Résumé Proba Chap I Et II

7/23/2019 Résumé Proba Chap I Et II

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1. Résumé du Probabilité

1 Lois continues

1.1 Formules Générales

– Soit f est densité d’une loi , Z R

f (x)dx = 1:

– Soit F la fonction de répartition d’une loi , alors

F X (t) =

tZ 1

f (x)dx

– La relation entre la probabilité et la fonction de répartition est :

P (X t) = F (t)

P (a X b) = F (b) F (a)

P (X > t) = 1 P (X t) = 1 F (t)

– L’Espérence d’une loi est :

E (X ) =

Z R

x:f (x)dx

E () = / 2 R

E (X ) = E (X )

E [h(X )] =

Z R

h(x):f (x)dx

1



1 Lois continues 2

– La variance d’une loi :

V ar(X ) = E [(X

E (X ))2]

=Z R

(xE (X ))2:f (x)dx

= E (X 2)E (X )2

V ar() = 0 et V ar(X ) = 2V ar(X )

1.2 Loi Uniforme : U [a;b]

1. La densité de cette loi est :

f (x) =

( 1

b a si x 2 [a; b]

0 Sinon

2. La fonction de répartition de la loi uniforme est :

F X (t) = t a

b a si t 2 [a; b]

3. L’Espérence et la Variance :

E (X ) = b + a

2 et V ar(X ) =

(b a)2

12

1.3 Loi Exponentielle : "()

1. La densité de cette loi est :

f (x) =

e si x 00 Sinon

2. La fonction de répartition de la loi uniforme est :

F X (t) = 1 et si t 0


E (X ) = 1

et V ar(X ) =

1

2



1 Lois continues 3

1.4 Loi Normale : N (m; )


E (X ) = m (m = La moyenne) et V ar(X ) = 2 ( = ecart-type)

1.5 Loi Normale Centrée Réduite : N (0; 1)

1. Soit X un variable aléatoire qui suit une loi normale N (m; ) c’est àdire :

L(X ) = N (m; ) ; E (X ) = m ; V ar(X ) = 2

Dans le cas des grandes valeurs, on fait un changement de variable, tel

que :

Y = X m

Alors, puisque Y c’est une combinaison linéaire de X, donc Y suit aussiune loi normal :

L(Y ) = N

E (Y );p

V ar(X )

Calculons E (Y ), V ar(Y ):


Pour l’Espérence :

E (Y ) = E

X m

= E

X

m

= E

X

+ E

m

=

1

E (X ) m

=

m

m

= 0

De même pour la Variance, et on trouve …nalement :

E (Y ) = 0 et V ar(Y ) = 2 = 1

AlorsL(Y ) = N (0; 1)



1 Lois continues 4

3. Pour calculer P (a Y b) tel que L(Y ) = N (0; 1), on utilise la tablede la loi Normale Centrée Réduite :

P (a Y b) = (b) (a)

4. Pour calculer (t), on a :

(t) = 1 (t)

Exemple : (1:56) = 1 (1:56) = 1 0; 9406 = 0.0594

1.6 Loi Khi-deux (de n degret de liberté) : 2n

Soit X 1 , X 2, X 3,.......,X n des variables aléatoires tel que

L(X i) = N (0; 1)

Alors le variable aléatoire X tel que

X =nXi=1

X i2

Suit une loi de Khi-deux de n degret de libérté :

L(X ) = 2n

1. La densité de la loi de Khi-deux :

f (x) = C n xn

21 e

x

2 avec C n =cte


E (X ) = n et V ar(X ) = 2n



1 Lois continues 5

1.7 Loi Student (de n degret de liberté) : n

Soit X , Y deux variables aléatoires tel que

L(X ) = N (0; 1) et L(Y ) = 2n

Alors le variable aléatoire T tel que

T = X r

Y

n

Suit une loi de Student de n degret de libérté :

L(Y ) = n

1. La densité de la loi de Khi-deux :

f (x) = C n

1 +

x2

n

n + 1

2avec C n =cte


E (X ) = 0 si n > 1

et V ar(X ) = n

n 2 si n > 2



2 Echantillonnage & Intervalle de Con…ance : 6

1.8 Schéma d’approximation des lois

2 Echantillonnage & Intervalle de Con…ance :

2.1 Echantillonnage :




Avec

X =

1

n

n

Xi=1

X i et S 2

=

1

n 1

n

Xi=1

(X i m)2

et F =

K

n

X : La moyenne Ampirique ; S 2 : Variance Corrigé; F = Fréquence.

2.2 Estimateurs :

Caractére Estimateur Loi de l’Estimateur

m = moyenne bm = X =

1

nPn

i=1 X i L(X ) = N (m;

n)2 = variance b2 = S 2 = 1

n1

Pn

i=1 (X i m) 2 L(nS 2

2 ) = 2

n1

p = proportion b p = F = K n

L(F ) = N (n;q

p(1 p)n

Dans le calcule de S 2 :

1. Si on m on l’utilise elle même. Donc :

S 2 = 1

n 1

nXi=1

(X i m) 2

2. Si m est inconnue donc on travaille avec son Estimateur X: C’est àdire :

S 2 = 1

n 1

nXi=1

X i X

2

2.3 Intervalles de Con…ance de risque :

I.C de la moyenne :

1. Si est connue =)

I:C (moyenne) =

x U 1

2

p

n

; x + U 1

2

p

n




avec U 1

2on l’obtient du Table Fractile de N (0; 1):

Exemple : On a la con…ance 95% , donc le risque = 5% = 0:05

Alors U 1

2 = U 0:975 = 1:962. Si est inconnue =)

I:C (moyenne) =

x tn1(1

2).

sp

n

; x + tn1(1

2).

sp

n

avec tn1(1

2 ) on l’obtient du Table Fractile de Student:

Exemple : On a un echantillon de taille n = 11; la con…ance 95% , doncn 1 = 10 et le risque = 5% = 0:05

Alors tn1(1 2 ) = t10(0:975) = 2:228

I.C de la Variance / Ecart-type :

1. Pour la Variance :

I:C (Variance) =

"(n 1)s2

K 1

2

; (n 1)s2

K 2

#2. Pour l’Ecart-type :

I:C (Ecart-type) = "s (n 1)s2

K 1

2

; s (n 1)s2

K 2 #

3. avec K 1

2et K

2on l’obtient du Table Fractile de Khi deux de

n 1 degret de liberté

Exemple : On travaillera avec le même exemple de taille n = 11:

I.C de la Proportion :

1. On aura donc :

I:C (Proportion) = "f U 1

2r f (1 f )

n ; f + U 1

2r f (1 f )

n#

avec U 1

2on l’obtient du Table Fractile de N (0; 1):




Dans le cas d’une population de taille connue N (exhaustif = avec remise) :

1. On prendra juste l’exemple de la proportion et c’est le même que lamoyenne :

On multiplie les

r f (1 f )

n ;

sp n

et p

n par

r N n

N 1Donc, on aura

I:C (Proportion) =

f U 1

2

qf (1f )

n

qN nN 1

; f + U 1

2

qf (1f )

n

qN nN 1

avec U 1

2on l’obtient du Table Fractile de N (0; 1) .

2.4 Taille de l’echantillon :

Taille de l’echantillon de la moyenne :

1. Si est connue =)n

U 1

2

e

2

avec U 1

2on l’obtient du Table Fractile de N (0; 1) et e l’erreur

donnée.

2. Si est inconnue =)

n

U 1

2

s

e

2

ou n U 1

2

2e

2

avec U 1


donnée.

Taille de l’echantillon de la proportion :

1. Taille de population non connue ( Non exhaustif)

n U 1

22 : f (1 f )e2

avec U 1


donnée.




2. Taille de population connue N (exhaustif)

La taille de l’échantillon sera n0; On calcule d’abord n avec la relation

suivante :

n = Sa valeur dans ( Moyenne , Proportion)

Puis on calcule n0 :

n0 = N N 1n

+ 1

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