RSISTANCE DES MATRIAUX

Article crit par Jean LEMAITRE

Prise de vue

La rsistance des matriaux est la science du dimensionnement. Concevoir une pice mcanique, unouvrage d'art ou tout objet utilitaire, c'est d'abord imaginer les formes et le squelette gomtrique quiremplissent les fonctions demandes; c'est ensuite dterminer les quantits de matire ncessaires etsuffisantes pour raliser ces formes et assurer une rsistance sans dommage de l'objet tous les effortsauxquels il sera soumis pendant son service. Ce dimensionnement fait appel des calculs qui prvoient lecomportement de l'objet dont la conception doit runir les meilleures conditions de scurit, d'conomie etd'esthtique; la rsistance des matriaux est l'outil majeur des bureaux d'tude.

Les premires recherches scientifiques connues sur la rsistance d'lments de construction neremontent qu' la fin du XVIesicle avec les travaux de Galile sur la tension et la flexion des poutres. Il nesemble pas que les constructions anciennes aient fait l'objet d'tudes prvisionnelles concernant larsistance. L'absence de souci d'conomie de matire, le sens lev de l'esthtique (une forme esthtiqueest souvent une forme optimale vis--vis de la rsistance), des connaissances empiriques baseexprimentale ont permis la ralisation d'ouvrages durables. En 1678, Robert Hooke nonce les bases de lathorie de l'lasticit linaire (rversibilit et proportionnalit des dformations aux efforts), qui rend comptedes petites dformations de la plupart des corps solides. Elle est utilise peu aprs par Edme Mariotte et JeanBernoulli pour rsoudre des problmes de flexion de poutres. Aprs les travaux de Charles AugustinCoulomb, Henri Navier, Augustin-Louis Cauchy, entre autres, au milieu du XIXesicle, la rsistance desmatriaux est cre en tant que science applique. Son dveloppement rapide, d aux travaux desingnieurs du XXesicle, a conduit l'laboration de nombreuses mthodes de calcul analytique qui ont putre riges en rgles ou rglements l'usage des bureaux d'tude. L'avnement des ordinateurs a rendupossible l'exploitation de mthodes numriques gnrales qui permettent de rsoudre les problmes posspar les structures complexes (assemblages de poutres, plaques). Les recherches sont, depuis lesannes1970, orientes vers le dveloppement de ces mthodes, vers l'tude des petites et grandesdformations permanentes des matriaux, des phnomnes de rupture, de la rsistance auxenvironnements complexes (efforts volutifs, hautes et basses tempratures) et vers l'utilisation dematriaux nouveaux (superalliages, polymres, matriaux composites, cramiques).

La rsistance d'un lment de construction est un concept complexe, car cet lment peut tre mis horsd'usage de diverses manires, chacune d'elles correspondant des phnomnes physiques diffrents.

Les critres usuels de scurit sont:

la contrainte maximale: en tout point du solide, on doit s'assurer que la contrainte (force par unit desurface) ne dpasse pas une valeur fixe par les possibilits du matriau et les rsultats dcoulant del'exprience de constructions semblables;

le dplacement maximal: les dformations de la pice ne doivent pas dpasser les limites au-deldesquelles ses fonctions ne sont plus correctement assures;

la rupture par fatigue: les pices soumises de fortes vibrations peuvent se rompre au bout d'uncertain temps de service si les amplitudes de contrainte sont trop leves;

la rupture par fissuration: un dfaut du mtal est parfois gnrateur d'une fissure susceptible de sepropager brutalement jusqu' provoquer une rupture catastrophique si certaines conditions entre lacontrainte et la taille du dfaut ne sont pas respectes;

l'instabilit par flambement: certains lments, comme les colonnes droites lances charges encompression, peuvent subir un changement de forme brutal (courbure) pour une valeur critique de lacharge;

l'instabilit dynamique: certains types de vibrations s'auto-amplifient jusqu' rupture des lments sicertaines conditions entre la masse et la raideur desdits lments sont remplies.

Pour vrifier que les constructions sont fiables par rapport ces critres, il est fondamental de savoircalculer les contraintes et les dformations, au moins dans les rgions les plus sollicites. C'est l'aspectanalyse de la rsistance des matriaux; il fait appel plusieurs branches de la mcanique. La mcaniquegnrale fournit les mthodes permettant de dterminer les efforts (forces et moments) agissant sur chaquelment pris isolment et considr comme indformable. La mcanique des solides (cf. DYNAMIQUE,LASTICIT, RHOLOGIE) donne des quations reprsentatives du comportement intrinsque des matriauxau cours des phnomnes considrs. La thorie de l'lasticit est, le plus souvent, suffisante pour calculercontraintes et dformations. Le choix de la nature du matriau n'intervient dans la discipline rsistance desmatriaux que par l'examen du rapport entre la rsistance et le poids. Bien souvent, ce choix est fait enfonction de considrations conomiques (prix, disponibilit) ou d'environnement (duret, usure, corrosion)qui relvent de la mtallurgie ou de la chimie. La mcanique des milieux continus fournit des quationsgnrales reliant les contraintes et les efforts extrieurs par les conditions aux limites, les dformations etles dplacements; elle conduit galement des thormes gnraux d'o dcoulent des mthodes decalcul.

Toutes ces thories reposent sur des hypothses qui ne traduisent qu'imparfaitement les faits; en outre,pour chaque problme, la rsolution des quations ainsi poses n'est possible que par des mthodesapproches. Finalement, et surtout dans le cas des structures complexes, la rsistance des matriauxconduit seulement la prvision des ordres de grandeur des phnomnes. Pour combler cette lacune, on aintroduit la notion de coefficient de scurit qui intervient sous deux aspects: d'une part, les calculs sonteffectus pour des charges extrieures majores par un premier coefficient; d'autre part, la contraintemaximale admise est la contrainte limite d'lasticit, ou limite de rupture, minore par un deuximecoefficient. Ces coefficients font l'objet de rglements ou normes propres chaque corporation (coefficient 5pour certaines parties de construction de gnie civil, coefficient 1,4 pour certains lments de fuses). Enfin,pour lever toute incertitude, on a recours l'exprimentation qui joue, en rsistance des matriaux, un rletrs important. L'apport exprimental est fondamental pour dfinir les proprits des matriaux au moyend'essais sur petites prouvettes; il est ncessaire pour vrifier des hypothses de calcul par des essais surmaquettes et constitue le moyen le plus sr d'tude de la rsistance globale d'ensemble grce des essaisde structures relles soumises des efforts simulant les efforts de service. Ainsi, chaque prototype d'avionsubit au sol les charges rptes reproduisant les programmes de vol de la dure d'utilisation envisage.

I-Notions de mcanique statique et de mcanique desmilieux continus

Isolement d'un systme et loi fondamentale de la statique

La solution de tout problme de rsistance des matriaux commence par la recherche des effortsappliqus au solide que l'on se propose d'tudier. Pour cela, il faut isoler le solide de son environnement,c'est--dire remplacer toutes les actions du milieu extrieur par des dplacements, des forces et desmoments. Ces efforts, dits extrieurs, sont des forces ou des moments directement appliqus, des efforts oudes dplacements imposs par les liaisons avec les lments voisins (les ractions d'appui en gnralinconnues a priori); enfin, ils sont parfois constitus par des efforts rpartis dans tout le volume solide (lepoids, les efforts d'inertie). Il s'agit de faire la somme vectorielle de ces diffrents efforts (forces etmoments), de manire les remplacer par un torseur quivalent, c'est--dire par une seule force et un seulmoment rsultants.

Le systme solide tant ainsi isol par rapport un repre (systme d'axes) convenablement choisi, on lui applique la loi fondamentale de l'quilibre statique qui se dduit de la loi fondamentale de la dynamique de Newton: Le torseur rsultant des forces extrieures d'un systme en quilibre est quivalent zro. Dans un systme d'axes trirectangulaires, l'application de cette loi fournit six quations: trois pour les trois

composantes de la force rsultante et trois pour celles du moment rsultant.

Deux ventualits peuvent alors se produire: ou bien les six quations sont suffisantes pour calculer lesractions d'appui inconnues (autant d'inconnues que d'quations), et l'on dit que le systme est isostatique;ou bien les six quations sont insuffisantes pour dterminer les inconnues (plus d'inconnues qued'quations), et le systme est dit hyperstatique; certains efforts dpendent des dformations du solide, eton les conserve comme inconnues dterminer par analyse en mcanique des milieux continusdformables.

Les efforts extrieurs tant dtermins, ou au moins dnombrs, il faut, pour calculer leur incidence ausein de la matire, disposer de thories qui caractrisent les milieux continus solides.

Contraintes et dformations

La contrainte est une notion abstraite destine exprimer comment les efforts se rpartissent dans lesmilieux continus. On la dfinit en oprant une coupure dans un solide en quilibre. Si l'on suppose que lamatire est continue et que les actions mutuelles des deux parties sont des actions de contact reprsentespar un champ de forces (milieu non polaris), sur chaque lment d'aire d de la surface de contact existeune force de liaison entre les deux parties

dF=Cd; C est le vecteur contrainte relatif l'lment d'aire considr. La projection de C sur la normale n la surface en d est la contrainte normale, sa projection sur le plan de partition tant la contraintetangentielle. Pour reprsenter l'ensemble des contraintes relatives tous les plans de partition possiblespassant par un mme point, on considre l'oprateur qui, appliqu au vecteur normal n, donne le vecteurcontrainte C, tel que (n=C; est un tenseur du second ordre, appel tenseur des contraintes, qui peuttre reprsent dans une base par une matrice symtrique trois lignes et trois colonnes. Les termesdiagonaux sont les trois contraintes normales (tractions ou compressions), les autres termes tant les troiscontraintes tangentielles (forces de cisaillement). Les changements de repre sont importants en rsistancedes matriaux, car, en chaque point, il existe un systme d'axes qui rend cette matrice diagonale; lacontrainte est alors reprsente par trois scalaires appels les composantes principales de la contrainte. Unemthode graphique due Christian Otto Mohr (mthode des cercles de Mohr, cf. LASTICIT) permet derechercher simplement ces quantits qui sont les valeurs propres de la matrice des contraintes.

Si l'on crit la loi fondamentale relative un domaine intrieur au solide considr, en appelant f ladensit volumique des efforts extrieurs s'exerant sur ce domaine, on trouve une condition que doit vrifiertout champ de contraintes:

o est la masse volumique et l'acclration nulle en statique. On crit cette quation pour les troiscomposantes et l'on obtient ainsi les quations d'quilibre de l'lment de volume.

La dformation, lie l'ide de dplacement, est une notion plus concrte. L'hypothse des petitesdformations permet d'laborer des thories linarises au voisinage de l'tat de rfrence. En particulier,les quations d'quilibre de la statique peuvent tre crites propos du solide non dform dans son tat derfrence. Pour dfinir la dformation, on suit par la pense deux points infiniment voisins, M0 et M0+

dM

0, dans leur dplacement de corps solide dformable. Ils viennent respectivement en M et M+dM. L'accroissement (

dMdM

0) caractrise la dformation. Si U est le dplacement de M0, on montre facilement que:

L'oprateur:

qui s'applique au vecteur

dM

0 pour donner le vecteur (dMdM

0), est un tenseur du second ordre: c'est le tenseur des dformations. En fait, seule la partie symtrique dece tenseur, soit , dfinit la dformation de translation et la dformation de rotation. La relation entre cetenseur des dformations et le vecteur dplacement U en M0 est:

o le symbole ( )T dsigne la transposition.

Comme pour la contrainte, ce tenseur se reprsente par une matrice symtrique (33) dont les termesdiagonaux correspondent aux trois dformations normales et les autres termes aux trois dformationstangentielles. Si l'on se donne un champ de dplacement U(M), il est toujours possible de trouver les sixcomposantes de la dformation; en revanche, six fonctions d'espace ne constituent un champ dedformation intgrable en un champ de dplacement (six quations trois inconnues) que si elles vrifientd'autres quations appeles quations de compatibilit (cf. LASTICIT, tabl.2, quations12).

Principe de Saint-Venant

On simplifie les calculs de rsistance en appliquant un principe nonc par Adhmar Barr, comte deSaint-Venant, et souvent vrifi exprimentalement: Les contraintes et les dformations dans une rgiond'un solide suffisamment loigne des points d'application des efforts extrieurs ne dpendent que dutorseur (force et moment) rsultant de ces efforts.

II-Notions de mcanique des matriaux

La mcanique des matriaux fournit, d'une part, les relations entre les contraintes et les dformationsqui expriment l'aptitude ou la rsistance la dformation de l'lment de volume du matriau et, d'autrepart, les limites ne pas dpasser pour viter la rupture. Considrons une prouvette, d'un matriaumtallique par exemple, et examinons les diffrents phnomnes qui apparaissent sous l'action d'une forceaxiale de traction F.

lasticit

Pour des charges relativement faibles, le phnomne de dformation, ne mettant en jeu que desmouvements d'atomes, est rversible, et la relation (loi de Hooke) entre la dformation =L/L0 et lacontrainte =F/S0 est linaire:

E tant le module d'lasticit de Young, dont les valeurs sont de l'ordre de 50000 200000MPa (1MPa=1 N/mm2) pour les matriaux mtalliques.

Dans les cas de chargement complexe, la relation tridimensionnelle correspondante qui gnralise la loide Hooke est:

le tenseur des contraintes tant dcompos en la contrainte moyenne:

et son dviateur:

est le coefficient de Poisson, dont les valeurs sont de l'ordre de 0,3. La linarit de cette loi a pourconsquence le principe de superposition suivant, valable pour certains types de conditions aux limites: Lescontraintes ou dformations produites par la somme de plusieurs tats de chargement sur un solidelastique linaire sont gales la somme des contraintes ou dformations engendres par chacun des tatsde chargement appliqus isolment sur le solide.

Si la contrainte F/S0 dpasse une certaine valeur e appele contrainte limite d'lasticit, le phnomnecesse d'tre rversible et linaire, et la thorie de l'lasticit ne peut plus tre applique. Cette limite est trsdifficile mettre en vidence exprimentalement; aussi, pour les besoins pratiques, a-t-elle t dfinieconventionnellement par la normalisation franaise comme tant la contrainte qui engendre une dformationirrversible de 0,2p. 100 (ordre de grandeur: de 100 1800MPa). Dans les cas de chargementtridimensionnel, des critres de limite d'lasticit dfinissent le domaine correspondant dans l'espace descontraintes: critre de Tresca, critre de von Mises souvent utilis dans les calculs et qui dfinit unecontrainte quivalente:

telle que, la limite d'lasticit, sII=e.

Plasticit

La limite d'lasticit franchie, la force F provoque des glissements de cristaux au sein du mtal, quicorrespondent des dformations irrversibles telles que, si la force F cesse, il subsiste une dformationpermanente p. Pour une force F donne, la dformation est alors la somme d'une dformation dite plastiquep et d'une dformation lastique e qui continue d'tre relie la contrainte par la loi de Hooke:

Dans le cas d'un chargement croissant, la dformation plastique peut tre relie la contrainte par unerelation non linaire du type p=m ( et m tant des coefficients intrinsques aux matriaux). Dans le casgnral tridimensionnel, la dformation plastique dpend de l'histoire du chargement et ne peut tre relie la contrainte que par une loi diffrentielle: loi isotrope de Prandtl-Reuss, par exemple,

o h est une fonction scalaire non linaire qui s'exprime l'aide de la loi p=m.

Viscoplasticit ou fluage

Les mtaux sollicits une temprature dpassant environ le tiers de la temprature absolue de fusionprsentent la proprit de se dformer mme si la contrainte reste constante: c'est le phnomne de fluage. Cela se traduit par une viscosit qui vient s'ajouter la plasticit. La dformation viscoplastique qui enrsulte est une fonction du temps (t) et ne peut tre relie la contrainte que par sa vitesse. Une loi simple,approche, valable pour les cas de contrainte variable dans le temps, est la suivante:

o K, m et n sont des coefficients intrinsques aux matriaux et variables avec la temprature.

Pour rsoudre un problme, cette loi est associer =e+p et e=/E comme dans le cas de laplasticit. Les lois de comportement d'lasticit, de plasticit et de viscoplasticit associes aux quations dela mcanique des milieux continus permettent, en principe, de calculer les contraintes et les dformationsdans une structure quelconque. Dans beaucoup de cas, la thorie de l'lasticit est suffisante, les thories dela plasticit et de la viscoplasticit n'tant utilises que dans des calculs de scurit correspondant auxcritres de dimensionnement portant sur la contrainte maximale ou le dplacement maximal. Les critres derupture font appel d'autres thories.

Rupture par endommagement de fatigue

Si l'on considre une force F alternative, sinusodale par exemple, on constate que l'prouvette peut serompre aprs naissance et dveloppement d'une fissure de fatigue au bout d'un certain nombre de cycles,mme si la contrainte est constamment infrieure la limite d'lasticit dfinie prcdemment. La courburequi exprime la variation du nombre de cycles rupture en fonction de l'amplitude de la contrainte M estla courbe de Whler. Comme pour la limite d'lasticit, on dfinit une limite de fatigue conventionnelle f quiest l'amplitude de la contrainte engendrant la rupture pour un nombre de cycles fix (par exemple 1million).Cette courbe de Whler sert choisir la contrainte en vue du dimensionnement d'une pice mcaniquedevant rsister un nombre de cycles donn. Si l'amplitude des efforts extrieurs varie dans le temps, largle de cumulation linaire de Palmgreen-Miner donne une approximation grossire mais souvent suffisantedu nombre de cycles rupture Nr:

o ni est le nombre de cycles pendant lesquels s'exerce la contrainte constante i et Nri le nombre decycles rupture qui existerait si l'amplitude de contrainte restait constante et gale i (courbe de Whler).

Rupture par fissuration

Une fissure ou un dfaut au sein de la matire dans une pice de construction peut devenir instable sousl'action d'un chargement statique dit critique et conduire la rupture brutale par propagation brutale dudfaut ou de la fissure. Ce phnomne met en jeu la tnacit du matriau, proprit qui est lie l'nergiede dcohsion de la matire. Les thories de Griffith et d'Irwin conduisent la dfinition d'un facteurd'intensit des contraintes, calculable partir de la gomtrie de la structure, de la longueur de la fissure etdes efforts extrieurs; il permet d'exprimer les conditions d'instabilit: la rupture par instabilit se produitquand ce facteur atteint une valeur critique qui est une caractristique du matriau.

Par exemple, dans le cas d'un milieu bidimensionnel infini correspondant l'hypothse des dformationsplanes, ou des contraintes planes, le facteur d'intensit des contraintes K, pour une contrainte rpartie normale au plan de la fissure de longueur 2a, s'exprime par:

la rupture par instabilit a lieu quand K=Kc, tnacit du matriau dtermine exprimentalement pardes essais de rupture d'prouvettes fissures.

Dans certains types de construction, comme les enceintes sous pression, des rglements imposent devrifier par calculs que les dfauts d'une taille juste infrieure celle qui peut tre dcele par les moyensde contrle non destructifs ne sont pas instables sous l'action des charges de service.

III-Calculs lmentaires d'lasticit

Beaucoup d'lments de construction travaillent dans des conditions simples, l'analyse de leurscontraintes et de leurs dformations pouvant tre effectue par des mthodes simplifies qui vitent larsolution de toutes les quations de la mcanique des milieux continus.

Cas de sollicitations simples

Traction ou compression simple

Sur la section considre, le torseur des efforts extrieurs se rduit la force normale. La contraintenormale constante dans la section vaut =F/S et la dformation vaut =F/ES.

Si la section est une fonction de la coordonne d'axe y, le dplacement d'allongement ou deraccourcissement de l'lment de longueur L0 est:

Par exemple, le calcul de la contrainte dans la paroi d'un rservoir sphrique (d'paisseur constantefaible par rapport au rayon) soumis une pression intrieure relve de ce processus; l'action d'unhmisphre isol se rduit une force normale rpartie sur le cercle de coupure:

Cisaillement pur

Le seul effort agissant est l'effort tranchant T: c'est un cas de travail frquent pour les rivets.

On admet que la contrainte tangentielle est constante dans la section =T/S; mais il s'agit d'unehypothse grossire. Dans le cas d'une section circulaire, la contrainte ainsi calcule ne vaut que les troisquarts de la contrainte au centre de la section, calcule par une thorie plus labore.

Flexion pure ou circulaire

L'lment de poutre est soumis la seule action d'un moment dit flchissant. L'hypothse de Bernoulli(deux sections planes et normales l'axe restent planes et normales l'axe aprs dformation) permetd'crire a priori la loi linaire de dformation de l'lment:

o est le rayon de courbure de la poutre.

Les contraintes =(E/)y doivent quilibrer le moment M gal :

En introduisant le moment d'inertie de surface:

on exprime la variation de courbure due au moment flchissant par 1/=M/EI.

La contrainte s'en dduit immdiatement par la relation =(M/I)y.

Torsion pure

Soit un cylindre circulaire droit soumis, aux deux extrmits, deux couples antagonistes gaux C. Onadmet que deux sections voisines restent planes aprs dformation. Soit d/dx leur rotation relative; ladformation tangentielle est par dfinition:

la contrainte tangentielle s'en dduit par l'intermdiaire du module de cisaillement G=E/2[1+]:

Cette contrainte rpartie sur la section doit quilibrer le couple de torsion:

en introduisant le moment d'inertie polaire:

La rotation unitaire et la contrainte tangentielle s'expriment par:

Ces formules sont utilises, par exemple, dans le calcul des ressorts hlicodaux pour lesquels chaquelment travaille en torsion. On peut ainsi exprimer la raideur du ressort (rapport entre la force et la flche,la flche tant la hauteur d'affaissement d'un ressort soumis une charge) en fonction de son diamtre, dudiamtre du fil utilis, du nombre de spires et du module de cisaillement du matriau.

Calcul des dformes des poutres

Nombre de problmes relatifs aux poutres consistent calculer les flches qu'elles prennent sous l'action des efforts appliqus. L'quation de base est celle de la flexion pure (1/=M/EI), ce qui revient ngliger

l'effet de l'effort tranchant. L'hypothse des petites dformations permet de relier simplement la courbure la variation de la flcheY:

L'obtention de la flche Y(x) consiste donc en la double intgration de l'quation diffrentielle avec lesconditions aux limites appropries: au droit d'un appui simple, la flche est nulle; au droit d'unencastrement, la flche et la tangente la dforme sont nulles.

Pour effectuer cette intgration, il faut exprimer le moment M en fonction de l'abscisse x. On isole l'unedes deux parties de poutre spares par la section d'abscisse x; le moment M est alors le moment dutorseur rsultant des forces et des moments appliqus cette partie de poutre (efforts extrieurs etractions d'appuis). Lorsque la poutre est hyperstatique, une quation supplmentaire doit tre trouve soitpar des considrations gomtriques, soit par application du principe de superposition, soit encore parapplication de principes nergtiques.

Dans certains cas, on cherche concevoir des poutres d'gale rsistance, c'est--dire des poutres dont lasection volutive est telle que la contrainte normale maximale soit constante. Un ressort lames est le plussouvent conu comme une poutre d'gale rsistance, car l'nergie de dformation pour un volume donn estalors maximale.

IV-Mthodes gnrales de calcul

Pour revenir au cas gnral, rsoudre un problme de rsistance des matriaux, c'est trouver les champsde contrainte, de dformation et de dplacement qui vrifient simultanment les quations d'quilibre del'lment de volume, les relations entre les dformations et le dplacement, les quations de comportement(loi de Hooke gnralise en lasticit) et les conditions aux frontires (efforts ou dplacements imposs).

Cela revient rsoudre un problme quinze quations (dont certaines sont des quations aux drivespartielles) quinze inconnues, fonctions d'espace et ventuellement du temps (viscoplasticit). Sauf pourquelques cas particuliers, on ne sait pas trouver la solution rigoureuse et l'on se contente de solutionsapproches. La plupart des mthodes de rsolution consistent imaginer, des fonctions ou coefficientsprs, un champ de contrainte statiquement admissible (vrifiant les quations d'quilibre de l'lment devolume et les conditions aux limites du problme) ou un champ de dplacement cinmatiquementadmissible (vrifiant les conditions aux limites du problme), et dterminer ces fonctions ou coefficientspour satisfaire au mieux les quations du problme. Des hypothses cinmatiques propres certains typesde structures aident aux choix des champs de dplacement: hypothse de Bernoulli pour les poutres,hypothse de Kirchhoff pour les coques (un lment normal la surface moyenne de la coque reste normalaprs dformation).

La notion d'nergie de dformation W et les principes et thormes qui s'y rattachent conduisent dessolutions lgantes et rapides. On dfinit la variation d'nergie de dformation d'un solideV dans unetransformation infiniment lente qui produit une variation d du tenseur de dformation par:

Dans le cas d'une dformation lastique linaire partir de l'tat naturel non charg, l'nergiepotentielle de dformation vaut:

Le principe des travaux virtuels constitue un moyen particulirement fcond de traduire la loifondamentale de l'quilibre statique: Pour tout dplacement virtuel, la somme des travaux des effortsextrieurs et des forces intrieures est identiquement nulle. Par le choix de mouvements particuliers, on peutconstruire logiquement les thories de poutres, de plaques ou de coques soumises des chargementsquelconques. On en dduit galement le thorme de l'nergie potentielle: Le champ des dplacementsrels, solution d'un problme donn, est le champ des dplacements cinmatiquement admissibles quiminimise l'nergie potentielle du systme. On peut alors appliquer la mthode de Rayleigh-Ritz qui consiste imaginer une famille de champs cinmatiquement admissibles dpendant de n paramtres Ci. L'nergiepotentielle Wpot s'exprime en fonction de ces n variables; son minimum absolu n'est pas forcment parmitoutes les combinaisons possibles des valeurs des n variables, puisque leur nombre est fini, mais, d'aprs lethorme nonc, la combinaison la plus proche de la solution relle est celle qui est solution des nquations algbriques:

La mthode des lments finis adapte aux calculs sur ordinateurs utilise ce principe. La structure estdcompose en petits lments simples (lments triangulaires pour les problmes plans, pyramides pourles problmes tridimensionnels) pour lesquels on connat les relations entre efforts (forces et moments) etdplacements aux nuds (sommets des lments). La mthode consiste trouver les dplacements auxnuds de tous les lments assembls qui minimisent l'nergie potentielle. On est ainsi ramen larsolution d'un systme linaire qui ncessite l'inversion d'une matrice. Le problme numriquecorrespondant est ardu cause de la taille de cette matrice. Des progiciels permettent de dcomposer lastructure en au moins 10000lments, ce qui correspond des matrices (bandes) qui atteignent oudpassent une taille de 5000050000.

Toutes ces mthodes permettent de traiter des problmes linaires pour des petites dformations. Pourles problmes non linaires associs des dformations importantes (plasticit, viscoplasticit), la techniqueconsiste en des calculs pas pas, chaque pas correspondant des accroissements petits pour lesquels leproblme peut tre linaris.

V-Instabilit de flambement

Le flambement d'une construction est caractris par l'apparition brusque d'un changement de formedans une direction diffrente de celle des forces de sollicitation.

Si l'on tudie exprimentalement comment varie la flche transversaleY d'une poutre comprime parune force axiale P, on obtient, en fonction de la force, une courbe dont l'allure est indique sur la figure. Laflche, d'abord nulle, correspond la thorie de la compression simple, mais, pour une charge particulire,appele charge critique, la flche crot brusquement la suite d'une instabilit; c'est le flambement, quipeut entraner la ruine de la poutre. La solution analytique de ce problme a t donne par Leonhard Euleren 1750. Une section de la poutre lgrement dforme est soumise au moment flchissant PY. La flcheY(x) vrifie l'quation fondamentale des poutres qui, dans ce cas, s'crit:

Dans le cas d'une poutre sur appuis simples (Y(0)=Y(L)=0), cette quation diffrentielle admet poursolution:

or cette quation ne peut vrifier la condition la limite Y(L)=0 que si P prend les valeurs particuliresPc dfinies par:

k tant un entier. La charge critique correspond k=1 et s'exprime par:

Le phnomne du flambement est souvent associ l'effort de compression et il constitue un descritres de dimensionnement des poteaux, des colonnes et des barres comprimes. D'autres types destructures associs d'autres types de sollicitations sont sujets l'instabilit de flambement: flambementlatral ou dversement des poutres longues, hautes et minces sollicites par une force de flexion;flambement ou cloquage des plaques sollicites par des efforts dans leur plan; flambement des coques oucylindres minces en compression ou en torsion. Le flambement des cylindres a fait l'objet de nombreuxtravaux pour l'industrie des fuses spatiales et des missiles.

La mthode gnrale d'tude du flambement consiste calculer l'nergie potentielle de la structurecharge pour diffrents modes de la structure dforme et trouver la plus petite valeur de la charge quirend cette nergie minimale.

Le phnomne de flambement est trs sensible aux imperfections gomtriques (poutre imparfaitementrectiligne par exemple) et aux conditions aux limites (introduction des efforts, encastrements imparfaits,etc.). Ce sont l les deux difficults majeures de la prvision des conditions de flambement des structures.

Le flambement considr ici est un phnomne d'instabilit statique. Un autre type d'instabilit peutentraner la ruine des constructions soumises des vibrations: c'est le phnomne de rsonance. Il peut seproduire si la frquence de l'nergie apporte par l'excitation correspond l'une des frquences desvibrations naturelles de la structure. Ces tudes relvent de la mcanique vibratoire.

VI-Mthodes et moyens exprimentaux

La rsistance des matriaux fait un large appel l'exprimentation soit pour dfinir les proprits desmatriaux, soit pour vrifier les hypothses de calcul.

Essais des matriaux

Les donnes ncessaires pour caractriser les matriaux ou pour chiffrer les critres de dimensionnement sont dtermines par des essais sur prouvettes, effectus en gnral sur des machines universelles de traction. Les caractristiques d'lasticit (module de Young et coefficient de Poisson), la

limite d'lasticit, la limite de rupture sont obtenues d'aprs la courbe d'crouissage, rsultat d'un essai entraction simple vitesse de dformation constante. D'autres types d'essais en traction simple sont utiliss:l'essai de fluage, o l'on tudie comment varie la dformation d'une prouvette en fonction du temps lorsquecelle-ci est soumise une force constante; l'essai de relaxation, o l'on examine la variation en fonction dutemps de la contrainte dans une prouvette soumise une dformation maintenue constante; les essaiscycliques sur machines hydrauliques asservies, o la contrainte (ou la dformation) varie priodiquement enfonction du temps.

Essais sur modles

Lorsque les pices tudier ont des formes trs tourmentes, les hypothses gnrales de la rsistancedes matriaux (principe de Saint-Venant, hypothse de Bernoulli) sont mal vrifies et l'on a souvent recoursaux essais sur modles. Ils sont essentiellement constitus par les techniques de photolasticimtrie dont leprincipe est le suivant: un modle de la pice est ralis en une rsine transparente susceptible de devenirbirfringente lorsqu'on lui applique des efforts. Le modle soumis aux efforts similaires ceux de la pice esttravers par une lumire polarise qui est analyse par un polariseur. Des franges apparaissent quicaractrisent les dformations. On en dduit les contraintes par calcul. Cette technique, surtout utilise pourdes problmes bidimensionnels (analyses par tranches planes), s'applique galement des modles troisdimensions.

Essais de structures

Les essais de structures relles demandent des forces importantes qui sont en gnral cres par desvrins hydrauliques pouvant tre asservis et dont la commande peut tre programme sur ordinateur. Lesparamtres analyss sont en gnral les dplacements, mesurs par des capteurs mcaniques oulectriques, ou par des mthodes lasers, et les dformations, accessibles directement grce aux jauges dedformation fil rsistant, et la photogrammtrie. Un fil rsistant conducteur est coll sur la structure aupoint o l'on dsire connatre la dformation; la colle assurant une liaison parfaite, il subit le mmeallongement (ou raccourcissement) que la structure. La formule de sa rsistance lectrique: R=l/s, montreque, si le conducteur de longueur l s'allonge (ce qui entrane une diminution de section par contraction dePoisson), sa rsistance R augmente. En insrant ce fil dans un pont lectrique de Wheatstone, une mesurede la variation de rsistance constitue une mesure de dformation:

k tant un coefficient voisin de 2 pour les jauges classiques, de 200 pour les jauges semiconducteurs.Si les dformations de la structure sont lastiques, on en dduit les contraintes par la thorie de l'lasticit.

Jean LEMAITRE

Bibliographie Y.BAMBERGER, Mcanique de l'ingnieur, t.II: Milieux dformables, Hermann, Paris, 1981

J.-L.BATOZ & G.DHATT, Modlisation des structures par lments finis, 3vol., Herms, Paris, 1990-1992

G.DHATT & G.TOUZOT, Une prsentation de la mthode des lments finis, Maloine, Paris, 1984

P.GERMAIN & M.MULLER, Introduction la mcanique des milieux continus, Masson, Paris, 1980

M.KERGUIGNAS & G.CAIGNAERT, Application de la rsistance des matriaux, Dunod, Paris, 1981

A.LAMBERT, J.RIVENEZ & G.VACH, Les Contrles non destructifs, Cetim, Senlis, 1994

J.-P.LARRALDE, Rsistance des matriaux, 2vol., Masson, 1990

J.LEMAITRE & J.-L.CHABOCHE, Mcanique des milieux solides, Dunod, 1985

P.MULLER, Rsistance des structures, Herms, 1990

J.SALENON, Calcul la rupture et analyse limite, Presses de l'E.N.P.C., Paris, 1983

SOCIT FRANAISE DES MCANICIENS, Guide de validation des progiciels de calcul de structures, Afnor, Paris-La Dfense, 1990

S.P.TIMOSHENKO, Rsistance des matriaux, Dunod, 1990.

Prise de vue