Sec Minesponts 2001 Maths2 MP

7/24/2019 Sec Minesponts 2001 Maths2 MP

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A 2001 Math MP 2

COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES.COLES NATIONALES SUPRIEURES DE LARONAUTIQUE ET DE LESPACE,

DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.COLE POLYTECHNIQUE (Filire STI).

CONCOURS DADMISSION 2001

PREUVE DE MATHMATIQUESDEUXIME PREUVE

Filire MP(Dure de lpreuve: 4 heures)

(Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faon apparente sur la premire page de la copie :MATHMATIQUES 2-Filire MP.

Cet nonc comporte 7 pages de texte.Si, au cours de lpreuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur dnonc, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil estamen prendre.

SoitClespace vectoriel norm des fonctions relles, dfinies sur le segment I 1, 1,continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, dfinie pour unefonctionfdeCpar la relation :

f x I

sup|fx|.

Pour tout entier natureln, lespace vectoriel des fonctions polynomiales relles de degrinfrieur ou gal n, est note En. Par abus de langage, la locution fonction polynomiale estremplace par polynme.

Premire partie

Il est admis que, pour une fonctionfdonne continue sur le segmentIet un entier natureldonnn, il existe un polynmeP n, de degr infrieur ou gal n, tel que :

fP n nf inffP P En .

Le but de cette partie est dtudier lerreur commise lors de la meilleure approximation dunefonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le rsultat : si fest une fonctionk-fois continment drivable sur I 1, 1, la meilleure approximation de la fonctionfpar unpolynme de degr infrieur ou gal nest telle que :

nf o 1

nk .

Soitune fonction relle dfinie sur lintervalleI, borne (il existe une constante Mtelle

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que, pour toutrelxdeI, |x| M). cette fonctionest associe la fonction

, ditemodule de continuit de . Elle est dfinie sur la demi-droite ouverte 0,de la maniresuivante :

tant donn un relhstrictement positif,

hest gal la borne suprieure des rels|xy|sachant quexetysont deux rels de lintervalleIdont la valeur absolue de la

diffrence est majore par h:

h sup |xy|; x, y I2, |xy | h .

I-1.Proprits du module de continuit:Soit une fonctionrelle dfinie et borne sur le segment I.a. Dmontrer que le module de continuit de cette fonction est une fonction croissante

dfinie sur la demi-droite ouverte0,.

b. Soientheth deux rels strictement positifs, dmontrer la proprit :

h h

h

h.

Soienthetdeux rels strictement positifs,nun entier suprieur ou gal 1 ; dmontrer lesrelations suivantes :

n h n

h ;

h 1

h.

c. Dmontrer que la fonctionest uniformment continue sur le segmentIsi et seulement sila limite du module de continuit

en 0 est nulle :

est uniformment continue sur I h 0

lim

h 0.

d. Dmontrer que, si la fonctionest continment drivable sur le segmentI, il vient pourtout rel positifh:

h h.

I-2.Noyaux de Dirichlet et de Fejer:tant donn un entier nsuprieur ou gal 1n 1, soientD net Fnles fonctions dfinies

pour tout relpar les relations suivantes :

Dn k n

n

ei k

; Fn 1

nk 0

n

Dk.

Il est admis que la fonction Fnvrifie les relations suivantes :

pour toutdiffrent de 2k,kentier relatif,Fn k n 1

n 1

1 |k|n e

i k 1nsin n/2

sin/2

2

.

SoitKnla fonction dfinie dans lensembleR2Zpar la relation suivante :

Kn 1n

sin n/2sin/2

4

,

o le relnest dfini par la condition :

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12

0

2

Knd 1.

a. Calculer le relnet dterminer une constanteCtelle que ce rel soit quivalent linfiniC n3. Rappel :

k 1

n

k2 16

nn12n1.

b. Soitla fonction dfinie sur lintervalle semi-ouvert0,/2par la relation suivante :

t 1sin4t

1t4

.

Dmontrer quil existe une constanteA 1telle que la fonctionsoit quivalente en 0 A 1t 2.En dduire que la fonction t t3 test borne sur lintervalle0,/2. SoitA 2un majorant decette fonction sur lintervalle0,/2.

SoientInet Jnles deux intgrales suivantes :

In 0

/2 sin4ntt3

dt ; Jn 0

/2

tt sin4ntdt.

Dmontrer les deux proprits suivantes :

lorsque lentierntend vers linfini, In n2. 0

sin4tt3

dt ;

pour tout entier natureln, n 1, Jn A2 n 0

sin4tt2

dt.

c. Dmontrer lexistence dune constanteM0telle que, pour tout entiernsuprieur ou gal 1, il vienne :

0 10

1 n t Kntdt M0.

I-3.Polynmej ng:Soitg une fonction pairedfinie sur la droite relle priodique et de priode 2; tant donn

un entiernsuprieur ou gal 1, soit j ngla fonction dfinie par la relation suivante :

jng 1

2

gtKntdt.

a. Dmontrer que la fonction j ngest paire et est un polynme de degr au plus gal 2n2.

b. Vrifier les ingalits suivantes :

|ggt| g|t| 1 n|t| g 1n ,

puis, en utilisant les rsultats des questions prcdentes, dmontrer la majoration :

|gj ng| M0 g 1n .

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Dans la suite lentiernest suppos suprieur ou gal 3 ; lentier nest associ lentier pgal la partie entire du reln/2. Lentier vrifie les ingalits :

p n/2 p1.

I-4.Polynme associ une fonction de lespace C:Soitfune fonction de lespaceC. cette fonctionfest associe la fonction gpriodique de

priode 2, dfinie, pour tout rel, par la relation :

g fcos.

SoitP nla fonction dfinie sur lintervalleI 1, 1par la relation : pour tout relxdeI,

Pnx jp 1gArc cosx.

Lentierpest la partie entire den/2 dfinie ci-dessus.

a. Dmontrer que la fonctionP

nest un polynme (une fonction polynomiale) de degr auplus gal n. Il est admis que, pour tout entier naturel k, la fonctionx cos k Arc cosx est unpolynme de degrk.

b. Dmontrer, pour toute fonctionfde lespaceCet tout entiern n 3, la relation suivante:

nf 2M0f 1n .

La constanteM0a t introduite la question I-2.c et nfdans lintroduction de la partie I.

c. tablir le rsultat prliminaire : soit fune fonction de lespace C; pour tout polynmeQ

de degr infrieur ou gal n, il vient :nf nfQ.

Dmontrer, pour toute fonctionfcontinment drivable sur le segmentI 1, 1et tout entiern, la relation ci-dessous entre nfet n 1 f :

nf 2 M0

n n 1 f .

d. tant donn un entier ksuprieur ou gal 1k 1, soitfune fonction k-foiscontinment drivable ; dduire du rsultat prcdent une majoration, pour tout entier n

suprieur strictement kn k, de nfen fonction de n k f

k

.

En dduire que, sifest une fonction k-fois continment drivable etnun entier croissantindfiniment, lexpression nfest un infiniment petit dordre suprieur 1/nk.

nf o 1

nk .

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SECONDE PARTIE

Le but de cette partie est, pour une fonctionfdonne dansC, de construire une suite depolynmesInf, qui, lorsque la fonction fest continment drivable, converge uniformmentvers la fonctionf.

Dans cette partie, lentiernest fix et est suprieur ou gal 3 n 3. SoitEn0

lesous-espace deE nconstitu des polynmes (fonctions polynomiales) nulles en1 et en 1.

II-1.Lespaceprhilbertien En0 :a. Quelle est la dimension de lespace vectorielE n0 ? Soitek2 k nla suite de polynmes

dfinie par la relation :

pour tout entier k, 2 k n, ekx xk x k 2.

Dmontrer que la suite de ces polynmes est une base Bde lespace vectorielE n0.

b. Soit nlendomorphisme de lespace vectoriel En0 dfini par la relation suivante :

pour tout polynmePdeE n0, nPx 1x 2 Px.

Dmontrer que la matriceMnassocie lendomorphisme ndans la baseBest une matricetriangulaire suprieure ; dterminer les lments de la diagonale de cette matrice.

En dduire lexistence dune base B dfinie par une suite de polynmesQk2

k

nquivrifient les relations suivantes :

pour tout entierk, 2 k n, 1x 2 Q k x kQ k.

Ces polynmes sont supposs unitaires (le coefficient du terme de plus haut degr est gal 1). Prciser les coefficientsk, 2

k

net le degr des polynmesQk.

c. deux polynmes quelconquesPetQappartenant lespace vectorielE n0 est associelintgraleJP, Qdfinie par la relation suivante :

JP, Q 1

1 PxQx

1x 2 dx.

Dmontrer que cette intgrale existe ; quelle condition sur le polynme PlexpressionJP, Pest-elle nulle ?

Il est admis dans la suite que lapplication P, Q JP, QdeE n0 En0 dansRest unproduit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est not . .:

P Q 1

1 PxQx1x 2

dx.

d. Dmontrer que la base B Qk2

k

nest orthogonale dans lespace prhilbertienEn

0, . ..

II-2.Racines dupolynmeQ n :a. Unrsultat prliminaire : dmontrer que le polynmeQ npossde la proprit : pour tout

polynme Pde degr infrieur ou gal n3, lintgraleKci-dessous est nulle :

K 11

PxQ nxdx 0.

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b. Deux cas sontconsidrs :i. Le polynmeQ nadmet des racines, dordre de multiplicit impair, situes dans lintervalle

ouvertI 1, 1. Soientx 1, x2, ...,xp, ces racines (lentier pest strictement positif).SoitR 1le polynme dfini par la relation :

R1x k 1

k p

xx k.

Dmontrer que lintgrale de la fonctionx R1xQ nxtendue au segmentIestdiffrente de 0 :

1

1

R1xQ nxdx 0.

En utilisant le rsultat de lalina a, dterminer le degr du polynme R 1.

ii. Le polynmeQ nna pas de racines, dordre de multiplicit impair, situes dans

lintervalle ouvert1, 1.Dmontrer que lintgrale de la fonctionx Qnxtendue au segmentIest diffrente de 0.En dduire que les racines du polynme Q nsont simples et situes sur le segment I.

Dans la suite, les racines du polynmeQ n 1sont notesy k, k 0,1,..., net vrifient larelation suivante :

1 y0 y1 y2 ... yn 1 yn 1.

II-3.PolynmeInf:

Soitfune fonction continue appartenant lespaceC:f:I R.a. Soitu nlapplication de lespace vectoriel EndansRn 1 dfinie par la relation suivante :

unP Py0 , Py1 , ..., Pyn .

Dmontrer que lapplicationu nest un isomorphisme de lespace vectoriel EnsurR n 1.En dduire qu une fonction fdonne dansC, est associ un seul polynmeInfappartenant

En, vrifiant les relations suivantes :

pour tout entier k, 0 k n, Infyk fyk.

Dmontrer que, siPest un polynme appartenant En, il vient :

InfP InfP.

b. Dmontrer que le polynmeInfscrit :

Infx k 0

n

fykL kx.

oLkest le polynme dfini par la relation :

Lkx Qn 1x

xy kQ n 1yk.

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c.Dmontrer, pour tout polynmePappartenant En, lingalit :

pour tout relxdeI, |fxInfx| 1 k 0

n

|Lkx| fP.

II-4.Majoration dek 0

n |Lkx|:Soitfune fonction continue appartenant lespaceC:f:I R.a. Soitv nlapplication de lespace vectoriel E2n 1dansR 2n 2 dfinie par la relation suivante :

vnP Py0 , Py1 , ..., Pyn , Py0 , Py1 , ..., Pyn .

Dmontrer que lapplicationv nest un isomorphisme de lespace vectoriel E2n 1surR 2n 2.En dduire qu une fonction fdonne dansCest associ un seul polynmeHnf

appartenant E2n 1, vrifiant les relations suivantes :

pour tout entier k, 0 k n, Hnfyk fyk, Hnfyk fyk.

Que vautHn1?

Il est admis que le polynmeHnfest dfini par la relation suivante :

Hnfx k 0

n

fyk xy k Lkx 2 k 0

n

fyk 12xy kLk yk Lkx 2.

b. Calcul des drivesL k yk.Dterminer lexpression, pour tout entier kcompris entre 0 et n 0 k n, de la drive

Lk yken fonction des drives premire et seconde Q n 1yketQ n 1yk.

En utilisant lquation diffrentielle vrifie par le polynmeQ n 1(question II-1.b)dterminer les valeurs deL k yklorsque lentier kest compris entre 1 et n11 k n1.

Calculer ensuiteL0y0 etLnyn .

c. En dduire les ingalits :

pour tout relxdu segmentI, k 0

n

Lkx2 1,

k 0

n

|Lkx| n1 .

II-5 Estimation de lapproximation:Dmontrer que, pour toute fonction continue appartenant lespaceC, pour tout entiern

suprieur ou gal 3, la norme de la diffrence entre la fonction fet le polynmeInfestmajore par le produit 2 n nf:

fInf 2 n nf.

En particulier dmontrer que, si la fonction fest continment drivable sur I, la suite despolynmesInfconverge uniformment, lorsque lentier ntend vers linfini, vers la fonctionf.

Que dire de la convergence lorsque la fonction fest indfiniment continment drivable ?

FIN DU PROBLME

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