Révision de mathpour ECO 2012

Typiquement un élément de X sera de la forme (x1,…..xn) ou’

tous les xi sont des nombres réels et y aussi sera un nombre réel.

On se concentre pour le moment sur fonctions à une Variable, c-à-d XR (X a un seul élément)

ou:

exemple:

0xx

0x,x)x(f

Fonction continue:

1x1x

1x,x)x(f

Fonction non continue:

La taux d’accroissement entre deux points A et B est égal à

Cela mesure l’accroissement relatif de f(x) quand x varie de xA à xB

et il est égal à la pente du segment AB

AB XX

AB )x(f)x(f

x

y

X

f(x)

xA xA

A

B

f(xA)

f(xB)

La dérivé de la fonction f(x) au point A est la limite du taux d’accroissement entre A et B quand B se rapproche arbitrairement près de A

Si la dérivé existe elle est aussi égal à la pente de la tangente de la courbe au point A

dx

dy)x(f)x(flim)x('f

AB

AB

XX

ABxxA

X

f(x)

xA xA

A

B

f(xA)

f(xB)

Règles de dérivation

Une fonction composite des fonctions f(x) et g(y) est définie à partir des deux fonctions f et g.

On écrit que h(x)=f(g(x)

Il s’agit tout d’abord de calculer y=g(x) et ensuite de calculer z=f(y)

Exemple:f(x)=x2 et g(x)=x+4

On a que f(g(x)=(x+4)2

Similairement:g(f(x)=x2+4

Dérivé de la fonction composite z=f(g(x)):

Il s’agit de trouver la limite du taux d’accroissement z/x;

dz/dx=f’(y)g’(x)

ou’ y=g(x)

Exemple: f(x)=x12x2

12

2

21

211

21

xx

)x,x(f

xx2x

)x,x(f

Différentiel total

Soit f(x1,…xn) une fonction à plusieurs variables. Le différentiel

total de f(x) est :

Le différentiel donne le changement de la valeur de la fonction f quand la

variable x1 change de dx1, x2 de dx2…. xn de xn. Les variations dx1…dxn

sont supposées être petites.

nn

22

11

dxx

)x(f.....dx

x

)x(fdx

x

)x(f)x(df

Exemple: La fonction suivante est une fonction de profit:

f(x1,x2)=10x1+20x2-x22

La variable x1 est le niveau de production de la firme et x2 le niveau de publicité. Initialement la firme produit 11 unités de produit et 11 unités de publicité. De combienest-ce que le profit augment il si la firme augmente le produit de 0.1 et réduit lapublicité de 0.05?

f(4,11)=123 e -> f(4.1, 10.95)=123.2875 le profit change de 0.2875

On peut calculer une approximation de cette variation utilisant le différentiel:

3.01.02.0

)5.0()11220(1.0)4210(

)5.0()x220(1.0)x210()x(df 21

Maximisation/Minimisation d’une fonction à une variable sans contraintes

Condition nécessaire pour un maximum local (et global) au point x*:

f’(x*)=0

Cependant quand f’(x*)=0 il peut s’agir d’un maximum ou d’un minimumlocal et pas global ou seulement d’un point d’inflexion.

Nous sommes intéressés au maximum/minimum global:

Maximisation/Minimisation d’une

fonction à plusieurs variables sans contraintes