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2.- SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES EN INTERACCIONCuando en un problema intervienen dos o ms puntos materiales en interaccin, se puede considerar cada uno de ellos por separado y escribir la ecuacin de cantidad de movimiento a cada una de ellas.

Donde :R1 : Resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre punto 1.R2 : Resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre punto 2. f12 : Es la fuerza que sobre el punto 1 ejerce el punto. Como la fuerza de accin y reaccin que los puntos ejercen entre si son opuestas de a dos (f21=-f12 ) y como el intervalo de tiempo entre t1 y t2 es comn a todas las fuerzas que intervienen, los impulsos de las fuerzas de accin y reaccin siempre se destruirn entre si cuando se sumen estas ecuaciones. Por tanto, el teorema de la cantidad de movimiento para dos ( N) puntos materiales en interaccin es:

Donde (L)l =(mv)l es la suma vectorial de las cantidades de movimiento de ambos ( o los N) puntos materiales, (Rldt) es la suma vectorial de los impulsos de todas las fuerzas exteriores que intervienen, no siendo necesario considera las fuerzas interiores.

Por lo tanto para un sistema de N puntos materiales en interaccin, la cantidad de movimiento final del sistema es la suma vectorial de sus cantidades de movimientos iniciales ms la suma de sus impulsos de las resultantes de todas las fuerzas exteriores que ejercen sobre dichos puntos.

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASALa posicin del centro de masa vG de un sistema de N puntos materiales se calcula mediante el primer momento.Donde m = ml es la masa total del sistema de puntos materiales.

Derivando respecto al tiempo la ecuacin (2.7) y recordando que la masa de cada punto es contante, tenemos

Es decir, la cantidad de movimiento total de un sistema de puntos materiales es la misma que se tendra si toda la masa se concentrara en un solo punto que se moviera con la misma velocidad del centro de masa del sistema. La ecuacin 2.c permite escribir la ecuacin 2.a. en la forma

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIETNO DE UN SISTEMA DE PUNTOS MATERIALESSi la suma de los impulsos de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre los distintos puntos del sistema fuese nula, la cantidad de movimiento del sistema de puntos materiales se conservara

Dividiendo ambos miembros por la masa total del sistema (la cual es contante) tenemos

Es decir cuando los impulsos de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un sistema de puntos materiales suman cero, la velocidad vG del centro de masa del sistema es constante. Esto sucede, por ejemplo, cuando chocan dos partculas que se mueven libremente, Sin embargo, hay que notar que aun cuando se conserve la cantidad de movimiento total de las partculas en colisin, su energa total no tiene por qu conservarse.

3.- CHOQUES

GENERALIDADES

Recibe el nombre de choque una colisin entre dos cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy pequeo, y durante el cual ambos cuerpos ejercen entre s fuerzas relativamente grandes.

Por lo menos, uno de los cuerpos debe estar en movimiento.Superficie de contactoLnea de CHOQUE

LINEA DE CHOQUELa normal comn a las dos superficies de contacto, durante el choque se denomina lnea de choque

1. CHOQUE CENTRAL

Si los centros de masa de los cuerpos que colisionan se encuentran sobre la lnea de choque, se dice que el choque es CENTRAL. En cualquier otro caso el choque se llama EXCNTRICO. Si las velocidades de los cuerpos tienen la direccin de la lnea de choque, se dice que CHOQUE CENTRAL DIRECTO y si ambos, o alguno de los cuerpos se mueve a lo largo de una direccin distinta de la lnea de choque, se denomina CHOQUE OBLICUO (en ambos choques, obviamente, los centros de masa estn sobre la lnea de choque).

2. CHOQUE CENTRAL DIRECTO.

Sean las partculas A y B, de masas mA y mB, movindose a lo largo de la misma recta y hacia la derecha, con velocidades .

Como la partcula A alcanzar a la B, chocarn y en el choque ambas se deforman y al final de ese perodo de deformacin ambas tendrn la misma velocidad .A continuacin tiene lugar el perodo de recuperacin, finalizado el cual, segn el mdulo de las fuerzas de choque y los materiales de que se trate, las partculas recuperaran su forma inicial o quedarn en estado de deformacin permanente.

Calculemos las velocidades despus del choque y del perodo de recuperacin:

Consideremos en primer lugar al sistema de dos partculas como un todo; las nicas fuerzas en juego son fuerzas internas al sistema y, por lo tanto, se conserva la cantidad de movimiento (es un sistema aislado), con lo que:

sta es una ecuacin vectorial.Como las velocidades que intervienen tienen la misma direccin y sentido, se puede escribir como una ecuacin escalar:

Al calcular, si obtenemos un valor positivo de o de indicar que el sentido correspondiente al vector es hacia la derecha, si el resultado obtenido es negativo, el sentido correspondiente al vector es hacia la izquierda.

Pero tenemos una ecuacin escalar con dos incgnitas, necesitamos otra ecuacin para resolver para ello consideremos el movimiento de la partcula A durante el perodo de deformacin y escribamos la relacin entre el impulso y la cantidad de movimiento.

, ecuacin vectorial donde es el impulso sobre A ejercido por B.

Como la percusin sobre A en este perodo es debida exclusivamente a la fuerza P, ejercida por B, se puede establecer la siguiente relacin escalar

(1) donde la integral se extiende a todo el perodo de deformacin.

Si se tiene en cuenta el movimiento de la partcula A durante el perodo de recuperacin, llamando R a la fuerza ejercida por B sobre A, se tendr:

(2) donde la integral se extiende a todo el perodo de recuperacin

En general, la fuerza (de recuperacin de forma de B) que se ejerce sobre A, es distinta de la fuerza P que se ejerce sobre A durante el perodo de deformacin (sera una casualidad que P= R y por ende el impulso sea igual al impulso ).

En general, el mdulo de es MENOR que el mdulo de ( ), y la relacin entre ambos mdulos se conoce con el nombre de coeficiente de restitucin:

COEFICIENTE DE RESTITUCIN

Donde

El valor de e depende fundamentalmente de los materiales de que se trate, aunque e tambin vara con la velocidad del choque y con la forma y tamao de los cuerpos que chocan.

Si de las ecuaciones (1) y (2) despejamos las expresiones integrales tenemos:

Haciendo el mismo anlisis para la partcula B tenemos:

Perodo de Deformacin:

Perodo de Recuperacin:

Encontramos otra expresin para el mismo e que hallamos usando A.Aplicando la propiedad de los cocientes tenemos:

Donde: Velocidad relativa despus del choque.

Velocidad relativa antes del choque.

Ahora tenemos las dos ecuaciones para calcular :

La deduccin de estas frmulas se ha hecho suponiendo que ambas partculas se mueven en el mismo sentido inicial hacia la derecha, si no ocurriera as, es decir si B se moviera hacia la izquierda al escalar se lo debe considerar negativo y despus del choque se aplica el mismo convenio: es decir positivo, se mueve hacia la derecha y negativo hacia la izquierda. Resolviendo las ecuaciones:

=

Agrupando con respecto a y a tenemos:

Para hallar reemplazamos en el valor hallado de :

Multiplico y divido por:

Desarrollando y simplificando queda:

CASOS EXTREMOS DE CHOQUE

A. CHOQUE INELASTICO: e = 0 Entonces:

, no existe perodo de recuperacin, ambas partculas siguen unidas despus del choque y

Para este tipo de choque el valor de es:

Si y reemplazando:

=

Este valor de es para choques inelsticos pero tambin para choques elsticos durante el perodo en que ambos cuerpos estn unidos (donde siempre ).

B. CHOQUE ELASTICO: e = 1

, hay igualdad de velocidades relativas antes y despus del choque.

CHOQUE CENTRAL OBLCUO

Este tipo de choque se produce cuando las velocidades de las dos partculas que entran en colisin no estn dirigidas segn la lnea de choque.

No conocemos en este caso los mdulos y direcciones de las velocidades despus del choque, para su determinacin se hace necesario el empleo de cuatro ecuaciones linealmente independientes.

Elegimos los ejes x e y como muestra la figura.Si las partculas estn perfectamente pulidas y no existen rozamientos, las nicas fuerzas impulsivas que actan durante el choque son interiores al sistema y dirigidas segn el eje x, se puede decir entonces que:1) Se conserva la componente en y de la cantidad de movimiento de la partcula A2) Se conserva la componente en y de la cantidad de movimiento de la partcula B3) Se conserva la componente en x de la cantidad de movimiento del sistema4) La componente x de la velocidad relativa de las dos partculas despus del choque es igual al producto de la componente en x de la velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitucin.

De este anlisis se deducen las cuatro ecuaciones linealmente independientes para hallar .