Remise à niveau 4 : STATS PROBAS · 2018-10-10 · IUT de Saint-Etienne –DUT – Mathématiques...

____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne –DUT – Mathématiques – RAN 4 Stats Probas - ExCorr – Rev2015 – page 1 sur 11

Départements tertiaires DUT

MATHEMATIQUES

____ Remise à niveau 4 : STATS PROBAS ____

CORRIGES DES EXERCICES

Documents en ligne : sur l’ENT, section « outils pédagogiques », plateforme Claroline, Cours « MATH RAN ».


4 Statistiques et probabilités

* EX 4.1. 24 personnes ont été interrogées sur le nombre de packs de lait achetés ces trente derniers jours. Les résultats sont les suivants : 0-1-4-2-1-2-1-1

3-0-1-0-3-0-2-2 0-2-1-1-3-1-0-4

1) Organiser ces résultats dans un tableau où chaque modalité sera reprise une fois et associée à l’effectif correspondant au nombre de réponses.

modalité 0 1 2 3 4

effectif 6 8 5 3 2

2) Quelle est la réponse modale ? 1 (pack)

3) Quel est le nombre médian de packs achetés, dans cet échantillon interrogé ? 1 (pack)

4) Quelle est le nombre moyen de packs par personne ? (8+10+9+8)/24 = 35/24 = 1.458 (pack)

* EX 4.2. A l’issue d’un concours de tir à l’arc, Paul et Virginie comparent leurs résultats. La figure ci-dessous indique les impacts des quinze flèches de chacun.

1) Former un tableau reprenant en six colonnes (une pour chaque score possible) les nombres de tirs

obtenus dans chaque zone (séparer les deux candidats).

score 0 10 20 30 50 100

effectif Virginie 2 2 4 4 1 2

effectif Paul 1 3 2 6 2 1

2) Si le vainqueur est celui dont le total est le plus fort, qui a gagné ? Est-ce que ça signifie que son score moyen par flèche est également le plus fort ?

Total Virginie : 470 ; total Paul : 450. Le vainqueur est Virginie. La moyenne vaut le score total divisé par le nombre de tirs. Comme chacun a effectué 15 tirs, un total plus important correspond à une moyenne plus importante.

3) Si le vainqueur est celui dont le score modal est le plus fort, qui a gagné ?

Modes Virginie : 20 et 30 ; mode Paul : 30. On pourrait considérer que Paul a gagné.


* EX 4.3. Lectures graphiques Lors d’un sondage, on a demandé leur âge aux personnes interrogées (au total : 200 personnes). Le graphique ci-dessous à droite est le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série. 1) Quel pourcentage de personnes interrogées ont…

a. moins de 40 ans ? b. Plus de 50 ans ? c. Entre 30 et 50 ans ?

Une fréquence cumulée croissante (FCC) est le taux d’individus dont les modalités sont inférieures ou

égales à une valeur donnée. Ici : FCC(x) = p(âge ≤ x), où p est une proportion d’individus.

a. p(âge ≤ 40) = FCC(40) = 60% b. p(âge ≥ 50) = 100% - p(âge ≤ 50) = 100%-90% = 10%

c. p(30 ≤ âge ≤ 50) = p(âge ≤ 50) - p(âge ≤ 30) = 90% - 10% = 80%

2) Grâce aux données de ce diagramme de FCC, construisez à sa gauche l’histogramme des effectifs correspondant. (effectif total : 200 personnes)

* EX 4.4. On donne les nombre d'élèves d'une classe de première, ordonnés selon la valeur de leur

moyenne générale et de leur état civil, selon le tableau ci-dessous :

ELEVES

garçons filles

Notes -17ans +17ans -17ans +17ans

10 2 1 0 2

11 3 4 3 3

12 3 5 4 6

13 2 3 2 3

14 4 2 3 1

1) a. Quelle est la moyenne des garçons ?

(3×10 + 7×11 + 8×12 + 5×13 + 6×14) / 29 = 352 / 29 = 12,14 environ

b. Quelle est la moyenne des filles ?

(2×10 + 6×11 + 10×12 + 5×13 + 4×14) / 29 = 327 / 27 = 12,11 environ

c. Quelle est la moyenne générale ?

(5×10 + 13×11 + 18×12 + 10×13 + 10×14) / 29 = 679 / 56 = 12,125

2) a. Parmi les élèves ayant eu moins de 12, quel est le pourcentage de filles ?

18 élèves ont eu moins de 12, dont 8 filles. 8/18 = 0,4444 environ = 44,44%.

b. Parmi les filles, quel est le pourcentage d’élèves qui ont eu moins de 12 ?

27 élèves sont des filles, parmi lesquelles 8 ont eu moins de 12. 8/27 = 0,2963 environ = 29,63%

60

40

20

0


* EX 4.5. QCM 1) Dans une classe de 30 élèves, la médiane de la série des notes est 10. Le professeur décide d’ajouter

1 point aux trois notes les plus basses, lesquelles restent les plus basses. La médiane… a. ne change pas b. augmente de 0,1 point c. augmente de 1 point c. augmente, mais on ne peut pas savoir de combien

Réponse a. La médiane est la note qui partage le groupe en deux parts égales : la moitié des élèves a eu moins ou autant que la médiane et l’autre moitié a eu autant ou plus. Si les trois derniers résultats restent les trois derniers, sur un total de 30 élèves, cette note centrale n’est pas modifiée.

2) Dans une classe de 30 élèves, la moyenne trimestrielle des notes est 9,4. Le professeur décide d’ajouter 1 point aux trois notes les plus basses. La moyenne…

a. ne change pas b. augmente de 0,1 point c. augmente de 1 point c. augmente, mais on ne peut pas savoir de combien

Réponse b. La somme de toutes les notes augmente donc de 3 points, et la moyenne, étant la somme divisée par 30, augmente de 3/30, soit 0,1 point.

3) Un même test a été donné dans deux classes. La première, composée de 20 élèves, a obtenu une moyenne de 12,30 ; la seconde, composée de 30 élèves, a obtenu une moyenne de 14,80. Quelle est la moyenne du groupe formé par les 50 élèves de ces deux classes ?

a. 12,55 b. 13,50 c. 13,55 d. 13,8

Réponse d. Dans chaque classe ,le produit moyenne effectif donne le total des notes. Classe 1 : 12,3×20 = 246 points ; classe 2 : 14,8×30 = 444 points. L’ensemble des 50 élèves a donc obtenu 690 points, soit une moyenne de 690/50 = 13,8.

* EX 4.6. La moyenne d’un groupe de 25 étudiants est 11,48. Celle des garçons est 10,7 et celle des filles est 12. Combien de garçons et de filles y a-t-il dans ce groupe ?

Notons x le nombre de filles et y celui de garçons. Le nombre total de points obtenu dans ce groupe est 12x + 10,7y, et il se trouve qu’il vaut aussi 11,48×25 = 287 ; de plus, x + y = 25. Remplaçons y par 25 – x dans la première information :

( ), , , ,

, ,

12 10 7 287 12 10 7 25 287 12 267 5 10 7 287

1 3 19 5 15

x y x x x x

x x

+ = ⇔ + − = ⇔ + − =⇔ = ⇔ =

Dans cette classe, il y a 15 filles et donc 10 garçons.

* EX 4.7. On mesure la taille, en cm, de 18 individus. Les résultats sont les suivants : 156, 160, 160, 164, 166, 167, 169, 170, 172, 172, 175, 176, 176, 178, 180, 180, 184, 190

1) Quelle est l’étendue de la série ? e = 190 – 156 = 34 cm

2) Donner les trois quartiles, rappeler leur signification.

Q1 = 166, Q2 = M = 172, Q3 = 178 25% de la population ont une modalité inférieure ou égale à Q1, 50% à M et 75% à Q3.

3) A l’aide de la calculatrice, donner la taille moyenne de ce groupe et son écart type. Expliquer la signification de l’écart type.

moyenne : 171,94 cm ; écart type : 8,676 cm. En moyenne, l’écart entre la taille d’un individu et 171,94 cm vaut 8,676 cm (en plus ou en moins).

4) Si on saisit sur calculatrice uniquement les valeurs en cm au-delà de 100 (la série devient donc 56, 60, 60, 64, …), quel effet cela a-t-il sur la moyenne ? sur l’écart type ? Était-on alors obligé de saisir ce « 1 » au début de chaque valeur pour obtenir les résultats de la question 3 ?

Toutes le valeurs sont diminuées de 100. Si on les repérait par des points sur un axe, ce groupe de points se verrait déplacé en bloc de 100 unités vers la gauche. Leur moyenne subit donc la même transformation. Par contre, les écarts entre les points ne seraient pas modifiés, idem pour leur écart type. Les résultats obtenus avec cette nouvelle série nous auraient donc facilement permis d’en déduire ceux de la liste originale : on n’avait pas besoin de saisir ce chiffre des centaines.


* EX 4.8. On observe les résultats des participants à une épreuve. xi représente un score obtenu et la valeur ni est le nombre de concurrents ayant obtenu le score xi.

xi 20 25 30 35 40

ni 1 3 12 5 2 23

1) Quelle est l’étendue de la série ? e = 40 – 20 = 20 points

2) Donner les trois quartiles, rappeler leur signification.

Q1 = 30, Q2 = M = 30, Q3 = 35 25% de la population ont une modalité inférieure ou égale à Q1, 50% à M et 75% à Q3.

3) A l’aide de la calculatrice, donner le score moyen et son écart type.

moyenne : 30,87 points ; écart type : 4,581 points

* EX 4.9. Les deux tableaux ci-dessous montrent des valeurs en première ligne et des effectifs en deuxième ligne. Leur diagramme des effectifs sont donc respectivement ceux qui apparaissent au-dessous.

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

Donner la moyenne et l’écart type de chaque série ; commenter la symétrie des résultats.

moyenne : 26,67 ; écart type : 12,47 moyenne : 13,33 ; écart type : 12,47 La liste des valeurs montre une répartition régulière autour de 20, alors que les deux liste d’effectifs sont symétriques autour de la valeur 20. Il n’est pas étonnant de constater deux moyennes symétriques par rapport à 20. Si on dressait, pour chaque tableau, une liste des écarts entre les valeurs et leur moyenne, on trouverait le même liste (toujours par symétrie). Il n’est donc pas étonnant que les deux écart types soient égaux.

* EX 4.10. Reprenons l’exemple de l’exercice 4.3. 1) A partir du diagramme des FCC :

a. Donner l’étendue de la série. e = 60 – 20 = 40 ans

b. Donner la médiane (« âge médian »), ainsi que les deux autres quartiles.

Q1 = 33 ans, Q2 = M = 38 ans, Q3 = 45 ans (pointillés bleus)

2) A partir des effectifs retrouvés dans chaque classe d’âge : a. Saisir les données statistiques sur la calculatrice. b. Obtenir alors l’âge moyen des personnes interrogées et l’écart type des âges.

moyenne : 39 ans ; écart type : 8 ans.

c. Interpréter concrètement l’écart type.

Par rapport à 39 ans, l’âge d’un individu diffère en moyenne de 8 ans

d. Grâce à une lecture graphique du diagramme des FCC, dire quel est le pourcentage des personnes interrogées dont l’âge se situe à une distance maximale d’un écart type autour de la moyenne. (pointillés rouges)

39-8 = 31 ans, 39 + 8 = 47 ans. FCC(31) = 15% et FCC(47) = 80% ; ainsi, 65% de la population ont un âge compris entre 31 et 47 ans, soit à un écart type au maximum autour de l’âge moyen.


* EX 4.11. On a noté le diamètre (Y, cm) et l’âge (X, années) de divers arbres d’une même essence. Les résultats numériques sont consignés dans le tableau ci-dessous et le nuage de points correspondant a été représenté.

X 2 4 5 8 10 11

Y 11 15 22 27 38 37

1) a. Déterminer la droite permettant

l’ajustement linéaire de ces données, par la méthode de Mayer (coordonnées de G1 et G2, équation de la droite, représentation graphique).

,

,

1 1

2 2

G G

G G

2 4 5 11 11 15 2216

3 3 3

8 10 11 29 27 38 3734

3 3 3

x y

x y

+ + + += = = =

+ + + += = = =

La droite de Mayer est la droite (G1G2). Son équation y = ax + b est telle que :

2 1

1 1

2 1

G G

G G

G G

18 113 et 16 3 5 (voir graphique)

6 3

y ya b y ax

x x

−= = = = − = − × =

−

b. Estimer graphiquement puis par le calcul l’âge auquel un arbre de cette essence atteint un diamètre de 50 cm.

Graphiquement, on lit que pour un âge de 15 ans, on obtient un diamètre de 50 cm. Par le calcul : y = ax + b donne 50 = 3x + 5, donc 45 = 3x et x = 15.

2) a. Saisir les données du tableau sur calculatrice pour obtenir l’équation de la droite de régression

issue de la méthode des moindres carrés. y = 3,0789x + 4,4737 b. Estimer par le calcul l’âge auquel un arbre de cette essence atteint un diamètre de 50 cm.

Par le calcul : y = ax + b donne 50 = 3,0789x + 4,4737, donc 45,5263 = 3,0789x et x = 14,79.


* EX 4.12. Un sondage a été réalisé sur le nombre X d’heures par jour passées sur Internet et on a croisé les réponses avec l’âge Y des répondants. Le tableau ci-dessous affiche les nombres de citations correspondant à chaque croisement.

X : âge

[10 ; 15[ [15 ; 25[ [25 ; 50[ [50 ; 90[

Y : nombre d’heures quotidien

[0 ; 1[ 8 5 12 23

[1 ; 3[ 15 28 18 8

[3 ; 6[ 6 16 2 0

1) Saisir les données (X, Y, effectifs) de cet exercice sur calculatrice (List 1, List 2, List 3).

X Y eff

List 1 List 2 List 3

12,5 0,5 8

12,5 2 15

12,5 4,5 6

20 0,5 5

20 2 28

20 4,5 16

37,5 0,5 12

37,5 2 18

37,5 4,5 2

70 0,5 23

70 2 8

70 4,5 0

2) Donner alors : a. l’âge moyen des répondants 33,42 ans b. le nombre moyen d’heures par jour sur Internet, pour l’ensemble des répondants 1,915 h c. le nombre moyen d’heures passées par jour sur Internet, par tranche d’âges

[10 ; 15[ [15 ; 25[ [25 ; 50[ [50 ; 90[

2,103 2,663 1,594 0,887

3) a. Grâce à votre calculatrice, donner l’équation de la droite de régression de Y en fonction de X. y = -0,02855x + 2,869

b. Comment interpréter la négativité de son coefficient directeur ? Plus x augmente, plus y a tendance à diminuer ; c’est-à-dire : plus une personne est âgée, moins elle est supposée passer de temps sur Internet.

* EX 4.13. QCM

1) Dans un groupe de 25 étudiants, 20 ont un bac général ; il y a 17 filles, dont 14 ont un bac général. Combien de garçons ont un bac général ? � 2 � 3 � 5 � 6 � 8

B bac général B autre bac

A garçons 6 2 8 6 garçons ont un bac général

A filles 14 3 17 Il s'agit de l'ensemble A∩B.

20 5 25

2) Parmi 350 personnes interrogées pour une étude, 244 possèdent un ordinateur avec connexion internet, 287 ont un téléphone portable, et 56 ont un téléphone portable mais pas d'ordinateur avec connexion internet. Combien ont au moins l’un des deux ? � 50 � 69 � 231 � 300 � 531

B tel. port. B

A ordi+inter 231 13 244 300 ont au moins l’un des deux

A 56 50 56 Il s'agit de l'ensemble A∪B.

287 63 350 350-50


3) Après dépouillement d’un sondage réalisé sur un échantillon de 500 personnes, il apparaît que 154 d’entre elles vont au cinéma au moins une fois par mois, 228 achètent du popcorn lorsqu’elles vont au cinéma, et parmi celles qui vont au cinéma moins d’une fois par mois, 131 y achètent du popcorn. Parmi les personnes qui vont au cinéma au moins une fois par mois, combien achètent du popcorn ?

� 57 � 97 � 131 � 154 � 215

B popcorn B

A ciné >= 1 97 57 154 97 y vont au moins une fois par mois

A 131 215 346 et achètent du popcorn

228 272 500 Il s'agit de l'ensemble A∩B.

4) De combien de façons peut-on placer 2 objets dans 3 tiroirs ?

� 6 � 8 � 9 � 12 � 15

On doit choisir deux fois (p = 2) parmi les trois tiroirs (n = 3) avec répétition possible ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque rangement est donc une p-liste. Nombre de rangements : 3² = 9.

5) Combien d'anagrammes le mot "MATHS" possède-t-il ?

� 3 125 � 120 � 60 � 25 � 5

n = 5 lettres disponibles ; p = 5. Ordre : oui ; répétition : non. 5 ! = 120 anagrammes 6) Combien de nombres de 4 chiffres contiennent uniquement 1, 2 ou 3 ?

� 12 � 24 � 64 � 81 � 162

On doit choisir quatre chiffres (p = 4) parmi trois chiffres (n = 3) avec répétition possible (il vaut mieux, ici !) ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque nombre est donc une p-liste. Nombre de nombres : 34 = 81.

7) Combien de mots de 5 lettres différentes peuvent être écrits avec {a ; b ; e ; m ; i ; r ; o} ?

� 2520 � 120 � 21 � 16807 � 78125

On doit choisir cinq fois (p = 5) parmi les sept lettres (n = 7) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque mot est donc un arrangement. Nombre de mots :

57A 7 6 5 4 3 2520= × × × × = .

8) Combien d’empilements différents de 3 blocs sont possibles, en choisissant parmi 10 blocs de

couleurs différentes ?

� 1000 � 30 � 120 � 59049 � 720

On doit choisir trois fois (p = 3) parmi les dix blocs (n = 10) sans répétition possible ; lors du choix, l’ordre compte. Chaque empilement est donc un arrangement. Nombre d’empilements :

310A 10 9 8 720= × × = .

9) Combien de mains différentes de 8 cartes peut-on obtenir à partir d’un jeu de 32 ?

� 256 � 10 518 300 � 424 097 856 000 � 1099 511 627 776 � ≈7,9228×1028

On doit choisir huit cartes (p = 8) parmi les 32 cartes (n = 32) sans répétition possible ; lors du choix,

l’ordre ne compte pas. Chaque main est une combinaison. Nombre de mains : 832C 10 518 300= .

10) A partir d’un jeu de 32 cartes, combien de mains de 8 cartes comportent exactement 3 piques et 2

cœurs ?

� 201 376 � 10 518 300 � 878 080 � 644 � 24 165 120


ensemble tirage

piques 8 3 38C 56=

cœurs 8 2 28C 28=

autres 16 3 316C 560=

total 32 8

Nombre de mains correspondantes : 3 2 38 8 16C C C 878 080× × =

* EX 4.14. Une roue est composée de 20 secteurs ; dix sont rouges et font perdre un euro (soit la mise nécessaire pour jouer une partie en faisant tourner la roue), sept sont blancs et remboursent la mise, les trois restant sont verts et font gagner quatre euros (dont il faudra déduire la mise). 1) Quelle est la probabilité de gagner plus que sa mise ? 3/20 = 0,15 = 15% 2) Quelle est la probabilité de perdre de l’argent à ce jeu ? 10/20 = 0,5 = 50% 3) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité du gain (net).

gain net -1 0 3

probabilité 0,5 0,35 0,15

4) Calculer l’espérance de gain. Quelle est la signification concrète de cette valeur ?

E(gain) = 0,5×(-1) + 0,35×0 + 0,15×3 = -0,05 €. Lorsqu’un grand nombre de parties sont effectuées, le gain moyen attendu est proche de -0,05 € par partie (perte pour le joueur).

* EX 4.15. Un sac contient 50 jetons numérotés de 1 à 50. Les vingt premiers sont peints en bleu et les autres (n°21 à 50) sont blancs. On doit piocher un jeton au hasard. S’il est impair et blanc, on ne gagne rien ; s’il est impair et bleu, ou alors pair et blanc, on gagne un euro ; sinon, on gagne 6 euros. 1) Donner la loi de probabilité du gain.

gain 0 1 6

probabilité 15/50 = 0,3 25/50 = 0,5 10/50 = 0,2

2) Calculer l’espérance de gain.

E(gain) = 15/50×0 + 25/50×1 + 10/50×6 = 1,7 €.

* EX 4.16. On lance deux dés. Si les deux résultats sont pairs, on gagne 1 point ; s’ils sont impairs, on perd un point ; sinon, on ne gagne ni ne perd de point. 1) Donner la loi de probabilité du gain.

Lorsqu’on lance deux dés, chacun peut donner six résultats, indépendamment de son voisin, soit 36 couples possibles, du double 1 au double 6, chaque couple ayant 1 chance sur 36 d’être obtenu. « Deux résultats pairs » correspond à neuf couples (3 nombres pairs possibles pour chaque dé) ; « deux résultats impairs » correspond aussi à 9 couples ; enfin, il reste 18 autres cas possibles.

gain 1 0 -1

probabilité 9/36 = 0,25 18/36 = 0,5 9/36 = 0,25

2) Calculer l’espérance de gain.

E(gain) = 0,25×1 + 0,5×0 – 0,25×1 = 0 point.


* EX 4.17. On doit piocher au hasard et simultanément trois lettres dans l’alphabet (que l’on considère constitué de 20 consonnes et 6 voyelles). La variable aléatoire X représente le nombre de voyelles piochées parmi les trois lettres. Donner la loi de probabilité de X.

Le tirage s’effectue sans répétition d’une lettre et sans ordre d’arrivée. On a donc affaire à des calculs

de combinaisons. Nombre total de tirages possibles de trois lettres : 326C 2600= .

Puis, des catégories sont invoquées dans l’ensemble de départ (consonnes, voyelles) : on aura donc à multiplier entre elles des combinaisons posées pour chaque catégorie.

ensemble type 1 type 2 type 3 type 4

consonnes 20 3 2 1 0

voyelles 6 0 1 2 3

total 26 3 3 3 3

Nombre de tirages contenant 0 voyelle : 3 020 6C C 1140× =

Nombre de tirages contenant 1 voyelle : 2 120 6C C 1140× =

Nombre de tirages contenant 2 voyelles : 1 220 6C C 300× =

Nombre de tirages contenant 3 voyelles : 0 320 6C C 20× =

X : nombre de voyelles 0 1 2 3

probabilité 1140/2600 1140/2600 300/2600 20/2600

* EX 4.18. On lance une pièce de monnaie équilibrée, six fois de suite. La variable X est le nombre de « pile » obtenus au bout des six lancers. 1) Montrer que X est distribuée par une loi binomiale et donner les paramètres de cette dernière.

Un lancer conduit à deux événements contraires : pile ou face (situation succès/échec de Bernoulli). A chaque nouveau lancer, la probabilité p de succès (ici : pile, car c’est ce que compte X) est

invariable et vaut 0,5. La loi de X est donc binomiale, plus précisément B (6 ; 0,5).

2) Calculer la probabilité d’obtenir autant de pile que de face.

p(X = 3) = , , ,3 3 36C 0 5 0 5 0 3125× × =

3) Quelle est la particularité de cette probabilité ?

Obtenir 3 succès en 6 essais est l’espérance de X (E(X) = np = 3). Il s’agit de l’événement qui a une probabilité plus forte que n’importe quel autre.

* EX 4.19. Le pouvoir germinatif d'une graine d'une certaine espèce est 0,8 (probabilité de germer). On sème 8 graines. Quelle est la probabilité pour que… 1) 5 graines exactement germent ?

Une graine peut donner deux événements contraires : elle germe ou pas (situation succès/échec de Bernoulli). Pour chaque nouvelle graine, la probabilité p de succès (ici : germer) est invariable et vaut 0,8. La loi de X (nombre de graines qui vont germer, sur 8 graines) est donc binomiale, plus

précisément B (8 ; 0,8). p(X = 5) = , , ,5 5 38C 0 8 0 2 0 1468× × =

2) Au moins 7 graines germent ?

p(X ≥ 7) = p(X = 7) + p(X = 8) = , , , , , , ,7 7 1 8 8 08 8C 0 8 0 2 C 0 8 0 2 0 3355 0 1678 0 5033× × + × × = + =


* EX 4.20. D'après un sondage, 80 % des acheteurs d'un produit A se déclarent satisfaits. Sur un groupe de 10 acheteurs du produit, choisis au hasard, quelle est la probabilité que :

1) Tous soient satisfaits ?

La probabilité p qu'un acheteur pris au hasard soit satisfait est 80% = 0,8. Si on choisit 10 acheteurs, on répète 10 fois l'expérience à l'identique. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre d'acheteurs satisfaits sur les 10,

alors la loi de X est B(10 ; 0,8).

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,10 0 1010

10p 10 C 0 8 0 2 0 8 0 1074= = × × = ≈X

2) 80 % soient satisfaits ?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,8 2 8 28

10p 8 C 0 8 0 2 45 0 8 0 2 0 3020= = × × = × × ≈X

3) Au moins 80 % soient satisfaits ?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,9 19

10p 8 p 8 p 9 p 10 0 3020 C 0 8 0 2 0 1074 0 6778≥ = = + = + = = + × × + ≈X X X X

* EX 4.21. Un automobiliste rencontre sur son trajet 5 feux tricolores à la suite, identiques dans leurs durées : le feu vert dure 40 secondes, le feu orange/rouge dure 20 secondes. Malheureusement, ces feux ne sont pas synchronisés, et l'état de l'un n'a aucune influence sur l'état du suivant.

1) Lorsque l'automobiliste arrive au niveau du premier feu, quelle est la probabilité que celui-ci soit vert ?

Sur une plage d'une minute, le feu vert dure les deux tiers du temps. A un instant quelconque indéterminé, le feu a 2 chances sur 3 d'être vert. p = 2/3

2) Déterminer la probabilité pour que, dans son trajet, il ait rencontré tous les feux au vert.

Ici, on répète 5 fois de suite la même expérience. A chaque fois, la probabilité de succès est p, 2/3. On désigne par X la variable aléatoire comptant le nombre de succès (feux verts) sur 5 tentatives.

Alors la loi de X est B(5 ; 2/3)

( ) ,5 0 5

55

2 1 2p 5 0 1317

3 3 3

= = × × = ≈

X C

3) Quelle est la probabilité pour qu'il ait eu un et un seul feu rouge ? Au moins deux feux rouges ?

( ) ,4 1 4

45

2 1 2 1p 4 5 0 3292

3 3 3 3

= = × × = × × ≈

X C

( ) ( ) ( ) ,p 3 1 p 5 p 4 0 5391≤ = − = − = ≈X X X

4) A combien de feux verts peut-il s'attendre, en moyenne, à chaque trajet ?

E(X) = np = 5×2/3 = 3,333 feux verts environ, en moyenne.

Remise à niveau 4 : STATS PROBAS · 2018-10-10 · IUT de Saint-Etienne –DUT – Mathématiques...

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