R E S U M E C H A P I T R E 1 0 C O N I Q U E S

DEFINITION PAR EXCENTRICITE, FOYER ET DIRECTRICE D 10.1 Etant donné une droite D, un point F et un réel e strictement positif,

Soit (C) = {M ∈ E2 , MH

MF = e}(MH : distance de M à D)

(C) est appelée conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. (C) est appelée ellipse si e < 1, parabole si e = 1, hyperbole si e > 1. L'axe focal est la droite passant par F perpendiculaire à D.

EQUATIONS REDUITES – PARAMETRAGES

Th 10.1 (équation dans le repère focal) Soit (C) = {M ∈ E2 , eMH

MF= }

Dans le repère focal (F,!i ,!j ) où

!i est un vecteur directeur de l'axe focal et K (point d'intersection de D et Δ)

a une abscisse négative, en notant h = d(F,(D)), (C) a pour équation : x2 + y2 = e2 (x+h)2 En posant p = e.h (p est appelé paramètre de la conique), (C) a pour équation : x2 + y2 – (e.x+p)2 = 0 Parabole

Th 10.2 Dans le repère orthonormé (O, i!

, j!

) dans lequel que D a pour équation x = −2

p

et F a pour coordonnées !"

#$%

&0,

2

p , la parabole P = {M ∈ E2 , MH

MF = 1} a pour équation y2 = 2.p.x

Remarque 2 : On peut choisir comme équations paramétriques de P : x(t) =

1

2.p.t

2

y(t) = p.t

!

"#

$#, t ∈ R

F: foyer D: directrice e: excentricité Δ: axe focal

Δ

D

Remarque 3: La tangente à P (d'équation y2 = 2.p.x) en M0 !!"

#$$%

&

0

0

y

x a pour équation y.y0 = p.(x + x0).

Remarque 4: Soit M un point de la parabole P de foyer F et de directrice D, M distinct du sommet A. La tangente en M à P est bissectrice intérieure de l'angle !FMH (et la normale est donc bissectrice extérieure de cet angle) Applications: four solaire, éclairage, antennes paraboliques…

Ellipse Th 10.3 Il existe un repère orthonormé (O, i

!

, j!

) dans lequel

l'ellipse (E) = {M ∈ E2 , MH

MF = e (avec e < 1)} a pour équation 12

2

2

2

=+

b

y

a

x

L'axe (Ox) est l'axe focal de l'ellipse, O est le centre de symétrie de l'ellipse (centre de l'ellipse) Remarque1: Eléments caractéristiques d'une ellipse.

Soit (a,b) ∈ R2 t.q. 0 < b < a et (E) d'équation 12

2

2

2

=+

b

y

a

x dans R = (O,!i ,!j )

Soit c = a2

! b2 donc c2 = a2 – b2 < a2

(E) est une ellipse d'excentricité e =c

a

< 1 , de foyers F(–c, 0) et F' (c, 0), de directrices D et D' d'équations

respectives x = !a2

c

= !a

e

"#$

%&'

et x =a2

c

=a

e

!"#

$%&

. La distance de F à D est h = b2

c et p = e.h =

b2

a

a : demi-axe focal et b : demi-axe non focal

e =c

a< 1

c < a et b < a c2 = a2 – b2

Remarque2: Soit a > b > 0.

(C) d'équation 12

2

2

2

=+

b

y

a

x est une ellipse d'excentricité e = a

c avec c2 = a2 − b2 et d'axe focal (Ox)

(C1) d'équation

x2

b2

+y2

a2

=1 est une ellipse d'excentricité e = a

c avec c2 = a2 − b2 et d'axe focal (Oy)

(C) (C1)

Remarque 3 : On peut choisir comme équations paramétriques de (E) : x(!) = a.cos(!)

y(!) = b.sin(!)

"#$

, θ ∈ [0,2.π[

Remarque 4 : La tangente à (E) en M0(x0,y0) (point de (E)) a pour équation: x.x

0

a2+y.y

0

b2

=1

Remarque 5 : L'ellipse d'équations paramétriques x(!) = a.cos(!)

y(!) = b.sin(!)

"#$

est l'image du cercle CO,a par l'affinité

orthogonale d'axe (Ox) de rapport b

a et l'image du cercle CO,b par l'affinité orthog. d'axe (Oy) de rapport

a

b

Hyperbole Th 10.4 Il existe un repère orthonormé (O, i

!

, j!

)dans lequel l'hyperbole

(H) = {M ∈ E2 , MH

MF = e (avec e > 1)}a pour équation 12

2

2

2

=!

b

y

a

x , Ox étant l'axe focal de l'hyperbole.

Remarque1: Eléments caractéristiques d'une hyperbole.

Soit (a,b) ∈ (R+*) 2 et (H) d'équation x2

a2!y2

b2= 1 dans R =

(O,!i ,!j )

Soit c = a2+ b

2 donc c2 = a2 + b2 > a2

(H) est une hyperbole d'excentricité e =c

a> 1 , de foyers F(–c, 0) et F' (c, 0), de directrices D et D'

d'équations respectives x = !a2

c= !

a

e

"#$

%&'

et x =a2

c=a

e

!"#

$%&

La distance de F à D est h = b2

c et p = e.h =

b2

a

a : demi-axe focal et b : demi-axe non focal

Remarque : On peut choisir comme équations paramétriques de (H) : !"#

=

=

)(.

)(..

tshby

tchax $, t ∈ R, ε = ±1.

P 10.5 Les asymptotes de (H) (d' équation 12

2

2

2

=!

b

y

a

x ) ont pour équations : 02

2

2

2

=!

b

y

a

x , i.e. y = ±a

b x

Remarque 3 : La tangente à (H) en M0(x0,y0) (point de (H)) a pour équation: x.x

0

a2!y.y

0

b2

= 1

DEFINITION BIFOCALE DES CONIQUES A CENTRE (ELLIPSES ET HYPERBOLES)

P 10.6 Soit a > c > 0.Soit F(c,0), F '(−c,0), D d'équation x = !"#

$%&=e

a

c

a2

et D' d'équation x = !"#

$%& '='

e

a

c

a2

Soit (E) = { M ∈ E2 , MH

MF = e, e < 1} = { M ∈ E2 , '

'

MH

MF = e}

Alors , si M ∈ (E), MF + MF ' = 2.a. Th 10.7 (ellipse) Soit a > c > 0 , F(c,0) et F '(−c,0).

(E) = {M ∈ E2, MF + MF ' = 2.a } a pour équation 12

2

2

2

=+

b

y

a

x avec b2 = a2−c2.

(E) est donc une ellipse d'excentricité e = a

c < 1. (E) est appelée ellipse de foyers F et F '.

Remarque: La tangente en un point de l'ellipse(E) est la bissectrice extérieure de l'angle

MF

! "!!,MF '! "!!!

( )

P 10.8 Soit c > a > 0.Soit F(c,0), F '(−c,0), D d'équation x = !"#

$%&=e

a

c

a2

et D' d'équation x = !"#

$%& '='

e

a

c

a2

Soit (H) = { M ∈ E2 , MH

MF = e, e > 1} = { M ∈ E2 , '

'

MH

MF = e}

Alors , si M ∈ (H), |MF −MF '| = 2.a. Th 10.9 (hyperbole) Soit c > a > 0 , F(c,0) et F '(−c,0).

(H) = {M ∈ E2, |MF − MF '| = 2.a } a pour équation 12

2

2

2

=!

b

y

a

x avec b2 = c2 −a2.

(H) est donc une hyperbole d'excentricité e = a

c > 1. (H) est appelée hyperbole de foyers F et F '.

Remarque: La tangente en un point de l'hyperbole (H) est la bissectrice intérieure de l'angle

MF

! "!!,MF '! "!!!

( )

e = c

a> 1

c > a c2 = a2 + b2

DETERMINATION D'UNE EQUATION REDUITE : "REDUCTION" DE L'EQUATION D'UNE CONIQUE D 10.2 On appelle conique toute courbe d'équation A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 avec (A,B,C) ≠ (0,0,0) dans un repère orthonormé. P 10.10 Soit (C) d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 avec (A,B,C) ≠ (0,0,0) dans un repère orthonormé (O, i

!

, j!

). Il existe alors un repère orthonormé (O, !

I ,!

J ) dans lequel (C) a pour équation : A1.x2 + C1.y2 + D1.x + E1.y + F1 = 0 (*) ( on a "éliminé" le terme en x.y) P 10.11 A partir de (*) , par changement d'origine (en "complétant les carrés"), on obtient l'une des équations

suivantes : Si A1.C1 > 0 : 12

2

2

2

=+

b

y

a

x (C) est une ellipse (ou un cercle si a = b)

02

2

2

2

=+

b

y

a

x (C) = {Ω}

12

2

2

2

!=+

b

y

a

x (C) = ∅

Si A1.C1 < 0 : 12

2

2

2

±=!

b

y

a

x (C) est une hyperbole

02

2

2

2

=!

b

y

a

x (C) = D1 ∪ D2 d'équations y = a

b .x et y = −a

b .x

Si A1 = 0 y2 = 2.p.x (C) est une parabole y2 = k ≥ 0 (C) est constituée de deux droites parallèles (confondues si k = 0) y2 = k < 0 (C) = ∅ Si C1 = 0 : mêmes cas que pour A1= 0 en échangeant x et y. D 10.3 Les coniques propres sont les paraboles, hyperboles, ellipses et cercles P 10.12 Soit (C) d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 dans un repère orthonormé

Δ = CB

BA = A.C − B2 est appelé discriminant de la conique.

Son signe ne dépend pas du repère orthonormal lequel on a écrit l'équation de la conique. P 10.13 Soit (C) une conique propre d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 et Δ = A.C − B2 Si Δ > 0, (C) est une ellipse (ou un cercle) Si Δ < 0, (C) est une hyperbole Si Δ = 0, (C) est une parabole P 10.14 Soit (C) une conique propre d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + 2.D.x + 2.E.y + F = 0 dans un repère orthonormé La tangente à (C) en M0(x0,y0) a pour équation : A.x.x0 + B.(x.y0+y.x0) + C.y.y0 + D.(x+x0) + E.(y+y0)+F = 0