séries

Chapitre 5 Chapitre 5

1Sarah Cohen-Boulakia, Bases de données

1

Département Informatique

Algèbre RelationnelleAlgèbre Relationnelle

Langage de requêtes pour les BDs Langage de requêtes pour les BDs relationnelles (1/2)relationnelles (1/2)

•• Langage de requêtesLangage de requêtes : ils permettent de manipuler manipuler et de retrouverretrouver des données d’une base de données

• Le modèle relationnel supporte des requêtes


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• Le modèle relationnel supporte des requêtes simples et expressivessimples et expressives

• Les langages de requêtes pour les BDs relationnelles sont fondés sur des bases bases formelles solides formelles solides (logique du premier ordre)

Langage de requêtes pour les BDs Langage de requêtes pour les BDs relationnelles (2/2)relationnelles (2/2)

• Langage de requêtes ≠≠ langage de programmation

– Un langage de requêtes n’a pas pour but


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– Un langage de requêtes n’a pas pour but d’être utilisé pour faire des traitements traitements ou calculs complexescalculs complexes

– But : être facile d’utilisation facile d’utilisation et offrir un accès efficace accès efficace aux données

Langages de requêtes formelsLangages de requêtes formels

• 2 langages de requêtes formels formels existent (fondement de SQL)–– L’algèbre relationnelle L’algèbre relationnelle : langage opérationnelopérationnel,

une requête s’écrit comme une succession


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une requête s’écrit comme une succession d’opérations effectuées sur des relations

–– Calcul relationnel Calcul relationnel : langage déclaratifdéclaratif, une requête s’écrit comme la spécification du spécification du résultat résultat attendu (sous forme logique)

Préliminaire 1Préliminaire 1

• Une requête s’applique à des instances s’applique à des instances de relations et le résultat d’une requête résultat d’une requête est aussi une instance de relationinstance de relation

– Autrement dit : Une requête se pose sur des

tables qui ont un contenu (potentiellement


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vide) et renvoie une table avec un contenu

(potentiellement vide)

Requête Q prenant en

entrée R1 et R2

R1 : table R2 : tableRésultat de Q = une table


• Le schéma du résultat schéma du résultat d’une requête sera toujours le même, quelque soit le contenu des relations– La table résultat d’une requête mettra toujours


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en jeu les mêmes attributs (quelque soit le

contenu !)


• Les schémasschémas des relations des relations prises en entrées par une requête sont fixés sont fixés

– Une requête s’exprime grâce à des noms

d’attributs et de tables

• Mais une requête ne doit jamais jamais


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• Mais une requête ne doit jamais jamais dépendre des instances dépendre des instances des relations– Aucune connaissance du contenu des tables

ne doit être nécessaire pour bien comprendre

la requête

Algèbre relationnelleAlgèbre relationnelle

•• Opérateurs de baseOpérateurs de base

– Sélection (σ), Projection (π), Produit cartésien (X),

– Différence (\ ou -) et Union (U)

•• Autres opérateurs Autres opérateurs

– Intersection, jointure, division, renomage: très utiles


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– Intersection, jointure, division, renomage: très utiles aussi !

• Puisque chaque opérateur appliqué à une relation renvoie une relation, les opérateurs les opérateurs peuvent être imbriqués peuvent être imbriqués (clôture de l’Algèbre relationnelle)

Projection : introductionProjection : introduction

•• Notation Notation : πA1,…,Ap(R) avec r relation et

A1,…,Ap attributs de R

•• Supprime les attributs Supprime les attributs qui sont différents des attributs de la liste de projection (A ,…,A )


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attributs de la liste de projection (A1,…,Ap)

• Le schéma du résultat contient exactement les exactement les champs champs de la liste de projection (A1,…,Ap)

• NB : L’opérateur de projection élimine les redondances (ce n’est pas le cas en SQL)

Projection : exempleProjection : exemple

Q1= πNumClient, DateRes(Reservation)

ClasseDateRes

Reservation

NumClientNumRes

001

DateRes

Q1NumClient


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1 18/11/2007

2 19/11/2007

17902567

2780289

001

002

18/11/2007

19/11/2007

17902567

2780289

NB : la projection est un opérateur qui n’agit pas sur n’agit pas sur les lignes du résultatles lignes du résultat mais sur les colonnes (c’est-à-

dire sur le schémaschéma)

Projection : Définition formelleProjection : Définition formelle

Input Input – r une relation de schéma R– X un ensemble d’attributs tels que X⊆ R

OutputOutput πX(r)={t(X) / t ∈ r}


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Où t(X) est la restriction de t sur les attributs de X

�Ensemble des n-uplets de r restreints aux attributs de X

Le schéma de πX(r) est X

π

Sélection : introductionSélection : introduction

• Sélection des n-uplets (lignes) qui satisfont la condition de sélectioncondition de sélection

• Le schéma schéma du résultat est identique identique au


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• Le schéma schéma du résultat est identique identique au schéma pris en entrée

Sélection : exempleSélection : exemple

Q2=σ(DateRes<20-11-2007∧∧∧∧Classe=2)(Reservation)

ET

Condition de sélection


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ClasseDateRes

1 18/11/2007

2 19/11/2007

Réservation

NumClient

17902567

2780289

NumRes

001

002

Q2

2 20/11/2007 2780289003

Classe DateRes

2 19/11/2007

NumClient

2780289

NumRes

002

Sélection : Définition formelleSélection : Définition formelle

Input Input – r une relation de schéma R– ϕ une condition de sélection (définie ci-après)

OutputOutput

σϕ(r)={t / t ∈ r et ϕ (t)}


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� L’ensemble des n-uplets de la relation r pour lesquels la condition ϕ est vraie

Le schéma de σϕ(r) est R

σϕ(r)={t / t ∈ r et ϕ (t)}

Définition formelle de la condition Définition formelle de la condition ϕϕϕϕϕϕϕϕ

Définition récursive

•• Base Base : Soient 2 attributs A et B (non nécesairement différents), et a ∈ Dom(A)

ϕ peut prendre les formes suivantes


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A =B, A < B, A=a, A < aA =B, A < B, A=a, A < a (on utilisera aussi >, ≤, ≥ et ≠)

•• Si Si ϕϕϕϕϕϕϕϕ11 et et ϕϕϕϕϕϕϕϕ22 sont deux conditions alors

((ϕϕϕϕϕϕϕϕ11), ), ¬¬ϕϕϕϕϕϕϕϕ1 1 (négation)(négation), , ϕϕϕϕϕϕϕϕ11 ∧∧∧∧∧∧∧∧ ϕϕϕϕϕϕϕϕ2 2 (et)(et) et et ϕϕϕϕϕϕϕϕ11 ∨∨∨∨∨∨∨∨ ϕϕϕϕϕϕϕϕ2 2 (ou)(ou)

sont des conditions de sélection

Exemples de conditionsExemples de conditions

• DateRes ≥ 20-11-2007

• Classe = 2

• Nom = ‘Payen’

∨∨∨∨


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• (DateRes = 20-11-2007 ∨∨∨∨

DateRes = 21-11-2007)

∧∧∧∧ Classe = 2

• NumClient = NumSS

Exercice 1Exercice 1

• Quel est le résultat de la requête Q3 suivante en considérant l’instance de la relation R ci-dessous ?

Q3 =πNom(σPrénom = ‘Jean’ (Enseignant) )


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NumEns Nom Prénom

1 Voisin Jean

2 Benzaken Claudine

3 Jean

Enseignant

Forest

Correction (Exercice 1)Correction (Exercice 1)

• Quel est le résultat de la requête Q3 suivante en considérant l’instance de la relation R ci-dessous ?

Q3 =πNom(σPrénom = ‘Jean’ (Enseignant) )


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NumEns Nom Prénom

1 Voisin Jean

2 Benzaken Claudine

3 Jean

Enseignant

Forest

Produit cartésien : IntroductionProduit cartésien : Introduction

• Opérateur binairebinaire (prend deux relations entre entrée : r1 et r2)

•• Chacun Chacun des n-uplets de r1 est combiné combiné avec chacun chacun des n-uplets de r2


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• Le schéma du résultat a l’union des union des attributs des relationsattributs des relations

• NB : Si les deux relations ont un attribut de même nom, on renomme cet attribut

Produit cartésien : ExempleProduit cartésien : Exemple

R1 x R2A B

a1 b1

a2 b2

R1

C

c1

c2 A B C A’ D

a1 b1 c1 a2 d2

Renommage


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A D

a2 d2

a2

a3

R2

d3

d4

a1 b1 c1 a2 d3

a1 b1 c1 a3 d4

a2 b2 c2 a2 d2

a2a2

b2b2

c2c2

a2a3

d3d4

Produit cartésien : Définition formelleProduit cartésien : Définition formelle

Input Input

– r, s deux relations de schéma R et SOutputOutput

r x s = {t / t(R) r x s = {t / t(R) ∈∈∈∈∈∈∈∈ r et t(S) r et t(S) ∈∈∈∈∈∈∈∈ s}s}


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La restriction du produit aux attribut de R est r et

celle aux attributs de S est s

r x s a pour schéma R+S NB : R+S est l’union disjointe de R et S

{R.A / A∈R } U {S.B / B ∈ S}

SQL SQL par défaut par défaut fait un produit cartésien !fait un produit cartésien !

NumSS Nom Prénom

17902567 Payen Olivier

2780289 Payen Judith

29005579 Quoti Mathilde

Client

Classe DateRes

1 18/11/2007

2 19/11/2007

Reservation

NumClient

17902567

2780289

NumRes

1

2


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SELECT Nom, Prenom, Reservation.NumRes, DateResFROM Reservation, ClientWHERE DateRes < ‘2007-11-19’

Nom Prenom DateRes

Payen Olivier 18/11/2007

Payen Judith 18/11/2007

Quoti Mathilde 18/11/2007

1

1

1

NumRes

Ces deux lignes mélangent des informations qui n’ont Ces deux lignes mélangent des informations qui n’ont rien à voir !!rien à voir !!

Jointure naturelle : IntroductionJointure naturelle : Introduction

• Opération binaire fondamentale (optimisation) fondamentale (optimisation) !

• Utilise R1 et R2 qui ont des attributs communs attributs communs (appelons-les X)

• Le schémaschéma du résultat est


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– similaire au schéma du produit cartésien – modulo que les attributs X n’apparaissent qu’une fois

• Au niveau des lignes : on combine combine les lignes de R1 avec les lignes de R2 qui ont même valeur même valeur pour les attributs Xpour les attributs X

Jointure naturelle : ExempleJointure naturelle : Exemple

R1 R2A B

a1 b1

a2 b2

R1

C

c1

c2

A B C D

R1 R2Équivaut à

R1.A = R2.A


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A D

a2 d2

a2

a3

R2

d3

d4

A B C D

a2 b2 c2 d2

a2 b2 c2 d3

Jointure naturelle : Définition formelleJointure naturelle : Définition formelle

•• InputInput

– r et s de schéma R et S

•• OutputOutput

r s = {t / t(R) ∈ r et t(S) ∈ s}

π σ


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r s = πR union S σϕ (r x s)

Avec R ∩ S = {B1, …, Bp}

ϕ : t(R.B1)= t(S.B1) … t(R.Bp)= t(S.Bp)

Phi (ou théta) JointurePhi (ou théta) Jointure

• Cas particulier de jointure avec condition

ϕ est une condition de sélection

R1 R2ϕ R1 R2

R2.A > R1.C


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ϕ est une condition de sélection

A D

3 2

2

1

R2

3

4

A D E B C

332

223

191

727

121

E B

1 7

9 2

R1

C

1

2

Union, Intersection, Différence : Union, Intersection, Différence : IntroductionIntroduction

• Tous ces opérateurs prennent en entrée 2 entrée 2 relations relations qui doivent avoir le même schémamême schéma

•• UnionUnion (R1 ∪ R2) : ensemble de n-uplets qui sont dans R1 dans R1 ouou dans R2dans R2


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•• Intersection Intersection (R1 ∩ R2) ensemble de n-uplets qui sont dans R1 dans R1 etet dans R2dans R2

•• Différence Différence (R1 \ R2 ou R1 – R2) : ensemble de n-uplets qui sont dans R1 dans R1 mais pas mais pas dans R2dans R2

Union, Intersection, Différence : Union, Intersection, Différence : ExemplesExemples

A B

R1

A B

R2 A B

a1 b1

a2 b2

R1 ∪ R2

A B

a1 b1

R1 ∩ R2

A B

a2 b2

R1 \ R2

a3 b3Les n-uplets


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a1 b1

a2 b2

a3 b3

a1 b1

a2

a3

b3

a2

a3

b2

b4

b3

a2

a3

b3

b4

a3 b3

Les n-uplets de R1 union ceux de R2

� Pas de doublonPas de doublon

Les n-uplets à la fois dans R1 et dans R2

Les n-uplets de R1 mais qui ne sont pas dans R2

Union, Intersection, Différence : Union, Intersection, Différence : Définitions formellesDéfinitions formelles

Input Input

– r, s deux relations de même schéma Rmême schéma R

OutputOutput

r r ∪∪∪∪∪∪∪∪ s = { t / t s = { t / t ∈∈∈∈∈∈∈∈ r ou tr ou t∈∈∈∈∈∈∈∈ s s }}


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r r ∪∪∪∪∪∪∪∪ s = { t / t s = { t / t ∈∈∈∈∈∈∈∈ r ou tr ou t∈∈∈∈∈∈∈∈ s s }}

rr ∩∩∩∩∩∩∩∩ s = { t / t s = { t / t ∈∈∈∈∈∈∈∈ r et tr et t∈∈∈∈∈∈∈∈ ss }}

r r \\ s = { t / t s = { t / t ∈∈∈∈∈∈∈∈ r et t r et t ∉∉∉∉∉∉∉∉ ss }}

de schéma R


• Quel est le résultat de la requête Q4 suivante en considérant les instances des relations ci-dessous ?

Q4 =πA,B(σC ≠ c1 (R1) )∩ R2


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A B

a1 b1

a2 b2

a3

R1

b3

A B

a2 b2

a2

a3

R2

b3

b4

C

c1

c2

c3

Correction (Exercice 2) Correction (Exercice 2)


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Division : IntroductionDivision : Introduction

• Opérateur complexe (non primitifnon primitif)

• Exprime les requêtes de recherche d’objets d’un ensemble associés à tous les objets tous les objets d’un autre ensemble

– Qui a vu tous les films de Coppolla ?


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– Qui a vu tous les films de Coppolla ? – Quels utilisateurs de plus de 30 ans ont loué

toutes les saisons de la série « 24h Chrono » ?

Division : ExempleDivision : Exemple

A B C D

a b c d

a b’ c’ d’

a’ b c d

a b c’ d’

C D

c d

c’ d’

RRSS

R ÷÷÷÷ S

A B

a b

a’ b


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a b c’ d’

a’ b c’ d’

Chaque ligne L1 de R L1 de R ÷÷÷÷÷÷÷÷ S S est telle que pour chaque ligne L2 de SL2 de S, L1L2 est dans RL1L2 est dans R

ab’ n’est dans dans R ÷ S car ab’cd n’est pas dans R

Division : Définition formelleDivision : Définition formelle

•• InputInput

– R et S, 2 relations de schéma R et S– S ⊆ R

•• OuputOuput


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– r ÷ s de schéma R \ S

– r ÷ s= {t / t ∈ πR-S(r), ({t} x s) ⊆ r}


Q : Quels utilisateurs ont loué tous les films dans lesquels joue B. Pitt ?

Nom NumFilm

Girard 1

NumFilm Acteur

1 B. Pitt

LouéLoué JoueDansJoueDans


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Girard 1

Maquin 2

Girard 2

John 1

KleinKlein

21

1 B. Pitt

2 B. Pitt

3 C. Eastwood

2 G. Clooney

1 A. Ford



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Propriétés algébriques Propriétés algébriques

• L’union union ∪ et l’intersection intersection ∩ sont commutatifs commutatifs et associatifsassociatifs– r ∪ s = s ∪ r, r ∪ (s1 ∪ s2) = (r ∪ s1) ∪ s2– De même pour ∩

• Le produit cartésien produit cartésien est associatif et commutatifassociatif et commutatif*


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• Le produit cartésien produit cartésien est associatif et commutatifassociatif et commutatif*

• La jointurejointure est associative et commutativeassociative et commutative*

• D’autres propriétés peuvent être énoncées : monotonie de certains opérateurs, fermeture etc.

*si on considère un ordre sur les colonnes

Exemple d’équivalencesExemple d’équivalences• Les relations d’équivalence de l’algèbres sont des

égalités entre des formules• Elles sont à la base des optimisations de requêtes !•• Exercice Exercice

– Sachant que les schémas de R et S sont les mêmes et si X ⊆ R, trouvez un contre exemple aux égalités qui sont trouvez un contre exemple aux égalités qui sont

fausses et démontrez celles qui sont justesfausses et démontrez celles qui sont justes


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fausses et démontrez celles qui sont justesfausses et démontrez celles qui sont justes

• πX (r ∩ s) = πX (r) ∩ πX (s)

• πX(r – s) = πX (r) - πX (s)

• πX(r ∪ s) = πX (r) ∪ πX (s)

Exemple d’équivalences (correction)Exemple d’équivalences (correction)


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• Considérons les relations suivantes– UE(NumUE, NomUE, responsable)– Enseignant(NumEns, NomEns, PrenomEns, Age)– Etudiant(NumEtu, NomEtu, PrenomEtu, Filiere)– Suit(NumEtu, NumUE)


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• Exprimer les requêtes suivantes

– Q1 : Dans quelles filières des étudiants suivent une UE d’Algorithmique ?

– Q2 : Quels étudiants suivent toutes les UEs ?



41


ConclusionConclusion

• L’algèbre relationnelle est définie de façon très rigoureuserigoureuse et offre un langage de requêtes à la fois simple et puissantsimple et puissant

• L’algèbre relationnelle est à la base à la base


42


• L’algèbre relationnelle est à la base à la base

– De SQLSQL

– Des plans de requêtes plans de requêtes utilisés par les SGBD pour optimiser optimiser les requêtes

– La suite en spécialité info !

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