Série 4 Cohérence et polarisation-corrigée 2015-2016/OptII 2015... ·...
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OPTIQUE II Section de Physique Professeur : R. Houdré Exercices : R. Therisod
Série 4 14 Octobre 2015
Cohérence spatiale et polarisation
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Ex 1 : Illumination de Köhler Historiquement, il existe deux méthodes pour éclairer un objet que l’on observe sous un microscope. La première, appelée « illumination critique » utilise une lentille condenseur pour faire l’image de la source de lumière dans le plan de l’objet étudié. La seconde, dite « de Köhler » utilise une seconde lentille pour faire l’image d’un diaphragme intermédiaire, lui-‐même éclairé par un condenseur.
a) Laquelle de ces méthodes permet d’obtenir la meilleure uniformité d’éclairage de l’objet?
b) On suppose une source lumineuse dont l’intensité ne dépend pas de l’angle d’émission. Montrer que la lentille condenseur collecte une quantité de lumière qui varie avec l’angle θ formé entre l’axe optique et la position de l’élément de surface unitaire considéré.
c) Que faire pour maximiser l’uniformité dans le cas de l’illumination de Köhler? Quelle conséquence sur la cohérence spatiale de l’illumination ?
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Ex 2 : Le microscope
Image Nikon
a) Identifier les principales parties du microscope : optique d’illumination, objectif, oculaire.
b) Identifier le diaphragme contrôlant l’ouverture numérique de l’illumination ainsi que celui contrôlant l’uniformité de l’éclairage (comme décrit dans l’exercice précédent).
c) Le système représenté fait l’image du spécimen sur un détecteur (CCD, pellicule photographique,... ). Quelle modification apporter si l’utilisateur veut obtenir une image visuelle de l’objet ?
d) Identifier la région limitant le champ d’observation du microscope. On souhaiterait obtenir une image de champ plus large. Que doit-‐on faire ? Quelles sont les conséquences sur les autres paramètres de l’image (clarté, résolution,…) ?
Ex 3 : Cohérence spatiale et granularité (speckle)
a) Soient deux fentes éclairées par source lumineuse située à très grande distance (c.f. figure ci-‐dessous). On supposera la source unidimensionnelle avec une taille angulaire 2uq. La distance entre les fentes est notée
€
d = x1 − x2 . En utilisant le
3
théorème de van Cittert-‐Zernike, déterminez, à une constante près, la fonction de cohérence
€
γ s(d) (degré complexe de cohérence spatiale).
b) En déduire une formule approchée de la taille
€
dγ de la surface illuminée de façon cohérente (aire de cohérence). Que devient cette formule pour une source circulaire? Quelle est l’interprétation physique de l’aire de cohérence?
c) Nous allons maintenant étudier l’effet de la cohérence spatiale sur le système imageur, la rétine d’un œil par exemple. Pour l’objet on considère une surface diffusante en transmission ou en réflexion, telle que du verre dépoli par exemple (c.f. figure ci-‐dessous). La fonction de cohérence au niveau du verre dépoli a une largeur 𝑑! = 60𝜇𝑚. On suppose que l’œil est limité par diffraction, ce qui est le cas pour une illumination par le soleil où la pupille de l’œil un diamètre de seulement Φ=2.5 mm. Calculer le diamètre de la tache de diffraction d’une source ponctuelle sur la rétine sachant que la focale de l’œil est f=18mm.
d) Calculer la distance latérale résolvable par l’œil dres au niveau de l’objet situé à
une distance z0=250mm, qui est appelée la distance confortable de vision. Nous appellerons u0 l’ouverture d’observation côté objet.
e) Comment apparaît l’image sur la rétine si nous ne pouvons pas résoudre au niveau de l’objet des distances plus petites que dγ , i.e. dres >> dγ ? Discuter les cas
z0=250mm et z0=2.5m. f) Déterminer le contraste des interférences
€
C = γ s(d) , i.e. le contraste de la granularité, encore appelée speckle, quanddγ >> dres .
g) Nous admettrons que le contraste des interférences décroît comme l’inverse de la racine carrée du nombre N de motifs d’interférences moyennés de façon incohérente. Tracer
€
C en fonction de uq/ u0 (Indication: exprimer N en fonction de la surface du spot de diffraction et de la surface de cohérence). Commenter le résultat obtenu.
h) Quelle serait la conséquence pour une mouche si elle possédait un œil de type humain ?
x
xd
uq source
écran double fente
uq source
verre œil uu’O
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Ex. 4 : Interféromètre de Hanbury-‐Brown et Twiss : Corrélation d’intensité
L’interféromètre de Hanbury-‐Brown et Twiss mesure les corrélations temporelles des fluctuations de l’intensité d’un signal mesurées à deux positions différentes r1 et r2. On notera I1 et I2 les intensités mesurées en r1 et r2, respectivement, ainsi que V1 et V2 les signaux analytiques complexes associés. On a
€
I j(t) =Vj*(t)Vj(t) et
€
Vj(t) = 12 Vj
(r )(t) + iVj(i)(t)( ) avec
€
Vj(r )(t) et
€
Vj(i)(t) les parties réelles et imaginaires du signal
(j=1 ou 2).
a) Déterminer
€
I1(t)I2(t + τ) en fonction des parties réelles et imaginaires des deux signaux mesurés.
b) Déterminer le degré complexe de cohérence G12(t) en fonction des parties réelles et imaginaires des deux signaux mesurés.
Indication : pour deux signaux analytiques on a
€
V1(t)V2(t + τ) = 0 ;
€
V1(i)(t)V2
(r )(t) = 0 ;
€
V1(r )(t)V2
(r )(t + τ) = V1(i)(t)V2
(i)(t + τ) ;
€
V1(i)(t)V2
(r )(t + τ) = − V1(r )(t)V2
(i)(t + τ)
c) Montrer que . Commenter.
Indication : pour deux fonctions aléatoire de Gauss X(t) et Y(t) on peut utiliser la propriété
€
X2Y2 = X2 + Y2 + 2 XY 2 et
€
XY = 0 si X et Y sont indépendants.
d) En déduire
€
δI1(t)δI2(t + τ) avec les fluctuations instantanées de l’intensité. Commenter.
Indication : les effets de cohérence temporelle et de cohérence spatiale peuvent se factoriser, ceci est une propriété de la théorie de la cohérence appelée la propriété de réduction du degré de cohérence.
Ex. 5 : Effets de lames à retard
a) Considérons une onde polarisée linéairement incidente sur une lame demi-‐onde avec un angle 𝜃 par rapport à l’axe rapide de la lame. Quel est l’effet de la lame ?
b) Même question pour une lame quart d’onde. On peut considérer les cas particuliers 𝜃 = 0°,𝜃 = 45° et 𝜃 = 90°.
€
I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + G12(τ)2
5
c) Comment peut-‐on utiliser ces éléments pour analyser une onde avec polarisation elliptique quelconque ?
Indication : si on part d’une polarisation linéaire, comment peut-‐on obtenir une polarisation elliptique avec le grand axe à un angle voulu 𝜑 par rapport au système de coordonnées?
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Correction
Ex 1 : Illumination de Köhler
1. L’illumination critique fait l’image de la source lumineuse (généralement un filament d’ampoule) dans le plan du spécimen (plan objet de l’objectif de microscope). Par conséquent les zones du spécimen étudié seront illuminées de manière différente selon qu’elles coïncident avec une zone intense ou une zone sombre de la source lumineuse. Cette méthode à l’avantage de collecter une grande quantité de lumière, mais au détriment de l’uniformité de l’illumination.
L’illumination Köhler fait l’image d’un diaphragme placé après la lentille condenseur, dans le plan du spécimen. L’illumination sur le condenseur est uniforme car toutes les parties de la source S contribuent pour chaque points dans le plan du condenseur. On va donc positionner une seconde lentille après le condenseur afin de faire l’image d’un diaphragme que l’on va placer juste après le condenseur. De cette façon, l’illumination de l’échantillon n’est pas affectée par l’inhomogénéité de la source. L’ajout du diaphragme et de la seconde lentille risque néanmoins de réduire la quantité de lumière disponible par rapport à l’illumination critique.
2. On suppose que la source émet une intensité constante dans toutes les directions de l’espace. Il suffit alors de montrer que l’angle solide sous lequel un point de la source voit la lentille de collection varie avec son éloignement de l’axe optique. Pour ceci on trace la figure suivante (ici en réduisant le problème à 2 dimensions de par la symétrie cylindrique du système autour de l’axe optique):
L’angle solide sous lequel la lentille est vue depuis le point M vaut
€
w =apOM
2 ou
€
ap est
la surface apparente
€
a vue de M.
Or,
€
ap = a OPOP
.OMOM
= a cosθ et
€
OM =OPcosθ
=Rcosθ
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On trouve alors que
€
w =aRcos3θ , loi bien connue des photographes, qui explique
pourquoi une mauvaise combinaison de lentille/diaphragme/dimension de film donne une image claire près de l’axe optique et sombre sur les bords.
Pour maximiser l’uniformité d’un système d’illumination de Köhler il suffit alors de réduire l’ouverture du diaphragme. Cela permettra de ne sélectionner que la partie proche de l’axe optique qui est la partie la plus homogène. Mais la quantité de lumière transmise au plan du spécimen s’en trouve alors réduite. D’autre part, fermer le diaphragme revient à diminuer l’ouverture effective de collection (les rayons formant un grand angle avec l’axe optique et traversant la lentille sont rejetés). Or, comme il a été vu dans le cours, cela revient à augmenter la cohérence spatiale de la source du fait de la
dépendance du degré complexe de cohérence spatiale en
€
aλR
. L'augmentation de la
cohérence spatiale de l'illumination permet d'augmenter la résolution, mais ce fait au prix de de l’apparition de tavelures (speckles) qui dégradent fortement la lisibilité de l’image.
Ex 2 : Le microscope
Ces deux schémas représentent les chemins d’imagerie (en jaune) et d’illumination (en rouge) pour un microscope utilisant une illumination de Köhler.
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a) Il est possible d’identifier les 3 éléments : a. L’optique d’illumination se trouve sous l’échantillon et comprend le
condenseur, le diaphragme de champ (field diaphragm), le diaphragme d’ouverture (aperture diaphragm) plus une lentille de collection (non visible) qui fait l’image de la source (non visible) dans le plan du diaphragme d’ouverture.
b. L’objectif se trouve juste au dessus du spécimen observé. Il créé une image agrandie du spécimen
c. L’oculaire se place normalement entre l’œil et l’objectif. Le but de l’oculaire est de transformer l’image créée par l’objectif en image observable à l’œil en la projetant à l’infini.
Dans ce schéma, une lentille à été rajouté au dessus de l’oculaire afin de faire l’image en sortie du microscope sur une CCD.
b) Le diaphragme contrôlant l’ouverture numérique de l’illumination est l’"Aperture diaphragm" En effet, le fait de fermer l'"Aperture diaphragm" va couper les rayons de l'illumination faisant un grand angle avec l'axe optique. L'ouverture numérique va donc être réduite. Afin d'optimiser l'illumination, il faut que l'ouverture numérique de l'illumination soit identique ou supérieure à l'ouverture numérique de l'objectif.
c) Il faut retirer la lentille après l'oculaire. d) Pour obtenir une image de champ plus large, une des possibilités est de remplacer
l’objectif par un autre objectif de grandissement plus petit. Il est fort probable que le nouvel objectif ait une ouverture numérique plus petite et donc une limite de résolution plus faible.
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Une autre possibilité est de remplacer l’oculaire par un autre oculaire de pupille d’entrée plus large. Cette modification n’altérera pas la limite de résolution du système et la clarté de l’image sera améliorée. Si finalement on ne souhaite remplacer ni l’objectif ni l’oculaire, on peut imaginer d’insérer une lentille de champ entre l’objectif et l’oculaire. Cette option aurait les mêmes conséquences qu’un changement d’oculaire.
Ex 3 : Cohérence spatiale et granularité (speckle)
a) Le théorème de Van Cittert-‐Zernike dit que le degré complexe de cohérence spatiale d'une source incohérente est la transformée de Fourier du profile d'intensité de la source. Dans notre cas, la source est unidimensionnelle. Elle possède un profile d'intensité rectangulaire de dimension ∆𝑠. Le degré complexe de cohérence est donc un sinus cardinal:
𝛾(𝑢) =sin (𝜋𝑢∆𝑠)𝜋𝑢∆𝑠
De plus, on peut noter la fréquence spatiale: 𝑢 = (!!!!!)!!!
= !!!! ou 𝐷! est la
distance entre la source et le plan contenant les fentes. On peut alors noter :
γ (d) = sinc(dθSλ) avec θS le diamètre angulaire de la source, qui est ici 2uq.
b) La largeur de la fonction de cohérence, qui définit la taille de la surface d’illumination cohérente, peut être, à partir de la formule précédente. Il s'agit du
premier zéro du sinus cardinal: dγ =λ2uq
. Pour une source circulaire il faudrait
tenir compte du facteur additionnel 1.22 car la fonction sinc est remplacée par une fonction de Bessel du premier ordre. Si deux points de l’objet sont plus proches que
€
dγ , ils seront illuminés avec un fort degré de cohérence. Il s’ensuit que les ondes lumineuses diffusées à partir de tels points situés dans l’aire de cohérence peuvent produire un motif d’interférence dans le champ lointain. On négligera le facteur 1.22 par la suite.
c) La largeur de la tache de diffraction d’une source ponctuelle crée par l’œil est
approximée par ddiffr=2.44λ fφ
. On obtient alors ddiffr
' = 9µm
d)
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Le diamètre de la tache de résolution se calcule de la façon suivante: z0f=dresddiffr
Ainsi, dres =125µm .
e) Quand dres >> dγ les images des points de l’objet répartis sur la surface du spot de diffraction sont plus ou moins moyennées de façon incohérente au niveau de la rétine comme l’illustre le dessin ci-‐dessous. Les différentes zones délimitées (artificiellement) par
€
dγ ne produise pas d’interférence par définition.
Par conséquent l’observateur distinguera peu de contraste d’interférence, encore appelé granularités ou speckles. La question précédente montre que le moyennage incohérent commence pour des distances plus grandes que z0=250 mm. Pour z0=2.5 m la distance qui peut être résolue au niveau de l’objet est 1.2 mm, ce qui est 10 fois plus grande que le diamètre de l’aire de cohérence.
f) Quand dγ >> dres , on a
€
C = γ s(d) =1
g) N est égal au rapport de l’aire Adiff=(dres)2 du spot de diffraction et de l’aire de cohérence AΓ=(dγ)2. On a donc
€
C =1 pour uq<u0
€
C =1/ N = u0 /uq pour uq≥u0
h) Avec une grande ouverture numérique d’observation et à courte distance, le monde est plein de bruit de type speckle. D’où l’œil à facettes de la mouche.
Important: La cause principale de bruit dans les mesures d’imagerie optique est la cohérence spatiale. La cohérence temporelle ne joue généralement pas de rôle significatif.
Ex. 4 : Interféromètre de Hanbury-‐Brown et Twiss : Corrélation d’intensité
a) En développant on trouve
Tache de diffraction
dγ dres
uq/u0 u0> u0< 1
C
1 régime de cohérence partielle
régime cohérent
C=u0/uq
11
€
I1(t)I2(t + τ) = 116 V1
(r )2(t)V2(r )2(t + τ) + V1
(i)2(t)V2(r )2(t + τ){
+ V1(r )2(t)V2
(i)2(t + τ) + V1(i)2(t)V2
(i)2(t + τ) }
b) De même en développant et en utilisant les relations donnée dans l’indication on trouve :
€
G12(τ) = V1*(t)V2(t + τ)
€
G12(τ) = 12 V1
(r )(t)V2(r )(t + τ) − 1
2 i V1(i)(t)V2
(r )(t + τ)
c) En utilisant l’indication on trouve :
€
V1(r )2(t)V2
(r )2(t + τ) = V1(r )2(t) V2
(r )2(t + τ) + 2 V1(r )(t)V2
(r )(t + τ)2
en utilisant
€
Vj(r )2(t) = Vj
(i)2(t) = 2 Vj(t)2
= 2 Ij on obtient :
€
V1(r )2(t)V2
(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 2 V1(r )(t)V2
(r )(t + τ)2
€
V1(r )2(t)V2
(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Re G12(τ){ }( )2
de même
€
V1(i)2(t)V2
(r )2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Im G12(τ){ }( )2
€
V1(r )2(t)V2
(i)2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Im G12(τ){ }( )2
€
V1(i)2(t)V2
(i)2(t + τ) = 4 I1 I2 + 8 Re G12(τ){ }( )2
On en déduit :
Cette expression peut se réécrire de la façon suivante :
€
γ12(2)(τ) =
I1(t)I2(t + τ)I1(t) I2(t)
=1+ γ12(τ)2
avec
€
γ12(2)(τ) le degré de cohérence du second ordre. Pour τ>>τc (temps de
cohérence de la source), on obtient
€
γ12(2) →1 car
€
γ12 → 0 et en outre il est évident que
€
γ12(2)(0) = 2 . Pour des sources classiques et y compris pour un laser idéal on a
€
1≤ γ12(2)(τ) ≤ 2 . Par contre pour des états non classiques de la lumière on a
€
0 ≤ γ12(2)(τ) ≤ +∞.
d) En utilisant
€
δI j(t) = I j(t) − I j , on en déduit :
€
I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + G12(τ)2
12
€
I1(t)I2(t + τ) = I1 + δI1(t)[ ] I2 + δI2(t + τ)[ ]
€
I1(t)I2(t + τ) = I1 I2 + δI1(t)δI2(t + τ)
par conséquent en utilisant la question précédente :
€
δI1(t)δI2(t + τ) = G12(τ)2
ou encore
€
δI1(t)δI2(t + τ) = I1 I2 γ12(τ)2
Le degré complexe de cohérence mutuelle du premier ordre peut se réécrire :
€
γ12(τ) = γ(τ)γ12(τ = 0,r = r1 − r2 ) avec γ(τ) le degré de cohérence temporel du premier ordre et
€
γ12(τ = 0,r = r1 − r2 ) le degré de cohérence spatiale. En faisant varier r, i.e. la distance entre les deux détecteurs, on peut donc déterminer le diamètre angulaire d’un objet tel qu’une étoile (cf. interféromètre stellaire de Michelson).
Les fluctuations de l’intensité de la lumière incidente ont une bande de fréquence de l’ordre de 1/τc, à savoir 100MHz. Il est donc beaucoup plus facile de suivre ces fluctuations que d’essayer de suivre les variations instantanées de l’intensité qui oscille à 1015Hz.
Ex. 5 : Effets de lames à retard
a) On peut décomposer le champ en ses composantes polarisées selon les axes rapide et lent, comme cela est illustré. En sortie de lame, prenons un vecteur champ dont la composante rapide passe par son maximum. Puisque la composante lente est retardée d’une demi-‐onde, elle se trouve à 180° de son maximum, c’est-‐à-‐dire au maximum du côté négatif de l’axe lent. Dans sa propagation, la composante lente reste en exacte opposition de phase par rapport à ce qu’elle était avant la traversée de la lame. Les deux composantes constituent à présent une onde polarisée linéairement, mais dont le plan de polarisation fait un angle θ de l’autre côté de l’axe rapide. Le plan de polarisation a donc subi une rotation d’angle 2θ. Pour cette raison les lames demi-‐onde sont parfois appelées rotateurs de polarisation.
Image Newport
b) Pour 𝜃 = 0° 𝑒𝑡 𝜃 = 90° rien ne se passe : l’onde en sortie de lame a la même polarisation qu’en entrée.
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Pour 𝜃 = 45° considérons à nouveau un vecteur champ dont la composante rapide passe par son maximum. Sa composante lente passe par zéro puisqu’elle est retardée d’un quart d’onde, ou de 90° de phase. Un huitième d’onde plus loin, les deux composantes ont la même longueur, mais la rapide diminue alors que la lente augmente. Un autre huitième d’onde plus loin, la composante lente est à son maximum et la rapide est à zéro. Le vecteur champ qui résulte de ces composantes décrit une hélice dont le pas est exactement une longueur d’onde. Il s’agit donc d’une onde polarisée circulairement.
Image Newport
Pour 𝜃 = 𝛼 quelconque on a une ellipse.
c) À partir d’une polarisation linéaire, avec une lame quart-‐onde on peut créer une polarisation elliptique avec l’excentricité voulue. Avec une lame demi-‐onde on peut alors appliquer une rotation du plan de polarisation et obtenir enfin la polarisation voulue. Le tout est valable à l’inverse : on peut donc analyser une onde avec polarisation quelconque.