Référentiels non galiléensalain.lerille.free.fr/Polys/Poly08.pdf · 2018. 11. 10. · physique...

physique année scolaire 2018/2019

Référentiels non galiléensLes points du cours à connaître

I- Référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation

La vitesse ~v/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R′(M) du point Mdans le référentiel R′ par

~v/R(M) = ~v/R′(M) + ~ve

où ~ve est la vitesse d'entraînement du référentiel R′ par rapport à R.~ve est la vitesse, dans R, du point coïncident P , qui se trouve au même endroit que M maisqui est xe dans R′.

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation

L'accélération ~a/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R′(M) dupoint M dans le référentiel R′ par

~a/R(M) = ~a/R′(M) + ~ae

où ~ae est l'accélération d'entraînement du référentiel R′ par rapport à R.~ae est l'accélération, dans R, du point coïncident P , qui se trouve au même endroit que M maisqui est xe dans R′.

2. Force d'inertie d'entraînement

Expression de la force d'inertie d'entraînement :

dans R′ non galiléen, il faut ajouter aux forces ~F la force d'inertie d'entraînement :

~fie = −m.~ae

3. Exemples de translations

Ensemble des référentiels galiléens

Tout référentiel R′ en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléenR est lui même galiléen.

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une trans-

lation uniformément accélérée

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0~ux, alors la force d'inertie d'en-traînement dérive de l'énergie potentielle Ep = ma0 x.

II- Référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation

La vitesse ~v/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R′(M) du point Mdans le référentiel R′ par

~v/R(M) = ~v/R′(M) + ~ve

où ~ve est la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse du point coïncident.

spé PC*1 page n 1 Lycée Saint Louis


Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotation

L'accélération ~a/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R′(M) dupoint M dans le référentiel R′ par

~a/R(M) = ~a/R′ + ~ae + ~aC (M)

où l'accélération de Coriolis est

~aC = 2 ~ΩR′/R ∧ ~v/R′(M)

et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :

~ae = ~a/R(P )

Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en rota-

tion :

dans R′ non galiléen, il faut ajouter aux forces ~f→M la force d'inertie d'entraînement :

~fie = −m~ae = −m~a/R(P )

et la force d'inertie de Coriolis :

~fiC = −m~aC = −2m~ΩR′/R ∧ ~vM/R′

2. Force d'inertie d'entraînement axifuge

Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire

constante

Dans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à unréférentiel galiléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie est axifuge (H est le projetéde M sur l'axe de rotation) :

~fie = mω2−−→HM = mr ω2 ~ur

en coordonnées cylindriques d'axe Oz.Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation

à vitesse angulaire constante

Dans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport àun référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie d'entraînement dérive del'énergie potentielle Ep = −1

2mr2 ω2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz.

3. Force d'inertie de Coriolis

III- Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre

1. Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre

Le poids :

On dénit le poids comme la somme de deux forces :- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet ~fG ;- la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre ~fie.

2. Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre

Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre

La force d'inertie de Coriolis :

• dévie vers la droite un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère nord ;

• dévie vers la gauche un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère sud ;

• dévie vers l'est un objet qui se déplace verticalement vers le bas.



Exercice traité en n de cours

exo 8.1) La pesanteur articielle dans le vaisseau de "2001 - l'Odyssée de l'Espace"

A gauche : ache du lm où l'on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du vaisseau.Dans le lm "2001 l'odyssée de l'espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial constitué d'un tore de

rayon R tourne autour de son axe Oz avec une vitesse angulaire ~Ω = ω.~ez constante dans un référentiel galiléen.1) Alors qu'ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore comme sur Terre : ils sont

soumis à une gravité articielle. Evaluer les valeurs numériques de R et de ω pour que les astronautes subissentune gravité articielle de valeur g = 9, 81 m · s−2, à 10% près entre les pieds et la tête.

2) Dans une des scènes du lm, un astronaute (Poole) fait un jogging dans le tore. Expliquer pourquoi ilpeut être très fatigant pour Poole de courir dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pourillustrer le raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?



Techniques à maîtriser

I- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en

translation par rapport à un référentiel galiléen

Relier les lois de composition des vitesses (transformation de Galilée) dans le cas d'un référentiel entranslation rectiligne uniforme par rapport à un autre à la relation de Chasles et au caractère supposéabsolu du temps.Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dansle cas d'un référentiel en translation par rapport à un autre.Dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen, déterminer la forced'inertie d'entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique etla loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentielgaliléen.

ce qu'il faut savoir faire capacités


~fie = −m.~ae (M)


~fiC = −m.~aC (M) = −2.m.~ΩR′/R ∧ ~vM/R′

Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dansun référentiel non galiléen : méthode

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0~ux, alors la force d'inertie d'entraînementdérive de l'énergie potentielle Ep = ma0 x.

Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen entranslation par rapport à un référentiel galiléen : méthode

II- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en

rotation par rapport à un référentiel galiléen

Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dansle cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe.Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,exprimer la force d'inertie axifuge. Associer la force d'inertie axifuge à l'expression familière forcecentrifuge .Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétiquedans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel.




Associer les marées à un terme gravitationnel diérentiel et comparer l'inuence de la Lune et du Soleilpour analyser des documents scientiques.Établir et utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement volumique.


~fie = −m.~ae (M)


~fiC = −m.~aC (M) = −2.m.~ΩR′/R ∧ ~vM/R′


Dans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentielgaliléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielleEp = − 1

2mr2 ω2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz.

Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen enrotation par rapport à un référentiel galiléen : méthode

III- Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rota-

tion par rapport à un référentiel galiléen

Citer et utiliser l'expression de l'accélération de Coriolis.Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,exprimer la la force d'inertie de Coriolis.Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétiquedans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.Utiliser l'expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientiques portant sur leseets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins.



~fie = −m.~ae (M)


~fiC = −m.~aC (M) = −2.m.~ΩR′/R ∧ ~vM/R′




Les techniques mathématiques à connaître

Repère de FrénetVecteurs de base : (~T , ~N, ~B)Position : repérée par l'abscisse sVitesse : ~v = s ~TAccélération : ~a = s ~T + v2

R~N où R est le rayon de cour-

bure de la trajectoire.

Repère cartésienVecteurs de base : (~ux, ~uy, ~uz)

Position :−−→OM = x~ux + y ~uy + z ~uz

Vitesse : ~v = x ~ux + y ~uy + z ~uzAccélération : ~a = x ~ux + y ~uy + z ~uzElément de volume : d3τ = dx dy dz

Repère cylindriqueExpression dans le repère cartésien :

x = r sin θy = r cos θ

z = z

⇒

d~urdθ = ~uθ

d~uθdθ = −~ur

Vecteurs de base : (~ur, ~uθ, ~uz)

Position :−−→OM = r ~ur + z ~uz

Vitesse : ~v = r ~ur + r θ ~uθ + z ~uz

Accélération : ~a =(r − r θ2

).~ur+

(2 r θ + r θ

)~uθ+ z ~uz

Elément de volume : d3τ = dr (r dθ) dzRepère sphériqueExpression dans le repère cartésien : x = r sin θ cosϕ

y = r sin θ sinϕz = r cos θ

Vecteurs de base : (~ur, ~uθ, ~uϕ)

Position :−−→OM = r ~ur

Vitesse : ~v = r ~ur + r θ ~uθ + r sin θ ϕ ~uϕElément de volume : d3τ = dr (r dθ) (r sin θ dϕ)Généralisation

Coordonnées ~u1 ~u2 ~u3 s1 s2 s3 µ1 µ2 µ3

cartésiennes ~ux ~uy ~uz x y z 1 1 1cylindriques ~ur ~uθ ~uz r θ z 1 r 1sphériques ~ur ~uθ ~uϕ r θ ϕ 1 r r sin θ

Généralisation pour les repèresDéplacement élémentaire :

−→d` =

∑i

µi dsi ~ui

Elément de volume : d3τ =∏i

µi dsi.

Les repères utilisés par les physiciens méthode



Programmation en python

exo 8.2) Chute libre et déviation vers l'est

R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R′

est le référentiel terrestre, lié à la Terre. On suppose R galiléen.On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ. (Oz)

est l'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.On supposera ~g = −g.~uz uniforme (|~g| = 9, 81m.s−2).1) Exprimer la force d'inertie de Coriolis ~fiC = −2.m.~Ω ∧ ~v dans le repère (Oxyz) (la rotation de la Terre

se fait en 24h, suivant le vecteur rotation ~Ω dirigé du pôle sud vers le pôle nord).2) Faire informatiquement une étude balistique en intégrant le mouvement pas à pas et montrer que le

projectile en chute libre est dévié vers l'est.



Résolution de problème

La ceinture de sécurité

Extrait d'un site de prévention suissehttp: // www. prevention. ch

Le port de la ceinture de sécurité augmente les chances de survie lors d'une

collision.

Selon le principe d'inertie, un corps qui n'estsoumis à aucune force est en mouvement rectiligneuniforme. C'est pourquoi un automobiliste qui neporte pas de ceinture lors d'une collision est pro-jeté contre le tableau de bord ou le pare-brise. Parcontre, l'énergie acquise par le corps d'un conduc-teur attaché est évacuée par la ceinture de sécuritéet la zone déformable du véhicule.

La force intervenant lors d'une collision à 30km/h seulement représente à peu près 20 fois lepoids de l'automobiliste (environ 1500 kg). Il estdès lors impossible de se retenir par les bras. Lesmeilleurs haltérophiles soulèvent tout au plus en-viron 250 kg.

exo 8.3) Enoncé

1) En utilisant les lois de la physique, estimer la force à laquelle est soumis le conducteur lors d'une collisionà 30 km/h.


http://www.prevention.ch


Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 8.4) Les bases de lancement des fusées

Les principales bases de lancementdes fusées et leurs latitudes sont lessuivantes :- Cap Canaveral : λ = 28N ;- Baïkonour : λ = 49N ;- Kourou : λ = 5N .

1) Composition des vitesses :R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R′

est le référentiel terrestre, lié à la Terre.1.a) Calculer la vitesse d'entraînement en un point de la surface de la Terre de latitude λ et de longitude

ϕ.1.b) On lance, dans R′, verticalement la fusée. A quel endroit du globe la vitesse de la fusée sera-t-elle

la plus grande dans R ?2) Eets de la force d'inertie d'entraînement :

2.a) Calculer, en fonction de la latitude λ et de la longitude ϕ, la force d'inertie d'entraînement àprendre en compte dans R′.

2.b) En considérant le champ gravitationnel comme constant à la surface de la Terre, où vaut-il mieuxlancer les fusées ?

3) Question subsidiaire :Pourquoi deux des bases sont situées sur la côte est du continent américain (littoral atlantique) ?NB : Le site de Baïkonour n'est pas au bord de la mer, mais en plein désert.

exo 8.5) L'assiette au beurre

L'assiette au beurre est une attraction de foire : on s'assoie sur un manège qui se met à tourner de plus enplus vite. Au bout d'un certain moment, les gens se trouvent éjectés vers l'extérieur du manège. Cet exercicetente de modéliser ce qui se produit.

Oz est la verticale ascendante, axe de rotation d'un disque horizontal qui tourne à une vitesse angulaire ωautour de l'axe Oz.On augmente très progressivement cette vitesse de rotation de sorte que l'on puisse se considérer en régimequasi-stationnaire à chaque instant.Un objet M est placé à une distance d de l'axe de rotation du disque.Les coecients de frottement statique et dynamique de la force de frottement solide exercée par le disque surM sont respectivement notés fs et fd, et on admet que fd = 3

4fs = 2, 5.1) Rappeler les lois de Coulomb du frottement solide.2) Montrer que, dans le cas où M est xe par rapport au disque, ω < ω0, dont on donnera l'expression.3) Déterminer l'évolution de M lorsqu'il commence à glisser sur le disque.



exo 8.6) Déviation d'un tir d'obus vertical

En un point O de latitude 48 Nord et de longitude 3 Est, un canon tire un obus selon la direction verticaleascendante Oz avec une vitesse initiale V0 = 900 km ·h−1 dans le référentiel terrestre. Cette expérience a étéréalisée au XVIIème siècle. Nous en proposons une modélisation.On se munit d'un repère Oxyz orthonormé lié à la surface de la terre avec Ox dirigé vers l'est.On néglige les frottements de l'obus (considéré comme un point matériel) avec l'air.On considère le champ de pesanteur uniforme de norme g = 10 m · s−2.

1) Dans un premier temps, on considère le référentiel terrestre comme galiléen.1.a) Déterminer l'altitude maximale zmax atteinte par l'obus.1.b) Donner l'expression du vecteur vitesse à chaque instant.

2) On considère maintenant le référentiel terrestre comme non galiléen.On pourra partir de l'expression précédente du vecteur vitesse, en première approximation.

2.a) Pourquoi ne faut-il ajouter dans le bilan des forces, que les forces de Coriolis ?2.b) Exprimer ces forces de Coriolis dans le repère Oxyz.2.c) Donner les expressions horaires du mouvement.2.d) En quel point A l'obus retombe-t-il ?

3) On se place à nouveau dans l'hypothèse du référentiel galiléen.3.a) Quelle orientation α par rapport à la verticale permet à l'obus de retomber en A ?3.b) L'expérience est-elle concluante quant à la mise en évidence des forces de Coriolis ?

exo 8.7) Précession de Larmor

issus du site "http ://www.cic-it-nancy.fr/fr/quest-ce-que-lirm/".

Pour étudier ce mouvement, on se place dans le référentiel d'étude R qui est considéré comme galiléen. Uneparticule M de masse m et de charge q est lancée à l'origine du repère Oxyz (xe dans R) avec une vitesseinitiale v0 contenue dans le plan zOx : ~v0 = v0x ~ex + +v0z ~ez.Cette particule est soumise à l'action d'un champ magnétique ~B = B~ez uniforme et constant.Soit M ′ la projection de M sur le plan xOy et H sa projection sur l'axe Oz.Soit R′ un référentiel en rotation par rapport à R avec une vitesse angulaire Ω = Ω~ez. Ox′y′z est xe dansR′. La vitesse angulaire Ω est choisie de manière à ce que le point M ′ soit xe dans R′ sur l'axe Ox′ : on notex′ = OM ′.On pose ωc = q B

m , la pulsation cyclotron.1) Passage de R à R′.

1.a) Exprimer la force de Lorentz dans R.1.b) Pourquoi peut-on dire que c'est la même force électromagnétique que la particule ressent dans R′,

alors que le champ électromagnétique n'est plus le même ?1.c) Exprimer la vitesse de la particule dans R en fonction de celle dans R′.

2) Dynamique dans R′.2.a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans R′.2.b) Montrer que Ω = ωc

2 .2.c) Quelle est donc l'équation suivie par x′ ?



Approche documentaire (DNS)

Marées et gravitation

Une histoire des maréesAndré Gillet - Belin

Les marées sont liées aux mouvements de la Lune et du Soleil.

Pierre Simon de LaplaceLaplace (1749-1827) utilise les mesures des hauteurs d'eau relevées à Brest depuis Louis XIV. Il est un grand

savant, mais il manque de simplicité. Sa science dépasse sa modestie : Je suis arrivé à ce résultat remarquable [lasolution du problème des marées]. Il parvient en eet à établir une théorie générale, mais celle-ci ne s'appliquepas aux ux et reux propres à chaque port, et n'est donc pas exploitable pour la prédiction.

Procédant méthodiquement, Laplace simplie systématiquement le problème, et prend comme hypothèse,pour commencer, que la mer inonde la Terre entière, et qu'elle n'éprouve que de légers obstacles dans sesmouvements. Il considère que sans cette simplication il serait impossible de soumettre aux calculs l'analysedes marées. Il sut donc d'examiner les phénomènes généraux qui doivent résulter des forces engendrées par leSoleil et la Lune, l'attraction luni-solaire sur la Terre étant la seule explication rationnelle possible.

Pour commencer, et pour simplier encore, Laplace pose que le Soleil est le seul moteur des marées, et qu'ilest à l'équateur. Son attraction s'exerce de façon globale sur la Terre et son enveloppe liquide. Celles-ci sontdonc soumises à une accélération dans la direction de l'astre. Localement cependant, l'accélération subie n'estpas la même partout. Suivant les lois de la physique, on peut concentrer toute la masse du globe terrestre en soncentre, et étudier le mouvement de ce centre de masse. On examine alors le mouvement des océans par rapportà celui-ci. Une particule de la mer placée au-dessous du Soleil subit une attraction - donc une accélération -plus grande que le centre de la Terre, car elle est plus proche de l'astre attracteur. Inversement, une goutte d'eauà l'antiméridien est moins attirée par le Soleil - donc moins accélérée - que ne l'est le centre de la Terre. Il seforme donc deux bourrelets d'eau diamétralement opposés. Étant donné que la Terre fait un tour sur elle-mêmeen 24 heures, on observe théoriquement en chaque point du globe deux marées par jour.

L'attraction du Soleil se fait sentir de façon plus importante dans les vastes étendues que dans les bassinsétroits, car la force reçue par chaque molécule se transmet de part en part et se communique à tout l'océan.Cette force, qui est négligeable pour chaque particule liquide, devient considérable lorsqu'elle est transmise àtoutes. Elle reste faible en revanche dans les mers de peu d'étendue Les marées dans celles-ci, on le sait, sontquasi inexistantes, sauf certaines exceptions comme l'Adriatique.

Compliquant son schéma pour se rapprocher des conditions réelles, Laplace introduit la Lune et la fait sedéplacer sur l'équateur en compagnie du Soleil. L'action de la Lune induit sur les océans un eet comparable àcelui du Soleil, mais cette fois-ci suivant un cycle d'un demi-jour lunaire. Les deux mouvements, celui du Soleilet celui de la Lune se combinent sans se troubler, et, de leur combinaison, résulte le ux que nous observonsdans nos ports.

La force génératrice des marées, due aux eorts conjoints de la Lune et du Soleil, varie de façon très complexeau cours du temps. Lorsqu'il arrive au bout de son raisonnement, Laplace a réussi à décomposer cette forceen une somme d'actions simples, qui suivent un cycle diurne, ou semi-diurne (d'un demi-jour). Chacune deces actions engendre de façon périodique une marée, ou onde, et les ux et reux que l'on observe sont dusà l'addition de ces diérentes ondes. Laplace conclut cependant à une forme générale semi-diurne, car l'actionsemi-diurne de la Lune est prépondérante.

Les prédictions de hauteur et d'heure ne se conrment pas à partir de cette théorie. Il est impossible deprévoir le ux et le reux d'un port quelconque directement à partir de celui du port de Brest, où les maréessont étudiées depuis le milieu du XVIIième siècle, et particulièrement bien connues depuis 1711, année à partirde laquelle les relevés furent systématiques. À chaque port correspond un régime qui lui est particulier. Cetteparticularité des marées sera conrmée par l'ingénieur hydrographe Rémi Chazallon (1802-1872), qui poursuivraet achèvera les recherches de Laplace, et imaginera les méthodes de prévision.



Chazallon : la théorie et la pratique

À partir d'observations eectuées à Saint-Malo et à Granville en 1831, et reprises en 1836 - les grandesmarées de ces deux ports l'ont fortement impressionné - Chazallon démontre, par des méthodes graphiques etpar le calcul, que chaque port obéit à sa loi particulière. Ainsi, vers l'entrée de l'Orne et au Havre, la mer gardeson plein pendant une heure ; à Dieppe, elle le garde à peine huit minutes ; ici la durée du ot [marée montante]excède la durée du jusant [marée descendante] ; ailleurs c'est l'inverse. Il fallait ajouter à l'onde semi-diurnede Laplace d'autres ondes de périodes plus petites. Ces autres ondes ou marées élémentaires ont des périodesd'un tiers, un quart, un sixième, etc. de jour. L'addition de ces ondes quart-diurne, semi-tiers-diurne... rendcompte des irrégularités. La surface de la mer ondule comme une corde vibrante et l'onde principale, lorsqu'ellerencontre des fonds peu profonds, se déforme, et engendre ses harmoniques.

Dans chaque port, l'heure et la hauteur des ux et des reux peuvent être calculées en combinant les ondes-marées de Laplace et leurs harmoniques, découvertes par Chazallon. Cependant, selon la forme des côtes et desbaies, la profondeur des fonds, l'amplitude et l'heure de la marée peuvent varier considérablement, et, commele remarquait déjà Laplace, la grandeur des marées dépend beaucoup des circonstances locales. Sur les côtesde la Manche et de l'Atlantique, on observe deux marées par jour lunaire, car les ondes semi-diurnes dominent,alors que sur les côtes du Vietnam, c'est l'onde diurne qui prédomine, et on constate chaque jour lunaire unemarée de grande amplitude et une autre de très petite amplitude. Ainsi E. Fichot, ingénieur hydrographe enchef de la Marine, notait en 1923 : [...] la mer de Chine [est] susceptible de se comporter en résonateur vis-à-visdu système diurne nord-pacique sur lequel elle débouche. D'autre part, l'onde semi-diurne, en contournantpar le nord et le sud l'île d'Haïnan, vient interférer presque complètement dans le golfe du Tonkin : d'où lecaractère exclusivement diurne, si longtemps regardé comme une anomalie, de la marée dans cette région. L'ondesemi-diurne toutefois n'est pas rigoureusement éteinte ; vers les époques où la Lune, traversant l'équateur, l'ondediurne s'annule, et on voit nettement réapparaître sur le tracé des courbes une très légère ondulation semi-diurne,qui dans le cours de la lunaison se trouve noyée dans l'onde diurne prépondérante.

Chaque bassin, chaque baie, possède une période propre, dépendant de sa forme et de ses dimensions. Si cettepériode propre et la période de l'onde-marée coïncident, l'amplitude augmente considérablement, par résonance.Ce phénomène est présent dans l'Adriatique ; c'est pourquoi on y observe des marées. Il n'existe pas en revanche



en Méditerranée. La résonance peut élever l'eau à des hauteurs considérables. Lors des forts coecients, la merpeut monter de 21 mètres dans la baie de Fundy, au Canada, et de 18 mètres au détroit de Magellan. Dans labaie du Mont-Saint-Michel, la marée dépasse les 12 mètres. Les plages étant très plates et fort longues, l'eauarrive à grande vitesse, à la fameuse vitesse d'un cheval au galop, comme l'écrit le Père Fournier. Au milieude l'océan, par contre, la Lune et le Soleil ne soulèvent les eaux que de quelques décimètres. À proximité descôtes, là où il est intéressant de savoir prédire l'heure et la hauteur du ux, seule l'observation peut déterminerquelle part revient à chacune des composantes de la marée, car la complexité de la forme des continents et decelle des fonds marins rendent le problème insoluble par la seule théorie.

Analyse et prédiction des marées

La force génératrice des marées peut être décomposée en une série de forces élémentaires, strictementpériodiques. Les courbes qui représentent la variation de ces forces au cours du temps sont des sinusoïdes. Ellessont dénies chacune par une période, qui caractérise le cycle suivant lequel le phénomène se répète (par exempleun demi-jour lunaire), et par une amplitude, qui décrit l'intensité maximale de la force d'attraction.

Chaque composante de la force génératrice engendre dans les océans une onde-marée correspondante demême période. La géométrie du bassin, par contre, exerce une inuence considérable sur l'amplitude de chaqueonde, de même que sur son retard par rapport à l'action qui l'a produite (sa phase).

La marée totale en un lieu est une combinaison de ces ondes élémentaires. À Brest, par exemple, on peutretrouver la forme générale de la marée en additionnant les deux ondes qui, dans ce port, sont prépondérantes :l'onde semi-diurne lunaire, et l'onde semi-diurne solaire, engendrées par les mouvements journaliers apparentsde la Lune et du Soleil.

Les variations de hauteurs d'eau se comprennent de façon intuitive. On retrouve bien une marée semi-diurne,modulée au cours du mois en fonction des positions respectives de la Lune et du Soleil. C'est une approximation,car d'autres ondes, qui tiennent compte des mouvements complexes des deux astres par rapport à la Terre, sontà prendre en considération. Pour décrire convenablement les marées, il faut également faire intervenir les ondesde petits fonds découvertes par Chazallon, et d'autres ondes de plus longues périodes, d'origine météorologique.

Pour pouvoir prédire à long terme les marées en un lieu, on y détermine l'amplitude et la phase de chacunede ces ondes. Ce n'est pas une mince aaire. Pour y parvenir, on eectue des mesures sur une longue période(de quinze jours à un an suivant la précision recherchée), puis de lourds calculs. C'est ce qu'on appelle l'analyseharmonique.



exo 8.8) Enoncé

1) Force de maréePour simplier, on supposera que "le Soleil est le seul moteur des marées, et qu'il est à l'équateur" et que la

Terre est entourée d'une "enveloppe liquide". On s'intéresse à une "particule de mer" de masse m, qu'on étudiedans le référentiel géocentrique, le référentiel héliocentrique étant supposé galiléen.

1.a) Exprimer la force d'inertie d'entraînement ~Fe.1.b) De même, exprimer la force d'attraction gravitationnelle ~Fa subie par une particule de la mer.

On pose la force de marée : ~fm = ~Fa + ~Fe.1.c) Montrer par un schéma où l'on représentera ~fm en plusieurs endroits sur Terre que sous l'eet de

la force de marée se forment deux bourrelets d'eau diamétralement opposés.1.d) En déduire qu'on observe théoriquement en chaque point du globe deux marées par jour.



2) Eet de la LuneTout comme Laplace, on introduit maintenant la Lune et on la fait se déplacer sur l'équateur en compagnie

du Soleil. L'action de la Lune induit sur les océans un eet comparable à celui du Soleil, mais un peu plusgrand. Les deux mouvements, celui du Soleil et celui de la Lune se combinent sans se troubler, et, de leurcombinaison, résulte le ux que nous observons dans nos ports.

2.a) Faire un schéma qui représente la Terre entourée d'océan, le Soleil et la Lune au premier quartier,à la pleine lune, au dernier quartier et à la nouvelle lune.

2.b) Quand y a-t-il vive eaux (amplitude forte de la marée) et morte eaux (amplitude faible de lamarée) ?



Problème (DNS)Etude du pendule de Foucault

L'expérience du pendule de Foucault (1851)

Stéphane Deligeorges, journaliste, chroniqueur scientique à France Culturehttp: // www. culture. gouv. fr/ culture/ actualites/ celebrations2001/ foucault. htm

Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre

Il est extrêmement rare qu'une découvertescientique connaisse un succès public analogueà ce qui s'est produit dans le premier trimestrede cette année 1851. Grâce à l'appui de FrançoisArago, moins d'un mois plus tard, Foucault peutinstaller aux yeux de tous son expérience. Le 3 fé-vrier 1851, certains reçoivent une invitation ainsilibellée : Vous êtes invités à venir voir tourner laTerre dans la salle méridienne de l'Observatoire deParis. Le pendule mesure cette fois onze mètresde haut. Ses oscillations sont plus longues et sa dé-viation est, bien sûr, plus sensible, plus manifesteaux yeux du public.

Un peu plus tard, grâce, cette fois, à l'autoritéde Louis Bonaparte, et à son goût pour les sciences,une nouvelle mouture du pendule va être oerteaux yeux des Parisiens. Sous les voûtes élevéesde certains édices le phénomène devait prendreune ampleur magnique. Nous avons trouvé dansle Panthéon un emplacement merveilleusement ap-proprié à l'installation d'un pendule gigantesque ;nous avons trouvé pareillement dans l'administra-tion les dispositions les plus favorables à l'exécu-tion du projet que suggérait la vue de cette immense coupole écrit Foucault.

C'est le 31 mars 1851, que les Parisiens vont venir, en masse semble-t-il, essayer de comprendre comment laTerre tourne sur elle-même. Dans cette nouvelle disposition, la longueur du l d'acier est de soixante-sept mètres,le globe très dense, d'un diamètre de dix-huit centimètres, son poids : vingt-huit kilogrammes. Le 31 mars, lependule a été mis en branle avec un luxe de précautions. Après une oscillation double de 16 secondes de durée,écrit Foucault, on l'a vu revenir à 2 millimètres et demi environ à gauche du point de départ. Le même eetcontinuant à se produire à chaque oscillation, la déviation a été grandissant toujours plus, proportionnellementau temps., la rotation du plan d'oscillation ayant lieu en 31 h 47 min.

Le but de ce problème est d'expliquer le comportement du pendule de Foucault.

1. Préliminaires

1) La pesanteur1.a) Dénir la pesanteur.1.b) Faire un schéma où apparaîtront en particulier O et le vecteur accélération de la pesanteur ~g en

un point quelconque du sol terrestre.


http://www.culture.gouv.fr/culture/actualites/celebrations2001/foucault.htm


1.c) Quelles sont les causes de l'inhomogénéité de g dans le cadre d'un modèle terrestre sphérique ?Dans toute la suite du problème, on supposera que

• la Terre est sphérique, de centre O, de rayon R = 6400 km ;

• la pesanteur est assimilée à l'attraction gravitationnelle de la Terre ;

• l'accélération de la pesanteur est homogène à la surface de la Terre, dirigée vers O, de valeur g = 9, 8 m · s−2 ;

• le référentiel géocentrique est galiléen ;

• le référentiel terrestre est, dans le référentiel géocentrique, en mouvement de rotation uniforme autour del'axe polaire, avec une période proche de 24 heures.

2) Le pendule de Foucault au... pôle Nord !On assimile le pendule de Foucault à un pendule simple constitué d'un l (de masse négligeable) de longueur

L = 67 m xé en un point P au bout duquel une masse ponctuelle M est suspendue. L'attache du l estfabriquée de manière à assurer au pendule la possibilité de se balancer avec la même liberté quelle que soit ladirection. On suppose que le système est tel que les frottements et dissipations puissent être négligés en premièreapproximation et que le l est parfaitement rigide.

Dans tout le problème, on se place dans le cas des petites oscillations du pendule de Foucault et on pourraainsi considérer que la trajectoire du pointM est horizontale. De plus, on considèrera que le pendule, lâché sansvitesse initiale dans le référentiel terrestre a aussi une vitesse initiale quasi nulle dans le référentiel géocentrique,car la vitesse d'entraînement proche du pôle est faible.

2.a) En étudiant ce pendule dans le référentiel géocentrique, déterminer le mouvement deM lâché sansvitesse initiale : quelles sont sa trajectoire et sa période ?

2.b) En déduire que le plan d'oscillation du pendule tourne dans le référentiel terrestre. En combiende temps ? Dans quel sens ?

2. Le pendule de Foucault à Paris

Au voisinage d'un point P xe à la surface de la Terre (à Paris, de latitude λ = 4851′ = π2 − θ où θ est

l'angle compté à partir du pôle Nord), on dénit un repère orthonormé direct (P, ~ux, ~uy, ~uz), avec ~ux et ~uy dansle plan horizontal, ~uz vertical vers le haut, ~ux dirigé vers le Nord et ~uy vers l'Ouest. On notera (x, y, z) lescoordonnées d'un point matériel M , et on considérera le mouvement de M comme horizontal (z = cste).

3) Position du problème3.a) Faire un schéma où apparaîtront en particulier O, P , ~ux, ~uz et ~uy, ce dernier vecteur étant

orthogonal au plan du schéma.3.b) Donner l'expression, dans la base (~ux, ~uy, ~uz), du vecteur rotation ~Ω de la Terre dans le référentiel

géocentrique.3.c) En déduire l'expression de la force d'inertie de Coriolis dans le cas du mouvement horizontal d'un

point matériel M au voisinage de P .3.d) Montrer que la projection verticale de la force d'inertie de Coriolis est négligeable devant le poids

du mobile.4) Étude qualitative

4.a) Quel est l'eet de cette force d'inertie de Coriolis sur le mouvement horizontal d'un point matérielM au voisinage de P ?

4.b) Dans le repère terrestre, faire un schéma de la trajectoire de ce point matériel M .4.c) Conclure sur le mouvement apparent (dans le référentiel terrestre) du plan d'oscillation du pendule

de Foucault.5) Étude quantitative

5.a) Montrer que la tension appliquée par le l sur le point M peut s'écrire ~Tf =TfL (−x~ux − y ~uy + L~uz). On dénira Tf .

5.b) Montrer que les équations suivies par les coordonnées du point M sontx = −ω2 x+ α yy = −ω2 y − α x

On donnera ω et α en fonction de L, g, Ω et λ.5.c) Quelle est l'équation diérentielle suivie par f = x+ i y ? En quoi a-t-on découplé les précédentes

équations ?5.d) En donnant l'expression de ω0, montrer que la solution de la nouvelle équation diérentielle peut

s'écrire sous la formef(t) = e−iΩ sinλ t

(c− e

−i ω0 t + c+ e+i ω0 t

)



Grâce aux deux pulsations qui apparaissent dans la solution f(t), on décompose ainsi le mouvement du penduleen une oscillation rapide de période T0 = 2π

ω0, avec une rotation du plan d'oscillation de période T ′ = 2π

Ω sinλ .5.e) Faire les applications numériques pour T0 et T ′ et les comparer aux valeurs données dans le

document introductif.5.f) Calculer T ′ pour un pendule de Foucault au pôle Nord (λ = π

2 ) et à l'équateur (λ = 0). Est-cecohérent ?


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