Licence 1ère année Math-Informatique 1

Représentation logique des Représentation logique des donnéesdonnées

DéfinitionDéfinition

Un système de numération est une représentation de variables. Ces variables codées sont basées sur un ensemble de symboles

appelés «chiffres», (digits), et de règles de composition représentant les opérations entre ces variables.

Les opérations de base sont l’addition, la multiplication et les autres opérations arithmétiques.

Base d’un système (1/2)Base d’un système (1/2)

La base d’un système numérique est le nombre de chiffre de l’ensemble.

Base d’un système (2/2)Base d’un système (2/2)

( N ) ( N ) rr = [ (partie entière) , (fraction) ] = [ (partie entière) , (fraction) ]

rr

r r base baseN N nombre nombre

Ex. = [ 124 , 659 ]Ex. = [ 124 , 659 ]10

Représentation des nombresReprésentation des nombres

Notation juxtaposé :

( N )r = ( an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m )r

  0 ai ou a-f r - 1

  Ex. : ( 741,10)8

Notation polynomiale et poids de chiffres :

N a rr jj

j m

n 1

[N]r= an-1• rn-1+an-2 • rn-2+…+ a0 • r0 +

a-m+1 • r-m+1+a-m • r-m

PolynomialePolynomiale

Ex.: [191.27]10

1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2

 Ex.:[ 4021.2]5

4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1

Quelques basesQuelques bases

Type Base Chiffres Exemple

Décimal 10 0-9 121.9

Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2

Octal 8 0-7 121,6

Binaire 2 0-1 1011.1101

PolynomialePolynomiale

Ex.: 191.27

1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2

 Ex.: 4021.25

4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1

Le système binaireLe système binaire

Le système binaireLe système binaire Toute l’information en électronique digital est binaire.

Alors…Alors…

Equivalent décimal:

1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 +1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625

1011.1101 = 11.8125

Décimal - BinaireDécimal - Binaire

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

Licence 1ère année Math-Informatique 14

Opérations arithmétiquesOpérations arithmétiques

OpérationsOpérations

On se souvient que:

0 + 0 = 01 + 0 = 0 + 1 = 11 + 1 = 0 [ 1]

0 * 0 = 01 * 0 = 0 * 1 = 01 * 1 = 1

Addition

Opération sur les nombres, en Opération sur les nombres, en base 2base 2

Multiplication

ComplémentsCompléments

Fonction :

Utilisées pour simplifier les opérations de soustraction en base r

 

Complément à rComplément à r

rn – N Si N 0

0 Si N = 0

n = Nombre de chiffres

Exemples rExemples r

Complément à 10 de [ 52520 ]10

n =5

Alors = 105 – 52520 = 47480

Complément à 10 de [ 0,3267 ]10

n =0

Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733

Complément à r-1Complément à r-1

rn – 1 - N Si N 0

0 Si N = 0

Exemples r-1Exemples r-1

Complément à 9 de [ 52520 ]10

n =5Alors = 105 - 1 - 52520 = 99999- 5250

= 47479

Complément à 9 de [ 0,3267 ]10

n =0Alors = 100 - 10-4 – 0,3267 = 0,9999 – 0,3267 = 0,6732

Complément à 2 en binaireComplément à 2 en binaire

Changer les 0 1

Additionner 1 

ExempleExemple

N = 1 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1

+ 1

Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0

Complément à 1 en binaireComplément à 1 en binaire

Changer les 0 1 

N = 1 0 1 1 0 0

Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1

Codes décimal / octal / hexadécimal : Codes décimal / octal / hexadécimal :

Décimal Octal Hexadécimal

0 0 0

1 1 1

… … …

6 6 6

7 7 7

8 10 8

9 11 9

10 12 A

11 13 B

12 14 C

13 15 D

14 16 E

15 17 F

16 20 10

A quoi ça sert?…A quoi ça sert?…

Soient: M = 72532 Trouver M - N

N = 03250

Cà9(N) = 105 – 1 - 3250 = 96749

M + 96749 = 72532

+ 96749

--------------

1 69281

SoustractionsSoustractions

69281 +1 = 69282

Soient: M = 03250 Trouver M - N

N = 72532

Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467

03250

+ 27467

--------------

0 30717

SoustractionsSoustractions

Autre exempleAutre exemple

Complément à 9 de 30717:

99999 – 30717 = 69282

- 69282M – N =

Complément à 2 ex.1Complément à 2 ex.1

Soient: M = 1010100 Trouver M - N

N = 1000100

Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0

M + Cà2(N) = 1010100

+ 0111100

--------------

1 0010000

Complément à 2 ex.2Complément à 2 ex.2

Soient: M = 1000100 Trouver M - N

N = 1010100

Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0

M + Cà2(N) = 1000100

+ 0101100

--------------

0 1110000

Ex.2 cont…Ex.2 cont…

Complement à 2 du résultat anterieur :

X = 1110000

Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0

M – N = - 10000

Changement de baseChangement de base

Base N en base 10 : Base N en base 10 :

Méthode de substitution

Ex. : (101.11)2 ( ?)10

1X22 + 0X21 + 1X20 + 1X2-1 + 1X2-2

  4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75

Base 10 en base M : Base 10 en base M :

Méthode par division et multiplication

Ex. : (19.75)10 ( ?)2

Partie entière Partie fractionnaire

19 2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50

9 2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00 4 2 = 2 + 0 .00 X 2 =

0.00

2 2 = 1 + 0

1 2 = 0 + 1

  = 1 0 0 1 1 . 1 1 0

Base N en base M : Base N en base M :

N en 10 : Substitution

10 en M : Multiplication