Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

39
Rapport de recherche du CERMICS 1996-49 Sch´ emas TVD d’ordre ´ elev´ e pour la esolution de l’´ equation de Burgers, S. Piperno 1 1 INRIA, BP 93, 06902 Sophia Antipolis cedex ([email protected])

Transcript of Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

Page 1: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

Rapport de recherche du CERMICS 1996-49

Schemas TVD d’ordre eleve pour la

resolution de l’equation de Burgers,

S. Piperno1

1INRIA, BP 93, 06902 Sophia Antipolis cedex ([email protected])

Page 2: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...
Page 3: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

����������� ����� ������������� ��������� ������� ���������������! "��# ��� �$����%��&'�! "��# ��� (����*)������

+-,/.102,�354�67,/.98;:<>=@?BADCE<F+

CEGB?>CIH'JLKNMO3PMRQ2STJVU2WXQXUZY*+[:26R\;4�]_^IHB8a`b4c6d:Xec4�fN<g,ihT,kjLJdlR.9]X8;m/,XM

n@oqpsratuovxw9y{z7|I}�~�w9�{����~����/y{���{zd|��{}I~�|��{��y{zL�{}Iz7z�|��{�I��w9zd����v!������~��{~�}�����}��"�P�����{~���w�~��Iz��9���k������y y¡�{���I~���¢"�{}�{}Iz �I¢"�/w1������y{z ����z�£kz���¤I��}Iz �¡£"��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz��V}Iy��{y{}B�k����}Iy{z�����y&����}Iz��/w9|I}�§©¨;������}B�����k�Fz�|��{�I��w|I��y{z�}I~���w1���¦ª-�¦��y{��w1��~�}5���LvD}Iz��Ly{�I|I}Iz�z�w1��~�}I��}Iyb�x�{���{~�}I�5��}I~L��~��{~�}��_y{���{zL��yb��~��"�{�k��z���y{z��{}IzL�¦���5�¦��}I�{~�zy{��y«�¦��y{��w1��~�}Iz��1w1¬/y­�{}T~�}Iy{�{~�};����v��{}Izaz�|��{�I��w9za�¦��y{��w1��~�}Iza��~�¤Iz2�{~��I|���zs§E®L���{z2�{~��Iz�}Iyb����y{zZ�{}Ry{���k�b}�w9�"¯�¦���5�¦��}I�{~�z������{~d��}­°_±cz�|��{�I��w²�{�I|I}Iyb��~��5������~��{~�}5³ ´µwI�b}I|�°B¶D·E¸9¹bº»�_�k���{z©}�¼�|�w9|I}Iz�¢"�{}���}��¦���5�¦��}I�{~��{}½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}���w1��y{z��2¢"�{}P�����{~7��}«°_±cz�|��{�I��w²|I}Iyb��~��­������~��{~�}«À>´µwI�b}I|5°B¶�·E¸9¹bº»§�®L���{z©|I�����/w9~���y{zL�µ��}�¼5±|�w9|��¦���P�{}«|I}Izdz�|��{�I��w9z©}��L|I}��¦��}Iz©�{}Pz�|��{�I��w9zL}»¯"��z���w9yb��zLz��{~7�{}IzLz��9���k������y{z7��~�~��IÁ��k�¦��¤I~�}Iz��{}��µ���I¢"�/w1������y�{}�Â��{~�Á�}I~�z�§

à C1Ä ÃÆÅ ?NÇ�=²?ÉÈgÊËÇÌ+;< à =ÍAÎ=²+�l Å ?ÉÈ Ã =Ï?N=²+ ÅËÐ�Ñ È�C Å G Å lK Ñ ? ÄË=@?N+�=@Ò Ñ H�È�C Å G

Ó@Ô pIÕ�Ö1×{Ø�ÕÙÚyÛ���k��z²�/w9��}I~I�-Ü;}>¥{�k�¦�����k��Á�����~��{}I~Í���LvÝz�|��{}I��}Iz²ªO��~@���{}F~�}Iz��9���k������yÞ�9ªx�b£k��}I~�¥��9�¦��|F}I¢"�/w1������y{z��~7z�£kz���}I��z�§ ½ ��y{|I}­w1�¦�ß�¦��y{}�w9~d����v!|I��y{z�}I~���w1���¦�b}Pz�|��{}I��}IzLw9~�}Py{}I|I}Iz�z�w9~��¦�¦£�¬/~�z��d��~��{}I~Lw9|I|I�{~�w1��}��iy{��y�¦��y{}�w9~Z�¦���5�¦��}I~�z[y{}I}I�5����¥�}Vw9�{�{}I�5�����{��Á��k�¦£�w9|I|I�{~�w1��}��¦��y{}�w9~[z�|��{}I��}Iz�§1àá}V�{~�}Iz�}Iy¡�[��y­���k��z[�/w9��}I~Zy{}�Ü�¦���5�¦��}I~�z«ªO��~x���{}����k��~��"±c��~��{}I~­w9|I|I�{~�w1��}ÍâFã ½ ¨;ä_±µ�c£k��}@�{�bÜV��y{�$z�|��{}I��}F´åÜV�¦���u°�¶æ·E¸9¹bº»�ßÜ7�k��|��uw9~�}����~�};}�¼�|���}Iyb�a���/w9yP���{}T�¦���5�¦��}I~�z2��y¡��~��q�{�{|I}I�­¥b£ ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}��1w9y{�����{}RªO���{~����"±c��~��{}I~Zw9|I|I�{~�w1��}�âFã ½ ¨;ä_±�c£k��}P|I}Iyb��}I~�}I�Nz�|��{}I��}�´åÜV�¦����°á¶D·E¸9¹bº»§_ç©|I|I�{~�w9|�£�w9y{�F|I�����{�k��w1������y/w1�-|I��z���z©ªO��~d�¦���5�¦��}I��w9y{��y{��y"±�¦���5�¦��}I� z�|��{}I��}Iz©w9~�}�|I�����/w9~�}I��w9y{�g��}Iz���}I�g��y �k��z�|I��yb����y¡�{���{zLz��9���k������y{z©�9ªaÂ��{~�Á�}I~�zd}I¢"�/w1������y�§

Page 4: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� ��������� �����������

ä-����¥"¿�}��©�{}«|I}�~�w9�{����~��©}Iz��7��w��5��z�}«w9� ���9��yb�L�{}Pz�|��{�I��w9z©yq�{���I~���¢q�{}IzL����v ´�����w9~���w1������y ���9��w1��}�{�I|I~��9��z�z�w9y¡��}sº�������~��{~�}�����}��k�������{~��{y{}��I¢"�/w1������yB�b£k��}I~�¥��9�¦��¢q�{}�}IyNÁ��Iy{�I~�w1�µ§ß®L���{zxy{���{z���yb���I~�}Iz�z���y{z�k���{z��/w9~�����|I�k�¦��¤I~�}I��}Iyb���>�µ� w9�k�b}I|�������yÛ�¦��y{��w1��~�}g}����F�µ���I¢"�/w1������yÛ�{}�Â��{~�Á�}I~�z��Zy{��yË�¦��y{��w1��~�}��[�{��yb����}Izz��9���k������y{z7~�}Iz�z�}I�P¥k��}Iy¡����|I}��¦��}Iz7�{}Izdz��9���k������y{z7�{}Iz7�I¢"�/w1������y{zd�����-�k��}I~d}Iy ���I|�w9yk��¢q�{}P�{}Iz��/�k���{}Iz7y{��y�"��z�¢q�{}I�"¯B´ �����{~V|I}�¢q�k�ß}Iz��7�{}Iz7|��/w9���{z©�"~�w1����}Iy¡�dy{��yg�¦��y{��w1��~�}Iz�º»§� y$�/w9~��������{y{}²|I��y{z���w1��w1������yÛw9z�z�}��²z������k��}! 2�����{z­��}Iz«z�|��{�I��w9z5�¦��y{��w1��~�}Iz5������~��{~�}�z��{�{�I~���}I�{~"�$#��}I�k�b}Iyb�P�{~��"�{�k��~�}��{}Iz���z�|��¦�¦��w1������y{z���y{�9��w9����}Iy¡�«�{~�¤Izx�{}Iz��k��z�|I��yb����y¡�k�¦���Izs§a¨;}Izx��z�|��¦�¦��w1������y{z���y¡�P�{}Iz|I��y{z��I¢"�{}Iy{|I}IzTw9z�z�}��VÁ�~�w��b}Iz-z��{~Z��wL¢"�/w1�¦�¦���V�{}Iz-~��Iz��k�¦��w1��z7´ �{��ª w9�k�-�{}V����z��¦���¦�q�¦���V�/w9~[}»¯{}I���k��}sº»��z��{~������k������{~x��}IzP�I¢"�/w1������y{z«����z�£"z���¤I��}IzP�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}IzPy{��y��¦��y{��w1��~�}Iz�§&%©��z�����~���¢"�{}I��}Iyb���a��yáz���}Iz��P��� w9¥���~��~�}Iz���~�}���y¡���P�{y{}L|���w9z�z�}Lz��{�I|���w1��}��{}�z�|��{�I��w­z�w9y{z���z�|��¦�¦��w1������y{zx´ ����v�º�'(#�)µ�k|���w9z�z�}L¢"�k��z���}Iz���w��"�I~��I}L��~�¤Iz~��I�{�k�¦��}��-}���y{}g|I��y¡��}Iy/w9yb���/w9z��{}gz�|��{�I��wá������~��{~�} ����}��"��§+*Zw9~���wNz��k�¦��}��[��y�w>}Iy{z��k�¦��}Fw9�1¿��9��y¡�@�{}Iz�¦���5�¦��}I�{~�z�y{��y��¦��y{��w1��~�}Iz,'.-/)��|I}IzRz�|��{�I��w9z������{~[��}Iz;~�}Iy{�{~�}L���Lv5§¡äT�������{�{}©�{~��Iz�}Iy¡���I}d��|��������{~�z��k�¦�T��}Iz��~�wI��w9�"¯ �{} ½ ÜR}I¥¡£0'�³1)ß}�� ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�' À1)µ§

vxw9y{z-�{y��{~�}I�5��}I~[��}I���{zs�b��y�~�w9�{��}��¦��}d�{y�}Iy{z�}I�P¥k��}7�{}dy{�9������y{z-Á��Iy{�I~�w1��}IzTz��{~Z��}IzTz�|��{�I��w9z-yq�{���»±~���¢"�{}Iz�§ � y���y¡��~��q�{�k�¦�;��}7|�w9~�w9|���¤I~�}L���Lv������{~-�{y�z�|��{�I��w�|I��y{z�}I~���w1���¦ª�}Iy��b�9���{��}IzT¬/yk��z��¡}��T|I������}Iy¡��¦�ß��}I�k��2���~�}�|I��~�~������3�5z�w5z���w9¥k�¦�¦�¦�������4�5z�w5�{~��I|���z�����y�§

®L���{z@�����{�k����y{zÍ}Iy{z��k�¦��}Fz��{|I|I}Iz�z��¦�b}I��}Iyb�Í��}Fz�|��{�I��wá�{�I|I}Iy¡��~��N�{�'�{~�}I�5��}I~²��~��{~�}��Rz�}I�k�©z�|��{�I��w�¦��y{��w1��~�}­���Lv5�/�{�k��z©��}Izdz�|��{�I��w9z©�{}P�c£k��}«âFã ½ ¨;ä5'.-6);´µâF��y{�9����yk��|«ã©�¡ÜV��y{� ½ |��{}I��}Pªå��~©¨;��y{z�}I~���wE±������yáäXw�Ü7z�º��{�I|I}Iy¡��~��Iz«���á|I}Iy¡��~��IzP������~��{~�}²z��{��}I~I��~���}I�{~I§X®©���{z��{~��Iz�}Iyb����y{z���}IzPz�|��{�I��w9z«}����¦���5�¦��}I�{~�z}»¯k��z���w9yb��z��[�{�k��z�y{���{z@�{~��Iz�}Iyb����y{z@��w>�/w9~�����}F��~���Á9��y/w1��}g�{}g|I}���~�wI��w1�¦�7}IyË��yb��~��"�{�k��z�w9yb�@�{}gy{���k�b}�w9�"¯�¦���5�¦��}I�{~�z��/�����{~7�{}Iz7z�|��{�I��w9zd�{}��c£k��}�â>ã ½ ¨;äu}Iy��/�"¯��{�I|I}Iy¡��~��Iz©}��©|I}Iyb��~��Iz�§*a���{~;��}I~��5��y{}I~I�"y{���{z;�����{�k����y{z;��}©|I��������~���}I��}Iyb�V�{}Iz;y{���k�b}�w9�"¯Íz�|��{�I��w9z���¥k��}Iy¡�{z�}��;y{���{z;|I���­±�/w9~���y{z7��}I�{~d}�¼�|�w9|��¦���Pw9�"¯ z�|��{�I��w9z©}»¯"��z���w9y¡��z�§

7 8:9;��9+��<�=>�?��9+@A@�3�B=�C+@A@���D�9;EF<G@H�,� EI9+����J���C+@

vxw9y{z­|I}�����}²z�}I|�������y��2y{���{z­w1�¦����y{z5z��¦���{}I~P��}@|�w9�{~�}Í�{}@y{�9��~�}Í�����{�{}�§X®L���{z«y{���{z«��yb���I~�}Iz�z���y{z�w9�"¯�I¢"�/w1������y{zd�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz�´ z�|�w1��w1��~�}Iz�ºV����y{�1±c�k����}Iy{z�����y{y{}��¦��}Iz������b}Iyb���{}��¦��}I��}Iyb�xy{��yg�¦��y{��w1��~�}Izs§

KML�N O"PRQ;STVU�W&XZY\[M]R^�_a`Vb�W&cdUePRQ;_aY\ceUdXgfhSiU�`V_aY�WMQ:X;W&X:ceUdX;faS�Ud`V_aY*a���{~��{yNªå��y{|�������yBz�|�w1��w1��~�}�j&kmlMnporqd}IyB�{y{}��k����}Iy{z�����y��ß�{y{}��I¢q�/w1������yB�¡£"��}I~�¥��9�¦��¢q�{}�z����{z�ªO��~���}

|I��y{z�}I~���w1���¦�b}�z����I|I~��¦�s t jhu�vwk�xRkyj�qpqdzP¶A{j&kml&nr{|q-¶wja}!kml&q n ´?#Eº�!~�xá}Iz����{y{}Pªå��y{|�������yN�{}3�/�"¯��{}«|���w9z�z�}����©}��©��}IzL��y{�k��|I}Iz,lB}���od~�}I�{~��Iz�}Iyb��}Iy¡���{}Iz��{�I~��¦�9w1������y{zx}Iy}Iz��/w9|I}�}��7}Iy ��}I���{z�§

ç��{~�����~��µ�axN��}I�k�G2���~�}�¢q�{}���|I��y{¢"�{}�§ � y �k��z�����y{Á��{}�}Iyb��~�}­w9�k��~�}Iz��k�µ���I¢q�/w1������y>��� w9�k�b}I|�������yi jhu�v���j z ¶A{�n ´d-�º

#

Page 5: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�!~4xRkyj�qa¶A��jF}Iz��V�¦��y{��w1��~�}²´������ �Pº»�k}��7�µ���I¢"�/w1������y �{}�Â��{~�Á�}I~�z��j u v5k j��� q z ¶ {�n ´µ³bº

�!~4xRkyj�qa¶wj � ¸ � }Iz��7y{��y �¦��y{��w1��~�}P}��7z���~���|���}I��}Iy¡�©|I��yb�b}»¯{}�§¨;}IzR�I¢q�/w1������y{z;z�}7~�w9�{�{~��"|��{}Iy¡�;�{}IzR�I¢q�/w1������y{z;�����-�k��}I~;}Iy��{y{}d�k����}Iy{z�����y²�����{~T|I}I~���w1��y{z;w9z���}I|���z�§*a���{~5��}Iz­�I¢"�/w1������y{z������-�k��}I~I�Z�����{z5��}Iz5|��/w9���{z@z���yb�5�¦��y{��w1��~�}I��}Iyb�²�{�IÁ��Iy{�I~��Iz����u�k~�w1����}Iyb��y{��y$�¦� ±

y{��w1��~�}Iz��/}��V��}Izdz��9���k������y{zd~�}Iz�z�}I�P¥k��}Iyb��w9�"¯�z��9���k������y{z7�{}x�µ���I¢"�/w1������y ��� w9�k�b}I|�������yF}��7�{}��µ���I¢"�/w1������yF�{}Â��{~�Á�}I~�z�§��X���k��}IzP|I}Izx�I¢q�/w1������y{z�z���yb���I|I~��¦��}Iz���|��-z����{z�ªå��~���}5|I��y{z�}I~��9w1���¦�b}�§a¨;}�����}5ªO��~���}�w��{yNz�}Iy{z�§�[�¦��}²�{�I~��¦�b}��{}��{~���y{|�����}IzP�{�b£kz���¢"�{}IzP�{}�|I��y{z�}I~��9w1������y�´ ��w9z�z�}��ߢ"�/w9yb���¦���²�{}������k�b}I��}Iyb�5}��P�Iy{}I~�Á9��}�����{~[��}Iz-�I¢"�/w1������y{zT�����-�k��}I~�º»§k¨;}�����}VªO��~���}dy���}Iz��-�I¢q�k�¦��w1��}Iyb��}��xw9�{|I�{y{}7ªå��~���}V�k����I~�}Iy¡��}��q��¥k��}Iyq�{}d}Iyz��{�{����z�w9yb�L¢q�{}�xN}���j>z���yb�©z��k¼�z�w9����}Iyb�L~��IÁ��k�¦��¤I~�}Iz­´åªå��~���}�y{��y>|I��y{z�}I~��9w1���¦�b}«�/w9~7}»¯{}I���k��}sº»§�¨;}I|����}I�k�Tz�}V�b�9��~;w1��z��I��}Iyb��§|*2���{~ j²z��k¼�z�w9����}Iyb��~��IÁ��k�¦��¤I~�}��b�µ���I¢"�/w1������y>´µ³bº[}Iz��T�I¢"�k�¦�9w1��}Iy¡��}©�/w9~-}»¯{}I���k��}�

kyj � q u vwk j�� q z ¶ {�n}�����}Iz�~�}���w1������y{z­�{} �Lw9y{¾¡��y{}»±d%L�{Á���yk���9�«�����{~x��}Iz��{}I�"¯Bªå��~���}IzP|I��y{z�}I~���w1���¦�b}Iz«�{~��I|I�I�{}Iy¡��}Iz«�{��y{y{}Iy¡��{}IzZ�"�¦��}Iz�z�}Iz[�k��_�I~�}Iyb��}Iz-�����{~[�{y{}V�k��z�|I��yb����yq�k�¦���P´��L¶ kyj��,v j���qÚ¸ � }����d¶�·E¸ ��� kyj ��� j � qÚ¸�kyj����� j��� q~�}Iz���}I|����¦�b}I��}Iyb��º»§

KMLmK �;W�`��HQZc�STVU�W&XA_�X��MW&cdQ��A_aY�� XZUdYv�}P��w9yk��¤I~�}­|���w9z�z���¢"�{}������{~7��}IzLz�£kz���¤I��}Izd�¡£"��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz�����yF�k��z�����y{Á��{}«��}Izdz��9���k������y{zL|���w9z�z���¢"�{}Iz

´µw9z�z�}��g~��IÁ��k�¦��¤I~�}Izs�-��w1��z��/w9~�ªå�9��z������{~��{yË��}I���{z@�¦���5�¦���sº»�[��}Iz�z��9���k������y{z@ªåw1��¥k��}Iz ´ z��9���k������y{z@w9�Ûz�}Iy{z�{}Izg�k��z���~���¥{�k������y{z�ºÍ}��Í��}Izgz��9���k������y{z�ª w1��¥k��}Izg}Iyb��~����k��¢"�{}Izá´å��}Iz�z��9���k������y{zg�{�b£kz���¢"�{}Iz��������{~Í��}Iz�¢"�{}���z|I}I~���w1��y{z[���{�I��~�¤I��}Iz-����}»¯k��z���}Iy{|I}V}��-�����{yk��|��¦���7��}I�k�b}Iyb�-}»¯k��z���}I~�º»§!�-y5~�}Iz���w9y¡�T�{~��"|��{}V�{}���w©ªO��~��«�k��w1������y|I��y{z�}I~���w1���¦�b}��_��y�zs� w9z�z��{~�}I~�w²¢q�{}��_�{}­��w9yk��¤I~�}�y/w1���{~�}��¦��}��_��w��"��z�|I��z��¦���­y¡�{���I~���¢"�{}�w9�{����~����I}5�/w9~�y{��zz�|��{�I��w9zdz�}���}I|�������y{y{}«¥k��}Iyg�{y{}�z��9���k������ygª w1��¥k��}�}Iyb��~����k��¢"�{}��i�{��y{|P�{�b£kz���¢q�{}�§� yN|��{�9��z��¦���{��y{|­�{y{}­ªO��~��«�k��w1������yB}IyF�b�9���{��}Iz�¬/yk��zs§�äXw²ªå��~���}P��y¡���IÁ�~�w1��}��{}­�µ���I¢q�/w1������y���yk�¦����w1��}�{}�|I��y{z�}I~���w1������y y{���{zdw9z�z��{~�}x¢q�{}��i�����{~V�{yg��y¡��}I~��9w1�¦��}�� �hn! #"µ�$$ o %'&)(* j&kmlMnporq $ l,+�¶AxRkyj&k-�anporqpq � xRkyj&k� npo>qpq � ´ À¡º

äß}N�{~���y{|�����}NªO��y{�/w9��}Iy¡��w1���{}Iz�ªO��~��«�k��w1������y{z }IyÞ�b�9���{��}Iz�¬/yk��zg}Iz��Í��}�z��k�¦�9w9y¡�s ;��y*�/w9~���w9Á�}N��}�{����w1��y{}x}Iy�|I}��¦���k��}Izx´å��yb��}I~���w1�¦��}Iz7}IyÍ�{y{}x�k����}Iy{z�����yiºR}�����y�|I��y{z����{¤I~�}�¢"�{}L��w«z��9���k������yÍ}Iz��;|I��y{z���w9y¡��}z��{~�|I}Iz�|I}��¦���k��}Iz�§{ç©��y{z��µ�"��}IzR��y{|I��y{yq�{}Izdyq�{���I~���¢q�{}IzGj,./@~�}I�{~��Iz�}Iy¡��}Iyb�d�{}Iz7w9�{�{~���¯"����w1������y{z��P�µ� ��y{z���w9yb�o0.²�{}���w����s£b}Iy{y{}P�{} j>z��{~���w5|I}��¦���k��}21�§ � yF|��{�9��z���~�w��{yF��w1�¦�¦��w9Á�}P~��IÁ��k�¦��}I~I�{��}��X¢"�{}! 345 46 l / ¶ 1�7�ll /98;:< ¶ k=1v �� q>7�l? / ¶ � l /A@ :< npl /8 :< " ´�B�º

-

Page 6: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

KML�� ���|[;f,� S�Y�� WMXgY/_h` ��ST!U��pY���� ���Õ����� ���������� �"!�#%$&�(')#*! + ,.-�'(/0/1��2435,�2aØ��6 2p7qÖ�8{×kÕ���9:�"; ,�<=/?>@,A��2�/B'C�D/FE�G@���H2.,.G5��IJ3K/FLF'5>M�(')N#*! + ,.-�'(/O2�/�<�<P/O-�'(/B<P/Q�H� �"! #0$*�"; !H��+ ,�R@/S��G@'C�Q<T$UEHG@+1#*/7V

j . 8 �/ � j ./7�o v I /8;:< � I /A@ :<7�l ¶A{�n ´XWbºG@YZ<[/\LF'5>&�(')#0!�+1,]-�'(/^I /98 :< /��_2.+`/O<[/1�S�a/�<�<b')<[/1� ? / /�2 ? /98 � / � 2c3�G@�(��!ed)$@+fI /98 :< ¶gIMkyj ./an�j ./98 � q h

� yNy{�9��}I~�w�¢"�{}����/w9y{z��µ���I¢q�/w1������yB�{~��I|I�I�{}Iy¡��}�����}Izx�/w9~�����}Iz���}I������~�}��¦��}@}���z��/w1����w1��}��{}«�µ���I¢"�/w1������y������~���Á9��y{}Pz���yb�d}Iy{|I��~�}«z��I�/w9~��I}Iz�§/ç©��y{z��µ�/��y �����{~�~�w�z�� ��y¡���I~�}Iz�z�}I~7�{}P��w9yk��¤I~�}P�{�I|I���{�k���I}«w9�"¯ z�|��{�I��w9zy¡�{���I~���¢"�{}IzV|��{�9��z���zV�����{~�|��/w9¢"�{}��{�I~��¦�b�I}�§kv�w9y{z;��w­z��k�¦��}��"��y��k���¦�¦��z�}I~�w­�{}Iz;z�|��{�I��w9zV}Iy²��}I���{zV}»¯k�k�¦� ±|��¦��}Iz��i�Í�{yN�����k���{z���}I�{~�z��/w9z5´ z�|��{�I��w9z��{} �©�{y{Á�}»±�ix�k����wbº»�ß}��x�{}Iz �/�"¯Ny¡�{���I~���¢"�{}Iz��k���{zx���N���9��y{z�{~��I|���zd}Iyg}Iz��/w9|I}�§

KMLkj l ` f_��UdY1U�WMXnmg_aY\Y@� [gf,�ASiY XRQ �Afh`|UdPRQ;_aYä-� w9�{�{~���¯"����w1������y�yq�{���I~���¢q�{}©ªO���{~�yk��}©�/w9~-��}7z�|��{�I��w«z��/w1����w1�i}Iz��;��� w9�k��w9yb����}��¦�¦��}I�{~�}d¢"�{}7�µ��}I~�~�}I�{~

�{}x��~���y{|�w1���{~�}�}Iz��7ªåw1��¥k��}�§i¨;}��¦��}»±c|��a}Iz��7�{��y{y{�I}��/w9~� oz ¶ I /98;:< � I /A@ :<7�l � k�xRkyj�qpqdz � ´�p�º

���� ���Õ����� rqts4�u3@,.2F-�'(/O<P/Q�H� �"! #0$wvX�xd)$52.,]$5< y*/1��22ØK�6 2p��OpIÕ�×( �Õ*� ,

oz ¶{z"k-7�l&q^-�'|$@�63 7�l�} { � ´X~bº

äß��~�z�¢"�{}x��}xz�|��{�I��w�z��/w1����w1�ß}Iz��d|I��y{z�}I~���w1���¦ªÚ�k�¦�X}Iz��7|I��y{z���z���w9yb�©z���IMkyj�n�jiq-¶wjX§���� ���Õ����� J�n�O/S#*� #*/1�FG@�u3@,�24-�'(/O<�; $ d�d_+`G7>@,�#0$52.,]G@�Z�xd)$52.,]$5<[/O/ � 2c3�; G5+�3@+?/\��� ,

oz ¶gz�k-7�lC��q1-H'"$@��33l�} { � ´X�bº

�-yP�{y{}-z�}I�k��}-�k����}Iy{z�����y��Ez��{~��{y���w1�¦�¦��w9Á�}R~��IÁ��k�¦��}I~I����}Izßz�|��{�I��w9z2}Iy��b�9���{��}Iz߬/yk��zßz���y¡�2z�}I�«¥k��w9¥k��}Izw9�"¯Þz�|��{�I��w9z w9�"¯Þ�k��_�I~�}Iy{|I}Iz�¬/yk��}Iz�§�ä-���I|I~��¦���{~�}B�{}��µ��}I~�~�}I�{~g�{}���~���y{|�w1���{~�}B}Iz��g¥k��}Iy*�k���{z²ª w9|��¦��}�§ä-���k���¦�¦��z�w1������y��{}P�{���b}������{��}I��}Iyb���¦���5�¦���IzL�{} jBw9�"¯ ���9��y¡��z©�{�>��w1�¦�¦��w9Á�}P��}I~���}��©�{}P|�w1��|I�k��}I~©�µ��}I~�~�}I�{~�{}x��~���y{|�w1���{~�}­�{}Izdz�|��{�I��w9z�§a*a���{~d|��/w9¢q�{}«z�|��{�I��wk����y |�w1��|I�k��}��µ���I¢"�/w1������y>w9�{�{~��"|��{�I}­¢"�{}x�b}I~��¦¬/}���wz��9���k������y$y¡�{���I~���¢"�{} kyj / q /��5� � §Xä-� w9y/w1�¦£kz�}Í�{}@|I}�����}��;�I¢"�/w1������y$�I¢q�k�¦��w1��}Iyb��}4� ��}I~���}��­�{}²��}�����~�}²}Iy���"���{}Iy{|I}©|I}I~���w1��y{}IzV�{~����{~��������Iz;ªå��y{�/w9��}Iyb��w1��}IzV�{�Íz�|��{�I��wk�k|I������}©��wP�k��_�{z�����yÍ������w«�k��z���}I~�z�����y ' B/)µ§KML.� �MT!S�bZUecdU�T1f=�;^g` UeX\��Ud^�_�mgQ � S6�;U>�HQ��n� �AW&XgWiT!W&XgUd_

� y²�k��z�����z�}7�����{y{}©¥/w1����}I~���}L�{}dz�|��{�I��w9zR�¦��y{��w1��~�}Iz��q�{~��I|���z �x�µ���"�{~�}d�{y@���@�k���{z;}Iy���}I���{z;}��1�1���²}Iy}Iz��/w9|I}��/¢"�k�ßz���y¡�dz���w9¥k��}Iz�´ z���w9¥k�¦�¦�¦���S� � º;����~�z�¢"��� �¦��z7z���y¡�dw9�{�k�¦��¢q�{�Iz��­�µ���I¢q�/w1������y>��� w9�k�b}I|�������y �¦��y{��w1��~�}´d-�º»§¡ä2w��{�I����y{z���~�w1������y�~�}I����z�}7z��{~T�µ� w9y/w1�¦£"z�}©�{}V�-��y@®L}I�{��w9y{yÍ}Iy@���"�{}IzT�{}��i���{~���}I~I§|*Zw9~R}»¯{}I���k��}����}xz�|��{�I��w��{}xäXwE¯"±µàá}Iy{�{~�� �

j . 8 �/ � j ./7�o v�� j ./98 � � j ./A@ �� 7"l � � � 7�o j ./A@ � � � j ./ v j ./98 �7�l � ¶A{�n ´?#��bº³

Page 7: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

}Iz��-������~��{~�},-L}Iy���}I���{zT}��-}Iy�}Iz��/w9|I}��b��w1��z-z���w9¥k��}7}Iy@y{��~���} � � z�}I�k��}I��}Iy¡�Rz��{��}Vy{���«¥{~�}d�{}©¨;���{~�w9y¡�� �k�I~��¦¬/} ��� � � � 7�o7�l � · �¨;}I��}Iy{�/w9yb���q��}dz�|��{�I��w��{}©äXwE¯q±µàá}Iy{�{~�� � �{~��"�{�k�¦�R�{}IzR��z�|��¦�¦��w1������y{z;�/w9~�w9z��¦��}Iz��b����~�z�¢q��� �¦��}Iz��Rw9�{�k�¦� ±

¢"�{���«�{}Iz�z��9���k������y{z��k��z�|I��yb����yq�{}Iz�§ ½ �{~;��w�¬/Á��{~�} #b�"��y²����y¡��~�}©��}Iz�z��9���k������y{zV}»¯/w9|���}L}���w9�{�{~��"|��{�I}x�{}�µ� w9�k�b}I|�������yg�����{y{}���w9Á��{}L|�w9~�~��I}�§i¨;}��{��ª w9�k�V}Iz��;Á�~�w��b}��{|�w9~;�¦�_��}I�k�7w9�{�/w9~�w�����~�}x�{}IzV�k��z�|I��yb����yq�k�¦���Izd�{}��w²z��9���k������yFª w1��¥k��}­}Iyb��~����k��¢"�{}­�����{y{}5�I¢"�/w1������y>���������{y�z�£"z���¤I��}«�¡£"��}I~�¥��9�¦��¢"�{}­y{��yF�¦��y{��w1��~�}��_�"2I��}�����{~V�{y{}��{��y{y{�I}���yk�¦����w1��}�~��IÁ��k�¦��¤I~�} ' W/)µ§

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f(u)=u dx=0.005 nu=0.5

Lax-Wendroffsolution exacte

���� i#�� sF����,.<�<P$52.,]G@�|����! �D! +H!�/1� d)$@+B<P/Q�����"! #0$3K/���$7>@N�� /��63@+`G��Uh

� ygz�w1�¦�V¢"�{}L��}IzVz��9���k������y{z�ªåw1��¥k��}IzV�{}5´?#Eº;��y¡�7�{}L~�}I��w9~�¢"�/w9¥k��}Iz7�{~����{~��������Iz�§iç©�{|I�{y���wE¯k���P�{��yk��5��yk���P�{�æ���"|�w1�ay�� w9�{�/w9~�w1�¦��§_äß}Iz©��w1��}I�{~�z�w9�"¯F�5��yk����w@���"|�w9�"¯>y{}P�{�I|I~��9��z�z�}Iyb�x�/w9z�§iäX}Iz©��w1��}I�{~�z�w9�"¯��wE¯k����wx���"|�w9�"¯�y{}d|I~��9��z�z�}Iyb�;�/w9z '(#s)2´ }��T�{��y{|7��w���w9~���w1������y����9��w1��}©�{}GjÍy{}d��}I�k�T�/w9zT|I~�������~�}Lw9�@|I���{~�z�{�B��}I���{z�º»§ � y�w1����}I~�w1�¦�«¢"�{}���}Iz�z�|��{�I��w9z­y¡�{���I~���¢"�{}IzPªå���{~�yk��z�z�}Iy¡�«�{}IzPz��9���k������y{z«w9�{�{~��"|��{�I}Iz­¢q�k�w1��}Iyb�©��}Iz7�"2I��}Iz7�{~����{~��������Iz�§

ÙÚyb��~��"�{�k��z���y{zT¢"�{}���¢"�{}Iz-�{~����{~��������IzT�{}7����y{�9����yk��}d¢q�{}7�����{~�~�w1��}Iyb��wI�b�9��~[��}IzTz�|��{�I��w9zR|I��y{z�}I~��9w1���¦ªåz|I��y{z����{�I~��Iz�§R%�w9~���}Iy��R%d£k��w9yË}��5ä2wE¯5' p/)���yb�5��yb��~��"�{�k�¦����w�y{�9������y$�{}�����y{�9����yk��}g�����{~5�{y$z�|��{�I��w|I��y{z�}I~���w1���¦ª[�/w9y{zV��}xz�}Iy{z7����}Iy{�{�>�!~��¦�X��}I�k�7zs���I|I~���~�}�z����{zV��w­ªå��~���}!

j . 8 �/ ¶ j ./ ��� u� z�� I /98 :< � I / @ :<�� ��� kyj ./A@ � n � � � n�j ./98"! q�nw��b}I|BI /98;:< ¶gIMkyj ./A@ � 8 � n � � � n�j,./98"! q ´?#!#Eº

�!~g��w­ªå��y{|�������y �{}��/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}OI>}Iz��7|I��y{z���z���w9yb��}��i|���}Iz���±e�E±c�k��~�}OIMkyj�n � � � n�jiqZ¶wj2§���� ���Õ����� $#�s4�Z3@,�+`$%-�'�; ')�Z2�/�<_��� �"!�#%$&/1� 2ßt �6 ��/Õ7�� =*�1,�/�2��H/�')<[/ #*/ �_2�� ,�<P$4E�G@���H2.,.G5� � /1� 2�')��/EHG@�6�H2.,]G@�u��+�G5,A�1��$@�_2�/*v�$@'�H/ �(�S<T$@+%��/�y*3C/B���)$���')��3K/Q�H/1�S$@+%� ')#*/ �_2��Hh

À

Page 8: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

v5���{y{}T�/w9~����E��yP��}I�k�X����yb��~�}I~Z¢"�����{y�z�|��{�I��wd����y{�9����y{};y{}-��}I�k�2|I��yb�b}I~�Á�}I~a¢"�{}-�b}I~�zX�{y{}Rz��9���k������y}Iyb��~����k��¢"�{}Í´å���{�I��~�¤I��}«}Iz�z�}Iyb����}��Zz��{~V��w�|I��y¡�b}I~�Á�}Iy{|I}5�{}Izdz�|��{�I��w9z©����y{�9����y{}Iz�º»§�v5� w9�k��~�}«�/w9~�������y>w��}����{�I��~�¤I��} ' p6)2z��k�¦�9w9y¡�s ��� K��Ö "t ���_G@'"2��H� �"! #0$5t �6 ��/Õ7�� = /1� 2c$@'�#0$7>@,�# 'C# 3�; G5+�3@+?/���h

¨;}�����}�y{�9������yá}Iz����{��y{|��{yB��}I��ªO��~���}�§i%�w9~���}Iy '(#�)Tw²��yb��~��"�{�k�¦�P�{}Iz�y{�9������y{z��k���{z�ª w1��¥k��}Iz��{}5���1±y{�9����yk��}��/�/w9y{zV��}�¥{�k�7������¥k��}Iyk��~7�{}Izdz�|��{�I��w9z7������~��{~�}«w9�g���9��y{z7�IÁbw1�Xw�-"�k����y{�9����y{}Izd}Iyg�{yg|I}I~���w1��yz�}Iy{z�§���� ���Õ����� ��ts4�u3@,�+�$M-�'�; ')����� �"!�#%$/1��2 � � v��*R $@+ ,.$52.,]G@��2XG52X$5<[/B3C!H��+`G@,A�1��$@�62�/1�F2XG52X$5<DR $@+1,]$52.,]G@�3@,�# ,��(,��a�C,�� ��yS� , /H2 �7/ ')<[/ #*/ �_2F� ,

�� kyj . 8 � q � �� kyj . q�n ´?#6-�º�!~ �� kyj .aq��{��w­��w9~���w1������yg���9��w1��}��k��z�|I~�¤���}��{}3j .��{}Iz��7�{��y{y{�I}P�/w9~

�� kyj . qZ¶ /�� 8���/�� @�� � j ./ � j ./A@ � � � ´?#s³bº

���� ���Õ����� ����c��� �|�eG@��3@,�+�$Z-�'�; ')� �����"! #0$��aÖEoqp7¡Ö 86��O×Ët �6 ��/Õ7�6 ���! ���"1�\� ,e/H24�H/ '"<P/�#0/��_2e� ,\,.<2.+`$@�|��EHG@+ #*/:'C�D/U�1'),�2�/�j . #0G@�6G�2XG@��/Q/ ��')��/^$5')2.+?/:� 'C,.2�/ j . 8 �B! �5$5<[/ #*/ �_2 #%G5�6G52XG@��/�h�s4�w3@,.2�-�'�; ')��/�1'),.2�/�j /1��2\#0G@��G52XG@��/^�1,F/�2 �H/ '"<[/ #*/ �_2F�1,

# 1pn%$'&�(�kyj /A@ � n�j /98 � q � j / � $*),+kyj / @ � n�j /8 � q � ´?#�À¡º*a���{~d|I}Iz7�k��_�I~�}Iyb��}Iz©y{�9������y{zd�{}�����y{�9����yk��}�����yFw­��}IzV�����k�¦��|�w1������y{zLz��k�¦��w9yb��}Iz3'(#s)�

��� K��Ö "t q�-eG@')+Q'C�w�����"! #0$�?G@�|�7/ +1R $52., EO-�'|/H<T�?G5�6-�'(/1�

t �6 ��/Õ7�� =P¶/. � � ¶/.0�aÖEoqp7¡Ö 861�O×át �6 ��/Õ7�� ��� � ´?# B�º��� K��Ö "t �2-eG@')+Q'C�w�����"! #0$�?G@�|�7/ +1R $52., E3���. 2o¡×(�OÖ |�

4�57698 .0�aÖEoqp7¡Ö 86:�O×át��� =�iÕ7�6 ��� 8 . t �6 ��/Õ7�� =�¶/. 35'%d_+?/ # ,]/ +OG@+�35+`/ ´?#�Wbº�-yg|I��y{z��I¢q�{}Iy{|I}��k�¦��y���}»¯k��z���}��/w9zV�{}Lz�|��{�I��w­�¦��y{��w1��~�}x¢"�k�_z��9�¦������v�}���������~��{~�}xz��{�{�I~���}I�{~G� #b§ ½ �

�µ����yg�b}I�k�d|I��y{z���~��k��~�}��{}Iz7z�|��{�I��w9zd����v�������~��{~�}­w9�g���9��y{zd�IÁbw1�M��-"�k�¦��zd�{�9�¦�b}Iyb� 2���~�}Py{��yg�¦��y{��w1��~�}Iz�§vxw9y{zL��}Iz�z�}I|�������y{zxz��k�¦��w9yb��}Iz���y{���{zx�����{�k����y{zx��� w9¥���~�����}­z�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iy¡��~��g´ ������~��{~�}�#Eº»��}��xy{���{z

�k�I~��¦¬/��y{z[¢q��� �¦�{}Iz��[����v­§9®L���{za�b}I~�~���y{z[}Iy{z��k�¦��}V�{}Iz[z�|��{�I��w9z[������~��{~�}7³L���5À{�1ªO��y{�{�Iz[z��{~2�{}Iz[z�|��{�I��w9z�¦��y{��w1��~�}Izgy{��yÞ���Lv5��w9�"¯k¢"�{}���z���yÞwËwE¿����k���>�{}IzÍ�¦���5�¦��}I�{~�zgy{��y��¦��y{��w1��~�}Iz�§7¨;}Iz²�¦���5�¦��}I�{~�zg~�}Iy{�{}Iy¡���}�z�|��{�I��w�����v5�2�����k��}Iy$���k�VÁbw9~��/w9yb��z�w>�{~��I|���z�����y�§[vxw9y{z­��w�z��k�¦��}��Z��yu|I��y{z����{�I~�}I~�w������1¿����{~�z��{}Izz�|��{�I��w9z���}I������~�}���z@}»¯{�k�¦��|��¦��}Iz@�{} �d�{y{Á�}»±�ix�k����wk�R�{��yb���µ����~��{~�}>�{}g�{~��I|���z�����y�}Iz��@w9�Û���9��y{z@�IÁbw1� �|I}����k�X�{}��µ� w9�{�{~���¯"����w1������y�z��/w1����w1��}�§

B

Page 9: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� ���iD39;EF< 9+� 9;�G���9 ���� ��C;E ��C+�w�G���C

*a���{~T�µ���I¢"�/w1������yÍ��� wI�b}I|�������y�´å�¦��y{��w1��~�}sº»�¡�����{zR��}IzTz�|��{�I��w9zR�{�I|I}Iy¡��~��Iz��{�@�{~�}I�5��}I~;��~��{~�}dz���y¡�T���{}Iy"±����¢"�{}Iz�§/®L���{zd~�w9�{��}�����y{zd��}Iz©�{~����{~��������Iz©�{}«z���w9¥k�¦�¦�¦���P}��L�{}�����y{�9����yk��}«�{}P|I}Pz�|��{�I��wk§a�-y{z��k�¦��}���y{���{zy{���{zV��y¡���I~�}Iz�z���y{z �«�µ���I¢"�/w1������y �{}xÂ��{~�Á�}I~�z��/�����{~���w9¢q�{}��¦��}x�k���{z���}I�{~�zdz�|��{�I��w9z7�{�I|I}Iyb��~��IzLz���yb�7�k��z����1±yk��¥k��}Iz�§

�RL�N O"PRQ;STVU�W&X m�� SDm �&__��TVU�WMX� yBz�� ��y¡���I~�}Iz�z�}"�Í�µ���I¢"�/w1������yB��� w9�k�b}I|�������y'´d-�º»§�vxw9y{zx�{y��{~�}I�5��}I~���}I���{zs����y�z��{�{����z�}"��� {k§_äß}

z�|I�I��wx�{�I|I}Iy¡��~�����Ábw9�{|��{}d}Iz��T|I��y{z�}I~���w1���¦ªÚ§bÙ��iz����I|I~��¦�Rz����{z[��w�ªå��~���}P´XWbº[w��b}I|d�{y"�/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}fI /98 :<�{��y{y{���/w9~I /98;:< ¶gIMkyj / n�j /8 � q[¶A��j / � ´?# p�º

¨;}xz�|��{�I��w5}Iz����¦��y{��w1��~�}�§{äXw5�/w9~�����}x}IyÍ��}I���{z7}Iz�����~�w1�¦���I}x�/w9~��{ygz�|��{�I��w5}»¯{�k�¦��|��¦��}x������~��{~�}�#b§käß}�/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}P}Iz��7������~��{~�} #�´ �{��y{|�|I��y{z���z���w9y¡��º»§iä-���I¢"�/w1������yF�I¢"�k�¦�9w1��}Iy¡��}������{~7|I}xz�|��{�I��w@}Iz��jhu�v �>j z ¶ � 7�l� k�· � � qv z�k-7�l � n#7�o � q�n k � ¶ � 7�o7"l q � ´?#�~bº

ãLy{}Vw9y/w1�¦£"z�}��{}4�/���{~���}I~[����yb��~�}d¢q�{};|I}�z�|��{�I��w�}Iz��Zz���w9¥k��}�´ �����{~2��wLy{��~���}c����ºXz����{zZ��w©|I��y{�k�¦������y�{}«¨;���{~�w9y¡��±��/~�}����{~���|��{z�±cäX}�ÜV£u´c¨4�Zä2º� � � · � ´?#��bº� �/w9y¡������w«����y{�9����yk��}��k�����k��}Iz���}Iz�y{�9������y{zVz�}©|I��ykªå��y{�{}Iyb�V}IyÍ�¦��y{��w1��~�}�§kä-�����k���¦�ß�{~���y{|����/w1�������{~;��w�{�I����y{z���~�w1������y�¢"�����{y�z�|��{�I��wx}Iz��[���Lv�´ ���������{~Z��wL|I��y{z���~��{|�������y������{y���}��{z�|��{�I��wbºZ}Iz��[��};���{�I��~�¤I��}�{}�%�w9~���}Iy\'(#s)µ�1�9w1��w9¥k��}7�/w9y{z-��};|�w9zTÁ��Iy{�I~�w1�i�����{y{}V�I¢q�/w1������y@z�|�w1��w1��~�}V�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}7}Iy��{y{}V�k����}Iy{z�����y´?#Eº»�/�{��y¡�7��w��{�I����y{z���~�w1������y>}Iz��7�����I��}Iyb��w1��~�}! ��� K��Ö "t #6G@,.2�'C���H� �"! #0$&�(')#0!�+1,]-�'(/B')2.,.< ,��H!ed)G@')+0v � y7�F-�'), d"/�')2F�"; /`��+ ,�+`/Q��G5'K�S<P$ EHG@+ #*/7V

j . 8 �/ ¶wj ./ � 7�o7"l � � /98;:< 7�j ./98 :< v�� /A@ :< 7�j ./A@ :<�� n ´d-@�bº$@R /?� 7"j ./98 :< ¶wj ./8 � � j ./ � ´d-|#Eº� <PG@+a�Q<[/Q��� �"!�#%$�/1��2������ �1,\G@�u$Sd)G@')+S2XG@'"2 1��� /98 :< � { � � /98 :< n � /8 :< � � /98 :< � 7�l7�o � ´d-!-�º

� äß}xz�|��{�I��w��{�I|I}Iy¡��~����5Ábw9�{|��{}P}Iz��7|I��y{z���z���w9yb�©}��7����v�z��&��� {5}�� � � ·b§� äß}xz�|��{�I��w��{�I|I}Iy¡��~����5�{~��9�¦��}��/�!~ ��},�/�"¯gyq�{���I~���¢q�{} I /8 :< }Iz��©�{��y{y{���/w9~I /98 :< ¶gIMkyj / n�j /8 � qa¶ �>j /98 � n ´d-9³bº

}Iz��7|I��y{z���z���w9yb�©}��7����v�z��&��� {5}�� � � ·b§W

Page 10: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� �-yk¬/y��/��}xp�Ø � oqt$×��ao¡Ø�) �Õ�ÖEo��/�!~���}��/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}OI /98;:< }Iz��7�{��y{y{���/w9~I /8 :< ¶gIMkyj / n�j /98 � qa¶A� 8 j / v�� @ j /98 � ndwI�b}I| t � 8 ¶ $*),+k��6nr{|q� @ ¶ $ &�(�k��6nr{|q n ´d-1À¡º

}Iz��7|I��y{z���z���w9yb�©}��7����v�z�� � � ·b§� y>�"�I~��¦¬/}«¥k��}Iy>¢"�{}���}«z�|��{�I��w²}Iz��L���Lv5�������{~©�{y{}P�{��y{y{�I}­��yk�¦����w1��}«�k��z�|I��yb����y¡�{}�´yj } kml�qR¶D·«z��{���l ��·V}��g{Lz���y{��yiº»§ � y­�b�9�¦�-z��{~a��wU�a��Á��{~�}�-©¢"�{}R��w�z��9���k������y�w9�{�{~��q|��{�I}x´ ��¥k��}Iy¡�{}dw��b}I| � ¶w{ ��� }��7�lg¶A{ � {!{�¹ � ºV}Iz������IÁ��I~�}I��}Iy¡�7�¦��z�z��I}����­|�w9�{z�}��{}���w­�k����{z�����y�yq�{���I~���¢q�{}x��y¡��~��q�{�k�¦��}P�/w9~R��}xz�|��{�I��wk§

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

f(u)=u dx=0.0032 nu=0.9 RK1

schema decentresolution exacte

� �� - � �G5< '"2.,]G@� $�d�d_+`G7� �"!7/0G���2�/ �('(/�d)$@+B<P/Q�����"! #0$3K!H�a/ �62.+H! 3�; G@+`3@+?/���h

�RLmK O"PRQ;STVU�W&X m;_�� Qg`��_h` Y*a���{~V�µ���I¢"�/w1������yg�{}xÂ;�{~�Á�}I~�zs�k��}IzV|�w9~�w9|����I~���z�¢q�{}Iz©��yb�7�{}IzV��}Iyb��}Iz7|I��y{z���w9yb��}Iz��/��w1��zV�{��y¡�7��}xz���Á�y{}

��}I�k�;2���~�}7¢q�{}���|I��y{¢"�{}�§bãLy�z�|��{�I��wP|I��y{z�}I~���w1���¦ª��{�I|I}Iy¡��~��d}Iy��b�9���{��}IzT¬/yk��z-�{}��"~�w��{~�}Iy{�{~�}7}Iy�|I�����k��}|I}��{�{�Iy{����¤Iy{}���}��d�����k�b�9��~d|�w1��|I�k��}I~©wI�b}I|P��w5�k���{zdÁ�~�w9y{�{}«�{~��I|���z�����y ����z�z���¥k��}���}IzG�/�"¯ w9�"¯g��yb��}I~�ª w9|I}Iz}Iyb��~�}N��}Izg|I}��¦���k��}Izs�V�{}B�/w9~�� }������ w9�k��~�}B�{}Iz�¢q�{}��¦��}Izg��w$z��9���k������y��k��z�|I~�¤���} j .�}Iz��g|I��y{z���w9y¡��}�§©¨;}�����}z��¦���/w1������y�~�}Iz�z�}I�«¥k��}d���"|�w1��}I��}Iyb���«�{y*d_+�G��<���#0/S3K/� �,X/ #0$@�(�i�¡�!~@��w«�{��y{y{�I}L��yk�¦����w1��}�j } }Iz����{�²�c£k��}!

j } kml&qZ¶t j��ZnÝz��il � {j � n z��il � { ndwI�b}I|�j����¶wj�� � ´d- B�º

äXwË�������{�"�{}B�{}����"�{�{y{���*}Iz��g�{yÞz�|��{�I��wÛ}IyÞ�b�9���{��}Izg¬/yk��zg¢"�k�x�k���¦�¦��z�}B�{}Iz��/�"¯Þ�{�I|I}Iy¡��~��Iz��ªå��y{�{�Izxz��{~��{yBz��9�¦�b}I�{~��{} �7��}I��w9y{yN}»¯{w9|���§i�-�¦��}�}Iz��x��}I�N|I���k��}I�{z�}������{~L�µ���I¢q�/w1������yá�{}5Â��{~�Á�}I~�z�}Iy

p

Page 11: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�{y{}@�k����}Iy{z�����y�§2â�w1��zPz���yá}»¯k��}Iy{z�����y$w9��z�£kz���¤I��}g´ �b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}sº��{}Iz«�I¢q�/w1������y{z­�����-�k��}I~«}Iz�����~����|I���k��}I�{z�}�§ � y@|��{�9��z��¦��w1����~�z������k���¦�¦��z�}I~;�{y@z��9�¦�b}I�{~R�{} �7��}I��w9y{y²w9�{�{~��"|��{��§/¨L��}Iz��R��}d|�w9z��"�/w9~T}»¯{}I���k��}���{}Iz��/�"¯ �{} �d�"}��k�Tw9ygäß}I}I~©��� � z��{}I~I§*a���{~��µ���I¢"�/w1������y'�{}gÂ��{~�Á�}I~�z��[��}Iz�z�}I�k��}Iz�z��9���k������y{z�}Iyb��~����k��¢"�{}Iz@¥���~�y{�I}Iz�y{��yÛ|I��y{z���w9y¡��}Iz@�����{y�{~���¥k��¤I��}P�{} �d��}I��w9y{y z���y¡�7��}Iz7z��k�¦��w9yb��}Izs

|��{�"| j�� � j ��� jMkml&npo>qZ¶345 46 j � z�� l o � j � v j ��j � z�� l o � j�� v j ��

�{����}Iy¡��} j�� � j ��� jMkml&npo>qZ¶34445 4446j � z�� l o � j �lo z���j � � l

o � j �j � z�� l o � j��´d-@Wbº

ç©��y{z��µ����}��/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}��k���¦�¦��z��­�/w9y{z���w�z�|��{�I��w��{} ���"�{�{y{���_��ªO��y{�{��z��{~L��}Izxz��9���k������y{zx}Iy¡��~��1±�k��¢"�{}Iz7¥���~�y{�I}Iz©�{}Iz7�{~���¥k��¤I��}Izd�{}2�7��}I��w9y{y��/z����I|I~��¦�«´µwI�b}I|3xRkyj�qa¶wj � ¸ � º

I �x�q�{�{y{�s� kyj �gn�j � qa¶ 345 46 xRkyj � q z��&{ � j � � j � ���\j ��� � j � �xRkyj ��q z���j � � j�� � {���� � j � � � � j �{ z���j � � { � j�� n ´d-5p�º}��V��}�z�|��{�I��w��{} ���"�{�{y{���g�����{~��µ���I¢q�/w1������yF�{}�Â��{~�Á�}I~�zdz����I|I~��¦�7Á9����¥/w1��}I��}Iy¡�s

j . 8 �/ � j,./7"o . v I /98 :< � I /A@ :<7�l ¶ {�n©wI�b}I| I /98 :< ¶gI ���"�{�{y{��� kyj ./ n�j ./98 � q � ´d-@~bºäß}5�/w9z��{}­��}I���{z 7�o . }Iz��©��w9~���w9¥k��}�w9�>|I���{~�zx�{}­��w²z����P�k��w1������y�§Xç©�{~�¤IzL��}��_��¤I��}«�/w9zx�{}­��}I���{z��_��y��¥k����}Iyb�L�{y{}�z��9���k������yFw9�{�{~��"|��{�I} �­�µ� ��y{z���w9yb��o>. 8 �;¶5o0.,v 7�o0.i§��� K��Ö "t � 6G@'C�^<P$M�?G@�63@,.2.,]G@� 7�o .7�l�� j . ��� � ·!n ´d-@�bº<[/^�H� �"! #0$3K/ �eG73@')�6G@R*/1��2\#0G@��G52XG@��/7h

äXw@�{�I����y{z���~�w1������y��{}P|I}����{�I��~�¤I��}«y���}Iz��©�/w9zd��~�¤Iz©|I�����k��}»¯{}@´å�b�9��~©�/w9~d}»¯{}I���k��} ' ~1) º»§iÙc�X��}I~���}����� w9z�z��{~�}I~©¢q�{}P��}Pz�|��{�I��w@�{} ���"�{�{y{��� }Iz��d����v�}��L������~��{~�} #­z����{z7��w@|I��y{�k�¦������y>�{}P�c£k��}5¨4�aä$y{��y�¦��y{��w1��~�}�´d-@�bº»�{}��7¢"�{}��"zs� �¦�_|I��y¡�b}I~�Á�}��{~�}Iz�¢"�{}��/w9~������k�7�b}I~�zV�{y{}xz��9���k������y j ¢"�/w9y{� 7�oR}��;7�l ��}Iy{�{}Iy¡��b}I~�zf�k��w1����~�z�jB}Iz��©z��9���k������yFª w1��¥k��}«}Iy¡��~����k��¢q�{}5�{}²´µ³bº»§�Ù��X�k�I~��¦¬/}­w9�{z�z��X��}«�{~���y{|�����}­�{�>��wE¯k���P�{� }��}Iz��7z���w9¥k��}P}Iygy{��~���}S� � §� yÍz�}d�{~�������z�}©����}Iz�z�wI£b}I~;��}©z�|��{�I��w«�{} �x�q�{�{y{�s�@z��{~-��}©|�w9z;��}Iz��Rz��k�¦��w9yb���"�!~²��w�z��9���k������y���oT¶A{}Iz��7�{��y{y{�I}��/w9~�

ja}!kml�qa¶345 46 · z�� � ¹���l � � �� · z�� � ��l ��¹{ z���y{��y

� ´µ³5�bº

ä-���{yk��¢"�{}�z��9���k������yB}Iy¡��~����k��¢q�{}²¥���~�y{�I}��{}5�µ���I¢"�/w1������yá�{}�Â��{~�Á�}I~�z������{~���w��{��y{y{�I}���yk�¦����w1��} ´µ³5�bºL}Iz���{��y{y{�I}������{~V�����k�Go��/w9~�

jMkml&npo>qZ¶34445 4446

· z�� � ¹�v o ��l � � � v o�¸ �kml"vÛ¹|qÚ¸6o z�� � ¹�� l � � ¹Gv�� 1��+kmo>n� � o>q{ z���y{��y }���l � {� j&k � lMnporq z��il �H{n ´µ³�#Eº

~

Page 12: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

¢"�k�-}Iz����{}Iz�z���y{�I}�z��{~���}%�a��Á��{~�}@³k§ � yáw��{}I�"¯á�{����}Iy¡��}IzP}����{}I�"¯B|��{�"|Iz��ߢ"�k�a��y¡��}I~�w9Á9��z�z�}Iy¡��� oL¶ � §�-y{z��k�¦��}��T�{}I�"¯Ë|��{�q|Iz²z�£"������~���¢"�{}Iz�z�}g�{~����/w9Á�}Iy¡�²}Iy'z�}Iy{z5��y¡�b}I~�z�}IzF´�����w��"�¦��}Iz�z�}���� ·E¸�k � o>q�º­}�� �o5¶�� ��� �Z��}Iz��{}I�"¯Ë|��{�"|Iz�z�}Í~��I�{�k��z�}Iyb�@}IyË�{yËz�}I�k��|��{�"|gz���w1������y{y/w1��~�}��[}Iyb��~�}g�{}I�"¯Ë�{����}Iyb��}Iz�§[�2���{z��}Iz7|��{�q|Iz©��yb�©��������~�w9|I�Izd}Iy |�w9~�w9|���¤I~�}IzLÁ�~�w9z�§/äß}Izd�{����}Iyb��}IzLz���yb�L~�}I�{~��Iz�}Iyb���I}IzL�/w9~V�µ�����b}Iyb��w1�¦�a�{}x��}I�{~|�w9~�w9|����I~���z�����¢"�{}Iz�§

u=0

u=0

u=0

u=1 u=−1

u=(x+3)/t u=(x−3)/t

−3 −2 2 3

t=2

t=4.5

x

t

��� �³ ��6G5<b')2.,]G@� / �_2.+`G d_,]-�'|/ �?G@+1�D!7/ 3K/B<�; !H-�'|$52.,]G@� 3K/�e')+%��/ +1� d)G@')+�j } kml&q^3C! � �(,X/B/�� v� � y5h

� y«����yb��~�}Tz��{~���w �a��Á��{~�}TÀ7��wVz��9���k������y3j«��~����k�k�I}Z�V�k��_�I~�}Iyb��z2��y{z���w9yb��zs§ � yx�b�9�¦�a¥k��}Iy���wV~�}Iy{|I��y¡��~�}�{}Iz;|��{�"|IzR}��;�{}IzR�{����}Iy¡��}Iz � o[¶ � �¡�{�k��zR��wxªå�{z�����y@�{}IzR|��{�"|IzR}Iy²�{y²z�}I�k��|��{�"|©z���w1������y{y/w1��~�}L}Iy�lg¶A{k§� yFw5�k���¦�¦��z��P�{ygy{���P¥{~�}P�{}­¨;���{~�w9yb� � ¶A{ ��� �iwI�b}I|P�{y �/w9z7����}Iz��/w9|I}Pw9z�z�}��x��}����¦� 7�l�¶A{ � {!{�¹ � §

½ �{~V��w0�2��Á��{~�} B"�/��y ~��I�{~��Iz�}Iy¡��}���}Izd�9w9~���w1������y{zd���9��w1��}Izd�{}Izdz��9���k������y{zd}»¯/w9|���}Izd}��©w9�{�{~��"|��{�I}Iz�§�äXw�k��_�{z�����y>�{��z�|��{�I��w²�{�I|I}Iy¡��~���}Iz��xw9z�z�}���ª w1��¥k��}����{�k��z�¢q�{} 7�lá}Iz��xw9z�z�}��«��}����¦��}�� � }Iz��Lw9z�z�}��­�{~��"|��{}�{}"#b§

� ���iD39;EF<G@5�9+� C;�����9+@������ ��d�G���C @�� ��9+����C;���¨;������}���yN�µ� wÍ�{�Ú¿��@�k�����¦�[y���}»¯"��z���}��/w9z��{}�z�|��{�I��wÍ�¦��y{��w1��~�}������{yB��~��{~�}�z��{�{�I~���}I�{~ � #�¢q�k�[z��9�¦�

w9�{z�z��[����v5§i*2���{~���w9y¡���X��yB�k��z�����z�}��{}5z�|��{�I��w9z«|I��y{z�}I~���w1���¦ªOzx������~��{~�}�����}��k��§�vxw9y{z�|I}�����}��/w9~�����}��ß��y�

Page 13: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(u)=uu/2 dx=0.0032 nu=0.9 RK1

t=1t=2t=3t=4t=5

��� iÀ ��6G5<b')2.,]G@�u$ d�d_+`G7� �"!�/%3K/B<�; !H-�'|$52.,]G@� 3K/�e')+%��/ +1� d)G@')+�j } kml&q^3C! � �(,X/B/�� v� � y5h

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

f(u)=uu/2 dx=0.0032 nu=0.9 RK1

VT approcheeVT exacte

��� B � �|$@+1,]$52.,]G@�|�Q2XG52X$5<[/1�B3K/ �:�HG5<b')2.,]G@�|�S$ d�d6+�G7���"!7/*/H24/`>�$K�H2�/7h

#��

Page 14: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�/w9z�z�}�}IyÞ~�}��"�{}N�{}Iz�z�|��{�I��w9zg�{�I|I}Iy¡��~��Iz }»¯k��z���w9yb��z�¢"�k�Lz���y¡�g���Lv }���������~��{~�}N����}��k�u´µw9�*z�}Iy{z��{}�µ��}I~�~�}I�{~��{}­��~���y{|�w1���{~�}�}��L}IyN�{}I�{��~�zx�{}Iz�}»¯"��~�}I��wbº»§ß¨;}Iz�z��{|I�I��w9zx��y¡�������5��¥k��}Iyq�{zx�/w9~�w9�1¿���y{|�������y�{}x�¦���5�¦��}I�{~�z©y{��yg�¦��y{��w1��~�}Iz©z��{~V�{}Izdz�|��{�I��w9z7�¦��y{��w1��~�}Izd������~��{~�}«����}��"��§ � y |I������}Iy{|I}P�/w9~V�µ���I¢"�/w1������y��� w9�k�b}I|�������y�´d-�º7wI�b}I|3��¢"�{}���|I��y{¢q�{}�§ � yg����}Iy{�F}Iy{z��k�¦��}���}Izd�¦���5�¦��}I�{~�z �­�µ���I¢"�/w1������y �{}�Â��{~�Á�}I~�z�§

j;L�N O"PRQ;STVU�W&X m�� SDm �&__��TVU�WMX#�������� ��Ø � o"tu×{p% ��6 ����åt � Õ�o¡p

� yg|I��y{z����{¤I~�}���|��ß�µ��}»¯"��}Iy{z�����yg�{}��c£k��}�â>ã ½ ¨;ä5'.-6)-´µâF��y{�9����y{}Pã©�¡ÜV��y{� ½ |��{}I��}IzdªO��~d¨;��y{z�}I~���wE±������y@ä2wIÜ7z�º-�{��z�|��{�I��wP�{�I|I}Iyb��~��©�"�@�k���{zT�/w9�k��§¡äX}V��~�w1�¦��}I��}Iyb�������{~-��w��/w9~�����}dz��/w1����w1��}7�{}d|I}7z�|��{�I��w|I��y{z�}I~���w1���¦ªT�k���¦�¦��z�}«��w@�"2I��}­ªå��y{|�������y>�{}��/�"¯>yq�{���I~���¢q�{}�¢"�{}���}­z�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iy¡��~���������~��{~�} #b����w1��zw9�{�k�¦��¢"�{�I} ���{}IzPw9~�Á��{��}Iyb��z­�k��_�I~�}Iyb��z��ß��¥k��}Iyq�{z«�/w9~���y¡��}I~����9��w1������yËw1¼�y{}��/w9y{z�|��/w9¢q�{}@|I}��¦���k��}�§ßäß}�/�"¯gz����I|I~��¦��

I /8;:< ¶ � 8 j /8;:<�� v�� @ j /98;:<�� � I � j /8;:<�� n�j /98;:<�� � n ´µ³V-�º�!~�I�}Iz��7��w�ªå��y{|�������yF�{}��/�"¯Fyq�{���I~���¢q�{}­�{� z�|��{�I��w@�{�I|I}Iy¡��~��«������~��{~�} #b�i}��7��}IzL����w1��z7��y¡��}I~����9���Iz��{}|��/w9¢"�{}�|�9�����{}��µ� ��y¡��}I~�ªåw9|I}«�{}x|I}��¦���k��}Izd|I��y{z��I|I�k���¦�b}Iz«´ }Iy l /98 :< º»�hj /8;:< � }��Gj /98;:< � �{z���y¡�d�{��y{y{�Iz7�/w9~i

j /8;:< � ¶ j / v ·� k�· � ° q>7"j /8;:< v'° 7"j /A@ :<�� n ´µ³�³bºj /98 :< � ¶ j /8 � � ·� k�· � ° q>7"j /8 :< v'° 7"j /98� < � n ´µ³9À¡º

�!~g��}xz�£k�P¥��9��}27"j /98;:< ~�}I�{~��Iz�}Iyb��}���w5��}Iyb��}P�{��y{y{�I}P�/w9~7�j /98;:< ¶ 7 @�� j /98 ��� ¶wj /98 � � j / ´µ³ B�º}��@°�}Iz����{yÛ�/w9~�w9��¤���~�}>�{}g�{�I|I}Iyb��~�w9Á�}�§ � yÛ��¥k����}Iyb�@�/w9y{z@��}Iz�|I}��¦���k��}Iz@�{}Iz���}Iyb��}Iz@|I}Iyb��~��Iz@¢"�/w9y{�°F¶A{k�i}��d�{}Iz7��}Iyb��}Iz7���9��w1��}I��}Iy¡�©�{�I|I}Iy¡��~��I}Iz©¢"�/w9y{�F°F¶�·b§

ä-� w9y/w1�¦£kz�}��{}��µ��}I~�~�}I�{~7�{}x��~���y{|�w1���{~�}P�{}x|I}Pz�|��{�I��w��{��y{y{}! oz ¶:k�· � ¹�° q � � � 7�l �� j z�z�z vÛ° � � � 7�l

�j z�z�z�z v z"k-7"l��/q � ´µ³5Wbº

¨;}�z�|��{�I��w5}Iz��;�{��y{|L�����1¿����{~�zV������~��{~�}�w9�²���9��y{z�-«}Iy�}Iz��/w9|I}�§kÙ���}Iz���������~��{~�}�³­}Iy²}Iz��/w9|I}L¢"�/w9y{�°!¶ ·E¸9¹k§RÙ��dz�}I~�w1�¦�@�{������w9Á�}>�����k���¦�¦��z�}I~@�{y���}��dz�|��{�I��w�wI�b}I|>�{y{} ��y¡���IÁ�~�w1������y�}IyÛ��}I���{zÍ������~��{~�}��ykªå�I~���}I�{~I§ � y |��{�9��z���~�w��{��y{|��{y z�|��{�I��w��{} �©�{y{Á�}»±�ix�k����w�������~��{~�} -� 3445 446 j��/ ¶ j,./,v �� � u� z � I,./98 :< � I,./A@ :< �j . 8 �/ ¶ j,./,v � u� z � I��/98 :< � I��/A@ :< � n ´µ³�p�º

´å��}Iz7��w1��}I�{~�z7�����9�¦���I}IzL�{}Iz��/�"¯ z���yb�©|�w1��|I�k���I}Iz ���/w9~�����~7�{}Iz©Á�~�w9y{�{}I�{~�z j>y¡�{���I~���¢"�{}Iz©�����9�¦���I}Iz©|I��~�~�}Iz�±����y{�/w9yb��}Iz�º7������~��9��zP´ z�}I�k��}I��}Iy¡�©�����{~���}Iz7z�|��{�I��w9zd�¦��y{��w1��~�}Iz�º34444445 4444446

j��/ ¶ j,./,v � � u� z � I,./98 :< � I,./A@ :< �j����/ ¶ j,./ v �� � u� z � I��/98 :< � I��/A@ :< �j . 8 �/ ¶ j ./ v � u� z � I ���/98;:< � I ���/A@ :< �� ´µ³5~bº

#!#

Page 15: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�[��w9y¡�V�¦��y{��w1��~�}�}��;������~��{~�}�z��{�{�I~���}I�{~�� #b�¡��}Lz�|��{�I��w­Á9����¥/w1����¥k��}Iy¡��y{}L��}I�k���/w9z 2���~�}����Lvδ ¢q�{}��¢"�{}xz��9�¦�7��}xy{���P¥{~�}«�{}«¨;���{~�w9yb� ��� º»§{ãLy{}�z����P�k��w1������y>y¡�{���I~���¢"�{}���}x�{~����k�b}­w1��z��I��}Iyb��§�ä-� w9�k�b}I|�������y�����{y{}���w9Á��{}x|�w9~�~��I}x�/w9~V�{y²��}��ßz�|��{�I��w�´=�d�{y{Á�}»±�ix�k����ww�ß³E±µ�¦��y{��w1��~�}D�g´µ³5~bº»�/°F¶�·E¸9¹k�a�V¶�·Eº;�{~��"�{�k�¦��{}Iz7��z�|��¦�¦��w1������y{zd�q��z���¥k��}Iz7z��{~���w%�a��Á��{~�}SWk§

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f(u)=u dx=0.005 nu=1.6

beta=1/3 decentresolution exacte

� �� 6W � sF���H,�<�<T$�2.,.G@�(� �K! ��! +7!7/1� d"$@+S<[/©°�NX�����"! #0$3K!H�a/ �62.+H!Mvå°F¶�·E¸9¹ y5häXw­z���w9¥k�¦�¦�¦���f� � �{}�|I}Iz�z�|��{�I��w9zV��}I�k��2���~�}©�{~����k�k�I}��/w9~;�{y{}xw9y/w1�¦£kz�}L�{}:�i���{~���}I~I§ � y@��~����k�b}��/w9~

}»¯{}I���k��}��/¢q�{}���}Pz�|��{�I��w��{~��Iz�}Iyb���P}Iz��7z���w9¥k��}������{~ � ��· � � ¹4' �/)µ§#������[q ��Ø � o"tu×{p5×K86¡Ø:�.�Ot � Õ7qr2Ö1p

� yÛ|��{}I~�|��{}F��w1��y¡��}Iy/w9yb���>|I�����{~�}Iy{�{~�}F�µ����~���Á9��y{}g�{}g|I}Iz���z�|��¦�¦��w1������y{z�}�������}Iz����¦���5��y{}I~I§-®L���{z~�}I�{~�}Iy{��y{z©��|��ß�µ� w9y/w1�¦£"z�}x��yb��~��"�{�k�¦��}P�/w9~ ½ Ü;}I¥b£0'�³/)µ�/}��©����}Iy{�{�{}P�/w9~ ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}�' À!)&���{}Iz©°�±cz�|��{�I��w9z�§ä-� ���{�I}g�{}�¥/w9z�}Í�{}�|I}�����} w9y/w1�¦£"z�}Í}Iz��5��w�z��k�¦��w9yb��}�§-¨;��y{z����{�I~���y{z���}�|�w9z5�!~�� � {k§ � y$z�w1�¦��¢q�{}Í��}z�}I�k�Zz�|��{�I��wÍ�¦��y{��w1��~�}5�{�I|I}Iy¡��~���¢q�k�[z��9�¦�����Lv5��}Iz��L��}­z�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iyb��~����ÍÁbw9�{|��{}�������~��{~�} #b§ � y��9w�{��y{|­}Iz�z�wI£b}I~©�{}P�b�9��~d�����k��w9�k��~�}­z�|��{�I��w@�{�I|I}Iy¡��~��­|I������}­�{y{}P��}I~����{~�¥/w1������yN�{}P|I}����k� ±c|��µ§_ç©��y{z��µ�/��}°�±cz�|��{�I��w��{�I|I}Iy¡��~����5Ábw9�{|��{}«z����I|I~��¦�P´�� � {�}��7z�|��{�I��w�}»¯{�k�¦��|��¦��}�������~��{~�}"#«}Iy���}I���{z�º�

j . 8 �/ ¶Aj ./ � � 7 @�� j / v · � °� 7"j /98;:< v ° � 7"j /A@ :<�� n ´µ³5�bº¢"�k�ßz����I|I~��¦�©w9�{z�z��

j . 8 �/ ¶Aj ./ � � 7"j /A@ :< � � 7 @ � · � °� 7"j /98;:< v ° � 7"j / @ :< � � ´ À��bº

#6-

Page 16: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

ç©��y{z��µ�|����w���w9yk��¤I~�}L�{} ½ Ü;}I¥b£b�"��y²��}I�k�-�b�9��~R��}d�{}I~�yk��}I~R��}I~���}d�{}P´ À��bº»�"|I������}L�{y���}I~���}d��� w9y¡��� ±�k��_�{z�����y��{¢q�k����~�w9y{z�ªO��~���}���}xz�|��{�I��w5�{�I|I}Iyb��~�� �5Ábw9�{|��{}�}Iy °�±cz�|��{�I��wk§�¨;}x�{}I~�yk��}I~���}I~���}��{~��s�b�q¢"�{}�{}Izx��z�|��¦�¦��w1������y{z«�{~�¤Izx�{}Izx�k��z�|I��yb����yq�k�¦���Iz«�/w9~�|I}�¢"��� �¦�-}Iz�����~����N��������~���w9y¡��§ � yB}Iyb�"��z�w9Á�}��{��y{|��{}5��}���¦���5�¦��}I~5�{�¡}Iy@��}d�«�k�¦�����k�¦��w9yb�7�/w9~T�{y²|I�q}�¼�|���}Iy¡��� / �q|I�����{~���zR}Iy¡��~�}:�P}���#b�|�P�{��¬/yk��~I§qäX��~�z�¢q�{}��N¶A{k���}Vz�|��{�I��wx}Iz��-~��I�{�k�¦�Rw9��z�|��{�I��wx�{�I|I}Iy¡��~�� ��Ábw9�{|��{}��q}��[����~�z�¢"�{}��B¶�·b����y@wL��}7°��Lz�|��{�I��w�|���w9z�z���¢q�{}�§�-y �k���¦�¦��z�w9yb�d}Iy{|I��~�}P��}Iz7y{�9��w1������y{zd�{}�´µ³ B�º»�/��}xz�|��{�I��w�zs���I|I~��¦�

j . 8 �/ ¶Aj ./ � � 7 @�� j / v�� /�� · � °� 7�j /98 :< v ° � 7"j /A@ :<� � � ´ À #Eº� y |��{�9��z��¦�� / �{}x��w9yk��¤I~�}P¢"�{}��#b§V��}xz�|��{�I��w�~�}Iz���}x������~��{~�}�-Í´ ���F³5¢"�/w9y{�F°F¶�·E¸9¹bº7�����{~V�{y{}�z��9���k������y\j>w9z�z�}��x~��IÁ��k�¦��¤I~�}��-"§V��}xz�|��{�I��w�z��9�¦�7����v������{~d�{ygy{���P¥{~�}P�{}­¨;���{~�w9yb� � w9�{z�z��ßÁ�~�w9y{� ¢"�{}x����z�z���¥k��}�§¨;������}²z����k�b}Iyb�P�{~�������z����/w9y{zP��wÍ�¦�¦�����I~�w1���{~�}��X��}Iz��¦���5�¦��}I�{~�zPz���y¡�P|��{�9��z���z«|I������}�ªå��y{|�������yá�{}Iz

~�w9�{����~���zd�{}xÁ�~�w9�k��}Iyb��zL|I��y{z��I|I�k���¦ªåz��{�µ§�}�§� / ¶��Zk � / q;wI�b}I|�� / ¶ 7"j /A@ :<7"j /98 :< � ´ À -�º

äß}«°�±cz�|��{�I��w��¦���5�¦����z�}x~��I�I|I~��¦�d��w1��y¡��}Iy/w9yb�s j . 8 �/ ¶wj ./ � � 7"j /A@ :< � · v � ° � v · � °� � / � �Zk � / q � � ° � � /A@ � v · � °� � �Zk � /A@ � q � � ´ Àb³bº

äß}«���9��y¡��#b§�|�� ±c�{}Iz�z��{zL}Iz��Lw1����}���y¡�Lz��2��w�ªå��y{|�������y��'}Iz��d|��{�9��z���}­w9z�z�}��P~��IÁ��k�¦��¤I~�}­}��©�{}���}��¦��}­z���~���}«¢q�{}�Zk �|q�� · ¢"�/w9y{����� ·b§+�-yÛ} �_}����[�����{~��{y{}�z��9���k������y j�z��k¼�z�w9����}Iyb�²~��IÁ��k�¦��¤I~�}��-}IyÛ�{}I�{��~�z��{}Iz���9��yb��zd�!~gz�w5�{�I~��¦�"�I}�z��/w1����w1��}�z�� w9y{y¡�k��}�����y w � / ¶�· v z"k-7�l&q � ´ À�À¡º� yFw5�{��y{|x��}Iz7�����k�¦��|�w1������y{z«´�� }�� 7�l>z���yb�d�{~���zV��}Iy{�/w9y¡�d�b}I~�z��bº� �Zk�· v���qa¶�· v z�k��qZ¶/.�� / ¶�·ZvJz"k-7�l&q�n ´ À B�º�Zk�· v���qa¶�· v z�k�� � qZ¶/.�� / ¶�· vJz"k-7�l � q�n ´ À�Wbº�Zk�· v���qa¶�· v z�k�� qZ¶/.�� / ¶�· vJz"k-7�l q�n ´ ÀKp�º}��T��}IzT��}I~���}Iz��/w9y{z-�µ���I¢"�/w1������y²�I¢"�k�¦�9w1��}Iy¡��}Lw9�{����~����Iz;�/w9~-�µ� w9�1¿���y{|�������y²�{}IzR�¦���5�¦��}I�{~�z��"z���yb�;�{}7�µ����~��{~�}�{}Qz"k-7�l q[z��_��ygwÍ´ À B�º»�k�{}L�µ����~��{~�}x�{}^z�k-7�l � q-z��_��ygwÍ´ À�WbºT}��V�{}L�µ����~��{~�}x�{}Qz"k-7�l��6q-z�����ygwÍ´ ÀKp�º»§ç©��y{z��µ��´ À B�º5w9z�z��{~�}�¢q�{}Í�µ����yÛ|I��y{z�}I~��b}��µ����~��{~�}4-"�[}��g´ À�Wbº­}��g´ ÀKp�º�' z��I�/w9~��I��}Iy¡�p)©w9z�z��{~�}Iy¡��¢q�{}Í�µ����y|I��y{z�}I~��b}��µ����~��{~�} -Í����³k§ �©w9�{��}�����y{z�¢"�{}5��}Iz���~��{~�}Iz��{}Iz�z�|��{�I��w9zPz���y¡���c|I��y{z�}I~��k�Iz��5}IyB�{}I�{��~�zP�{}Iz}»¯k��~�}I��w��{}x��w5z��9���k������y\ju´ �!~g��w5�{�I~��¦�k�I}�z��/w1����w1��}�z�� w9y{yq�k��}sº»§

äß}����{�I��~�¤I��}PÀ�y{���{z7��}I~���}��d�{}�|I��y{z���~��k��~�}P�{}Iz7z�|��{�I��w9z©���Lv5§ � y w���}��� K��Ö "t � (,�G@� $@+ +1,�R / � 2.+�G5'CR /�+*')��/UE�G5�6�H2.,]G@����d)G@')+&<P$�-�'(/�<�<P/&,.<F/`>5,A��2�/3K/1�&�?G@�(� 2X$@�_2�/ � � � �� � � � � /�2!� � 2�/�<�<[/1�B-�'(/7V344445 44446

# � ��� � n � � � � ° � v · � °� � � �Zk �|q � � �# � ��� � n � � � � ° � ��v · � °� � �Zk �|q � � �

/�2 � � � · v � �n ´ À�~bº

#s³

Page 17: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

$5<PG@+1�a�\<[/^�H� �"! #0$wv�� � y*/1� 2 ���6� � ,\G@� $CV

� � ·· v�� � � � � � ´ À��bº

*Zw9z�z���y{z�w9�@|�w9zR�{}7�µ���I¢"�/w1������y@��� w9�k�b}I|�������y��!~���w��"�¦��}Iz�z�} �V}Iz��Ty{�IÁbw1���¦�b}�§"äß��~�z�¢"�{} ��� {�´ ��y@y{�9��}� ¶ � � � 7�o�¸ 7"l_º»����}«z�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iyb��~���´d-1À¡º7z�}P~��I�{�k�¦��w9�Fz�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iyb��~��"�@�{~��9�¦��}���}��L��}«°�±cz�|��{�I��w�{�I|I}Iyb��~�� �5�{~��9�¦��}��i¢"�k�ßz����I|I~��¦�s

j . 8 �/ ¶Aj ./ v � 7 @ � j /98 � � · � °� 7"j /98 :< � ° � 7"j /98� < � n ´�B@�bº}Iz��V�¦���5�¦����|I������}«�{~��I|I�I�{}I����}Iyb��§�äXw5ªå��~���}xz������k��}

j . 8 �/ ¶Aj ./ v � 7 @�� j /8 � � � /�� · � °� 7�j /98;:< v ° � 7"j /98 <� � n ´�B|#Eº��}I�k�7z�}���~�w9y{z�ªå��~���}I~d}Iy

j . 8 �/ ¶wj ./ v � 7"j /98 :< � · � � ° � o / v · � °� � �Zkmo / qv � ° � v · � °� o / @ � � �Zkmo / @ � q � � n ´�B!-�º�5|I��y{�k�¦������yF�{}P�{~�}Iy{�{~�} � / ¶ �gkmo / qT}��Go / ¶�·E¸ � /8 � ´�B9³bº´å��|�� �u��}I�k�d���b}Iyb���{}��¦��}I��}Iy¡�L�k��_�I~�}I~7�{}x��w­ªå��y{|�������y |��{�9��z���}P�����{~���}��{�I|I}Iyb��~�w9Á�} �5Ábw9�{|��{}sº»§�[���µ����y�~�}I|I��y{y/w����d�{y{}�}»¯{�{~�}Iz�z�����y²��~�¤IzV�{~��q|��{}x�{}«´ Àb³bº»§ � yÍ�b�9�¦����~�¤IzVz������k��}I��}Iyb�7¢"�{}L�µ����y���}I�k��k���¦�¦��z�}I~­��w>�"2I��}²ªå��y{|�������y��������{~P��}Iz5�{}I�"¯u�{�I|I}Iy¡��~�w9Á�}Iz �>Ábw9�{|��{}g}��"�F�{~��9�¦��}�§ZäXw��{~��I|���z�����yË}Iz��w9z�z��{~��I}²´ �{�k��z�¢"�{}x��}Iz©|I�"}�¼�|���}Iyb��z o / ��yb�©�{}Iz©�{���b}������{��}I��}Iy¡��zxz�}I�P¥k��w9¥k��}Iz���|I}I�"¯F�{}Iz � / ����~�z�¢"�{} j z}Iz��7y{��y yq�k�¦��}�§iäß}xz�|��{�I��w��{�I|I}Iy¡��~����5�{~��9�¦��}�´ �����{~�� � {bº�}Iz��7���Lv!z����{z��µ���¡£"���9���{¤Iz�}²´ À��bº»§

�a��y/w1��}I��}Iyb�����/w9y{zV��}x|�w9z©Á��Iy{�I~�w1�µ�/��y ��}I�k�7�k���¦�¦��z�}I~V��}xp�Ø � o"t$× �ao¡ØKC �Õ�Ö1o²z��k�¦��w9yb�s j . 8 �/ � j ./7�o v I /8 :< � I /A@ :<7�l ¶A{�n ´�B1À¡º

wI�b}I|I /8 :< ¶ � 8 j /8;:< � v�� @ j /98;:< � � I � j /8;:< � n�j /98;:< � � n ´�B B�º

}��j /98;:< � ¶ j / v�� 8/ ·� k�· � ° q>7"j /98 :< vÛ° 7"j /A@ :< � n ´�B@Wbºj /98 :< � ¶ j /8 � � � @/ ·� k�· � ° q>7"j /98;:< vÛ° 7"j /98 < � n ´�B5p�º

�!~g��}IzV�¦���5�¦��}I�{~�zfI 8/ }��fI @/ z���y¡�d�{��y{y{�Izd�/w9~� 8/ ¶ � k � / q ´�B@~bº� @/ ¶ � kyo / q ´�B@�bº}Iy'ªå��y{|�������y��{} ��}��²�{}IzÍ~�w9�{����~���z � / }���o / �{��¬/yk��z²~�}Iz���}I|����¦�b}I��}Iy¡�Í}Iy ´ À -�º�}��>´�B9³bº»§Räß}Fz�|��{�I��w�{�I|I}Iyb��~��«��¥k��}Iy¡�>}Iz��7}Iy{|I��~�}�����v�z����{zV�µ���b£k���9���{¤Iz�}�´ À��bº»§

#�
Page 18: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

vxw9y{z��{y@�{~�}I�5��}I~;��}I���{z��"y{���{z�y{���{zT��y¡���I~�}Iz�z���y{z7w9�²°_±cz�|��{�I��w«�¦���5�¦����×�8�¡Ø�°>¶�·E¸ � �k¢"�k���{��y{y{}�{yBz�|��{�I��wg������~��{~�} -Í}IyB}Iz��/w9|I}�§�äXw����s£b}Iy{y{}@�{}5�Tw9yBç©��¥/w9�/w���}I~���}��«�{}�|I��y{z���~��k��~�}��{yB�{~�}I�5��}I~�¦���5�¦��}I�{~7��y¡���I~�}Iz�z�w9y¡��§iäXw5ªå��y{|�������y �uz����I|I~��¦�©w1����~�z

�gk �|qZ¶ 35 6 � �� � vÞ· n z�� � � {{ z���y{��y�§ ´XW5�bº

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4 5

phi(r

)

r

fonction phi (limiteur de Van Albada)

Van Albada

� �� �p � <b,�#O,.2�/ ')+B3K/ �|$@� � <��?$�3�$wv�� �KhäXw�ªO��y{|�������y �{~��I|I�I�{}Iy¡��}���~�}I�{~��Iz�}Iyb���I}Pz��{~���w �2��Á��{~�}Op"�{�"�I~��¦¬/}! � �Zk�·Gv��qR¶Î·�vJz"k��,�6q;¢"�/w9y{� �Z} {k���{��y{|«��}«z�|��{�I��w��¦���5�¦���­}Iz��L¥k��}Iy>������~��{~�}"- ´ }Iy>�{}I�{��~�z�{}Iz7���9��yb��z©�!~ j z ¶A{bº»§

� �Û�"�I~��¦¬/}²´ À�~bºdw��b}I|P��}IzL¥���~�y{}Iz � � ¶ � � ¶ {�}���� � ¶ � � ¶B{ � � {�¹k§�v���y{|���}­z�|��{�I��w@�¦���5�¦���}Iz��7����v�z�� � � { � � � ¹k§

¨;}�z�|��{�I��w ������~��{~�}�-�}Iyá}Iz��/w9|I}�}Iz��P}IyBª w1�¦�P�k���¦�¦��z��@w��b}I|���}�z�|��{�I��w }»¯{�k�¦��|��¦��}@������~��{~�}�-Í}IyB��}I���{z´µ³�p�º»§ � y>��¥{z�}I~��b}­¢"�{}���}­z�|��{�I��w²��¥k��}Iy¡�N}Iz������LvD�����{~ � � ·b�i|I}­¢q�k�a}Iz��L�{y�w9z�z�}��­¥���y>~��Iz��k�¦��w1��§� y |I�����/w9~�}I~�w���}Iz7��}I~�ªå��~���w9y{|I}Izd�{}x|I}Pz�|��{�I��w��/w9y{z7��w��{}I~�yk��¤I~�}�z�}I|�������y�§¨R�¦����y{z2}Iyk¬/y��{y�z�|��{�I��w7�{~�������z��[�/w9~�%�w9y{|I�q|�¾­´ |��¦���T}Iy"#��5~�#T�/w9~ßÂ�§��Tw9y�äß}I}I~2�/w9y{zg'(#��1) º»§IÙ��¡z�� w9Á9�¦�

������¥k��}Iyk��~7�{ygz�|��{�I��w5������~��{~�}�-«}Iy���}I���{zVz�w9y{zV} �_}I|����{}I~7�{}I�"¯Íz����{z�±c�/w9zdw9�{z�z���|I���k��}I�"¯g¢q�{}��/w9y{zV��}z�|��{�I��w �{} �©�{y{Á�}»±�ix�k����wF�{~��I|I�I�{}Iy¡��§ � yá��}I�k���b�9��~«|I}�z�|��{�I��wF|I������}@�{yá�{~��I�k��|���}I�{~Ú±c|I��~�~�}I|���}I�{~I§¨;}����k� ±c|��Xz����I|I~��¦���i�����{~V�µ���I¢"�/w1������y ��� w9�k�b}I|�������y�wI�b}I|�� � {k�35 6 j��/̶ j ./ � � � � ./ nj . 8 �/ ¶ j ./ � � 7 @ j��/gv �� � ./ � n ´XW�#Eº�!~%� ./ �/¢q�k�k¿����{}���}�~��9��}x�{� Á�~�w9�k��}Iy¡�©�{} j2�{}Iz��7�{��y{y{���/w9~

� ./ ¶ ·� �Zk � / q 7"j /A@ :< v 7"j /8 :< � n}��Í�����k��}Iz���}Iz�w9�k��~�}Iz�Á�~�w9y{�{}I�{~�z z���yb���{��¬/yk��}Izg�k���{zÍ�/w9�k��§7¨;}�����}N�������{�"�{}���}I~���}��g} ��}I|����¦�b}I��}Iy¡�������¥k��}Iyk��~a�{yPz�|��{�I��wd������~��{~�}�-�}Iy���}I���{z2��~�¤Iza��}I�«|��{}I~I�1�{�k��z�¢q�{}-��}T�{~�}I�5��}I~az����{zX�/w9za}Iz��X��~�¤Iz2z������k��}�§

# B

Page 19: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� y���}I�k�«����y¡��~�}I~5¢q�{}²|I}@z�|��{�I��wF}Iz��­���Lv ´µwI�b}I|²��}@�¦���5�¦��}I�{~­�{}��Tw9y$çd��¥/w9�/wbº������{~ � � { ��� ��� �|I}�¢"�k�ß~�}I�{~��Iz�}Iyb��}5w9�{z�z��ß�{yFÁbw1��yFw9�{�{~��I|���w9¥k��}«}IyF}�¼�|�w9|��¦����§a*Zw9~d|I��yb��~�}��i��w�z������k�¦��|��¦���«�{}x�µ�������{�{}P�{�z�|��{�I��w«�{~��s�q��}Iy¡�V�{}d��wPy/w1���{~�}©�¦��y{��w1��~�}L�{� �/�"¯_�"�{�k��z�¢"��� �¦�i£@w«¢q�/w9z�����}Iy¡�V|I��ykªO�{z�����y�´��3�d�{~�¤Iz�ºT}Iyb��~�}��}gÁ�~�w9�k��}Iyb�²�{� �/�"¯ ��j'}�����}�Á�~�w9�k��}Iyb�Í�{}²��w���w9~���w9¥k��} j'}��¦��}»±c�"2I��}�§-äT��}»¯"��}Iy{z�����yH�F�µ���I¢"�/w1������y'�{}Â��{~�Á�}I~�zdy{}x�/w9~�w1�¦�d�/w9zd�������I�k��w1��}��i}��7y{���{z©}Iyg~�}Iz���}I~���y{z7� ��w��b}I|P|I}x�{~��I�k��|���}I�{~I§

� y�zs� ��yb���I~�}Iz�z�}©��w1��yb��}Iy/w9y¡��w9�@°_±cz�|��{�I��wP�¦���5�¦���7×�8�¡ØÍ°F¶�·E¸9¹k�"¢q�k�/�{��y{y{}©�{y�z�|��{�I��wP������~��{~�}©³}Iy }Iz��/w9|I}�§�*a���{~d|I}Pz�|��{�I��wk� ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�w5�{~�������z�� ' À1)���}��¦���5�¦��}I�{~7�k���¦�¦��z�w9yb�©��w­ªO��y{|�������y��$z��k�¦�9w9y¡��}!

�Zk � q[¶ ¹ � � � � � v'¹ �� � � v � � ´XWV-�º

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4 5

phi(r

)

r

fonction phi (limiteur de Spekreijse)

Spekreijse

� �� �~ � <b,�#O,.2�/ ')+S3K/ 5d"/�� +`/ , �1�H/&v����)h

¨;}�����}xªå��y{|�������y��/~�}I�{~��Iz�}Iy¡���I}«z��{~���w �2��Á��{~�}B~k�iw­��}Iz7�{~����{~��������Izdz��k�¦�9w9y¡��}IzP´µ°>¶�·E¸9¹bº� � �Zk�·Gv��qR¶Î·�vJz"k��,�6q;¢"�/w9y{� �Z} {k���{��y{|«��}«z�|��{�I��w��¦���5�¦���­}Iz��L¥k��}Iy>������~��{~�}5³F´ }Iy>�{}I�{��~�z�{}Iz7���9��yb��z©�!~ j z ¶A{bº»�

� �F�k�I~��¦¬/}L´ À�~bºZw��b}I|V��}Iz[¥���~�y{}Iz � � ¶ � { � {�¹ �� � � � ¶A{ ��� � � � � � � ¶ � { � ¹ ��� ��}�� � � ¶ { ��� · � � §v���y{|x��}xz�|��{�I��w��¦���5�¦����}Iz��7���Lv�z�� � � { ��� · � §

¨;}Vy{���k�b}�w9��z�|��{�I��w�}Iz��[}Iy5ª w1�¦�-�k���¦�¦��z��VwI�b}I|7�{y�z�|��{�I��w�}Iy5��}I���{z-�{};�c£k��} �©�{y{Á�}»±�ix�k����wx������~��{~�}³k�sw1¬/y«��� wI�b�9��~X�{}Iz2}I~�~�}I�{~�zß��}I������~�}��¦��}T}��Xz��/w1����w1��}T�{���"2I��}R��~��{~�}d´ �{�k��z�¢"�����{y{}-|I��y{�k�¦������y­�{}-z���w9¥k�¦�¦�¦����{}���£"��}�¨4�aä$~�}��¦��} 7�lB}�� 7�oV}Iyb��~�}5}I�"¯iº»§iäß}Iz©�¦���5�¦��}I�{~�z�����w9yb�xy{��y �¦��y{��w1��~�}Izs����y>|��{�9��z��¦����}Pz�|��{�I��wz��k�¦��w9yb���/z��{~�y{�������&� ��i�³E±cy{��y��¦��y{��w1��~�}��i�{������~��{~�}«³5�/w9y{zV��}P|�w9z7Á��Iy{�I~�w1�� 34444445 4444446

j��/ ¶ j,./�v � � u� z � I ./98 :< � I,./A@ :< �j����/ ¶ j,./ v � � u� z � I��/98 :< � I��/A@ :< �j . 8 �/ ¶ j ./ v � � u� z � I ���/98;:< � I ���/A@ :< � v �� � u� z � I ./98;:< � I ./A@ :< �´XW�³bº

#�W

Page 20: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�!~���}Iz[��w1��}I�{~�z-�����9�¦���I}IzR�{}Iz+�/�"¯5z���yb�T}Iy{|I��~�}7|�w1��|I�k���I}Iz ���/w9~�����~-�{}Iz-Á�~�w9y{�{}I�{~�zZj²yq�{���I~���¢q�{}IzR�����9�¦���I}Iz|I��~�~�}Iz�����y{�/w9yb��}Iz�§TäXw��{�I����y{z���~�w1������y'¢"�{}²��}g°�±cz�|��{�I��wN�¦���5�¦�����Z�k���¦�¦��z�� w��b}I|g�{y$z�|��{�I��wN}Iy$��}I���{z���k���{z���}I�{~�z��/w9zs��}Iz������Lv5�_~�}Iz���}�}Iy{|I��~�} �Í��~����k�b}I~I§ � yB��¥{z�}I~��b}@|I}I��}Iy{�/w9y¡�P¢q�{}­��}�z�|��{�I��wgÁ9����¥/w1���¥k��}Iy¡�Þ}Iz��@����vÝ�����{~ � � { ��� � �R|I}>¢q�k�d}Iz��@�{y'��}I���{�I|I}���w9yb��§T®L���{z��b}I~�~���y{zs�T�/w9y{z²��wBz�}I|�������yz��k�¦��w9yb��}���|I������}Iy¡�-|I}IzZ�¦���5�¦��}I�{~�z-��}I�k�b}Iy¡�;2���~�}Vw9�����¦����~��Iz��bw1¬/y5�{};�{~��"�{�k��~�}V�{y5z�|��{�I��wLÁ9����¥/w1��}I��}Iy¡��k���{z7�{~��I|���z©}��7�k���{zdz���w9¥k��}�§

j;LmK O"PRQ;STVU�W&X m;_�� Qg`��_h` Yäß}F¥�}Iz��9��yÛ�{} �¦���5�¦��}I�{~@}Iz�����}I�k��±d2���~�} }Iy{|I��~�}F�k���{z@Á�~�w9y{�'�����{~���}Iz��I¢q�/w1������y{z²�{} Â��{~�Á�}I~�z��-�!~

�{}IzÍ��z�|��¦�¦��w1������y{z²}Iy{Á�}Iy{�{~�}Iy¡� }��¦��}Iz�±c�"2I��}IzÍ�{}Iz²|��{�q|IzÍ}��²�{}IzÍ�{����}Iyb��}Iz��;¢"�k�©z���y¡�Í�{}Iz²�{�{�Iy{����¤Iy{}Izy{��y��¦��y{��w1��~�}Izs§"¨;}IzT��z�|��¦�¦��w1������y{zRz���y¡�R�IÁbw1��}I��}Iy¡�R��~�¤Iz;�{�Iy/w1�¦��z�w9yb��}Iz;�����{~T�{}IzTz����P�k��w1������y{z�y¡�{���I~���¢"�{}Iz�����I|I���k��}I��}Iyb��z�|I�����{~�}Iz�z���¥k��}IzP´ �I¢"�/w1������y{zd�����-�k��}I~�º»§

äß}gz�|��{�I��wN|I��y{z�}I~���w1���¦ªL�{~��Iz�}Iyb��� �k���{z��/w9�k��z�������}Iy{�Û�k��~�}I|���}I��}Iy¡� �>�µ���I¢"�/w1������y'�{}�Â;�{~�Á�}I~�zs§[Ùc�z��k¼��[�{}��{~�}Iy{�{~�}V�{y �/�"¯«�{�I|I}Iyb��~���§ � y5z�}��{~�������z�};�����k���¦�¦��z�}I~[}Iy{|I��~�}���} �/�"¯«�{} ���q�{�{y{�s��§�äX};z�|��{�I��w|I�����k��}��dz����I|I~��¦�©z����{zV��w5ªå��~���}�´XW�³bº»�/�!~g��},�/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}OI /98;:< }Iz��7�IÁbw1�2w9� �/�"¯g�{} ���"�{�{y{���

I /98;:< ¶{I �x�q�{�{y{�s� kyj /8 : < � n�j /98 :< � q�n ´XW9À¡º}Iyb��~�}���}Izd����w1��zV�¦���5�¦���Iz j /98;:< � }���j /8;:< � �{��y{y{�Iz©�/w9~�´�B@Wbºc±�´�B@�bº»§ � y ��¥{z�}I~��b}�¢q�{}���}xz�|��{�I��w��{~�������z��}Iz��7�IÁbw1��}I��}Iy¡�L����v������{~��µ���I¢"�/w1������yF�{}xÂ��{~�Á�}I~�z��{�����1¿����{~�zd�����{~V�{y y{���«¥{~�}P�{}P¨;���{~�w9yb�L�k�I~��¦¬iw9yb�� � { ��� � §� � �����GC+<���� @���D�9;EF<G@H<��GC+� =>�rE �?��C;���@vxw9y{z7|I}�����}xz�}I|�������y��iy{���{z7�{~�������z���y{zV}Iz�z�}Iyb����}��¦��}I��}Iy¡�L�{}I�"¯gy{���k�b}�w9�"¯gz�|��{�I��w9z�§iäß}x�{~�}I�5��}I~7}Iz��

ªå��y{�{�dz��{~;�{}Izg�/�"¯@�{�I|I}Iy¡��~��Iz��{}d��£"��}©â>ã ½ ¨;äT�"w9�/w9�k���,�x��wP�9w1��}I�{~;°>¶�·E¸9¹«}��R�k���¦�¦��z�}©�{}IzR�¦���5�¦��}I�{~�z|I�����/w9~�w9¥k��}Iz,�5|I}I�"¯g�{} ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�§

äß}Pz�}I|I��y{� z�|��{�I��w��{~�������z���~�}Iz�z�}I�«¥k��}«w9�g�{~��I|I�I�{}Iy¡������w1��zd�¦�X}Iz��Vªå��y{�{��z��{~7�{}Iz��/�"¯ |I}Iy¡��~��Iz©�{}�c£k��}Lâ>ã ½ ¨;äT�q�{��y¡�;��yÍ��}I�k������yb��~�}I~�¢"��� �¦��zR�{��y{y{}Iy¡�7�{y²z�|��{�I��w«�{~��I|���z �P�µ����~��{~�}LÀ«}IyÍ}Iz��/w9|I}L�����{~°F¶�·E¸9¹k§

�ML�N �0X:Y@� [gf,�AS m;f6� _aXMT1` f m � W�`Kmg`V_ �

� ������� �S�� Xp�Õ�Ö1r2Ø�Õ����6 �¦r� J ���r=86¡×/r��.�Ot � Õ7qr2Ö

äXw�|I��y{z���~��{|�������yF�����{yg�¦���5�¦��}I�{~d�k���{zd}�¼�|�w9|I}�¢"�{}x|I}����k�X�{} ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}xz�}�ªå��y{�{}xz��{~���w�~�}I��w9~�¢"�{}z��k�¦��w9yb��}�§k�X���{z;��}Iz�°�±cz�|��{�I��w9zx´ z�w9y{zT�¦���5�¦��}I�{~�z»ºTy{}Lz�}©|I��������~���}Iy¡�7�/w9zR�{}L��w9yk��¤I~�}��I¢q�k�¦��w1��}Iyb��}��{~�¤Iz�{}Iz��k��z�|I��y¡����y¡�k�¦���Iz�§;ç©��y{z��µ�[��}gz�|��{�I��w0�N��}Iyb��}Iz@|I}Iy¡��~��I}Iz>´µ°�¶F{bº5z�} |I��������~���} �5��}I�"¯'�/w9y{z��{y{}�k��z�|I��y¡����y¡�k�¦���­�!~ ��¶���� ¢q�{}P�/w9y{zd�{y{} �I��y{}«�!~ �P¶ {k§�¨;}I|��2}Iz��d����yb��~��­z��{~���w%�a��Á��{~�}O�k�/�!~g�µ����yw­ª w1�¦�©w9�k�b}I|���}I~7�{y{}x��w9Á��{}�|�w9~�~��I}�§

# p

Page 21: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f(u)=u dx=0.005 nu=0.1 RK1 t=0.01

beta=0 decentresolution exacte

� �� 6� � sF�H��,�<�<P$52.,.G5�|� �K! ��! +7!7/1�Ud)$@+S<[/�{)N���� �|! #0$Bd)G@')+ �x¶A{ v`/�2F�6G@�0d"$ �ed)G@')+ �x¶ ��� y5h

çL��|I��y¡��~�w1��~�}��Z��}@z�|��{�I��w �>��}Iy¡��}IzP���9��w1��}I��}Iy¡���{�I|I}Iyb��~��I}Izg´µ°*¶Ý·EºPz�}²|I��������~���}Í�5��}I�"¯u�/w9y{z�{y{}��k��z�|I��yb����yq�k�¦���P�!~ �x¶A{5¢q�{}L�/w9y{zV�{y{},�I��y{}x�!~ �x¶����*§{¨;}I|��_}Iz�������y¡��~��xz��{~;��wO�2��Á��{~�} #��k�{�!~�µ����yFw­ª w1�¦�dw9�k�b}I|���}I~7��w5�"2I��}P�9w9Á��{}x|�w9~�~��I}�§

äß} �/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}P��y{�{�I~�}Iyb�Lw9�Fz�|��{�I��w5�¦���5�¦���@´ À #Eº���}I�k�Lw9�{z�z���2���~�}x�I|I~��¦�s I /98 :< ¶wj / v 7�j /A@ :<�� k � / q�n ´XW B�º

wI�b}I|� k �|qa¶��Zk �|q � · � °� � v ° � � � ´XW5Wbº

� yu�b�9�¦�«¢"�{}��X¢"�/w9y{� �Z} {k� � k � q^} ·E¸ � §-¨;}I|��R����w1�¦�5�IÁbw1��}I��}Iyb�5�k~�w1�R�����{~���}>·�±cz�|��{�I��w>z�w9y{z�¦���5�¦��}I�{~I�i¢"�k�ßy�����z�|��¦�¦��}��/w9zd�/w9y{zd�{y{}��I��y{}��!~ �Q} {k§*Zw9~�|I��yb��~�}��[¢"�/w9y{� � } ���*� � k �|q�� ·E¸�k � �|q�§ � ~5�����{~­��}�{E±cz�|��{�I��wNz�w9y{z«�¦���5�¦��}I�{~I�[��yËwI��w1�¦�� k �|q���·E¸�k � �|q�§ � y>y{�9��}«��� w1�¦�¦��}I�{~�zL¢"�{}���}��¦���5�¦��}I�{~L�{} ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}«y{}P~�}Iz�z�}I�«¥k��}��²w9�{|I�{y>°�±cz�|��{�I��w¢"�/w9y{� �f} ���*§

� yÍz�}d�{~�������z�}�w1����~�z��{}©|I��y{z���~��k��~�}L�{yÍy{���k�b}�w9�²�¦���5�¦��}I�{~I§ � yÍ~�}I¢q�k��}I~��;��}Iz��{~����{~��������Iz�z��k�¦�9w9y¡��}Izs � �Zk�·av �q-¶�·av�z"k�� qX¢"�/w9y{� �M} {k§�äß}Vy{���k�b}�w9���¦���5�¦��}I~�wx|I��y{z�}I~��b}I~�w��µ����~��{~�}7³�}��-z�}I~�w�}Iy{|I��~�}���9��y{zLw9|����¦ªa�/w9y{zV��}Iz �I��y{}Iz7�{}�~��IÁ��k��w9~��¦����§

�������{~7°>¶ ·¹ � � k � q�} ·� �{¢q�/w9y{� �f} {k§i¨;}�¢q�k�ßy{�I|I}Iz�z��¦��} �Zk �|q�� ¹ �� �{¢q�/w9y{� �f} {k§

�������{~7°>¶ ·¹ � � k � q�� ·� � �{¢"�/w9y{� �Q} ����§i¨;}x¢q�k�Xy{�I|I}Iz�z��¦��}��Zk � q�� ¹� �{¢"�/w9y{� �f} ���*§

#�~

Page 22: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f(u)=u dx=0.005 nu=0.1 RK1 t=0.01

beta=1 decentresolution exacte

� �� �#�� � s\�H��,.<�<P$52.,]G@�|� ��! ��! +7!7/1��d)$@+S<[/P·5NX�����"! #0$Bd)G@')+���¶ ��� v�/�2F�6G@�*d)$ ����¶A{ y5h����yNz�}«~�}Iz���~�}���yb�3� �Zk � qV¶:{Íz�� � � {�´ |I}�����}5~�}Iz���~���|�������yNy�� w�w9�{|I�{y{}«��y �/�{}Iy{|I}�z��{~d��}­�¦���5�¦��}I�{~�{} ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}sº

� yFw5|��{�9��z��ß��w5ªå��y{|�������y z��k�¦��w9yb��}!

�gk �|qZ¶34444444445 4444444446

{ z�� � � {¹ � � � � � v'¹ � �+vÛ¹ �� z�� { � � � ·

¹ � � � � �GvÞ· �� � ¹ ��v*· � z�� · � �� ´XW�p�º

¨;}�y{���k�b}�w9�F�¦���5�¦��}I�{~I�i~�}I�{~��Iz�}Iy¡���Pz��{~7��w �2��Á��{~�} #!#x�"�I~��¦¬/}²´ À�~bºVwI�b}I|���}Izd¥���~�y{}Iz � � ¶ {k� � � ¶{ � � � � � � � ¶ {Í}�� � � ¶:{ � � � �{§�v���y{|P��}­z�|��{�I��wÍ�{�I|I}Iy¡��~��g´�B1À¡ºc±�´�B@�bº©w��b}I|­��}­y{���k�b}�w9���¦���5�¦��}I�{~�}Iz������v�z�� � � { � � { �{�[|I}²¢"�k�T��w1��z�z�}²�{~��Iz�w9Á�}I~«�{y$�k���{z5Á�~�w9y{�u�{����w1��y{}��{}Íz���w9¥k�¦�¦�¦����§ZÙc�;}Iz��«�����1¿����{~�z�{~��I|���z��F�µ����~��{~�}�³$´ z�w9�kªLw9�"¯u���9��y¡��z��!~ j z ¶ {bº«}��5�{}��"~�w1�¦�"2���~�}����9��y{z�w9|����¦ªd¢"�{}Í��}@�¦���5�¦��}I�{~��{}½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}x�/w9y{zV��}IzG�I��y{}Iz©�!~\jF}Iz��7~��IÁ��k�¦��¤I~�}P}��7����y{�9����y{}�§

� �����[q �S��t �2×{Ö1×(�Op7�6 2p ��¡p � ¡Ö 9���Ö1t$×( 2Ø�¡p

äß��~�z�¢q�{}V��}Vy{���k�b}�w9���¦���5�¦��}I�{~-}Iz��-�k���¦�¦��z��dw��b}I|V��}Vz�|��{�I��wx�{};�d�{y{Á�}»±�ix�k����w�������~��{~�}d³�y{��y��¦��y{��w1��~�}´XW�³bº»���µ��}»¯k�{�I~���}Iy{|I}5����y¡��~�}­¢"�{}«��}«z�|��{�I��wÍÁ9����¥/w1�Z}Iz��©����v�¿��{z�¢q���.� � ��· � { � ��w9�F�¦��}I�N�{} � � { ��� ������{~���}x�¦���5�¦��}I�{~7�{} ½ ��}I¾q~�}���z ¿�}��{|I}x¢"�k�X|I��y{z����¦���{}��{ygÁbw1��y>w9�{�{~��I|���w9¥k��}�§

#��

Page 23: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4 5

phi(r

)

r

fonction phi (nouveau limiteur)

nouveau limiteur

� �� �#!#�� ���w��G@'CR@/`$@' < ,�# ,�2�/ ')+cd)G@')+©°�¶�·E¸9¹ v ���`y5h

v5� w9�k��~�}Í�/w9~����X��}²y{���k�b}�w9�u�¦���5�¦��}I�{~5w9�{����~���}²�IÁbw1��}I��}Iy¡�5�{y$|I}I~���w1��y$Ábw1��y�}Iy$�{~��I|���z�����yuz��{~P�{}Izz��9���k������y{z7�k��z�|I��yb����y¡�{}Izs§��-yg} �_}����{y{���{zdw��b��y{zd|I��y{z����{�I~��x�µ� w9�k�b}I|�������y>�����{y{}x��w9Á��{}x|�w9~�~��I}�´ z��¦���{�I}Pw9��{�I�/w9~���}Iyb��~�}�lÞ¶ {�}���l�¶ ·b�[wI�b}I| �Ͷ ·Eº»§Z®L���{z�wI�b��y{z�|��{�9��z��;��}�z�|��{�I��w�}Iyu��}I���{z��{~��I|I�I�{}Iy¡�´ ������~��{~�}�³bº�wI�b}I|��{yNy{���«¥{~�}��{}�¨;���{~�w9yb�P�IÁbw1�g� � ¶ { ��� ´µwI�b}I| 7"lᶠ{ � {!{!{ � º»�2w1¬/yB¢"�{}­��}Izx�{}I�"¯�¦���5�¦��}I�{~�z��{~��q�{�k��z�}Iyb���{y²z�|��{�I��wPz���w9¥k��}�§|�-y@ªO��y{|�������yÍ�{�²��}I���{z��¡y{���{zVwI�b��y{z;��~�w9|I�©z��{~-��wB�a��Á��{~�}3#6-�µ��}I~�~�}I�{~7}Iy y{��~���}S� � }Iyb��~�}���w�z��9���k������yFw9�{�{~��"|��{�I}«}��V��w5z��9���k������y }»¯/w9|���}�§

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

f(u)=u dx=0.0008 nu=0.9 RK3 non-lineaire

Spekreijsenouveau limiteur

� �� �#6- � �c+1+?/ ')+a� /��w�6G5+1#*/U� � d"G@'C+B<P/1�B3C/ '@><b,�#O,.2�/ ')+a�S3�; G@+`3@+?/ Ch

-@�

Page 24: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

äß}²y{���k�b}�w9�á�¦���5�¦��}I�{~«~��I�{�k�¦�P�µ��}I~�~�}I�{~P�{}²�{~�¤IzP�{} �V{��g§&�-yá�{~�}Iy/w9y¡�­|I}@y{���k�b}�w9�á�¦���5�¦��}I�{~5wI�b}I|�{yg�/w9z7����}Iz��/w9|I}x�IÁbw1�&� 7"l�¶A{ � {!{"· �{����y w9�{~�w1�¦�d��¥k��}Iy¡�g��w5�"2I��}x�{~��I|���z�����y ¢q��� w��b}I|x��}��¦���5�¦��}I�{~7�{}½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}L}�� 7"l�¶A{ � {!{!{ � �/¢"�k��|I��~�~�}Iz�����y{�{~�w1�¦���P�{yÍ��}I���{zV�{}�|�w1��|I�k���k���{zV�{}©��~��9��z�ªå�9��z�z��{�{�I~���}I�{~I§

*a���{~Z�µ���I¢q�/w1������y��{};Â��{~�Á�}I~�z�����y­z�}��{~�������z�};�{}�|I�����/w9~�}I~Z��}IzZ~��Iz��k�¦��w1��z[y¡�{���I~���¢"�{}Iz-��¥k��}Iy¡�{zRwI�b}I|��}�°�±cz�|��{�I��wg´µ°>¶�·E¸9¹bº�y{��yg�¦���5�¦�����/�{�k��zdw��b}I|x��}IzV�{}I�"¯��¦���5�¦��}I�{~�zd�{~��Iz�}Iy¡���IzP´ |I}����k�X�{} ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}x}��|I}����k�Z�{~�������z��P��|�� º»§ � y>�k���¦�¦��z�} �@y{���k�b}�w9�F��}«|�w9zd��}Iz��©�k���¦�¦��z��«�����{~d��}Pz�|��{�I��w@������~��{~�} #²´yj } �{��y{y{�I}�/w9~�´µ³5�bº»�/}��7z��9���k������y }Iyb��~����k��¢"�{}P¥���~�y{�I}��{}Iz�z���y{�I}Pz��{~���w �a��Á��{~�}P³bº»§� yN�{~��Iz�}Iy¡��}�z��{~L��wM�2��Á��{~�} #s³Í��wÍz��9���k������yáw9�{�{~��"|��{�I}��Í�k��_�I~�}Iyb��zx��y{z���w9y¡��zx��yb��}I~����I�k��w1��~�}Izs§ßäß}

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(u)=uu/2 dx=0.0064 nu=1.0 RK3 non-lineaire sans limiteur

t=1t=2t=3t=4t=5

� �� �#s³ � �G5< '"2.,]G@� $�d�d_+`G7� �"!7/'�&3@, �U! +?/ �_2��Q,��|� 2X$5�_2��%vX��$5�|�f<b,�#O,.2�/ ')+xy5h

°�±cz�|��{�I��w�wI�b}I|x°>¶�·E¸9¹«y���}Iz���}Iy²ª w1�¦�2¿�w9��w1��z����Lv&����~�z�¢"������yÍy�� wE¿����k��}��/w9zV�{}d�¦���5�¦��}I�{~I§{äX}Lz�|��{�I��wÁ9����¥/w1�X��¥k��}Iyq�F}Iz��7|I}I��}Iy{�/w9yb�Lz���w9¥k��}��/�����{~ � w9z�z�}��x��}����¦�P´ |I������}��/w9y{zd��}x|�w9zV�¦��y{��w1��~�}sº»§ä-� wE¿����k�@�����{yË�¦���5�¦��}I�{~�w9z�z��{~�}g¢q�{}Í��}gz�|��{�I��wB}Iz������Lv ´ �����{~5��}gz�|��{�I��wN}»¯{�k�¦��|��¦��} }Iy$��}I���{z������~��{~�} #Eº»§Z*Zw9~²}»¯{}I���k��}��R��}Fy{���k�b}�w9���¦���5�¦��}I�{~>´XW�p�º»�;�k���¦�¦��z��NwI�b}I|$´XW�³bº�}�� � ¶É· � { � �{��y{y{}��{y{}z��9���k������yFw9�{�{~��"|��{�I}«z�w1����z�ª w1��z�w9yb��}��i¢q�k�ß}Iz��7�{~��Iz�}Iyb���I}Pz��{~���w%�a��Á��{~�}"#�À{§

¨;������}������{~P�µ� w9�k�b}I|�������y��[��y$|I�����/w9~�}Í�µ��}I~�~�}I�{~O� � }Iy¡��~�}���wFz��9���k������y$}»¯/w9|���}Í}��­��}Iz­z��9���k������y{zw9�{�{~��"|��{�I}Iz���¥k��}Iy¡�{}IzxwI�b}I|P��}��¦���5�¦��}I�{~©�{} ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}�}��©��}��¦���5�¦��}I�{~P´XW�p�º»§�*2���{~L�����k�b�9��~dª w1��~�}�|I}�����}|I�����/w9~�w1��z���y��V��yÞ|��{�9��z��¦�)7"l!¶ { � {!{ � �Û}�� � ¶ { ��� §;äX}Izg�{}I�"¯�|I���{~�¥�}Iz�z���y¡�g�{~��Iz�}Iyb���I}Iz z��{~@��w�a��Á��{~�}"# B"§

ÙÚ|��ß}Iy{|I��~�}��{��}xy{���k�b}�w9�g�¦���5�¦��}I�{~Vªå���{~�yk�¦�d�{y{}xz��9���k������yF�{��yb�7�µ��}I~�~�}I�{~7}Iz��7���9��y{�{~�}�´ �{}�À�����}Iyb�"� ±~���yiº»§�¨;}«Ábw1��yF}Iy>�{~��I|���z�����yF��}I�k� 2���~�}P��~�w9y{z�ªO��~����«}IyFÁbw1��y>}Iyg��}I���{z©�{}«|�w1��|I�k�µ�i}Iy>�{~�}Iy/w9yb���{yF�/w9z����}Iz��/w9|I}��k���{zdÁ�~�w9y{��§

-|#

Page 25: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(u)=uu/2 dx=0.0064 nu=1.05 RK3 non-lineaire (nouveau limiteur)

t=1t=2t=3t=4t=5

���� i#�À � 6G5<b')2.,]G@�u$ d�d_+`G7� �|!7/��3@, �U! +`/��_2��Q,��(� 2X$@�_2��1�\$@R /`� <[/B< ,�# ,�2�/ ')+%v�� �`y@h

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

f(u)=uu/2 dx=0.0064 nu=0.9 RK3 non-lineaire

Spekreijsenouveau limiteur

� �� �# B � �c+1+?/ ')+a�U� � d)G@')+B<[/1�f��G�< '"2.,.G5�|�S$ d�d_+`G7� �"!�/1� G��H2�/ �('(/1�O$@R /?� <P/1�B3C/ '@><b,�#O,.2�/ ')+a�7h

-!-

Page 26: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�MLmK �0X:Y@� [gf,�AS � _aXMT!`Vf m�� W�`Cm;`V_ j�2���{zX��}Izßz�|��{�I��w9z2�"�{zk¿��{z�¢"��� ��|��¡z���y¡�X�{�I|I}Iyb��~��Iz�§Eäß}T�{�I|I}Iy¡��~�w9Á�}��E¢"�k�b|I��~�~�}Iz�����y{���Vz�}���}I|�������y{y{}I~ß��}Iz

��ykªå��~���w1������y{zR�{}Iz-|I}��¦���k��}IzT�b�9��z���y{}IzT}Iy�ªO��y{|�������y��{}7��}I�{~-z�}Iy{z-�{}V�{~����/w9Ábw1������y��"~�}��q��}Iy¡� ��~�wE¿����k��}I~-�{y{}|I}I~���w1��y{}5¢q�/w9y¡���¦���5�{}«�k��_�{z�����y�y¡�{���I~���¢"�{}�§�v­� w1�¦�¦��}I�{~�zs�i��}Iz��/�"¯>yq�{���I~���¢q�{}Izx�{�I|I}Iy¡��~��Izxz���yb���{��¬/yk��z|I������}�����w9yb����wáz�������}��{}\�/�"¯�|I}Iy¡��~��Iz�}��Í�{}F��}I~���}IzÍ�k��_�{z��¦ªåz�§ � yÞz�� ��yb���I~�}Iz�z�}F��|���w9�"¯��"2I��}Izz�|��{�I��w9zV¢q�{}L�{~��I|I�I�{}I����}Iyb����}Iy²�k���¦�¦��z�w9y¡�7��w1��yb��}Iy/w9y¡�d�{}Iz �/�"¯²|I}Iyb��~��Iz��/w��b}I|L�µ��}Iz����9��~�������¥k��}Iyk��~V�{yÁbw1��yB}IyB�{~��I|���z�����y�§ß®L���{zx}Iz�z�w1��}I~���y{zP}Iy{z��k�¦��}��{}�~�wE¿����k��}I~x�{}Izx�¦���5�¦��}I�{~�z��ßw1¬/yá������¥k��}Iyk��~��{yBz�|��{�I��w����v­§ � yFz�� ��yb���I~�}Iz�z�}��/w9y{z7�{y �{~�}I�5��}I~V��}I���{z��­�µ���I¢q�/w1������y>��� w9|��b}I|�������y �¦��y{��w1��~�}�´d-�º»§� �kq ��� ��Ø � o"tu× ��6 ��.�åt � Õ�o

� y |I��y{z����{¤I~�}x��}Iz��/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}Iz©z��k�¦��w9yb��z I��/98;:< ¶ � j /8;:< � v j /98;:< �� nI��/98 :< ¶ � 8 j /98;:< � v � @ j /98;:< � nI /98;:< ¶ �uI �/98 :< vwk�· � ��q�I �/98 :< n ´XW5~bº

�!~Í��}Iz�����w1��z���yb��}I~����9���Iz7�{}�|��/w9¢"�{}L|�9���x�{}©�µ� ��yb��}I~�ª w9|I}��{}�|I}��¦���k��}IzV|I��y{z��I|I�k���¦�b}Izx´ }Iy l /98 :< º»� j /98;:< � }��j /98;:< � �{z���y¡�d}Iy{|I��~�}P�{��y{y{�Izd�/w9~i j /8;:<�� ¶ j / v ·� k�· � ° q>7"j /8;:< v'° 7"j /A@ :<�� n ´XW5�bºj /98;:< � ¶ j /8 � � ·� k�· � ° q>7"j /8 :< v'° 7"j /98 < � � ´�p@�bº

� y�����y¡��~�}7¢"�{}���} �/�"¯5�{~��I|I�I�{}Iy¡�;�{��y{y{}V�{y�z�|��{�I��wx������~��{~�}7Àx}Iy�}Iz��/w9|I}7�����{~Z��}Iz-�9w1��}I�{~�z�� ¶A{´m�/�"¯g|I}Iyb��~��Iz�º7}��d°>¶�·E¸9¹k§�ä-��}I~�~�}I�{~7�{}x��~���y{|�w1���{~�}«}Iz��dw1����~�z7�{��y{y{�I}P�/w9~i

oz ¶ � � � � 7"l �

¹!{ j z�z�z�z�z v z�k-7�l��6q � ´�p|#EºÙ���}Iz����«y{�9��}I~;¢"�{}��/w9y{z;��}L�{���b}������{��}I��}Iyb�7�{}L�µ��}I~�~�}I�{~��{}L��~���y{|�w1���{~�}��k�����{z;��}IzR��}I~���}IzV�{}��k��_�{z�����y{z´ y{���P¥{~�}«�/w1��~7�{}x�{�I~��¦�k�I}Izd}Iy }Iz��/w9|I}sº;�k��z��/w9~�w1��z�z�}Iyb��§¨;}­z�|��{�I��wÍ����w9y¡��������~��{~�}5À{����y>�k���¦�¦��z�}«z����«�k�¦��w9y{�I��}Iyb�P�{y�z�|��{�I��w@��}I������~�}��Z������~��{~�}­À{���"2I��}

�/w9y{z���}�|�w9zPy{��yB�¦��y{��w1��~�}F´ �����{~x�µ� w9�1¿���y{|�������yáªå�k���{~�}��{}��¦���5�¦��}I�{~�z�º»§ � y�|��{�9��z��¦����}@z�|��{�I��wg�{}��c£k��}�d�{y{Á�}»±�ix�k����w@z��k�¦��w9yb�s 3444444444444445 444444444444446

j �/̶ j ./,v ·� 7"o7"l � I ./98;:< � I ./A@ :< �j ���/ ¶ j ./,v ·� 7"o7"l � I �/98;:< � I �/A@ :< �j �����/ ¶ j ./,v 7"o7"l � I ���/98;:< � I ���/A@ :< �j . 8 �/ ¶ j,./ v ·� 7"o7"l � � I �����/98 :< � I �����/A@ :< � v � � I ���/98 :< � I ���/A@ :< �v � I ./98 :< � I ./A@ :< � v � � I �/98 :< � I �/A@ :< � �´�p!-�º

�!~g��}Izd�9w1��}I�{~�z7�����9�¦���I}IzL�{}IzG�/�"¯gz���y¡�©}Iy{|I��~�}�|�w1��|I�k���I}Iz,���/w9~�����~d�{}IzdÁ�~�w9y{�{}I�{~�z©yq�{���I~���¢q�{}IzL�����9�¦���I}Iz|I��~�~�}Iz�����y{�/w9yb��}Iz�§

-9³

Page 27: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

äß}5z�|��{�I��wÍ������~��{~�}�À²}Iy>��}I���{zx}��x}Iy>}Iz��/w9|I}5��¥k��}Iyq��������w9yb���¦��y{��w1��~�}���y{}«��}I�k��2���~�}5���Lv5§�ã©y{}w9y/w1�¦£kz�}«}Iy����"�{}«�{}O�/���{~���}I~�����yb��~�}�|I}I��}Iy{�/w9yb�x¢"��� �¦�a}Iz���z���w9¥k��}­}Iy>y{��~���} � �������{~ � � ��� { � ' �1)µ§� y |��{}I~�|��{}P��w1��y¡��}Iy/w9yb���5~�wE¿����k��}I~d�{}Iz7�¦���5�¦��}I�{~�zd�����{~V~�}Iy{�{~�}x��}�z�|��{�I��w�����v5§{v�w9y{zd��w5z��k�¦��}��/��yy{}5z�}«�¦���5�¦��}I~�w��/w9z�w9�N|�w9zx°u¶�·E¸9¹�}�� �B¶ {k�_¥k��}IyN¢q�{}­|I}©¿�}I���{}5�/w9~�w9������~�}Iz��{yk��¢"�{}I��}Iyb���{��y{y{}�{y z�|��{�I��w�������~��{~�}�À{§

� �kq �[q ��Ø � o"tu×�×�8�¡Ø:���åt � Õ7qr2ÖEp

*a���{~Rz������k�¦�¦¬/}I~-��}IzT�I|I~��¦���{~�}Izs�¡��y�z�}7�¦���5�¦��}©w9�@|�w9zR�!~ ��� {k§q¨;������}L�{~��I|I�I�{}I����}Iyb���k��y�~�wE¿����k��}¢"�{}���¢q�{}Iz��¦���5�¦��}I�{~�zx�/w9y{z���} �/�"¯$´XW5~bº»��z����{z©��w²ªå��~���}5�{}«ª w9|���}I�{~�z��«�k�¦�����k�¦��|�w1���¦ªOz � / }�� � / �_�{}Iz�����y{�Iz��2���~�}g����z��¦���¦ªOz5}����k���{z���}����¦��z�¢"�{}�#b§ � yÛ�����{�k��}g�{��y{|g�{yÛy{���k�b}�w9���/�"¯Ëyq�{���I~���¢q�{}F�{}���w�ªO��~���}z��k�¦��w9yb��}�´µw��b}I|��V¶�·Eº�

I /98;:< ¶wj / v · � ° �� � / 7"j /98;:< v ° � � / � k �"vÞ·1q>7�j /A@ :< vwk � � ·1q>7"j /98 < � � ´�p9³bº� y ~�}I��w9~�¢"�{}P¢"�{}��{����~�z�¢"�{} � / ¶ � / ¶!·b�/��yF~�}���~����k�b}P��}�z�|��{�I��w@y{��y �¦���5�¦���²´XW5~bº»§�¨;������}«�����{~V��}z�|��{�I��w�������~��{~�}5³Í�{}­��w²z�}I|�������yN�{~��I|I�I�{}Iyb��}��ß��y���w@|��{}I~�|��{}I~��{}Iz��¦���5�¦��}I�{~�z�� / }�� � / �{}«��}��¦��}�z���~���}¢"�{}!

����} �/�"¯�y¡�{���I~���¢"�{}P´�p9³bºaÁbw9~��{}V��w��"2I��}d�{~��I|���z�����y�¢q�{}Vz�wL�b}I~�z�����y�y{��y��¦���5�¦���I}�´ �{��y{|7¢"��� �¦�/~�}Iz���}������~��{~�}�À@¢q�/w9y{� °�¶�·E¸9¹�}�� �g¶A{bº»�

��|I}��/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}��i�k���¦�¦��z��PwI�b}I|P��}xz�|��{�I��w@}Iy���}I���{zd}»¯{�k�¦��|��¦��}�}��d������~��{~�}"#@´åªå��~�Ü;w9~��"±d�T�k��}I~�º»�z��9�¦�7����v������{~d�{ygy{���P¥{~�}P�{}­¨;���{~�w9yb� � w9�{z�z��ßÁ�~�w9y{� ¢"�{}x����z�z���¥k��}�§

äß}Pz�|��{�I��w�Á9����¥/w1�R´ }Iyg��}I���{zd}��7}Iy }Iz��/w9|I}sº���}I�k�G2���~�}P~��I�I|I~��¦�dz����{zV��w5ªå��~���}+ j . 8 �/ ¶ j ./ � � 7"j /A@ :< � · v · � ° �� � � /� / � � /A@ � �

v °�

� / � ��vÞ· v � � ·� / � /98 � � ´�p1À¡º

� °�

� /A@ � � /A@ � � �"vÞ·Zv � � ·� / � / @ � � � n�!~g��}Iz7|I�"}�¼�|���}Iyb��z � / z���yb�7}Iy{|I��~�}«�{��y{y{�Izd�/w9~���}Iz7~�w9�{����~���zd�{}xÁ�~�w9�k��}Iy¡��z©|I��y{z��I|I�k���¦ªOz«´ À -�º»§� y�|��{�9��z��¦�;��}Iz��¦���5�¦��}I�{~�z�� / }�� � / |I������}x�{}Iz;ªå��y{|�������y{zV�{}IzV|I�q}�¼�|���}Iy¡��z � / }�� � /98 � §"®©�9��~�}�|��{�9� ¯z���}Iz��7����~����xz��{~7�{}Iz7�¦���5�¦��}I�{~�zd�{}x��w­ªå��~���}�z��k�¦��w9yb��}! t � / ¶ �Zk � / q�n

� / ¶ � � k � / q � � k � /8 � q � ´�p B�ºç y{���k�b}�w9���/z�����}Iz���~��9��zVªå��y{|�������y{z �R� � � }�� � � z���y¡�dw9z�z�}��x~��IÁ��k�¦��¤I~�}Izdw9�k�����{~7�{}5·b�{}��V��}��¦��}Izd¢q�{}! �Zk�· v���qZ¶ � � k�· v��q[¶ � � k�· v��q[¶�·Zv z"k�� q�nd�����{~ � w9z�z�}��x��}����¦��� ´�p@Wbº

w1����~�zR��}dz�|��{�I��w���¥k��}Iy¡�Í}Iz��;}Iy{|I��~�}d������~��{~�}LÀP}Iy@}Iz��/w9|I}d}Iy@�{}I�{��~�z;�{}IzT���9��yb��z;�!~ j z ¶A{k�¡�{�k��z�¢"������yw�w1����~�z � / ¶ � /A@ � ¶ � /98 � ¶ ·3v z"k-7�l&q��T}��Í�����{z@��}Iz²��}I~���}Izgw9�{����~����IzÍ�/w9~²��}Iz@�¦���5�¦��}I�{~�z��/w9y{z�µ���I¢"�/w1������y �I¢q�k�¦��w1��}Iyb��}«�{� z�|��{�I��w�z���yb�©�{}IzUz"k�� �6q�§

-1À

Page 28: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

v5���{y w9�k��~�}x|�9�����k��}L���{�I��~�¤I��}xÀ�y{���{zV��}I~���}��7�{}�|��{�9��z���~���}Iz�ªO��y{|�������y{zd�����{~�¢"�{}©��}xz�|��{�I��w5z��9�¦�����v­§ � yFz�}x~�}Iz���~�}���yb�,�5�{}IzVªå��y{|�������y{z�R� � � }�� � � y¡�k�¦��}Izdz��{~ � � @ § � y w5��}��� K��Ö "t�� (,�<P/1� EHG@�6�72.,.G@�(��� � � � /H2 � � �HG@�_2F2�/�<�<[/1�S-�'(/7V344444445 44444446

# � � � ��n { � �Zk � q � � � n# � � � ��n { � �Zk � q� � � � n

# k � n!�!q���� � � n ����

� � k �|q � � k��!q � · v � � · � �� � � ���� $ ),+�k�·!n � � � q � � n/�2 k�· � ° �&q � � vÛ° � � �

´�p5p�º

$5<PG@+1�a�\<[/^�H� �"! #0$3�; G@+`3@+`/��M/ � 2�/ #:d(�B�?G@�(� 2.+ 'C,.2 � 'C+Q<[/\LF'5>&�(')#0!�+1,]-�'(/&v � Hy*/1��2������ �1,·� � · v · � ° �� � � v ° � � � ´�p@~bº

äXwá�{�I����y{z���~�w1������y��{}g|I}����{�I��~�¤I��}>}Iz���w9z�z�}��g�����I��}Iyb��w1��~�}�§ �[�¦��}g�k���¦�¦��z�}F���q���{}I����}Iy¡�@��}����{�I�1±~�¤I��}�À{�h���/w9~�����~d�{}��µ��}»¯k�{~�}Iz�z�����yá´�p1À¡º»§

®L���{z²|��{�9��z���z�z���y{zs�T�����{~ ��¶ {á}��ͰζɷE¸9¹á��}�¿�}I���{} ªå��y{|�������y{z �R� � � }�� � � z��k�¦�9w9y¡�>´å�b�9��~�a��Á��{~�}"#�Wbº 3444445 444446� � { �Zk � q[¶ � � k �|qZ¶ � � k �|qa¶A{

{ � � � · �Zk � q[¶ � ¹ � � vÞ·�· � � � · � � gv � � � v � n � � k �|qZ¶ � � k �|qa¶ � � vwk�· � �|q · � � �Zk � q[¶ � � k �|qZ¶�·!n � � k � qa¶ ·

· vwk � � ·1q ´�p@�bº

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4 5r

phipsi1psi2

� �� &#�W ���=G@�6�H2.,]G@�|� � � � � /�2 � � d)G5'C+ �g¶A{ /�2a°>¶�·E¸9¹�v ����y5h�©}I��w9~�¢q�{}! ß��yuwg�{~���ªO�I~��@�{~�}Iy{�{~�} ���yk�{|q�¶ ·b§��-yá} �_}����ß�����{~�|I}�����}���w1��}I�{~I������~�z�¢"�{} � / } {k����}�/�"¯@y¡�{���I~���¢"�{}QI /8 :< �{}«´�p9³bº[��}Iy{�@�b}I~�z j / v 7"j /A@ :< ¸ � § � ~I�q��y²��}I�k�T�k�I~��¦¬/}I~;¢q�{}��¡��}©°�±cz�|��{�I��w5wI�b}I|- B

Page 29: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

�{}Iz��/�"¯g�{�I|I}Iyb��~��Iz©}��d°>¶�·b�{¢"�k�ß�{��y{y/w1�¦�d�{}x¥���yg~��Iz��k�¦��w1��z7¢"�/w9y{� � / } {�´å�b�9��~ �a��Á��{~�}"#��bº»�{�{��y{y{}��}��"2I��}��/�"¯�§/v�}x�"2I��}��i��y �"�I~��¦¬/}�¢"�{}��k����~�z�¢"�{} � / } ���*�k��},�/�"¯ y¡�{���I~���¢"�{}OI /98 :< �{}�´�p9³bº;��}Iy{��b}I~�z�j / v 7�j /98;:< ¸ � ��¢q�k�[}Iz��x�{��y{y{��w9�{z�z��[�/w9~���}�°�±cz�|��{�I��w wI�b}I|��{}Iz,�/�"¯B�{�I|I}Iyb��~��IzP}��P°$¶ {k��¢q�k��{��y{y/w1�¦�«�{}@¥���yá~��Iz��k�¦��w1��z«¢"�/w9y{��� / } ��� ´å�b�9��~B�a��Á��{~�}*�bº»§XäXwgªO��y{|�������y �Þ�{~��I|I�I�{}Iyb��}Í}Iz�����}��¦��}¢"�{}������������6k�·1q�¶:{k��|I}­¢q�k�Zy���}Iz����/w9zLy{�I|I}Iz�z�w1��~�}5�����{~�wI�b�9��~��{y�z�|��{�I��wÍ������~��{~�}5À{�_��w1��zL|I}���w²~�}Iy{���}IzV�¦���5�¦��}I�{~�z©}Iy{|I��~�}P���9��y{zdw9|����¦ªåz7�/w9y{z7��}Iz��I��y{}Iz7�!~\jF}Iz��7~��IÁ��k�¦��¤I~�}�§

äß��~�z�¢q�{}P�µ����y>|��{�9��z��¦��°B¶�·E¸9¹@}�� �>¶B{k�/��}Iz©ªO��y{|�������y{z��R� � � }�� � � �"�I~��¦¬/}Iy¡�©��}Iz©�b£k���9���{¤Iz�}Iz��{����{�I��~�¤I��}Mp�w��b}I|���}Iz�|I��y{z���w9y¡��}Iz � � ¶�·b� � � ¶�· ��� }���� ¶ �¡¸9¹k§ � yá}IyB�{�I�{�k�¦�«¢q�{}5��}�z�|��{�I��w}»¯{�k�¦��|��¦��}�������~��{~�}�#�}Iy���}I���{z7}��7�k���¦�¦��z�w9y¡�d��}��/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}²´�p9³bº;}Iz��7����v z�� � � { � � � §/äß��~�z�¢"������y�k���¦�¦��z�}F��} z�|��{�I��w��{}��d�{y{Á�}»±�ix�k����wu������~��{~�}FÀ�´ �"2I��}F}Iy�y{��y'�¦��y{��w1��~�}sº ´�p!-�º»�-��y���¥{z�}I~��b}F¢"�{}g��}z�|��{�I��w���¥k��}Iy¡�>}Iz��7���Lv!z�� � � · � ��� §

�Lw9�{��}�����y{zV�µ��}»¯{�{~�}Iz�z�����yF�{� �/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}P�¦���5�¦����������~��{~�}�À��/w9y{z7��}�|�w9z7�!~\��� { ·� I ��� }/98;:< ¶wj / v · � ° �� �Zk � / q>7"j /98 :< v ° � � � k � / q � � k � /8 � q � k �"vÞ·1q>7"j / @ : < vAk � � ·1q>7�j /98� < � n�´X~5�bº

�!~g��}Iz � / z���y¡�7��}Iz7~�w9�{����~���zd�{}xÁ�~�w9�k��}Iy¡��z� / ¶ 7"j / @ :<7"j /8;:< �*a���{~R�µ� w9�k�b}I|�������y��¦��y{��w1��~�}��/w9y{z;��}L|�w9z � � {k�k��y²��~����k�b}�¢q�{}©�µ����y²��}I�k����}�����~�}�w9�Í���9��yb�V�{}d��w«�"2I��}

��w9yk��¤I~�}��{}Izd�¦���5�¦��}I�{~�zdz����5�¦��w1��~�}Iz�§iäß}��/�"¯gy¡�{���I~���¢"�{}Pz����I|I~���~�w�w1����~�z ·� I���� }/8 :< ¶Aj /98 � � · � ° �� �Zkmo / q>7"j /8;:< � ° � � � kmo / q � � kmo /A@ � q � k �"v*·1q>7"j /98 < vwk � � ·1q>7"j / @ :< � n�´X~�#Eº�!~g��}IzVªå��y{|�������y{z �R� � � }�� � � z���yb�d��}Iz7�"2I��}Izd¢"�{}x�{~��I|I�I�{}I����}Iyb����}��7��}Iz�o / z���yb�d�{��y{y{�Iz©�/w9~

o / ¶ 7"j /98 <7"j /98;:< �� y5�b�9�¦�-¢"�{}�|I}Iz-�{}I�"¯­}»¯{�{~�}Iz�z�����y{z-y{}�z���}»¯{�{~�����}Iyb�R�/w9z-z������k��}I��}Iyb�R|I������}V�{}Iz+�/�"¯­|I}Iy¡��~��IzT�{~���z}Iyb��~�}@�{}I�"¯N����w1��z«¢q��� �¦�-}Iz��x����z�z���¥k��}��{}��{��¬/yk��~�z�w9y{zV��y{�k��|�w1������yFz��{~���}Pz���Á�y{}x�{}3� §�äß}�z�}Iy{zx�{~��9ªå��y{��{}�|I}�����}���¥{z�}I~��9w1������yÛ}Iz��«��}�z��k�¦��w9yb�s Z��} �/�"¯$�{�I|I}Iy¡��~�� ������~��{~�} #�}Iz��5����v��/w9~�|I}g¢"��� �¦�VwE¿����k��}g�{}��w��k��_�{z�����y�§ � yBy{}���}I�k�Pw9�{Á���}Iyb��}I~Pz���yB��~��{~�}�¢q����}IyB~�wE¿����k��w9yb�­�{}5�µ� w9yb�����k��_�{z�����y�§a¨;}I|��-y{}@��}I�k�2���~�}�ª w1�¦��¢"��� wI�b}I|x�{ygz�|��{�I��w5�{}��c£k��}L�{�I|I}Iy¡��~���´m�/�"¯g�{�I|I}Iyb��~���}Iy¡��~�}x�{}I�"¯�y{���k�b}�w9�"¯g����w1��zV��yb��}I~����1±���Iz1�E�¦���5�¦���Iz��k���{z��{~��I|���z��I��}Iy¡��º�¢"�k�Zz�����}I|�������y{y{}5��}Izxz�}Iy{z��{}­�{~����/w9Ábw1������y��{}Izx|�w9~�w9|����I~���z�����¢q�{}IzP�����{~w9�{����~���}I~-�{y{}7�k��_�{z�����y��{}7z���Á�y{}V|I��y{z���w9y¡��§¡ç©��y{z��µ����y�y{}7�����{~�~�w��{~���¥/w9¥k��}I��}Iyb���/w9z-|I~��I}I~-�{y�z�|��{�I��w|I}Iyb��~�������v&������~��{~�}xÀ{§�*aw9~�|I��y¡��~�}��{|I������}©�����k� �/�"¯²|I}Iy¡��~��xz����I|I~��¦�;|I������}��{y �/�"¯²�{�I|I}Iy¡��~��x}Iyb��~�}�{}I�"¯�����w1��zx�IÁbw9�"¯Û´ �/w9~�|I��y{z�}I~���w1���¦�q�¦�����{� �/�"¯��{�I|I}Iy¡��~��sº»�ß��yB�����{~�~�w²�I|I~���~�}�y{�9��~�}�z�|��{�I��w�|I������}�{y �/�"¯g�{�I|I}Iyb��~���§

äß}Iz©�{}I�"¯��I¢"�/w1������y{zP´X~5�bºV}���´X~�#Eº���}I�k�b}Iy¡�©z����I|I~���~�}��i�����{~������k��}x��w1��}I�{~7�{} �/ I /98;:< ¶gI�� � j /8 :< � n�j /98 :< � � � � 8 j /8 :< � v�� @ j /98 :< � n ´X~V-�º

wI�b}I|j /98 :< � ¶wj / v · � ° �� �gk � / q>7�j /98;:< v ° � � � k � / q � � k � /98 � q � ��v*·� 7"j /A@ :< v � � ·� 7"j /98 < � ´X~�³bº

-@W

Page 30: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

}��j /8;:< � ¶wj /98 � � · � ° �� �Zkmo / q>7"j /98;:< � ° � � � kmo / q � � kmo /A@ � q � � � ·� 7"j / @ :< v ��vÞ·� 7"j /98 < � � ´X~9À¡º�©}I��w9~�¢q�{}! ���y �k�I~��¦¬/}I~�w@¥k��}Iy�¢"�{}��iz��2�µ����yF����}��L��}Izd�¦���5�¦��}I�{~�z5´å��}Iz©ªO��y{|�������y{z��R� � � }�� � � ºV�/w9y{z��}Iz[}»¯{�{~�}Iz�z�����y{z-�{~��I|I�I�{}Iy¡��}Iz��¡��y�~�}���~����k�b}V��} �/�"¯�|���w9z�z���¢"�{}V�����{~a�µ� w9�k�b}I|�������y@�¦��y{��w1��~�}7�{��° �/±c���"�{¤���}��

|���}Iz���±e�E±c�k��~�}P��},�/�"¯�yq�{���I~���¢q�{}«�{��y{y{���/w9~�´XW5~bºVw��b}I|x��}Iz7����w1��z7��y¡��}I~����9���Iz©y{��yg�¦���5�¦���IzP´XW5�E±�p@�bº»§

� �kq �P� Ó � � �.�OØb×kÕ����6 �� � o��ßrX×kÕ����� ����5r2Ö��6¡Ö1p

äXw'ªO��~��«�k��w1������y��{~��I|I�I�{}Iyb��}Ëz�������}Iy{� w9�{z�z��Pª w9|��¦��}I��}Iyb�N¢q�{}uy�� ��������~���}$¢"�{}��«z�|��{�I��w��{}��c£k��}â>ã ½ ¨;ä-§ � y��k���¦�¦��z�}I~�w0�áy{���k�b}�w9�*�{y{}FªO��~���}>�{�I|I}Iyb��~��I}N�����{~²�{}Iz �/�"¯����b}Iy¡���{}��¦��}I��}Iyb�F|I}Iy¡��~��Iz�§ç©��y{z��µ�{z����µ����y |��{�9��z��¦�7��}��/�"¯g�{} ���"�{�{y{���_�/¢q�k�2}Iz��7�{y��/�"¯ �{�I|I}Iyb��~����/��},�/�"¯ yq�{���I~���¢q�{}�zs���I|I~���~�w

I /8 :< ¶gI ���"�{�{y{��� � j /98;:< � n�j /98;:< � � n ´X~ B�º�!~²��}��/�"¯²yq�{���I~���¢q�{}��{} ���"�{�{y{���@}Iz����{��¬/yk�_}Iy>´d-5p�ºT}��R��}Iz�����w1��z;��yb��}I~����9���Iz����µ� ��y¡��}I~�ªåw9|I}�}��;�¦���5�¦���Izj /98 :< � }��Gj /98 :< � z���y¡�7�{��y{y{�Izd�/w9~�´X~�³E±x~9À¡º»§� �kq � # �S��t �2×{Ö1×(�Op7�6 2p ��¡p@ÖEoqpsr � Õ�×kÕ�p

� yNz�}5�{~�������z�}5�{}­|I�����/w9~�}I~���|��Z��}Izx~��Iz��k�¦��w1��zx��¥k��}Iyq�{zPwI�b}I|5��}5z�|��{�I��w��{~��I|I�I�{}Iyb��´µ°Ë¶�·E¸9¹�}���á¶:{bºLwI�b}I|5���Nz�w9y{zL�¦���5�¦��}I�{~�z�§_äß��~�z�¢"������y�����}��x��}IzL�¦���5�¦��}I�{~�z�����}5z�|��{�I��w²}Iz��L�¦��y{��w1��~�}I��}Iy¡��z���w9¥k��}¿��{z�¢q���.� � � ��� { � §X¨;}I��}Iy{�/w9yb���ß�����{~L��w²�{��y{y{�I}5��yk�¦����w1��}��{~�������z��I}�}IyË´µ³5�bº»�_�{��yb�x�µ���{yk��¢"�{}�z��9���k������y}Iyb��~����k��¢"�{}�¥���~�y{�I}Í}Iz��­�{}Iz�z���y{�I}@}Iy �a��Á��{~�}²³k�2��}@z�|��{�I��w�}Iz��P��y{z���w9¥k��} �F�/w9~�����~­�{��������}Iy¡���!~���}|��{�"|�z���w1������y{y/w1��~�}�w9�{�/w9~�w������k}��V|I}���w«�����{~R�����k��y{���«¥{~�}x�{}�¨;���{~�w9y¡� � §"äXw­z��9���k������y �3o-¶ � y{}���}I�k��/w9z"2���~�}���¥k��}Iy¡�{}�§-v�}��k���{z��Z��yË��¥k����}Iyb�������{~ � ¶ · � ¹N�{}Iz�z��9���k������y{z5��yb��}I~����I�k��w1��~�}Iz²|I��������~���w9y¡��{}���~�¤Iz©ªå��~���}Izd��z�|��¦�¦��w1������y{z��/w9~�w9z��¦��}Iz�§�äß}�ª w1�¦�©¢"�{}���}«z�|��{�I��w²y{}Pz��9�¦�d�/w9z©����vDw@�{}Izd|I��y{z��I¢"�{}Iy{|I}Iz�k���{zVÁ�~�wI�b}Izd}IyÍy{��yÍ�¦��y{��w1��~�}�´ Â��{~�Á�}I~�z�º;¢"�{}©�����{~;�µ� w9�k�b}I|�������yg�¦��y{��w1��~�}�§�*a���{~��µ���I¢q�/w1������yg�{}�Â��{~�Á�}I~�z��|��/w9¢"�{}���}����¦��}���z�|��¦�¦��w1������y |I~��I}x�{}IzV|��{�"|Iz7}��7�{}IzV�{����}Iy¡��}Izdz��{�{�k���I��}Iy¡��w1��~�}Iz�§i®L�9����y{zV�IÁbw1��}I��}Iyb�L¢q�{}|I}Iz-��z�|��¦�¦��w1������y{zT�/w9~�w9z��¦��}Iz-��yb�T��}Iy{�/w9y{|I}���}Iyb��~�w1��y{}I~R�{y{}��¦���5�¦��w1������y���y¡�k���¦��}©�{���/w9z-�{}���}I���{zg��|�w9�{z�}�{}�´d-@�bº»§

ä-� wE¿����k�g�{}F�¦���5�¦��}I�{~�z w9z�z��{~�}>¢"�{}>��}�z�|��{�I��w$}Iz������Lv ´ �����{~²��}>z�|��{�I��w$}»¯k�k�¦��|��¦��}N}Iy���}I���{z������~��{~�}�#Eº»§ *a���{~T��}©z�|��{�I��w«�{} �©�{y{Á�}»±�ix�k����wP������~��{~�}LÀ@´�p!-�º»�q��y@��¥{z�}I~��b}L¢q�{}7��}dz�|��{�I��wP~�}Iz���}©���Lv¿��{z�¢q���.� �ij � · � ��� § � y���¥k����}Iyb���{}Iz�����w1��zL��yb��}I~����I�k��w1��~�}Iz�z���yb�x�����{~ � ¶�· � ��� z�w9y{z���z�|��¦�¦��w1������y{zx}���{~��"|��{}Izd�{}x|I}I�"¯ �{~��Iz�}Iy¡���Izd}Iy �a��Á��{~�}"#�À{§

vxw9y{zR��wxz��k�¦��}��¡��y²|I�����/w9~�}d��}IzR�k����I~�}Iy¡��zRz�|��{�I��w9z����Lv��{~��Iz�}Iyb���Iz;�/w9y{zR|I}©~�w9�{����~���§qÙc�i|I��y¡�q��}Iy¡��{}5ª w1��~�}­�{y{}�w9y/w1�¦£kz�}�w9z�z�}��­¬/y{}��{}­��}I�{~x}�¼�|�w9|��¦��� ´ ����w1���/w1������yB�{}IzxÁbw1��y{z�}IyN�{~��I|���z�����yá}��x�{}Iz�w9�{Á1±��}Iyb��w1������y{zL�{}Iz7|I���k��z©�{}x|�w1��|I�k� º»§

-5p

Page 31: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� � ��@a�R��@a@��r���

vxw9y{z |I}�����}uz�}I|�������y��7��y�z�}B�{~�������z�}á�{}B|I�����/w9~�}I~F��}Iz ��}I~�ªå��~���w9y{|I}IzF�{}Iz>�k����I~�}Iy¡��zFz�|��{�I��w9z|I��y{z����{�I~��Iz�§ZäXw>|I�����/w9~�w1��z���yÛ}Iz��«ªåw1�¦��}Í�{}Í��wF��w9yk��¤I~�}�z��k�¦��w9yb��}! Z�����{~«|��/w9¢q�{}�|�w9z�±µ��}Iz����2��y$z�}²¬k¯k}�{y�|I}I~���w1��y>��}I���{z��{}­|�w1��|I�k�g�D�����{~©ªåw1��~�}«��w@z����P�k��w1������yNy¡�{���I~���¢"�{}�§ � y>|��{�9��z��¦�x�/w9y{zd�����{zL��}Iz�|�w9z��}�y{���«¥{~�}@�{}²¨;���{~�w9y¡� � ��wE¯k����w1�R¢"�k�Tw9z�z��{~�}���wg�{�I|I~��9��z�z�w9y{|I}²�{}���wÍ�9w9~���w1������y����9��w1��}�§ � y�wE¿��{z���}��}P�/w9z©����}Iz��/w9|I} 7"l$´å��}«��w1�¦�¦��w9Á�}«}Iz��d�����1¿����{~�zLz��{�{����z���~��IÁ��k�¦��}I~�ºd�����{~7¢"�{}x��}P��}I���{z©�{}«|�w1��|I�k�2z��9�¦��IÁbw1�;����w²��w1��}I�{~L¬k¯k�I}�§_v5���{y{}5��w9yk��¤I~�}­Á��Iy{�I~�w1��}���|I}­��}I���{zx�{}­|�w1��|I�k�-��}I�k��z���}»¯{�{~�����}I~�}Iy>ªå��y{|�������y�{�g��}I���{zV¬/y/w1� �{�{} � }��7�{}27"lFz����{zV��w5ªå��~���}

�&¶&¨ z���} � 7�l � � ´X~5Wbº�-y{z��k�¦��}�����y |I�����/w9~�}x��}Iz©�k����I~�}Iy¡��}Iz©z��9���k������y{zLw9�{�{~��q|��{�I}Iz©��¥k��}Iyq�{}IzLw��b}I|x��w�z��9���k������y>}»¯{w9|���}�§içd¬/y�{}g~�}Iy{�{~�} ����z�z���¥k��}��{y{}g|I�����/w9~�w1��z���yÛ¬/y{}��T��y'w���yk�¦����w1�¦��z�����w��9w1��}I�{~�w9�{�{~��"|��{�I}4j / �{} j��/w9y{z���w|I}��¦���k��} 1;wI�b}I|x��w5���s£b}Iy{y{}P�{}x��w5z��9���k������yF}»¯{w9|���}3� o-¶A{k§/v�}x�"2I��}�����yg|I�����/w9~�}������1¿����{~�zV��w�z��k�¦��}j / �{}IzV��w1��}I�{~�z7�k��z�|I~�¤���}IzLw9�{�{~��q|��{�I}Iz �­��w5z��k�¦��}�j��/©�{}Iz7���s£b}Iy{y{}Iz©z��{~V|��/w9¢q�{}P|I}��¦���k��}��{}���w5z��9���k������y}»¯/w9|���}�§� y |I������}Iy{|I}«�/w9~V|I��y{z����{�I~�}I~7�µ� w9�k�b}I|�������yu´��7¶�·Eº;�����{y{}x��w9Á��{}�~��IÁ��k�¦��¤I~�}

j } kml�qa¶t· { � � l � k�· � l&q � z��&{ ��l ��·b�{ z���y{��y�§ ´X~�p�º

äXwͪå��y{|�������y$j } }Iz���¢"�/w1��~�}5ªå�9��z�|I��yb����y �{��}Iy¡�­�{�I~��¦��w9¥k��}�§ßç©��y{z��µ���µ� w9y/w1�¦£"z�}@}IyB�I¢q�/w1������yá�I¢"�k�¦��w1��}Iyb��}}Iz��R�¦��|��¦��}�§|*a���{~T��}Iz;z�|��{�I��w9zR�¦��y{��w1��~�}Iz�������~��{~�}LÀ­w��b}I|��/�"¯@|I}Iy¡��~��Iz����²������~��{~�}�³Pw��b}I|��/�"¯@�{�I|I}Iy¡��~��Iz��z�w9y{zR�¦���5�¦��}I�{~�z��"��}d���{�I��~�¤I��}��{}�äXwE¯²zs� w9�{�k�¦��¢q�{}! q��wP�k��_�I~�}Iy{|I}�Á9����¥/w1��}�}Iyb��~�}L��wPz��9���k������y²}»¯/w9|���}�}��R��wz��9���k������y�w9�{�{~��q|��{�I}�w9�²¥����k�R�����{yÍ��}I���{z;¬k¯{�d}Iz����{}d�µ����~��{~�}L�{}�7�l � § � y@�k�I~��¦¬/}Lw1��z��I��}Iyb�V¢q�{}L|���}Iz��¥k��}Iyg��}�|�w9zs§h*aw9~d|I��yb��~�}����{y{}�}»¯k�{�I~���}Iy{|I}Py¡�{���I~���¢"�{}«����y¡��~�}P¢"�{}��µ� w9�1¿���y{|�������y��{}��¦���5�¦��}I�{~�z��i¢"�{}�|I}z��9�¦�Z���µ����~��{~�}L³����@À{�¡�{~��"�{�k�¦�R�{y{}©}I~�~�}I�{~T¢"�k�iy���}Iz��;�/w9zR������~��{~�}L³�����À{§|�-y�ª w1�¦���b��}IzRz�|��{�I��w9zR�¦���5�¦���Izy{}xz���y¡�7¢q�{}�������~��{~�}"#�w9�k�����{~V�{}Iz7}»¯k��~�}I��wk�{}��V�µ��}I~�~�}I�{~V�{~��q�{�k�¦��}x}Iyg|I}IzV���9��yb��zd}Iz��V�{~��I����y{�{�I~�w9y¡��}�§

®L���{z;w1�¦����y{z;|I�����/w9~�}I~I� �x���¦��~�}©��y{�k��|�w1���¦ªÚ�q��}IzT}I~�~�}I�{~�z���� w9�{�{~��I¯k����w1������y{zV�{~��"�{�k�¦��}Iz;�/w9~R�k����I~�}Iy¡��zz�|��{�I��w9z�§ � y²����yb��~�}Lz��{~[��}d�aw9¥k��}�w9�4#d��}IzT�/w9~�w9��¤���~�}Iz��{}IzT�k��_�I~�}Iyb��}Iz�z����«�k��w1������y{z��I¿��{z�¢"��� w9����}I���{zo-¶�·b§

½ |��{�I��w � ~��{~�}IzP´å��}I���{z��/}Iz��/w9|I}sº �¦���5�¦��}I�{~�z ����v � 7"l �Ó � �Ui3-Í´µ³�p�º -«± - �Tw9y w1��¥/w9�/w ´XW5�bº ���k� #b§ �5� �k§ �5��#!#6- #��k§ �9ÀÓ q �Ui�³�´XW�³bº ³­±R³ ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}�´XWV-�º ���k� �k§ ��³ �k§ �5��#6- B �k§ �V-Ó � �Ui�³�´XW�³bº ³­±R³ y{���k�b}�w9�á´XW�p�º ���k� #b§ � B �k§ �5��#!#�W �k§ ��pÓ # �UixÀg´�p!-�º À5±TÀ ´�p@�bº�}���´X~�³E±x~ B�º ���k� #b§ -@~ �k§ �5��#s³�# #��k§ �5�

����� &# �!- $@+�$5# �H2.+`/1� 3K/1�B3@, �U! +?/ �_2�/1�^� ,�# '"<T$52.,]G@�|�cd)G5'C+S<�; $�3@R /`�72.,.G@� <b,���!H$@,�+`/�h

�Z¯/w9�5��y{��y{z[|I}IzZ~��Iz��k�¦��w1��z�§9®L���{zaw��b��y{z[|I�����/w9~�����}Izaz�|��{�I��w9za�¦���5�¦���Iz[������~��{~�}G-"�1³©���5À©}Iy­}Iz��/w9|I}���k���¦�¦��z��Izdw��b}I|��{y z�|��{�I��w�}Iy���}I���{zd�{�g�"2I��}P��~��{~�}��/z��9�¦�7~�}Iz���}I|����¦�b}I��}Iyb�©��}Iz7z�|��{�I��w9z«´µ³�p�º»�ß´XW�³bº�}��´�p!-�º»§ � y²wx�����1¿����{~�z;|I��y{z���w1���©¢"�{}��|����}I���{z��{}d|�w1��|I�k�_�IÁbw1�µ�q��y²y�� w��/w9zR��yb���I~p2��G���k���¦�¦��z�}I~R�{y²z�|��{�I��w}Iyg��}I���{z7�����{y{}P�{~��I|���z�����y z��{�{�I~���}I�{~�} �5|I}��¦��}��{� z�|��{�I��w�}Iy }Iz��/w9|I}�§

½ �{~���w �a��Á��{~�}"# p"�{��yg����y¡��~�}��/�����{~���}Izd}»¯k�{�I~���}Iy{|I}Iz Ó q�� Ó � }�� Ó #X�k��}Izd}I~�~�}I�{~�z � � }�� � � �{}���wz��9���k������yNw9�{�{~��q|��{�I}�w9�F|I���{~�z��{�F��}I���{zs§iäß}Iz�}I~�~�}I�{~�z���¥k��}Iy¡�{}Iz������{~d�µ��}»¯{�{�I~���}Iy{|I} Ó ����¢"�k�2��yb����������5��z�}Iz��{z���yb�d¥�}�w9�{|I���{�F�k���{zV��������~���w9yb��}Iz­´å�����1¿����{~�z��5��}I���{z7�{}�|�w1��|I�k�2�IÁbw1� º»§

-@~

Page 32: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t

f(u)=u - Erreurs L1

Exp. A2Exp. A3Exp. A4

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t

f(u)=u - Erreurs L2

Exp. A2Exp. A3Exp. A4

���� i# p � �4+ +`/ ')+1�U� � /�2=� � d)G@')+S<[/1�^�1,�# ')<P$52.,]G@�|� Ó qD� Ó � /H2 Ó #�h

-@�

Page 33: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

½ �{~�|I}g|�w9z���}Iz����¦��y{��w1��~�}��T��yÛ~�}I��w9~�¢"�{} ¢"�{}���} z�|��{�I��wB�¦���5�¦���4�N�/w9~�����~��{�Ûz�|��{�I��wá������~��{~�} Àz�}I�«¥k��}Í�{y$��}I���k���{z5}�¼�|�w9|I}²¢"�{}²��}²z�|��{�I��w �¦���5�¦����������~��{~�}g³á´XW�p�º»�Z|I}����k� ±c|�������w9yb����� w1�¦�¦��}I�{~�z��k���{z}�¼�|�w9|I}­¢q�{}P��}��¦���5�¦��}I�{~L�{} ½ ��}I¾q~�}�� ¿�z�}@´XWV-�º»§�äß}Iz©�¦���5�¦��}I�{~�z©��y¡��~��q�{�k�¦��zL��|��µ��¢q�k�a~�}Iy{�{}Iyb�L��}Iz©z�|��{�I��w9z����v­�[�{�����I~�����~�}Iy¡�@��wN�{~��I|���z�����y��{}Iz�z�|��{�I��w9z��T}IyÛÁ�~�w9y{�{} �/w9~����/w9~�|I} ¢"�{}g|I}g|�w9z5��}Iz����k���¦�¦��z�}g�{y{}�{��y{y{�I}²��yk�¦����w1��}���~�¤Iz­~��IÁ��k�¦��¤I~�}��2}�����wFz��9���k������y�}»¯/w9|���}@~�}Iz���}@�IÁbw1��}I��}Iyb�5��~�¤Iz«~��IÁ��k�¦��¤I~�}Íw9�u|I���{~�z«�{���}I���{z�§ � ~I�Z�µ����y�z�w1�¦��¢q�{}���}Iz@z��9���k������y{z@�{}Iz�z�£"z���¤I��}Iz@�b£k��}I~�¥��9�¦��¢q�{}Iz@y{��yÛ�¦��y{��w1��~�}Iz@y{}���} ~�}Iz���}Iyb��/w9z�����y{Á9��}I���{zs§XÙ��-|I��yb�"��}Iyb�5�{��y{|��{}�z�� ��y¡���I~�}Iz�z�}I~«w9�{z�z��Z�g�{}Iz�|�w9z�±µ��}Iz���zP�k���{zP��~�~��IÁ��k�¦��}I~�z��X�����{~��{}Iz�I¢"�/w1������y{zdy{��yg�¦��y{��w1��~�}Iz�§

*Zw9z�z���y{zL��w1��yb��}Iy/w9y¡�3���{yF|�w9z�±µ��}Iz��©�����{~7�µ���I¢"�/w1������y>�{}«Â��{~�Á�}I~�z�§ � y>|��{�9��z��¦�L��w��{��y{y{�I}«��yk�¦����w1��}´µ³5�bº��{��y¡�«�µ���{yk��¢"�{}�z��9���k������yu}Iyb��~����k��¢"�{}²¥���~�y{�I}������{~�o � { }Iz��P~�}I�{~��Iz�}Iy¡���I}²z��{~���w��a��Á��{~�}@³k§ � y} �_}I|����{}P��w@z����P�k��w1������y²¿��{z�¢q���.��o;¶ � �i�!~>��}P|��{�q|­z���w1������y{y/w1��~�}­}Iz��©�{�Ú¿��@w9�{�/w9~���}Iy4l>¶B{k§�vxw9y{zd��wz��k�¦��}��"��y²zs� w9~�~�w9y{Á�}I~�wP�����1¿����{~�z������{~;¢"�{}d��}©|I}Iyb��~�}x�����{y{}L|I}��¦���k��}Lz��9�¦�;}Iy l�¶A{k�kw1¬/yÍ�{}©��}�����~�}L�����{z��}Iz�z�|��{�I��w9zx´ �k���¦�¦��z��Iz�w��b}I|��k����I~�}Iy¡��zV�/w9z;����}Iz��/w9|I}sºTz��{~R�{yÍ�"2I��}��k��}I�Í�����IÁbw1�¦�¦���������{~R|I}�¢"�k��}Iz��;�{}��w5����z��¦������y �{� |��{�q|xz���w1������y{y/w1��~�}�§� y5����yb��~�}dz��{~a��};�aw9¥k��}�w9� -d��}Iz[�/w9~�w9��¤���~�}Iz-�{}Iz[�k����I~�}Iy¡��}Iz-z����«�k��w1������y{z�§�Ù�|��{}Iy{|I��~�}�����y�wL}Iz�z�w�£"�

½ |��{�I��w � ~��{~�}Iz«´å��}I���{z��/}Iz��/w9|I}sº �¦���5�¦��}I�{~�z ���Lv � 7�l ��*� ��i3-Í´µ³�p�º -P± - �Tw9yFw1��¥/w9�/w ´XW5�bº ���k� #b§ �5� �k§ �5��#�~ B W5�k§ -@W� q ��i�³�´XW�³bº ³«±;³ ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�´XWV-�º ���k� �k§ �5W �k§ �5�V-!- B W5�k§�À�~�O� ��i�³�´XW�³bº ³«±;³ y{���k�b}�w9��´XW�p�º ���k� #b§ � B �k§ �5�V-|#s³ W5�k§ �5�� # ��ixÀg´�p!-�º À­±RÀ ´�p@�bº�}��«´X~�³E±x~ B�º ���k� #b§ -@~ �k§ �5�V-@~5� W5�k§ -@�

����� �- � -e$@+`$@# ��2.+`/ �O3K/1�B3@, �U! +?/ �_2�/1�S�1,�#O'"<P$52.,.G5�|�Fd"G@'C+O<�; !H-�'|$52.,]G@� 3K/�e')+%��/ +1�Hh�����{zL��}Izxz�|��{�I��w9z�w��b}I|5�k���{z���}I�{~�zxz�|��{�I��w9zx}Iy���}I���{z�§_Ù��2z���}Iz��©�����1¿����{~�z�wI�k�I~��­��y¡�k���¦��}������k���¦�¦��z�}I~��{y{}�{~��I|���z�����y­}Iy���}I���{zaz��{�{�I~���}I�{~�} �V��w7�{~��I|���z�����y«}Iy«}Iz��/w9|I}�§sv5� w9�k��~�};�/w9~����s��}IzX�¦���5�¦��}I�{~�zaz���yb�Zy{�I|I}Iz�z�w1��~�}Iz�����{~­��}Iy{}I~���¥k��}IyË|I}�����}gz����«�k��w1������y��[��}Iz�z�|��{�I��w9z�y{��yË�¦���5�¦���Iz�~���w9Á9��z�z�w9yb���/w9~�����|I�k�¦��¤I~�}I��}Iy¡�²��w1�´ }»¯{�k����z�����y y¡�{���I~���¢"�{}sºG�­�µ� w9�{�/w9~��¦������y��{�g|��{�"|�z���w1������y{y/w1��~�} � o[¶ � ��� �b§¨;�����/w9~���y{z;��}IzT~��Iz��k�¦��w1��zR�{}Iz;}»¯k�{�I~���}Iy{|I}Iz �&��� � #X§V*a���{~ � �²}�� � #X�¡��y²w��k���¦�¦��z��7��}IzTy{���k�b}�w9�"¯

�¦���5�¦��}I�{~�zL�{~�������z��Iz©�/w9y{zd|I}«~�w9�{����~���§ � yFw�~�}I�{~��Iz�}Iy¡���«z��{~7��w0�a��Á��{~�}�#�~5��}Iz©}I~�~�}I�{~�zU� � }���� � �����{~�����k��}Iz7��}Izd}»¯k�{�I~���}Iy{|I}Iz�§� y���¥{z�}I~��b}��������{~Z��}Iz-�{}I�"¯5}I~�~�}I�{~�z��b¢"�{}R��}IzTz�|��{�I��w9z[�¦���5�¦���IzT������~��{~�}d³L����Àxz���yb�[��~�¤Iz-y{}�����}I��}Iy¡�z��{�{�I~���}I�{~�z5w9��z�|��{�I��w ������~��{~�} -gwI�b}I|Í°�¶æ·E¸ � �¦���5�¦���Iz­�/w9~���w�ªå��y{|�������y��{}@�Tw9y�ç©��¥/w9�/wá´ |I}����k� ±c|��z��{�{����~���}���� w1�¦�¦��}I�{~�z©w9z�z�}��x��w1�ß��w5~�}Iy{|I��yb��~�}«�{}Izd|��{�q|Iz7}��©�{}Iz7�{����}Iyb��}Iz���o[¶ � �Eº»§

¨;������}5��y>�µ� wI��w1�¦�L�k���{~��I|I�I�{}I����}Iyb���_��}­y{���k�b}�w9�>�¦���5�¦��}I�{~x�����{~©��}«z�|��{�I��w@}Iy �/�"¯F�{�I|I}Iy¡��~��IzwI�b}I|�°$¶�·E¸9¹�}Iz��x�k���{z�}�¼�|�w9|I}�¢q�{}­��}«�¦���5�¦��}I�{~x�{} ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�§�Tyk¬/y�����}Izxy{���k�b}�w9�"¯��¦���5�¦��}I�{~�z��5��zw9�F���9��yb��z������{~7��}Iz �/�"¯F|I}Iyb��~��IzxwI�b}I|5°B¶D·E¸9¹@z���� �_~�}Iyb���{~���¥/w9¥k��}I��}Iyb���{}P��w������{~��{}I�{~L�{�>z�|��{�I��w}Iy���}I���{z�§/®L��w9y{���9��y{z��/|I}Izd~��Iz��k�¦��w1��zdy{}xz���y¡�d¢"��� ��y{�k��|�w1���¦ªOz��i�{�k��z�¢q�{}���w5�k����I~�}Iy{|I}��{}Pz���~��{|����{~�}��{}Iz�{}I�"¯uz�|��{�I��w9z5y{}²��}I~���}��­�/w9z­��� w9z�z��{~�}I~­¢"�{}���}Iz5|I�q�{}Iz­�k���¦�¦��z��Iz­��yb��}»¯/w9|���}I��}Iyb�5��}²�"2I��}Íyk�¦�b}�w9��������k�����5��z�w1������y�§Rã©y{}g�����{�{}>z��{~��{}Iz�z�£kz���¤I��}Iz��b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz@}Iy'w9�'���9��y{z²�{}I�"¯Ë�k����}Iy{z�����y{z@}Iz��y{�I|I}Iz�z�w1��~�}P�����{~V�����k�b�9��~7|I��y{|����{~�}Pz��{~��µ��}�¼�|�w9|��¦���P�{}Iz7�k��_�I~�}Iyb��z©z�|��{�I��w9z�§

³5�

Page 34: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

0.001

0.01

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5t

f(u)=uu/2 - Erreurs L1

Exp. B1Exp. B2Exp. B3Exp. B4

0.001

0.01

0.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5t

f(u)=uu/2 - Erreurs L2

Exp. B1Exp. B2Exp. B3Exp. B4

� �� &#�~ � �c+1+?/ ')+a��� � /�2�� � d"G@'C+O<P/ �:� ,�# '"<T$�2.,.G@�(� �&� � � #�h

³�#

Page 35: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� � ���C;�3@������@ <���� @���@����;EFC+@ C;����=r��@��rC;�3�@A��rEFC;�3@������@

äß}Iz��{}I�"¯²z�|��{�I��w9z7wI�b}I|L�¦���5�¦��}I�{~�z;��yb��~��"�{�k�¦��zV�/w9y{z�|I}©~�w9�{����~��V��}I�k�b}Iy¡�Vz����I|I~���~�}Iyb�Vz����{z;��wPªO��~���}�����{y�z�|��{�I��wx|I��y{z�}I~���w1���¦ªÚ���!~5��}Iz;�/�"¯�w9�"¯5��yb��}I~�ª w9|I}IzTz���}»¯{�{~�����}Iyb�;|I������}7�{y��/�"¯�y¡�{���I~���¢"�{}d�{�I|I}Iy"±��~��T}Iy¡��~�}��{}I�"¯P����w1��z �µ�¦���5�¦���Iz����1¢"�k�qz���y¡�a}I�"¯"±c�"2I��}IzaªO��y{|�������y{za�{}Iz2Á�~�w9y{�{}I�{~�zZ}Iyd¿�}I�«}��2�{}Iz2�¦���5�¦��}I�{~�z�§ç©��y{z��µ�X|I}Iz­z�|��{�I��w9z5z�������}Iy{�{}Iy¡�­z�w9y{z­w9�{|I�{y{}Í�k�¦¼�|I�k�¦���Íw9�"¯��I¢"�/w1������y{z5�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz«z�|�w1��w1��~�}Iz5}Iy�k���{z���}I�{~�z«�k����}Iy{z�����y{zP����}Iz��/w9|I}�§2äß}Iz��k��_�I~�}Iy{|I}IzP¬/yk��}IzP�{~��Iz�}Iyb���Iz«��|��T��}I�k�b}Iyb��2���~�}@~�}I���k��w9|I�I}IzP�/w9~�{}Iz�Á�~�w9�k��}Iyb��z7���s£b}Iy{y{�Izdz��{~R��}Iz�|I}��¦���k��}Iz7}Iy²�b�9���{��}IzV¬/yk��z����Í�/w9~��{}Iz�Á�~�w9�k��}Iyb��zd�{�I|I}Iyb��~��Izd�k���¦�¦��z�w9yb��{}Iz©��~���w9y{Á9��}Iz���w9����y¡���«��� ��wI��w1� � '(#!#s)µ§a*a���{~L��}Iz©z�£"z���¤I��}IzL}IyF�k���{z���}I�{~�zL�k����}Iy{z�����y{z�����y������{~�~�w��/w9~}»¯{}I���k��}��¦���5�¦��}I~�|I��������z�w9yb��}²�/w9~P|I��������z�w9yb��}��2}��P�{~�}Iy{�{~�}@�����{~x�¦���5�¦��}I�{~P��}��5��yk���P�{� �{}Iz��µ�¦���5� ±��}I�{~�z��/w9~©|I��������z�w9y¡��} �«��¥k��}Iy¡�{zs��|I}­¢"�k�a}Iz��L|���w9z�z���¢"�{}«��w1��z�~���z�¢"�{}­��� ��yb��~��"�{�k��~�}��{yF���IÁ�}I~L}»¯k|I¤Iz��{}�k��_�{z�����y y¡�{���I~���¢"�{} '(#6-6)µ§

ä-� w9�{�k�¦��|�w1������y��{}>|I}Iz@�¦���5�¦��}I�{~�z\���{}Iz²z�£"z���¤I��}IzÍ�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}Iz@�¦��y{��w1��~�}Iz�}���y{��y��¦��y{��w1��~�}Iz�}Iy�k���{z���}I�{~�z©�k����}Iy{z�����y{zd����}Iz��/w9|I}P}Iz��d}Iyg|I���{~�z�§ � yF�����{~�~�w�w1��y{z��ß�"�I~��¦¬/}I~dz�����}��¦���5�¦��}I�{~P´XW�p�ºVw9�{�k�¦��¢"�{�w9� z�|��{�I��w��{�I|I}Iyb��~��«������~��{~�}P³�~�}Iz���}x�k���{z©}�¼�|�w9|I}�¢"�{}���}�z�|��{�I��w�|I}Iyb��~��P������~��{~�}PÀ5�¦���5�¦����§

� �Tâ4� �V¨;Ù �Tâ �-®L� ½®L���{z-��}Iy{��y{z �x~�}I��}I~�|���}I~I�"�����{~T��}I�{~Tz����k����}Iy²z�w9y{z[ª w1�¦�¦��}��¡äß���k��wB�/}��I���k�µ�¡¢"�k�iy{���{z�w�ª w1�¦�R�/w9~���w9Á�}I~

z�}Iz�|I��y{y/w1��z�z�w9y{|I}@}Iy �Ú¨4�Zv���ß}�� ½ ���{�k��}²v�}I��}�£k~�}��ßz����{~�|I}���y¡��w9~���z�z�w9¥k��}²�{}��{��y{y{�I}IzPz��{~���wgz���w9¥k�¦�¦�¦����¦��y{��w1��~�}��{}Iz©�k�¦�b}I~�z7z�|��{�I��w9z©�k���¦�¦��z��Iz�§

³V-

Page 36: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� 9���9+��C;���MC+@'(#�)Pç­§�%Lw9~���}Iy�§+%©��Á�� �d}Iz��9���k������y ½ |��{}I��}Iz©ªO��~ %©£"��}I~�¥��9�¦��|P¨;��y{z�}I~��9w1������y ä2wIÜ7z�§��CG@')+1�6$�<=G�E���G@# N

d_'"2X$52.,]G@�6$5<%-4��� �1,]� �»�/À�� ³ B5p �"³5��³k�&#��5~�³k§'.-6)PÂ�§��Tw9y äß}I}I~I§ �X�sÜ;w9~��{z����{}áã©�¦������w1��}$¨;��y{z�}I~���w1���¦�b}ávL���}I~�}Iy{|I} ½ |��{}I��}uÙ�Ù> Vâ>��y{�9����yk��|��¦�c£w9y{��|I��y{z�}I~���w1������y>|I���«¥k��y{}I�N��y�w@z�}I|I��y{�>��~��{}I~�z�|��{}I��}�§�CG@')+1�6$�<�G�E��G@#:d_'"2X$52.,.G5�6$5< -4��� �1,]� �»�#�À� ³5W�# �"³�p@�k�&#���p1À{§

'�³/)3*a§|i�§ ½ ÜR}I¥¡£b§g%©��Á��Í~�}Iz��9���k������y z�|��{}I��}Iz©�{z���y{Á��/�"¯²�¦���5�¦��}I~�zdªO��~��¡£"��}I~�¥��9�¦��|x|I��y{z�}I~��9w1������yg��w�Ü7z�§�� �� �� 'C#*/ +7h � �6$5<[h��a-|#b´�B�º� �5� B �a#���#!#b��#��5~9À{§' À1) ½ §*2§ ½ ��}I¾"~�}�� ¿�z�}�§ '"<T2., � + ,]3 6G5<b')2.,]G@��G`EO2��"/�_2�/`$�3��'�c')<[/ + �e-�'|$52.,]G@�|��§�*-�{vD���{}Iz���z��_¨;}Iy¡��~��{��b�"��~�à���z�¾q�{y{�{}�}IygÙÚykªå��~���w1����|�wk�/ç©��z���}I~��/w9�g�i®L���_§�#��5~�p"§

' B6)2�«§ �;§1à�w9~��5��y{ÁPw9y{�%��§!%©£b}�����§/�V�{}V���"�k�¦¬/}I��}I¢q�/w1������y�w9�{�{~��bw9|������L���{}Vz���w9¥k�¦�¦�¦��£�w9y{��w9|I|I�{~�w9|�£w9y/w1�¦£kz���z��9ª�¬/yk�¦��}»±c�k��_}I~�}Iy{|I}F��}����{�"�{z�§��CG@'C+ �6$5<UG�E���G@#:d_')2X$�2.,.G@��$5< -F��� �1,]� ��� #�À{´d-�º� # B@���a# p@�k�#���p1À{§

' W/)2�«§��{§�äß}c�-}I¢q�{}�§ � ')#*/ +1,]�?$5< /H2��)G73 � E�G5+���G@�|�7/ + R $52.,]G@� ��$����»§!äß}I|����{~�}Izg��y�â�w1���{}I��w1����|Iz�§Â;��~�¾"���� w9�{z�}I~V�-}I~���w9Á{�h�-��%����{~���|�����#��5�5�k§

' p6)Pç­§ %Lw9~���}Iy����/§/â�§�%©£"��w9y��/w9y{� *a§/v5§{äXwE¯�§ � y�¬/yk�¦��}»±c�k���}I~�}Iy{|I}­w9�{�{~��I¯k����w1������y{zLw9y{�g}Iy¡��~����b£|I��y{�k�¦������y{zdªO��~Vz��{�"|�¾"z�§���G@# #*h -4')+`/ � d�d6<[h $52��"h��a-"´d-@�bº� -@��p �"³V-!-"�&#���p@Wk§

' ~/)PÂ�§"äXw9~�~����k���{~�����§ G73K!�<b,���$52.,]G@� #0$52��"!�#%$�2.,.-�'(/S/H2��(')#0!�+1,]-�'(/4d)G@')+Q<[/1���H��,]/��6�a/1�S3K/f<�; ,�� �K! �(,X/ 'C+�§�-|I�9��}3*2�9�¦£"��}I|��{yk��¢"�{}��&#��5� B"§' �/) ½ §�vL}I��}�£k~�}��/Â�§iäXw9~�~����k���{~�������w9y{�)�«§�¨�w9~���}Iyb����}I~I§dâ>�����{�q�{}IzLy¡�{���I~���¢"�{}IzL�{�I|I}Iyb��~��I}Izx������~��{~�}����}��k�x}Iy �{}I�"¯g�k����}Iy{z�����y{zd����}Iz��/w9|I}�§ e$ d�d"G@+ 2c3K/ /`���"/ +`� �"/��/� ��� i�"� Bs±cÀ #b�i#��5� B"§

'(#��/)PÂ�§��Tw9y äß}I}I~I§ � y����{} �©}���w1������y ¥�}���ÜR}I}Iy&���{}á�{�bÜV��y{�"±c�k��_}I~�}Iy{|���y{Á*z�|��{}I��}Iz>�9ª ���"�{�{y{���_��-y{Á�¢"�k��z���± � z��{}I~©w9y{���d�"}�§ ��� � ��+`/�d)G@+�2 ��#!#b�iâ�w9~�|�� #��5~�#b§'(#!#�) ½ §9äXw9y¡��}I~��µ§ (,�# ')<P$52.,]G@�M3�; �e�?G5')<[/ #*/ �_2�� � ! +�G�3��@�6$@# ,.-H'|/1�!�1�|� 2X$52.,]G@�(��$@,�+?/1�4�1')+e'C�D/ � +`� �K,.2�/`�H2.')+`/�h"�Hh hb�Oh $@�a�1,�R / #*/ �62 -e$@+`$5<�< ��<[/�§x�V�{¤Iz�}­�{}5�{�q|�����~�w1��}IyNz�|���}Iy{|I}Iz��{}P�µ� ��y{Á��Iyk��}I�{~I��ãLyk�¦�b}I~�z��¦���

�{}x®©��|I}»± ½ ���{�k��wE±cç©y¡�������9�¦��zs�6�/~�w9y{|I}��&#��5��#b§'(#6-6)3*a§ �d��z���w9y{��w9y{�FÂL§ ½ �����$#�}���§\�2��yk�¦��}��-�9���{��} �xw1��}I~�¾¡��y â>}����{�"�{zVªO��~��L��z�|I���{z��xw9zVvL£ky/w9�5��|Iz�§

ÙÚ® �©Ù�ç�� �V±x~5W�³k�{ÙÚ® �dÙÚç«�#��5~5~k§

³�³

Page 37: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

��<���=�C �C+@ EI< ��� �+�C+@� �H �Õ�Ö � �ar2Ø�Õ����6 �

q ��oC 2o¡Ö1× ��� Õ�oqp�psr2Ö*��¡p�psØ � oqt$×{p% �r2t$oqÖ � �ßr�¡p �-"§ # �-¢q�/w1������y{zL�b£k��}I~�¥��9�¦��¢"�{}IzV�¦��y{��w1��~�}Izd���Fy{��yg�¦��y{��w1��~�}Iz«§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ #-"§ - �/��~��P�k��w1������y�}Iyg�b�9���{��}Iz7¬/yk��z §�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ --"§ ³ ½ |��{�I��w9zL|I��y{z�}I~��9w1���¦ªåz�§x§�§x§�§x§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ ³-"§�À *-~��I|���z�����yF�{}Izdz�|��{�I��w9z©y¡�{���I~���¢"�{}Iz­§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ ³-"§ B ½ ��w9¥k�¦�¦�¦�����i�{~���y{|�����}��{� ��wE¯k���P�{�g�i����y{�9����yk��}ɧ�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ ³� ��Ø � oqt$× �2oqØboC �Õ�Ö1o �Zr �aÖ qt ��¡Ö%�iÖ �aÖ �³k§ # �-¢q�/w1������y>��� w9�k�b}I|�������y*§x§�§x§�§x§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ W³k§ - �-¢q�/w1������y>�{}xÂ��{~�Á�}I~�z §x§�§x§�§x§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ p

# ��Ø � oqt$×{p �2oqØ�C �Õ�Ö1o¡p � � �P��Ö �aÖ gpEr �ao¡Ö@��qr2Ö �À{§ # �-¢q�/w1������y>��� w9�k�b}I|�������y*§x§�§x§�§x§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ #!#À{§ - �-¢q�/w1������y>�{}xÂ��{~�Á�}I~�z §x§�§x§�§x§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ # p

� ����r�8�¡×/r��Ûp�Ø � oqt$×{p5×�8�¡Ø:���åt � Õ7qr2ÖEp � �B"§ # ã©y z�|��{�I��w��{�I|I}Iy¡��~��P������~��{~�}P³�§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ # pB"§ - ã©y z�|��{�I��w�|I}Iy¡��~��P������~��{~�}�ÀƧx§�§�§x§P§x§�§x§�§�§x§�§x§P§x§�§�§x§�§x§�§P§x§�§x§�§x§�§ -9³� ���Op�Ø¡r2p�p����� q�

� ���Õ7C 2p����6 2p�×/r��'p� ßpIÕ��qt ¡p ) �� �årXp���"rXÖ1p ���åt C 2p����6 2p ��q

³9À

Page 38: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� �r@���C �C+@ �C+�����rC+��@A�<�� � �G�a��@ C ��C+�iD�C+���iD�C ��� � ��� ��� �� �r@�� � � � ��C � ��� �3@�� � ��� ��� �F�C+@aC+<G��iD �C � �G�a��@

�9À1±�³5� ��§gÂ�}I~�~�}I�"¯��äT§ ½ w1��y{z�w9�k�¦��}I�

� eG�/ N�2 � d"/ �,]/ #0$@�_�%��G5<bR / + EHG@+4��� d"/ + �`G5<b,]� � � � 2�/ #O� ��,�2��+?/�<P$7>�$52.,]G@�|� �`$@�H/`3 G@�J2.,�#*/ N�3C/xd"/ �63C/ �_2 �\$@R /w3K/`�?G@#:d)G@�1,�N2.,]G@�i�{À�~5�/w9Á�}Iz��iy{���b}I�P¥{~�} #��5�9À{�/®L�9��z�£q±µ��}»± ��~�w9y{�

�9À1±�³�# äT§ ½ w1��y{z�w9�k�¦��}I� �(+�$5R /�<b,�� � �\$@R /1����G�< '"2.,.G5�nG�Eu�?G@�(R /?�H2.,.G5�(N�3@, �e'C�1,]G@�{� � �1N2�/ #O����)G �7/��?G@�(R@/`�H2.,]G@��2�/ +1#O� $@+?/�F/`$ � < � ��G@�r�?G@�(�H/ + NR $�2.,�R /�h � d�d6<b,.�a$52.,.G5��2XG�2��"/%#0G73K/�<b,�� � G�E 2 �\GOd(�)$@�H/cL4'),.3LeG����»�/³�#«�/w9Á�}Iz��{y{���b}I�«¥{~�} #��5�9À{�/®L�9��z�£q±µ��}»± ��~�w9y{�

�9À1±�³V- âu§gÂ������I���{¥/w�w SG@'C+ ,]$FV 'C� +`! ��G5<bR / ')+&3K/%� � � 2 ��#0/*3K/&�?G@�_2.+`$@,��_2�/1�eE�G5�6��N2.,]G@�(��/H<�<[/1� �K,]!�+�$@+`� �K,]-�'(/��w#�~ �/w9Á�}Iz��uy{�s�b}I�P¥{~�} #��5�9À{�½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

�9À1±�³�³ ½ § *-����}I~�y{� !H2��)G73K/1�^3�; ,��_2�! � +�$�2.,.G@��2�/ #:d)G5+`/�<�<[/^3K!`�?$�<P!?/ed)G@')+�')�Od_+`G@N��< � #*/ $C! +�G !�<T$@� 2.,]-�'|/�#0G@��G@N�3@,�#*/ �|� ,.G@�_��/�< ��G@�{<b,���!?$@,�+?/��À -5�/w9Á�}Izs�{�{�I|I}I�P¥{~�} #��5�9À{� ½ ���{�k��wE±cç©y¡�������9�¦��z

�9À1±�³9À âu§{v�}�ªO~�w9y{|I}Iz�|��k�c�¨L§{äX}�Â�~���z

��G@#:d_'"2.,�� �Z$w#0G5<[/`��'"<P/�Vc$w#0$52��"/ #0$52.,]�?$5<\R7,X/ �Dd)G@,��_2 �2³5��/w9Á�}Iz��i�{�I|I}I�P¥{~�}�#��5�9À{�i®©�9��z�£q±µ��}»± ��~�w9y{�

� Bs±�³ B ç­§{�{}���w�Â����{~��{��y{y/wI£b} � �1' �1� 2.+ '"�72.'C+ ,�� �f#*/�2��)G73 E�G5+4$:�)$5+1#0G@�(,]���\$@R /�d_+`G d)$��5$5N2.,]G@� d6+�G��H<P/ # V � ��$5< � � ,A�0G�E%2��"/M�?G@�635,�2.,]G@�(,�� ��_'C# �?/ +MG�E2��"/fd_+`G���<[/ # G@� 2��"/ ,��_2�/ +�EH$��a/1���R# BÍ�/w9Á�}Iz��q¿�w9y¡�q��}I~�#��5� B"�½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

� Bs±�³5W ç­§{�{}���w�Â����{~��{��y{y/wI£b}q�âu§{�X�9��}Iy¡����y{�

� 'C#*/ + ,.�a$5<6�1,�#O'"<P$52.,.G5��G`E ���a$52]2�/ + ,�� �fd_+`G���<[/ #O� ��,.2�� ��G@')N+ ,]/�+ �1�_2�/%� +`$5<�G�d"/ +`$52XG@+1�»��#�~5�/w9Á�}Izs�{ªO���k~���}I~,#��5� B"� ½ ���{�k��wE±çLyb�������9�¦��z

� Bs±�³�p ��§ �L������y{}��s��/§�*2§�¨R����yk��� äT§(�/}��I���k�c���§�*a���{�/w9�{�

� d�d_+`G7>@,�#%$�2.,.G@�u�_'C#*! + ,.-H'|/%3C/1�%!`-H'"$52.,]G@�|�%3K/ $7>C/�<�<�/ �# ,.< ,X/ 'O�"!�2�! +`G �����/:#0G@�6G735,�#*/ �|� ,.G5�(��/�< d)$@+e')�&��G5<bR / ')+�3K/ �,X/ #0$@�(��/`>K$��H2 �i³ B­�/w9Á�}Iz��{w��"~��¦�+#��5� B"� ½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

� Bs±�³5~ ç­§��-~�yß��5§ �L���s�9w9y{Á9��Á9�¦�c�âu§{v5§ ½ ���q��¾�}¡�

� 'C#*/ + ,.�a$5< 62.'"3��fG�EF$��=�K+?/?/ N]�^,�#*/ �|�1,]G@�6$�< ���"/�#O,]�?$5< �|$@Nd)G5+��B/xd"G �1,.2.,.G5� /`$K�H2XG@+ ��,.2����O/�2X$@,.<P/?3 ���"/ # ,A��2.+ ����À B�/w9Á�}Iz��i��w1�+#��5� B"�i®L�9��z�£¡±cäX}»± ��~�w9y{�

� Bs±�³5� ½ §{v�}I��}�£"~�}��v5§{ÙÚz�z�w9�k����}I~

� d�d6<b,.�?$�2.,.G@�u$@'5>%�H� �"! #0$ � � �_,A�Q3�; 'C��/^#*!�2��)G73K/O3K/ed"! ��$@N<b,A�H$52.,]G@��3K/1�%�?G@�_2.+`$@,��_2�/1�:d)G@')+ <[/B� � ��2 � #*/%3K/ $7>K/�<�< �_³9À�/w9Á�}Iz���¿��k��y�#��5� B"� ½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

Page 39: Sch emas TVD d’ordre elev e pour la r esolution de l ...

� Bs±cÀ�� ½ §{v�}I��}�£"~�}�� _2X$� ,�<b,.2 � $@��$5< � � ,A�*EHG@+ � �(,.2�/�R G5<b'C#*/ ��� �"/�#0/ � G@� +`/`�HN2X$@� � ')<P$@+J$@��3g2.+ ,.$@� � ')<P$@+ #*/1�1�"/1�J$ d�d6<b,X/`3{2XGn2��"/J2 �\G@N3@,�#*/ �|� ,.G@�_�6$5< $7>��F/�<�<O� � ��2�/ #��"#����/w9Á�}Iz���¿��k��y #��5� B"�½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

� Bs±cÀ # ½ §{v�}I��}�£"~�}���Â�§9äXw9~�~����"±���{~������)�P§i¨�w9~���}Iyb����}I~ !H2��)G73K/1�Q�_'C#*! + ,.-H'|/1�B3C!`�a/ �_2.+?!?/1�%3�; G@+�35+`/ !�<[/ R !%/ �u3K/ '5>

3@,�#*/ �|� ,.G@�(� 3�; /1��d"$��a/���³5~!�/w9Á�}Iz��@w9���k� #��5� B"� ½ ���{�k��wE±çLyb�������9�¦��z

� Bs±cÀ - ç­§{v�}xäXw�Â����{~��{��y{y/wI£b}q� � !`G5#0!H2.+1,X/u3@, �U! +?/ �_2.,X/�<�<[/�/H2*!�<P!�#0/��_2�� � �_,A�DV��Q; /`>K/ #:d6<[/3K/ <�; !�<[/`�H2.+`G@#0$�� ��!H2.,A� #0/I�G#�~N�/w9Á�}Iz��-w9���k� #��5� B"� ½ ���{�k��wE±çLyb�������9�¦��z

� Bs±cÀb³ ½ §i¨;���{}IyX� _2XG�� �)$ ��2.,.��d)$@+`$5<�<P/H<=2.+`$@�|��d"G@+ 2e$5<PG@� �&<[/ R �ULcG����SG�EO3@, �U/?G@N#0G@+xd(�K,��1#O�»�h#6-��/w9Á�}Iz��¡y{�s�b}I�P¥{~�} #��5� B"�¡®L�9��z�£q±cäß}»± ��~�w9y{�

� Bs±cÀ�À ®­§�*-~�|I�s�q��|b� ���%$�< �5G5+1,.2��K# 3@,A��2.+1, � '(!=d)G@')+F<P$U+`!1�HG5<b')2.,]G@�*3K/1�=d_+�G��<���#0/ �3K/&�?G@�62.+�$@,��_2�/1�&/ � 3�G@#0$@,���/1� � �(,��»��-1À��/w9Á�}Iz���y{���b}I�«¥{~�}#��5� B"� ½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

� Bs±cÀ B �«§"ix}I~��¦�b}IyX�� §|��w9�{Á�}I~�w9zs� s4��2��"/\d_+`G �7/`�H2.,�R /S/ R G5< '"2.,]G@�ZG�E � � ��')+1R / �»��#!#d�/w9Á�}Iz��b�{�»±|I}I�«¥{~�}�#��5� B"�/®L�9��z�£q±cäß}»± ��~�w9y{�

� Bs±cÀ�W âu§ ¨L§'�7��_}»±��d�1¿�w9zI� �1#:d_+`G@R7,�� � �F2.��/1�a��E1')�6�H2.,]G@�|��E�G5+�� - ,��&$5�M/ R G5<b'"2.,.G@��$@+ �$5< �5G@+ ,.2��K#O�»� # B©�/w9Á�}Iz���y{���b}I�«¥{~�} #��5� B"� ½ ���{�k��wE±cçLyb�������9�¦��z

� Bs±cÀKp �/§ �;§{v�}�����w9zE� (' d"/ +4#0G@')R / #*/ �_2 � +`G����(,X/ �&$5R /`���a$52X$5< � �7/��sÀ�Wd�/w9Á�}Iz����{�»±|I}I�«¥{~�}�#��5� B"�/®L�9��z�£q±cäß}»± ��~�w9y{�

� Bs±cÀ�~ �/§�*2§/äX}I¥/w9|I¢q�{}q� �=�"/ �eG735'C�6G5Rf��� �"/�#0/:$@��3 ���"$52=,.2�#*/`$5�|��E�G5+/� +1� 2�G5+�3K/�+2.+`$��J�SLcG�� #%G�3K/�< �»�T³�p��/w9Á�}Iz��Ty{���b}I�P¥{~�} #��5� B"�[®L�9��z�£¡±äß}»± �x~�w9y{�

� Bs±cÀ�� ½ §�*-����}I~�y{�/� 6���"! #0$9���6� 3=; G@+`3@+?/1��/H<P/ R@!1��d"G@'C+ <T$ +?!1�HG5< '"2.,]G@��3K/<�; !?-�'"$�2.,.G@� 3K/ � 'C+%��/ +1�»��³9ÀÍ�/w9Á�}Iz��b¿�w9yb�"��}I~�#��5�5Wk� ½ ���{�k��wE±çLyb�������9�¦��z

¨;}Iz7~�w9�{����~���zd��}I�k�b}Iyb��2���~�}P��¥k��}Iy¡�{zL}Iygz�� w9�{~�}Iz�z�w9y¡�©w9� z�}I|I~�����w9~���w1�d�{��¨ � �©â>Ù�¨ ½ �V�{}�~�}I����~���z7|�w9y ¥�}�w9z�¾�}I�gªå~����

ÙÚ��w9y{} %LçLâ>ç©v,��-®�*R¨T±Ú¨ � �LâFÙ�¨ ½� �)��³�#�W�p5®L�9��z�£q±µ��}»± ��~�w9y{�>¨ �-v,����V���V ß´µ³�³bº,#�±TÀ��E±�#�À1±�³ Bs±x~�³}I��w1�¦�� ��������� ����� �������� ������������