ROSE 2011

Asservissement PID, PWM et Ponts en H

Siwar Rais

Cédric Le Ninivin

Samuel Mokrani

24 mars 2011

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Table des matières

1 Asservissement PID 3

1.1 Que signi�e asservissement ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Théorie d'un asservissement PID . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 P : Proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 I : Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 D : Dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Comment régler les coe�cients ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Par une méthode théorique . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Par une méthode expérimentale . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Implémentation du PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Calcul du terme proportionnel . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Calcul du terme intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Calcul du terme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.4 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 PWM 10

2.1 Dé�nition de PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.1 Modes du PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Applications du PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Pilotage de leds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Pilotage d'un moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Ponts en H 14

3.1 Utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Protections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Utilisation du Pont en H par des PWM 16

4.1 Locked Antiphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Introduction d'un temp mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Sign Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Phase correct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Bibliographie 19

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1 Asservissement PID

1.1 Que signi�e asservissement ?

Pour bien cerner l'objectif d'un asservissement, prenons l'exemple d'unrobot à deux roues que l'on veut faire avancer droit. La première idée estd'appliquer la même tension aux deux moteurs. Mais lorsque l'on applique lamême tension sur deux moteurs di�érents, il se peut très bien qu'ils ne tour-nent pas rigoureusement à la même vitesse ce qui aura pour conséquence dene pas faire avancer le robot tout droit. Il déviera légèrement. Ce phénomènepeut être dû à diverses raisons comme par exemple une di�érence d'usureentre les deux moteurs, une charge mal répartie sur le robot, . . .

Pour résoudre ce problème, on réalise un asservissement. Ce dernier adonc pour but de faire atteindre au système une consigne avec précision.

Nous allons détailler dans la suite de ce document l'asservissement parPID (Proportionnel Intégral Dérivé) mais il existe d'autres techniques d'assservisse-ment comme par exemple l'asservissement LQR ("Linear Quadratic Regula-tor") qui est plus e�cace mais plus di�cile à mettre en oeuvre.

1.2 Théorie d'un asservissement PID

Le principe général d'un asservissement est de récupérer l'état du sys-tème à un instant donnée et de le comparer à la consigne de manière à lecorriger. Une consigne peut être une position, une vitesse, une accélération,une tension, . . .mais le principe reste le même. L'asservissement PID est unasservissement en boucle fermé comme en atteste le schéma suivant :

Figure 1 � Asservissement avec régulateur PID

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Dans la suite de ce document, on dé�nit les variables suivantes :Kp = GKi = 1/T iKd = Td

1.2.1 P : Proportionnel

Le bloc P réalise une action proportionnelle sur l'erreur. Cette dernièreest multipliée par Kp. Intuitivement, plus l'erreur est grande, plus la correc-tion sera grande. Si l'on prend l'exemple d'une voiture qui tente de suivreparfaitement une ligne blanche au sol, le bloc proportionnel est le fait detourner à gauche si la voiture dévie sur la droite ou de tourner à droite si lavoiture dévie sur la gauche.

Figure 2 � In�uence de Kp

Pour voir l'in�uence de Kp, on �xe Ki et Kd à 0 et on fait varier Kp. Onvoit bien que lorsqueKp est grand, la commande (courbes bleues) atteint plusrapidement la consigne (courbes noires). De plus, on remarque l'apparitiond'oscillations autour de la consigne. Ces dernières peuvent apparaître lorsquele système à asservir induit un déphasage. Sinon le problème ne se pose pas.Dans certains cas, les dépassements peuvent être tolérés mais dans d'autresil est impensable d'en avoir (robotique chirurgicale).

Mais le phénomène le plus problématique est que dans certains cas, le sys-tème ne peut atteindre la consigne. C'est ce que l'on appelle l'erreur statique.

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Pour des systèmes du premier ordre (H(p) = H0

1+τp), il y aura l'apparition

d'une erreur statique à une entrée échelon. Pour que l'erreur statique soitnulle à une entrée d'ordre m, il faut et il su�t que la fonction de transfertdu système en boucle ouverte contienne m+1 intégrations.

Comme ici, nous nous intéressons principalement à une entrée échelon,une intégration su�t à annuler l'erreur statique.

1.2.2 I : Intégrateur

Le bloc I réalise une intégration de l'erreur. L'idée principale est d'intégrerl'erreur depuis le début et d'ajouter le résultat à la consigne jusqu'à ce quel'erreur devienne nulle. Lorsque l'erreur est nulle, le terme intégral se stabiliseet il compense parfaitement l'erreur entre la consigne et la vitesse réelle.Comme pour le bloc P, lorsque Ki augmente, on atteint plus rapidement laconsigne. Pour reprendre l'exemple de la voiture, le terme intégral peut setraduire par un contre braquage a�n de rétablir la trejctoire de la voiture.

Par contre la présence d'un intégrateur dans la chaîne induit la présenced'oscillations.

Figure 3 � In�uence de Ki

Nous voyons bien que l'erreur statique est annulée. Maintenant, on aimeraitbien avoir un système qui réagisse vite tout en étant stable. Pour compenserle déphasage introduit par l'intégrateur, on va ajouter un terme dérivé quiaura pour e�et d'atténuer les oscillations.

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1.2.3 D : Dérivateur

Il est assez facile de comprendre pourquoi le terme dérivé va atténuer lesoscillations : lorsque la commande va avoir tendance à dépasser la consigne,la dérivé en ce point sera négative et donc ce terme aura tendance à ramenerla commande vers la consigne. Concernant notre voiture, le terme dérivéreprésente le contre braquage dans le sens opposé à l'erreur lorsque l'on serapproche de la consigne.

Figure 4 � In�uence de Kd

Avec un asservissement PID, nous pouvons obtenir une réponse assezrapide, plutôt stable et précise.

1.3 Comment régler les coe�cients ?

On voit bien que selon les réglages choisis pour les di�érents coe�cients,nous obtiendrons des résultats plus ou moins bons. Il y a plusieurs critères àoptimiser :

� l'erreur statique� le dépassement (stabilité)� la rapidité

Mais il faut être conscient que selon le système que l'on a à asservir,certains critères seront plus importants que d'autres. Nous allons voir deuxméthodes permettant de régler les coe�cients d'un PID : une théorique etune expérimentale.

1.3.1 Par une méthode théorique

Cette méthode suppose la connaissance des équations intrinsèques du sys-tème à modéliser (fonction de transfert du procédé dans la Figure 1). Il fautaussi que les équations ne soient pas trop compliquées ce qui rendrait di�cile

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la résolution du problème. Cette méthode est résolue entièrement analytique-ment en connaissant C(s)etH(s)). La fonction de transfert du schéma blocvaut donc

S(s)E(s)

= C(s)H(s)1+C(s)H(s)

.

En connaissant E(s) (par exemple un échelon), on est capable de calculerS(s) et ainsi d'attribuer aux coe�cients Kp, Ki et Kp des valeurs pourobtenir une sortie qui nous convienne. En pratique, les équations mises en jeusont assez complexes ce qui justi�e l'utilisation d'une méthode expérimentale.

1.3.2 Par une méthode expérimentale

Il existe plusieurs méthodes expérimentales pour déterminer les coe�-cients du PID. Nous allons aborder ici la méthode de Ziegler Nichols. Cetteméthode consiste tout d'abord à obtenir la limite de pompage. On obtientcette dernière en mettant Kd et Ki à 0 et en faisant varier Kp pour obtenirdes oscillations auto-entretenues. Une fois la limite de pompage obtenue, onnote Kpo le coe�cient du bloc P et on mesure la période To des oscillationset on peut en déduire les coe�cients du PID de la manière suivante :

Kp = Kpo1.7

Kd = Kpo8

Ki = Kpo2

Cette méthode a l'avantage d'être très simple que ça soit pour la mise enplace de l'expérience ou pour les calculs. Par contre elle peut parfois se révélerdangereuse car le système peut entrer dans un état totalement instable.

1.4 Implémentation du PID

Dans cette dernière partie sur l'asservissement par PID, nous allons voircomment implémenter un PID dans un microcontrôleur.

1.4.1 Calcul du terme proportionnel

Ce terme consiste juste en une multiplication de Kp par l'erreur. Il nepose pas de problème majeur.

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1.4.2 Calcul du terme intégral

Le plus simple pour calculer ce terme est d'utiliser la méthode des rect-angles :

Figure 5 � Méthode des rectangles

Cette méthode consiste à approximer l'intégrale en sommant des aires derectangles. Plus on choisit un pas d'échantillonage petit, plus l'approximationsera bonne. L'aire d'un rectangle est : ∆t × err. Si on intègre la constante∆t dans le coe�cient Ki, nous avons : I(t+ 1) = I(t) + err et à la �n nousmultiplions le résultat par Ki.

1.4.3 Calcul du terme dérivé

Le principe pour calculer le terme dérivé est de calculerD(t) = err(t+1)−err(t)∆t

.De même que pour le calcul du terme intégral, on peut intégrer le ∆t dansKd et multiplier au dernier moment le résultat par Kd.

1.4.4 Code

L'implémentation peut se faire de la manière suivante ( ∆t est intégrédans Ki et Kd) :

� On récupère la valeur du codeur dans Y� On met à jour la consigne� On stocke l'ancienne erreur utile pour le calcul de la dérivée� On calcule la nouvelle erreur

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� On calcule l'intégrale� On calcule la nouvelle commande à envoyer au moteur� On envoie la commande au moteur� On réitère un certain nombre de fois à une fréquence dé�nit par untimer

1 I = 0;

2 Init_timers (1);

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4 for ( i=1 ; i <= Nb_cycles ; i++ )

5 {

6 Y = Codeur ();

7 Ud = Consigne ();

8 e_old=e;

9 e = Ud - Y;

10 I = I + e;

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12 U = Kp * e

13 + Ki * I

14 + Kd * ( e - e_old ) ;

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16 Moteur (U);

17 while ( ! end_timer () );

18 }

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2 PWM

2.1 Dé�nition de PWM

Principe du PWM

Le PWM (Pulse Width Modulation) se traduit par : Modulation delargeurs d'impultions(MLI).

Il consiste à alterner rapidement entre deux états distincts du systèmea�n d'obtenir en moyenne un signal analogique.

Figure 6 � Principe du PWM

Comme représenté, le signal PWM peut être obtenu en comparant unsignal avec un autre signal triangulaire. En e�et, si le signal comparé est audessus du signal triangulaire, la sortie est à l'état bas. Dans le cas contraire,la sortie est mise à l'état haut.

Le signal continu généré à partir des deux valeurs distinctes prend lavaleur moyenne sur les intervalles de temps.

On précise que dans la �gure :� Th représente la période de temps pendant laquelle le système est àl'état haut.

� Tl représente la période de temps pendant laquelle le système est àl'état bas.

Le PWM se caractérise par :� la période PWM : Tpwm = Th+ T l� le rapport cyclique d'impulsion (Duty cycle) α = Th

Tpwm

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La fréquence PWM est toujours constante par contre le rapport cycliquepeut varier. De plus, le signal PWM est un signal carré qui varie entre deuxvaleurs extrèmes mais les systèmes sur lesquels on applique du PWM sonten général des �ltres passe bas (moteurs, oeil humain, . . .), ils ne ressententque la valeur moyenne du PWM.

2.1.1 Modes du PWM

Il existe deux modes du PWM :� edge-aligned : Le signal est asymétrique par rapport au début de lapériode. Ce signal s'obtient en comparant un signal constant avec unsignal triangulaire possèdant une seule pente. Nous trouvons le modeleft edge-aligned (à chaque début de période, on est à l'état haut) et lemode right edge-aligned (à chaque �n de période, on est à l'état haut)

� center-aligned : Le signal est une fois à l'état haut, et à la période suiv-ante à l'état bas. Ce signal est donc symétrique par rapport au débutd'une période. Ce signal s'obtient en comparant un signal constant avecun signal triangulaire à deux pentes.

Figure 7 � Edge aligned

Figure 8 � Center aligned

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2.2 Applications du PWM

2.2.1 Pilotage de leds

L'électronique pour piloter des leds doit �xer le courant qui les traverse.On rappelle qu'un pilotage de leds en tension n'est pas e�cace à cause de laligne exponentielle du courant qui traverse une led par rapport à la tensionà ses bornes. Le pilotage avec du PWM est surtout utilisé pour les leds depuissance. À l'aide du PWM on peut bien contrôler la puissance lumineusedes leds. En e�et, le PWM peut être mis en place pour :

� �xer le �ux lumineux d'une led. Dans ce cas le rapport cyclique estgardé constant.

� l'e�et de "Dimming" : faire varier la puissance lumineuse au cours dutemps. Ici, on remarque que le rapport cyclique varie.

2.2.2 Pilotage d'un moteur

Un moteur peut être représenté par le schéma équivalent suivant :

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Pour commander un moteur en continu, il y a un certain intervalle defréquences PWM permises. D'une part, une très petite fréquence PWM en-gendre la sensibilité du moteur à la variation de tension. Pour se mettre audessus de cette fréquence minimale, il faut suivre les étapes suivantes :

� Tout d'abord on �xe le pourcentage de stabilité P (donne le degrès devariation du signal de sortie) qu'on souhaite avoir.

� Aprés, on se réfère à la datasheet du moteur pour obtenir la résistanceR et l'inductance L de son schéma équivalent.Remarque : généralement le moteur est intégré dans un montage ponten H (voir ci-dessous). Il ne faut pas oublier d'additionner les résistancesdu MOSFET !

� En�n, il su�t d'appliquer la formule suivante :

Figure 9 � Fréquence minimale

D'autre part, si l'on utilise un pont en H (voir ci dessous), il ne faut pasdépasser une certaine fréquence pour limiter les pertes lors de la commutationdes transistors du pont en H.

Mais si on choisit une fréquence de PWM qui appartient au spectre audi-ble, nous allons entendre des si�ements au niveau du moteur. Une solutionà ce problème est l'utilisation du PWM Spread Spectrum. L'idée principaleest de garder un rapport cyclique constant mais de faire varier la fréquencedu PWM. Les fréquences sont ainsi réparties sur un plus large spectre. Toutel'énergie n'est plus dans une seule fréquence mais elle est répartie. Le bruitsera donc atténué.

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3 Ponts en H

3.1 Utilité

En robotique il est souvent utile de pouvoir faire tourner un moteur dansles deux sens. Pour cela on doit pouvoir appliquer aux bornes de ce moteurun important courant et son opposé, ce qui n'est pas possible si celui-ci estdirectement branché sur le micro-controlleur. Pour cela on utilise un jeu d'in-terrupteurs pouvant être controllés par des courants moins importants. Cequi se traduit dans notre cas par l'usage de transistors.

3.2 Principe

Pour cela on utilise le système du pont en H qui tire son nom de la formede son schéma électrique.

Figure 10 � Pont en H

Ce système permet bien d'appliquer un courant électrique important dansles deux sens, comme on le voit dans le tableau suivant :

A B C D1 0 0 1 le moteur tourne vers la doite0 1 1 0 le moteur tourne vers la gauche1 1 0 0 le moteur freine0 0 1 1 le moteur freineTout autre branchement provoque un court-circuit

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Voici une illustration de ce fonctionnement :

Figure 11 � Fonctionnement vers la droite du moteur

3.3 Protections

Pour protéger le moteur on ajoute des diodes. En e�et en cas d'arrêtbrutal de l'alimentation, la tension aux bornes du moteur est de V = Ldi

dt

d'après la loi de Lenz. La diode de roue libre va donc permettre de dissiperl'intensité emmagasinée au moment de l'arrêt brutal.

Figure 12 � Pont en H avec diodes de roue libre

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4 Utilisation du Pont en H par des PWM

Comme nous l'avons vu précedemment, les moteurs se comportent na-turellement comme des �ltres passes-bas et sont donc facilement controlablegrâce au PWM. En e�et, il permet un contrôle proportionel et rapide dusystème. Nous verrons dans cette partie comment utiliser ensemble les Pontsen H autour d'un moteur à courant continu avec des PWM, les problèmesque cela peut poser et leur solutions.

On notera bien évidemment que les interrupteurs sont ici des transistorsa�n de pouvoir être connectés directement en sortie du microcontrôleur.

4.1 Locked Antiphase

Nous commencerons par le cas le plus simple : Chaque demi-pont (A-D et B-C) est connecté sur le PWM et A-D est à 1 lorsque le PWM està 1 et B-C à 1 lorsqu'il est à 0. Le moteur possède donc deux modes defonctionnement : avancer et reculer sur lesquels joue le micro controlleur.Ainsi pour un rapport cyclique de 100%, le moteur avance à pleine vitesse,et inversement pour un rapport à 0% le moteur recule à pleine vitesse. Ainsipour maintenir le moteur à l'arrêt il faudra un rapport de cyclique de 50%.

Le défaut de ce système vient des limitations physiques des transistorsdont le temps de fermeture est di�érent de celui d'ouverture. On risque dèslors d'avoir A-B ou C-D de fermés simultanément, ce qui provoquerait uncourt-circuit.

4.2 Introduction d'un temp mort

Pour régler ce problème de manière simple, on asservi chaque demi-pontà un PWM mais de manière inversée (PWM1 à 1 implique A-D laisse passerle courant et PWM2 à 0 permet à B-C d'être actif). Ces deux PWM sonten mode center-aligned ce qui nous permet d'avoir des fronts distincts pourles deux signaux. Ainsi on peut facilement s'assurer de la bonne fermeturedes transistors en s'assurant que PWM2 est à zéro quand PWM1 y est etque la transition à 1 de PWM1 implique une transition anticipée de PWM2à 1. Ainsi, on assure aux transistors le temps de se refermer et d'éviter lecourt-circuit.

Le défaut de cette période est qu'elle nécéssite 2 signaux PWM.

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4.3 Sign Magnitude

Une autre méthode ne nécessitant qu'un seul signal PWM peut être miseen place : la Sign magnitude.

Celle-ci consiste à s'assurer qu'un seul demi-pont est actif à la fois, c'està dire que le moteur ne peut qu'avancer dans un sens et freiner. Il faut dèslors activer l'autre demi-pont pour pouvoir inverser le sens du moteur. Cetteméthode présente donc l'avantage de n'utiliser qu'un seul PWM, mais elleimplique un usage et donc une usure asymétrique du système. Finalement,même si elle est simple à mettre en oeuvre elle présente un soucis de �abilitéà long terme.

Figure 13 � Les deux phases

4.4 Phase correct

Une troisième méthode est possible permettant de laisser les intervallesde temps nécéssaires à la fermeture des transistors tout en s'assurant unusage symétrique du système. Pour cela on utilise le mode "Phase Correct"du PWM qui permet de décomposer chaque cycle en quatres étapes.

� (1) le demi-pont A-D est actif le moteur tourne vers la droite� (2) on court-circuite le moteur� (3) le demi-pont B-C est actif le moteur tourne vers la gauche� (4) on court-circuite le moiteur

Figure 14 � Les quatres phases du phase correct

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Cette dernière méthode est �able, mais le temps d'utilisation du moteurde manière active est largement diminué par rapport aux autres méthodes.Elle est donc bien moins réactive.

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5 Bibliographie

� http ://ancrobot.free.fr/

� http ://fr.wikipedia.org/wiki/Régugulateur_PID

� http ://sciences-indus-cpge.papanicola.info/IMG/pdf/SA6-Precision_des_S-A.pdf

� http ://en.wikipedia.org/wiki/H_bridge

� http ://www.rfc1149.net/rose2010

� http ://homepages.which.net/ paul.hills/SpeedControl

� http ://www2.renesas.eu

� http ://www.telecom-robotics.org

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Table des �gures

1 Asservissement avec régulateur PID . . . . . . . . . . . . . . . 32 In�uence de Kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 In�uence de Ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 In�uence de Kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Principe du PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Edge aligned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Center aligned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Fréquence minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310 Pont en H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Fonctionnement vers la droite du moteur . . . . . . . . . . . . 1512 Pont en H avec diodes de roue libre . . . . . . . . . . . . . . . 1513 Les deux phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Les quatres phases du phase correct . . . . . . . . . . . . . . . 17

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