Seconde - mutuamath · 2018. 8. 9. · § 2 Conseilspourprogresser :.2.i Travailenclasse : Il faut...

Seconde

Licence Creative Commun

Éric Marras

Juin 2018

Mathématiques 2017 - 2018 Lycée Notre Dame - Le Mans - 2

Sommaire

1 Projet éducatif : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7i Extraits : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ii Conséquences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Conseils pour progresser : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8i Travail en classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8ii Travail à la maison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8iii Absence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8iv Gestion du matériel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8v Évaluation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9vi Évaluation par compétences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10vii Ce qu’il faut retenir du collège : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Progression : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A Algèbre 251 Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

i:::::::Calculs

::::::::::::algébriques

::-::::Les

::::::bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ii:::::::Calculs


::-::::::::::Identités

::::::::::::::remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii:::::::Calculs


::-::::::::::::Équations,

::::::::::::inéquations

:::et

:::::::::::puissances . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Équations réduites de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31i

::::::::::Équations

:::::::::réduites

:::de

::::::::droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ii:::::::::::Résolution

::::des

::::::::::systèmes

::::::::::::d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B Géométrie 391 Géométrie analytique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i:::::::::Repérage

::::::dans

::le

:::::plan

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ii:::::::Cerlces

:::et

:::::::::triangles

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii::::::::::::::Quadrilatères

:::::::::convexes

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Géométrie plane : Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43i

:::::::::Vecteurs

:-:::::::::::définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ii:::::::::Vecteurs

:::en

:::::::::::analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Géométrie dans l’espace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46i

:::::::Solides

:::::::usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ii:::::::::Positions

:::::::::relatives

:::de

::::::deux

::::::::droites

:::de

:::::::::l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iii:::::::::Positions

:::::::::relatives

:::::::d’une

:::::::droite

::et

::::::d’un

:::::plan

:::de

:::::::::l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 50

iv::::::::Position

:::::::::relatives

::::de

:::::deux

::::::plans

::::de

::::::::l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

v::::::::::::Parallélisme

::::::dans

::::::::l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Séquences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54i

:::::::::Repérage

::::::dans

::le

:::::plan

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ii:::::::Cercles

:::et

:::::::::triangles

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

iii::::::::::::::Quadrilatères

:::::::::convexes

:::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iv:::::::::Vecteurs

::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

v::::::::::Géométrie

::::de

::::::::l’espace

::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3

C Analyse 591 Fonctions : Les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

i:::::::::::Définitions

::::sur

:::les

::::::::::fonctions

:::::::réelles

::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Fonctions de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

i::::::::::Fonctions

:::::::affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ii::::::::::Fonctions

::::::::usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

iii::::::::::::::Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Fonction du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

i::::::::::Fonctions

:::::::Les

::::::bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

ii::::::::::Variations

:::::::d’une

:::::::::fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

iii::::::::::Fonctions

:::de

:::::::::::références,

::::les

::::::::::fonctions

:::::::affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

D Statistiques et probabilités 751 Statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

i::::::::::Définition

::::::d’une

::::::série

:::::::::::statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ii::::::::::::::::Caractéristiques

:::de

:::::::::position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

iii::::::::::::::::Caractéristiques

:::de

::::::::::::dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78i

::::::::::::Vocabulaire

::::sur

:::les

:::::::::::::expériences

::::::::::aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ii:::::::::::::Modélisation

::::des

::::::::::::expériences

:::::::::::aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

iii:::::::Calculs

:::de

:::::::::::::probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 Séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

E Algorithmique 851 Algorithmique : Les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

i Historique rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86ii Langage naturel : méthode VIPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87iii Les langages de programmation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89iv Instructions du langage naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91v Opérations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102i Théorème fondamental de l’arithmétique et applications. . . . . . . . . . . . . . . . 102ii Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103iii Conjecture de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104iv Forme simplifiée de la racine carrée d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . 106v Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

i Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114ii Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5 Probabilités et statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128i Détermination de l’effectif à prendre en compte pour le calcul des quartiles et de la

médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

F Les différents types de raisonnement 1351 Un peu de logique : vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

i Exemples d’axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352 Un peu de logique : calculs propositionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

i Les connecteurs logique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393 Un peu de logique : types de raisonnement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


i Condition nécessaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141ii Condition suffisante : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142iii Condition équivalente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142iv Démonstration par contraposée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142v Démonstration à l’aide d’un contre-exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142vi Démonstration par équivalence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143vii Démonstration par l’absurde : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143viii Démonstration par récurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143ix Démonstration par disjonction de cas : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

G Contrôles 1471 Lundi 2-10-2017

-1-Repères-2- Milieu d’un segment-3- Distance entre deux points-4- Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2 Lundi 20-11-2017-1-Théorème de Varignon-2- Logique et Pythagore-3- Fonction et algorithme-4- Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3 Mercredi 10-01-2018-1-Algorithme et fonctions-2- Pyramide à base carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4 Mercredi 28-03-2018-1- Le coup du 1-2- Système : méthode graphique-3- Système : machine à calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5 Mercredi 23-05-2018-1- Vecteur-2- Système : le boulanger-3- Probabilité : diagramme de Venn-4- Probabilité : Assurance des employés d’une société . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

H Devoirs 1631 Vendredi 6-10-2017

-1-Nature d’un triangle-2- Rectangle et triangle rectangle-3- Théorème de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2 Lundi 11-12-2017-1- Vers la représentation graphique-2- Vers le tableau de variations-3- Variation d’une fonction-4- Bénéfice optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3 Vendredi 9-02-2018-1- Statistiques : Le rapeur Jul-2- Statistiques : comparaison de deux séries-3- Géométrie dans l’espace-4- Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174


4 Mardi 3-04-2018-1-Statistiques : 47 p 23 sesamath-2- Équation-3- Système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

I Semaine des mathématiques 195

J Atelier de Culture et d’Écriture Mathématiques et Scientifiques : ACEMS 2011 Écriture scientifique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012 Concours général : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013 Semaine des mathématiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Vidéos culturelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

K Liste des images 205

L Liste des figures 209

M Index 213


Introduction

§ 1 Projet éducatif :

.1. i Extraits :Nos objectifs principaux sont les suivants :

α. Donner à chacun des élèves, ayant fait le choix de notre établissement, la formation qui lui permettrade construire son projet personnel et de poursuivre sans souci et avec efficacité ses études.

β. Placer l’élève au centre du système éducatif avec la volonté de le former, de l’éduquer et de l’ac-compagner pour l’aider à être acteur de son devenir et pour en faire un adulte citoyen, responsable,épanoui et autonome.

γ. Transmettre des valeurs de respect, d’écoute, d’ouverture, de plaisir du travail, de rigueur tout ensuscitant l’entraide, la confiance, le partage et la curiosité intellectuelle.

δ. Dans le respect des convictions de chacun, offrir une formation qui permette le développementspirituel et humain de chaque jeune pour donner du sens à sa vie.

Ces objectifs, nous l’espérons, contribueront à l’épanouissement de chaque élève dans le respect de sadifférence pour lui permettre de réussir sa vie et dans la vie.

.1. ii Conséquences :Voici l’esprit, et non la lettre, dans lequel le cours de mathématiques s’inscrit. L’exigence se trouve

dans la volonté de continuer des études supérieures avec efficacité et la bienveillance dans le placement del’élève au centre du système éducatif.La classe de seconde est une classe d’orientation. Aussi, toutes les solutions du système éducatif sont pos-sibles en fin de seconde, voies professionnelles, technologiques et générales.Le système post-bac est aujourd’hui complexe. Le nombre de choix est en croissance exponentielle, aussifaut-il bien se connaitre et bien connaitre cette offre post-bac. Cela permet de réaliser la difficile équationentre l’ambition et les capacités de chacun d’un côté, la réalité des études post-bac et du monde du travailde l’autre côté.Afin de ne pas se tromper sur ces choix délicats, une large prise d’informations doit être réalisée en amontet chacun doit montrer le meilleur de lui-même, afin qu’en aval, le meilleur choix possible soit réalisé.Si l’orientation est la finalité du lycée, le baccalauréat doit être le premier objectif à atteindre grâce à untravail régulier et à une participation active dans la vie des cours et de l’établissement. La volonté sansfaille de chacun est attendue pour permettre aux cours de répondre au mieux aux attentes légitimes dechacun.

Bon courage à tous.

7

§ 2 Conseils pour progresser :

.2. i Travail en classe :α. Il faut écouter attentivement tout ce qui est dit en cours par les élèves qui participent, par les

intervenants autorisés ou par le professeur.β. Pour participer, il suffit de lever la main et d’attendre que le professeur invite à s’exprimer. Les

explications sur un exercice peuvent être demandées pendant le cours ou au début du cours suivant.γ. Pour être complet, le classeur ou le cahier doit contenir les éléments (chiffres, lettres, symboles,

schémas) écrits au tableau et les éléments oraux dictés par le professeur.

.2. ii Travail à la maison :α. Pour chaque cours, il faut apprendre la partie cours, définitions, propositions, théorèmes, lemmes,

corolaires, règles, techniques du cours précédent, si elle existe.β. Il faut retravailler les exercices réalisés en cours pour pouvoir poser les questions au début du cours

suivant.γ. Il faut faire le travail indiqué sur le cahier de texte, papier ou numérique.

.2. iii Absence :En cas d’absence, l’élève doit se mettre à jour du travail manqué. Les devoirs pourront être refaits au

retour de l’élève.

.2. iv Gestion du matériel :α. Les machines à calculer scientifique, TI, Casio, HP ou autre, doivent avoir le mode « Examen »

intégré. Elles doivent permettre la programmation et la représentation graphique de fonctions. Unedocumentation papier ou dématérialisée est indispensable afin de découvrir les nouvelles fonctionsà utiliser, au cours de l’année scolaire.

Table 1 – Machine à calculer de Blaise Pascal réalisant les additions et les soustractions, construite entre1642 et 1644, nommé la Pascaline.

β. Pour chaque cours de mathématiques, le matériel nécessaire est le livre, une équerre, un compas,une règle graduée, un rapporteur et la machine à calculer.

γ. Pour un devoir ou un contrôle, il faut prévoir la liste de matériel précédente et au moins une copiedouble et des feuilles de brouillon. Comme lors d’une épreuve officielle, aucun échange de matérielou de paroles ne se fera durant un devoir ou un contrôle.


.2. v Évaluation ::::::Oral

::::

Au moins une fois dans l’année, chaque élève sera interrogé. Il sera invité au tableau pour présenterles solutions de l’exercice que la classe devait réaliser à la maison pour le jour. La qualité des explicationsfournies par oral, la pertinence de la solution présentée, l’autonomie pour exposer cette solution, la qua-lité des réponses aux questions posées par les élèves ou le professeur sont les critères retenus pour cetteévaluation orale. La note sera sur 20 points et sera de coefficient égal à 1.

::::::::::Épreuve

:::::::écrite

::::

— Contrôle : pour une période située entre deux contrôles, desexercices choisis parmi ceux réalisés sur le chapitre serontdemandés et notés. La note sera de coefficient 2.

— Devoir : deux fois par trimestre, un devoir portant sur l’en-semble des connaissances de mathématiques sera noté. Lanote sera de coefficient égal à 4.

— Ces évaluations écrites se feront soit sur temps de cours, soitdurant la séance de devoir commune au niveau de seconde.

::::::::Devoir

:::::::::maison

::::

— Algorithmie : À l’aide de notions mathématiques, des éva-luations se feront sur des algorithmes en langage naturelpuis sur leur traduction sur votre machine à calculer et surPython ou X-Cas. La note sera de coefficient égal à 1.

— Labomep : Des devoirs à la maison feront l’objet d’une éva-luation sommative afin de reconnaître le travail régulier desélèves. Les exercices proposés, sur les chapitres concernés,seront à réaliser sur le site « Labomep »(voir plus bas). Lanote sera de coefficient égal à 1.

Table 2 – Les Shadoks : déter-mination ou entêtement ?

::::::::::::Utilisation

::::de

:::::::::::labomep

:::

Sur le site http://www.labomep.net/identification/ , le choix du département (72) et de l’établis-sement doit être réalisé à la première connexion. Vous trouverez des séances de « soutien » aidant à lacompréhension des notions abordées du chapitre et des séances « d’approfondissement » complémentaireau travail réalisé en classe permettant d’anticiper les notions à venir. Ce site propose des exercices clas-siques, des exercices interactifs, des animations interactives, des rappels de cours, des sites de références.Lesexercices sont choisis par l’enseignant et sont les plus adaptés à sa classe ou aux différents groupes de laclasse. Les devoirs maisons seront réalisés sur ce site.

Mon identifiant : Mon mot de passe :


.2. vi Évaluation par compétences :L’évaluation se fera aussi à partir des six compétences officielles suivantes :La formation mathématique au lycée général et technologique vise deux objectifs :— L’acquisition de connaissances et de méthodes nécessaires à chaque élève pour construire son avenir

personnel, professionnel et citoyen, et préparer la poursuite d’études supérieures.— Le développement de compétences transversales (autonomie, prise d’initiative, adaptabilité, créati-

vité, rigueur…) et de compétences spécifiques aux mathématiques, explicitées ci-dessous.

¶ Chercher :— Analyser un problème.— Extraire, organiser et traiter l’information utile.— Observer, s’engager dans une démarche, expérimenter en utilisant éventuellement des outils lo-

giciels, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation,reformuler un problème, émettre une conjecture.

— Valider, corriger une démarche, ou en adopter une nouvelle.· Modéliser :

— Traduire en langage mathématique une situation réelle (à l’aide d’équations, de suites, de fonc-tions, de configurations géométriques, de graphes, de lois de probabilité, d’outils statistiques …).

— Utiliser, comprendre, élaborer une simulation numérique ou géométrique prenant appui sur lamodélisation et utilisant un logiciel.

— Valider ou invalider un modèle.¸ Représenter :

— Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…) adapté pour traiter un problème ou pourreprésenter un objet mathématique.

— Passer d’un mode de représentation à un autre.— Changer de registre.

¹ Calculer :— Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel).— Mettre en œuvre des algorithmes simples.— Exercer l’intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, choisir des

transformations, effectuer des simplifications.— Contrôler les calculs (au moyen d’ordres de grandeur, de considérations de signe ou d’encadre-

ment).º Raisonner :

— Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes, équivalences,connecteurs) pour bâtir un raisonnement.

— Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème démontré, théorèmeadmis…

— Utiliser différents types de raisonnement (par analyse et synthèse, par équivalence, par disjonctionde cas, par l’absurde, par contraposée, par récurrence…).

— Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, conduireune démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.

» Communiquer :— Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel.— Développer une argumentation mathématique correcte à l’écrit ou à l’oral.— Critiquer une démarche ou un résultat.— S’exprimer avec clarté et précision à l’oral et à l’écrit.

Référence : Éduscol


L’évaluation se fera à l’aide du tableau ci-dessous :

Chercher Modéliser Représenter Calculer Raisonner Communiquer¶ · ¸ ¹ ¶ · ¸ ¹ ¶ · ¸ ¹ ¶ · ¸ ¹ ¶ · ¸ ¹ ¶ · ¸ ¹

¶ : Insuffisant · : Fragile ¸ : Satisfaisant ¹ : Au delà des attentes

Ce tableau sera renseigné directement sur les devoirs évalués par compétences.

ÿBò“nfflþ ÿ`có˘u˚rà`gé


.2. vii Ce qu’il faut retenir du collège ::::::::::Algèbre

::::

Table 3 – Inconnues et équations

— Soient a un nombre rationnel et n un entier naturel : an =

avec n facteurs︷︸︸︷a×a×...×a , est une puissance du

nombre a et se lit a exposant n.— Pour tout nombre a, a0 = 1 .— Soient a un nombre rationnel non nul, n un entier naturel, a−n désigne l’inverse de an :

a−n = 1an

.

::::::::::::::Définition

::::::::::::AL.1 :

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique écriture de la formea × 10n dans laquelle est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffreétant non nul, et n un nombre entier relatif.


::::::::::::AL.2 :

Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s). Ceux-cisont désignés par des lettres. Une équation est formée de deux membres séparés par le signe =..


::::::::::::AL.3 :

Une inéquation compare deux nombres ou deux expressions à l’aide de l’un des symboles suivants :— Strictement inférieur <— Inférieur ou égal 6

— strictement supérieur >— supérieur ou égal >.

Résoudre une

équation d’inconnue un nombre x ou y ou une autre lettre, c’est trouver toutes les valeurs possiblesdu nombre x ou y ou de l’autre lettre, . .si elles existent, vérifiant l’égalité formée par l’équation dedépart.


::::::::::::AL.4 :

Un quotient de deux nombres rationnels ne change pas lorsque son numérateur et son dénominateursont multipliés ou divisés par un même nombre non nul.Soient a, b et k trois nombres rationnels avec b et k non nuls . . . . . .Alors, a

b= a×k

b×ket a

b= a÷k

b÷k.

::::::::::::::Proposition

::::::::::AL.1 :

BBBBBB


Soient a, b, c et d désignent quatre nombres rationnels avec b et d différents de zéro.

. .Siab= c

d . . . . . .Alors, ad = bc.

La réciproque est vraie.

. .Si ad = bc . . . . . .Alors, ab= c

d.


::::::::::AL.2 :

BBBBBBBBBBBBBB

— L’opposé d’un nombre rationnel a est un nombre rationnel b tel que la somme a+b soit nulle.L’opposé de a est le nombre rationnel b=-a.

— L’inverse d’un nombre rationnel a non nul est un nombre rationnel b tel que le produit a× bsoit nul. L’inverse du nombre non nul a est le nombre b= 1

a.

:::::::::::::::Définitions

::::::::::::AL.5 :

α. Soustraire un nombre rationnel revient à additionner son opposé.β. Diviser par un nombre rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.

::::::::::::::::::Remarques :

:::::::::::AL.1 :

Priorité sur les opérations : Dans une expression sans parenthèse, on effectue les calculsdans l’ordre suivant :

α. Les puissances dans l’ordre d’écriture.β. Les multiplications et les divisions dans l’ordre d’écriture.γ. Les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture.

Lorsque des parenthèses existent, les priorités sur les opérations restent les mêmes. Les calculs seréalisent en commençant par les opérations dans les parenthèses les plus petites.


::::::::::AL.3 :

BBBBBBBBBBBBBBBB

— Pour additionner (ou soustraire) deux nombres rationnels en écriture fractionnaire de mêmedénominateur : il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et conserver le dénominateurcommun.. .Si a, b et c désignent trois nombres rationnels avec a 6= 0 . . . . . .alors, a

c+ b

c=a+b

cet a

c- bc=a−b

c.

— Pour additionner (ou soustraire) deux nombres rationnels en écriture fractionnaire avec desdénominateurs différents, il faut d’abord réduire au même dénominateur puis utiliser la pro-position précédente.

— Soient a, b, c et d avec en plus b 6= 0, c 6= 0 et d 6= 0, le produit et le quotient de nombresrationnels en écriture fractionnaire, se définissent de la manière suivante a

c× b

c= a×b

c×det

ac÷ b

d= a÷b

c÷d= a×d

c×b.

:::::::::::::::Propositions

::::::::::AL.4 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


α. La dernière égalité peut aussi s’écrire ac÷ b

d=

acbd

= a×dc×b

.

β. Ou encoreacbd

= ac× d

b.

::::::::::::::::::Remarques :

:::::::::::AL.2 :

— La troncature d’un nombre consiste à couper la partie décimale avec la précision demandée.— L’arrondi d’un nombre positif se détermine en effectuant un encadrement du nombre exact

tronqué à la précision demandée. L’arrondi est, parmi les deux nombres encadrant la valeurexacte, le plus proche de la valeur exacte. . .Si le chiffre d’après la précision est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4. . . . . .alors, l’arrondi s’obtient en prenant la valeur inférieure de l’encadrement. . .Si le chiffre d’aprèsla précision est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9 . . . . . .alors, l’arrondi s’obtient en prenant la valeur supérieure del’encadrement.


::::::::::::AL.6 :

Soient les nombres entiers a et b, la division euclidienne de a par b est l’opération qui à ces deuxnombres, associe les deux nombres entiers q, appelé le quotient, et r, appelé le reste, tels que a =b× q + r et 0 <= r < q.


::::::::::::AL.7 :


::::::::::::Géométrie

::::

Table 4 – Une démonstration du théorème de Pythagore

α. Soient deux points A et B, la médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à ladroite (AB) et passant par le milieu du segment [AB].

β. Soit un triangle quelconque ABC, la médiane issue du sommet A est la droite passant par lepoint A et par le milieu du segment [BC].

γ. Soit un triangle quelconque ABC, la hauteur issue du sommet A est la droite passant par lepoint A et perpendiculaire à la droite (BC).

δ. Soit un angle ABC, la bissectrice de cet angle est la droite passant par le sommet de l’angle,ici le point B et séparant cet angle en deux angles adjacents et de même mesure.


::::::::::G.8 :

— La symétrie axiale d’axe la droite d associe à tout point M du plan, le point N tel la droite dsoit la médiatrice du segment [MN ]. La droite d est un axe de symétrie du segment [MN ].

— La symétrie centrale de centre O associe à tout point M du plan, le point N tel que le pointO soit le milieu du segment[MN ]. Le point O est le centre de symétrie du segment [MN ].


::::::::::G.9 :

— Un quadrilatère est un parallélogramme . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement. . .si ses côtés opposés sont parallèlesdeux à deux.

— Un quadrilatère est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses quatre angles sont droits.— Un quadrilatère est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . .seulement. . .si ses quatre côtés possèdent la même longueur.— Un quadrilatère est un carré . .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il est à la fois un rectangle et un losange.


::::::::::::G.10 :

Il existe d’autres quadrilatères convexes particuliers comme le trapèze ou le cerf volant.

α. Un quadrilatère est un parallélogramme . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .si ses côtés opposés sont deux à deuxde même longueur.

β. Un quadrilatère est un parallélogramme .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses angles opposés sont deux à deuxde même mesure.

γ. Un quadrilatère est un parallélogramme .si. . .et. . . . . . . . . . . .seulement . .si ses diagonales se coupent en leurmilieu.


:::::::::G.5 :

BBBBBBBBBBBB


(a) Parallélogramme (b) Rectangle

(c) Losange (d) Carré

Figure 1 – Des quadrilatères particuliers


α. Un parallélogramme est un rectangle .si. . .et. . . . . . . . . . .seulement. .si ses diagonales sont de même longueur.β. Un parallélogramme est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . . .s’ il est inscriptible dans un cercle de

diamètre une diagonale du parallélogramme.γ. Un parallélogramme est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède un centre de symétrie, le

point d’intersection de ses diagonales.δ. Un parallélogramme est un rectangle .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède comme axes de symétries les

médiatrices de deux côtés perpendiculaires.ε. Un parallélogramme est un rectangle . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .s’ il possède au moins un angle droit.


:::::::::G.6 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

α. Un parallélogramme est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses diagonales sont perpendiculaires.β. Un parallélogramme est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède ses diagonales comme axes de

symétries.γ. Un parallélogramme est un losange . .si. . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .s’ il possède au moins deux côtés de la

même longueur.


:::::::::G.7 :

BBBBBBBBBB

— La rotation de centre O et d’angle αassocie à tout point M du plan, le point N tel queOM = ON et MON = α.

— L’homothétie de centre O et de rapport k associe à tout point M du plan, le point N tel queles point O, M et N soit alignés et ON = k ×OM .


::::::::::::G.11 :

— Les symétries, axiales et centrales, et les rotations conservent les mesures de longueurs desegment.Attention : L’homothétie ne conserve pas les longueurs.

— Les symétries, axiales et centrales, les rotations et les homothéties conservent les mesuresd’angles.


:::::::::G.8 :

BBBBBBBBB

α. . .Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés . . . . . .alors, elle est parallèle autroisième côté du triangle.

β. . .Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés . . . . .alors, sa longueur est égale à lamoitié de la longueur du troisième côté de ce triangle.

γ. . .Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté. . . . . .alors, elle coupe le troisième côté en son milieu.

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Théorème de la droite des milieux

:::::::::G.1 :


Dans un triangle le carré de du plus grand côté est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .si le triangle est rectangle. Le plus grand côté s’appelle l’hypoténuse.

::::::::::::::::::::::::::::::Théorème de Pythagore

::::::::G.2 :

. .Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est différent de la sommedes carrés des longueurs des deux autres côtés . . . . .alors, le triangle n’est pas rectangle.


:::::::::G.9 :

BBB

Il s’agit de la contraposée de la réciproque (condition suffisante) du théorème de Pythagore.

Soient deux droites sécantes au point A et passant respectivement par les points B et C, le pointB1 ∈ (AB) et le point C1 ∈ (AC), les droites (BC) et (B1C1) sont parallèles .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si les pointsA, B1, B d’une part et A, C1, C d’autre part sont alignés dans le même ordre et AB1

AB= AC1

AC= B1C1

BC.

:::::::::::::::::::::::::Théorème de Thalès

:::::::::G.3 :

(a) Agrandissement (b) Réduction (c) Noeud papillon

Figure 2 – Théorème de Thalès

Dans les mêmes conditions que le théorème précédent, en considérant le coefficient de proportionnaliték égale aux rapports des longueurs du théorème de Thalès, soit k = AB1

AB= AC1

AC= B1C1

BC. Les propriétés

de la proportionnalité permettent d’affirmer que k = BB1

CC1.

:::::::::::Corolaire

::::::.1 :

BBBBBB

. .Si les longueurs d’une figure géométrique plane sont multipliées par un nombre positif k,pour unagrandissement ou une réduction, . . . . . .Alors, l’aire de cette figure est multipliée apr k2.. .Si les longueurs d’une figure géométrique de l’espace sont multipliées par un nombre positif k,pourun agrandissement ou une réduction, . . . . . .Alors, le volume de cette figure est multipliée apr k3.

:::::::::::Corolaire

:::::::::G.2 :

BBBBBBB

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, pour l’angle aigu de sommet B, le côté AB est lecôté adjacent , le côté AC est le côté opposé, trois nombres caractéristiques de cet angle sont définisde la manière suivantes :

α. cos(B) = cote adjacenthypotenuse

= ABBC

.De même pour l’angle C, cosC) = cote adjacent

hypotenuse= AC

BC.

β. sin(B) = coteopposehypotenuse

= ACBC

.


:::::::::::G.12 :


De même pour l’angle C, sin(C) = cote opposehypotnuse

= ABBC

.

γ. tan(B) = cote opposcote adjacent

= ACAB

.De même pour l’angle C, tan(C) = cote oppose

cote adjacent= AB

AC.

— L’aire d’un triangle est ÿAþ = b×h2. Avec comme base b la longueur d’un côté du triangle et h la

hauteur correspondante.— L’aire d’un parallélogramme est ÿAþ = b × h. Avec b un des côtés du parallélogramme et h la

hauteur correspondante.— L’aire d’un rectangle est ÿAþ = L× l. Avec L la longueur et l la largeur du rectangle.— L’aire d’un losange est ÿAþ = d×d1

2. Avec d et d1 les longueurs des segments diagonaux du

losange.— L’aire d’un carré est ÿAþ = c2. Avec c la longueur du côté du carré.— L’aire d’un cercle est ÿAþ = 2×π×r. Avec r la longueur du rayon du cercle.


::::::::::G.10 :


— Le volume d’un prisme droit est ÿVþ = Aire de base× h.— Le volume d’un cylindre de révolution est ÿVþ = 2×π×r × h. Avec r le rayon du cercle de base

du cylindre et h la hauteur du cylindre.— Le volume d’une pyramide est ÿVþ = Aire de base×h

3. Avec comme aire de base l’aire d’une face de

la pyramide et h la hauteur correspondante.— Le volume d’une cône de révolution est ÿVþ = Aire de base×h

3. Avec comme aire de base l’aire du

cercle de base et h la hauteur correspondante, soit ÿVþ = π×r2×h3

.— Le volume d’une boule est ÿVþ = 4×π×r3

3. Avec r le rayon de la boule.


::::::::::G.11 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB


:::::::::Analyse

::::

Table 5 – Le chemin le plus court...Analyse

— Une fonction est un outil mathématiques qui à un nombre x associe un autre nombre f(x).Une fonction peut se nommer f . À un nombre x la fonction f associe le nombre f(x), ce quise note : f : x 7→ f(x). Une fonction est définie par son ensemble de départ ÿDþ et un ensembled’arrivée ÿAþ . À chaque élément de l’ensemble de départ est associé au plus un élément del’ensemble d’arrivée.

— Avec la notation précédente, x s’appelle un antécédent de f(x).— De même lorsque f(x) existe, f(x) se nomme l’image de x par la fonction f .— La courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points M dont les coordonnées sont

de la forme (x; f(x)).


:::::::::::::An.13 :

Soit a un nombre donné, une fonction linéaire est une fonction numérique définie d’un ensemble denombre ÿDþ dans un ensemble de nombre ÿAþ et qui à tout nombre de l’ensemble ÿDþ associe un nombrede l’ensemble ÿDþ noté f(x) et tel que f(x) = ax.Cette fonction se note :

f : ÿDþ→ ÿAþx 7→ f(x)


:::::::::::::An.14 :

— Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité. Le nombre a est le coefficientdirecteur de la fonction linéaire . .et le coefficient de proportionnalité de cette situation.

— La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine durepère et de coefficient directeur le nombre a.

— Soient f une fonction linéaire de coefficient le nombre a, k ,x , x1 et x2 quatre nombresquelconques. Une fonction linéaire vérifie les deux équations suivantes :

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)et. f(k × x) = k × f(x)


::::::::::::An.12 :

BBBBBBBBBBBBBBB

Soient a et b deux nombres donnés, une fonction affine est une fonction numérique définie d’unensemble de nombre ÿDþ dans un ensemble de nombre ÿAþ et qui à tout nombre de l’ensemble ÿDþ associeun nombre de l’ensemble ÿDþ noté f(x) et tel que f(x) = ax+ b.Cette fonction se note :

f : ÿDþ→ ÿAþx 7→ f(x)


:::::::::::::An.15 :


— Soient a et b deux nombres quelconques, f est la fonction affine telle que f(x) = ax+ b. Pourdeux nombres distincts x1 et x2 , la proportionnalité des accroissements permet d’obtenir :f(x2)−f(x1) = a× (x2−x1) ou encore a = f(x2)−f(x1)

x2−x1.

— Soient a et b deux nombres quelconques, f est la fonction affine telle que f(x) = ax + b.La représentation graphique d’une fonction affine f est une droite (d ) qui coupe l’axe desordonnées au point de coordonnées (0; b) . Le nombre b se nomme ordonnée à l’origine de ladroite (d ) . Le nombre a se nomme le coefficient directeur de la droite (d ) .

— Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines avec b = 0.La réciproque est fausse !!!


::::::::::::An.13 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Soit a un nombre positif la racine carrée du nombre a est le nombre positif qui élevé au carrédonne le nombre a. La racine carrée est une fonction f de l’ensemble des nombres positifs versl’ensemble des nombres positifs qui à tout nombre positif x associe le nombre positif f(x) =

√x.


:::::::::.16 :

Table 6 – Une belle racine carrée


::::::::::::::Statistiques

:::et

:::::::::::::::probabilités

:::

Table 7 – Loi binomiale

— L’étendue d’une série statistique est un nombre qui précise la dispersion des données. C’est ladifférence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de la série statistique.

— La médiane d’une série de données est un nombre qui partage cette série en deux séries desensiblement le même effectif. La médiane permet de préciser la position des autres donnéesde la série. Le calcul de la médiane, pour une série statistique possédant N valeurs, se réalisede la manière suivante :. .Si N est un nombre impair, N = 2p+1 . . . . . .alors, la médiane est la pieme donnée de la série rangéepar ordre croissant. . .Si N est un nombre pair, N = 2 p . . . . .alors, la médiane est la demi somme dela pieme et de la (p+ 1)ieme données de la série rangée par ordre croissant.

— Les quartiles sont les données de la série qui la partagent en quatre parties sensiblement demême effectif. Le premier quartile s’appelle Q1 et le troisième quartile s’appelle Q3 . Bien sur,le deuxième quartile Q2 est confondu avec la médiane.


:::::::::::::SP.17 :

— Chacun des résultats possibles d’une expérience est une issue de cette expérience.— Un évènement est une condition qui peut être, ou ne pas être réalisé lors de l’expérience. Un

évènement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience.— Un évènement réalisé par une seule issue est un évènement élémentaire.— Une expérience est dite aléatoire lorsque chacune des issue ne dépend pas des issues des expé-

riences précédentes.— Lorsque l’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de

réalisation d’un évènement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité.— Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, il s’agit d’une

situation d’équiprobabilité.


:::::::::::::SP.18 :

— Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.— Un évènement dont la probabilité est nulle est un évènement impossible.— Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.— Dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités des évènements élémentaires est égale

à la probabilité de l’évènement certain soit 1.— Soit n le nombre d’issues d’une expérience aléatoire. Dans une situation d’équiprobabilité, la

probabilité d’un évènement élémentaire est égale à 1n.


:::::::::::SP.14 :

BBBBBBBBBBBBBB


Chiffres de ce qu’il faut retenir pour le collège

Le nombre total de définitions est de : 18.Le nombre total d’axiomes est de : 0.Le nombre total de propositions est de : 14.Le nombre total de lemmes est de : 0.Le nombre total de théorèmes est de : 3.Le nombre total de corolaires est de : 2.Le nombre total de démonstrations est de : 0.Le nombre total de exemples est de : 0.Le nombre total de remarques est de : 2.


§ 3 Progression :

Semaine S N° Notion étudiée.Lundi 04/09 36 1 1 - Repérage dans le plan.Lundi 11/09 37 2 Triangles, quadrilatères, cercles.Lundi 18/09 38 3 Ensembles de nombres.Lundi 27/09 39 4 2 - Étude qualitative des fonctions.Lundi 02/10 40 5 Variations des fonctions.Lundi 09/10 41 6 3 - Solides usuels.Lundi 16/10 42 7

S 21 au D05/10 43-44 Vacances de Toussaint.Lundi 06/11 45 8Lundi 13/10 46 9 4 - Initiations au calcul algébrique.Lundi 20/10 47 10 Équation réduites de droites. Résolution de systèmes.Lundi 27/10 48 11Lundi 04/12 49 12Lundi 11/12 50 13 5 - StatistiquesLundi 18/12 51 14

S23 au D07/12 52-1 Vacances de Noël.Lundi 08/1 2 15 6 - Fonctions de références.Lundi 15/1 3 16 Affines et linéairesLundi 22/1 4 17Lundi 29/1 5 18 7 - Vecteurs.Lundi 05/2 6 19Lundi 12/2 7 20Lundi 19/2 8 21 8 - Probabilités.

S 24/2 au 11/3 9-10 Vacances d’hiver.Lundi 12/3 11 22 8 - Probabilités.Lundi 19/3 12 23 Échantillonnage.Lundi 26/3 13 24Lundi 02/4 14 25 9 - Fonctions de références.Lundi 09/4 15 26 Racine carrée et inverse.Lundi 16/4 16 27 Cercle trigonométrique et tangente.

S 21/4 au D6/5 17-18 Vacances de Pâques.Lundi 07/5 19 28

Lundi 14/5 20 29 10 - Géométrie dans l’espace. Positions relatives dans l’espaceet parallélisme.

Lundi 22/5 21 30Lundi 28/5 22 31 11 - Fonctions du second degré.Lundi 04/6 23 32Mardi 12/6 Sortie des secondes au Mont Saint Michel.


Chapitre A

Algèbre

25

§ A 1 Calculs algébriques

A.1. i::::::::::::Calculs

:::::::::::::::::::::algébriques

:::-

:::::::Les

::::::::::bases

Priorité sur les opérations : Dans une expression sans parenthèse, on effectue les calculsdans l’ordre suivant :

α. Les puissances dans l’ordre d’écriture.β. Les multiplications et les divisions dans l’ordre d’écriture.γ. Les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture.

Lorsque des parenthèses existent, les priorités sur les opérations restent les mêmes. Les calculs seréalisent en commençant par les opérations dans les parenthèses se fermant en premier.


:::::::::A.1 :

BBBBBBBBBBBBBBBB

— L’opposé d’un nombre réel a est un nombre réel b tel que la somme a+b soit nulle. L’opposéde a est le nombre réel b=-a.

— L’inverse d’un nombre réel a non nul est un nombre réel b tel que le produit a× b soit égale àl’entier naturel 1. L’inverse du nombre non nul a est le nombre b= 1

a.


::::::::::A.1 :

α. Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.β. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.


:::::::::A.2 :

BBBBB

— Pour additionner (ou soustraire) deux nombres rationnels en écriture fractionnaire de mêmedénominateur : il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et conserver le dénominateurcommun.. .Si a, b et c désignent trois nombres entiers relatifs avec c 6= 0 . . . . . .alors, a

c+ b

c=a+b

cet a

c- bc=a−b

c.

— Pour additionner (ou soustraire) deux nombres rationnels en écriture fractionnaire avec desdénominateurs différents, il faut d’abord réduire au même dénominateur puis utiliser la pro-position précédente.

— Soient a, b, c et d avec en plus b 6= 0, c 6= 0 et d 6= 0, le produit et le quotient de nombresrationnels en écriture fractionnaire, se définissent de la manière suivante a

c× b

d= a×b

c×det

ac÷ b

d= a÷b

c÷d= a×d

c×b.


:::::::::A.3 :


α. La dernière égalité peut aussi s’écrire ac÷ b

d=

acbd

= a×dc×b

.

β. Ou encoreacbd

= ac× d

b.

γ. Penser à simplifier un produit de fractions avant de réaliser les produits.

::::::::::::::::::Remarques :

:::::::::A.1 :


Un quotient de deux nombres rationnels ne change pas lorsque son numérateur et son dénominateursont multipliés ou divisés par un même nombre non nul.Soient a, b et k trois nombres rationnels avec b et k non nuls . . . . . .Alors, a

b= a×k

b×ket a

b= a÷k

b÷k.


:::::::::A.4 :

BBBBBB

Soient a, b, c et d désignent quatre nombres rationnels avec b et d différents de zéro.

. .Siab= c

d . . . . . .Alors, ad = bc.

La réciproque est vraie.

. .Si ad = bc . . . . . .Alors, ab= c

d.


:::::::::A.5 :

::::::::::Produit

::::en

:::::::croix

BBBBBBBBBBBBBB

Soient les nombres réels a, b, c, d et k,α. La factorisation est l’opération suivante : ka+ kb = k(a+ b).β. Le développement est l’opération suivante : k(a+ b) = ka+ kb.γ. Le double développement est l’opération suivante : (a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd.


:::::::::A.6 :

BBBBBBBBBB

A.1. ii::::::::::::Calculs

:::::::::::::::::::::algébriques

:::-

::::::::::::::::Identités

::::::::::::::::::::::::remarquables

Soient les nombres réels a et bDéveloppement Factorisation

Carré d’une somme (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2

Carré d’une différence (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2

Différence de deux carrés (a+ b)(a− b) = a2 − b2 a2 − b2 = (a− b)(a+ b)


:::::::::A.7 :

BBBBBBBBBBB


A.1. iii::::::::::::Calculs

::::::::::::::::::::algébriques

:::-

:::::::::::::::::::Équations,

:::::::::::::::::::::inéquations

::::et

:::::::::::::::::::puissances

Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s). Ceux-cisont désignés par des lettres. Une équation est formée de deux membres séparés par le signe =.


::::::::::A.1 :

Une inéquation compare deux nombres ou deux expressions à l’aide de l’un des symboles suivants :— Strictement inférieur <— Inférieur ou égal 6

— strictement supérieur >— supérieur ou égal >

Résoudre une inéquation d’inconnue un nombre x ou y ou une autre lettre, c’est trouver toutes lesvaleurs possibles du nombre x ou y ou de l’autre lettre, .si elles existent, vérifiant l’inégalité forméepar l’inéquation de départ.


::::::::::A.2 :

α. Additionner les deux membres d’une équation par le même nombre ne change pas la valeur del’équation.

β. Multiplier les deux membres d’une équation par le même nombre non nul ne change pas lavaleur de l’équation.

γ. Dans une somme, pour neutraliser un terme, il faut additionner l’équation par l’opposé dece terme.

δ. Dans un produit, pour neutraliser un terme non nul, il faut multiplier l’équation parl’inverse de ce terme.


:::::::::A.8 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

. .Si un produit de facteurs est nul . . . . .alors,. l’un, au moins des facteurs est nul.::::::::::::::Proposition

:::::::::A.9 :

::::::::::::Équation

::::::::::produit

:::::nul

BB

α. Additionner les deux membres d’une inéquation par le même nombre ne change pas la valeurde l’inéquation.

β. Multiplier les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement positifne change pas la valeur de l’inéquation.

γ. Multiplier les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement négatifchange le sens de l’inéquation.

δ. Dans une inéquation, la neutralisation d’un terme se réalise comme pour une équation, enrespectant les propriétés précédentes de l’inéquation.


::::::::::A.10 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB


— Soient a un nombre réel et n un entier naturel : an =

avec n facteurs︷︸︸︷a×a×...×a , est une puissance du nombre

a et se lit a exposant n.— Pour tout nombre a, a0 = 1 .— Soient a un nombre rationnel non nul, n un entier naturel, a−n désigne l’inverse de an :

a−n = 1an

.


::::A

::::::.3 :

Soient (a; b) ∈ R2 avec b 6= 0 et (n; p) ∈ N2.

α. an × ap = an+p

β. (an)p = an×p

γ. (a× b)n = an × bn

δ. b−n = 1bn

ε.(

ab

)n

= an

bn

ζ. bn

bp= bn−p


::::::::::A.11 :


L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique écriture de la formea× 10n dans laquelle a est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffreétant non nul, et n un nombre entier relatif.


::::A

::::::.4 :

— La troncature d’un nombre consiste à couper la partie décimale avec la précision demandée.— L’arrondi d’un nombre positif se détermine en effectuant un encadrement du nombre exact

tronqué à la précision demandée. L’arrondi est, parmi les deux nombres encadrant la valeurexacte, le plus proche de la valeur exacte. . .Si le chiffre d’après la précision est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4. . . . . .alors, l’arrondi s’obtient en prenant la valeur inférieure de l’encadrement. . .Si le chiffre d’aprèsla précision est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9 . . . . . .alors, l’arrondi s’obtient en prenant la valeur supérieure del’encadrement.


::::::::::A.5 :

La fonction définie de R+ dans R+ qui a tous les réels positifs x associe le réel positif a dont le carrévaut x est la fonction racine carrée et se note a =

√x.


::::::::::A.6 :

Soient a et b deux nombres réels positifs.α.√a2 = a

β. De plus pour a > 0 et b > 0,√ab =

√a√b

γ. De plus pour a > 0 et b > 0,√

ab=

√a√b


::::::::::A.12 :

BBBBBBBBBBB


δ. De plus pour a > 0 et b > 0,√a2b = a

√b


§ A 2 Équations réduites de droites

A.2. i:::::::::::::::::Équations

:::::::::::::::réduites

:::::de

:::::::::::::droites

Toutes les droites d du plan P admettent une équation réduite d’une des deux formes suivantes :α. Lorsque la droite d est parallèle à l’axe des ordonnées, l’équation réduite est du type x = c ,

avec c ∈ R. Il ne s’agit pas de la représentation graphique d’une fonction.β. Lorsque la droite est sécante à l’axe des ordonnées, l’équation réduite est du type y = mx+ p

avec (m; p) ∈ R2 . Il s’agit de la représentation graphique d’une fonction affine.


::::::::::A.13 :

BBBBBBBBBBBB

α. L’ensemble des points M(x; y) du plan P, tels que x = c est une droite parallèle à l’axe desordonnées.

β. L’ensemble des points M(x; y) du plan P, tels que y = mx + p est une droite sécante à l’axedes ordonnées. Dans ce cas, la droite d est la représentation graphique de la fonction affinef(x) = mx+ p.


::::::::::A.14 :

BBBBBBBBBBB

α. Lorsque p = 0, il s’agit de la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = mx.β. Lorsque m = 0, il s’agit de la représentation graphique d’une fonction constante h(x) = p. Il

s’agit de la représentation graphique d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

:::::::::::::::::Remarques

::::::::::A.2 :

::::::Cas

::::::::::::::::particulier

Soit d une droite sécante à l’axe des ordonnées dans un planP, son équation est de la forme y = mx+p.Le nombre réel p est l’ordonnée à l’origine et le nombre réel m est le coefficient directeur de cettedroite d. De plus,. .Si deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points de la droite d . . . . . .alors, xA 6= xB . .et

m =yB − yAxB − xA

=yA − yBxA − xB


::::::::::A.15 :

BBBBBBBBBBBBBB

Trois points, A, B et C du plan P sont alignées .si. . . . .et . . . . . . . . . . . . .seulement . .si les droites (AB) et (AC) sontparallèles à l’axe des ordonnées ou possèdent le même coefficient directeur.


::::::::::A.16 :

BBBB

Soient d et d′ deux droites d’équations réduites respectives y = mx + p et y = m′x + p′ , les deuxdroites sont sécantes . .si . . . .et . . . . . . . . . . . . .seulement . . .si m 6= m′.


::::::::::A.17 :

BBBB


A.2. ii::::::::::::::::::Résolution

:::::::des

:::::::::::::::::systèmes

:::::::::::::::::::::d’équations

Soient les réels a, b, c, d, e et f , le système d’équation du premier degré à deux inconnues x et y

est (I)

ax+ by = c (1)

dx+ ey = f (2)La méthode de substitution consiste à exprimer une des deux inconnues

dans une des deux équations et de la substituer dans l’autre. Par exemple, pour a 6= 0, la premièreéquation (1) est équivalente à x = 1

a(c − by). Cette expression de x en fonction de y est substituée

dans la deuxième équation (2), ce qui permet d’obtenir une équation du premier degré à une inconnuey que l’on sait résoudre.Lorsqu’elle existe, la solution de ce système (I) est :

x =ce− bf

ae− bd

y =af − cd

ae− bd


::::::::::A.18 :

::::::::::::Méthode

:::de

::::::::::::::::substitution

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Soient les réels a, b, c, d, e et f , le système d’équation du premier degré à deux inconnues x et y est

(I)

ax+ by = c (1)

dx+ ey = f (2)La méthode de combinaison linéaire consiste à combiner les deux inconnues

afin de supprimer une des deux inconnues. Par exemple, pour la combinaison a(2) − d(1)permet desupprimer l’inconnue x et d’obtenir y(ae− bd) = af − cd.Lorsqu’elle existe, la solution de ce système (I) est :

x =ce− bf

ae− bd

y =af − cd

ae− bd


::::::::::A.19 :

::::::::::::Méthode

:::de

:::::::::::::::::combinaison

:::::::::linéaire

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


Soient les réels a, b, c, d, e et f , le système d’équation du premier degré à deux inconnues x et y

est (I)

ax+ by = c (1)

dx+ ey = f (2)La méthode graphique permet d’obtenir une analyse complète du système

(I). En effet les deux équations (1) et (2) peuvent être représenter dans le plan P par une droiteparallèle ou sécante à l’axe des ordonnées. Donc trois cas sont possibles :

α. Les deux droites sont strictement parallèles. dans ce cas le système (I) n’admet aucune solution.β. Les deux droites sont confondues. Dans ce cas le système (I) admet une infinité de solutions,

toutes les valeurs des couples (x; y) coordonnées des points de la droite commune d’équation(1) ou (2).

γ. Les deux droites sont sécantes en un point M(x; y). Dans ce cas, le système (I) n’admet qu’unesolution unique :

x =ce− bf

ae− bd

y =af − cd

ae− bd


::::::::::A.20 :

::::::::::::Méthode

:::::::::::::graphique

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


Soient les réels a, b, c, d, e et f , avec (a; b) 6= (0; 0) et (d; e) 6= (0; 0) le système d’équations du premier

degré à deux inconnues x et y est (I)

ax+ by = c (1)

dx+ ey = f (2)

α. La méthode graphique permet d’obtenir une analyse complète du système (I). En effet lesdeux équations (1) et (2) peuvent être représentées dans le plan P par une droite parallèle ousécante à l’axe des ordonnées. Donc trois cas sont possibles :(1) Les deux droites sont strictement parallèles. Dans ce cas le système (I) n’admet aucune

solution. ÿDà‹n¯sþ ÿ˜l„èffxé›m¯p˜léþ ÿ`cˇiffl-`dèsfi¯sfiò˘u¯s ÿ`céþ ÿ¯sfiò“n˚tþ ÿ˜lésþ ÿ`d˚rò˘i˚tésþ ÿ˜b˝léˇuès.þ(2) Les deux droites sont confondues. Dans ce cas le système (I) admet une infinité de solutions,

toutes les valeurs des couples (x; y) coordonnées des points de la droite commune d’équation(1) ou (2). ÿDà‹n¯sþ ÿ˜l„èffxé›m¯p˜léþ ÿ`cˇiffl-`dèsfi¯sfiò˘u¯s ÿ`céþ ÿ¯sfiò“n˚tþ ÿ˜lésþ ÿ`d˚rò˘i˚tésþ ÿ˚rò˘u`gés.þ

(3) Les deux droites sont sécantes en un point M(x; y). Le système (I) admet une uniquesolution, le couple (x; y). ÿDà‹n¯sþ ÿ˜l„èffxé›m¯p˜léþ ÿ`cˇiffl-`dèsfi¯sfiò˘u¯s ÿ`céþ ÿ¯sfiò“n˚tþ ÿ˜lésþ ÿ`d˚rò˘i˚tésþ ÿ‹vêˇr˚tés.þ

β. La méthode de substitution consiste à exprimer une des deux inconnues dans une des deuxéquations et de la substituer dans l’autre. Par exemple, pour a 6= 0, la première équation (1)est équivalente à x = 1

a(c− by). Cette expression de x en fonction de y est substituée dans la

deuxième équation (2), ce qui permet d’obtenir une équation du premier degré à une inconnuey que l’on sait résoudre.

γ. La méthode de combinaison linéaire consiste à combiner les deux inconnues afin desupprimer une des deux inconnues. Par exemple, pour la combinaison a(2) − d(1)permet desupprimer l’inconnue x et d’obtenir y(ae− bd) = af − cd.

Dans le cas ou le système (I) admet une solution unique, cette solution est la suivante :x =

ce− bf

ae− bd

y =af − cd

ae− bd


::::::::::A.21 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

(I1)

y = −2x+ 1 (1)

y = −2x+ 4 (2)ou

(I2)

x = −2 (1)x = 5 (2)

(I5)

y = 3x− 1 (1)

y = −x− 1 (2)ou

(I6)

x = −1 (1)y = −2 (2)

(I4)

x = 7 (1)

2x = 14 (2)

(I3)

y = 2x+ 2 (1)

−2x+ y = 2 (2)

Dans le cas des droites sécantes la formule

x =

ce− bf

ae− bd

y =af − cd

ae− bd

permet de trouver les coordonnées de

l’unique point d’intersection, solution du système.Système (I5), a = −3, b = 1, c = −1, d = 1, e = 1 et f = −1 donne x = 0 et y = −1.Système (I6), a = 1, b = 0, c = −1, d = 0, e = 1 et f = −2 donne x = −1 et y = −2.

:::::::::::::::Exemples

:::::::::A.1 :


Voici les figures au cas par cas.

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

0

(I1)

y = −2x+ 1 (1)

y = −2x+ 4 (2)ou

(I2)

x = −2 (1)x = 5 (2)

(a) Droites strictement parallèles

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

0

(I4)

x = 7 (1)

2x = 14 (2)

(I3)

y = 2x+ 2 (1)

−2x+ y = 2 (2)

(b) Droites parallèles et confondues

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

0

(I5)

y = 3x− 1 (1)

y = −x− 1 (2)ou

(I6)

x = −1 (1)y = −2 (2)

(c) Droites sécantes

Figure A.1 – Résolution d’un système : méthode graphique

:::::::::::::::Exemples

:::::::::A.2 :


§ A 3 Séquences

Développement et factorisationCours jusqu’aux identités remarquables, avec les démonstrations.

Exercice A.1 : Identités remarquables et texte à trous 23 p 76

Exercice A.2 : Équations produit nul 25 et 28 p 76

Exercice A.3 : Développement et factorisation 30 p 76

Exercice A.4 : Développement et factorisation 31 p 76

Exercice A.5 : Erreurs dans une copie 33 p 76

Exercice A.6 : Factorisation 39 p 77

Exercice A.7 : Factorisation 40 p 77

Exercice A.8 : Factorisation et identité remarquable 41 p 77

Exercice A.9 : Factorisation et identité remarquable 42 p 77

Exercice A.10 : Le coup du 1 - 44 p 77

Exercice A.11 : Le coup du -1 - 45 p 77

Équations et inéquations

Exercice A.12 : Équation et forme adaptée d’un polynôme du second degré 48 p 77

Exercice A.13 : Inéquation et bénéfice 63 p 79

Équations réduites de droites

Exercice A.14 : Fonctions affine et inéquations 53 p 78




Système d’équations du premier degré

Exercice A.18 : Oral Vérifications d’une solution 64 p 79

Exercice A.19 : Oral Vérifications d’une solution 65 p 79

Exercice A.20 : Oral Exprimer mentalement y en fonction de x 66 p 79

Exercice A.21 : Oral Résoudre mentalement 68 p 79

Exercice A.22 : Oral Pas de solution 69 p 79

Exercice A.23 : Lecture graphique puis calcul d’une solution 70 p 79

Exercice A.24 : Avec la machine à calculer 75 p 79

Exercice A.25 : Méthode de substitution 78 p 80

Exercice A.26 : Méthode de combinaison 82 p 80

Exercice A.27 : Méthode graphique 84 à 85 p 80


Chiffres du chapitre

Le nombre total de définitions est de : 6.Le nombre total d’axiomes est de : 0.Le nombre total de propositions est de : 21.Le nombre total de lemmes est de : 0.Le nombre total de théorèmes est de : 0.Le nombre total de corolaires est de : 0.Le nombre total de démonstrations est de : 0.

Le nombre total de exemples est de : 2.Le nombre total de remarques est de : 2.

Le nombre total d’activités préparatoires est de : 0.Le nombre total d’exercices est de : 27.Le nombre total d’exercices d’approfondissement est de : 0.

Le nombre de séquences est de : 4.


Chapitre B

Géométrie

§ B 1 Géométrie analytique :

B.1. i:::::::::::::::Repérage

::::::::::dans

::::le

:::::::::plan

:::::

α. Sur une droite d , le couple (O ;I) est un repère d’origine O et d’unité la longueur du segment[OI]. Tous les points M appartenant à la droite d possèdent une abscisse notée x , telle queOM = x×OI.

β. Dans un plan ÿPþ, le triplet (O; I; J) est un repère d’origine O et d’unité la longueur OI sur l’axedes abscisses et OJ sur l’axe des ordonnées. Chaque point du plan ÿPþ possède deux coordonnées :son abscisse x obtenue en projetant le point M sur la droite (OI) et parallèlement à la droite(OJ) et son ordonnée y obtenue en projetant le point M sur la droite (OJ) et parallèlement àla droite (OI). Les coordonnées des points du repère sont : O(0 ;0) I(1 ;0) et J(0 ;1).

γ. Dans le plan ÿPþ, lorsque le triangle OIJ est quelconque, le repère est quelconque.

δ. Dans le plan ÿPþ, lorsque le triangle OIJ est rectangle en O, le repère est orthogonal.

ε. Dans le plan ÿPþ, lorsque le triangle OIJ est isocèle en O, le repère est normé.

ζ. Dans le plan ÿPþ, lorsque le triangle OIJ est isocèle et rectangle en O, le repère est orthonormé.


::::::::::B.1 :

Figure B.1 – Différents types de repère d’un plan

39

α. Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan ÿPþ muni d’un repère quelconque (O ;I ;J),le point K milieu du segment [AB] possède comme coordonnées : K(xA+xB

2; yA+yB

2).

β. Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O ;I ;J),la longueur du segment AB se calcule de la manière suivante :

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2.


:::::::::B.1 :

BBBBBBBBBBBB

B.1. ii::::::::::::Cerlces

:::::et

::::::::::::::::triangles

:::::

α. Dans un plan ÿPþ, un cercle ÿCþ de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M du planÿPþ situés exactement à la distance R du point O.

β. Soient ÿCþ un cercle de centre le point O et A un point de ce cercle ÿCþ. La tangente au cercle ÿCþen A est la droite perpendiculaire à la droite (OA) et passant par le point A.


::::::::::B.2 :

α. Un triangle est rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il s’agit d’un triangle possédant un angle droit.β. Un triangle est isocèle . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. .s’ il s’agit d’un triangle possédant exactement deux côtés

de même mesure.γ. Un triangle est équilatéral .si. . .et. . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il s’agit d’un triangle possédant trois côtés de

même mesure.


::::::::::B.3 :

α. Un triangle ABC est rectangle en A . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si BC2 = AB2 + AC2

β. Un triangle rectangle est inscriptible dans un cercle de diamètre son hypoténuse.


:::::::::B.2 :

BBBB

α. Un triangle ABC isocèle en A possède, à la base, deux angles de même mesure : ABC = ACB.β. Un triangle ABC isocèle en A possède un axe de symétrie, la médiatrice du segment [BC].γ. Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice du segment [AB] est confondue avec la

hauteur issue du point A, la médiane issue de A et la bissectrice de l’angle BAC.


:::::::::B.3 :

BBBBBBBBB

α. Dans un triangle équilatéral, chacun des trois angles mesure 60°.β. Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les trois médiatrices des côtés du

triangle.γ. Dans un triangle équilatéral, la médiatrice d’un segment est confondue avec la hauteur, la

médiane et la bissectrice issue du point opposé à ce segment.


:::::::::B.4 :

BBBBBBBBBB


B.1. iii:::::::::::::::::::::::Quadrilatères

:::::::::::::::::convexes

:::::

— Un quadrilatère est un parallélogramme . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement. . .si ses côtés opposés sont parallèlesdeux à deux.

— Un quadrilatère est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses quatre angles sont droits.— Un quadrilatère est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . .seulement. . .si ses quatre côtés possèdent la même longueur.— Un quadrilatère est un carré . .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il est à la fois un rectangle et un losange.


::::::::::B.4 :

(a) Parallélogramme (b) Rectangle

(c) Losange (d) Carré

Figure B.2 – Des quadrilatères particuliers

Il existe d’autres quadrilatères convexes paticuliers comme le trapèze ou le cerf volant.

α. Un quadrilatère est un parallélogramme . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .si ses côtés opposés sont deux à deuxde même longueur.

β. Un quadrilatère est un parallélogramme .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses angles opposés sont deux à deuxde même mesure.

γ. Un quadrilatère est un parallélogramme .si. . .et. . . . . . . . . . . .seulement . .si ses diagonales se coupent en leurmilieu.


::::::::B.5 :

BBBBBBBBBBBB


α. Un parallélogramme est un rectangle .si. . .et. . . . . . . . . . .seulement. .si ses diagonales sont de même longueur.β. Un parallélogramme est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . . .s’ il est inscriptible dans un cercle de

diamètre une diagonale du parallélogramme.γ. Un parallélogramme est un rectangle . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède un centre de symétrie, le

point d’intersection de ses diagonales.δ. Un parallélogramme est un rectangle .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède comme axes de symétries les

médiatrices de deux côtés perpendiculaires.ε. Un parallélogramme est un rectangle . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. . .s’ il possède au moins un angle droit.


:::::::::B.6 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

α. Un parallélogramme est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si ses diagonales sont perpendiculaires.β. Un parallélogramme est un losange . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède ses diagonales comme axes de

symétries.γ. Un parallélogramme est un losange . .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il possède au moins deux côtés consécutifs

de la même longueur.


::::::::B.7 :

BBBBBBBBBB


§ B 2 Géométrie plane : Vecteurs

B.2. i:::::::::::::::Vecteurs

::-::::::::::::::::::::définitions

Soit deux points distincts A et B du plan ÿPþ, la translation qui transforme A en B associe à tousles points C du plan, le point D tel que les segments [AD] et [BC] possèdent le même milieu. D estl’image ou le translaté de C par la translation de vecteur

−→AB.


::::::::::B.5 :

D est le translaté de C par la translation de vecteur−→AB . .si . . . .et. . . . . . . . . . . . .seulement . . .si ABDC est un parallé-

logramme (éventuellement aplati).


::::::::B.8 :

BBBBB

Tous les couples de points quelconques (M ;N) tels que le translaté de M par la translation de vecteur−−→CD soit le point N, définissent le même vecteur

−−→CD =

−−→MN .


::::::::::B.6 :

Deux vecteurs sont égaux . .si . . . .et. . . . . . . . . . . . . .seulement . . .si ils ont une direction parallèle, le même sens et lamême longueur (norme).


::::::::B.9 :

BBBB

α. Le vecteur nul est le vecteur qui déplace un point A quelconque du plan ÿPþ sur lui-même.−→0 =

−→AA .

β. Le vecteur opposé au vecteur−→AB est le vecteur

−→BA qui possède une direction parallèle, la

même longueur et un sens opposé.


::::::::::B.7 :

α. La somme de deux vecteurs −→u et −→v est un vecteur −→w associé à la translation formée parl’enchainement des deux translations de vecteurs −→u et −→v .De plus, −→w = −→u +−→v .

β. La différence de deux vecteurs −→u et −→v est un vecteur −→w1 associé à la translation formée parl’enchainement des deux translations de vecteurs −→u et −−→v .De plus, −→w1 =

−→u −−→v ou encore −→w1 =−→u + (−−→v ).

γ. Commutativité : −→u +−→v = −→v +−→u .δ. Associativité : (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ).


::::::::::B.10 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB


Soit A, B et C trois points quelconques du plan ÿPþ : −→AB =−→AC +

−−→CB.


::::::::::B.11 :

BBB

B.2. ii:::::::::::::::Vecteurs

:::::en

:::::::::::::::::::analytique

Dans un plan ÿPþ muni d’un repère quelconque (O; I; J), les composantes du vecteur −→u sont égalesaux coordonnées du point M lorsque le point M vérifie l’égalité vectorielle

−−→OM = −→u


::::::::::B.8 :

Deux vecteurs −→u et −→v de composantes −→u(

xy

)et −→v

(x′

y′

)sont égaux . .si. . . . .et . . . . . . . . . . . . . .seulement . .si

x = x′

y = y′


::::::::::B.12 :

BBBBBBBBB

Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan ÿPþmuni d’un repère quelconque (O; I; J), le vecteur−→AB possède comme composantes

−→AB

(xB − xA

yB − yA

).


::::::::::B.13 :

BBBBBBB

Soient −→u(

xy

)et −→v

(x′

y′

)deux vecteurs du plan ÿPþ muni d’un repère quelconque (O; I; J), le

vecteur somme de ces deux vecteurs possède comme composantes −→u +−→v(

x+ x′

y + y′

)::::::::::::::Proposition

::::::::::B.14 :

BBBBBBBBB

Dans le plan ÿPþ muni du repère quelconque (O; I; J), soient un vecteur −→u(

xy

)et un réel quelconque

λ alors, le vecteur λ.−→u est un vecteur de composantes λ.−→u(

λxλy

).


::::::::::B.9 :

Soient λ, µ deux réels quelconques et −→u , −→v deux vecteurs du plan ÿPþ muni du repère quelconque(O; I; J) :- λ.(−→u +−→v ) = λ.−→u + λ.−→v - (λ+ µ).−→u = λ.−→u + µ.−→u- λ.(µ.−→u ) = (λ× µ).−→u - λ.−→u =

−→0 .si. . . . .et . . . . . . . . . . . . .seulement . .si λ = 0 ou−→u =

−→0


::::::::::B.15 :

BBBBBBBBB


Deux vecteurs −→u et −→v non nuls sont colinéaires . .si . . . .et. . . . . . . . . . . . . .seulement . .s’ il existe un nombre réel λ telque −→u = λ−→v .


:::::::::::B.10 :

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan ÿPþ.::::::::::::::::Remarque

:::::::::B.1 :

Soient deux vecteurs−→AB et

−−→CD du plan ÿPþ muni d’un repère quelconque (O; I; J) et un réel λ, .si−→

AB = λ−−→CD . . . . .alors . .:.

α. Pour λ > 0, les deux vecteurs sont de même sens et AB = λCD.β. Pour λ < 0, les deux vecteurs sont de sens contraires et AB = −λCD.


::::::::::B.16 :

BBBBBBBBBB

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires .si. . . .et. . . . . . . . . . . . .seulement . .si leurs composantes, dans un même repère,sont proportionnelles.


::::::::::B.17 :

BBBB

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles . .si . . . .et . . . . . . . . . . . . .seulement . .si les vecteurs−→AB et

−−→CD sont colinéaires.


::::::::::B.18 :

BBB

Trois points A, B et C du plan ÿPþ sont alignés . .si . . . .et. . . . . . . . . . . . . .seulement . .si les vecteurs−→AB et

−→AC sont

colinéaires.


::::::::::B.19 :

BBBB


§ B 3 Géométrie dans l’espace :

B.3. i::::::::::::Solides

::::::::::::usuels

La perspective cavalière permet de représenter sur un plan, une feuille de papier, un objet qui existeen volume. À l’aide de cette représentation, deux axes sont perpendiculaires, ils correspondent à laface principale, les dimensions de la face principales sont en vraie grandeur. Le dernier axe est inclinéd’un angle α et les dimensions de cet axe possède un coefficient de réduction, noté k.L’AFNOR, Association Française de Normalisation, préconise un angle α = 45° et un coefficient deréduction k = 0.5.


:::::::::::B.11 :

α. Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles.β. Deux droites sécantes sont représentées par deux droites sécantes.γ. Des points alignés sont représentés par des points alignés.δ. Les milieux de segments sont conservés.


::::::::::B.20 :

BBBBBBBBBB

Figure B.3 – Prisme droit

Dans le cas général :L’aire latérale : ÿLþ= p× h.Volume : ÿVþ = ÿAþ× h.Un parallélépipède rec-tangle est un prisme droit àbase rectangulaire.Un cube est un prisme droità base carré.Un cylindre est un prismedroit avec une base circu-laire.


::::::::::B.21 :

::::Le

:::::::::prisme

:::::::droit

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


Figure B.4 – Parallélépipède rectangleFigure B.5 – Cylindre


::::::::::B.22 :

::::::::::Prismes

::::::::droits

:::::::::::::::particuliers

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Figure B.6 – Pyramide

Dans le cas général :L’aire latérale :L’aire latérale est la sommedes aires des trianglesrejoignant le sommet, notédans la figure ci-contre F.

Volume : ÿVþ = ÿAþ×h3

.


::::::::::B.23 :

:::::::::::::Pyramide



Figure B.7 – Cône

L’aire latérale :ÿLþ= π × r × g.Dans cette formule, seulel’aire de la partie haute duvolume est prise en compte.Pour avoir l’aire latéralecomplète, il suffit d’ajouterl’aire du cercle de base soitπ × r2.Volume : ÿVþ = π×r2×h

3.


::::::::::B.24 :

:::::::Cône


Figure B.8 – Boule

L’aire latérale :ÿLþ= 4× π × r2.Volume : ÿVþ = 4×π×r3

3.

Pour le repérage sur la pla-nète terre, voire la figure ci-contre.


::::::::::B.25 :

::::::::Boule

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


B.3. ii::::::::::::::::Positions

::::::::::::::::relatives

:::::de

:::::::::deux

::::::::::::::droites

:::::de

::::::::::::::l’espace

Dans l’espace E, deux droites d1 et d2 sont coplanaires lorsque qu’il existe un plan P contenant cesdeux droites.


:::::::::::B.12 :

(a) Droites sécantes (b) Droites strictement parallèles

(c) Droites confondues (d) Droites non coplanaires

Figure B.9 – Positions relatives de droites de l’espace


::::::::::B.26 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


B.3. iii::::::::::::::::Positions

::::::::::::::::relatives

:::::::::::d’une

:::::::::::droite

::::et

:::::::::d’un

:::::::::plan

:::::de

::::::::::::::l’espace

(a) Droite et plan sécants

(b) Droite et plan strictement parallèles

(c) Droite et plan confondus

Figure B.10 – Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace


::::::::::B.27 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


B.3. iv:::::::::::::::Position

::::::::::::::::relatives

:::::de

:::::::::deux

:::::::::::plans

:::::de

:::::::::::::::l’espace

Dans l’espace E, deux plans P1 et P2 sont :α. Sécants en une droite d.β. Strictement parallèles.γ. Confondus.


::::::::::B.28 :

BBBBBBBBBB

B.3. v::::::::::::::::::::::Parallélisme

:::::::::dans

:::::::::::::::l’espace

α. . .Si deux droites sont parallèles . . . . .alors,. toute parallèle à l’une est aussi parallèle à l’autre.β. . .Si deux droites sont parallèles . . . . .alors,. tout plan coupant l’une, coupe l’autre.


::::::::::B.29 :

BBBBB


α. . .Si un plan P contient une droite d1 parallèle à une droite d2 . . . . .alors, le plan P et la droite d2sont parallèles.

β. . .Si deux plans distincts P1 et P2 sont sécants selon une droite δ . .et. . .si une droite d1 du plan P1

est strictement parallèle à une droite d2 du plan P2 . . . . .alors, la droite δ est parallèle aux droitesd1 et d2. Voir figure B.11a.Cette dernière proposition est parfois appelé le théorème du toit.

(a) Théorème du toit (Voir β)

Figure B.11 – Intersection de droites et de plans


::::::::::B.30 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


α. . .Si deux plans sont parallèles à un même plan . . . . .alors,. ils sont parallèles entre eux .β. . .Si un plan P1 contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes

d’un plan P2 . . . . .alors,. les plans P1 et P2 sont parallèles.γ. . .Si deux plans sont parallèles . . . . . .alors, . tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites

d’intersection sont parallèles entre elles. Voir figure B.12a.

(a) Intersection de deux plans parallèles avec un troisième plan (Voir γ)

Figure B.12 – Intersection de plans


::::::::::B.31 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


§ B 4 Séquences :

B.4. i:::::::::::::::Repérage

::::::::::dans

::::le

:::::::::plan

:::::

Repérage du planActivité préparatoire B.1 : Repérages

1.a. Tracer une droite et positionner un point M sur cette droite. Comment repérer ce point M?1.b. Tracer deux droites sécantes en un point O et positionner un point M n’appartenant pas à ces

deux droites. Comment repérer ce point M?1.c. Démonstration de la formule des coordonnées du milieu d’un segment.1.d. Une démonstration de la formule du calcul de la longueur d’un segment [AB] dans un repère or-

thonormé.

Cours sur les différents types de repérages.

Exercice B.1 : Oral 25 à 30 p 238

Exercice B.2 : Différents repères2.a. Construire un parallélogramme ABCD de centre Z.2.b. Positionner les points E, F, G et H milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].2.c. Construire les points I, J, K et L les images du point Z par les symétries de centre E, F, G et H.2.d. Préciser la nature du repère (Z ;A ;B). Dans ce repère donner les coordonnées des point Z, A, B,

C, D, E, F, G, H, I, J, K et L.2.e. Mêmes questions avec ABCD un rectangle, un losange et un carré.

Exercice B.3 : Oral 46 et 47 p 239

Exercice B.4 : Distance entre deux points 48 p 23948.a. AB =

√(2 + 5)2 + (1 + 1)2 soit AB = 56.25.

48.b. AB =√

(−1− 2)2 + (4 + 3)2 soit AB = 56.25.

Exercice B.5 : Distance entre deux points 49 p 23949.a. AB =

√( 110− 3

5)2 + (1

2+ 1

4)2 soit AB = 56.25.

49.b. AB =√

(−34+ 1

4)2 + (−2

5− 1

5)2 soit AB = 56.25.

B.4. ii::::::::::::Cercles

:::::et

::::::::::::::::triangles

:::::

CerclesCours sur les cercles.Exercice B.6 : Appartenance d’un point à un cercle 52 p 239

52.a. Appartenance du point A au cercle ÿCþ ?52.a.i. IA =

√(4.7− 3)2 + (3− 2)2 soit IA =

√3.89.

52.a.ii. Afin que le point A soit un point sur le cercle ÿCþ, la longueur du segment IA doit être égaleau rayon, i.e. 2. Comme IA 6= 2, le point A n’appartient pas au cercle ÿCþ.

52.b. De même pour que le point B appartienne au cercle ÿCþ, la longueur IB doit être égale à 2. Calculonsla longueur IB. IB =

√(4− 3)2 + (2 +

√(3)− 2)2 soit AB = 56.25. Comme IB=2, le point B appartient

au cercle ÿCþ.


Exercice B.7 : Cercle et tangente 65 p 240 Rappels : . .Si deux droites sont perpendiculaires à unemême troisième . . . . .alors, elles sont parallèles entre elles. Or, par définition de la tangente, les droites d et d′ sontperpendiculaires au support du diamètre, la droite (EF), donc les droites d et d′ sont parallèles entres elles.

Exercice B.8 : Cercle et tangente67.a. L’angle KIJ est opposé par le sommet à l’angle au centre de sommet I et de mesure 52°, aussi

ces deux angles possède la même mesure. De plus 52+38=90, donc dans le triangle KIJ, la somme de deuxangles vaut 90°. Or, dans un triangle, la somme des mesures de trois angles vaut un angle plat soit 180°.En conséquence, l’angle de sommet J est un angle droit, le triangle IJK est rectangle en J et la droite (JK)est la tangente au cercle ÿCþ en J.

67.b. La réciproque du théorème de Pythagore permet d’écrire, dans le triangle IJK rectangle en J,IK2 = IJ2 + JK2 ⇐⇒ IJ2 = IK2 − JK2 ⇐⇒ IJ2 = 43.75. La longueur du rayon IJ mesure

√43.75cm.

TrianglesCours sur les triangles.Exercice B.9 : Médiatrices 63 p 240

63.a. Par définition, la médiatrice du segment [PM] est l’ensemble des points situés à la même distancedes points P et M. Donc OM=OP. De même, pour la médiatrice du segment [MP], OM=ON.

Conclusion : OP=ON

63.b. Comme OP=ON, la médiatrice du segment [PN] passe par O.

Exercice B.10 : Nature d’un triangle 64 p 240Le triangle n’est ni isocèle, ni équilatéral puisque qu’il n’existe pas deux longueurs de côtés égale. Vérifionssi le triangle est rectangle. 7.52 = 56.25 et 62 + 4.52 = 56.25. En conséquence, AB2 = BC2 + AC2 et lesens direct du théorème de Pythagore permet d’affirmer que le triangle est rectangle en A.

Exercice B.11 : Théorème de Thalès 66 p 241Les hypothèses du théorème de Thalès, voir ”Ce qu’il faut retenir du collège”, sont vérifiées, aussi AB

AC=

ADAE

= BDEC

= AMAN

= MBNC

= MDNE

= 25. Le coefficient de proportionnalité est donné par le quotient AB

AC= 2.4

6.

Aussi DAAE

= 25⇐⇒ AE = 5×2.6

2⇐⇒ AE = 6.5 et DE = 3.9.

Pour le calcul de AM, posons AM = x, il vient AMAN

= 25⇐⇒ x

3.2+x= 2

5⇐⇒ 3×x

5= 6.4

5⇐⇒ x = 6.4

3. La

longueur AM mesure 3215.

Enfin, BMCN

= 25⇐⇒ CN = 5×1.2

2⇐⇒ CN = 3.

Exercice B.12 : Logique : réciproque et contraposée 83 p 2421.a. . .Si le longueur du plus grand côté au carré d’un triangle est égale à la somme du carrée des longueurs

des deux autres côtés . . . . . .alors, le triangle est rectangle.1.b. . .Si la longueur du plus grand côté au carré est différente de la somme du carrée des longueurs des

deux autres côtés . . . . .alors le triangle n’est pas rectangle.1.c. Comme BC2 6= AB2 + AC2, la contraposée du théorème de Pythagore permet d’affirmer que le

triangle ABC n’est pas rectangle.

B.4. iii:::::::::::::::::::::::Quadrilatères

:::::::::::::::::convexes

:::::

Quadrilatères convexesActivité préparatoire B.2 : Quadrilatères convexess

2.a. Soit ABC un triangle quelconque. Construire les images respectives D et E des points B et C parla symétrie de centre A. Quel est la nature du quadrilatère BCDE.

2.b. Mêmes questions avec le triangle ABC rectangle en A, isocèle en A, équilatéral et rectangle isocèleen A.


Cours les quadrilatères convexes

Exercice B.13 : Logique : implication et équivalence 84 p 24284.a. P =⇒ Q.84.b. P ⇐⇒ Q.84.c. Q =⇒ P .84.d. P : ABCD est un parallélogramme Q : ABCD est un carré Q =⇒ P .

Exercice B.14 : Nature d’un quadrilatère 72 p 241

72.a. Voir figure Géogébra.72.b. Une médiatrice est l’ensemble des points qui sont à la même distance des extrémités de ce segment.

Aussi IA = IB et IB = ID donc IA = ID. En utilisant la même méthode, il est facile d’obtenir JA = JD.En conséquence la droite AD l’ensemble des points qui sont à la même distance des points I et J, ce quiest équivalent à la droite (AD) est la médiatrice du segment [IJ ]. Finalement IA = JA et ID = JD. Lequadrilatère AIDJ possède des quatre côtés de même longueur, c’est un losange.

B.4. iv:::::::::::::::Vecteurs

:::::

Vecteurs définitions

Cours du §A.2.i

Exercice B.15 : Définition 35 p 290

Exercice B.16 : Vecteurs et parallélogramme 36 p 290

Exercice B.17 : Propriétés 41 p 290

Vecteurs en analytique

Cours §A.2.ii

Exercice B.18 : Composantes et repère 50 p 291

Exercice B.19 : Somme de vecteurs 59 p 292

Exercice B.20 : Multiplication par un scalaire 66 p 293

Exercice B.21 : Colinéarité 71 p 293

Exercice B.22 : Points alignés 74 p 293

B.4. v::::::::::::::::::Géométrie

::::::de

::::::::::::::l’espace

:::::

Perspective cavalièreIntroduction voir le document sur les différentes perspectives.

Cours sur la perspective cavalière.

Exercice B.23 : Pyramide régulière 53 p 26553.a. Pour ÿVþ = 8cm3, comme le volume est donné par la formule ÿVþ = a2×h

3et que la longueur du

côté de la bas de cette pyramide vaut 2cm, trouver la hauteur de cette pyramide est équivalent à résoudrel’équation 8 = 4×h

3⇔ h = 6cm.

53.b. Pour AE =√11, il faut calculer les longueur FJ et IJ .

Le calcul de FJ se réalise dans le triangle BFJ rectangle en J. Le théorème de Pythagore permet d’écrireBF 2 = BJ2 + JF 2. Comme JF est une longueur seule la solution de positive de l’équation du seconddegré est utile dans cet exercice, soit JF =

√11.


La longueur IJ mesure la moitié de la longueur d’un côté du carré de bas soit IJ = 1cm.Le théorème de Pythagore dans le triangle FIJ donne IF = 3 cm. Conclusion : La hauteur IF =3 cm.

Exercice B.24 : Volume d’un cube vaut trois fois le volume d’une pyramide à base carrée 59 p266

59.a. Le volume d’un cube de côté a est ÿVþ = a3. Le volume de la pyramide à base carré, une face ducube, et de hauteur une arrête de ce cube est ÿVþ = a2×a

3...

Positions relatives de droites et de plans

Distribuer le cours en polycopiés.

Exercice B.25 : Les bas dans un schéma de maison 24 p 262

Exercice B.26 : Les bas dans un cube 25 p 262

Exercice B.27 : Intersection de plans dans un parallélépipède rectangle 31 p 263

Exercice B.28 : Intersection de droites dans un tétraèdre 32 p 263

Exercice B.29 : Thalès dans l’espace 36 p 264


Chapitre C

Analyse

§ C 1 Fonctions : Les bases

C.1. i:::::::::::::::::::Définitions

:::::::sur

::::::les

:::::::::::::::::fonctions

:::::::::::::réelles

:::::

Soit ÿDþ une partie de l’ensemble des nombres réels R. Définir une fonction réelle f sur l’ensemble ÿDþ estéquivalent à associer à chaque nombre réel x de ÿDþ un et un seul (unique) réel noté f(x). Notation :la fonction réelle f est définie de ÿDþ dans R et à tout x ∈ ÿDþ, la fonction f associe le nombre f(x) .

Notation d’une fonction f : ÿDþ −→ Rx 7−→ f(x)


::::::::::C.1 :

Soit la fonction réelle f définie par : ÿDþ −→ Rx 7−→ f(x)

α. L’ensemble ÿDþ est souvent noté ÿDþf et s’appelle l’ensemble de définition ou l’ensemble de départde la fonction réelle f .

β. L’ensemble R est l’ensemble d’arrivée. Parfois, il peut être utile de préciser cet ensembled’arrivée.

γ. Le nombre réel x s’appelle un antécédent du nombre réel f(x) pour la fonction réelle f .δ. Le nombre réel f(x) est l’unique image du nombre réel x pour la fonction réelle f .

ε. La courbe représentative de la fonction réelle f , notée ÿCþf , est l’ensemble des points M decoordonnées (x, y) avec x ∈ ÿDþf et y = f(x) .


::::::::::C.2 :

M(x, y) ∈ ÿCþf .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement. .si.x ∈ ÿDþf et y = f(x).


::::::::C.1 :

BBB

59

§ C 2 Variations d’une fonction

Une fonction f définie sur un intervalle I est croissante sur I lorsque :

Pour tous les réels (a; b) de l’intervalle I, .si a < b . . . . . .alors, f(a) 6 f(b) .


::::::::::C.3 :

Une fonction f définie sur un intervalle I est décroissante sur I lorsque :

Pour tous les réels (a; b) de l’intervalle I, .si a < b . . . . . .alors, f(a) > f(b) .


::::::::::C.4 :

Une fonction f définie sur un intervalle I est constante sur I lorsque :

Pour tous les réels (a; b) de l’intervalle I, f(a) = f(b).


::::::::::C.5 :

Une fonction f définie sur un intervalle I est monotone . .si . .et. . . . . . . . . . .seulement. .si sur l’ensemble de l’intervalleI la fonction f est soit croissante soit décroissante.


::::::::::C.6 :

Soient f une fonction définie sur un intervalle réel I et un nombre réel a élément de I.α. La fonction f admet le point (a; f(a)) comme maximum local est équivalent à admettre l’exis-

tence d’un intervalle ouvert J ⊂ I , tel que a ∈ J et pour tous les réels x de l’intervalle J ,f(x) 6 f(a).

β. La fonction f admet le point (a; f(a)) comme minimum local est équivalent à admettre l’exis-tence d’un intervalle ouvert J ⊂ I , tel que a ∈ J et pour tous les réels x de l’intervalle J ,f(x) > f(a).

γ. Dire que le nombre f(a) est un extrémum local (ou relatif) de la fonction f signifie que lenombre f(a) est soit un maximum local soit un minimum local pour la fonction f .

δ. L’extrémum est absolu ou global lorsque les définitions précédentes sont vraies sur l’ensemblede définition de la fonction f .


::::::::::C.7 :

α. Soit f une fonction réelle, pour tous les réels x du domaine de définition de la fonction f et notéÿDþf , l’équation f(x) = 0 se détermine graphiquement comme l’abscisse du point d’intersectionde la courbe représentative de la fonction f et notée ÿCþf et de l’axe des abscisses, droited’équation y = 0.

β. Soit f une fonction réelle, pour tous les réels x du domaine de définition de la fonction f et notéÿDþf , pour tous les réels a, l’équation f(x) = a se détermine graphiquement comme l’abscissedu point d’intersection de la courbe représentative de la fonction f et notée ÿCþf et de la droited’équation y = a.


::::::::C.2 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBB


α. . .Si une fonction f est croissante sur un intervalle I . . . . . .alors, . les antécédents et les images sontdans le même ordre sur l’intervalle I .

β. . .Si une fonction f est décroissante sur un intervalle I . . . . . .alors, . les antécédents et les images sontdans un ordre différent sur l’intervalle I .


::::::::C.3 :

BBBBBBBB


§ C 3 Fonctions de références

C.3. i:::::::::::::::::Fonctions

::::::::::::affines

Une fonction affine se définie pour tous les réels m et p par :

Fonction affine f : R 7−→ Rx −→ f(x) = mx+ p


::::::::::C.8 :

α. L’ensemble de définition d’une fonction affine est l’ensemble R entier.β. Lorsque le réel p est nul la fonction f est linéaire.γ. Lorsque le réel m est nul la fonction f est constante.δ. Le réel m s’appelle le coefficient directeur de la fonction f .ε. Le réel p s’appelle l’ordonnée à l’origine de la fonction f . i.e. La valeur de l’ordonnée lorsque

l’abscisse est nulle.

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::C.1 :

. .Si f est une fonction affine . . . . .alors,. pour tous les nombres réels u et v, m = f(v)−f(u)v−u

= f(u)−f(v)u−v

.


::::::::C.4 :

BBB

. .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx + p . . . . .alors,. la fonction f estcroissante . .si . . .et . . . . . . . . . . .seulement . .si. le réel m est strictement positif . .et la fonction f est décroissante .si. . .et. . . . . . . . . .seulement. . .si le réel m est strictement négatif.


::::::::C.5 :

BBBBBB

α. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx + p . . . . .alors,. l’équationf(x) = 0 se lit graphiquement au point d’intersection de la droite représentant la fonction fet de l’axe des abscisses, d’équation y = 0.

β. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx+ p avec m 6= 0 . . . . .alors,.l’équation f(x) = 0 admet une solution unique x = − p

m.

γ. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx + p . . . . . .alors, . pourtous les réels a, l’équation f(x) = a se lit graphiquement au point d’intersection de la droitereprésentant la fonction f et de la droite d’équation y = a.

δ. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx+ p avec m 6= 0 . . . . .alors,.pour tous les réels a l’équation f(x) = a admet une solution unique x = a−p

m.


::::::::C.6 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


α. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx+ p avec m 6= 0 . . . . .alors,.l’inéquation f(x) > 0 admet comme solution tous les réels x tels que x > − p

mpour m > 0 . .ou

. . . . . . . .exclusif x < − pm

pour m < 0.β. . .Si f est une fonction affine définie pour tous les réels x par f(x) = mx+ p avec m 6= 0 . . . . .alors,.

l’inéquation f(x) < 0 admet comme solution tous les réels x tels que x < − pm

pour m > 0 . .ou. . . . . . . .exclusif x > − p

mpour m < 0.


::::::::C.7 :

BBBBBBBBBBBBB

C.3. ii:::::::::::::::::Fonctions

:::::::::::::::usuelles

La fonction carrée est une fonction définie sur l’ensemble des réels dans l’ensemble des réels positifs.À chaque réel x est associé son carré x2.

f : R→ R+

x 7−→ x2


::::::::::C.9 :

La fonction carrée est décroissante sur R− et croissante sur R+. Voici son tableau de variation et sareprésentation graphique.

Valeurs de x

Signe de f ′(x)

Variations de f

−∞ 0 +∞

− 0 +

+∞+∞

00

+∞+∞

−5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

0

Fonction carrée


::::::::C.8 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Figure C.1 – Fonction carrée


La fonction inverse est une fonction définie sur l’ensemble des réels différents de 0 dans l’ensembledes réels. À chaque réel non nul x est associé son inverse 1

x.

g : R∗ → R

x 7−→ 1

x


:::::::::::C.10 :

La fonction inverse est décroissante sur R∗. Voici son tableau de variation et sa représentation gra-phique.

Valeurs de x

Signe de g′(x)

Variation de g

−∞ 0 +∞

− −

00

−∞

+∞

00


::::::::C.9 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Figure C.2 – Fonction inverse


La fonction racine carrée est une fonction définie sur l’ensemble des réels positifs dans l’ensemble desréels positifs. À chaque réel positif x est associé sa racine carrée

√x.

h : R+ → R+

x 7−→√x


:::::::::::C.11 :

La fonction racine carrée est décroissante sur R+. Voici son tableau de variation et sa représentationgraphique.

Valeurs de x

Signe de h′(x)

Varia-tion de h

0 +∞

+

00

+∞+∞

−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

Fonction racine carrée


::::::::::C.10 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Figure C.3 – Fonction racine carrée


La fonction partie entière est une fonction définie de l’ensemble des nombres réels dans l’ensembledes entiers relatifs et se note E(x) = bxc.En effet, tous les réels x sont compris entre un entier relatif n et son successeur, i.e. :n 6 x < n+ 1 et dans ce cas E(x) = bxc = n.

E : R→ Z

x 7−→ n

Représentation graphique de la fonction partie entière :


:::::::::::C.12 :

Figure C.4 – Fonction partie entière


C.3. iii:::::::::::::::::::::::::Trigonométrie

Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; I; J). Le cercle trigonométrique C est le cercle decentre O et dont le rayon possède la longueur d’une unité. Ce cercle est muni d’un sens direct, encoreappelé sens positif ou sens trigonométrique : le sens inverse des aiguilles d’une montre à aiguilles.Voici une représentation du cercle trigonométrique.


:::::::::::C.13 :

Figure C.5 – Cercle trigonométrique

Sur le cercle trigonométrique C, à chaque réel x, représenté sur la droite d est associé son point imageen enroulant la droite d sur le cercle trigonométrique.


:::::::::::C.14 :

α. Le point R est le point image du réel 1 car IR′ = 1. L’angle IOR mesure exactement 1 rad.β. Le point J est le point image du réel π

2car IJ ′ = π

2. L’angle IOJ mesure exactement π

2rad.

γ. D’une manière générale, le point M est le point image du réel x. L’angle IOM mesure exacte-ment x rad.

:::::::::::::::Exemples

:::::::::C.1 :


α. Un point image M possède une infinité d’antécédents. Tous les réels x et x′ tels que x−x′ = 2kπavec k ∈ Z.

β. Lorsque la droite d est enroulée dans l’autre sens le réel x devient négatif...

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::C.2 :

Les mesures des angles en radian et en degré sont proportionnelles.Le coefficient de proportionnalité permettant de passer d’une mesure en degré vers une mesure enradian est π

180.

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer d’une mesure en radian vers une mesure endegré est : 180

π.


::::::::::C.11 :

BBBBBBBBBB

Dans le cercle trigonométrique C du plan Pmuni d’un repère orthonormé (O; I; J). Les coordonnéesdu point M, point image du réel x, définissent les fonctions trigonométriques suivantes :

α. L’abscisse du M définie le cosinus de l’angle x en radian.β. L’ordonnée du point M définie le sinus de l’angle x en radian.

γ. Le quotient de l’ordonnée par l’abscisse défini la tangente de l’angle x en radian. tan(x) = sin(x)cos(x)

.


:::::::::::C.15 :

Soient un réel x et un entier relatif k.α. −1 6 cos(x) 6 1 β. −1 6 sin(x) 6 1(

cos(x))2

+(sin(x)

)2= 1

γ. cos(x+ 2kπ) = cos(x) δ. sin(x+ 2kπ) = sin(x)


::::::::::C.12 :

BBBBBBBBBB

Angle en degré 0 30 45 60 90Angle en radian 0 π

6π4

π3

π2

Moyenmnémotechnique

√02

√12

√22

√32

√42

sinus 0 12

√22

√32

1cosinus 1

√32

√22

12

0


::::::::::C.13 :

::::::::::Valeurs

:::::::::::::::::remarquables

:::::des

::::::::::::fonctions

:::::::sinus

:::et

::::::::::cosinus

BBBBBBBBBBBBBB


§ C 4 Fonction du second degré

Une fonction définie sur R et à valeur dans R est une fonction du second degré lorsqu’il existe troisréels (a; b; c) ∈ R∗ × R× R tels que :

f : R→ R

x 7−→ ax2 + bx+ c


:::::::::::C.16 :

Il existe au moins deux formes pour une équation du second degré pour les réels (a; b; c) ∈ R∗×R×R.α. Forme développée : f(x) = ax2 + bx+ c.β. Forme canonique : f(x) = a(x− α)2 + β avec α = − b

2aet β = − b2−4ac

4a= f(α).


::::::::::C.14 :

BBBBBBBB

Soit f une fonction du second degré définie par f(x) = ax2 + bx + c avec (a; b; c) ∈ R∗ × R × R, saforme canonique est f(x) = a(x−α)2 + β . . . .alors, le tableau de variations de la fonction f est l’un desdeux tableau ci-dessous :

Valeurs de x

Variations def pour a > 0

−∞ α +∞

+∞+∞

ββ

+∞+∞

Valeurs de x

Variations def pour a < 0

−∞ α +∞

−∞−∞

ββ

−∞−∞

Dans le premier tableau, le point S(α; β), comme sommet, représente un minimum absolu pour lacourbe représentative de la fonction f . Dans le second tableau, il s’agit d’un maximum absolu.


::::::::::C.15 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


Dans un repère orthonormé (O; I; J), la courbe représentative d’une fonction du second degré dont laforme canonique est f(x) = a(x−α)2 + β est une parabole qui possède pour axe de symétrie, la droited’équation x = α.

I

J

S(α; β)

Cas a > 0

S(α; β)

Cas a < 0

O


::::::::::C.16 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


§ C 5 Séquences

C.5. i:::::::::::::::::Fonctions

:::::

:::::::Les

::::::::::bases

Définitions sur les fonctions réellesActivité préparatoire C.1 : Modélisation avec les fonctions 2 p 13

1.a.1.b. Pour a = 4, IN = 4.8, NC = 6 et IC =

√59.04 puis pour a = 3.2, IN = 5.44, NC = 6.8 et

IC =√75.74

1.c. a = 5.5m et ÿAþ(IMC) = 8.1m2

Cours sur les définitions des fonctions réelles.

Exercice C.1 : Algorithme 27 p 24Exercice C.2 : Lecture graphique 34 p 25Exercice C.3 : À l’oral - appartenance à une courbe 46 et 47 p 27

IntervallesExercice C.4 : Le mot intervalle 51 p 27Exercice C.5 : Transformer en inégalités 52 p 27Exercice C.6 : Appartient ou pas 53 p 27Exercice C.7 : Inégalités - vers la représentation graphique 55 p 27Exercice C.8 : Inégalités - vers l’inégalité 56 p 27Exercice C.9 : Inégalités - équivalence inégalités et intervalles 57 p 27

C.5. ii::::::::::::::::::Variations

:::::::::::d’une

::::::::::::::::fonction

Exercice C.10 : Variations à partir d’un graphique 28 p 50Exercice C.11 : Variations à partir d’un tableau de variations 29 p 50Exercice C.12 : Variations et inéquation 32 p 50Exercice C.13 : Construire un tableau de variations à partir d’un graphique 35 p 50Exercice C.14 : Variations et machine à calculer 38 p 50Exercice C.15 : Variations en géométrie 41 p 51Exercice C.16 : Tableau de variations et inégalités 46 p 51Exercice C.17 : Minimum et algorithme 52 p 52

C.5. iii:::::::::::::::::Fonctions

:::::de

::::::::::::::::::::références,

::::::les

:::::::::::::::::fonctions

:::::::::::::affines

Fonctions affines et linéairesExercice C.18 : Droites et son équation 57 p 53Exercice C.19 : Droites et tableau de variation 59 p 53Exercice C.20 : Dresser un tableau de variation 61 p 53Exercice C.21 : Algorithme et réduction en pourcentage 63 p 54Exercice C.22 : Déterminer une fonction affine à partir des coordonnées de deux points 65 p 54Exercice C.23 : Quantificateurs et tableau de variation 71 p 54

Fonctions usuellesExercice C.24 : Les radians - bases 26 p 147

Exercice C.25 : radians et degré - bases 27 p 147


Exercice C.26 : Polygones réguliers 28 p 147

Exercice C.27 : Cercle trigonométrique - bases 29 p 147


Chapitre D

Statistiques et probabilités

§ D 1 Statistiques descriptives

D.1. i:::::::::::::::::Définition

:::::::::::d’une

::::::::::série

:::::::::::::::::::statistique

α. Pour une population donnée, une série statistique est l’étude des différentes valeurs d’uncaractère, appelées aussi modalités, et des effectifs de la population pour ces valeurs.

β. Une série statistique est dite à caractère quantitatif lorsque les valeurs des modalités sont desnombres.

γ. Lorsque la série statistique est à caractère quantitatif, elle est dite ordonnée dès que les valeurscollectées ont été rangées dans l’ordre croissant (ou décroissant).

δ. Lorsque la série statistique est à caractère qualitatif , ordonner la série statistique est arbitraire.


::::::::::D.1 :

Pour une série statistique de p modalités,

Modalités x1 x2 ... xp

Effectifs n1 n2 ... npavec n1 + n2 + ...+ np−1 + np =

∑pk=1 nk = N

α. La fréquence d’une modalité est la proportion d’apparition de cette modalité dans la popu-lation. Pour tous les entiers naturels compris entre 1 et p, la fréquence de la modalité k estfk =

nk

N.

β. Pour une série statistique quantitative et ordonnée, l’effectif cumulé croissant est la sommedes effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales.

γ. Pour une série statistique quantitative et ordonnée, la fréquence cumulée croissante est lasomme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales.


::::::::::D.2 :

Pour une série statistique, la somme des fréquences de toutes les modalités est égale à 1.::::::::::::::Proposition

:::::::::D.1 :

BB

75

D.1. ii::::::::::::::::::::::::::::Caractéristiques

:::::de

:::::::::::::::position

Pour une série statistique de p modalités,

Modalités x1 x2 ... xp

Effectifs n1 n2 ... npavec n1 + n2 + ...+ np−1 + np =

∑pk=1 nk = N

α. La moyenne simple, se calcule, lorsque tous les effectifs sont égaux à 1, de la manière suivante :

x =1

N(x1 + x2 + ...+ xp−1 + xp) =

p∑k=1

xk

Nici N = p

β. La moyenne pondérée, se calcule de la manière suivante :

x =1

N(n1x1 + n2x2 + ...+ np−1xp−1 + npxp) =

p∑k=1

nkxk

N

γ. À partir des fréquences, la moyenne pondérée, se calcule de la manière suivante :

x = f1x1 + f2x2 + ...+ fp−1xp−1 + fpxp =

p∑k=1

fkxk


::::::::::D.3 :

La médiane d’une série statistique quantitative et ordonnée est une valeur du caractère, ou de lamodalité, qui sépare le total des effectifs de la population en deux groupes de même effectif. Lamédiane permet de préciser la position des autres données de la série.


::::::::::D.4 :

α. Lorsque l’effectif correspondant à la modalité médiane est important, pour avoir deux groupesde même effectif, il faut partager précisément cette modalité.

β. Dans ce cas, le premier groupe peut avoir un effectif supérieur à 50% de l’effectif total.γ. Plusieurs modalités peuvent répondent à la définition de la médiane. Un choix peut être le

suivant.

:::::::::::::::::Remarques

::::::::::D.1 :

Le calcul de la médiane dépend de la parité de l’effectif total N .— Lorsque N est un entier naturel pair, N = 2k, la médiane est la moyenne simple de la ke et

de la (k+1)e valeurs de la modalité étudiée dans la série statistique quantitative et ordonnée.— Lorsque N est un entier naturel impair, N = 2k + 1, la médiane est la (k + 1)e valeur de la

modalité étudiée dans la série statistique quantitative et ordonnée.


:::::::::D.2 :

BBBBBBBBBB


Dans une série statistique quantitative et ordonnée, les quartiles sont les plus petites valeurs desmodalités, qui partagent la série en quatre parties sensiblement de même effectif. Le premier quartile,prenant au moins 25% des effectifs rangés par ordre croissant des valeurs de caractères, s’appelle Q1

et le troisième quartile, prenant au moins 75% des effectifs rangés par ordre croissant des valeurs decaractères, s’appelle Q3 . Bien sur, le deuxième quartile Q2 est confondu avec la médiane.


::::::::::D.5 :

D.1. iii::::::::::::::::::::::::::::Caractéristiques

:::::de

:::::::::::::::::::dispersion

α. L’étendue désigne l’écart entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par la modalité.β. Pour une série statistique quantitative et ordonnée, l’intervalle inter-quartile de la série est

l’intervalle fermé dont les bornes sont les quartiles Q1 et Q3 , c’est à dire l’intervalle fermé[Q1;Q3].

γ. Pour une série statistique quantitative et ordonnée, l’écart inter-quartile est la différence desdeux quartiles Q1 et Q3, c’est à dire le nombre positif Q3−Q1.


::::::::::D.6 :


§ D 2 Probabilités

D.2. i::::::::::::::::::::Vocabulaire

:::::::sur

::::::les

:::::::::::::::::::::expériences

::::::::::::::::::aléatoires

α. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle possède plusieurs résultats possibles. De pluschaque résultat ne dépend pas des résultats des expériences précédentes et il est impossible dedéterminer à l’avance quel résultat sera réalisé.

β. Chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire est une issue, appelé parfois éven-tualité.

γ. L’ensemble des issues possibles de l’expérience aléatoire forme l’univers et se note Ω.


::::::::::D.7 :

::::::::::::::::Expérience

::::::::::::::aléatoire

Dans une expérience aléatoire dont toutes les issues sont dans l’univers Ωα. Un évènement est un sous-ensemble, ou une partie, de l’univers Ω. Il peut toujours se décrire

à l’aide d’issues. Il s’agit d’une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors d’uneexpérience aléatoire.

β. Un évènement réalisé par une seule issue est un évènement élémentaire.γ. Un évènement qui contient toutes les issues est un évènement certain.δ. Un évènement qui ne contient aucune issue est un évènement impossible.


::::::::::D.8 :

::::::Les

:::::::::::::::::évènements

Soient A et B deux évènements, l’union de A et de B est l’ensemble des issues qui réalisent A . .ou B.Cet évènement se note A ∪B et se lit « A ∪ nion B ».


::::::::::D.9 :

:::::::::Union

Soient A et B deux évènements, l’intersection de A et B est l’ensemble des issues qui réalisent A . .etB. Cet évènement se note A ∩B et se lit « A i ∩ ter B ».


:::::::::::D.10 :

::::::::::::::::::Intersection

α. L’évènement contraire de l’évènement A se note A et se lit « A barre ». A contient toutes lesissues de l’univers Ω qui n’appartiennent pas à A.

β. Deux évènements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide.


:::::::::::D.11 :

D.2. ii::::::::::::::::::::::Modélisation

:::::::des

:::::::::::::::::::::expériences

::::::::::::::::::aléatoires

Lorsqu’une expérience aléatoire est effectuée un très grand nombre de fois, de façon indépendante,la fréquence de réalisation d’un évènement se stabilise vers une « fréquence théorique », appeléeprobabilité.


:::::::::::D.12 :


Le modèle le plus simple pour une expérience aléatoire est le modèle équiréparti qui associe à chaqueissue la même probabilité d’être réalisé. Il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.


:::::::::::D.13 :

α. . .Si L’expérience aléatoire sur l’univers fini Ω est modélisable par une situation d’équiprobabilité. . . . . .alors, la probabilité de chaque issue est p = 1

card(Ω)avec card(Ω) le nombre d’issues de l’univers

Ω.β. . .Si l’expérience aléatoire est équiprobable . .et . .si le nombre d’éléments de l’univers Ω est card(Ω) =

n . . . . . .alors, la probabilité p d’une issue ou d’un évènement élémentaire est p = 1n.


:::::::::D.3 :

BBBBBBBBBBB

D.2. iii:::::::::::::Calculs

:::::de

:::::::::::::::::::::probabilités

α. Une loi de probabilité sur un univers Ω, est une fonction de Ω dans l’intervalle [0; 1] qui associeà chaque issue un unique nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité. La sommedes probabilités de toutes les issues de l’univers Ω vaut 1. Il s’agit de la probabilité d’unévènement certain ou encore la probabilité de l’univers Ω.

β. La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des issues, ou des évènementsélémentaires, qui réalisent l’évènement A et se note p(A).


:::::::::::D.14 :

Dans une expérience aléatoire équiprobable sur un univers Ω, la probabilité d’un évènement A secalcul de la manière suivante P (A) = Nombre d’issues de l’évènement A

Nombre total d’issues de l’univers Ω


:::::::::D.4 :

BBBB

Soit une expérience aléatoire définie sur un univers Ω contenant deux évènements A et B.α. P (A) + P (A) = 1.β. . .Si de plus A et B sont incompatibles, ou disjoints . . . . .alors, P (A ∪B) = P (A) + P (B).γ. D’une manière générale : P (A ∪B) + P (A ∩B) = P (A) + P (B).


:::::::::D.5 :

BBBBBBBBBB


§ D 3 Échantillonnage

α. Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la mêmeexpérience.

β. Dans une population donnée, une condition, ou un caractère, peut être étudié sur une partiede cette population appelée échantillon.

γ. Deux échantillons de même taille issus de la même expérience aléatoire ne réalisent générale-ment pas la même proportion de réussite de cette expérience aléatoire. Dans une population,deux échantillons de même taille sur lesquels le même caractère est étudié ne réalisent généra-lement pas la même proportion du caractère étudié. Les variations des fréquences des valeursrelevées, réussite de l’expérience aléatoire ou proportion du caractère étudié, s’appelle unefluctuation d’échantillonnage.


:::::::::::D.15 :

. .Si la taille de l’échantillon, notée n , est supérieure ou égale à 25 . .et . .si la proportion du caractèreétudié dans la population, notée p , appartient à l’intervalle [0, 2; 0, 8] . . . . .alors, dans plus de 95% descas, ou au seuil de 95% la proportion du même caractère étudié dans l’échantillon appartient àl’intervalle de fluctuation [p− 1√

n; p+ 1√

n].


:::::::::D.6 :

BBBBBBBBB

α. L’étendue ou l’amplitude ou la taille de l’intervalle de fluctuation défini précédemment vaut2√net diminue lorsque n augmente.

β. Pour prendre une décision, à partir d’un échantillon de taille n, il faut réaliser les étapes sui-vantes :

— Faire une hypothèse sur une proportion du caractère étudié dans la population, notée p.— Calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% à l’aide de la proposition précédente.— . .Si la proportion déterminée du même caractère dans l’échantillon n’appartient pas à cet

intervalle de fluctuation . . . . .alors, l’hypothèse est fausse avec un risque d’erreur de 5% . . . . .sinonl’hypothèse peut être retenue.

:::::::::::::::::Remarques

::::::::::D.2 :


§ D 4 Séquences

Statistiques descriptivesCours sur les statistiques la définition d’une série statistique.

Exercice D.1 : À partir d’un tableau et effectif cumulé croissant 14 à 17 p 168Exercice D.2 : À partir d’un nuage de points et fréquences cumulées croissantes 18 à 20 p 168Exercice D.3 : Avec des classes d’amplitude donnée et histogramme 23 p 168Exercice D.4 : Diagramme à bâtons 24 p 169Exercice D.5 : Fréquence cumulée croissante 27 p 169

Caractéristiques de position et de dispersionCours sur les caractéristiques de position et de dispersion.

Exercice D.6 : Moyenne et quartile avec la machine à calculer 7 p 164Exercice D.7 : Astrophysique 40 p 171Exercice D.8 : Salaires : caractéristiques à présenter 43 p 171Exercice D.9 : Logique et quantificateur 48 p 172Exercice D.10 : Logique et implication réciproque 49 p 172

49.a. A =⇒ C est une proposition vraie car si la valeur de la modalité v est strictement supérieureà la médiane. La définition de la médiane étant la proposition C est forcément vérifiée.C =⇒ A est une proposition fausse car v = 14 répond à la proposition C et pas à la proposition A.

49.b. A =⇒ D est un proposition vraie car comme la modalité v est strictement supérieure à lamédiane, au moins 50% des modalités de la série sont inférieurs ou égales à v. En conséquence moins de75% des valeurs de la série sont strictement supérieures à v, ce qui est la proposition D.D =⇒ A est une proposition fausse car une valeur Q1 < v < Me répond à la proposition D et pas àla proposition A.

49.c. B =⇒ D est un proposition vraie car comme la modalité v est supérieure ou égale à Q1 = 9,au moins 25% des modalités de la série sont inférieurs ou égales à v. En conséquence moins de 75% desvaleurs de la série sont strictement supérieures à v, ce qui est la proposition D.D =⇒ B est un proposition vraie car la proposition D est équivalente à la proposition définissant lepremier quartile Q1.

Exercice D.11 : Pour aller plus loin 58 p 175

Probabilités - vocabulaireActivité préparatoire D.1 : Activité 1 p 180

Cours sur le vocabulaireExercice D.12 : Les bases - issues 25 p 194Exercice D.13 : Les bases - nombres d’issues 26 p 194Exercice D.14 : Les bases - probabilité de l’univers 27 p 194Exercice D.15 : Les bases - Assemblée nationale 28 p 194Exercice D.16 : Arbre de probabilités 34 p 195Exercice D.17 : Mode aléatoire d’un baladeur numérique 35 p 195

Probabilités - Calculs

Cours sur les calculs de probabilités.


Exercice D.18 : Les bases - club de volley-ball 44 p 19644.a. P (F ) = 0, 43.44.b. P (J) = 0, 0.41.44.c. P (H ∩ J) = 0, 27.44.d. P (H ∪ J) = 0, 71.44.e. P (H ∪ J) = P (F ∩ A) = 0, 29.

Exercice D.19 : Les bases - répartition sur 100 éléments 45 p 196

Exercice D.20 : Tranches d’âge des abonnés d’un quotidien 49 p 19749.a. Papier 663 en ligne 337, soit au total 1000.49.b. P (P40) = 162

1000.

49.c. 0, 520

Exercice D.21 : Assurés dans une société 52 p 197

Intervalle de fluctuation

Exercice D.22 : Calculer des intervalle de fluctuation - les bases 23 p 21623.a. [0, 4 ; 0, 6].23.b. [0, 25 ; 0, 65].23.c. [0, 33 ; 0, 35].

Exercice D.23 : Déterminer par expérience un intervalle de fluctuation 25 p 217 [0, 26 ; 0, 5]

Exercice D.24 : Calcul d’un intervalle de fluctuation 28 p 21725.a. Pour le blé : I = [0, 48; 0, 68]. Pour l’épeautre : I=[0, 12; 0, 32].25.b. La proportion de riz et de lentille ne rentre pas dans l’intervalle défini pour utiliser la formule de

l’intervalle de fluctuation du cours.

Exercice D.25 : Prise de décision - les bases 29 p 21729.a. oui.29.b. non.29.c. oui.

Exercice D.26 : Prise de décision 31 p 21731.a. [0, 21 ; 0, 31].31.b. f ≈ 0, 325.31.c. Non.

Exercice D.27 : Prise de décision - Musée du Louvre 34 p 21834.a. [0, 45 ; 0, 73]. Pas de conclusion possible.34.b. [0, 55 ; 0, 33]. La fréquentation de la population française a augmenté.


Chapitre E

Algorithmique

Année scolaire 2018-2019

85

§ E 1 Algorithmique : Les bases

E.1. i Historique rapideα. Le mot « algorithme » vient du mathématicien Perse Al-Khawarizmi (780-850), considéré comme

le père de l’algèbre moderne car il fut le premier à classer les équations en fonction des méthodesde résolution connues. Il a aussi largement contribuer à l’utilisation écrites des chiffres indiens (voirHistoire Universelle des chiffres p 879 sur l’origine de nos chiffres actuels), encore utilisé aujourd’hui.

Table E.1 – Al-Khawarizmi est né vers 783 à Khiva (Ouzbeskistan)

β. Durant la deuxième guerre mondiale, un mathématicien anglais, Alan Turing (1912-1954), fut lepremier à étudier ce qui s’appelle encore aujourd’hui les machines de Turing. Cette machine réa-lisait un nombre fini mais important d’instructions automatiques. Cette machine est l’ancêtre del’ordinateur. Elle a permis de décoder le code ”Énigma” des nazis avec l’ambition de tester les 159trillions de possibilités de la machine de codage. Ainsi la guerre a pu être écourtée et des millionsde morts furent épargnés.

Table E.2 – Alan Turing

γ.

L’algorithmique c’est beaucoup développé au vingtième siècle avec l’arri-vée de l’informatique personnelle et des objets utilisant la programmation(téléphone, télévision, voiture, systèmes de guidage, satellites, appareilélectroménager, …). Donald Knutt, né en 1938 aux États-Unis et pro-fesseur émérite en informatique à l’université de Stanford a largementcontribué à la formalisation de l’algorithme, en particulier sur les tris.De plus, il a créé un logiciel libre d’écriture de documents scientifiquesTeX encore aujourd’hui largement utilisé.

Table E.3 – Donald Knutt


À partir de ces trois histoires, une définition du mot algorithme peut être :

Un algorithme est une suite finie d’opérations précises et sans ambigüité permettant, dans tous les cas,de donner le résultat attendu en fonction des variables de départ. Un algorithme doit être compré-hensible pour tous les langages de programmation utilisés ultérieurement afin de réaliser les résultatsde cet algorithme et doit se finir dans un temps raisonnable.


:::::::::E.1 :

E.1. ii Langage naturel : méthode VIPSLe programme officiel ne prévoit aucune formalisation en lycée, aussi la proposition suivante n’est elle

qu’indicative afin de fixer un langage commun. Un algorithme en langage naturel se décompose en quatreétapes.Dans l’écriture d’un programme en langage naturel, il faut toujours imaginer que l’utilisateur du pro-gramme n’est pas forcément le programmeur. Donner des noms signifiants aux variables utilisées, utiliserrégulièrement des messages pour prévenir des actions à venir, suivre un déroulement du programme logiquepour l’utilisateur, signaler les cas particuliers, afficher les résultats dans tous les cas possibles, sont desactions à réaliser tout au long du programme.Enfin, il est conseillé de rajouter, sans aucune obligation, des commentaires qui permettent la compréhen-sion de l’algorithme. Les commentaires sont précédés des caractères : ] pour le langage naturel et pour lelangage de programmation Python ou // pour les langages de programmation Scilab et X-Cas. Les motssurligné en vert désignent des actions pour l’algorithme étudié.

Cette méthode distingue quatre étapes dans un algorithme :

α. V pour déclaration des V ariables.Il s’agit d’une étape de déclaration des variables. Il reste indispensable de préciser pour chaquevariable le type de donné correspondant : nombre entier (naturel ou relatif), nombre décimal,nombre rationnel réel ou complexe, caractère, suite de caractère, liste, ...De même, préciser le rôlede la variable permet de mieux comprendre le fonctionnement de l’algorithme.Exemples : Pi est un nombre réel

a, b etc sont des entiers naturels. Nombres nécessaire au calcul.adresse est une chaîne de caractères. Adresse étudiée.

β. I pour I nitialisation et saisie de ces variables.Par défaut les variables numériques valent zéro et les variables de caractères sont vides. Il s’agitde l’étape dans laquelle doit être précisé toutes les valeurs nécessaires à la réalisation de l’algo-rithme.Dans cette étape, se fera la distinction entre les variables entrées par l’utilisateur et lesvariables muettes, utilisée uniquement par le programmeur et l’ordinateur.Exemples : Pi ←3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

adresse ←23 avenue François Mitterrand] ici les variables Pi et adresse sont muettes.

Saisir (a, b, c)

] ici c’est l’utilisateur qui entre les valeurs de a, b ou c qui doivent être des entiers naturelsnécessaires au calculs de l’algorithme.

γ. P pour P rogramme ou traitement des données.Il s’agit du corps de l’algorithme. Il est formé d’une suite finie d’opérations comprenant des tests,


des opérations mathématiques, des structures conditionnelles, des alternatives, des répétitions.Voici une liste non exhaustive des opérations logiques possible dans les programmes.— Alternative simple :

. .Si condition 1 [ . .et condition 2 ... . .et condition n]

. . . . .Alors début de alors bloc d’instructions fin de alors[ . . . . .Sinon début de sinon bloc d’instructions fin de sinon ]Fin de si] Les instructions entre crochet ne sont pas obligatoires.] Les début et fin de alors ou sinon peuvent ne pas être écrit.

— Alternative multiple :

. . . . . .Selon . . . .que .condition 1 : Bloc d’instructions 1condition 2 : Bloc d’instructions 2

...condition n : Bloc d’instructions n

fin de selon

— Boucle bornée ou finie :Pour Identificateurs variables de Valeur début à Valeur fin [Pas] Faire Bloc d’instructionsfin de pour

— Boucle non bornée ou infinie :Tant que ConditionFaire Bloc d’instructionsfin de tant que] Dans cette répétition le faire peut n’être jamais utilisé.] Très utilisé pour les contrôles.

δ. S pour S ortie ou affichage des résultats.Permet de réaliser l’affichage du résultat ou le dessin d’une figure sur l’écran de sortie.Afficher Texte ou (inclusif) valeurs de variablesDessiner point (x, y)

Dessiner segment (xA, yA, xB, yB)

Dessiner cercle (x, y, rayon)Les instructions suivantes doivent exister pour tous les langages de programmation.Couleur trait couleurÉpaississeur trait épaisseur


E.1. iii Les langages de programmation :La quantité de langage de programmation est importante, pour les besoins du lycée quelques langages

sont sélectionnés ci-dessous. Pour les machines à calculer, les modèles les plus fréquents sont dans l’ordrealphabétique : Casio et TI qui seront repris dans la documentation des instructions ci-dessous. Il est ànoté que la marque HP se relance dans le domaine, qu’il existe deux marques de machines à calculerqui réalise les calculs algébriques en lien avec le langage de programmation X-Cas, TI et H.P. pour lesmachines : TI-nspire CX CAS - H.P. 40gs - HP50g. Enfin, il existe maintenant une machine qui programmedirectement en langage Python, la Numworks qui de plus est française et totalement libre de modificationet de réparation...Quelque soit votre machine à calculer, il est indispensable de récupérer sur les sites desvendeurs la version complète de la documentation de votre machine à calculer. Cette documentation n’estpas vendu avec la machine et n’est pas à imprimer car elle représente une quantité importante de page.Cette documentation doit toujours être sur une de vos clé USB pour y faire régulièrement référence...Pour les langages de programmation, trois sont retenu ici pour leur importance dans le post-bac : Pythonpour les études scientifique, Scilab pour les études commerciales et X-Cas pour les études à la faculté.en effet X-Cas est développé par l’université de Grenoble...Voici les sites de téléchargement gratuit de cestrois langages de programmation.

— Python : plusieurs éditeurs existent, pour le lycée la version Edupython est conseillée.https://edupython.tuxfamily.org/

— Scilab : le site officiel est le suivant.https://www.scilab.org/fr

— X-Cas : le site officiel est le suivant.https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr

Pour Edupython et X-Cas vous pouvez réaliser une clé USB permettant de d’utiliser ces langagesde programmation sur tous les ordinateurs à votre disposition en suivant l’une des quatre possibilitésci-dessous :

— Directement à partir des sites référencé ci-dessus. réaliser l’installation directement sur votre cléUSB.

— À partir d’une clé USB qui fonctionne déjà avec les langages de programmation Edupython ouX-Cas.

— À partir du site du lycée dans l’espace pédagogique de Notre Dame, vous trouverez un sous répertoireMathématiques seconde qui contient un sous répertoire à copier intégralement pour chaquelangage de programmation.

— Pour utiliser plus rapidement les langages de programmation précédent, vous pouvez dans un pre-mier temps copier les deux sous répertoires précédents sur votre bureau personnel. Attention, ils neseront copiés que sur le poste sur lequel vous effectuer cette copie.

ÿBò“nfflþ ÿ`có˘u˚rà`gé...þ


Pour les machines à calculer, il est conseillé de télécharger la documentation complète de sa propremachine à calculer sur les sites officiels ci-dessous :

— Casio : http://www.casio-education.fr/products?utf8=%E2%9C%93&q%5Bproduct_type_parents_— H.P. : http://www.calculatrices-hp.com/index.php?page=manuels-et-guides— Numworks : https://www.numworks.com/fr/ressources/manuel/— T.I. : https://education.ti.com/fr/guidebook/search/graphing-calculators

Sur les adresses ci-dessus, vous trouverez facilement en plus de la documentation pour les instructions deprogrammation, les étapes du passage et du retrait du mode examen et les mises à jour des logiciels devotre machine à calculer.

Pour le mode examen, le mode opératoire pour toutes les machines à calculer est le suivant :α. Connecter votre machine à calculer sur votre ordinateur.β. Sauvegarder le contenu de votre machine à calculer sur votre ordinateur.γ. Vous devez vous présentez le jour de l’évaluation avec une machine à calculer avec le mode examen

non activé. Un surveillant doit vérifier que les machines sont sans le mode examen.δ. Le jour de l’évaluation, une fois installé dans la salle, vous devez savoir activer le mode examen

avec la séquence de touches adaptées à votre machine à calculer.ε. Après l’évaluation, vous pouvez quitter le mode examen à partir d’une deuxième machine à calculer

comme la votre ou à partir de votre ordinateur.ζ. Si vous êtes sur votre ordinateur, vous pouvez ré-installer le contenu de la mémoire de votre machine

à calculer.η. La procédure est écrite sur la documentation de votre machine à calculer ou sur des vidéos sur

les sites officiels des marques de machines à calculer. Vous trouverez ci-dessous une vidéo pour lesprincipaux modèles.

Vidéos d’activation et de désactivation du mode examen :— Casio : https://youtu.be/lFoktjposmI— H.P. : https://youtu.be/z6CXjD4Q1qk— Numworks :

activation https://youtu.be/f-wAWjKl-IE - désactivation https://youtu.be/bDLml8pdVXE— TI : https://youtu.be/JHMBCoXqlCg— TI nspire : https://youtu.be/e6_oBQBnjcc

Voici maintenant la suite de touches nécessaire pour activer le mode examen :— Casio 25 - 35 - 75 -90 :

À partir de la machine à calculer éteinte, appuyer simultanément sur les touches cos 7 on ,puis confirmer avec les touches F1 puis F2 et enfin exit .

— H.P. Prime : À partir de la machine à calculer allumée, appuyer simultanément sur les touches Escon , puis confirmer avec les touches début (sur l’écran) puis esc

— Numworks : À partir de la machine à calculer allumée, appeler le menu d’accueil avec la toucheMaison qui est jaune, puis à l’aide des flèches directionnelles aller chercher le menu ”paramètre”appuyer sur ok . À l’aide de la flèche vers le bas aller chercher le menu ”Mode examen” , confirmeravec la touche ok , valider à nouveau avec la touche ok . Enfin, se déplacer sur l’écran sur lafenêtre ”valider” et valider avec la touche ok .

— T.I. 82 - 83 : À partir de la machine à calculer allumée, appuyer simultanément sur les touchesannule entrer on , attendre que la machine à calculer s’allume, puis confirmer en validant lafenêtre ”ok” à l’aide de la touche zoom .

— T.I. n’spire : À partir de la machine à calculer éteinte, appuyer simultanément sur les touches escon , valider avec la touche au milieu de la souris ok . La machine à calculer se relance en modeexamen.


E.1. iv Instructions du langage naturelCasio

Langage naturel Casio

Nom du programme ======Texte ======Déclarer une variable ] rien à indiquerSaisir ou lire ou demander une variable (àl’utilisateur)

”Texte” ?→A ← æ

Affecter la valeur B à la variable APeut aussi s’écrire A← Bou A prend la valeur B

B→A

ConditionsUne condition est un test vérifiant une égalité = ,une différence 6= ou une inégalité < , > , 6 ou>

Alternative simpleSi … Alors ... Sinon

. .If condition(s)

. . . . .Then bloc instruction(s)[ . . . .Else Bloc instruction(s)]IfEnd

Alternative multipleSelon que ...

] Il n’existe pas de syntaxe spécifique. Il faut réa-liser une suite de . .If, de . . . . .Then et de . . . .Else

Boucle bornéePour ... allant de ... à ... avec un pas de ...

FOR départ→variable TO arrivée [ STEP in-crément]Blocs d’instruction(s)NEXT

Boucle non bornéeTant que ... Faire ...

While condition(s)Bloc d’instruction(s)WhileEnd] Autre solutionDo Bloc d’instruction(s)LpWhile condition(s)

Afficher la variable A A Jobtenu avec Shift+Vars+F5

Afficher le texte ”Texte”Afficher texte et variable

Affichage sur une même ligne

Locate x,y,”Texte”1 6 x 6 21 numéro de colonne1 6 y 6 7 numéro de ligneFonctionne aussi avec des variables ou des valeurs

Fin de programme Jobtenu avec Shift+Vars+F5


Texas Instrument

Langage naturel T.I.

Nom du programme PROGRAM : TexteDéclarer une variable ] rien à indiquerSaisir ou lire ou demander une variable (àl’utilisateur)

:INPUT ”Texte”,A:PROMPT A

Affecter la valeur B à la variable APeut aussi s’écrire A← Bou A prend la valeur B

: B→A

ConditionsUne condition est un test vérifiant une égalité = ,une différence 6= ou une inégalité < , > , 6 ou>


. .If condition(s)

. . . . .Then bloc instruction(s)[ . . . .Else Bloc instruction(s)]End


. .If condition(s)

. . . . .Then Bloc instruction(s)

. . . . . .ElseIf Bloc instruction(s)[ …. . . . . .ElseIf Bloc instruction(s) ]. . . .Else Bloc instruction(s)End

Boucle bornéePour ... allant de ... à ... avec un pas de ... FOR (variable, départ,arrivée [, incrément])


While condition(s)Bloc d’instruction(s)End

Afficher la variable A Disp AAfficher le texte Disp ”Texte”Afficher texte et variable Disp ”Texte”,A

Affichage sur une même ligneoutput (x,y,”Texte”)1 6 x 6 8 numéro de ligne1 6 y 6 16 numéro de colonne

Fin de programme END


Python

Langage naturel Python

Nom du programme ] Nom du fichierDéclarer une variable ] rien à indiquer

Saisir ou lire ou demander une variable (àl’utilisateur)

A= input (”Saisir A : ”) voir la remarque ci-dessousou demande (”Saisir A : ”) avec Édupython

Affecter la valeur B à la variable APeur aussi s’écrire A← Bou A prend la valeur B

A=B

ConditionsUne condition est un test vérifiant une égalité = ,une différence = ! ou une inégalité < , > , <=ou >=


.if condition(s) :bloc instruction(s)[ . . .else Bloc instruction(s)]

] Attention les connecteurs logiques doiventêtre alignés verticalement et les instructions dansle connecteur logique doivent être alignées et endécalage par rapport au connecteur logique

Alternative multipleSelon que ... in case of


for variable in range (départ, arrivée+1 [, pasincrément ]) :] Attention dans la commande ci-dessus, la va-riable varie effectivement de départ à arrivée in-clus !


while condition(s) :Bloc d’instruction(s)

Afficher la variable A print (A)Afficher le texte print (”Texte”)Afficher texte et variable print (”Texte”,A)Fin de programme Rien

Lorsque Édupython n’est pas utilisé, il faut déclarer dans Python le type de variable avec l’instructioninput . Voici quelques types possibles.

α. Le type bool : représente une valeur binaire logique (True ou False).β. Le type int : valeurs entière codée sur 32 bits.γ. Le type long : valeur entière sans limite de taille.

δ. Le type float : valeur numérique à virgule.ε. Le type complex : valeur numérique correspondant à un nombre complexe (de la forme z =

a+ ib).

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::E.1 :


ζ. Le type str : chaine de caractères.η. il existe d’autre types de variable avec Python : séquences,... L’instruction Type permet de

savoir quel est le type d’une variable donnée.θ. n = int input (”Valeur de n : ”). Le input n’ouvre pas de boite de dialogue contrairement à

l’instruction demande .

α. En Python : les instructions dans les boucles bornées ou non doivent être alignées et endécalage par rapport à la première instruction de la boucle bornée ou non. Cette remarquereste vraie pour les instructions conditionnelles.

β. Le symbole ”=” ne correspond pas à celui des mathématiques, il s’agit d’une assignation (prendla valeur de ).

γ. Dans une boucle bornée, il n’est pas possible de changer la valeur de boucle. Les bouclesbornées fonctionnent comme un compteur.

δ. Dans une boucle bornée, pour atteindre la dernière valeur n, il faut entrer la valeur n+ 1.

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::E.2 :


Scilab

Langage naturel Scilab

Nom du programme ] Nom du fichierDéclarer une variable ] rien à indiquerSaisir ou lire ou demander une variable (àl’utilisateur) input (A)


A=B

Conditions


.if condition(s)

. . . . .then bloc instruction(s)[ . . .else Bloc instruction(s)]end


select (variable)case entier1then Bloc d’instruction(s) ;case entier2 then Bloc d’instruction(s) ;· · ·case entier n then Bloc d’instruction(s) ;else Bloc d’instruction(s) ;end


for variable=départ :[ pas incrément :] arrivée ,Bloc d’instructions,end


While condition(s)Bloc d’instruction(s)End

Afficher la variable A afficher (A)Afficher le texte afficher ”Texte”Afficher texte et variableFin de programme Rien


Xcas

Langage naturel XCas

Nom du programmeTexte (sans espace et une seule majuscule en dé-but de nom) avec les variables à saisir entre paren-thèses et les symboles := pour finir la ligne

Déclarer une variable]Seules les variables locales sont à préciser dansune ligneLocal a,b, · · · ,z ;

Saisir ou lire ou demander une variable (àl’utilisateur)

] rien à faire car les variables sont saisies dans laligne de lancement du programme


A :=B

ConditionsUne condition est un test vérifiant une égalité== , une différence != ou une inégalité < , > ,<= ou >=


. .si condition(s) . . . . .alors Bloc d’instruction(s) [. . . . . .sinonBloc d’instruction(s)] fsi ;


switch (variable) case entier1 : bloc d’instruction(s)case entier2 : Bloc d’instruction(s)· · · case entier n :Bloc d’instruction(s)default : Bloc d’instruction(s)


pour variable de départ jusque arrivée [ pas in-crément]faire Bloc d’instructions ;fpour ;


tantque condition(s)faire Bloc d’instruction(s)ftantque

Afficher la variable A return A ;ou afficher (A)

Afficher le texte afficher (”Texte”)Afficher texte et variable afficher (”Texte” + A)Fin de programme : ;


E.1. v Opérations mathématiquesCasio

Langage naturel Casio

AlgèbrePartie entière du réel aE(a) ou bac Intg(a) ou Int(a)

Quotient de la division euclidienne de a parb Intg(a/b) ou Int(a/b)Reste de la division euclidienne de a par b a−b×Int(a/b)Quotient et reste dans la division euclidienneTest de primalité de l’entier nDécomposition en facteurs premiersPlus Grand Commun Diviseurpgcd(a, b)Plus Petit Commun Multipleppcm(a, b)Relation de Bézoutau+ bv = d

Géométrie

Affichage sur une même ligne

Locate x,y,”Texte”1 6 x 6 21 numéro de colonne1 6 y 6 7 numéro de ligneFonctionne aussi avec des variables ou des valeurs

Tracer une droite

DrawF expression] expression est une fonction de x

] Pour les droites parallèles à l’axe des ordonnéesprévoir avant l’instruction : Type X

AnalysePuissance an a∧n

Racine carré du réel a 2nde x2 donne √

Arrondi du réel x rnd(x)Valeur absolue du réel x abs(x)

ProbabilitésCoefficients binomiaux

(np

)ou Cp

n nCr

P (X = k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)

Binomial P.DDans le menu : STAT → DIST → BNM → BPD

P (X 6 k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)

Binomial C.DDans le menu : STAT → DIST → BNM → BCD


Texas Instrument

Langage naturel T.I.

AlgèbrePartie entière du réel aE(a) ou bac partEnt(a) ou int(a) ou ent(a)

Quotient de la division euclidienne de a parb partEnt(a/b) ou int(a/b) ou ent(a/b)

Reste de la division euclidienne de a par b a−b×int(a/b)Sur les derniers modèles reste(a, b)

Quotient et reste dans la division euclidienneTest de primalité de l’entier nDécomposition en facteurs premiersPlus Grand Commun Diviseurpgcd(a, b)Plus Petit Commun Multipleppcm(a, b)Relation de Bézoutau+ bv = d

Géométrie

Affichage sur une même ligneoutput (x,y,”Texte”)1 6 x 6 8 numéro de ligne1 6 y 6 16 numéro de colonne

Tracer une droite

Line <coordonnée 1 de x>,<coordonnée 1 dey>,<coordonnée 2 de x>,<coordonnée 2 de y>] Sur la documentation, la fonction est Line estexpliquée comme ci-dessus. Les coordonnées sontcelles des points A et B définissant le droite à tra-cer

AnalysePuissance an a∧n

Racine carré du réel a 2nde x2 donne √

Arrondi du réel x round(x)Valeur absolue du réel x abs(x)


(np

)ou Cp

n nCr ou combinaison

P (X = k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)

Binompdf(n,p,k)Dans le menu : 2nd DISTR → Binompdf ou Bi-nomFdp

P (X 6 k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)

Binomcdf(n,p,k)Dans le menu : 2nd DISTR → Binomcdf ou Bi-nomFrep


Python

Langage naturel Python

AlgèbrePartie entière du réel aE(a) ou bac floor(a)

Quotient de la division euclidienne de a parb quotient(a, b)Reste de la division euclidienne de a par b a%b ou reste(a, b)Quotient et reste dans la division euclidienneTest de primalité de l’entier nDécomposition en facteurs premiersPlus Grand Commun Diviseurpgcd(a, b)

pgcd(a, b)

Plus Petit Commun Multipleppcm(a, b)Relation de Bézoutau+ bv = d

GéométrieAffichage sur une même ligneTracer une droite

AnalysePuissance an a ∗ ∗nRacine carré du réel a sqrt(a)Arrondi du réel x floor(x)Valeur absolue du réel x abs(x)


(np

)ou Cp

n binomial(n, p)

P (X = k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)P (X 6 k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)


Scilab

Langage naturel Scilab

AlgèbrePartie entière du réel aE(a) ou bacQuotient de la division euclidienne de a parbReste de la division euclidienne de a par bQuotient et reste dans la division euclidienneTest de primalité de l’entier nDécomposition en facteurs premiersPlus Grand Commun Diviseurpgcd(a, b)Plus Petit Commun Multipleppcm(a, b)Relation de Bézoutau+ bv = d

GéométrieAffichage sur une même ligneTracer une droite

AnalysePuissance an puissance(a, n)Racine carré du réel a sqrt(a)Arrondi du réel x floor(x)Valeur absolue du réel x abs(x)


(np

)ou Cp

n

P (X = k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)P (X 6 k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p)


Xcas

Langage naturel X-Cas

AlgèbrePartie entière du réel aE(a) ou bac floor(a)

Quotient de la division euclidienne de a parb iquo(a, b)Reste de la division euclidienne de a par b irem(a, b)Quotient et reste dans la division euclidienne iquorem(a, b)Test de primalité de l’entier n isprime(n)Décomposition en facteurs premiers ifactor(a)Plus Grand Commun Diviseurpgcd(a, b)

gcd(a, b)

Plus Petit Commun Multipleppcm(a, b)

lcm(a, b)

Relation de Bézoutau+ bv = d

iegcd(a, b)donne [u, v, d]

GéométrieAffichage sur une même ligne Voir afficher texte + variable dans la partie des

instruction du langage naturel

Tracer une droite

droite (A,B)ou droite (A,pente=m)ou droite (ax+ by + c = 0)ou droite (A,u))

] trace la droite (AB) ou la droite passantpar A et de pente m ou de vecteur directeur −→uou d’équation ax+ by + c = 0

] L’instruction plot permet de tracer diffé-rentes courbes dont les droites...

AnalysePuissance an pow(a, n) ou a∧n

Racine carré du réel a sqrt(a) ou a∧(1/2)

Arrondi du réel x approx(x, n) ou evalf(x, n)donne les n premiers chiffres pour le nombre x

Valeur absolue du réel x abs(x)


(np

)ou Cp

n binomial(n, p)

P (X = k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p) binomial(n, k, p)

P (X 6 k), pour une loi binomiale X →ÿBþ(n; p) binomial_cdf(n, p, k)


§ E 2 Algèbre

E.2. i Théorème fondamental de l’arithmétique et applications.V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþ

n est un entier strictement supérieur à 1. ] L’entier naturel étudié.p est un entier. ] Le nombre de diviseur de l’entier étudié n.m et l sont des entiers. ] Variables locales.k est un entier. ] Indice de boucle bornée.

InitialisationSaisir ”L’entier naturel supérieur à 1 étudié n est ?” n

Tant que n < 2 . .et bnc 6= n FaireAfficher ”n doit être un entier naturel strictement supérieur à 1”Saisir ”L’entier naturel supérieur à 1 étudié n est ?” n

Fin de tant quem← nl← 0p← 1

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k allant de 2 à bn

2c

Tant que k divise n Fairel← l + 1m← m

k

Fin de tant que. .Si. l 6= 0

. . . . . .alors, . Afficher ”k exposant l”p← p× (l + 1)l← 0

Fin de siFin de pour

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`gé. .Si. p = 1

. . . . . .Alors,. p← 2

Afficher ”n est un nombre premier”Fin de si

Afficher ”Le nombre de diviseurs de n est : p”Fin de programme

Cet algorithme permet de réaliser la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel n stricte-ment supérieur à 1 et d’afficher le nombre de diviseur de cet entier naturel n.


E.2. ii CodageCodage de Jules César ou arithmétique

Comment les mathématiques enrichissent l’informatique ... et ... réciproquement.


E.2. iii Conjecture de GoldbachLa conjecture de Goldbach prétend que tous les nombres pairs strictement supérieur à 2 peuvent s’écrire

comme la somme de deux nombres premiers.Pour les nombres impairs, la conjecture est fausse. Par exemple 11 et 179 n’ont pas de décomposition ensomme de deux nombres premiers. Voici un algorithme qui donne une solution pour un nombre pair donné.

V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est l’entier naturel pair étudié.x et y sont deux nombres premiers dont la somme vaut n.s et t sont deux variables booléenne vérifiant si x et y sont premiers.

InitialisationSaisir n

Tant que n < 3 . .et bnc 6= n

Afficher n doit être un entier naturel strictement supérieur à 2Saisir n

Fin de tant queP ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚t

Pour x Allant de 2 à n− 2s← x est un nombre premier ?. .si s est vrai

. . . . . .alors, y ← n− xt← y est un nombre premier ?. .si t est vrai

. . . . . .alors, Afficher n = x+ y

Arrêter le programmeFin de si


Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géL’affichage du résultat est dans la partie programme.

— Cet algorithme fonctionne aussi pour les nombres impairs mais ne donne pas toujours desolution...

— Cet algorithme ne donne qu’une solution.— La boucle Pour peut être arrêter à bn−2

2c+ 1 = dn−2

2e.

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::E.3 :


Voici maintenant un algorithme qui affiche toutes les solutions ainsi que le nombre Gn de solutionstrouvées.

V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est l’entier naturel pair étudié.x et y sont deux nombres premiers dont la somme vaut n.s et t sont deux variables booléenne vérifiant si x et y sont premiers.Gn est le nombre de décomposition de l’entier n en somme de deux nombres premiers.

InitialisationSaisir n

Tant que n < 3 . .et bnc 6= n

Afficher n doit être un entier naturel strictement supérieur à 2Saisir n

Fin de tant queGn ← 0

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour x Allant de 2 à dn−2

2e

s← x est un nombre premier ?. .si s est vrai

. . . . . .alors, y ← n− xt← y est un nombre premier ?. .si t est vrai

. . . . . .alors, Afficher n = x+ yGn ← Gn + 1

Fin de siFin de si

Fin de pourSÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`gé

Afficher Le nombre de décompositions de l’entier n est Gn


E.2. iv Forme simplifiée de la racine carrée d’un entier naturelTexte

Objectif : Dans ce travail pratique, nous allons déterminer la forme simplifiée de la racine carréed’un nombre entier naturel.

α. Penser à utiliser la dernière version du document partagé dans l’espace commun de votre classeet intitulé ”Algorithmie - Langage naturel et principales instructions”.

β. Vous aurez besoin dans ce travail pratique de la fonction partie entière d’un réel x qui ce noteE(x) ou bxc. Cette fonction est à votre disposition sur toute les machines à calculer et danstous les langages de programmation. Pour trouver l’instruction précise correspondant à cettefonction, il suffit de ce référer au document précédent.La fonction partie entière est une fonction définie de l’ensemble des nombres réels dans l’en-semble des entiers relatifs.De plus, tous les réels x sont compris entre un entier relatif n et son successeur, i.e. :n 6 x < n+ 1 et dans ce cas E(x) = bxc = n.

E : R→ Z

x 7−→ n

γ. Représentation graphique de la fonction partie entière :

:::::::::::::::::::::::::::::::::Remarques préalables :

1.a. Rappeler la définition complète de la fonction racine carrée.1.b. Pour un entier naturel n, la forme simplifiée de sa racine carrée est la forme

√n = a

√b avec l’entier

naturel a le plus grand possible. À l’aide de nombres entiers naturels, simplifier, lorsque cela est possible,les écritures des nombres suivants : a =

√25, b =

√72, c =

√83, d =

√159, e =

√242, f =

√2018,

g =√2048, h =

√5865300.

1.c. Quelle(s) propriété(s) de la fonction racine carrée utilisez-vous ?1.d. Écrire un algorithme en langage naturel permettant d’obtenir la forme simplifiée de la racine carrée

d’un entier naturel.1.e. Traduire cet algorithme sur votre machine à calculer et en langage X-Cas et ÉduPython.1.f. Question bonus : Modifier l’algorithme précédent afin que si les entiers naturels a ou b sont égaux

à 1 le résultat n’affiche pas le 1.


Réponses

1.a.

La fonction définie de R+ dans R+ qui a tous les réels positifs x associe le réel positif a dont le carrévaut x est la fonction racine carrée et se note a =

√x.


::::

1.b. a = 5, b = 6√2, c =

√83, d =

√159, e = 11

√2, f =

√2018, g = 32

√2 et h = 210

√133.

1.c.

Soient a et b deux entiers naturels.α.√ab =

√a√b.

β.√a2 = a.

γ.√a2b = a

√b.


:::::

BBBBBBBBBB

Langage naturel

Voici un algorithme par tâtonnement. Il suffit d’essayer toutes les valeurs entières k comprise entre 2et b√nc et de savoir si k2 divise l’entier de départ.

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est l’entier naturel dont on cherche la forme simplifiée la racine carrée.a et b sont les nombres entiers naturels tels que

√n = a

√b.

k est une variable muette.Initialisation

a← 1

Saisir nTant que n n’est pas un entier naturel Faire

Afficher n doit être un entier naturel.Saisir nFin de tant que

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tb← n

Pour k Allant de 2 à b√nc Faire

# b√nc est la partie entière du nombre

√n

. .Si k2 divise b . . . . . .Alors,a← a× kb← b

k2

k ← k−1


Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher La forme simplifiée de

√n est a

√b


Pour un affichage plus rigoureux, la partie affichage de l’algorithme doit être remplacée par les instruc-tions suivantes :. .Si a = 1 . .et b = 1 . . . . . .Alors, Afficher Le nombre saisi est 1 donc la racine carrée est aussi 1.... .Si a = 1 . .et b 6= 1 . . . . . .Alors, Afficher La forme simplifiée de la racine carrée de n est :

√b.

. .Si a 6= 1 . .et b = 1 . . . . . .Alors, Afficher n est le carré de l’entier naturel a.

. .Si a 6= 1 . .et b 6= 1 . . . . . .Alors, Afficher La forme simplifiée de la racine carrée de n est : a√b.

Certains langages de programmation, comme Python, ne permettent pas une progression de la variabledu compteur autre que celle choisie dans les paramètres initiaux de la boucle (incrémentation de + 1, +2,-1 etc.). Cette boucle devient un compteur du nombre d’itérations. Dans ce cas l’instruction conditionnelle. .Si doit être remplacer par une boucle non bornée Tant que . Voici un autre algorithme en langage naturelpossible.


√n = a

√b.


a← 1






√n

Tant que k2 divise b

a← a× kb← b

k2

Fin de Tant queFin de pour

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`gé. .Si a = 1 . .et b = 1 . . . . . . .Alors, Afficher Le nombre saisi est 1 donc la racine carrée est aussi 1.... .Si a = 1 . .et b 6= 1 . . . . . . .Alors, Afficher La forme simplifiée de la racine carrée de n est :

√b.

. .Si a 6= 1 . .et b = 1 . . . . . . .Alors, Afficher n est le carré de l’entier naturel a.

. .Si a 6= 1 . .et b 6= 1 . . . . . . .Alors, Afficher La forme simplifiée de la racine carrée de n est : a√b.


Il est aussi possible de déterminer directement le plus grand carré d’un entier naturel divisant l’entiernaturel de départ n.


√n = a

√b.


a← 1






√n

. .Si k2 divise n . . . . . .alors,a← kb← n

k2



√b.



Autre solution avec un drapeau ou une variable booléenne.



√n = a

√b.

k est une variable muette.c est un booléen qui prend les les valeurs 0 ou 1

InitialisationSaisir nTant que n n’est pas un entier naturel Faire


a← b√nc+ 1

c← 0

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tTant que a > 0 . .et c = 0

b← 0a← a− 1

Tant que a2b 6 n et c = 0

b← b+ 1

. .Si a2b = n . . . . . .Alors,c← 1

Fin de siFin de tant que

Fin de tant queSÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`gé

. .Si a = 1 . .et b = 1 . . . . . . .Alors, Afficher Le nombre saisi est 1 donc la racine carrée est aussi 1...

. .Si a = 1 . .et b 6= 1 . . . . . . .Alors, Afficher La forme simplifiée de la racine carrée de n est :√b.



Ou plus original.



√n = a

√b.




j ← 0a← 1b← n

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k allant de 2 à b

√nc

Tant que k divise b

b← bk

a← kaj ← j + 1

Fin de tant que. .Si k est pair . . . . . .Alors,

b← bka← a

k

Fin de sik ← 0 Fin de pour

a←√a


√b.




E.2. v ProgrammationProgramme Xcas

fsrcen(n) :=local a,b,k ;a :=1 ;tantque floor(n) !=n faireafficher (”n doit être un entier naturel.”) ;saisir(n)ftantque ;tantque n<0 faireafficher (”n doit être un entier naturel.”) ;saisir(n)ftantque ;b :=n ;pour k de 2 jusque floor(sqrt(n)) fairesi floor(b/k2) == b/k2 alors a :=a*k ;b := b/k2 ;k :=k-1 ; fsi ;fpour ;si a==1 et b==1 alors afficher(” Le nombre saisi est 1 donc la racine carrée est aussi 1...”) fsi ;si a==1 et b !=1 alors afficher (”La forme simplifiée de la racine carrée de n est : racine carrée de ”+b+”.”)fsi ;si a !=1 et b=1 alors afficher (n+” est le carré de l’entier naturel ”+a+”.”) fsi ;si a !=1 et b !=1 alors afficher (”La forme simplifiée de la racine carrée de n est : ”+a+” x racine carrée de”+b+”.”) fsi ;retourne ”Merci” ; : ;

Programme Édupython

from lycee import *n=demande(”L’entier naturel n est : ”)while floor(n) !=n :

print(”n doit être un entier naturel”)n=demande(”L’entier naturel n est : ”)

a=1b=nfor k in range (2,floor(sqrt(n))+1) :

while floor(b/k**2)==b/k**2 :a=a*kb=b/k**2

if a==1 and b==1 :print (”Le nombre saisi est 1 donc la racine carrée est aussi 1...”)

if a==1 and b !=1 :print (”La forme simplifiée de la racine carrée de ”,n,” est racine carrée de ”,b)

if a !=1 and b==1 :print(n,”est le carré de l’entier naturel”,a)

if a !=1 and b !=1 :print (”La forme simplifiée de la racine carrée de ”,n,” est ”,a,”fois racine carrée de ”,b)


§ E 3 Géométrie


§ E 4 Analyse

E.4. i Limites de suitesTexte

Contrairement aux fonctions réelles, la seule limite nécessaire à calculer pour la suite numérique (un)n∈Nest lorsque l’entier naturel n tend vers +∞ ce qui est équivalent à l’entier naturel n est suffisamment grand.Soit l un réel. Il existe quatre possibilités pour la limite d’une suite.

1.a. Nommer chaque cas possible pour la limite d’une suite.1.b. Dans chaque cas donner un exemple différent de ceux de cet exercice.1.c. Conjecturer puis démontrer à l’aide des théorèmes généraux sur les suites la limite des suites ci-

dessous définie pour tous les entiers naturels n par :un = n2+1

2n2+3, vn = n× (n− 1)× ...× 3× 2× 1 avec v0 = 1, wn = (−1)n − n− 2 et xn = sin(nπ

3).

1.d. Toutes ces suites sont des fonctions de l’entier naturels n. Écrire un algorithme en langage naturelpermettant de calculer le terme de rang n de chacune de ces suites. Le rang est entré par l’utilisateur. Laprécision, lorsqu’elle est nécessaire, doit être saisie par l’utilisateur.

1.e. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de savoir si une suite numérique définie commeune fonction de n peut être aussi grande que l’on veut. La précision doit être saisie par l’utilisateur.

1.f. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de savoir si une suite numérique définie commeune fonction de n peut être aussi petite que l’on veut. La précision doit être saisie par l’utilisateur.

1.g. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de savoir si une suite numérique définie commeune fonction de n peut être aussi proche que l’on veut d’un réel entré par l’utilisateur. La précision doitêtre saisie par l’utilisateur.

1.h. Traduire ces quatre algorithmes sur votre machine à calculer puis sur langage de programmationde votre choix : X-Cas, Scilab, Édupython.

1.i. Question bonus : Utiliser les algorithmes précédents pour conjecturer la limite d’une suite définiecomme une fonction de l’entier naturel n et le tester sur le langage de programmation de votre choix.

Réponses

1.d. Pour une suite, seule la limite lorsque n → +∞ possède un sens. Dans ce cas quatre limites sontpossibles :

— Aucune limite.— La limite est un réel.— La limite est +∞.— La limite est −∞.

1.d.i. Exemples pour chaque cas :— La suite numérique (un)n∈N définie pour n ∈ N par un = (−1)n.— La suite numérique (un)n∈N définie pour n ∈ N par un =

√2 + 1

n.

— La suite numérique (un)n∈N définie pour n ∈ N par un = n.— La suite numérique (un)n∈N définie pour n ∈ N par un = −n.1.e.

— Comme n2+12n2+3

=1+

1

n2

2+3

n2

, limn→+∞ un = 12.

— Comme vn > n dès que n > 1, limn→+∞ vn = +∞.— Comme wn < −n, limn→+∞ wn = −∞.— Comme x6n = 0, x6n+1 =

12la suite numérique (xn)n∈N n’admet pas de limite.

1.f. Algorithme de calcul du terme de rang n.


V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈NInitialisation

Saisir ”Le rang du terme à calculer est ?” n

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tu← un ] écrire la fonction de l’entier naturel n étudiée.

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher ”Le terme un vaut : u”Fin de programme

1.g. Algorithme permettant de déterminer si les termes de la suite sont aussi grands que l’on veut pourdes entiers naturels n assez grand.

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme 10p.Initialisation

Saisir ”La précision p est ?” pu ← u0.

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour n allant de 1 à 109

u ← un.. .Si. u > 10p

. . . . . .alors, . Afficher ”La suite numérique (un)n∈N semble tendre vers +∞”Fin de programmeFin de si


Afficher ”La suite numérique (un)n∈N ne semble pas être aussi grande que l’on veut”Fin de programme


Autre algorithme avec un tant que.

V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme 10p.Initialisation


P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tTant que u < 10p . .et n < 109 + 1 Faire

n← n+ 1u← un


. .Si n = 109 + 1

. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers +∞”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers +∞ avec une précision de 10p”Fin de si

Fin de programme


1.h. Algorithme permettant de déterminer si les termes de la suite sont aussi petits que l’on veut pourdes entiers naturels n assez grand.

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme −10p.k est un entier naturel] Est une variable pour une boucle.Initialisation


P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k allant de 1 à 109

u ← uk.. .Si. u < −10p

. . . . . .alors, . Afficher ”La suite numérique (un)n∈N semble tendre vers −∞”Fin de programmeFin de si


Afficher ”La suite numérique (un)n∈N ne semble pas être aussi petite que l’on veut”Fin de programme



V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme −10p.Initialisation


P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tTant que u > −10p . .et n < 109 + 1 Faire

n← n+ 1u← un


. .Si n = 109 + 1

. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers −∞”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers −∞ avec une précision de −10p”Fin de si

Fin de programme


1.i. Algorithme permettant de déterminer si les termes de la suite sont aussi proches que l’on veut duréel l pour des entiers naturels n assez grand.

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme 10−p.k est un entier naturel] Est une variable pour une boucle.l est un réel.] Définit la limite éventuelle de la suite numérique (un)n∈N.Initialisation

Saisir ”La précision p est ?” p

Saisir ”La limite éventuelle l est ?” lu ← u0.

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k allant de 1 à 109

u ← uk.. .Si. |u− l| < 10−p

. . . . . .alors, . Afficher ”La suite numérique (un)n∈N semble tendre vers l”Fin de programmeFin de si


Afficher ”La suite numérique (un)n∈N ne semble pas tendre vers l”Fin de programme



V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel] Définit la précision recherchée sous la forme 10−p.l est un réel.] Définit la limite éventuelle de la suite numérique (un)n∈N.Initialisation

Saisir ”La précision p est ?” p

Saisir ”La limite éventuelle l est ?” lu ← u0.

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tTant que |u− l| > 10−p . .et n < 109 + 1 Faire

n← n+ 1u← un


. .Si n = 109 + 1

. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers l”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers l avec une précision de 10−p”Fin de si

Fin de programme

α. La boucle bornée Pour permet de sortir automatiquement de la recherche de limite après lecalcul d’un nombre, estimé raisonnable, de termes de la suite numérique (un)n∈N. L’inconvé-nient est clairement l’obligation d’arrêter le programme dès qu’une réponse positive est trouvée.Aussi, il n’est pas possible d’utiliser cette boucle dans un programme plus général comme laconjecture d’une limite demandée en question bonus.

β. La boucle non bornée Tant que est dangereuse car lorsque la suite numérique (un)n∈N netend pas vers la limite étudiée, le programme ne sort pas de la boucle. Par conséquent, il estobligatoire de ”borner” cette boucle non bornée afin de prévoir une sortie dans tous les cas.

γ. L’algorithme suivant répond à la question bonus en utilisant les boucles Tant que bornéesdes algorithmes précédents.

:::::::::::::::::Remarques

:::::::::E.5 :

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est un entier naturel. ] Définit le rang du terme de la suite numérique (un)n∈N.u est un réel. ] Définit la valeur du terme de la suite numérique (un)n∈N.p est un entier naturel. ] Définit la précision recherchée sous la forme 10−p.l est un réel. ] Définit la limite éventuelle de la suite numérique (un)n∈N.d est un entier. ] Est un drapeau qui permet de vérifier qu’une limite est trouvée.


InitialisationSaisir ”La précision p est ?” p

Saisir ”La limite éventuelle l est ?” lu← u0.d← 0.n← 1

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚t] La suite numérique (un)n∈N admet-elle comme limite −∞ ?Tant que u > −10p . .et n < 109 + 1 Faire

n← n+ 1u← un

Fin de tant que. .Si n = 109 + 1

. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers −∞”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers −∞ avec une précision de −10p”d← 1

Fin de si] La suite numérique (un)n∈N admet-elle comme limite +∞ ?n← 1

Tant que u < 10p . .et n < 109 + 1 Fairen← n+ 1u← un


. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers +∞”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers +∞ avec une précision de −10p”d← 1

Fin de si] La suite numérique (un)n∈N admet-elle comme limite l ?n← 1

Tant que |u− l| > 10−p . .et n < 109 + 1 Fairen← n+ 1u← un


. . . . . .alors, . Afficher ”Après le calcul d’un milliard de termes, la suite ne semble pas tendre vers l”

. . . . . .sinon .Afficher ”La suite semble tendre vers l avec une précision de 10−p”d← 1

Fin de siSÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`gé

] L’affichage est réalisé au fur et à mesure dans les trois recherches précédentes.] Il reste le cas de la suite qui n’admet pas de limite.. .Si. d = 0

Afficher ”La suite numérique (un)n∈N ne semble pas avoir de limite”Fin de si

Fin de programme


E.4. ii Calcul intégralTexte

Objectif : :Calcul de l’encadrement d’une intégrale par la méthode des rectangles.

Soient les deux fonctions réelles définies par f(t) = −2t+ 5 et g(x) = 3x.1.a. Calculer les deux intégrales I et J suivantes :

I =

∫ 2

1

f(t)dt et J =

∫ 2

1

g(x)dx Rappel : 3x = exln(3)

Pour le réel J, vous donnerez la valeur exacte et la valeur approchées au dix millionième.1.b. Méthode des rectangles :

Les aires Af et Ag sont délimitée par l’axe des abscisse, les droites d’équations x = 1 et x = 2, et respecti-vement de la courbe représentative de la fonction f ou g. L’intervalle fermé [1; 2] est séparé en n rectanglesde largeur 1

n. Les aires Af et Ag sont approchées par les suites, définies sur N∗, de nombres :

sn = 1n

∑n−1k=0 f(1 +

kn) pour l’intégrale I ou rn = 1

n

∑n−1k=0 g(1 +

kn) pour l’intégrale J d’une part.

Sn = 1n

∑n−1k=0 f(1 +

k+1n) pour l’intégrale I ou Rn = 1

n

∑n−1k=0 g(1 +

k+1n) pour l’intégrale J d’autre part.

1.b.i. Donner un encadrement des aires Af et Ag à l’aide des nombres sn, Sn, rn et Rn. Pourcette question vous pouvez vous aider du logiciel Géogébra et définir SommeInférieure[f,1,2,5], SommeSu-périeure[f,1,2,5], SommeInférieure[g,1,2,5] et SommeSupérieure[g,1,2,5]. Les nombres obtenus vous seronsutiles pour la suite du travail pratique. Une impression du schéma obtenu peut être introduit dans vosréponses.

1.c. Calculer les valeurs exactes puis les valeurs approchées au millionième des nombres s5, S5, r5 etR5. Puis calculer l’amplitude donnant la précision de l’encadrement des intégrales I et J obtenue.

1.d. Démontrer que sn = 2 + 1net que Sn = 2− 1

n.

1.e. Démontrer que rn = 6

n(31n−1)

et Rn = eln(3)n rn.

1.f. Déterminer les variations des suites (sn)n∈N∗ , (Sn)n∈N∗ , (rn)n∈N∗ et (Rn)n∈N∗ . Nous admettrons queles suites (sn)n∈N∗ et (Sn)n∈N∗ d’une part et (rn)n∈N∗ et (Rn)n∈N∗ d’autre part sont des suites adjacentesqui convergent respectivement vers Af et Ag.

1.g. Calcul de I : Calculer les limites des suites numériques (sn)n∈N∗ et (Sn)n∈N∗ . Retrouver le résultatde l’intégrale I de la première question.

1.h. Calcul de J : À l’aide de la définition du nombre dérivé, démontrer que limn→+∞ n(31n −1) = ln(3).

En déduire la limite des suites numériques (rn)n∈N∗ et (Rn)n∈N∗ . Retrouver le résultat de l’intégrale J dela première question.

1.i. Compte tenu des calculs des intégrales I et J et dans le but d’automatiser le calcul d’approximationd’une primitive avec une précision p fixée, quelle(s) question(s) préalable(s) faut-il se poser avant de selancer dans les calculs.

1.j. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de calculer et d’afficher l’encadrement d’uneintégrale et la précision que vous déterminerez en fonction de l’entier naturel n saisit par l’utilisateur.

1.k. Traduire cet algorithmes sur votre machine à calculer puis sur un langage de programmation devotre choix : X-Cas, Scilab, Édupython.

1.l. Question bonus : Tester votre programme, avec les intégrales I et J, pour les valeurs de n suivantes :5, 20, 200, 2000. Donner la précision obtenue. Maintenant l’intervalle fermé [1; 2] est séparé en 2n segmentségaux. Modifier votre algorithme en conséquence et comparer pour un n fixé la précision des deux méthodesde calculs.


Réponse

1.a.∫ 2

1f(t)dt =

∫ 2

1−2t+ 5dt. Une primitive de f(t) est F (t) = −t2 + 5t, aussi I = F (2)− F (1) ce qui

est équivalent à I = 6− 4 = 2.∫ 2

1g(x)dx =

∫ 2

13x. Or, 3x = exln(3), une primitive est par conséquent G(x) = exln(3)

ln(3), aussi J = G(2)−G(1)

ce qui équivaut à J = 32−31

ln(3)= 6

ln(3). Une valeur approchée est J ≈ 5.46143535976.

1.b. La fonction f est une fonction décroissante, aussi f( kn) > f(k+1

n) et l’encadrement est Sn 6 Af 6

sn. Comme la fonction g est croissante l’encadrement est : rn 6 Ag 6 Rn.Voici les représentations graphiques obtenue avec Géogébra pour n = 5.

(a) Fonction f et n = 5 (b) Fonction g et n = 5

Figure E.1 – Méthodes des rectangles

1.c. s5 = 15

∑4k=0−2(1 +

k5) + 5 = 11

5et S5 =

15

∑4k=0−2(1 +

k+15) + 5 = 9

5

Les résultats sont des nombres décimaux, en conséquence, la valeur approchée est égale à la valeur exacte.La précision de l’encadrement est p = 2

5

r5 =35(1 + 3

15 + 3

25 + 3

35 + 3

45 ) soit r5 ≈ 4, 883389946

R5 =35(3

15 + 3

25 + 3

35 + 3

45 + 3) soit R5 ≈ 6, 083389946

La précision de l’encadrement est p ≈ 1, 2

1.d. sn = 1n

∑n−1k=0 f(1 +

kn) ⇔ sn = 1

n

∑n−1k=0

(− 2(1 + k

n) + 5

)⇔ sn = 3 − 2

n2

∑n−1k=0 k. Il est facile de

reconnaitre la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 et de raisonr = 1. Cette somme vaut n(n−1)

2. En conclusion, sn = 3− n−1

n⇔ sn = 2 + 1

n.

Sn = 1n

∑n−1k=0 f(1 +

k+1n) ⇔ Sn = 3 − 2

n2

∑n−1k=0(k + 1) qui peut aussi s’écrire Sn = 3 − 2

n2

∑nk=1 k. Cette

fois-ci, il s’agit de la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 etde raison r = 1. Cette somme vaut n(n+1)

2, en conséquence, Sn = 2− 1

n.


1.e. rn = 1n

∑n−1k=0 g(1 +

kn) ⇔ rn = 1

n

∑n−1k=0 3

1+kn . Les propriétés de la fonction exponentielle et de la

somme permettent d’écrire rn = 3n

∑n−1k=0 3

kn . Le deuxième facteur est la somme des n premiers termes

de la suite géométrique définie par son premier terme u0 = 1 et sa raison q = 31n . Cette somme vaut

1−qn

1−q= 2

31n−1

. Finalement rn = 6

n(31n−1)

.

Rn = 1n

∑n−1k=0 g(1 +

k+1n)⇔ rn = 1

n

∑n−1k=0 3

1+k+1n . La factorisation dans la somme par 3

1n donne immédia-

tement Rn = eln(3)n rn.

1.f. Voici l’étude des variations des quatre suite numériques. Pour chacune de ces suites numériques,une fonction auxiliaire dans l’intervalle réel [1; +∞[ est étudiée. Les variations de la fonction auxiliaireinduisent les variations de la suite numérique car ces suites numériques sont définies explicitement commedes fonction de la variable n.

— Pour les variations de la suite numérique (sn)n∈N∗ , l’étude de la fonction auxiliaire c(x) = 2 + 1x

définie pour x > 1 puisque n ∈ N∗ donne une fonction dérivée c′(x) = − 1x2 qui est négative sur R∗

donc la suite numérique (sn)n∈N∗ est une suite décroissante.— Pour les variations de la suite numérique (Sn)n∈N∗ , l’étude de la fonction auxiliaire d(x) = 2 − 1

x

définie pour x > 1 puisque n ∈ N∗ donne une fonction dérivée d′(x) = 1x2 qui est positive sur R∗

donc la suite numérique (Sn)n∈N∗ est une suite croissante.— Pour les variations de la suite numérique (rn)n∈N∗ , considérons la fonction réelle h(x) = 6

x(31x−1)

définie sur l’intervalle [1; +∞[ puisque n ∈ N∗. Cette fonction est dérivable comme quotient etproduit de fonctions dérivables. Comme nous pouvons utiliser la formule

(1u

)′= − u′

u2 , seul le signedu numérateur détermine le signe de la dérivée de h.Pour u(x) = x(3

1x −1), u′(x) = e

1x (1− ln(3)

x)−1. Or u′(x) 6 0⇔ 1 6 ln(3

1x )+3

−1x . Une étude de la

fonction auxiliaire v(x) = ln(31x ) + 3

−1x donne v′(x) = ln(3)

x2 (3−1x − 1). Or 3

−1x − 1 < 1⇔ −ln(3)

x< 0.

Comme ln(3) > 0, pour x ∈ [1; +∞[, −ln(3)x

< 0. Ce qui est équivalent à v′(x) < 0 et la fonction vest décroissante. De plus v(1) = ln(3) + 1

3> 1 et limx→+∞ v(x) = 1+. En conséquence la condition

1 6 ln(31x ) + 3

−1x est réalisée et la fonction u′ est négative pour x ∈ [1; +∞[. Cette condition est

équivalente à h′(x) > 0 (rappel : h′ = −6 u′

u2 ) et la fonction h est croissante pour x ∈ [1; +∞[ àpartir de h(1) = 3.Conclusion : (rn)n∈N∗ est une suite croissante et positive.

— Pour les variations de la suite numérique (Rn)n∈N∗ , la fonction auxiliaire j(x) = 6×31x

x(31x−1)

s’obtient

facilement à l’aide de la fonction h précédente car j(x) = h(−x). Aussi la fonction j est elle commela suite numérique (Rn)n∈N∗ décroissante.

1.g. Calcul de I : comme limn→+∞1n= 0, I = limn→+∞ sn = limn→+∞ Sn.

1.h. Calcul de J : Comme n(31n − 1) = 3

1n−11n−0

et limn→+∞1n= 0, la définition du nombre dérivée permet

de reconnaitre limx→0w(x)−w(0)

x−0= w′(0) avec la fonction auxiliaire réelle w(x) = (3x − 1) dont la dérivée

w′(x) = ln(3)3x évaluée en 0 vaut ln(3). En conséquence, limn→+∞ rn = 6ln(3)

. Enfin, Rn = eln(3)n rn et

limn→+∞ eln(3)n = 1, en conséquence, limn→+∞ Rn = limn→+∞ rn = J .

1.i. L’étude des deux fonctions précédentes met en évidence la nécessité de savoir si la fonction étudiéeest croissante ou décroissante avant de lancer les calculs. De plus la précision, notée p donnée par ladifférence entre les deux suites adjacentes est dépendante de n. Aussi avant de lancer les calculs il fautchoisir entre la variable n et la variable p. Une de ces deux variable est suffisante pour réaliser le calcul del’approximation de l’intégrale.

1.j. Voici un algorithme permettant le calcul de l’encadrement.


Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est l’entier naturel saisie par l’utilisateur.p est l’amplitude de l’encadrement.sn est la somme des aires des n rectangles de hauteur l’image de la borne inférieure de l’intervalle.Sn est la somme des aires des n rectangles de hauteur l’image de la borne supérieure de l’intervalle.A est l’aire par l’axe des abscisse, les droites d’équations x = 1 et x = 2 et de la courbereprésentative de la fonction f .k est un entier naturel qui sert d’indice.c est la variable contenant 1 si la fonction est croissante.

InitialisationSaisir ”Tapez 1 si la fonction f est croissante”,cSaisir ”Le nombre de rectangles est ?”,nsn ← 0Sn ← 0

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k Allant de 0 à n− 1

sn ← f(1 + kn) + sn

Sn ← f(1 + k+1n) + Sn

Fin de poursn ← sn

n

Sn ← Sn

n

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher snAfficher Sn

. .Si c = 1

. . . . . .Alors Afficher sn 6 A6 Sn

Afficher La précision est inférieure ou égale à Sn − sn

. . . . . .Sinon Afficher Sn 6 A6 snAfficher La précision est inférieure ou égale à sn − Sn

1.k. Pour la fonction f la précision p = 2n, ce qui permet de rapidement avoir une précision intéres-

sante. En revanche, pour la fonction g même avec n = 2000, la précision n’est que p ≈ 0, 003. Afin dene pas utiliser un n trop grand , il est possible d’améliorer cet algorithme en séparant pour un n fixél’intervalle d’étude de la fonction en 2n segments égaux. D’où l’algorithme amélioré en langage naturel :


Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþn est l’entier naturel saisie par l’utilisateur.p est l’amplitude de l’encadrement.sn est la somme des aires des n rectangles de hauteur l’image de la borne inférieure de l’intervalle.Sn est la somme des aires des n rectangles de hauteur l’image de la borne supérieure de l’intervalle.A est l’aire par l’axe des abscisse, les droites d’équations x = 1 et x = 2 et de la courbereprésentative de la fonction f .k est un entier naturel qui sert d’indice.c est la variable contenant 1 si la fonction est croissante.

InitialisationSaisir ”Tapez 1 si la fonction f est croissante”,cSaisir ”Le nombre de rectangles est 2n, saisir la valeur n ”,nsn ← 0Sn ← 0

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tPour k Allant de 0 à 2n − 1

sn ← f(1 + k2n) + sn

Sn ← f(1 + k+12n

) + Sn

Fin de poursn ← sn

2n

Sn ← Sn

2n

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher snAfficher Sn

. .Si c = 1

. . . . . .Alors Afficher sn 6 A6 Sn

Afficher La précision est inférieure ou égale à Sn − sn

. . . . . .Sinon Afficher Sn 6 A6 snAfficher La précision est inférieure ou égale à sn − Sn

Il existe d’autres méthode que vous pouvez découvrir : méthode des trapèze, méthode de Simpson.

Programmation

X-Cas :eimr(n,c) :=local k,p,sn,Sn ;//Pour la signification des variables voir l’algorithme en langage naturel.sn :=0 ;Sn :=0 ;p :=0 ;pour k de 0 jusque n-1 fairesn :=sn+3(1+k/n) ;Sn :=Sn+3(1+(k+1)/n) ;fpour ;sn :=sn/n ;Sn :=Sn/n ;//afficher(”sn =”+sn) ;//afficher(”Sn =”+Sn) ;si c==1 alors afficher(evalf(sn,20)+”<=A<=”+evalf(Sn,20)) sinon afficher(evalf(Sn,20)+”<=A<=”+evalf(sn,20))fsi ;si c==1 alors p := evalf(Sn−sn,20) ;afficher(”La précision est inférieure ou égale à ”+p) sinon p :=evalf(sn−Sn,20) ; afficher(”La précision est inférieure ou égale à ”+p) fsi ;retourne ”Merci” ;


: ;


§ E 5 Probabilités et statistiques

E.5. i Détermination de l’effectif à prendre en compte pour lecalcul des quartiles et de la médianeTexte

Le rapeur Jul - D’après Mégamath janvier 2018 sur cinq points

Un exemple.

Le rapeur Jul chante non seulement très bien, mais possède aussi une excellente maitrise de la languede Molière... ou pas ! Le tableau ci-dessous résume le nombre de fautes d’orthographe commises dans 50tweets de Jul lorsque les tweets ne comportaient que 140 caractères. Depuis nombre 2017, tous les tweetscontiennent 280 caractères.

Fautesd’orthographes 5 8 12 15 18 21 25

Nombre dede tweets 2 5 10 15 12 4 2

2.a. Étude la série statistique :2.a.i. Quelles sont les modalités étudiées ?2.a.ii. Quels sont les effectifs étudiés ?

2.b. Études des caractéristiques de position :2.b.i. Calculer, en justifiant, la médiane de cette série statistique quantitative, notée Med.2.b.ii. Calculer, en justifiant, les quartiles de cette série statistique quantitative, notés Q1 et Q3.2.b.iii. Calculer, en justifiant, la moyenne pondérée de cette série statistique quantitative, notée x.2.b.iv. Construire un histogramme avec 1 cm pour 2 fautes d’orthographe et 1 cm pour 2 tweets.

2.c. Étude des caractéristiques de dispersion :2.c.i. Calculer l’étendue de cette série statistique, notée E.2.c.ii. Calculer l’écart inter-quartile de cette série statistique, noté EIQ.2.c.iii. Calculer l’intervalle inter-quartile de cette série statistique, noté I.

Algorithmique.

2.d. Donner la définition de la médiane.2.e. Donner la définition des quartiles Q1 et Q3.2.f. Suite à l’exemple ci dessus, comme 50 est un nombre pair et non multiple de 4, quel sont les effectifs

à prendre en compte pour trouver les quartiles et la médiane.2.g. Affin de déterminer les quartiles et la médiane, quel serait les effectifs à prendre en compte pour

un effectif pair et multiple de 4, par exemple n = 140.2.h. Affin de déterminer les quartiles et la médiane, quel serait les effectifs à prendre en compte pour

un effectif impair, par exemple n = 1235.2.i. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectifs nécessaires, en fonction

de l’effectif total, à la détermination des quartiles et de la médiane. Vous pouvez utiliser la fonction partieentière qui à tous les réels x associe l’entier naturel n inférieur le plus proche définie ci-dessous.


α. La fonction partie entière d’un réel x qui ce note E(x) ou bxc. Cette fonction est à votredisposition sur toute les machines à calculer et dans tous les langages de programmation. Pourtrouver l’instruction précise correspondant à cette fonction, il suffit de ce référer au documentprécédent.La fonction partie entière est une fonction définie de l’ensemble des nombres réels dans l’en-semble des entiers relatifs.De plus, tous les réels x sont compris entre un entier relatif n et son successeur, i.e. :n 6 x < n+ 1 et dans ce cas E(x) = bxc = n.

E : R→ Z

x 7−→ n

β. Représentation graphique de la fonction partie entière :

:::::::::::::::::::::::::::::::::Remarques préalables :

2.j. Traduire cet algorithmes sur votre machine à calculer puis sur les langages de programmation :X-Cas et Édupython.


Réponse

Le rapeur Jul

2.a. Étude de la série statistique quantitative et ordonnée :2.a.i. Les modalités sont les fautes d’orthographes.2.a.ii. Les effectifs sont les nombres de tweets concernés.

2.b. Étude des caractéristiques de position :2.b.i. Il est pertinent de construire la ligne des effectifs cumulés croissant.



ECC 2 7 17 32 44 48 50

2.b.ii. La médiane est obtenue comme moyenne de la 25e et 26e modalité. Ces deux modalités sontégales à 15, aussi la médiane est Med = 15.

2.b.iii. Le quartile quartile est la 13e modalité, soit Q1 = 12. Le troisième quartile est la 38e

modalité soit Q3 = 18.2.b.iv. La moyenne pondérée est obtenue en utilisant la formule x = 1

50

∑7k=1 nk × xk. Avec nk et

xk respectivement les sept effectifs et les sept modalités de la série statistique étudiées. x = 14, 9.2.b.v. Voici l’histogramme :

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Nombre de fautes2

4

6

8

10

12

14

16Nombre de tweets

0

2.c. Étude des caractéristiques de dispersion :2.c.i. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite modalité, soit :

E = 25− 5⇔ E = 20

2.c.ii. L’écart inter quartile est la différence positive entre les deux quartilesQ1 etQ3, soit EIQ = 6.2.c.iii. L’intervalle inter quartile est l’intervalle I = [12; 18].


Algorithmique

2.d. Définition de la médiane :

La médiane d’une série statistique quantitative et ordonnée est une valeur du caractère, ou de lamodalité, qui sépare le total des effectifs de la population en deux groupes de même effectif. Lamédiane permet de préciser la position des autres données de la série.


::::::

α. Lorsque l’effectif correspondant à la modalité médiane est important, pour avoir deux groupesde même effectif, il faut partager précisément cette modalité.

β. Dans ce cas, le premier groupe peut avoir un effectif supérieur à 50% de l’effectif total.γ. Plusieurs modalité peuvent répondent à la définition de la médiane. Un choix peut être le

suivant.

:::::::::::::::::Remarques

::::::

2.e. Définitions des quartiles :

Dans une série statistique quantitative et ordonnée, les quartiles sont les plus petites valeurs desmodalités, qui partagent la série en quatre parties sensiblement de même effectif. Le premier quartile,prenant au moins 25% des effectifs rangés par ordre croissant des valeurs de caractères, s’appelle Q1

et le troisième quartile, prenant au moins 75% des effectifs rangés par ordre croissant des valeurs decaractères, s’appelle Q3 . Bien sur, le deuxième quartile Q2 est confondu avec la médiane.


::::::

2.f. Pour l’exemple précédent, n = 50, les effectifs à prendre en compte sont : la 13e modalité pour Q1,la 28e modalité pour Q3 et la moyenne entre la 25e et la 26e modalité pour la médiane.

2.g. Pour l’effectif, n = 140, les effectifs à prendre en compte sont : la 35e modalité pour Q1, la 105e

modalité pour Q3 et la moyenne entre la 70e et la 71e modalité pour la médiane.

2.h. Pour l’exemple précédent, n = 1235, les effectifs à prendre en compte sont : la 309e modalité pourQ1, la 927e modalité pour Q3 et la 618e modalité pour la médiane.

2.i. Voici un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectifs pour la déterminationdes quartiles. Rappel : Pour tous les réels x, bxc est la partie entière de x définie ci-dessus.


Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþN est l’effectif total.n1 est l’effectif nécessaire afin de déterminer la modalité correspondant au premier quartile.n2 est l’effectif nécessaire afin de déterminer une valeur correspondant à la médiane.n3 est l’effectif nécessaire afin de déterminer la modalité correspondant au troisième quartile.Initialisation

Saisir L’effectif total est NP ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚t

. .Si N est un multiple de 4. . . . . .alors, n1 ← N

4

n3 ← 3×N4

. . . . . .sinon n1 ← bN4 c+ 1n3 ← b3×N

4c+ 1

Fin de si. .Si N est pair

. . . . . .alors, n2 ← N2

. . . . . .sinon n2 ← bN2 c+1Fin de si

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher Le premier quartile est la ne

1 modalitéAfficher Le troisième quartile est la ne

3 modalité. .Si N est pair

. . . . . .alors, Afficher La médiane est la valeur moyenne entre la ne2 et la (n2 + 1)e modalité

. . . . . .sinon Afficher La médiane est la ne2 modalité

Fin de si

2.j. Programmation : Xcas

depcpcqm(n) :=local n1,n2,n2b,n3 ;. .si floor(n/4)==n/4 . . . . .alors n1 :=n/4 ;n3 :=3*n/4 . . . . .sinon n1 :=floor(n/4)+1 ;n3 :=floor(3*n/4)+1 fsi ;

. .si floor(n/2)==n/2 . . . . .alors n2 :=n/2 ; n2b :=n2+1 . . . . . .sinon n2 :=floor(n/2)+1 fsi ;afficher (”Le premier quartile est la ”+n1+”e modalité”)afficher (”Le troisième quartile est la ”+n3+”e modalité”). .si floor(n/2)==n/2. . . . .alors afficher (”La médiane est la valeur moyenne entre la ”+n2+”e et la ”+n2b+”e modalité”). . . . . .sinon afficher (”La médiane est la ”+n2+”e modalité”)fsi ;

retourne ”Merci” ;: ;






Le nombre total de séquences est de : 0.

Le nombre total d’exercices évalués est de : 4


Chapitre F

Les différents types de raisonnement

§ F 1 Un peu de logique : vocabulaireLes mathématiques se construisent à partir d’axiomes acceptés par la communauté scientifique inter-

nationale. Ces axiomes sont supposés vrais et ne sont donc pas démontré. En revanche, ils font l’objet denombreuses discussions avant d’être accepté, afin de trouver la formulation la plus précise, la plus utile etla moins contraignantes pour les démonstrations à venir. Ces axiomes peuvent porter le nom de postulatsou de définitions.

F.1. i Exemples d’axiomesAlgèbre

L’ensemble des entiers naturels possède des propriétés admises par tous, communément appeléesaxiomes de Peano (mathématicien italien du XIXme ). Voici un ensemble de cinq axiomes possibles :

— P1 L’élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.— P2 Tout entier naturel n a un unique successeur, noté S(n) ou Sn.— P3 Il n’existe pas d’entier naturel dont le successeur est 0.— P4 Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.— P5 Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses

éléments alors, cet ensemble est égal à N.

::::::::::::::::::::::::::Axiomes de Péano

::::::::::::AL.1 :

BBBBBBBBBBB

Une autre version, plus complexe, se trouve dans le document de ”culture math : Construction desentiers naturels”.

Géométrie

Euclide est un mathématicien grecque qui vraisemblablement à vécu vers 300 avant notre ère, aucuneinformation fiable ne permet d’affirmer ou d’infirmer son existence.

— E1 : De tout point a tout autre point on peut tracer une ligne droite.— E2 : Toute droite finie peut être prolongée indéfiniment et continument.— E3 : Avec tout point comme centre et tout rayon, on peut tracer une circonférence.— E4 : Tous les angles droits sont égaux entre eux.— E5 : Si une droite rencontre deux droites en faisant des angles intérieurs du même côté de la

sécante ayant une somme inférieure à deux angles droits, ces droites, prolongées à l’infini, serencontreront du côté ou se trouvent les angles dont la somme est inférieure a deux anglesdroits.

:::::::::::::::::::::::::Axiome d’Euclide

::::::::::G.2 :

BBBBBBBBBBBBBBB

135

Dans les livres d’Euclide, ces axiomes portent le nom de postulats ou définition.

Analyse

Plusieurs versions de cet axiome existent en voici deux :

— C1 : Étant donné un ensemble E, il existe une fonction f qui à une partie non vide de E associeun élément de cette partie.

— C2 : Un produit d’ensembles non vides est non vide.

::::::::::::::::::::::::Axiome du choix

::::::::::::AN.3 :

BBBBBB

Ces deux formes sont équivalentes. L’axiome du choix conduit à des théorèmes étranges comme lethéorème de Banach et Tarski qui affirme qu’à partir d’une boule, il est possible de créer deux boulessemblables à la première. Voir : https://www.youtube.com/watch?v=fzyd02CXf-I.

Aussi en théorie des ensembles, aujourd’hui, les axiomes d’analyse qui sont utilisés sont les axiomesZermelo-Fraenkel. Dans cette théorie axiomatique, tous les objets mathématiques sont des ensembles.Ernst Zermelo (27 juillet 1871 à Berlin – 21 mai 1953 à Fribourg-en-Brisgau, à l’état civil, Ernst FriedrichFerdinand Zermelo) est un mathématicien allemand. Il s’est principalement intéressé aux fondations desmathématiques et à la philosophie. Il a donné des développements importants à la théorie des ensembleset fut un des précurseurs de la théorie des jeux. Abraham Adolf Halevi Fraenkel, né le 17 février 1891 àMunich et mort le 15 octobre 1965 à Jérusalem, plus connu sous le nom d’Abraham Adolf Fraenkel, ouplus simplement Abraham Fraenkel, est un mathématicien d’abord allemand puis israélien. Il est connupour son travail sur les nombres péadiques permettant de construire l’ensemble des réels et sur la théorieaxiomatique de la construction des ensembles.

— ZF1 : Axiome d’extensionalité.∀x∀y(∀z(z ∈ x⇔ z ∈ y)⇒ x = y) . Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux.

— ZF2 : Axiome de l’union.∀x∃y, ∀z(z ∈ y ⇔ ∃(t ∈ x ∧ z ∈ t)) . Une union d’ensemble est un ensemble.

— ZF3 : Axiome de l’ensemble des parties.∀x∃y, ∀z(z ∈ y ⇔ (∀t(t ∈ z)⇒ x) . Les parties d’un ensemble forment un ensemble.

— ZF4 : Axiome du schéma de remplacement.Étant donnée une formule E(x, y, z0,…, zn) de paramètres z0,…, zn, cette formule permet decréer une relation fonctionnelle à une variable x et qui à x associe y comme un ensemble.

∀z0…∀zn(∀x∀y∀y′E(x, y, z0,…, zn) ∧ E(x, y′, z0,…, zn)⇒ y = y′)⇒∀t∃w, ∀v(v ∈ w ⇔ ∃u, (u ∈ t ∧ E(u, v, z0,…, zn))).

L’unicité de l’image entraine la construction de l’ensemble image.— ZF5 : Axiome de l’infini.

Il existe un ordinal non fini.

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Axiome de Zermelo-Fraenkel

::::::::::::AN.4 :

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

D’autres axiomes découlant de ces axiomes sont parfois aussi appelés axiome ZF.

∀z0,…,∀zn∀x∃z, (y ∈ z)⇔ (y ∈ t ∧ E(x, z0,…, zn)) .Découle de ZF4 pour x = y .

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::AC : Axiome de compréhension

::::::::::::AN.5 :

BBB


∀x, x ∈ ∅⇔ (x ∈ t ∧ x 6= x) .Il existe un unique ensemble qui n’a aucun élément.

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Axiome de l’ensemble vide

::::::::::::AN.6 :

BBB

Conséquence directe de l’axiome d’extensionalité.

∀x∀y∃z, ∀t(t ∈ z)⇔ (t = x ∨ t = y) .Soient deux ensembles x , y il existe un ensemble z dont les éléments sont exactement x et y.

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::AP : Axiome de de la paire

::::::::::::AN.7 :

BBB

Enfin, il existe d’autres axiomes venant compléter cette liste d’axiomes.

Pour tout ensemble non vide x , il existe un ensemble y ∈ x tel que y ∩ x = ∅.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::AF : Axiome de fondation

::::::::::::AN.8 :

B

Toute partie de R est Lebesgue mesurable.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::LM : Axiome de Solovay ou Lebesgue mesurable

::::::::::::AN.9 :

B

Un ensemble d’axiomes est consistant .si. . .et. . . . . . . . . . .seulement . .si ces axiomes n’entraînent aucune contradiction.::::::::::::::Définition

::::::::::::AN.1 :

Probabilités

Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov (en russe : ; 25 avril 1903 à Tambov – 20 octobre 1987 à Moscou)est un mathématicien soviétique et russe.

Soit U l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire. Une application P qui associe àchaque évènement de U un nombre dans R est une probabilité si elle satisfait aux trois axiomessuivants :

— K1 : Pour tout évènement A, P (A) > 0.— K2 : P (U) = 1.— K3 : . .Si A ∩B = ∅ (i.e. incompatibles) . . . . . .alors, P (A ∪B) = P (A) + P (B).

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::Axiome de Kolmogorov :

::::::::::P.10 :

BBBBBBBBBBBB


Construction d’une théorie :

À partir de ces axiomes, les mathématiciens construisent des propositions qui peuvent être vraies oufausses. Par exemple : tous les nombres premiers sont impair est une proposition fausse et tous les chiffressont des nombres est une proposition vraie. Pour les démonstrations voir « Les types de raisonnement ».Lorsque la proposition est démontrée, elle devient un théorème. Exemple : le théorème de Pythagore, lethéorème de Varignon, le théorème d’Al-Kashi, le théorème d’Euler, ...Les principaux théorèmes portentle nom d’un contributeur important pour la découverte ou la démonstration de ce théorème. La grandemajorité des théorèmes ne portent pas de nom. Sur les cinquante dernières années, une estimation indiqueque le nombre de nouveaux théorèmes découverts est aussi important que durant les 4000 ans qui précèdecette période. Afin de préparer une démonstration d’un théorème le mot lemme est parfois utilisé. Exemple :le lemme des noyaux. Pour une application directe d’un théorème, le mot corollaire est autorisé. Parexemples, deux corolaires du théorème de Stone sont :

α. L’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l’ensemble des fonctions continues et2-périodiques.

β. L’ensemble des polynômes sur un compact K de R et à coefficients dans R est dense dans l’ensembledes fonctions continues de K dans R, pour la norme infinie.

Dans la majorité des livres de mathématiques les mots proposition ou plus rarement propriété rem-placent usuellement le mot théorème, lorsque celui-ci ne porte pas de nom ou ne possède pas une importancedéterminante en mathématiques.

Dans les axiomes précédents, les deux principales questions des mathématiques sont représentées parles quantificateurs universels :

α. ∀se lit ”pour tout” ou ”quelque soit” permet d’affirmer ou d’infirmer qu’une proposition est vraieou fausse pour l’ensemble des objets mathématiques concernés.Démontrer que la proposition est vraie demande de le vérifier pour tous les objets mathématiquesconcernés.Démontrer que la proposition est fausse revient à trouver un objet mathématiques parmi ceux viséspar la proposition pour lequel la proposition est fausse.

β. La négation de ”pour tout” est en conséquence la deuxième question fondamentale des mathéma-tiques, à savoir ”il existe”. 2. ∃se lit ”il existe” permet de trouver un objet mathématiques quivérifie la proposition. En trouver un exemplaire, suffit à démontrer la proposition. Sa constructionest souvent une question délicate.Démontrer que la proposition est fausse revient à démontrer que ”pour tout” objets mathématiquesconcernés par la proposition, cette proposition est fausse. Ce qui ramène à la première questionfondamentale des mathématiques, à savoir ”pour tout”.

Enfin, le mot conjecture défini une proposition qui semble vraie mais qui n’est pas démontée. Voicideux vidéos précisant des conjectures simples :Professeur culture précieuse : https://www.youtube.com/watch?v=1bA8xUAfKo8.Mickaël Launay : https://www.youtube.com/watch?v=atKDrGedg_w.


§ F 2 Un peu de logique : calculs propositionnels

Une branche des mathématiques porte le joli nom de ”logique”. À l’origine, ce mot été utilisé en philo-sophie pour décrire un raisonnement ou une argumentation. Depuis le dixième siècle, avec les travaux deGeorge Boole, (né le 2 novembre 1815 à Lincoln (Royaume-Uni) et mort le 8 décembre 1864 à Ballintemple(Irlande)), est un logicien, mathématicien et philosophe britannique. Il est le créateur de la logique mo-derne, fondée sur une structure algébrique et sémantique, que l’on appelle algèbre de Boole en son honneur.Aujourd’hui cette branche possède de nombreuses applications en informatique. Dans toute cette partie ilexiste aussi un axiome : une proposition est soit vraie (V) soit fausse (F). Il n’existe pas de troisième voie.Cet axiome est particulièrement utile pour les applications informatiques. Cet axiome est parfois appeléprincipe du tiers exclu.

F.2. i Les connecteurs logique :La conjonction :

Ce connecteur se note∧

et pour deux propositions P et Q, la table de vérité est la suivante :

P Q P ∧Q

V V VV F FF V FF F F

Il s’agit bien sur en langage courant de la conjonction de coordination ”et”.

La disjonction :

Ce connecteur se note∨

et pour deux propositions P et Q, la table de vérité est la suivante :

P Q P ∨Q

V V VV F VF V VF F F

Il s’agit bien sur en langage courant de la conjonction de coordination ”ou”.Attention, contrairementau langage courant, en logique par défaut, il s’agit du ou inclusif. En effet le ou exclusif est appelé unealternative, sa table de vérité est :

P Q P ∨Q

V V FV F VF V VF F F

La négation :

Pour une proposition P, sa négation, notée ¬P , est la proposition qui est vraie lorsque P est fausse etfausse lorsque P est vraie. Sa table de vérité :

P ¬PV FF V


L’implication :

Il s’agit de la notion au cœur de la logique et du raisonnement. la question est de savoir si, en appliquantdes propositions exactes, la proposition P est suffisante pour que la proposition Q soit vraie et cela à partirde proposition P et Q qui sont elles mêmes vraies ou fausses. Il existe quatre phrases logiques :

α. En appliquant des propositions vraies, une proposition P vraie est suffisante pour obtenir la pro-position Q vraie.

β. En appliquant des propositions vraies, une proposition P vraie ne permet pas d’obtenir la proposi-tion Q fausse.

γ. En appliquant des propositions vraies :Une proposition P fausse est suffisante pour obtenir la proposition Q vraie.

δ. En appliquant des propositions vraies, une proposition P fausse est suffisante pour obtenir la pro-position Q fausse.

Justifications et exemples :α. À partir d’une proposition P vraie, appliquer des propositions vraies implique logiquement des

propositions Q vraies.. .Si dans un triangle, une droite passe par le milieu de deux côtés . . . . . .alors, cette droite est parallèle autroisième côté.L’application du théorème de Thalès permet de démontrer que la phrase logique P =⇒ Q estvraie.

β. En effet lorsqu’une une proposition P vraie, en appliquant des propositions vraies, il est facile decomprendre que la proposition Q ne peut pas être vraie. Aussi cette phrase logique est fausse.

γ. Voici surement la phrase logique la plus déroutante. Pour l’illustrer prenons un exemple.Soit la proposition fausse P : −2 = 2. Appliquons la proposition vraie : . .Si deux nombres sont égaux. . . . . .alors, leur carrés sont égaux. La proposition Q devient l’égalité devient 4=4 qui est une propositionQ vraie. Conclusion : le faux peut impliquer le vrai est une phrase logique vraie.

δ. Enfin, une proposition P fausse peut impliquer une proposition Q fausse même en appliquant desproposition vraie. Voici un exemple.Soit la phrase logique : . .Si 3 divise 10n + 1 (P) . . . . . .alors, 3 divise 10n+1 + 1 (Q). Cette implicationest vraie. En effet, 3 divise 10n + 1 est équivalent à 10n + 1 = 3k avec k ∈ Z. En conséquence,10n+1 + 1 = 10(3k−1) + 1 = 30k − 9 = 3(10k − 3). Aussi 10n+1 + 1 est bien un multiple de 3.Et pourtant les deux propositions P et Q sont toutes les deux fausses. En effet, une puissance de10 est un nombre formé par le chiffre un et des zéros. En ajoutant un à cette puissance de 10, lenombre est formé de deux un et de zéros. La somme des chiffres est toujours deux qui n’est pasun multiple de trois. Une autre démonstration possible st d’utiliser la contraposée de P =⇒ Qest ¬Q =⇒ ¬P . Ici la phrase logique devient équivalente à ¬Q implique ¬P qui est une phraselogique vraie puisque P et Q sont toutes les deux fausses.

Synthèse sur l’implication : Le vrai implique uniquement le vrai. Le faux implique le vrai oule faux...

En conséquence, voici la table de vérité obtenue :

P Q P =⇒ Q ¬P Q ¬P ∨Q

V V V F V VV F F F F FF V V V V VF F V V F V

Ce tableau permet de démontrer que l’implication P =⇒ Q et la proposition logique ¬P ∨Q possède lesmêmes tables de vérité. Nous pouvons affirmer que ces propositions sont équivalentes.


L’implication et ses dérivées :

À partir d’une implication, il est parfois utile et plus simple de travailler ou de démontrer sa contra-posée ou sa négation. De même lorsqu’une implication est vraie, la question de sa réciproque se pose.Implication : D’après le principe du tiers exclu, l’implication est soit vraie soit fausse.

. .Si P . . . . . .alors, Q ⇔ ¬P . .ou Q.

Cette équivalence est démontrée dans la table de vérité du dessus.

Contraposée : La contraposée est équivalente à l’implication.

. .Si P . . . . . .alors, Q ⇔ . .Si ¬Q . . . . .alors, ¬P

En effet, . .Si ¬Q . . . . . .alors, ¬P est équivalent à Q . .ou ¬P = ¬P . .ou Q. La dernière phrase logique est équivalenteà l’implication . .Si P . . . . . .alors, Q.

Négation : Si l’implication est vraie, la négation est fausse et réciproquement.

P . .et ¬Q

Il suffit d’utiliser la négation du connecteur logique . . .ou qui est le connecteur logique . .et.

Réciproque : Cette implication peut être vraie ou fausse indépendamment de l’implication de départ.

. .Si Q . . . . . .alors, P

En combinant la conjonction, l’injonction, la négation et l’implication, il est possible de construire unensemble de règle formant une algèbre de Boole, très utilisé en informatique. Il existe aussi les Lois deMorgan.

L’équivalence :

Enfin, l’équivalence est obtenue en réalisant les deux implications P =⇒ Q . .et Q =⇒ P . Enconséquence, la table de vérité est :

P Q P =⇒ Q Q =⇒ P P ⇔ Q

V V V F VV F F V FF V V F FF F V V V

L’équivalence n’est vraie qu’à la condition exclusive que les propositions P et Q sont toutes les deuxvraies ou toutes les deux fausses.

§ F 3 Un peu de logique : types de raisonnement :

F.3. i Condition nécessaire :. .Si la proposition Q est vraie . . . . .alors, la proposition P est vraie.

Cela signifie que Q est nécessaire à P et s’écrit P ⇐ Q. Dans le vocabulaire courant, il s’agit d’unraisonnement inductif ou par induction ou par duplication.


F.3. ii Condition suffisante :

. .Si la proposition P est vraie . . . . .alors, la proposition Q est vraie.Cela signifie que P est suffisant à Q et s’écrit P =⇒ Q. Dans le vocabulaire courant, il s’agit d’unraisonnement déductif ou par déduction ou par implication.

F.3. iii Condition équivalente :La proposition P est vraie .si. . .et . . . . . . . . . . .seulement. .si la proposition Q est vraie.

Cela signifie que les propositions sont P et Q sont équivalentes, ou encore que la proposition P est nécessaire. .et suffisante à la proposition Q.Afin de démonter une équivalence, il faut démontrer la proposition dans le sens direct, condition suffisante,. .et dans le sens réciproque, condition nécessaire. Dans le vocabulaire courant, il s’agit d’un raisonnementpar équivalence.

F.3. iv Démonstration par contraposée :Lorsqu’une implication est vraie, la réciproque ne l’est pas toujours, en revanche la contraposée l’est

toujours. Une manière équivalente pour la démonstration une implication est donc la démonstration de sacontraposée. P =⇒ Q⇔ ¬Q =⇒ ¬P .

α. . .Si un objet mathématique est un chiffre . . . . . .alors, c’est un nombre. Cette implication est vraie.La réciproque est fausse.La contraposée est vraie : un objet mathématique qui n’est pas un nombre ne peut pas êtreun chiffre.

β. . .Si un quadrilatère est un rectangle . . . . .alors, c’est un parallélogramme. Cette implication est vraie.La réciproque est fausse.La contraposée est vraie : Si un quadrilatère n’est pas un parallélogramme alors, il ne peut pasêtre un parallélogramme.

γ. Proposition : . .Si n2 est un entier naturel impair . . . . .alors, n est un entier naturel impair.La contraposée de cette proposition est : . .Si l’entier naturel n est pair . . . . . .alors, l’entier naturel n2

est pair.Cette deuxième proposition est triviale. Comme la contraposée et la proposition sont de mêmenature, la proposition de départ est vraie...

::::::::::::::::Exemples :

:::::::::F.1 :

F.3. v Démonstration à l’aide d’un contre-exemple :Lorsqu’une proposition non démontrée conjecture qu’elle est vraie pour un ensemble d’objets mathéma-

tiques, afin de démontrer que cette proposition est fausse il est équivalent de trouver un objet mathématiquepour lequel cette proposition est fausse.

α. Proposition : Tous les nombres premiers sont impairs. Cette proposition est fausse. En effet lechiffre 2 est un nombre premier pair...

::::::::::::::::Exemples :

:::::::::F.2 :


F.3. vi Démonstration par équivalence :À chaque étape de la démonstration les propositions doivent être équivalentes.

α. Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues.2x+ 3y = a

5x−3y = b⇔

7x = a+ b

5x−3y = b⇔

x = a+b

757(a+ b)−3y = b

⇔

x = a+b

75a7−2b

7= b

⇔

x = a+b

7

y = 5a21− 2b

21

::::::::::::::::Exemples :

:::::::::F.3 :

Pour une telle résolution de système d’équations, ne pas travailler par système équivalent impose derajouter une étape de vérification de la solution obtenue. C’est cette dernière vérification qui démontre, sielle est vraie, la réciproque dans l’équivalance.

F.3. vii Démonstration par l’absurde :Un tel raisonnement consiste à admettre que la négation de la proposition à démontrer est vraie et par

déduction arriver à une contradiction avec la conclusion.

α. Proposition : . .Si n2 est un entier naturel impair . . . . .alors, n est un entier naturel impair.La négation de cette implication est : n2 est impair et n est pair. Or il est évident que n paireimplique que n2 est paire. Donc il existe une contradiction sur la parité de n2.

β. Dans un repère (O; I; J), considérons les point A(1 ;2), B(-1 ;4), C(-2 ;3) et D(1 ;m) avecm ∈ R.Démontrer la proposition . .si m 6= 0 les droites (AB) et (CD) sont sécantes.La négation de cette proposition est : m 6= 0 et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Lecoefficient directeur de la droite (AB) est a = yB−yA

xB−xA= −1 et le coefficient directeur de la

droite (CD) est a = yD−yCxD−xC

= m−33

. Avoir des droites soient parallèles est équivalent à avoirdes coefficients directeurs égaux soit m− 3 = −3⇔ m = 0. Il existe une contradiction sur lavaleur du paramètre m. Conclusion : les droites (AB) et (CD) sont sécantes...

::::::::::::::::Exemples :

:::::::::F.4 :

F.3. viii Démonstration par récurrence :

Soit une propriété ÿPþ(n).. .Si ÿPþ(0) est vraie ( Initialisation) . .et . .si pour n ∈ N vérifiant la propriété ÿPþ(n), la propriété ÿPþ(n+ 1)est vraie (Hérédité) . . . . . .Alors, ∀n ∈ N, ÿPþ(n) est vraie.

::::::::::::::::::::::::::::::Théorème de récurrence

::::::::F.1 :

Démonstration du théorème de récurrence F.1

α. En fait, il s’agit d’un corrolaire de l’axiome de Péano P5 étudié plus haut et la constructionde l’ensemble des entiers naturels n vérifiant la propriété ÿPþ(n).

β. Sans utiliser l’axiome de Peano P5 et uniquement grâce au théorème de Fermat ”Toute partienon vide de N admet un plus petit élément”, une démonstration par l’absurde est possible.Admettons qu’il existe n élément de N tel que ÿPþ(n) soit fausse. Construisons un sous ensemblede N contenant les entiers naturels tels que ÿPþ(n) est fausse et nommons E cet ensemble. E estnon vide, car il contient n . De plus E est un sous ensemble de N. En conséquence, E admet

:::::::::::::::::::Demonstrations

::::::::F.1 :

???????????????????????


un plus petit élément n0 . Aussi n0−1 n’est pas un élément de E, donc ÿPþ(n0 − 1) est vraie.Il existe une contradiction avec la deuxième hypothèse du théorème de récurrence ÿPþ(n) vraie=⇒ ÿPþ(n+ 1) vraie.

C.Q.F.D.

???????????

α. Certains auteurs distinguent deux types de récurrence :1.a. La récurrence faible pour laquelle l’hérédité de la propriété de récurrence suffit. 1.b. Larécurrence forte qui nécessite que ÿPþ(n) soit vraie pour pour tous les entiers naturels comprisentre 0 et n.En fait, la récurrence forte est un corollaire de la récurrence faible avec comme propriété dedépart ÿPþ(n) vraie pour tout n compris entre 0 et n à la place d’un n particulier.

β. L’initialisation peut commencer au rang n0 > 0 . La construction de N reste la même à l’aidede l’axiome de Peano P5. La construction se réalise grâce à l’ensemble E=m = n−n0 avec n

vérifiant ÿPþ.γ. Exemples : Le théorème fondamental de l’arithmétique se démontre à l’aide d’une récurrence

forte, de même que le théorème ”Les transpositions engendrent lensemble des permutations Sn

”.δ. Une démonstration par récurrence n’est pas utile lorsque l’hérédité ou la succession ne sont

pas utilisé.

::::::::::::::::::Remarques :

:::::::::F.1 :

Les deux hypothèses d’initialisation et de d’hérédité sont indispensables à la démonstration par récur-rence...

α. Considérons la proposition ÿPþ(n) : La somme des n premiers entiers naturels vaut l’entiernaturel 1

2(n+ 1

2)2.

Cette proposition est héritaire, en effet :12(n+ 1

2)2 + (n+ 1) = n2

2+ n

2+ 1

8+ n+ 1 = 1

2(n2 + 3n+ 9

4) = 1

2(n+ 3

2)2 = 1

2((n+ 1) + 1

2)2

Cependant, il n’existe aucun entier naturel n vérifiant la propriété ÿPþ(n). Donc la récurrenceest fausse. En fait l’ensemble E des nombres vérifiant ÿPþ(n) est vide et .s’ ’il existe un élémentdans cet ensemble E . . . . .alors, son successeur est aussi un élément de l’ensemble E.

::::::::::::::Exemple :

:::::::::F.5 :

F.3. ix Démonstration par disjonction de cas :Dans ce type de raisonnement, un nombre fini de solutions possibles sont envisagées et étudiées les

unes après les autres.

α. Équations diophantiennes.β.

:::::::::::::::Exemples

:::::::::F.6 :


C.10. Démonstration par analogie : C.11. Démonstration par Analyse et synthèse : C.12. Démonstrationd’unicité : C.13. Démonstration par abduction : syllogisme Ou raisonnement hypothético-déductif. Danscette forme élémentaire et exemplaire de déduction qu’est le syllogisme, et plus précisément celui de lapremière figure, on voit qu’un tel syllogisme raisonne à partir d’une règle (majeure) et de la subsomptiond’un cas (mineure) pour obtenir (conclusion) le résultat de cette règle dans ce cas. Par exemple : Règle :Tous les haricots de ce sac sont blancs Cas : Ces haricots sont tirés de ce sac. Résultat : Ces haricots sontblancs. Dans l’induction, on aboutit à la règle en partant d’un cas et d’un résultat : Cas : Ces haricotssont tirés de ce sac. Résultat : Ces haricots sont blancs. Règle : Tous les haricots de ce sac sont blancs 12Enfin, dans l’abduction, que Pierce appelle aussi hypothèse, on aboutit au cas en partant de la règle etd’un résultat : Règle : Tous les haricots de ce sac sont blancs Résultat : Ces haricots sont blancs. Cas :Ces haricots sont tirés de ce sac. Ailleurs, Pierce présente ainsi son système ternaire, en l’accordant à lahiérarchie des modalités : la déduction prouve que quelque chose doit être, l’induction montre que quelquechose est effectivement, l’abduction suggère que quelque chose pourrait être.


Chiffres du chapitre de logique

Le nombre total de définitions est de : 1.Le nombre total d’axiomes est de : 10.Le nombre total de propositions est de : 0.Le nombre total de lemmes est de : 0.Le nombre total de théorèmes est de : 1.Le nombre total de corrolaires est de : 0.Le nombre total de démonstrations est de : 1.Le nombre total de exemples est de : 6.Le nombre total de remarques est de : 1.Le nombre total d’activités préparatoires est de : 0.Le nombre total d’exercices est de : 0.Le nombre total d’expercice d’approfondissement est de : 0.


Chapitre G

Contrôles


147

§ G 1 Lundi 2-10-2017-1-Repères-2- Milieu d’un segment-3- Distance entre deux points-4- Cercle


Contrôle du lundi 2 octobre 2017

Exercice 1 : Différents repères d’après l’exercice B.2 sur 6 points.1.a. Construire un parallélogramme ABCD de centre Z.1.b. Positionner les points E, F, G et H milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].1.c. Construire les points I, J, K et L les images du point Z par les symétries de centre E, F, G et H.1.d. Préciser la nature du repère (Z ;A ;B).1.e. Dans ce repère donner les coordonnées des point Z, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K et L.

Exercice 2 : Milieu d’un segment d’après les exercices 29 et 30 p 238 sur 4 points.2.a. Dans un plan ÿPþ, muni d’un repère quelconque (O; I; J), donner les coordonnées du milieu K du

segment [AB] avec A(2; 3) et B(4; 5).2.b. Dans un plan ÿPþ, muni d’un repère quelconque (O; I; J), donner les coordonnées du milieu K du

segment [AB] avec A(−2; 1) et B(1;−6).

Exercice 3 : Distance entre deux points d’après les exercices 48 et 49 p 239 sur 4 points.3.a. Soient les point A(−5;−1) et B(2; 1) du plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J), calculer

la distance AB.3.b. Soient les point A(3

5; −1

4) et B( 1

10; 12) du plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J), calculer la

distance AB.

Exercice 4 : Cercle d’après l’exercice 52 p 239 sur 6 points.Soit le cercle de centre ÿCþ de centre I(3; 2) et de rayon 2.

4.a. Pour le point A(4, 7; 3) calculer la distance IA. Le point A appartient-il au cercle ÿCþ ?4.b. Pour le point B(4; 2 +

√3) calculer la distance IB. Le point B appartient-il au cercle ÿCþ ?

Contrôle du lundi 2 octobre 2017

Exercice 1 : Différents repères d’après l’exercice B.2 sur 6 points.1.a. Construire un parallélogramme ABCD de centre Z.1.b. Positionner les points E, F, G et H milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].1.c. Construire les points I, J, K et L les images du point Z par les symétries de centre E, F, G et H.1.d. Préciser la nature du repère (Z ;A ;B).1.e. Dans ce repère donner les coordonnées des point Z, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K et L.

Exercice 2 : Milieu d’un segment d’après les exercices 29 et 30 p 238 sur 4 points.2.a. Dans un plan ÿPþ, muni d’un repère quelconque (O; I; J), donner les coordonnées du milieu K du

segment [AB] avec A(2; 3) et B(4; 5).2.b. Dans un plan ÿPþ, muni d’un repère quelconque (O; I; J), donner les coordonnées du milieu K du

segment [AB] avec A(−2; 1) et B(1;−6).

Exercice 3 : Distance entre deux points d’après les exercices 48 et 49 p 239 sur 4 points.3.a. Soient les point A(−5;−1) et B(2; 1) du plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J), calculer

la distance AB.3.b. Soient les point A(3

5; −1

4) et B( 1

10; 12) du plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J), calculer la

distance AB.

Exercice 4 : Cercle d’après l’exercice 52 p 239 sur 6 points.Soit le cercle de centre ÿCþ de centre I(3; 2) et de rayon 2.

4.a. Pour le point A(4, 7; 3) calculer la distance IA. Le point A appartient-il au cercle ÿCþ ?4.b. Pour le point B(4; 2 +

√3) calculer la distance IB. Le point B appartient-il au cercle ÿCþ ?Correction du contrôle du lundi 2 octobre 2017


Exercice 1 : .

1.a.1.b.1.c.

1.d. Le repère (Z ;A ;B) est un repère quelconque car le triangle ZAB est quelconque.1.e. Z(0; 0) - A(1; 0) - B(0; 1) - C(−1; 0) - D(0;−1) - E(1

2; 12) - F (−1

2; 12) - G(−1

2;−1

2) - H(1

2;−1

2) -

I(1; 1) - J(−1; 1) - K(−1;−1) - L(1;−1)Exercice 2 : .

2.a. K(3; 4).2.b. K(−1

2;−5

2)

Exercice 3 : .

3.a. AB =√53.

3.b. AB =√134.

Exercice 4 : .

4.a. IA =√38910

. Or un cercle est l’ensemble des points qui sont à la même distance de son centre.Comme IA 6= 2, le point A n’appartient pas au cercle ÿCþ.

4.b. IB = 2, donc le point B est un point du cercle ÿCþ.


§ G 2 Lundi 20-11-2017-1-Théorème de Varignon-2- Logique et Pythagore-3- Fonction et algorithme-4- Intervalles


Contrôle du lundi 20 Novembre 2017

La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte. Justifier vos réponses.La machine à calculer est autorisée. Malgré le soin apporté à la rédaction de ce devoir, il se peut que voustrouviez une coquille. Dans ce cas, exprimer là, justifier là et continuer le texte avec votre correction.

Le texte comprend une page et doit être rendu avec la copie.

Exercice 1 : Le théorème de Varignon (Mathématicien français 1654-1722) (5 points).Soient quatre points A, B, C et D du plan ÿPþ. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC],[CD] et [AD] du quadrilatère ABCD.

1.a. Conjecture.1.a.i. Faire une figure dans un repère quelconque avec 1 cm comme unité sur l’axe des abscisses et

2 cm comme unité sur l’axe des ordonnées.1.a.ii. Que pouvez-vous conjecturer pour le quadrilatère IJKL ?

1.b. Cas général.Soit le repère quelconque (A ;B ;D) et on note (a; b) les coordonnées du point C dans ce repère. Les nombresa et b sont quelconques.

1.b.i. Après avoir rappelé les coordonnées des points A, B et D, calculer les coordonnées des milieuxI, J, K et L en fonction des nombres a et b.

1.b.ii. Démontrer la conjecture de la question 1.a.ii Pour démontrer cette conjecture, vous pouvezutiliser le repère de la question précédente.

Exercice 2 : Logique d’après 83 p 242 (4 points).Le théorème de Pythagore affirme que : ” . .Si ABC est un triangle rectangle en A . . . . .alors,.AB2+AC2 = BC2.

2.a. Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore.2.b. Énoncer la contraposée du théorème de Pythagore.2.c. Avec les longueurs AB = 5cm, AC = 11cm et BC = 12cm, quelle implication parmi les trois

précédentes permet de démontrer que le triangle ABC n’est pas rectangle ?

Exercice 3 : Algorithme et fonction d’après 27 p 24 (5 points).La fonction E est définie par le programme ci-dessous.

^ Choisir un nombre réel._ Multiplier ce réel par le nombre 4.` Soustraire au résultat le nombre 2.

a Multiplier le résultat par le nombre 3.

3.a. Calculer E(5,5). En déduire les coordonnées d’un point A appartenant à courbe représentative dela fonction E.

3.b. Exprimer E(x) en fonction du nombre x choisi au départ puis définir précisément la fonction E.3.c. Julie annonce : ”J’ai obtenu −6”. Quel nombre a-t-elle choisi au départ ?

Exercice 4 : Intervalle d’après 55 p 27 (6 points). Traduire chaque information par l’appartenance dex à un intervalle. Représenter cet intervalle sur une droite graduée.

4.a. 3 6 x 6 7.4.b. x < 5.4.c. x > 0.


Correction du contrôle du lundi 20 Novembre 2017

Exercice 3 : Théorème de Varignon.3.a. Conjecture

3.a.i.3.a.ii. Le quadrilatère IJKL semble être un parallélogramme.

3.b. Démonstration3.b.i. Dans le repère (A;B;D) et avec des coordonnées pour C(a; b). Les coordonnées des milieux

des côtés sont : I(0, 5; 0) - J(a+12; b2) - K(a

2; b+1

2) et L(0; 0, 5).

Les milieux E et F respectifs des segments [IK] et [JL] deviennent E(a+12; b+1

2) et F (a+1

2; b+1

2). les coordon-

nées des points E et F sont identiques, les deux points sont confondus et IJKL est un parallélogramme.Autre méthode :Dans le triangle ADC, le théorème de la droite des milieux précise : . .Si dans un triangle, une droite passepar le milieu de deux côtés de ce triangle . . . . . .alors, cette droite est parallèle au troisième côté. Donc dansle triangle ADC, (LK)//(AC). De même dans le triangle ABC, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles.Finalement, (LK)//(IJ). De plus, toujours à l’aide du théorème de la droite des milieux, dans les trianglesDAB et DCB, les droites (LI)//(DB)//(KJ).Conclusion : IJKL est un quadrilatère qui possède des côtés parallèles deux à deux, il s’agit bien d’unparallélogramme.

Exercice 4 : Logique.4.a. La réciproque du théorème de Pythagore est : . .Si dans un triangle ABC les longueurs de ce triangle

vérifient AB2 + AC2 = BC2 . . . . . .alors, le triangle ABC est rectangle en A.4.b. La contraposée du théorème de Pythagore est : . .Si. dans un triangle ABC les longueurs de ce

triangle vérifient AB2 + AC2 6= BC2 avec BC la plus grande longueur du triangle . . . . .alors,. le triangle ABCn’est pas un triangle rectangle.

4.c. Avec les longueurs données, il est facile de vérifier que la plus grande longueur du triangle estBC = 12cm et que 144 = 122 6= 112 + 52 = 146 en conséquence, AB2 + AC2 6= BC2 et la contraposée duthéorème de Pythagore permet d’affirmer que le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.


§ G 3 Mercredi 10-01-2018-1-Algorithme et fonctions-2- Pyramide à base carrée


Contrôle du mercredi 10 janvier 2018



Exercice 1 : Algorithme et minimum d’après le 52 p 52 .Voici, en dessous et à gauche, un algorithme en langage naturel.

V ÿà˚r˚ià˜b˝lésþx, y et m sont des nombres réels.

Initialisationx← 0m← 3

P ÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚tTant que x < 2

x← x+ 0, 1y ← x2 − 2x+ 3

. .Si y 6 m . . . . . .alors,m← y

Fin de siFin de tant que

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher m

x 0 0, 1 ...x < 2 Vrai Vrai ...y X 2,81 ...y 6 m X Vrai ...m 3 2,81 ...

1.a. Une exécution pas à pas de cet algorithme permet de suivre l’évolution du contenu des variablesde l’algorithme. Recopier et compléter le tableau situé au dessus et à droite.

1.b. Fonction de l’algorithme.1.b.i. Que représente chacune des variables de cet algorithme ?1.b.ii. Expliquer le rôle de cet algorithme.

1.c. Premières modifications de l’algorithme.1.c.i. Quelles modifications apporter à l’algorithme pour la fonction f définie sur l’intervalle fermé

[0; 4] par f(x) = x2 − 3x+ 7 ?1.c.ii. Dans ce cas, quelle est la valeur affichée en sortie ?

1.d. Deuxièmes modifications de l’algorithme.1.d.i. Modifier maintenant l’algorithme afin de l’appliquer à la fonction g définie sur l’intervalle

fermé [0; 1] par g(x) = 3x2 − 2x1.d.ii. La valeur affichée en sortie est-elle le minimum de la fonction g sur [0; 1] ? Expliquer.

Exercice 2 : Volume usuel d’après le 53 p 265 .

Voici un patron d’une pyramide régulière dont la baseest un carré de 2cm de côté.2.a. Représenter cette pyramide en perspective cavalière.2.b. Déterminer sa hauteur lorsque :

2.b.i. son volume est de 8cm3.2.b.ii. AE =

√11cm.


Correction du contrôle du mercredi 10 janvier 2018

Exercice 1 : Algorithme et minimum d’après le 52 p 52 .1.k. Tableau d’évolution des variables.

x 0 0, 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0x < 2 Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vraiy X 2,81 2,64 2,49 2,36 2,25 2,16 2,09 2,04 2,01 2y 6 m X Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vraim 3 2,81 2,64 2,49 2,36 2,25 2,16 2,09 2,04 2,01 2

x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0x < 2 Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Fauxy 2,01 2,04 2,09 2,16 2,25 2,36 2,49 2,64 2,81 2,81y 6 m Faux Faux Faux Faux Faux Faux Faux Faux Faux Fauxm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.l. x et y sont les coordonnées d’un point appartenant la courbe représentative de la fonction f définiedans la troisième ligne de l’algorithme. Cet algorithme permet de déterminer l’ordonnée du minimum dela courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle définie entre l’initialisation de x et la valeur dutest Tant que .

1.m. L’initialisation de x reste la même et l’initialisation de m devient m ← 7. La ligne de fonctiondevient y ← x2 − 3x+ 7. La valeur du test Tant que devient x 6 4. La valeur de m affichée en sortie est194= 4, 75.1.n. m ← 0, y ← 3x2 − 2x, x 6 1. Non car le minimum est obtenu pour x = 1

3qui est un nombre

rationnel et non décimal. Aussi les différentes valeurs prises par x et qui sont décimales n’atteignent jamaisla valeur exacte de 1

3. Le minimum est −1

3, l’algorithme atteint m = −0, 33.

Exercice 2 : Volume usuel d’après le 53 p 265 .2.o. Pour ÿVþ = 8cm3, comme le volume est donné par la formule ÿVþ = a2×h

3et que la longueur du côté

de la bas de cette pyramide vaut 2cm, trouver la hauteur de cette pyramide est équivalent à résoudrel’équation 8 = 4×h

3⇔ h = 6cm.

2.p. Pour AE =√11, il faut calculer les longueur FJ et IJ .

Le calcul de FJ se réalise dans le triangle BFJ rectangle en J. Le théorème de Pythagore permet d’écrireBF 2 = BJ2 + JF 2. Comme JF est une longueur seule la solution de positive de l’équation du seconddegré est utile dans cet exercice, soit JF =

√10.

La longueur IJ mesure la moitié de la longueur d’un côté du carré de bas soit IJ = 1cm.Le théorème de Pythagore dans le triangle FIJ rectangle en I permet d’affirmer que JF 2 = IF 2 + IJ2 etdonne IF = 3 cm.Conclusion : La hauteur IF = 3 cm.


§ G 4 Mercredi 28-03-2018-1- Le coup du 1-2- Système : méthode graphique-3- Système : machine à calculer


Contrôle du mercredi 28 mars 2018

Exercice 1 : Le coup du 1 d’après 44 p 77 sur 5 points

Soit l’expression : A = (x+ 4)(x− 3) + (x+ 4)(x− 1) + x+ 4.1.a. Voici la factorisation obtenue par Alice. Voici la factorisation obtenue par Alice : A = (x+4)(2x−4).

1.a.i. Calculer les deux expressions de A pour x = 0. Que peut-on en conclure ?1.a.ii. Kenza commence à factoriser A en écrivant : A = (x+4)(x−3)+(x+4)(x−1)+(x+4)×1.

Poursuivre le travail de Kenza afin de factoriser A.1.b. Factoriser :

1.b.i. B = (2x− 1)(x+ 3) + 2x− 11.b.ii. C = (x+ 1)2 + (x+ 1)(x− 2) + x+ 1

1.c. Démontrer que pour tout nombre réels x, (x+ 6)(x+ 7) = (x+ 6)2 + x+ 6

Exercice 2 : Méthode graphique d’après 70 p 79 sur 9 points

Dans ce repère, les droites d1, d2 etd3 sont représentatives des fonctionsaffines x 7→ 2x − 1, x 7→ x − 3 etx 7→ −x+ 5.2.a. Justifier les équations des droitesd1, d2, d3.

2.b. Lire graphiquement la solution dechaque système.

2.b.i.

x+ y = 5

2x− y = 1

2.b.ii.

x+ y = 5

−x+ y = −3

2.b.iii.

−x+ y = −32x− y = 1

2.c. Vérifier par le calcul en précisant laméthode utilisée.

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

d1

d2

d3

Exercice 3 : Calculatrice d’après 75 p 79 sur 6 points

Résoudre les système ci-dessous en précisant la méthode utilisée.

3.a.

3x+ 4y = 3

−2x− 3y = 2

3.b.

−7x+ y = 4

3x+ 5y = 3

3.c. Vérifier vos résultats à la machine à calculer.


Correction du contrôle du mercredi 10 janvier 2018

Exercice 1 : Le coup du 1 d’après 44 p 77 sur 5 points1.a. Essais :

1.a.i. Forme développée : pour x = 0, A = −12.Forme factorisée : A = −16.Le résultat étant différents les deux formes ne sont pas égales.

1.a.ii. A = (x+ 4)(2x− 3).1.b. Factoriser :

1.b.i. B = (2x− 1)(x+ 4).1.b.ii. (x+ 6)(x+ 7) = (x+ 6)

((x+ 6) + 1

)⇔ (x+ 6)(x+ 7) = (x+ 6)2 + x+ 6.

Exercice 2 : Méthode graphique d’après 70 p 79 sur 9 points2.a. Substitution : (2; 3).2.b. Substitution : (4; 1).2.c. Substitution : (−2;−5).

Exercice 3 : Calculatrice d’après 75 p 79 sur 6 points3.a. Combinaison linéaire (17;−12).3.b. Substitution : (−17

38; 3338).


§ G 5 Mercredi 23-05-2018-1- Vecteur-2- Système : le boulanger-3- Probabilité : diagramme de Venn-4- Probabilité : Assurance des employés d’une société


Contrôle du mercredi 23 mai 2018

Exercice 1 : Vecteurs, d’après 50 p 291 sur 5 points

La figure ci-contre est un assemblage de deux carréset de deux triangles rectangles tels que : ED = 2DA.Le travail sera réalisé dans le repère (D;

−−→DC;

−−→DA).

1.a. Après avoir précisé la nature du repère(D;−−→DC;

−−→DA), déterminer les coordonnées de chaque

point de la figure.1.b. Quelles sont les coordonnées du centre H du carréDEFG.1.c. Calculer les composantes des vecteurs

−→AC et

−−→EH.

1.d. Que peut-on en déduire pour le quadrilatèreACHE? Expliquer.

A B

CDE

F G

Exercice 2 : Résolution de système sur 5 points

2.a. À la boulangerie, Mattéo achète deux parts de pizza et cinq parts de flan pâtissier. Il paie 14,05 €.Salim achète trois parts de pizza et deux parts de flan pâtissier. Il paie 9,80 €.

2.a.i. Parmi les quatre systèmes ci-dessous, déterminer celui qui permettra de résoudre ce problème.

(I)

2x+ 5y = 14, 05

3x− 2y = 9, 80(II)

2x+ 2y = 14, 05

3x+ 5y = 9, 80(III)

2x+ 5y = 14, 05

3x+ 2y = 9, 80(IIII)

2x+ 5y = 9, 80

3x+ 2y = 14, 05

2.a.ii. Résoudre le système choisi en précisant la méthode utilisée. Vérifier avec votre machine àcalculer.

2.a.iii. Conclure en donnant le prix de la part de pizza et le prix de la part de flan pâtissier.

Exercice 3 : Diagramme de Venn, d’après 45 p 196 sur 5 pointsLe diagramme de Venn ci-contre présente la répartitiondes 100 éléments d’un ensemble E. On tire au hasard unélément de E. Quel est la probabilité que cet élémentappartienne :

3.a. à A ? 3.b. à A ou à B ?3.c. à A et à B ? 3.d. à A et à B ?

E : 100 1020

A B

30 40

Exercice 4 : Assurance, d’après 52 p 197 sur 5 pointsDans une société qui emploie 500 personnes, 300 sont assurées contre la maladie, 200 contre les accidentset 120 à la fois contre la maladie et les accidents. On choisit au hasard un employé de cette société. Quelleest la probabilité qu’il soit assuré :

4.a. Contre la maladie, mais pas contre les accidents ?4.b. Contre la maladie ou les accidents ?4.c. Ni contre la maladie, ni contre les accidents ?


Chapitre H

Devoirs


§ H 1 Vendredi 6-10-2017-1-Nature d’un triangle-2- Rectangle et triangle rectangle-3- Théorème de Varignon

163

Devoir du vendredi 6 octobre 2017



Exercice 1 : Nature du triangle. (6 points)Dans un plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J) , on considère les points M, E et R de coordonnéesrespectives : M(−1; 13), E(0;−23) et R(23; 1).

1.a. Faire une figure avec une unité de 1cm.1.b. Calculer les longueurs des trois côtés du triangle MER.1.c. Quelle est la nature de ce triangle ?1.d. Construire le cercle circonscrit au triangle MER.

Exercice 2 : Rectangle et triangle rectangle. (7 points)Le plan ÿPþ est muni d’un repère orthonormé (O; I; J). Dans ce plan, on place les points suivants :T (−2, 2; 1, 2), A(−1, 2; 3, 6) et C(6; 0, 6).

2.a. Calculer les valeurs exactes des longueurs des trois côtés du triangle TAC.2.b. Démontrer que le triangle TAC est rectangle. Préciser en quel point.2.c. Soit K le milieu de [TC]. Calculer les coordonnées du point K.2.d. Quelles sont les coordonnées du point E tel que ECAT soit un rectangle ?

Exercice 3 : Le théorème de Varignon (Mathématicien français 1654-1722). (7 points)Soit quatre points A, B, C et D du plan ÿPþ. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC],[CD] et [AD] du quadrilatère ABCD.

3.a. Conjecture.3.a.i. Faire une figure dans un repère quelconque avec 1 cm comme unité sur l’axe des abscisses et

2 cm comme unité sur l’axe des ordonnées.3.a.ii. Que pouvez-vous conjecturer pour le quadrilatère IJKL ?

3.b. Cas général.Soit le repère quelconque (A ;B ;D) et on note (a; b) les coordonnées du point C dans ce repère. Les nombresa et b sont quelconques.

3.b.i. Après avoir rappelé les coordonnées des points A, B et D, calculer les coordonnées des milieuxI, J, K et L en fonction des nombres a et b .

3.b.ii. Démontrer la conjecture de la question 3.a.ii Pour démontrer cette conjecture, vous pouvezchoisir un repère et exprimer les coordonnées des points dans ce repère.


Devoir du vendredi 6 octobre 2017

Exercice 1 : .

1.a.1.b. Dans le repère orthonormé (O; I; J) :

ME =√

(0−(−1))2 + (−23−13)2 soit ME =√1297.

ER =√

(23−0)2 + (1−(−23))2 soit ER =√1105.

MR =√(23−(−1))2 + (1−13)2 soit ER =

√720 = 2, 6

√5.

1.c. Comme les trois longueurs sont différentes entres elles, le triangle MER ne peut être ni isocèle,ni équilatéral. Vérifions que le triangle MER n’est pas rectangle. La plus grande longueur est ME quiélevée au carré donne 1297. La somme du carré des deux autres côtés vaut 1105 + 720 = 1825. Comme1297 6= 1825, la contraposée du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle MER n’est pasun triangle rectangle.Conclusion : Le triangle MER est un triangle quelconque.

1.d. Voir le graphique de la question précédente.


Exercice 2 : .2.a. Calculs des longueurs des côtés du triangle TAC :

TA =√(−1, 2−(−2, 2))2 + (3, 6−1, 2)2 soit TA = 2, 6.

AC =√(6−(−1, 2))2 + (0, 6−3, 6)2 soit AC = 7, 8.

TC =√(6−(−2, 2))2 + (0, 6−1, 2)2 soit TC =

√67, 6.

2.b. Comme 2, 62 + 7, 82 = 67, 6. En conséquence, TC2 = TA2 + AC2 . La réciproque du théorème dePythagore permet de conclure que TAC est un triangle rectangle en A.

2.c. Soit K le milieu de [TC]. K(6+(−2,2)2

; 0,6+1,22

) soit K(1, 9; 0, 9).

2.d. Pour que ECAT soit un rectangle, il faut d’abord que ECAT soit un parallélogramme. Or tousles parallélogrammes possèdent des diagonales qui se coupent en leur milieu. Donc K qui le milieu de lapremière diagonale [TC] doit aussi être le milieu de la deuxième diagonale [EA]. En posant E(xE; yE) , lescoordonnées de E vérifient :

xE−1,22

= 1, 9yE+3,6

2= 0, 9

⇔

xE − 1, 2 = 3, 8

yE + 3, 6 = 1, 8⇔

xE = 5

yE = −1, 8. Les coordonnées du point E sont (5;−1, 8). Le

calcul des coordonnées du point E peut aussi se réaliser en utilisant le point E comme symétrique du pointA par la symétrie de centre K.


Exercice 3 : .3.a. Conjecture

3.a.i.3.a.ii. Le quadrilatère IJKL semble être un parallélogramme.

3.b. Démonstration3.b.i. Dans le repère (A;B;D) et avec des coordonnées pour C(a; b). Les coordonnées des milieux

des côtés sont : I(0, 5; 0) - J(a+12; b2) - K(a

2; b+1

2) et L(0; 0, 5).

Les milieux E et F respectifs des segments [IK] et [JL] deviennent E(a+12; b+1

2) et F (a+1

2; b+1

2). les coordon-

nées des points E et F sont identiques, les deux points sont confondus et IJKL est un parallélogramme.Autre méthode :Dans le triangle ADC, le théorème de la droite des milieux précise : . .Si dans un triangle, une droite passepar le milieu de deux côtés de ce triangle . . . . . .alors, cette droite est parallèle au troisième côté. Donc dansle triangle ADC, (LK)//(AC). De même dans le triangle ABC, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles.Finalement, (LK)//(IJ). De plus, toujours à l’aide du théorème de la droite des milieux, dans les trianglesDAB et DCB, les droites (LI)//(DB)//(KJ).Conclusion : IJKL est un quadrilatère qui possède des côtés parallèles deux à deux, il s’agit bien d’unparallélogramme.

Remarque : Le théorème de Varignon fonctionne dans tous les quadrilatères, même les quadrila-tères non convexes.


§ H 2 Lundi 11-12-2017-1- Vers la représentation graphique-2- Vers le tableau de variations-3- Variation d’une fonction-4- Bénéfice optimum


Devoir du lundi 11 décembre 2017


Le texte comprend deux pages et doit être rendu avec la copie.

Exercice 1 : Vers la représentation graphique . 4 pointsVoici le tableau de variations d’une fonction f .

V aleurs de x −4 −1 1 3 3.5

V ariations de f−4

−2

−5

0

−1

1.a. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f , noté ÿDþf ?1.b. Indiquer le sens de variations de la fonction f sur son ensemble de définition ÿDþf .1.c. Préciser les extrémum éventuels de la fonction f .1.d. Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction f dans un

repère orthonormé (O; I; J) .

Exercice 2 : Vers le tableau de variations . 4 pointsPour chacune des fonctions définies sur R suivantes, tracer une représentation graphique sur la calculatrice,puis décrire ses variations et dresser son tableau de variations le plus précisément possible.

2.a. f(x) = 4x3−5x+ 2, 5.2.b. g(x) = 3x−6

x+2.

Exercice 3 : Variations d’une fonction . 7 pointsVoici la courbe représentative d’une fonction f définie sur R et notée ÿCþf .

−3.−2.5−2.−1.5−1.−0.5 0.5 1. 1.5 2. 2.5

−3.−2.5−2.−1.5−1.−0.5

0.5

1.

1.5

2.

2.5

3.

3.5

4.

0

Cf

3.a. Par lecture graphique, déterminer :3.a.i. L’image de −1 par f .3.a.ii. f(0), f(1), f(−2), f(2).3.a.iii. Le(s) antécédent(s) de 1 par f .


3.a.iv. Les éventuels nombres qui ont 0 pour image. Vous pouvez utiliser des valeurs approchéesau dixième.

3.b. Citer, si possible, un nombre qui a ( Vous pouvez utiliser des valeurs approchées au dixième) :3.b.i. Un antécédent.3.b.ii. Deux antécédents.3.b.iii. Trois antécédents.3.b.iv. Aucun antécédent.

3.c. À partir de cette représentation graphique, construire le tableau de variation de la fonction f surl’intervalle fermé [−2; 2].

3.d. Déterminer les extrémum de cette fonction sur l’intervalle fermé [−2; 2]. Vous pouvez utiliser desvaleurs approchées au dixième.

Exercice 4 : Bénéfice optimum . 5 pointsUn artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et 60 et estime quele cout de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C donnée par C(x) = x2−10x+500.La recette est noté en euros R(x) et correspondant à la vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu à50€.

4.a. Exprimer R(x) en fonction de x.4.b. Calculer le cout et la recette réalisés lorsque l’artisan vend 50 vases.4.c. Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan est donné par la fonction B dont l’expression

est : B(x) = −x2 + 60x−500.4.d. L’artisan prend sa machine à calculer et obtient le graphique suivant :

−5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Vases vendus50

100

150

200

250

300

350

400€

0

4.d.i. Calculer le bénéfice pour une vente de 10 vases ou de 50 vases. Vérifier le résultat sur legraphique ci-dessus.

4.d.ii. À partir de cette représentation graphique construire le tableau de variations de la fonctionB sur l’intervalle fermé [10; 50].

4.e. Déterminer les extrémum éventuels de la fonction B sur l’intervalle fermé [10; 50].Pour les extrémum existant, interpréter les valeurs des coordonnées dans la situation de l’exercice.


Correction du devoir de décembre 2017

Exercice 1 : Vers la représentation graphique .1.c. L’ensemble de définition ou de départ de la fonction f est l’intervalle fermé ÿDþf = [−4; 3.5].1.d. Sur les intervalles fermés [−4;−1] et [1; 3] la fonction f est croissante.

Sur l’intervalle ouvert ]−1; 1[ et sur l’intervalle semi ouvert à gauche ]3; 3.5] la fonction f est décroissante.1.e. Le point de coordonnées (−1;−2) est un maximum local sur l’intervalle ouvert ]− 4; 1[.

Le point de coordonnées (1;−5) est un minimum local sur l’intervalle ouvert ]−1; 3[.C’est même le minimumglobal de la fonction f sur ÿDþfLe point de coordonnées (3; 0) est un maximum local sur l’intervalle ouvert ]1; 3.5[.

1.f. Voici deux fonctions respectant le tableau de variations.

Exercice 2 : Vers le tableau de variation . Tableaux de variations2.a. Pour la fonction f :

Valeurs de x

Variations de f

−∞ −√156

√156

+∞

−∞−∞

10√15+4518

10√15+4518

−10√15+4518

−10√15+4518

+∞+∞

2.b. Pour la fonction g :

Valeurs de x

Varia-tions de f

−∞ −2 +∞

33

+∞

−∞

33


La machine à calculer donne l’affichage ci-dessous :

Exercice 3 : Variations d’une fonction .3.a. Par lecture graphique

3.a.i. L’image du réel −1 par la fonction f est −2.3.a.ii. f(0) = 1, f(1) = 4, f(−2) = 1 et f(2) = 1.3.a.iii. Les antécédents de 1 par la fonction f sont −2, 0 et 2.3.a.iv. Les antécédents de 0 sont ≈ −1.860, ≈ −0.254 et ≈ 2.114.

3.b. Les nombres répondant aux questions sont les réels k :3.b.i. Un seul antécédent : k ∈]−∞; 1− 16

√3

9[∪]1 + 16

√3

9; +∞[.

3.b.ii. Deux antécédents : k = 1− 16√3

9≈ −2.079 ou k = 1 + 16

√3

9≈ 4.079.

3.b.iii. Trois antécédents : k ∈]1− 16√3

9; 1 + 16

√3

9[.

3.b.iv. Il n’existe pas de réel sans antécédent.3.c. Tableau de variations :


Valeurs de x

Variations de f

−∞ −2√3

32√3

3+∞

+∞+∞

−16√3+9

9−16

√3+9

9

16√3+99

16√3+99

−∞−∞

3.d. Les valeurs exactes, qui n’étaient pas demandées puisque le texte demande l’approximation audixième, sont :

— Maximum local sur l’intervalle ouvert ]− 2; 2√3

3[ :

M(−2√3

3; 1− 16

√3

9) soit M(≈ −1.154;≈ −2.079).

— Minimum local sur l’intervalle ouvert ]− 2√3

3; 2[ :

P (2√3

3; 1 + 16

√3

9) soit P (≈ 1.154;≈ 4.079).

Exercice 4 : Bénéfice optimum .4.a. La fonction R est une fonction linéaire qui traduit la proportionnalité entre la recette et le nombre

de vases vendus : R(x) = 50x.4.b. Le cout et la recette s’obtiennent en évaluant les fonctions C et R pour x = 50, le nombre de vases

vendus.

— C(50) = 502 − 10× 50 + 500 soit C (50) = 2500€.— R(50) = 50× 50 soit R (50) = 2500€.4.c. Le bénéfice s’obtient en réalisant la différence entre la recette et le cout, soit B(x) = R(x)−C(x)

. Il vient, B(x) = 50x− (x2 − 10x+ 50) soit B(x) = −x2 + 60x− 50.4.d. À partir du graphique de la machine à calculer :

4.d.i. L’évaluation de la fonction B pour x = 10 et x = 50 permet de répondre à la question”calculer”. B(10) = B(50) = 0. Les points d’intersections de la courbe représentative de la fonction B etde l’axe des abscisses permettent de vérifier que le bénéfice pour une vente de 10 ou 50 vases est de 0€.

4.d.ii. Voici le tableau de variations correspondant.

Valeurs de x

Variations de B

10 30 50

00

400400

00

4.e. Il n’existe qu’un seul extrémum et c’est un maximum global sur l’intervalle fermé [10; 50]. Lescoordonnées de cet extrémum sont (30; 400) qui peuvent être calculer à partir de la fonction B et vérifiersur le graphique.Interprétation : le bénéfice maximum pour l’artisan est de 400€ pour la vente de 30 vases.


§ H 3 Vendredi 9-02-2018-1- Statistiques : Le rapeur Jul-2- Statistiques : comparaison de deux séries-3- Géométrie dans l’espace-4- Calculs algébriques


Devoir du jeudi 8 février 2018



Exercice 1 : Le rapeur Jul - D’après Mégamath janvier 2018 sur cinq points







1.d. Une autre étude statistique a prouvé que pour un enfant de 8 ans, le nombre de fautes d’orthographesur une dictée de 140 caractères est : m = 16. Que pensez-vous du niveau d’orthographe de Jul ?

Exercice 2 : Choix d’une entreprise sur cinq points

Après avoir postulé et été acceptée sur un poste de secrétaire de direction dans deux entreprisesdifférentes, Élodie cherche maintenant à comparer les salaires proposés avant de faire son choix.

2.a. Pour l’entreprise A, Élodie trouve le tableau suivant.

Salaires 850€ 950€ 1 000€ 1 100€ 1 250€ 1 350€ 1 450€ 3 000€ 5 000€ 10 000€Nombresd’employés 1 1 5 10 12 15 12 10 4 2

2.a.i. Calculer la moyenne des salaires. La moyenne sera donnée avec la valeur exacte puis avec unarrondi à l’euro près.

2.a.ii. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile.2.a.iii. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectifs nécessaires,

en fonction de l’effectif total, à la détermination des quartiles et de la médiane. Vous pouvez utiliser lafonction partie entière étudiée dans le dernier T.P. d’informatique et qui à tous les réels x associe l’entiernaturel n inférieur le plus proche.


2.b. Dans l’entreprise B, Élodie dispose des informations suivantes :— Le salaire moyen est 3 970€.— Le salaire médian est 1 000€.— 25% des employés ont un salaire inférieur à 950€.— 25% des employés ont un salaire supérieur à 1 100€.— Le salaire minimum est 850€.

2.b.i. Comment expliquer une telle différence entre le salaire moyen et le salaire médian.2.b.ii. Comparer les caractéristiques de ces deux séries statistiques et conseiller une entreprise à

Élodie.

Exercice 3 : La pyramide de Khéops sur cinq point

La pyramide de Khéops est un monument funéraire modélisé par une pyramide régulière à base carréede côté 230,3m. À l’origine, sa hauteur était de 146,6m. En raison de l’érosion, elle ne mesure plus que138,7m.

3.a. Représenter une réduction de cette pyramide en perspective cavalière. Choisir et préciser le coeffi-cient de réduction utilisé.

3.b. Quel volume de pierre a été nécessaire pour la construire ? Le résultat sera arrondi au dixième dem3.

3.c. Quel volume a-t-elle perdu depuis sa construction ? Le résultat sera arrondi au dixième de m3.

Exercice 4 : Calculs algébriques sur cinq points

4.a. Développer et réduire l’expression : A =(x+ 1

3

)2

.4.b. Développer et réduire l’expression : B = (−x− 3)2.4.c. Développer et réduire l’expression : C = (x−

√5)(x+

√5).

4.d. Développer et réduire l’expression : D = x(x+ 1)(−x+ 2).

4.e. Factoriser l’expression : E = 4 + 4x+ x2.4.f. Factoriser l’expression : F = 16x2 − 8x+ 1.4.g. Factoriser l’expression : G = 9x2 − 25.4.h. Factoriser l’expression : H = 6− x2

4.i. Factoriser l’expression I = (x+ 1)2−(x−1)2.4.j. En déduire, sans calcul, le nombre J = 100012−99992.


Correction du devoir de février 2018

Exercice 1 : Le rapeur Jul





ECC 2 7 17 32 44 48 50




50

∑7k=1 nk × xk. Avec nk et


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Nombre de fautes2

4

6

8

10

12

14

16Nombre de tweets

0


E = 25− 5⇔ E = 20



Exercice 2 : Choix d’une entreprise

2.a. L’entreprise A :2.a.i. La moyenne pondérée est obtenue en utilisant la formule x = 1

120

∑10k=1 nk × xk. avec nk

et xk respectivement les dix effectifs et les dix modalités de la série statistique étudiées. La moyenne estx = 70225

36et arrondi à l’euro près x ≈ 1 951€.

2.a.ii. Q1 = 1250€, Q2 = 1350€ et Q3 = 1450€.


ECC 1 2 7 17 29 44 56 66 70 72

2.a.iii. Voici un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectifs pour la détermi-nation des quartiles. Rappel : Pour tous les réels x, bxc est la partie entière de x étudiée dans le dernierT.P. d’informatique.




4

n3 ← 3×N4

. . . . . .sinon n1 ← bN4 c+ 1n3 ← b3×N

4c+ 1


. . . . . .alors, n2 ← N2







Fin de si

2.b. L’entreprise B.2.b.i. Cette différence s’explique par le fait que les salaires élevés de l’entreprise B sont très au-

dessus du salaire moyen. Aussi le calcul de la moyenne est poussé vers les grands nombres.2.b.ii. La moyenne de l’entreprise B est nettement au-dessus de celle de l’entreprise A. La médiane

et les quartiles Q1 et Q2 de l’entreprise A sont nettement au-dessus de la médiane de l’entreprise B. SiÉlodie est certaine de faire partie des salaires élevés, l’entreprise B semble plus appropriée. Si elle débute,l’entreprise A est à privilégier.


Exercice 3 : La pyramide de Khéops

3.a. Le coefficient de réduction utilisé doit être précisé.

3.b. Rappel le volume d’une pyramide est donné par la formule V = Ah3

avec A l’aire de la basesoit ici l’aire du carré ABCD et h la hauteur de la pyramide. Or dans cet exercice, A = 230, 32 soitA= 53 038,09m2 et h = 146,6m. En conséquence, V= 53038,09×146,6

3soit V≈ 2 591 794,66m3.

3.c. Le volume après érosion est de V= 53038,09×138,73

. La différence d entre les deux volumes est doncde d = 53038,09(146,6−138,7)

3soit d ≈ 139 666,97m3

Exercice 4 : Calculs algébriques4.a. A = x2 + 2

3x+ 1

9.

4.b. B = x2 + 6x+ 9. Remarque : (−x− 3)2 = (x+ 3)2.4.c. C = x2 − 5.4.d. D = −x3 + x2 + 2x.4.e. E = (x+ 2)2.4.f. F = (4x− 1)2.4.g. G = (3x− 5)(3x+ 5).4.h. H = (x−

√6)(x+

√6).

4.i. I = 4x.4.j. J = 40000.


Devoir du vendredi 9 février 2018



Exercice 1 : Choix d’une entreprise sur cinq points

Après avoir postulé et été acceptée sur un poste de secrétaire de direction dans deux entreprisesdifférentes, Élodie cherche maintenant à comparer les salaires proposés avant de faire son choix.

1.a. Pour l’entreprise A, Élodie trouve le tableau suivant.Salaires 850€ 950€ 1 000€ 1 100€ 1 250€ 1 350€ 1 450€ 3 000€ 5 000€ 10 000€Nombresd’employés 1 1 5 10 12 30 29 26 4 2

1.a.i. Calculer la moyenne des salaires. La moyenne sera donnée avec la valeur exacte puis avec unarrondi à l’euro près.

1.a.ii. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile.1.a.iii. Écrire un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectifs nécessaires,

en fonction de l’effectif total, à la détermination des quartiles et de la médiane. Vous pouvez utiliser lafonction partie entière étudiée dans le dernier T.P. d’informatique et qui à tous les réels x associe l’entiernaturel n inférieur le plus proche.

1.b. Dans l’entreprise B, Élodie dispose des informations suivantes :— Le salaire moyen est 3 970€.— Le salaire médian est 1 000€.— 25% des employés ont un salaire inférieur à 950€.— 25% des employés ont un salaire supérieur à 1 100€.— Le salaire minimum est 850€.

1.b.i. Comment expliquer une telle différence entre le salaire moyen et le salaire médian.1.b.ii. Comparer les caractéristiques de ces deux séries statistiques et conseiller une entreprise à

Élodie.

Exercice 2 : Le rapeur Jul - D’après Mégamath janvier 2018 sur cinq points








2.d. Une autre étude statistique a prouvé que pour un enfant de 8 ans, le nombre de fautes d’orthographesur une dictée de 140 caractères est : m = 16. Que pensez-vous du niveau d’orthographe de Jul ?

Exercice 3 : La pyramide de Khéops sur cinq point

La pyramide de Khéops est un monument funéraire modélisé par une pyramide régulière à base carréede côté 230,3m. À l’origine, sa hauteur était de 146,6m. En raison de l’érosion, elle ne mesure plus que138,7m.

3.a. Représenter une réduction de cette pyramide en perspective cavalière. Choisir et préciser le coeffi-cient de réduction utilisé.

3.b. Quel volume de pierre a été nécessaire pour la construire ? Le résultat sera arrondi au dixième dem3.

3.c. Quel volume a-t-elle perdu depuis sa construction ? Le résultat sera arrondi au dixième de m3.

Exercice 4 : Calculs algébriques sur cinq points

4.a. Développer et réduire l’expression : A =(x+ 1

5

)2

.4.b. Développer et réduire l’expression : B = (−x− 5)2.4.c. Développer et réduire l’expression : C = (x−

√3)(x+

√3).

4.d. Développer et réduire l’expression : D = x(x+ 1)(−x+ 2).

4.e. Factoriser l’expression : E = 16 + 8x+ x2.4.f. Factoriser l’expression : F = 4x2 − 4x+ 1.4.g. Factoriser l’expression : G = 25x2 − 9.4.h. Factoriser l’expression : H = 10− x2

4.i. Factoriser l’expression I = (x+ 1)2−(x−1)2.4.j. En déduire, sans calcul, le nombre J = 500012−499992.


Correction du devoir de février 2018

Exercice 1 : Choix d’une entreprise1.a. L’entreprise A :

1.a.i. La moyenne pondérée est obtenue en utilisant la formule x = 1120

∑10k=1 nk × xk. avec nk

et xk respectivement les dix effectifs et les dix modalités de la série statistique étudiées. La moyenne estx = 23335

12et arrondi à l’euro près x ≈ 1 945€.

1.a.ii. Q1 = 1350€, Q2 = 1450€ et Q3 = 3000€.


ECC 1 2 7 17 29 59 88 114 118 120

1.a.iii. Voici un algorithme en langage naturel permettant de calculer les effectif pour la détermi-nation des quartiles. Rappel : Pour tous les réels x, bxc est la partie entière de x étudiée dans le dernierT.P. d’informatique.




4

n3 ← 3×N4

. . . . . .sinon n1 ← bN4 c+ 1n3 ← b3×N

4c+ 1


. . . . . .alors, n2 ← N2







Fin de si

1.b. L’entreprise B.1.b.i. Cette différence s’explique par le fait que les salaires élevés de l’entreprise B sont très au-

dessus du salaire moyen. Aussi le calcul de la moyenne est poussé vers les grands nombres.1.b.ii. La moyenne de l’entreprise B est nettement au-dessus de celle de l’entreprise A. La médiane

et les quartiles Q1 et Q2 de l’entreprise A sont nettement au-dessus de la médiane de l’entreprise B. SiÉlodie est certaine de faire partie des salaires élevés, l’entreprise B semble plus appropriée. Si elle débute,l’entreprise A est à privilégier.


Exercice 2 : Le rapeur Jul





ECC 2 7 17 32 44 48 50




50

∑7k=1 nk × xk. avec nk et


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Nombre de fautes2

4

6

8

10

12

14

16Nombre de tweets

0


E = 25− 5⇔ E = 20



Exercice 3 : La pyramide de Khéops

3.a. Le coefficient de réduction utilisé doit être précisé.

3.b. Rappel le volume d’une pyramide est donné par la formule V = Ah3

avec A l’aire de la basesoit ici l’aire du carré ABCD et h la hauteur de la pyramide. Or dans cet exercice, A = 230, 32 soitA= 53 038,09m2 et h = 146,6m. En conséquence, V= 53038,09×146,6

3soit V≈ 2 591 794,66m3.

3.c. Le volume après érosion est de V= 53038,09×138,73

. La différence d entre les deux volumes est doncde d = 53038,09(146,6−138,7)

3soit d ≈ 139 666,97m3

Exercice 4 : Calculs algébriques4.a. A = x2 + 2

5x+ 1

25.

4.b. B = x2 + 10x+ 25. Remarque : (−x− 5)2 = (x+ 5)2.4.c. C = x2 − 3.4.d. D = −x3 + x2 + 2x.4.e. E = (x+ 4)2.4.f. F = (2x− 1)2.4.g. G = (5x− 3)(5x+ 3).4.h. H = (x−

√10)(x+

√10).

4.i. I = 4x.4.j. J = 200000.


§ H 4 Mardi 3-04-2018-1-Statistiques : 47 p 23 sesamath-2- Équation-3- Système


Devoir du mardi 3 avril 2018La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte. Justifier vos réponses.

La machine à calculer est autorisée. Malgré le soin apporté à la rédaction de ce devoir, il se peut que voustrouviez une coquille. Dans ce cas, exprimer là, justifier là et continuer le texte avec votre correction.


Exercice 1 : Les banques sur 10 points Une agence bancaire a réalisé une enquête de marché sur lapossibilité de faire payer les chèques bancaires aux clients émetteurs. 1500 chèques ont été étudiés. Ils sontclassés suivant leur montant, exprimé en euros, et les résultats de cette enquête figurent dans le tableausuivant.

Classes Effectifs Effectifs CumulésCroissants

Fréquences Fréquences CumuléesCroissantes

[0; 20[ 16

[20; 40[ 41

[40; 60[ 94

[60; 80[ 165

[80; 100[ 220

[100; 120[ 300

[120; 140[ 253

[140; 160[ 237

[160; 180[ 95

[180; 200[ 54

[200; 220[ 25

1.a. Dans le tableau ci-dessus, compléter la colonne des effectifs cumulés croissants.1.b. Dans le tableau ci-dessus, compléter les colonnes des fréquences et des fréquences cumulées crois-

santes avec des valeurs arrondies au centième. Quelle remarque pouvez vous faire sur le total des fréquencescumulées croissantes ?

1.c. Déterminer le pourcentage de chèques dont le montant est :1.c.i. supérieur ou égal à 160 €.1.c.ii. strictement inférieur à 100 €.1.c.iii. supérieur ou égal à 100 € et strictement inférieur à 160 €.

1.d. Tracer l’histogramme des fréquences cumulées croissantes. L’axe des abscisses représentera les classedu tableau avec comme échelle, 1 cm pour vingt euros. L’axe des ordonnées représentera les fréquencescumulées croissantes avec comme échelle, 10 cm pour la fréquence 1.

1.e. Calculer les quartiles et la médiane de cette série statistique. Chaque classe sera représentée parson centre de classe.

1.f. Calculer l’écart interquartile et déterminer l’intervalle interquartile.1.g. Dans chaque classe, les éléments sont répartis de manière uniforme. Dans le but de faire payer 20%

des clients, quel montant faut-il choisir comme seuil au-dessous duquel les chèques seront payants ?1.h. Lorsque le montant d’un chèque est supérieur à 200€, la banque décide de taxer à 0, 5% l’encais-

sement de ce chèque. Écrire un algorithme en langage naturel que doit mettre en place l’informaticien quiprogramme le logiciel de la banque pour lui permettre d’afficher la taxe en fonction de la valeur du chèquerentré.


Exercice 2 : Développer et factoriser sur 5 points2.a. Factoriser :

2.a.i. A = (2x+ 1)(8 + x)− (3x+ 1)(2x+ 1) + 2x+ 1.

2.a.ii. B = 9x(x− 3) + 9x(10 + 2x).

2.a.iii. C = (11x− 3)2 + (11x− 3)(9x+ 5).

2.a.iv. D = t2 + 81 + 18t.

2.a.v. E = (t+ 3)2 − 16.2.b. Développer et réduire :

2.b.i. F = (4k − 1)(9 + k)− 9k(10− 3k).

2.b.ii. G = 114x(8x− 10).

2.b.iii. H = (y7+ 14)2.

2.b.iv. I = (p− 4)2.

2.b.v. J = (23t− 5)(2

3t+ 5).

Exercice 3 : Résolution de système sur 5 points

3.a. À la boulangerie, Mattéo achète deux parts de pizza et cinq parts de flan pâtissier. Il paie 14,05 €.Salim achète trois part de pizza et deux parts de flan pâtissier. Il paie 9,80 €.

3.a.i. Parmi les quatre système ci-dessous, déterminer celui qui permettra de résoudre ce problème.

(I)

2x+ 5y = 14, 05

3x− 2y = 9, 80(II)

2x+ 2y = 14, 05

3x+ 5y = 9, 80(III)

2x+ 5y = 14, 05

3x+ 2y = 9, 80(IIII)

2x+ 5y = 9, 80

3x+ 2y = 14, 05

3.a.ii. Résoudre le système choisi en précisant la méthode utilisée.

3.a.iii. Conclure en donnant le prix de la part de pizza et le prix de la part de flan pâtissier.3.b. Résoudre en précisant la méthode utilisée les systèmes suivants. Vérifier vos calculs à l’aide de la

machine à calculer.

3.b.i.

3x = y + 14

3y − 2x+ 21 = 0

3.b.ii.

2x+ 5y = 3x− 2y − 59

7x+ 9y = 3y − 5x+ 78


Correction du devoir du mardi avril 2018

Exercice 1 : Les banques sur 10 points .1.a.

Classes Effectifs Effectifs CumulésCroissants Fréquences

FréquencesCumuléesCroissantes

[0; 20[ 16 16 0, 01 0, 01

[20; 40[ 41 57 0, 03 0, 04

[40; 60[ 94 151 0, 06 0, 10

[60; 80[ 165 316 0, 11 0, 21

[80; 100[ 220 536 0, 15 0, 36

[100; 120[ 300 836 0, 20 0, 56

[120; 140[ 253 1089 0, 17 0, 73

[140; 160[ 237 1326 0, 16 0, 89

[160; 180[ 95 1421 0, 06 0, 95

[180; 200[ 54 1475 0, 04 0, 99

[200; 220[ 25 1500 0, 02 1,01

Le total des fréquences cumulées croissantes vaut 1, 01 car le calcul des fréquences est un arrondi aucentième...

1.b. Calcul de pourcentage :1.b.i. Le pourcentage de chèques dont le montant est supérieur ou égal à 160 € est de12%.1.b.ii. Le pourcentage de chèques dont le montant est strictement inférieur à 100 € est de 36%.1.b.iii. Le pourcentage de chèques dont le montant est supérieur ou égal à 100 € et strictement

inférieur à 160 € est de 53%.

1.c. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

Il s’agit ici de l’histogramme des effectifs cumulés croissants. Pour l’histogramme des fréquences cumuléescroissantes, l’axe des ordonnées est gradué avec un maximum situé à 1.


1.d. La colonne des fréquences cumulées croissantes permet de déterminer les classes des quartiles. Pourle quartile Q1, la première classe réalisant au moins 25% de l’effectif est la classe [80; 100[. Pour le quartileQ3, la première classe réalisant au moins 75% de l’effectif est la classe [140; 160[.Pour le calcul de la médiane, comme le nombre de classes, 11 est impair, tous les nombres de chèquecompris dans la sixième classe [100; 120[ répond à la définition de la médiane.

1.e. L’écart interquartile E = 150− 90⇔ E = 60 et l’intervalle interquartile est I = [90; 150].1.f. L’objectif est de faire payer les petits montants de chèque afin de réduire les couts de traitement des

chèques. Les 20% sont atteint pour la classe [60; 80[. Comme les chèque sont répartis de manière uniforme,un calcul de coefficient directeur permet de trouver le montant du chèque pour atteindre les 20%. En effetles trois points de coordonnées A(60; 10), B(x; 20) et C(80; 21) sont alignés donc les droites (AC) et (AB)possède le même coefficient directeur. En conséquence, 21−10

80−60= 20−10

x−60. un produit en croix permet d’écrire

11(x− 60) = 20⇔ x = 86011

soit x ≈ 78,18€.Conclusion : pour faire payer les 20% de chèques ayant les plus petits montants, il faut fixer unmontant de 78,18€.

1.g.

Vÿà˚r˚ià˜b˝lésþc le décimal représentant le montant du chèquet le décimal représentant la taxe payée

Initialisationt← 0

”Le montant du chèque est de : ” Saisir c

Pÿ˚ròˆgˇrà‹m‹mè ÿò˘ufflþ ÿ˚tˇrà˚i˚té›mè›n˚t. .Si c > 200€. . . . . .Alors, t← 0, 005× c

Sÿò˘r˚tˇiè ÿò˘ufflþ ÿà˜f¨fˇi`c¨hà`géAfficher ”La taxe sur le chèque est de : ” c” €”

Exercice 2 : Développer et factoriser sur 5 points .

2.k. Factoriser.2.k.i. A = (2x+ 1)(−2x+ 8)⇔ A = 2(2x+ 1)(−x+ 4).2.k.ii. B = 9x(3x+ 7).2.k.iii. C = 2(11x− 3)(10x+ 1).2.k.iv. D = (t+ 9)2.2.k.v. E = (t+ 7)(t− 1).

2.l. Développer et réduire.2.l.i. F = 31k2 − 55k − 9.2.l.ii. G = 22x2 − 55x

2.

2.l.iii. H = y2

49+ 4y + 196.

2.l.iv. I = p2 − 8p+ 16.2.l.v. J = 4

9t2 − 25.


Exercice 3 : Résolution de système sur 5 points .

3.m. La boulangerie :3.m.i. Compte tenu du nombre de pizza et de flan achetés par Mattéo et Salim, le système retenu

est le numéro (III).3.m.ii. La méthode utilisée est la méthode de combinaison linéaire, ou addition ou soustraction.

À partir sur système (III)

2x+ 5y = 14, 05 ¬

3x+ 2y = 9, 80 , pour éliminer la variable y, la combinaison linéaire à

utiliser est 2× ¬− 5×

(III)⇔

4x+ 10y = 28, 1

−15x− 10y = −49puis (III)⇔

4x+ 10y = 28, 1

−11x = −20, 9enfin, (III)⇔

4x+ 10y = 28, 1

−11x = −20, 9fina-

lement, (III)⇔

y = 2, 05

x = 1, 9.

3.m.iii. Conclusion : Le prix d’une pizza est de 1,9 € et celui d’un flan pâtissier est de 2,05 €.

3.n. Résolution de système.3.n.i. Méthode de substitution :

3x = y + 14

3y − 2x+ 21 = 0⇔

3x− 14 = y

3(3x− 14)− 2x+ 21 = 0⇔

3x− 14 = y

7x = 21⇔

−5 = y

x = 3⇔

3.n.ii. Méthode de substitution.2x+ 5y = 3x− 2y − 59

7x+ 9y = 3y − 5x+ 78⇔

7y + 59 = x

12(7y + 59) + 6y = 78⇔

7y + 59 = x

90y = −630⇔

7y + 59 = x

y = −7⇔

x = 10

y = −7


Exercices non utilisés 2017-2018

ABCD est un tétraèdre (une pyramide à base triangulaire). I est le milieu de [AD], J ∈ [BD] etK ∈ [CD] tels que DJ = 0, 75×BD et DK = 0, 25×DC.

0.a. Représenter ce tétraèdre en perspective cavalière et placer les points I, J, K.0.b. Déterminer et construire (s’ils existent) les points :

0.b.i. L, intersection de la droite (I J) et du plan (ABC) ;0.b.ii. M, intersection de la droite (IK) et du plan (ABC).

0.c. Déterminer, en justifiant, l’intersection du plan (IJK) et du plan (ABC).


Exercice 1 : .

1.a.Dans un plan ÿPþ muni d’un repère orthonormé (O; I; J) , on considère les points M, E et R de coor-

données respectives : M(−1; 23), E(0;−2

3) et R(2

3; 1).

1.b. Faire une figure avec une unité de 1cm.

1.c. Calculer les longueurs des trois côtés du triangle MER. ME =√(0−(−1))2 + (−2

3−1

3)2 soit


ME =√2.

ER =√

(23−0)2 + (1−(−2

3))2 soit ER =

√29 et MR =

√(23−(−1))2 + (1−1

3)2 soit ER =

√29.

1.d. Quelle est la nature de ce triangle ? Comme ME = ER, le triangle MER est isocèle de sommet E.1.e. Construire le cercle circonscrit au triangle MER. Voir la figure précédente.


Chapitre I

Semaine des mathématiques

ÿD˚ufflþ ÿ12þ ÿ`a˚ufflþ ÿ18þ ÿ‹m`a˚r¯sþ ÿ2018þLe thème de cette année 2018 est Mathématiques et mouvement . Vous trouverez ci dessous plusieursréférences officielles ou personnelles concernant le sujet.

Site officiel du portail national Éduscol avec plusieurs références sur le sujet :http://eduscol.education.fr/maths/actualites/actualites/article/un-evenement-congres-mathenjeans.html

Site du rectorat de Nantes avec une large proposition d’activités :http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/des-maths/semaine-maths/

Les animations de la semaine au Panthéon :http://www.paris-pantheon.fr/Actualites/La-Semaine-des-Mathematiques

Sur les mouvements de foule, Bertrand Maury a écrit un document sur le site du CNRS en 2011 et adonner une conférence à l’IHP en2015, visible sur le site Youtube.http://images.math.cnrs.fr/Modelisation-de-mouvements-de.htmlhttps://youtu.be/mBDNykcauYc

Voici un exercice sur la modélisation des rebonds d’une balle par une suite géométrique sur l’excellentsite jaicompris.com :https://youtu.be/Eceg35xjvjE

Le premier film-conférence d’”Univers Convergents” de cette année porte sur la matière noir, sonexistence et son rôle dans l’univers. Un documentaire de Cécile Denjean sur Arte reprend des avis descientifiques internationaux suivi d’une intervention de Nathalie Palanque-Delabrouille, chercheuse en cos-mologie au CEA de Saclay, sur une équation de la vitesse utile pour prouver l’existence de cette matièrenoire.Le documentaire d’Arte Le mystère de la matière noire de Cécile Denjean :https://youtu.be/PuZupU7KgkULe débat complet sur le documentaire avec la réalisatrice du documentaire :https://youtu.be/hohPPxJ3waoPrésentation de l’équation :https://youtu.be/5K8-8DZUZeo

Mercredi 14 mars sera le π-day. Pour marquer l’évènement voici un site ruche sur le sujet : son histoire,fraction continue, calculs des décimales de π en particulier avec l’algorithme compte goutte, savoir ou estsitué sa date de naissance (ou une autre date) dans les décimales de π, nombre univers, des poèmes pourretenir π, calculer π avec les élèves...http://trucsmaths.free.fr/Pi.htm#activiteUne formule rapide de convergence pour le calcul des décimales de π est donnée par une formule de

195

Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan, né le 22 décembre 1887 à Érode et mort le 26 avril 1920 à Kumbakonam,est un mathématicien indien. Né dans une famille de brahmanes pauvre et orthodoxe, il était autodidacteet resta toujours très autonome. Cette formule est présentée dans le cadre d’Univers convergents.https://www.youtube.com/watch?v=l6rH5pKyOHE

Chaos et mouvement Pantha Rhei : https://www.youtube.com/watch?v=JNWM8hTXVNM Courrir avecles math. Amandine Aftalion (CNRS - EHESS) devant le lightboard, un outil pédagogique innovant, oùl’on écrit face à son auditoire pour quelques schémas simples autour du stade, de la course, des courbes etdes tangentes... Comment court on le 100m? Comment prend-on les virages ? Pourquoi plie-t-on les brasquand on court ? Quelles sont les forces qui s’appliquent sur un coureur ? Sur le chemin des dérivées et desintégrales avec la course à pied... dans le cadre de la semaine des mathématiques 2018 (mathématiques etmouvement). Pour d’autres vidéos pédagogiques, http://audimath.math.cnrs.fr/-videos-... https://www.youtube.com/watch?v=H9PoTqbVEc4

De l’impossibilité du mouvement… Les paradoxes de Zénon, formulés il y a près de vingt-cinq siècles,sont l’une des sources de réflexion physique et philosophique les plus profondes et les plus vivifiantes detous les temps ! Ayant constaté qu’ils étaient aujourd’hui largement ignorés – y compris des étudiants enPhysique ! –, ou qu’ils étaient considérés comme résolus, j’ai trouvé opportun de rappeler que leur pouvoirstimulant étaient toujours bel et bien actif ! Non seulement ils sont toujours dignes du plus grand intérêt,mais le message qu’ils portent, et que nous ne sommes toujours pas parvenus à déchiffrer entièrement, faitécho de manière saisissante aux réflexions les plus profondes et les plus délicates développées aujourd’huipar la Physique, relatives au mouvement et à la notion de position, autrement dit à l’espace et au temps !Et comme ces paradoxes sont par ailleurs exquisément savoureux, ne perdons pas une occasion de nous yreplonger ! Bon voyage dans ce premier volet… https://www.youtube.com/watch?v=zkonP4lWopQ

Et pour finir un peu de poésie avec en mouvement les 100 billions de sonnets possibles sur les versde Raymond Queneau publié en 1961. En pièce jointe et ci-dessous, un programme Xcas pour choisiraléatoirement un de ces sonnets. Un petit travail sur les listes et les nombres aléatoires sans aucune boucleou instruction conditionnelle. Attention, le texte est d’origine, c’est à dire avant la réforme de l’orthographede 1990 et avec quelques libertés poétiques.

sonnet() :=local n,n1,k,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,v10,v11,v12,v13,v14 ;n :=”” ;n1 :=”” ;

//Premier quatrain.v1 :=[”Le roi de la pampa retourne sa chemise” , ”Le cheval Parthénon s’énerve sur sa frise”,”Le vieuxmarin breton de tabac prit sa prise”,”C’était à cinq o’clok que sortait la marquise”,”Du jeune avantageuxla nymphe était éprise”,”Il se penche il voudrait attraper sa valise”,”Quand l’un avecque l’autre aussitôtsympathise”,”Lorsqu’un jour exalté l’aède prosaïse”,”Le marbre pour l’acide est une friandise”,”Lorsquetout est fini lorsqu’on agonise”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v1[k]) ;v2 :=[”pour la mettre à sécher aux cornes des taureaux”,”depuis que lord Elgin négligea ses naseaux”,”pourdu fin fond du nez exciter les arceaux”,”pour consommer un thé puis des petits gâteaux”,”snob un peusur les bords des bords fondamentaux”,”que convoitait c’est sûr une horde d’escrocs”,”se faire il pourraitbien que se soit des jumeaux”,”pour déplaire au profane aussi bien qu’aux idiots”,”d’aucuns par dessustout prisent les escargots”,”lorsque le marbrier astique nos tombeaux”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v2[k]) ;v3 :=[”le cornédbîf en boîte empeste la remise ”,”le Turc de ce temps-là pataugeait dans sa crise ”,”sur


l’antique bahut il choisit sa cerise ”,”le chauffeur indigène attendait dans la brise ”,”un toge il portait quin’était pas de mise ”,”il se penche et alors à sa grande surprise ”,”la découverte alors voilà qui traumatise”,”la critique lucide aperçoit ce qu’il vise ”,”sur la place un forain de feu se gargarise ”,”des êtres indécisvous parlent sans franchise”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v3[k]) ;v4 :=[”et fermentent de même et les cuirs et les peaux ”,”il chantait tout de même oui mais il chantaitfaux ”,”il n’avait droit qu’à une et le jour des rameaux ”,”elle soufflait bien fort par dessus les côteaux”,”des narcisses on cueille ou bien on est des veaux ”,”il ne trouve aussi sec qu’un sac de vieux fayots ”,”onespère toujours être de vrais normaux ”,”il donne à la tribu des cris aux sens nouveaux ”,”qui sait si lerequin boulotte le turbot ”,”et tout vient signifier la fin des haricots”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v4[k]) ;afficher (” ”) ;

//Deuxième quatrain.v5 :=[”Je me souviens encore de cette heure exquise ”,”Le cheval Parthénon frissonnait sous la bise”,”Souvenez-vous amis de ces îles de Frise ”,”On était bien surpris par cette plaine grise ”,”Quant onprend des photos de cette tour de Pise ”,”Il déplore il déplore une telle mainmise ”,”Et pourtant c’était luile frère de feintise ”,”L’un et l’autre a raison non la foule insoumise ”,”Du voisin le Papou suçote l’apophyse”,”On vous fait devenir une orde marchandise”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v5[k]) ;v6 :=[”les gauchos dans la plaine agitaient leurs drapeaux ”,”du client londonien où s’ébattent les beaux”,”où venaient par milliers s’échouer les harenceaux ”,”quand se carbonisait la fureur des châteaux ”,”d’oùGalilée jadis jeta ses petits pots ”,”qui se plaît à flouer de pauvres provinciaux”, ”qui clochard devenantjetait ses oripeaux ”,”le vulgaire s’entête à vouloir des vers beaux ”,”que n’a pas dévoré la horde desmulots ? ”,”on prépare la route aux pensers sépulcraux ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v6[k]) ;v7 :=[”nous avions aussi froid que nus sur la banquise ”,”il grelottait le pauvre au bord de la Tamise”,”nous regrettions un peu ce tas de marchandise ”,”un audacieux baron empoche toute accise ”,”d’uneétrusque inscription la pierre était incise ”,”aller à la grand ville est bien une entreprise ”,”un frère mêmebas est la part indécise ”,”l’un et l’autre ont raison non la foule imprécise ”,”le gourmet en salade avale lacytise ”,”de la mort on vous greffe une orde bâtardise ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v7[k]) ;v8 :=[”lorsque pour nous distraire y plantions nos tréteaux ”,”quand les grêlons fin mars mitraillent les ba-teaux ”,”lorsqu’on voyait au loin flamber les arbrisseaux ”,”lorsque vient le pompier avec ses grandes eaux”,”Les Grecs et les Romains en vain cherchent leurs mots ”,”elle effraie le Berry comme les Morvandiaux”,”que les parents féconds offrent aux purs berceaux ”,”à tous n’est pas donné d’aimer les chocs verbaux”,”l’enfant pur aux yeux bleus aime les berlingots ”,”la mite a grignoté tissus os et rideaux ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v8[k]) ;afficher (” ”) ;

//Premier tercets.v9 :=[”Du pôle à Rosario fait une belle trotte ”,”La Grèce de Platon à coup sûr n’est point sotte ”,”Onsèche le poisson dorade ou molve lotte ”,”Du Gange au Malabar le lord anglais zozotte ”,”L’esprit souffle etresouffle au-dessus de la botte ”,”Devant la boue urbaine on retrousse sa cotte ”,”Le généalogiste observeleur bouillotte ”,”Le poète inspiré n’est point un polyglotte ”,”Le loup est amateur de coq et de cocotte


”,”Le brave a beau crier ah cré nom saperlotte”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v9[k]) ;v10 :=[”aventures on eut qui s’y pique s’y frotte ”,”on comptait les esprits acérés à la hotte ”,”on sale lerequin on fume à l’échalotte ”,”comme à Chandernagor le manant sent la crotte ”,”le touriste à Florenceignoble charibotte ”,”on gifle le marmot qui plonge sa menotte ”,”gratter le parchemin deviendra sa ma-rotte ”,”une langue suffit pour emplir sa cagnotte ”,”le chat fait un festin des têtes de linottes ”,”le lâchepeut arguer de sa mine pâlotte ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v10[k]) ;v11 :=[”lorsqu’on boit du maté l’on devient argentin ”,”lorsque Socrate mort passait pour un lutin ”,”lors-qu’on revient au port en essuyant un grain ”,”le colonel s’éponge un blason dans la main ”,”l’autocarécrabouille un peu d’esprit latin ”,”lorsqu’il voit la gadoue il cherche le purin ”,”il voudra retrouver legerme adultérin ”,”même s’il perd son sel au celte c’est son bien ”,”le chemin vicinal se nourrit de crottin”,”les croque-morts sont là pour se mettre au turbin” ]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v11[k]) ;afficher (” ”) ;

//Deuxième tercets.v12 :=[”L’Amérique du Sud séduit les équivoques ”,”Sa sculpture est illustre et dans le fond des coques”,”Enfin on vent le tout homards et salicoques ”,”Ne fallait pas si loin agiter ses breloques ”,”Les rapportstransalpins sont-ils biunivoques ”,”On regrette à la fin les agrestes bicoques ”,”Frère je te comprends siparfois tu débloques ”,”Barde que tu me plais toujours tu soliloques ”,”On a bu du pinard à toutes lesépoques ”,”Cela considérant ô lecteur tu suffoques ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v12[k]) ;v13 :=[”exaltent l’espagnol les oreilles baroques ”,”on transporte et le marbre et débris et défroques ”,”ons’excuse il n’y a ni baleines ni phoques ”,”les Indes ont assez sans ça de pendeloques ”,”les banquiersd’Avignon changent-ils les baïoques ”,”on mettait sans façon ses plus infectes loques ”,”frère je t’absoudraisi tu m’emberlucoques ”,”tu me stupéfies plus que tous les ventriloques ”,”grignoter des bretzels distraitbien des colloques ”,”comptant tes abattis lecteur tu te disloques ”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v13[k]) ;v14 :=[”si la cloche se tait et son terlintintin ”,”si l’Europe le veut l’Europe ou son destin ”,”le mammifèreest roi nous sommes son cousin ”,”l’écu de vair ou d’or ne dure qu’un matin ”,”le Beaune et le Chiantisont-ils le même vin ? ”,”mais on n’aurait pas vu le métropolitain ”,”la gémellité vraie accuse son destin”,”le métromane à force incarne le devin ”,”mais rien ne vaut grillé le morceau de boudin ”,”toute chosepourtant doit avoir une fin”]k :=alea(10) ;n :=n+k ;n1 :=k+n1 ;afficher (v14[k]) ;afficher (” ”) ;

afficher (”Poème numéro si le premier vers représente les unités : ”+n1+” ou : ”+n) ;retourne ”Merci” ;: ;

Le dernier mot revient à l’IHP : Rencontre à destination des lycéens, des étudiants et du grand publicorganisée dans le cadre de la semaine des mathématiques. Des chercheurs d’horizons différents montrerontce que les mathématiques peuvent apporter en termes de mouvements. Conférenciers de la rencontre :


— Edmond Boyer (INRIA Rhône Alpes)Formes en mouvement pour la réalité virtuelle et augmentée : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/boyer.pdf

— Philippe Claudin (CNRS ESPCI)Transport de grains et formation des dunes : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/claudin.pdf

— Florent Hivert (Université Paris 11)Jonglerie, automate et combinatoire : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/hivert.pdf

— Jean-Paul Laumond (CNRS, Université de Toulouse III) Un robot, comment ça marche ? : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/laumont.pdf

— Gabriel Peyré (CNRS, ENS Paris)Transport optimal et applications : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/peyre.pdf

— Emmanuel Trélat (Université Paris 6)Points de Lagrange : un ticket gratuit vers les étoiles ? : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/trelat.pdf

— Amandine Véber (CNRS, Ecole Polytechnique)Marches aléatoires et course-poursuite : https://mathsetmvt.sciencesconf.org/data/program/veber.pdf

Organisateurs :Amandine Aftalion (CNRS, EHESS) Stéphane Cordier (Université d’Orléans) Thierry Horsin (Pré-

sident de la SMAI, CNAM) Florence Hubert (Vice présidente SMAI, Université d’Aix-Marseille) FrédéricRichard (Facilitateur AMIES, Université d’Aix-Marseille)

https://youtu.be/d21z16n6uA4


Chapitre J

Atelier de Culture et d’ÉcritureMathématiques et Scientifiques : ACEMS

Pour la première année, un temps fixé le lundi midi entre 12h20 et 13h10 permettait aux élèves dis-ponibles et curieux de la culture scientifique de découvrir ce monde d’exigence, de progrès et en mutationpermanente. Entre deux et sept élèves ont régulièrement participé à cet atelier. Les activités proposées ontété les suivantes :

§ J 1 Écriture scientifique :Découverte du logiciel de traitement de texte libre Open office Apache téléchargeable gratuitement à

l’adresse : https://www.openoffice.org/fr/. Présentation et mise à disposition des deux extensions,CmathOoo et CmathOooCas, crées par Christophe Devalland, professeur en CPGE ATS et créateur deces extensions qui permettent un lien entre Open office et le logiciel de calcul formel développé par l’uni-versité de Grenoble Xcas. Ces extensions sont disponibles à l’adresse : http://cdeval.free.fr/. Il existed’ailleurs une extension Xcas pour les utilisateurs de Lualatex... Le logiciel Xcas est disponible gratuite-ment sur : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr.

§ J 2 Concours général :Cinq élèves de terminale S ont suivi régulièrement la préparation au concours général. Après quelques

précisions sur le principe des tiroirs, la démonstration du théorème de récurrence, des précisions sur lesrécurrences faibles et fortes, des précisions sur le principe de la descente infinie ou le théorème de Fermat,des précisions sur le principe d’inclusion exclusion ou le théorème de Poincaré, deux sujets ont été traités :le problème numéro trois du sujet de 2015 sur les moyennes prévisionnelles et les exercices communs collègeet lycée de la préparation aux olympiades de 2015.

§ J 3 Semaine des mathématiques :

ÿD˚ufflþ ÿ12þ ÿ`a˚ufflþ ÿ18þ ÿ‹m`a˚r¯sþ ÿ2018þLe thème de cette année 2018 est Mathématiques et mouvement . Vous trouverez ci dessous plusieursréférences officielles ou personnelles concernant le sujet. Voici deux activités réalisées durant cette semaine.

Un exercice sur la modélisation des rebonds d’une balle par une suite géométrique sur l’excellent sitejaicompris.com :https://youtu.be/Eceg35xjvjE

Mercredi 14 mars sera le π-day. Pour marquer l’évènement voici un site riche sur le sujet : son histoire,fraction continue, calculs des décimales de π avec, en particulier, l’algorithme compte goutte, savoir ou est

201

situé sa date de naissance (ou une autre date) dans les décimales de π, nombre univers, des poèmes pourretenir π, calculer π avec les élèves...http://trucsmaths.free.fr/Pi.htm#activiteUne formule rapide de convergence pour le calcul des décimales de π est donnée par une formule deSrinivâsa Aiyangâr Râmânujan, né le 22 décembre 1887 à Érode et mort le 26 avril 1920 à Kumbakonam,mathématicien indien. Né dans une famille de brahmanes pauvre et orthodoxe, il était autodidacte et restatoujours très autonome. Cette formule est présentée dans le cadre d’Univers convergents, à l’IHP.https://www.youtube.com/watch?v=l6rH5pKyOHE

§ J 4 Vidéos culturelles :Plusieurs vidéos à caractère scientifique ont été visionnées :α. À l’IHP, dans le cadre d’univers convergents permettant de visionner des films pour leur intérêt

scientifique, un chercheur vient présenter une équation, appelée ”équation du soir”. Trois équationsont été présentées :(1) L’équation de la vitesse de rotation d’un objet céleste autour d’un centre gravitationnel en fonc-

tion de sa masse, équation qui est à la base de la découverte sur la matière noire :

v(r) =√

GMint(r)r

https://www.youtube.com/watch?v=5K8-8DZUZeo

(2) Une équation de Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan permettant un calcul rapide des décimales de π :

1π= 2

√2

9801

∑+∞k=0

(4k)!(1103+26390k)(k!)4 3964k

https://www.youtube.com/watch?v=l6rH5pKyOHE

(3) L’équation donnant le volume d’un cœur :

(x2 + 94× y2 + z2 − 1)3 − x2 × y3 − 9

80× y2 × z3 = 0

https://www.youtube.com/watch?v=dqlGMMm_6Lk

β. Académie de Belgique : Une intervention de Pierre Wolper sur la pensée algorithme.https://www.youtube.com/watch?v=vuWtnCBQp8s

γ. Une intervention de Daniel Perrin, algébriste reconnu, sur l’utilisation des mathématiques et sur lecodage RSA devant un parterre d’élèves de terminales.https://www.youtube.com/watch?v=dBTF2M3M1Uk

ÿQ˚uèþ ÿ`d˚ufflþ ÿ˜bô“n˜hèˇu˚r ♥ÿ !!!þ


Synthèse du livre

Le nombre total de définitions est de : 53Le nombre total d’axiomes est de : 10Le nombre total de propositions est de : 74Le nombre total de lemmes est de : 0Le nombre total de théorèmes est de : 1Le nombre total de corolaires est de : 0Le nombre total de démonstrations est de : 1

Le nombre total de exemples est de : 9Le nombre total de remarques est de : 15

Le nombre total d’activités préparatoires est de : 4Le nombre total d’exercices est de : 110Le nombre total d’exercices d’approfondissement est de : 0

Le nombre total de séquence est de : 21


203

Chapitre K

Liste des images

205

Liste des tableaux

1 Machine à calculer de Blaise Pascal réalisant les additions et les soustractions, construiteentre 1642 et 1644, nommé la Pascaline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Les Shadoks : détermination ou entêtement ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Inconnues et équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Une démonstration du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Le chemin le plus court...Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Une belle racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

E.1 Al-Khawarizmi est né vers 783 à Khiva (Ouzbeskistan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86E.2 Alan Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86E.3 Donald Knutt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

207

Chapitre L

Liste des figures

209

Table des figures

1 Des quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.1 Résolution d’un système : méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

B.1 Différents types de repère d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39B.2 Des quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.3 Prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46B.4 Parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.5 Cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.6 Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.7 Cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48B.8 Boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48B.9 Positions relatives de droites de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49B.10 Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B.11 Intersection de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52B.12 Intersection de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

C.1 Fonction carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63C.2 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64C.3 Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65C.4 Fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66C.5 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

E.1 Méthodes des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

211

Chapitre M

Index

213

Index

Airecarré, 19cercle, 19losange, 19parallélogramme, 19rectangle, 19triangle, 19

Algorithme, 87Algèbre de Boole, 139Antécédent, 20Arrondi, 14, 29Axiome, 137

d’Euclide, 135de compréhension, 136de fondation, 137de l’ensemble vide, 137de la paire, 137de Solovay, 137de Zermelo-Fraenkel, 136du choix, 136Lebesgue mesurable, 137Péano, 135

Bissectrice, 15Boule, 48

Caractèredéfinition, 75qualitatif, 75quantitatif, 75

CarréDéfinition, 15, 41

Cercle, 40Cercle trigonométrique, 67Coefficient directeur, 21, 31, 62Conjecture, 138consistant, 137Contraposée, 18Coplanaire, 49Corollaire, 138Cosinus, 18cosinus, 68Courbe représentative, 20Cylindre, 47

Cône, 48Côté

adjacent, 18opposé, 18

Division, 26Division Euclidienne, 14Droites sécantes, 31Développement, 27

Effectif cumulé, 75Espace

Parallélisme de droites, 51parallélisme de droites et de plans, 52Parallélisme de plans, 53

Expérience aléatoire, 78Extrémum absolu, 60Extrémum local, 60

Factorisation, 27fluctuation, 80Fonction, 20, 59

affine, 20, 62constante, 60croissante, 60décroissante, 60et inéquation, 61et équation, 60linéaire, 20, 62monotone, 60

Fonction carrée, 63Fonction du second degré, 69Fonction inverse, 64Fonction partie entière, 66Fonction racine carrée, 65Fonctions

antécédent, 59courbe représentative, 59ensemble d’arrivée, 59ensemble de définition, 59ensemble de départ, 59image, 59point d’une courbe représentative, 59

Fraction

214

Addition, 13, 26Multiplication, 13, 26Simplification, 12, 27

Fréquence, 75Fréquence cumulée, 75

Hauteur, 15Homothétie, 17hypoténuse, 18

Identités remarquables, 27Image, 20Intersection, 78Intervalle de fluctuation, 80intervalle inter-quartile, 77Inverse, 13, 26Inéquation, 12, 28Inéquation affine, 63Issue, 78

Lemme, 138Loi de probabilité, 79Longueur d’un segment, 40Losange

Définition, 15, 41Propriétés caractéristiques, 17, 42

Milieu d’un segment, 40modalité, 75Moyenne

pondérée, 76simple, 76

Médiane, 15, 76, 131calcul effectif, 76

Médiatrice, 15Méthode de combinaison linéaire, 32Méthode de substitution, 32Méthode graphique, 33

Opposé, 13, 26Ordonnée à l’origine, 21

ParallélogrammeDéfinition, 15, 41Propriétés caractéristiques, 15, 41

Parallélépipède rectangle, 47Perspective cavalière

définition, 46propriétés, 46

Point image, 67Points alignés, 31Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’es-

pace, 50Positions relatives de deux droites de l’espace, 49

Positions relatives de deux plans de l’espace, 51Priorités sur les opérations, 13, 26Prisme droit, 46Probabilité, 78Probabilité d’un évènement, 79Probabilités, 22

expérience aléatoire, 22issue, 22équiprobabilité, 22évènement, 22évènement élémentaire, 22

Produit en croix, 13, 27Proposition, 138Propriétés des puissances, 29Puissances, 12, 29

calculs, 29, 107Pyramide, 47

Quartiles, 77, 131

Racine carrée, 21, 29, 107Raisonnement

déductif, 142inductif, 141par contraposée, 142par contre-exemple, 142par disjonction de cas, 144par duplication, 141par déduction, 142par implication, 142par induction, 141par l’absurde, 143par récurrence, 143par équivalence, 142, 143

RectangleDéfinition, 15, 41Propriétés caractéristiques, 17, 42

Relation de Chasles, 44Repère

dans un plan, 39normé, 39orthogonal, 39orthonormé, 39quelconque, 39sur une droite, 39

Rotation, 17Résolution d’inéquations, 28Résolution d’un système de deux équations à deux

inconnues, 34Résolution d’équations, 28

Sinus, 18, 68Somme des fréquences, 75


Soustraction, 26Statistique

Médiane, 22Quartile, 22Étendue, 22

Symétrieaxiale, 15centrale, 15

Série statistiquedéfinition, 75ordonnée, 75

Tangente, 19, 40tangente, 68Théorème, 138

de Pythagore, 40Théorème de

la droite des milieu, 17Pythagore, 18récurrence, 143Thalès, 18

Triangleisocèle, 40rectangle, 40équilatéral, 40

Troncature, 14, 29

Union, 78Univers, 78

Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus,68

Vecteuraddition, 44composante, 44composantes, 44definition, 43multiplication par un réel, 44nul, 43opposé, 43parallélogramme, 43translation, 43égalités, 43, 44

VecteursAlignement, 45colinéaires, 45opérations, 44parallélisme, 45sens des, 45somme, 43

Volumeboule, 19cylindre de révolution, 19

cône de révolution, 19prisme droit, 19pyramide, 19

Écart inter-quartile, 77Échantillon, 80Écriture scientifique, 12, 29Équation, 12, 28Équation affine, 62Équation produit nul, 28Équations réduites de droites, 31Équiprobabilité, 79Étendue, 75, 77Évènement, 78Évènement certain, 78Évènement contraire, 78Évènement impossible, 78Évènement élémentaire, 78Évènements incompatibles, 78


Seconde - mutuamath · 2018. 8. 9. · § 2 Conseilspourprogresser :.2.i Travailenclasse : Il faut...

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