Résolution itérative de problèmes de contact frottant de ...

© Thierno Diop, 2019

Résolution itérative de problèmes de contact frottant de grande taille

Thèse

Thierno Diop

Doctorat en mathématiques

Philosophiæ doctor (Ph. D.)

Québec, Canada

Résolution itérative de problèmes de contact frottantde grande taille

Thèse

Thierno Diop

Sous la direction de:

Jean Deteix, directeur de rechercheMichel Fortin, codirecteur de recherche

Résumé

La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dansbeaucoup d’applications en ingénierie. Pour ces applications, la précision et l’optimisationdu temps de calcul sont des contraintes impératives mais souvent contradictoires. Les pro-blèmes industriels portent généralement sur des géométries complexes et tridimensionnellescomposées de matériaux au comportement non linéaire. De ce fait, si on utilise la méthodedes éléments finis, ils mènent à des problèmes discrets non linéaires et de grande taille. Cesderniers, après linéarisation, entraînent des systèmes algébriques de plusieurs milliers voire demillions d’inconnues ne pouvant être résolus que par des méthodes itératives. Ceci impliqueque les méthodes fréquemment utilisées, la pénalisation et le lagrangien augmenté, ne peuventêtre considérées en raison du mauvais conditionnement de la matrice sous-jacente donc deleur effet négatif sur la convergence des méthodes itératives. Nous proposerons une approcheitérative efficace pour résoudre les problèmes de contact associés à des applications indus-trielles : une résolution permettant d’avoir des résultats numériques précis en un temps decalcul acceptable.

Cette approche sera basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange et une méthodede résolution du système linéaire associé qui n’est pas tout à fait standard. Cette dernières’insère dans un processus itératif à plusieurs niveaux qui représente la principale contributionde la thèse. Nous présenterons la stratégie adoptée qui est différente de celles de la littératurepour la résolution des problèmes de types point de selle et en ferons une étude complète. Pourvalider notre approche, nous étudierons des exemples numériques académiques de problèmesde contact classiques. Nous présenterons aussi des problèmes industriels de très grande tailleafin d’illustrer l’efficacité, la précision et la performance en temps de calcul de la méthodedéveloppée dans cette thèse.

iii

Abstract

Solving friction contact problems is of great importance in many engineering applications. Forthese applications, the accuracy and the optimization of the calculation cost are imperativebut often contradictory. Industrial problems generally involve complex and three-dimensionalgeometries composed of materials that exhibit non-linear behavior. Consequently, using thefinite element method, they lead to large-scale non linear discrete problems and, after lineariza-tion, to algebraic systems of several thousand or even millions of unknowns and ultimately tocalculations needing iterative methods. This implies that the frequently used methods, thepenalization and the augmented Lagrangian, are to be banned because of their negative effecton the condition number of the underlying discrete systems and thus on the convergence of theiterative methods. We will propose an efficient iterative approach to solve the contact prob-lems associated with industrial applications: a resolution allowing to have accurate numericalresults in an acceptable computation time.

This approach will be based on the method of Lagrange multiplier and a method for solvingthe associated linear system that is not quite standard. The latter is part of an iterative,multi-level process that represents the main contribution of the thesis. We will present theadopted strategy, which is different from what is found in the literature, for the resolution ofsaddle-type problems and will make a complete study of it. To validate our approach, we willstudy academic numerical examples of classical contact problems. We will also present somelarge-scale industrial problems in order to illustrate the efficiency, accuracy and computationperformance of the method developed in this thesis.

v

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures x

Remerciements xv

Introduction 1

1 Mécanique des solides 111.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Problème d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Formulation en déplacement seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Formulation mixte (déplacement-pression) . . . . . . . . . . . . . . . 20Problème de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Résolution du système matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.3 Résolution de problème mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Mécanique du contact 412.1 Résolution du contact glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1 Pression de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.2 Formulation quasi-statique du problème de contact glissant . . . . . 462.1.3 Linéarisation suivant la variable primale . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.4 Linéarisation suivant la variable duale . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.5 Problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Résolution du contact frottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

vii

2.2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.2 Approximation de la dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.3 Formulation quasi-statique du contact frottant . . . . . . . . . . . . 58

Problème de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Problème de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.4 Problème discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61État de contact pour le cas frottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Stratégie de contraintes actives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Résolution du système linéarisé 733.1 Une approche générique pour les problèmes de point de selle . . . . . . . . . 74

3.1.1 Méthode du GCR préconditionné à droite . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.2 Méthodes d’Uzawa et d’Arrow-Hurwicz . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1.3 Méthode basées sur la factorisation LDU du système . . . . . . . . . 80

Solveurs approximatifs pour A et le complément de Schur S . . . . . 833.1.4 Préconditionneur mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Retour à la méthode d’Arrow-Hurwicz . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Convergence de l’algorithme pour la formulation mixte en élasticité sans

contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.1 Étude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Performance en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Effet de β du préconditionneur PMS . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Terme stabilisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3 Préconditionneur pour les problèmes d’élasticité avec contact . . . . . . . . 1023.3.1 Formulation en déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Contact général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Stratégie de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3.2 Formulation mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Résultats numériques 1184.1 Cas tests académiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.1.1 Problème de l’indenteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1.2 Glissement frottant d’un cube sur un autre . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2.1 Lamelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Élasticité non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.2.2 Prothèse de genou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Conclusion 151

Bibliographie 154

viii

Liste des tableaux

3.1 Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire suivant laméthode de résolution du système primal. Pour chaque maillage la colonne degauche correspond au solveur Mix-It-R, à droite le solveur Mix-It-GCR. . . 88

3.2 Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire avec LGMRES(n)et LGCR(n) comme méthode de résolution du système primal suivant le nombred’itérations n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Nombre d’itérations du solveur par rapport au nombre de degrés de liberté avecune résolution LGCR(3) préconditionné par HPA pour A. . . . . . . . . . . . 93

3.4 Temps CPU du calcul et nombre d’itérations du problème du cube avec lesolveur Mix-It-GCR suivant une valeur fixe de β. . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5 Nombre d’itérations et temps CPU du problème du cube sur la sphère avec unmatériau incompressible résolu par les différentes variantes présentées (résolu-tion complète (LU) du système en déplacement). . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1 Nombre de sommets et de tétraèdres ainsi que les degrés de liberté associés audéplacement u et au multiplicateur λ pour les différents maillages. . . . . . . . 135

4.2 Résolution du système primal par une méthode directe : Nombre d’itérationset temps CPU en seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.3 Résolution du système primal par une méthode itérative : Nombre d’itérationset temps CPU en seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4 Temps CPU du calcul du problème de la semelle de pneu suivant différentesméthodes itératives préconditionnées par HPL pour la résolution du systèmeprimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5 Temps CPU et mémoire utilisée pour le problème de genou suivant la méthodede résolution du système primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.6 Temps CPU et stockage mémoire pour le calcul du problème de grande taille. . 148

ix

Liste des figures

0.1 Différentes couches de matériaux en contact constituant la structure d’un pneu(tirée dans [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Prothèse de genou (à droite) et son implantation (à gauche) entre le tibia et lefémur du patient (tirée dans [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.3 Un corps déformable Ω en contact avec une fondation rigide. . . . . . . . . . . 20.4 Problème de contact sans frottement : L’opérateur gn représente l’écart entre

les deux corps et la pression normale λn empêche les corps de s’interpénétrer(gauche) ; loi vérifiant la condition de contact (droite). . . . . . . . . . . . . . . 3

0.5 Problème de contact avec frottement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.6 Lois de contact avec frottement, s est le seuil de Tresca et µ, le coefficient de

frottement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Coordonnées cartésiennes du système dans le repère lagrangien, configurationde référence et déformée (extraite dans [3]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Description du problème d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Description du problème de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Définition de la fonction d’écart ou gap normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Différentes situations possibles d’un point et son projeté le plus proche. . . . . 442.4 Force de contraintes dans la zone de contact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Diagramme commutatif pour Vh espace de la variable primale et pour Λh espace

de la variable duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Cône de Coulomb 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.7 Cône de coulomb 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.8 Diagramme de résolution du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1 Géométrie et conditions aux limites du problème du cube sans contact. . . . . . 873.2 Comportement des résidus en déplacement et pression suivant les algorithmes

Mix-It-R (Algorithme 17) et Mix-It-GCR (Algorithme 15). . . . . . . . . . . 893.3 Comportement des résidus de l’Algorithme 15 suivant le solveur utilisé pour le

problème primal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 Nombre d’itérations du solveurMix-It-GCR avec LGCR(n)-HPA ou LGMRES(n)-

HPA pour la résolution du système primal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5 Norme euclidienne des résidus du solveur Mix-It-GCR (Algorithme 15) sui-

vant la méthode de résolution du système primal avec LGCR(n) et LGMRES(n). 923.6 Effet de β pour le problème élastique linéaire : Évolution de la valeur de β

au cours des itérations de l’Algorithme 15 (gauche) ; Nombre d’itérations del’Algorithme 15 suivant une valeur de β fixée (droite). . . . . . . . . . . . . . . 94

x

3.7 Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité linéaire incom-pressible : la résolution du système primal est faite avec GCR préconditionnépar HPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.8 Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité non linéaire(Mooney-Rivlin) incompressible ; la résolution du système primal est faite parLGCR(3) préconditionné par HPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.9 Écrasement du cube (matériau néo-Hookéen avec E = 102 et ρ = Eν(1+ν)(1−2ν)) :

Comportement des résidus pour les paramètres de régularisation ν = 0 (gauche)et ν = 0.4 (droite) avec une résolution LGCR(3) préconditionné HPA. . . . . 98

3.10 Déformation du cube après écrasement pour un matériau incompressible de typeMooney-Rivlin a) résolution en déplacement seulement et b) résolution avec uneformulation déplacement-pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.11 Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et incom-pressible de type Mooney-Rivlin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.12 Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et incom-pressible de type Mooney-Rivlin suivant le terme de régularisation ρ. . . . . . . 101

3.13 Déformation et pression de contact pour le problème de l’écrasement du cube(élasticité linéaire) sur une sphère rigide avec un coefficient de frottement µ = 0, 4. 108

3.14 Comportement du résidu normal en λ pour le problème du cube sur la sphèreen élasticité linéaire avec une résolution du système primal en direct et itératif.À gauche, problème sans frottement, à droite, problème de contact frottant avecµ = 0, 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.15 Comportement du résidu en λ du solveur Mix-It-GCR-Contact pour le pro-blème du cube sur la sphère avec la méthode imbriquée suivant le nombre d’ité-rations np du solveur Mix-It-GCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.16 Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec laméthode séquentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.17 Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec laméthode alternée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1 Géométrie du problème de l’indentation d’un arc de cercle sur un rectangle. . . 1194.2 Déformation de la géométrie du problème de l’indenteur aux temps t = 0, 5,

t = 1, t = 1, 5 et t = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.3 Multiplicateurs de Lagrange au temps t = 1, 5 du problème de l’indenteur pour

le cas glissant (en haut) et frottant (en bas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4 Géométrie et maillage d’éléments finis de deux cubes superposés. . . . . . . . . 1234.5 Configuration déformée et champ de déplacement du problème des deux cubes

pour une résolution avec notre méthode (partie gauche) et celle de pénalisation(partie droite) ; la configuration initiale est définie en couleur grise. . . . . . . . 125

4.6 Multiplicateurs de Lagrange du problème des deux cubes en contact frottant. . 1264.7 Déformation de la géométrie du problème de contact des cubes avec frottement

(en couleur grise) et sans frottement (en couleur rouge-bleu). . . . . . . . . . . 1264.8 Définition de la géométrie et du maillage d’éléments finis du problème des lamelles 1284.9 Géométrie et maillage de la zone potentielle de contact du problème des la-

melles : vue de dessous (gauche) et vue de dessus (droite). . . . . . . . . . . . . 1284.10 Déformation de la semelle à la fin de chaque phase avec la configuration initiale

mise en exergue (sens de cisaillement : de la gauche vers la droite). . . . . . . . 1304.11 État de contact à la fin de chaque phase du problème des lamelles. . . . . . . . 131

xi

4.12 Norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveurGCR de contact pour une résolution complète du système primal : courbes deconvergence des différents pas de chargement, les sauts présents à partir de laquatrième courbe représentent le début d’itérations de Newton. Ils sont dus àla variation de la normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.13 Semelles de pneu : Configuration déformée de la phase d’écrasement avec unmatériau non linéaire de type Mooney-Rivlin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.14 Semelles de pneu : Configuration déformée de l’avant dernier pas de cisaillementavec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin (sens de cisaillement : dela gauche vers la droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.15 Semelles de pneu : Bifurcations des lamelles de la semelle à la fin de la phasede cisaillement avec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin. . . . . . . 134

4.16 Semelles de pneu : courbe de convergence du résidu associé à la pression normalede contact pour une résolution directe (LU) et itérative (GCR). . . . . . . . . 136

4.17 La norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveurMix-It-GCR-Contact suivant la méthode itérative de résolution du problèmeprimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.18 Les différents composants d’une prothèse de genou et son implantation dans legenou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.19 Géométrie simplifiée d’une prothèse genou : partie fémorale au dessus de lapartie tibiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.20 Maillage adapté d’éléments finis des parties tibiale et fémorale de la prothèsede genou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.21 Déformation et champ de déplacement du tibia après son contact avec le fémur. 1444.22 Pression totale de contact du tibia sur le fémur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.23 Tenseur de contrainte de Cauchy en zz du Tibia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.24 Jacobien surfacique continu du matériau du tibia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.25 Configuration du problème de contact rigide déformable de très grande taille :

géométrie des corps rigide et déformable (en haut) et le maillage d’élémentsfinis du corps déformable (en bas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.26 Temps CPU par rapport au nombre de processeurs du problème du genou à 15millions de degrés de liberté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

xii

À la mémoire de mon pèreÀ ma chère mère

xiii

Les Maths, ça ne sert à rien...sauf dans la vie quotidienne.

Daniel Berlion

xiv

Remerciements

Tout d’abord, j’aimerais remercier mes directeurs de thèse, Michel Fortin pour sa patience,son soutien et sa disponibilité tout au long de ce doctorat, et Jean Deteix, pour ses conseilset les nombreuses discussions tant du coté informatique que numérique. J’ai été privilégié deles avoir comme encadreurs.

Je remercie Éric Chamberland pour son soutien technique et sa grande disponibilité. J’adressemes remerciements à Myriam Rioux (développeur scientifique chez BodyCad) et Thomas Ho-molle (expert métier, modélisation numérique et simulation chez Michelin) qui m’ont permisd’avoir des cas tests industriels et de pouvoir valider, par des problèmes industriels de grandetaille, l’approche développée dans cette thèse. Les discussions avec eux ont beaucoup contribuéà enrichir ce travail. Je tiens également à remercier Bocar Wane (employé chez Michelin) etIbrahima Dione pour leurs nombreux conseils dans la rédaction.

Je remercie également les professeurs Annalisa Buffa (école polytechnique fédérale de Lau-sanne), Sophie Léger Auffrey (université de Moncton) et Robert Guénette (université Laval)d’avoir pris le temps d’examiner ma thèse et de l’enrichir par leurs suggestions en tant quemembres du jury.

Finalement, j’aimerais adresser mes remerciements à mes collègues doctorants du GIREF, qui,sans eux, ces années de doctorat seraient une grande période d’isolement.

xv

Introduction

La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dansbeaucoup d’applications en ingénierie. Nous rencontrons les problèmes de contact dans presquetous les phénomènes de la vie courante. Ils sont présents dans les domaines de l’automobile, del’aéronautique et de la biomécanique. Dans celui de l’automobile, particulièrement du pneu-matique où la modélisation du contact route-pneu (on parle dans ce cas de contact rigide-déformable) et du contact pneu-pneu (déformable-déformable) est d’une importance capitalepour la conception de nouveaux pneus. Le contact pneu-pneu provient du fait que le pneuest constitué de plusieurs couches de matériaux qui sont en contact l’une sur l’autre (voirFigure 0.1).

Figure 0.1 – Différentes couches de matériaux en contact constituant la structure d’un pneu(tirée dans [1]).

Dans le domaine de la biomécanique, on peut citer l’exemple de la fabrication des prothèsesde genou (voir Figure 0.2) où la modélisation du contact permet d’étudier le contact entre letibia et le fémur suivant les caractéristiques du patient afin de déterminer l’aire et la pressionde contact permettant ainsi de mieux adapter la prothèse de genou au patient.

1

Figure 0.2 – Prothèse de genou (à droite) et son implantation (à gauche) entre le tibia et lefémur du patient (tirée dans [2]).

En 1882, le physicien anglais Hertz, publia un article intitulé "On The Contact of Elastic So-lids" qui donne la solution d’un problème de contact sans frottement (contact où les contraintestangentielles sont négligées ou absentes) entre des corps élastiques. Plus d’un demi-siècle plustard, d’autres solutions sont données par Galin [4] et Muskhalisv [5] pour ne citer que ceux là.L’analyse mathématique de la théorie de la mécanique du contact débute dans les années 1930avec les travaux de Signorini. Ce dernier étudia le contact sans frottement entre un obstaclerigide et un corps déformable en élasticité linéaire.

Figure 0.3 – Un corps déformable Ω en contact avec une fondation rigide.

Plus tard, Fichera [6] fît de même. Ils se sont intéressés à l’existence et à l’unicité de la solutionpour les problèmes de contact non frottant à géométrie simple (voir Figure 0.3). Lorsque deuxcorps sont en contact glissant, il se crée une force normale dite pression de contact agissantsur les corps et empêchant ces derniers de s’interpénétrer. Le problème est non linéaire et nondifférentiable. En effet, l’opérateur définissant l’état de contact, le gap ou écart normal, n’estpas linéaire par rapport au déplacement. De plus, la zone de contact n’est pas à priori connue,

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le changement de l’état en contact (ou actif) à l’état sans contact (ou inactif) et vice versa estfortement non linéaire comme on peut le voir dans la figure droite de Figure 0.4.

Figure 0.4 – Problème de contact sans frottement : L’opérateur gn représente l’écart entreles deux corps et la pression normale λn empêche les corps de s’interpénétrer (gauche) ; loivérifiant la condition de contact (droite).

Dans un contact avec frottement, il se crée une force tangentielle qui s’oppose au glissement(voir Figure 0.5). Une loi de frottement caractérise les contraintes tangentielles liées au glisse-ment des corps en contact l’un par rapport à l’autre. Déjà étudié par Léonard de Vinci (1452– 1519), on retrouve plusieurs lois de frottement définissant la relation entre efforts tangentset normaux.

Figure 0.5 – Problème de contact avec frottement.

Le frottement induit une notion de seuil qui définit l’état de contact d’adhérence ou de glis-sement. On dira que le contact frottant est adhérent lorsque les efforts tangents sont sous leseuil, dans ce cas on n’observe pas de glissements ; et il sera dit glissant lorsque le seuil estatteint ou dépassé, se traduisant par un déplacement relatif des corps en contact. Les lois lesplus couramment utilisées sont celle de Tresca et de Coulomb. Si le seuil est fixé pour la loide Tresca, dans la loi de Coulomb, il dépend de l’intensité des efforts de contact normaux(voir Figure 0.6). Dans cette thèse, nous considérons le cas plus "réaliste" et plus complexe

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de la loi de Coulomb où le seuil dépend de la nature des corps en contact. Du point de vuede la théorie, il n’y a pas de résultats sur l’existence et l’unicité de la solution. Cependant,pour un coefficient de frottement très petit, Jarušek et al. [7, 8] étudia l’existence et Renard[9], l’unicité. On peut aussi citer les travaux de Duvaut et Lions [10] et de Kikuchi et Oden[11] entre autres, cette liste étant loin d’être exhaustive. Pour un historique plus détaillé de lamécanique du contact, on peut se référer à la thèse de Yastrebov [12] et l’article de Chabrandet al. [13].

Tresca Coulomb

Figure 0.6 – Lois de contact avec frottement, s est le seuil de Tresca et µ, le coefficient defrottement.

Les progrès technologiques, en particulier l’arrivée de machines à haute performance per-mettent de simuler des problèmes réels de plus en plus complexes. Ces avancées techniquesont ouvert la porte à la simulation de problèmes de contact. Plusieurs chercheurs ont abordéle développement de méthodologies numériques pour la résolution de problèmes de contactvisant des applications dans un contexte industriel. Il existe plusieurs approches permettantde modéliser les phénomènes liés à la mécanique du contact. Les approches les plus courantessont basées sur la méthode des éléments finis et c’est sur une telle méthode que nous nousappuierons.

Du point de vue mathématique, le problème de contact glissant et avec frottement (modélisépar la loi de Tresca) est écrit sous forme d’une inéquation variationnelle correspondant à unproblème d’optimisation sous contraintes d’inégalité. Le contact est un problème présentantplusieurs non-linéarités qui apparaissent toutes dans les problèmes industriels ; on peut noterles non-linéarités :

• géométriques qui sont dues aux grands déplacements ou grandes déformations.

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• physiques créées par le comportement de certains matériaux à l’exemple de la gommequi est le principal matériau élastique du pneu.

• du contact, non-linéarité liée aux changements d’état de contact d’actif à inactif et viceversa, mais aussi liée à la loi de frottement.

Toutes ces non-linéarités devront être traitées de façon adéquate. Les méthodes les plus uti-lisées pour la simulation des problèmes de contact sont les méthodes de pénalisation, desmultiplicateurs de Lagrange et du lagrangien augmenté.

— La méthode de pénalisation apparaît vers les années 1980 dans les travaux de Kikuchiet Oden [11], Wriggers et al. [14] et de Simon et Bergans [15] pour ne citer que ceuxlà. Elle est la plus simple à implémenter et la moins précise. L’idée de cette méthodeest d’éliminer la contrainte d’inégalité en utilisant un paramètre de pénalisation afinde régulariser les lois de contact et de frottement. Elle a l’avantage de n’avoir aucuneautre inconnues que celles du problème d’élasticité sans contact. Cependant, la solutionobtenue dépend de la pénalisation. De plus, cette méthode autorise une interpénétrationdes corps qui est souvent importante lorsque la valeur du paramètre de pénalisationest petite. À l’opposé, lorsque la pénalisation est élevée, on peut noter des instabilitésnumériques dues au mauvais conditionnement de la matrice du système discrétisé.

— La méthode des multiplicateurs de Lagrange a le privilège d’être plus précise mais exigel’ajout d’une inconnue supplémentaire appelée multiplicateur de Lagrange. Ce dernierreprésente les efforts de contact et de frottement. Un avantage non négligeable de cetteméthode est que la solution obtenue ne dépend pas d’un paramètre de pénalisation.De plus, la matrice du système linéaire associé est bien conditionnée. La stratégie decontraintes actives [16] est souvent utilisée pour traiter la contrainte d’inégalité. Pourcette méthode, les conditions de contact sont exactement satisfaites. Ses premières uti-lisations dans le cadre de la mécanique du contact furent présentées par Hughes et al.[17] en 1978 ainsi que Bathe et Chaudhary [18] en 1982 puis [19] en 1986. Une diffi-culté numérique majeure de cette approche est le choix des espaces d’approximationdes déplacements et du multiplicateur de Lagrange (aussi appelé pression de contact).Ces espaces devraient vérifier la condition inf–sup ([20]) pour qu’il y ait unicité de lasolution, ceci contraint le choix de la discrétisation.

— La méthode dite de lagrangien augmenté est initialement introduit par Hestenes [21]et Powell [22], en 1969, pour résoudre les problèmes d’optimisation non linéaires aveccontraintes d’égalité. Elle a été utilisée en premier dans les problèmes de contact sansfrottement par Wriggers et al. [14] en 1985, Landers et al. [23] en 1986. Pour le casfrottant, on peut citer les travaux d’Alart et Curnier [24] en 1991, de Simo et Laursen[25] en 1992 puis [26] en 1993, d’Heegaard et Curnier [27] en 1993, de Saxcé et Feng[28] en 1991 pour ne citer que ceux là. Cette méthode est le compromis entre les deuxpremières méthodes. En effet, elle donne des résultats précis moins coûteux par rapport

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à la méthode des multiplicateurs de Lagrange. En plus, sa convergence dépend moinsfortement du paramètre de pénalisation comparée à la méthode de pénalisation.

Il est difficile de trancher de manière objective sur l’efficacité de ces méthodes si l’on doitprendre en compte simultanément la précision des résultats numériques et la rapidité des cal-culs. Bien souvent ces critères s’opposent. Les problèmes industriels portent généralement surdes géométries tridimensionnelles complexes et pour une bonne précision, le maillage devraitêtre fin, particulièrement dans les zones critiques (interfaces de contact, les bords en général).Ces considérations mènent alors à des problèmes algébriques de très grande taille. Commeexemple des défis nouveaux et des besoins actuels issus du milieu industriel pour la simu-lation du contact, citons sommairement l’exemple de la simulation des prothèses de genouen biomécanique à des fins d’analyse d’usure. Dans ce contexte, l’étude du contact entre letibia et le fémur exige précision et efficience. Comme nous pouvons le voir à la Figure 0.2,une prothèse de genou est une géométrie complexe, constituée de deux éléments métalliquesséparés par un élément plastique composé de polyéthylène haute densité (ultra-high-molecular-weight polyethylene (UHMPE)), principalement destiné à l’amortissement et au contrôle desmouvements. L’analyse d’usure exige des simulations qui se font en boucle. Au vu du grandnombre de répétions, et des exigences quant aux délais de fabrication, ces simulations doiventêtre obtenues en un temps de calcul modéré. De plus, il est primordial, non seulement de biencapturer l’aire de contact mais aussi d’avoir une approximation assez précise des contraintesde contact pour pouvoir bien adapter la prothèse au patient. L’objectif de cette thèse estde proposer une approche algébrique permettant de répondre à ces nouveaux besoins en si-mulation du contact. Nous proposons une approche numérique efficace visant principalementla résolution de systèmes algébriques issus de problèmes de contact associés à des d’applica-tions industrielles, c’est-à-dire avec une géométrie complexe, tridimensionnelle, composée dematériaux non linéaires, exhibant du contact frottant et nécessitant des temps de calcul leplus court possible. Soulignons que dans un contexte industriel l’exigence relative au tempsde simulations ne doit pas être perçue comme un simple désir de limiter le temps de calcul. Ils’agit bien d’un impératif tout aussi incontournable que la convergence de la méthode.

Quelque soit l’approche retenue, nous sommes confrontés à des systèmes linéaires de grandetaille. Pour résoudre ces systèmes, deux avenues s’offrent à nous : les méthodes directes et lesméthodes itératives. Le choix des méthodes itératives est retenu pour sa capacité à résoudreles systèmes de très grande taille en un temps limité et avec moins de stockage mémoire.Les méthodes directes, efficaces pour des problèmes de taille moyenne deviennent rapidementinefficaces voire même inutilisables pour des problèmes de grande taille tant du point de vuede la mémoire que du temps de calcul.

Un des méfaits majeur des méthodes de pénalisation en dehors de la délicatesse du choix duparamètre de pénalisation est le mauvais conditionnement de la matrice du système linéaireassocié. Ce mauvais conditionnement a peu d’effet sur les méthodes de résolutions directes (on

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dira solveurs directs) tel que LU, Cholesky et leurs nombreuses variantes [29]. Toutefois il n’enva pas de même pour les méthodes de résolutions itératives (on dira aussi solveurs itératifs)où le conditionnement du système est fondamental au bon comportement numérique de telssolveurs [30]. Quant à la méthode du lagrangien augmenté, sa résolution se base générale-ment sur une variante de la méthode d’Uzawa. Tout comme la pénalisation, cette approchesouffre d’un mauvais conditionnement lorsque la pénalisation devient trop importante. Deplus, l’utilisation de solveurs itératifs met parfois en péril l’efficacité de l’approche en rendantsa convergence difficile. Le lagrangien augmenté se prête donc mal à l’utilisation de solveursitératifs.

La méthode des multiplicateurs de Lagrange, malgré l’ajout d’une nouvelle inconnue (compa-rable à une pression), contrairement à la pénalisation, n’exclut aucun type de solveurs et lasolution obtenue ne dépend d’aucun paramètre de pénalisation. Comparativement aux deuxautres approches, son système algébrique est de plus grande taille. Même s’il exige une phasede préconditionnement qui peut être importante, il a l’avantage de pouvoir être résolu par uneméthode itérative. La structure du système linéaire issu des problèmes de contact prend laforme générale fréquemment associée à un problème de point de selle :(

A BT

B 0

)(uλ

)=

(rurλ

),

où A est une matrice de taille n× n et B est de dimension m× n.

Ce type de structure algébrique n’est pas spécifique à la mécanique des solides, elle est pré-sente dans la discrétisation numérique issue de nombreux champs d’applications ; mentionnonssimplement : la mécanique des fluides, l’électromagnétisme, la finance. Quoique cette matricen’est pas singulière, la résolution du système par les méthodes itératives classiques (c’est-à-dire, des méthodes itératives utilisant des préconditionnements classiques [31, Chap. 9]) n’offrepas toujours des taux de convergence satisfaisants (allant parfois jusqu’à diverger) du fait descaractéristiques particulières de la matrice de rigidité (matrice liée au problème élastique sanscontact). Évidemment, la convergence dépend de plusieurs facteurs, entre autre : la symé-trie de la matrice ; son caractère défini (ou indéfini) et de manière générale du spectre de lamatrice. Il existe toutefois des techniques efficaces permettant de mener à bien la résolutionde ces systèmes. Ces techniques à elles seules représentent un champ de recherche [32]. Pourplusieurs de ces méthodes, la convergence sera fortement influencée par l’introduction d’unparamètre de relaxation (nécessitant une caractérisation). Nous présenterons dans cette thèse,une technique de ce genre. Visant la simulation du contact, cette méthode pourra cependants’appliquer à toutes applications présentant ce type de structure algébrique. La méthodologieproposée s’appuie sur une résolution itérative du système primal et sur l’introduction et la ca-ractérisation optimale d’un paramètre numérique permettant de faire converger rapidement lesolveur itératif vers la solution. Ce type d’approche est en continuité des travaux d’El Maliki etal. [33], qui abordait le cas sans frottement en élasticité linéaire (utilisation d’un solveur avec

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un paramètre de relaxation fixe). On peut donc interpréter nos travaux comme l’extension etl’amélioration de ces travaux au cas de l’élasticité non linéaire avec ou sans frottement. Cettethèse s’articule en quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, nous introduirons les concepts de base de la mécanique des solides eninsistant sur les concepts de grandes déformations et de lois de matériaux. Puis nous décrironsle problème d’élasticité dans la configuration déformée et initiale. Nous présenterons ensuitela formulation variationnelle qui en résulte établissant ainsi son équivalence à un problème deminimisation. Le problème discret résultant n’est pas toujours facile à résoudre. On utilise uneméthode directe lorsque le système n’est pas de très grande taille. Dans le cas contraire, lesméthodes itératives sont incontournables. En raison du comportement non linéaire de certainsmatériaux, le système algébrique est non symétrique et souvent non défini. Par conséquent,les méthodes itératives "classiques" sont très lentes, souvent stagnantes ou même divergentes.Dans la dernière section de ce chapitre, nous ferons un tour d’horizon sommaire des solveursalgébriques : visitant les méthodes directes et itératives qui sont fréquemment utilisées pourla résolution des problèmes de mécanique. Pour les méthodes itératives, nous présenterons lessolveurs dits "classiques" qui, s’ils ont des performances très limitées comme solveurs, sontsouvent utilisés comme préconditionneurs. Nous terminerons par quelques méthodes de typeKrylov et par des préconditionneurs.

Dans le second chapitre, nous présenterons la théorie du contact. Nous parlerons du problèmecontinu sans frottement qui se traduit par une inéquation variationnelle. Cette dernière estéquivalente à un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalité que nous résoudronspar la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Étant non linéaire et non différentiable, laméthode de Newton dite généralisée est utilisée pour la linéarisation (voir [34]). La contraintede contact étant définie par la méthode des contraintes actives. Ainsi donc, nous parleronsde la formulation discrète, du choix des espaces d’interpolations pour les déplacements et lesmultiplicateurs. Nous finirons la section par une présentation du système matriciel à résoudre.Dans la seconde section, nous ferons une extension au cas frottant dans lequel s’ajoute uneautre non-linéarité due au frottement modélisé par la loi de Coulomb. Nous présenteronscomme dans le cas glissant, le problème continu, discret et terminerons par la forme algébriquedu système linéaire. La résolution de ce dernier système et du système sous-jacent au problèmesans frottement fera l’objet du chapitre suivant.

Dans le troisième chapitre, constituant le cœur de la thèse, nous allons décrire notre techniquepour résoudre le système linéarisé présenté au chapitre précédent. En absence de frottement,ce système est celui de point de selle. Sa résolution par une méthode directe nécessite unere-numérotation des inconnues correspondant à des permutations des lignes de la matrice,rendant extrêmement inefficaces de telles méthodes. Pour leur part, on l’a déjà mentionné,les méthodes itératives qui ne tiennent pas compte de la structure particulière du système àrésoudre, sont généralement stagnantes ou divergentes. Pour contourner cet obstacle, plusieurs

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approches existent, la méthode la plus répandue consiste à s’appuyer sur la méthode d’Uzawa.Un avantage de cette méthode est qu’on ne résout pas le système global. Elle consiste, àchaque itération, à la résolution en alternance du système primal (système en déplacementseulement), suivi de la mise à jour de la partie duale, c’est-à-dire les multiplicateurs, jusqu’àce que la convergence soit atteinte.

u = u+A−1(ru −BTλ

), (1)

λ = λ+ ρ(Bu− g

). (2)

Cette méthode est généralement lente et sa convergence qui n’est pas toujours garantie, dé-pend d’un paramètre de relaxation (ici ρ). Naturellement, ce paramètre varie en fonction de lanature du problème. Autre inconvénient de cette approche, la résolution du système primal (1)ne peut se faire que par une méthode directe ; ce qui n’est pas envisageable pour les systèmesde très grande taille ou par l’utilisation d’une méthode itérative produisant une solution exacte(voir [31, Chap. 8, Problème 8.9]), ce qui, en général, exclut toute notion d’efficacité. Men-tionnons toutefois l’approche de Dostàl et al. dans [35] permettant en l’occurrence de résoudrele problème par la méthode FETI. Leur idée est de décomposer le système en plusieurs sous-systèmes de petite taille pouvant ainsi être résolus par une méthode directe. Pour obtenirdes méthodes convergeant plus rapidement, des variantes améliorées d’Uzawa, permettant unerésolution incomplète ou itérative du système primal, doivent être utilisées. Nous aborderonsune de ces variantes, la méthode d’Arrow-Hurwicz [36] qui dépend de deux paramètres de re-laxation. Son inconvénient principal est le manque de bonne procédure pour déterminer leursvaleurs. Dans notre approche, une stratégie permettant de calculer numériquement des va-leurs "optimales" est proposée. Toutefois, nous n’utiliserons pas la méthode d’Arrow-Hurwiczcomme un solveur en soi, mais plutôt comme préconditionneur d’une autre méthode itérative.La méthode itérative choisie est celle dite du résidu généralisé, mieux connue sous l’acronymeGCR (Generalized Conjuguate Residual en anglais) [37]. Mathématiquement équivalente àla méthode GMRES, il s’agit d’une variante, dans le cas des matrices non symétriques, de laméthode du gradient conjugué (voir [31, Chap. 6]).

Dans le quatrième et dernier chapitre, nous présenterons des résultats numériques. Nous mon-trerons en premier des résultats académiques en guise de validation de la méthode dévelop-pée. En effet, ces résultats seront comparés à ceux de la littérature. Ensuite des exemples"académico-industriels" seront considérés, c’est-à-dire des exemples qui, sans posséder toutela complexité des applications industrielles, sont d’un degré de complexité suffisamment grandpour évaluer la valeur de la méthode proposée dans un contexte pratique. Tous ces exemplespermettant de voir l’efficacité, la précision et la performance de calcul de notre méthode derésolution du contact. Nous présenterons aussi des résultats concernant le temps de calculpour des problèmes de très grande taille avec différents types de choix de résolution pour lesystème primal. Nous finirons par un exemple industriel dans le domaine de la biomécanique,le problème de la prothèse du genou.

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Chapitre 1

Mécanique des solides

Dans ce chapitre, nous passons en revue les concepts de base de la mécanique des solides. Nousnous intéressons surtout au cas des grandes déformations et des matériaux hyper-élastiquesdans un cadre lagrangien. Nous introduisons donc les notions de configuration de référence etde configuration déformée et les notions générales d’équation d’équilibre et de loi de comporte-ment. La méthode des éléments finis [38, 39] permet de traduire ces problèmes en un systèmediscret, en général non linéaire. La résolution se fera en premier lieu par une linéarisation (mé-thode de Newton), puis par la résolution des systèmes linéaires ainsi obtenus. Nous décrironsdans une dernière partie quelques méthodes qui seront utilisées tout au long de notre travail.

Notation : Dans la suite, on notera 〈· , ·〉E le produit de dualité E′ × E pour un espacequelconque E. Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, l’indice sera ignoré. La notation"·" sera utilisé pour indiquer le produit de tenseurs et ":" la contraction des tenseurs. Onnotera ‖ · ‖ la norme euclidienne dans Rn et par (· , ·) le produit scalaire dans Rn pour nquelconque.

1.1 Généralités

La grande partie de cette section est inspirée du livre d’A. Fortin et A. Garon [40] et celuide G.A. Holzapfel [41]. On y présente une brève introduction de la mécanique des solides engrandes déformations. On pourra aussi se référer à Bonet et Wood dans [42] pour une étudeplus approfondie sur les lois des matériaux.

1.1.1 Préliminaires

On considère deux configurations, initiale Ω et déformée ω, incluses dans R3 : la premièreoccupe tous les points matériels X et la seconde, décrit les nouvelles positions x dans laconfiguration déformée.

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Figure 1.1 – Coordonnées cartésiennes du système dans le repère lagrangien, configurationde référence et déformée (extraite dans [3]).

La fonction caractérisant le passage de la configuration de référence à la configuration déforméeest non linéaire et bijective et se définit par

φ :

Ω → ω

X → x(1.1)

Le déplacement du point matériel X (voir Figure 1.1) est alors décrit par

u(X) = φ(X)−X. (1.2)

Tenseur gradient de déformation

Une mesure fondamentale de la déformation dans le contexte de la mécanique des solides estdonnée par le tenseur gradient de déformation FX,x définie comme la dérivée partielle de laconfiguration courante suivant la configuration de référence :

FX,x =∂x∂X

= I+∇Xu (1.3)

où I est le tenseur identité d’ordre 2 et l’autre terme représente le tenseur du gradient dedéplacement défini par

∇Xu =( ∂ui∂Xj

)1≤i,j≤3

. (1.4)

Le tenseur de gradient de déformation transforme un élément de longueur dX = (dX1, dX2, dX3)

de la géométrie initiale en un élément de longueur dx = (dx1, dx2, dx3) sur la configurationdéformée. En effet, en utilisant la règle des chaînes, nous aurons, pour tout i = 1, 2 ou 3

dxi =

j=3∑j=1

∂xi∂Xj

dXj ,

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ce qui donnedx = FX,x · dX.

La matrice FX,x est aussi dite push-forward de X à x et son inverse est pull-back de x à X.

En appliquant FX,x à un vecteur tangent u à la frontière de la configuration initiale, on obtientun vecteur qui est tangent à la frontière de la configuration déformée. Réciproquement, FX,x

transforme un vecteur tangent de la configuration déformée en un vecteur tangent à la confi-guration de référence. De façon générique, si à X dans la configuration de référence correspondx1 dans une configuration déformée et x2 dans une seconde configuration, l’opérateur Fx1,x2

peut être calculé par :Fx1,x2 = FX,x2F

−1X,x1

, (1.5)

puisqueFX,x2 = Fx1,x2FX,x1 .

Dans la suite, on note FX,x par F et nous avons aussi les transformations suivantes :

— Un élément de volume dV de la configuration initiale sera transformé par un élément devolume de la configuration déformée suivant la relation :

dv = JdV,

où J représente le déterminant du tenseur F et est appelé le jacobien du dit tenseur.

— Un élément d’aire dA orientée se transforme aussi par la formule de Nanson suivant larelation

da = JF−TdA.

— La normale à la configuration déformée n évolue à partir de la normale à la configurationinitiale N suivant la formule

n =J

Js(F−T ·N),

où Js, appelé jacobien surfacique, est le rapport entre les éléments de surface déforméeet non déformée défini par :

Js = J√(C−1 ·N) ·N.

Le tenseur C, appelé tenseur symétrique de Cauchy-Green, est défini par

C = FT · F. (1.6)

Tenseur de déformation

Le tenseur de déformation détermine la linéarité géométrique du corps élastique. Il est définien fonction du tenseur gradient de déformation, il est appelé tenseur de Green-Lagrange et

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est donné par

E(u) =1

2

(∇Xu+∇T

Xu+∇TXu · ∇Xu)

=1

2

(FT · F− I

)=

1

2

(C− I

). (1.7)

Cependant, ce tenseur n’est pas le seul utilisé en grands déplacements. On peut noter lestenseurs d’Euler-Almansi et de Biot (voir au chapitre 2 de [43]).

Dans le cas particulier où ce tenseur est linéaire par rapport à u ou lorsqu’on suppose qu’ilest linéaire (en utilisant l’hypothèse de petites déformations (ou perturbations)), on parleraalors d’élasticité linéaire. Dans ce cas, le tenseur de déformations correspond au tenseur dedéformations linéarisé noté ε(u) et défini par

ε(u) =1

2

(∇Xu+∇T

Xu). (1.8)

Tenseur de contraintes

Le tenseur de contraintes, noté σ, caractérise l’état de contraintes en un point matériel. Ilvérifie la relation

σ · da = df ,

pour tout élément de force df agissant sur un élément de surface orientée da dans la configu-ration déformée.

Ce tenseur ainsi écrit est défini dans la configuration déformée. Voulant résoudre en formulationlagrangienne, ce dernier devrait alors être réécrit dans la configuration initiale. Pour ce faire,nous avons besoin du second tenseur de Piola-Kirchhoff noté S qui se définit comme une forcesur la configuration initiale par unité d’aire (orientée) non déformée vérifiant

S · dA = dF.

Ainsi, utilisant les identités (1.3)–(1.6), le tenseur de contraintes pourrait s’écrire dans laconfiguration initiale par la relation

σ =1

JF · S · FT. (1.9)

Le produit de F et S est appelé le premier tenseur de Piola-Kirchhoff et est noté par

Π = F · S = Jσ · F−T. (1.10)

Le premier (non symétrique) et le second (symétrique) tenseur de Piola-Kirchhoff portent surla même quantité dans la configuration déformée, Π, et initiale S.

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Le comportement hyper-élastique d’un matériau se caractérise par l’existence d’une fonctiondite de potentiel d’énergie ψ de déformation qui dépend de E (et par (1.7) de F et C). Cetteénergie se définit comme étant l’énergie emmagasinée dans le matériau lorsque ce dernier estdéformé autrement dit lorsqu’il est compressé ou étiré par rapport à la configuration initiale.Elle est alors nulle dans cette configuration c’est-à-dire ψ(I) = 0. Le second tenseur de Piola-Kirchhoff S découle de cette énergie comme suit :

S =∂ψ

∂E= 2

∂ψ

∂C. (1.11)

Nous pouvons aussi définir le tenseur d’élasticité C d’ordre 4 obtenue par la dérivée de S parrapport à E, découlant alors du potentiel d’énergie par

C = ∂S∂E

= 4∂2ψ

∂C2. (1.12)

1.1.2 Loi de comportement

Différents modèles existent pour définir le potentiel ψ, ces modèles empiriques (on parlede modèle phénoménologique) s’appuient sur les propriétés observées des matériaux (isotro-pie, hyper-élasticité, plasticité, etc.). Par (1.11), cela établi la relation entre le tenseur decontraintes S et le tenseur de déformations E. Cette relation dite loi de comportement du ma-tériau est complètement caractérisée par la forme donnée à l’énergie ψ. Nous allons présenterdans cette section les quelques lois de matériaux hyper-élastiques qui seront utilisées danscette thèse (pour plus de détails nous référons au chapitre 5 de Bonet et Wood [42]).

• Saint-Venant Kirchhoff

Ce matériau est isotrope et hyper-élastique d’énergie

ψSV K =λ

2(trE)2 + µ(E : E). (1.13)

Dans ce contexte, les paramètres µ et λ représentent les coefficients de Lamé. Ils dé-pendent des paramètres du matériau qui sont le module de Young E et le coefficient dePoisson ν. Ils sont définis par

λ =Eν

(1 + ν)(1− 2ν), µ =

E

2(1 + ν). (1.14)

En pratique, on a 105 < E < 1010 et 0 < ν < 12 .

Cette énergie est généralement utilisée en petites déformations en utilisant le tenseur dedéformations linéarisé (1.8).

En utilisant la relation (1.11), nous pouvons obtenir le second tenseur de Piola-Kirchhoffcaractérisé par

S = λtr(E)I+ 2µE, (1.15)

où I représente le tenseur identité d’ordre 2.

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• Néo-Hookéen

Un autre matériau souvent utilisé en hyper-élasticité est celui du modèle néo-Hookéen.Il est caractérisé par

ψNH =µ

2(trC− 3)− µ log J +

λ

2(log J)2. (1.16)

Les paramètres µ et λ sont les mêmes que ceux définis précédemment dans (1.14).

Le second tenseur de Piola-Kirchhoff peut être obtenu de la relation (1.11) par

S = µ(I− C−1) + λ(log J)C−1. (1.17)

• Mooney-Rivlin

Ce matériau est utilisé dans beaucoup de domaines d’applications surtout dans la pneu-matique. C’est un modèle hyper-élastique mais aussi non linéaire physiquement.

Pour définir ce potentiel d’énergie, nous avons besoin des premiers invariants du tenseurde Cauchy-Green C qui sont donnés par

I1 = C : I , I2 =1

2(I21 − C : C) et I3 = det(C). (1.18)

Afin de simplifier l’écriture nous allons introduire un nouveau tenseur de Green-Lagrangenoté C et un nouveau tenseur de déformations F définis par

F = J−13 F et C = J

23 FTF = I

133 C.

Nous notons les premiers invariants du nouveau tenseur C par J1, J2 et J3. Ils sontobtenus à partir de la relation (1.18) en remplaçant C par C. On peut voir facilementque J3 est égal à 1.

Ainsi, l’énergie est définie par

ψMR = c10(J1 − 3) + c01(J2 − 3) +1

2k(J − 1)2, (1.19)

où k est le module d’incompressibilité, c01 et c10 sont les paramètres du matériau.

Le second tenseur de Piola-Kirchhoff associé est alors

S = 2c10∂J1∂C

+ 2c01∂J2∂C

+ 2k(J − 1)∂J

∂C. (1.20)

D’autres types de matériaux sont aussi utilisés dans la littérature, on peut se référer à [44, 41].

1.2 Problème d’élasticité

Dans cette section, nous présentons le problème d’élasticité dans sa globalité. Nous présen-terons la problématique puis nous définirons la formulation variationnelle avec déplacementseulement et celle mixte (en déplacement-pression). Ces problèmes étant généralement nonlinéaires, nous décrirons les étapes de linéarisation pour la résolution.

16

1.2.1 Problématique

Un corps déformable occupe dans une configuration de référence, un ouvert Ω inclus dansRd avec d = 2, 3. La frontière de Ω est divisée en deux parties disjointes ΓD et ΓN (voirFigure 1.2). Le corps considéré étant élastique, les contraintes, définies par (1.9), seront ca-ractérisées par une loi constitutive établie par la relation (1.11). Nous négligeons les termesd’inertie et considérons le problème quasi-statique.

Figure 1.2 – Description du problème d’élasticité

On impose sur les parties γD et γN associées aux surfaces ΓD et ΓN dans la configurationdéformée, un champ de déplacement uD respectivement des forces surfaciques f1. Le corps Ωest soumis à des forces externes f0, nous supposons pour l’instant qu’il n y ait pas de contact.L’état du système est complètement déterminé par (u, σ) jouant le rôle des inconnues pour leproblème élastique. Elles doivent satisfaire à :

— l’équation d’équilibre−∇ · σ = f0, dans ω (1.21)

— les conditions aux limites géométriques (ou de Dirichlet)

u = uD, sur γD (1.22)

— les conditions aux limites mécaniques

σ(u) · n = f1, sur γN . (1.23)

Pour simplifier notre démarche, nous posons uD = 0 et pour éviter que le corps se déplacelibrement dans l’espace comme un corps rigide, nous supposons que γD soit de mesure nonnulle pour qu’il ait au moins une force agissant sur le corps.

17

1.2.2 Formulation variationnelle

Nous utilisons le repère lagrangien. De ce fait, ces équations définies dans la configurationdéformée doivent être transformées dans celle de référence en utilisant les transformationsappropriées étudiées précédemment (voir [40]). Ainsi le système est équivalent à celui définisur la configuration initiale suivant :

−∇ ·Π = F0, dans Ω

u = 0, sur ΓD (1.24)

Π ·N = F1, sur ΓN

où F0 = Jf0 et F1 = Jsf1 représentent les transformations des forces mécaniques dans laconfiguration initiale.

Formulation en déplacement seulement

Nous supposons maintenant que les forces f0 et f1 sont assez régulières c’est-à-dire que

f0 ∈(L2(Ω)

)det f1 ∈

(H

12 (ΓN )

)d, (1.25)

et définissons l’espace admissible des déplacements V comme étant

V =v ∈ H1(Ω) tel que v = 0 sur ΓD

. (1.26)

En multipliant l’équation d’équilibre par une fonction vectorielle test w dans V et en intégrantsur le domaine Ω, on obtient l’égalité suivante

−∫Ω(∇ ·Π) ·w dV =

∫ΩF0 ·w dV. (1.27)

En intégrant par parties le terme de la gauche de (1.27), on obtient∫Ω(∇ ·Π) ·w dV = −

∫ΩΠ : ∇Xw dV +

∫Γ(Π ·N) ·w dA.

En tenant compte de l’espace admissible V défini dans (1.26) et de la condition au bord dans(1.24), on obtient ∫

ΩΠ : ∇Xw dV =

∫ΩF0 ·w dV +

∫ΓN

F1 ·w dA.

Explicitement, la formulation sur la configuration non déformée est de trouver u dans V telleque ∫

Ω(F · S) : ∇Xw dV =

∫ΩF0 ·w dV +

∫ΓN

F1 ·w dA, ∀w ∈ V.

18

La fonction w →∫ΩF0 ·w dV +

∫ΓN

F1 ·w dA est linéaire et continue dans V . Alors, par le

théorème de représentation de Riesz [45], il existe une forme linéaire f dans V telle que

〈f ,w〉 =∫ΩF0 ·w dV +

∫ΓN

F1 ·w dA, ∀w ∈ V.

Comme S est non linéaire par rapport aux déplacements, on introduit un opérateur A dépen-dant de u tel que

〈A(u)u,w〉 =∫Ω(F · S) : ∇Xw dV, ∀w ∈ V. (1.28)

Ainsi, on peut réécrire le problème variationnel (1.28) sous la formetrouver u dans V tel que〈A(u)u,w〉 = 〈f ,w〉, ∀w ∈ V.

(1.29)

Remarque : Sous l’hypothèse des petites déformations, les géométries Ω et ω sont presqueidentiques. De ce fait, la transformation sur la géométrie initiale n’est pas nécessaire, lestenseurs de contraintes sont identiques et le problème dans la configuration initiale est alorsconsidéré. Puisque le tenseur de déformation linéarisé est utilisé, l’opérateur A ne dépend plusdes déplacements, ceci entraînant une formulation variationnelle linéaire :

〈Au,w〉 = 〈f ,w〉, ∀w ∈ V. (1.30)

Avant de linéariser le problème (1.29), nous le réécrivons sous la forme simple suivante

R(u,w) = 0 (1.31)

et utilisons la méthode de Newton pour la linéarisation.

Tout d’abord, on définit ak, un opérateur bilinéaire continue caractérisant la dérivée de R parrapport à la variable u et donnée par

ak(δu,w) =∂R(uk,w)

∂u· δu

=

∫ΩS(uk) :

(∇T

X(δu) · ∇Xw)dV

+

∫Ω

(C(uk) :

(FT(uk) · ∇X(δu)

)):(FT(uk) · ∇Xw

)dV

et une forme linéaire définissant le terme résiduel, rk(w) = −R(uk,w). Ainsi, la résolutionpeut alors se résumer par l’algorithme suivant

19

Algorithme 1 Résolution du problème en déplacement seul1: Choisir u0

2: Pour k = 0, 1, . . ., jusqu’à convergence, faire

— Résoudre le problème linéaire

ak(δu,w) = rk(w)

— Mettre à jour la solutionuk+1 = uk + δu

Remarque : La coercivité de l’opérateur ak, pour tout uk, définie par la relation

ak(w,w) ≥ α‖w‖2 ∀w ∈ V, (1.32)

avec α une constante strictement positive, garantie l’unicité de la solution. On peut interprétercette condition comme portant sur la nature du matériau. Ainsi en grandes déformations,cette relation de coercivité n’est pas toujours assurée. À l’exemple du matériau de Mooney-Rivlin (1.20), pour lequel on perd la coercivité lorsque le module d’incompressibilité est trèsgrand. Cependant, en petites déformations, l’existence et l’unicité de la solution sont toujoursgaranties du fait de l’inégalité de Korn (voir [38]).

Formulation mixte (déplacement-pression)

Lorsque le coefficient de Poisson pour les modèles de Saint-Venant Kirchhoff et néo-Hookéentend vers 1

2 (ou lorsque le module de compressibilité de la loi de Mooney-Rivlin devient trèsgrand), le matériau est dit quasi-incompressible (ou incompressible). Il se déforme alors tout enpréservant son volume. Ceci se traduit par la relation J ≈ 1 pour le cas quasi-incompressibleet J = 1 pour le cas incompressible. Dans ces cas, lorsque l’on résout le problème avec la for-mulation en déplacement seul, on observe souvent des problèmes dit de verrouillage numériquequi se traduisent par une rigidité artificielle du matériau et des déplacements erronés. Dansces situations, la formulation mixte en déplacement et pression est suggérée. Notons que cetteseconde formulation n’est pas la seule utilisée dans la littérature (voir [40, 46]).

Pour simplifier notre démarche, nous considérons le modèle de Mooney-Rivlin pour la suite.Toutefois le raisonnement présenté ici s’applique à toute autre loi de comportement. Pourcommencer, nous allons introduire la pression hydrostatique qui sert de multiplicateur deLagrange lié à la minimisation de (1.37) et défini par

p = −k(J − 1) (1.33)

et un tenseur S′ déduit du second tenseur de Piola-Kirchhoff par la relation

S = S′ − pJC−1. (1.34)

20

Ainsi, en utilisant la relation (1.28) et la condition (1.33), la formulation variationnelle mixteest alors de trouver (u, p) ∈ (V,Q) avec Q = L2(Ω) telle que

∫Ω(F · S′) : ∇Xw dV −

∫ΩpJF−T : ∇Xw dV =

∫ΩF0 ·w dV +

∫ΓN

F1 ·w dA

−∫Ω(J − 1)q dV −

∫Ω

1

kpq dV = 0

(1.35)que nous réécrivons sous une forme compacte par

R1((u, p),w) = 0,

R2((u, p), q) = 0.

Comme pour la formulation en déplacement seul, ce problème est non linéaire et sa résolutionsera basée sur la méthode de Newton. Cette linéarisation, qui conduit à la solution d’unesuite de problèmes quadratiques à contrainte linéaire, se retrouvera aussi dans le traitementdu contact. On y référera sous le vocable d’Optimisation Quadratique Successive (OQS ou,en anglais, sequential quadratic programming SQP).

Soit les opérateurs bilinéaires et continus ak, bk et ck, représentant les entrées de la matricejacobienne symétrique de

(R1((·, ·),w), R2((·, ·), q)

)et définis par :

ak(δu,w) =∂R1((uk, pk),w)

∂u· δu

=

∫ΩS′(uk) :

(∇T

X(δu) · ∇Xw)dV

+

∫Ω

(C(uk) :

(FT(uk) · ∇X(δu)

)):(FT(uk) · ∇Xw

)dV,

bk(δp,w) =∂R1((uk, pk),w)

∂p· δp

= −∫ΩJδp

(F−T(uk) : ∇Xw

)dV

ck(δp, q) =∂R2((uk, pk), q)

∂p· δp

= −∫Ω

1

k(δp)q dV.

Et les opérateurs r1,k et r2,k linéaires, continus, définis par

r1,k(w) = −R1

((uk, pk),w

),

r2,k(q) = −R2

((uk, pk), q

).

On peut résumer la méthode de Newton pour la formulation mixte dans l’algorithme suivant

21

Algorithme 2 Résolution du problème d’élasticité mixte1: Choisir u0 et p02: Pour k = 0, 1, . . ., jusqu’à convergence, faire

— Résoudre le problème linéaireak(δu,w) + bk(δp,w) = r1,k(w),

bk(q, δu) + ck(δp, q) = r2,k(q).

— Mettre à jour la solution

uk+1 = uk + δu et pk+1 = pk + δp.

Remarque L’existence et l’unicité de la solution du problème linéaire dépend en plus de lacoercivité de l’opérateur ak définie par la relation (1.32), de la condition inf–sup définie parl’existence d’une constante β strictement positive telle que

infv∈V

supq∈Q

b(q,v)‖v‖V ‖q‖Q

≥ β. (1.36)

De même que pour la formulation en déplacement seul, le problème de l’absence possible decoercivité pour l’opérateur ak se pose. Si la coercivité dépend des propriétés du matériau, lacondition inf–sup quand à elle dépend du domaine Ω (voir [20]).

Problème de minimisation

Sans élaborer sur les différentes approches, rappelons qu’en vertu du principe des travauxvirtuels, voir Bonet [42, chapitre 6], la formulation en déplacement seulement et la formulationmixte qui précèdent correspondent à la caractérisation de l’optimalité de l’énergie potentielletotale du système physique, notée J . Les travaux virtuels prescrivant que les déplacements uminimisent

J(w) =

∫Ωψ(w)−

∫ΩF0 ·wdV −

∫ΓN

F1 ·wdA, (1.37)

avec ψ le potentiel d’énergie associé au matériau. Dans le cas particulier de l’élasticité linéaire,l’énergie J(w) prend la forme simple d’une fonctionnelle quadratique en w définie par

J(w) =1

2〈Aw,w〉 − 〈f ,w〉 ∀w ∈ V. (1.38)

1.3 Problème discret

Dans ce travail, la méthode des éléments finis est retenue pour l’approximation des solutions.Pour des détails concernant la méthode, nous référons à [11, 42, 47, 40]. Soit Ωh une discré-tisation de Ω, c’est-à-dire un maillage composé de triangles ou de quadrangles dans le cas

22

bidimensionnel et de tétraèdres ou d’hexaèdres dans le cas tridimensionnel. Le paramètre hreprésente ici la longueur maximale des arêtes du maillage constituant le domaine Ωh.

Nous introduisons les sous espaces de dimension finie Vh de V et Qh de Q dont les bases sont(Nu

i )1<i<n1 et (Npj )1<j<n2 respectivement, définies par

Vh = V ect(Nui )1<i<n1 et Qh = V ect(Np

j )1<j<n2 (1.39)

alors les approximations uh de u et ph de p s’écrivent sous la forme

uh =

n1∑i=1

uiNui et ph =

n2∑j=1

pjNpj (1.40)

où u = (u1, · · · , un1)T et p = (p1, · · · , pn2)

T sont les vecteurs d’inconnues.

En utilisant ces approximations dans les formulations variationnelles (1.32) et (1.36), on ob-tient un système algébrique linéaire (dont la matrice dépend de l’approximation à l’itérationprécédente de la méthode de Newton dans le cas de matériau non linéaire).

• Formulation en déplacement seulement

La formulation approchée de l’équation (1.32) est alors detrouver uh ∈ Vh tel quea(uh,wh) = r(wh) ∀wh ∈ Vh.

En utilisant la relation (1.40) et en prenant wh pour chaque Nui , nous pourrons l’écrire

sous la forme algébrique suivanteKu = r. (1.41)

• Formulation mixte

Le problème mixte approché de l’équation (1.36) est :trouver (uh, ph) ∈ Vh ×Qh tel quea(uh,wh) + b(ph,wh) = r1(wh) ∀wh ∈ Vhb(qh,uh) + c(ph, qh) = r2(qh) ∀qh ∈ Qh

et en utilisant les fonctions de bases, nous aurons à résoudre le système matriciel de laforme (

K BT

B − 1kM

)(δu

δp

)=

(r1r2

). (1.42)

Remarque : On devra satisfaire une condition de coercivité, naturellement celle-ci est héri-tée de la coercivité au niveau continu. Dans le cas mixte, une forme discrète de la condition

23

inf–sup (1.36) devra aussi être respectée pour assurer l’existence d’une solution (voir [20]).Cette dernière condition impose des restrictions sur le choix de discrétisation des espaces dedéplacements et de pression. Il est montré dans [20] que la combinaison d’une interpolationquadratique pour le déplacement et linéaire pour la pression est adéquate pour la conditioninf–sup et donne des résultats précis. D’autres choix sont possibles, mais nous prenons géné-ralement cette discrétisation dans les exemples numériques pour la résolution des problèmesd’élasticité en formulation mixte.

Conséquence de la perte possible de coercivité : La définie positivité de la matrice Kassurant son inversibilité n’est pas toujours garantie. Il peut même arriver, pour certains para-mètres du matériau, que la matrice soit singulière (non inversible). La solution approximativeinitiale u0, point de départ de notre méthode de Newton, doit être bien choisie afin d’évitercertains problèmes de bifurcation.

1.4 Résolution du système matriciel

De façon générique, nous pouvons alors dire qu’à chaque itération de la méthode de Newton,pour le problème en déplacement comme en mixte, le système algébrique à résoudre est de laforme :

Au = b, (1.43)

où A est une matrice de taille n × n, n représentant le nombre d’inconnues du système et lesecond membre b est un vecteur de dimension n. La matrice A est généralement inversible etu est la solution du problème.

Dans le milieu industriel, les méthodes de prédilection sont les méthodes dites directes. Ré-putées "robustes", elles ne demandent presque aucune connaissance à priori du système algé-brique à résoudre. Elles donnent une solution de bonne précision (voir [48]) pour un problèmede la forme de (1.43) raisonnablement bien conditionné. Toutefois, elles ont l’inconvénient dedemander beaucoup d’espace mémoire et de temps de calcul pour un problème de grandetaille. Or, dans les problèmes d’ingénierie, particulièrement de mécanique des structures dontla géométrie est tridimensionnelle, le nombre d’inconnues est très grand. Face aux exigences entemps de calcul et en stockage mémoire de ces méthodes, nous sommes confrontés au dilemmede déployer des ressources matérielles importantes (et qui ne pourront qu’augmenter) ou delimiter la complexité et la précision des résultats.

Les méthodes itératives donnent une solution approximative nécessitant généralement untemps de calcul inférieur à celui des méthodes directes. Leur inconvénient majeur étant quela convergence est fortement liée au conditionnement du système (structure et entrées dusystème). Ces méthodes nécessitent souvent des techniques non triviales pour obtenir uneconvergence performante. L’utilisation de ces méthodes est donc plus complexe et elles sontfréquemment jugées "fragiles" en comparaison des méthodes directes. Toutefois, les possibilités

24

accrues quand aux dimensions de système et les gains en performance qu’offrent les méthodesitératives rendent ces dernières attrayantes dans le contexte de problème de grande taille. Nousprésenterons quelques-unes de ces méthodes.

La littérature concernant les méthodes directes et itératives est grande, mentionnons [31, 48,29, 49, 30, 50]. Nous nous permettrons de ne faire qu’un survol rapide des caractéristiquesessentielles de ces deux familles de méthodes.

1.4.1 Méthodes directes

Les méthodes directes [51, 29, 49] sont fréquemment utilisées car elles donnent la solution enun nombre fini d’opérations. Ces méthodes reposent sur une décomposition de la matrice Aen un produit de matrices généralement inversibles. La plus répandue de ces décompositionss’écrit

A = PLU, (1.44)

où P est une matrice de permutation (P−1 = PT) ; L est une matrice triangulaire inférieureet U une matrice triangulaire supérieure.

De ce fait, la résolution se déroulera suivant les étapes :

1. Décomposition de A, PLUu = b, b = PTb entraîne LUu = b

2. Résoudre Ly = b

3. Résoudre Uu = y ce qui implique u = U−1(L−1(PTb)

)Les matrices L et U étant triangulaires, on résout par la méthode de descente pour l’étape2 et de remontée pour l’étape 3. En général, la décomposition est la partie la plus coûteuseen nombre d’opérations, toutefois celle-ci est indépendante du second membre b. Une fois ladécomposition faite, seul les étapes de descente et de remontée sont nécessaires pour résoudrele système (1.43). Sous sa forme générale, cette méthode dite méthode LU s’apparente à l’éli-mination de Gauss. Une variante particulière est développée lorsque la matrice est symétriquedéfinie positive, c’est la méthode de Cholesky. Dans cette dernière, on décompose la matriceA en produit LLT.

1.4.2 Méthodes itératives

Les méthodes itératives (voir [30, 47, 31]) permettent d’atteindre la solution d’un systèmelinéaire comme la limite d’une suite de solutions approchées. Elles sont moins gourmandes enmémoire que les méthodes directes car elles ne font appel qu’à des produits matrices vecteurs.Pour les systèmes de grande taille, lorsque bien choisies et configurées, elles sont aussi plusefficaces en temps de calcul.

25

La construction de ces méthodes sera donc entièrement inspirée de la production d’une suitede vecteurs uk telle que

u = limk−→∞

uk. (1.45)

Ces méthodes se repartissent en deux grandes catégories. Notons que cette catégorisation et lanomenclature qui en découle ne font pas l’unanimité, toutefois elle nous permettra de faire unsurvol rapide des méthodes itératives. On retrouve d’abord les approches basées sur un pointfixe qu’on appellera méthodes itératives linéaires comprenant les méthodes stationnaires et lesméthodes instationnaires tirées de la méthode d’optimisation appelée méthode du gradient. Laseconde catégorie, nommée méthodes de Krylov est inspirée de la minimisation d’une formequadratique et de la méthode d’optimisation dite du gradient conjugué. Soulignons qu’il n’estpas toujours possible de garantir la convergence de ces méthodes et que cette convergence serapresque assurément dépendante de la nature de la matrice A. Nous allons faire une présentationbrève de quelques-unes d’entre elles.

Méthodes linéaires

Les méthodes itératives linéaires (voir [31, 51, 52]) reposent sur une décomposition de lamatrice A =M−N oùM est une matrice inversible. L’idée est alors de produire une équationde point fixe grâce à l’identité Au =Mu−Nu = b, ce qui implique que Mu = Nu+ b d’où

u = M−1Nu+M−1b

= Bu+ c.

Nous pourrons alors prendre la méthode itérative comme

uk+1 = Buk + c, k = 0, 1, 2, · · · . (1.46)

Évidemment cette méthode converge quelque soit la donnée initiale u0 si B est une contraction,c’est-à-dire lorsque ‖B‖ < 1.

Utilisant une décomposition simple de la matrice A, on retrouve trois méthodes de base :Jacobi, Gauss-Seidel et la méthode de relaxation dite SOR (pour successive over relaxation).Pour les définir, on décompose A en une somme de matrices D − L − U où D est la partiediagonale et où (−L) et (−U) sont les parties triangulaires inférieure et supérieure de A. Ensupposant que D est inversible (i.e. A n’a pas d’éléments nuls sur sa diagonale), la méthodede Jacobi se base sur M = D, Gauss-Seidel M = D − L. La méthode de relaxation résoutwAu = wb avec la décomposition M = D − wL où w est un paramètre de relaxation ayantpour but d’accélérer la convergence. On a les itérations

Jacobi : Duk+1 = (L+ U)uk + b, (1.47)

Gauss-Seidel : (D − L)uk+1 = Uuk + b, (1.48)

SOR : (D − wL)uk+1 = (wU + (1− w)D)uk + wb. (1.49)

26

Nous avons aussi la méthode de Richardson dont les itérations sont définies par :

uk+1 = uk + wkP−1(b−Auk) (1.50)

où P est une matrice inversible dite de préconditionnement et wk un paramètre de relaxation.Si le paramètre est variable, on dira qu’il s’agit d’uneméthode instationnaire et s’il est constant,on parle de méthode stationnaire. Pour P = I, on retrouve des variantes de la méthode dugradient. Pour w = 1, la méthode de Richardson est équivalente aux méthodes de Jacobi etde Gauss-Seidel quand P = D et P = D − L respectivement ; ce sont donc des méthodesstationnaires.

Terminons en soulignant que ces méthodes linéaires sont faciles à implémenter mais qu’ellesconvergent très lentement en général. On retrouve l’analyse de la convergence de ces méthodesdans la plupart des références déjà citées.

Méthodes de Krylov

La seconde grande famille de méthodes se base sur la notion de projection (orthogonale etoblique [31]). On peut aussi en donner comme origine la méthode d’optimisation dite dugradient conjugué [30] appliquée à une forme quadratique. Comme le gradient conjugué, cesméthodes consistent à construire un sous-espace vectoriel dont la dimension croit à chaqueitération et à déterminer une approximation de la solution dans ce sous-espace. Générant dessous-espaces dont la dimension augmente à chaque étape par ajout d’un vecteur orthogonal,ces méthodes devraient permettre d’obtenir une solution après au plus n étapes où n est ladimension du système. Ce sous-espace est produit par application successive de la matrice Adu système sur un vecteur unique. Il s’agit de l’espace de Krylov, défini par

Kk(A, r0) = vectr0, Ar0, · · · , Ak−1r0

, (1.51)

qui est donc formé par l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs r0, Ar0, · · · , Ak−1r0.Le vecteur r0 = b−Au0, où u0 est une solution approximative initiale, est dit résidu initial.

Si l’espace de Krylov est unique, sa base et la manière dont l’itéré uk est construit ne le sontpas.

• Méthodes de projection orthogonale (erreur minimale) : uk ∈ Kk tel que b − Auk soitorthogonal à Kk, c’est la condition de Galerkin. Dans ce cas une norme de A−1b − uksera minimal.

— Kk = Kk(A, r0), la méthode dite d’Arnoldi ou FOM (fully orthogonal method) enest le représentant le plus connu. La méthode du gradient conjugué (en anglais,conjugate gradient (GC)) en est un cas particulier où la matrice A est symétriqueet définie positive.

— Kk = Kk(ATA,ATr0), la méthodeCGNE (conjugate gradient on normal equation)est de ce type.

27

• Méthode de projection oblique (résidu minimal) : uk ∈ Kk tel que b−Auk soit orthogonalà un espace Lk 6= Kk de dimension k, c’est la condition de Pétrov-Galerkin. Dans ce casc’est le résidu b−Auk qu’on cherche à minimiser.

— Kk = Kk(A, r0) et Lk = AKk produit la méthode GMRES (Generalized MinimumResidual Method) et la méthodeGCR (Generalized Conjugate residual) en utilisantune orthogonalisation de Kk différente. Les deux méthodes sont mathématiquementéquivalentes.

— Kk = Kk(A, r0) et Lk = Kk(AT, r0) produit des méthodes issues de la bi-orthogo-nalisation de Lanczos (méthode de gradient bi-conjugué, voir [31, chapitre 7]), laméthode BiCGStab (biconjugate gradient stabilized) est de ce type.

Notons qu’au cœur de ces méthodes on retrouve une procédure d’orthogonalisation (Arnoldiou Lanczos, voir [31]) garantissant des vecteurs linéairement indépendants. Cette orthogona-lisation sera source de difficulté numérique importante. En pratique, les méthodes les pluscouramment utilisées sont le gradient conjugué et GMRES.

Considérons d’abord une base de l’espace Kk(A, r0) composée des vecteurs v1,v2, · · · , vk etVk la matrice d’ordre n× k dont les colonnes sont les vecteurs de la base. Nous avons alors

• v1 =r0‖r0‖

donc b−Au0 = r0 = ‖r0‖v1, en supposant r0 non nul

• v ∈ Kk(A, r0) entraîne v = Vky avec y ∈ Rk

• V Tk r0 = ‖r0‖e1 ∈ Rk,

• V Tk Vk = Ik et VkV T

k = In.

Dans la suite, on définit la matrice Hk d’ordre k par

Hk = V Tk AVk, (1.52)

et la matrice Hk d’ordre (k + 1)× k par

Hk = V Tk+1AVk, (1.53)

Méthode FOM : Dans cette méthode de projection orthogonale, le vecteur solution uk =

u0 + Vky dans Kk(A, r0) doit vérifier

b−Auk orthogonal à Kk(A, r0),

i.e(b−Auk , v) = 0, ∀v ∈ Kk(A, r0),

en particulier pour v = vi, nous avons (en prenant uk = Vky)

(b−Auk , vi) = 0 ⇒ vTi AVky = vT

i r0, ∀i = 1, · · · , k,

⇒ V Tk AVky = V T

k r0,

⇒ Hky = ‖r0‖e1.

28

Il s’agit alors de trouver y par la relation (1.54) pour ainsi avoir uk = u0+Vky. Sommairement,pour la méthode FOM, on aura l’algorithme de résolution suivant

Algorithme 3 Méthode FOM1: Choisir :

— une approximation de la solution u0 ;

— un nombre maximum d’itérations N ;

2: Prendre r0 = b−Au0 et k = 1

3: Orthogonaliser les vecteurs vi par Gram-Schmidt, pour i = 1, . . . , k4: Construire les matrices Vk et Hk

5: Trouver la solution yk du problème

Hkyk = ‖r0‖e1

6: Calculer l’approximation de la solution par uk = u0 + Vkyk7: Si la convergence est atteinte ou (k >N)

— arrêter le calcul

— sinon incrémenter k et retour à l’étape 3.

En arithmétique exacte, cet algorithme permet de déterminer la solution en au plus n itéra-tions puisqu’alors Kn = Rn. En pratique, on utilisera plutôt différentes stratégies (voir [31])permettant d’obtenir une solution satisfaisante tout en conservant un nombre maximal d’ité-rations petit. Avec ces stratégies, la matrice Hk est de taille très petite comparée à celle de Adonnant un problème facile à résoudre.

Méthode du gradient conjugué (GC) : Lorsque la matrice A est symétrique et définiepositive, il est possible d’orthonormaliser les vecteurs de l’espace de Krylov selon le produitscalaire induit par A (les vecteurs sont alors A-conjugués). Dans ce cas, la matrice Hk définiedans (1.52) est symétrique et l’orthogonalité du résidu (1.54) fait en sorte que cette matrice soitégale l’identité, éliminant la nécessité d’une résolution et simplifiant la méthode FOM. Ainsion obtient la méthode du gradient conjugué [53] considérée comme la meilleure des méthodesitératives dans ce cas particulier. Il est clair que l’algorithme 3 résume aussi cette méthode.La construction des vecteurs A–conjugués est cependant plus complexe. On fait généralementune construction incrémentale et simultanée de la base et de la solution. Cette méthode peutêtre résumée dans l’algorithme suivant (voir [31, chapitre 6])

29

Algorithme 4 Méthode GC1: Choisir :


— une tolérance ε ;


2: Prendre r0 = v0 = b−Au0 et k = 0

3: Tant que(‖rk‖ ≥ ε et k ≤N

)faire

— αk = (rk , rk)/(Avk , vk)

— uk+1 = uk + αkvk— rk+1 = rk − αkAvk— βk = (rk+1 , rk+1)/(rk , rk)

— vk+1 = rk+1 + βkvk— k = k + 1

Notons que les constantes αk et βk garantissent simultanément que les résidus sont orthogo-naux (induit par le fait qu’il s’agit d’une méthode de gradient optimal) et que les vecteurs dela base sont A–conjugués. On peut utiliser le gradient conjugué sur un système non symétriqueen s’appuyant sur l’équation normale

ATAu = ATb

Outre l’application aveugle du gradient conjugué sur ce nouveau système, on peut aussi pro-duire des méthodes spécifiques telle que la méthode CGNE. Remarquons qu’il s’agit de mé-thodes basées sur l’espace de Krylov associé à la matrice ATA et au résidu initial ATr0.

Méthode GMRES : L’orthogonalité du résidu par rapport à l’espace AKk donne :

uk = u0 + Vky ∈ Kk(A, r0) avec (b−Auk , Av) = 0 ∀v ∈ AKk.

On obtient

(b−Auk , Avi) = 0 ⇔ (r0 −AVky , Avi) = 0 i = 1, ..., k

⇒ V Tk A

T(r0 −AVky) = 0

⇒ HTk Hky = HT

k (VTk+1r0).

Ainsi, y ∈ Rk est une solution du système surdéterminé Hky = ‖r0‖e1 ∈ Rk+1 (une solutionau sens des moindres carrés). Comme

‖b−Auk‖ = ‖r0 −AVky‖

= ‖r0 − Vk+1Hky‖

=∥∥∥Vk+1

(‖r0‖e1 − Hky

)∥∥∥, e1 ∈ Rk+1

=∥∥∥‖r0‖e1 − Hky

∥∥∥,30

on en conclut que

minu∈Kk

‖b−Au‖ = minv∈Rk

∥∥∥‖r0‖e1 − Hkv∥∥∥

= ‖b−Auk‖.

La méthode GMRES, étudiée en détail dans [31], est une méthode minimisant le résidu àchaque itéré par rapport à Kk. Son algorithme se décrit ainsi :

Algorithme 5 Méthode GMRES1: Choisir :




3: Orthogonaliser les vecteurs vk par Gram-Schmidt4: Construire les matrices Vk et Hk

5: Trouver la solution yk du problème

miny∈Rk

∥∥∥‖r0‖e1 − Hky∥∥∥.

6: Calculer l’approximation de la solution par uk = u0 +Vkyk7: Si la convergence est atteinte ou (k >N)

— arrêter le calcul

— sinon incrémenter k et retour à l’étape 3.

Méthodes du résidu conjugué : Tout comme le gradient conjugué s’obtient en spécialisantla méthode FOM, on produit une méthode dite du résidu conjugué en spécialisant GMRESpour les matrices symétriques. Dans ce cas, les résidus seront A-conjugués, et les vecteurs dela base satisferont

(Avi , Avj) = 0 pour i 6= j.

Méthode GCR : Basée sur les propriétés observées dans le cas de la méthode du résiduconjugué, on peut revisiter GMRES. On cherchera à minimiser le résidu en utilisant unebase de l’espace de Krylov orthonormalisée par le produit scalaire induit par la matrice ATA.Dans ce cas, on obtiendra une variante du résidu conjugué, mais pour une matrice qui n’estpas nécessairement symétrique, c’est la méthode du résidu conjugué généralisé ou méthodeGCR. Son algorithme se traduit par

31

Algorithme 6 Méthode GCR1: Choisir :






)faire

— k = k + 1

— vk = rk−1— Orthogonaliser par Gram-Schmidt Avi pour i = 1, . . . , k

— αk = (rk−1, Avk)

— uk = uk−1 + αkvk et rk = rk−1 − αkAvk

Méthode BiCGStab : Il s’agit d’une méthode basée sur la bi-orthogonalisation de Lanczos :on orthogonalise deux espaces Kk = K(A, r0) et Kk = K(AT ,w0) en prenant habituellementw0 = r0. On peut aussi réduire ces méthodes à la projection oblique de Kk = K(A, r0)sur Lk = K(AT , w0), produisant des méthodes (BCG, QMR par exemple) qui exigent desproduits par la matrice transposée. La méthode CGS (conjugate gradient squared) introduitepour éviter ces produits par la matrice transposée étant fragile (propension à la propagationd’erreur) une stabilisation de la méthode est introduite, c’est la méthode BiCGStab (voir[31, chapitre 7]) dont l’algorithme s’écrit

Algorithme 7 Méthode BiCGStab1: Choisir :

— une approximation de la solution u0

— une tolérance ε

— un nombre maximum d’itérations N

2: Prendre r0 = b−Au0, v0 = r0 = r0 et k = 0


)faire

— αk = (rk, r0)/(Avk, r0)

— sj = rk − αkAvk— ωk = (Ask, sk)/(Ask, Ask)

— uk+1 = uk + αkvk + ωksk

— βk =(rk+1,r0)(rk,r0)

× αkωk

— vk+1 = rk+1 + βk(vk − ωkAvk)

— k = k + 1

32

Les méthodes de Krylov garantissent, en arithmétique exacte, la solution en au plus n itéra-tions, peu importe la méthode choisie, la nature du système et le processus d’orthogonalisation(Arnoldi ou Lanczos). Toutefois, un bon préconditionneur (stratégie agissant sur le systèmeà résoudre pour en améliorer les caractéristiques telles que son conditionnement) pourra per-mettre de réduire le nombre d’itérations. En arithmétique exacte, un préconditionneur peutêtre interprété comme une optimisation de la construction de l’espace de Krylov.

D’un point de vue numérique, la propagation d’erreurs numériques fait en sorte que la conver-gence en un nombre fini d’itérations n’est plus assurée, faisant des méthodes de Krylov desméthodes itératives au sens d’un point fixe. On peut sommairement donner deux causes ma-jeures à ce phénomène :

— L’orthogonalisation est un processus numérique peu stable (perte d’orthogonalité) quiinduira des perturbations dans l’espace de Krylov. Notons que cette perte d’orthogonalitén’est pas liée au conditionnement du système, mais que celui-ci peut amplifier l’impactde la perte d’orthogonalité. A contrario, un bon conditionnement peut limiter l’effetnégatif de l’orthogonalisation sur la méthode de résolution.

— Les opérations en arithmétique flottante font en sorte de propager des erreurs (qui nesont pas uniquement dues à l’orthogonalisation). Cette propagation est naturellement etfortement tributaire du conditionnement du système.

Les instabilités numériques dont ces méthodes souffrent, pouvant aller jusqu’à empêcher laconvergence, ont souvent caractérisé ces méthodes de "fragiles" (on dit aussi qu’elles ne sontpas robustes). Pour diminuer les effets de ces instabilités, deux stratégies sont déployées si-multanément et de manière systématique.

— Pour limiter la perte d’orthogonalité et la propagation d’erreurs dues aux instabilités duprocessus d’orthogonalisation, on limitera la dimension de l’espace de Krylov menantà des stratégies dites de redémarrage : on arrête prématurément la méthode pour laredémarrer en partant de la dernière approximation obtenue, ce qui a pour effet de"détruire" l’espace de Krylov et de le reconstruire.

— Le préconditionnement comme stratégie permettant d’obtenir un système équivalent deconditionnement amélioré, permet de limiter les effets de propagation d’erreurs (duesaux opérations flottantes et au processus d’orthogonalisation). De plus, comme en arith-métique exacte, il va permettre d’accélérer la convergence.

Toutes les méthodes de Krylov, en particulier les méthodes phares que sont le GC, GMRESet GCR, souffrent des difficultés dues au processus d’orthogonalisation. Il ne s’agit donc pasd’un critère pour le choix d’une méthode de Krylov. Dans le choix d’une méthode, on tiendracompte des aspects suivants

1. la nature de la matrice : symétrie, valeurs propres, etc,

2. les exigences en matière de mémoire et de calcul,

33

3. des préconditionneurs pouvant être utilisés.

La méthode du gradient conjugué ne s’applique qu’aux matrices symétriques et définies po-sitives. Elle est donc toute conseillée dans ces conditions, cependant elle exige le stockaged’un grand nombre de vecteurs à chaque itération (4 ou 5 vecteurs selon l’algorithme retenu).Les méthodes GCR et GMRES n’ont pas cette contrainte (dans le cas symétrique défi-nie positive, elles présenteront un comportement amélioré). On souligne très fréquemment lefait que lorsque comparé à GMRES, la méthode GCR exige presque 50% plus d’opérationspar itérations et qu’elle exige le stockage de 2 vecteurs par itération alors que la méthodeGMRES n’exige le stockage que d’un seul vecteur. On aurait donc tendance à retenir la mé-thodeGMRES. Toutefois il faut souligner que cette analyse ne tient pas compte des stratégiesde préconditionnement ni de leur intégration dans ces méthodes. Ces deux derniers points nepeuvent être négligés lors du choix de la méthode de résolution.

Méthodes préconditionnées

Comme on l’a mentionné, le préconditionnement (ou méthode de préconditionnement) [54, 52]est un ingrédient essentiel pour une bonne résolution. Il permet de limiter si ce n’est d’élimi-ner le manque de robustesse des méthodes itératives. Sous sa forme la plus connue, le conceptrepose sur une matrice dite de préconditionnement M , proche de A, facilement inversible per-mettant de transformer le système initial. Le système peut être modifié de plusieurs manières,nous présenterons ici les deux plus fréquentes. On modifie le système par un produit avec unematrice M−1 à gauche

M−1Au =M−1b préconditionnement à gauche, (1.54)

ou une modification par un produit avec une matrice M−1 à droite de A

AM−1x = b, u =M−1x préconditionnement à droite. (1.55)

Par un choix judicieux de la matrice M , cette technique appliquée dans les méthodes deKrylov peut accélérer grandement la convergence. Soulignons que les exigences de la méthodede Krylov originale doivent toujours être respectées. Ainsi la matrice de préconditionnementM pour la méthode du gradient conjugué doit être symétrique définie positive. Pour fixerles idées, voici l’algorithme du gradient conjugué préconditionné (GCP) à gauche (voir [31,chapitre 9]).

34

Algorithme 8 Gradient conjugué préconditionné (GCP)1: Choisir :




2: Prendre r0 = b−Au0, z0 =M−1r0, v0 = z0 et k = 0


)faire

— αk = (zk , rk)/(Avk , vk)

— uk+1 = uk + αkvk— rk+1 = rk − αkAvk— zk+1 =M−1rk+1

— βk = (zk+1 , rk+1)/(zk , rk)

— vk+1 = zk+1 + βkvk— k = k + 1

Dans cette forme de base, le préconditionneur est complètement décrit par une matrice M .Par exemple la matrice M définie dans les méthodes linéaires (voir section 1.4.2) peut êtreretenue comme matrice de préconditionnement. Cette matrice est construite une seule foiset une résolution complète est souvent nécessaire à chaque itéré. Dans certaine variante, onconstruira directement la matrice M−1. Particularité du gradient conjugué, le précondition-nement à gauche et à droite sont mathématiquement équivalents (voir [31, chapitre 9]). Pourdes méthodes tels que GCR et GMRES, ce n’est pas le cas.

Il est possible d’envisager des préconditionneurs plus sophistiqués, c’est ce que nous ferons danscette thèse. En particulier le préconditionnement à droite peut être rendu plus performant entenant compte de l’état courant du système pour modifier la matrice M . On dira de ce typede préconditionneurs qu’ils sont flexibles. Ce choix de préconditionneur permet de s’adapterau plus près au comportement du système et donne de très bons résultats. Dans le cas dela méthode GMRES, cela donnera la méthode dite FGMRES (pour flexible GMRES).Notons que dans le cas de FGMRES on devra alors stocker un second vecteur. Tout commepour la méthode GCR qui continuera à nécessiter 2 vecteurs.

Une façon simple de construire des préconditionneurs à droite flexibles consiste à remplacerla construction de M et la résolution M−1x (par exemple l’étape 6 de l’Algorithme 8) parune approximation plus ou moins précise de A−1x (par exemple quelques itérations d’uneméthode itérative simple). Dans ce cas le préconditionnement correspondant à une matricede préconditionnement "virtuelle" qui est modifiée à chaque itération. Lorsque le systèmeest de très grande taille, les méthodes multi-grilles (sommairement présentées dans la sectionsuivante) sont utilisées à cet effet.

35

Algorithme 9 GCR avec préconditionnement flexible à droite1: Choisir :




2: Prendre r0 = b−Au0, z0 =M−1r0 et k = 0


)faire

— Résoudre approximativement Avk = rk— Orthogonaliser Avk— αk = (rk , Avk)/(Avk , Avk)

— uk+1 = uk + αkvk— rk+1 = rk − αkAvk— k = k + 1

Remarque : Compte tenu de la simplicité de l’algorithme du GCR et du fait que FGMRESet GCR exigent un espace de stockage identique, nous utiliserons fréquemment la méthodeGCR préconditionnée à droite pour la résolution du problème d’élasticité. De même, cetteméthode sera aussi utilisée dans cette thèse pour la résolution des problèmes de point de selleétudiés au chapitre 3. Elle sera revue en détail dans ce chapitre.

Méthodes multi-grilles

Comme leur nom l’indique, ces méthodes, à l’origine, s’appuyaient sur le fait que le systèmeà résoudre provenait de discrétisation (une grille) d’un problème continu. On avait donc lapossibilité d’établir une séquence de grilles plus grossières se raffinant pour atteindre la grillevoulue. On dira qu’il s’agit d’une méthode multi-grille géométrique. Depuis, des méthodes ontété développées pour reproduire cette séquence de grilles sans pour autant avoir un problèmephysique sous-jacent. Dans ce cas on parlera d’une méthode multi-grille algébrique (AMG).

Ces méthodes itératives n’utilisent pas d’espace de Krylov et se définissent comme des mé-thodes permettant de faire la plus grande partie des calculs sur des systèmes de plus petitetaille et d’extrapoler la solution sur le maillage cible (voir [55]). L’approche est basée sur lecalcul d’une correction sur une ou plusieurs grilles grossières afin d’améliorer les solutionsdes méthodes itératives. Des opérations de prolongement et de restriction sont faites pourtransporter l’information d’une grille à l’autre (voir [31, 55]). Sans entrer dans les détails dela construction de ces opérateurs (pour plus d’informations, voir la thèse de Chanaud [56]),nous pouvons récapituler la méthode multi-grille dans le cas particulier (fréquemment utilisé)à deux niveaux.

36

Algorithme 10 Méthode multi-grille à deux niveaux1: Choisir une solution approximative u0

2: Pour k ≥ 1, et jusqu’à satisfaction d’un critère, faire3: Sur la grille fine4: Partant de uk, faire n1 itérations d’une méthode itérative simple sur le système

Au = b

5: Sur la grille grossière6: Interpoler le résidu b−Au de la grille fine sur rG de la grille grossière.7: Résoudre sur la grille grossière par une méthode directe ou itérative

AGδuG = rG

8: Sur la grille fine9: Projeter δuG de la grille grossière sur δu de la grille fine.

10: Partant de u+ δu, faire n2 itérations d’une méthode itérative simple pour

Auk+1 = b

On retrouve dans la thèse d’El Maliki [57] une méthode multi-grille géométrique à deux ni-veaux très simple. Cette méthode s’appuie sur des interpolations de type hiérarchique pour lesinconnues du problème continu, elle est dite méthode hiérarchique (HP). Utilisant des champsd’interpolation hiérarchique, la méthodeHP ne nécessite pas la construction explicite de grillegrossière, de plus elle n’exige pas d’opérations spécifiques pour le transfert d’information.

Nous présenterons la méthode basée sur un champ d’interpolation hiérarchique de degré 2(noté P2–hiérarchique). L’idée est de partitionner les degrés de liberté en deux : la partielinéaire P1 portée uniquement par les sommets et la correction quadratique P2 vivant sur lesmilieux d’arêtes du maillage transformant le système (1.43) au suivant(

All Alq

Aql Aqq

)(ul

uq

)=

(bl

bq

). (1.56)

L’avantage de cette décomposition est que les matrices All et Aqq sont de loin de plus petitestailles que A. En effet, la taille de la matrice All est environ 4 ou 7 fois plus petite que celle deA selon qu’on est en dimension 2 ou 3. De plus, la taille de la matrice All est plus petite queAqq. Notons que cette dernière matrice est bien conditionnée pour les problèmes elliptiques.Mieux, d’après Verfürth [58], son conditionnement n’augmente pas avec la taille de la matrice.Cette hypothèse prouve que le conditionnement de A soit sensiblement proche de celui de All.

La méthode multi-grille hiérarchique utilisera comme grille grossière le maillage (et la matrice)composée uniquement des sommets, et produira une solution qui sera P1. La grille fine (oucible) sera la grille de la discrétisation complète. La construction de la matrice grossière as-sociée et les opérations d’interpolation et projection sont simples puisqu’il s’agit uniquement

37

d’agir sur un sous-groupe de degrés de liberté des champs P2–hiérarchique. En se référant àl’algorithme 10, une méthode itérative linéaire sera utilisée à l’étape 4, un solveur direct ouitératif à l’étape 7, et on ignorera l’étape 10 (on ne fera pas une deuxième résolution sur lagrille fine).

Algorithme 11 Méthode itérative hiérarchique1: Poser r = b et initialiser u = u0

2: Résoudre par quelques itérations de SOR,

Aδ = A

(δ1δ2

)= r.

3: Calculer le résidu

r∗ =(

r∗1r∗2

)= r−Aδ.

4: Résoudre A11δ∗ = r∗1 (par une méthode directe ou itérative)

5: Mise à jour :

uk+1 =

(ulk+1

uqk+1

)=

(ulkuqk

)+

(δ1 + δ∗

δ2

)6: Calculer r = b−Auk+1

7: Fin si la convergence est atteinte sinon retour à l’étape 2.

Dans la thèse d’El Maliki [57], il est montré que cette méthode est efficace pour divers pro-blèmes particulièrement ceux en élasticité. Cette méthode accélère grandement la convergencedes méthodes de Krylov lorsqu’elle est utilisée comme préconditionneur.

Malgré quelques itérations de la méthode SOR sur le système global, l’étape 2 de l’algorithme11 peut être coûteux lorsque la taille du système est très importante. Afin de réduire le coût,nous considérons un préconditionneur basé sur la discrétisation hiérarchique, dans lequel onne résout pas sur le système global. La méthode s’appuie sur une factorisation du complémentde Schur.

On peut voir facilement que l’inverse de la matrice A peut être définie par :

A−1 =

(A−1ll 0

0 I

)(I −Alq0 I

)(I 0

0 S−1q

)(I 0

−AqlA−1ll I

), (1.57)

où Sq = Aqq −AqlA−1ll Alq est le complément de Schur de la matrice A.

La matrice de préconditionnement hiérarchique, déduite de cette factorisation, est alors

M−1HP =

(A−1ll 0

0 A−1qq

)(I 0

−AqlA−1ll I

), (1.58)

obtenue en approximant le complément de Schur Sq par la partie quadratique Aqq. Le précon-ditionnement à droite basé sur la matrice MHP est équivalent à une itération de l’algorithme

38

11 où la résolution à l’étape 2 est remplacée par une résolution sur la partie quadratique.

Dans les tests numériques, nous utilisons la méthode directe pour la partie P1 et lorsque lataille est importante, on prend une méthode multi-grille à l’exemple de la méthode AMG.Pour la partie P2, une seule itération de la méthode SOR suffit.

1.4.3 Résolution de problème mixte

La formulation de problème mixte est d’origine multiple : le phénomène de contact produirade tels problèmes, l’élasticité sous certaines conditions (quasi-incompressibilité par exemple)oblige une formulation mixte.

Ce type de formulation produit souvent des systèmes mal définis ou difficiles à résoudre. Àl’exemple du système algébrique (1.42) provenant de l’élasticité lorsque la constante k tendvers l’infini c’est-à-dire lorsque le matériau approche l’incompressibilité. Dans ces conditions,les méthodes présentées ci-dessus se prêtent mal à ce type de problèmes. On en conclut que laformulation mixte mène à un système algébrique dont la structure particulière fait appel à untraitement particulier. Des techniques spécifiques, et plus complexes, seront mises en œuvrepour résoudre les problèmes de ce type. Nous en discuterons en détail au chapitre 3.

39

Chapitre 2

Mécanique du contact

Nous considérons dans ce chapitre le problème du contact entre des corps élastiques.

Les développements présentés ici seront faits en supposant l’interaction entre deux corps. Tousles cas étudiés impliquerons un corps élastique Ω suivant les hypothèses présentées au premierchapitre. Ce dernier peut être en contact avec lui-même (auto-contact) ; avec un second corpsélastique (contact déformable-déformable) ou avec un corps ne subissant aucune déformation,un corps rigide S (contact rigide-déformable). La Figure 2.1 illustre le dernier cas. On définitpar ΓC , la zone éventuelle de contact, la normale extérieure n et gn la distance orientéeentre deux points pouvant entrer en contact. La distance gn est calculée par projection etpar convention elle sera négative en cas de pénétration. Les propriétés de cet opérateur sontdétaillées dans les travaux de Delfour et Zolésio [59].

Figure 2.1 – Description du problème de contact

Comme nous le verrons, ce problème implique la résolution de systèmes d’équations et d’in-équations pour lesquels toutes les techniques de la théorie de l’optimisation ont été sollicitées.On peut trouver une liste exhaustive des méthodes utilisées pour le traitement numérique desproblèmes de contact dans [60] et [61]. Les plus populaires sont les méthodes de pénalisationet de lagrangien augmenté. Cette dernière, qui introduit une formulation par multiplicateurs

41

de Lagrange, cherche à utiliser la pénalisation pour accélérer la convergence des algorithmesde résolution. Récemment, la méthode de Nitsche [62] a aussi fait l’objet d’un renouveaud’attention.

Les problèmes de mécanique des solides et des structures peuvent présenter des non-linéaritésprovenant des matériaux (loi de comportement), de la géométrie (en cas de grandes déforma-tions ou grands déplacements) ou dues au contact. Une mauvaise initialisation du paramètrede pénalisation (qui dépend de ces non-linéarités) dans le cas des méthodes de pénalisation etdu lagrangien augmenté peut entraîner des erreurs importantes sur les conditions de contactet/ou des oscillations numériques pouvant empêcher la convergence de ces méthodes.

Les applications industrielles conduisent le plus souvent à des problèmes tridimensionnels dontla discrétisation implique ultimement la résolution de systèmes linéaires de grande taille pourlesquels une résolution itérative s’impose. Or la pénalisation (même lorsqu’utilisée dans unlagrangien augmenté) détériore le conditionnement de ces systèmes et ralentit la convergencedes méthodes itératives.

Nous axerons donc notre développement vers l’utilisation d’une formulation par multiplicateursde Lagrange "pur" évitant toute forme de pénalisation. Même si ce choix ne s’inscrit pas dansla panoplie actuelle de stratégies de résolution, nous montrerons qu’en développant des outilsde préconditionnements spécifiques, l’approche par lagrangien pur peut offrir une alternativeefficace pour les problèmes de grande taille.

Nous présenterons le contexte général du problème de contact. Ensuite, nous allons discuter desa résolution avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Pour cela, afin de rendre pluscomplète notre démarche, nous allons traiter en premier le problème glissant puis l’étendre aufrottant. Nous présenterons à la fois le problème continu et discret.

On suppose que les équations d’évolution ont été au préalable discrétisées en temps. On selimite aux problèmes de contact quasi-stationnaires.

2.1 Résolution du contact glissant

Dans cette section, nous nous sommes référés au livre de Laursen [63] et à la thèse d’AlexanderPoop [3]. Nous nous basons sur l’approche maître-esclave introduite par Bathe et al. dans [18] etHallquist et al. dans [64]. Cette approche est souvent utilisée dans le domaine de la mécaniquedes structures. Pour ce faire, nous considérons une partie de la zone de contact comme maîtreet son complémentaire dans la zone potentielle de contact comme esclave. Les calculs sontfaits sur ce dernier.

42

Figure 2.2 – Définition de la fonction d’écart ou gap normal.

Pour définir le gap, nous considérons la Figure 2.2. Nous avons représenté deux configurationsdu corps ; l’une initiale notée Ω = Ω(1) ∪Ω(2) et l’autre déformée ω = ω(1) ∪ ω(2). La surfaceou bord de contact ΓC est divisée en deux sous-ensembles Γ (1)

C et Γ (2)C tels que

ΓC = Γ(1)C ∪ Γ (2)

C et Γ(1)C ∩ Γ (2)

C = ∅.

La surface Γ (1)C (en bleu) est considérée comme esclave. Elle peut être en contact avec le corps

rigide et Γ (2)C (en rouge). En pratique, la surface esclave est choisie comme étant la partie du

corps ayant le maillage plus fin. Dans le cas où nous avons le même maillage, l’esclave est prisdans le corps le plus rigide.

Les points de coordonnées x(i) (i = 1 ou 2) représentées dans la configuration déforméepeuvent être en contact. Suivant le déplacement u(i), leurs coordonnées dans la configura-tion initiale notées X(i) sont telles que :

x(i) = φ(i)(X(i))

= X(i) + u(i).

Le point x(2) représente celui le plus proche de x(1) dans le sens de la norme euclidienne. Ilest alors obtenu par

x(2) = arg(

miny∈γ(2)C

‖y − x(1)‖). (2.1)

Le gap ou écart en x(1) représente la distance entre ce point et son projeté le plus proche dansla zone opposée (dans ce cas x(2)). Il se calcule par la relation suivante :

gn(x(1)) = (x(1) − x(2)) · n(2), (2.2)

43

sachant que n(2) représente la normale extérieure du domaine ω(2) déformé au point x(2).

On parle de contact si ces deux points sont confondus. Dans ce cas, le gap est nul. Les deuxpoints sont interpénétrés lorsque le gap est négatif comme on le montre dans la Figure 2.3.

•

•

γ(1)C

γ(2)C

x(1)

x(2)

n(2)

(a) gn(x(1)) > 0

•γ(1)C

γ(2)C

x(1) = x(2)

(b) gn(x(1)) = 0

••

n(2)

γ(1)C

γ(2)C

x(2)

x(1)

(c) gn(x(1)) < 0

Figure 2.3 – Différentes situations possibles d’un point et son projeté le plus proche.

Quand deux corps sont en contact non frottant, la force (ou vecteur) de contraintes F(i)c (avec

i = 1 ou 2) de chaque corps, représentée dans la Figure 2.4, s’exprime en fonction de la normaleextérieure et du tenseur de contraintes par la relation

F(i)c = σ(i) · n(i) (2.3)

et doncF(1)c = −F(2)

c .

F(2)c

•

F(1)c

γ(1)C

γ(2)C

Figure 2.4 – Force de contraintes dans la zone de contact.

Afin d’éviter l’interpénétration des frontières en contact (voir figure (c) de la Figure 2.3),une contrainte, dite condition de non-interpénétration est appliquée sur la zone potentielle decontact. Ce qui consiste plus précisément à imposer le gap gn positif

gn(x) ≥ 0, pour tout x ∈ ΓC . (2.4)

Utilisant l’énergie élastique J(v), définie en (1.37), nous voulons résoudre le problème decontact unilatéral et non frottant en élasticité linéaire. Le but est de déterminer le champ dedéplacements u, solution du problème suivant :

J(u) = minv∈K

J(v), (2.5)

44

où K représente l’ensemble des champs de déplacements inclus dans l’espace V (obtenue parla relation (1.26)), satisfaisant à la condition de non-interpénétration et définit par

K =v ∈ V : gn(v) ≥ 0 dans ΓC

. (2.6)

L’existence de la solution u dans K de l’équation (2.5) vient de la convexité de la fonctionnelleJ et du fait que l’ensemble K est éventuellement convexe et fermé.

2.1.1 Pression de contact

L’équation (2.5) est un problème de minimisation avec contrainte de type inégalité, traité dansle livre de Kikuchi et Oden [11] et celui de Duvaut-Lions [10]. Elle peut être écrite sous laforme de l’inéquation variationnelle suivante (voir [10]) :

Trouver u ∈ K tel quea(u,v − u) ≥ 〈f ,v − u〉, ∀v ∈ K,

(2.7)

avec a(·, ·) une forme bilinéaire coercive. Différentes techniques de résolution peuvent êtreutilisées pour résoudre ce type de problème. Les plus fréquentes sont les méthodes de pénali-sation et de lagrangien augmenté. Cependant, pour les raisons citées dans l’introduction, nousvoulons éviter toute forme de pénalisation pour la résolution. Nous adopterons l’approche parmultiplicateur de Lagrange qui est caractérisée par une équation de point de selle. Nous in-troduisons donc, pour la contrainte, un multiplicateur de Lagrange λn, défini sur la zone decontact. L’équation (2.5) est équivalente au problème de point de selle suivant :

infv∈V

supλn≥0

J(v)−⟨λn, gn(v)

⟩, (2.8)

où l’opérateur 〈·, ·〉 désigne le produit de dualité de

Wn =wn ∈ L2(ΓC) : ∃v ∈ V,wn = gn(v)

. (2.9)

La fonction d’écart gn définie sur ΓC est dans l’espace des restrictions des traces dans ΓCdes fonctions de H1(Ω) noté H

12 (ΓC) donc tout élément de Wn est dans H

12 (ΓC). Nous nous

référons à [11, 65] pour les détails sur ces espaces.

La variable duale ou multiplicateur de Lagrange λn appartient à l’espace dual de Wn etdoit vérifier en un certain sens la contrainte de positivité λn(x) ≥ 0, ∀x ∈ ΓC . De ce fait,nous introduisons l’espace des multiplicateurs que nous définissons (voir Y. Renard [66], parexemple) par

Λn =φn ∈W

′n : 〈φn, gn(v)〉 ≥ 0 ∀v ∈ K

. (2.10)

Dans ce contexte, ce multiplicateur est appelé pression ou densité d’effort de contact. Il setraduit par :

λn > 0 contact,λn = 0 pas de contact.

45

De plus, comme il est montré dans Duvaut [67], la force définie dans (2.3) s’exprime en fonctionde la pression de contact par la relation

σ(u) · n = −λnn sur ΓC . (2.11)

2.1.2 Formulation quasi-statique du problème de contact glissant

L’existence et l’unicité de la solution (u, λn) du problème de point de selle (2.8) ont été étudiéesdans [11, chapitre 3]. Le même champ de déplacements u est l’unique solution du problèmeprimal (2.5). Nous avons également la relation suivante

∀φn ∈ Λn, L(u, φn) ≤ L(u, λn) ≤ L(v, λn), ∀v ∈ V

où L représente le lagrangien défini dans V × Λn par

L(v, φn) = J(v)−⟨φn, gn(u)

⟩.

Les conditions d’optimalité du problème de point de selle définissent des contraintes sur les dif-férentielles partielles, contrainte de type égalité par rapport à la variable primale et d’inégalitésur celle duale. Elles peuvent être définies par

〈∂L∂v

(u, λn),v〉 = 0, ∀v ∈ V,

〈 ∂L∂φn

(u, λn), φn − λn〉 ≥ 0, ∀φn ∈ Λn,

que l’on écrit explicitement〈J′(u),v〉 − 〈∂gn

∂v(u)v, λn〉 = 0 ∀v ∈ V,

〈gn(u), φn − λn〉 ≥ 0 ∀φn ∈ Λn.(2.12)

sachant que J ′(u) est équivalent à l’opérateur R(u, ·) défini par la relation (1.31).

Par définition, λn est supérieur ou égal à zéro. De plus, Λn étant un cône convexe de sommet0, en remplaçant dans la deuxième équation du système précédent φn par φn + λn (∈ Λn), onobtient :

〈gn(u), φn〉 ≥ 0 ∀φn ≥ 0⇒ gn(u) ≥ 0.

Ensuite, en posant successivement φn = 0 et φn = 2λn (∈ Λn) dans la même équation, onobtient 〈gn(u), λn〉 = 0.

On obtient ainsi les conditions standard de Kuhn-Tucker définies sur la zone de contact Γc(aussi appelées conditions de Hertz-Signorini-Moreau dans le cas du contact)

λn ≥ 0 (pas d’adhésion)

gn(u) ≥ 0 (pas de pénétration) (2.13)

〈gn(u), λn〉 = 0 (complémentarité)

46

La non-adhésion signifie que la pression de contact est nulle en cas de non contact et positivestrictement dans le cas contraire. La complémentarité indique qu’il ne peut pas y avoir à lafois décollement et contact.

De par la relation de complémentarité, le système (2.12) devient〈J′(u),v〉 − 〈∂gn

∂v(u)v, λn〉 = 0 ∀v ∈ V,

〈gn(u), φn〉 ≥ 0 ∀φn ∈ Λn.(2.14)

2.1.3 Linéarisation suivant la variable primale

Pour résoudre le problème (2.14), nous proposons d’appliquer une méthode de Newton géné-ralisée (communément appelée OQS signifiant Optimisation Quadratique Successive) [62] quiest une extension de l’idée de linéarisation du schéma de Newton aux inéquations. En voicil’idée générale.

On se donne (u0, λ0n) une valeur initiale de (u, λn) et g0n = gn(u0) le gap initial correspondant.

Posons u = u0 + δu et faisons un développement de Taylor par rapport à la variable dedéplacements u dans la première équation de (2.14).

〈J ′(u0) + J′′(u0)δu,v〉 −

⟨λn,

∂gn∂v

(u0)v + (∂2gn∂v2

(u0)δu)v⟩= 0 ∀v ∈ V.

La linéarisation de la deuxième équation de (2.14) c’est à dire de la contrainte s’écrit⟨g0n +

∂gn∂v

(u0)δu, φn⟩≥ 0 ∀φn ≥ 0.

Puisque, pour le contact entre deux corps rigide et déformable, le gap gn(u) peut être exprimé(voir [59]) comme la somme de l’écart initial g0n et la trace normale de u (pour deux corpsdéformables, nous aurons le saut de la trace normale) i.e

gn(u) ≈ g0n − u · n, (2.15)

nous pouvons alors dire que résoudre le système (2.14) revient à trouver la correction dedéplacements δu et la pression de contact λn vérifiant le système suivant :

a0(δu,v) + 〈λn,v · n〉 = r0(v) ∀v ∈ V,

〈φn, g0n − δu · n〉 ≥ 0 ∀φn ≥ 0.(2.16)

puisqu’en se référant à la linéarisation de l’opérateur R(u, ·) par rapport à u, nous avons

a0(δu,v) = 〈J′′(u0)δu,v〉 et r0(v) = −〈J

′(u0),v〉.

Les conditions de Kuhn-Tucker (2.13) deviennent alors

λn ≥ 0, (g0n − δu · n) ≥ 0, 〈g0n − δu · n, λn〉 = 0. (2.17)

47

Nous posons pour plus de clarté

rn = g0n − δu · n dans ΓC . (2.18)

Nous avons à la fois linéarisé par rapport à u le matériau (donnant a0 et r0) et la fonc-tion d’écart gn. Le problème (2.16) constitue l’essentiel de la méthode de Newton généraliséeproposée en début de section. Une fois (2.16) résolu, on mettra à jour les déplacements, lemultiplicateur et la fonction d’écart gn pour la prochaine itération et ce jusqu’à convergence.Toutefois, il reste un dernier obstacle, car dans (2.14) et (2.16) se cache une dernière non-linéarité liée aux déplacements et au multiplicateur : la définition de la zone de contact,support de λn et de la condition de non-interpénétration. Nous proposerons dans la prochainesection, une stratégie permettant de se libérer de cette difficulté.

2.1.4 Linéarisation suivant la variable duale

À chaque itération de la méthode de Newton, on doit résoudre le problème (2.16) ; ce qui revientà résoudre un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalité. Il existe dans la littératuredes méthodes permettant de résoudre ce type de problème. La plus fréquente est celle dite decontraintes actives, en anglais active set strategy ou primal-dual active set strategy. L’idée estde transformer l’inégalité en une boucle d’égalité dépendant des points en contact. On obtientconvergence de cette boucle lorsque l’ensemble actif devient stable. Pour plus de détails sur laméthode dans sa globalité, en théorie d’optimisation, nous nous référons à [68, 69, 70, 71, 72]et pour les problèmes de contact, on peut noter les travaux de P. Alart et A. Curnier [24] etceux Hüeber et al. [73, 74].

État de contact

Évidemment, l’ensemble des contraintes actives lié à l’état de contact évolue lors des itérationsde la méthode. Nous dirons qu’un point ou nœud de la frontière esclave est actif lorsqu’il esten contact avec un autre point de la frontière maître. Il est dit inactif dans le cas contraire.

L’état de contact d’un point est défini par la valeur du multiplicateur λn et le résidu du gap rnau point vérifiant la condition (2.17). Si le multiplicateur λn est nul et le résidu rn supérieur àzéro alors le nœud est inactif. Par contre, si le résidu est négatif alors le gap est négatif et l’étatest considéré actif. Si λn est strictement supérieur à zéro alors le nœud est considéré actif.Ainsi, nous pourrons définir un opérateur qui représente l’état de contact que nous noteronspar

P (λn, rn) =

0 si λn = 0 et rn ≥ 0 (1)

rn si λn = 0 et rn < 0 (2)

rn si λn > 0 (3)

(2.19)

Nous pouvons dire que le cas (1) correspond à un état inactif, les cas (2) et (3) représententl’état actif. Nous pourrons facilement voir que la condition d’optimalité de Kuhn-Tucker (2.17)

48

peut être écrite parλn ≥ 0 et P (λn, rn) = 0. (2.20)

Remarque : Le cas (2) correspond à un nœud interpénétré, ce qui peut arriver au cours desitérations sur l’état de contact. Il disparaît lorsqu’on atteint la convergence.

Stratégie de contraintes actives

On note par AC l’ensemble des états actifs et IC l’ensemble des états inactifs qui représententles indices des nœuds actifs respectivement inactifs définis par

AC =x ∈ γC tel que λn > 0 ou (λn = 0 et rn ≤ 0)

(2.21)

IC =x ∈ γC tel que λn = 0 et rn > 0

. (2.22)

La méthode des contraintes actives étudiée dans [16, chapitre 12] consiste à résoudre de manièreitérative le problème

a0(δu,v) + 〈λn,v · n〉 = r0(v) ∀v ∈ V,

P (λn, rn) = 0 et λn ≥ 0.

(2.23)

uniquement sur l’ensemble des nœuds actifsAC jusqu’à ce que ce dernier soit stable c’est-à-direjusqu’à ce qu’il n’y ait plus de changement d’état..

À cette fin, on résolvera de manière itérative le problème (2.23). On se donne une solu-tion approximative associée (δu0, λ0n) puis on détermine une correction (δδu, δλn) telle que(δu, λn) = (δu0 + δδu, λ0n + δλn) et vérifiant pour tout v ∈ V et φn ∈ Λn

a0(δδu,v) + 〈δλn,v · n〉 = r0(v)− a0(δu0,v)− 〈λ0n,v · n〉,

〈δδu · n, φn〉 = 〈g0n − δu0 · n, φn〉 et λn ≥ 0.

(2.24)

Il est montré dans l’article d’Ito et al. [75] que la méthode de contraintes actives peut êtreinterprétée comme une méthode de pseudo-Newton pour l’opérateur P (λn, rn) de (2.19).

Pour terminer, la détermination du nouvel ensemble de contraintes actives ne se fait que pourles valeurs positives du multiplicateur. Définissons l’opérateur P+(λn) de projection de λn surΛ+ = λn ≥ 0 par

(P+(λn))(x) = max(0, λn(x)

). (2.25)

C’est un opérateur de "positivité" dont l’appel précédera l’appel à l’opérateur P et la déter-mination des ensembles des points actifs et inactifs.

49

Algorithme 12 Stratégie de contraintes actives pour le problème sans frottement1: Initialisation :

• Soit (up, λpn) la solution du problème de contact à l’itération précédente de Newton

• On définit les opérateurs ap et rp et le gap gpn associés au déplacement up

• Soient ru et rn tels que

〈ru,v〉 = r0(v)− 〈λpn,v · n〉 ∀v ∈ V〈rn, φn〉 = 〈gpn, φn〉 ∀φn ∈ λn

• On calcule P (λpn, rn) pour déterminer les ensembles AC et IC• On initialise la correction en déplacement : δu = 0

2: Pseudo-Newton :

• On résout le problème suivant sur AC uniquementap(δδu,v) + 〈δλn,v · n〉 = 〈ru,v〉 ∀v ∈ V

〈δδu · n, φn〉 = 〈rn, φn〉 ∀φn ∈ Λn(2.26)

• On met à jour les corrections

δu = δu+ δδuλn = λn + δλn

• On recalcule les résidus ru et rn qui vérifient

〈ru,v〉 = rp(v)− ap(δu,v)− 〈λn,v · n〉 ∀v ∈ V〈rn, φn〉 = 〈gpn − δu · n, φn〉 ∀φn ∈ λn

• On projette λn sur l’ensemble admissible Λ+ i.e

λn = P+(λn)

• On calcule P (λn, rn) pour mettre à jour les ensembles AC et IC3: Vérification de l’état :

• Si l’état est stable, on arrête le calcul

• Sinon on retourne à l’étape 2

La stratégie de contraintes actives exposée ici est l’étape centrale la méthode de Newton géné-ralisée proposée précédemment. C’est l’état du système à l’itération de Newton précédente quiservira d’état de départ dans (2.23). L’Algoritihme 12 qui caractérise la stratégie de contraintesactives, présente donc l’essentiel des étapes nécessaires à chaque itération de Newton.

En résumé, le problème de contact étant non linéaire il est traité à l’aide d’une boucle deNewton. Pour le cas continu, une seconde boucle (contraintes actives) sera imbriquée dans la

50

première :

• Une boucle de Newton en u où les opérateurs a, r et le gap initial gn dépendant dudéplacement précèdent sont calculés.

• Un pseudo-Newton (stratégie de contraintes actives) représentant une boucle en λn pourla résolution du problème d’inégalité (2.17).

2.1.5 Problème discret

Afin d’obtenir une approximation éléments finis, nous reprenons certains des éléments présen-tés à la section 1.3. Nous noterons par Λh ⊂ Λn l’espace d’approximation de la pression decontact.

Le choix de ces espaces doit bien sûr satisfaire à certaines conditions.

• En pratique, le matériau considéré est généralement incompressible et nécessite uneformulation mixte. Ceci impose quelques restrictions dans le choix de Vh et de l’espaceQh associée à la pression hydrostatique (voir [20] pour plus de détails). En pratique, pourles problèmes tridimensionnels, nous utilisons l’approximation de Taylor-Hood, qui estquadratique pour le déplacement et linéaire pour la pression hydrostatique. Néanmoins,il existe d’autres choix possibles.

• Le problème mixte (2.26) est un problème de type point de selle et le choix de Λh doitaussi satisfaire une condition inf-sup (voir [76] et [77] pour les détails de la condition inf–sup pour une formulation mixte en contact). Étant donné un déplacement quadratique,dans un modèle simplifié, El Abbasi et al. (voir [77]) ont obtenu une approximation stabledans H−

12 (ΓC) pour les choix suivant d’espace d’approximation des multiplicateurs :

(1) interpolation égale à l’interpolation des déplacements : pour des déplacements (P2),des multiplicateurs quadratiques par éléments (P2)

(2) interpolation d’un ordre plus bas que l’interpolation des déplacements : pour desdéplacements (P2), des multiplicateurs linéaires par élément (P1)

(3) interpolation de deux ordres plus bas que l’interpolation des déplacements : pourdes déplacements (P2), des multiplicateurs constants par élément (P0)

Le premier choix donne une estimation d’erreurs optimale c’est-à-dire une convergencequadratique pour des solutions régulières. Les deux derniers choix sont d’ordre 3

2 . Cepen-dant, pour le premier choix, la définition de la contrainte de positivité n’est pas évidenteet le dernier a un comportement moins lisse que le choix (2). Ainsi, en pratique, nousutilisons des éléments linéaires pour Λh.

On se donne Nui les fonctions de bases de l’espace discret de déplacement Vh et Nλi ceux de

l’espace discret des multiplicateurs Λh. Nous pourrons écrire ui et λj les degrés de liberté

51

associés à Nui et Nλj . Utilisant les fonctions de base, nous écrirons alors

uh =∑i

uiNui

λnh =∑j

λjNλj

et notons λn et u les valeurs nodales (suivant la discrétisation de l’élément associé) de λnh etuh définies par

λn = (λn)j

u = (ui).

On introduit aussi nh pour l’approximation de la normale, dont le type d’interpolation estidentique à celui de λnh. On note n la valeur nodale de la normale nh. On définit par la suite(. , .) le produit scalaire dans Rn avec n quelconque.

Le produit scalaire dans Λh est alors écrit en utilisant une matrice M définie par

Mij =

∫ΓC

Nλi Nλj ds

entraînant ∫ΓC

λnhφnh ds = (Mλn , φn), ∀ λnh, φnh ∈ Λh. (2.27)

Cette matrice étant symétrique définie positive, nous pouvons alors définir le produit de dualitédans Λ′h par M−1.

Analysons maintenant les inégalités : plusieurs possibilités dépendant du choix de la discré-tisation des espaces primal et dual existent (voir [78, 79]) pour définir les inégalités. Danscette thèse, nous avons choisi de vérifier ponctuellement la condition sur le multiplicateur etfaiblement la condition sur le gap.

• La condition λnh ≥ 0 est remplacée par la condition λn ≥ 0 i.e ((λn)j ≥ 0 ∀j). Notonsque pour une approximation P1 les deux conditions sont identiques.

• La condition sur l’interpénétration, vh · nh ≥ 0, quand à elle, sera interprétée comme∫ΓC

φnh(vh · nh) ds ≥ 0, ∀φnh ≥ 0 (2.28)

qui est une moyenne pondérée locale. De ce fait, la pénétration est permise aux nœudsde vh. Ainsi, nous pourrons introduire une matrice B définissant un opérateur de Vhdans Λ′h par∫

ΓC

φnh(vh · nh) ds = (φn , Bv) avec Bij =

∫ΓC

NλiNuj · nh ds

52

Dans la thèse, nous considérons l’opérateur de projection de Vh dans Λh pour définirl’inégalité (2.28) autrement dit

vh · nh ≥ 0 devient PΛhvh ≥ 0.

Idéalement, il faudrait que PΛhsoit une projection dans H

12 (ΓC). Nous utiliserons une

projection L2 ou même une approximation de cette projection. L’opérateur projectionPΛh

de Vh dans Λh peut alors être défini par∫ΓC

φnh(PΛhvh) ds =

∫ΓC

φnh(vh · nh) ds.

En associant à l’opérateur de projection, la matrice du même nom, on aura

(Mφn , PΛhv) = (φn , Bv).

Comme M est symétrique, nous pouvons réécrire la relation précédente par

(φn ,MPΛhv) = (φn , Bv)

ce qui implique quePΛh

=M−1B. (2.29)

Le diagramme de la Figure 2.5 permet de résumer la situation

Λh

Vh

Λ′h

V ′h

PΛhPTΛh

B

BT

M

M−1

?

6

@

@@@@@R-

Figure 2.5 – Diagramme commutatif pour Vh espace de la variable primale et pour Λh espacede la variable duale.

Remarque : On peut utiliser une approximation diagonale MD de M . Celle-ci peut êtreobtenue en remplaçant (2.27) par une quadrature de Newton-Cotes utilisant seulement lessommets de ΓC . Dans le cas de la discrétisation linéaire, on peut aussi utiliser une matricedite condensée obtenue en sommant les colonnes de M . Ainsi, la projection

PΛhu =M−1D Bu

deviendrait une moyenne locale de u.

Remarque : Dans l’algorithme que nous allons introduire, pour obtenir une convergence in-dépendante de la taille du maillage, l’opérateurM devrait idéalement être une version discrètede l’opérateur de Steklov-Poincaré (voir [80]) si nous avions une projection de H

12 (ΓC).

53

Terminons cette section en illustrant l’effet des choix de discrétisation et de traitement desinégalités. Pour cela, nous considérons le problème de contact glissant qui s’écrit

minvh∈Vh

J(vh) := a(vh,vh)− r(vh) sous la contrainte gn − vh · nh ≥ 0.

Nous considérons la contrainte au sens faible, ceci dit, nous aurons, pour tout φnh ∈ Λh,∫ΓC

(gn − vh · nh

)φnh ds =

∫ΓC

gnφnh ds−∫ΓC

(vh · nh)φnh ds ≥ 0.

En utilisant la définition de l’opérateur de projection PΛh, nous pouvons réécrire l’inégalité

sous la forme ∫ΓC

(gn − PΛh

vh)φnh ≥ 0, ∀φnh ≥ 0 i.e gn − PΛh

vh ≥ 0,

ce qui nous permet d’avoir le problème de minimisation suivant

minvh∈Vh

J(vh) := a(vh,vh)− r(vh) sous la contrainte gn − PΛhvh ≥ 0.

Ainsi, comme l’opérateur a(·, ·) est symétrique et coercif, nous pouvons traduire le problèmede contact glissant en un problème de point de selle

infVh

supΛh

L(vh, φnh) =1

2a(uh,uh)− r(uh)−

∫ΓC

(gn − PΛh

uh)λnh ds

=1

2a(uh,uh)− r(uh)−

∫ΓC

gnλnh ds+

∫ΓC

(PΛhuh)λnh ds.

En définissant le vecteur gn dit vecteur de gap intégré par

(gn)j =

∫ΓC

gnNλj ds,

on aura ∫ΓC

gnφnh ds = (gn, φn), ∀φnh ∈ Λh,

et en utilisant la définition des opérateurs PΛ, a(·, ·) et r(·), nous aurons

infVh

supΛh

L(vh, φnh) =1

2ah(u,u)− rh(u)− (gn, λn) + (Mλn,M

−1Bu),

où nous avons introduit la version discrète de a(·, ·) et r(·) correspondant à

ah(v, v)− rh(v) = a(vh,vh)− r(vh), ∀vh ∈ Vh.

Dans le cas particulier de l’élasticité linéaire, on aura une représentation simplifiée, en intro-duisant la matrice A associée à la forme quadratique. Puisque la matrice M est symétrique,nous aurons

infVh

supΛh

L(vh, φn) =1

2(Au,u)− (f,u)− (gn, λn) + (λn, Bu).

54

Nous sommes presque en mesure de donner la forme du système linéaire (2.26) (c’est-à-dire lesystème discret à résoudre à chaque itération de la stratégie de contraintes actives). Il nousreste à définir l’ensemble actif et présenter sa prise en compte pour la résolution. La formediscrète de l’ensemble IC et de son complémentaire AC sont relativement simples considérantles choix faits dans cette section,

IC =j ∈ N tel que (λn)j = 0 et (Bu− gn)j ≤ 0

.

Nous pouvons maintenant définir l’opérateur de restrictions aux noeuds actifs, qui est repré-senté par une matrice diagonale (de taille égale au nombre de valeurs nodales dans la zone decontact). Cette matrice diagonale est définie de la façon suivante :

(Rn)ii =

1 si i ∈ AC0 sinon.

Ainsi, le système linéaire correspondant à (2.26) s’écrit(A BTRn

RnB 0

)(δδuδλn

)=

(f−Aup −BTλpn

Rn(gn −Bup)

). (2.30)

Nous pouvons donner la version discrète de l’Algorithme 12. Nous discuterons plus loin (Cha-pitre 3) des stratégies particulières pour tenir compte des changements d’état. Pour le moment,limitons nous simplement à souligner qu’ils entraînent une modification des composantes dusystème algébrique (et un retour à l’étape 4 de l’algorithme 13 qui suit).

Algorithme 13 Stratégie de contraintes actives pour le cas glissant

1: Étant donné la solution (up,λp), la solution à la précédente itération de Newton2: On calcule le gap et les matrices et résidus associés3: On détermine les états de contact et on construit AC et IC puis Rn4: Pseudo-Newton

• On résout le problème linéaire (2.30).

• On projette λn sur l’ensemble admissible

(λn)j = max(0, (λn)j)

• On met à jour les résidus et on calcul P (λ, r),

• On met à jour les ensembles actif AC et inactif IC puis l’opérateur Rn.

5: Vérification de l’état :

• Si l’état est stable, fin du calcul

• Sinon on retourne à l’étape 4.

Le système (2.30) est résolu par une méthode itérative, les méthodes pour sa résolution serontétudiées au chapitre suivant. Passons maintenant à l’extension de ce problème de contact aucas frottant.

55

2.2 Résolution du contact frottant

Sommairement, le frottement est la résistance au mouvement dû au contact entre les corps.Pour qu’il y ait alors frottement, il faut que les surfaces demeurent en contact pendant un cer-tain temps (rappelons que nous sommes dans le cadre quasi-statique usuel, le temps (qui n’estpas physique) s’interprète comme un paramètre contrôlant l’application du chargement sta-tique cible). Dans ce cas, les points en contact sont classés en deux catégories : ceux adhérentset ceux glissants. Il existe plusieurs lois permettant de modéliser le frottement. Dans cettethèse, nous avons retenu la loi de Coulomb introduite par Amontons 1 en 1699 et généraliséepar Coulomb [81] en 1781.

Dans cette section, nous présenterons brièvement le problème de contact frottant dans saformulation quasi-statique. Pour cela nous aborderons les lois de frottement de Tresca et deCoulomb. La loi de Coulomb est plus réaliste, cependant d’un point de vue théorique elleprésente des difficultés car elle établit une relation intrinsèque entre la solution et le seuildéclenchant le frottement (voir Figure 0.6), ce qui rend le problème quasi-variationnel. Pourles aspects théoriques, la loi de Tresca est souvent utilisée, cette dernière menant à une inégalitévariationnelle classique. Fréquemment présente dans la littérature du contact, une partie del’intérêt pour la loi de Tresca étant que l’on peut interpréter la loi de Coulomb comme la limited’un processus itératif basé sur une loi de Tresca.

2.2.1 Loi de Coulomb

Nous nous plaçons en configuration déformée. En chaque point de l’entité esclave, on peutdécomposer la force (σ(u)n) exercée par le corps esclave sur le maître en une somme departies normale σn(u) et tangentielle σT (u) telle que

σn(u) = (σ(u)n) · n (2.31)

σT (u) = (σ(u)n)− σn(u) · n . (2.32)

Pour chaque x(1) dans Γ (1)C , on définit gT (u) le déplacement (ou gap) tangentiel par

gT (u) = (x(1) − x(2))− ((x(1) − x(2)) · n(2))n(2)

= (X(1) −X(2))− ((X(1) −X(2)) · n(2))n(2) + (u(1) − u(2))− ((u(1) − u(2)) · n(2))n(2)

= X(1)T −X(2)

T + u(1)T − u(2)

T .

En notant par [uT ] le saut du déplacement tangentiel dans la configuration déformée, nousdéfinissons alors le gap tangentiel par

gT (u) = [XT ] + [uT ]. (2.33)

1. Guillaume Amontons (1663-1705), physicien et académicien français

56

La loi de frottement de Coulomb stipule que la force tangentielle en chaque point ne peut pasêtre plus grande que le produit de la force normale en ce point avec un coefficient µ dit defrottement. Ce dernier dépend de la nature des surfaces en contact. Plus il est petit, moins lefrottement est important.

En tout point de la surface de contact esclave où le gap normal est nul, la loi de Coulomb setraduit par (voir [10]) :

|σT (u)| < −µσn(u) alors gT (u) = 0

|σT (u)| = −µσn(u) alors il existe α ≥ 0 tel que gT (u) = −ασT (u).(2.34)

La dérivée du gap tangentiel par rapport au temps, représentant le glissement tangentiel gT (u),peut être obtenue par la relation suivante

gT (u) =∂[uT ]∂t

,

puisque le saut à l’état initial [XT ] est indépendant du temps.

Notre formulation est faite dans le repère lagrangien alors que les quantités de (2.34) sonttoutes définies dans la configuration déformée. La vitesse de glissement définie avec la dérivéeclassique n’est pas invariante par transformation. De ce fait, nous utilisons la dérivée au sensde Lie présentée dans le livre de Laursen [63] et celui de Marsden et Hughes [82].

2.2.2 Approximation de la dérivée de Lie

La dérivée de Lie d’un vecteur Y suivant un vecteur x peut-être définie par (voir [60])

LxY(t) = F∂

∂t

(F−1Y

(x(t)

)). (2.35)

En approximant la dérivée par une approche de différences finies, nous aurons

LxY(t) ≈Y(x(t))− FF−1p Y(x(t−∆t))

∆t, (2.36)

où Fp représente le gradient de déformation du point x(t−∆t) autrement dit

Fp = Fx(t0),x(t−∆t).

À chaque temps t, nous notons par x la position d’un point et xp = x(tp) sa position au tempsprécédent tp = t−∆t. S’appuyant de la relation (1.5), nous pouvons dire que

Fxp,x = FF−1p .

Ainsi, l’approximation de la dérivée de Lie d’un vecteur Y suivant un vecteur x est donnéepar

LxY(t) ≈Y(x)− Fxp,xY(xp)

∆t.

57

On peut maintenant trouver une approximation du glissement tangentiel Lx[uT ]. Puisque

Lx[uT ] = Lxu(1)T − Lxu

(2)T ,

nous pouvons alors dire que

Lx[u]T ≈u(1)T − Fxp,xu

(1)pT

∆t−u(2)T − Fxp,xu

(2)pT

∆t

≈[uT ]− [Fxp,xupT ]

∆t. (2.37)

Remarque : Dans la suite, on considère la loi de Coulomb avec la relation (2.37) sans leterme ∆t. Lorsque la déformation n’est pas grande, le terme Fxp,x est proche de l’identité. Dece fait, dans les exemples numériques, on prend souvent upT au lieu de Fxp,xupT .

2.2.3 Formulation quasi-statique du contact frottant

Pour un problème dépendant du temps, le frottement dépend du saut de la dérivée de Lie devT . Nous remplaçons ceci par la procédure de différences finies définie dans (2.37). Ainsi, leproblème de contact frottant avec le modèle de Coulomb dans la configuration déformée ωserait alors de trouver u ∈ V vérifiant la condition de non pénétration (2.6) et

|σT (u)| < −µσn(u) alors gT (u) = 0

|σT (u)| = −µσn(u) alors |gT (u)| 6= 0.

(2.38)

Le problème de contact avec frottement de Coulomb (2.38) est "formellement" équivalent auproblème (2.39) et toute solution de ce dernier satisfait (2.38) (voir [11]),

Trouver u ∈ K tel quea(u,v − u)− j(u,u) + j(u,v) ≥ l(v − u) ∀v ∈ V,

(2.39)

où on note par j la fonctionnelle de frottement définie par

j(u,v) =∫ΓC

µ|σn(u)|∣∣[vT ]− gT

∣∣ (2.40)

avecgT = [Fxp,xupT ]. (2.41)

La fonctionnelle j ainsi définie n’a pas de sens (mathématiquement parlant) et n’est pasconvexe. Le problème (2.39) n’est pas issu de la minimisation d’une fonctionnelle, on dit qu’ilest quasi-variationnel. Ayant perdu le cadre théorique habituel, l’étude de l’existence et del’unicité de la solution devient difficile.

58

Problème de Tresca

Pour contourner ces obstacles théoriques, la loi de Tresca est souvent utilisée. Cette dernièredéfinit une fonctionnelle simplifiée dépendant d’un seuil dit seuil de Tresca s ∈ L∞(ΓC) telque

js(u) =∫ΓC

s∣∣[uT ]− gT

∣∣. (2.42)

Ainsi la condition de contact sur la partie tangentielle du contact serait (2.38) en remplaçantµ|σn(u)| par le seuil s. Dans ce cas le problème (2.39) est une inéquation variationnelle associéeau problème d’optimisation suivant

infv∈V

J(v) + IK(v) + js(v), (2.43)

où IK est la fonction indicatrice positive de K définie par

IK(v) =

0 si v ∈ K,+∞ sinon.

(2.44)

Ce problème admet une unique solution (voir [66]) que nous allons résoudre par la méthode desmultiplicateurs de Lagrange. Pour ce faire, nous devrons considérer un vecteur dans Rd pour lemultiplicateur de Lagrange λ et que nous décomposerons en parties normale et tangentielle :

λn = λ · n,

λT = λ− λn n.

Ainsi, comparativement au contact glissant, nous avons introduit un "deuxième" multiplica-teur, un vecteur tangent à la surface de contact et correspondant à une force tangentielle λT .Nous avons également besoin de définir l’espace associé à ce multiplicateur tangent, que l’onnotera ΛT (s)

ΛT (s) =φT ∈

(L∞(ΓC)

)dtel que |φT | ≤ s dans ΓC

. (2.45)

Nous considérons le lagrangien L défini par

L(v,φ) = J(v)− 〈φn, gn(v)〉+ 〈φT , ([vT ]− gT )〉 − IΛ(φ), ∀(v,φ) ∈ V ×W ′

avecW =

(L1(ΓC)

)det Λ =

φ ∈W ′

tel que (φn,φT ) ∈ Λn × ΛT (s).

Le problème de minimisation (2.43) serait alors équivalent à celui de point de selle associé àTrouver u ∈ V et λ ∈W ′ satisfaisant

L(u,λ) = infv∈V

supφ∈W ′

L(v,φ).(2.46)

59

Remarque : Comme pour le problème sans frottement, nous avons la relation suivante

σ(u)n = −λ sur ΓC .

Les conditions d’optimalité donnent

• le déplacement

a(u,v) + 〈λn,v.n〉+ 〈λT , [vT ]〉 = r(v), ∀v ∈ V (2.47)

• les multiplicateurs de Lagrange

λn ≥ 0 et 〈φn − λn, gn(u)〉 ≥ 0 ∀φn ∈ Λn, (2.48)

|λT | ≤ s et 〈φT − λT , [uT ]− gT 〉 ≤ 0 ∀φT ∈ ΛT (s). (2.49)Les conditions sur les multiplicateurs peuvent se réécrire. Pour la partie normale, comme dansle cas sans frottement

λn ≥ 0, gn(u) ≥ 0, 〈λn, gn(u)〉 = 0. (2.50)

Pour la partie tangentielle, puisque |λT | ≤ s, nous avons, par Cauchy-Schwarz,

〈λT , [uT ]− gT 〉 ≤ |λT |∣∣[uT ]− gT

∣∣≤ s

∣∣[uT ]− gT∣∣.

Sans perte de généralité supposons∣∣[uT ] − gT

∣∣ 6= 0. En remplaçant φT par s[uT ]− gT∣∣[uT ]− gT

∣∣ ,

dans l’inégalité (2.49), on a

s∣∣[uT ]− gT

∣∣ ≤ 〈λT , [uT ]− gT 〉.

Ainsi, pour λT , les conditions d’optimalité s’écrivent

|λT | ≤ s, 〈λT , [uT ]− gT 〉 = s∣∣[uT ]− gT

∣∣. (2.51)

Explicitons maintenant les conditions d’optimalité sur la partie tangentielle (2.51).

• D’une part, si on suppose que |λT | < s alors

〈λT , [uT ]− gT 〉 ≤ |λT |∣∣[uT ]− gT

∣∣< s

∣∣[uT ]− gT∣∣,

ce qui contredit la relation (2.51) sauf dans le cas où∣∣[uT ]− gT

∣∣ = 0.

• D’autre part, on suppose qu’on ait |λT | = s. De l’équation (2.51), nous avons

〈λT , [uT ]− gT 〉 > 0 si∣∣[uT ]− gT

∣∣ est différent de zéro et

λT = s[uT ]− gT∣∣[uT ]− gT

∣∣ .En somme, les conditions d’optimalité sur la partie tangentielle (2.51) peuvent aussi s’écrire

[uT ]− gT = 0 si |λT | < s

λT = s[uT ]− gT∣∣[uT ]− gT

∣∣ si |λT | = s .(2.52)

60

Problème de Coulomb

Dans le modèle de Coulomb, le seuil s est une fonction de λn,

s = µλn.

Dans ce cas, nous n’avons pas un problème de point de selle mais les conditions (2.47), (2.50)–(2.52) caractérisent la solution (voir [83]). L’existence de la solution n’est obtenue que pourde petites valeurs de µ. Pour l’unicité, toujours avec un coefficient de frottement très petit,quelques hypothèses sont nécessaires. Dans [84] et [85], il est démontré, pour le problème deSignorini en élasticité linéaire, qu’il n’y a pas unicité pour des valeurs de µ supérieures à 1.

2.2.4 Problème discret

Nous allons voir à présent comment les idées de la section 2.1.5 peuvent être étendues àdes problèmes frottants. Tout comme pour le cas glissant, les espaces d’interpolation retenusseront notés Vh pour le champ de déplacements uh, éventuellement Qh pour la pression ph

et Λh pour le champ associé au multiplicateur λh. Le choix des types d’interpolation de ceschamps suivront les principes généraux exposés pour le cas glissant.

Comme pour le cas glissant on introduit nh une approximation de la normale du même typeque l’approximation du multiplicateur. Nous pourrons alors imposer les conditions aux valeursnodales des multiplicateurs.

Notation : Dans cette section, on utilise un nouvel opérateur représentant le produit scalairedans l’espace physique que l’on note par "•" et définit de

(Rd)n × (Rd)n dans Rn par :

u • v =(ui , vi)

1≤i≤n. (2.53)

On notera aussi par | · | la norme dans l’espace physique associée.

Pour φh ∈ Λh dont les valeurs nodales forment le vecteur φ et la normale nh de vecteur devaleurs nodales n, les composantes normale et tangentielle seront définies respectivement par

φnh = φh · nh φTh = φh − φnhnh

et les vecteurs de valeurs nodales par

φn = φ • n avec (φn)i = (φi,ni) ∈ RφT = φ− φnn avec (φT )i = φi − (φn)ini ∈ Rd.

On peut calquer le diagramme commutatif de la Figure 2.5. Définissons, en utilisant la mêmenotation qu’en 2.1.5, l’opérateur PΛh

de projection de Vh vers Λh et les matrices PΛh, M , B∫

ΓC

φh ·ψh ds = (φ,Mψ) ∀φh,ψh ∈ Λh∫ΓC

φh · vh ds =

∫ΓC

φh · (PΛhvh) ds ∀vh ∈ Vh, φh ∈ Λh

(φ, Bv) = (φ,MPΛhv) ∀vh ∈ Vh, φh ∈ Λh.

61

Introduisons également les matrices Bn et BT représentant les parties normale et tangentiellede l’opérateur de la trace de u dans Λ′h

Bnv =(MPΛh

v)• n

BTv = Bv−(Bnv

)n .

Remarque : Comme pour le cas sans frottement, on peut utiliser une approximation diagonaleMD de M ou dans le cas de la discrétisation linéaire, une matrice condensée .

Enfin, notons les vecteurs de gaps intégrés gn, gT (gap normal et gap tangentiel respectivement)définis par

(gn, φn) =

∫ΓC

gnφnh ds, (gT ,φT ) =∫ΓC

gT · φTh ds, ∀φh ∈ Λh.

Nous pouvons alors introduire le lagrangien suivant

L(vh,φh) =1

2a(vh,vh)− r(vh) +

∫ΓC

φTh · ([vTh]− gT ) ds−∫ΓC

φnh(gn − vnh) ds

=1

2a(vh,vh)− r(vh) +

∫ΓC

φTh · ((PΛhvh)T − gT ) ds

+

∫ΓC

φnh ((PΛhvh)n − gn) ds

=1

2ah(v, v)− rh(v) + (φT , BTv− gT ) + (φn, Bnv− gn) .

Le problème de contact frottant avec loi de Coulomb est alors

infvh∈Vh

supφh∈Λh

L(vh,φh) avec la condition de Coulomb s = µφn. (2.54)

Cette condition de Coulomb rend le problème discret quasi-variationnel. Cependant, commepour le cas continu, une caractérisation de la solution est possible.

Pour les déplacements, on aura

ah(u, v) + (BTn λn, v) + (BT

T λT , v) = rh(v) ∀v. (2.55)

Comme en continu, on aura deux jeux de conditions pour le multiplicateur. Pour la partienormale

λn ≥ 0, (φn, gn −Bnu) ≥ 0 ∀φn ≥ 0, (λn, gn −Bnu) = 0. (2.56)

Pour la partie tangentielle, si nous imposons |λT | ≤ s, nous pourrons alors avoir,

(φT − λT , BTu− gT ) ≥ 0 ∀φT tel que |φT | ≤ s. (2.57)

De cela, nous déduisonsBTu− gT = 0 si |λT | < s (2.58)

62

etλT = s

BTu− gT|BTu− gT |

si |λT | = s. (2.59)

Dans le cas d’un domaine tridimensionnel (et uniquement), pour chaque composante zi ∈ R3

d’un vecteur z, on peut extraire un vecteur orthogonal aux vecteurs ni ∈ R3 et (λT )i ∈ R3

qui sont orthogonaux. Notée z⊥T , cette composante de z dite composante angulaire est définiepar

z⊥T = zT −zT • λT|λT |2

λT , (2.60)

aveczT = z− (z • n)n et |λT |2 = λT • λT .

La relation (2.59) peut-être interprétée comme une condition sur la composante angulaire etse traduit par

(BTu− gT )⊥ = 0.

Notons que la condition sur la composante angulaire n’a de sens que dans le cas tridimension-nel.

Remarque : Nous pourrons de plus imposer (2.58) et (2.59) explicitement comme une ap-proximation de la condition continue et non une condition d’optimalité.

État de contact pour le cas frottant

En présence de frottement, nous avons trois états possibles pour les nœuds se trouvant dansla zone de contact esclave. Un nœud est soit en contact ou pas. Et lorsqu’il est actif, il peutêtre adhérent ou glissant. Son état est défini par la valeur du multiplicateur et du gap en cepoint comme on peut le voir dans la Figure 2.6.

λn = 0rn ≤ 0

Inactif

λrn = 0

Adhérent

λrn = 0

Glissant

Figure 2.6 – Cône de Coulomb 2D

63

λnλ//T

λ⊥T

Figure 2.7 – Cône de coulomb 3D

Nous voulons employer pour le cas avec frottement la même stratégie de contraintes actives quenous avons décrit pour le cas sans frottement. On voudrait alors introduire un opérateur dé-crivant complètement l’état de contact et simplifiant l’écriture des conditions à satisfaire pourle multiplicateur. Toutefois cet opérateur demande une analyse soignée puisqu’il impliquera letraitement simultané des composantes normale et tangentielle du contact.

Étant donné le vecteur r = (rn, rT ) = (Bnu− gn, BTu− gT ), on introduit l’opérateur P (λ, r)défini aux nœuds,

P (λ, r) =

0 si λn = 0 et rn ≤ 0 (1)

r si λn = 0, rn > 0 et |rT | < µrn (2)

(rn, 0) si λn = 0, rn > 0 et |rT | ≥ µ rn (3)

r si λn > 0 et |λT | < µλn (4)

r si λn > 0, |λT | = µλn et 〈rT , λT|λT |〉 < 0 (5)

(rn, r⊥λT ) si λn > 0, |λT | = µλn et 〈rT , λT|λT |〉 ≥ 0 (6)

(2.61)

Nous avons les états associés aux indices définis dans l’opérateur P

— (1) : inactifs,

— (2)-(4)-(5) : adhérents,

— (3)-(6) : glissants.

Remarque : On peut ainsi voir que les conditions de contact normale (2.56) et tangentielle(2.59) et (2.61) sont équivalentes à

λ ∈ Λh et P (λ, r) = 0. (2.62)

Notons que les cas (2) et (3) correspondent à des états transitoires (états instables). Ils sontéventuellement présents (dans un processus itératif) au cours des itérations de la stratégie decontraintes actives et disparaissent une fois l’état de contact stabilisé.

64


Comme dans le cas du contact sans frottement, utilisant P défini dans (2.61), nous pouvonsréécrire les conditions (2.55)–(2.57) sous la forme abrégée

A(u)u+BTn λn +BT

T λT = f,λ ∈ Λh et P (λ, r) = 0,

(2.63)

où A(u) correspond à la matrice (qui peut dépendre de u) associée à la forme ah(·, ·). Souli-gnons que s’il est possible que la matrice A ne dépende pas de u, dans le cas de l’élasticitélinéaire par exemple, l’opérateur P est forcément non linéaire en u.

Respectant la stratégie déjà présentée à la section 2.1, nous proposons d’imbriquer des bouclesde résolution. La première de ces boucles, la boucle externe qui contiendra les autres, sera detype OQS (Optimisation Quadratique Successive). Comme dans une procédure OQS, nousallons introduire une linéarisation par rapport à u du système (2.63). Ainsi, partant de u0 ∈ Vhet λ0 ∈ Λh connues, nous allons chercher la correction δu et un nouveau λ solution du système

A′(u0)δu+BT

n λn +BTT λT = f−Au0, (2.64)

P ′u(λ, δr) = −P (λ, r0). (2.65)

Comme pour le cas glissant, les changements d’état déclenchent, au niveau discret, une séried’actions plus complexe qu’au niveau continu. En effet, une fois encore, les matrices formant lesystème seront modifiées par ces changements. Nous définirons des opérateurs de restrictionsassociés aux noeuds actifs, adhérents et glissants. Ils seront représentés par des matrices dia-gonales (de taille égale au nombre de valeurs nodales dans la zone de contact). Ces matricesauront une valeur de 1 sur la diagonale aux conditions suivantes :

— Rn : si le nœud est actif (ou en contact)

— RA : si le nœud est adhérent

— RG : si le nœud est glissant

Ainsi chaque λ ∈ Λh serait décomposé en :

— Rnλn pour la partie normale

— RAλT +RGλT pour la partie tangentielle

Nous pouvons maintenant revenir à notre problème linéaire (2.64)-(2.65) en u. Les conditionsd’optimalité en u linéarisées donneront, de façon explicite :

A′(u0)δu+BT

nRnλn +BTTRAλT +BT

TRGλT = f−Au0︸︷︷︸ru,0

. (2.66)

L’équation associée à l’opérateur de contact (2.65) donnera :

65

• Partie normale (rn = 0)

Nous savons que le résidu normal s’écrit rn = Bnu + gn. De ce fait, en linéarisant parrapport au déplacement u, nous aurons sur tous les nœuds actifs

Bnδu = −rn,0,

ce qui est équivalent àRnBnδu = −Rnrn,0. (2.67)

• Partie tangentielle

— Points adhérents (rT = 0)

Cette linéarisation se fait de la même manière que pour la partie normale. Ainsi,nous aurons sur les nœuds adhérents, correspondant aux cas (2), (4) et (5), lalinéarisation suivante

RABT δu = −RArT,0. (2.68)

— Partie glissante (r⊥T = 0)

Pour les nœuds glissants, nous avons pour le cas (6)

r⊥T = 0.

Étant non linéaire en λ, nous le laissons ainsi pour l’instant et l’explicitons plustard. Nous savons aussi que tous les points glissants doivent vérifier la relationsuivante

|λT | = µλn.

Ceci nous permet de résumer le cas glissant en

RGr⊥T = 0 (2.69)

et|RGλT | = µRnλn. (2.70)

En somme, de par les équations (2.66) à (2.70) , nous pouvons écrire le système associé auproblème de contact. Par ordre croissant de degré de complexité nous aurons

• Cas glissant : nous aurons juste la partie normale, la partie tangentielle étant nulle, onretrouve le système (2.30) obtenu dans la discrétisation du problème sans frottement.Toutefois, la partie normale n’étant pas traitée de manière efficace, on se trouve à ma-nipuler un multiplicateur de dimension d là où un multiplicateur scalaire suffit.

66

• Cas 2D avec frottement : nous avons la présence de la partie tangentielle mais pas departie angulaire, donc l’équation (2.69) est absente. Ceci nous mènera au système a priorinon linéaire suivant

A′(u0)δu +BT


TRGλT

RnBnδuRABT δu

−µRnλn +|RGλT |

=

ru,0

−Rnrn,0−RArT,0

0

. (2.71)

La dernière équation du système représentant (2.70) nous permet d’éviter le point fixesur le coefficient de Tresca.

• Cas 3D avec frottement : ce cas présente la principale difficulté de la résolution desproblèmes de contact. Il regroupe toutes les équations présentées ci-dessus et se présentesous la forme suivante

A′(u0)δu +BT


TRGλT

RnBnδuRABT δu

RGr⊥T−µRnλn +|RGλT |

=

ru,0

−Rnrn,0−RArT,0

0

0

. (2.72)

La quatrième équation de ce système, qui est déduite de la partie angulaire (2.70), induitune nouvelle non-linéarité qui demande un traitement supplémentaire. Pour simplifier lesystème, nous le réécrivons sous une forme compacte par

F(δu,λ) = R. (2.73)

Remarque : La comparaison des systèmes (2.71) et (2.72) est instructive. La présence del’équation angulaire démontre clairement qu’on ne peut pas aborder le cas tridimensionnelcomme un simple passage d’une dimension à l’autre. Les difficultés résultant de cette compo-sante angulaire, qui force l’introduction d’une boucle supplémentaire, font de la simulation ducontact frottant tridimensionnel le défi majeur au regard des autres cas possibles de contact.

Avant de passer à la linéarisation nécessaire à la résolution de (2.73), quelques observationssont requises pour comprendre la suite. Le principe que nous suivons est le même que pour leproblème sans frottement : nous intégrerons dans une boucle de contraintes actives la résolutiond’une forme linéarisée de (2.73). Cependant, contrairement au cas glissant, la linéarisation parrapport à la variable duale est plus complexe. Dans le cas glissant, la dépendance à λ n’apparaîtque sous la forme de l’état de contact et peut être contrôlée par la stratégie de contraintesactives. Dans le cas frottant apparaît explicitement une dépendance non linéaire par rapportau multiplicateur (les lignes 4 et 5 du système (2.72)). La linéarisation produira des termesnouveaux et la stabilité des contraintes actives ne sera plus suffisante : a priori, on ne pourraitgarantir que les lignes 3 et 4 du système (2.72) sont vérifiées uniquement en stabilisant les

67

contraintes actives. Plutôt que d’inclure une nouvelle boucle nous avons choisi d’imposer laconvergence conjointe de l’état de contact et des conditions linéarisées. Ainsi on calculera,simultanément, à chaque itération une correction δu, un multiplicateur λ et le nouvel étatde contact (grâce à P ) et ce jusqu’à ce que l’état soit stable et les conditions (2.69)-(2.70)vérifiées. Le principe étant le même que celui du problème sans frottement nous ne présentonsici qu’une version sommaire de l’algorithme pour le contact frottant (Algorithme 14). Dans cecontexte, nous définissons l’ensemble inactif par

IC =j ∈ N tel que λj = 0 et (rn)j ≥ 0

et son complémentaire (l’ensemble des indices de λ qui ne sont pas dans IC) constitue l’en-semble actif AC .

Tout comme pour le cas glissant des stratégies adaptées au problème permettront d’améliorerles performances de l’algorithme, de l’algorithme. Nous en parlerons à la section 3.3.1 duchapitre 3. Pour le moment nous présentons, dans l’Algorithme 14, l’approche la plus simpleconsistant à déclencher une modification du système pour chaque changement d’état.

Algorithme 14 Stratégie de contraintes actives pour le cas avec frottement

1: Étant donné la solution (up,λp), la solution à la précédente itération de Newton2: On calcule le gap et les matrices et résidus associés3: On détermine les états de contact et on construit AC et IC4: Pseudo-Newton

• On résout une version linéarisée de (2.72).

• On projette λ sur l’ensemble admissible qui est le cône de Coulomb.

PC(λ) =

0 si λn ≤ 0λ = (λn,λT ) si λ ∈ Λh(λn, µλn

λT|λT |

)si λn ≥ 0 et |λT | ≥ µλn.

(2.74)

• On met à jour les résidus et on calcule P (λ, r),

• On met à jour les ensembles actif AC et inactif IC .5: Contrôle de la boucle :

• Si l’état est stable et ((2.69)-(2.70)) est satisfait, fin du calcul

• Si l’état n’est pas stable ou ((2.69)-(2.70)) ne sont pas vérifiées, retour à l’étape 4.

Cet algorithme permet de calculer les déplacements u pour une itération de la boucle de typeOQS.

Remarque : La projection sur la partie positive typique du contact glissant est remplacéepar la projection sur le cône de Coulomb définie par l’opérateur PC de (2.74). Notons quecette dernière n’est pas la projection orthogonale sur le cône de Coulomb. Soulignons que la

68

stratégie proposée n’implique aucune régularisation de la loi de Coulomb, elle est systémati-quement vérifiée à chaque nœud portant λh (vérification ponctuelle). De plus, cette projectionest appliquée au centre de la boucle de contraintes actives qui comprend la mise à jour dumultiplicateur. Il ne s’agit donc pas d’une approche de type point fixe de Tresca où on sta-biliserait l’état pour un seuil de frottement fixe en plaçant la boucle de contraintes actives àl’intérieur d’une boucle portant sur le seuil de frottement.

Revenons à la linéarisation de l’équation (2.69) qui fait en sorte que le problème (2.72) ne soitpas linéaire en λ. De la relation (2.73), on a

Fλ(δδu, δλ) = R−F(δδu,λ0). (2.75)

Ces itérations seront combinées à celles de la contrainte active. On fera conjointement lecontrôle de la stabilisation de l’état de contact et de la convergence de (2.75). La linéarisationest triviale pour les composantes normale (ligne 2 de (2.72)) et adhérente (ligne 3 de (2.72)).Pour la partie glissante, nous aurons

— pour le cas (3), comme le point est glissant alors il se trouve à la frontière du cône. De cefait, avec une petite correction δλ, il doit rester à la frontière et satisfaire la condition.Or, initialement λ = 0, nous aurons alors la linéarisation

δλT = µδnrT,0|rT,0|

— pour le cas (6), la variation δλT doit satisfaire au premier ordre∣∣λT,0 + δλT∣∣ = µ

(λn,0 + δλn

).

Nous avons, d’une part∣∣λT,0 + δλT∣∣2 =

(λT,0 + δλT

)•(λT,0 + δλT

)= |λT,0|2 + |δλT |2 + 2(λT,0) • (δλT )

et d’autre part(µ(λn,0 + δλn

))2=

(µλn,0

)2+(µδλn

)2+ 2(µλn,0

)(µδλn

).

λ0 est au bord du cône c’est-à-dire |λT,0| = µλn,0. En négligeant les termes du secondordre, nous aurons la relation suivante

(λT,0) • (δλT )|λT,0|

= µδλn.

Ceci signifie que δλ doit rester sur le plan tangent du cône en λ0. Ainsi, nous pourronsdéduire de ce fait que

δλT = µδλnλT,0|λT,0|

+ δλ⊥T

= δλ//T + δλ⊥T

69

le problème linéarisé (2.75) sera alorsA′δδu +BT

nRnδλn +BTTRAδλT +BT

TRGδλ⊥T +BT

T δλ//T

RnBnδδuRABT δδu(BT δδu)⊥ −RGαλδλ⊥T

−µwλRnδλn +δλ//T

=

ru,0 −BTλ0

−Rnrn,0−RArT,0−RGr⊥T,0

0

. (2.76)

Terminons ce chapitre avec la Figure 2.8, qui présente les principales étapes de la résolutiondu problème de contact frottant résolu avec une stratégie de contraintes actives.

Newton(SQP)

Calcul : matrices, résidus, gaps , ...


Détermination de l’état de contact

Linéarisation de la partie angulaire

Résolution du système linéaire (2.76)

Vérification de l’état de contact

Projection de λ sur le cône

Jusqu’à ce que l’état soit fixé et la convergence atteinte

Jusqu’à convergence de Newton

Figure 2.8 – Diagramme de résolution du système

Bien que le système (2.76) soit linéaire, sa résolution peut s’avérer difficile, particulièrementdans le cas frottant tridimensionnel. Notons aussi qu’en général la matrice de ce système seranon-définie. Par conséquent la résolution nécessitera des méthodes particulières pour obtenir debon taux de convergence. Au chapitre suivant nous étudierons ces types de systèmes linéaires etprésenterons notre approche et des méthodes de résolution, ce qui représentera la contributionprincipale de cette thèse.

71

Chapitre 3

Résolution du système linéarisé

Nous avons présenté au chapitre précédent un algorithme global pour la résolution des pro-blèmes de contact. Au cœur de cet algorithme, nous retrouvons un système linéarisé engendrépar une méthode de type Newton ou de pseudo-Newton pour la détermination de l’état decontact. Ce système doit être résolu de nombreuses fois et il est important de développer uneméthode efficace pour ce faire.

Le système algébrique issu d’un problème de contact frottant avec la loi de Coulomb ne peutêtre associé à une formulation point selle, pour être exact nous devrions parler de systèmemixte. Toutefois, par abus de langage, nous utiliserons indifféremment la terminologie systèmede point de selle pour caractériser ce type de système algébrique. Nous considérons d’abord lecas sans frottement (le cas frottant, plus complexe (voir le système (2.76)), sera traité par lasuite). Le système linéarisé (2.30) est alors un problème classique de point de selle qui conduità un système de la forme (

A BT

B 0

)︸︷︷︸

A

(up

)=

(fg

). (3.1)

Dans la plupart des problèmes entraînant des systèmes de type point selle, la matrice A estinversible. En multipliant par son inverse dans la première équation du système (3.1), nouspourrons éliminer la variable primale dans la seconde équation. Ce qui mène à l’égalité suivantequ’on associe classiquement au problème dual

BA−1BTp = BA−1f− g. (3.2)

La matrice BA−1BT que nous noterons dans la suite par S est appelée complément de Schurdu bloc A de la matrice A. S est symétrique définie positive lorsque A est symétrique définiepositive et B de rang maximal. Dans ce cas, la matrice A est inversible.

Ce chapitre, purement algébrique, représente la principale contribution de la thèse. On yprésente la méthode de résolution du système linéaire du problème de contact avec et sans

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frottement. Dans la première partie du chapitre, nous allons parler des systèmes de point deselle en général. Nous présenterons une approche mixte ([33, 86]) pour la résolution du systèmes’appuyant sur des approches classiques pour le préconditionnement. Dans la première partie,après une présentation sommaire des méthodes classiques, nous présenterons la techniqueque nous proposons de mettre en œuvre pour résoudre efficacement ces types de systèmesalgébriques.

Dans la seconde section du chapitre, nous étudierons le comportement et les performancesde l’algorithme pour différentes configurations pour des applications en élasticité sans contact(formulation mixte avec loi de comportement linéaire et non linéaire).

Quoique très général, l’approche proposée dans la première section exige des raffinementslorsqu’appliquée à la résolution de problème de contact. La dernière section du chapitre pré-sentera de nouveaux préconditionneurs spécifiquement adaptés à ce type de problème. Nousproposerons d’abord un nouveau préconditionneur spécifique à la résolution de problèmes enformulation en déplacement seulement (typique de l’élasticité linéaire) pour le contact glissantet frottant. Pour clore ce chapitre, nous présenterons notre méthode de résolution pour desproblèmes de contact en formulation déplacement-pression (qui peuvent aussi se ramener à laforme (3.1)). Méthode générique pour le contact, il s’agit d’une approche couvrant tous lestypes de contact.

3.1 Une approche générique pour les problèmes de point deselle

Les systèmes du type (3.1) se rencontrent dans une grande variété d’applications des scienceset d’ingénierie. On les trouve dans les problèmes de finance [87], d’électromagnétisme [62],d’optimisation sous contraintes [88] dont nous nous intéressons dans ce contexte plus particu-lièrement en élasticité linéaire et non linéaire [89]. Une revue de la littérature sur les méthodesde résolution des problèmes de point de selle peut être trouvée dans Benzi et al. (voir [32]).

Bien que le système (3.1) soit linéaire, le résoudre pose un défi de taille. En effet, la matriceA est non définie, elle possède des valeurs propres à la fois positives et négatives. Ainsi, ayantun bloc nul, sa structure force l’utilisation de renumérotation pour une résolution avec uneméthode directe. Une renumérotation dont la mise en œuvre est complexe et dont les résultatssont incertains (voir [90]). De plus, les problèmes de mécanique des solides, en particulierdu contact, sont généralement de grande taille et de dimension 3, donc, ne peuvent êtrerésolus en un temps modéré qu’avec les méthodes itératives. Cependant, le conditionnementde la matrice associée au problème de point de selle est généralement mauvais ; de ce fait,les algorithmes itératifs usuels sont quelques fois lents ou donnent des solutions numériquesstagnantes comme il est montré dans [30]. Pour y remédier, l’idée est de préconditionner la

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matrice, en la transformant en une matrice ayant de meilleures propriétés.

Plusieurs approches (voir, par exemple, [91, 46]) existent dans la littérature pour résoudrece type de problèmes mais la convergence n’est pas toujours garantie. Nous proposerons unetechnique robuste et efficace de résolution des systèmes de cette forme. Il s’agit d’une méthodeitérative dont le préconditionneur peut être considéré comme une extension de la méthoded’Uzawa. Plus précisément, le préconditionneur peut être vue comme une version amélioréede la méthode d’Arrow-Hurwicz que nous allons décrire brièvement dans ce qui suit. Pourplus de détails, nous suggérerons au lecteur de se référer à [36]. La clé pour obtenir un boncomportement en terme de convergence pour les méthodes itératives étant la construction d’un"bon" préconditionneur.

3.1.1 Méthode du GCR préconditionné à droite

Pour résoudre (3.1), nous utilisons un algorithme appelé algorithme itératif mixte (Mix-It).Méthode générique, elle consiste à itérer simultanément sur les deux variables, ne faisant au-cune distinction entre elle. À titre d’exemple, nous présentons la version résiduelle conjuguéegénéralisée (Mix-It-GCR). Il s’agit de la méthode GCR (Algorithme 9) avec précondition-neur (à droite) appliquée au problème mixte (3.1).

Algorithme 15 L’algorithme de base Mix-It-GCR1: Initialisation

• On se donne u0 et p0 des valeurs initiales

• On calcule

R =

(fg

)−A

(u0

p0

).

2: Tant que la convergence n’est pas atteinte

• À partir de R, un préconditionneur nous donne Z• On calcule T = AZ• On utilise GSM (défini dans l’Algorithme 16) pour obtenir T ⊥ et Z⊥

• On prend β =(R , T ⊥

)• On met à jour (

uk+1

pk+1

)=

(ukpk

)+ βZ⊥

R = R− βT ⊥

Le choix duGCR ne devrait être considéré que comme une illustration de l’approche favorisée,car d’autres méthodes itératives pouvant avoir des préconditionneurs flexibles peuvent êtreutilisées (par exemple FGMRES). Cependant, notre expérience montre que le GCR est un

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algorithme robuste pour le problème de point de selle (en particulier le contact). De plus,comme un préconditionnement flexible sera utilisé, la surcharge de mémoire associée au GCR(par rapport à GMRES) est négligeable. De plus, cette méthode est facile d’implémentationet flexible.

Pour l’orthogonalisation de T produisant T ⊥, nous n’utilisons pas la méthode classique deGram-Schmidt, réputée instable numériquement. En effet, la propagation de petites erreursd’arrondis tend à produire des vecteurs non orthogonaux (voir [92, 30]). De ce fait, nousutilisons, comme présenté dans [92], la méthode dite Gram-Schmidt modifiée réputée plusstable. La méthode GSM (voir Algorithme 16) présentée ici, en plus d’orthogonaliser desvecteurs Tk permet de modifier simultanément une seconde pile de vecteurs dénotés zk.

Algorithme 16 Gram-Schmidt modifié à deux piles (GSM)1: On initialise les nouveaux vecteurs2: Pour i allant de zéro à (k − 1)

• αi = (Ti , Tik)

• T i+1k = T ik − αiTi

• zi+1k = zik − αiTi

3: On rend les vecteurs orthogonaux

• Tk =T kk‖T kk ‖2

• zk =zkk‖T kk ‖2

4: On met les vecteurs dans les piles

Il est à noter que la méthode GSM tout comme l’algorithme Gram-Schmidt usuel développedes instabilités. Toutefois le comportement numérique du GSM est "meilleur" permettant deconserver l’orthogonalité pour un plus grand nombre de vecteurs. La perte d’orthogonalité estcontrôlée en détruisant à un intervalle régulier l’espace de Krylov. On parle de redémarrage.

Nous introduisons également une version simplifiée du Mix-It, appelée Mix-It-R. Pour cefaire, nous considérons une matrice P de préconditionnement de A et les itérations de la mé-thode stationnaire de Richardson (voir [51]). Ces dernières peuvent se traduire par la relation[

uk+1

pk+1

]=

[ukpk

]+ P−1

[(fg

)−A

(ukpk

)](3.3)

=

[ukpk

]+ P−1

[f−Auk −BTpk

g −Buk

]

ce qui mène à à l’algorithme relativement simple suivant

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Algorithme 17 Algorithme Mix-It-Richardson (Mix-It-R)1: Initialisation

• On se donne u0 et p0 des valeurs initiales

• On calcule

R =

(fg

)−A

(u0

p0

).


• À partir de R, un préconditionneur nous donne Z• On met à jour (

uk+1

pk+1

)=

(ukpk

)+ Z

R = R−AZ

Construit comme un solveur de Richardson sur A, cette variante du Mix-It peut être décritecomme un solveur Mix-It sans accélération car il ne contient que l’étape de préconditionne-ment. Dans cet esprit, le Mix-It-GCR peut être considéré comme un solveur Mix-It avecune accélération de type GCR.

Soulignons encore une fois que le choix du préconditionneur est crucial. Les algorithmes ité-ratifs avec un préconditionneur choisit arbitrairement et non adapté au système à résoudrepeuvent diverger ou stagner. Il est important que les valeurs propres du problème conditionnésoient de même signe. Nous allons à présent procéder à la construction du préconditionneur.

Si la structure et l’efficacité du préconditionneur sont liées à la nature et à la structure du pro-blème, elles ne devraient pas dépendre du solveur. Une approche simple pour le développementd’un préconditionneur efficace pour les méthodes itératives de Krylov consiste à s’appuyer surla restriction de méthodes de résolution exactes. Il est clair alors qu’en levant la restrictionon obtient une méthode itérative dont le préconditionneur produit la solution exacte. Dans cecas la méthode produira forcément la solution en une seule itération.

Suivant cette technique, nous allons présenter deux approches classiques pour la résolutionnous menant à des préconditionneurs pour la famille des solveurs Mix-It.

3.1.2 Méthodes d’Uzawa et d’Arrow-Hurwicz

La technique la plus connue pour la résolution de systèmes émanant des problèmes de pointde selle est la méthode d’itération duale communément appelée méthode d’Uzawa. Elle a étéproposée en 1958 par Arrow, Hurwicz et Uzawa dans [91]. Elle consiste à résoudre itérativementle problème dual (3.2). Plus précisément, la méthode consiste, à chaque itération, à la résolution

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en alternance du système primal (système en u), suivi de la mise à jour de la partie duale(variable p), jusqu’à ce que la convergence soit atteinte. La méthode d’Uzawa est basée sur larésolution du système (3.2) par la méthode de Richardson. Cette dernière se traduit à chaqueitération par :

pk+1 = pk + ρ(BA−1f− g − Spk)

= pk + ρ(BA−1(f−BTpk)− g

)= pk + ρ(Buk − g).

L’algorithme originel d’Uzawa peut se présenter comme suit :

Algorithme 18 Méthode d’Uzawa1: Choisir une approximation initiale p02: Pour k = 0, 1, . . . jusqu’à convergence, faire3: résoudre le problème primal en u par

Auk +BTpk = f, (3.4)

4: mettre à jour la variable duale p

pk+1 = pk + ρ(Buk − g) (3.5)

Le coefficient ρ est un paramètre de relaxation dépendant du spectre du complément de SchurS. En effet, en remplaçant la solution u obtenue par la résolution du système de l’équation(3.4) dans l’équation (3.5) de l’Algorithme 18, on obtient pk par la relation

pk+1 = pk + ρ(BA−1f− Spk − g), ∀ k ≥ 0. (3.6)

En supposant que la suite pk converge vers p, nous avons alors la relation (3.2) nous permettantd’avoir l’égalité BA−1f = Sp− g. En substituant cette dernière dans (3.6) et en y soustrayantla solution p, on obtient

p− pk+1 = (I + ρS) (p− pk+1), ∀ k ≥ 0 (3.7)

ce qui est équivalent à la relation suivante

p− pk = (ρS − I)k (p− p0), ∀ k ≥ 0. (3.8)

De ce fait, la norme sur l’erreur doit satisfaire

‖p− pk‖ = ‖ρS − I‖k ‖p− p0‖, ∀ k ≥ 0

= |ραmax − 1|k ‖p− p0‖.

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En notant αmin et αmax respectivement la plus petite et la plus grande valeur propre de S,l’algorithme d’Uzawa converge pour tout réel ρ tel que

0 < ρ <2

αmax. (3.9)

De plus, sa valeur optimale est donnée par (voir [31, 93])

ρopt =2

αmin + αmax. (3.10)

La détermination de la valeur optimale du paramètre ρ est problématique car elle exige d’esti-mer les valeurs propres de la matrice S. Si cette valeur optimale peut être déterminée analyti-quement dans certaines situations ([94] par exemple), ce n’est pas le cas en général. De nom-breuses variantes de cette méthode sont proposées dans la littérature (voir [32, 31]). Plusieursauteurs ont étudiés numériquement et éventuellement dans le cadre théorique des variantes dela méthode. Elman et Golub [93] ont proposé la méthode d’Uzawa dite inexacte dont l’analysethéorique est faite dans [95]. Bai et al. [96] ont présenté la méthode dite paramétrée. Plusrécemment, Ma et Zang dans [97], ont traité la méthode dite corrigée. Ils ont montré qu’elleconverge plus rapidement que la méthode classique et plusieurs de ses variantes sous certaineshypothèses. Toutefois, même des approches récentes telle que [97] se butent sur la question dela détermination du paramètre optimal. Dans [98], il est proposé une extension dans laquellele paramètre de relaxation est variable donc calculé à chaque itération. La méthode peut êtreaméliorée en utilisant une méthode du gradient conjugué avec préconditionneur (voir [46]).

Même si la méthode d’Uzawa peut être efficace, son comportement est malheureusement for-tement lié à la valeur de ρ. Ce n’est que sous des conditions particulières sur A et B que larésolution du problème primal (3.4) n’a pas besoin d’être exacte (voir [99]). Par conséquent,en général, cette méthode devient très coûteuse pour les problèmes de grande taille. Une réso-lution approchée conduit dans le cas le plus simple à la méthode dite d’Arrow-Hurwicz. Pourla définir, nous introduisons une approximation A−1 de l’inverse de la matrice A.

Algorithme 19 Algorithme d’Arrow-Hurwicz1: Choisir une approximation initiale u0 et p02: Pour k = 0, 1, . . . jusqu’à convergence, faire3: résoudre de façon approchée le problème primal en u par

uk+1 = uk − ρ1A−1(f−Auk −BTpk) (3.11)

4: mettre à jour la variable duale p

pk+1 = pk + ρ2(Buk+1 − g) (3.12)

5: Fin.

Remarque : On retrouve la méthode d’itération duale dans le cas où A−1 = A−1 et ρ1 = 1.

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Comme pour Uzawa, le comportement de l’algorithme est fortement lié aux valeurs de ρ1 et ρ2.L’inconvénient principal est l’absence d’une procédure pour déterminer ces valeurs. Cependant,le choix optimal de ces deux paramètres (qui dépendent des valeurs propres du complémentde Schur) a été étudié théoriquement dans la littérature (voir, par exemple, [36, 100]). Nousprésenterons à la section 3.1.3 un procédé pour déterminer automatiquement des valeurs pources coefficients.

Les méthodes d’Uzawa et d’Arrow-Hurwicz où quelques itérations sont calculées semblent descandidats possibles comme préconditionneur pour une méthode de type Krylov. Malheureu-sement, obtenir un comportement satisfaisant de la méthode Mix-It-GCR en utilisant laméthode d’Arrow-Hurwicz comme préconditionneur, exige de faire plusieurs itérations du pré-conditionneur lorsque les paramètres ne sont pas optimaux (ce phénomène est illustré dansla section 3.2). Ainsi, même lorsqu’employé comme préconditionneur, le choix des paramètresde la méthode d’Arrow-Hurwicz impacte la nature de la convergence de la méthode Mix-it-GCR.

Dans la suite, on verra comment une factorisation de la matrice associée au problème de pointde selle permet d’obtenir une détermination automatique de ces paramètres et de résoudreefficacement le problème dual. Nous obtiendrons donc des variantes améliorées des précondi-tionneurs Uzawa et Arrow-Hurwicz comme cas particuliers d’une approche plus générale.

3.1.3 Méthode basées sur la factorisation LDU du système

Une seconde approche robuste pour le système général (3.1) consiste à considérer une factori-sation en bloc LDU de la matrice A.

A =

[I 0

BA−1 I

][A 0

0 −S

][I A−1BT

0 I

]:= LDU , (3.13)

où B est de rang maximal et A est inversible d’où le complément de Schur S = BA−1BT estinversible. Nous avons alors,

(LDU)−1 =

[I −A−1BT

0 I

][A−1 0

0 −S−1

][I 0

−BA−1 I

]. (3.14)

Remarque : Lorsque A est symétrique, nous avons U = LT et la décomposition LDLT estsymétrique mais toujours non définie.

On se donne une approximation (u0, p0) de la solution du problème (3.1) et on définit le résidu(ru, rp) associé, par

ru = f−Au0 −BTp0 rp = g −Bu0.

80

Ainsi, déterminer la solution (u, p) = (u0+ δu, p0+ δp) revient à trouver la correction (δu, δp)vérifiant l’équation

A

(δuδp

)=

(rurp

). (3.15)

En utilisant la factorisation (3.13), nous aurons la relation suivante(δuδp

)= (LDU)−1

(rurp

)(3.16)

ce qui se traduit, en utilisant l’égalité (3.14), parδu = A−1(ru −BTδp)

δp = S−1(BA−1ru − rp).(3.17)

Pour calculer la solution (u, p), nous aurons à résoudre trois systèmes d’équations, deux définispar la matrice A et l’autre par la matrice du complément de Schur S.

u∗ = A−1ruδp = S−1(Bu∗ − rp)δu = A−1(ru −BTδp) = u∗ −A−1BTδp.

(3.18)

La principale difficulté est la résolution du problème associé à la matrice S = BA−1BT.Il est en effet inconcevable de construire explicitement cette matrice sauf dans des cas trèsparticuliers (voir par exemple [101]). Nécessitant la résolution de A−1BT, la matrice S dont ladimension correspond à l’inconnue p est généralement pleine. Le système δp = S−1(Bu∗− rp)ne peut donc être résolu que de manière itérative puisque seule cette approche n’exige pas laconstruction explicite de S mais plutôt l’évaluation du produit Tp = Szp qui s’écrit en deuxétapes :

1. Azu = BTzp donc zu = A−1BTzp

2. Tp = Bzu puisque Szp = Bzu

Ainsi, à titre d’exemple, on peut considérer la méthode GCR avec préconditionneur pourla résolution itérative du problème en S dans la résolution du système (3.18). De ce fait, lafactorisation en bloc LDU nous donne l’algorithme suivant

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Algorithme 20 Résolution exacte par factorisation (LDU-Direct)1: Initialisation

• Étant donné les résidus ru et rp• Prendre δu = 0 et δp = 0

2: Résoudre avec une méthode directe Au∗ = ru3: Résolution de Sδp = (Bu∗ − rp) par GCR préconditionné

• rp = Bu∗ − rp• Tant que la convergence n’est pas atteinte

— À partir de rp, un préconditionneur nous donne zp— Calcul de Tp = Szp en deux étapes

— Résoudre avec une méthode directe Azu = BTzp

— Prendre Tp = Bzu— Utiliser GSM (Algorithme 16) pour avoir T⊥p et z⊥p— Prendre β = (rp , T

⊥p )

— Mettre à jour

— δp = δp+ βz⊥p

— rp = rp − βT⊥p• Fin de la boucle

4: Résoudre avec une méthode directe Aδu = −BTδp5: Mettre à jour la solution primale δu = δu+ u∗

La méthode LDU-Direct définie par l’Algorithme 20 nécessite un grand nombre de résolutionsassociées à la variable primale. Elle devient très coûteuse et ne peut être envisagée commesolveur lorsque la matrice A est de grande taille. La méthode consistant à utiliser une méthodeitérative pour résoudre les systèmes associés à A est aussi peu satisfaisante.

Toutefois ne voulant qu’un préconditionnement du résidu du système (3.1), on peut se limiter àquelques itérations de ces méthodes itératives pour le problème en A. De manière plus générale,on peut construire une forme approximative de (3.18) qui sera utilisée comme préconditionneurdu système global (un préconditionneur mixte). En supposant que nous ayons A−1 et S−1

approximations des inverses (on peut aussi les voir comme des solveurs approchés) pour lesmatrices A et S. À partir des résidus ru et rp, nous calculons les vecteurs zu et zp,

z∗u = A−1ruzp = S−1(Bz∗u − rp)zu = A−1(ru −BTzp) = z∗u − A−1BTzp.

(3.19)

La dernière étape déterminant zu pourrait utiliser une approximation différente de A−1. Poursimplifier notre démarche, nous nous limiterons à utiliser le même.

82

Ce préconditionneur sera au centre de notre solveur. Pour le mettre en œuvre, nous devronsconstruire deux outils essentiels :

1. un solveur approximatif, facilement calculable et rapide A−1,

2. un solveur approximatif, facilement calculable et rapide S−1 pour le complément deSchur.

Solveurs approximatifs pour A et le complément de Schur S

En ce qui concerne A−1, nous utiliserons des techniques standards telles que celles disponiblesdans la librairie Petsc du laboratoire Argonne (voir [102]). Par exemple, nous utiliseronsquelques itérations du résidu conjugué généralisé (GCR), préconditionné par une méthodealgébrique multi-grille. L’utilisation d’autres techniques est clairement possible.

Le complément de Schur S = BA−1BT, exception faite de cas très particuliers, est une ma-trice pleine qu’il n’est pas envisageable de construire explicitement. Une approximation deS−1 sera donc la construction d’une matrice ou la donnée d’un solveur approximatif de lamatrice A (le calcul de Szp fait intervenir la matrice A−1) à partir duquel on construira unsolveur approximatif de S. Pour construire une approximation de S−1 qui soit générique nousprocéderons de la manière suivante

— Définition de S = BA−1BT où A−1 est un solveur approximatif de A (par simplicité,nous choisirons A−1 = A−1 introduit ci-dessus). Par conséquent, Szp sera facilementcalculable par résolution à l’aide du solveur A−1.

— Utilisation d’une méthode itérative appliquée à S pour approximer S−1. En pratique,nous limitons cette étape à quelques itérations (le plus souvent à une seule itération).

— Introduction d’une matrice facilement inversible dénotée M . Un solveur itératif pour Snécessitera un préconditionneur. Dans nos exemples, ce sera la matrice masse associéeau produit scalaire dans Q comme présenté dans [103]. On pourra aussi utiliser la formecondensée de la matrice masse (voir Chapitre 2).

Nous utilisons l’algorithme GCR comme méthode itérative mais ici encore ce choix est arbi-traire et d’autres méthodes de Krylov peuvent être retenues. L’Algorithme 21, qu’on nommerasolveur approximatif du complément de Schur (SCS) résume la résolution de Szp = rp par laméthode GCR préconditionnée par une matrice M .

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Algorithme 21 Solveur approximatif pour le complément de Schur (SCS)1: Initialisation

• Étant donné rp• Prendre zp = 0


• Préconditionnement : zp =M−1rp

• Calcul de Tp = Szp en deux étapes

— zu = −A−1BTzp

— Tp = Bzu• Utiliser GSM pour obtenir T⊥p et z⊥p• Prendre β = (rp , T

⊥p )

• Mettre à jour

— zp = zp + βz⊥p

— rp = rp − βT⊥p3: Fin de la boucle

3.1.4 Préconditionneur mixte

On obtient un premier préconditionneur qu’on appellera préconditionneur mixte pour le Mix-It en utilisant des solveurs approximatifs pour A aux étapes 2 et 4 et en remplaçant la bouclede GCR à l’étape 3 du solveur LDU-Direct (Algorithme 20) par l’Algorithme du SCS. Onproduit ainsi une version inexacte du solveur LDU-Direct.

Attardons nous à l’étape 2 du SCS, plus précisément au calcul de zu. Le résidu préconditionnéproduit par la méthode, le vecteur zp, est initialisé à zéro. Ainsi le vecteur zu de cette méthodecorrespond à A−1BTzp, c’est donc une approximation de l’étape 4 du solveur LDU-Direct.On peut donc produire un second préconditionneur pour le Mix-It, en utilisant un calculintermédiaire du SCS et en éliminant l’étape 4 de l’Algorithme 20, on obtient la méthodequ’on nommera préconditionneur mixte général (PMG) que l’on résume dans l’algorithmesuivant.

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Algorithme 22 Préconditionneur mixte général (PMG)1: Initialisation

• Étant donné ru et rp, on prend zp = 0

• Calculer zu = A−1ru et mettre rp = Bzu − rp2: Tant que la convergence n’est pas atteinte

• Calculer zp =M−1rp

• Calculer zu = −A−1BTzp

• Tp = Bzu• Utiliser GSM pour obtenir T⊥p et z⊥p• Prendre β = (rp , T

⊥p )

• Mettre à jour

— zp = zp + βz⊥p

— rp = rp − βT⊥p— zu = zu + βzu

3: Fin de la boucle

Retour à la méthode d’Arrow-Hurwicz

Dans la plupart des cas, nous utiliserons le solveur approximatif pour le complément de Schuren une seule itération. Dans ce cas, en considérant l’algorithme de Gram-Schmidt modifié(voir Algorithme 16), les étapes d’appel à GSM et le calcul de β dans l’Algorithme 21 serontréduites à la relation

β =(rp , Tp)

‖Tp‖2.

Ainsi, nous aurons une version simplifiée du préconditionneur mixte général (Algorithme 22)que nous présenterons dans l’algorithme suivant

Algorithme 23 Préconditionneur mixte simplifié (PMS)

1: Étant donné ru et rp2: Calculer zu = A−1ru et mettre rp = Bzu − rp3: Calculer zp =M−1rp4: Calculer zu = −A−1BTzp5: Tp = Bzu

6: β =(rp , Tp)

‖Tp‖27: Mettre à jour

• zp = βzp

• zu = zu + βzu

En inversant l’ordre des équations des méthodes d’Uzawa (Algorithme 18) et d’Arrow-Hurwicz

85

(Algorithme 19), nous retrouvons des variantes du préconditionneur mixte simplifié. Lorsquele complément de Schur est approximé par la matrice identité i.e (M = I), on obtient laméthode d’Arrow-Hurwicz classique avec ρ1 = 1 et ρ2 = β calculé à chaque itération. Lorsquenous utilisons M = I et un solveur exact pour la matrice (A = A) dans le préconditionneursimplifié, nous obtenons la méthode d’Uzawa classique, avec détermination automatique, àchaque itération, du paramètre ρ.

En résumé, le préconditionneur général PMG produit une famille de préconditionneurs com-prenant des variantes des préconditionneurs Uzawa et Arrow-Hurwicz. Le préconditionneurmixte simplifié (Algorithme 23) est une variante de la méthode d’Arrow-Hurwicz avec unchoix des paramètres issu de la méthode GCR. Nous illustrerons plus loin l’effet du choix deρ sur le PMS. Les résultats obtenus tendent à démontrer que la variante d’Arrow-Hurwiczainsi obtenue utilise une valeur presque optimale du paramètre ρ2 pour ρ1 = 1.

Remarque : Ce préconditionneur ouvre la porte à une large plage de problème mixte. Unepartie de sa robustesse provient de l’adaptabilité du préconditionneur et du solveur au pro-blème à traiter et la souplesse dans le choix de A. Cette robustesse est donc toute relative ets’appuiera sur le choix de A. Nous verrons qu’il est parfois possible (et même nécessaire) depallier au mauvais comportement de la matrice A.

3.2 Convergence de l’algorithme pour la formulation mixte enélasticité sans contact

Dans cette section, nous proposons d’étudier la méthode développée pour la résolution des pro-blèmes de point de selle provenant de l’élasticité en formulation mixte (déplacement-pression)sans contact. On illustrera la convergence de l’algorithme, s’intéressant sur l’impact des choixdes méthodes de résolution du problème en u sur la performance. Nous allons en premierétudier le problème d’élasticité pour le cas linéaire et non linéaire.

Description

Tel que précisé au chapitre 2, le choix d’interpolation ne saurait être laissé au hasard. Lacondition inf-sup devra être respectée. Afin d’utiliser le solveur HP (voir Algorithme 11),les éléments P2 hiérarchiques sont considérés pour le choix de la discrétisation associée à lavariable primale u. Pour la variable duale p, nous prenons les éléments linéaires P1.

Pour l’utilisation des algorithmes Mix-It-GCR et Mix-It-R (Algorithmes 15 et 17) danslesquels le préconditionneurPMS (Algorithme 23) est considéré, deux solveurs sont nécessairespour résoudre un problème algébrique de point de selle : l’un pour la partie primale (étapes2 et 4 de l’Algorithme 23) et l’autre pour celle duale (étape 3 de l’Algorithme 23). Plusieurschoix sont faits pour la méthode de résolution associée au déplacement (partie primale).

86

• La notation LU réfère à la résolution par la méthode directe.

• Pour la résolution itérative, différents cas sont mis en œuvre. Pour ses nombreux avan-tages en temps de calcul et espace mémoire pour les maillages très fins requis, nous avonsretenu la méthode hiérarchique HP.

— Pour la partie (P1), nous utilisons la méthode multi-grille (AMG) ou la factorisa-tion LU que nous noterons par HPA et HPL respectivement.

— Pour la partie (P2), nous utilisons une itération de la méthode SOR.

Nous utilisons la méthode HP de deux manières :

— comme un solveur, dénoté PREONLY où on ne fera qu’une seule itération,

— comme un préconditionneur pour la méthode GCR ou GMRES. Dans le cas oùcette dernière est limitée à un nombre d’itérations n, nous utilisons la notationLGCR(n) ou LGMRES(n).

Pour la résolution du système dual (résolution d’un système avec une matrice M), la méthodeLU est considérée dans les exemples mais les méthodes itératives peuvent aussi être utiliséeset sont même nécessaires lorsque le nombre d’inconnues duales est important.

3.2.1 Étude de la convergence

Débutons par un exemple simple menant à une formulation mixte : un problème d’élasti-cité incompressible tel que présenté dans la section 1.2.2. On prendra comme application uncube d’arête de longueur a auquel on impose un déplacement nul sur la face inférieure et undéplacement imposé vers le bas sur la face supérieure (voir Figure 3.1)

Pour bien voir la convergence du problème à une tolérance de 10−5 pour la correction en u,le résidu correspondant devra être quasi-nul. Nous imposons une tolérance de 10−10 pour latolérance en norme euclidienne du résidu en p et un maximum de 50 itérations dans le précondi-tionneur. Ceci nous permettant aussi de voir le comportement des résidus du préconditionneurpour des valeurs très petites.

u(x, y, 1) := [0, 0,−2]

u(x, y, 0) := [0, 0, 0]

y

z

x

Figure 3.1 – Géométrie et conditions aux limites du problème du cube sans contact.

87

Performance en élasticité linéaire

Nous considérons un matériau Hookéen de module de Young E égal à 102MPa. Le traitementde l’incompressibilité (ou quasi-incompressibilité) par une formulation mixte du problèmed’élasticité linaire peut être trouvé dans le livre de Boffi et al. [20] ou Fortin et al. [40].

``````````````Solveur ANb. de ddl

14739 107811 823875

LU 6,98 7,09 63,09 70,41 1826,31 1903,65

PREONLY HPA 48.07 11,30 237,60 49,43 1534,08 253,11HPL 36,77 10,21 211,94 39,37 2024,50 325,87

LGCR(1) HPA 31,88 13,35 136,37 58,57 531,76 250,38HPL 21,49 11,39 154,69 50,92 1155,89 350,62

LGCR(2) HPA 15.52 10,10 95,97 46,92 280,74 179,11HPL 11,17 8,92 73,99 41,70 585,09 306,84

LGCR(3) HPA 12,25 9,23 63,64 43,41 276,63 164,3HPL 8,84 7,92 55,60 39,93 430,00 313,00

LGCR(4) HPA 13,40 8,44 51,07 38,08 200,57 159,78HPL 11,73 8,02 59,73 40,71 447,00 320,47

LGCR(5) HPA 12,28 8,86 46,32 37,72 241,13 158,69HPL 10,32 8,20 63,22 42,41 438,59 353,74

Table 3.1 – Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire suivant la mé-thode de résolution du système primal. Pour chaque maillage la colonne de gauche correspondau solveur Mix-It-R, à droite le solveur Mix-It-GCR.

Dans ce tableau, le temps de calcul utilisé par le solveur suivant la configuration du précondi-tionneur A de la variable primale est présenté. Dans la première ligne, nous avons le nombrede degrés de liberté de la variable primale u. Dans la première colonne, les méthodes de ré-solution du système linaire en u sont représentées. Nous avons utilisé dans ce contexte, laméthode directe LU et la méthode HP (Algorithme 30) pour la résolution itérative. Dans lessous-colonnes associées au nombre de sommets de la variable primale, nous avons le temps decalcul du préconditionneur sans accélération (Algorithme 15) pour la première sous-colonneet avec accélération (Algorithme 17) pour l’autre.

Pour des maillages grossiers, la résolution directe est bien plus rapide que les méthodes ité-ratives du fait que la factorisation se passe assez vite. Plus le nombre de degrés de libertéest important, plus résoudre avec la méthode LU devient coûteux entraînant un temps decalcul très élevé en comparaison des autres configurations. On retrouve ainsi le comportementtypique des solveurs directs. Pour les méthodes itératives, le temps de calcul est du mêmeordre pour les maillages grossiers, mais on note cependant des différences sur les maillagesfins : PREONLY reste plus lent que LGCR(n) où n représente le nombre d’itérations de laméthode. HPA est aussi meilleur plus le maillage est fin. Dans tous les cas, la présence du

88

0 10 20 30 40

10−9

10−6

10−3

100

Itérations cumulées

Résidurelatifen

u(norme2) Mix-It-R

Mix-It-GCR

0 10 20 30 40

10−12

10−9

10−6

10−3

100


Résidurelatifen

p(norme2) Mix-It-R

Mix-It-GCR

Figure 3.2 – Comportement des résidus en déplacement et pression suivant les algorithmesMix-It-R (Algorithme 17) et Mix-It-GCR (Algorithme 15).

GCR dans le préconditionneur accélère sa convergence comme le souligne la Figure 3.2. Onnote cependant une différence de temps assez importante entre les algorithmes Mix-It-GCR(Algorithme 15) et Mix-It-R (Algorithme 17) peu importe la méthode itérative de résolu-tion du système primal (PREONLY ou LGCR(n)). Ces deux algorithmes sont équivalentslorsque l’on résout avec une méthode directe. Dans le cas de l’algorithme Mix-It-R, le tempsde calcul semble diminuer lorsqu’on augmente le nombre d’itérations de Krylov permises. Deplus, la résolution avec LGCR(n) préconditionné par HPA semble optimale.

La Figure 3.2 représente l’erreur en norme euclidienne des résidus en u et p au cours desitérations du préconditionneur suivant la présence ou non du GCR. La résolution est faiteavec LGCR(3) préconditionné par HPA. Le maillage le plus fin (Table 3.1) a été utilisé pourcette figure. Cette figure illustre clairement la différence de convergence prévisible et déjàévoquée entre un Mix-It avec et sans accélération.

La figure suivante, Figure 3.3, permet d’illustrer les résultats de la Table 3.1 pour le solveurMix-It accéléré. Si on se limite à la résolution avec le Mix-It-GCR, c’est-à-dire l’Algorithme15, on remarque que plus on résout avec précision en u, plus le temps de calcul semble diminuer(avec toutefois un plateau correspondant à LGCR(4)). Il est donc possible d’accélérer laconvergence (en déplacement et en pression) sans augmenter le temps de calcul comme lemontre la Figure 3.3 et la Table 3.1. Dans la Figure 3.3, nous avons omis le résidu en u avecune résolution directe du fait que ce dernier soit de l’ordre de 10−10 à la première itération.

89

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

Itérations cumulées de l’algorithme

Résidurelatifen

u(norme2)

PREONLYLGCR(1)LGCR(2)LGCR(3)LGCR(4)LGCR(5)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10−13

10−11

10−9

10−7

10−5

10−3

10−1

101


Résidurelatifen

p(norme2)

LUPREONLYLGCR(1)LGCR(2)LGCR(3)LGCR(4)LGCR(5)

Figure 3.3 – Comportement des résidus de l’Algorithme 15 suivant le solveur utilisé pour leproblème primal.

90

Nous avons aussi fait la même démarche avec LGMRES(n). Si on note une meilleure per-formance en temps de GCR par rapport à GMRES (Table 3.2 construit uniquement pourle maillage le plus fin), on obtient, tel que prévu, un comportement similaire durant les ité-rations. Les chemins de convergence sont assez semblables (voir Figure 3.5). La relation entrele nombre total d’itérations du solveur Mix-It-GCR et le nombre maximal d’itérations dusolveur primal est comparable (représentée dans la Figure 3.4), et on remarque que les pentessemblent identiques. Tout ceci confirmant l’équivalence entre les deux méthodes.

HHHHHHA

n1 2 3 4 5

LGMRES(n) HPA 321,63 220,51 215,81 213,81 199,80HPL 503,14 396,16 489,20 335,63 508,29

LGCR(n) HPA 250,38 179,11 164,3 159,78 158,69HPL 350,62 306,84 313,00 320,47 353,74

Table 3.2 – Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire avecLGMRES(n) et LGCR(n) comme méthode de résolution du système primal suivant lenombre d’itérations n.

1 2 3 4 5

20

30

40

50

60

70

Itération maximale n du solveur primal

Nom

bre

tota

ld’it

érat

ions

LGCR(n)LGMRES(n)

Figure 3.4 – Nombre d’itérations du solveur Mix-It-GCR avec LGCR(n)-HPA ouLGMRES(n)-HPA pour la résolution du système primal.

91

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10−8

10−5

10−2

101

Résidurelatifen

u(norme2)

GCR(1)GMRES(1)

0 10 20 30 40 50 60 70 8010−13

10−10

10−7

10−4

10−1

Résidurelatifen

p(norme2)

GCR(1)GMRES(1)

0 10 20 30 4010−9

10−6

10−3

100

103

Résidurelatifen

u(norme2)

GCR(2)GMRES(2)

0 10 20 30 4010−13

10−10

10−7

10−4

10−1

Résidurelatifen

p(norme2)

GCR(2)GMRES(2)

0 10 20 30

10−9

10−6

10−3

100

Résidurelatifen

u(norme2)

GCR(3)GMRES(3)

0 10 20 30

10−12

10−9

10−6

10−3

100

Résidurelatifen

p(norme2)

GCR(3)GMRES(3)

Figure 3.5 – Norme euclidienne des résidus du solveurMix-It-GCR (Algorithme 15) suivantla méthode de résolution du système primal avec LGCR(n) et LGMRES(n).

92

Remarque : On peut noter que la convergence est indépendante de la discrétisation. En effet,on peut voir à la Table 3.3 que le nombre d’itérations du solveur Mix-It-GCR ne change pasen raffinant comme en déraffinant le maillage.

Nombre de ddl 2187 14739 107811 823875Nombre d’itérations 21 22 22 21

Table 3.3 – Nombre d’itérations du solveur par rapport au nombre de degrés de liberté avecune résolution LGCR(3) préconditionné par HPA pour A.

Effet de β du préconditionneur PMS

Nous avons observé que le préconditionneur construit ici, PMS, est en fait une variante d’unsolveur de type Arrow-Hurwicz, avec ρ1 = 1 et ρ2, le second paramètre, automatiquementchoisi.

Plusieurs approches sont étudiées dans la littérature pour l’approximation des valeurs des para-mètres (voir les références à la section 3.1.2). Reliés au spectre de la matrice A, ils sont souventdéfinis relativement à un paramètre du problème à l’étude. Ainsi, il est fréquent dans le casde l’élasticité non linéaire (des matériaux Mooney-Rivlin par exemple), que les paramètres dé-pendent du module d’incompressibilité. Un des aspects intéressant du préconditionneur PMSest que le calcul des paramètres, quoiqu’automatique, tienne compte de manière implicite dela nature du problème.

On peut se demander s’il s’agit en fait des valeurs optimales pour cette variante. L’algorithmecorrespondant à Arrow-Hurwicz pour ρ1 = 1 et ρ2 = β peut être modifié en donnant unevaleur arbitraire à ρ2 (c’est-à-dire β). Nous allons illustrer l’influence de différents choix devaleurs pour ρ2 sur le temps de calcul mais aussi sur le comportement des résidus en u et pau cours des itérations du préconditionneur. Nous allons nous limiter à la résolution utilisantle solveur LGCR(3) préconditionné par HPA. Le maillage considéré est celui avec 823 875sommets en déplacement, donc le plus fin.

Valeur de β 1 10 100 150 200 250 300 400Temps CPU (s) 622,15 414,92 185,66 170,93 165,59 168,05 182,89 203,20Nb. itérations 134 86 30 25 24 25 29 35

Table 3.4 – Temps CPU du calcul et nombre d’itérations du problème du cube avec le solveurMix-It-GCR suivant une valeur fixe de β.

La Table 3.4 représente le temps de calcul et le nombre d’itérations obtenus par le précondi-tionneur pour résoudre le problème du cube. Suivant des valeurs de β fixées, on remarque que

93

la valeur optimale se trouve au voisinage de 200. Plus on s’éloigne de cette dernière, plus letemps de calcul augmente.

Pour ce qui est de la convergence du Mix-It-GCR, pour des valeurs assez éloignées de lavaleur optimale, la convergence est lente, parfois oscillatoire comme le montre la Figure 3.7.Dans cette même figure, on remarque aussi que la convergence en pression pour β calculé estsensiblement proche de celle avec β = 200 et converge mieux en déplacement.

Pour ce même cas test fait avec un β calculé numériquement comme défini dans le précondi-tionneur (Algorithme 21), nous avons des temps de calcul semblables à celui obtenu en fixantβ = 200. De plus, les valeurs de β obtenues numériquement au cours des itérations avoisinentcette valeur.

0 10 20

150

200

500

800


β

0 50 100 150 200 250 300 350 400

20

40

60

80

100

120

140

βopt

β

Nom

bred’itérations

Figure 3.6 – Effet de β pour le problème élastique linéaire : Évolution de la valeur de βau cours des itérations de l’Algorithme 15 (gauche) ; Nombre d’itérations de l’Algorithme 15suivant une valeur de β fixée (droite).

En résumé, deux observations peuvent être faites en se basant sur cet unique exemple. Toutd’abord il semblerait que la valeur obtenue par le PMS converge rapidement vers la valeuroptimale constante requise par la méthode d’Arrow-Hurwicz (Figure 3.6). On aurait doncbien une méthode permettant automatiquement d’optimiser la méthode d’Arrow-Hurwicz. Ensecond lieu, il semblerait possible, à partir d’un certain nombre d’itérations, de fixer la valeurde β produisant une variante du PMS réduisant le nombre d’opérations.

94

0 20 40 60 80 100 120 140

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102


Résidurelatifen

u(norme2)

β = 1

β = 10

β = 100

β = 150

β = 200

β = 400

βopt

0 20 40 60 80 100 120 140

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100


Résidurelatifen

p(norme2)

β = 1

β = 10

β = 100

β = 150

β = 200

β = 400

βopt

Figure 3.7 – Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité linéaire in-compressible : la résolution du système primal est faite avec GCR préconditionné par HPA.

95

0 50 100 150 200 250

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100


Résidurelatifen

u(norme2)

β = 1

β = 10

β = 20

β = 25

β = 30

β = 40

βopt

0 50 100 150 200 25010−13

10−11

10−9

10−7

10−5

10−3

10−1

101


Résidurelatifen

p(norme2)

β = 1

β = 10

β = 20

β = 25

β = 30

β = 40

βopt

Figure 3.8 – Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité non linéaire(Mooney-Rivlin) incompressible ; la résolution du système primal est faite par LGCR(3)préconditionné par HPA.

96

On se place maintenant dans le contexte d’élasticité non linéaire en prenant comme modèlecelui de Mooney-Rivlin avec les paramètres c01 = 1 et c10 = 1 (voir Figure 3.8).

Nous remarquons que la convergence est meilleure pour β = 25 ou proche de cette valeur. Pluson s’éloigne de cette dernière, plus la convergence est lente. Pour le β calculé automatiquementpar le PMS, la convergence est comparable à celle de 25. De plus, au cours des itérations, le βcalculé varie entre 20 et 30, donc encore une fois il semble y avoir concordance entre la valeurcalculée et l’approximation de la valeur optimale. Contrairement au cas linéaire, la valeur deβ a un très grand impact dans les problèmes avec des matériaux non linéaires. En effet, laconvergence pour β = 1 est très lente comparée à celle de β = 25. Dans le cas linéaire, cettesensibilité au paramètre β semblait moins important (voir à la Figure 3.7, la différence decomportement pour β = 100 et β = 150).

Dans le cas Mooney-Rivlin ci-dessus et les matériaux non linéaires en général, la plupart desapproches itératives feront apparaître une "mise à l’échelle" du préconditionneur en fonctiondu module d’incompressibilité k (voir Chapitre 1). À titre d’exemple nous renvoyons le lecteurà l’article d’El Maliki et al. [33]. Terminons cette section en soulignant encore une fois quel’intérêt majeur de notre préconditionneur est qu’il tient compte implicitement de la naturedes matrices composant le système (la prise en compte de la nature du problème physique estimplicite dans le PMS).

Terme stabilisant

En grandes déformations, la coercivité de la matrice de rigidité n’est pas toujours garantie.Ainsi, il arrive que la matrice A ne soit pas bien conditionnée voire singulière. Ceci pourraitralentir la convergence du problème mixte ou même entraîner une divergence. Pour contournerces problèmes, une stabilisation est faite afin d’améliorer le comportement du solveur. L’idéeest de remplacer le problème de point de selle (3.1) par son équivalent(

A+BTWB BT

B 0

)︸︷︷︸

AW

(up

)=

(f+BTWg

g

)(3.20)

où W est une matrice carrée donnée et dont l’ordre est égal au nombre d’inconnues de lavariable duale p.

Ce nouveau système linéaire a la même solution que celui non augmenté. En effet, on l’obtienten multipliant la seconde équation du problème de point de selle (3.1) par BW puis en ajoutantl’équation résultante dans la première. Un choix judicieux pour la matrice W peut améliorerle conditionnement de A et de manière générale le comportement du processus de résolution.

La méthode du lagrangien augmenté utilisée dans Fortin et Glowinski (voir [46, chapitre 1])produit un système augmenté du type (3.20). Dans beaucoup de problèmes elliptiques avec

97

des conditions limites menant à ce type de système, le choix W = ρI est considéré (voir, parexemple, [46, 20] où certaines propriétés numériques y sont analysées). Le paramètre ρ est ditde régularisation ou d’augmentation, son choix n’est pas évident. Sous certaines hypothèses,on peut trouver quelques valeurs optimales dans Golub et al. (voir [104]).

Ainsi, nous pouvons considérer le système augmenté suivant pour résoudre le problème depoint selle (3.1) (

A+ ρBTB BT

B 0

)(up

)=

(ru0

). (3.21)

Notons que dans certaines conditions, il est possible d’utiliser ρ pour accélérer la convergence.Toutefois comme dans le cas des systèmes provenant du lagrangien augmenté, il est aussipossible de détruire ou du moins dégrader le conditionnement du système.

À titre d’illustration des possibilités de cette stabilisation, nous avons considéré un matériaunéo-Hookéen incompressible de module de Young égal à 102 résolu en formulation mixte. Nousavons résolu le problème avec,

ρ =Eν

(1 + ν)(1− 2ν),

pour le paramètre de régularisation.

La Figure 3.9 montre que le problème converge lentement sans la stabilisation. Avec celle-ci,on obtient une amélioration significative de la convergence.

0 200 400 600

10−12

10−9

10−6

10−3

100

103

Nombre d’itérations cumulées

norm

eab

solu

ede

sré

sidu

s

up

0 50 100 150

10−12

10−9

10−6

10−3

100

103


norm

eab

solu

ede

sré

sidu

s

up

Figure 3.9 – Écrasement du cube (matériau néo-Hookéen avec E = 102 et ρ = Eν(1+ν)(1−2ν)) :

Comportement des résidus pour les paramètres de régularisation ν = 0 (gauche) et ν = 0.4(droite) avec une résolution LGCR(3) préconditionné HPA.

On voit mieux l’avantage de la régularisation dans le cas incompressible avec un matériau nonlinéaire à l’exemple de Mooney-Rivlin. Dans ce cas, on régularise en rajoutant au tenseur S′

98

utilisé dans la forme mixte (1.35), le tenseur dépendant de ρ noté Sρ et défini par

Sρ = ρ(J − 1)C−1

où ρ représente le terme de régularisation qui est différent du module d’incompressibilitédu matériau. En gros, on ajoute à la matrice des déplacements A la matrice d’élasticité enformulation en déplacement uniquement.

Reprenons, pour illustrer numériquement la stabilisation, le cube et les conditions limites dela Figure 3.1. On prend un matériau de type Mooney-Rivlin avec les paramètres suivantsc01 = 0, 7348 et c10 = 0, 08164 et le module d’incompressibilité k tendant vers l’infini. Cematériau correspond à la gomme composant la bande de roulement utilisée en pneumatique(matériau "académique" proposé par Michelin). La matrice est très mal conditionnée voiremême singulière. La figure de gauche de 3.10 illustre le phénomène, on voit une déformationerronée causée par des artefacts numériques lorsqu’on le résout en déplacement seulement. Lafigure de droite représente la déformation avec une résolution en formulation mixte.

a) Déplacement seulement b) Déplacement-pression

Figure 3.10 – Déformation du cube après écrasement pour un matériau incompressible de typeMooney-Rivlin a) résolution en déplacement seulement et b) résolution avec une formulationdéplacement-pression.

Le comportement du matériau pour ρ = 0 (le problème original) est quelque peu paradoxal.Cela semble être un problème découlant du modèle Mooney-Rivlin. Cette remarque a étéégalement faite dans le rapport technique d’ADINA [105] pour un autre type exemple. Lorsquel’incompressibilité est rétablie ; le problème disparaît.

Ce problème résolu en formulation mixte donne une bonne solution mais la convergence esttrès lente comme on peut le voir dans la Figure 3.11. La stabilisation du système dans ce casaméliore grandement la convergence. La Figure 3.12 montre la convergence des parties u et pdu solveur suivant le terme augmenté ρ. Nous avons la meilleure convergence avec ρ = 5.

99

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102


norm

eab

solu

edu

resi

duen

u

ρ = 0

ρ = 5

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101


norm

eab

solu

edu

rési

duen

p

ρ = 0

ρ = 5

Figure 3.11 – Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et incom-pressible de type Mooney-Rivlin.

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100


norm

edu

rési

duen

u

ρ = 5

ρ = 7

ρ = 10

ρ = 20

ρ = 50

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−11

10−9

10−7

10−5

10−3

10−1

101


norm

edu

rési

duen

p

ρ = 5

ρ = 7

ρ = 10

ρ = 20

ρ = 50

Figure 3.12 – Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et incom-pressible de type Mooney-Rivlin suivant le terme de régularisation ρ.

101

3.3 Préconditionneur pour les problèmes d’élasticité aveccontact

Dans cette section, nous montrerons comment on résout le problème linéaire issu de la contraintede contact. Nous allons faire le traitement en deux parties. La première traitera le problèmede contact avec une formulation en déplacement seulement (typique des matériaux linéaires).Nous aborderons le problème glissant (i.e. sans frottement) et frottant. Dans la dernière sous-section, nous traiterons les problèmes de contact avec des matériaux incompressibles par uneformulation mixte en déplacement-pression et le contact. Dans chaque cas, un exemple numé-rique sera présenté afin d’étudier brièvement les résultats de la méthode de résolution.

3.3.1 Formulation en déplacement

Comme on a pu le montrer au Chapitre 2, dans le cas d’une formulation en déplacementseulement, le système linéaire à résoudre issu du problème de contact glissant sera (2.30), unsystème algébrique de point selle. La forme la plus générale correspond à (2.76) et comprendtous les types de contact. Il s’agit d’un système qui n’est pas de la forme d’un système depoint selle et qui n’est pas symétrique.

Même si dans le cas glissant on obtient un système de la forme générique (3.1), l’utilisation duMix-It-GCR ne peut se faire sans quelques modifications. Une différence majeure apparaîtdans le système ((2.30) ou (2.76)) par rapport à ceux présentés jusqu’ici. En effet ces systèmesalgébriques sont issus de la prise en compte de la condition d’inégalité par une stratégie decontraintes actives. À toutes les itérations du solveur, le multiplicateur λ doit vérifier lescontraintes (positivité ou cône de Coulomb), ce qui modifie les opérateurs de restrictions (sil’état de contact change, voir Chapitre 3), et par conséquent ceci modifie certains blocs de lamatrice du système. En se référant à l’Algorithme 15, on doit vérifier à chaque itération duMix-It-GCR, après la mise à jour du multiplicateur, qu’en tout point de la zone de contact,le nouveau multiplicateur λ dont l’incrément est zλ appartient à la zone d’admissibilité, c’est-à-dire

K =φn ≥ 0 dans ΓC

(3.22)

dans le cas glissant et

Kµ =φ tel que φn ≥ 0 et |φT | ≤ µφn

. (3.23)

dans le cas frottant. Si un changement d’état se produit (changement dans la nature d’unecomposante du multiplicateur), il pourra être considéré comme motif de redémarrage du Mix-It-GCR. Dans ce cas, on calcule à nouveau l’état de contact, on met à jour les opérateurs derestrictions et on résout le nouveau système associé à l’aide du Mix-It-GCR.

102

Contact général

Dans le cas général le multiplicateur λ se décompose en une pression de contact et une "pres-sion" tangentielle de contact qui se définissent par

λn = λ • n λT = λ− (λ • n)n.

La composante tangente se décompose à son tour en λA pour les nœuds adhérents et λGpour les nœuds glissants. En dimension 3, la partie glissante se divise en parties parallèle etangulaire. Réécrivons le système linéaire (2.76) associé au problème frottant tridimensionnelpour les inconnues u et λ décomposée en partie normale, adhérente, glissante paralèlle etglissante angulaire

A′u +BTnRnλn +BT

TRAλT +BTTRGλ

⊥T +BT

T λ//T

RnBnuRABTu(BTu)⊥ −RGαλλ⊥T

−µwλRnλn +λ//T

=

ru,0 −BTλ0

−Rnrn,0−RArT,0−RGr⊥T,0

0

. (3.24)

On remarque en premier lieu que la composante λ//T (correspondant à la partie glissanteparallèle) est déterminée de manière unique par la dernière ligne du système

λ//T = µwλRnλn. (3.25)

Elle peut donc être éliminée du système, nous placerons cette égalité au niveau du précondi-tionneur.

Pour la composante λ⊥T vérifiant la quatrième équation du système il serait aussi possibled’éliminer cette variable. Cependant cela modifierait la matrice A′, ce que l’on voudrait éviter.Puisqu’il s’agit de construire une méthode itérative, une approximation de qualité relativementbonne de cette variable au niveau du préconditionneur est suffisante. L’équation s’écrit

λ⊥T =s0α0

(RGr⊥T + (Bu)⊥

)(3.26)

où les opérateurs définis ponctuellement aux nœuds glissants s0 et α0 sont tels que

αλ =α0

s0donc α0 = rλ •wλ et s0 = |λT |.

Ainsi dans le préconditionneur, une fois la solution en u obtenue, on pourrait se servir de(3.26). Toutefois, lorsque α0 est petit, cette variable angulaire (3.26) peut être problématique.

103

Différentes stratégies ont été expérimentées afin de trouver une "bonne" approximation decette valeur. Voici ce qui semble être la meilleure. On définit d’abord ponctuellement sur lapartie glissante, un opérateur r0 associé au résidu tangentiel glissant rT,0 par r0 = |rT,0| puisnous considérons deux situations à chaque nœud de la partie glissante. Notons d’abord que sis0 n’est pas nul, on a wλ = λT /s0 ce qui donne

α0 = (rT ,λTr0

) = r0 cos(rT ,λT ).

• Cas 1 : r0 > s0

Lorsque s0 est nul, il n’y a pas de partie angulaire pour le point correspondant. La partieparallèle est obtenue par la relation (3.25) avec wλ = rT /r0.

• Cas 2 : s0 > r0

Rappelons d’abord que r0 est nul si le point était adhérent et devient glissant. Quoi qu’ilen soit, nous avons wλ = λT /s0 et α0 est plus petit que r0 donc que s0, ce qui nousmène à

1

α0>

1

s0. (3.27)

Cette inégalité nous permettra d’approximer α0 par s0 afin d’éviter d’éventuelles per-turbations.

En somme, dans le préconditionneur on peut approximer (3.26) par

λ⊥T =s0

max (s0, α0)

(r⊥T + (Bzu)⊥

). (3.28)

D’autres choix ont été tentés mais de nos multiples expériences numériques, (3.28) reste lemeilleur choix. Mais il est clair qu’un travail est encore à faire pour déterminer une valeuroptimale du coefficient associé à cette partie angulaire.

Le système se réduisant à un système de point de selle, on peut s’appuyer sur la structure duPMS (ici la variante d’Arrow-Hurwicz, utilisant la matrice identité comme approximation ducomplément de Schur) pour obtenir un préconditionneur mixte pour les problèmes de contactfrottant génériques. C’est le préconditionneur du contact frottant (PFrottant), présenté dansl’Algorithme 24 :

104

Algorithme 24 Préconditionneur du contact (PFrottant)

1: Étant donné les résidus en déplacement ru et en multiplicateur rλ2: On calcule les incréments de corrections zu, zλ et z⊥T

— zu = A−1ru— zrλn = RnBnzu— zrA = RABT zu— rλ = rλ − zrλ— zλn = −Rnrλ— zA = −RArλ— zG = µzλnwλ

— z⊥T = −s0max(s0,r0)

RG(BT zu

)⊥3: On détermine le paramètre de relaxation β

— ru = −BT(zλ + z⊥T)

— zu = A−1ru— zrλ = Bzu— Tλ =

(zrλn, zrA, (s0zr⊥T − α0z⊥T )

)— β =

(rλ ,Tλ)

||Tλ||24: On met à jour les incréments

— zu = zu + βzu— zλ = βzλ— z⊥T = βz⊥T

Nous finirons cette partie par la présentation d’une version particulière du solveur Mix-It-GCR dite Mix-It-GCR-Contact méthode itérative pour la résolution des systèmes prove-nant d’une formulation en déplacement de problèmes de contact génériques. Notons que dansle cas glissant (sans frottement) la partie tangentielle sera nulle et pour le cas bidimensionnel,la variable angulaire λ⊥T est nulle.

105

Algorithme 25 Solveur de contact formulation en déplacement (Mix-It-GCR-Contact)

1: Étant donné les résidus en déplacement ru et en multiplicateur rλ2: On linéarise la partie angulaire

• s0 = |λT |, r0 = |rT |

• Si |λT | ≥ ε, alors wλ =λT|λT |

, sinon wλ =rT|rT |

• α0 = (rT ,wλ)

• rλ = (Rnrλ, RArλ, s0RGr⊥T )

3: On initialise à zéro les incréments de corrections zu et zλ4: GCR : on itère jusqu’à atteindre la convergence ou le nombre maximum d’itérations.

• PFrottant(ru, rλ) donne (zzu, zzλ, zz⊥T )

— zrλ = (M−1B)zzu— Tu = Azzu +BT(zzλ + zz⊥T )

— Tn = zrλn

— TA = zrλA— TG = s0zr⊥T − α0zz⊥T— Gram-Schmidt

(Tu, Tλ, zzu, zzλ, zz⊥T

)— γ = (ru, Tu) + (rλ, Tλ)

— zu = zu + γzzu— zλ = zλ + γ(zzλ + zz⊥T )

— ru = ru − γTu— rλ = rλ − γTλ

• Vérification de l’état de contact par (3.22) ou (3.23)

• Si l’état de contact a changé, on arrête le calcul

5: Fin de la boucle

Stratégie de convergence

Outre le choix des solveurs utilisés à différents niveaux dans l’Algorithme 25, un certain nombrede paramètres peuvent influencer de manière substantielle le comportement de l’algorithme derésolution. Temps d’exécution, nombre d’itérations, exigence en espace mémoire sont autantde quantités dont on doit tenir compte et qui varient selon les choix faits pour la configurationde l’approche.

Comme on le voit à l’étape 4 de l’Algorithme 25, un changement d’état peut être considérécomme motif de redémarrage du GCR. Ainsi, on calcule à nouveau l’état de contact puison résout le nouveau système associé. Ces changements, généralement présents aux premièresitérations de Newton, ralentissent la convergence du solveur et créent parfois des oscillationsmais une fois l’état stable la convergence devient rapide. Il arrive souvent qu’il ait beaucoup dechangements d’état dans la résolution d’un problème surtout aux premières itérations de New-

106

ton. Dans ces situations, on autorise une résolution GCR avec changement d’état en se fixantune fréquence de vérification de l’appartenance de la solution dans la zone d’admissibilité.Ceci a l’avantage d’accélérer la convergence en limitant les redémarrages mais augmentera lenombre d’itérations de Newton et éventuellement du pseudo-Newton. Ceci n’influencera que lechemin de convergence (le rendant souvent moins long), mais n’aura aucun effet sur la solutionqui à convergence sera la même.

Exemple numérique

À titre d’illustration, nous avons choisi l’écrasement d’un cube déformable sur une sphèrerigide. Ainsi, on suppose qu’un déplacement est imposé sur la face supérieure du cube et lasphère rigide dont le centre est dans l’axe du barycentre du cube, est située sous le cube.Ce choix permet d’illustrer le comportement des algorithmes dans le cas d’une normale nonconstante. La sphère ne sera pas approximée donc elle ne sera pas maillée. Le matériau ducube est élastique linéaire avec comme coefficient de Poisson ν = 0, 3 et de module d’élasticitéE = 102. La résolution du contact est faite avec et sans frottement. Le coefficient de frottementest égal à 0,4. La déformation et la pression de contact sont représentées dans la Figure 3.13pour le cas avec frottement. La résolution du système primal (choix de A) est faite avec uneméthode directe et une méthode itérative. Les courbes associées à la norme euclidienne durésidu en λ en fonction du nombre d’itérations sont représentées à la Figure 3.14. Commeon peut le voir, la convergence du problème glissant est beaucoup plus rapide que celui avecfrottement et le nombre de changement d’état est moins important. La convergence est plusrapide lorsque l’on résout le système primal par une méthode directe. Peu importe la méthodede résolution prise, les changements d’état produisent une convergence lente.

107

Figure 3.13 – Déformation et pression de contact pour le problème de l’écrasement du cube(élasticité linéaire) sur une sphère rigide avec un coefficient de frottement µ = 0, 4.

0 10 20 30 40 50

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101


norm

eab

soluedesrésidu

s

LUGCR

Changement d’état

0 20 40 60 80 100 120 14010−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101


norm

eab

soluedesrésidu

s

LUGCR

Changement d’état

Figure 3.14 – Comportement du résidu normal en λ pour le problème du cube sur la sphèreen élasticité linéaire avec une résolution du système primal en direct et itératif. À gauche,problème sans frottement, à droite, problème de contact frottant avec µ = 0, 4.

3.3.2 Formulation mixte

Dans la plupart des problèmes industriels, les matériaux élastiques à l’étude sont fortementnon linéaires et incompressibles. De ce fait, pour approximer la solution de tels problèmesde manière satisfaisante, l’introduction de la pression hydrostatique est nécessaire. La péna-

108

lisation, approche simplificatrice, est proscrite. Si elle permet une prise en compte simple dela pression, elle produit des solutions dépendant du paramètre de pénalisation. De plus, telque mentionné au Chapitre 1, le système algébrique résultant de la pénalisation exige à toutefin pratique l’utilisation de solveur direct, rendant la résolution de problème de grande tailleextrêmement complexe. On utilisera donc une formulation mixte déplacement-pression usuellequi sera cependant modifiée par le contact.

La formulation sera produite en considérant le problème de minimisation de l’énergie élastiquesous deux contraintes. À la condition de cône de Coulomb (ou de non pénétration) pour lecontact s’ajoute l’incompressibilité qui se traduit par la recherche d’un champ de déplacementà divergence nulle. Pour fixer les idées, dans le cas du contact glissant, on aura le problèmede minimisation

infdiv(v)=0gn(v)≥0

J(v). (3.29)

En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on obtient une formulation mixte, unproblème de point de selle, avec deux variables duales : la pression hydrostatique déduite de lacontrainte d’incompressibilité et la pression de contact issue de la condition d’interpénétration.Le raisonnement pouvant aussi se faire dans le cas du contact frottant, nous serons mené àrésoudre, quelque soit le type de contact, un système linéaire plus complexe, dont la formegénérale sera A BT CT

B 0 0

C 0 0

︸︷︷︸

A

up

λ

=

rurp

rλ

. (3.30)

Ce type de système se substitue à (2.30) ou (2.76) dans la stratégie de contraintes actives(Algorithme 13 et 14 respectivement). On devra donc résoudre un système à chaque itérationde Newton pour le cas glissant ou à chaque itération angulaire pour le cas frottant. Nousprésenterons trois stratégies de résolution dans cette thèse et nous discuterons de chacuned’entre elles afin d’en présenter les avantages et limites. Tout comme précédemment, noscritères de comparaisons seront liés au temps de résolution et au comportement général relatifà la convergence.

En se basant sur un solveur Mix-It-GCR, la prise en compte de différentes stratégies sefera au niveau des préconditionneurs. Pour fixer les idées, nous présentons dans l’algorithmesuivant, une version du solveur Mix-It-GCR spécifique au contexte

109

Algorithme 26 Algorithme Mix-It-GCR en formulation mixte1: Initialisation

• Étant donné le résidu R = (ru, rp, rλ)T

• On se donne Z = (u0, p0,λ0)T une approximation de la solution

• On prend R = R−AZ2: Tant que la convergence n’est pas atteinte

• À partir de R, un préconditionneur nous donne Z = (zu, zp, zλ)T

• On calcule T = AZ• On utilise GSM pour obtenir T ⊥ et Z⊥

• On prend β =(R , T ⊥

)• On met à jour uk+1

pk+1

λk+1

=

ukpkλk

+ βZ⊥

R = R− βT ⊥

Variante imbriquée

Il serait naturel de réécrire le système (3.30) sous la forme d’un problème de point de selle àune contrainte. Pour ce faire, nous pouvons rajouter des blocs de matrices nulles en colonneet en ligne dans la matrice du système. On obtient alors le système augmenté suivant(

A CT

C 0

)(u

λ

)=

(ru

rλ

)

dans lequel les blocs sont définis par

A =

(A BT

B 0

), C =

(C 0

0 0

), u =

(up

), ru =

(rurp

), λ =

(λ

0

)et rλ =

(rλ0

).

Il est alors possible de traiter ce problème par la méthode Mix-It-GCR-Contact (voir Al-gorithme 25). Chaque résolution du système élastique (système "en u") correspond à unerésolution d’un problème d’élasticité en formulation mixte. En choisissant que cette résolutionsoit faite en utilisant l’Algorithme Mix-It-GCR (voir Algorithme 15), nous aurons l’appel àun solveur Mix-It-GCR à chaque itération en λ du solveur contact (dans le précondition-neur). Nous dirons de cette approche qu’elle est imbriquée. Le préconditionneur ainsi produit,Algorithme 27, sera dit préconditionneur imbriqué (PFrottant-Imbriqué). Naturellement,on n’utilisera pas le solveur Mix-It-GCR-Contact sur la forme compacte du système. Oncombinera plutôt ce préconditionneur à l’Algorithme 26.

110

Algorithme 27 Préconditionneur de la variante imbriquée (PFrottant-Imbriqué)

1: Étant donné les résidus en déplacement ru, rp et rλ2: On calcule les incréments de corrections zu, zλ et z⊥T

— À partir de (ru, rp), Mix-It-GCR nous donne (zu, zp)

— zrλ =(RnBnzu, RABT zu, s0RG

(BT zu

)⊥)— rλ = rλ − zrλ

— zλ =(−Rnrλ,−RArλ, µzλnwλ − 1

max(s0,r0)RGrλ

)3: On détermine le paramètre de relaxation β

— ru = −BTzλ— À partir de (ru, rp) avec rp = 0, Mix-It-GCR nous donne (zu, zp)

— zrλ = Bzu— Tλ =

(zrλn, zrA, (s0zr⊥T − α0z⊥T )

)— β =

(rλ ,Tλ)

||Tλ||24: On met à jour les incréments

— (zu, zp) = (zu, zp) + β(zu, zp)

— zλ = βzλ

Cette méthode converge bien, comme on peut le remarquer dans la Figure 3.15 où les résidusen λ sont représentés pour la résolution de contact en formulation mixte (u, p) avec la varianteimbriquée. Nous avons pris le même nombre d’itérations np pour les solveurs Mix-It-GCR(étapes 2 et 4 de l’Algorithme 27) et la résolution du bloc u dans ces solveurs est faite parune méthode directe.

Si on note une amélioration du comportement de la convergence en λ entre np = 3 et np = 5,le comportement semble ne plus varier au delà de cette dernière valeur.

L’inconvénient de cette approche est le coût important des itérations en λ. En effet, à chaqueitération, deux résolutions du problème en (u, p) sont demandées. Ces dernières étant faitesde manière itérative elles nécessitent aussi une résolution en déplacement seulement qui à elleseule reste coûteuse pour un problème de grande taille. Comme nous pouvons le voir dansl’Algorithme 27, nous aurons 2n(m+ k) résolutions du système en déplacement seul (système"en u"). En effet, si nous revenons à la résolution du problème de contact (u,λ) avec nitérations, nous avons deux systèmes (u, p) à résoudre ; ces derniers seront remplacés par lepréconditionneur (u, p), avec m itérations pour le premier et k pour le second (en général,on prend k = m), qui à leur tour ont à chaque itération deux résolutions du système endéplacement seul.

111

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


norm

eeu

clid

ienn

edu

rési

duno

rmal

een

λ

np = 3

np = 5

np = 10

Figure 3.15 – Comportement du résidu en λ du solveur Mix-It-GCR-Contact pour leproblème du cube sur la sphère avec la méthode imbriquée suivant le nombre d’itérations npdu solveur Mix-It-GCR.

Variante séquentielle

La variante imbriquée nécessitant généralement un temps de calcul élevé, nous proposons danscette section une nouvelle stratégie qui, on l’espère, permettra de réduire le temps de calculen comparaison avec le PFrottant-Imbriqué.

En considérant le problème mixte (3.30), nous avons les équations suivantesAu+BTp+ CTλ = ru

Bu = rp

Cu = rλ

(3.31)

De la résolution du système primal à partir de la première équation du système (3.31), onobtient

u = A−1ru −A−1(BTp+ CTλ

).

En substituant cette équation dans les deux dernières de (3.31), on obtient les résolutionssuivantes sur les systèmes duaux

BA−1BTp = BA−1ru −BA−1CTλ− rpCA−1CTλ = CA−1ru − CA−1BTp− rλ

112

Nous pourrons alors résoudre le système (3.31) par la séquence d’étapes suivantes :

u∗ = A−1ru

BA−1BTp = Bu∗ − rpCA−1CTλ = Cu∗ − rλ

u = u∗ −A−1(BTp+ CTλ

).

Dans ce cas, nous avons deux compléments de Schur, BA−1BT pour la pression hydrosta-tique et CA−1CT pour la pression de contact. Nous appellerons variante séquentielle cetteapproche. Il semble alors naturel d’envisager l’utilisation d’un préconditionneur combinantl’appel successif de deux préconditionneurs PMG (Algorithme 22). Utilisant comme approxi-mation du complément de Schur des matrices masse que nous dénotons par Mp et Mλ, onproduit un préconditionneur qu’on dira séquentiel. Nous utiliserons ici la variante simplifiéedes préconditionneurs (PMS, voir Algorithme 23). Ceci nous donne l’algorithme suivant

Algorithme 28 Préconditionneur de la variante séquentiel (u, p,λ) (PFrottant-Sequentiel)

1: Étant donné les résidus ru, rp et rλ2: Résolution du problème zu = A−1ru3: Préconditionnemment de la variable p

• zp =M−1p (rp −Bzu)

• zpu = −A−1BTzp

• Tp = Bzλu.

• βp =(rp , Tp)

‖Tp‖2

4: Préconditionnemment de la variable λ

• zλ =M−1λ (rλ − Czu)

• zλu = −A−1CTzλ• Tλ = Czλu

• βλ =(rλ ,Tλ)

‖Tλ‖25: Mise à jour

• zp = βpzp

• zλ = βλzλ• zu = zu + βpz

pu + βλzλu

La combinaison de ce préconditionneur au solveur Mix-It-GCR de l’Algorithme 26 produitune seconde méthode pour le contact en formulation mixte. Avec cette méthode, nous avonsbien une bonne convergence comme on peut le voir dans la Figure 3.16. Par contre, le temps decalcul reste assez important. En effet, nous pouvons voir dans le préconditionneur (Algorithme

113

28) de la méthode, trois résolutions en A (étapes 2, 3 et 4) pour chaque itération du solveurMix-It-GCR. Même si la résolution est faite en itératif, le calcul reste coûteux en temps.Sans oublier les résolutions sur le système dual (matrice masse Mp et Mλ) qui peuvent êtreaussi dispendieux en temps lorsque nous sommes en présence d’un très important nombre desommets. L’emploi de versions diagonales de ces matrices afin de limiter le temps de résolutiondes systèmes duaux est possible. Mais dans ce cas, comme on peut s’y attendre, on note unedégradation des performances.

Cette méthode est équivalente à la stratégie imbriquée dans laquelle on fait (voir Algorithme27) une seule itération pour le premier problème (système en u, p) et le second problème(système en (u,λ)).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−3

10−2

10−1


norm

eeu

clid

ienn

edu

rési

duno

rmal

een

λ

Figure 3.16 – Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec laméthode séquentielle.

Variante alternée

La variante séquentielle, basée sur la construction de préconditionneurs pour chaque variableduale, converge bien. Mais les performances quoique améliorées, ne sont pas celles attendues.S’inspirant de la méthode des directions alternées (voir [46]), nous avons donc essayé de ré-soudre indépendamment et alternativement les problèmes (u, p) et (u,λ). L’idée repose sur la

114

résolution du problème incompressible (u, p)(A BT

B 0

)(up

)=

(rurp

)(3.32)

suivi de la résolution du problème de contact (u,λ)(A CT

C 0

)(uλ

)=

(rurλ

). (3.33)

Dans la mesure où les systèmes sont "découplés" on s’attend à une perte d’information eta priori devoir faire un grand nombre d’itérations. Toutefois, nous utiliserons cette stratégiecomme préconditionneur, nous pouvons négligé cet aspect. Explicitement, le préconditionneuralterné se résume de la sorte :

Algorithme 29 Préconditionneur de la variante alternée (u, p,λ) (PFrottant-Alterné)

1: Étant donné ru, rp et rλ2: Résoudre (3.32) avec un solveur Mix-It-GCR (Algorithme 15) produisant zpu et zp3: On met à jour les résidus

— ru = ru −Azpu −BTzp

— rp = rλ −Bzpu— rλ = rλ − Czpu

4: Résoudre (3.33) avec un solveur Mix-It-GCR-Contact (Algorithme 25) produisant zλuet zλ

5: On obtient maintenant les corrections suivantes

— zu = zpu + zλu pour le déplacement

— zp pour la pression hydrostatique

— zλ pour la pression de contact

Cette méthode peut être vue comme une extension de la variante séquentielle dans laquelleon résout une seule itération et le préconditionneur mixte est séparé et a plusieurs niveaux.Explicitement, nous avons, dans ce préconditionneur, des itérations en pression (u, p) puis encontact (u,λ).

L’avantage de cette méthode est du en grande partie au fait qu’on n’a pas besoin de beau-coup d’itérations pour une approximation de la pression de grande précision. Dans l’exempleconsidéré, trois itérations suffisent pour faire converger le problème (voir Figure 3.17).

La Table 3.5 présente une comparaison des temps et du nombre d’itérations des 3 stratégiesproposées. On observe que l’utilisation du préconditionneur PFrottant-Alterné offre lestemps les plus courts. Comme on pouvait s’y attendre la perte d’information liée au découplagese traduit par un nombre d’itérations plus grand.

115

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


norm

eeu

clid

ienn

edu

rési

duno

rmal

een

λ

Figure 3.17 – Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec laméthode alternée.

variante Nombre d’itérations Temps CPU en secondesimbriquée (np = 3) 146 542.6286

séquentielle 198 342.9018alternée 201 277.6162

Table 3.5 – Nombre d’itérations et temps CPU du problème du cube sur la sphère avec unmatériau incompressible résolu par les différentes variantes présentées (résolution complète(LU) du système en déplacement).

Dans ce chapitre, nous avons développé une méthode de résolution de problèmes mixtes defaçon générale. Quelques applications impliquant ce type de problèmes ont été étudiées. Cetteméthode peut aussi être utilisée pour traiter les problèmes de mécanique de fluides. Une étudede la performance et de la robustesse du solveur pour les problèmes de contact surtout denature industrielle sera faite au prochain chapitre.

116

Chapitre 4

Résultats numériques

Ce chapitre présente les résultats numériques pour quelques exemples de problèmes de contactobtenus en utilisant la méthode développée dans cette thèse. L’algorithme est mis en œuvredans le logiciel d’éléments finis MEF++ qui est un outil de recherche fondamentale en analysenumérique et un logiciel d’applications industrielles développé par le Groupe Interdisciplinairede Recherche en Éléments Finis (GIREF ) de l’université Laval. Quatre différents exemplesnumériques de contact frottant entre des corps déformables et éventuellement rigides sontprésentés. Ils sont divisés en deux groupes :

1. Problèmes académiques : Ce sont deux exemples en 2 et 3 dimensions, à géométrie simpleet de petite taille que l’on rencontre souvent dans la littérature associée à la résolutiondes problèmes de contact. Ils permettent de valider notre méthode en la comparant aveccelles existantes.

2. Problèmes à intérêt industriel : Il s’agit des applications de problèmes de contact dansles domaines du pneumatique et de la biomécanique. Ils sont alors tridimensionnels, degéométrie complexe et donc de grande dimension. Ils permettent entre autres d’étudierla robustesse et la performance de la méthode développée pour les problèmes de trèsgrande taille.

Toutes les simulations sont effectuées sur un ordinateur équipé d’un processeur Intel Core™i7–2600K Quad-Core processor (3.4 GHz), 8.0 GB RAM et d’un système d’exploitation Linuxfedora 7 (plateforme 64 bits). Pour la résolution des systèmes primal et dual, nous avons utiliséla librairie PETSC [102] version 3.8 pour les méthodes itératives et MUMPS [106] pour lesméthodes directes.

4.1 Cas tests académiques

Nous présentons dans cette section deux exemples numériques. Le premier, bidimensionnel ettrès fréquent dans la littérature, s’agit du problème de l’indenteur. Le second consiste en un

118

glissement d’un cube sur un second cube encastré au sol. Dans cette partie, la configuration dusolveur Mix-It-GCR-Contact sera une résolution directe pour le problème primal et dual.

4.1.1 Problème de l’indenteur

Le problème de l’indenteur, dénommé "shallow ironing problem" en anglais, fut présenté ori-ginellement par Fisher et Wriggers dans [60, 107]. On le retrouve également dans les travauxde Hartmann et al. [108], ceux de Poulios et al. [109] et dans la thèse de Yastrebov [12], pourne citer que ceux là. Il est caractérisé par un arc qui s’enfonce sur un domaine rectangu-laire et glisse le long de ce dernier. L’arc représentant un poinçon se déplace verticalementpuis latéralement sur un massif qui, représenté par un rectangle, est encastré à sa base (voirFigure 4.1).

Figure 4.1 – Géométrie du problème de l’indentation d’un arc de cercle sur un rectangle.

Les matériaux considérés sont élastiques et représentés en grande déformation selon le modèlenéo-Hookéen. Il s’agit d’un problème de contact déformable-déformable, le massif est 10 foismoins dur que le poinçon. Les données du problème sont définies dans le tableau suivant :

119

Données du problème de l’indenteur :

— géométrie : voir figure 4.1

— Matériaux : néo-Hookéen

poinçon : E = 68, 96× 108 MPa et ν = 0, 32

massif : E = 6, 896× 108 MPa et ν = 0, 32

— Coefficient de frottement : µ = 0, 3

— Conditions limites :

face supérieure du poinçon

déplacement vertical : ux = 0, uy = −t, t ∈ [0; 1]

déplacement horizontal : ux = 10(t− 1), uy = −1, t ∈ [1; 2]

face inférieure du massifux = 0 uy = 0

— Maillage d’éléments finis : 487 sommets avec 418 éléments quadrangles.

Hormis la face supérieure, toutes les faces de l’indenteur ΩE peuvent entrer en contact avecla surface supérieure du massif. Respectant la règle présentée au chapitre 1 (entité maître-esclave), du mouvement de l’indenteur, ces surfaces de l’indenteur sont définies esclave et celledu massif comme entité maître. Les multiplicateurs de Lagrange sont alors définis sur l’arc decercle et la partie droite de l’indenteur formant ΓC .

Pour le choix de la discrétisation, nous avons choisi les éléments quadratiques (Q2) pour ledéplacement et linéaires pour les multiplicateurs de contact. La résolution se fait en quasi-statique et nous avons des pas de chargements différents pour les deux phases de résolution(approche usuelle de la littérature). Pour la première phase, t compris entre 0 et 1, dite d’écra-sement, la résolution se fait en 10 incréments (∆t = 0, 1). Dans la seconde phase, la variationimportante de la normale nous oblige à faire le calcul en utilisant un pas de chargement 20fois plus petit soit en 500 pour un pas de chargement de 0, 02.

La Figure 4.2 présente différentes étapes de la déformation de la géométrie. Nous avons lesétapes de début de contact, de fin de la phase d’écrasement, du milieu et de la fin de la phasede glissement. Les résultats sont comparables à ceux présentés dans le papier de Renard et al.[110].

120

Figure 4.2 – Déformation de la géométrie du problème de l’indenteur aux temps t = 0, 5,t = 1, t = 1, 5 et t = 2.

121

Dans la Figure 4.3, nous avons représenté les multiplicateurs de Lagrange pondérés en frottantet en glissant (à titre de comparaison) au temps t = 1, 5. Pour le cas glissant, nous avons unebonne représentation des multiplicateurs. En effet, son module est important au nœud plusbas du poinçon et décroît au fur à mesure qu’on s’éloigne de ce dernier. Dans le cas frottant,on note un "pic" dans la valeur du module sur le bord d’attaque (partie inférieure droite del’indenteur), une interpénétration est aussi observée à ce point. Le problème est causé pardes forces nodales qui apparaissent soudainement et fortement concentrées dans ces petiteszones. Dans la thèse de Yastrebov [12] où le problème est résolu par la méthode du lagrangienaugmenté, on note aussi l’interpénétration de même que dans l’article de Renard et al. [110].Cette interpénétration semble dûe à la singularité en ce point et à la taille trop grossière dumaillage. En effet, ce problème est moins important en raffinant le maillage.

Figure 4.3 – Multiplicateurs de Lagrange au temps t = 1, 5 du problème de l’indenteur pourle cas glissant (en haut) et frottant (en bas).

122

4.1.2 Glissement frottant d’un cube sur un autre

Cet exemple tridimensionnel simple définit un problème de contact frottant entre deux corpsdéformables. Il s’agit de deux cubes de même arête a mis en contact dont l’un glisse sur l’autrequi est encastré au sol. La géométrie, le maillage d’éléments finis et les conditions aux limitessont présentés dans la Figure 4.4.

Figure 4.4 – Géométrie et maillage d’éléments finis de deux cubes superposés.

Ce problème permet d’illustrer en plus des problèmes typiques du contact tridimensionnelfrottant, le phénomène de porte à faux : terminologie qui traduit le fait qu’une partie des deuxfaces n’aura plus de voisin.

Le test est en grandes déformations en hyper-élasticité avec des matériaux linéaire pour le cubedu bas et non linéaire pour celui du haut. Le problème est résolu en glissant et en frottant.Les données du problème sont détaillées ci-dessous.

123

Données du problème des deux cubes

— Matériaux : Hyper-élastiques en grandes déformations

cube du bas : Néo-Hookéen (E = 106 GPa et ν = 0, 3) )cube du haut : Mooney-Rivlin (K = 100, C10 = 0, 01908 et C01 = 0, 0853)

— Coefficient de frottement : µ = 0 et µ = 0, 5

— Géométrie : arête a = 10


face supérieure du cube du haut :

translation oblique : ux = 0, uy = −9, et uz = −50

face inférieure du cube du bas :

ux = 0, uy = 0 et uz = 0

— Maillage d’éléments finis : 2 038 sommets avec 7 938 éléments tétraédriques.

Pour le choix de la discrétisation, nous avons pris des éléments linéaires pour le déplacement.Étant dans un contexte d’incompressibilité, la pression hydrostatique devrait aussi être priseen compte dans les calculs. Pour ce problème, nous avons pris comme constante par élémentcette pression. Ainsi, nous pouvons utiliser la méthode de pénalisation pour résoudre l’incom-pressibilité du matériau (voir chapitre 14 sur les grandes déformations de [40]).

Remarque : Cet élément est mauvais mais nous l’avons utilisé pour fins de comparaison. Ons’attend à du blocage si le coefficient de pénalisation est grand.

Pour la résolution du contact avec la méthode développée dans cette thèse, nous avons prisles multiplicateurs de Lagrange associés au problème de contact, linéaires par élément. Uneméthode de contact par pénalisation implémentée dans le même logiciel est aussi testée pource problème. Et dans ce cas, le coefficient de pénalisation utilisé est égal à 106. Les résultatssimilaires, obtenus pour la déformation sont représentés dans la Figure 4.5.

Comme nous pouvons le voir dans la Figure 4.5, pour le cas glissant (µ = 0), la gomme sedéforme à peine (sa face droite reste verticale) puisqu’il n’y a aucune force de frottementréduisant le cisaillement. Par contre, dans le cas frottant, on voit bien l’effet de cisaillemententraînant une déformation du cube du haut. Ce dernier appuie fortement à l’extrémité gauchedu cube inférieur menant à un soulèvement de l’extrémité droite de la partie inférieure de cecube. On observe aussi un gonflement de la partie en porte à faux du cube supérieur. Nousvoyons mieux la différence entre le cas sans frottement et celui avec frottement dans la Figure

124

4.7. Ainsi, nous avons une forte pression de contact au milieu de la face inférieure du cube duhaut (voir Figure 4.6). Plus on s’y éloigne moins la pression est importante.

Problème glissant (µ = 0)

Problème avec frottement (µ = 0, 5)

Figure 4.5 – Configuration déformée et champ de déplacement du problème des deux cubespour une résolution avec notre méthode (partie gauche) et celle de pénalisation (partie droite) ;la configuration initiale est définie en couleur grise.

125

Figure 4.6 – Multiplicateurs de Lagrange du problème des deux cubes en contact frottant.

Figure 4.7 – Déformation de la géométrie du problème de contact des cubes avec frottement(en couleur grise) et sans frottement (en couleur rouge-bleu).

126

4.2 Applications industrielles

Dans cette section, nous nous sommes intéressés à des problèmes proposés comme cas testpar nos partenaires industriels. Le premier problème est une application dans l’industrie dupneumatique et le second dans la biomécanique. Les industries s’intéressent non seulementà des résultats précis mais aussi aux performances en temps. Les problèmes industriels sontgénéralement de très grande taille. Ainsi, les systèmes linéaires doivent nécessairement êtrerésolus par des méthodes itératives pour une meilleure gestion de la mémoire et du temps decalcul. De ce fait, nous nous sommes intéressés aux performances du solveur et à l’impact desméthodes de résolution directe et itérative du problème primal. Ces tests permettent d’illustrertout l’intérêt de l’utilisation du solveur itératif de contact. Quoique de petite taille, le premiertest illustre bien le caractère non linéaire du contact frottant. Cette simulation, en plus ducontact rigide-déformable, fait apparaître de l’auto-contact (contact du corps déformable aveclui-même). Le second problème d’origine biomécanique, quant à lui présente les caractéristiquestypiques d’applications de ce type. Nous finirons par la résolution d’un problème de contactde très grande taille comportant plus de 15 millions d’inconnues en déplacement.

4.2.1 Lamelles

L’exemple suivant, proposé par notre partenaire, est aussi présenté dans la thèse de P. Lacasse[111]. Il est constitué par un pain de gomme déformable composée de plusieurs lamelles quientrent en contact avec un sol plan rigide ainsi qu’entre elles mêmes. Il est caractérisé par unbloc de gomme mesurant 50 mm de longueur, 50 mm de largeur et 16 mm de hauteur. Cedernier est en partie coupé par des lamelles telles qu’illustrées dans la Figure 4.8. Il est écrasécontre un plan rigide et glisse sur ce dernier. La zone potentielle de contact est représentéedans la Figure 4.9. De l’auto-contact peut alors être détecté dans des lamelles. La géométrieet le maillage d’éléments finis composé de tétraèdres sont représentés dans la Figure 4.8. Leproblème quasi-statique est composé de 8 pas de chargements et divisé en deux phases. Lapremière phase (t ∈ [0; 2]) consiste à l’écrasement vertical (écrasement ou compression) au solet la seconde (t ∈ [2; 4]) au mouvement parallèlement au sol (cisaillement).

127

Figure 4.8 – Définition de la géométrie et du maillage d’éléments finis du problème deslamelles

Figure 4.9 – Géométrie et maillage de la zone potentielle de contact du problème des lamelles :vue de dessous (gauche) et vue de dessus (droite).

Pour la discrétisation, les éléments choisis sont quadratiques pour le déplacement et linéairespour la pression de contact. Le maillage de référence est constitué de 9 714 tétraèdres. Ondénombre respectivement 50 745 et 3 771 degrés de liberté en déplacement (u) et en pressionde contact (λ). Deux cas tests avec différents matériaux sont faits. Nous avons détaillés lesdonnées du problème dans le tableau suivant :

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Données du problème des lamelles

— Matériaux :

1. Élasticité linéaire : E = 102 GPa et ν = 0, 4

2. Élasticité non linéaire : Mooney-Rivlin (C10 = 0, 682 et C01 = 0, 497)



1. Phase d’écrasement : ux = 0, uy = 0 et uz = −0, 5× t si t ∈ [0; 2]

2. Phase de cisaillement : ux = t− 2, uy = 0 et uz = −1 si t ∈ [2; 4]

— Maillage d’éléments finis : 9 714 éléments tétraédriques.

Élasticité linéaire

Nous considérons le cas test en élasticité linéaire. La configuration déformée obtenue à la fin desphases d’écrasement et de cisaillement est représentée dans la Figure 4.10. Nous avons mis encouleur grise la configuration initiale, ceci nous permettant de mieux voir la déformation. Aucours de la première phase, les lamelles internes se rapprochent et celles du bord se détachent.On observe dès lors des zones de contact entre les lamelles (auto-contact). En glissant lasemelle, les lamelles se rapprochent de plus en plus suivant le sens de glissement causantun décollement de la partie basse extrême de la semelle et une importante déformation de ladernière lamelle (se trouvant plus à droite). On peut aussi bien voir le contact dans les lamellesdans la Figure 4.11. Dans cette figure, l’état de contact est mis en évidence, le bleu représentela partie inactive (pas de nœuds en contact), le rouge représente la partie glissante et le vertla zone adhérente.

Pour ce qui est de la convergence du problème, nous avons représenté sur une échelle loga-rithmique, à la Figure 4.12, la norme euclidienne du résidu normal en fonction du nombretotal d’itérations du solveur Mix-It-GCR-Contact (Algorithme 25). L’état de contact resteinstable au début de chaque pas de temps. Nous remarquons une bonne convergence qui estsouvent ralentie par les changements d’état. Rappelons qu’à chaque changement d’état, onprojette à nouveau les multiplicateurs sur le cône avant de faire une nouvelle résolution re-présentant l’itération angulaire suivante. Ainsi, une fois l’angulaire convergé ou le nombremaximum d’itérations associées atteint, on passe au Newton suivant. Des oscillations au ni-veau du Newton sont notées à partir du quatrième pas de temps. Celles-ci sont dues auxinstabilités causées par le contact dans les lamelles, plus précisément par la variation de lanormale.

129

(a) Écrasement

(b) Cisaillement

Figure 4.10 – Déformation de la semelle à la fin de chaque phase avec la configuration initialemise en exergue (sens de cisaillement : de la gauche vers la droite).

130

(a) Écrasement

(b) Cisaillement

Figure 4.11 – État de contact à la fin de chaque phase du problème des lamelles.

131

0 200 400 600 800 1,000 1,200

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


Normeeuclidienn

edu

résidu

norm

alChangement d’état

Résidu

Figure 4.12 – Norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveurGCR de contact pour une résolution complète du système primal : courbes de convergence desdifférents pas de chargement, les sauts présents à partir de la quatrième courbe représententle début d’itérations de Newton. Ils sont dus à la variation de la normale.

Élasticité non linéaire

On se place maintenant dans le contexte d’élasticité non linéaire avec comme modèle Mooney-Rivlin incompressible dans lequel on prend comme paramètres C10 = 0, 682 et C01 = 0, 497.Du à l’incompressibilité du matériau, la résolution est faite avec prise en compte de la pressionhydrostatique et la variante alternée présentée dans la section 3.3.2 est utilisée pour la réso-lution. Nous allons montrer les résultats obtenus sans une étude de la performance du tempsde calcul. La phase d’écrasement se passe bien comme on peut le voir dans la Figure 4.13.La déformation est différente de celle obtenue avec le matériau linéaire, ce qui est un résultatattendu considérant le caractère incompressible du matériau.

132

Figure 4.13 – Semelles de pneu : Configuration déformée de la phase d’écrasement avec unmatériau non linéaire de type Mooney-Rivlin.

Figure 4.14 – Semelles de pneu : Configuration déformée de l’avant dernier pas de cisaillementavec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin (sens de cisaillement : de la gauche versla droite).

Nous voyons que la semelle se gonfle et que la pression hydrostatique est bien dissipée. Onnote une bonne convergence des résidus en λ. La résolution devient difficile plus les lamelles

133

se touchent entraînant une convergence lente et oscillatoire avec beaucoup d’itérations deNewton. De plus, les parties extrêmes basses de la semelle subissant une forte réaction avec lesol au moment du mouvement parallèlement au sol et finissent par bifurquer (voir Figure 4.15).Ceci créant alors une divergence au dernier pas de temps.

Figure 4.15 – Semelles de pneu : Bifurcations des lamelles de la semelle à la fin de la phasede cisaillement avec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin.

Les débuts de bifurcations se présentaient bien avant le dernier pas comme on peut le voirdans la lamelle gauche de la semelle dans la Figure 4.14. Dans ce problème, nous sommesconfrontés non pas à des problèmes liés au contact dans les lamelles mais d’une mauvaiseconstante de coercivité liée au matériau hyper-élastique en très grandes déformations combinéà un contrôle du chargement plus fin. Il est donc possible de limiter ces effets. Toutefois,même dans ces cas, des bifurcations sont incontournables. Dans la thèse de S. Léger [112],il est montré que ces types de problèmes peuvent être résolus efficacement avec la méthodedu lagrangien actualisé et une méthode de continuation. Afin de limiter les problèmes liés autrès grand déplacement, la résolution se fait non pas sur la configuration initiale mais sur ladernière déformée. Des séquences d’adaptation de maillage peuvent aussi être faites durantle changement de géométrie. Nous reviendrons sur ces questions purement techniques dans laconclusion.

Performances

Dans cette section, nous étudions le solveur de contact développé lorsqu’on résout le systèmeprimal par une méthode itérative. Plusieurs choix sont à faire et certains impliqueront untemps de calcul important. Ainsi, pour simplifier l’étude, nous considérons le problème avecun matériau linéaire et uniquement dans sa phase d’écrasement. En plus du maillage considéréci-dessous, nous ferons deux subdivisions régulières successives afin d’étudier la performance

134

de notre solveur suivant la taille du maillage. La Table 4.1 décrit les caractéristiques de tousles maillages.

Sommets Tétraèdres Ddls de u Ddls de λ2 654 9 714 50 748 3 77116 916 77 712 357 369 12 507119 123 621 696 2 670 783 45 171

Table 4.1 – Nombre de sommets et de tétraèdres ainsi que les degrés de liberté associés audéplacement u et au multiplicateur λ pour les différents maillages.

Ici, nous présentons le nombre d’itérations total du solveur Mix-It-GCR-Contact (Algo-rithme 25). Rappelons que ce dernier est constitué de boucles imbriquées : des itérations deNewton aux itérations du problème linéaire en passant par les itérations de la linéarisationde la partie angulaire. Dans ce contexte, le nombre total d’itérations de Newton seul n’estpas significatif car il dépend fortement de la fréquence des changements d’état et des nombresmaximum d’itérations du solveur itératif et de la partie angulaire. Pour une meilleure compa-raison, nous nous sommes fixés les mêmes paramètres qui sont décrits dans les lignes suivantes.

— Tolérance de la correction en u : 10−5

— Fréquence de redémarrage en cas de changement d’état : 5

— Nombre d’itérations maximum et tolérance du résidu pour le pseudo-Newton de la partieangulaire : 8 et 10−5.

— Nombre d’itérations maximum et tolérance du résidu en λ pour la résolution du systèmelinéarisé : 10 et 10−6.

Toutefois, dans chaque cas, la convergence et le temps de calcul peuvent être influencés par lafréquence de changements d’état, le nombre d’itérations définies pour les boucles.

Le temps de calcul estimé correspond au temps nécessaire à la simulation complète, de lalecture des données à la résolution du problème en passant par l’assemblage des matrices, lecalcul des gaps, entre autres. Nous avons estimé le temps CPU pour chaque maillage de laTable 4.1 avec une résolution du système primal par une méthode directe et une méthodeitérative GCR. Cette dernière est préconditionnée par une itération de la méthode HP danslaquelle nous avons :

— Pour la partie P1, une résolution directe par LU est utilisée pour les deux maillages lesplus grossiers et la méthode multi-grille AMG pour le plus fin.

— Pour la partie P2, une itération de la méthode SOR.

Pour cette résolution itérativeGCR, nous avons considéré 10 itérations, une tolérance relativede 10−7 et absolue de 10−18.

135

Pour la résolution du système dual, nous nous contentons dans cette partie d’utiliser uneméthode directe. Toutefois, pour les problèmes de très grande taille, une méthode itérative doitêtre envisagée. Rappelons qu’il serait aussi possible d’utiliser la matrice masse diagonalisée.

Comme nous pouvons le voir dans la Figure 4.16, nous avons un bon comportement de laconvergence du solveurMix-It-GCR-Contact avec la méthode itérativeGCR pour A. Cettefigure donne le comportement du résidu normal en λ des calculs effectués sur le maillagegrossier avec une résolution directe et itérativeGCR pour A. Les sauts représentent les débutsde pas de chargement.

0 100 200 300 400

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


Norme2du

résidu

norm

al

LUGCR

Figure 4.16 – Semelles de pneu : courbe de convergence du résidu associé à la pression normalede contact pour une résolution directe (LU) et itérative (GCR).

Pour le temps de calcul, nous remarquons que la résolution directe est moins coûteuse unique-ment pour le problème de moindre taille. Ceci est normal car avec ce problème, la factorisationdu système se fait sans aucun souci. Mais une fois la taille devenue importante, résoudre avecune méthode directe devient coûteux, on le remarque même pour le deuxième maillage. Pourle plus fin maillage, factoriser la matrice correspondante devient quasiment impossible, la

136

mémoire nécessaire pour se faire est trop grande. Au vu des contraintes matérielles de nosexpériences, sa résolution est de loin la plus coûteuse. En raffinant plus, on ne pourrait mêmeplus résoudre en direct. La question qui se pose est le nombre d’itérations du précondition-neur qu’il faut suivant la taille du problème. Comme il est dit auparavant, plus la taille estimportante, plus résoudre en itératif devient aussi difficile donc il faudrait plus d’itérationspour converger vers la solution.

Ddls de u 50 748 357 369 2 670 783Nbre d’itérations 415 1237 -

Temps CPU 2mn 05s 47 mn 51s -

Table 4.2 – Résolution du système primal par une méthode directe : Nombre d’itérations ettemps CPU en seconde.

Ddls de u 50 748 357 369 2 670 783Nbre d’itérations 426 1 930 3 083

Temps CPU 5mn 55s 3h 30mn 31h 31mn

Table 4.3 – Résolution du système primal par une méthode itérative : Nombre d’itérationset temps CPU en seconde.

En se focalisant maintenant sur le nombre d’itérations accumulé défini dans la Table 4.3, onnote plusieurs itérations pour la résolution itérative comparée à la méthode directe. Ceci sejustifie dans le sens que, le système primal est bien calculé pour la résolution directe donc lesinitialisations sont bien faites et l’algorithme converge alors facilement. Nonobstant un nombreimportant d’itérations en itératif, ces dernières sont bien moins coûteuses que les itérationsen résolution directe. Plus le maillage est fin, plus le rapport entre le nombre d’itérations etle temps de calcul devient plus grand pour la résolution directe qu’itérative. Pour le maillagele plus fin, le calcul en itératif a pris plus d’une journée pour arriver à terme. Et, pour larésolution directe, il n’est pas parvenu à faire même une seule résolution du à un problème demémoire.

Remarque : Ne voulant pas jouer sur le nombre d’itérations de la méthodeGCR du problèmeprimal, nous avons fixé le nombre d’itérations à 10 en se basant sur sa bonne performanceavec le maillage le plus fin. Pour moins d’itérations, nous avons un temps de calcul moinsimportant pour les autres maillages.

Nous ne nous sommes pas intéressés à l’espace mémoire. N’empêche, il est reconnu que larésolution directe prend beaucoup d’espaces de mémoire pour la résolution, ce qui empêchemême le calcul lorsqu’on résout avec un système ayant beaucoup d’inconnues.

137

Dans la résolution par une méthode itérative, nous avons choisi de préconditionner par laméthode HP qui a beaucoup d’avantages comparés aux autres méthodes surtout sur le gainen temps. Pour plus de précisions, nous référons le lecteur à la section 1.4.2.

0 100 200 300 400

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100


Norme2du

résidu

norm

al

GMRESGCRGC

BiCGStab

Figure 4.17 – La norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveurMix-It-GCR-Contact suivant la méthode itérative de résolution du problème primal.

La Table 4.4 donne le temps de calcul effectué pour résoudre en itératif, le problème des lamellesavec différentes méthodes préconditionnées par une itération de HP. Nous avons essayé avecles méthodes citées ci-haut. Nous remarquons que GCR reste moins coûteux en temps, GCl’est uniquement pour le maillage grossier. Dans toutes les situations, le coût en temps dela méthode de BiCGStab est plus important. Ceci est du au fait que pour cette méthode,deux produits "matrice-vecteur" doivent être calculés à chaque itération. Les accélérateursGCR et GMRES sont sensiblement égaux en temps mais aussi en convergence. Par contre,si on s’intéressait uniquement au nombre d’itérations, la méthode BiCGStab est meilleure.La Figure 4.17 illustre cette observation où on n’y représente la convergence du résidu associéà la pression normale de contact pour les différentes méthodes choisies comme accélérateur

138

de la méthode HP (méthodes avec HP comme préconditionneur). Ce calcul est fait pour lemaillage grossier mais nous avons aussi le même comportement sur les autres maillages. Laméthode du gradient conjugué converge lentement etGCR se comporte très bien de même queGMRES. Pour le maillage moyen, GC peine à converger avec la limite imposée sur le nombred’itérations défini, on obtient une bien meilleure convergence en augmentant ce dernier. Onnote aussi le même phénomène pour le maillage le plus fin.

XXXXXXXXXXXHPDdl de u 47 954 357 369 2 670 783

GCR 5mn 55s 2h 22mn 31h 31mnGC 5mn 54s 2h 26mn 40h 47mn

GMRES 6mn 6s 2h 29mn 33h 57mnBIcGStab 9mn 56s 3h 11mn 52h 13mn

Table 4.4 – Temps CPU du calcul du problème de la semelle de pneu suivant différentesméthodes itératives préconditionnées par HPL pour la résolution du système primal.

Nous pouvons conclure que le solveur est robuste (par rapport à la diversité du choix desméthodes de résolution pour le système en u) et converge bien avec plusieurs méthodes itéra-tives. Les méthodes GCR et GMRES sont préférables en terme de convergence et temps decalcul. Dans cet exemple, la matrice d’élasticité est symétrique mais elle ne l’est pas toujourspour les problèmes industriels qui sont souvent basés sur des matériaux non linéaires. Ainsi,la méthode GC, qui est efficace que pour les matrices symétriques ne peut pas toujours êtreutilisée. L’avantage de la méthode GCR par rapport à GMRES est dû à sa flexibilité dansle sens qu’il est possible de changer de préconditionneur au cours des itérations.

Nous venons d’étudier la performance et la robustesse du solveur Mix-It-GCR-Contactpour un problème issu du pneumatique. Nous allons voir dans la section suivante une autreapplication de la résolution des problèmes de contact afin d’appuyer les résultats obtenusci-dessous.

139

4.2.2 Prothèse de genou

Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes aussi intéressés à la simulation du contact dansun contexte biomécanique. Plus précisément, en partenariat avec un concepteur de prothèsede genou, nous travaillons à la modélisation et à la simulation du phénomène d’usure. Encas d’usure des différents éléments du genou, une chirurgie est souvent nécessaire afin deremplacer le cartilage usé à la fois du genou et du tibia par des éléments métalliques. Cesderniers sont séparés par un élément plastique composé de polyéthylène (UHMPE), destiné àl’amortissement, aux mouvements entre autres. On peut voir dans la Figure 4.18 les différentscomposants d’une prothèse de genou et son implantation .

Figure 4.18 – Les différents composants d’une prothèse de genou et son implantation dansle genou.

Le type de prothèse, en particulier de la forme du plateau rattaché au tibia, est influencé parde nombreux paramètres ; on peut citer le poids, l’activité physique et la démarche du patient.Ainsi, pour avoir une prothèse de genou adaptée au patient, des expériences approfondies etrépétitives doivent être faites. Le développement d’outils de simulation numérique ouvre laporte à d’importantes réductions des coûts et du temps du cycle de conception de prothèseet permet d’envisager la conception de prothèse personnalisée. L’idée est de voir suivant lescaractéristiques du patient, comment se comporte le contact entre le tibia et le fémur afin demieux choisir la conception du matériau qui sera adapté au patient. Nous nous sommes alorsintéressés au contact entre le genou et le tibia. La méthode des éléments finis est utilisée enorthopédique biomécanique pour évaluer le comportement biomécanique de l’os spongieux surles constituants de la prothèse de genou, de simuler les conditions de chargement appliquées àla prothèse pendant le cycle de marche afin d’estimer l’aire de contact, la pression de contactet l’état de contrainte du matériau plastique.

140

Présentation du problème

La Figure 4.19 présente une géométrie simplifiée des composantes tibiale (rattachée au tibia)et fémorale (rattachée au fémur).

Figure 4.19 – Géométrie simplifiée d’une prothèse genou : partie fémorale au dessus de lapartie tibiale.

La composante fémorale (généralement composée d’un alliage métallique rigide : titane, chrome,etc . . .) est traitée comme un corps rigide s’appuyant sur la composante tibiale (composée gé-néralement d’un polymère ou céramique) dont on admet qu’elle est déformable. Le fémur étantrigide est considéré 100 fois plus dur que le tibia. Les données sont définies dans le tableausuivant.

Données du problème de la prothèse de genou

— Matériaux :

— Fémur : E = 571, 16GPa et ν = 0, 47

— Tibia : E = 0, 5716GPa et ν = 0, 47


— Conditions limites : dessus du tibia : u = [0; 0; 0]

La partie fémorale se déplace suivant la direction (oz) d’une valeur dénotée f , représentant laflèche. Cette valeur est inconnue à l’avance et dépend d’une charge donnée. On parle alors decharge imposée.

141

Charge imposée

La simulation de la cinétique du système dépend de plusieurs paramètres. Ici, nous considéronsle poids de la personne se traduisant par une charge imposée sur l’aire de contact entre le tibiaet le fémur. Cette charge s’exprime en Newton et représente l’intégrale de la pression totale decontact sur son aire. Cette charge, quantité connue, notée par C définit de manière implicitele déplacement dans une direction donnée d du corps rigide (la partie tibiale). Ainsi la chargeimposée se traduit par une condition de type Dirichlet (un déplacement imposé fd). Toutefois,la détermination de la quantité fd dépendant de la pression de contact est complexe.

La flèche f ∈ R sera une nouvelle inconnue permettant de vérifier l’égalité∫ΓC

λ.d = C.

Pour la déterminer, nous avons opté d’utiliser une méthode de la sécante, une approche simpleet relativement robuste. La méthode est basée sur une évaluation de la fonction contrainte G

G(f) =

∫ΓC

λ.d− C.

On choisit des valeurs de flèches initiales, puis on itère suivant la relation

fk+1 = fk −G(fk)

(fk − fk−1

)G(fk)−G(fk−1)

jusqu’à l’obtention de la convergence.

Deux stratégies s’offrent à nous. On peut, à l’intérieur de la boucle de la sécante, résoudre àchaque évaluation de G(f) une version approximative du problème de contact (en utilisantquelques itérations de Newton), on pourrait aller jusqu’au calcul le plus précis possible ducontact. Dans certains cas, le problème devient coûteux, puisqu’on fait des calculs inutiles.Une deuxième approche consiste à intégrer la sécante dans la boucle de Newton déjà présente.On fera à chaque pas de Newton, la mise à jour de la flèche par un pas de la méthode de lasécante. L’algorithme intégré de résolution du contact avec charge imposée peut se présenterainsi :

Algorithme 30 Résolution du problème de contact avec charge imposée

1: Étant donné les valeurs initiales f0 et f1 et la charge C2: Itérer jusqu’à convergence de Newton

• imposer le déplacement du corps rigide ur = fkd

• résoudre par l’Algorithme 14 avec Mix-It-GCR-Contact

• si G(fk) n’est pas satisfaisant (la charge n’est pas atteinte), mise à jour de la flèche

fk+1 = fk −G(fk)

(fk − fk−1

)G(fk)−G(fk−1)

142

Résultats numériques

L’adaptation de maillage est un procédé efficace pour accroître la précision de l’approxima-tion par éléments finis. Sommairement la méthode consiste à raffiner et déraffiner localementle maillage. La Figure 4.20 est un exemple de résultat du procédé. Cette méthode relative-ment efficace pour obtenir des gains en précision, aura parfois l’effet d’augmenter de manièreimportante la dimension du système (en augmentant le nombre d’éléments du maillage). Il estalors clair que sans solveurs itératifs on devra imposer des restrictions au procédé d’adapta-tion de maillage. Il s’agit d’une des principales raisons du développement de solveur itératifperformant : ils permettront d’éliminer toutes restrictions sur l’adaptation de maillage.

Le contact implique des géométries et des comportements complexes. Dans une stratégie desimulation de tels phénomènes, il est inévitable de considérer l’adaptation de maillage. L’autreoption, consiste à raffiner aveuglément l’ensemble de la géométrie (voir la Figure 4.25 pour unexemple). Excluant son aspect inefficace (on raffine des zones qui n’exigent pas de raffinement),cette méthode a une limitation évidente : le maillage produisant rapidement des systèmeextrêmement grand ce qui rend cette approche quasi inutile. Une comparaison des Figures 4.20et 4.25 illustre clairement ce point.

Nous allons donc expérimenter notre solveur sur des maillages produits par ces deux approches.Dans le premier test l’adaptation a très bien su représenter la frontière de la zone de contactcomme on peut le voir dans la Figure 4.20 où nous avons représenté le maillage adapté dutibia à gauche et du fémur à droite.

Partie tibiale Partie fémorale

Figure 4.20 – Maillage adapté d’éléments finis des parties tibiale et fémorale de la prothèsede genou.

Le problème est à un seul pas de temps. La Figure 4.21 donne la configuration déformée dutibia et la pression de contact est représentée dans la Figure 4.22. Nous avons dans ce casun maximum de 0, 15 mm pour le déplacement et environ 3, 3 × 10−2GPa pour la pressionde contact. La valeur de la flèche permettant d’avoir la charge de 1115 N suivant la direction

143

d = (0, 0,−1) est égale à 0, 19 mm. Les Figures 4.23 et 4.24 représentent le tenseur decontrainte et le jacobien surfacique respectivement. Nous observons bien l’effet du tibia sur lefémur surtout dans la frontière de l’aire de contact et le point d’appui du fémur sur le tibia.

Figure 4.21 – Déformation et champ de déplacement du tibia après son contact avec le fémur.

Figure 4.22 – Pression totale de contact du tibia sur le fémur.

144

Figure 4.23 – Tenseur de contrainte de Cauchy en zz du Tibia.

Figure 4.24 – Jacobien surfacique continu du matériau du tibia.

Le maillage d’éléments finis adapté de la Figure 4.20 du tibia est constitué de 22 248 sommets

145

et de 105 649 éléments tétraédriques. Nous avons choisi une discrétisation quadratique pourle déplacement et linéaire pour les multiplicateurs de Lagrange du contact. Ainsi, nous avons475 185 degrés de liberté en u et 21 924 en λ. Pour la résolution itérative du solveur Adans l’Algorithme 25, une seule itération de la méthode HP a suffi pour avoir une bonneconvergence en un temps de calcul modéré. Dans ce cas, nous avons testé la résolution de lapartie P1 en utilisant la méthode directe LU et la méthode multi-grille AMG. La méthodeSSOR est toujours considérée dans la résolution de la partie P2. La résolution du systèmedual est faite par la méthode directe LU.

Solveur A Temps total Mémoire total Itérations NewtonLU 1h 12mn 1616Mo 9

HP(LU-SOR) 17mn 27s 316Mo 10HP(AMG-SOR) 22mn 32s 256Mo 13

Table 4.5 – Temps CPU et mémoire utilisée pour le problème de genou suivant la méthodede résolution du système primal

Pour ce type d’applications, la résolution se fait en boucle (cycle) afin de simuler l’usure.Il est donc essentiel de faire ces calculs dans un temps le plus court possible. La Table 4.5souligne les coûts importants en temps et en mémoire de la méthode directe en comparaison del’utilisation d’un solveur de type HP. La méthode directe n’est mieux qu’en terme d’itérationsde Newton. Pour la résolution itérative HP, la partie P1 avec AMG, malgré une utilisationmoindre en mémoire prend un peu plus de temps pour le calcul. En effet, pour les problèmesde taille pas très grande, la partie P1 reste de petite taille entraînant une factorisation de lamatrice associée plus rapide au niveau inférieur (voir la partie sur les méthodes multi-grillesdans la section 1.4.2).

Problème de très grande taille

On considère le problème du genou précédent avec un maillage obtenu par raffinement detous les éléments (par subdivision successive des arêtes). Soulignons que cet exemple, malgrél’utilisation d’une prothèse de genou, reste académique car il n’y a d’intérêt pratique à avoirdes maillages aussi fins. Avantage net de l’adaptation de maillage, elle produit un maillagesuffisant pour atteindre les exigences en précision visée). Ce maillage adapté contient pourtantbeaucoup moins d’éléments que le maillage considéré ici. Nous utiliserons donc cet exemplepour démontrer les capacités de l’algorithme Mix-It-GCR-Contact pour les systèmes detrès grande taille. En plus des dimensions du système, cet exemple nous permet d’inclure unegéométrie complexe (surface rigide et surface déformable courbe). Nous considérons une partietibiale écrasée par une sphère (voir Figure 4.25). Le bas du tibia est fixé et le haut considérécomme zone de contact potentielle. La sphère rigide se déplace de −1, 05 mm dans la directionverticale.

146

Figure 4.25 – Configuration du problème de contact rigide déformable de très grande taille :géométrie des corps rigide et déformable (en haut) et le maillage d’éléments finis du corpsdéformable (en bas).

147

Les caractéristiques du maillage d’éléments finis de la figure du bas de la Figure 4.25 sont :

• 632 249 sommets,

• 4 369 304 arêtes,

• 7 449 696 faces,

• 3 712 640 éléments tétraédriques.

Pour une discrétisation quadratique pour le déplacement et linéaire pour les multiplicateursde Lagrange, nous avons 15 millions inconnues (15 004 659 plus précisément) pour la variableprimale u et 62 625 pour la variable duale λ. La résolution de ce problème avec les méthodes depénalisation ne peut qu’être fait qu’en parallèle. En effet, si la résolution par pénalisation estpossible, elle exige la résolution du système linéaire par une méthode directe et la factorisationde la matrice de rigidité demanderait un très important stockage mémoire.

Dans ce cas, nous résolvons le système primal avec 20 itérations de la méthode GCR pré-conditionnée parHP. Une remarque non négligeable est que la partie P1 n’a pas pu être résoluepar une méthode directe faute de mémoire (voir Table 4.6). Notons qu’on peut en conclureque résoudre le problème avec des éléments linéaires ne serait possible que par une méthodeitérative. Quant à la méthode multi-grille AMG, la résolution n’a pas posé de problème. Pourla partie P2, nous avons pris la méthode SOR. La matrice masse associée au système dualest d’ordre 62 000. La résolution du système dual est faite par une méthode itérative. Étantsymétrique et bien conditionnée, la méthode du gradient conjugué GC, qui se comporte biendans ce cas, est alors utilisée pour la résolution du système associé.

GCR Temps total Mémoire totalHP(LU-SOR) - -

HP(AMG-SOR) 14h 24mn 4537Mo

Table 4.6 – Temps CPU et stockage mémoire pour le calcul du problème de grande taille.

Le traitement séquentiel de ce problème bien que possible a requis un temps de calcul etun stockage mémoire importants. Bien que nous ayons pu illustrer la possibilité d’étendreles limites de la dimension du problème à résoudre, il s’agit d’un problème académique. Lesproblèmes industriels tels qu’abordés dans la simulation en pneumatique sont généralementde plus grande taille, des centaines de millions voire des milliards de degrés de liberté. Ainsi,la résolution en séquentiel devient impossible. L’utilisation du calcul parallèle est alors in-contournable. Dans ce cas, l’utilisation de méthodes itératives réduit grandement le temps decalcul mais elle permet aussi de résoudre des problèmes à milliards d’inconnues.

Travaillant principalement à la conception du solveur, nous n’avons pas fait d’effort relative-ment à l’optimisation du programme et en particulier concernant sa parallélisation. Toutefois,des fonctionnalités du code MEF++ sont parallélisables et des calculs parallèles ont été faits

148

afin de voir la faisabilité de la résolution de problèmes avec le solveur en parallèle. La Fi-gure 4.26 montre le temps total de calcul suivant le nombre de processeurs. On n’observe pasune parfaite scalabilité. On peut s’attendre à une convergence presque linéaire moyennant uneoptimisation du processus. Nous laissons à plus tard l’optimisation du code.

1 2 4

8

10

12

14

Nombre de processeurs

Tem

psCPU

(h)

Figure 4.26 – Temps CPU par rapport au nombre de processeurs du problème du genou à15 millions de degrés de liberté.

Un des éléments à travailler concerne le processus d’orthogonalisation de la méthode de Gram-Schmidt. La version modifiée utilisée dans cette thèse pose en effet un défi. La méthodeclassique quoique plus instable se prête mieux à une mise en œuvre en parallèle (voir [113]).

De plus, la méthode de résolution du système primal (choix de A) devrait aussi être étudiée.En séquentiel, nous avons pris la méthode GCR pour ses avantages comparées aux autresmais rien ne nous rassure que nous aurons un meilleur temps de calcul en parallèle avec cetteméthode.

149

Conclusion

Dans cette thèse, nous avons proposé une méthode de résolution de problèmes de contact degrande taille. Le but ultime est de résoudre les problèmes issus du monde industriel de manièregénérale, particulièrement dans les domaines du pneumatique et de la biomécanique. Les diffi-cultés liées à ces problèmes sont nombreuses, en dehors de celles liées au contact, nous sommesconfrontés à des matériaux hyper-élastiques et des géométries complexes tridimensionnelles.

Notre démarche, basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange, nous a permis nonseulement de pouvoir résoudre des problèmes de grande taille mais d’obtenir des résultats précissur la zone de contact à l’instar de la pression de contact. Pour bien étayer notre démarche,nous avons présenté au premier chapitre les concepts de base de la mécanique des solides engrandes déformations. La résolution du problème d’élasticité est faite avec la méthode deséléments finis qui mène à un système linéaire dont les méthodes de résolution sont étudiéesà la fin du chapitre. Le second chapitre a eu pour but de présenter la théorie du contact, lesfondements de la méthode développée qui est basée sur les multiplicateurs de Lagrange. Le casfrottant étant un peu plus complexe surtout lorsque la géométrie est tridimensionnelle. Dansce contexte, une linéarisation différente de celle du matériau est nécessaire. Nous avons fini cechapitre avec la présentation du système linéaire à résoudre à chaque itération de Newton ouéventuellement de la partie angulaire.

La principale difficulté dans la résolution du problème de contact avec la méthode des multi-plicateurs de Lagrange est due au fait que le système linéaire est du type de point de selle. Ilest non seulement et souvent de grande taille mais n’est pas facile à résoudre. Une techniquenouvelle est mise en œuvre afin de résoudre ces types de problème. Comparée à celles qui seprésentent dans la littérature pour résoudre les problèmes de point de selle, notre méthodeest robuste, efficace et ne dépend d’aucun paramètre du problème ou de relaxation. Un autreavantage de la méthode est qu’on ne résout jamais sur le système global et toutes les réso-lutions matricielles peuvent être faites en itératif. Nous avons montré l’avantage d’utiliser laméthode HP où dans notre contexte, on peut encore résoudre en itératif la partie P1, lorsquel’on utilise la discrétisation hiérarchique. Ceci nous permettant de nous soucier moins de lataille du problème. La méthode développée est générique et peut être utilisée dans la plupartdes problèmes de point de selle. Nous avons montré qu’elle converge bien avec les problèmes

151

d’élasticité incompressible. On peut aussi l’utiliser pour les problèmes de Stokes entre autres.

En plus de la résolution des problèmes de contact de grande taille, notre méthode résoutfacilement les problèmes avec des matériaux linéaires de contact sans frottement. Commeles problèmes industriels sont de nature frottant et avec des matériaux hyper-élastiques nonlinéaires, nous nous sommes attaqués à ces cas de figure. De ce fait, dans notre démarche, deslinéarisations sont faites par la méthode de Newton pour éliminer ces non-linéarités. Commenous avons pu le montrer, nous avons résolu des problèmes avec des matériaux non linéairesque nous avons pu comparer avec la littérature. Dans le domaine du pneumatique, le matériauest non seulement non linéaire mais incompressible. Une résolution du problème de contactavec prise en compte de l’incompressibilité est traitée et des résultats satisfaisants ont puêtre obtenus. Ce type de résolution n’étant pas fréquent dans la littérature est aussi unecontribution dans le domaine de la mécanique du contact. Ainsi, nous avons pu traiter desproblèmes "simples" de nature industrielle dans le domaine du pneumatique avec le problèmedes lamelles et dans le domaine de la biomécanique avec la modélisation de la prothèse degenou.

Malgré l’efficacité et la robustesse de la méthode développée, des efforts restent à faire surla résolution du solveur mais surtout sur la partie de la mécanique du contact. Tout, afin depouvoir résoudre les vrais problèmes industriels. Nous pouvons présenter quelques pistes deperspectives.

Du point de vue algébrique, autrement dit de la résolution du système linéaire, le choix del’approximation M du complément de Schur qui est pris comme la matrice masse pourraitêtre étudié. Une meilleure approximation permettrait une convergence plus rapide du pré-conditionneur. Une étude comparative de l’algorithme mixte itératif général Mix-It devraitaussi être faite suivant la méthode itérative utilisée afin de trouver la meilleure performanceen temps et en gestion mémoire. Pour le problème de point de selle à deux contraintes, lavariante alternée est présentement la meilleure obtenue en terme de temps et de convergence.Une amélioration de la méthode imbriquée serait de diminuer les itérations en pression p. Ladeuxième résolution peut être faite avec le système primal.

Dans la résolution du problème de contact surtout avec frottement, la linéarisation de la partieangulaire n’est pas complète. Beaucoup de termes ont du être négligés. Ceci causant donc uneconvergence moins bonne. De plus, dans le préconditionneur, le choix de l’approximation dela partie angulaire n’est pas optimale. Dans certaines situations, des oscillations sont notées.Plusieurs variantes ont été faites.

Pour les matériaux non linéaires, en particulier pour celui de Mooney-Rivlin, on note danscertaines situations des bifurcations lorsqu’ils sont en très grand déplacement. Pour y remédier,nous pensons à l’adaptation de maillages et une bonne méthode de continuation. Dans l’étatactuel du code, la méthode de continuation a été développée pour les grands déplacements

152

mais sans contact. Un projet futur serait de le valider pour les problèmes de contact. Ainsi, lesolveur de contact GCR pourrait faire appel à cette méthode afin de régler les problèmes debifurcations que l’on peut rencontrer.

Dans des situations où la normale à la géométrie varie, une linéarisation de cette normale estalors nécessaire à chaque itération de Newton. Pour les problèmes dépendant du temps, larésolution devrait se faire en dynamique. Dans ce cas, les termes d’inertie et un calcul exactde la dérivée de Lie devraient être pris en compte.

En plus de toutes ses perspectives, un effort de développements informatiques est nécessaireafin de rendre le code, surtout le solveur, faisable pour de vrais problèmes industriels. Nouspouvons citer le fait d’avoir différents coefficients de contact suivant les corps en contact. Àl’exemple des lamelles où nous pourrons considérer un problème glissant pour le contact dansles lamelles et frottant pour le contact avec le sol ou même deux contacts frottant avec descoefficients de frottement différents. L’idée est de définir le coefficient de frottement associé àchaque nœud suivant l’entité dans lequel il est en contact. Le problème qui peut se poser est lechoix du coefficient pour le nœud du coin (un nœud pouvant être en contact avec deux corpsdifférents) surtout lorsqu’il est en contact avec les corps au même moment. Dans la mêmelogique, d’avoir des discrétisations de pression hydrostatique suivant les géométries. L’idéeest de résoudre dans un même test une formulation en déplacement dans certaines partiesde la géométrie et d’autres en déplacement-pression. Ceci nous empêchant de résoudre enincompressible l’acier par exemple. De ce fait, le temps de calcul va être réduit.

Nous finirons les perspectives par une parallélisation du code nous permettant de lancer descalculs à milliards de degrés de libertés.

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