce cas ϕπ = ϕ. La seconde correspond au cas où π est impaire(sign π = −1) ; ϕπ et ϕ ont des orientations opposées et on posera dans ce casϕπ = ϕ−. Pour cette seconde classe, π est une transposition, i.e., deux élémentsseulement sont permutés. Par exemple, si k = 2 et n = 3, on a

ϕ−(u1, u2) = ϕ(u2, u1).

Nous avons supposé que k ≥ 2. Dans le cas où k = 1, alors ϕ− s'obtient par laformule

ϕ−(u) = ϕ(1− u).

Un k-complexe (de classe Cr, r ≥ 1) dans U est une famille nie Φ =(ϕ1, ..., ϕm) de k-simplexes ϕj, 1 ≤ j ≤ m, dans U (de classe Cr, r ≥ 1). Géo-métriquement, un complexe peut se visualiser comme une réunion de surfaces,celles dénies par les simplexes le composant.

Si Φ = (ϕ1, ..., ϕm) est un k-complexe (de classe C1) dans U et si ω est unek-forme diérentielle dans U , alors l'intégrale de ω sur Φ est dénie par∫

Φ

ω =m∑j=1

∫ϕj

ω.

En particulier, un k-complexe Φ = (ϕ1, ..., ϕm) dans U tel que :

ϕj(1) = ϕj+1(0), 1 ≤ j ≤ m− 1,

est un chemin dans U par morceaux. Si en outre ϕm(1) = ϕ1(0), alors Φ estun cycle ou chemin fermé.

Soient ω une 1-forme diérentielle exacte dans U , Φ = (ϕ1, ..., ϕm) et Ψ =(ψ1, ..., ψm) deux chemins dans U . Si ω = df , alors∫

Φ

= f (ϕm(1))− f (ϕ1(0)) .

Si ϕ1(0) = ψ1(0) et ϕm(1) = ψm(1), alors∫Φ

ω =

∫Ψ

ω.

A. Lesfari 56

Enn si Φ est un chemin fermé, alors∫Φ

ω = 0.

Le bord d'un k-simplexe

ϕ : Ik −→ U, k ≥ 2,

est le (k − 1)-complexe, noté ∂ϕ, déni par

∂ϕ =(ϕj,αsign(−1)j+α

: 1 ≤ j ≤ k, α = 0, 1),

où

ϕj,α+ ≡ ϕj,α : Ik−1 −→ U,

(u1, ..., uk−1) 7−→ ϕj,α(u1, ..., uk−1) = ϕ(u1, ..., uj−1, α, uj, ..., uk−1),

etϕj,α+ =

(ϕj,α

)− .

Lors de la détermination du bord d'un simplexe ϕ, les notations suivantespeuvent être utiles pour préciser l'image de ϕ ainsi que l'orientation. Soientx0, x1, ..., xk ∈ U , k + 1 points et

ϕ : Ik −→ U, u 7−→ ϕ(u) = x0 +k∑j=1

uj(xj − x0).

L'application ϕ dénit un k-simplexe dans U et Im ϕ est un parallélipipède (àk dimensions) construit sur les k segments joignant x0 à xj, 1 ≤ j ≤ k. Ces k-simplexes sont appelés k-parallélotopes orientés et seront notés : [x0, x1, ..., xk].On a x0 = ϕ(0) et xj = ϕ(ej), 1 ≤ j ≤ k, où ej désigne le jième vecteur debase de Rk. Pour k = 1, on note [x0, x1] et x0 −→

orientationx1.

Exemple 6.2 Soit

ϕ : I2 −→ R2, (u1, u2) 7−→ (u1, u2),

le 2-simplexe identité (injection canonique). On a

∂ϕ =(ϕj,αsign(−1)j+α

: 1 ≤ j ≤ 2, α = 0, 1),

=(ϕ1,0− , ϕ1,1, ϕ2,0, ϕ2,1

−),

A. Lesfari 57

où

ϕ1,0− (u) =

(ϕ1,0

)− (u),

= ϕ1,0(1− u),= ϕ(0, 1− u),= (0, 1− u),= [(0, 1), (0, 0)](u),

= [e2, 0](u),

ϕ1,1(u) = ϕ(1, u),

= (1, u),

= [(1, 0), (1, 1)](u),

= [e1, e1 + e2](u),

ϕ2,0(u) = ϕ(u, 0),

= (u, 0),

= [(0, 0), (1, 0)](u),

= [0, e1](u),

ϕ2,1− (u) =

(ϕ2,1

)− (u),

= ϕ2,1(1− u),= (1− u, 1),

= [(1, 1), (0, 1)](u),

= [e1 + e2, e2](u).

Comme I2 = [0, 1] × [0, 1], alors ϕ(I2) est le carré construit sur les segmentsjoignant 0 à e1, e1 à e1 + e2, e1 + e2 à e2 et e2 à 0. On obtient

(∂ϕ)(I2) =⋃

1≤j≤2α=0,1

(ϕj,αsign(−1)j+α

(I))

= fr (ϕ(I2)).

Le bord d'un k-complexe Φ = (ϕ1, ..., ϕm) est le (k − 1)-complexe déni par

∂Φ = (∂ϕ1, ..., ∂ϕm),

=(ϕj,l,αsign(−1)l+α

: 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ l ≤ k, α = 0, 1).

Soient M1, M2 des variétés diérentiables de dimension m1, m2 respective-ment et U1 ⊂ M1, U2 ⊂ M2 des ouverts. Pour toute application diérentiableg : U1 −→ U2, et toute k-forme diérentielle dans U2, on peut dénir unek-forme diérentielle dans U1 (appelée le pull-back par g ou image inverse ouencore transposée de ω par g) en posant

g∗ω =∑

1≤i1,...,ik≤m2

(fi1,...,ik g) dgi1 ∧ ... ∧ dgik ,

A. Lesfari 58

où

dgil =

m1∑j=1

∂gil∂yj

dyj,

sont des 1-formes dans U1.Notons que g∗ est un opérateur linéaire de l'espace des k-formes sur M2

dans l'espace des k-formes sur U1 (l'astérisque indique que g∗ opère dans lesens inverse de g).

Soit ω est une k-forme diérentielle dans U2 et λ une l-forme diérentielledans U2. Alors si k = l,

g∗(ω + λ) = g∗ω + g∗λ,

etg∗(ω ∧ λ) = g∗ω ∧ g∗λ.

Si h : U2 → R est une application continue,

g∗(hω) = (h g)g∗ω.

Si ω est de classe C1 dan U2 et g de classe C2 dans U1,

g∗(dω) = d(g∗ω).

Si M3 est une autre variété diérentiable, U3 ⊂ M3 un ouvert et h : U3 → U1

une application de classe C1, alors

(g h)∗ω = h∗(g∗ω).

On déduit de ces propriétés que si g : U1 −→ U2 est une application diéren-tiable, alors il y a des applications linéaires induites

g∗ : Hk(U2,R) −→ Hk(U1,R),

telles que :g∗([ω] ∧ [λ]) = g∗[ω] ∧ g∗[λ].

En outre, si g est un diéomorphisme local, alors g∗ est un isomorphismed'algèbres (les groupes de cohomologie donnent donc des invariants diéren-tiables).

On montre que si ϕ est un k-simplexe dans M de classe C1, ω une k-formediérentielle dans M ,

τ k : Ik −→ Rk, u 7−→ τ k(u) = u,

un k-simplexe identité dans Ik ⊂ Rk (injection canonique de classe C∞), alors∫ϕ

ω =

∫τk

ϕ∗ω.

A. Lesfari 59

On en déduit que si ω est une (k− 1)-forme diérentielle de classe C1 dans M(orientable) et Φ = (ϕ1, ..., ϕm) un k-complexe dans M de classe C2, alors ona la formule de Stokes-Cartan ∫

∂Φ

ω =

∫Φ

dω.

Soit A un anneau unitaire. On notera Ck le A-module libre engendré partous les k-simplexes dans un complexe Φ. Un élément de Ck est appelé unek-chaîne dans le complexe Φ. C'est une somme nie formelle de la forme

ck =∑k

αkσk,

où σk est un k-simplexe et αk ∈ A. Le bord ∂ck d'une k-chaîne est dénie par

∂ck =∑k

αk∂σk.

Un cycle est une chaîne ck telle que : ∂ck = 0. Un bord est une chaîne cktelle qu'il existe une chaîne ck+1 avec ∂ck+1 = ck. Par analogie avec les formesdiérentielles, on peut dire qu'un cycle est une chaîne fermée et qu'un bord estune chaîne exacte. On montre que pour toute k-chaîne ck, le bord ∂ck est une(k − 1)-chaîne et que ∂(∂ck) = 0. En outre, les k-chaînes forment un groupeabélien en introduisant une loi d'addition sur les chaînes comme suit : si

ck =∑k

αkσk, c′k =∑k

α′kσk,

alorsck + c′k =

∑k

(αk + α′k)σk.

Les cycles forment un groupe noté

Zk = ker(∂ : Ck −→ Ck−1).

Deux cycles c′k et c′′k sont équivalents ou homologues si et seulement si

c′k − c′′k = ∂ck+1.

De même, les bords forment aussi un groupe noté

Bk = Im(∂ : Ck+1 −→ Ck).

On pose B0 = 0. On a les inclusions :

Bk ⊂ Zk ⊂ Ck.

On appelle groupe d'homologie, noté Hk, le quotient Zk/Bk.Il est clair qu'un bord est un cycle. Mais tout cycle n'est pas un bord.

A. Lesfari 60

Exemple 6.3 Soient a et b deux cycles indépendants dans H1(T ). Ces cyclesforment une base d'homologie du tore T . On a

H1(T )(1)= Z1(T )/B1(T )

(2)= Z/2Z.

Les deux groupes (1) et (2) ont même structures ; ils sont engendrés par deuxéléments a et b.

Exercice 6.1 Considérons l'espace vectoriel R3 dans lequel on aura xé descoordonnées

x1, x2, x3 : R3 −→ R.Soient f et h des fonctions de R3 dans R, g et k des fonctions de R3dans R3,de classe C1 sur un ouvert U de R3. En utilisant la formule de diérentiationextérieure d'un produit extérieur de deux formes diérentielles et d'un pro-duit d'une fonction par une forme diérentielle, ainsi que la notion de formediérentielle associée à un champ scalaire ou à un champ vectoriel dans R3,démontrer les formules suivantes de l'analyse vectorielle :

grad (fh) = f grad h + h grad f,

rot (fg) = grad f ∧ g + f rot g,

div (fg) = 〈grad f , g〉 + f div g,

div (g ∧ k) = 〈rot g , k〉 − 〈g , rot k〉 .

Exercice 6.2 Soit D un ouvert étoilé de R2 càd. un ouvert tel que : (x1, x2) ∈D et 0 ≤ t ≤ 1 entraînent (tx2, tx3) ∈ D, et I un intervalle ouvert de R. Soitω une 2−forme diérentielle dénie et continûment dérivable sur I ×D, telleque :

dx1 ∧ ω = 0, dω = 0.

a) Montrer que

ω = dx1 ∧3∑i=2

fidxi,

où les fi sont des fonctions complexes, dénies et continûment dérivables surI ×D. Quelles conditions les fi doivent-ils satisfaire ?

b) Si x = (x1, x2, x3) ∈ I ×D, on pose

h (x) =3∑i=2

∫ 1

0

xifi (x1, tx2, tx3) dt.

Montrer que h est continûment dérivable et que

ω = dx1 ∧ dh.

En déduire une forme diérentielle λ de degré 1, dénie et continûment déri-vable sur I ×D, telle que ω = dλ.

A. Lesfari 61

Réponse : a) ∂f3∂x2

= ∂f2∂x3

.

Exercice 6.3 Soit la forme diérentielle

ω = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + · · ·+ dx2n−1 ∧ dx2n.

Calculer ωn.

Réponse : ωn = n!dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dx2n−1 ∧ dx2n.

Exercice 6.4 Examiner si les formes diérentielles suivantes sont exactes et,le cas échéant, trouver une fonction f telle que : ω = df .

a) ω =(3x2 + 2y2 + 3z

)dx+ (4xy + 2y − z) dy + (3x− y − 2) dz,

b) ω = x2dy + 3xzdz,

c) ω = (xy cosxy + sinxy) dx+(x2 cosxy + y2

)dy,

d) ω =(5x2y − 4xy

)dx+

(3x2 − 2y

)dy,

e) ω =x+ 2y

x2 + y2dx+

y − 2x

x2 + y2dy.

Réponse :a) f(x, y, z) = x3 + 2xy2 + 3xz + y2 − yz − 2z + constante.b) ω n'est pas exacte.c) f(x, y) = x sin xy + y3

3+ constante.

d) ω n'est pas exacte.

Exercice 6.5 Retrouver les propriétés suivantes en utilisant les propriétés dela diérentielle extérieure :

rot (grad f) = 0,

etdiv (rot g) = 0.

Exercice 6.6 Soit Hk (M,R) le groupe de cohomologie d'une variété M .1) Montrer que H0 (M,R) est un espace vectoriel de dimension égale au

nombre de composantes connexes de la variété M .2) Soient

f1, f2 : M1 −→M2,

deux applications diérentiables de variétés M1 et M2. Montrer que si f1 etf2 sont homotopes, alors les applications f ∗1 , f

∗2 de groupes de cohomologies se

confondent :f ∗1 = f ∗2 : Hk (M1,R) −→ Hk (M1,R) .

A. Lesfari 62

En déduire que deux variétés homotopiquement équivalentes ont même groupede cohomologie.

3) Montrer que :

a) Hk(S1,R

)= 0, k > 1,

b) H0(S1,R

)= R,

c) H1(S1,R

)= R,

où S1 est un cercle.

Réponse :3) a) 0.b) R.c) R.

Exercice 6.7 a) Montrer que si une forme diérentielle ω est fermée, alorssa transformée g∗ω par g l'est aussi, g étant de classe C2.

b) Si g est une bijection de classe C2 admettant une fonction réciproque quisoit aussi de classe C2, montrer que ω est fermée dès que g∗ω est fermée.

Exercice 6.8 Soient ϕ et ψ les 2-simplexes de R3 dénis par

ϕ (s, t) = (1− s, 1− t, st) ,

et

ψ (s, t) =((a+ (b− a) s) cos

π

2t, (a+ (b− a) s) sin

π

2t,π

2t), 0 < a < b.

Calculer les intégrales suivantes :1) ∫

ϕ

xdx ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy.

2) ∫ψ

zdx ∧ dy.

Réponse :1) 1

3.

2) (b2 − a2)π2

16.

Exercice 6.9 Calculer l'intégrale∫ψ

(x2 + y2

)dx ∧ dy,

A. Lesfari 63

si ψ est le 2-complexe ψ = ∆ + ϕ− avec

∆ = [(0,−4) , (4, 0) , (−4, 0)] ,

etϕ (u, v) = (u cos 2πv, u sin 2πv) .

Réponse : 5123− π

2.

Exercice 6.10 Soit ϕ le 2-simplexe dans R2 déni par

ϕ(s, t) = (s(1− t), t).

a) Vérier que ϕ est de classe C∞.b) Identier l'image de ϕ.c) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.

Réponse :a) (s(1− t), t) et t sont de classe C∞.b) c'est le triangle de sommets 0, e1, e2.c) ∂ϕ = (ϕ1,0

− , ϕ1,1, ϕ2,0, ϕ2,1− ) où ϕ1,0

− (u) = [(0, 1), (0, 0)](u), ϕ1,1(u) =[(1, 0), (0, 1)](u), ϕ2,0(u) = [(0, 0), (1, 0)](u), ϕ2,1

− (u) = (0, 1 simplexe nul.

Exercice 6.11 Soit ϕ le 2-simplexe dans R3 dénie par

ϕ (u, v) = ((1− u) cos πv, (1− u) sinπv, u) .

a) Caractériser l'image de ϕ.b) Déterminer un 3-simplexe dont ϕ soit une partie du bord.c) Calculer l'intégrale de (y + z) dy ∧ dz sur ϕ.

Exercice 6.12 Soit la 1-forme diérentielle

ω =xdy − ydxx2 + y2

,

et ϕ le 1-simplexe dans R2\ (0, 0) déni par

ϕ (t) = (a cos 2πt, a sin 2πt) , t ∈ [0, 1], a > 0.

a) Calculer∫ϕω.

b) Montrer qu'il n'existe aucun 2-complexe de classe C2 dans R2\(0, 0)dont ϕ soit le bord.

Réponse : a) 2π.

A. Lesfari 64

Exercice 6.13 Soient a, b et c des réels strictements positifs. Utiliser le théo-rème de Stokes-Cartan pour calculer∫

∂ϕ

zdx ∧ dy,

si ϕ est le 3-simplexe de R3 déni par

ϕ (r, s, t) = (ar cos 2πs sin πt, br sin 2πs sin πt, cr cos πt) .

Réponse : −43πabc.

Exercice 6.14 Soit ϕ le 2-simplexe dans R2 déni par

ϕ (s, t) = (as cos 2πt, as sin 2πt) ,

où a est un réel strictement positif.a) Déterminer l'image de ϕ.b) Montrer que ∂ϕ est un simplexe et déterminer son image.

Réponse :a) (x, y) : x2 + y2 ≤ a2.b) (x, y) : x2 + y2 = a2.

Exercice 6.15 Utiliser le théorème de Stokes-Cartan pour calculer∫ϕ

(x+ y) dz ∧ dx+ (1− z) dx ∧ dy +(y + z2

)dy ∧ dz,

siϕ (u, v) =

(a cos 2πu sin

π

2v, a sin 2πu sin

π

2v, a cos

π

2v), a > 0.

Réponse : −πa2.

Exercice 6.16 Soit ϕ le 2-simplexe dans R3 déni par

ϕ (s, t) = (a cos 2πs, a sin 2πs, t) ,

avec (s, t) ∈ [0, 1]× [0, 1], a > 0.a) Caractériser l'image de ϕ.b) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.c) Trouver une 1-forme diérentielle dont la diérentielle soit dx ∧ dz.d) Calculer ∫

ϕ

dx ∧ dz.

i) par calcul direct.

ii) par le théorème de Stokes-Cartan.

A. Lesfari 65

Réponse :a) Im ϕ = (x, y) : x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ 1 (cylindre de rayon a et de

hauteur 1.b) ∂ϕ = (ϕ(u, 0), ϕ(1− u, 1)).c) ω = xdz.d) 0.

Exercice 6.17 Soit la 1-forme diérentielle dans l'ouvert Ω de R2 égal àR2\(0, 0) :

ω =xdy − ydxx2 + y2

.

a) Montrer que la forme ω n'est pas exacte sur Ω.b) Trouver un ouvert ∆ dont la diérence avec Ω soit de mesure nulle et

sur lequel ω soit exacte.

6.2 Champs de vecteurs

Dans cette partie, on commence par quelques dénitions et propriétés surles champs de vecteurs dénis sur une variété diérentiable. On étudie leursliaisons avec les groupes à un paramètre de diéomorphismes ou ots ainsiqu'avec les opérateurs diérentiels. On montre qu'un champ de vecteurs dif-férentiable et à support compact est générateur d'un unique groupe à un pa-ramètre de diéomorphismes de cette variété ; on construit le ot sur toute lavariété. Puis la notion de commutativité des champs de vecteurs est détaillée,avec des calculs explicites concernant une condition nécessaire et susantefort utile pour vérier la commutativité des champs de vecteurs. Ensuite, nousdémontrons un résultat important de topologie diérentielle : on montre quesi la variété diérentiable de dimension m est compacte, connexe, munie dem champs de vecteurs diérentiables commutant deux à deux et linéairementindépendants en chaque point, alors cette variété est diéomorphe à un toreréel de dimension m.

SoitM une variété diérentiable de dimension m. Soit TM le bré tangentà M, i.e., l'union des espaces tangents à M en tous ses points x,

TM =⋃x∈M

TxM.

Ce bré possède une structure naturelle de variété diérentiable de dimension2m et il nous permet de transporter imméditement aus variétés toute la théoriedes équations diérentielles ordinaires.

Dénition 27 Un champ de vecteurs (On dit aussi section du bré tangent)sur M est une application, notée X, qui à tout point x ∈M associe un vecteur

A. Lesfari 66

tangent Xx ∈ TxM . Autrement dit, c'est une application

X : M −→ TM,

telle que siπ : TM −→M,

est la projection naturelle, on ait

π X = idM .

Notons que le diagramme

MX−→ TM

idM ↓πM

est commutatif.Soit (x1, ..., xm) un système de coordonnées locales dans un voisinage U ⊂M.Dans ce système le champ de vecteurs X s'écrit sous la forme

X =m∑k=1

fk (x)∂

∂xk, x ∈ U,

où les fonctionsf1, . . . , fm : U −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (x1, ..., xm). Un champ de vecteurs Xest diérentiable si ses composantes fk (x) sont des fonctions diérentiables.Cette dénition de diérentiabilité ne dépend pas évidemment du choix du

A. Lesfari 67

système de coordonnées locales. En eet, si (y1, ..., ym) est un autre systèmede coordonnées locales dans U, alors

X =m∑k=1

hk (x)∂

∂yk, x ∈ U,

oùh1, . . . , hm : U −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (y1, ..., ym) et le résultat découle dufait que

hk (x) =m∑l=1

∂yk∂xl

fl (x) , x ∈ U.

Au champ de vecteurs X correspond un système d'équations diérentielles

dx1

dt= f1 (x1, ..., xm) ,

... (6.1)dxmdt

= fm (x1, ..., xm) .

Dénition 28 Un champ de vecteurs diérentiable X surM s'appelle systèmedynamique.

Un champ de vecteurs s'écrit localement sous la forme (1.1).

Dénition 29 Une courbe intégrale (ou trajectoire) du champ de vecteurs Xest une courbe diérentiable

γ : I −→M, t 7−→ γ (t) ,

telle que :

∀t ∈ I, dγ (t)

dt= X (γ (t)) ,

où I est un intervalle de R.

Sim∑k=1

fk (x)∂

∂xk,

est l'expression locale de X, alors les courbes intégrales (ou trajectoires) de Xsont les solutions γ (t) = xk (t) de (1.1).

On suppose dans la suite que le champ de vecteurs X est diérentiable (declasse C∞) et à support compact (i.e., X est nul en dehors d'un compact deM), ce qui sera en particulier le cas si la variété M est compacte.

A. Lesfari 68

Etant donné un point x ∈ M, on note gXt (x) (ou tout simplement gt(x))la position de x après un déplacement d'une durée t ∈ R. On a ainsi uneapplication

gXt : M −→M, t ∈ R,qui est un diéomorphisme, en vertu de la théorie des équations diérentielles(voir théorème ci-dessous). Plus précisément, au champ de vecteurs X est liéun groupe à un paramètre de diéomorphismes gXt sur M c'est-à-dire uneapplication diérentiable (de classe C∞) : M × R −→ M, vériant une loi degroupe :

i) ∀t ∈ R, gXt : M −→M est un diéomorphisme de M sur M.ii) ∀t, s ∈ R, gXt+s = gXt gXs .La condition ii) signie que la correspondance t 7−→ gXt , est un homomor-

phisme du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de M dansM. Elle implique que

gX−t =(gXt)−1

,

car gX0 = idM est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.

Dénition 30 Le groupe à un paramètre de diéomorphismes gXt sur M , quel'on vient de décrire s'appelle ot et il admet le champ de vecteurs X pourchamp de vitesses

d

dtgXt (x) = X

(gXt (x)

),

avec la condition initialegX0 (x) = x.

Evidemmentd

dtgXt (x)

∣∣∣∣t=0

= X (x) .

Donc par ces formules gXt (x) est la courbe sur la variété qui passe par x ettelle que la tangente en chaque point est le vecteur X

(gXt (x)

).

Nous allons maintenant voir comment construire le ot gXt sur toute lavariété M.

A. Lesfari 69

Théorème 31 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe àun paramètre de diéomorphismes de M.

Démonstration : a) Construction de gXt pour t assez petit. Pour x xé, l'équa-tion diérentielle

d

dtgXt (x) = X

(gXt),

fonction de t avec la condition initiale

gX0 (x) = x,

admet une solution unique gXt dénie au voisinage du point x0 et dépendant defaçon C∞ de la condition initiale. Donc gXt est localement un diéomorphisme.Dès lors pour chaque point x0 ∈M, on peut trouver un voisinage U (x0) ⊂M ,un nombre réel positif ε ≡ ε (x0) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[, l'équationdiérentielle en question avec sa condition initiale admet une solution uniquegXt (x) diérentiable dénie dans U (x0) et vériant la relation de groupe

gXt+s (x) = gXt gXs (x) ,

avec t, s, t+ s ∈ ]−ε, ε[ . En eet, posons

x1 = gXt (x) , t xé,

et considérons la solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisi-nage du point x0 à la condition initiale

gXs=0 = x1.

Cette solution vérie la même équation diérentielle et coincide en un point

gXt (x) = x1,

avec la fonction gXt+s. Donc, par unicité de la solution de l'équation diérentielle,les deux fonctions sont localement égales. Par conséquent, l'application gXt estlocalement un diéomorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs X estsupposé diérentiable (de classe C∞) et à support compactK.Du recouvrementde K formé par des ouverts U (x) , on peut extraire un sous-recouvrement ni(Ui) , puisque K est compact. Désignons par εi les nombres ε correspondantsaux Ui et posons

ε0 = inf (εi) , gXt (x) = x, x /∈ K.

Dès lors, l'équation en question admet une solution unique gXt surM×]−ε0, ε0[vériant la relation du groupe

gXt+s = gXt gXs ,

A. Lesfari 70

l'inverse de gXt étant gX−t et donc gXt est un diéomorphisme pour t susamment

petit.b) Construction de gXt pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construiregXt pour t ∈ ]−∞,−ε0[ ∪ ]ε0,∞[ . Nous allons voir que les applications gXtse dénissent d'après la loi de multiplication du groupe. Notons que t peuts'écrire sous la forme

t = kε0

2+ r,

avec k ∈ Z et r ∈[0, ε0

2

[. Posons, pour t ∈ R∗

+,

gXt = gXε02 · · · gXε0

2︸ ︷︷ ︸k−fois

gXr ,

et pour t ∈ R∗−,

gXt = gX− ε02 · · · gX− ε0

2︸ ︷︷ ︸k−fois

gXr .

Les diéomorphismes gX± ε02

et gXr ont été dénis dans a), et on en déduit que

pour tout réel t, gXt est un diéomorphisme déni globalement sur M.

Corollaire 32 Toute solution de l'équation diérentielle

dx (t)

dt= X (x (t)) , x ∈M,

avec la condition initiale x (pour t = 0), est indéniment prolongeable. Lavaleur de la solution gXt (x) à l'instant t est diérentiable par rapport à t et àla condition initiale x.

Avec un léger abus de notation, on peut écrire l'équation précédente sous laforme du système d'équations diérentielles (1.1) avec les conditions initialesx1, ..., xm pour t = 0.

Au champ de vecteursX est lié l'opérateur diérentiel LX d'ordre 1. Il s'agitde la diérentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteursX. On a

LX : C∞ (M) −→ C∞ (M) , F 7−→ LXF,

où

LXF (x) =d

dtF(gXt (x)

)∣∣∣∣t=0

, x ∈M.

Ici C∞ (M) désigne l'ensemble des fonctions F : M −→ R, de classe C∞.L'opérateur LX est linéaire

LX (α1F1 + α2F2) = α1LXF1 + α2LXF2, (α1, α2 ∈ R) ,

A. Lesfari 71

et satisfait à la formule de Leibniz

LX (F1F2) = F1LXF2 + F2LXF1.

Comme LXF (x) ne dépend que des valeurs de F au voisinage de x, on peutdonc appliquer l'opérateur LX à des fonctions dénies seulement au voisi-nage d'un point, sans avoir besoin de les prolonger à toute la variété M. Soit(x1, ..., xm) un système de coordonnées locales surM.Dans ce système le champde vecteurs X a pour composantes f1, . . . , fm et le ot gXt est déni par le sys-tème d'équations diérentielles (1.1). Donc la dérivée de F = F (x1, ..., xm)suivant la direction de X s'écrit

LXF = f1∂F

∂x1

+ · · ·+ fm∂F

∂xm.

Autrement dit, dans les coordonnées (x1, ..., xm) l'opérateur LX s'écrit

LX = f1∂

∂x1

+ · · ·+ fm∂

∂xm,

ceci n'est autre que la forme générale de l'opérateur diérentiel linéaire dupremier ordre.

Dénition 33 On dit que deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une variétéM commutent (ou sont commutatifs) si et seulement si les ots correspondantscommutent

gX1t1 g

X2t2 (x) = gX2

t2 gX1t1 (x), ∀x ∈M.

Le résultat suivant nous donne une condition nécessaire et susante, fortutile, pour vérier la commutativité de deux champs de vecteurs.

Théorème 34 Deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une variété M com-mutent si et seulement si

[LX1 , LX2 ] ≡ LX1LX2 − LX2LX1 = 0.

A. Lesfari 72

Démonstration : a) Condition nécessaire. Montrons tout d'abord que : ∀F ∈C∞ (M), ∀x ∈M , alors

∂2

∂t1∂t2

(F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)− F

(gX1t1 g

X2t2 (x)

))∣∣∣∣t2=t1=0

= (LX1LX2 − LX2LX1)F (x) .

En eet, d' après la dénition de LX2 , on a

∂

∂t2F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)∣∣∣∣t2=0

= LX2F(gX1t1 (x)

).

D'où

∂2

∂t1∂t2F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

=∂

∂t1LX2F

(gX1t1 (x)

)∣∣∣∣t1=0

,

=∂

∂t1G(gX1t1 (x)

)∣∣∣∣t1=0

où G ≡ LX2F,

= LX1G(x) par dénition de LX1 ,

= LX1LX2F (x) .

De même, on a

∂2

∂t2∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)∣∣∣∣t1=0

= LX1F(gX2t2 (x)

),

et∂2

∂t2∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

= LX2LX1F (x) .

Dès lors,

∂2

∂t2∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)∣∣∣∣t1=0

− ∂2

∂t2∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

=∂2

∂t1∂t2

(F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)− F

(gX1t1 g

X2t2 (x)

))∣∣∣∣t2=t1=0

,

= LX1LX2F (x)− LX2LX1F (x) .

Donc si X1 et X2 commutent sur la variété M c'est-à-dire si

gt1X1 gX2

t2 (x) = gX2t2 g

X1t1 (x), ∀x ∈M,

alors d'après la formule ci-dessus,

(LX1LX2 − LX2LX1)F (x) = 0, ∀F ∈ C∞ (M) , ∀x ∈M,

A. Lesfari 73

et par conséquentLX1LX2 = LX2LX1 .

b) Condition susante. Montrons que

gX1t1 g

X2t2 (x) = gX2

t2 gX1t1 (x),∀x ∈M,

ou encore que

F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)= F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

), ∀F ∈ C∞ (M) , ∀x ∈M.

Posonsξ = gX1

t1 gX2t2 (x), ζ = gX2

t2 gX1t1 (x),

et développons en série de Taylor la fonction F (ξ)−F (ζ) autour de t1 = t2 = 0.On a

F (ξ)− F (ζ) = F (x)− F (x)

+t1

(∂

∂t1(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t2

(∂

∂t2(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t212

(∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t222

(∂2

∂t22(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t1t2

(∂2

∂t1∂t2(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+ (t31, t

32, t

21t2, t1t

22

).

Calculons les diérents termes. On a

∂

∂t1F (ξ)

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂

∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)∣∣∣∣t1=t2=0

,

= Lx1 F(gX2t2 (x)

)∣∣t2=0

,

= Lx1F (x).

∂

∂t1F (ζ)

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂

∂t1F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)∣∣∣∣t1=t2=0

,

=∂

∂t1G(gX1t1 (x)

)∣∣∣∣t1=0

où G = FgX2t2

∣∣t2=0

,

= Lx1G(x),

= Lx1 F(gX2t2

)∣∣t2=0

,

= Lx1F (x).

A. Lesfari 74

Dès lors,∂

∂t1(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Par symétrie, on a aussi

∂

∂t2(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

De même, on a

∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂2

∂t21

(F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)− F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

))∣∣∣∣t1=t2=0

.

∂

∂t1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)=

∂

∂t1F(gX1t1 (y)

)où y = gX2

t2 (x),

= LX1F(gX1t1 (y)

).

∂2

∂t21F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)=

∂

∂t1LX1F

(gX1t1 (y)

),

= LX1LX1F(gX1t1 (y)

),

= LX1LX1F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)−→

t1=t2=0

LX1LX1F (x) .

∂

∂t1F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)=

∂

∂t1G(gX1t1 (x)

)où G = FgX2

t2 ,

= LX1G(gX1t1 (x)

).

∂2

∂t21F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)=

∂

∂t1LX1G

(gX1t1 (x)

),

= LX1LX1G(gX1t1 (x)

),

= LX1LX1F(gX2t2 g

X1t1 (x)

)−→

t1=t2=0

LX1LX1F (x) .

Donc∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Il s'en suit, par symétrie, que

∂2

∂t22(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Par ailleurs, on déduit de la condition nécessaire et du fait que les champs de

A. Lesfari 75

vecteurs X1 et X2 commutent, la relation suivante

∂2

∂t1∂t2(F (ξ) − F (ζ))|t1=t2=0

=∂2

∂t1∂t2

(F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)− F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

))∣∣∣∣t1=t2=0

,

=∂2

∂t1∂t2(LX2LX1 − LX1LX2)F (x) ,

= 0.

Par conséquent

F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)− F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

)=

(t31, t

32, t

21t2, t1t

22

).

Considérons tout d'abord des temps t1 et t2 de l'ordre de ε. On a un écart entreles deux nouveaux points de la variété, suivant que l'on applique le champ X1

avant X2, ou l'inverse, de l'ordre de ε3,

F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)− F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

)= o

(ε3).

Maintenant, si t1 et t2 sont des temps xés quelconques, quadrillons l'espaceentre les deux chemins par des carrés de côté ε. Chaque carré représente lepetit espace parcouru pendant un petit temps ε, soit suivant le champ X1,soit suivant le champ X2. On a trouvé que lorsque l'espace entre deux cheminsdière d'un carré on obtient une diérence de ε3. En modiant par étapessuccessives le chemin parcouru d'un carré, on obtient

F(gX1t1 g

X2t2 (x)

)− F

(gX2t2 g

X1t1 (x)

)≤ t1t2

ε2o(ε3),

par le fait qu'on a t1ε× t2

εétapes intermédiaires. Ceci est valable pour tout ε,

il sut de prendre ε susament petit, tendant vers zéro, pour que

t1t2ε2

o(ε3)

= t1t2o (ε) −→ε→0

0,

ce qui achève la preuve du théorème.

A. Lesfari 76

Théorème 35 . On suppose que la variété diérentiable M de dimension mest compacte, connexe, muni de m champs de vecteurs diérentiables (de classeC∞) X1, ..., Xm commutant deux à deux et linéairement indépendants en chaquepoint de M . Alors, la variété M est diéomorphe à un tore réel de dimensionm.

Démonstration : Dénissons l'application

g : Rm −→M, (t1, ..., tm) 7−→ g (t1, ..., tm) ,

oùg (t1, ..., tm) = gX1

t1 · · · gXmtm (x) = gXm

tm · · · gX1t1 (x) , x ∈M.

a) L'application g est un diéomorphisme local. En eet, soit

gr ≡ g |U: U −→M, (t1, ..., tm) 7−→ gr (t1, ..., tm) = gXm

tm · · · gt1X1

(x) ,

la restriction de g sur un voisinage U de (0, ..., 0) dans Rm avec

x = gr (0, ..., 0) .

Montrons que l'application gr est de classe C∞. On a

∂

∂t1gX1t1 = X1(x) =

(dx1

dt, ...,

dxmdt

),

avec dx1

dt= f1 (x1, ..., xm) ,...

dxm

dt= fm (x1, ..., xm) ,

où f1, ..., fm sont des fonctions de la variété M dans R. De même, on a

∂2

∂t21gX1t1 = (

d2x1

dt2, ...,

d2xmdt2

),

=

(m∑k=1

∂f1

∂xk

dxkdt

, ...,m∑k=1

∂fm∂xk

dxkdt

),

∂3

∂t31gX1t1 = (

d3x1

dt3, ...,

d3xmdt3

),

=

(m∑k=1

m∑l=1

∂2f1

∂xk∂xl

dxkdt

dxldt

+∂f1

∂xk

d2xkdt2

, ...,m∑k=1

m∑l=1

∂2fm∂xk∂xl

dxkdt

dxldt

+∂fm∂xk

d2xkdt2

),

etc...Toutes ces expressions ont un sens car par hypothèse toutes les fonctionsf1, ..., fm sont de classe C∞. Un raisonnement similaire, montre que gX2

t2 , ..., gXmtm

A. Lesfari 77

sont aussi de classe C∞. Comme la composée de fonctions de classe C∞ est declasse C∞, on en déduit que gr (t1, ..., tm) est de classe C∞. Montrons main-tenant que la matrice jacobienne de gr en (0, . . . , 0) est inversible. Pour celà,posons

gr (t1, ..., tm) ≡ (G1 (t1, ..., tm) , ..., Gm (t1, ..., tm)) .

On a

det

∂G1

∂t1· · · ∂Gm

∂t1...

. . ....

∂G1

∂tm· · · ∂Gm

∂tm

= det

∂gr

∂t1...∂gr

∂tm

,

= det

∂∂t1gXmtm · · · g

X1t1 (x)

...∂∂tm

gXmtm · · · g

X1t1 (x)

,

6= 0,

car les champs de vecteursX1, ..., Xm sont linéairement indépendants en chaquepoint de M . D'après le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage su-samment petit V ⊂ U de (0, . . . , 0) et un voisinage W de x tels que gr induiseune bijection de V sur W dont la réciproque

g−1r : W −→ V,

soit de classe C∞. Autrement dit, gr est un diéomorphisme de V sur gr (V ).Notons que ce résultat est local car même si la matrice jacobienne ci-dessusest inversible pout tout (t1, ..., tm), alors l'inverse globale de gr n'existe pasnécessairement.b) L'application g est surjective. En eet, soit y ∈M et déterminons (t1, ..., tm) ∈Rm tel que :

g (t1, ..., tm) = gXmtm · · · g

X1t1 (x) = y.

Nous avons montré dans la partie a) que g est un diéomorphisme local. Doncpour tout point x1 contenu dans un voisinage de x, il existe (t1, ..., tm) ∈ Rm

tel que :gXmtm · · · g

X1t1 (x) = x1.

Comme la variété M est connexe, on peut relier le point x au point y parune courbe C. Soit B1 une boule ouverte dans M contenant le point x1. Cetteboule existe puisque M est compacte. Soit x2 ∈ C tel que x2 soit contenudans la boule B1. On raisonne comme précédemment, l'application g étant undiéomorphisme local, alors il existe (t′1, ..., t

′m) ∈ Rm tel que :

g′tmXm · · · g′t1X1 (x1) = x2.

A. Lesfari 78

Doncx2 = g′tmXm + tm · · · g′t1X1 + t1 (x) .

De même, soit B2 une boule ouverte dans M contenant le point x2. Soit x3 ∈C tel que x3 soit contenu dans la boule B2. Comme l'application g est undiéomorphisme local, alors il existe (t′′1, ..., t

′′m) ∈ Rm tel que :

g′′tmXm · · · g′′t1X1 (x2) = x3.

Doncx3 = g′′tmXm + t′m + tm · · · g′′t1X1 + t′1 + t1 (x) .

En continuant ainsi, on montre (après un nombre k ni d'étapes) l'existence

d'un point(t(k−1)1 , ..., t

(k−1)m

)∈ Rm, tel que :

g(k−1)

tmXm · · · g(k−1)

t1X1(xk−1) = xk,

où xk ∈ C, xk contenu dans une boule ouverte Bk−1 de M, avec Bk−1 3 xk−1.Donc

xk = g(k−1)

tmXm + t(k−2)m + · · ·+ t′m+ tm · · · g(k−1)

t1X1+ t

(k−2)1 + · · ·+ t′1 + t1 (x) , k ni.

Cette construction montre qu'on peut, en un nombre k ni d'étapes, recouvrirla courbe C reliant le point x au point y par des voisinages de x; le point yjouant le rôle de xk.

Notons que l'application g ne peut être injective. En eet, si g est injective,on aurait d'après la partie a) une bijection entre un compact M et un non

A. Lesfari 79

compact Rm, ce qui est absurde.c) Le groupe stationnaire

Λ =(t1, ..., tm) ∈ Rm : g (t1, ..., tm) = gXm

tm · · · gX1t1 (x) = x

,

est un sous-groupe discret de Rm indépendant du point x ∈M. En eet, notonstout d'abord que Λ 6= ∅ car (0, ..., 0) ∈ Λ. Soit (t1, ..., tm) ∈ Λ, (t′1, ..., t

′m) ∈ Λ.

On ag (t1, ..., tm) = g (t′1, ..., t

′m) = x.

Puisque les champs de vecteurs X1, ..., Xm sont commutatifs, alors

g (t1 + t′1, ..., tm + t′m) = gXm

tm+t′m · · · gX1

t1+t′1(x) ,

= gXm

t′m · · · gX1

t′1 gXm

tm · · · gX1t1 (x) ,

= gXm

t′m · · · gX1

t′1(x) ,

= x,

g (−t1, ...,−tm) = gXm−tm · · · g

X1−t1 (x) ,

= gXm−tm · · · g

X1−t1 g

Xmtm · · · g

X1t1 (x) ,

= gXm−tm · · · g

X1−t1 g

X1t1 · · · g

Xmtm (x) ,

= gXm−tm · · · g

X2−t2 g

X2t2 · · · g

Xmtm (x) ,

...

= gXm−tm g

Xmtm (x) ,

= x.

D'où (t1 + t′1, ..., tm + t′m) ∈ Λ et (−t1, ...,−tm) ∈ Λ. Donc Λ est stable pourl'addition, l'inverse de (t1, ..., tm) est (−t1, ...,−tm) et par conséquent Λ est unsous-groupe de Rm. Montrons que Λ est indépendant de x. Soit

Λ′ =

(t′1, ..., t′m) ∈ Rm : g (t′1, ..., t

′m) = gXm

t′m · · · gX1

t′1(y) = y

.

Par la surjectivité, on peut trouver (s1, ..., sm) ∈ Rm tel que :

gXmsm · · · gX1

s1(x) = y,

Soit (t′1, ..., t′m) ∈ Λ′. On a

gXm

t′m · · · gX1

t′1(y) = y,

gXm

t′m · · · gX1

t′1 gXm

sm · · · gX1

s1(x) = gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

gXm

−sm+t′m+sm · · · gX1

−s1+t′1+s1(x) = x,

gXm

t′m · · · gX1

t′1(x) = x.

A. Lesfari 80

Par conséquent, (t′1, ..., t′m) ∈ Λ et donc Λ ne dépend pas de x. Pour montrer

que Λ est discret, on considère un voisinage V susamment petit du point(0, ..., 0) et un voisinage W du point x. D'après a), l'application g est undiéomorphisme local, donc

g : V −→ W,

est bijective et par conséquent aucun point de W\ (0, ..., 0) n'est envoyé surx ; les points du sous-groupe Λ n'ont aucun point d'accumulation dans Rm..d) La variété M est diéomorphe à un tore réel de dimension m. En eet,puisque Λ est le noyau de g, il existe une surjection canonique

g : Rm/Λ→M, [(t1, ..., tm)] 7→ g [(t1, ..., tm)] = gXmtm · · · g

X1t1 (x) .

En eet, soient (t1, ..., tm) et (s1, ..., sm) tels que :

g [(t1, ..., tm)] = g [(s1, ..., sm)] .

On agXmtm · · · g

X1t1 (x) = gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

d'où

gX1−s1 · · · g

Xm−sm gXm

tm · · · gX1t1 (x) = gX1

−s1 · · · gXm−sm gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

= gX1−s1 · · · g

Xm−1

−sm−1 gXm−1

sm−1 · · · gX1

s1(x) ,

...

= gX1−s1 g

X1s1

(x) ,

= x.

Comme X1, ..., Xm sont commutatifs, alors

gXmtm−sm

· · · gX1t1−s1 (x) = x,

et d'après ce qui précéde, on a

[(t1 − s1, ..., tm − sm)] = 0,

[(t1, ..., tm)− (s1, ..., sm)] = 0,

[(t1, ..., tm)] = [(s1, ..., sm)] .

Par conséquent g est un diéomorphime.

Remarque 36 En général, pour tout sous-groupe discret de Rm, il existe kvecteurs linéairement indépendants tels que ce groupe soit l'ensemble de toutes

A. Lesfari 81

leurs combinaisons linéaires entières. Par conséquent, le groupe stationnaire Λ(voir point c) dans la preuve du théorème) peut s'écrire sous la forme

Λ = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zek, 1 ≤ k ≤ m,

où e1, ..., em sont des vecteurs linéairement indépendants. En eet, pour xerles idées, prenons m = 2 c'est-à-dire

Λ =(t1, t2) ∈ R2 : g (t1, t2) = gX2

t2 gX1t1 (x) = x

.

Ici, trois cas sont possibles :(i) Λ = 0.(ii) Λ = Ze1.(iii) Λ = Ze1 ⊕ Ze2.

Le cas (i) est à rejeter car nous avons un diéomorphisme entre Z2/ 0 (noncompact) et M un compact, ce qui est impossible. Le second cas Z2/Ze1 (uncylindre) est aussi à rejeter pour les mêmes raisons que dans le premier cas. Ilreste le cas (iii), qui est valable, car Z2/Ze1⊕Ze2 est un tore de dimension 2.

Références

[1] Arnold, V.I. : Ordinary dierential equations. Springer-Textbook, 3rd ed.1992.

[2] Arnold, V.I. : Mathematical methods in classical mechanics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1978.

[3] Cartan, H. : Cours de calcul diérentiel, 1997, Hermann.

[4] Dieudonné, J. : Éléments d'analyse, Tome 1, Fondements de l'analysemoderne, Gauthier-Villars, 3ème édition 1979 - tirage 1990.

[5] Hille, E. : Ordinary dierential equations in the complex domain. Wiley-Interscience, New-York, 1976.

[6] Lesfari, A. : Eléments d'Analyse Mathématique. Cours et exercices. So-chepress Université, Casablanca, 252 pages (1991), épuisé.

[7] Lesfari, A. : Le théorème d'Arnold-Liouville et ses conséquences, Elementeder Mathematik, Birkhäuser, Vol. 58, No 1, pp. 6-20 (2003).

[8] Lesfari, A. : Etude des solutions méromorphes d'équations diérentielles.Ren. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino Vol.65, 4, pp.451-464 (2007).

[9] Lesfari, A. : Fonctions et Intégrales elliptiques. Surv. Math. Appl., 3,pp.27-65 (2008).

[10] Lesfari, A. : Surfaces de Riemann compactes, courbes algébriques com-plexes et leurs Jacobiennes, arXiv : 0903.2156v1, Algebraic Geome-try[math.AG] ; Complex Variables[math.CV], 1-74, 12 March (2009).

A. Lesfari 82

[11] Lesfari, A. : Fonctions diérentiables. Quadrature, Paris, No. 84, pp.45-47(2012).

[12] Lesfari, A. : Interversion des dérivées partielles. Quadrature, Paris, No.91, pp. 41-43, (2014).

[13] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de La-place (Cours et exercices), 380 pages, éditions Ellipses, Paris, 2012.

[14] Lesfari, A. : Géométrie complexe et Systèmes dynamiques. Accepté pourpublication, 453 pages, Cassini éditions scientiques, Paris.

[15] Lesfari, A. : Notions fondamentales d'analyse mathématique (Résumés decours, exercices et problèmes corrigés), 360 pages, éditions Ellipses, Paris,2014.

[16] Lesfari, A. : Variables complexes (Cours et exercices corrigés), 432 pages,éditions Ellipses, Paris, 2014.