1

Sem. 4– Module Physique – mécanique de solide

FILIERES : SMA

Semestre 4

Année universitaire 2017-2018 Réalisé par :

Pr. BENHMIDA Abdellatif

Pr. KHARBACH Jaouad

Pr. SALI Ahmed

Fascicule TP en ligne :

Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/ (voir ressources pédagogiques/filière SMA/S4)

2

TABLES DES MATIERES

I. Généralités 3

II. Pendule de Torsion 13 (Préparé et réalisé par le Pr. A. BENHMIDA, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)

III. Conservation de l’Energie mécanique (Roue de Maxwell) 16 (Préparé et réalisé par le Pr. A. SALI le Pr. J. KHARBACH, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2015/2016)

IV. Constante de gravitation 23 (Préparé et réalisé par le Pr. A. SALI le Pr. J. KHARBACH, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2015/2016)

3

GENERALITES

Effectuer la mesure d’une grandeur physique revient à comparer une

grandeur inconnue par rapport à une autre qui est connue (exemple : mesure

d’une longueur avec un mètre).

Cependant, la comparaison directe entre deux grandeurs physiques de

même espèce dont l’une reste à déterminer n’est pas toujours possibles ; on peut

alors passer par une relation ( loi physique) qui lie la grandeur recherchée et

d’autre grandeurs connues que l’on peut mesurer sans difficultés.

Pratiquement. On a recours à certaines méthodes expérimentales et à des

appareils adéquats pour déterminer la grandeur recherchée. Ces méthodes et

appareillages n’étant évidement pas parfois ; la grandeur ne peut être déterminée

qui de manière approchée. Le choix des méthodes et appareil dépend de la

précision que l’on désire obtenir ; en effet, il est évident que la précision ne sera

pas la même selon qu’on mesure une épaisseur d’une plaque par exemple avec

un pied à coulisse ou avec une règle graduée au millimètre.

Nous avons évoqué que si la mesure ne pouvait pas être effectuée de

manière directe, on pouvait la déduire à partir d’une loi physique.

Cependant, les relations qui traduisent ces lois physiques font intervenir des

coefficients numériques dans l’expression mathématique.

Ces coefficients dépendent des unités que l’on choisit, d’où la nécessité de

définir un système d’unités.

I. INCERTITUDE DE MESURES.

Dans l’estimation de l’incertitude d’une grandeur mesurée plusieurs fois,

on peut distinguer plusieurs cas.

I.1. Premier cas.

Le cas où l’appareil possède une précision supérieure ou égale à la

fluctuation de la grandeur mesurée, il faut alors effectuer plusieurs mesures,

4

prendre la moyenne arithmétique et déterminer l’incertitude en prenant le plus

grand écart entre cette valeur moyenne et les différentes valeurs mesurées.

Exemple 1 :

On se propose de mesurer T correspondant à 10 oscillations d’un pendule

de torsion à l’aide d’un chronomètre sur lequel on a une incertitude de lecture

0.1s.( = 0.1s).

On effectue plusieurs mesures qui donnent :

1 = 42.6s,

2 =41.8s, 3 =43.4s, 4 =41.8s, 5 =43.0s

Tm = 5

0.438.414.438.416.42 = 42.52s

m1 = 0.08s, m2 = 0.72s, m3 = 0.88s

m4 = 0.72s, m5 = 0.48s.

Le plus grand écart entre la valeur moyenne et les valeurs mesurées est :

Sup. m4 = m9 = 0.88s (i variant de 1 à 5).

L’incertitude absolue est alors à = 0.88s.

On constate que est supérieure à l’incertitude de lecture ( s1.0 ). La valeur

du temps mesuré et de son incertitude s’écrivent alors :

sm )(

Soit : ss)9.05.42(

Exemple 2 :

On se propose de mesurer un courant I à l’aide d’un ampèremètre. En

plaçant le calibre de l’ampèremètre sur la position de 10 l’aiguille se stabilise

vers la 56 ème division de l’échelle graduée de 1 à 100.

Les relations qui permettent le calcul de I et I sont :

Nb. de divisions lues x calibre

I =

Nb.tot. de division de l’échelle de lecture

L’erreur sur I est donnée par :

I = I Lecture +I systématique avec :

5

I systématique = (classe x calibre /100)

0.5 division x calibre

N.b tot. de division de l’échelle de lecture

Application Numérique :

Ax

5.6100

1065

syst Ax

15.0100

105.1

lect Ax

05.0100

105.0

A)2.05.6(

: 1 Remarque

L’incertitude absolue systématique est constante pour un calibre donné.

Remarque 2 :

Il faut choisir le calibre toujours de telle sorte que l’on ait la plus grande

déviation possible de l’aiguille en veillant toute fois à ne pas sortir des limites du

cadran. Ainsi, si on effectue des lectures sur un ampèremètre dont les calibres

sont : 0.01; 0.3; 1; 10.

Un courant de 0.2A sera lu sur le calibre 0.3.

Un courant de 0.8A sera lu sur le calibre 1.

Un courant de 4.6 A sera lu sur le calibre 10.

II. CALCUL D’INCERTITUDE.

En général, la mesure d’une grandeur G s’effectue par la mesure d’autres

grandeurs physiques intermédiaire (x, y, z, u, v) indépendantes.

Le grandeur G est alors définie par : G= G(x, y, z, u, v)

Connaissant les incertitudes de mesure de (x, y, z, u, v) on détermine les

incertitudes absolue G et relative G

G.

6

II.1. Principe du calcul

II.1.1. Cas d’une seule variable.

On détermine la valeur de G(x) à partir de la mesure de la grandeur x. Soit

x l’incertitude absolue associée à x.

Soit dG la différentielle de G définie par : dG = G'(xo)dx

G'(xo) est la dérivée de G par rapport à x au point xo (valeur mesurée de x). dG

et dx sont des valeurs positives ou négatives alors que G et x sont positives.

G xxoG )('

Exemple.

Calculer l’incertitude sur le moment d’inertie I sachant que le rayon r

est mesuré avec une incertitude r . La masse est supposée connue de manière

exacte ( m = 0).

On a I= mr2 donc dI=m.(2rdr) et rrm .2

Application numérique :

m= 1kg, r= 0.20m donc I = 0.04 kg.m2

si r= 0.01m alors I= ( 2x1x 0.20) x 0.01= 4 10-3

kg.m2.

II.1.2 Cas de plusieurs variables.

Soit G= G( x, y, z, u, v, w,…..) la grandeur dont on veut déterminer la

valeur et sont incertitude.

Soient x, y, z, u, v, w, ….les grandeurs mesurées. Pour calculer

l’incertitude G on généralise la méthode utilisée dans le cas précédent :

dG=G’x+dx+G’y dy+G’z dz+G’u du+G’v dv+G’w dw+…..

G’xi= [ xi

G

] est la dérivée partielle de G par rapport à la variable xi les

autres variables étant supposées constantes.

Exemple :

G= x + 3y - z2- w

4 + 5v -

u

1

1'

x

GxG ; ;

1'

2uu

GuG

3'

y

GyG

7

5'

v

GvG ; ;2' z

z

GzG

34' w

w

GwG

2

23u

duzdzdydxdG + dwwdv 345

on passe ensuite des différentielles dG , dx, dy…….aux incertitudes absolues

.......,, yxG la variation maximale de G associée à x, y,….. c'est-à-dire la

valeur absolue de la différentielle dG de G constitue l’incertitude absolue G

sur G. Cette étape du calcul s’appelle ; Majoration Physique.

Nous avons : ,GdG ,xdx .....ydy

D’où : ......'' yyGxxGG

.Différentes méthodes pour calculer les incertitudes II.2.

.II.2.1 Premier cas

a fonction dont on veut calculer l’incertitude est déterminée à partir des sommes,

de différences, de produits ou de quotidiens.

.

: Exemple

21z

zu

xxyG

1ére étape :

différentiation de la fonction duGdzGdyGdxGdG uzyx ''''

ydG zxdyu

dxdx 2 du

z

x

z

dzdz

22

2éme étape :

Regroupement des coefficients de dx, dy, dz et du.

22)

12()

1(

u

xdz

zzxdydx

uydG du

3éme étape :

Majoration physique :

G = u

y1

x + x y + 2

12

zz z +

2u

x + u

8

II.2.2. Deuxième cas.

Produits et quotidiens de somme et de différences.

Exemple :

xvy

uxvuyxG

),,,(

1ére étape :

Différentiation de la fonction

On prend cette fois le logarithme de G et on différencie log(G) ce qui permet de

calculer directement l’erreur relative G

G

)log()()log( xvyuxLogG

uvy

xvyd

ux

uxd

G

dGGd

)()()log(

ux

du

ux

dx

G

dG

xvy

dx

xvy

dv

xvy

dy

2éme étape :

on regroupe les coefficients de dx, dy, du et dv.

dxxvyuxG

dG)

11(

dy

xvy)

1(

ux

du

xvy

dv

3éme étape :

Majoration physique :

G

G u

uxxvyv

xvyx

xvyux

11111

III. TRACE DES COURBES

Considérons la relation V=RI et nous voulons calculer la résistance R, V

et I étant des paramètres mesurables.(voir tableau).

Classe de l’ampèremètre=2 et classe du voltmètre=2

I(mA) 3 5 7 9 11 13 15

I (mA) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6

V(volts) 5 9 12.6 15.6 19 22.8 26

v(volts) 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6

9

Chaque résultat expérimental est représenté par un rectangle d’incertitude

dont la longueur des cotés est 2 ; le centre du rectangle étant le point (V,I).

Tracer la courbe sur papier millimètre.

Toutes les droites qui coupent ces rectangles vérifient la relation V=RI.

III.1. Calcul de la pente, incertitude sur la pente et déduction de la

grandeur physique recherche.

Parmi toutes les droites qui coupent les rectangles d’incertitude, on

détermine les pentes P1 et P2 des droites limites.

Soient ),( 11 yxA et )','(' 11 yxA deux points appartenant à la droite de pente

1P et ),( 22 yxB , )','(' 22 yxB deux points appartenant à la droite de pente 2P ,

On aura :

11

111

'

'

xx

yyP

et

22

222

'

'

xx

yyP

La pente moyenne aura pour valeur

2

21 PPPm

Et son incertitude est 2

21 PPPm

Exemple 1 :

Cas de la fonction V=RI. Détermination de la résistance R.(R, étant une

constance).

VP1 =

21

21

'

'

II

VV

;

VP2 =

2'

'

2

22

I

VV

2

21 PPPm

;

2

21 PPP

Or, nous avons :

V=RI R=Pm et PR m

10

Application numérique

AVP /152710).415(

8.76.2431

AVP /194510).415(

2.66.2732

AVPP

Pm /17362

19451527

2

21

AVPP

P /2082

21

)2081736(R

Remarque

Ne pas oublier de concevoir les valeurs du contrat en ampère et les valeurs de la

résistance en Ohm.

Exemple2.

Détermination de la constante K d’un ressort à partir de la courbe

)( 2TfM connaissent la variation de la période T en fonction de la masse

(Confère courbe 2).

MKg 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250

)(kgM 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

)(sT 7,8 11,4 13,8 15,8 18,0

)(sT 0,2 0.2 0.2 0.2 0.2

)( 22 ST 61 130 190 249 324

TSTT )(22 3,1 4,5 5,5 6,3 7,2

Nous avons que K

MT 2 . On trace la courbe )( 2TfM . C’est une

droite. On détermine les droites limites de pente 1P et

2P . La pente moyenne mP

est égale à.

2

21 PPPm

et

2

21 PPP

11

avec )('

'2

12

12

111

Td

dM

TT

MMP

; les points ),(

2

11 TM et ),'(2

11 TM sont sur la

droite limite de pente 1P .

2

2

2

2

222

'

'

TT

MMP

=

)( 2Td

dM les points ( 22 ,TM ) et (

2

22 ,' TM ) sont sur la droite

limite de pente P2.

Or, nous avons :

K

MT 2 et

K

MT 22 4

2

21 PPPm

et

2

21 PPP

soient 2 points I(Ti2

, Mi) et J(Tj2 , Mj) sur la courbe de pente moyenne Pm. les

coordonnées de I et J vérifient la relation :

K

MT 22 2

donc : )(4 2

22

jiji

MMK

TT

ou encore :

)(4

22

2 ji TTK

MjMi

(1)

La relation (1) est une relation linéaire de M en fonction de T2, elle est de

la forme Pxy , la pente P étant égale à 24

K.

Donc la constante K recherchée est reliée à la pente P par :

pmK 24

Et l’incertitude

mPK 24 .

12

Application numérique

233

1 /10.71.040400

10)38296(skgP

233

21 /6110.02

10)51.071.0(

2skg

PPPm

1.0!! ErreurErreurPm 23 /10 skg

mNPmk /408.24 2

mNPmk /0039.04 2

mNk /1)4.08.240( 2

l’unité de k se déduit facilement à partir de l’équation aux dimensions de la

formule : .kxF

Remarque 1 :

Le tracé d’une courbe s’effectue sur papier millimétré, sur celui-ci, il faut

porter les axes de référence en indiquant le nom de la grandeur physique

représentée ainsi que l’échelle choisie.

Il faut que le choix de l’échelle permette l’utilisation de la surface

maximale de la feuille de papier millimétrée.

Remarque 2 :

Ne pas confondre la tangente qui n’a pas d’unités et la pente qui a une

unité.

Remarque 3 :

Il est inutile de porter sur les axes de coordonnées les valeurs associées

aux mesures ou de tracer des droites parallèles aux axes de coordonnées.

13

PENDULE DE TORSION I. But de la manipulation.

Le but de cette manipulation est la détermination de la constante de torsion d'un ressort

en forme de spirale puis les mesures du moment d'inertie de certains solides et la vérification

du théorème de Huygens.

II. Appareillage et principe.

L'appareillage se compose d'un pied en A sur lequel est fixé un axe de rotation portant

un ressort en forme spirale de constante de torsion C.

Les corps d'essais sont fixés sur cet axe qui passe par leurs centres de gravité. Ils sont

formés par :

- Une tige métallique de masse 185 g qui peut être surchargée par deux masselottes de

forme cylindrique de 240 g chacune et qui peuvent coulisser sur la tige.

- Un cylindre métallique creux de diamètre extérieur 90 mm, de diamètre intérieur

86,5 mm, de hauteur 90 mm et de masse 0,35 Kg

- Une sphère pleine en bois de diamètre 145 mm et de masse 0,36 Kg.

- Un disque métallique de diamètre 400 mm et de masse 0,74 Kg. Celui-ci sera utilisé

pour vérifier le théorème de Huygens.

Le moment d'inertie de la tige toute seule par rapport à l'axe passant par son centre de

gravité est donné par :

Ioz r

2 dm

la tige étant homogène et de masse linéique :

l

m

dr

dm

par conséquent :

2/

2/

22/

2/

2

0

l

l

l

lOz drr

l

mdrrII

soit : 123

22/

2/

3

0

mlr

l

mI

l

l

.

Le balancier ( tige, cylindre, sphère, ... ) étant écarté de sa position d’équilibre d'un

angle ( de préférence dans le sens du bobinage spiral ), on le lâche sans impulsion initiale.

Le système est alors soumis à un couple de rappel :

M = - C.

Dans le cas où on néglige les forces de frottement, l’équation de son mouvement est

donnée par :

02

2

Cdr

dIOz

14

IOz

étant le moment d'inertie du balancier par rapport à l'axe de rotation. La solution

générale de cette équation est de la forme :

m sin (t + ).

Les constantes m et sont déterminées à partir des conditions initiales.

La période du mouvement est :

On remarque l'isochronisme des oscillations, c'est-à-dire que : IOz et C étant fixés, la

période ne dépend pas de l'amplitude.

Théorème de Huygens. (Fig. I.1)

IGz : moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Gz.

I: moment d'inertie du solide par rapport à l'axe

Gz : axe passant par le centre de masse de (S) et parallèle à .

alors : I = IGz + md2 ; où d est la distance entre les axes et Gz.

Fig. I.1.

Dans notre cas, nous avons : système = barre + 2 masselottes.

.G

Masselotted

axe OZ

G

axe IGZ

.

axe IGZ

Tige

Fig. I.2.

Isyst/Oz = I

0 + 2IOz

Isyst/Oz = I0

+ 2IGz

+ 2md2

T

2

2

Ioz

C

G

Z

d(S)

15

IGz

est le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à Gz ( axe parallèle à l'axe de

rotation Oz et passant par son centre de gravité G ).

III. Manipulation.

1°) Calculer le moment d'inertie I0 de la tige à vide.

2°) Fixer la tige sur le balancier et mesurer sa période d'oscillations. Pour cela l’écarter

de sa position d’équilibre d'un petit angle ( environ 30° ) puis d'un grand angle ( environ

80° ). Noter la période moyenne. En déduire la constante de torsion C du ressort avec son

incertitude C.

Remarque : On déclenche le chronomètre à un moment quelconque du mouvement et on

compte trois ou quatre périodes.

3°) a) Placer les deux masselottes symétriquement sur la tige puis mesurer les périodes

d'oscillations pour les différentes positions possibles d des deux masselottes sur la tige.

Présenter les résultats sous la forme du tableau suivant :

d (cm) d2

(cm2

) d2

(cm2

) T (s) T (s) T2

(s2

) T2

(s2

)

25

20

15

10

5

b) Tracer la courbe T2

= f(d2

). En déduire de nouveau la constante de torsion C avec

son incertitude et la comparer avec la valeur précédente.

c) En déduire aussi de la courbe le moment d'inertie IGz par rapport à Gz d'une

masselotte avec son incertitude.

4°) Placer les différents corps d'essais sur le balancier et mesurer leurs moments

d'inertie I par rapport à Oz.

5°) Vérifier le théorème d'Huygens à l'aide du disque métallique disposant de neuf

trous comme points de fixation sur l'axe de rotation.

16

Conservation de l’énergie mécanique

Roue de Maxwell

1. Objectifs de l’expérience :

Introduire le concept de la conservation de l’énergie mécanique

Déterminer le moment d'inertie de la roue de Maxwell

Déterminer, en fonction du temps au moyen de la roue de Maxwell :

o l'énergie potentielle,

o l’énergie de mouvement de translation,

o l'énergie de rotation.

2. Principe de I’ expérience :

Un disque, pouvant se dérouler avec son axe le long de deux cordes, est en mouvement

dans le champ gravitationnel. L'énergie potentielle, l'énergie cinétique de translation et

l'énergie de rotation se transforment mutuellement du l’une à l’autre et sont déterminées en

fonction du temps.

3. Montage et procédure :

Fig. 1 : Dispositif expérimental pour étudier la conservation de l'énergie, en utilisant la roue

de Maxwell.

7,8

4

5

6

9

1

2

3

1

1

1

2

10

1- Pied de support en "A" PASS

2- Tige carrée PASS, / = 1000 mm

3- Mètre de démonstration. / - 1000 x 27

mm

4- Dispositif d'arrêt avec déclenchement

5- Curseur pour mètre, rouge, plastique,

une paire

6- Roue de Maxwell

7- Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A,

rouge, / 100 cm

8- Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, bleu,

/100 cm

9- Barrière optique avec compteur

10- Adaptateur, fiche BNC / douille 4 mm

11- Capacité 100nF/250V, Gl

12- Alimentation 5 V DC/2.4 A avec fiches

4mm

17

Le dispositif expérimental est indiqué dans les Fig. 1 et 2. On utilise la vis de réglage

sur la tige de support, afin que l'axe de la roue de Maxwell, dans l'état déroulé, soit aligné

horizontalement. A la libération, les enroulements doivent s’exécuter à l'intérieur. Le nombre

d'enroulement doit être approximativement le même sur les deux côtés. Il est essentiel de faire

quelques essais, pour les premiers mouvements de haut en bas de la roue, puisque un montage

incorrect (traversé vers l'extérieur) produit un mouvement "gyroscopique" de la roue.

Le commutateur, la goupille engagée dans l’un des trous dans la circonférence de la roue,

est utilisée pour libérer la roue mécaniquement et de démarrer le compteur au même moment

afin de déterminer la distance et le temps. Le commutateur de libération doit être ajusté pour

que la roue n’oscille pas ou roule après le départ. Par ailleurs, les cordons doivent toujours

être enroulés dans le même sens à chaque démarrage.

i. Mesure du temps t du parcours s de la roue du début jusqu’à atteindre la cellule

électrique.

Appuyez sur le fil du système de déclanchement et le verrouiller en place, insérer le

système de déclenchement dans l’un des trous de la roue (Fixer la roue).

Placez la touche de sélection de la barrière optique à fourche sur :

(3ème

position)

Appuyez sur le bouton "Reset" de la barrière optique.

Desserrer le bouchon du système de déclanchement, la roue se mis en mouvement et

appuyer sur le système de déclenchement sans le relâcher et le verrouiller de nouveau

en place et le compteur de la cellule photoélectrique commence à mesurer le temps.

Après le passage de la roue à travers le rayon lumineux, le système de déclanchement

est enfoncé à nouveau et le compte est interrompu.

ii. Mesure de t pour déterminer la vitesse v de translation

Enlever les fils de connexion entre le système de déclenchement et le condensateur.

Fixer la roue dans la position de départ.

Placer la touche de sélection sur (2ème

position) de la barrière

optique à fourche.

Desserrer le bouchon du système de déclenchement, la roue se met en mouvement, le

compteur de la barrière optique est encore en arrêt.

Dès que l'axe de rotation de la roue entre dans la cellule photoélectrique, le compteur

démarre et s'arrête quand l’axe passe devant le rayon lumineux.

18

Fig. 2 : Raccordement de la barrière optique (LB)

La vitesse instantanée est calculée à partir du temps de passage ( ) de l’axe de la

roue à travers la cellule photoélectrique

Où est le temps depuis le début jusqu'à ce l’axe de la roue atteint la cellule

photoélectrique.

4. Considérations Théoriques:

L'énergie totale E de la roue de Maxwell, de masse m et de moment d'inertie lz (autour

de l'axe de rotation), est composée de l'énergie potentielle Ep, l'énergie de translation ET et

l'énergie de rotation ER:

(1)

Où, désigne la vitesse angulaire, la vitesse de translation, l'accélération due à

la gravité et s la hauteur (négatif).

Fig. 3: Relation entre l'augmentation de l'angle et la diminution de la hauteur dans la

roue de Maxwell.

19

Avec les notations de la Fig. 3, on a :

et

Où est le rayon de l’axe de la roue.

Dans le cas présent, est parallèle à et est perpendiculaire à , de sorte que

Puisque l'énergie totale E est constante au court du temps, la dérivée de E donne :

D’où l’accélération

Pour les conditions initiales : et , on obtient :

et

5. Etude expérimentale :

On donne la masse de la roue : m = 0,436 kg et le rayon de l'axe :

1- Etude de la hauteur en fonction du temps d’un mouvement uniformément

accéléré :

20

Pour différentes valeurs de , mesurer trois fois le temps de parcours et remplir le

tableau suivant : 3éme

position, desserrer, déclencher le système, puis desserrer

s (cm) 10 20 30 40 50 60

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

tmoy (s)

t2

moy (s2)

Δt(s)

Δt2(s

2)

Tableau (1)

Avec Δ(t) = sup|tmoy-ti| Δ(t2) = 2tΔ(t) Δs=2r = 2x2,5=5mm

a- Tracer sur un papier logarithmique (log-log), la courbe en fonction de tmoy et

déterminer la pente de la courbe. En déduire l’exposant de l’équation de en

fonction de t.

b- Tracer sur un papier millimétré la courbe en fonction de t2 et déterminer la pente

de la courbe.

c- En déduire de l’équation (4), la valeur de l'accélération et le moment d’inertie de la

roue , on prend comme valeur de l’accélération de la pesanteur

d- Conclusion.

21

2- Etude de la vitesse en fonction du temps d’un mouvement uniformément

accéléré :

Pour différentes valeurs de indiquées au tableau (2), mesurer trois fois le temps de

passage de l’axe de la roue et remplir le tableau 2 ci dessous. En déduire la vitesse

instantanée :

s (cm) 10 20 30 40 50 60

∆t1 (s)

∆t2 (s)

∆t3 (s)

∆tmoy (s)

V (m/s)

Tableau (2)

a. Tracer sur un papier logarithmique (log-log), la courbe en fonction de tmoy du tableau (1)

et déterminer la pente de la courbe. En déduire l’exposant de l’équation de en fonction de

t.

b. Tracer sur un papier millimétré la courbe en fonction de tmoy du tableau (1) et

déterminer la pente de la courbe.

c. En déduire de l’équation (6), la valeur de l'accélération et le moment d’inertie de la

roue , on prend comme valeur de l’accélération de la pesanteur

d. Conclusion

22

3- Etude de la conservation de l’énergie totale :

En utilisant les résultats précédents, calculer et remplir le tableau suivant pour différentes

valeurs de s :

- L’énergie potentielle :

- L’énergie de translation:

- L’énergie de rotation :

s (m) 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

tmoy (s)

V2 (m/s)

2

EP (Nm)

ET (Nm)

ER (Nm)

Etotale (Nm)

Tableau (3)

a- Tracer sur un papier millimétré les courbes en fonction de tmoy

b- Comparer les courbes de et .

c- Conclusion sur l’énergie totale.

d- Si on abandonne la roue en mouvement d’une hauteur fixe pendant un temps plus long,

va-t-elle s’arrêter, expliquer ?

23

Détermination de la constante de Gravitation

par la balance de Cavendish assistée par ordinateur

1. Objectifs de l’expérience:

1. Etalonner la balance au point zéro (position d’équilibre initiale du pendule de torsion),

2. Relever l’évolution temporelle des oscillations amorties à la position d’équilibre finale

du pendule de torsion selon la méthode d'équilibre et celle de résonance,

3. Déterminer la période des oscillations,

4. Déterminer les angles de déviation selon la méthode d'équilibre et celle de résonance,

5. Déterminer la constante gravitationnelle à l'aide de la méthode d'équilibre et la

méthode de résonance.

2. Principe de l'expérience:

Deux petites sphères de plomb de masse équivalente sont placées chacune à l'extrémité du

fléau qui est suspendu par un mince filament de tungstène afin qu'il puisse osciller librement

autour de sa position d'équilibre. Lorsque deux autres sphères de plomb plus grosses, placées

sur un bras pivotant, sont approchées des petites sphères, les forces d'attraction résultant de la

gravitation exercent une accélération des petites sphères en direction des plus grosses sphères.

Au même moment, le fil de métal en torsion génère un moment de rotation et le fléau est

soumis à une oscillation amortie autour d'une nouvelle position d'équilibre. La constante

gravitationnelle peut être déterminée tant à partir de l'angle de rotation des différentes

positions d'équilibre que du comportement dynamique du système d'oscillation pendant

l'attraction. Un capteur capacitif intégré produit une tension directe qui est proportionnelle à

l'angle de déflexion. Il peut être enregistré dans le temps par un système d'interfaces et la

valeur de l'angle de rotation nécessaire sera ainsi déterminée.

3. Matériels utilisés:

1. Balance de Cavendish assistée par ordinateur,

2. Câble de données,

3. Niveau à bulle Circulaire 36 mm.

Figure 1 : Dispositif expérimental.

24

4. Description de la balance de Cavendish:

Figure 2 : la balance de Cavendish

La balance de Cavendish permet de mettre en évidence la force de gravitation entre deux

masses et de définir la constante gravitationnelle. La pièce centrale de la balance est un

pendule de torsion composé d’un fléau longitudinal et de deux petites sphères de plomb

suspendues horizontalement à un mince filament de tungstène. La position de repos est

influencée par la force de gravitation des deux grandes sphères de plomb sur les deux petites

sphères. Après le basculement des grandes sphères dans une nouvelle position, le pendule de

torsion oscille autour de la position de repos modifiée. La rotation est mesurée à l’aide d’un

capteur capacitif différentiel qui supprime les niveaux de bruit et de vibration dans le signal

puis enregistrée sur un ordinateur.

1 Pieds réglables,

2 Fléau longitudinal extérieur pour les deux

grandes sphères de plomb,

3 Capteur capacitif différentiel,

4 Connexion USB,

5 Tige de centrage,

6 Fléau longitudinal intérieur pour les deux petites

sphères de plomb,

7 Suspension inférieure avec miroir,

8 Filament de tungstène,

9 Suspension supérieure,

10 Support pivotant avec échelle angulaire.

Figure 3 : Composants de la balance de Cavendish

25

5. Manipulation:

5.1. Consignes concernant le lieu de l’expérience :

Le capteur capacitif différentiel supprime les niveaux de bruit et de vibration dans le

signal. Malgré tout, il est nécessaire de choisir un poste de travail à l’abri des vibrations. De

fortes vibrations (par exemple des claquements de portes) ne peuvent pas être supprimées et

entrainent sûrement la déformation du signal.

5.2. Réglage de la plage de mesure :

Retirer les vitres du boîtier,

Visser la tige en aluminium à filetage au centre sur le fléau longitudinal intérieur. Le

monter ensuite dans le boîtier de la balance et l’orienter de sorte que le fléau

longitudinal se trouve au centre entre les deux platines de capteur,

Installer les vitres. Connecter la balance à l’ordinateur et lancer le logiciel. Dans le

logiciel, cliquer sur le bouton « Setup »,

Tourner le fléau longitudinal extérieur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

à l’aide du support, jusqu’à ce qu’il touche la vitre,

Appuyer sur le bouton « Adjust left border » dans la boîte de dialogue « Setup »,

confirmer avec « OK » et définir ainsi la limite inférieure de la plage de mesure.

Tourner à présent le fléau longitudinal extérieur dans le sens des aiguilles d’une

montre jusqu’à ce qu’il touche à nouveau la vitre. Appuyer alors sur le bouton

«Adjust right border » dans la boîte de dialogue « Setup », confirmer avec « OK » et

définir ainsi la limite supérieure de la plage de mesure.

Le fléau longitudinal intérieur a été conçu avec des tenons à ses extrémités, de sorte qu’il

oscille toujours sur une plage linéaire des plaques de condensateur. Le logiciel de mesure

enregistre toutes les valeurs de mesure comprises entre +60 et -60 mrad, le fléau longitudinal

intérieur oscille normalement pendant l’expérience entre des valeurs en mrad inférieures.

5.3. Montage du pendule de torsion :

Le montage du pendule de torsion est une tâche difficile, qui exige de la patience et une

bonne vue. Le filament de tungstène est très mince et fragile, c'est pourquoi il doit être

manipulé avec beaucoup de précautions. Pour que le filament soit bien visible, il est

recommandé d’effectuer le montage du pendule de torsion sur du papier blanc.

Placer la balance à l’horizontale sur une table de travail à l’abri des vibrations,

Visser la suspension inférieure au centre sur le fléau longitudinal intérieur. Pour cela,

veiller à ce que la surface soit parallèle au fléau longitudinal,

Dévisser les vis de fixation des deux suspensions,

Attacher la suspension supérieure avec un morceau de bande adhésive sur une feuille

de papier blanc, afin de l'empêcher de rouler,

Dérouler 8 à 10 cm de filament de tungstène du rouleau, mais ne pas le couper,

Attacher l’extrémité du filament sur le papier à côté de la suspension supérieure avec

un morceau de bande adhésive. Faire ensuite passer le filament autour de la vis de

26

fixation et serrer la vis. Pour ce faire, veiller à ce que le filament ne soit pas déformé.

Le filament doit se dérouler le plus possible au centre entre les deux suspensions,

Placer ensuite la suspension inférieure sur le papier environ 4 à 5 cm sous la

suspension supérieure. Guider le filament autour de vis de fixation en tirant

légèrement dessus et serrer la vis.

Couper le filament sur le rouleau.

Attacher avec précaution le pendule de torsion au niveau de la suspension supérieure à

un statif et contrôler l’horizontalité du fléau longitudinal.

Pour mettre le fléau longitudinal à l’horizontale, retirer à nouveau le pendule de

torsion du statif et le poser avec précaution sur la table. Desserrer la vis de la

suspension inférieure, maintenir la suspension avec la main et déplacer en

conséquence le fléau longitudinal. Resserrer la vis et contrôler le positionnement.

Introduire avec précaution le pendule de torsion.

5.4. Réglage du point zéro :

Placer les grosses sphères de plomb sur le fléau longitudinal extérieur en position 1

(figure 4) et patienter jusqu'à ce que les oscillations s’atténuent. Le cas échéant, ré-

étalonner le point zéro.

S'il est nécessaire de ré-étalonner le capteur, effectuez les étapes suivantes:

Vérifier que l'un des fentes de la balance se trouve en face de la broche de

calibrage, sinon,

Faire pivoter le fil de tungstène en tournant soigneusement la vis sur le dessus

de la balance jusqu'à un bord du fléau soit en contact avec la vitre.

Utilisez le bouton "Setup" pour ouvrir le dialogue de configuration. En

cliquant sur l'un des "Ajuster" symboles, définir cette position pour une valeur

de ± 75 mrad.

Tourner le fil de tungstène dans la direction opposée en tournant la vis sur le

dessus de la balance jusqu'à ce que le bord du fléau soit en contact avec la vitre

de verre opposée.

Cliquez sur l'autre symbole "Ajuster" fixera cette position que la seconde

limite.

Confirmez le dialogue avec le bouton "Ok".

Les paramètres logiciels suivants sont recommandés pour l'ajustement de décalage :

- Range: 20%

- Taux d'échantillonnage: 10 Hz;

- Nombre de points: 4096 (6 min et 49,6 s);

- LPF: NO.

Placer le fléau longitudinal extérieur en position 2 et démarrer la mesure,

Conserver le montage expérimental ainsi pour la suite de l’expérience,

Lorsque les petites sphères ont presque atteint leur position d’équilibre, déplacer le

fléau longitudinal extérieur en position 3,

27

Une fois que les petites billes ont presque atteint leur nouvelle position d’équilibre,

arrêter les mesures,

Enregistrer la courbe de mesure.

Position 1 Position 2 Position 3

Figure 4: Positions du fléau longitudinal extérieur (vue de dessus)

6. Etude théorique:

6.1. Détermination de la constante d’amortissement et la période d’oscillation:

L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit :

(1)

où est le moment d’inertie du système oscillant (fléau longitudinal intérieur), est le

coefficient d’amortissement, est le couple des forces d’attraction et

est la

constante de torsion.

Nous devons calculer la période d’oscillation T du fléau qui sera utilisé pour déterminer la

constante de gravitation en utilisant la méthode, d’équilibre, dynamique.

La variation de l’angle d’oscillation libre du fléau est solution de l’équation (1), soit :

(2)

où est la position d’équilibre, généralement non nulle et est l’amplitude initiale.

Posons , d’après l’équation (2), on a :

⇒

⇒

⇒

⇒

Pour 3 valeurs successives de , la valeur de d’oscillation amorti est donnée par :

(3)

La valeur de x est déterminée par l’équation (3), soit :

(4)

28

Une valeur plus précise de x est obtenue en faisant la moyenne de x pour plusieurs

triplets de

6.2. Détermination de la constante gravitationnelle utilisant la méthode d’équilibre:

Par la méthode d’équilibre, la constante de gravitation est déterminée à partir de la

position d'équilibre du fléau intérieur lorsque les deux grandes sphères sont portées à leurs

positions extrêmes, c'est-à-dire, à partir des déviations extrêmes après le basculement du fléau

entre les deux positions d'équilibres. Lorsque le fléau est au repos et les grandes sphères sont

dans leur position neutre, la position d’équilibre est déterminée par l’angle . Lorsqu'elles

atteignent une position extrême, le fléau oscille autour de la position de repos et il oscille

autour de la position de repos , lorsqu’elles atteignent l’autre position extrême (figure 5).

L’angle de déviation requis pour le calcul de la constante de gravitation est donné par :

(5)

Si le moment de la force de gravitation est égal au moment de la force de torsion du

filament, la condition de la position d’équilibre du fléau satisfait la relation :

(6)

où D est la constante de torsion du fil fin de tungstène auquel est accroché le fléau du

pendule. est le moment d’inertie du système oscillant donné par :

(7)

où est le moment d’inertie du fléau de longueur et de largeur donné par :

(8)

est le moment d’’inertie de deux petites sphères de plomb de rayon et de masses m

donné par :

(9)

2 est le moment d’inertie des deux trous de rayon et de masse se trouvant aux

extrémités du fléau où les petites sphères peuvent être placées :

(10)

Le moment d’inertie du système oscillant est donc:

(11)

La force de gravitation a trois composantes :

Force d’attraction entre les grandes sphères et les petites sphères les plus proches

Force d’attraction entre les grandes sphères et les petites sphères les plus éloignées

Force d’attraction entre les grandes sphères et le fléau à 2 trous

Le moment de la force gravitationnelle est donc :

29

(12)

qui peut encore s’écrire sous la forme :

(13)

(Voir annexe pour un calcul détaillé des corrections et ).

En utilisant (6) et (11), on obtient l’expression de la constante gravitationnelle, soit :

(14)

où est l’angle de déviation donné par l’équation (5) en fonction de et .

Figure 5: Représentation schématique des angles de déviation des positions extrêmes des grandes

sphères dans la balance de torsion de Cavendish.

Manipulation de la méthode d’équilibre:

Effectuer l'essai selon les étapes suivantes:

1. Démarrer le logiciel,

2. Choisir "taux d'échantillonnage" et "Nombre de points", par exemple, 5 Hz et 32768 points,

3. Cliquer sur le bouton "Range" et faites décroitre l'amplitude de l’angle de déviation en choisissant

une gamme (%). Une gamme de 5% ou 10% sera suffisante et l’amplitude sera de l'ordre de

quelques mrad,

4. Assurer que le filtre passe-bas («LPF») est réglé sur "NO LPF",

5. Vous pouvez utiliser le bouton «zéro Adjust" pour le réglage du point zéro,

6. Démarre le bouton "Record",

7. Tourner le fléau longitudinal extérieur qui détient les grandes sphères de plomb jusqu'à ce qu'elles

touchent doucement la vitre, garder cette installation et enregistrer au moins trois oscillations,

8. Tourner le fléau longitudinal extérieur dans la direction opposée, jusqu'à ce que les sphères

effleurent la vitre, garder cette installation et enregistrer au moins trois oscillations,

9. Répéter ces rotations alternées autant de fois que vous le souhaitez,

10. Arrêter la mesure en appuyant sur le bouton "Stop" et enregistrer vos données de mesure avec le

bouton "Save".

La figure 6 ci-dessous représente un exemple d'une courbe de mesure de l'angle de déviation du

pendule de torsion en fonction du temps après deux changements des positions extrêmes de mesure

pour les grandes sphères.

30

Figure 6 : Angle de déviation du pendule de torsion en fonction du temps obtenu par la méthode

d’équilibre

et peuvent être déterminés selon les expressions suivantes :

(15)

(16)

6.1. Détermination de la constante gravitationnelle utilisant la méthode de résonance:

Lorsque les grandes sphères atteignent des positions extrêmes en phase, alors l'oscillation

du pendule atteint l'état de résonance. Dans la position extrême, la distance entre les petites et

les grandes sphères est constante ( = const), de même la force de gravitation et son moment

sont constants. est la position stable du pendule et la déviation si la grande sphère est

amenée à sa position extrême, alors est la nouvelle position de repos. L'équation

de déviation en fonction du temps s'écrit alors:

(17)

où est l'angle de déviation initiale (t=0).

Si la grande sphère est portée à la deuxième position extrême, le second angle de déviation

s'écrit:

avec (18)

Si la grande sphère est portée à sa troisième position extrême (t = T), l'angle de déviation

s'écrit:

(19)

D'après les équations (18) et (19), on a:

31

(20)

(21)

D'après l'équation (17), la position stable du pendule peut être calculée à partir de trois

angles de déviation (Equation (3)) et pour une valeur de connue, peut être calculée selon

l'expression suivante:

(22)

Manipulation de la méthode de résonance:

Effectuer l'essai selon les étapes suivantes:

1. Démarrer le logiciel,

2. Choisir "taux d'échantillonnage" et "Nombre de points", par exemple, 10 Hz et 12481

points,

3. Cliquer sur le bouton "Range" et faites décroitre l'amplitude de l’angle de déviation en

choisissant une gamme (%). Une gamme de 10% sera suffisante et l’amplitude sera de

l'ordre de quelques mrad.

4. Assurez-vous que le filtre passe-bas («LPF») est réglé sur "NO LPF",

5. Vous pouvez utiliser le bouton «zéro Adjust" pour le réglage du point zéro,

6. Démarrez le bouton "Record",

7. Tourner le fléau longitudinal extérieur qui détient les grandes sphères de plomb jusqu'à ce

qu'elles touchent doucement la vitre, garder cette installation et observer,

8. Lorsque la valeur d’amplitude atteint son point d'inflexion, tourner le fléau longitudinal

extérieur dans le sens opposé jusqu'à ce que les sphères touchent légèrement la vitre,

9. Répétez la rotation à chaque point d’inflexion jusqu’à ce que l’amplitude maximale

atteigne une valeur constante

10. Arrêter la mesure en appuyant sur le bouton "Stop" et enregistrer vos données de mesure

avec le bouton "Save".

La figure 7 ci-dessous représente un exemple d'une courbe de mesure de l'angle de

déviation du pendule de torsion en fonction du temps après deux changements des positions

extrêmes de mesure pour les grandes sphères en utilisant la méthode de résonance.

En utilisant (6) et (11), on obtient l’expression de la constante gravitationnelle, soit :

(23)

où est l’angle de déviation donné par l’équation (22) en fonction de et .

32

Figure 7 : Angle de déviation du pendule de torsion en fonction du temps obtenu par la méthode de

résonance

En utilisant les deux méthodes exposées ci-dessus:

Pour la méthode d’équilibre:

Réaliser l’expérience de Cavendich en utilisant la méthode d’équilibre,

Relever sur PC, la courbe représentante l’angle de déviation du pendule de torsion en fonction

du temps t (figure 6),

Déterminer la période des oscillations ,

Déterminer l’angle de déviation

, voir équations (15) et (16).

Déterminer le moment d’inertie I du système, voir équation (11).

En déduire la constante de gravitation voir équation (14).

Pour la méthode de résonance:

Réaliser l’expérience de Cavendich en utilisant la méthode de résonance,

Relever sur PC, la courbe représentante l’angle de déviation du pendule de torsion en fonction

du temps t (figure 7),

Déterminer la période des oscillations ,

Déterminer l’angle de déviation à partir de cette courbe et en utlisant l’éq. (22),

Calculer la constante de gravitation , voir équation (11) et (23).

Comparer les deux méthodes de calcul de la constante de gravitation G,

Conclure

33

Exemple de données utilisées pour la détermination de la valeur de la constante de

Gravitation G :

- M: Masse moyenne de la grande sphère de Plomb = 1.049 kg.

- m: Masse moyenne de la petite sphère de Plomb = 14,50 10-3

kg

- rS: Rayon moyen de la petite sphère de Plomb = 0,67 10-2

m

- rL: Rayon moyen de la grande sphère = 2,82 10-2

m

- d: Distance entre l'axe de rotation et le centre de la petite sphère = 6,66 10-2

m

- R: Distance entre les centres de la petite et de la grande sphère dans une position

extrême = 4,62 10-2

m

- mb: Masse du fléau de la balance = 7,05 10-3

kg

- lb: Longueur du fléau de la balance = 14,9 10-2

m

- wb: Largeur du fléau de la balance = 1,29 10-2

m

- mH: Masse des trous du fléau = 0,34 10-3

kg

- db: Epaisseur du fléau = 0,14 10-2

m

- w: Distance entre les surfaces extérieures des plaques de verre = 3,5 10-2

m

- rh: Rayon des trous du fléau pour la tenue des petites sphères = 0,45 10-2

m

- ρAl: Densité d'aluminium du fléau = 2,7 103 kg m

-3

- f1: Facteur de correction = 0,0352

- f2: Facteur de correction = 0,202