Romain CORCOLLE Détermination de lois de comportement...

N° D’ORDRE : 9619

THÈSE DE DOCTORAT

SPECIALITE : PHYSIQUE

Ecole Doctorale « Sciences et Technologies de l’Information des Télécommunications et des Systèmes »

Présentée par :

Romain CORCOLLE

Sujet :

Détermination de lois de comportement couplé par des techniques

d’homogénéisation :

Application aux matériaux du Génie Electrique

Soutenue le 10 novembre 2009 devant les membres du jury :

M. Christian BROSSEAU Président

M. Patrick DULAR Rapporteur

M. Daniel GUYOMAR Rapporteur

M. Pierre GILORMINI Examinateur

M. Laurent KRÄHENBÜHL Examinateur

M. Frédéric BOUILLAULT Directeur de thèse

M. Laurent DANIEL Encadrant

Résumé

Le but de cette étude est de développer des outils d’homogénéisation pour descomportements multi-physiques. On cherche pour cela à adapter les outils d’ho-mogénéisation développés dans le cadre des comportements découplés. La priseen compte de la non-linéarité du comportement est également abordée. Les ap-plications présentées traitent des matériaux actifs du Génie Electrique et leursassociations en matériaux composites.

Un formalisme de décomposition des champs suivant leur origine physique aété développé. Ce formalisme permet la réécriture des lois de comportement cou-plé, et mène à un système de lois de comportement en apparence découplé ainsique des équations supplémentaires de couplage. Cette réécriture permet d’utiliserles outils d’homogénéisation développés historiquement dans le cadre des com-portements découplés. Le modèle d’homogénéisation développé dans cette étudeest celui basé sur une représentation d’un matériau hétérogène en problèmes d’in-clusion, modèle permettant de retrouver des bornes et estimations classiques enhomogénéisation des comportements linéaires découplés. La prise en compte descomportements non-linéaires dans ce modèle d’homogénéisation repose sur uneprocédure de linéarisation des comportements. Plusieurs schémas de linéarisationsont envisagés.

Les résultats du modèle d’homogénéisation sont comparés à des résultats pro-venant d’une modélisation par Eléments Finis. La comparaison des résultats surles applications proposées montre un bon accord entre ces deux méthodes demodélisation. L’application particulière de l’assemblage de matériaux piézoélec-triques et piézomagnétiques, où un couplage magnéto-électrique extrinsèque appa-rait macroscopiquement, montre que le modèle développé est capable de prendreen compte les couplages extrinsèques que créent ce genre de composites.

It seems to me that the test of"Do we or do we not understand a particular point in physics ?"is, "Can we make a mechanical model of it ?"

Lord Kelvin

Remerciements

Voici venu le temps de mettre un point final à ces travaux en remerciant lespersonnes ayant contribué, de près ou de loin, à la trajectoire suivie durant cestrois années de thèse.

Mes remerciements s’adressent tout d’abord à M. Christian Brosseau qui m’afait l’honneur de présider mon jury de thèse ainsi qu’à messieurs Patrick Dularet Daniel Guyomar, qui ont accepté la tâche de rédaction du rapport de mon mé-moire. Je remercie également messieurs Pierre Gilormini et Laurent Krähenbühlpour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail.

Je remercie Frédéric Bouillault pour avoir été mon directeur de thèse. Il aégalement été mon encadrant de stage de M2R, et j’ai énormément apprécié sesconseils et je le remercie d’avoir partagé son expérience. Ce fut un réel plaisir detravailler avec lui. Cette thèse m’a permis de travailler étroitement avec LaurentDaniel. Il m’a beaucoup appris et m’a également encouragé dans mon travail.Je le remercie pour sa sincérité et son enthousiasme permanents. Je tiens à luitémoigner ma profonde reconnaissance et mon amitié sincère.

Mon travail s’intègre dans l’équipe "ICHAMS", dirigée par M. Lionel Pichon,du département "MOCOSEM" mené par M. Adel Razek. Je les remercie pourleurs conseils et soutiens pendant ces trois années.

Je remercie M. Yves Bernard, qui fut également encadrant durant mon stageM2R, pour les nombreuses discussions (scientifiques et non-scientifiques) que l’onta pu avoir durant ces trois années et pour ses encouragements. Je tiens à lui témoi-gner mon amitié. Je tiens aussi à remercier messieurs Xavier Mininger et LaurentSantandréa pour leur aide et leurs conseils sur mon travail.

Je tiens également à remercier les doctorants du laboratoire : Jérémie, Wil-fried, Nicolas, Yahya, Lotfi, ... (que ceux qui ne s’y retrouvent pas m’excusentmais je ne peux citer tout le monde) pour les nombreuses discussions que l’on apu avoir au point K au cours des pauses café. Je retiendrai les duels de "Pierda,tireja y de la papel" pour la vaisselle, malgré mes (trop ?) nombreuses défaites.

Finalement j’adresse un grand merci à toute ma famille qui a toujours étéprésente lorsque j’en ai eu besoin, en particulier à mes parents et mon frère.

3

Table des matières

Introduction 1

1 Introduction aux phénomènes de couplage multi-physique 51.1 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Electromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Comportements découplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Comportements couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Couplage magnéto-électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Matériaux actifs du Génie Electrique . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Matériaux magnétostrictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Matériaux électrostrictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Matériaux magnéto-électriques . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Méthodes d’homogénéisation pour les comportements découplés 192.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Démarche de l’homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Séparation des échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Schéma générique et opérateurs de localisation . . . . . . . 242.2.3 Lemme de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Remarque pour les composites biphasés . . . . . . . . . . . 28

2.3 Bornes et estimations pour les propriétés effectives . . . . . . . . . 292.3.1 Bornes de Voigt et Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Bornes de Hashin et Shtrikman . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Estimation auto-cohérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.4 Problèmes d’inclusion et tenseur d’Eshelby . . . . . . . . . 32

2.4 Application au magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Lemme de Hill appliqué au magnétisme (théorème de Tel-

legen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.3 Bornes et estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.4 Problèmes d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

i

2.5 Fluctuations intraphases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.2 Exploitation des propriétés analytiques du tenseur effectif . 41

2.6 Moments d’ordre 2 dans les composites biphasés . . . . . . . . . . 442.6.1 Cas des multi-couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.2 Structures de Hashin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.3 Bornes sur les moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7 Comportements non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7.1 Limitation de l’approche en champs moyens . . . . . . . . 522.7.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Outils d’homogénéisation pour les comportements couplés 593.1 Décomposition des champs suivant leur origine physique . . . . . 613.2 Comportements linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Champs macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.3 Tenseur effectif de comportement . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Extension aux comportements non-linéaires . . . . . . . . . . . . 67

4 Résultats 694.1 Calculs Eléments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Microstructures étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.2 Inconnues de modèle Eléments Finis et conditions aux limites 734.1.3 Identification du comportement effectif . . . . . . . . . . . 744.1.4 Informations supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Comportement magnétique (découplé) . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.1 Perméabilité effective (comportements linéaires) . . . . . . 754.2.2 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.3 Comportement non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Comportements couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.1 Effet magnéto-électrique dans les composites piézoélec-

triques/piézomagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.2 Composite magnétostrictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Conclusion 97

Bibliographie 101

Annexes 111

A Opérateurs mathématiques 113A.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2 Convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.3 Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

ii

A.3.1 L’opérateur produit tensoriel "⊗" . . . . . . . . . . . . . . 116A.3.2 L’opérateur produit tensoriel contracté "·" . . . . . . . . . 116A.3.3 L’opérateur produit tensoriel doublement contracté ":" . . 116A.3.4 L’opérateur produit tensoriel contracté quatre fois "::" . . 117A.3.5 Tenseurs Identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.3.6 L’opérateur de transposition "t" . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.4 Dérivation des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.5 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.6 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.7 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.8 Notation matricielle pour les tenseurs symétriques . . . . . . . . . 119

A.8.1 Tenseur d’ordre 2 symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.8.2 Tenseur d’ordre 4 à symétries mineures . . . . . . . . . . . 120A.8.3 Tenseurs des contraintes, des déformations et des rigidités 120

B Tenseurs d’Eshelby et démagnétisant 121B.1 Géométrie de l’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.2 Détermination du tenseur d’Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.2.1 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124B.2.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope . . . . . . . . . . 124B.2.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu isotrope

transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125B.3 Détermination du tenseur démagnétisant . . . . . . . . . . . . . . 126

B.3.1 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126B.3.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope . . . . . . . . . . 127B.3.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu isotrope

transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

C Algorithmes du modèle d’homogénéisation 129C.1 Algorithme A pour les comportements linéaires découplés . . . . . 131

C.1.1 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131C.1.2 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131C.1.3 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.2 Algorithme B pour les comportements linéaires découplés . . . . . 131C.2.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132C.2.2 Calcul itératif et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 132C.2.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132C.2.4 Procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C.3 Algorithme C pour les comportements couplés linéaires . . . . . . 134C.3.1 Lois de comportement et décomposition . . . . . . . . . . 134C.3.2 Relations de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135C.3.3 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135C.3.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.4 Algorithmes D pour les comportements couplés non-linéaires . . . 137C.4.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

iii

C.4.2 Résolution sur le milieu linéaire de comparaison . . . . . . 138C.4.3 Calcul itératif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.4.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

iv

Table des figures

1.1 Courbes d’aimantation et de magnétostriction du Terfenol-D d’après[Galopin, 2007]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Courbes de polarisation et d’électrostriction d’un PZT d’après [Se-bald, 2004]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Effet magnéto-électrique dans les matériaux composites constituésde phases piézoélectriques et magnétostrictives. . . . . . . . . . . 16

1.4 Principe du capteur de déplacement basé sur l’effet magnéto-électrique [Ueno and Higuchi, 2005]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Principe de l’homogénéisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Différentes échelles à considérer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Différentes étapes de l’homogénéisation. . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Microstructure des sphères de Hashin (sont représentés sur cette

figure des disques de Hashin pour des raisons de simplicité). Lessphères composites remplissent la totalité de l’espace jusqu’à l’in-finiment petit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Principe du modèle d’homogénéisation basé sur les problèmes d’in-clusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Deux types de structures multi-couches avec un champ magnétiqueeffectif appliqué suivant la direction x. . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 Microstructure des cylindres de Hashin. Les cylindres compositesremplissent la totalité de l’espace jusqu’à l’infiniment petit. . . . . 46

2.8 Cylindre de Hashin plongé dans un milieu non adapté. Le champmagnétique n’est pas uniforme autour du cylindre de Hashin. . . . 46

2.9 Cylindre de Hashin plongé dans un milieu adapté. Le champ ma-gnétique est uniforme autour du cylindre de Hashin. . . . . . . . . 47

2.10 Bornes sur la perméabilité effective µ avec et sans l’informationadditionnelle à propos de la valeur de la perméabilité effective dansune configuration donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.11 Microstructure des ellipsoides de Hashin. L’espace est entièrementrempli jusqu’à l’infiniment petit avec des assemblages d’ellipsoïdes. 49

2.12 Microstructure des cylindres de Hashin doublement renforcés. L’es-pace est entièrement rempli jusqu’à l’infiniment petit avec des as-semblages de ces cylindres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

v

2.13 Bornes sur la perméabilité effective ainsi que sa dérivée. Ces bornessont optimales puisque certaines microstructures particulières (re-présentées sur cette figure) réalisent ces bornes. . . . . . . . . . . 50

2.14 Bornes sur la perméabilité effective ainsi que sa dérivée. Ces bornessont optimales puisque certaines microstructures particulières (re-présentées sur cette figure) réalisent ces bornes. Les perméabilitéset fractions volumiques des phases sont les mêmes que pour lafigure 2.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.15 Influence de la distribution des champs lorsque la relation de com-portement est non-linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.16 Milieu hétérogène linéaire de comparaison. Les dégradés dans leVER non-linéaire indiquent que les propriétés dépendent du champlocal et donc ne sont pas constantes par phase. En revanche, dansle VER linéaire de comparaison, les propriétés dans chaque phasene dépendent pas du champ local, ces propriétés sont constantesdans chaque phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.17 Différentes approches de linéarisation de la loi de comportement. . 54

3.1 Décomposition des champs suivant leur origine physique. . . . . . 62

4.1 Microstructure de type matrice/inclusions (type I). . . . . . . . . 714.2 Microstructure de type mosaique (type II). . . . . . . . . . . . . . 714.3 Microstructure périodique pour les matériaux biphasés (type III).

Seule la cellule élémentaire est étudiée par Eléments Finis avec desconditions de périodicité aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Microstructure périodique pour les matériaux triphasés (type III).Seule la cellule élémentaire est étudiée par Eléments Finis avec desconditions de périodicité aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Perméabilité effective pour un composite biphasé en fonction dela fraction volumique de la phase 1. Les courbes représentent lesbornes et estimations d’homogénéisation tandis que les points etbarres d’erreur représentent les résultats Eléments Finis pour dif-férents types de microstructures [Corcolle and Daniel, 2008]. . . . 76

4.6 Microstructure de type I avec 10% d’inclusions. . . . . . . . . . . 774.7 Microstructure de type I avec 40% d’inclusions. . . . . . . . . . . 774.8 Perméabilité effective pour un composite triphasé en fonction de

la fraction volumique de la phase 1 (les phases 2 et 3 ont des frac-tions volumiques identiques). Les courbes représentent les borneset estimations d’homogénéisation tandis que les points et barresd’erreur représentent les résultats Eléments Finis pour différentstypes de microstructures. [Corcolle and Daniel, 2008] . . . . . . . 78

4.9 Variance du champ magnétique dans la phase 1 en fonction de laperméabilité effective [Corcolle et al., 2009a]. . . . . . . . . . . . . 80

4.10 Variance du champ magnétique dans la phase 2 en fonction de laperméabilité effective [Corcolle et al., 2009a]. . . . . . . . . . . . . 81

vi

4.11 Réponse macroscopique dans composite biphasé dont les phasesont un comportement magnétique non-linéaire. . . . . . . . . . . . 83

4.12 Microstructure périodique étudiée en Eléments Finis pour lecomposite piézoélectrique/piézomagnétique. La matrice (couleurbleue) est la phase piézomagnétique. Le cylindre (couleur rouge)est la phase piézoélectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.13 Propriétés mécaniques du tenseur effectif du composite piézoélec-trique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique desfibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.14 Propriétés magnétiques du tenseur effectif du composite piézoélec-trique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique desfibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.15 Propriétés électriques du tenseur effectif du composite piézoélec-trique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique desfibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.16 Propriétés piézoélectriques du tenseur effectif du composite piézo-électrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumiquedes fibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.17 Propriétés piézomagnétiques du tenseur effectif du composite pié-zoélectrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumiquedes fibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.18 Propriétés magnéto-électriques du tenseur effectif du compositepiézoélectrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volu-mique des fibres piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.19 Microstructure périodique étudiée en Eléments Finis pour le com-posite piézoélectrique/piézomagnétique avec une matrice à com-portement non couplé. La matrice (couleur bleue) est la phaseepoxy. Le cylindre de couleur rouge est la phase piézoélectrique.Les quarts de cylindre de couleur verte sont la phase piézomagné-tique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.20 Propriétés magnéto-électriques du tenseur effectif du compositetriphasé piézoélectrique/piézomagnétique dans une matrice méca-nique en fonction de la fraction volumique des fibres piézoélectriques. 92

4.21 Magnétostriction macroscopique d’un composite biphasé consti-tué de particules de Terfenol-D dans une matrice à comportementnon couplé. Résultats d’homogénéisation comparés à des résultatsexpérimentaux [Anjanappa and Wu, 1997] pour 4 fractions volu-miques différentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C.1 Algorithme du modèle d’homogénéisation des comportements non-linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

C.2 Algorithme du modèle d’homogénéisation des comportements mul-tiphysiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

vii

Liste des tableaux

1.1 Caractéristiques de quelques matériaux magnétostrictifs : déforma-tion de magnétostriction à saturation et induction magnétique àsaturation d’après [du Trémolet de Lacheisserie, 1999; Kellog et al.,2003; Kedous-Lebouc, 2006]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Bornes sur la perméabilité effective µ obtenues à partir des caracté-ristiques analytiques de la fonction, en fonction de la connaissancede certaines informations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Bornes plus restrictives sur la perméabilité effective µ incorporantune valeur de la perméabilité effective pour une configuration donnée. 43

4.1 Propriétés des phases piézoélectriques et piézomagnétiques [Leeet al., 2005]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Matrice de propriétés effectives L (résultat d’homogénéisation)dans le cas où les fibres piézoélectriques et la matrice piézoma-gnétique occupent le même volume (ff = 50%). . . . . . . . . . . 87

4.3 Propriétés de la matrice epoxy [Lee et al., 2005]. . . . . . . . . . . 91

C.1 Liste des inconnues dans le problème d’homogénéisation. . . . . . 136C.2 Liste des équations dans le problème d’homogénéisation. . . . . . 136

ix

Introduction

Le vingtième siècle a vu s’accroître l’utilisation des dispositifs électromagné-tiques, notamment les dispositifs de conversion d’énergie et d’instrumentation.Les applications généralement visées vont des machines électriques aux capteurset actionneurs.

Avec une demande croissante pour des dispositifs aux performances de plus enplus élevées, avec de meilleurs rendements et donc moins de pertes, le choix desmatériaux constituant ces dispositifs est primordial. Des outils de modélisationperformants sont donc nécessaires pour pouvoir améliorer la conception de cesmatériaux.

Les méthodes de calcul numérique ont fait durant ces dernières dizaines d’an-nées des progrès considérables, qui ont rendu possible la modélisation des dispo-sitifs de géométrie complexe. Les lois de comportement qui alimentent ces outilsde calcul numérique ont en revanche peu évolué.

Le comportement des matériaux du Génie Electrique, notamment les maté-riaux actifs, présente souvent des effets de couplage multi-physique. Ces effets decouplage peuvent être néfastes comme le bruit généré dans les transformateurs(couplage magnéto-mécanique) mais peuvent aussi être mis à profit afin de créerde nouvelles gammes de capteurs et d’actionneurs. Les principaux matériaux ac-tifs utilisés dans le domaine du Génie Electrique pour réaliser ces capteurs etactionneurs sont les matériaux magnétostrictifs (couplage magnéto-mécanique)et les matériaux piézoélectriques (couplage électro-mécanique).

Il s’agit donc d’un problème multi-physique où il faut s’intéresser aussi bienà la mécanique, à l’électromagnétisme et à la thermique.

De plus, on a recours de plus en plus fréquemment à l’utilisation de matériauxcomposites pour allier les différents avantages de chaque matériau.

Par exemple, des actionneurs magnétostrictifs pourraient être réalisés à basede matériaux magnétostrictifs uniquement mais la grande fragilité de ces maté-riaux est un réel problème. L’utilisation de particules magnétostrictives dans unematrice à comportement découplé permet alors de conserver l’effet de couplagemagnéto-mécanique sans que le composite réalisé ne soit trop fragile.

Un autre exemple d’utilisation des matériaux composites est l’assemblage desmatériaux magnétostrictifs et piézoélectriques permettant de réaliser un capteurmagnéto-électrique.

On le voit, l’utilisation des matériaux composites permet de réaliser des maté-

1

2

riaux plus performants tirant parti des avantages de chacun de ses constituants.En plus d’être un problème multi-physique, l’outil de modélisation doit éga-

lement prendre en compte les hétérogénéités.

Les différentes possibilités pour obtenir des lois de comportement pertinentespour les matériaux hétérogènes à comportement multi-physique sont séparées endeux catégories.

Une première approche, phénoménologique, est d’identifier macroscopique-ment la loi de comportement de ces matériaux composites par des essais expéri-mentaux. Cette approche possède le désavantage qu’une optimisation des para-mètres des matériaux semble difficile, voire impossible, puisqu’il faut concevoirchaque matériau composite considéré et ré-identifier expérimentalement sa loi decomportement macroscopique.

Une seconde approche, plus déductive, est l’obtention d’une loi de compor-tement macroscopique par des techniques de modélisation. Cette approche estbeaucoup plus adaptée au concept d’optimisation. Les techniques de modélisa-tion peuvent être basées sur l’utilisation d’un modèle faisant appel à la résolutionnumérique comme par exemple la méthode des Eléments Finis où la microstruc-ture doit être complètement décrite. Une autre possibilité est l’utilisation destechniques d’homogénéisation, qui n’utilisent que des informations statistiquesde la microstructure du composite. Dans ce travail, le choix des techniques d’ho-mogénéisation a été fait en espérant obtenir des approches simplifiées et pluséconomes en temps de calcul que la modélisation par Eléments Finis.

Le but de cette étude est de développer des outils d’homogénéisation pourdes comportements multi-physiques. On cherchera pour cela à adapter les outilsd’homogénéisation développés dans le cadre des comportements découplés. Laprise en compte de la non-linéarité du comportement sera également abordée.

Ce mémoire est composé de quatre chapitres.Le premier chapitre introduit les relations d’équilibre relatives aux phéno-

mènes physiques étudiés. La similarité des équations statiques de la mécanique,de l’électromagnétisme et de la thermique permettront d’utiliser des outils d’ho-mogénéisation semblables. Ensuite, les lois de comportement découplé et couplésont introduites.

Le second chapitre présente les outils d’homogénéisation développés dans lecadre de comportements découplés. Quelques bornes et estimations classiquesen homogénéisation des comportements linéaires sont introduites. Une interpré-tation basée sur des problèmes d’inclusion qui permet de construire différentesestimations est également présentée. L’adaptation de ces outils d’homogénéisa-tion aux comportements non-linéaires est abordée avec plusieurs procédures delinéarisation.

Le troisième chapitre concerne l’adaptation des outils d’homogénéisation pourles comportements couplés. Une réécriture des lois de comportement couplé est

3

proposée en décomposant les différents champs en plusieurs contributions (selonleur origine physique). L’adaptation des outils d’homogénéisation présentés dansle chapitre précédent devient alors possible.

Enfin, les applications traitées dans le cadre de cette thèse font l’objet du der-nier chapitre. Les résultats du modèle sont présentés et comparés à des solutionsprovenant d’un modèle Eléments Finis. On considère successivement un matériaumagnétique linéaire puis non-linéaire à microstructure aléatoire, une applicationà un composite magnéto-électrique biphasé puis triphasé et enfin un compositemagnétostrictif.

Chapitre 1

Introduction aux phénomènes de

couplage multi-physique

Sommaire1.1 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Electromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Comportements découplés . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Comportements couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Couplage magnéto-électrique . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Matériaux actifs du Génie Electrique . . . . . . . . . 12

1.3.1 Matériaux magnétostrictifs . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Matériaux électrostrictifs . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Matériaux magnéto-électriques . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5

Chapitre 1 : Introduction aux phénomènes de couplage multi-physique 6

7 1.1 Equations d’équilibre

Afin de pouvoir homogénéiser le comportement des matériaux hétérogènes, ilfaut prendre en compte le comportement local des différentes phases constitu-tives du matériau. Il faut donc prendre connaissance des relations d’équilibre àrespecter ainsi que des lois de comportements des phases.

Ce chapitre a pour but d’introduire les relations d’équilibre des phénomènesphysiques étudiés dans ce travail. Les lois de comportement homogènes de maté-riaux généralement utilisés dans le domaine du Génie Electrique sont égalementintroduites. Des phénomènes de couplage multi-physiques - magnéto-mécanique,électro-mécanique et magnéto-électrique - sont présentés.

1.1 Equations d’équilibre

Dans cette partie, les équations d’équilibre gouvernant l’évolution des gran-deurs physiques considérées sont introduites. Les modèles mathématiques décri-vant ces évolutions en mécanique, électromagnétisme et thermique sont présentés.

1.1.1 Mécanique des milieux continus

La mécanique des milieux continus [Salençon, 1988] s’attache à l’étude dessolides déformables mais aussi de l’écoulement de fluides. Durant ce travail dethèse, seule l’étude des solides déformables a été menée.

L’état mécanique d’un solide est décrit par le champ de déplacement u (vec-teur représentant le déplacement des points du solide par rapport à une positioninitiale). La notion de déformation sert à quantifier la manière dont les longueursont été dilatées et les angles changés dans le milieu. La déformation peut êtrecalculée à partir du champ de déplacement. Le tenseur des déformations S estégal à (voir annexe A pour la définition des différents opérateurs) :

S =1

2

(∇u + t∇u

)(1.1)

Ces déformations sont notamment dues à des sollicitations mécaniques, pouvantêtre quantifiées par le tenseur des contraintes T qui décrit les efforts mécaniquesprésents au sein du matériau.

Les tenseurs des déformations et des contraintes sont des tenseurs d’ordre 2symétriques. Leur symétrie permet de définir une notation sous forme de tenseurd’ordre 1.

L’évolution d’un système mécanique vérifie le principe fondamental de la dy-namique. L’équation d’équilibre est la suivante :

∇ · T + f = ρm∂2u

∂t2(1.2)

où f est le vecteur des forces volumiques et ρm la masse volumique. Cette équa-tion décrit l’évolution de tous les points d’un solide soumis à des sollicitationsextérieures l’amenant à se déformer.


Dans le cas de l’approximation quasi-statique, cette équation se réduit à :

∇ · T = −f (1.3)

1.1.2 Electromagnétisme

L’électromagnétisme est la branche de la physique étudiant les champs élec-triques et magnétiques [Stratton, 1941]. Les champs électriques et magnétiquessont couplés, une variation temporelle de champ électrique créé un champ ma-gnétique et réciproquement.

Le formalisme de l’électromagnétisme est né de l’unification de plusieurs théo-ries antérieures comme l’électrostatique ou la magnétostatique par exemple danslesquelles les phénomènes électriques et magnétiques étaient considérés commedistincts. L’unification est due à James Clerk Maxwell qui réduit l’évolution duchamp électromagnétique à un système d’équations aux dérivées partielles [Max-well, 1873]. Ces équations sont connues sous le nom d’équations de Maxwell :

∇ · D = ρel∇ · B = 0

∇× E = −∂B

∂t

∇× H = Jmag +∂D

∂t

(1.4)

où ρel représente la densité volumique de charges électriques libres. Les autresgrandeurs sont des champs de vecteurs (tenseurs d’ordre 1), E le champ électrique,H le champ magnétique, Jmag la densité de courant électrique, D l’inductionélectrique et B l’induction magnétique.

L’électrostatique est bien sûr comprise dans ces équations. En régime quasi-statique, les équations décrivant l’état électrique sont :

∇ · D = ρel∇× E = 0

(1.5)

L’état électrique ne dépend plus de l’état magnétique. En électrostatique, lechamp électrique E dérive d’un potentiel scalaire φ :

E = −∇φ (1.6)

De même, les équations de la magnétostatique peuvent être retrouvées. Enrégime quasi-statique, les équations décrivant l’état magnétique sont :

∇ · B = 0∇× H = Jmag

(1.7)

En magnétostatique, l’induction magnétique B dérive d’un potentiel vecteur ma-gnétique A. Si de plus la densité de courant électrique Jmag est nulle, le champmagnétique H dérive d’un potentiel scalaire φm :

H = −∇φm (1.8)

9 1.2 Lois de comportement

1.1.3 Thermique

Bien que l’objectif de cette thèse soit de considérer les comportementsélectrom-magnéto-mécaniques, l’aspect thermique sera aussi brièvement exposéen raison des analogies possibles avec les autres comportements.

L’état thermique d’un système est décrit par sa température T [Fourier, 1822].Le champ thermique K se détermine à partir de la température :

K = ∇T (1.9)

L’évolution de l’état thermique est décrite par l’équation de conduction suivante,appelée équation de la chaleur :

ρmc∂T

∂t= −∇ · J + P (1.10)

où ρm est la masse volumique du matériau, c la chaleur spécifique massique, Jreprésente la densité de flux de chaleur et P est l’énergie produite au sein dumatériau (souvent nulle).

Dans le cas statique, l’équation devient :

∇ · J = P (1.11)

1.2 Lois de comportement

Les équations d’équilibres présentées précédemment sont insuffisantes pourdéterminer l’état mécanique, électromagnétique ou thermique d’un système. Eneffet, des équations supplémentaires sont nécessaires et celles-ci sont fournies parles lois de comportement des milieux étudiés.

1.2.1 Comportements découplés

Généralement, les lois de comportement utilisées sont découplées, c’est-à-direque la loi de comportement mécanique, par exemple, ne fait intervenir que desgrandeurs mécaniques.

Mécanique

La loi de comportement en mécanique relie les tenseurs de déformations S etde contraintes T sous la forme :

T = C : S (1.12)

où C est le tenseur de rigidité (tenseur d’ordre 4). (voir annexe A pour l’opé-rateur ":") Dans le cadre de l’élasticité linéaire, le tenseur C est constant etcette loi de comportement est appelée loi de Hooke. L’hypothèse de l’élasticité li-néaire reste justifiée tant que les déformations restent faibles. Dans ce manuscrit,


la gamme des déformations considérées (ordre de grandeur 10−3 au maximum)n’atteindront jamais les limites élastiques des matériaux.

Dans un cas général, un tenseur d’ordre 4 possède 81 coefficients. Toutefois,les symétries dites mineures du tenseur de rigidité (Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cjilk)permettent de le définir à partir de 36 coefficients et où le tenseur de rigidité peutêtre représenté par un tenseur d’ordre 2 (associé aux contraintes et déformationssous forme de tenseurs d’ordre 1, voir annexe A). De plus, les symétries ditesmajeures (Cijkl = Cklij) rendent ce tenseur d’ordre 2 symétrique. Dans le casorthotrope, le tenseur de rigidité SC s’écrit sous la forme du tenseur C d’ordre 2suivant :

C =

c11 c12 c13 0 0 0c12 c22 c23 0 0 0c13 c23 c33 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c55 00 0 0 0 0 c66

(1.13)

où seul 9 paramètres servent à décrire le tenseur. Dans le cas isotrope, seuls 2coefficients suffisent à décrire le tenseur de rigidité : le module de compressibiliték et le module de cisaillement G. Le tenseur s’écrit alors :

C =

k + 43G k − 2

3G k − 2

3G 0 0 0

k − 23G k + 4

3G k − 2

3G 0 0 0

k − 23G k − 2

3G k + 4

3G 0 0 0

0 0 0 2G 0 00 0 0 0 2G 00 0 0 0 0 2G

(1.14)

Electromagnétisme

Les lois de comportement en électromagnétisme sont généralement de la formesuivante :

B = µ · HD = ε · EJmag = σ · E

(1.15)

où µ, ε and σ sont des tenseurs d’ordre 2 nommés respectivement perméabi-lité électrique, permittivité magnétique et conductivité électrique. Ces tenseursd’ordre 2 sont symétriques et s’expriment donc en fonction de 6 coefficients :

µ =

µ11 µ12 µ13

µ12 µ22 µ23

µ13 µ23 µ33

(1.16)

pour le tenseur des perméabilités (même forme pour la permittivité et la conduc-tivité). Dans le cas isotrope, ces tenseurs ne dépendent plus que d’un paramètre :

µ = µ · I (1.17)

11 1.2 Lois de comportement

Ces tenseurs peuvent rarement être considérés comme constants et particu-lièrement le tenseur de perméabilité magnétique µ. En effet, les matériaux ma-gnétiques étudiés dans ce travail ont des lois de comportement fortement non-linéaires, c’est-à-dire que la perméabilité dépend de l’état magnétique (H ou B).

Thermique

La loi de comportement en thermique est la loi de Fourier. Cette loi décritla conduction thermique et la décrit comme un transfert thermique d’une régionde température élevée vers une région de température plus basse [Fourier, 1822].Cette loi relie donc la densité de flux de chaleur J au champ thermique K :

J = −λ · K (1.18)

où λ est le tenseur d’ordre 2 de conductivité thermique. Comme pour le tenseurdes perméabilités, ce tenseur s’exprime en fonction de 6 coefficients indépendantsdans un cas général. Dans le cas isotrope, on n’a plus qu’un seul paramètre et letenseur s’écrit :

λ = λ · I (1.19)

1.2.2 Comportements couplés

Les matériaux présentent en général des comportements couplés. Par exemple,l’état mécanique a une influence sur l’état magnétique. Néanmoins, l’amplitudefaible de ces couplages fait qu’on peut souvent se permettre de négliger leurseffets devant les effets découplés. Toutefois certains matériaux (en particulierles matériaux actifs) ont des propriétés couplées de fortes amplitudes. Pour cesmatériaux, il est nécessaire de mettre en place des lois de comportement couplé.

Couplage magnéto-mécanique

Dans un matériau ferromagnétique, le couplage magnéto-mécanique se mani-feste principalement de deux façons :

– déformation de magnétostriction [Joule, 1847] : sous l’effet d’un champ ma-gnétique, le matériau se déforme.

– effet Villari [Villari, 1865] : sous l’effet d’une contrainte mécanique, le com-portement magnétique est modifié.

Les lois de comportement correspondantes sont en général obtenues à par-tir d’approches phénoménologiques [du Trémolet de Lacheisserie, 1993; Engdahl,2000; Jiles, 1995] ou multi-échelles [Armstrong, 2002; Daniel et al., 2008].

Couplage électro-mécanique

De même que pour le couplage magnéto-mécanique, les matériaux ferroélec-triques présentent la particularité d’avoir des propriétés de couplage électro-mécanique. Ce couplage se manifeste principalement de deux façons :


– déformation d’électrostriction [Curie and Curie, 1880] : sous l’effet d’unchamp électrique, le matériau se déforme.

– effet direct [Curie and Curie, 1881] : sous l’effet d’une contrainte mécanique,le comportement électrique est modifié.

Comme pour le couplage magnéto-mécanique, les lois de comportement sontgénéralement obtenues à partir d’approches phénoménologiques [Sundar andNewnham, 2000] ou multi-échelles [Huber et al., 1999; Haug et al., 2007].

1.2.3 Couplage magnéto-électrique

Les matériaux magnéto-électriques présentent un couplage entre magnétismeet électricité [Nan et al., 2008], ce couplage étant observable en statique, il n’estpas complètement expliqué par les termes dynamiques des équations de Maxwell.Ce couplage se manifeste de deux façons :

– sous l’effet d’un champ électrique, le comportement magnétique est modifié.– sous l’effet d’un champ magnétique, le comportement électrique est modifié.

L’amplitude de cet effet est très faible dans les matériaux homogènes. Pour ob-tenir un effet magnéto-électrique significatif, on réalise des matériaux compositesconstitués d’une phase électrostrictive et d’une phase magnétostrictive [Friebig,2005]. L’effet magnéto-électrique est ainsi obtenu par transmission des déforma-tions entre les deux phases. On parle alors d’effet extrinsèque, car la propriétémagnéto-électrique obtenue macroscopiquement n’est présente dans aucun desconstituants.

1.3 Matériaux actifs du Génie Electrique

Les matériaux actifs sont des matériaux présentant la capacité de réaliserlocalement une conversion d’énergie. En raison de leurs propriétés couplées, ilest possible par exemple de convertir une énergie magnétique en énergie méca-nique. Deux classes de matériaux actifs se détachent dans le domaine du GénieElectrique : les matériaux magnétostrictifs et les matériaux électrostrictifs. Cesmatériaux sont principalement utilisés en tant que capteurs et actionneurs.

1.3.1 Matériaux magnétostrictifs

Le couplage magnéto-mécanique est présent dans tous les matériaux ferro-magnétiques [Bozorth, 1951]. Dans les métaux purs tels que le Fer, le Nickel, leCobalt ainsi que leurs alliages, les phénomènes de magnétostriction peuvent êtreobservés. Toutefois, l’ordre de grandeur des effets de couplage reste très faible.

L’utilisation de métaux appartenant à la famille des Terres Rares a permis deréaliser des matériaux présentant des déformations de magnétostriction beaucoupplus importantes [Engdahl, 2000]. Cette gamme de matériaux est dite à magnéto-striction géante. Le Terfenol-D (composition : Tb1−xDyxFey avec 0.7 ≤ x ≤ 0.73et 1.9 ≤ y ≤ 2) est le matériau le plus utilisé pour son compromis (à températureambiante) entre larges déformations et champs magnétiques faibles.

13 1.3 Matériaux actifs du Génie Electrique

Le tableau 1.1 présente les caractéristiques à saturation (induction magnétiqueet déformation de magnétostriction) de quelques matériaux magnétostrictifs. Lafigure 1.1 présente les courbes (hystérétiques) d’aimantation et de magnétostric-tion du Terfenol-D.

MatériauDéformation demagnétostriction

à saturation (10−6)

Induction magnétiqueà saturation (T )

Fer 9 2.16Nickel 36 0.63Cobalt 62 1.72TbFe2 1750 1.1

Terfenol-D 1500 1Galfenol 350 1.61

Table 1.1 – Caractéristiques de quelques matériaux magnétostrictifs : défor-mation de magnétostriction à saturation et induction magnétique à saturationd’après [du Trémolet de Lacheisserie, 1999; Kellog et al., 2003; Kedous-Lebouc,2006].

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Induct

ion

magnét

iqueB

(T)

Champ magnétique H (kA/m)

(a) Courbe d’aimantation

-400

-200

0

200

400

600

800

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Magnét

ost

rict

ion

(10−6)

Champ magnétique H (kA/m)

Sµ

\\

Sµ

⊥

(b) Courbe de magnétostriction

Figure 1.1 – Courbes d’aimantation et de magnétostriction du Terfenol-Dd’après [Galopin, 2007].

Pour une faible gamme de champ magnétique (autour d’un point de pola-risation), les lois de comportement peuvent être linéarisées. On parle alors decomportement piézomagnétique et les lois de comportement peuvent s’écrire dela façon suivante (en choisissant S et H comme variables d’état) :

T = C : S − tq · HB = q : S + µ · H (1.20)

où q est le tenseur d’ordre 3 de couplage magnéto-mécanique.


Les applications basées sur les matériaux magnétostrictifs sont principalementdes capteurs et actionneurs. De nombreux capteurs de force, de pression ou deposition ont été étudiés en tirant profit de la conversion magnéto-mécanique desmatériaux magnétostrictifs [Hartemann, 1999; Pasquale, 2003]. Concernant lesactionneurs, des moteurs magnétostrictifs linéaires et rotatifs ont été développés[Kiesewetter, 1988; Vranish et al., 1991]. Une autre application des matériauxmagnétostrictifs concerne le contrôle actif de bruit et de vibrations [Zhang et al.,2004].

1.3.2 Matériaux électrostrictifs

Les matériaux électrostrictifs présentent un effet de couplage électro-mécanique[Sundar and Newnham, 2000]. Ce couplage est présent dans tous les matériauxferroélectriques. Les matériaux électrostrictifs peuvent être classés en deux prin-cipales familles : les polymères et les céramiques. Les céramiques sont les ma-tériaux électrostrictifs présentant les meilleures propriétés de couplage électro-mécanique. De nombreux composés existent, citons entre autres les Titanates deBarium (BaTiO3), les Titanates de Plomb (PbT iO3) ou encore les PZT (Zircono-Titanate de Plomb PbZr1−xT ixO3).

0 1 2 3-1-2-3

0

-0.5

-0.3

-0.4

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.2

-0.1

0.5

Induct

ion

élec

triq

ueD

(C/m

2)

Champ électrique E (kV/mm)

(a) Courbe de polarisation

0 1 2 3-1-2-3

0

-1

1

2

3

4

5

6

Ele

ctro

stri

ctio

n(10−6)

Champ électrique E (kV/mm)

Sǫ

(b) Courbe d’électrostriction

Figure 1.2 – Courbes de polarisation et d’électrostriction d’un PZT d’après[Sebald, 2004].

Le couplage électro-mécanique peut être linéarisé autour d’un point de pola-risation lorsque la gamme de champ électrique est restreinte. On parle alors decomportement piézoélectrique. Les lois de comportement de ces matériaux pié-zoélectriques peuvent s’écrire sous différentes formes (toutes équivalentes entreelles) suivant le choix des variables d’état [Std, 1987]. Ici, nous faisons le choix deprendre le tenseur des déformations S et le champ électrique E comme variablesd’état. Les relations de comportements sont alors de la forme suivante :

T = C : S − te · ED = e : S + ε · E (1.21)

15 1.3 Matériaux actifs du Génie Electrique

où le tenseur e est un tenseur d’ordre 3 caractéristique du couplage piézo-électrique. Nous montrerons ultérieurement comment ces lois de comportementpeuvent être réécrites en se basant sur une décomposition des champs.

Les applications utilisant les matériaux piézoélectriques sont nombreuses etvariées. Citons entre autres les microphones de téléphone, les moteurs piézoélec-triques, les allume-gaz, ...

1.3.3 Matériaux magnéto-électriques

Les matériaux magnéto-électriques présentent un couplage entre magnétismeet électricité [Nan et al., 2008].

Ce couplage est en général obtenu en réalisant un matériau composite consti-tué de phases piézoélectriques et magnétostrictives [Nan et al., 2008]. Le couplagemagnéto-électrique existe alors au travers de la mécanique.

Le concept des ces matériaux composites est assez simple à appréhender. Parexemple, l’effet magnéto-électrique, que l’on nommera direct, peut s’expliquer dela manière suivante :

– en appliquant un champ magnétique à ce matériau composite, la phasemagnétostrictive va se déformer,

– la déformation de la phase magnétostrictive se transmet à la phase piézo-électrique (effet de structure) qui est donc aussi déformée,

– la phase piézoélectrique étant déformée, une polarisation électrique apparaîtau sein de cette phase.

L’effet inverse (i.e. une modification de l’aimantation par application d’un champélectrique) est également possible et peut s’expliquer de manière analogue.

La figure 1.3 illustre cet effet magnéto-électrique.


Mécanique

MagnétismeElectricité

couplage

Matériau piézoélectrique

Mécanique


couplage

Matériau magnétostrictif

Mécanique


couplage

Composite piézoélectrique/magnétostrictif

Mélange de ces

2 matériaux

Figure 1.3 – Effet magnéto-électrique dans les matériaux composites constituésde phases piézoélectriques et magnétostrictives.

Les applications visées par ce type de matériaux composites peuvent être :– capteur [Duc and Giang, 2008] : capteur de champ magnétique (même sta-

tique). La tension relevée directement sur des électrodes est directementreliée à l’intensité du champ magnétique.

– actionneur : matériau à perméabilité contrôlée. Les matériaux magnétos-trictifs ayant leur propriétés magnétiques (perméabilité) qui dépendentde la contrainte, utiliser le matériau piézoélectrique pour appliquer descontraintes (via une tension) permet de modifier la perméabilité macro-scopique du composite.

Exemple d’application de l’effet magnéto-électrique

Un capteur de déplacement d’objet ferromagnétique a été réalisé à partir d’uncomposite à couplage magnéto-électrique [Ueno and Higuchi, 2005]. Le principede ce capteur est de mesurer l’intensité du champ magnétique au sein d’un circuitmagnétique associé à un aimant quand ce circuit est éloigné de l’objet ferromagné-tique. L’environnement sévère auquel ce capteur est destiné, notamment les tem-pératures très élevées (plus de 200C), font que les capteurs de champ magnétiqueconventionnels n’ont pu être utilisés. L’idée d’utiliser l’effet magnéto-électriquedans les matériaux composites a permis de s’affranchir de ces problèmes.

17 1.4 Conclusion

Objet

ferromagnétique

Phases

piézoélectriques

Phase

magnétostrictive

NS aimant

déplacement

de l’objet

ferromagnétique

V

NS aimant

Figure 1.4 – Principe du capteur de déplacement basé sur l’effet magnéto-électrique [Ueno and Higuchi, 2005].

La figure 1.4 montre le principe de fonctionnement d’un tel capteur. Lorsquel’objet ferromagnétique s’éloigne du dispositif, le champ magnétique dans le cir-cuit magnétique, et donc dans la phase magnétostrictive, est plus intense. Cechamp magnétique modifié entraîne une déformation de la phase magnétostric-tive, ce qui entraîne aussi une déformation des phases piézoélectriques. Une ten-sion peut alors être récupérée aux bornes d’électrodes collées sur les phases pié-zoélectriques.

1.4 Conclusion

Les relations d’équilibre et les lois de comportement présentées dans ce cha-pitre vont permettre de décrire les comportements multi-physiques.

La modélisation complète d’une application depuis l’échelle des hétérogénéitésdes différents matériaux jusqu’à celle de la structure n’étant généralement pasréalisable pour des raisons de temps et de complexité de calcul, il faut disposerd’outils effectuant des transitions d’échelles afin de modéliser des matériaux dontles hétérogénéités se trouvent à une échelle fine (devant celle de la structure)par des matériaux homogènes dans le calcul de structure. Le but de ce travailest d’obtenir des lois de comportement macroscopiques de matériaux hétérogènesafin d’effectuer cette transition d’échelles.

Cette démarche sera basée sur des techniques d’homogénéisation.La présentation d’outils d’homogénéisation pour les comportements découplés

fait l’objet du prochain chapitre.

Chapitre 2

Méthodes d’homogénéisation pour

les comportements découplés

Sommaire2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Démarche de l’homogénéisation . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Séparation des échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Schéma générique et opérateurs de localisation . . . . 24

2.2.3 Lemme de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Remarque pour les composites biphasés . . . . . . . . 28

2.3 Bornes et estimations pour les propriétés effectives . 29

2.3.1 Bornes de Voigt et Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Bornes de Hashin et Shtrikman . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Estimation auto-cohérente . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.4 Problèmes d’inclusion et tenseur d’Eshelby . . . . . . 32

2.4 Application au magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Lemme de Hill appliqué au magnétisme (théorème deTellegen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.3 Bornes et estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.4 Problèmes d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Fluctuations intraphases . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.2 Exploitation des propriétés analytiques du tenseur effectif 41

2.6 Moments d’ordre 2 dans les composites biphasés . . 44

2.6.1 Cas des multi-couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.2 Structures de Hashin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.3 Bornes sur les moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 47

2.7 Comportements non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . 52

2.7.1 Limitation de l’approche en champs moyens . . . . . . 52

2.7.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

19

Chapitre 2 : Méthodes d’homogénéisation pour les comportements découplés 20

21 2.1 Introduction

La mécanique quantique et la théorie quantique des champs fournissent lameilleure description de la matière à des échelles atomiques ou subatomiques.Toutefois, la capacité de calcul des ordinateurs actuels ne permet pas d’analyser lecomportement depuis l’échelle atomique jusqu’à l’échelle de l’application (échellemacroscopique). Cette lourde charge de calculs est évitée en utilisant les équationsmacroscopiques de la physique, qui peuvent être interprétées comme des équationshomogénéisées de la physique quantique.

La situation est semblable lorsque des matériaux composites sont étudiés. Apartir des relations d’équilibre et des relations de comportement locales, un com-posite peut être décrit par une relation de comportement macroscopique quandl’échelle d’observation est bien plus grande que l’échelle des hétérogénéités (oumicrostructure). L’homogénéisation permet de réaliser cette transition d’échelles.

Ce chapitre a pour but de présenter les outils de l’homogénéisation appliquésaux comportements découplés. Ces outils sont présentés pour ensuite pouvoir lesadapter aux comportements couplés dans le chapitre suivant.

2.1 Introduction

Pour déterminer les lois de comportement macroscopiques, deux approchessont possibles :

– une approche inductive, fondée sur l’expérience,– et une approche déductive, plus prédictive.

L’approche inductive, phénoménologique, intègre les résultats de tout un ensemblede mesures, en réponse à des sollicitations déterminées : la loi de comportementmacroscopique peut ensuite en être déduite. Cette démarche a ses limites, commele fait qu’une modification du matériau (composition, modes d’élaboration, ...)impose une complète ré-identification du comportement macroscopique. D’autrepart, cette démarche ne permet que difficilement de concevoir des matériaux plusperformants.

L’approche déductive, elle, ne présente pas ce type de limitations. Cette ap-proche possède une meilleure capacité prédictive, mieux adaptée au concept d’op-timisation.

Différentes approches déductives existent. Lorsque la microstructure du ma-tériau est entièrement connue, plusieurs approches sont possibles :

– détermination analytique,– modélisation par éléments finis,– modélisation par transformée de Fourier.L’approche basée sur la détermination analytique, bien que rigoureusement

exacte, est très complexe. Cette méthode, basée sur l’intégration de l’opérateurde Green [Green, 1854], détermine en un point donné la contribution de toutesles sources de l’espace. Les calculs à réaliser sont alors des intégrales complexes(sur tout le volume considéré) qui ne mènent à des expressions analytiques quedans de très rares cas (microstructures simples et particulières en général).


L’approche par éléments finis fournit une approximation (ou estimation) dela solution exacte [Bastos and Sadowski, 2003]. Cette approche est basée surune discrétisation de l’espace et mène à la résolution numérique d’un systèmealgébrique d’équations. En fonction de la finesse de la discrétisation de l’espace, lapuissance de calcul nécessaire peut être assez élevée. Néanmoins, une descriptionlocale des champs peut être obtenue en chaque élément du maillage, permettantd’estimer précisément le comportement effectif.

Une autre approche, basée sur l’utilisation de la transformée de Fourier [Su-quet and Moulinec, 1994] fournit aussi une estimation de la solution exacte. Laméthodologie ressemble à la méthode des éléments finis avec une discrétisation del’espace en un réseau régulier de nœuds. Le passage dans le domaine de Fourierpermet de simplifier le calcul d’intégrales basées sur l’opérateur de Green. Dans ledomaine spatial, les intégrales à calculer peuvent s’écrire sous forme de produitsde convolution ; le passage dans le domaine de Fourier permettant de calculer desintégrales de produits de fonctions. Cette approche permet aussi d’obtenir unedescription des champs locaux en chaque nœud du maillage.

Ces méthodes supposent que la microstructure du matériau étudié soit complè-tement connue, ce qui n’est pas toujours le cas. Une autre approche est possible,n’utilisant que des informations partielles sur la microstructure [Jeulin, 2001].L’homogénéisation permet de fournir des bornes ou des estimations du compor-tement macroscopique. La description des champs locaux n’est en général pasaussi précise que dans les approches précédentes, les informations se limitant sou-vent aux valeurs moyennes des champs par phase. Néanmoins, la puissance decalcul nécessaire par cette approche est très faible.

2.2 Démarche de l’homogénéisation

A une échelle suffisamment petite, tous les matériaux sont hétérogènes. Ce-pendant, l’échelle des structures macroscopiques est en général si grande devantcelle des hétérogénéités que l’on observe une moyenne statistique des propriétésmicroscopiques et il est alors justifié de considérer le matériau comme homogène.

L’objectif de l’homogénéisation est de modéliser un milieu hétérogène par unmilieu homogène équivalent. Ce milieu homogène équivalent doit présenter lamême réponse macroscopique que le milieu hétérogène quand il est soumis à lamême sollicitation macroscopique.

La recherche des propriétés effectives (ou macroscopiques) d’un milieu hété-rogène est un problème très ancien et classique dans le domaine de la Physique.De nombreux physiciens comme Poisson [Poisson, 1826], Faraday [Faraday, 1839],Maxwell [Maxwell, 1873], Rayleigh [Rayleigh, 1892] ou encore Einstein [Einstein,1905] se sont intéressés aux propriétés macroscopiques de certains matériaux hé-térogènes.

On présente dans cette partie et la suivante les différents outils d’homogénéi-sation permettant de définir les propriétés du Milieu Homogène Equivalent à unmatériau hétérogène [Bornert et al., 2001].

23 2.2 Démarche de l’homogénéisation

Milieu homogèneéquivalent

Homogénéisation

Milieu hétérogène

Figure 2.1 – Principe de l’homogénéisation.

2.2.1 Séparation des échelles

Les différentes échelles sont définies de la manière suivante : celle de départque l’on appellera "microscopique" et celle d’arrivée que l’on appellera "macro-scopique". L’approche par homogénéisation a pour but de réaliser une transitiond’échelles depuis le microscopique jusqu’au macroscopique où le matériau hété-rogène pourra être considéré comme homogène (voir Fig.2.1).

Pour le choix de l’échelle de départ (microscopique), il est nécessaire de prendreen compte la taille caractéristique d des hétérogénéités. Il faut aussi s’assurer queles relations d’équilibre et lois de comportements sont pertinentes à cette échelle.

Le choix de l’échelle de départ étant arrêté, il reste à définir où se situe celled’arrivée représentant le comportement macroscopique. Sa taille l doit être biensupérieure à celle des hétérogénéités pour pouvoir considérer le matériau commehomogène à cette échelle. Toutefois, il faut aussi que cette échelle macroscopiquesoit bien plus petite que celle de la structure (de taille L) considérée ensuite pourque l’on puisse traiter la structure (par exemple avec un calcul par éléments finis)comme un milieu continu et y déterminer les champs.

Au final, les tailles des différentes échelles doivent respecter :

d << l << L (2.1)

Il est généralement possible de définir un "Volume Elémentaire Représentatif"(VER) du matériau hétérogène considéré, qui reste suffisamment petit devant lesdimensions de la structure macroscopique et dont le comportement global peutêtre considéré comme celui d’un "Milieu Homogène Equivalent" (MHE). Autre-ment dit, un calcul réalisé sur la structure réelle (depuis l’échelle des hétéro-généités) donnerait des champs solutions fluctuant à l’échelle fine mais dont lamoyenne sur le VER s’identifierait à celle obtenue en utilisant le comportementeffectif comme comportement local de la structure.


10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100mètres

VER

d l L

Figure 2.2 – Différentes échelles à considérer.

2.2.2 Schéma générique et opérateurs de localisation

Par la suite, les développements classiques en homogénéisation sont présentéspour les comportements élastiques. Les développements similaires appliqués aumagnétisme sont présentés ultérieurement dans une autre partie.

L’homogénéisation des matériaux hétérogènes, peut être décomposée en 3principales étapes (voir figure 2.3).

REPRESENTATION

- informations sur la microstructure

- propriétés des constituants

LOCALISATION

- détermination des tenseurs de

localisation

HOMOGENEISATION

- détermination du tenseur des

propriétés e!ectives

Figure 2.3 – Différentes étapes de l’homogénéisation.

La représentation est l’étape où le système est décrit. Il s’agit donc d’unedescription de la microstructure du VER et de ses constituants. Cette descriptionne saurait être déterministe dans le cas général puisque deux volumes voisins de lataille du VER ne présentent pas exactement la même microstructure. C’est pour-quoi la description du VER sera probabiliste. Généralement, la microstructureest décrite en 3 dimensions. Néanmoins, on pourra se limiter à des descriptionsen 2 dimensions lorsque la microstructure est invariante suivante une dimension.

Les n fonctions caractéristiques χi (i ∈ [1, n]) déterminent complètement unemicrostructure à n phases et vérifient :

∀x ∈ Ω, χi(x) =

1 si x ∈ Ωi

0 sinon(2.2)

où Ω est l’espace du VER (de volume V ), et Ωi est l’espace de la seule phasei (de volume Vi). Il peut être noté que n − 1 fonctions caractéristiques sontsuffisantes pour déterminer la microstructure, la dernière fonction caractéristique


se déduisant des n− 1 précédentes :

χn(x) = 1−n−1∑

i=1

χi(x) (2.3)

Les fonctions caractéristiques ne seront pas décrites complètement, on se conten-tera de certaines informations statistiques. Ainsi, seront utilisées les fonctions decorrélation à différents ordres.

Une première information peut être obtenue avec les fractions volumiquesfi des différentes phases qui sont en fait la fonction de corrélation d’ordre 1(probabilité qu’un point de Ω appartienne à la phase i).

∀i ∈ [1, n], fi = 〈χi(x)〉 (2.4)

où l’opération 〈.〉 représente un opération de moyenne sur tout le volume du VER :〈g(x)〉 = 1/V ·

´

Ωg(x)dx. La fonction de corrélation d’ordre 2 est la covariance

Cij(h). Elle donne la probabilité qu’un point x de Ω appartienne à la phase i etque le point x + h appartienne à la phase j. Sa définition est la suivante :

∀i, j ∈ [1, n]2, ∀h, Cij(h) = 〈χi(x) · χj(x + h)〉 (2.5)

Il est possible aussi de définir des fonctions de corrélation d’ordre supérieur (3 etplus) mais nous nous limiterons à des informations d’ordre 2 au maximum.

Dernier point dans l’étape de représentation, la connaissance des lois de com-portement (locales) des différents constituants est aussi nécessaire.

L’étape de localisation va permettre de relier les champs locaux en tout pointx du VER au chargement macroscopique. Par exemple en élasticité linéaire, lestenseurs locaux de contraintes T(x) et de déformations S(x) vont être reliés auxtenseurs macroscopiques correspondants T et S. Des opérateurs de localisationpeuvent être définis dans le cas de la solution exacte (où l’on connait complète-ment la microstructure) :

S(x) = AC(x) : S

T(x) = BC(x) : T(2.6)

où AC(x) représente le tenseur de localisation des déformations et BC(x) repré-sente le tenseur de localisation (ou de concentration) des contraintes. Ces ten-seurs de localisation sont des tenseurs d’ordre 4 et doivent vérifier les relationssuivantes :

〈S(x)〉 = S →⟨AC(x)

⟩= I

〈T(x)〉 = T →⟨BC(x)

⟩= I (2.7)

Comme la microstructure n’est pas décrite complètement, la résolution de ceproblème n’est pas possible. Néanmoins, l’homogénéisation des comportementslinéaires peut s’effectuer à partir d’une approche "en champs moyens", les champspar phase sont alors décrits par leur valeurs moyennes :

∀i ∈ [1, n],Si = 〈S(x)〉i =

⟨AC(x)

⟩i: S = AC

i : S

Ti = 〈T(x)〉i =⟨BC(x)

⟩i: T = BC

i : T(2.8)


où 〈.〉i représente l’opération de moyenne sur la seule phase i (〈g(x)〉i = 1/Vi ·´

Ωig(x)dx). Si et Ti sont les tenseurs moyens des déformations et des contraintes

dans la phase i. L’équation (2.7) peut se réécrire de la façon suivante :

n∑

i=1

fi · Si = S →n∑

i=1

fi · ACi = I

n∑

i=1

fi · Ti = T →n∑

i=1

fi · BCi = I

(2.9)

Enfin, l’étape d’homogénéisation déduit le comportement macroscopiquedes relations obtenues à l’étape de localisation et des relations de comportementlocales.

La relation de comportement macroscopique liant les tenseurs de déformationset de contraintes macroscopiques S et T est de la forme suivante (dans le cas delois de comportement locales linéaires) :

T = C : S (2.10)

où C est le tenseur de rigidité effectif (ou macroscopique) recherché. En introdui-sant les tenseurs de localisation, le tenseur de rigidité effectif C est égal à :

C =

⟨C(x) : AC(x)

⟩

C−1 =⟨C(x)−1 : BC(x)

⟩ (2.11)

En développant l’équation (2.10) et en utilisant la loi de comportement localeT(x) = C(x) : S(x), on obtient :

T = 〈T(x)〉 = 〈C(x) : S(x)〉 =⟨C(x) : AC(x) : S

⟩=⟨C(x) : AC(x)

⟩: S

Une autre écriture possible est :

S = 〈S(x)〉 =⟨C(x)−1 : T(x)

⟩=⟨C(x)−1 : BC(x) : T

⟩=⟨C(x)−1 : BC(x)

⟩: T

On peut donc écrire que le tenseur de rigidité effectif C vérifie les équationssuivantes en identifiant avec l’équation (2.10) :

C =

⟨C(x) : AC(x)

⟩

C−1 =⟨C(x)−1 : BC(x)

⟩

NOTA BENE (démonstration de l’équation (2.11)) :

Comme le tenseur de rigidité est constant par phase (∀x ∈ Ωi C(x) = Ci),


ces équations s’écrivent :

C =n∑

i=1

fi · Ci :⟨AC(x)

⟩i=

n∑

i=1

fi · Ci : ACi

C−1 =n∑

i=1

fi · C−1i :

⟨BC(x)

⟩i=

n∑

i=1

fi · C−1i : BC

i

(2.12)

On voit à partir de ces équations que la détermination des tenseurs de localisationmoyens par phase AC

i ou BCi suffit pour définir le tenseur de rigidité effectif Ci.

Ces deux écritures sont équivalentes, les tenseurs de localisation ACi et BC

i

étant reliés par le tenseur de rigidité effectif C :

BCi = Ci : AC

i : C−1 (2.13)

La relation de comportement dans la phase i relie les valeur moyennes descontraintes et des déformations :

Ti = Ci : Si → BCi : T = Ci : AC

i : S = Ci : ACi : C−1 : T

Comme cette relation est valable pour tout tenseur T, on obtient finalement :

BCi = Ci : AC

i : C−1


2.2.3 Lemme de Hill

Le lemme de Hill [Hill, 1963] joue un rôle fondamental en homogénéisation.En effet, ce lemme permet de formuler le problème de façon énergétique. De cettemanière, il sera possible de rechercher des bornes du comportement effectif à partirde formulations variationnelles. Le lemme de Hill est le suivant : soient T(x) etS(x) deux champs, un de contraintes statiquement admissibles (∇·T(x) = 0 dansΩ) et l’autre de déformations cinématiquement admissibles (dérivant d’un champde déplacement, S(x) = 1

2(∇u(x) + t∇u(x)) dans Ω), alors si les conditions aux

limites de Ω sont homogènes (i.e. soit T(x) est homogène sur le contour ∂Ω, soitS(x) est homogène sur le contour ∂Ω), on a :

〈S(x) : T(x)〉 = 〈S(x)〉 : 〈T(x)〉 = S : T (2.14)

Il doit être noté que les propriétés des champs de contraintes et de déformations(respectivement à divergence nulle et dérivant d’un potentiel) suffisent à ce quece lemme soit vérifié, même si les champs de contraintes et de déformations nesont pas reliés par une loi de comportement.


Les relations qui découlent du lemme de Hill sont nombreuses. Notamment, letenseur des propriétés effectives C peut être écrit sous une autre forme (différentemais toutefois équivalente à l’équation (2.12)) en repartant de ce lemme :

C =

⟨tAC(x) : C(x) : AC(x)

⟩

C−1 =⟨tBC(x) : C(x)−1 : BC(x)

⟩ (2.15)

Cette équation ne peut s’écrire en fonction des tenseurs de localisation moyenspar phase AC

i et BCi .

Le membre de gauche de l’équation (2.14) peut se réécrire de la façon suivantelorsque contraintes et déformations sont reliées par le tenseur de rigidité :

〈S(x) : T(x)〉 = 〈S(x) : C(x) : S(x)〉 =⟨tS(x) : C(x) : S(x)

⟩

La transposition est possible puisque S(x) est un tenseur symétrique. Lemembre de droite de l’équation (2.14) quand à lui se réécrit :

S : T = S : C : S = tS : C : S

La transposition est encore possible pour les mêmes raisons de symétrie dutenseur S. On obtient donc l’équation suivante :

⟨tS(x) : C(x) : S(x)

⟩= tS : C : S

En introduisant les tenseurs de localisation AC(x), on obtient :

〈tS(x) : C(x) : S(x)〉 =⟨t(AC(x) : S

): C(x) : AC(x) : S

⟩

= tS :⟨tAC(x) : C(x) : AC(x)

⟩: S = tS : C : S

Comme cette relation est vraie pour tout tenseur S, on en déduit l’écrituresuivante pour le tenseur de rigidité effectif C :

C =⟨tAC(x) : C(x) : AC(x)

⟩

Un raisonnement analogue utilisant les tenseurs de concentration BC(x) donnela relation suivante :

C−1 =⟨tBC(x) : C(x)−1 : BC(x)

⟩


2.2.4 Remarque pour les composites biphasés

Dans le cas particulier des composites biphasés dont les phases ont commepropriétés les tenseurs de rigidité C1 et C2, les tenseurs de localisation moyens des

29 2.3 Bornes et estimations pour les propriétés effectives

déformations dans les phases AC1 et AC

2 s’expriment de façon simple en fonctiondu tenseur de rigidité effectif C. Les tenseurs de localisation sont alors égaux à :

AC1 =

1

f1(C1 − C2)−1 :

(C − C2

)

AC2 =

1

f2(C2 − C1)−1 :

(C − C1

) (2.16)

Les tenseurs de localisation moyens par phase AC1 et AC

2 doivent vérifier dansle cas des composites biphasés l’équation suivante :

f1 · AC1 + f2 · AC

2 = I

qui découle de la relation 〈S(x)〉 = S. De plus, le tenseur de rigidité effectif Cs’exprime en fonction de ces tenseurs de localisation :

C = f1 · C1 : AC1 + f2 · C2 : AC

2

En substituant AC2 depuis la première équation dans la seconde, on obtient :

C = f1 · C1 : AC1 + C2 :

(I − f1 · AC

1

)

Ce qui donne finalement :

AC1 =

1

f1(C1 − C2)−1 :

(C − C2

)


Ces relations permettent de déterminer les tenseurs des déformations etcontraintes moyennes par phase lorsque le tenseur de rigidité effectif C est connu(par exemple grâce à l’expérimentation).

2.3 Bornes et estimations pour les propriétés ef-

fectives

La détermination des tenseurs de localisation ACi et BC

i est le point clé du mo-dèle d’homogénéisation. Toutefois, le problème de localisation ne peut être résoluaisément du fait de la description partielle de la microstructure. En effet, il n’estpas possible de déterminer de façon certaine les valeurs moyennes des champs (etdonc les tenseurs de localisation moyens) : tel qu’il est posé, le problème comporteune infinité de solutions. Il serait possible de réaliser différents VER (respectantles informations statistiques données sur la microstructure) et conduisant à descomportements effectifs différents.


Une première idée est de considérer l’ensemble des solutions possibles, com-patibles avec les informations sur la microstructure, et de déterminer un enca-drement optimal du comportement macroscopique. En d’autres termes, le but estde déterminer les bornes (supérieure et inférieure) du comportement effectif àpartir des informations partielles sur la microstructure.

Plutôt que de déterminer des bornes au comportement effectif, on peut parfoisse contenter d’estimations. Les estimations ainsi obtenues pourront être jugéessatisfaisantes pour certaines microstructures (voire même être une solution exactepour certaines microstructures particulières : multi-couches, sphères de Hashin,...).

2.3.1 Bornes de Voigt et Reuss

Les bornes de Voigt et Reuss sont des bornes du tenseur de rigidité effectifquand les fractions volumiques fi des phases du composite sont connues [Voigt,1889; Reuss, 1929]. Ces bornes sont optimales puisqu’elles peuvent être atteintes(microstructures multi-couches). Les bornes sont égales à :

CV = 〈C(x)〉 =n∑

i=1

fi · Ci

C−1R =

⟨C(x)−1

⟩=

n∑

i=1

fi · C−1i

(2.17)

La définition de bornes peut s’exprimer ainsi :

S : C : S ≤ S : CV : S

T : C−1 : T ≤ T : C−1R : T

(2.18)

pour tout tenseurs S et T symétriques. Dans le cas limite de l’égalité, l’ap-proximation de Voigt consiste à considérer un champ de déformations uniformedans le VER, S(x) = S ∀x ∈ Ω. De manière analogue, l’approximation deReuss consiste à considérer un champ de contraintes uniforme dans le VER,T(x) = T ∀x ∈ Ω.

Ces bornes sont valables pour des microstructures 2D et 3D.

2.3.2 Bornes de Hashin et Shtrikman

Les bornes de Hashin et Shtrikman sont des bornes du tenseur de rigiditéeffectif pour des matériaux isotropes (isotropie des constituants et de la distri-bution des phases) biphasés [Hashin, 1962; Hashin and Shtrikman, 1963b]. Untenseur de rigidité C isotrope (en 3 dimensions) est décrit à partir de seulementdeux coefficients : k le module de compressibilité et G le module de cisaillement.Alors les modules de compressibilité k et de cisaillement G du tenseur de rigidité


effectif sont encadrés par [Hashin and Shtrikman, 1963b] :

kHS− ≤ k ≤ kHS+ avec kHS− = k1 +f2

1

k2 − k1+

3f13k1 + 4G1

kHS+ = k2 +f1

1

k1 − k2+

3f23k2 + 4G2

GHS− ≤ G ≤ GHS+ avec GHS− = G1 +f2

1

G2 −G1

+6f1(k1 + 2G1)

5G1(3k1 + 4G1)

GHS+ = G2 +f1

1

G1 −G2

+6f2(k2 + 2G2)

5G2(3k2 + 4G2)(2.19)

en supposant que k2 > k1 et que G2 > G1. Ces bornes sont optimales pourles matériaux isotropes puisqu’elles sont atteintes pour certaines microstructuresparticulières. Citons le cas des microstructures des sphères de Hashin où les mo-dules effectifs sont exactement égaux aux bornes ci-dessus. La microstructure dessphères de Hashin est composée d’une infinité de sphères composites de diffé-rentes tailles, remplissant la totalité de l’espace jusqu’à l’infiniment petit (voirfigure 2.4). Une sphère composite est constituée d’une sphère intérieure de ma-tériau 1 (respectivement de matériau 2) et de rayon Rint entourée d’une sphèreextérieure (creuse) de matériau 2 (respectivement de matériau 1) et de rayon ex-térieur Rext. Les fractions volumiques des phases sont constantes pour toutes lessphères, c’est-à-dire que la quantité (Rint/Rext)

3 est constante quelle que soit lataille de la sphère composite.

2.3.3 Estimation auto-cohérente

L’estimation auto-cohérente permet de fournir une estimation du tenseur derigidité effectif C en considérant que chaque phase se comporte comme plongéedans un milieu homogène (voir le modèle d’homogénéisation basé sur les pro-blèmes d’inclusion, présenté dans les paragraphes suivants), ce milieu homogèneétant justement le milieu effectif recherché de propriétés C [Hershey, 1954; Hill,1965b; Kröner, 1958]. Le tenseur de rigidité effectif étant par définition inconnu,il est nécessaire d’effectuer un calcul itératif.

Dans certains cas simples comme celui des matériaux isotropes par leur distri-bution des phases, à constituants isotropes et incompressibles (modules de com-pressibilité ki nuls), le module de cisaillement effectif G vérifie l’équation implicitesuivante :

1

G= 5

n∑

i=1

fi

3G+ 2Gi

(2.20)

Dans le cas d’un matériau biphasé, il est ainsi possible d’obtenir une expressionanalytique du module de cisaillement effectif G en résolvant une équation du


Figure 2.4 – Microstructure des sphères de Hashin (sont représentés sur cette fi-gure des disques de Hashin pour des raisons de simplicité). Les sphères compositesremplissent la totalité de l’espace jusqu’à l’infiniment petit.

second degré :

(3G+ 2G1) · (3G+ 2G2) = 5G · (3G+ 2f1G2 + 2f2G1) (2.21)

L’estimation auto-cohérente peut être bien adaptée aux matériaux à grandnombre de phases et dont aucune des phases ne joue un rôle particulier comparéeaux autres (matériau parfaitement désordonné).

2.3.4 Problèmes d’inclusion et tenseur d’Eshelby

Afin de pouvoir construire des estimations du comportement effectif, une re-présentation fictive du problème est possible et mène à la résolution simple deproblèmes d’inclusion [Bornert et al., 2001]. Ce modèle utilise les informationsstatistiques de la microstructure (jusqu’aux fonctions de corrélation d’ordre 2) etest capable de modéliser des interactions entre phases.

Le principe de modélisation est le suivant :– un milieu hétérogène à n phases est étudié sous la forme de n problèmes

d’inclusion a priori décorrélés,– chaque problème d’inclusion modélise le comportement "moyen" d’une des

phases dans le milieu hétérogène,– la forme de l’inclusion dans chaque problème d’inclusion est liée à la distri-

bution de la phase considérée dans le milieu hétérogène,– dans le cas d’une inclusion ellipsoïdale, les champs sont homogènes dans

l’inclusion et peuvent être déduits analytiquement, permettant alors la dé-termination des tenseurs de localisation moyens AC

i et BCi ,


– le choix du milieu de référence dans les problèmes d’inclusion permet demodéliser l’interaction "moyenne" des différentes phases sur la phase consi-dérée.

En fait, ce modèle est basé sur l’hypothèse que chaque phase i se comporteen "moyenne" comme une inclusion plongée dans un milieu de référence 0. Larésolution du problème d’inclusion permet donc de déterminer le comportementmoyen de chaque phase à travers une représentation "moyenne" de la distributiondes phases, le calcul sur cette représentation étant en fait un calcul "moyen" del’opérateur de Green sur le milieu hétérogène.

Chaque problème d’inclusion est défini de la manière suivante (pour laphase i) :

– une inclusion, ayant les mêmes propriétés que la phase i et dont la formeest liée à la distribution de cette même phase dans le milieu hétérogène,plongée dans un milieu de référence infini de propriétés Cref ,

– un chargement uniforme est appliqué à l’infini.La figure 2.5 présente le principe du modèle d’homogénéisation basé sur les

problèmes d’inclusion.La résolution du problème d’inclusion peut s’effectuer analytiquement à partir

du tenseur d’Eshelby [Eshelby, 1957; François et al., 1991]. Dans un problèmesimple d’inclusion, le champ est uniforme dans l’inclusion si la forme de cettedernière est ellipsoïdale et se déduit du champ appliqué à l’infini. La déformationdans l’inclusion est égale à [François et al., 1991] :

Si =(I +N C

i : C−1ref : (Ci − Cref )

)−1: S∞ (2.22)

où S∞ la déformation appliquée à l’infini et N Ci est le tenseur d’Eshelby qui ne

dépend que de la forme de l’inclusion et des propriétés Cref du milieu de référence.Toutefois, cette expression reste implicite du fait que l’on ne connait pas S∞ etne peut être appliquée directement pour déterminer le tenseur de localisation. Ensupposant que le chargement à l’infini S∞ soit le même dans tous les problèmesd’inclusion, il est possible de déterminer S∞ en fonction du champ macroscopiqueS a posteriori en rappelant que ce dernier est égal à la moyenne des champs locaux

S =n∑

i=1

fi · Si. L’expression des tenseurs de localisation ACi est alors égale à :

ACi =

(I +N C


)−1:

(n∑

j=1

fj(I +N C

j : C−1ref : (Cj − Cref )

)−1

)−1

(2.23)Une autre équation décrivant le problème d’inclusion seul peut être écrite,

faisant intervenir directement les grandeurs macroscopiques :

N Ci : C−1

ref :(T − Ti

)=(N C

i − I):(S − Si

)(2.24)

Toutefois, cette expression reste implicite puisque la réponse macroscopique (parexemple T en supposant que S soit le chargement) n’est pas encore connue mais


MILIEU HETEROGENE REEL

VOLUME ELEMENTAIRE

REPRESENTATIF

phase 1

phase 2

phase 3

phase 4

phase 5

Milieu de référence(in"ni)

+ + +...

MILIEU HOMOGENE

EQUIVALENT

Représentation

Localisation

Homogénéisation

Informations statistiques

sur le VER

Détermination des tenseurs de localisation moyens par phase

Détermination du tenseur des propriétés e#ectives

Figure 2.5 – Principe du modèle d’homogénéisation basé sur les problèmes d’in-clusion.

35 2.4 Application au magnétisme

va pouvoir être déterminée grâce à cette relation. Cette équation de localisationreste valable même si les tenseurs de contraintes et de déformations ne sont pasdirectement proportionnels dans l’inclusion (notamment lorsque l’inclusion estprécontrainte Ti = Ci : Si + Pi).

On peut voir immédiatement avec ces équations que le choix du milieu deréférence mène à plusieurs estimations des tenseurs de localisation AC

i ou BCi ,

et donc à plusieurs estimations du tenseur de rigidité macroscopique C. En fait,ce degré de liberté supplémentaire permet de décrire le type de microstructureconsidérée. Certains choix particuliers permettent de retrouver les estimationsou bornes classiques en homogénéisation, montrant la consistance de ce modèlebasé sur les problèmes d’inclusion. Parmi ces choix particuliers pour le milieu deréférence, on peut citer :

– prendre comme milieu de référence Cref un milieu infiniment souple donnela borne inférieure de Reuss,

– prendre comme milieu de référence Cref un milieu infiniment raide donne laborne supérieure de Voigt,

– dans le cas d’un biphasé (à distribution des phases isotrope), prendre commemilieu de référence l’une des deux phases (Cref = C1 ou Cref = C2) donneles deux bornes de Hashin et Shtrikman,

– plus généralement, prendre comme milieu de référence l’une des phasesdonne l’estimation de Mori-Tanaka [Mori and Tanaka, 1973] bien adaptéeaux microstructures de type matrice/inclusions,

– prendre comme milieu de référence Cref le milieu effectif recherché C donnel’estimation auto-cohérente (calcul itératif car C n’est pas encore connu),

– d’autres estimations peuvent être construite avec d’autres choix.

2.4 Application au magnétisme

Du fait de la nature différente des champs mécaniques (tenseurs d’ordre 2)comparés aux champs magnétiques, électriques ou thermiques (vecteurs : ten-seurs d’ordre 1), les outils d’homogénéisation développés pour la mécanique sontréécrits dans cette partie pour pouvoir être appliqués au magnétisme (électricitéet thermique ne sont pas développées ici mais la démarche est exactement lamême que celle qui est appliquée pour le magnétisme).

2.4.1 Opérateurs de localisation

Les fonctions caractéristiques χi restent les mêmes car elles décrivent unique-ment la microstructure. Les tenseurs de localisation Aµ et Bµ (tenseurs d’ordre2) relient les valeurs locales du champ (ou induction) magnétique au champ (ouinduction) magnétique macroscopique.

H(x) = Aµ(x) · HB(x) = Bµ(x) · B (2.25)


Afin de vérifier que la valeur moyenne (ou macroscopique) du champ soit bienégale à la moyenne des champs locaux, la relation suivante doit être vérifiée :

〈H(x)〉 = H → 〈Aµ(x)〉 = I

〈B(x)〉 = B → 〈Bµ(x)〉 = I(2.26)

L’approche en "champ moyen" nous permet d’écrire :

∀i ∈ [1, n],Hi = 〈H(x)〉i = 〈Aµ(x)〉i : H = A

µi : H

Bi = 〈B(x)〉i = 〈Bµ(x)〉i : B = Bµi : B

(2.27)

On obtient, en combinant les deux dernières équations :

n∑

i=1

fi · Hi = H →n∑

i=1

fi · Aµi = I

n∑

i=1

fi · Bi = B →n∑

i=1

fi · Bµi = I

(2.28)

Comme en mécanique, la détermination des tenseurs de localisation moyensA

µi ou B

µi en magnétisme suffira pour déterminer les propriétés effectives.

Comme les propriétés magnétiques (tenseurs de perméabilité) sont constantespar phase, les champs et inductions magnétiques moyennes par phase restentreliées par ces propriétés. On a donc :

Bi = µi · Hi (2.29)

La loi de comportement homogénéisée en magnétisme s’écrit :

B = µ · H (2.30)

où µ est le tenseur de perméabilité effectif. Ce tenseur effectif peut s’écrire à partirdes tenseurs de localisation :

µ = 〈µ(x) · Aµ(x)〉 =n∑

i=1

fi · µi · Aµi

µ−1 =⟨µ(x)−1 · Bµ(x)

⟩=

n∑

i=1

fi · µ−1i · Bµ

i

(2.31)

Les deux tenseurs de localisation moyens par phase Aµi et B

µi sont reliés à travers

le tenseur de perméabilité effectif µ :

Bµi = µi · Aµ

i · µ−1 (2.32)

2.4.2 Lemme de Hill appliqué au magnétisme (théorème deTellegen)

Le lemme de Hill s’applique aussi aux comportements magnétiques. Ce lemmeest aussi connu sous le nom de théorème de Tellegen en électricité ou magnétisme.

37 2.4 Application au magnétisme

Si les conditions aux limites de Ω sont homogènes (i.e. soit B(x) est homogènesur le contour ∂Ω, soit H(x) est homogène sur le contour ∂Ω), on a :

〈H(x) · B(x)〉 = H · B (2.33)

On en déduit la formule suivante pour le tenseur de perméabilité effectiveen fonction des tenseurs de localisation (la démonstration faite en mécanique setranspose aisément pour le magnétisme) :

µ = 〈tAµ(x) · µ(x) · Aµ(x)〉µ−1 = 〈tBµ(x) · µ(x)−1 · Bµ(x)〉 (2.34)

De façon identique qu’en élasticité, les tenseurs de localisation moyens enmagnétisme s’expriment de façon simple en fonction du tenseur de perméabilitéeffective µ :

Aµ1 =

1

f1(µ1 − µ2)

−1 · (µ − µ2)

Aµ2 =

1

f2(µ2 − µ1)

−1 · (µ − µ1)(2.35)

2.4.3 Bornes et estimations

Bornes de Wiener

Les bornes de Voigt et Reuss appliquées aux comportements électriques oumagnétiques sont également connues sous le nom de bornes de Wiener [Wiener,1912] (les bornes de Wiener sont antérieures aux bornes de Voigt et Reuss). Lesbornes de Wiener sont des bornes générales du tenseur de perméabilité effectif µ

et sont égales à :

µW+ = 〈µ(x)〉 =n∑

i=1

fi · µi

µ−1W− =

⟨µ(x)−1

⟩=

n∑

i=1

fi · µ−1i

(2.36)

La définition des bornes est donnée par :

H · µ · H ≤ H · µW+ · HB · µ−1 · B ≤ B · µ−1

W− · B (2.37)

pour tout champ (ou induction) magnétique effectif H (ou B).

Bornes de Hashin et Shtrikman

Les bornes de Hashin et Shtrikman sont aussi valables pour le comportementmagnétique, et sont des bornes pour les matériaux isotropes (de par la distributiondes phases ainsi que des perméabilités) biphasés [Hashin and Shtrikman, 1963a].Dans ce cas, le tenseur de perméabilité µ est représenté par un scalaire µ :

µ = µ · I (2.38)


Dans le cas où µ2 > µ1, la perméabilité effective µ est encadrée par les bornes deHashin et Shtrikman (isotropie 3D) [Hashin and Shtrikman, 1963a] :

µHS− ≤ µ ≤ µHS+ avec µHS− =2f1µ1 + (3− 2f1)µ2

(3− f1)µ1 + f1µ2

µ1

µHS+ =(1 + 2f1)µ1 + 2(1− f1)µ2

(1− f1)µ1 + (2 + f1)µ2

µ2

(2.39)

Estimation autocohérente

L’estimation autocohérente, aussi appelée estimation de Bruggeman en élec-tromagnétisme [Bruggeman, 1935; Sihvola, 1999], s’obtient en modélisant le com-portement de chaque phase comme si celle-ci était plongée dans un milieu dontles propriétés sont celles du milieu effectif recherché. L’obtention de cette es-timation s’obtient de manière itérative en général. Dans le cas d’un compositeisotrope à constituants isotropes, la perméabilité effective estimée par le schémaauto-cohérent est donnée par (composite à n phases) :

n∑

i=1

fiµi − µ

2µ+ µi

= 0 (2.40)

Comme en mécanique, cette estimation peut être pertinente quand aucune desphases ne joue un rôle particulier comparée aux autres.

2.4.4 Problèmes d’inclusion

Tout comme en mécanique, on peut traiter le problème d’un matériau hétéro-gène à n phases comme n problèmes d’inclusion a priori décorrélés. La résolutiond’un problème d’inclusion passe alors par la détermination du tenseur démagné-tisant Nµ (similaire au tenseur d’Eshelby en mécanique) qui dépend du tenseurde perméabilité du milieu infini et de la forme de l’inclusion. La relation de loca-lisation en magnétisme est donnée par :

Nµi · µ−1

ref ·(B − Bi

)= (Nµ

i − I) ·(H − Hi

)(2.41)

Cette équation de localisation reste valable même si l’induction et le champ ma-gnétique ne sont pas directement proportionnels dans l’inclusion (notammentlorsque l’inclusion est polarisée magnétiquement Bi = µi · Hi + Pi).

Là aussi, un choix approprié du milieu de référence permet de retrouver lesestimations classiques [Daniel and Corcolle, 2007].

2.5 Fluctuations intraphases

Bien que les valeurs moyennes des champs par phase soient une informationsuffisante pour déterminer les propriétés effectives dans le cas de comportements

39 2.5 Fluctuations intraphases

linéaires, il peut parfois être nécessaire de déterminer des informations supplé-mentaires à propos de la distribution des champs. Ces informations supplémen-taires seront utiles lors de l’homogénéisation des comportements non-linéairespar exemple où une description en champs moyens n’est plus suffisante. D’autresexemples de l’utilisation d’informations autres que les valeurs moyennes peuventêtre donnés, comme la limite de claquage des matériaux diélectriques, caractériséepar les moments d’ordre 2 du champ électrique 〈E(x)2〉 [Cheng and Torquato,1997].

2.5.1 Moments d’ordre 2

En mécanique, une première information supplémentaire peut être obtenueavec les moments d’ordre 2 des déformations par phase 〈S(x)⊗ S(x)〉i. En utili-sant le lemme de Hill (équation (2.14)), on peut écrire :

S : C : S = 〈S(x) : C(x) : S(x)〉 (2.42)

Les moments d’ordre 2 des déformations par phase s’obtiennent avec la relationsuivante :

〈S(x)⊗ S(x)〉i =1

fiS :

∂C∂Ci

: S (2.43)

La quantité S(x)⊗S(x) est un tenseur d’ordre 4 représentant les moments d’ordre2 des déformations.


En différentiant l’équation (2.42) (S étant constant), on obtient :

S :(C + δC

): S = 〈(S(x) + δS(x)) : (C(x) + δC(x)) : (S(x) + δS(x))〉

En développant cette équation et en négligeant les termes du second et troi-sième ordre, on obtient :

S : C : S + S : δC : S = 〈S(x) : C(x) : S(x)〉+ 〈S(x) : δC(x) : S(x)〉+ 〈δS(x) : C(x) : S(x)〉+ 〈S(x) : C(x) : δS(x)〉+ · · ·

Les deux derniers termes du second membre sont égaux du fait de la symétriedes tenseurs S(x) et C(x). En soustrayant l’équation (2.42), on obtient :

S : δC : S = 〈S(x) : δC(x) : S(x)〉+ 2 〈δS(x) : C(x) : S(x)〉

Le second terme dans le second membre est nul par application d’un principevariationnel. Le tenseur de rigidité étant constant par phase, on a :

S : δC : S =n∑

i=1

fi 〈S(x) : δCi : S(x)〉i

On peut alors déterminer les moments d’ordre 2 des déformations par phase :

〈S(x)⊗ S(x)〉i =1

fiS :

∂C∂Ci

: S


De manière analogue, il est aussi possible de déterminer les moments d’ordre2 par phase des contraintes :

〈T(x)⊗ T(x)〉i =1

fiT :

∂C−1

∂C−1i

: T (2.44)

On voit à partir de ces équations, que pour déterminer les moments d’ordre 2des déformations (ou bien des contraintes) par phase, il faut connaître la dérivéedu tenseur de rigidité effectif C par rapport à celui des phases Ci. Le problèmeest que le tenseur de rigidité effectif C n’est généralement pas connu, il est soitborné, soit estimé. Lorsqu’une estimation est fournie pour le tenseur effectif, dé-river simplement cette estimation peut être considéré comme satisfaisant pourdéterminer les moments d’ordre 2. En revanche, lorsque des bornes sur le tenseurde rigidité effectif sont fournies, dériver ces dernières n’est pas pertinent ; en effet,un encadrement du tenseur de rigidité effectif ne comporte aucune information àpropos de ses dérivées.


En magnétisme, les moments d’ordre supérieur peuvent être également dé-terminés. En utilisant le théorème de Tellegen (équation (2.33)), on obtient endéveloppant :

H · µ · H = 〈H(x) · µ(x) · H(x)〉 (2.45)

Puis, on obtient la relation suivante en différenciant par rapport au tenseur deperméabilité µi :

H · ∂µ

∂µi

· H = fi 〈H(x)⊗ H(x)〉i + 2

⟨H(x) · µ(x) · ∂H(x)

∂µi

⟩(2.46)

Le second terme dans le second membre est nul par application d’un principe va-riationnel. Finalement, l’équation permettant de déterminer les moments d’ordre2 du champ magnétique est :

〈H(x)⊗ H(x)〉i =1

fiH · ∂µ

∂µi

· H (2.47)

où le tenseur 〈H(x)⊗ H(x)〉i est un tenseur d’ordre 2 représentant les momentsd’ordre 2. Dans la base (x, y, z) où le champ magnétique est égal à H(x) =t( Hx(x) Hy(x) Hz(x) ), le tenseur (symétrique) des moments d’ordre 2 estégal à :

〈H(x)⊗ H(x)〉i =

〈Hx(x)2〉i 〈Hx(x) ·Hy(x)〉i 〈Hx(x) ·Hz(x)〉i

〈Hx(x) ·Hy(x)〉i 〈Hy(x)2〉

i〈Hy(x) ·Hz(x)〉i

〈Hx(x) ·Hz(x)〉i 〈Hy(x) ·Hz(x)〉i 〈Hz(x)2〉i

(2.48)De manière duale, il est possible de déterminer le moment d’ordre 2 de l’in-

duction magnétique :

〈B(x)⊗ B(x)〉i =1

fiB · ∂µ−1

∂µ−1i

· B (2.49)

2.5.2 Exploitation des propriétés analytiques du tenseur ef-fectif

Plusieurs auteurs [Bergman, 1978; Milton, 1981a,b, 2002] ont étudié les pro-priétés analytiques de la fonction "tenseur effectif" et en ont déduit une manièreanalytique d’obtenir des bornes sur le comportement. Afin de simplifier la pré-sentation de ces propriétés, nous ne considèrerons ici que des comportementsmagnétiques isotropes représentés par les seuls scalaires des phases µi.

Certaines propriétés analytiques sont immédiates, comme l’homogénéité de lafonction perméabilité effective :

µ (µ1, µ2, · · · , µn−1, µn) = µn · µ(µ1

µn

,µ2

µn

, · · · , µn−1

µn

, 1

)(2.50)

D’autres propriétés vont être présentées dans la suite.


Milton [Milton, 1981a, 2002] a mis en œuvre une méthode pour obtenir desbornes sur la perméabilité effective. Les résultats présentés ici sont appliqués aucas des matériaux biphasés. La perméabilité effective peut s’écrire sous la formesuivante (rapport de 2 polynômes, issu d’un développement en série de Taylor) :

µ(µ1, µ2) =a0µ

k+12 + a1µ

k2µ1 + a2µ

k−12 µ2

1 + · · ·+ ak+1µk+11

µk2 + b1µ

k−12 µ1 + b2µ

k−22 µ2

1 + · · ·+ bkµk1

(2.51)

où le degré k est lié au nombre d’informations que l’on possède à propos de lafonction.

Il est alors possible de déterminer deux bornes optimales pour la perméabilitéeffective à partir des informations sur la fonction. Les informations généralementconnues sont les coefficients ri présents dans la décomposition de Taylor, soit :

µ(µ1, 1) =∞∑

i=0

ri(µ1 − 1)i (2.52)

Ainsi, les coefficients de Taylor sont :

r0 = µ(1, 1)

r1 =∂µ(µ1, 1)

∂µ1

∣∣∣∣µ1=1

r2 =1

2

∂2µ(µ1, 1)

∂µ21

∣∣∣∣µ1=1

... ri =1

i!

∂iµ(µ1, 1)

∂µi1

∣∣∣∣µ1=1

(2.53)

Dans le cas qui nous intéresse ici, c’est-à-dire celui de la perméabilité effective,il est immédiat de constater que r0 = 1. De plus, on a aussi r1 = f1. Concernantr2, cela dépend de la microstructure, toutefois on a dans le cas de l’isotropie r2 =−f1f2/3. Pour calculer les bornes, il suffit de résoudre des systèmes d’équationslinéaires [McPhedran and Milton, 1981] où les inconnues sont les coefficients aiet bi de l’équation (2.51).

Le tableau 2.1 récapitule les bornes que l’on peut obtenir suivant la connais-sance des différents coefficients.

Ce tableau peut être interprété de la façon suivante (les perméabilités des 2phases µ1 et µ2 sont connues) :

– quand on ne connaît rien de la fonction, les bornes obtenues sont 0 et l’infini.Ce cas n’a que peu d’intérêt.

– en rajoutant la condition r0 = µ(1, 1) = 1 (c’est-à-dire que le mélange de 2phases ayant les mêmes propriétés donne un matériau ayant ces mêmes pro-priétés), il vient que les bornes sont µ1 et µ2. Cet encadrement (valide pourles comportements découplés, nous verrons plus tard qu’il en est autrementpour les comportements couplés) est assez évident : il n’est pas possible(dans le cas de comportements linéaires) de créer un matériau ayant uneperméabilité plus élevée (respectivement plus faible) que la perméabilité laplus élevée (respectivement plus faible) des constituants.


Coefficientsconnus

Borne 1 Borne 2

aucun 0 ∞r0 µ1 µ2

r0, r1 f1µ1 + f2µ2 (f1/µ1 + f2/µ2)−1

r0, r1, r22f1µ1 + (3− 2f1)µ2

(3− f1)µ1 + f1µ2

µ1(1 + 2f1)µ1 + 2(1− f1)µ2

(1− f1)µ1 + (2 + f1)µ2

µ2

Table 2.1 – Bornes sur la perméabilité effective µ obtenues à partir des carac-téristiques analytiques de la fonction, en fonction de la connaissance de certainesinformations.

– si on connaît en plus les fractions volumiques des phases, on retrouve alorsles bornes de Wiener.

– si de plus, on fait l’hypothèse de l’isotropie, on retrouve les bornes de Hashinet Shtrikman.

D’autres informations peuvent être incorporées dans la fonction perméabilitéeffective µ. Par exemple, considérons que nous connaissons certains coefficientsdu développement de Taylor et que nous connaissions de plus une valeur de laperméabilité effective pour une configuration des perméabilités (par exemple grâceà une mesure expérimentale) :

µ(µ′1, µ

′2) = µ′ (2.54)

Maintenant, en conservant exactement la même microstructure mais en changeantles perméabilités, de nouvelles bornes plus restrictives peuvent être obtenues (voirtableau 2.2).

Coefficientsconnus

Borne 1 Borne 2

aucun µ′µ1/µ′1 µ′µ2/µ

′2

r0 uµ1 + (1− u)µ2 (v/µ1 + (1− v)/µ2)−1

avec u =µ′ − µ′

2

µ′1 − µ′

2

avec v =1/µ′ − 1/µ′

2

1/µ′1 − 1/µ′

2

r0, r1 · · · · · ·

Table 2.2 – Bornes plus restrictives sur la perméabilité effective µ incorporantune valeur de la perméabilité effective pour une configuration donnée.

Une autre propriété peut être utilisée pour les composites biphasés isotropeen 2 dimensions. Dans ce cas, la fonction perméabilité effective µ(µ1, µ2) vérifiela condition suivante, connue sous le nom de relation de Keller [Keller, 1964] :

µ(µ1, µ2) · µ(µ2, µ1) = µ1 · µ2 (2.55)


Dans le cas d’une isotropie en 3 dimensions, cette relation n’est pas toujoursvérifiée [Schulgasser, 1976].

2.6 Moments d’ordre 2 dans les composites bipha-

sés

Pour des raisons de simplicité, on ne s’intéresse qu’aux comportements ma-gnétiques isotropes. Les différentes propriétés des phases sont donc représentéespar les perméabilités scalaires µi.

La détermination des moments d’ordre 2 du champ magnétique par phase〈H(x)2〉i s’écrit dans le cas de perméabilités isotropes (équation déduite de l’équa-tion (2.47)) :

⟨H(x)2

⟩i=

1

fi

∂µ

∂µi

H2

(2.56)

où µ est la perméabilité effective et H le champ magnétique effectif. De ma-nière duale, les moments d’ordre 2 de l’induction magnétique par phase 〈B(x)2〉is’écrivent : ⟨

B(x)2⟩i=

1

fi

∂µ−1

∂µ−1i

B2

(2.57)

où B est l’induction magnétique effective.

2.6.1 Cas des multi-couches

Dans le cas des structures multi-couches, la perméabilité effective µ peutse déterminer analytiquement. La figure 2.6 présente les deux structures multi-couches simples dont la perméabilité effective peut être déterminée analytique-ment lorsque le champ magnétique effectif H est appliqué suivant la directionx.

Dans le cas de la structure du type a, le champ magnétique est uniforme danstout le composite et est égal à H. Dans ce cas, l’estimation de Wiener suivantefournit la perméabilité effective :

µ = f1µ1 + f2µ2 (2.58)

En utilisant l’équation (2.56), on obtient :

⟨H(x)2

⟩i= H

2= 〈H(x)〉2i (2.59)

Ce qui correspond bien à un champ magnétique uniforme dans le composite.Dans le cas de la structure du type b, le champ magnétique est uniforme

par phase, c’est l’induction magnétique qui est uniforme dans tout le compositeet qui vaut B . Dans ce cas, c’est l’autre estimation de Wiener qui fournit laperméabilité effective :

1

µ=

f1µ1

+f2µ2

(2.60)

45 2.6 Moments d’ordre 2 dans les composites biphasés

Laminé type a Laminé type b

Phase 1

Phase 2 x

y

Figure 2.6 – Deux types de structures multi-couches avec un champ magnétiqueeffectif appliqué suivant la direction x.


⟨B(x)2

⟩i= B

2= 〈B(x)〉2i (2.61)

Ce qui correspond bien à une induction magnétique uniforme dans le composite.

2.6.2 Structures de Hashin

Dans le cas des structures de Hashin [Hashin and Shtrikman, 1963b], la per-méabilité effective µ est donnée par l’estimation de Hashin et Shtrikman. Unestructure composite isotrope en 2 dimensions est obtenue avec la structure descylindres de Hashin (voir figure 2.7).

La perméabilité effective µ se déduit analytiquement grâce aux propriétéssuivantes. Considérons un cylindre composite, constitué d’un cylindre de la phase1, entouré d’un tube de la phase 2 ; en plongeant ce cylindre composite dans unmilieu infini et avec un champ magnétique uniforme appliqué à l’infini, le champmagnétique dans la phase 1 est uniforme. Toutefois, le champ magnétique dansle milieu infini n’est en général pas uniforme autour du cylindre composite àcause de l’hétérogénéité (voir figure 2.8). Néanmoins, un choix particulier de laperméabilité du milieu infini permet d’obtenir un champ magnétique uniformedans cette phase (voir figure 2.9) : ce choix correspond à la perméabilité effectivede la structure de Hashin [Cule and Torquato, 1998].

La perméabilité effective pour la structure de cylindres de Hashin est égale à :

µ = µ2(1 + f1)µ1 + f2µ2

f2µ1 + (1 + f1)µ2

(2.62)


Figure 2.7 – Microstructure des cylindres de Hashin. Les cylindres compositesremplissent la totalité de l’espace jusqu’à l’infiniment petit.

Figure 2.8 – Cylindre de Hashin plongé dans un milieu non adapté. Le champmagnétique n’est pas uniforme autour du cylindre de Hashin.


Figure 2.9 – Cylindre de Hashin plongé dans un milieu adapté. Le champ ma-gnétique est uniforme autour du cylindre de Hashin.


⟨H(x)2

⟩1=

4µ22

(f2µ1 + (1 + f1)µ2)2H

2

⟨H(x)2

⟩2=

(µ1 + µ2)2 + f1(µ1 − µ2)

2

(f2µ1 + (1 + f1)µ2)2H

2(2.63)

Ces valeurs de moments d’ordre 2 correspondent à celles que l’on peut extrairede la distribution du champ magnétique dans ces composites dans [Cule andTorquato, 1998].

2.6.3 Bornes sur les moments d’ordre 2

Quand des bornes sur la perméabilité effective sont données, il n’y a a prioriaucune information sur les moments d’ordre 2. En effet, les moments d’ordre 2peuvent être obtenus grâce à la dérivée ∂µ/∂µi. Mais avoir des bornes sur laperméabilité effective ne permet d’avoir directement des bornes sur sa dérivée :

µ− ≤ µ ≤ µ+ →× ∂µ−

∂µi

≤ ∂µ

∂µi

≤ ∂µ+

∂µi

(2.64)

Néanmoins, il est possible d’utiliser les propriétés analytiques de la fonctionperméabilité effective (voir paragraphe précédent) pour déterminer des bornessur sa dérivée. En faisant varier la perméabilité effective entre les bornes, et en


utilisant cette information, on peut alors déterminer des bornes plus restrictives(voir figure 2.10). Comme ces bornes coïncident en la valeur de la perméabilité ef-fective, la dérivée de la perméabilité effective ∂µ/∂µi est nécessairement encadréepar la dérivée de ces bornes plus restrictives en ce point [Corcolle et al., 2009a].

µ

µ2 1/Contraste des phases

Bornes classiques

Information additionnelle

sur la perméabilité effective

Bornes plus restrictives

incorporant une valeur de

la perméabilité effective

µ

µ

µ2 1/µ

‘

‘‘

Figure 2.10 – Bornes sur la perméabilité effective µ avec et sans l’informationadditionnelle à propos de la valeur de la perméabilité effective dans une configu-ration donnée.

Par exemple, quand seules les fractions volumiques du composite sont connues,la perméabilité effective µ est encadrée par les bornes de Wiener. En faisant varierla valeur de la perméabilité effective, les bornes plus restrictives sont déduites,puis enfin, les bornes sur la dérivée ∂µ/∂µi peuvent être déterminées.

Dans le cas d’isotropie du composite, la même démarche est utilisée. La per-méabilité effective µ est encadrée par les bornes de Hashin et Shtrikman. Lesbornes plus restrictives sont ensuite déterminées en faisant varier la valeur de laperméabilité effective, et les bornes sur la dérivée ∂µ/∂µi en sont déduites. Onretrouve avec cette méthodes les bornes proposées par [Axell, 1992].

Cette méthodologie permet de borner la dérivée ∂µ/∂µi, ce qui signifie que desbornes sur les moments d’ordre 2 〈H(x)2〉i peuvent être déterminées. L’optimalitéde ces bornes est démontrée par le fait que certaines microstructures particulièresles atteignent [Corcolle et al., 2009a].


Notamment, lorsque seules les fractions volumiques sont connues, les bornessont atteintes par des microstructures d’ellipsoïdes de Hashin (voir figure 2.11).

Figure 2.11 – Microstructure des ellipsoides de Hashin. L’espace est entièrementrempli jusqu’à l’infiniment petit avec des assemblages d’ellipsoïdes.

Dans le cas d’un composite 2D isotrope, les bornes obtenues sur les momentsd’ordre 2 sont également optimales, puisqu’il est possible de définir des micro-structures atteignant ces bornes. C’est le cas des microstructures en cylindresdoublement renforcés (voir figure 2.12).

La figure 2.13 présente les différentes bornes sur la perméabilité effective µainsi que sa dérivée ∂µ/∂µi pour un composite biphasé. Deux types de bornessont présentées : des bornes générales, ainsi que des bornes pour les compositesistropes 2D.


Figure 2.12 – Microstructure des cylindres de Hashin doublement renforcés.L’espace est entièrement rempli jusqu’à l’infiniment petit avec des assemblagesde ces cylindres.

2 4 6 8 10 12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

∂µ

∂µ1

Bornes généralesBornes pour les compositesisotropes 2D

Phase 1 (µ1 = 20, f1 = 0.6)Phase 2 (µ2 = 1, f2 = 0.4)

Perméabilité effective µ

Figure 2.13 – Bornes sur la perméabilité effective ainsi que sa dérivée. Ces bornessont optimales puisque certaines microstructures particulières (représentées surcette figure) réalisent ces bornes.


Cette figure montre qu’il est possible de passer de la borne inférieure de Wie-ner à la borne supérieure (ou inversement) en modifiant la microstructure de façoncontinue (à fraction volumique constante). Ainsi, toutes les valeurs de perméa-bilité effective µ comprises entre les bornes de Wiener sont réalisables avec unemicrostructure d’ellipsoïdes de Hashin. Les moments d’ordre 2 des composites bi-phasés sont également encadrés par ceux obtenus avec ce type de microstructure[Corcolle et al., 2009a].

2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

∂µ

∂µ2

Bornes généralesBornes pour les compositesisotropes 2D


Figure 2.14 – Bornes sur la perméabilité effective ainsi que sa dérivée. Ces bornessont optimales puisque certaines microstructures particulières (représentées surcette figure) réalisent ces bornes. Les perméabilités et fractions volumiques desphases sont les mêmes que pour la figure 2.13.

Le même constat peut être réalisé pour les composites 2D isotropes. Il estpossible de passer de façon continue d’une borne de Hashin et Shtrikman à l’autre(à fraction volumique constante). Ainsi, toutes les valeurs de perméabilité effectiveµ sont réalisables avec des microstructures de cylindres de Hashin doublementrenforçés. Les moments d’ordre 2 des composites 2D biphasés et isotropes sontencadrés par ceux obtenus avec ces microstructures.


2.7 Comportements non-linéaires

Seuls les développements en mécanique non-linéaire sont présentés ici mais latransposition aux comportements magnétiques, électriques ou thermiques s’effec-tue sans difficulté.

Les outils d’homogénéisation présentés précédemment s’appuient sur la théo-rie des champs moyens. Malheureusement l’extension de ces outils aux compor-tements non-linéaires ne peut être appliquée sans précaution.

2.7.1 Limitation de l’approche en champs moyens

L’utilisation des valeurs moyennes des champs lorsque les relations de com-portement sont linéaires est suffisant dans tous les cas ; en revanche, lorsque lesrelations de comportement sont non-linéaires, des informations supplémentairesà propos de la distribution des champs sont nécessaires. Ce point est illustré surla figure 2.15 sur une courbe présentant la déformation de magnétostriction enfonction du champ magnétique, les valeurs moyennes des champs ne sont plusdirectement reliées par la loi de comportement (contrairement au cas linéaire).

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 104

0

0.5

1

1.5x 10

−3

Champ magnétique H (A/m)

Ma

gn

éto

stri

cti

on 〈Sµ〉

〈H〉

Figure 2.15 – Influence de la distribution des champs lorsque la relation decomportement est non-linéaire.

Une solution classique quand on rencontre des non-linéarités est de linéariserles relations de comportements et d’effectuer un calcul d’homogénéisation sur unmilieu (fictif) hétérogène linéaire de comparaison (voir figure 2.16). Rien n’imposede choisir pour le Milieu Linéaire de Comparaison une microstructure identique àcelle du milieu réel. Il serait possible de choisir une microstructure tenant comptedes fluctuations intraphases en séparant chaque phase en plusieurs "sous-phases".Cette voie n’a pas été explorée dans ce travail.

53 2.7 Comportements non-linéaires

VER NON-LINEAIREVER LINEAIRE DE

COMPARAISON

Linéarisation

Figure 2.16 – Milieu hétérogène linéaire de comparaison. Les dégradés dansle VER non-linéaire indiquent que les propriétés dépendent du champ local etdonc ne sont pas constantes par phase. En revanche, dans le VER linéaire decomparaison, les propriétés dans chaque phase ne dépendent pas du champ local,ces propriétés sont constantes dans chaque phase.

Les développements traités ici se basent sur la linéarisation du tenseur derigidité. Il faut noter que d’autres méthodes existent, basées sur les potentielsthermodynamiques [Ponte Castañeda and Suquet, 1998; Bornert et al., 2001] etoù le comportement effectif peut être formulé rigoureusement au travers d’uneformulation variationnelle.

2.7.2 Linéarisation

La linéarisation des relations de comportement et l’utilisation des outils d’ho-mogénéisation (ceux utilisés en linéaire) introduit une erreur sur l’estimationpuisque les valeurs moyennes ne sont plus directement reliées par la loi de com-portement (figure 2.15). On peut toutefois obtenir une première estimation parce moyen.

Plusieurs stratégies de linéarisation sont possibles. Les deux stratégies clas-siques pour linéariser la fonction y = f(x) autour de x0 sont les suivantes :

– linéarisation sécante : cs = f(x0)/x0 et y ≈ cs · x– linéarisation affine : ca = df/dx(x0), y0 = f(x0)− ca · x0 et y ≈ ca · x+ y0

Approche sécante classique

La manière la plus simple de choisir les tenseurs des modules sécants estde les associer aux déformations moyennes par phase déterminées par un calculd’homogénéisation sur le milieu linéaire de comparaison [Hill, 1965b; Berveillerand Zaoui, 1979].


sécante

ane

y0

x0

ca cs

y=f(x)

Figure 2.17 – Différentes approches de linéarisation de la loi de comportement.

Cette approximation conduit néanmoins à une solution exacte dans certainscas particuliers où l’état mécanique dans les phases non-linéaires est homogène.C’est le cas dans les composites multi-couches ou bien dans les composites à par-ticules ellipsoïdales (comportement non-linéaire) à faible fraction volumique dansune matrice à comportement linéaire. On peut aussi estimer que cette approxi-mation est satisfaisante lorsque les fluctuations intraphases restent faibles.

Avec ce choix, le tenseur de rigidité est le suivant :

Ci = Cscti (〈S〉i) = Csct

i (Si) (2.65)

L’algorithme de cette approche sécante est alors le suivant (les exposants kindiquent l’itération) :

Entrée : S

Sortie : T

initialisation : ∀i, Sk−1i = S (par exemple)

Début boucle (k = k + 1) :1 : ∀i, Ci = Csct

i (Ski ) (linéarisation sécante)

2 : ∀i, calcul des ACi sur le milieu linéaire de comparaison

3 : ∀i, Sk+1i = AC

i : S actualisation des déformations moyennes par phase4 : ∀i, ||Sk+1

i − Ski ||/||Sk+1

i || ≤ δ ? (test de convergence)Fin boucle si critère de convergence respecté

fin : calcul de C sur le dernier milieu linéaire de comparaison→ T = C : S

55 2.7 Comportements non-linéaires

où le critère de convergence δ doit être choisi convenablement (typiquement,on choisit une valeur de l’ordre de 10−3). La convergence de cet algorithme n’estpas assurée mais il sera suffisant pour traiter les non-linéarités des lois de com-portement étudiées.

Approche sécante modifiée

Une seconde approche utilisant les modules sécants est l’approche sécantemodifiée [Suquet, 1995]. Au lieu d’estimer le tenseur de rigidité sécant en lavaleur moyenne des déformations par phase, on linéarise ce tenseur autour desmoments d’ordre 2 〈S(x)⊗ S(x)〉i qui fournissent une quantification de l’hétéro-généité locale de la déformation dans la phase i. Cette approche est similaire à laformulation variationnelle de Ponte-Castañeda [Ponte-Castañeda, 1991, 1996].

Avec ce choix, le tenseur de rigidité est alors le suivant :

Ci = Cscti (√〈S2

mn〉i) (2.66)

où le tenseur d’ordre 2 S2mn désigne les moments d’ordre 2 "diagonaux" de la

phase.L’algorithme de l’approche sécante modifiée est alors le suivant :

Entrée : S

Sortie : T

initialisation : ∀i, Sk−1i = S

∀i, 〈S2mn〉

k−1i =

⟨S2

mn

⟩k−1

i

Début boucle (k = k + 1) :

1 : ∀i, Ci = Cscti (〈S2

mn〉k

i ) (linéarisation sécante modifiée)2 : ∀i, calcul des AC

i sur le milieu linéaire de comparaison3 : ∀i, Sk+1

i = ACi : S actualisation des déformations moyennes par phase

4 : ∀i, calcul de 〈S2mn〉

k+1i (moments d’ordre 2)

5 : ∀i, ||Sk+1i − Sk

i ||/||Sk+1i || ≤ δ ? (test de convergence)

Fin boucle si critère de convergence respecté

fin : calcul de C sur le dernier milieu linéaire de comparaison→ T = C : S

Modèles affines

De même, la linéarisation affine permet de fournir des estimations de com-portement non-linéaire (voir [Rekik, 2006; Rekik et al., 2007] pour les modèles).Toutefois, les lois de comportement sont affines y = ca · x + y0, et présententdonc un terme de polarisation y0. Comme les relations de comportement sont deforme différente de celles relations de comportement linéaires "classiques", les ou-tils présentés précédemment ne peuvent être directement appliqués. Par exemple,


les tenseurs de localisation ne permettent plus de relier directement les champsmoyens par phase au champs macroscopiques.

Néanmoins, l’écriture des relations de localisation (voir l’équation (2.24)) enfonction du tenseur d’Eshelby reste valable, même pour des relations de comporte-ment présentant un terme de polarisation. Les champs moyens par phase peuventalors être déterminés et le calcul itératif (semblable à celui de la méthode sécante)peut être effectué.

En linéarisant la relation de comportement autour de la valeur moyenne desdéformations, on obtient dans la phase i :

T(x)− 〈T(x)〉i = Ctgti (〈S(x)〉i) : (S(x)− 〈S(x)〉i) (2.67)

qui peut être réécrit sous la forme suivante :

T(x) = Ctgti (Si) : S(x) + Pi avec Pi = Ti − Ctgt

i (Si) : Si (2.68)

où Ti est déterminé à partir de la relation non-linéaire.L’algorithme pour la méthode de linéarisation affine est le suivant :

Entrée : S

Sortie : T

initialisation : ∀i, Sk−1i = S

Début boucle (k = k + 1) :1 : ∀i, Ci = Ctgt

i (Ski ) (linéarisation tangente)

2 : ∀i, Pi = Ti − Ci : Si (termes de polarisation)3 : ∀i, calcul de Sk+1

i (à partir de l’équation (2.24))5 : ∀i, ||Sk+1

i − Ski ||/||Sk+1

i || ≤ δ ? (test de convergence)Fin boucle si critère de convergence respecté

fin : calcul de C et P → T = C : S + P

Tout comme l’approche sécante modifiée, il est possible de rendre comptedes hétérogénéités intraphases dans une formulation affine, c’est une formulationaffine modifiée [Lahellec and Suquet, 2004; Brenner et al., 2001] mais celle-ci n’apas été développée dans cette étude.

2.8 Conclusion

Les outils d’homogénéisation des comportements découplés ont été présen-tés dans ce chapitre. Une interprétation basée sur les problèmes d’inclusion estutilisée. Elle permet de retrouver les bornes et estimations classiques.

Dans le chapitre 4, nous comparerons des résultats provenant d’un modèleEléments Finis à ceux de ce modèle, pour des calculs réalisés en magnétisme.

57 2.8 Conclusion

Quelques solutions pour homogénéiser les comportements non-linéaires ontété également présentées. Le calcul utilise le modèle d’homogénéisation linéaireet s’effectue sur un Milieu Linéaire de Comparaison. Le Milieu Linéaire de Compa-raison est obtenu en linéarisant les propriétés des phases du matériau hétérogène.

Ces outils d’homogénéisation ont été majoritairement développés dans uncadre de comportements découplés. L’adaptation de ces outils aux comporte-ments découplés fait l’objet du prochain chapitre.

Chapitre 3

Outils d’homogénéisation pour les

comportements couplés

Sommaire3.1 Décomposition des champs suivant leur origine phy-

sique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Comportements linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Champs macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.2 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.3 Tenseur effectif de comportement . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Extension aux comportements non-linéaires . . . . . 67

59

Chapitre 3 : Outils d’homogénéisation pour les comportements couplés 60

61 3.1 Décomposition des champs suivant leur origine physique

Les outils d’homogénéisation ont été principalement développés dans le cadredes comportements découplés. Pour pouvoir être appliqués aux comportementscouplés, il est nécessaire d’adapter ces outils. Certains auteurs [Li and Dunn,1998; Huang et al., 1998] ont adaptés les outils d’homogénéisation au traversd’une modification du tenseur d’Eshelby prenant en compte le couplage des loisde comportement. Le calcul de ces tenseurs d’Eshelby (basé sur des calculs d’in-tégrales elliptiques) devient alors plus complexe.

Une autre approche applicable aux microstructures périodiques est basée surla transformation de Fourier [Brenner, 2009]. L’approche par Eléments Finis estégalement envisageable. On propose ici d’effectuer une décomposition des champssuivant leur origine physique, associé à des relations de comportement a prioridécouplé, pour pouvoir utiliser les outils d’homogénéisation développés dans lecadre des comportements découplés [Corcolle et al., 2008b]. L’avantage de cetteapproche est que les tenseurs d’Eshelby sont déterminés dans le cas des com-portements découplés (le calcul de ces tenseurs est donc plus simple que dansl’approche précédente). En contrepartie, le nombre d’équations et d’inconnuesest augmenté.

3.1 Décomposition des champs suivant leur ori-

gine physique

Dans le cas de comportements couplés entre la mécanique, le magnétisme,l’électricité et la thermique (ou comportement elasto-magnéto-électro-thermique),les champs totaux (ceux dérivant d’un potentiel) peuvent être décomposés de lamanière suivante :

S = SC + Sµ + Sε + Sλ

H = HC + Hµ + Hε + Hλ

E = EC + Eµ + Eε + Eλ

K = KC + Kµ + Kε + Kλ

(3.1)

Les exposants représentent l’origine physique des contributions.Par exemple, Sµ représente la déformation de magnétostriction, c’est-à-dire la

déformation libre (à contrainte nulle) du matériau lorsqu’il est soumis à un champmagnétique. SC représente la déformation élastique, c’est-à-dire la déformationreliée à la contrainte.

Les relations de comportement à associer à ces décompositions sont les sui-vantes :

T = C : SC

B = µ · Hµ

D = ε · Eε

J = λ · Kλ

(3.2)

où ces lois de comportements sont de forme similaire à celles des comportementsdécouplés. L’idée de la décomposition des champs vient de la décomposition clas-sique du tenseur de déformation en plasticité [Hill, 1965a; Hutchinson, 1970] où


le tenseur des déformations est séparé en deux contributions : une contributionélastique reliée au tenseur des contraintes, et une contribution plastique ne créantpas de contraintes.

COUPLAGE ELASTO-MAGNETO-ELECTRO-THERMIQUE

Mécanique Thermique

Magnétisme

Electricité

T

B

D

JS

H

E

K

Sµ

Sλ

Sε

HC

Hε

Hλ

EC

Eµ

Eλ

Kµ

KC

Kε

SC

Hµ

Eε

Kλ

Figure 3.1 – Décomposition des champs suivant leur origine physique.

Les relations de comportement locales sont de la forme générale suivante :

Ti

Bi

Di

Ji

=

CCi C

Cµi CCε

i CCλi

CµCi C

µi C

µεi C

µλi

CεCi C

εµi Cε

i Cελi

CλCi C

λµi Cλε

i Cλi

·

Si

Hi

Ei

Ki

= Li ·

Si

Hi

Ei

Ki

(3.3)

Dans le cas de comportements linéaires (non-dissipatifs), il peut être noté que la

63 3.1 Décomposition des champs suivant leur origine physique

matrice de comportement présente des symétries (ou anti-symétries) [Nogarede,1999]. En effet, les relations suivantes sont vérifiées :

CCµi = −tC

µCi

CCεi = −tCεC

i

CCλi = −tCλC

i

Cµεi = tC

εµi

Cµλi = tC

λµi

Cελi = tCλε

i

(3.4)

Un choix différent des variables d’état peut amener à une matrice de compor-tement symétrique. Par exemple, choisir −Si à la place de Si permet d’obtenirune matrice symétrique. Néanmoins, nous préférons garder une écriture ne faisantpas apparaitre explicitement les symétries ou anti-symétries pour le tenseur depropriétés afin de rester dans un cadre général ; en effet, dans le cas des compor-tements non-linéaires, ces symétries ne sont plus vérifiées.

Les lois de comportements sont réécrites à l’aide des champs décomposés :

Ti = CCi · SC

i

Bi = Cµi · Hµ

i

Di = Cεi · Eε

i

Ji = Cλi · Kλ

i

(3.5)

qui sont des lois de comportement "découplées". Les lois additionnelles de cou-plages sont :

CCi · Sµ

i = −CCµi · Hi CC

i · Sεi = −CCε

i · Ei CCi · Sλ

i = −CCλi · Ki

Cµi · HC

i = −CµCi · Si C

µi · Hε

i = −Cµεi · Ei C

µi · Hλ

i = −Cµλi · Ki

Cεi · EC

i = −CεCi · Si Cε

i · Eµi = −C

εµi · Hi Cε

i · Eλi = −Cελ

i · Ki

Cλi · KC

i = −CλCi · Si Cλ

i · Kµi = −C

λµi · Hi Cλ

i · Kεi = −Cλε

i · Ei

(3.6)

Réécrivons par exemple les lois de comportement de la piézoélectricité :

T = C : S − t · ED = : S + ε · E (3.7)

En utilisant la décomposition du tenseur des déformations et du champ électrique,on obtient :

décomposition :

S = SC + Sε

E = EC + Eε

relations de comportement :

T = C : SC

D = ε · Eε

relations de couplage :

C : Sε = te · Eε · EC = −e : S

(3.8)

Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier l’utilisation de cette dé-composition des champs, menant à des relations de comportement découplé, avecles outils d’homogénéisation classiques présentés dans le chapitre précédent.


3.2 Comportements linéaires

Lorsque toutes les relations de couplages sont linéaires (comme c’est le caspour la piézoélectricité ou le piézomagnétisme par exemple), les outils d’homo-généisation présentés dans le chapitre précédent peuvent toujours s’appliquer.Néanmoins, il faut prendre des précautions vis-à-vis des opérations de moyennes.

3.2.1 Champs macroscopiques

Si les champs totaux macroscopiques sont toujours directement les moyennesdes champs totaux locaux, il en est autrement pour les champs décomposés. Eneffet, la décomposition des champs s’applique aussi aux champs macroscopiques.Ainsi, on a :


H = HC + Hµ + Hε + Hλ

E = EC + Eµ + Eε + Eλ

K = KC + Kµ + Kε + Kλ

(3.9)

et les champs totaux macroscopiques vérifient toujours :

T = 〈T(x)〉 =n∑

i=1

fiTi

B = 〈B(x)〉 =n∑

i=1

fiBi

D = 〈D(x)〉 =n∑

i=1

fiDi

J = 〈J(x)〉 =n∑

i=1

fiJi

(3.10)

S = 〈S(x)〉 =n∑

i=1

fiSi

H = 〈H(x)〉 =n∑

i=1

fiHi

E = 〈E(x)〉 =n∑

i=1

fiEi

K = 〈K(x)〉 =n∑

i=1

fiKi

(3.11)

65 3.2 Comportements linéaires

En revanche, les champs décomposés macroscopiques ne vérifient pas ce genre derelations, on a en général :

SC 6=⟨SC⟩

Sµ 6= 〈Sµ〉 Sε 6= 〈Sε〉 Sλ 6=⟨Sλ⟩

HC 6=⟨HC⟩

Hµ 6= 〈Hµ〉 Hε 6= 〈Hε〉 Hλ 6=⟨Hλ⟩

EC 6=⟨EC⟩

Eµ 6= 〈Eµ〉 Eε 6= 〈Eε〉 Eλ 6=⟨Eλ⟩

KC 6=⟨KC⟩

Kµ 6= 〈Kµ〉 Kε 6= 〈Kε〉 Kλ 6=⟨Kλ⟩

(3.12)

Les valeurs macroscopiques de ces champs ne sont plus directement les valeursmoyennes des grandeurs locales associées à cause des incompatibilités que lesphénomènes de couplage engendrent [François et al., 1991].

En fait, les champs macroscopiques décomposés peuvent être déterminés grâceaux tenseurs de concentration BC déterminés dans le cas des comportements dé-couplés [François et al., 1991; Corcolle et al., 2008b] :

SC =⟨tBC(x) : SC(x)

⟩= C−1 : T Sµ =

⟨tBC(x) : Sµ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBC

i : Sµi

Sε =⟨tBC(x) : Sε(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBC

i : Sεi Sλ =

⟨tBC(x) : Sλ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBC

i : Sλi

Hµ =⟨tBµ(x) · Hµ(x)

⟩= µ−1 · T HC =

⟨tBµ(x) · HC(x)

⟩=

n∑

i=1

fitB

µi · HC

i

Hε =⟨tBµ(x) · Hε(x)

⟩=

n∑

i=1

fitB

µi · Hε

i Hλ =⟨tBµ(x) · Hλ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitB

µi · Hλ

i

Eε =⟨tBε(x) · Eε(x)

⟩= ε−1 · D EC =

⟨tBε(x) · EC(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBε

i · ECi

Eµ =⟨tBε(x) · Eµ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBε

i · Eµi Eλ =

⟨tBε(x) · Eλ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBε

i · Eλi

Kλ =⟨tBλ(x) · Kλ(x)

⟩= λ−1 · J KC =

⟨tBλ(x) · KC(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBλ

i · KCi

Kµ =⟨tBλ(x) · Kµ(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBλ

i · Kµi Kε =

⟨tBλ(x) · Kε(x)

⟩=

n∑

i=1

fitBλ

i · Kεi

(3.13)


La démonstration suivante est donnée pour la mécanique, un raisonnement si-milaire s’applique pour le magnétisme, l’électricité et la thermique. En partantde l’équation suivante :

⟨tBC(x) : S(x)

⟩=⟨tBC(x) : SC(x)

⟩+⟨tBC(x) : (Sµ(x) + Sε(x) + Sλ(x))

⟩

Le premier terme du second membre est égal à :

⟨tBC(x) : SC(x)

⟩=⟨tBC(x) : C(x)−1 : T(x)

⟩

en utilisant la loi de comportement "découplée". En transposant, on obtient :

⟨tBC(x) : SC(x)

⟩= t⟨T(x) : C(x)−1 : BC(x)

⟩

puisque T(x) et C(x) sont des tenseurs symétriques. De plus l’utilisation dulemme de Hill permet d’écrire :

t⟨T(x) : C(x)−1 : BC(x)

⟩= t(〈T(x)〉 :

⟨C(x)−1 : BC(x)

⟩)

qui peut se réécrire en introduisant le tenseur de rigidité effectif C (déterminédans le cas découplé) :

t⟨T(x) : C(x)−1 : BC(x)

⟩= t(T : C−1

)= C−1 : T = SC

où C =⟨C(x)−1 : BC(x)

⟩est le tenseur effectif de rigidité déterminé dans le

cas des comportements découplés. De plus, la première équation vérifie aussi :

⟨tBC(x) : S(x)

⟩=⟨tBC(x)

⟩: 〈S(x)〉 = S

par application du lemme de Hill. On obtient donc au final :


SC =⟨tBC(x) : SC(x)

⟩= C−1 : T 6=

⟨SC(x)

⟩

Sµ =⟨tBC(x) : Sµ(x)

⟩6= 〈Sµ(x)〉

Sε =⟨tBC(x) : Sε(x)

⟩6= 〈Sε(x)〉

Sλ =⟨tBC(x) : Sλ(x)

⟩6=⟨Sλ(x)

⟩


67 3.3 Extension aux comportements non-linéaires

3.2.2 Opérateurs de localisation

Afin de calculer les différents champs moyens par phase, il faut utiliser lesrelations de localisation donnée par les équations (2.24) et (2.41), réécrites ici :

N Ci : C−1

ref :(T − Ti

)=(N C

i − I):(S − Si

)

Nµi · µ−1

ref ·(B − Bi

)= (Nµ

i − I) ·(H − Hi

)

Nεi · ε−1

ref ·(D − Di

)= (Nε

i − I) ·(E − Ei

)

Nλi · λ−1

ref ·(J − Ji

)=(Nλ

i − I)·(K − Ki

)(3.14)

car ces relations restent valables mêmes lorsque les champs duaux (par exemplecontrainte et déformation) ne sont pas directement reliés entre eux à traversle tenseur de propriétés (le tenseur de rigidité dans l’exemple mécanique). Eneffet, dans le cas des comportements couplés linéaires, les lois de comportementpeuvent être vues comme des relations linéaires avec un terme de polarisation ;par exemple en mécanique :

T = C : SC = C :(S − Sµ − Sε − Sλ

)= SC : S + P (3.15)

où P est le terme de polarisation mécanique.

3.2.3 Tenseur effectif de comportement

En résolvant un système d’équations (voir algorithme en annexe C), il estpossible de déterminer le tenseur effectif de comportement L s’écrivant de lamanière suivante :

T

B

D

J

=

CC CCµ CCε CCλ

CµC Cµ Cµε Cµλ

CεC Cεµ Cε Cελ

CλC Cλµ Cλε Cλ

·

S

H

E

K

= L ·

S

H

E

K

(3.16)

Il faut noter que cette matrice de comportement effectif L peut faire apparaîtredes termes de couplages extrinsèques, c’est-à-dire qu’un couplage n’apparaissantpas localement dans les phases du matériau hétérogène apparait macroscopique-ment. C’est par exemple le cas pour le couplage magnéto-électrique apparaissantmacroscopiquement dans les composites constitués de phases piézoélectriques etpiézomagnétiques [Corcolle et al., 2008b].

3.3 Extension aux comportements non-linéaires

Lorsque les lois de comportement sont non-linéaires, le calcul est effectué surun VER linéaire de comparaison (à comportements couplés). La méthodologieest similaire à celle présentée au chapitre précédent pour les comportements dé-couplés. La principale difficulté réside dans l’étape de linéarisation des lois decomportement couplé.


Nous nous limitons ici à une linéarisation sécante classique, c’est à dire queles différentes propriétés sont linéarisées de façon sécante autour des valeursmoyennes des champs par phase.

Chapitre 4

Résultats

Sommaire4.1 Calculs Eléments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Microstructures étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.2 Inconnues de modèle Eléments Finis et conditions auxlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.3 Identification du comportement effectif . . . . . . . . . 74

4.1.4 Informations supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Comportement magnétique (découplé) . . . . . . . . . 74

4.2.1 Perméabilité effective (comportements linéaires) . . . . 75

4.2.2 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3 Comportement non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Comportements couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.1 Effet magnéto-électrique dans les composites piézoélec-triques/piézomagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.2 Composite magnétostrictif . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

69

Chapitre 4 : Résultats 70

71 4.1 Calculs Eléments Finis

Les résultats fournis par le modèle d’homogénéisation sont présentés dans cechapitre. Ces résultats sont comparés à ceux provenant d’un logiciel ElémentsFinis. Dans une première partie, un problème de magnétisme découplé est traité.Les différentes bornes et estimations sont discutées ainsi que les résultats surles moments d’ordre 2. Ensuite, une application avec des phases à comporte-ment magnétique non-linéaire est étudiée. Dans la seconde partie, l’applicationdes outils d’homogénéisation à des composites constitués de phases piézoélec-triques/magnétostrictives est proposée, permettant de décrire l’effet magnéto-électrique extrinsèque. Enfin, la modélisation d’un composite magnétostrictif non-linéaire est présentée.

4.1 Calculs Eléments Finis

Les calculs Eléments Finis sont réalisés sous le logiciel COMSOL MultiphysicsTM

.Ce logiciel permet d’introduire des lois de comportement couplé et non-linéaire.

4.1.1 Microstructures étudiées

Les microstructures étudiées avec la modélisation par Eléments Finis sont dedeux types :

– matrice/inclusions : voir figure 4.1,– mosaïque : voir figure 4.2.

Figure 4.1 – Microstructure detype matrice/inclusions (type I).

Figure 4.2 – Microstructure detype mosaique (type II).

Sur ces figures (représentations 2D), chaque couleur représente une phase(et donc une valeur de perméabilité µi). Dans les microstructures de type ma-trice/inclusions (type I), une phase joue le rôle de matrice et toutes les autresphases sont plongées dans cette matrice. La microstructure est générée aléatoire-ment ; la position des inclusions est tirée aléatoirement ainsi que ses dimensions


(demi-axes d’ellipsoïdes), tout en s’assurant qu’il n’y ait pas de chevauchemententre les inclusions. Pour les microstructures de type mosaïque (type II), aucunephase ne joue de rôle particulier comparée aux autres, on parle de matériau parfai-tement désordonné. Ce type de microstructure est aussi généré aléatoirement ; lesdifférentes lignes sont placées aléatoirement, créant les domaines où sont affectéesaléatoirement les propriétés phases.

Dans certaines applications, les calculs Eléments Finis ont été réalisés sur desmicrostructures périodiques de type matrice/inclusions. Les cellules élémentairesétudiées en Eléments Finis sont montrées sur les figures 4.3 et 4.4 (représentations2D).

Microstructure périodique Cellule élémentaire

Figure 4.3 – Microstructure périodique pour les matériaux biphasés (type III).Seule la cellule élémentaire est étudiée par Eléments Finis avec des conditions depériodicité aux limites.

Microstructure périodique Cellule élémentaire

Figure 4.4 – Microstructure périodique pour les matériaux triphasés (type III).Seule la cellule élémentaire est étudiée par Eléments Finis avec des conditions depériodicité aux limites.

73 4.1 Calculs Eléments Finis

4.1.2 Inconnues de modèle Eléments Finis et conditionsaux limites

Les équations d’équilibre traitées étant celles de la statique (sans densité decourant pour la magnétostatique), les champs peuvent s’exprimer à partir depotentiels (voir chapitre 1). Les champs associés aux potentiels sont :

S =1

2

(∇u + t∇u

)

H = −∇φm

E = −∇φK = ∇T

(4.1)

où u est le champ de déplacement (vecteur), φm le potentiel scalaire magnétique,φ le potentiel électrique et T la température.

Les inconnues du modèle Eléments Finis seront les valeurs des potentiels enchaque nœud du maillage [Zienkiewicz, 1971]. Le chargement macroscopique seraappliqué en imposant la valeur du potentiel sur les bords de la microstructure.

Par exemple pour les microstructures non-périodiques, pour appliquer unchamp électrique macroscopique E suivant la direction x, on impose la valeurdu potentiel électrique sur certains bords, les autres bords respectent quant à euxdes conditions de Neumann [Bastos and Sadowski, 2003]. Par exemple, sur unemicrostructure cubique de côté L et centrée en l’origine (0, 0, 0), on impose unchamp électrique macroscopique E suivant x de la façon suivante :

φ(x = −L

2, y, z) = 0

φ(x =L

2, y, z) = −L · E

∂φ

∂y

∣∣∣∣y=−L

2

=∂φ

∂y

∣∣∣∣y=L

2

= 0

∂φ

∂z

∣∣∣∣z=−L

2

=∂φ

∂z

∣∣∣∣z=L

2

= 0

(4.2)

Quant aux microstructures périodiques, pour appliquer un champ macrosco-pique E suivant la direction x il faut imposer des conditions de périodicité. Surune microstructure cubique de côté L et centrée en l’origine (0, 0, 0), on imposeun champ électrique macroscopique E suivant x de la façon suivante :

φ(x =L

2, y, z) = φ(x = −L

2, y, z)− L · E

φ(x, y =L

2, z) = φ(x, y = −L

2, z)

φ(x, y, z =L

2) = φ(x, y, z = −L

2)

(4.3)


4.1.3 Identification du comportement effectif

Le tenseur effectif des propriétés couplées L relie les grandeurs macroscopiquescomme suit :

T

B

D

J

= L ·

S

H

E

K

(4.4)

Pour identifier le tenseur effectif L à partir du modèle Eléments Finis, il fautprocéder en plusieurs étapes. En effet, le tenseur effectif L ne peut être identifiéà partir d’un seul calcul Eléments Finis. En 3 dimensions, le tenseur effectif L estreprésenté par une matrice (15 × 15) qui peut être identifiée grâce à 15 calculsEléments Finis différents.

Une façon simple pour déterminer ce tenseur est de réaliser des essais menantà sa détermination colonne par colonne. La colonne i du tenseur L s’obtient enrécupérant le vecteur t

(T B D J

)lorsque le vecteur du chargement macro-

scopique t(

S H E K)

est nul, sauf sa i-ème composante qui est imposée

égale à 1. Par exemple, la troisième colonne de L est égale à t(

T B D J)

lorsque le chargement macroscopique est égal à :

S =

001000

H =

000

E =

000

K =

000

(4.5)

4.1.4 Informations supplémentaires

Le modèle Eléments Finis permet d’obtenir une description locale des diffé-rents champs. Ainsi, il est possible de récupérer les différents champs macrosco-piques permettant de déterminer le tenseur effectif L (voir paragraphe précédent).De plus, le modèle permet de fournir également la distribution des champs pourchaque phase. Il est alors possible de déterminer les champs moyens par phase (parexemple, la moyenne du champ magnétique par phase 〈H(x)〉i). De la même fa-çon, des informations statistiques d’ordre plus élevé peuvent être déduites commeles moments d’ordre 2 des champs (par exemple, les moments d’ordre 2 du champmagnétique par phase 〈H(x)2〉i).

4.2 Comportement magnétique (découplé)

Dans cette partie, seul le comportement magnétique est étudié. Les différentesbornes et estimations sur la perméabilité effective sont discutées et comparées àdes résultats provenant de calculs Eléments Finis réalisés sur différents typesde microstructure. De même, des calculs sont réalisés en Eléments Finis pour

75 4.2 Comportement magnétique (découplé)

valider l’encadrement des moments d’ordre 2 par les techniques d’homogénéisationsur les composites biphasés. Enfin, les différentes estimations obtenues pour lescomportements non-linéaires sont discutées.

Dans toute cette partie, les comportements magnétiques des phases sont iso-tropes et sont donc représentés par les perméabilités scalaires µi (en non-linéaire,ces perméabilités scalaires dépendent de l’intensité du champ magnétique). Lescalculs Eléments Finis sont réalisés sur les microstructures de type I et II pour ungrand nombre de réalisations aléatoires (500 tirages aléatoires pour chaque typede microstructure et pour chaque fraction volumique). Les résultats ElémentsFinis seront présentés sous forme de barres d’erreur pour indiquer la variabilitéintroduite par ces différentes réalisations aléatoires.

4.2.1 Perméabilité effective (comportements linéaires)

Dans cette partie, les résultats d’homogénéisation (algorithme A, voir annexeC) sont comparés à ceux provenant de calculs Eléments finis pour des compositesbiphasés et triphasés. Les différents résultats mettent en avant l’influence desfractions volumiques sur la perméabilité effective µ.

Composite biphasé

Les propriétés des phases du composite biphasé sont : µ1 = 1 et µ2 = 5.L’influence des fractions volumiques sur la perméabilité effective µ est étudiéesur la figure 4.5. Seules des microstructures en 2 dimensions ont été étudiées dansce cas.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

µ

µ1

Bornes générales (Wiener)Bornes isotropie 2D (HS)Estimation AC

EF type I (phase 1 : inclusions)EF type I (phase 1 : matrice)EF type II

Fraction volumique f1

Figure 4.5 – Perméabilité effective pour un composite biphasé en fonction de lafraction volumique de la phase 1. Les courbes représentent les bornes et estima-tions d’homogénéisation tandis que les points et barres d’erreur représentent lesrésultats Eléments Finis pour différents types de microstructures [Corcolle andDaniel, 2008].

Il faut noter que pour les résultats provenant des calculs Eléments Finis pourles microstructures de type I, les résultats sont présentés sous formes de pointset non de barres d’erreur car la variabilité normalement dûe aux nombreusesgénérations aléatoires est apparue très faible (de l’ordre du %). Pour ce type demicrostructure, le taux de remplissage en inclusions est de 60% au maximum.

Voici les remarques qui peuvent être faites à propos de la figure 4.5 :– tous les résultats provenant des calculs Eléments Finis sont (logiquement)

encadrés par les bornes de Wiener, qui sont les bornes les plus larges pos-sibles (à fraction volumique donnée).

– la plupart des résultats Eléments Finis est comprise entre les bornes de Ha-shin et Shtrikman. Cela peut s’expliquer par le fait que les microstructuresgénérées aléatoirement sont approximativement isotropes. Néanmoins, il aété noté que quelques résultats associés à un petit nombre de réalisationspour le type I violent légèrement ces bornes, principalement pour des faiblesfractions volumiques d’inclusions. L’anisotropie de ces microstructures peutalors être mise en cause (voir figures 4.6 et 4.7).


– pour les microstructures de type I, les estimations de Hashin et Shtrikmanpeuvent être jugées comme très satisfaisantes. Dans le cas où la phase 1 jouele rôle de matrice, l’estimation inférieure de Hashin et Shtrikman semblesatisfaisante. Cette estimation a été obtenue dans le modèle d’homogénéi-sation basé sur les problèmes d’inclusion en prenant comme propriétés dumilieu infini celles de la phase 1. De même, lorsque la phase 1 joue le rôled’inclusions (et donc la phase 2 joue le rôle de matrice), l’estimation supé-rieure semble pertinente. Cette estimation a été obtenue en prenant commepropriétés du milieu infini celles de la phase 2.

– l’estimation auto-cohérente est satisfaisante pour les microstructures detype II (en tout cas pour la valeur moyenne sur tous les tirages aléatoires).Il faut toutefois noter que la variabilité pour ce type de microstructures’est révélée assez élevée (certaines générations aléatoires ont présenté unedifférence allant jusqu’à 10% sur la perméabilité effective).

Figure 4.6 – Microstructure detype I avec 10% d’inclusions.

Figure 4.7 – Microstructure detype I avec 40% d’inclusions.

Sur les figures 4.6 et 4.7, l’hypothèse d’isotropie peut être clairement miseen doute pour un faible remplissage (ici pour 10% d’inclusions) alors que pourun remplissage plus élevé (ici à 40%) le tirage aléatoire (positions et dimensionsdes disques) semble avoir généré une microstructure isotrope. En fait, pour desmicrostructures de type à 10% d’inclusions, la microstructure représentée sur lafigure 4.6 ne respecte pas les conditions de Volume Elémentaire Représentatif(VER).

Composite triphasé

Les propriétés des phases du composite triphasé sont : µ1 = 1, µ2 = 5 et µ3 =50. Pour présenter l’influence des fractions volumiques sur la perméabilité effectiveµ, il faudrait présenter des courbes en 3 dimensions. Pour des raisons de clarté descourbes, une condition sur les fractions volumiques est imposée, permettant de


présenter des courbes 2D. On choisit d’imposer la condition suivante : les phases2 et 3 ont des fractions volumiques égales (f2 = f3 = (1− f1)/2).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

µ

µ1

Bornes générales (Wiener)Estimations type Mori-TanakaEstimation AC

EF type I (matrice : phase 1)

EF type I (matrice : phase 3)EF type II

Fraction volumique f1

EF type I (matrice : phase 2)

µ0 = µ1

µ0 = µ2

µ0 = µ3

Figure 4.8 – Perméabilité effective pour un composite triphasé en fonction de lafraction volumique de la phase 1 (les phases 2 et 3 ont des fractions volumiquesidentiques). Les courbes représentent les bornes et estimations d’homogénéisationtandis que les points et barres d’erreur représentent les résultats Eléments Finispour différents types de microstructures. [Corcolle and Daniel, 2008]

Tout comme pour les résultats du composite biphasé, la variabilité de la per-méabilité effective µ pour les microstructures de type I est apparue très faible.C’est pourquoi les résultats pour ces calculs Eléments Finis sont présentés sousforme de points. Le taux de remplissage des inclusions ne dépasse pas non plusles 60%, ce qui veut dire qu’avec la condition f1 = f2 on ne dépasse pas les 30%de remplissage pour la phase 1 lorsque celle-ci ne joue pas le rôle de matrice.Les résultats d’homogénéisation sont constitués des bornes de Wiener, d’estima-tions de type Mori-Tanaka et de l’estimation auto-cohérente. Les estimations detype Mori-Tanaka ont été obtenues en prenant comme propriétés du milieu in-fini les différentes perméabilités des phases. Plus particulièrement, en prenant lesminimum et maximum des perméabilités comme propriétés du milieu infini (ici,respectivement µ0 = µ1 et µ0 = µ3), les estimations obtenues sont les bornesde Hashin et Shtrikman pour les composites isotropes [Hashin and Shtrikman,


1963a].Les commentaires suivants peuvent être faits à propos de la figure 4.8 :– tout comme pour le composite biphasé, tous les résultats provenant des

calculs Eléments Finis sont encadrés par les bornes de Wiener.– la plupart des résultats Eléments Finis est encadrée par les bornes de Hashin

et Shtrikman, obtenues respectivement en choississant le maximum et leminimum des perméabilités pour les propriétés du milieu infini. Cela estencore dû au fait que les microstructures générées peuvent être considéréescomme isotropes. Le même commentaire que pour le composite biphasé àpropos de quelques réalisations violant ces bornes peut être fait.

– pour les microstructures de type I, les résultats Eléments Finis sont trèsproches des différentes estimations de Mori-Tanaka : pour une microstruc-ture de type matrice/inclusions, choisir les propriétés de la matrice pour lemilieu infini fournit une estimation très satisfaisante.

– pour les microstructures de type II, l’estimation auto-cohérente est à nou-veau satisfaisante pour les moyennes des calculs Eléments Finis.

Temps de calcul

Les temps de calculs affichés par la méthode Eléments Finis dépend beaucoupdu maillage de la microstructure. Pour ces calculs purement magnétiques surdes structures en 2D, le temps de calcul est de l’ordre de la dizaine de seconde(un peu plus long pour les microstrucures de type II où les maillages étaientplus fins) pour une réalisation de microstructure aléatoire (500 réalisations parfraction volumique ont été effectuées). Le calcul d’homogénéisation a duré moinsd’une seconde pour déterminer toutes les courbes (600 points par courbe). Onvoit ici le gain en temps de calcul des méthodes d’homogénéisation par rapportà la méthode des Eléments Finis, pour des résultats comparables.

4.2.2 Moments d’ordre 2

Dans cette partie, les moments d’ordre 2 du champ magnétique dans les com-posites biphasés obtenus à partir des outils d’homogénéisation sont comparés auxrésultats Eléments Finis [Corcolle et al., 2009a]. En particulier, la variance duchamp magnétique par phase est présentée. La variance du champ magnétiquepar phase est égale à :

V H

i =〈H(x)2〉i − 〈H(x)〉2i

〈H(x)〉2i(4.6)

Dans le cas des composites biphasés, les tenseurs de localisation (qui peuvent êtrereprésentés par des scalaires puisque l’on considère des comportements isotropes)s’expriment en fonction de la perméabilité effective µ. La variance s’exprime alorsde façon simple en fonction de µ (relation déterminée à partir des équations (2.35)


et (2.56)) :

V H

1 = f1 ·(µ1 − µ2

µ− µ2

)2

· ∂µ

∂µ1

− 1

V H

2 = f2 ·(µ2 − µ1

µ− µ1

)2

· ∂µ

∂µ2

− 1

(4.7)

La figure 4.9 présente les résultats d’homogénéisation (équation (4.7)) et Elé-ments Finis (équation (4.6)) à propos de la variance dans la phase 1 pour uncomposite biphasé dont les perméabilités des phases sont : µ1 = 1 et µ2 = 5. Lesfactions volumiques des phases sont telles que f1 = f2 = 0.5.

La figure 4.10 présente quant à elle les résultats d’homogénéisation et ElémentsFinis à propos de la variance dans la phase 2 pour un composite biphasé dont lesperméabilités des phases sont : µ1 = 1 et µ2 = 100. Les factions volumiques desphases sont également telles que f1 = f2 = 0.5.

La variabilité des résultats Eléments Finis pour les microstructures de type Iest également très faible, qu’il s’agisse de la variabilité sur la perméabilité effec-tive ou de la variabilité sur la variance du champ magnétique par phase. C’estpourquoi les résultats sont présentés sous forme de points pour ces microstruc-tures. Concernant les microstructures de type II, la variabilité étant élevée que cesoit sur la perméabilité effective ou la variance, les résultats sont présentés sousforme de nuage de points.

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

A B

C

D

V H

1 = (〈H(x)2〉1 − 〈H(x)〉21)/ 〈H(x)〉21


Bornes généralesBornes isotropie 2DEstimation AC

EF type I (matrice : phase 1)EF type I (matrice : phase 2)EF type II

Figure 4.9 – Variance du champ magnétique dans la phase 1 en fonction de laperméabilité effective [Corcolle et al., 2009a].


5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

2

4

6

8

10

12

AB

D

C

V H

2 = (〈H(x)2〉2 − 〈H(x)〉22)/ 〈H(x)〉22


Bornes généralesBornes isotropie 2DEstimation AC

EF type I (matrice : phase 1)EF type I (matrice : phase 2)EF type II

Figure 4.10 – Variance du champ magnétique dans la phase 2 en fonction de laperméabilité effective [Corcolle et al., 2009a].

Les commentaires suivants peuvent être fait à propos des figures 4.9 et 4.10sur la variance du champ magnétique par phase :

– tous les résultats Eléments Finis pour les microstructure de type I sontencadrés par les bornes générales, ainsi que les bornes pour les compositesisotropes 2D ce qui est justifié par les fait que ces microstructures peuventêtre considérées comme isotropes.

– les résultats Eléments Finis pour les microstructures de type II ne sont pasencadrés par les bornes pour les composites 2D isotropes. Il s’agit là d’unemanifestation de l’anisotropie de la microstructure.

– les points A et B correspondent aux bornes de Wiener sur la perméabi-lité effective (solutions exactes pour les multi-couches). Les points C et Dcorrespondent aux bornes de Hashin et Shtrikman (2D).

– les résultats Eléments Finis pour les microstructures de type I sont trèspeu éloignés des points C et D correspondant aux bornes de Hashin etShtrikman. Les mêmes conclusions à propos des moments d’ordre 2 que pourla perméabilité effective peuvent être tirées, il semble que les microstructuresmatrice/inclusions puissent être modélisées de façon satisfaisante par lesestimations utilisant les propriétés de la matrice pour celles du milieu infini


dans le modèle d’homogénéisation.– les résultats Eléments Finis pour les microstructures de type II ne sont pas

très éloignés de l’estimation auto-cohérente malgré une grande variabilité.L’estimation auto-cohérente semble bien adaptée à ce genre de microstruc-tures.

Temps de calcul

Les mêmes remarques que pour les résultats sur la perméabilité effectivepeuvent être faites.

4.2.3 Comportement non-linéaire

Dans cette partie, le comportement magnétique des phases est non-linéaire.Le comportement des phases est donnée par la relation B−H (isotrope) suivante[Daniel, 2003] :

B = µ0

H +Ms

1

tanh

(3χ0H

Ms

) − Ms

3χ0H

(4.8)

où µ0 est la perméabilité du vide, Ms est l’aimantation à saturation et χ0 lasusceptibilité magnétique initiale (à champ nul) du matériau considéré.

Composite biphasé

Les deux phases du composite biphasé étudié ici ont les propriétés suivantes(l’exposant indique la phase correspondante) :

M1

s = 0.8× 106 A/m χ10 = 500

M2s = 0.4× 106 A/m χ2

0 = 100(4.9)

Les deux phases occupent le même volume, ce qui signifie f1 = f2 = 50%. Lamicrostructure étudiée pour ce composite est du type I (matrice/inclusions 2D)avec la phase 2 comme matrice. Pour ce type de microstructure, l’estimation deHashin et Shtrikman, qui donne de très bons résultats dans le cas de comporte-ments linéaires, est utilisée. Les résultats des différents modèles de linéarisation(algorithme B, voir annexe C) ainsi que le résultat Eléments Finis sont présentéssur la figure 4.11.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x10

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

phase 1

phase 2

B (T)

Champ magnétique macroscopique H (A/m)

Estimation sécanteEstimation sécante modifiéeEstimation affineRésultat Elément Finis

Figure 4.11 – Réponse macroscopique dans composite biphasé dont les phasesont un comportement magnétique non-linéaire.

Les commentaires suivants peuvent être faits à propos de la figure 4.11 :– la variabilité des microstructures en Eléments Finis n’a pas été étudiée dans

le cas des comportements non-linéaires car des problèmes de convergenceont été rencontrés. En utilisant un maillage plus grossier, le calcul s’effectuesans problème de convergence mais la solution alors obtenue est discutable.En utilisant un maillage suffisamment raffiné (quand un maillage plus finn’apporte qu’une variation négligeable sur la solution), le nombre d’incon-nues du modèle Eléments Finis devient important et malgré l’utilisation dedifférents solveurs non-linéaires, le calcul ne converge pas nécessairement. Lerésultat Eléments Finis présenté sur cette figure a été obtenu pour un tiragealéatoire avec un critère d’éloignement (critère permettant d’éviter le che-vauchement) des inclusions plus grossier, permettant d’éviter des maillagestrès fins lorsque les inclusions sont proches.

– l’estimation sécante surestime la réponse macroscopique, constatation quiétait attendue puisqu’en linéarisant le comportement des phases de la sorte,l’induction magnétique moyenne par phase est reliée au champ magnétiquemoyen par phase par la relation de comportement non-linéaire. Cette hypo-thèse est généralement fausse (sauf si le champ est homogène dans la phase)et mène à une surestimation de l’induction magnétique (pour ce type de loi


de comportement non-linéaire, ie une loi concave) comme le montre la figure2.15 dans le chapitre 2.

– l’utilisation de l’approche sécante modifiée fournit une estimation de l’in-duction moyenne plus basse que celle obtenue par l’approche sécante clas-sique. Ce second schéma de linéarisation donne un résultat plus proche de lasolution calculée par Eléments Finis, sans que cette constatation soit réel-lement probante, le calcul Eléments Finis n’ayant été mené que pour uneréalisation particulière de microstructure.

– l’estimation affine est également proche de la solution Eléments Finis maisavec les mêmes réserves que précédemment.

Temps de calcul

La méthode Eléments Finis affiche dans cette application un temps de calcultrès long (plus d’une heure) pour une seule réalisation. Le calcul d’homogénéisa-tion a lui duré à peine moins d’une minute pour déterminer les courbes des diffé-rentes procédures de linéarisation. Ceci caractérise encore l’avantage en temps decalcul des techniques d’homogénéisation par rapport à la méthode des ElémentsFinis.

4.3 Comportements couplés

4.3.1 Effet magnéto-électrique dans les composites piézo-électriques/piézomagnétiques

Dans cette partie, l’effet magnéto-électrique macroscopique apparaissant dansles composites piézoélectriques/piézomagnétiques est étudié [Corcolle et al.,2008b]. Les résultats d’homogénéisation sont comparés aux résultats provenantdes calculs Eléments Finis réalisés sur des microstructures périodiques de typeIII (biphasé et triphasé).

La phase piézoélectrique utilisée est un Titanate de Barium (BaTiO3). Laphase piézomagnétique utilisée est un alliage de Fer-Cobalt (CoFe2O4). Ce choixest déterminé par l’existence de résultats numériques et de modèles d’homogé-néisation avec ces matériaux et cette microstructure dans la littérature [Li andDunn, 1998; Lee et al., 2005]. Les relations de comportement de ces phases sont(notation vectorielle en élasticité) :

T = C · S − te · EB = µ · HD = ε · E + e · S

pour la phase piézoélectrique

T = C · S − tq · HB = µ · H + q · SD = ε · E

pour la phase piézomagnétique

(4.10)

85 4.3 Comportements couplés

Ces phases présentent une isotropie transverse. Les propriétés sont isotropesdans le plan (x, y), l’anisotropie venant de la direction z. Les tenseurs de proprié-tés des phases vérifient alors :

C11 = C22 C13 = C23 C44 = C55 C66 = C11 − C12

µ11 = µ22

ǫ11 = ǫ22e31 = e32 e15 = e24q31 = q32 q15 = q24

Les propriétés de ces phases sont données dans le tableau 4.1.

BaTiO3 CoFe2O4

C11 (GPa) 166 286C12 77 173C13 78 170.5C33 162 269.5C44 86 90.6µ11 (10−6 Ns2/C2) 5 -590µ33 10 157ǫ11 (10−10 C2/Nm2) 112 0.8ǫ33 126 0.93e31 (C/m2) -4.4 -e33 18.6 -e15 16.4 -q31 (N/Am) - 580.3q33 - 699.7q15 - 777.8

Table 4.1 – Propriétés des phases piézoélectriques et piézomagnétiques [Leeet al., 2005].

Composite biphasé

Le composite biphasé étudié ici possède une microstructure périodique faite decylindres piézoélectriques (BaTiO3) alignés suivant la direction z, plongés dansune matrice piézomagnétique (CoFe2O4). Le tenseur effectif L est représenté parune matrice (12×12), identifiée en Eléments Finis grâce à 12 calculs successifs surla microstructure périodique. La microstructure périodique est représentée sur lafigure 4.12. Le calcul Eléments Finis est effectué en 3 dimensions.

On peut modifier la fraction volumique ff des fibres piézoélectriques en faisantvarier le rayon du cylindre dans la microstructure périodique. La microstructureétant du type matrice/inclusions, on prend comme propriétés (découplées) pour lemilieu infini celles de la matrice (phase piézomagnétique). Les résultats provenant


Figure 4.12 – Microstructure périodique étudiée en Eléments Finis pour le com-posite piézoélectrique/piézomagnétique. La matrice (couleur bleue) est la phasepiézomagnétique. Le cylindre (couleur rouge) est la phase piézoélectrique.

du modèle d’homogénéisation (algorithme C, voir annexe C) et provenant descalculs Eléments Finis sont comparés sur les figures 4.13, 4.14, 4.15, 4.17, 4.16 et4.18.

La matrice de propriétés effectives L est présentée dans le tableau 4.2 dans lecas où les fractions volumiques des phases piézoélectriques et piézomagnétiquessont égales (ff = 50%).

874.3

Com

portem

ents

couplés

213.02×109 112.84×109 113.48×109 0 0 0 0 0 −222.62 0 0 2.7121

112.84×109 213.02×109 113.48×109 0 0 0 0 0 −222.62 0 0 2.7121

113.48×109 113.48×109 206.53×109 0 0 0 0 0 −292.01 0 0 −8.8614

0 0 0 99.404×109 0 0 0 −270.84 0 0 −0.21784 0

0 0 0 0 99.404×109 0 −270.84 0 0 −0.21784 0 0

0 0 0 0 0 100.19×109 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 270.84 0 −191.86×10−6 0 0 −3.1051×10−10 0 0

0 0 0 270.84 0 0 0 −191.86×10−6 0 0 −3.1051×10−10 0

222.62 222.62 292.01 0 0 0 0 0 83.863×10−6 0 0 27.514×10−10

0 0 0 0 0.21784 0 −3.1051×10−10 0 0 2.3580×10−10 0 0

0 0 0 0.21784 0 0 0 −3.1051×10−10 0 0 2.3580×10−10 0

−2.7121 −2.7121 8.8614 0 0 0 0 0 27.514×10−10 0 0 63.674×10−10

Table 4.2 – Matrice de propriétés effectives L (résultat d’homogénéisation) dans le cas où les fibres piézoélectriques et la matricepiézomagnétique occupent le même volume (ff = 50%).


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

1

1.5

2

2.5

3x10

11

Résultats EF :

C11

C11

C33

C33

C12

C12

C13

C13

C44

C44

Fraction volumique ff

Figure 4.13 – Propriétés mécaniques du tenseur effectif du composite piézoélec-trique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibres piézoélec-triques.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x10

-4

Résultats EF :

µ11

µ11

µ33

µ33


Figure 4.14 – Propriétés magnétiques du tenseur effectif du composite piézo-électrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibres piézo-électriques.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x10

-8

Résultats EF :

ǫ11

ǫ11

ǫ33ǫ33


Figure 4.15 – Propriétés électriques du tenseur effectif du composite piézoélec-trique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibres piézoélec-triques.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5

10

15

20

Résultats EF :

e31

e31 e33e33

e15

e15


Figure 4.16 – Propriétés piézoélectriques du tenseur effectif du composite pié-zoélectrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibres pié-zoélectriques.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Résultats EF :

0

100

200

300

400

500

600

700

800

q31

q31

q33q33

q15

q15


Figure 4.17 – Propriétés piézomagnétiques du tenseur effectif du composite pié-zoélectrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibres pié-zoélectriques.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Résultats EF :

0

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3x10

-9

α11

α11

α33

α33


Figure 4.18 – Propriétés magnéto-électriques du tenseur effectif du compositepiézoélectrique/piézomagnétique en fonction de la fraction volumique des fibrespiézoélectriques.


Les commentaires suivants peuvent être faits sur ces figures :– les résultats Eléments Finis sont très proches de l’estimation (de type Mori-

Tanaka) d’homogénéisation, que ce soit pour les propriétés mécaniques, ma-gnétiques, électriques, piézoélectriques ou piézomagnétiques.

– une propriété de couplage extrinsèque apparait macroscopiquement avecles coefficients magnéto-électriques α11 et α33 dans le tenseur effectif L. Cecouplage est extrinsèque puisqu’aucune des phases du composite ne présentece type de couplage.

– le modèle d’homogénéisation capture bien cet effet de couplage extrinsèquepuisque les estimations fournies des coefficients magnéto-électriques sontproches de celles obtenues avec le modèle Eléments Finis, avec toutefois unécart un peu plus important que pour les autres propriétés.

– les courbes fournies par le modèle d’homogénéisation à propos des coeffi-cients magnéto-électriques montrent que, contrairement à ce que l’intuitionaurait pu laisser penser, les coefficients magnéto-électriques maximum nes’obtiennent pas en réalisant un composite (avec ce type de microstructure)constitué à 50% de phase piézoélectrique et piézomagnétique. Une optimi-sation de la composition du composite pourrait permettre de maximiser ceteffet de couplage magnéto-électrique.

Composite triphasé

Le composite triphasé étudié possède une microstructure périodique, estconstitué de cylindres piézoélectriques (BaTiO3) et de cylindres piézomagné-tiques (CoFe2O4) alignés suivant la direction z plongés dans une matrice epoxyà comportemnt non couplé [Corcolle et al., 2009b]. Les propriétés des matériauxont été introduites dans le paragraphe précédent pour les matériaux piézoélec-triques et piézomagnétiques, les propriétés de la matrice epoxy sont isotropes etsont données dans le tableau 4.3.

epoxy

C11 (GPa) 5.53C12 2.97µ11 (10−6 Ns2/C2) 1ǫ11 (10−10 C2/Nm2) 1

Table 4.3 – Propriétés de la matrice epoxy [Lee et al., 2005].

La microstructure périodique est représentée sur la figure 4.19.Pour des raisons de clarté des figures présentées, il est nécessaire de fixer

une condition supplémentaire sur les fractions volumiques afin de ne faire varierqu’un seul paramètre à la fois. Le choix de fixer la fraction volumique de la ma-trice epoxy à 40% a été fait. Les propriétés mécaniques, magnétiques, électriques,piézoélectriques et piézomagnétiques ne sont pas présentées ici (ces propriétés va-rient linéairement avec la fraction volumique) mais la comparaison des résultats


Figure 4.19 – Microstructure périodique étudiée en Eléments Finis pour le com-posite piézoélectrique/piézomagnétique avec une matrice à comportement noncouplé. La matrice (couleur bleue) est la phase epoxy. Le cylindre de couleurrouge est la phase piézoélectrique. Les quarts de cylindre de couleur verte sont laphase piézomagnétique.

d’homogénéisation et Eléments Finis montrent un très bon accord. Les propriétésmagnéto-électriques sont présentées sur la figure 4.20 en fonction de la fractionvolumique f des fibres piézoélectriques.

Résultats EF :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0

-2

-6

-4

2

4

6

8

10

12x10

-11

α11

α11

α33

α33

Fraction volumique f

Figure 4.20 – Propriétés magnéto-électriques du tenseur effectif du compositetriphasé piézoélectrique/piézomagnétique dans une matrice mécanique en fonc-tion de la fraction volumique des fibres piézoélectriques.


Les commentaires suivants à propos de la figure 4.20 peuvent être faits :– les coefficients de couplage magnéto-électrique sont beaucoup plus faibles

que dans le cas précédent du biphasé. Cela est dû au fait que la matriceepoxy ne transmet pas suffisamment les déformations (qui jouent le rôle d’in-termédiaire dans le phénomène magnéto-électrique extrinsèque) car celle-ciest trop peu rigide. Des coefficients magnéto-électriques plus importantspourraient être obtenus en utilisant une matrice plus rigide.

– les résultats d’homogénéisation et Eléments Finis sont en bon accord.

Temps de calcul

La méthode Eléments Finis affiche dans cette application un temps de calculd’environ 5 minutes. Le calcul d’homogénéisation a lui duré moins de 5 secondespour récupérer les différentes courbes (600 points par courbe). Les résultats sontencore relativement proches pour des temps de calcul présentant un rapport d’en-viron 100.

4.3.2 Composite magnétostrictif

Dans cette partie, un composite magnétostrictif constitué de particules ma-gnétostrictives (Terfenol-D) dans une matrice à comportement non couplé estétudié. Les résultats d’homogénéisation (algorithme D, voir annexe C) sont cettefois comparés à des résultats provenant de l’expérimentation [Anjanappa andWu, 1997]. Les relations de comportement du Terfenol-D sont non-linéaires ; lescourbes d’aimantation et de magnétostriction du Terfenol-D pur utilisées dans lemodèle sont reprises dans [Zhou and Shin, 2005]. Elles ont été identifiées à par-tir des courbes expérimentales d’un composite à 60% de particules de Terfenol.Cette méthode est discutable par rapport à une identification sur du Terfenol-Dpur. Ces données ont cependant été utilisées de manière à comparer nos résultatsavec ceux de cette référence. L’influence de la fraction volumique f des particulesde Terfenol-D sur la magnétostriction macroscopique du composite est étudiée[Corcolle et al., 2008a]. Les résultats sont présentés sur la figure 4.21.


f=10%

f=30%

f=80%

f=60%

0 1-1 2-2x10

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8x10

-4 Magnétostriction macroscopique Sµ

Champ magnétique macroscopique H (A/m)

Figure 4.21 – Magnétostriction macroscopique d’un composite biphasé consti-tué de particules de Terfenol-D dans une matrice à comportement non couplé.Résultats d’homogénéisation comparés à des résultats expérimentaux [Anjanappaand Wu, 1997] pour 4 fractions volumiques différentes.

Les commentaires suivants peuvent être faits à propos de la figure 4.21 :– les résultats d’homogénéisation sont relativement proches de ceux provenant

de l’expérimentation.– logiquement, plus le composite présente de particules magnétostrictives,

plus la magnétostriction macroscopique est élevée. Néanmoins, l’utilisationd’une matrice est nécessaire pour des raisons de fragilité mécanique. Eneffet, le Terfenol-D est fragile et l’utilisation de particules dans une matricepermet de s’affranchir de ce problème.

95 4.4 Discussion

4.4 Discussion

La comparaison des résultats provenant du modèle d’homogénéisation et pro-venant des calculs Eléments Finis montre un très bon accord. Le modèle d’homo-généisation est capable de prendre en compte des lois de comportement couplé desphases. De plus, le modèle est capable de capturer les phénomènes de couplageextrinsèques, comme l’effet magnétoélectrique présent macroscopiquement dansles composites piézoélectriques/piézomagnétiques. Le modèle peut aussi intégrerdes lois de comportement non-linéaire en utilisant plusieurs schémas de linéari-sation. Il faut ajouter que certains degrés de libertés sont laissés libres dans lemodèle proposé, comme le choix du milieu infini dans les différents problèmesd’inclusion. D’après les résultats présentés dans ce chapitre, il semble qu’un choixtrès bien adapté aux microstructures de type matrice/inclusions soit de prendreles propriétés de la matrice pour celles du milieu infini (estimation du type Mori-Tanaka). Pour les microstructures de type mosaïque, prendre les propriétés ef-fectives recherchées comme propriétés du milieu infini (menant à l’estimationauto-cohérente) donne également des résultats très satisfaisants.

Conclusion

La modélisation des matériaux à comportement couplé est un domaine derecherche dynamique, en raison des possibilités d’utiliser les différents couplagespour concevoir de nouvelles gammes de capteurs et d’actionneurs. Quelle que soitl’approche de modélisation, la connaissance des lois de comportement des maté-riaux constituant une structure est essentielle. Les lois de comportement des ma-tériaux sont généralement caractérisées expérimentalement à une échelle qui peutdéjà être considérée comme macroscopique. Cette approche phénomènologique nepermet pas de tester différentes configurations (microstructure, composition, ...)pour ce matériau sans avoir à ré-identifier totalement la loi de comportement. Lemodèle d’homogénéisation, plus prédictif et assimilant le matériau hétérogène àun milieu homogène équivalent possédant la même réponse macroscopique, per-met quant à lui d’étudier l’influence de divers paramètres.

Ce travail de thèse s’inscrit dans une démarche de développement de loisde comportement homogénéisé pour une intégration dans des codes ElémentsFinis, codes ne pouvant modéliser les structures entièrement depuis l’échelle deshétérogénéités. Le modèle d’homogénéisation utilisé dans ce travail est basé sur larésolution de problèmes d’inclusion. Le choix du milieu infini dans les problèmesd’inclusion est un degré de liberté permettant de décrire le type de microstructure.Plusieurs estimations classiques peuvent être retrouvées à partir de ce modèle.

L’application d’une telle démarche aux matériaux du Génie Electrique, dansle cadre de comportements multi-physiques, est l’objet de ce document.

Nous proposons dans ce travail une décomposition des champs (inspirée parla décomposition du tenseur des déformations en plasticité en une contributionélastique et une contribution plastique). Cette décomposition permet d’utiliser lesoutils d’homogénéisation développés dans le cadre des comportements découplés,moyennant quelques équations supplémentaires pour prendre en compte les phé-nomènes de couplage. Cette méthode a pour désavantage d’augmenter le nombred’inconnues (sans toutefois que cela ait un impact notable sur le temps de calcul).En revanche, un avantage est que les opérateurs de localisation s’obtiennent avecles mêmes procédures que pour les comportements découplés.

Le modèle d’homogénéisation permet alors d’estimer le comportement effectifdes matériaux hétérogènes dont les constituants présentent un couplage élasto-magnéto-électro-thermique. Les résultats issus de l’homogénéisation ont été com-

97

98

parés aux solutions provenant d’une modélisation par Eléments Finis pour plu-sieurs microstructures générées aléatoirement.

Concernant les comportements découplés et linéaires, les résultats d’homo-généisation et d’Eléments Finis réalisés pour le comportement magnétique sonten bon accord. De plus, les choix pertinents des propriétés du milieu infini pourdécrire les microstructures de type matrice/inclusions et mosaïque ont été éta-blis. Lorsque le comportement magnétique est non-linéaire, quelques procéduresde linéarisation ont été présentées et comparées à un calcul Eléments Finis pourune microstructure aléatoire de type matrice/inclusions.

Concernant les comportements couplés, ce modèle est aussi capable de modé-liser les effets extrinsèques comme il a été montré avec le couplage magnéto-électrique apparaissant macroscopiquement dans les composites constitués dephases piézoélectriques et piézomagnétiques, bien qu’aucune des phases ne pré-sente ce type de couplage. La comparaison de l’estimation d’homogénéisationavec la solution Eléments Finis, calculée sur une microstructure périodique detype matrice/inclusions cylindriques, montre un très bon accord.

Enfin, les comportements couplés non-linéaires semblent également bien esti-més avec l’application présentée sur le composite magnétostrictif. Seule l’approchesécante classique a été présentée. Les résultats semblent montrer un accord satis-faisant.

Ces travaux ont mis en évidence la bonne concordance entre les calculs Elé-ments Finis et les résultats d’homogénéisation. Les temps de calcul de ces deuxapproches de modélisation sont en revanche très différents. Par exemple, pourle calcul du comportement effectif du composite magnéto-électrique triphasé, onobtient un rapport de l’ordre de 100 entre le temps nécessaire à un seul calculEléments Finis périodique et celui nécessaire au calcul de l’ensemble des courbesd’homogénéisation (courbes avec 600 points). Néanmoins, le calcul Eléments Finisfournit une description complète des différents champs, description que le modèled’homogénéisation ne peut fournir. Toutefois, quelques informations supplémen-taires comme les moments d’ordre 2 des champs par phase peuvent être obtenuesavec le modèle d’homogénéisation.

On peut dégager quatre axes principaux de perspectives :

L’écriture de l’énergie dans le cas découplé permet de définir les fluctuations in-traphases. La méthode de décomposition des champs proposée devrait permettreune réécriture des énergies de manière à identifier les fluctuations intraphases pourles données de couplage. Une telle donnée serait notamment utile dans l’étape delinéarisation pour construire des modèles de type sécant modifié dans le cas descomportements non-linéaires.

La connaissance des lois de comportement des constituants du matériau hé-térogène est primordiale pour pouvoir déterminer le comportement effectif. Ladétermination de ces lois de comportement est un problème épineux dans le cas

99

de comportements non-linéaires. En particulier, la maîtrise des conditons aux li-mites dans les essais est un élément primordial, et l’exploitation des dispositifsde caractérisation doit encore être poursuivie.

Le modèle est actuellement limité aux comportements statiques. Pourtant, ungrand nombre d’applications sollicite les matériaux dans le domaine dynamique.Une extension pour l’analyse temporelle ou harmonique est donc nécessaire. Ellepermettrait de plus de s’intéresser aux comportements irréversibles.

Enfin, l’intégration des lois de comportement homogénéisées dans un code Elé-ments Finis est une étape indispensable pour le dimensionnement des structures.

Les méthodes d’homogénéisation, en particulier dans le cas des phénomènesmulti-physiques non-linéaires, n’ont sans doute pas encore livrées toutes leurspotentialités, et on peut espérer que ces prochaines années verront l’émergencede nouveaux outils performants dans ce domaine.

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Annexes

111

Annexe A

Opérateurs mathématiques

SommaireA.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.2 Convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . 115

A.3 Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.3.1 L’opérateur produit tensoriel "⊗" . . . . . . . . . . . . 116

A.3.2 L’opérateur produit tensoriel contracté "·" . . . . . . . 116

A.3.3 L’opérateur produit tensoriel doublement contracté ":" 116

A.3.4 L’opérateur produit tensoriel contracté quatre fois "::" 117

A.3.5 Tenseurs Identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.3.6 L’opérateur de transposition "t" . . . . . . . . . . . . 117

A.4 Dérivation des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.5 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.6 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.7 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.8 Notation matricielle pour les tenseurs symétriques . 119

A.8.1 Tenseur d’ordre 2 symétrique . . . . . . . . . . . . . . 119

A.8.2 Tenseur d’ordre 4 à symétries mineures . . . . . . . . . 120

A.8.3 Tenseurs des contraintes, des déformations et des rigidités120

113

Annexe A : Opérateurs mathématiques 114

115 A.1 Notation

Dans cette annexe, les différents outils de calcul tensoriel sont donnés. Enétudiant les comportements multi-physiques mettant en jeu la mécanique, l’élec-tromagnétisme et la thermique, on est souvent amenés à manier des tenseursd’ordre 1 (champs magnétiques, électriques, ...), d’ordre 2 (contraintes, déforma-tions, ...) et d’ordre 4 (rigidité, ...).

A.1 Notation

Les notations suivantes sont utilisées suivant l’ordre des tenseurs considérés :

A est un tenseur d’ordre supérieur à 4 (composantes Aijkl...)B est un tenseur d’ordre 4 (composantes Bijkl)C est un tenseur d’ordre 3 (composantes Cijk)D est un tenseur d’ordre 2 (composantes Dij)E est un tenseur d’ordre 1 (composantes Ei)F est un scalaire (composante F , tenseur d’ordre 0)

(A.1)

A.2 Convention de sommation d’Einstein

La convention de sommation d’Einstein est un raccourci de notation pour lamanipulation des tenseurs. Cette notation permet d’alléger l’écriture des équa-tions lorsque l’on écrit les tenseurs sous forme indicielle. Lorsqu’un indice d’unevariable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutesles valeurs que peut prendre cet indice. Par exemple, la notation suivante :

Bi = LijHj (A.2)

signifie dans l’espace euclidien (les indices prennent les valeurs de 1 à 3) :

Bi =3∑

j=1

LijHj (A.3)

Les sommations peuvent s’effectuer sur plusieurs indices à la fois. Par exemple,la notation suivante :

Tij = CijklSkl (A.4)

signifie dans l’espace euclidien :

Tij =3∑

k=1

3∑

l=1

CijklSkl (A.5)

Ceci peut être généralisé à une sommation sur n indices répétés.


A.3 Opérations sur les tenseurs

A.3.1 L’opérateur produit tensoriel "⊗"

L’opérateur "⊗", appelé produit tensoriel, n’effectue aucune sommation surles indices. Le produit tensoriel de deux tenseurs respectivement d’ordres m etn produit un tenseur d’ordre m + n. Par exemple, le produit tensoriel de deuxtenseurs d’ordre 4 A et B donne un tensuer d’ordre 8. La définition de ce produitest la suivante :

C = A⊗ B → Cijklmnop = AijklBmnop (A.6)

Cette opération de produit tensoriel n’est pas commutative : A⊗B 6= B⊗A. Enrevanche, elle est associative : (A⊗B)⊗ C = A⊗ (B⊗ C) = A⊗B⊗ C.

A.3.2 L’opérateur produit tensoriel contracté "·"L’opérateur "·", appelé produit tensoriel contracté, indique qu’une sommation

sur un seul indice est effectuée. En utilisant cet opérateur sur deux tenseursd’ordre 1 (vecteurs), on obtient un scalaire :

C = A · B → C = AiBi (A.7)

c’est la définition du produit scalaire dans une base orthonormée. L’opérateur"·" s’utilise aussi pour des opérations contenant des tenseurs d’ordre 2 (ou mêmed’ordre 3). Voici quelques exemples :

C = A · B → Ci = AijBj

C = A · B → Cij = AijkBk

C = A · B → Cij = AikBkj

(A.8)

qui sont les opérations classiques que l’on utilise généralement avec les matrices :produit matrice-vecteur et matrice-matrice.

A.3.3 L’opérateur produit tensoriel doublement contracté ":"

L’opérateur ":", aussi appelé produit tensoriel doublement contracté, indiquequ’une sommation sur deux indices est effectuée. En utilisant cet opérateur surdeux tenseurs d’ordre 2 (matrices), on obtient un scalaire :

C = A : B → C = AijBji (A.9)

L’opérateur ":" s’utilise aussi pour des opérations contenant des tenseurs d’ordre4 (ou même d’ordre 3). Voici quelques exemples :

C = A : B → Cij = AijklBkl

C = A : B → Ci = AijkBjk

C = A : B → Cijkl = AijmnBmnkl

(A.10)

qui sont les opérations classiques que l’on utilise généralement avec les matrices :produit matrice-vecteur et matrice-matrice.

117 A.3 Opérations sur les tenseurs

A.3.4 L’opérateur produit tensoriel contracté quatre fois "::"

L’opérateur "::", appelé également produit tensoriel contracté quatre fois, in-dique qu’une sommation sur quatres indices est effectuée. En utilisant cet opéra-teur sur deux tenseurs d’ordre 4, on obtient un scalaire :

C = A :: B → C = AijklBklij (A.11)

A.3.5 Tenseurs Identités

Les tenseurs identités d’ordre 2 et 4, noté respectivement I et I sont les ten-seurs suivants :

I → Iij = δijI → Iijkl =

12(δikδjl + δilδjk)

(A.12)

où δij est le symbole de Kronecker :

δij =

1 si i = j0 si i 6= j

(A.13)

Les propriétés des tenseurs identités sont les suivantes :

I : A = A : I = A (A.14)

etI · A = A · I = A (A.15)

A.3.6 L’opérateur de transposition "t"

L’opération de transposition "t" transforme un tenseur d’ordre n en un ten-seur d’ordre n. Cette opération effectue une permutation dans les indices. Voiciquelques exemples :

B = tA → B = AB = tA → Bi = Ai

B = tA → Bij = Aji

B = tA → Bijk = Akij

B = tA → Bijkl = Aklij

(A.16)

Pour les tenseurs d’ordre 0 et 1, la transposée du tenseur est égale à lui-même.Pour les tenseurs d’ordre 2 et 4, si on effectue une opération de transpositiondeux fois, on retrouve ces mêmes tenseurs. Enfin, pour les tenseurs d’ordre 3, onretrouve le tenseur original en transposant 3 fois. La transposition d’un produittensoriel contracté est égale au produit tensoriel contracté dans l’ordre inverse :

t(A : B) = tB : tAt(A : B) = tB : tAt(A · B) = tB · tAt(A · B) = B · tA

(A.17)

puisque tB = B.


A.4 Dérivation des tenseurs

Lorsque l’on dérive un tenseur d’ordre m par un tenseur d’ordre n, on obtientun tenseur d’ordre m + n. Par exemple la dérivée d’un tenseur d’ordre 4 A par

un autre tenseur B d’ordre 4, donne un tenseur C =∂A∂B d’ordre 8. La dérivée est

donnée par :

C =∂A∂B → Cijklmnpq =

∂Aijkl

∂Bmnpq

(A.18)

A.5 Gradient

L’opérateur gradient ∇ peut s’appliquer sur des scalaires mais aussi, commec’est le cas en élasticité avec le champ des déplacements u, sur des vecteurs.Dans un repère (0, x, y, z) orthonormé, la définition du gradient appliqué sur lesscalaires A et les tenseurs d’ordre 1 B est la suivante :

∇A =

∂A

∂x∂A

∂y∂A

∂z

∇B = ∇

Bx

By

Bz

=

∂Bx

∂x

∂By

∂x

∂Bz

∂x∂Bx

∂y

∂By

∂y

∂Bz

∂y

∂Bx

∂z

∂By

∂z

∂Bz

∂z

(A.19)

A.6 Rotationnel

L’opérateur divergence ∇× peut s’appliquer sur des vecteurs (par exemplesur les champs électriques et magnétiques en électromagnétisme). Dans un repère(0, x, y, z) orthonormé, la définition du rotationnel appliqué sur le vecteur A estla suivante :

∇× A = ∇×

Ax

Ay

Az

=

∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

∂Ax

∂z− ∂Az

∂x∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

(A.20)

119 A.7 Divergence

A.7 Divergence

L’opérateur divergence ∇· peut s’appliquer sur des vecteurs mais aussi, commec’est le cas en élasticité avec le tenseur des contraintes T, sur des tenseurs d’ordre2. Dans un repère (0, x, y, z) orthonormé, la définition de la divergence appliquéesur les vecteurs A et les tenseurs d’ordre 2 B est la suivante :

∇ · A = ∇ ·

Ax

Ay

Az

=

∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

∇ · B = ∇ ·

Bxx Bxy Bxz

Byx Byy Byz

Bzx Bzy Bzz

=

∂Bxx

∂x+

∂Byx

∂y+

∂Bzx

∂z

∂Bxy

∂x+

∂Byy

∂y+

∂Bzy

∂z

∂Bxz

∂x+

∂Byz

∂y+

∂Bzz

∂z

(A.21)

A.8 Notation matricielle pour les tenseurs symé-

triques

A.8.1 Tenseur d’ordre 2 symétrique

Un tenseur d’ordre 2 symétrique A vérifie :

tA = A → Aij = Aji (A.22)

Un tenseur d’ordre 2 (dans R3) possède neuf composantes indépendantes en gé-néral. Lorsque ce tenseur est symétrique, on se ramène à six composantes indé-pendantes. Un tenseur d’ordre 2 symétrique A peut alors être représenté par unvecteur A à six composantes :

A symétrique → A =

A11

A22

A33√2A23√2A13√2A12

(A.23)

Lorsque deux tenseurs d’ordre 2 symétriques A et B sont condensés en notationvectorielle A et B, le produit scalaire sur les tenseurs d’ordre 2 ":" est alorsobtenu en utilisant le produit scalaire sur les tenseurs d’ordre 1 "·" :

A : B = A · B (A.24)


A.8.2 Tenseur d’ordre 4 à symétries mineures

Un tenseur A d’ordre 4 à symétries dites mineures vérifie :

Aijkl = Ajikl = Aijlk = Ajilk (A.25)

Un tenseur d’ordre 4 (dans R3) possède 81 composantes indépendantes en général.Lorsque ce tenseur présente les symétries mineures, on se ramène à 36 compo-santes indépendantes. Ce tenseur peut alors être représenté par une matrice A

(6× 6) :

A =

A1111 A1122 A1133

√2A1123

√2A1113

√2A1112

A2211 A2222 A2233

√2A2223

√2A2213

√2A2212

A3311 A3322 A3333

√2A3323

√2A3313

√2A3312√

2A2311

√2A2322

√2A2333 2A2323 2A2313 2A2312√

2A1311

√2A1322

√2A1333 2A1323 2A1313 2A1312√

2A1211

√2A1222

√2A1233 2A1223 2A1213 2A1212

(A.26)

La contraction de ce tenseur d’ordre 4 en représentation matricielle (A → A), ainsique la contraction de deux tenseurs d’ordre 2 symétriques (X → X et Y → Y)permet de calculer la quantité suivante X : A : Y avec les notations condensées :

X : A : Y = X · A · Y (A.27)

A.8.3 Tenseurs des contraintes, des déformations et des ri-gidités

Les tenseurs des contraintes T et des déformations S, qui sont des tenseursd’ordre 2, sont symétriques. C’est pourquoi on peut les condenser en notationvectorielle :

T → T et S → S (A.28)

De plus, les tenseurs de rigidité C, tenseurs d’ordre 4, présentent les symétriesmineures. On peut donc les condenser en une matrice (6× 6) :

C → C (A.29)

Ces condensations des tenseurs des contraintes, des déformations et des rigidi-tés sont appelées les notations de Voigt-Mendel (différentes des notations de Voigtclassiques). L’énergie suivante peut être calculée avec les notations condensées :

S : C : S = S · C · S (A.30)

Annexe B

Tenseurs d’Eshelby et

démagnétisant

SommaireB.1 Géométrie de l’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2 Détermination du tenseur d’Eshelby . . . . . . . . . . 124

B.2.1 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.2.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope . . . . . . . 124

B.2.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu iso-trope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

B.3 Détermination du tenseur démagnétisant . . . . . . . 126

B.3.1 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.3.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope . . . . . . . 127

B.3.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu iso-trope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

121

Annexe B : Tenseurs d’Eshelby et démagnétisant 122

123 B.1 Géométrie de l’inclusion

Le tenseur d’Eshelby en mécanique et le tenseur démagnétisant en magné-tisme permettent de traiter les problèmes d’inclusion. Un problème d’inclusionest constitué d’un inclusion plongée dans un milieu infini de propriétés différentesde l’inclusion ou non. Le résultat de ce problème d’inclusion est que, lorsque unchargement uniforme (mécanique ou magnétique) est appliqué à l’infini, alors leschamps (mécaniques ou magnétiques) est uniforme dans l’inclusion si cette der-nière est ellipsoïdale. Pour pouvoir faire le lien entre le chargement à l’infini etl’état mécanique ou magnétique dans l’inclusion, on peut s’appuyer sur le tenseurd’Eshelby ou démagnétisant.

En mécanique, la solution du problème d’inclusion est donnée par [Françoiset al., 1991] :

Si =(I +N C


)−1: S∞ (B.1)

où N Ci est le tenseur d’Eshelby associé à ce problème, Ci le tenseur de rigidité de

l’inclusion et Cref le tenseur de rigidité du milieu infini. Le chargement mécaniqueappliqué à l’infini (ici une déformation) est S∞. En magnétisme, la relation estsimilaire [Stratton, 1941] :

Hi =(I + N

µi : µ−1

ref : (µi − µref ))−1

: H∞ (B.2)

où Nµi est le tenseur démagnétisant associé à ce problème, µi le tenseur de per-

méabilité de l’inclusion et µref le tenseur de perméabilité du milieu infini. Lechargement magnétique appliqué à l’infini (ici un champ magnétique) est H∞.

B.1 Géométrie de l’inclusion

La géométrie de l’inclusion (ellipsoïdale) peut être représentée par un tenseurG. Ce tenseur d’ordre 2 caractérise l’ellipsoïde avec l’équation suivante :

||G · x|| ≤ 1 (B.3)

lorsque l’origine est prise au centre de l’inclusion. Le vecteur x représente laposition spatiale. Par exemple, pour une sphère de rayon unité, le tenseur degéométrie G est égal à la matrice identité :

G =

1 0 00 1 00 0 1

(B.4)

Dans le cas d’un ellipsoïde aligné sur les axes du repère et dont les demi-axes sontrespectivement a1, a2 et a3, le tenseur de géométrie G est égal à :

G =

1

a10 0

01

a20

0 01

a3

(B.5)


B.2 Détermination du tenseur d’Eshelby

Il faut noter que le tenseur d’Eshelby N C dépend seulement de la forme del’inclusion (et pas de sa taille) et du tenseur de rigidité du milieu infini Cref . Ladétermination du tenseur d’Eshelby peut être analytique dans certains cas simplescomme par exemple un tenseur de rigidité Cref isotrope avec une inclusion sphé-rique. Néanmoins, dans une situation plus générale, il faut utiliser des méthodesnumériques en résolvant le problème d’inclusion (détermination des champs dansle problème). Pour ce faire, on peut utiliser un modèle Eléments Finis par exempleou une approche basée sur la transformation de Fourier.

B.2.1 Calcul intégral

Une autre méthode consiste à calculer l’intégrale suivante [Willis, 1981], quicalcule le tenseur d’influence C∗ :

C∗ = P−1 − Cref avec P =1

4πdet(G)

"

||x||=1

||G−1 · x||−3H(x)dSx (B.6)

où l’intégrale s’effectue sur une sphère unité. Le tenseur H(x) est égal à :

H(x) = [x ⊗ χ−1 ⊗ x](s) (B.7)

où la notation A(s) désigne une symétrisation du tenseur d’ordre 4 Aijkl :A

(s)ijkl =

14(Aijkl + Ajikl + Aijlk + Ajilk). Le tenseur χ est le tenseur de Christoffel

et est égal à :χ = x · Cref · x (B.8)

Le tenseur d’Eshelby N C se déduit du tenseur d’influence C∗ par la relation sui-vante :

C∗ = P−1 − Cref = Cref :((N C)−1 − I

)(B.9)

Le calcul de cette intégrale doit être effectué numériquement, sauf dans des casparticuliers (sphere dans milieu isotrope, ...) où une expression analytique peutêtre obtenue.

B.2.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope

Lorsque l’inclusion est une sphère (c’est-à-dire G proprortionnelle à la matriceidentité), et que le milieu infini est isotrope (le tenseur Cref s’exprime en fonctionde deux coefficients indépendants), alors le tenseur d’Eshelby peut être déterminéanalytiquement. Les deux coefficients définissant le tenseur de rigidité Cref sont lesmodules de compressibilité k et de cisaillement G, mais un autre choix est possiblemenant au module d’Young E et au coefficient de Poisson ν. Les relations entreces coefficients sont les suivantes :

1

E=

1

9k+

1

3G

ν =1

2

3k − 2G

3k +G

(B.10)

125 B.2 Détermination du tenseur d’Eshelby

Avec la notation contractée, le tenseur de rigidité du milieu infini s’écrit :

C =

k + 43G k − 2

3G k − 2

3G 0 0 0

k − 23G k + 4

3G k − 2

3G 0 0 0

k − 23G k − 2

3G k + 4

3G 0 0 0

0 0 0 2G 0 00 0 0 0 2G 00 0 0 0 0 2G

(B.11)

Avec ce choix de paramètres (module d’Young et coefficient de Poisson) pourdéfinir le milieu infini, le tenseur d’Eshelby pour une sphère ne s’exprime qu’enfonction du coefficient de Poisson ν du milieu infini. Les expressions des coeffi-cients non nuls du tenseur d’Eshelby N C sont les suivantes [Mura, 1982] :

NC1111 = NC

2222 = NC3333 =

7− 5ν

15(1− ν)

NC1122 = NC

2233 = NC3311 = NC

1133 = NC2211 = NC

3322 =5ν − 1

15(1− ν)

NC1212 = NC

1221 = NC2112 = NC

2121 = NC2323 = NC

2332 = NC3223 = ...

= NC3232 = NC

1313 = NC1331 = NC

3113 = NC3131 =

4− 5ν

15(1− ν)

(B.12)

B.2.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu iso-trope transverse

Lorsque le milieu infini est isotrope transverse (axe transverse : 3), le tenseurde rigidité en notation contractée est le suivant :

C =

C11 C12 C13 0 0 0C12 C11 C13 0 0 0C13 C13 C33 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C11 − C12

(B.13)

L’inclusion de forme cylindrique circulaire est alignée sur l’axe transverse dumilieu infini. Le tenseur de géométrie G de l’inclusion est alors proportionnel à :

G ∝

1 0 00 1 00 0 0

(B.14)

Dans ce cas, les coefficients non nuls du tenseur d’Eshelby N C s’expriment


analytiquement :

NC1111 = NC

2222 =5C11 + C12

8C11

NC1122 = NC

2211 =3C12 − C11

8C11

NC1133 = NC

2233 =C13

2C11

NC2323 = NC

3232 = NC2332 = NC

3223 = NC1313 = NC

3131 = NC1331 = NC

3113 =1

4

NC1212 = NC

2121 = NC2112 = NC

1221 =3C11 − C12

8C11(B.15)

B.3 Détermination du tenseur démagnétisant

Pour le magnétisme, la détermination du tenseur démagnétisant est assezsimilaire à celle du tenseur d’Eshelby. Comme en mécanique, il faut noter que letenseur démagnétisant Nµ dépend seulement de la forme de l’inclusion (et pas desa taille) et du tenseur de perméabilité du milieu infini µref . La déterminationdu tenseur démagnétisant peut aussi être analytique dans certains cas simplescomme par exemple un tenseur de perméabilité µref isotrope avec une inclusionsphérique. Dans une situation plus générale, il faut également avoir recours à desméthodes numériques en résolvant le problème d’inclusion (détermination deschamps dans le problème). Pour ce faire, on peut utiliser un modèle ElémentsFinis par exemple ou une approche basée sur la transformation de Fourier.

B.3.1 Calcul intégral

Une autre méthode consiste à calculer l’intégrale suivante [Sihvola and Lindell,1996] (le développement dans cet article a été réalisé pour l’électrostatique maispeut être transposé sans difficulté au magnétisme), qui calcule directement letenseur démagnétisant :

Nµ =1

2det(G)

ˆ ∞

0

µref ·(G−2 + sµref )

−1

√det(G−2 + sµref )

ds (B.16)

L’intégrale est ici une intégrale simple (intégration sur la variable s), contraire-ment à l’intégrale pour le tenseur d’Eshelby en mécanique qui était une intégraledouble. Le calcul de cette intégrale doit également être effectué numériquement,sauf dans quelques cas particuliers (sphere dans milieu isotrope, ...) où une ex-pression analytique peut être obtenue.

127 B.3 Détermination du tenseur démagnétisant

B.3.2 Cas d’une sphère dans un milieu isotrope

Lorsque l’inclusion est une sphère (c’est-à-dire G proprortionnelle à la matriceidentité), et que le milieu infini est isotrope (le tenseur µref s’exprime en fonctiond’un scalaire µ : µref = µI), alors le tenseur démagnétisant peut être déterminéanalytiquement et ne dépend même pas de la perméabilité µ. Dans ce cas, letenseur démagnétisant vaut :

Nµ =1

3I (B.17)

B.3.3 Cas d’un cylindre circulaire infini dans un milieu iso-trope transverse

Lorsque le milieu infini est isotrope transverse (axe transverse : 3), le tenseurde perméabilité µ est égal à :

µ =

µ1 0 00 µ1 00 0 µ3

(B.18)

L’inclusion de forme cylindrique circulaire est alignée sur l’axe transverse dumilieu infini. Le tenseur de géométrie G de l’inclusion est alors proportionnel à :

G ∝

1 0 00 1 00 0 0

(B.19)

Dans ce cas, le tenseur démagnétisant ne dépend pas des perméabilités et estégal à :

Nµ =

1

20 0

01

20

0 0 0

(B.20)

Annexe C

Algorithmes du modèle

d’homogénéisation

SommaireC.1 Algorithme A pour les comportements linéaires dé-

couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.1.1 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.1.2 Opérateurs de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.1.3 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.2 Algorithme B pour les comportements linéaires dé-couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.2.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C.2.2 Calcul itératif et convergence . . . . . . . . . . . . . . 132

C.2.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C.2.4 Procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C.3 Algorithme C pour les comportements couplés linéaires134

C.3.1 Lois de comportement et décomposition . . . . . . . . 134

C.3.2 Relations de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.3.3 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.3.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.4 Algorithmes D pour les comportements couplés non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.4.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

C.4.2 Résolution sur le milieu linéaire de comparaison . . . . 138

C.4.3 Calcul itératif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

C.4.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

129

Annexe C : Algorithmes du modèle d’homogénéisation 130

131 C.1 Algorithme A pour les comportements linéaires découplés

Les différents algorithmes du modèle d’homogénéisation sont présentés danscette annexe.

C.1 Algorithme A pour les comportements li-

néaires découplés

Seul le comportement élastique est présenté ici, les algorithmes des autresphysiques étant similaire.

L’objectif de cet algorithme est de déterminer le tenseur de rigidité effectif C

(notation condensée) des matériaux hétérogènes dont les phases ont des tenseursde rigidité Ci.

C.1.1 Représentation

La représentation en problèmes d’inclusions, associé au choix des propriétésdu milieu infini Cref , mène à la détermination numérique (ou analytique suivantles cas) du tenseur d’Eshelby de chaque inclusion (voir annexe B).

C.1.2 Opérateurs de localisation

La détermination des opérateurs de localisation s’effectue en traitant chaqueproblème d’inclusion à partir de l’équation (2.23) rappelée ici :

ACi =

(I + NC

i · C−1ref · (Ci − Cref )

)−1 ·(

n∑

j=1

fj(I + NC

j · C−1ref · (Cj − Cref )

)−1

)−1

(C.1)

C.1.3 Homogénéisation

Le tenseur de rigidité effectif se déduit alors de l’équation (2.11) réécrite ici :

C =n∑

i=1

fiCi · ACi (C.2)

C.2 Algorithme B pour les comportements li-

néaires découplés

Pour les comportements linéaires, la connaissance du chargement macrosco-pique n’est pas nécessaire pour déterminer les propriétés effectives du matériaucomposite. Par contre, dans le cas de comportements non-linéaires, les propriétéseffectives dépendent du chargement macroscopique.

Les modèles présentés sont basés sur l’utilisation du milieu linéaire de compa-raison associée à un calcul itératif. Le modèle d’homogénéisation linéaire utilisé


est celui présenté précédemment. Comme les propriétés (linéaires) des phases dumilieu linéaire de comparaison sont actualisées à chaque itération, la connais-sance des différents champs moyens (ou des moments d’ordre 2) dans chaquephase sont nécessaires pour pouvoir linéariser les comportements. Pour ce faire,le chargement macroscopique doit être connu.

C.2.1 Initialisation

Les champs moyens de chaque phase doivent être initialisés. Un choix quidonne satisfaction en terme de rapidité de convergence est d’initialiser les champsmoyens par phase avec le champ macroscopique appliqué (champ uniforme dansle composite) :

S(x) = S (C.3)

C.2.2 Calcul itératif et convergence

Le calcul est itératif, il faut donc déterminer un critère de convergence. Lecritère retenu est le suivant où les états entre deux itérations successives sontcomparés :

n∑

i=1

||Sk+1i − Sk

i ||n∑

i=1

||Sk+1i ||

< δ (C.4)

où l’exposant k représente le numéro d’itération. δ est le critère de convergence.Un bon compromis entre précision de la solution finale et vitesse de convergence aété trouvé avec une valeur de 10−3 pour les applications traitées dans cette étude.

C.2.3 Linéarisation

La linéarisation est effectué suivant les procédures présentées dans le chapitre2. La première linéarisation (initialisation) s’effectue avec un champ uniformedans le composite. Le tenseur de rigidité linéarisé de chaque phase est donc récu-péré.

C.2.4 Procédure

La procédure d’homogénéisation des comportements non-linéaires dans le casde la linéarisation sécante est présentée sur la figure C.1.

Dans le cas de la linéarisation sécante modifiée, l’algorithme A doit aussifournir l’information des moments d’ordre 2 des déformations par phase. Cette

détermination est réalisée en évaluant numériquement la dérivée∂C

∂Ci

grâce à

l’algorithme A.

133 C.2 Algorithme B pour les comportements linéaires découplés

Initialisation des déformations

dans chaque phase

Linéarisation des propriétés

de chaque phase

Algorithme A d’homogénéisation

des comportements linéairesChargement

macroscopique

Détermination des déformations

dans chaque phase

Critère de

convergence

?

Non

Détermination de la

contrainte macroscopique

Oui

Figure C.1 – Algorithme du modèle d’homogénéisation des comportements non-linéaires.


C.3 Algorithme C pour les comportements cou-

plés linéaires

Le but de ce modèle d’homogénéisation est d’obtenir le tenseur de comporte-ment effectif L défini par :

T

B

D

J

= L ·

S

H

E

K

(C.5)

C.3.1 Lois de comportement et décomposition

Les relations de comportement locales sont de la forme suivante :

Ti

Bi

Di

Ji

=

CCi C

Cµi CCε

i CCλi

CµCi C

µi C

µεi C

µλi

CεCi C

εµi Cε

i Cελi

CλCi C

λµi Cλε

i Cλi

·

Si

Hi

Ei

Ki

= Li ·

Si

Hi

Ei

Ki

(C.6)

Dans le cas de comportements linéaires (non-dissipatifs), il peut être noté que lamatrice de comportement présente des symétries (ou anti-symétries). En effet, lesrelations suivantes sont vérifiées :

CCµi = −tC

µCi

CCεi = −tCεC

i

CCλi = −tCλC

i

Cµεi = tC

εµi

Cµλi = tC

λµi

Cελi = tCλε

i

(C.7)

Les lois de comportements sont réécrites à l’aide des champs décomposés :

Ti = CCi · SC

i

Bi = Cµi · Hµ

i

Di = Cεi · Eε

i

Ji = Cλi · Kλ

i

(C.8)

qui sont des lois de comportement "découplées". Les lois additionnelles de cou-plages sont :

CCi · Sµ

i = −CCµi · Hi CC

i · Sεi = −CCε

i · Ei CCi · Sλ

i = −CCλi · Ki

Cµi · HC

i = −CµCi · Si C

µi · Hε

i = −Cµεi · Ei C

µi · Hλ

i = −Cµλi · Ki

Cεi · EC

i = −CεCi · Si Cε

i · Eµi = −C

εµi · Hi Cε

i · Eλi = −Cελ

i · Ki

Cλi · KC

i = −CλCi · Si Cλ

i · Kµi = −C

λµi · Hi Cλ

i · Kεi = −Cλε

i · Ei

(C.9)

135 C.3 Algorithme C pour les comportements couplés linéaires

C.3.2 Relations de localisation

Suivant l’estimation désirée, le choix des propriétés du milieu infini est fixé(sauf dans le cas de l’estimation auto-cohérente). Cela permet ensuite de déter-miner les tenseurs d’Eshelby (découplés) pour chaque phase (voir annexe B pourle calcul), les relations de localisation peuvent alors être écrites. Ces relations delocalisation sont, pour chaque phase :

NCi · C−1

ref :(T − Ti

)=(NC

i − I):(S − Si

)

Nµi · µ−1

ref ·(B − Bi

)= (Nµ

i − I) ·(H − Hi

)

Nεi · ε−1

ref ·(D − Di

)= (Nε

i − I) ·(E − Ei

)

Nλi · λ−1

ref ·(J − Ji

)=(Nλ

i − I)·(K − Ki

)(C.10)

C.3.3 Homogénéisation

Les tenseurs d’Eshelby découplés ayant été déterminés, il est possible de dé-terminer les tenseurs de localisation A et concentration B découplés ainsi que lestenseurs effectifs découplés C, µ, ε et λ. Les équations d’homogénéisation reliantles grandeurs macroscopiques aux grandeurs locales sont :

S = C−1 · T +n∑

i=1

fitBC

i · Sµi +

n∑

i=1

fitBC

i · Sεi +

n∑

i=1

fitBC

i · Sλi

H = µ−1 · B +n∑

i=1

fitB

µi · HC

i +n∑

i=1

fitB

µi · Hε

i +n∑

i=1

fitB

µi · Hλ

i

E = ε−1 · D +n∑

i=1

fitBε

i · ECi +

n∑

i=1

fitBε

i · Eµi +

n∑

i=1

fitBε

i · Eλi

K = λ−1 · J +n∑

i=1

fitBλ

i · KCi +

n∑

i=1

fitBλ

i · Kµi +

n∑

i=1

fitBλ

i · Kεi

(C.11)

C.3.4 Synthèse

Le système d’équations à résoudre comporte les inconnues suivantes : Ce quifait au total 24n+ 8 inconnues dans le problème.

Les équations à résoudre sont les suivantes :Le système est donc constitué de 24n+4 équations indépendantes pour 24n+4

inconnues. Le sytème ne peut donc pas être résolu en l’état. Si de plus le char-gement macroscopique est connu (4 équations supplémentaires), alors le systèmepeut être résolu et toutes les inconnues peuvent être déterminées. Néanmoins,même si ces équations supplémentaires ne sont pas disponibles, il est possible detransformer le système de 24n+4 équations à 24n+8 inconnues en un systyèmede 4 équations à 8 inconnues grâce à des opérations de substitution (voir figureC.2). En gardant pour les 8 inconnues les champs macroscopiques, on peut se


Nombre d’inconnues Liste des inconnues

4n "Inductions" moyennes par phase : Ti, Bi, Di et Ji

4n Champs totaux moyens par phase : Si, Hi, Ei et Ki

16n Champs décomposés par phase :

SCi Sµ

i Sεi Sλ

i

HCi Hµ

i Hεi Hλ

i

ECi Eµ

i Eεi Eλ

i

KCi Kµ

i Kεi Kλ

i

4 "Inductions" macroscopiques : T, B, D et J

4 Champs macroscopiques : S, H, E et K

Table C.1 – Liste des inconnues dans le problème d’homogénéisation.

Nombre d’équations Liste des équations

4n Décompositions :

Si = SCi + Sµ

i + Sεi + Sλ

i

Hi = HCi + Hµ

i + Hεi + Hλ

i

Ei = ECi + Eµ

i + Eεi + Eλ

i

Ki = KCi + Kµ

i + Kεi + Kλ

i

4n Lois de comportement "découplées" : éq. (3.5)12n Relations de couplage : éq. (3.6)4n Relations de localisation : éq. (C.10)4 Relations macroscopiques : éq. (C.11)

Table C.2 – Liste des équations dans le problème d’homogénéisation.

137 C.4 Algorithmes D pour les comportements couplés non-linéaires

ramener par exemple au système macroscopique suivant :

T

B

D

J

=

CC CCµ CCε CCλ

CµC Cµ Cµε Cµλ

CεC Cεµ Cε Cελ

CλC Cλµ Cλε Cλ

·

S

H

E

K

= L ·

S

H

E

K

(C.12)

ce qui permet de déterminer le tenseur effectif de propriétés L. Il faut noter queles tenseurs effectifs CC, Cµ, Cε et Cλ sont généralement différents des tenseursdécouplés C, µ, ε et λ.

Décomposition des champs :

4n équations

Relations de comportement

découplées :

4n équations

Relations de couplage :

12n équations

Relations de localisation :

4n équations

Relations macroscopiques :

4 équations

24n+4

équations

“Inductions” moyennes

par phase :

4n inconnues

Champs moyens par phase :

4n inconnues

Champs décomposés :

16n inconnues

“Inductions” macroscopiques :

4 inconnues

Champs macroscopiques :

4 inconnues

24n+8

inconnues

+

Système de 4 équations liant les 8 grandeursmacroscopiques

Figure C.2 – Algorithme du modèle d’homogénéisation des comportements mul-tiphysiques.

C.4 Algorithmes D pour les comportements cou-

plés non-linéaires

Pour les comportements linéaires, la connaissance du chargement macrosco-pique n’est pas nécessaire pour déterminer les propriétés effectives du matériaucomposite. Par contre, dans le cas de comportements non-linéaires, les propriétéseffectives dépendent du chargement macroscopique.


Les modèles présentés sont basés sur l’utilisation du milieu linéaire de compa-raison associée à un calcul itératif. Le modèle d’homogénéisation linéaire utiliséest celui présenté précédemment. Comme les propriétés (linéaires) des phases dumilieu linéaire de comparaison sont actualisées à chaque itération, la connaissancedes différents champs moyens (ou des moments d’ordre 2) dans chaque phase sontnécessaires pour pouvoir linéariser les comportements. Pour ce faire, le charge-ment macroscopique doit être connu. Nous avons donc à notre disposition les 4équations macroscopiques supplémentaires qui permettent de résoudre totalementle problème en linéaire (24n+8 inconnues associées à 24n+8 équations). Suppo-sons ici que nous connaissons le chargement macroscopique t

(S H E K

).

C.4.1 Initialisation

Cette étape est nécessaire pour obtenir les propriétés linéarisées des phasesqui seront utilisées lors du calcul de la première itération. L’initialisation consistedonc à choisir les différents champs moyens (ou moments d’ordre 2) de chaquephase. Ce choix peut être arbitraire ; par exemple, il est possible d’initialiser leschamps dans les phases par des champs nuls et de linéariser les comportementsautour de ce point. Toutefois, la vitesse de convergence du calcul est dépendantede ce choix d’initialisation.

Un choix pertinent pour initialiser les champs des phases est de prendre deschamps homogènes dans tout le composite et égal au champ macroscopique :

Si

Hi

Ei

Ki

=

S

H

E

K

(C.13)

C.4.2 Résolution sur le milieu linéaire de comparaison

Après linéarisation, les relations de comportement des phases dans le milieulinéaire de comparaison sont de la forme :

Ti

Bi

Di

Ji

= Lsct

i ·

Si

Hi

Ei

Ki

(C.14)

pour le modèle de linéarisation sécante.Le calcul d’homogénéisation en linéaire est alors exactement celui présenté

précédemment.Le calcul d’homogénéisation linéaire amène donc à 24n + 8 inconnues as-

sociées par 24n + 8 équations. La solution sur le milieu linéaire de compa-raison est alors calculée. Les différents champs moyens par phase (notammentt(

Si Hi Ei Ki

)) sont alors déterminés pour cette itération.

139 C.4 Algorithmes D pour les comportements couplés non-linéaires

C.4.3 Calcul itératif

Le problème étant non-linéaire, on approche la solution par des itérationssuccessives sur des milieux linéaires de comparaison (tous avec des propriétésdes phases différentes entre chaque itération). Si l’algorithme converge vers lasolution, on arrive rarement sur la solution recherchée du problème non-linéaire,on ne fait que l’approcher. C’est pourquoi il faut définir un critère de convergencepour stopper le calcul en estimant que la solution approchée est suffisammentproche de la solution recherchée. Un choix parmi d’autres est de comparer lesnormes des vecteurs tXi =

t(

Si Hi Ei Ki

)entre deux itérations successives.

Le calcul est supposé avoir convergé lorsque l’inégalité suivante est vérifiée : Lecritère de convergence est défini par :

n∑

i=1

||Sk+1i − Sk

i ||n∑

i=1

||Sk+1i ||

+

n∑

i=1

||Hk+1i − Hk

i ||n∑

i=1

||Hk+1i ||

+

n∑

i=1

||Ek+1i − Ek

i ||n∑

i=1

||Ek+1i ||

+

n∑

i=1

||Kk+1i − Kk

i ||n∑

i=1

||Kk+1i ||

< δ

(C.15)Ici encore, un bon compromis a été trouvé pour une valeur de δ de 10−3.

C.4.4 Synthèse

La figure C.1 résume bien encore la démarche à suivre (en utilisant cette foisl’algorithme C).

Romain CORCOLLE Détermination de lois de comportement...

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