Régulation automatique Chapitre 4: Régulateur PID Filière...

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Régulation automatiqueChapitre 4: Régulateur PID

Filière électroniqueFilière microtechnique

Michel ETIQUE

[email protected]

Haute Ecole d’Ingenieurs et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)

Departement d’electricite et d’informatique

institut d’Automatisation industrielle (iAi)

Regulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 1/49

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Fonctions de transfert d’un système asservi


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Schéma fonctionnel universel

S+-

S+ +w ( t )

v ( t )

y ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

r é g u l a t e u r

p a r t i e d u s y s t è m e à r é g l e rs i t u é e a v a n t l ' i n t r o d u c t i o nd e s p e r t u r b a t i o n s v ( t )( a m p l i f i c a t e u r d e p u i s s a n c e , a c t i o n n e u r , e t c )

p a r t i e d u s y s t è m e à r é g l e rs i t u é e a p r è s l ' i n t r o d u c t i o nd e s p e r t u r b a t i o n s v ( t )( p r o c e s s u s , c a p t e u r , e t c )

e ( t ) G c ( s )u ( t )

f _ 0 4 _ 2 3 . e p s

Fonctions de transfert :

1. Du système à régler Ga(s)

2. En boucle ouverte Go(s)

3. En boucle fermée, régulation de correspondance Gw(s)

4. En boucle fermée, régulation de maintien Gv(s)


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http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra//chap_04//Figures/f_04_23.pdf

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Système à régler

S+-

S+ +w ( t )

v ( t )

y ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )




e ( t ) G c ( s )u ( t )

f _ 0 4 _ 2 3 . e p s

Ga(s) =Y (s)

U(s)

∣∣∣∣v(t)=0

= Ga1(s) · Ga2(s)


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http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra//chap_04//Figures/f_04_23_12.pdf

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Fonction de transfert en boucle ouverteGo(s)

S-

Sw ( t )

v ( t )

x ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )e ( t ) G c ( s )

f _ 0 4 _ 3 5 . e p sG a 3 ( s )

y ( t )

SG a 4 ( s )

-S

G a 5 ( s )


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S-

w ( t ) = 0e ( t )

G c ( s )

f _ 0 4 _ 3 3 . e p s

y ( t )

S

v ( t )

x ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

G a 3 ( s )

SG a 4 ( s )

-S

G a 5 ( s )

1. Couper la boucle en amont du comparateur

2. Annuler les signaux d’entrée w(t) et v(t)


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e ( t ) G c ( s )

f _ 0 4 _ 3 4 . e p s

y ( t )

x ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

G a 3 ( s )

SG a 4 ( s )

-S

G a 5 ( s )

3. Calculer

Go(s) =Y (s)

E(s)

∣∣∣∣w(t)=0,v(t)=0, boucle ouverte

= Gc(s) · Ga(s)


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Régulation de correspondance

S+-

S+ +w ( t )

v ( t )

y ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )




e ( t ) G c ( s )u ( t )

f _ 0 4 _ 2 3 . e p s

Gw(s) =Y (s)

W (s)

∣∣∣∣v(t)=0

=Go(s)

1 + Go(s)


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Régulation de maintien

S+-

S+ +w ( t )

v ( t )

y ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )




e ( t ) G c ( s )u ( t )

f _ 0 4 _ 2 3 . e p s

Gv(s) =Y (s)

V (s)

∣∣∣∣w(t)=0

=Ga2(s)

1 + Go(s)


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Application du principe de superposition

S+-

S+ +w ( t )

v ( t )

y ( t )G a 1 ( s ) G a 2 ( s )




e ( t ) G c ( s )u ( t )

f _ 0 4 _ 2 3 . e p s

Y (s) = Gw(s) · W (s) + Gv(s) · V (s)

y(t) = L−1 {Gw(s) · W (s)} + L−1 {Gv(s) · V (s)}


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Régulateur PID


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Régulateurs non-linéaires

AA m p l i f i c a t e u rd e p u i s s a n c e

C o r p s d ec h a u f f e

i

T c

u

T e x t

p t h

w

P o t e n t i o m è t r ed e m e s u r e

P o t e n t i o m è t r ed e c o n s i g n e

+-e

u

R é g u l a t e u rà a c t i o n à

d e u x p o s i t i o n s

C o m p a r a t e u r

G é n é r a t e u rd e c o n s i g n e

C a p t e u r

y

P u i s s a n c ed i s s i p é ep a r e f f e t J o u l e

f _ 0 4 _ 2 6 . e p sRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 10/49

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u ( t )w ( t ) +- e

u

R é g u l a t e u r à a c t i o n àd e u x p o s i t i o n sa v e c h y s t é r è s e

y ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 2 9 . e p s


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u ( t )w ( t ) +- e

u

R é g u l a t e u r à a c t i o n àd e u x p o s i t i o n sa v e c h y s t é r è s e

y ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 2 9 . e p s

0

w ( t )

y ( t )

0

u ( t )t

t

- u m a x

+ u m a x

l a r g e u r d el ' h y s t é r è s e

f _ 0 4 _ 2 7 . e p s


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Régulateur P

Loi de commande du régulateur P :

u (t) = Kp · e (t)


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Régulateur P


u (t) = Kp · e (t)

Fonction de transfert du régulateur P :

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp


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Régulateur P


u (t) = Kp · e (t)

Fonction de transfert du régulateur P :

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp

Schéma fonctionnel du régulateur P :

e ( t ) u ( t )K pf _ 0 4 _ 0 1 _ 0 1 . e p s


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Réponse indicielle du régulateur P

0 t [ s ]

1 e ( t ) = e ( t )u ( t ) = K p e ( t )

f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 1 . e p s0 t [ s ]

1

u (t) = Kp · e (t)


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Réponse harmonique du régulateur P

w [ r a d / s ]

A ( w ) [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j ( w ) [ d e g ]

0

+ 9 0

- 9 0

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

K p [ d B ]

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

- 4 5

1 / T p

0 . 1 / T p 1 / T p

f _ 0 4 _ 0 7 . e p s

U (s)


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Réalisation électronique de principe du régulateur P

R 2

+-

u ( t )e ( t )

R 1

( ) ( )( )G s U sE s

RRc = = - 2

1f _ 0 4 _ 1 8 _ 0 1 . e p s


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Limite du régulateur P : erreur statique E∞

u (t) 6= 0 ⇒ u (t) = Kp·e (t) 6= 0 ⇔ e (t) 6= 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

Gra

ndeu

r ré

glée

y(t

)

Réponse indicielle avec un régulateur P

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0

2

4

6

8

t [s]

Com

man

de u

(t)

f_ch_04_01_1.epsRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 15/49

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i a ( t )Su a ( t )T e m ( t )

w ( t )Se m ( t )

K T

K E

K m w y ( t )Sy ( t )

K p 1u ( t )

v ( t )

w ( t )

r é g u l a t e u ra m

p l if i c

a t eu r

d e p u

i s sa nc e

( s up po s é

i dé a l

)

c a pt e u

r de

v i te s s

e

m ot e u

r DC

e ( t ) 1 / R a1 + s L a / R a

1 / R f1 + s J / R f

f _ 0 4 _ 1 1 . e p s

ua (t) = Ra ·

Tem

KT=0 [A]

︷︸︸︷

ia (t) +

KE ·ω 6=0 [V]︷︸︸︷

em (t)


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C o u p l e d ef r o t t e m e n t

V i t e s s e0

C o u p l e d ef r o t t e m e n t

V i t e s s e0

F r o t t e m e n t s e c p u r F r o t t e m e n t v i s q u e u x l i n é a i r e f _ 0 4 _ 3 8 . e p s

ua (t) = Ra ·

Tem

KT6=0 [A]

︷︸︸︷

ia (t) +

KE ·ω 6=0 [V]︷︸︸︷

em (t)


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Annulation de E∞ : action sur w(t)

y ( t )Sy ( t )

K pu ( t )

v ( t )

w ( t ) G a ( s )S

D w ( t )

e ( t )

p o t e n t i o m è t r e

w ' ( t )

V +

V -

f _ 0 4 _ 1 2 _ 0 1 . e p s


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Annulation de E∞ : action sur u(t)

y ( t )Sy ( t )

K pu p ( t )

v ( t )

w ( t ) G a ( s )S

u i ( t )

e ( t )

p o t e n t i o m è t r e

u ( t )

V +

V -

f _ 0 4 _ 1 2 _ 0 2 . e p s


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Schématisation de la procédure

M e s u r e r e ( t )

e ( t ) = 0 ?

A u g m e n t e r u i ( t )( D i m i n u e r u i ( t ) ) M a i n t e n i r u i ( t )

f _ 0 4 _ 1 0 . e p s


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Schématisation de la procédure

M e s u r e r e ( t )

e ( t ) = 0 ?

A u g m e n t e r u i ( t )( D i m i n u e r u i ( t ) ) M a i n t e n i r u i ( t )

f _ 0 4 _ 1 0 . e p s

intégrer l’erreur ! ui(t) =∫ t

−∞ e(τ) · dτ


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Régulateur PI

y ( t )S

y ( t )

K pu p ( t )

v ( t )

w ( t ) G a ( s )S

u i ( t )

e ( t ) u ( t )

r é g u l a t e u r P I

f _ 0 4 _ 1 3 . e p s

K i / s


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Régulateur PI

Loi de commande :

u (t) = Kp ·

e (t) +1

Ti

·

t∫

−∞

e (τ) · dτ


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Régulateur PI

Loi de commande :

u (t) = Kp ·

e (t) +1

Ti

·

t∫

−∞

e (τ) · dτ

Fonction de transfert :

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp ·

1 + s · Ti

s · Ti


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Régulateur PI

Schéma fonctionnel :

Se ( t ) u ( t )f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 2 . e p s

K p1s T i


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Régulateur PI


Se ( t ) u ( t )f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 2 . e p s

K p1s T i

Réponse indicielle :

0 t [ s ]

1 e ( t ) = e ( t )K p

T i

( ) ( ) ( )u t K e t T e dpi

t= × + × ×æ

èçöø÷- ¥

ò1 t t

f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 2 . e p s

0 t [ s ]

1K p

T i


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Régulateur PI : réponse harmonique

w [ r a d / s ]

A ( w ) [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j ( w ) [ d e g ]

0

- 9 0

- 1 8 0

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

K p [ d B ]

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

- 4 5

1 / T i 1 0 / T i0 . 1 / T i

1 / T i 1 0 / T i0 . 1 / T i

PI

P

I

f _ 0 4 _ 0 4 . e p sRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 24/49

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Régulateur PI : schéma électronique de principe

R 2

+-

u ( t )e ( t )

R 1

C 2

f _ 0 4 _ 1 8 _ 0 2 . e p s


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Annulation de E∞ (correspondance)

S-

w ( t ) y ( t )G o ( s )

( ) ( )( ) ( )( )G s Y sW s

G sG swo

o= = +1 f _ 0 4 _ 2 4 . e p s

Gw (j · ω) =Y (j · ω)

W (j · ω)=

Go (j · ω)

1 + Go (j · ω)→

∞

1 + ∞→ 1


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Annulation de E∞ (maintien)

1s S1

s1s

+ +

v ( t )

y ( t )- G c ( s ) G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

( ) ( )( ) ( )( )G s Y sV s

G sG sva

o= = +

21 f _ 0 4 _ 2 6 . e p s

Gv (j · ω) =Y (j · ω)

V (j · ω)=

Ga2 (j · ω)

1 + Go (j · ω)→

Ga2 (j · ω)

1 + ∞→ 0


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Robustesse des performances en basse fréquence

Gw (j · ω) =Y (j · ω)

W (j · ω)=

Gc (j · ω) · Ga (j · ω)

1 + Gc (j · ω) · Ga (j · ω)

→∞ · Ga (j · ω)

1 + ∞ · Ga (j · ω)

→ 1

Gv (j · ω) =Y (j · ω)

V (j · ω)=

Ga2 (j · ω)

1 + Gc (j · ω) · Ga (j · ω)

→Ga2 (j · ω)

1 + ∞ · Ga (j · ω)

→ 0


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Effet déstabilisant de l’action I

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

t [s]

Gra

ndeu

r ré

glée

Réponses indicielles avec régulateur P et I

Kp=50, K

i=0

Kp=0, K

i=1.12

Kp=0, K

i=12.5

0 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

0

1

2

3

4

5

t [s]

Com

man

de

P

I

I

f_ch_04_02_1.eps

reg_PI_01.sqRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 29/49

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Prise en compte de l’évolution dee(t)

t [ s ]

e ( t )

0 t 0

e ( t 0 )t [ s ]

e ( t )

0 t 0

e ( t 0 )

S i t u a t i o n 1 : l ' e r r e u r c r o î t e n t = t 0 S i t u a t i o n 2 : l ' e r r e u r d é c r o î t e n t = t 0f _ 0 4 _ 0 9 . e p s


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Prise en compte de l’évolution dee(t)

t [ s ]

e ( t )

0 t 0

e ( t 0 )t [ s ]

e ( t )

0 t 0

e ( t 0 )

S i t u a t i o n 1 : l ' e r r e u r c r o î t e n t = t 0 S i t u a t i o n 2 : l ' e r r e u r d é c r o î t e n t = t 0f _ 0 4 _ 0 9 . e p s

Effet sur la commande d’un régulateur P ou PI :

∆u(t0) = Kp · e(t0)


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Régulateur PD

Loi de commande :

u (t) = Kp ·

(

e (t) + Td ·de

dt

)


Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp · (1 + s · Td)


http://iai.eivd.ch/

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Ai iu

tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Régulateur PD


Se ( t ) u ( t )f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 3 . e p s

K ps T d


0 t [ s ]

1 e ( t ) = e ( t )K p T d d ( t )

0 t [ s ]

1 e ( t ) = e ( t )K p T d d ( t )

( ) ( )u t K e t T d ed tp d= × + ×æ

èçöø÷

f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 2 . e p s

f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 3 . e p s0 t [ s ]

1

K p T d d ( t )

0 t [ s ]

1

K p T d d ( t )


http://iai.eivd.ch/



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tom

atisa

tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Régulateur PD

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

t [s]

Gra

ndeu

r ré

glée

Kp=1, T

d=0

Kp=1, T

d=3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

Gra

ndeu

r de

com

man

de

Kp=1, T

d=0

f_ch_04_03_1.eps

reg_PD_01.sqRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 33/49

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Régulateur PD

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Gra

ndeu

r ré

glée

y(t

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

Gra

ndeu

r de

com

man

de

u

ud

up

f_ch_04_03_2.epsRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 34/49

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tio

n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle

Réponse harmonique du régulateur PD

w [ r a d / s ]

A ( w ) [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j ( w ) [ d e g ]

0

+ 9 0

- 9 0

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

K p [ d B ]

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

+ 4 5

1 / T d 1 0 / T d0 . 1 / T d

1 / T d 1 0 / T d0 . 1 / T d

P

D

D

P

f _ 0 4 _ 0 5 . e p s


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tio

n

ns

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ut

d

'

nd

us

trie

lle

Inconvénient : sensibilité aux bruits

dn

dt=

d

dt

(

N · sin (2 · π · f · t))

= 2 · π · f · N︸︷︷︸

amplitude multipliée par f

· cos (2 · π · f · t)

-W ( s ) Y ( s )G c ( s ) G a ( s )U ( s )E ( s )

V ( s )

S

S

N ( s )b r u i t s u r l a m e s u r e f _ 0 4 _ 2 8 . e p s


http://iai.eivd.ch/


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n

ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−30

−20

−10

0

10

20

30ω

c, ωm

[t/m

in]

Influence du bruit de mesure sur la commande dans le cas d’un asservissement de vitesse

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

u [V

]

t [s]

f_bruit_02_1.eps


http://iai.eivd.ch/

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra//chap_04//Figures/f_bruit_02_1.pdf

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'

nd

us

trie

lle


w ( t )

y ( t )

u ( t ) y ( t )R é g u l a t e u rS Y S T E M E

AR E G L E Rv

u+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O Nv ( t )

f _ 0 4 _ 1 9 . e p s

i.e. aux variations rapides de l’erreur


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d

'

nd

us

trie

lle


S-

w ( t ) y ( t )G o ( s )G f i l t r e ( s )w f i l t r é ( t )

G w ( s ) f _ 0 4 _ 2 0 . e p s

Des variations rapides de l’erreur sontprovoquées par

le bruit de mesureles variations rapides de la consigne


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ut

d

'

nd

us

trie

lle


Solution possible : filtrer (légèrement) l’actiondérivée

Se ( t ) u ( t )++

f _ 0 4 _ 3 0 . e p s

K ps T d1 + s a T d

Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp ·

(

1 +s · Td

1 + s · a · Td

)

= Kp ·1 + s · (1 + a) · Td

1 + s · a · Td

a = facteur d’avance de phase valant en général 0.1 à 0.2.


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'

nd

us

trie

lle

Régulateur industriel PID

Loi de commande :

u (t) = Kp ·

e (t) +1

Ti

·

t∫

−∞

e (τ) · dτ + Td ·de

dt


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ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


Loi de commande :

u (t) = Kp ·

e (t) +1

Ti

·

t∫

−∞

e (τ) · dτ + Td ·de

dt


Gc (s) =U (s)

E (s)= Kp ·

1 + s · Ti + s2 · Ti · Td

s · Ti


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ut

d

'

nd

us

trie

lle



Se ( t ) u ( t )

f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 4 . e p ss T d

1s T i

K p


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'

nd

us

trie

lle



Se ( t ) u ( t )

f _ 0 4 _ 0 1 _ 0 4 . e p ss T d

1s T i

K p


0 t [ s ]

1 e ( t ) = e ( t )K p

T i

K p T d d ( t )( ) ( ) ( )u t K e t T e d T d e

d tpi

t

d= × + × × + ×æèç

öø÷- ¥

ò1 t t

f _ 0 4 _ 0 2 _ 0 4 . e p s0 t [ s ]

1K p

T i

K p T d d ( t )


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'

nd

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trie

lle

Réponse harmonique du régulateur PID

w [ r a d / s ]

A ( w ) [ d B ]

0 [ d B ]

w [ r a d / s ]

j ( w ) [ d e g ]

0

P

- 9 0

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3

+ 4 5

- 4 5

1 / T c 1 1 0 / T c 10 . 1 / T c 1 1 / T c 2 1 0 / T c 20 . 1 / T c 2

I D

+ 9 0

w n

1 0 w n

0 . 1 w n

1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 31 / T c 1 1 0 / T c 10 . 1 / T c 1 1 / T c 2 1 0 / T c 20 . 1 / T c 2w n

f _ 0 4 _ 0 6 . e p s


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ut

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'

nd

us

trie

lle

Systèmes physiquement réalisables

Gc (s)|PID =U (s)

E (s)= Kp ·

1 + s · Ti + s2 · Ti · Td

s · Ti

Gc(s)|PD =U(s)

E(s)= Kp · (1 + s · Td)


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ns

tit

ut

d

'

nd

us

trie

lle


G (s) =U (s)

E (s)=

K

sα·

1 + s · b1 + . . . + sm−1· bm−1 + sm

· bm

1 + s · a1 + . . . + sn−α−1· an−α−1 + sn−α

· an−α

G (j · ω) =K

(j · ω)α ·

1 + (j · ω) · b1 + . . . + (j · ω)m−1· bm−1 + (j · ω)m

· bm

1 + (j · ω) · a1 + . . . + (j · ω)n−α−1· an−α−1 + (j · ω)n−α

· an−α

limω→∞

G (j · ω) =K ·

bm

an−α

(j · ω)n−m=

{

A (ω) = |G (j · ω)||ω→∞ →K· bm

an−α

ωn−m

ϕ (ω) = arg {G (j · ω)}|ω→∞ → (n − m) · (−90 [◦])


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'

nd

us

trie

lle


w [ r a d / s ]

A ( w ) [ d B ]

0 [ d B ]

d = n - m = 0

d = n - m < 0

d = n - m > 0

f _ 0 4 _ 2 2 . e p s


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'

nd

us

trie

lle

"Hit parade" des régulateurs classiques

t [ s ]

y I ( t )y P I ( t )

y P ( t )

y P I D ( t )y P D ( t )

0

w ( t )

f _ 0 4 _ 2 1 . e p s


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ut

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'

nd

us

trie

lle

Résumé des effets respectifs des actions P, I, et D

Action Avantage Désavantage

P dynamique ne permet pas d’annuler une er-reur statique

I annulation d’erreur statique,amélioration de la robustesse

action lente, ralentit le système(effet déstabilisant)

D action très dynamique, améliorela rapidité (effet stabilisant)

sensibilité aux bruits forte sollici-tation de l’organe de commande


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us

trie

lle

Ajustage des paramètres de régulateurs P, PIet PID par la méthode de Ziegler-Nichols


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'

nd

us

trie

lle

1ère méthode de Ziegler Nichols

u ( t ) y ( t )G a ( s )f _ 0 4 _ 4 0 . e p s

t [ s ]

u ( t )

0 t [ s ]0

y ( t )


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'

nd

us

trie

lle


0 5 10 15 20 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tu

Tu+T

g

t [s]

Réponse indicielle du système à régler seul, Tu=3.1109, T

g=7.3892

Q


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'

nd

us

trie

lle


Type Kp Ti Td

P Tg

Tu- -

PI 0.9 · Tg

Tu3.3 · Tu -

PID 1.2 · Tg

Tu2.0 · Tu 0.5 · Tu

0 5 10 15 20 25−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tu

Tu+T

g

t [s]

Réponse indicielle du système à régler seul, Tu=3.1109, T

g=7.3892

Q


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ut

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'

nd

us

trie

lle


0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en boucle fermée, Kp=1.4251, T

i=6.2218[s], T

d=1.5555[s]


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'

nd

us

trie

lle

2ème méthode de Ziegler Nichols

-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )e ( t )

f _ 0 4 _ 3 2 . e p s

K p

y ( t )t

A c r

T c r

y ( t )

K c r

0

Contre-réactionner le système à régler avec unrégulateur P de gain Kp

Augmenter Kp jusqu’à ce que le système soit enoscillation entretenue


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ut

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'

nd

us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )e ( t )

f _ 0 4 _ 3 2 . e p s

K p

y ( t )t

A c r

T c r

y ( t )

K c r

0

Pulsation d’oscillation ωcr = 2 · π · fcr = 2·πTcr

Amplitude de l’oscillation Acr


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trie

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- 1e ( t )

y ( t )

S e ( t )w ( t ) = 0

l e c o m p a r a t e u r r e p r é s e n t e u ng a i n d e ( - 1 ) p o u t y ( t ) !

- 1y ( t )

e ( t )- 1@ w c r

@ w c r

y ( t )

y ( t )

y ( t )

y ( t )

f _ 4 1 _ 3 9 . e p s

Dans ces conditions, le gain de boucle en ωcr est égal à

−1Regulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 46/49

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lle


Type Kp Ti Td

P 0.5 · Kcr - -PI 0.45 · Kcr 0.83 · Tcr -PID 0.6 · Kcr 0.5 · Tcr 0.125 · Tcr

y ( t )t

A c r

T c r

f _ 0 4 _ 3 7 . e p s


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'

nd

us

trie

lle


Type Kp Ti Td

P 0.4 · Kcr - -PI 0.4 · Kcr 0.4 · Tcr -PID 0.4 · Kcr 0.4 · Tcr 0.1 · Tcr

y ( t )t

A c r

T c r

f _ 0 4 _ 3 7 . e p s


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'

nd

us

trie

lle

2ème méthode de Ziegler Nichols modifiée

-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )


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tit

ut

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'

nd

us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )

Le système à régler est de type passe-bas−→ les hautes fréquences du signal d’entrée sont ±

fortement atténuéesRegulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 47/49

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ut

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'

nd

us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )

On néglige les harmoniques de y(t)

−→ y(t) ≈ Y 1 · sin (ωcr · t) est purement sinusoïdale(seul le fondamental est pris en compte)


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ns

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'

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us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )

y(t) ≈ Y 1 · sin (ωcr · t) ne dépend alors que dufondamental de u(t) :

u(t) ≈ U1 · sin (ωcr · t)Regulation automatiqueChapitre 4: Regulateur PIDFiliere electroniqueFiliere microtechnique – p. 47/49

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us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )

Le gain de boucle en ωcr est donc Kpcr ·Y 1

U1 = 1


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ut

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us

trie

lle


-Sw ( t ) G a ( s )u ( t )

e ( t )

f _ 0 4 _ 3 1 . e p s

P I D

e

u+ A

- A

" R E L A I S "

y 1 ( t )

tA c r

T c r

t4 A / pA

u 1 ( t )u ( t )

y ( t )

Le gain de boucle en ωcr est donc Kpcr ·Y 1

U1 = 1

D’où : Kpcr = 1Y 1

U1

= U1

Y 1 =4

π·A

Acr= 4

π· A

Acr


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us

trie

lle


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−5

0

5

10Commande délivrée par le relais

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−2

0

2

4

6

t [s]

Signal de sortie


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tit

ut

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'

nd

us

trie

lle


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−5

0

5


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−2

0

2

4

6

t [s]

Signal de sortie

Kcr =4

π·

A

Acr

=4

π·

10

5= 2.55

Tcr = 12.6 [s]


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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−5

0

5


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−2

0

2

4

6

t [s]

Signal de sortie

Kcr =4

π·

A

Acr

=4

π·

10

5= 2.55

Tcr = 12.6 [s]

Kp = 0.4 · Kcr = 1.1[−]

Ti = 0.4 · Tcr = 5.0 [s]

Td = 0.1 · Tcr = 1.26 [s]


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lle


0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en boucle fermée, Kp=1.1, T

i=5[s], T

d=1.26[s]


http://iai.eivd.ch/


Régulation automatique Chapitre 4: Régulateur PID Filière...

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