quations du troisime degrpar Z, auctoreLobjet de cet article est dexposer deux mthodes pour trouver des solutions une quation du troisime degr : la recherche de racines videntes dune part, et la formule de Cardan dautre part. La premire mthode est accessible en 1re S, la deuxime concerne davantage la Terminale S.

1. Recherche de racines videntes. Dans cette section, on traite trois exemplesdquations du troisime degr sans utiliser de formule spciale pour en trouver les solutions. Cest en remarquant que, si le nombre u est solution de an xn + + a1 x + a0 = 0, alors on en dduit u(an un1 + + a1 ) = a0 . Si les coecients an , . . . ,a0 et u sont des nombes entiers, cela signie que u est un diviseur du terme constant a0 . Donc si une quation polynomiale coecients entiers possde des solutions en nombres entiers, celles-ci sont chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynme. Exemple 1. Soit lquation (1) x3 4x2 7x + 10 = 0,

dont on cherche toutes les solutions relles. On pose P (x) = x3 4x2 7x + 10. Le problme consiste trouver toutes les racines, sil en existe, du polynme P , qui est du troisime degr. La premire des choses faire est de procder des essais numriques : cest la recherche de racines videntes. Les racines en nombres entiers dune quation unitaire sont chercher parmi les diviseurs du terme constant, ici 10. Il est donc inutile de tester des valeurs comme 3 ou 4, puisque les seules possibilits en nombres entiers sont 1, 2, 5 et 10. On constate en substituant, que lon a seulement P (1) = P (2) = P (5) = 0. Les nombres 1, 2 et 5 sont donc des racines de P cest--dire des solutions de lquation P (x) = 0. Le thorme de factorisation1 des polynmes montre que lon a P (x) = (x 1)(x + 2)(x 5).1. Un nombre u est racine dun polynme f lorsquun autre polynme g permet dcrire f (x) = (x u)g(x).

quations du troisime degr

www.mathforu.com

Donc la liste de toutes les solutions de lquation P (x) = 0 est {2 ; 1 ; 5}. Exemple 2. Soit lquation (2) x3 6x2 + 7x + 4 = 0,

dont on cherche toutes les solutions. Pour cela, on pose Q(x) = x3 6x2 + 7x + 4. Les racines videntes, sil en existe, sont chercher parmi les diviseurs de 4, cest--dire 1, 2 et 4. On constate que seulement Q(4) = 0, donc Q(x) peut tre factoris par (x 4). Il sagit donc de trouver des nombres p et q tels que Q(x) = (x 4)(x2 + px + q). En dveloppant ce produit, on obtient Q(x) = x3 + (p 4)x2 + (q 4p)x 4q. Alors, puisque lon doit avoir lidentit x3 6x2 + 7x + 4 = x3 + (p 4)x2 + (q 4p)x 4q, on est conduit poser 4q = 4 et p 4 = 6, soit q = 1 et p = 2. Il reste vrier que cette identication des coecients est valable : en dveloppant, on constate que x3 6x2 + 7x + 4 = (x 4)(x2 2x 1). Pour trouver les autres solutions, sil y en a, il sut de rsoudre lquation x2 2x 1 = 0. On a = (2)2 4 1 = 8, do les racines de x2 2x 1 ; ce sont 2+ 8 =1+ 2 et x = 1 2. x = 2 La liste de toutes les solutions de lquations Q(x) = 0 est donc {1 2 ; 1 + 2 ; 4}, et on a la factorisation Q(x) = (x 4)(x 1 + 2)(x 1 2)

2

quations du troisime degr

www.mathforu.com

Exemple 3. Soit lquation (3) x3 + x2 4x + 6 = 0,

dont on cherche toutes les solutions. On pose R(x) = x3 + x2 4x + 6. Une racine vidente de R est chercher parmi les nombres 1, 2, 3 et 6. On constate que seulement R(3) = 0. Donc le polynme R est factorisable par (x + 3) et on doit trouver m et n tels que x3 + x2 4x + 6 = (x + 3)(x2 + mx + n). En dveloppant et en identiant les coecients, on obtient m = 2 et n = 2. On vrie que lon a bien lidentit x3 + x2 4x + 6 = (x + 3)(x2 2x + 2). Or, pour rsoudre x2 2x + 2 = 0, on obtient un discriminant ngatif = (2)2 4 2 = 4. Ceci montre que le polynme x2 2x + 2 ne possde pas de racine et donc le polynme R ne peut pas avoir dautre racine que la valeur 3. En conclusion, lquation (3) possde une unique solution gale 3 et on a la factorisation x3 + x2 4x + 6 = (x + 3)(x2 2x + 2)

2. Formule de Cardan. Au XVIe sicle, des algbristes italiens ont dcouvert unemthode pour calculer une racine dun polynme de degr 3 donn sous la forme rduite (4) x3 + p x + q = 0,

o p et q sont des paramtres quelconques. La proprit (triviale) suivante est un lemme ncessaire cette rsolution. Proprit 1. Pour tous nombres u et v, on a (5) (u + v)3 3 u v(u + v) (u3 + v 3 ) = 0.

La preuve rsulte du dveloppement remarquable bien connu (u + v)3 = u3 + 3 u2 v + 3 u v 2 + v 3 que lon r-arrange sous la forme attendue. 3

quations du troisime degr

www.mathforu.com

Lobservation de la relation (5), semblable la forme rduite (4) montre quil est pertinent de faire le changement de variable (6) x = u + v.

Alors lidentication des coecients dans x3 + p x + q = (u + v)3 3 u v(u + v) (u3 + v 3 ) conduit poser p = 3 u v cest--dire uv = p 3 et u3 + v 3 = q. et q = (u3 + v 3 ),

Pour une question dhomognit, on crit plutt (7) u3 v 3 = p3 27 et u3 + v 3 = q.

Pour y voir plus clair, posons a = u3 Alors les conditions (7) scrivent (8) ab = p3 27 et a + b = q. et b = v3.

Autrement dit, il sagit de trouver deux nombres a et b connaissant leur somme S = q et leur produit P = p3 /27. On sait que ceci nest possible2 que sous la condition S 2 4P 0, ce qui scrit nalement (9) 4 p3 + 27 q 2 0. cest--dire, ici q2 + 4 p3 0 27

Dans ce cas, les nombres a et b sont les solutions de lquation (10) X2 + q X p3 = 0. 27

2. On rappelle que a et b sont solutions, si elles existent, de lquation X 2 S x + P = 0, dont le discriminant est = S 2 4 P.

4

quations du troisime degr

www.mathforu.com

Les solutions de cette quation sont donnes par q X= donc on a par exemple q a=27 q 2 +4 p3 27

q2 + 2

4 p3 27

q + et b=

27 q 2 +4 p3 27

2

2

.

Puisque a = u3 et b = v 3 , et puisque x = u + v, on en dduit que le nombre donn par (11) x=3

q 1 2 2

27 q 2 + 4 p3 + 27

3

q 1 + 2 2

27 q 2 + 4 p3 27

donne une solution de lquation (4). Cette expression est la formule de Cardan. Ce nom lui est rest attach bien que Cardan nen soit pas le dcouvreur.3 Elle donne en fonction des coecients une solution particulire sous une forme bien peu maniable, mais on peut malgr tout noncer Thorme 1. Soit une quation cubique sous la forme rduite x3 + p x + q = 0. Si lon a 4 p3 + 27 q 2 0, alors une solution particulire est donne par3

x=

q 2

1 2

4 p3 +27 q 2 27

+

3

q 2 +

1 2

4 p3 +27 q 2 27

Cette formule permet de calculer une solution de lquation, dans le cas o il ny a pas de racine vidente. Par exemple, aucun des diviseurs 1, 2 du terme constant de lquation (12) nen tant solution, on calcule 4 p3 + 27 q 2 = 4 27 + 27 4 = 216 do la solution particulire x=3

x3 + 3 x + 2 = 0

1

1 2

216 + 27

3

1 +

1 2

216 27

0, 59607 . . .

3. Pour autant que je sache, cest dabord Scipio del Ferro qui la trouve dans des cas particuliers, puis Niccolo Tartaglia la re-dcouverte. Cardan a eu le mrite de la faire connatre, une poque o les dcouvertes scientiques restaient gnralement secrtes.

5

quations du troisime degr

www.mathforu.com

Voici une autre quation, sans racine vidente, que lon peut rsoudre laide de cette formule (13) x3 + 3 x + 5 = 0.

Lorsque lquation nest pas donne sous la forme rduite, on est en prsence dune quation cubique sous forme gnrale (14) a x3 + b x2 + c x + d = 0.

On peut toujours la ramener une quation sous la forme rduite, en commenant par diviser par a, ce qui donne (15) x 3 + x2 + x + = 0

puis on supprime le terme carr au moyen de la transformation de Tchirnhaus, en posant (16) En eet, on a dune part X et dautre part X 32

x=X

3

3

3

= X3 3

2 X + = X3 X2 + 3

= X2 +

ce qui montre que ce changement de variable limine le terme en X 2 .

3. Extension au cas irrductible . On a vu que la formule de Cardanpermet de trouver une solution dune quation sous forme rduite x3 + p x + q = 0 dans le cas o 4 p3 + 27 q 2 0. Bombelli a tudi lquation (17) x3 15 x 4 = 0

qui possde une racine vidente, gale 4, puisque lon a 43 15 4 4 = 64 60 4 = 0. On a ainsi la factorisation x3 15 x 4 = (x 4)(x2 + 4 x + 1) 6

quations du troisime degr

www.mathforu.com

o le trinme x2 + 4 x + 1 a deux racines conjugues donnes par x = 2 3. Or, en menant les calculs comme prcdemment, avec 4 (15)3 + 27 (4)2 = 13068 < 0, et en appliquant malgr tout la formule de Cardan, on obtient x=3

2

1 2

13608 + 27

3

2+

1 2

13068 27

o gurent des racines carres de nombres ngatifs. . . mais en continuant comme si de rien ntait, on obtient x= ou bien encore x=43 3

2

1 484 + 2 121 +

3

2+

1 484 2 121

2

3

2+

que lon peut mme aller jusqu crire x=3

2 11 1 +

3

2 + 11 1.

Par un moyen qui lui est propre, Bombelli sest aperu que 3 3 2 11 1 = 2 1 et 2 + 11 1 = 2 + 1, ce dont on peut constater la justesse en calculant leurs cubes. . . Ainsi, Bombelli a pu montrer dans ce cas quen passant outre la question des racines carres de nombres ngatifs, la formule de Cardan qui scrit x = 2 1 + 2 + 1 = 4, donne encore une racine de lquation du 3e degr. Cest la suite de calculs de ce genre que les nombres complexes ont fait leur apparition, en acceptant lexistence de rgles de calcul concernant le nombre imaginaire i = 1. En application de la formule de Cardan, on peut toujours essayer de rsoudre cette quation (18) x3 18 x + 35 = 0

sans passer par les racines videntes. Ou bien encore celle-ci (19) x3 14 x 12 = 0.

qui gurait parmi les questions auxquelles Einstein a rpondu loccasion de lpreuve dalgbre de son baccalaurat en 1896.4. Bien entendu, llve de Premire ne samusera pas ce genre de chose - il attendra dtre en Terminale pour cela !

7