Résolution de certains problèmes par la méthode de programmation linéaire

Institut Provincial des Arts et Métiers

UCLDédra-MATH-isons

Structure Introduction Modélisation du problème Résolution graphique Résolution par le solveur Interprétation des résultats Conclusion

Introduction• La programmation linéaire s’inscrit dans

le domaine de la recherche opérationnel, qui consiste à la résolution de problèmes complexes visant à obtenir le meilleur résultats possible en tenant compte de certaines contraintes.

ModélisationModéliser un problème en R.O consiste à identifier : - Les variables (inconnues) - Les contraintes - L’objectif à atteindre (optimisation) Dans un problème de programmation linéaire, les contraintes et l'objectif sont des fonctions linéaires des variables.

Résolution Graphique• Exemple

Une usine fabrique 2 pièces P1 et P2 usinées dans deux ateliers A1 et A2. Les temps d'usinage sont :

pour P1: de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2

pour P2: de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2.Le temps de disponibilité hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures.

La marge bénéficiaire est de 1200 € pour une pièce P1 et 1000 € pour une pièce P2.

Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire?

Résolution Graphique• Modéliser sous forme de programme

linéaire1- Variables économiques : X1 : quantité de pièces P1 à fabriquer X2 : quantité de pièces P2 à fabriquer2- Contraintes économiques : 3x1 + 4x2 <= 160 (contrainte due à l’atelier A1) 6x1 + 3x2 <= 180 (contrainte due à l’atelier A2)

Résolution Graphique3- Contraintes de signe : x1 >= 0 x2 >= 0

4- Fonction économique (objectif) : Z = 1200x1 + 1000x2 (à optimiser, dans notre cas, maximiser)

Résolution Graphique

Résolution par le solveur

Résolution par le solveur

Résolution par le solveur

Résolution par le solveur

Résolution par le solveur

Résolution par le solveur • Exemple 2Régime diététique.

Le régime diététique consiste à trouver la meilleure combinaison d’ingrédients pour satisfaire des exigences minimales et minimiser le coût total du régime.Un cuisinier de l’hôpital doit déterminer le menu approprié pour les patients qui sont opérés dans le service de chirurgie générale. Chaque opéré doit suivre un régime qui est composé :- d’au moins 50 unités de protéines par repas- d’au moins 15 unités de vitamines- d’au moins 1200 calories/jour- d’au plus 100 unités de glucides.Le cuisinier a consulté la diététicienne de l’hôpital qui lui a donné les composants en protéines, glucides, vitamines et calories pour les aliments qui sont habituellement achetés par le service de l’économat. Les informations sont consignées dans le tableau ci-dessous. Le prix des aliments est le suivant

- poisson : 4,5 euros/kg- poulet : 1,8 euros/kg- fromage : 3,5 euros/kg- carottes : 0,6 euros/kg- pommes de terre : 0,5 euros/kg- spaghetti : 0,8 euros/kg.

Composition en éléments nutritifs des aliments.

Aliments Protéines Vitamines Glucides CaloriesPoisson 100g 40 25 10 300Poulet 100g50 10 20 500Fromage 100g 30 20 30 600Carottes kg 20 30 50 1400Spaghetti kg 22 15 100 2000Pommes de T kg 15 25 80 1800

Le problème de notre cher cuisinier est de déterminer la composition du menu au moindre coût.

Modélisation sous forme de programme linéaire.

Le problème se modélise de la façon suivante.Définissons les variables de décision suivantes :X1= quantités en centaines de grammes de poissonX2= quantités en centaines de grammes de pouletX3=quantités en centaines de grammes de fromageX4= quantités en centaines de grammes de carottesX5= quantités en centaines de grammes de pommes de terreX6= quantités en centaines de grammes de spaghettis.La fonction économique consiste à minimiser le coût du menu quotidien servi à chaque patient opéré.

Min Z = 4,5X1+1,8X2+3,5X3+0,6X4+0,5X5+0,8X6

Il y a deux catégories de contraintes. D’abord, il y a celles qui expriment un besoin minimal à satisfaire pour ne pas affecter la santé des patients. Ensuite, il y a celle qui est relative à un seuil de glucides à ne pas dépasser pour chaque opéré.Les contraintes qui expriment un besoin minimal sont en rapport avec les besoins vitaux en éléments nutritionnels tels que protéines, vitamines, calories.

40X1+50X2+30X3+2X4+1,5X5+2,2X6 ≥5025X1+10X2+20X3+3X4+2,5X5+1,5X6 ≥ 15300X1+300X2+600X3+140X4+180X5+200X6 ≥ 1200La dernière contrainte a trait au seuil maximal de glucides permis dans régime des patients.10X1+20X2+30X3+5X4+8X5+10X6 ≤100

Le programme linéaire, sous sa forme complète apparait comme suit

Min Z = 4,5X1+1,8X2+3,5X3+0,6X4+0,5X5+0,8X6.

Sous les contraintes suivantes:

40X1+50X2+30X3+2X4+1,5X5+2,2X6 ≥5025X1+10X2+20X3+3X4+2,5X5+1,5X6 ≥ 15300X1+300X2+600X3+140X4+180X5+200X6 ≥ 120010X1+20X2+30X3+5X4+8X5+10X6 ≤100Xi ≥ i=1,2,……..6.Le problème ci-dessus est un problème à six variables, il s’agit dans ce cas de le résoudre en utilisant le Solveur d’Excel.

Interprétation des résultatsRapport de sensibilité

Conclusion