Routage dans les réseaux augmentés
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22 juin 2005 P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3 1
Routage dans les réseaux augmentés
Pierre FraigniaudCNRS
LRI, Univ. Paris Sud (Orsay)
22 juin 2005 P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3 2
Objectifs
• Expérience de Milgram (1967)• Modélisation (Kleinberg, 2000)• Petits Mondes Navigation• Limites du modèle• Autres modèles• Applications
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Expérience de Milgram
Personnes sources s1,s2,...,sk
Personne cible tBut = acheminer une lettre de si à t :
La personne x détenant actuellement la lettre la retransmet à une personne y que x connaît personnellement et dont il espère qu’elle soit plus proche de t.
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Résultats de l’expérience
1. Beaucoup de lettres sont arrivées à destination
2. Parmi les lettres arrivées à destination, la médiane du nombre d'intermédiaires fût environ 5
Six degrés de séparation entre individus
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Le phénomène semble reproductible
• Dodds, Muhamad, Watts (2003)• Utilisation de la messagerie
électronique• Parmi les chaînes réussies, il se
vérifie que la médiane est d’environ 5
• Attention toutefois : beaucoup de chaînes ne réussissent pas !
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Les graphes augmentés
• Un graphe G modélise un ensemble de connaissances communes à tous :
• La Norvège est “plus proche” de la France que l’Uzbékistan
• Un biologiste est “plus proche” d’un médecin que d’un trapéziste
• G est augmenté avec des liens longs choisis aléatoirement, suivant une loi D, pour modéliser les hasards de la vies
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Exemple
Noeud x
Noeud y
Le noeud y est le contact distant de x
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Modèle de Kleinberg
• Le graphe G est une grille à d dimensions et de n noeuds
• Chaque noeud x choisit y comme contact distant avec probabilité prob(xy) harmonique, c-à-d proportionnel à 1/dist(x,y)
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Routage glouton
• Parmi ses 2d+1 noeuds voisins, chaque noeud choisit celui qui est le plus proche de la destination, et lui transmet le message
• Attention : distance de «Manhattan»
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Glouton converge
Noeud courant Noeud suivant Cible
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Performances du routage glouton
• Si = d alors le routage glouton s’effectue en O(log2n) nombre de pas en moyenne.
• Si ≠ d alors le routage glouton s’effectue en Ω(n) nombre de pas en moyenne, >0.
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Preuve
• Coefficient normalisateur (d = 1): ∑1≤i≤n/2(1/i) ≈ log n
• Prob(xy) ≈ 1/(dist(x,y)d log n)
mx
tB = y / dist(y,t) ≤ m/2
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Prob(xB) = ∑y Prob(xy)
≥ |B| Prob(xz) ≈ md/(md log n) = 1/log n
mx
tB = y / dist(y,t) ≤ m/2 z
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Quelques critiques
1. Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ?
2. Pour = d, les performances du routage sont indépendantes de d
3. Les performances du routage ne sont « bonnes » que si = d
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Quelques critiques
1. Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ?
2. Pour = d, les performances du routage sont indépendantes de d
3. Les performances du routage ne sont « bonnes » que si = d
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Peut-on faire mieux ?• L’analyse est exacte : (log2n) (Barrière, Fraigniaud, Kranakis, Krizanc)
• Diamètre (log n) (Martel, Nguyen) • Avec log n liens longs par noeud :
– Glouton : O(log n) (Kleinberg) – NoN : O(log n / loglog n) (Manku, Naor, Wieder)
• Il est possible de construire de façon distribuée un chemin de longueur
O((log n)(loglog n)2) (Lebhar, Schabanel)
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Autres distributions
• Quelque soit la distribution (presque !) le routage glouton s'effectue en Ω(log2n/loglog n) étapes en moyenne.
(Aspnes, Diamadi, Shah)
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Quelques critiques
1. Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ?
2. Pour = d, les performances du routage sont indépendantes de d
3. Les performances du routage ne sont « bonnes » que si = d
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Critères de sélection(Killworth & Bernard)
• Expérience à la Milgram : – Recherche avec ≥ 2 critères marche
bien– Recherche avec 1 critère marche mal
• Peut-on interpréter les dimensions de la grille comme autant de critères ?
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Routage indirect
• Chaque noeud x possède une liste Lx de liens longs
• Pour router : – le noeud courant x sélectionne y Lx tel que
le lien long de y conduit le plus près de la cible t
– Parmi ses 2d+1 noeuds voisins, x choisit celui qui est le plus proche de y, et lui transmet le message
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Performances du routage indirect
• Si, pour tout noeud x, Lx est la liste des liens longs des log n noeuds les plus proches de x (dans la grille), alors le routage indirect s’effectue en O(log1+1/d
n) étapes en moyenne. (Fraigniaud, Gavoille,
Paul)
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Quelques critiques
1. Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ?
2. Pour = d, les performances du routage sont indépendantes de d
3. Les performances du routage ne sont « bonnes » que si = d
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Vers un modèle plus général...
• Contexte : réseaux sociaux modélisés par un graphe augmenté (G,D)
• Questions : • Comment choisir le graphe G ? • Comment choisir la distribution D ?• Que devrait-on observer à propos du
routage glouton dans (G,D) ?
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Routage glouton dans (G,D)
• Parmi ses degG(x)+1 noeuds voisins, chaque noeud x choisit celui qui est le plus proche de la destination dans G, et lui transmet le message
• Attention : distance dans G
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1) « Petitmondisation »
Un graphe G est petitmondisable s’il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en O(polylog n) nombre d’étapes en moyenne.
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Extension de la grille
• Un graphe est de croissance bornée si, pour tout noeud x et tout r>0, la taille de la boule de rayon r centrée en x est rf(r,x) où f satisfait... bon, disons des « conditions spécifiques ».
• Tout graphe de croissance bornée est petitmondisable.
(Duchon, Hanusse, Lebhar, Schabanel)
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2) Modèles Hiérarchiques
Prob(xy) ≈ hauteur de leur plus petit ancêtre commun(Kleinberg)
x y
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Hiérarchies imbriquées
• Lieu d’habitation, profession, hobbies, etc. • Comment extraire une hiérarchie « globale »
qui reflète toutes ces hiérarchies ?
Outil = décompositions arborescentes
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Décomposition arborescente
(Robertson & Seymour)Une décomposion arborescente d’un
graphe G=(V,E) est une paire (T,X) où T est un arbre d’ensemble de sommets I, et X est une collection Xi V, i I telle que :
1. iI Xi = V
2. e=x,y E, i I / x,y Xi
3. Si j est sur le plus court chemin entre i et k dans T alors Xj Xk Xi
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Xi
Xk
Xj
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Sommet x
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Séparateurs récursifs
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Largeur d’arborescence• La largeur d’une décomposition
arborescente (T,X) est w(T,X) = maxiI |Xi| - 1
• La largeur d’arborescence tw(G) d’un graphe G est la largeur minimale d’une décomposition arborescente (T,X) de G
tw(G) = min(T,X) w(T,X)
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CentroïdeLe centroïde d’un arbre T de n noeuds est un noeud v tel que T-v est une forêt d’arbres d’au plus n/2 noeuds.
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Centroïdes récursifs et augmentation
(1)
(3)
(2)
x (4)
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Routage glouton
• Pour tout graphe G de largeur d’arborescence ≤ k, il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en
O(k log2n) étapes en moyenne.
(Fraigniaud)
• Application : graphes de largeur arborescente bornée (arbres, cycles, planaires extérieurs, etc.)
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Réseaux sociaux Les réseaux sociaux ont (pour la
plupart) un coefficient de « clustering » élevé, c-à-d la probabilité que deux noeuds ayant un voisin commun soit connectés est « élevée ».
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Une mauvaise nouvelle
• Les réseaux sociaux sont localement denses !
ils ont une grande largeur d’arborescence...
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Une bonne nouvelle• Les réseaux sociaux sont
localement denses ! ils n’ont généralement que
peu de cycles longs
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CordalitéLa cordalité d’un graphe est la longueur
de son plus long cycle induit
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Graphe de cordalité bornée
• Pour tout graph G de cordalité ≤ k, il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en
O((k + log n) log n) étapes en moyenne.
(Fraigniaud)
• Application: graphes de cordalité O(log n)
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Application possibles Conception de : réseaux pair-à-pair réseaux de processeurs
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Réseaux pair-à-pair• S’oppose au modèle « maître-
esclave » : tous jouent le même rôle. • Publication et recherche : Table de
Hachage Distribuée (DHT)– Espace de clés K (espace métrique)– Fichiers et utilisateurs sont « hachés » dans
cet espace (fonction de hachage h commune)
– Un utilisateur de clé K prend en charge les fichiers de clé les plus proches de dans K
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Router vers une clé
• Objectif central : aller au noeud x en charge de la clé K
• Solution 1 : Maintenir de façon dynamique une topologie structurée
• Solution 2 : Utiliser l’anneau augmenté « harmoniquement »
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Conclusion (1)
• Les résultats de l’expérience de Milgram ne sont pas encore très bien compris ni d’un « point de vue conceptuel », ni d’un « point de vue formel ».
• Besoin d’un modèle hiérarchique vraiment satisfaisant.
• De nombreuses applications potentielles : pair-à-pair, réseaux dynamiques, etc.
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Conclusion (2)
Problèmes ouverts : – Tout graphe est-il petitmondisable ? – Peut-on augmenter l’anneau de façon
à ce que le routage glouton s’effectue en O(log2n/loglog n) nombre moyen d’étapes ?
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Des pointeurs
« A New Perspective on the Small-World Phenomenon: Greedy Routing in Tree-Decomposed Graphs »
In 13th Annual European Symposium on Algorithms (ESA), 2005.
http://www.lri.fr/~pierre