Roland Masson Département Mathématiques Appliquées, IFP 4 février 2010

CO2 maîtrisé | Carburants diversifiés | Véhicules économes | Raffinage propre | Réserves prolongées

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Mathématiques appliquées à la modélisation des bassins, des réservoirs

et du stockage géologique du CO2à l'IFP

Roland Masson

Département Mathématiques Appliquées, IFP

4 février 2010

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Mathematiques Appliquées 22 ingénieurs docteurs 10 thésards ou postdoctorants

Optimisation numérique Statistique Discretisation des EDPs Solveurs non linéaires et

linéaires

Informatique scientifique 25 ingénieurs 6 thésards ou postdoctorants

Calcul Haute Performance Géométrie maillage Conception logicielle Gestion de projets logiciels

Départements Mathématiques Appliquées et Informatique Scientifique

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Plan Quelques applications dans le domaine des

géosciences à l'IFP Exploration pétrolière

Modèles stratigraphiques Modèles de bassin

Modélisation des réservoirs pétroliers Modélisation du stockage géologique du CO2

Exemples d'apport des mathématiques

Compétences recherchées

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Exploration

•Coûts de l ’exploration

• sismique : 10 à 30 M$

• 1 forage terrestre à 3000m : 2 à 10 M$, en mer : 15 à 30 M$, en mer profonde (>500m) : 100M$

• en moyenne, 1 forage sur 5 trouve du pétrole dans les zones peu connues, 1 sur 3 sinon

AffleurementsSismique Forage de puits

•Acquisition de données

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Exploration

• Est ce qu ’un piège contient des hydrocarbures ?

• Si oui, sont ils en quantité et de qualité suffisante ?

• Comment forer les puits et quels sont les risques de rencontrer des excès de pression ?

Besoin de réduire les risques par la modélisation:

• Intégrer les données dans un modèle 4D quantitatif du "système pétrolier" durant son histoire géologique

Modélisation stratigraphique: modélisation du remplissage du bassin par les sédiments

Modélisation de bassin: migration des fluides

• Histoire sédimentologique du bassin

• Géométrie et nature des roches

• Identification des pièges potentiels

Rq: en amont il faut déterminer l'histoire cinématique du bassin

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Système étudié:bassin sédimentaire

dépôts alluviaux et marins

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Données de puits

Enregistrements Enregistrements diagraphiques aux diagraphiques aux PuitsPuits

- Mesures Electriques - Radioactivités - Vitesse du Son, ...

Interprétation des diagraphies en faciès

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Définition de séquences et interpolations entre les puits

Interprétation des données de puits

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Couverture

Réservoir

Roche mère

?

?

?

Objectifs en exploration pétrolière

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De l'interprétation à la Modélisation stratigraphique

Objectifs Modèle quantitatif, dynamique Lois physiques phénoménologiques

Interpolation physique des données

Mais ... Nécessite une boucle d'inversion pour intégration les données

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SocleSocle

Principes de la modélisation stratigraphique

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SocleSocle

(1)(1) AccommodationAccommodation = Tectonique - Eustasie= Tectonique - Eustasie


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SocleSocle

(1) (1) AccommodationAccommodation


(2) (2) Apports en sédimentsApports en sédiments

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SocleSocle


Ex: croissance de coraux

-> Bathymétrie, vagues, écosystème, ...


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SocleSocle



(3) Transport(3) Transport


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(4) (4) SimulationSimulation

SocleSocle




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Intégration des données

Sismique + Puits

Données

Paramètres

Accommodation

Boucle d'inversion

Modèle Direct

Lois de transport

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Modélisation de bassin

• Données :• Evolution géométrique des couches (cinématique)

• Propriétés des roches et des fluides• Porosité, Perméabilité

• Viscosités, Kr, Pc

• Chimie, Thermodynamique, Thermique, Mécanique, ...

• Résultats :•L ’existence, les quantités et la qualité des HC

•Les excès de pression,…

• Méthode :• Retracer la formation des hydrocarbures, leur migration et leur accumulation dans les pièges

• Phénomènes principaux• Transferts thermiques

• Réactions chimiques

• Écoulements polyphasiques

• Compaction du milieux poreux

Température

Pression

Porosité

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La modélisation de bassinDépôt des sédiments Enfouissement - Compaction – élévation de

température

Craquage – expulsion - migration

Piégeage dans des réservoirs

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Formation d ’un gisement• Migration des hydrocarbures

• compaction, gravité, forces capillaires

• expulsion des roches mères, migration dans les drains

• Rencontre d ’une barrière imperméable : Piège

ex: « voûte » (anticlinal) + couverture imperméable

• Accumulation dans un réservoir

• ségrégation gaz, huile, eau

• Sinon : fuite jusqu ’à la surface

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Gisement d ’hydrocarbures• Superficie : qques km2 /dizaines (voir centaines) de km2

• Epaisseur :qques mètres à qques centaines de mètres d ’épaisseur

• Profondeur : de qques mètres à plus de 6000 mètres

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Production d'un réservoir pétrolier

Prédire pour optimiser le schéma de production Où placer les puits Quels procédés de récupération

Chaîne de modélisation Modèles statique

structural = surfacique géologique = remplissage en propriétés des roches

Modèle dynamique: simulateur de réservoirs calcul des écoulements polyphasiques en milieux poreux

Assimilation de données Incertitudes

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Simulation de réservoir Objectifs

Assimilation des données dynamiques de production

Prédiction de la production Optimisation des procédés d'exploitation

Emplacement des puits Injection d'eau, de C02, ... Procédés thermiques, chimiques, ...

Méthodologie Simuler les écoulements triphasiques (eau-huile-

gaz) compositionnels Couplages avec les puits et le réseau de surface

Réservoir

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Modèles compositionnels

Description plus ou moins fine des fluides en composants selon les objectifs de la simulation

H2O, composants HC, C02, N2, H2S, sels Équations d'état

P

T

(Pc,Tc)

Huile sous saturée

Huile saturée

Gaz à condensat

Enveloppe de phase en diphasique huile-gaz

Gaz sec ou humide

VLL+V

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Construction du modèle géologique réservoir

modèle structural

modèle géologique

données sismiques et de puits

modélisation modélisation structuralestructurale

maillage réservoir

modélisation géostatistique et stratigraphique

modèle réservoir

Mise à l'échelle des propriétés

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Simulation du stockage géologique du CO2

Objectifs Optimisation de l'injection du CO2 Prédiction et réduction des risques de fuite

du CO2 Méthodologie

Simuler les écoulements compositionnels Intéractions eau – roche Géomécanique Fuites: puits, failles, couvertures

Stockage du CO2 dans les aquifères salins

Production d'huile par injection de CO2

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Sleipner CO2 geological storage

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Sleipner CO2 geological storage

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Injection Storage20 years 1000 years

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75 years

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475 years

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975 years

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Quelques exemples d'apport des mathématiques

Modèles stratigraphiques Modélisation

Ecoulements polyphasiques en milieux poreux Discrétisation, solveurs, HPC

Couplage écoulement – transport réactif pour la modélisation du stockage du CO2 Schémas de couplage

Modèles de bassin Discrétisation des failles

Calage des données dynamiques en simulation de réservoir

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Modélisation stratigraphique

Modèles EDPs aux grandes échelles de temps et d'espace

Apport des mathématiques Meilleure formalisation mathématique du modèle en partant du

modèle discret mis au point par D. Granjeon (Géologie) Schéma numérique plus précis et plus performant

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Modèle multi-lithologique

Loi de transport: qi,s= ki(b) Cis b

x

z

b(x,t)

Sédiments = mélange

de L lithologies

L

jj

i

c

c

1

1

0

),( txc si

),,( txci

h(x,t)

b+h=accomodation donnée

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Modèle diffusif multi-lithologique

- Conservation de

- Conservation des ci (pas de compaction):

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Réécriture du système

Terme d'accumulation

Changement de coordonnées

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Modèle multi-lithologique

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- Limiteur de flux:

- Contraintes de complémentarité

ns

nnnns qE

x

hhkq ,

2/11

2/1,

2/1 ,min

0,2/1

,2/1

1

nsns

nn

qqt

hh

tEhh nn

1

+1-1

nh 1nh

nh 1

nsq ,2/1 nsq ,

2/1

Disponibilité limité en sédiments transportables par érosion

Eht

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Exemple de progradation d'un Delta

anm /2

ig

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Exemple de progradation rétrogradation d'un Delta

E = 1 m/Ma

E =

la zone en érosion sous contrainte suit la ligne de côte

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Modélisation stratigraphique ...

Discrétisation Volume Fini

Solveurs linéaires Méthodes Multigrilles

Problème inverse Approche par réduction de modèle

Estimation de paramètres, Incertitudes

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Ecoulements en milieux poreux

Modèles, formulation Discrétisation Solveurs linéaires, HPC Couplage écoulement – géochimie Failles dans les modèles de bassin

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Ecoulements en milieux poreux

Modèle dynamique: multi-physique et non linéarités Gamme de modèles

Du monophasique au triphasique compositionnel thermique en simple et double milieu

Lois de fermetures complexes Equations d'état Equilibres thermodynamique et géochimique Lois hydrodynamiques: Kr, Pc, Hystérésis

Nombreux couplages Thermique Réservoir – Voisinage puits - puits – réseau de surface Cinétique (intéraction eau-roche, craquage, combustion) Géomecanique

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Modèles Polyphasiques Compositionnels

m

mC

Vol

VolSP i

iPore

,,

1

)( ,,

S

QVCdivSC

gPPKk

V

iiit

cr

Phases: = 1,..., Np (eau, huile, gaz, ...

Composants i=1,...,Nc (H2O, HCs, C02, ...)

Inconnues

+ Equilibre thermodynamiqueConservation de la

masse

Conservation du volume de pore

Loi de Darcy polyphasique

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Discrétisation volume fini des flux diffusifs

Maillages généraux Milieu hétérogène, anisotrope Coût minimal et robustesse

Stencil compact, schémas centrés Coercivité Monotonicité

TCSPPu ic ,),(, ,

TM

MM

KK uTdsnuK ,,

LK

Ku

Lu

Kn

LGR

Failles

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Schémas VF pour les flux diffusifs(ANR VFSitCom)

KKu

u

MFD/HFV/MFE

KKu

uI

Gradient par maille

O/G/L

Ku

s

Schémas centrés

Schémas hybrides

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Systèmes non linéaires et linéaires

Système non linéaire Algorithme de type Newton Gestion des changements de phase par le Flash thermodynamique

Système linéaire Réduction du système par élimination des lois de fermeture et des

inconnues explicites

0)(

0),,()(

1

**1,

1

nKK

nK

nKK

XC

CSPFXMK

TKKKKTKK CSPXX ,,

1,* nn

80 à 50% du temps calcul

5 à 50% du temps calcul

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Méthode Combinative-AMG

c

p

c

p

cccp

pcpp

b

b

Y

Y

JJ

JJ

c

pILU

c

p

b

bC

Y

Y 1)0()1(

)1(

)1()1(1)2(ccpppppAMGp YJYJbCY

bJCIC

CY

YY

Y

YILU

AMGILU

c

pp

c

p

1)0(

11

)0()1(

)2()1(

00

0

Préconditionnement ILU(0) du système

Vcycle(s) AMG sur le bloc pression

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Cas test synthétiques Black Oil en simulation de réservoir

Modèle Black Oil (3 inconnues par maille) Champ de perméabilité log-normal

slope 1,45

slope 1,2

Comb-AMG

Nombre d'inconnues (log)

ILU(0)

CPU

par

itéra

tion d

e N

ew

ton

0

50

100

150

200

250

4 8 12

permeability tensor variance

pre

con

dit

ion

er s

tep

sp

er N

ewto

n s

tep

0

6

12

18

24

30

ILU(0)

Comb-AMG

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Cas test PAB Black Oil 3 inconnues par maille 4.200.000 mailles

4979

25871521

921278

10216

354

11692280

636

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

4 8 16 32 64

0

2

4

6

8

10

12

ILU(0)

COMB-AMG

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Calcul Haute Performance

Scalabilité forte Comment exploiter les nouvelles

architectures à taille de problème fixée

Solveurs ILU adaptés au multi-coeurs (ANR PETAL)

Hybride CPU+GPU Solveur linéaire Flash thermodynamique

BiCGStab+ILU0

1

26,52

307,9

2,86 8,01

68,39

0

50

100

150

200

250

300

350

Ivak GCS2K SPE10

matrice

t (s

) CPU Xeon E5420 2,5Ghz

GPU S1070

BiCGStab + ILU0

CPU

tem

ps c

lacu

l (s)

CPU+GPU

SPE10 ILU0: efficacité

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

4 8 16 32 64 12 25

c

1c/p

2c/p

4c/p

1c/p

4c/p

2c/p

106 mailles ILU0

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Stockage géologique du CO2

Sleipner

Etude des piégeages du CO2 Géologique, capillaire, par dissolution, minéralogique

Couplage écoulement polyphasique – transport – géochimie

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interaction

rétroaction

Vision GLOBALE

Stratégie de résolution découplée du système réactif

TREACTRESERVOIR

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Ecoulements en milieux poreux ...

Couplage géomécanique Réservoir, CO2, bassin

Couplage réservoir – puits – réseaux de surface Procédés de récupération thermique Estimation de paramètres Incertitudes

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Calage des données dynamiques en simulation de réservoir

Calage de données de production et sismiques 4D Millions de données, dizaines de paramètres Simulations coûteuses: de qq. mn. à qq. heures Dérivées non disponibles en général

Propagation des incertitudes des entrées sur les sorties Calcul des incertitudes sur les entrées (estimation de paramètres)

FORWARD

problem

INVERSE

• Paramètres pétrophysiques:porosités, perméabilitéspropriétés des failles• Paramètres des puits:skin, IP ...

Time 1 Time 2

4D SEISMIC DATA :impedance maps

100

150

200

250

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Time (day)

BH

FP

(b

ar)

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Time (day)G

OR

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Time (day)

WC

UT

Bottom Hole Pressure Gas-Oil Ratio Water Cut

PRODUCTION DATA

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Méthodes d'optimisation Optimisation "classique" (SQP)

Code SQP quasi Newton avec contraintes linéaires et non linéaires

optimisation non linéaire sous contraintes (local)

Optimisation à base de modèles approchés DFO: derivative free optimization (Powell, Toint)

Région de confiance + modèles approchésoptimisation locale/globale sans dérivées avec contraintes

DACE: surrogate optimization à base de krigeageoptimisation globale sans dérivées

Algorithmes évolutionnairesoptimisation globale sans/avec dérivées,

optimisation multi-objectifs

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Statistique

Propagation des incertitudes Estimation de paramètres (incertitudes sur les entrées

tenant compte des données) Analyse de sensibilités Planification d'expériences Surfaces de réponses

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Postes en mathématiques appliquées pour les géosciences

Stages M1, M2 Thèses Postdocs CDD CDI (docteurs)

Deux directions principalement concernées à l'IFP Ingénierie de réservoir Mathématiques Appliquées et Informatique Scientifique

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Compétences recherchées Modélisation Formulation – couplages Schémas numériques

Solveurs linéaires Calcul Haute Performance Conception logicielle Génie logiciel

Géométrie – maillages

Optimisation Statistique

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