Systèmes combinatoires

Technologie : 2ème Tech – Info.

Page 1

/3

Simplification des équations logiques. I- But :

Afin de minimiser le cout d’un montage et d’augmenter ses performances il faut toujours essayer de simplifier (minimiser) au maximum l’équation d’une fonction logique. On peut employer dans ce but deux méthodes : les propriétés de l’algèbre de Boole et les tableaux de Karnaugh. Notons ici que la simplification consiste à minimiser le nombre de termes et le nombre d’opérateurs.

II- Méthodes de simplification :

1- Méthode algébrique : a- Principe :

On utilise ici les règles de l’algèbre de Boole (algèbre binaire) illustrées dans le tableau ci-dessous.

b- Règles de l’algèbre binaire (algèbre de Boole).

Propriétés Somme Produit

Commutativité ………………………………………………. ……………………………………………….

Associativité ………………………………………………. ……………………………………………….

Distributivité ………………………………………………. ……………………………………………….

Elément neutre ………………………………………………. ……………………………………………….

Elément absorbant ………………………………………………. ……………………………………………….

Idempotence ………………………………………………. ……………………………………………….

Complémentation ………………………………………………. ……………………………………………….

Absorption d’un élément ………………………………………………. ……………………………………………….

Absorption d’un élément ………………………………………………. ……………………………………………….

Involution …………………………………………

Théorème de De Morgan ………………………………………………. ……………………………………………….

c- Exemples d’application : Simplifier (sur le cahier) les expressions suivantes :

𝑋 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐̅ + 𝑎�̅�𝑐 𝑌 = 𝑎𝑏 + �̅�𝑏 + 𝑎�̅� 𝑍 = 𝑎𝑏 + �̅�𝑏𝑐̅ + 𝑏𝑐

𝑇 = 𝑎 + �̅�𝑐 + (𝑎𝑑 + 𝑐). 𝑎 + �̅�𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

2- Méthodes graphique : Tableau de Karnaugh. a- Intérêt :

La simplification algébrique peut conduire à des calculs relativement longs et par suite on risque plus d’erreurs. Le tableau de Karnaugh nous donne directement l’équation simplifiée.

b- Architecture et construction : C’est une représentation particulière de la table de vérité. C’est un tableau à double entrée. Les combinaisons des variables d’entrée doivent être organisées suivant une progression en code binaire réfléchi (en passant d’une case à une autre ; une seule variable change).

Le nombre de cases est égal à 2n avec n est le nombre de variables. Le tableau est à jxk cases (j lignes ; k colonnes) ; donc jxk = 2n cases. Deux cases sont dites adjacentes si, en passant d’une case à l’autre une seule variable

change d’état.

Cas d’une seule variable :

1ère disposition : 2ème disposition : disposition : Nombre de cases :

…………………………………………

…………………………………………

Systèmes combinatoires

Technologie : 2ème Tech – Info.

Page 2

/3

Cas de deux variables :

Cas de trois variables :

c- Compléter un tableau de Karnaugh à partir d’une équation logique :

Exemple 1 :

𝑇 = 𝑎�̅� + �̅�𝑏 + �̅��̅�

Exemple 2 :

𝑆 = 𝑎𝑏𝑐̅ + 𝑎�̅�𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + �̅�𝑏𝑐

Nombre de cases :

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

1ère disposition : 2ème disposition :

3ème disposition :

Nombre de cases :

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

1ère disposition : 2ème disposition :

4ème disposition :

3ème disposition :

Systèmes combinatoires

Technologie : 2ème Tech – Info.

Page 3

/3

d- Compléter un tableau de Karnaugh à partir d’une table de vérité :

Exemple 1 :

a b M

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Exemple 2 :

a b c M

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

e- Recherche d’une équation logique simplifiée à l’aide du tableau du

Karnaugh :

Principe Placer les 0 et les 1 dans le tableau de Karnaugh conformément à la table de vérité ou

l’équation logique.

On regroupe les cases ayant la valeur 1 en respectant les règles suivantes :

Respecter l’adjacence et la symétrie.

Minimum de groupes.

Chaque groupe contient 2n case de 1 (le groupe doit contenir le maximum de 1).

Déterminer l’équation simplifiée :

Etablir l’équation de chaque groupement en éliminant les variables qui changent

d’état pour les cases adjacentes.

L’équation finale est obtenue en faisant la somme des différentes équations

obtenues pour chaque groupement.

Exemples d’application :

Pour les exemples vus précédemment, déterminer les équations logiques.

Exemples corrigés : voir manuel de cours pages 78/79.

III- Applications :

Exercices 1, 2, 3 et 4 (manuel de cours pages 81/82).