Remise à niveau 2 : FONCTIONS...Le graphique obtenu montre la distance parcourue par...

____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – Tremplin – Mathématiques – RAN 2 Fonctions - CoursEx – Rev2017 – page 1 sur 27

Départements tertiaires

MATHEMATIQUES

_______ Remise à niveau 2 : FONCTIONS _______

COURS, ACTIVITES -

ENONCES DES EXERCICES

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SOMMAIRE 1 MISE EN ÉQUATION D’UN PROBLÈME ET NOTION DE FONCTION 3

2 LANGAGE DES FONCTIONS ET LECTURES 6

2.1 EXEMPLE DE FONCTION DÉFINIE PAR UNE COURBE 6 2.2 EXEMPLE DE FONCTION DÉFINIE PAR UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE 6 2.3 SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION 6 2.4 FONCTIONS USUELLES 9

2.4.1 FONCTION AFFINE � → �� + � ............................................................ 9

2.4.2 FONCTION CARRÉ � → �² .................................................................... 9

2.4.3 FONCTION INVERSE � → �� .............................................................. 11

2.4.4 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN � → �(�) ...................................... 11

2.4.5 FONCTION EXPONENTIELLE � → �� ...................................................... 12

3 UTILISATION DE LA CALCULATRICE (TABLEAU DE VALEURS, COURBE) 16

4 DÉRIVATION, ÉTUDE DE VARIATIONS, EXTREMA 20

4.1 ACTIVITÉ : VITESSE MOYENNE/VITESSE INSTANTANÉE 20 4.2 RAPPELS SUR LA NOTION DE NOMBRE DÉRIVÉ 21 4.3 FONCTION DÉRIVÉE 21 4.4 DÉRIVÉES PLUS COMPLEXES : 22 4.5 SIGNE DE LA DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION DE LA FONCTION – RECHERCHE DE L’EXTREMUM 23 4.6 APPLICATIONS 23


1 Mise en équation d’un problème et notion de fonction

Activité

Dans un grand cercle de diamètre 10 cm sont inscrits deux cercles adjacents de diamètres variables (celui du cercle de gauche est appelé x (en cm)) ; le diamètre de celui de droite dépend de x de telle façon que la somme des deux vaut toujours 10 cm.

1) Calculer la somme des circonférences des deux cercles inscrits. Calculer la circonférence du grand cercle.

2) Calculer l'aire couverte par les deux cercles inscrits (elle dépend de x, on l'appellera A(x)). Développer et simplifier l'expression de A(x).

3) Remplir le tableau de valeurs ci-dessous, où on calcule quelques valeurs de A(x) pour quelques valeurs de x.

x en cm 0 2 4 5 6 8 10

A(x) en cm²

4) Dans un repère (O, (Ox), (Oy)) orthogonal, on décide de représenter toutes les valeurs possibles de x en abscisses, et toutes les valeurs correspondantes de A(x) en ordonnées. Placer dans ce repère les points issus du tableau de valeurs, dont les coordonnées sont (x, A(x)). Relier ces points par une courbe aussi régulière que possible.

5) Pour quelle valeur de x a-t-on A(x) minimale ? Cette valeur de x est-elle particulière pour la géométrie du problème ? Est-ce logique ?

6) Par lecture graphique déterminer les valeurs de x donnant une aire A(x) de 50 cm². Rappels

Que signifie la notation f : x֏ 2x + 3 ? le nombre en entrée x subit une suite de deux fonctions élémentaires ou « machines élémentaires » qui

figurent sur toutes les calculatrices : x et + :

x× + → →2 3

f (x)

exemple : 10 × + → →2 3

23

Vocabulaire :

l’entrée est 10, la sortie est 23 (on dit que 23 est l’image de 10 et 10 est l’antécédent de 23).

La « machine f » qui à partir de l’entrée 10 donne la sortie 23 est une fonction numérique

traduction (décodage de quelques fonctions numériques)

x → (x + 5)2 décodage ( )

x+ → →5

2

f (x)

x →5 – 2x décodage x × − + → →( )2 5

f (x)


EXERCICES

* EX 2.1. Décoder les fonctions suivantes :

( ) ( )

( )

( )

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . . ln ( )

. ln ( ) . . .

2 2

2 22

2

2

2

3 32

5a 3 5 b 4 7 c d 4 e 2

3f 3 7 g 3 5 h 4 2 3 1 i

2

5 3j 4 k 2 l 5 2 1 m 4 5

2 3 4 5

3 1n 4 5 3 o 2 p q 4 5

2 4

r 2 3 5 2 s 4 e t e 1 u ex x x

x x x x x x x x xx

x x x x x x xx

x x x x x xx x

xx x x x x x

x

x x x x x

→ + → − → → → −

−→ − → + − → − − →+

→ + → − → + + → −− + −

→ + + → − → → +−

→ + − → + → + →

. . . . ln

1

3 18

5 15024

v 5 3e w 8 1 7e x 15 1 e y 12 3

xx

xx x x xx

+

− −− → + → − → − → + −

* EX 2.2. À partir du décodage, retrouver l’expression de la fonction numérique

( ) ( )

( ) ( )

( )

ln ( )

. ( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( )

. ( ) . ( ) . ( )

. ( ) .

2 212 5 9

5 3 3 2 7

1 13 2 5 1

11 5 4 1 1

a b c

d e

f g h

i j

x

x x

xx

x f x x f x x f x

x f x x f x

x f x x f x x f x

x f x x

− + −

× − + + × − +

× − + + +

+ × − + +

→ → → → → →→ → → → →

→ → → → → → →

→ → → → → →( )

ln ( ) ( )

. ( ) . ( )2

5 4

13 2 3 3 1k l

xe xx

f x

x f x x f x

× − +

+ × + ± +

→ → → →

→ → → → → → → → → →

* EX 2.3. À partir de quelques fonctions des deux exercices précédents, calculer des images et des

antécédents de nombres donnés (aussi bien en suivant les instructions qu’en utilisant l’expression)

* EX 2.4. Paul et Virginie viennent d'installer un réseau de capteurs solaires sur leur toit pour

produire leur propre électricité. La puissance instantanée P fournie est directement reliée à

l'éclairement dû au Soleil, variable au cours de la journée. En effet, la nuit il sera pratiquement nul,

faible le matin et le soir, et plus fort en milieu de journée. Appelons t l'heure qu'il est, variant de manière régulière de 0 h à 24 h. On peut dire que t et P sont directement liées l'un à l'autre, mais … Peut-on dire que P dépend de t ? Peut-on dire que t dépend de P ? Supposons qu’on soit capable de calculer P à n’importe quelle heure ; si on nous donne une valeur de P, sommes-nous capables d’en déduire l’heure correspondante ? On dira que …… est fonction de ………………… On notera ……….. la puissance fournie à l'heure …… . Par exemple, P(15) est la puissance fournie à ………………. .

* EX 2.5. Dans un grand nombre de pays, nous mesurons la température en degrés

Celsius, où au niveau de la mer l’eau gèle à 0°C et bout à 100°C. Dans la plupart des

pays anglo-saxons, la température est donnée en degrés Fahrenheit (°F) : 0°C correspond à 32°F ; 100°C correspond à 212°F.

1) Établir la relation donnant y (température en °F) en fonction de x (température en °C), sachant que cette relation est affine : y = ax + b.


2) Représenter graphiquement cette relation pour y compris entre -50°F et +250°F. 3) A quelle température les deux mesures donnent la même valeur ? 4) Peut-on dire qu’une température donnée en °C correspond forcément à une unique mesure en °F,

et inversement ? Comment cela se traduit-il sur la figure ?

* EX 2.6. La fonction f associe au réel x le nombre: f (x) = (x - 5)2 + 1. a. Calculer f (0), f (5), f (-3), b. Quelle est l'image de 13 ? de 3,2 ? c. Trouver deux réels ayant la même image.

* EX 2.7. À la surface des océans, la pression moyenne est celle de l'atmosphère (1,033 kg.cm-2), et

cette pression augmente avec la profondeur, de 1 kg.cm-2 tous les 10 mètres. a. Quelle est la pression à une profondeur de 10 000 m ? b. Définir par une formule explicite la pression en fonction de la profondeur.

* EX 2.8. Si x est la taille d’une personne, une formule peut donner une estimation satisfaisante de sa

masse théorique « idéale » M (ici : formules de Lorentz - les plus couramment utilisées) :

hommes : M = x – 100 – (x –150)/4 femmes : M = x – 100 – (x – 150)/2,5 x est à donner en cm ; M est alors obtenue en kg

a. Quelle est la masse théorique obtenue pour une femme mesurant 1,70 m ? b. Calculez votre propre masse théorique. c. Quelle devrait être, selon cette formule, la taille d’un homme pesant 65 kg ? d. Quelle devrait être, selon cette formule, la taille d’une femme pesant 50 kg ?

(on peut tenter de simplifier ces formules en les ramenant à des écritures de type M = ax + b)

* EX 2.9. Un automobiliste se rend d'un point A à un point B à une vitesse variable. Son parcours se décompose comme suit : * Sa vitesse est V, pendant 2h ; * Puis il roule à 30 km/h de moins pendant 1h30 ; * Il effectue la dernière partie de son trajet à sa vitesse initiale V pendant 3h. Il s'avère qu'il a parcouru 605 km. a. Quelle est dans ce cas la valeur de la vitesse V ? b. Remplir un tableau de valeurs où on inscrira : * sur la première ligne les valeurs de t : temps écoulé : 0, 2h, 3h30, 6h30 * sur la seconde ligne les valeurs de d : distance totale parcourue à ces instants. c. Tracer un repère orthogonal sur lequel on portera t en abscisses et d en ordonnées, avec deux

échelles appropriées. Placer dans ce repère les points dont on a calculé les coordonnées précédemment. Relier ces points par des segments.

d. Le graphique obtenu montre la distance parcourue par l'automobiliste au bout de tout instant compris entre 0h et 6h30 (on appelle « parcours » ce type de représentation). À partir du graphique, donner la distance qu’il a parcourue au bout de 1h, au bout de 3h, au bout de 5h.

e. Calculer de manière simple la vitesse moyenne de cet automobiliste. f. Représenter sur le même graphique le parcours qu'il aurait effectué si sa vitesse avait été

constante et égale à cette vitesse moyenne. g. On constate qu'au bout de 6h30, il serait arrivé au même point.

Comment expliquer cela par le calcul ?

* EX 2.10. Entre le moment où un automobiliste voit un obstacle et le moment où sa voiture s’arrête,

il parcourt une certaine distance : c’est la distance d’arrêt. On peut calculer une valeur

approximative de cette distance sur une route sèche avec la formule : d = 0,0064 × V² + 0,5 × V où d est la distance d’arrêt en mètres et V est la vitesse juste avant le freinage en km/h.

a. Calculer la distance d’arrêt à 50 kilomètres par heure. b. Calculer la distance d’arrêt à 90 kilomètres par heure. c. Distance d’arrêt et vitesse sont-elles proportionnelles ?


2 Langage des fonctions et lectures

2.1 Exemple de fonction définie par une courbe

Soit la fonction définie par la courbe ∁�ci-contre.

Tout point de cette courbe a pour coordonnées

�� . Ici, A ( 2 ; 1 ) est un point de la courbe. On peut écrire �� et donc 1 � 2� ou 2� � 1 ▪ Les valeurs de � se lisent sur l’axe des abscisses. L’ensemble des abscisses des points de la courbe s’appelle ensemble de définition de la fonction ; ici, l’ensemble de définition est Df = [-4 ; 3] . ▪ Les valeurs de �� se lisent sur l’axe des ordonnées ; ici, �� . On dit que « l’image de 2 est 1 » et « l’antécédent de 1 est 2 ».

2.2 Exemple de fonction définie par une expression algébrique

Soit une fonction définie sur [-1; 3] par �� ² � �

▪ Pour toute valeur de �comprise entre -1 et 3, on peut calculer son image « à la main ».

Par exemple : 1� = ………………………………………………………………………………………..

▪ Après avoir calculé ainsi plusieurs images, « à la main » ou avec un tableur de calculatrice, on peut présenter ces résultats dans un tableau de valeurs.

� ��-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

2.3 Sens de variation d’une fonction

Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre.

En reprenant l'exemple ci-dessus, on peut dire que :

▪ est croissante sur l’intervalle [-1 ; 0]

▪ Dans un repère, on place les points de coordonnées �, ��pour différentes valeurs de �, et on trace la courbe en reliant ces points de façon « régulière ». On obtient ainsi la courbe représentative de .


▪ est décroissante sur l’intervalle [0 ; 2]

▪ est croissante sur l’intervalle [2 ; 3]

On résume les variations de dans un tableau de variation. Quelle est la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction ?

Compléter par < > = : 0�… . 1�; �1�… 0�; 2�… 1�; 3�… 0� ATTENTION : ne pas confondre tableau de variation et tableau de signes ! Le tableau de variation donne des indications sur les variations de la fonction (croissante/décroissante) alors que le tableau de signes indique le signe de la fonction (positive/négative) sur différents intervalles. Pour la fonction précédente, le tableau de signe est : EXERCICES

* EX 2.11. QCM 1) Compléter les points de suspension : « f est croissante …… [0 ; 10] » : a. entre b. sur c. de

2) « l'image de 5 par f est 12 » signifie : a. f (12) = 5 b. f (5) = 12 c. f (x) = 12

3) « le point M(-2 ; 6) est sur Cf » signifie : a. yM

=f (xM

) b. f (-2) = 6 c. f (6) = -2

4) « Cf coupe (Ox) au point d'abscisse 3 » signifie : a. f (x) = 3 b. f (3) = 0 c. f (0) = 3

5) « f est croissante sur [0 ; 10] » signifie : a. f (5) ≤ f (6) b. f (10) ≤ f (2) c. f (0) ≤ f (10)

6) « 3 est le maximum de f, pour x = 5 » signifie :

a. f (x) ≤ 5 pour tout x de Df b. f (x) ≤ f (5) pour tout x de Df c. x ≤ 5 pour tout x de Df

* EX 2.12. On a représenté graphiquement ci-dessous cinq fonctions f1, f2, f3, f4, f5. L’ensemble de

définition de chacune de ces fonctions est l’intervalle [-5 ; 5].

�

Variations

de

�

��


Indiquer, parmi ces fonctions, celles qui vérifient :

a. ( ) 0 2f x x≥ ⇔ ≤ b. ( ) 0 1 2f x x≥ ⇔ − ≤ ≤

* EX 2.13. Soit C la courbe représentative de la fonction : .1

xf x

x +֏

a. Quel est l'ensemble de définition de f ? b. Quels sont, parmi les points suivants, ceux qui appartiennent à C ?

( ) ( ); , ; , ; , , ; ,1 1 1 1

A B 2 2 C D 0 6 1 52 3 4 3

− − −

c. Quelle est l'abscisse du point de C d'ordonnée 2 ?

* EX 2.14. Le graphique ci-dessous montre les variations de la température de l’atmosphère en

fonction de l’altitude (ici : entre 0 km et 90 km d’altitude)

1) Marquez quelques valeurs numériques sur l’axe des températures. 2) Quel est le minimum de la fonction représentée ici ? 3) Comment interpréter l’information « 200 °C » située à droite ? 4) Dans quel(s) intervalle(s) d'altitudes la température est-elle …

a. inférieure à -60 °C ? « f(x) ≤ -60 si et seulement si x∈ …………………………………… »

b. inférieure à 0 °C ? « f(x) ≤ 0 si et seulement si x∈ …………………………………… »

c. comprise entre -10 °C et -60 °C ? « -60 ≤ f(x) ≤ -10 si et seulement si x∈ ………………………………… »

* EX 2.15. La courbe ci-dessous représente la trajectoire d'un projectile. Pour chaque valeur de x (en

mètres), 0 ≤ x ≤ 100, h(x) est la hauteur correspondante (en mètres). 1. Lire graphiquement :

a. L'ensemble de définition de la fonction h ;

b. Les valeurs h(0), h(25), h(50), h(75), h(100).

2. Interpréter les résultats précédents en revenant à la situation de l'énoncé.


2.4 Fonctions usuelles

2.4.1 Fonctions affines � → ��

La représentation graphique est une droite passant par (0 ;$) «% » est le coefficient directeur ou pente de le droite Si % > 0 alors la fonction est croissante Si % < 0 alors la fonction est décroissante « $ » est l’ordonnée à l’origine. L’écriture � � %� � $ est l’équation réduite de la droite.

Tous les points de coordonnées �; �� vérifiant cette équation appartiennent à la droite. Déterminer l’équation de la droite tracée ci-contre :

2.4.2 Fonction carré � → �²

La représentation graphique est une courbe (parabole). Tableau de valeurs sur [-3 ; 3] + représentation graphique à la calculatrice

� -3 -2 -1 0 1 2 3

�²

Tableau de variations : * Application : polynôme du second degré du type �� ² � �� &

On considère deux fonctions f et g définies sur [-3 ; 3] par :

�� ² � 3� � 3 et '�� 0,5�² � � � 3

Compléter les tableaux de valeurs et tracer les représentations graphiques à l’aide de la calculatrice :

� -3 -2 -1 0 1 2 3

� -3 -2 -1 0 1 2 3

��

'��

Vérifier que l’abscisse du sommet de la parabole peut se calculer avec la formule � � � )*+

Compléter les tableaux de variation :

� �

Variations

de

Variations

de '

Écrire une conclusion permettant de faire le lien entre le signe du coefficient « % » et les variations de la fonction du second degré :

� �∞ 0 �∞

�²


* Signe du polynôme ��² � �� & Exemple : l’entreprise EUROSERUM commercialise son produit par lots ; soit � le nombre de lots, compris entre 0 et 120. Le résultat R, exprimé en k€, est modélisé par la fonction R définie par

,�� 0,5�² + 60�– 550 sur l’intervalle [0 ; 120]. L’entreprise souhaite connaître les valeurs de �pour lesquelles le résultat R est positif. Voyons la représentation graphique de cette fonction R sur l’intervalle [0 ; 120]

� 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

/(�)

Réponse pour l’entreprise : Quelle sera l’allure de la courbe de la fonction R ? Justifier. Calculer l’abscisse du sommet : Compléter le tableau de variations de la fonction R :

Compléter le tableau de signe du polynôme −0,5�² + 60�– 550

Résoudre l’équation −0,5�² + 60�– 550 = 0. Conclusion : cas général du signe d’un polynôme du second degré (à apprendre)

�

Variations

de R

�

−0,5�² + 60�– 550

Signe de

�

Signe de

%�² + $� + 0


2.4.3 Fonction inverse � → ��

Exemple sur l’intervalle [-3 ; 3] : tableau de valeurs (calculatrice)

� -3 -2 -1 0 1 2 3 1�

Domaine de définition : Tableau de variations :

2.4.4 Fonction logarithme népérien � → �� Tableau de valeurs (calculatrice) sur l’intervalle [-2; 5 ]

� -2 -1 0 1 2 3 4 5

ln��

Domaine de définition : Tableau de variations : Propriétés du logarithme : a et b étant deux nombres strictement positifs. * Le logarithme transforme une multiplication en addition.

3410 5 100�=…………………. et 3410� � 34100�= ……………… donc

* Le logarithme transforme une puissance en multiplication.

34106�= ……………… et 7×3410�=…………………… donc

* Le logarithme transforme une division en soustraction.

34 89*: �………….. et 343�– 342� �…………………. donc * Le logarithme transforme l’inverse en opposé.

341/2� �…… et �342� � ……………… donc Application : résolution de l’équation de la forme �� Exemples : 1,05< � 1,4071 5000 5 0,95< � 2844

� �∞ 0 �∞

1�

�

ln��


2.4.5 Fonction exponentielle � → ��

Tableau de valeurs (calculatrice) sur l’intervalle [-3 ; 3 ]

� -3 -2 -1 0 1 2 3

@<

Domaine de définition : Tableau de variations : Remarque : Prenons �= 1 on obtient e1 = ……. et calculons ln (2,718) = ……… Donc ln (e1) = ……………… et e ln 1 = ………. De même si � = 2 on obtient e2 = ……. et calculons ln ………= ……… Donc ln (e2) = ……………… et ……………………..

Conclusion : la fonction exponentielle�� et la fonction logarithme népérien AB�� sont des fonctions

…………………………..………. On peut donc écrire �AB�� et AB�� = � Propriétés de la fonction exponentielle :

• Calculer e5 = …………….. et e2×e3 = ………….. donc

• Calculer e2 = ………… et CDCE = ………….. donc

• Calculer (e3)2 = ……… et e6 = ………. donc Applications En utilisant les propriétés de l’exponentielle et du logarithme, simplifier puis calculer :

eln5 = …………… ; eln8 = ……………… ; lne3 = …………………… ; eln20 – ln4 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. eln3+ln7 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. e2ln5 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. e-ln10 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. e3ln5-2ln4 = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Résoudre les équations suivantes (arrondir à 10-3 près) :

@< � 8 ; @< � 0,5 ; 5@< � 2 ; 15@9< � 18; 8@<F* � 10

�

@<


EXERCICES

* EX 2.16. Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent des fonctions affines ?

* EX 2.17. Voici trois droites d1, d2 et d3, et deux fonctions f et g. (1 carreau = 1 unité)

Parmi les droites, trouvez les représentations de f et g. Quelle est la fonction associée à la troisième droite ?

* EX 2.18. Les nombres et leurs images sont-ils proportionnels pour les fonctions suivantes ?

Justifiez vos réponses.

: ; : ; :

: ; : ; :

2

2

33 3

1 2 1 2

f x x g x x h xx

j x x k x x l x x+ + −

֏ ֏ ֏

֏ ֏ ֏

* EX 2.19. On donne dans le graphique ci-dessous les distances d1(t) et d2(t) qui séparent deux

véliplanchistes V1 et V2 d'une bouée témoin de passage des concurrents, en fonction du temps t.

a. Donnez les valeurs d2(1) et d1(6) ; donnez la signification de ces valeurs. b. Lequel arrive le premier au niveau de la bouée ? c. Lequel est le plus lent ? Quelle est sa vitesse ? d. À quel moment un concurrent double-t-il l'autre ? e. Pendant approximativement combien de temps V1 est-il plus près de la bouée que V2 ?

* EX 2.20. Voici les expressions de trois fonctions :

( ) ( ) ( ); ;2 2 212 3 1

4u x x v x x w x x= − = − = −

et quatre paraboles P1, P2, P3, P4… Quelle est l’intruse ?

:f x x2֏

:g x x− + 2֏

( ) 21

3f x x= + ( ) 22

13

g x x= + ( ) 21

3h x

x= + ( ) ( )2

13

k x x= +

( ) ( )2 21l x x x= + − ( ) 3m x x= − ( ) 4n x =


* EX 2.21. Soit la fonction G définie sur H par :

G�� ² pour tout � appartenant à l'intervalle ]-∞ ; 1]

( ) 1h x

x= pour tout �appartenant à l'intervalle ]1 ; +∞[

a. Tracez la courbe représentative de la fonction Gaprès avoir créé et complété un tableau de valeurs qui prend -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 pour �.

b. Utilisez ce graphique pour dire combien de solutions a l'équation G�� 0,5. c. Reprendre la question b. pour les équations G�� 1 et G�� 2.

* EX 2.22. On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f :

1. Quelle est l'image de 1 par la fonction f ? 2. Donnez les valeurs f (3) et f (-2). 3. Quel est le domaine de définition de la fonction f ? 4. Quelles sont les variations de f ? Faites une phrase détaillant les intervalles sur lesquels f est croissante ou décroissante 5. Quel est le maximum de la fonction ? Quel est son minimum ? 6. Dressez le tableau de variations de la fonction f. 7. Résoudre graphiquement les équations suivantes : a. f (x) = 0 b. f (x) = 2 c. f (x) = 6

8. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a. f (x) ≤ 0 b. f (x) ≥ 2

* EX 2.23. Soit la fonction :3

21

f xx

+−

֏

a. Donnez son domaine de définition. b. Dressez un tableau de valeurs de la fonction, pour x = -2 ; -1 ; 0 ; 0,5 ; 1,5 ; 2 ; 3 ; 4. c. Représentez graphiquement la fonction f. d. Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 3. e. Résoudre par le calcul l'équation f (x) = 3.

f. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]1 ; +∞[.


* EX 2.24. On donne, dans la même figure, les

représentations graphiques de deux fonctions f et g :

a. Donnez les deux abscisses a et b pour lesquelles on a : f (a) = g(a) et f (b) = g(b).

b. Résoudre f (x) = g(x)."Résoudre..." signifie : "Trouver la ou les valeur(s) de x tel(les) que…"

c. Résoudre f (x) ≤ g(x), c'est à dire ici : donnez l'intervalle contenant les valeurs de x qui

vérifient f (x) ≤ g(x).

* EX 2.25. Dans un même repère orthonormal, tracer les courbes des fonctions34�� et @< après

avoir complété les tableaux de valeurs : x -4 -3 -2 -1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

��

x -2 -1 0 0,1 0,2 0,5 1 2 5 7 ln(x)

Le graphique obtenu possède un axe de symétrie. Le tracer et en donner une équation.

* EX 2.26. À l’aide de la calculatrice, trouver les valeurs des réels suivants :

% � @IJ9�$ � ln@9� 0 � ln2 5 3� K � ln2� � ln3� Que constate-t-on ? Fait-on le même constat si on remplace 2 et 3 par d’autres réels ?

* EX 2.27. Simplifier en utilisant les propriétés de l’exponentielle a) eln3 b) e2ln2 c) e-ln5 d) eln2 + ln5 e) e2ln3 + 3ln2

* EX 2.28. Résoudre les équations suivantes (arrondir à 10-3 près) : a) ex = 4 b) 3ex = 2 c) 6e2x = 1 d) 2e5x = 4 e) 5ex+1 = 2 f) ex-3 = 4 g) e-0,5x = 0,4


3 Utilisation de la calculatrice (tableau de valeurs, courbe) Activité 1 : Voici deux fonctions définies sur [-4 ; 4 ] par : �� ²et'�� 2� + 3 Créer puis compléter le tableau de valeurs à l’aide de la calculatrice : MENU TABLE Réglages :

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) g(x)

Tracer ces deux fonctions sur le même repère à la calculatrice : MENU GRAPH Réglages : Allure des graphiques : Déterminer les points d’intersection entre ces deux fonctions. Touche intersection : En déduire les solutions de l’équation �² = 2� + 3 Résoudre avec la calculatrice l’équation �² = 2� + 3 : MENU EQUA ou utilisation du discriminant ∆ Activité 2 : étude d’un bénéfice Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production dépend de la quantité � . Ce coût est modélisé par la fonction définie par �(�) = ��² − OP� + �QQ sur l’intervalle [0 ; 30]. Le prix de vente est fixé à 20 € l’unité ; ce prix est modélisé par la fonction 'définie par R(�) = �P�. Pour quelles valeurs de � l’entreprise fait-elle des bénéfices ? Créer un tableau de valeurs à la calculatrice puis la représentation graphique des fonctions et ' pour � ∈ [0; 30]. Dessiner l’allure des courbes obtenues : Résoudre graphiquement l’équation (�) = '(�). En déduire les valeurs de � pour lesquelles l’entreprise fait des bénéfices. Rappel : l’entreprise réalise des bénéfices lorsque le prix de vente

est supérieur au coût de production.

Créer la représentation graphique de la fonction bénéfice. Rappel sur le bénéfice : Réaliser le tableau de signes de la fonction bénéfice : Déterminer la valeur de � pour laquelle le bénéfice est maximal. Utilisation de la touche MAX :


EXERCICES

* EX 2.29. Dans chaque cas, vous devez compléter le tableau de valeurs donné, en utilisant

l'expression de la fonction, puis obtenir une courbe sur calculatrice, couvrant au moins l’intervalle

envisagé par le tableau de valeurs : a. f (x) = x² - 4

x -2 -1 0 1 2

f (x)

b. f (x) = -x ² + 3x - 1

x -1 0 3 4 5

f (x) -5

c. f (x) = (x - 4)² - 6

x 2 3 4 5 6

f (x)

( ). 21 3d 5

2 2f x x x= + −

x -4 -3 -1,5 1 3

f (x)

* EX 2.30. Une entreprise produit des bracelets. Le coût de fabrication C, en €, dépend de la quantité

�de bracelets fabriqués : V�� 0,2�² − 6� + 50.

Le prix de vente est fixé à 6 € l’unité, soit W(�) = 6�. a) Créer un tableau de valeurs et réaliser la représentation graphique montrant l’évolution du coût de production et du prix de vente en fonction de la quantité, sur l’intervalle [0 ; 60]. b) Résoudre graphiquement l’équation V(�) = W(�) (arrondir les solutions à 10-1 près). c)Tracer la représentation graphique du bénéfice. d) Construire le tableau de signe correspondant au bénéfice. e) En déduire les quantités pour lesquelles l’entreprise fait des bénéfices. f) Déterminer la quantité pour laquelle le bénéfice est maximal.

* EX 2.31. Soient les fonctions f et g définies par (�) = 9*X6

<@Y'(�) = 0,75� − 72 sur

l’intervalle [20 ; 160]. a) Créer un tableau de valeurs pour chaque fonction, puis réaliser leur représentation graphique sur l’intervalle [20 ; 160] (prendre un pas de 20). b) Pour quelle valeur de � a-t-on (�) = '(�) ? c) Créer la représentation graphique de la fonction ℎ = + '. d) Déterminer le minimum de cette fonction ℎ .

* EX 2.32. Croissance exponentielle – diagramme logarithmique

On a vu avec la notion d’intérêts composés que le capital possédé sur un compte rémunéré augmentait « de plus en plus vite » en fonction de la durée. Plus précisément, on est en droit d’utiliser la formule :

( )n

nC C t= +0 1 dans laquelle C0 est le capital placé initialement sur le compte, t est le taux d’intérêts

périodique (par exemple : annuel), n est le nombre de périodes écoulées depuis le début (par exemple : le nombre d’années) et à ce moment-là Cn indique le montant présent sur le compte au bout de la durée n.


Supposons fixés le capital initial (1000 €) ainsi que le taux d’intérêts annuel (8%). Dans ces conditions, la

formule ci-dessus s’écrit : ,1000 1 08nnC = × . Le montant présent sur le compte est uniquement

fonction de la durée. Pour se rapprocher du langage des fonctions, notons x la durée (au lieu de n) et f (x) le montant (au lieu

de Cn) : ( ) ,1000 1 08 xf x = × . Nous avons affaire à une fonction dite exponentielle. Le nombre 1,08 étant

supérieur à 1, cette fonction est strictement croissance (et on parle ici de croissance exponentielle). 1) Obtenir sur calculatrice un tableau de valeurs puis une courbe, pour des durées comprises entre 0 et

30 ans. 2) Vérifier, grâce à la courbe ou au tableau de valeurs, que votre somme aura doublé en neuf ans. 3) Une croissance exponentielle veut que, pour chaque ajout identique à la variable, un facteur

identique s’applique à la fonction. Plus clairement : si la somme a été multipliée par deux en neuf ans, alors elle sera encore multipliée par deux en neuf ans de plus. Vérifier que la somme atteint effectivement 4000 € au bout de 18 ans. Que sera devenu notre montant au bout de 27 ans ? Vérifier.

4) Le diagramme ci-dessous présente une échelle étrange sur l’axe vertical : c’est une échelle logarithmique, dans laquelle les valeurs augmentent de plus en plus lentement, au rythme d’une fonction logarithme. Ce diagramme est censé rendre plus aisée la représentation graphique d’une fonction exponentielle. Réaliser la représentation de notre fonction sur ce diagramme, puis commenter.

5) Représenter sur ce même diagramme l’évolution pendant 30 ans d’un montant initial de 1000 € placé cette fois à 15% annuels.


4 Dérivation, étude de variations, extrema

4.1 Activité : vitesse moyenne/vitesse instantanée

Une masse ponctuelle est lâchée à l’instant 0 et tombe sous l’effet de la pesanteur.

On peut montrer qu’en l’absence de frottement, la distance parcourue à l’instant t est : �� Z�²

où t est exprimé en secondes, ( )f t en mètres

1) Compléter le tableau de valeur suivant, donnant la distance totale de chute à certains instants :

instant t (secondes) 0 1 2 3 4

distance (mètres) 0 5

2) Tracer la représentation graphique de cette fonction : 3) a. Calculer la vitesse moyenne de cette masse pendant les deux premières secondes de chute. b. Calculer la vitesse moyenne de cette masse entre t = 1 s et t = 2 s. c. Pour tout instant t >1, exprimer V1(t), vitesse moyenne de la masse entre les deux instants t = 1 et t, en fonction de t. d. Compléter le tableau de valeurs suivant, donnant la vitesse moyenne V1(t) de la masse entre les deux

instants t = 1 et quelques valeurs de t proposées :

instant t (secondes) 1,01 1,02 1,1 2 2,5 3

vitesse moyenne entre 1 sec et t sec (mètres/seconde)

10,05

e. Vers quelle valeur semble « tendre » V1(t) lorsque t est de plus en plus proche de 1 ? Quelle signification physique donner à cette valeur en particulier ?


4.2 Rappels sur la notion de nombre dérivé

Si A(a ; f(a)) et B(a + h ; f(a + h)) sont deux points de la courbe représentant la fonction f,

alors la droite (AB) a pour coefficient directeur ou pente : ∆[∆<

C’est ce qu’on appelle taux de variation. Ex : calculer le taux de variation de la fonction �� 5�² Pour � = 1 et ∆� � 0,1 Lorsque B se rapproche de A, ce coefficient directeur se rapproche, en général, d'une valeur limite. On dit alors que la fonction est dérivable en � � % et on appelle cette limite : nombre dérivé de f en a. On le note ’%�.

Ce nombre dérivé est donc la pente de la tangente à la courbe en A (pente de la courbe au point A).

4.3 Fonction dérivée

Une fonction est dérivable sur un intervalle I si sa courbe admet, en tout point dont l'abscisse est dans I, une tangente, c'est-à-dire une droite que l'on peut confondre avec la courbe si l'on est suffisamment près du point de contact. La fonction dérivée de f, notée f' , est la fonction qui, à tout réel � de I, associe le nombre dérivé ’��. Elle correspond à la pente de la courbe pour chaque valeur de �.

Rappels sur la dérivation de �] : Si �� B�A^_`�a�� B�Bb�

On obtient :

• Si �� *%3cde a�� • Si �� 9%3cde a��

• Si �� f< � �bf%3cde a��

• Si �� √� � �f/*%3cde a��


Tableau des fonctions dérivées :

Fonction f Fonction dérivée f ‘

�� %� � $ ‘�� %

�� ] a�� 4�]bf

�� ln(�) ‘(�) =1�

(�) = @< (�) = @<

Produit par un coefficient i. (�) i. ‘(�)

Somme de 2 fonctions j + k j‘ + k‘

Produit de 2 fonctions j × k ja × k + j × k′

Quotient entre 2 fonctions m

n

jak − jk′k²

4.4 Dérivées plus complexes :

Si �(�) = �op(�)q r�stu�a(�) = pv(�)

p(�)

Si �(�) = �p(�)r�stu�a(�) = pa(�) × �p(�) EXERCICES

* EX 2.33. Dériver la fonction dans les cas suivants :

a) (�) = 9

*� − 5

b) (�) = −�² + 3� − 10

c) (�) = −4�9 + 2�² − 5� + 1

d) (�) = 3 − 5�²

e) (�) = (3� − 1)(�* + 2)

f) (�) = (5� − 2)²

g) (�) = f

fbw< j) (�) = ln(3� + 2)

k) (�) = ln(−�* + 3)

h) (�) = b9

*<bf l) (�) = @*<bf

m) (�) = @xb<

i) (�) = *<bf9<F*

n) (�) = 3@y,x< + 3�²


4.5 Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction – recherche de

l’extremum

Propriétés à connaître : Soit � une fonction dérivable sur un intervalle I :

• Pour tout � ∈ I , �’�� z 0 ⟺ � est strictement croissante sur I (symbolisé par une flèche )

• Pour tout � ∈ I, �’�� | 0 ⟺ �est strictement décroissante sur I(symbolisé par )

• Pour tout � ∈ I , �’�� P ⟺ � est constante sur I

• Pour déterminer l’abscisse d’un extremum (maximum ou minimum) d’une fonction, il faudra

résoudre l’équation �’�� P. Exemple :

Soit une fonction définie sur l’intervalle [-4 ;4] et dont la courbe est représentée ci-contre :

- Pour quelles valeurs de � la dérivée ’�� est-elle égale à 0 ?

- Compléter le

tableau de

variations

de la fonction :

4.6 Applications

Application 1 : marge maximale Dans une entreprise, la marge réalisée est fonction du nombre d’articles fabriqués et vendus. Elle est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [10 ; 80] par �� 3�² � 324� � 1000 Problématique : pour quelle quantité la marge est-elle maximale ? a) Recherche à la calculatrice : menu TABLE

� 10 20 30 40 50 60 70 80

��

Allure de la courbe avec le menu GRAPH : Réponse à la problématique:

Valeurs de �

Signe de ’

Variations de


b) Recherche avec la fonction dérivée

• Déterminer ’(�) la dérivée de (�)

• Résoudre l’équation ’(�) = 0

• Étudier le signe de ’

• Construire le tableau de variations de la fonction c) Répondre à la problématique. Application 2. Bénéfice : Une usine fabrique et vend un certain type de produit. Le coût de fabrication est modélisé par la fonction V définie par V(�) = 0,02�9 − 2,1�* + 74� + 80 sur l’intervalle [0 ; 100]. Chaque produit est ensuite vendu 38 €. a) Déterminer l’expression du bénéfice B en fonction de �. b) Déterminer la dérivée B’ de B. c) Résoudre l’équation B’(x) =0. d) Étudier le signe de la dérivée B’.

e) Construire le tableau de variations de la fonction B. f) En déduire le nombre de produits permettant d’obtenir un bénéfice maximal. Application 3. Coût moyen : Le coût total de production d'un article varie en fonction du nombre d'objets fabriqués �suivant la formule V(�) = �² − 24� + 225

a) Déterminer le coût moyen unitaire Cm = }(<)

<

b) Calculer la dérivée C 'm c) Déterminer la valeur de � qui annule la dérivée C 'm d) Étudier le signe de la dérivée C 'm e) Construire le tableau de variations de Cm. f) En déduire la valeur minimale du coût unitaire Cm.

g) Représenter graphiquement Cm pour �compris entre 5 et 25 et vérifier votre réponse.


Application 4. Coût marginal : Une entreprise fabrique chaque mois entre 1000 et 6000 téléviseurs. On appelle � le nombre d’appareils produits ; le coût de production est donné par V�� 0,003�² + 60� + 48000

a) Calculer le coût pour 1000 téléviseurs ; puis de 1001 téléviseurs. b) En déduire l’augmentation de coût entrainé par le 1001ème téléviseur ; ce coût est appelé « coût

marginal », c’est le coût supplémentaire pour fabriquer un objet supplémentaire. c) Déterminer la dérivée C’ de C. d) Calculer C’(1000) et comparer ce résultat avec celui de la réponse b).

On appelle coût moyen Cm le coût de production pour 1 téléviseur : Cm = }(<)

<

e) Déterminer Cm

f) A l’aide de la calculatrice, représenter graphiquement les fonctions C’ et Cm sur l’intervalle [1000 ; 6000]. Dessiner l’allure des courbes obtenues :

g) La production est optimale lorsque le coût marginal est égal au coût moyen. Déterminer

graphiquement le nombre de téléviseurs à produire pour optimiser la production. Application 5. Étude d’une fonction exponentielle Soit la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 0,5] par (�) = 20@9< a) Réaliser un tableau de valeurs et la représentation graphique sur l’intervalle [0 ; 0,5]

� 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

(�)

b) Dessiner l’allure de la courbe. c) Déterminer la dérivée ’de fla fonction d) Résoudre l’équation ’(�) = 0. Que peut-on en déduire ? e) Étudier le signe de cette dérivée. e) Construire le tableau de variations de la fonction . f) Déterminer graphiquement, à l’aide de la calculatrice, la valeur de �pour laquelle (�) = 40 g) Résoudre l’équation (�) = 40.


EXERCICES

* EX 2.34. Dans un hypermarché, un samedi, le nombre de clients présents dans le magasin en

fonction de l’heure peut être déterminé par la fonction mathématique telle que :

�� O, Q�� + ��Z�² − ��~Z� + ��ZPPavec � qui représente les horaires d’ouverture, compris entre 10 h et 20 h

et �(�): le nombre de clients arrondi au nombre entier le plus proche. Plus il y a de clients dans l’hypermarché, plus il faut prévoir du personnel à la caisse. Problématique : à quelle(s) heure(s) faut-il prévoir un maximum et un minimum de personnel à la caisse ? 1. Étude graphique avec la calculatrice :

a) Réaliser un tableau de valeurs :

� 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(�)

b) Réaliser la représentation graphique de la fonction f et répondre à la problématique. 2. Étude de la fonction

a) Déterminer la dérivée ’ b) Résoudre l’équation ’(�) = 0 c) Étudier le signe de la dérivée. d) Construire le tableau de variations de la fonction e) Répondre à la problématique.

* EX 2.35. La consommation d’essence V(en litres) d’un véhicule dépend, entre autres, de sa vitesse k

(en km/h). Cette consommation est donnée par la fonction V sur l’intervalle [40 ; 90] définie par :

�(�) = P, P��+�ZP�

1. Calculer la consommation d’un véhicule roulant à 50 km/h, à 70 km/h et à 90 km/h . 2. a) Déterminer la dérivée V’de la fonction V. b) étudier le signe de V’. c) Construire le tableau de variations de la fonction V.

3. À quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale ? Quelle est cette consommation ?

4. Tracer la représentation graphique de la fonction V à la calculatrice et vérifier votre réponse.

* EX 2.36. La centrale nucléaire du Tricastin comprend quatre réacteurs à eau pressurisée utilisant

annuellement 88 kg de combustible nucléaire chacun. Une fois retiré du réacteur, ce combustible

contient des déchets radioactifs. La masse � (en kg) de ces déchets évolue en fonction du temps

noté Y, exprimé en millions d’années, selon la loi suivante :

�(�) = �, ��b�,�.�P�O�

1. Calculer la masse de déchets radioactifs au moment où l’on retire le combustible du réacteur (instant Y = 0) 2. Réaliser et compléter le tableau de valeurs de la fonction � sur l’intervalle [0 ; 3000] (arrondir à 10-2)

Y 0 100 200 300 400 500 600 800 1000 1500 2000 2500 3000

�(Y)

3. Tracer la représentation graphique de la fonction � à la calculatrice. 4. Déterminer la dérivée �’, puis indiquer le signe de cette dérivée. 5. Construire le tableau de variations de la fonction �. 6. À l’aide du menu GRAPH de la calculatrice, estimer le temps au bout duquel la masse de déchets radioactifs a été réduite de moitié par rapport à la masse initiale. 7. Retrouver cette valeur du temps Y en résolvant l’équation : �(Y) = 1,3. (arrondir le résultat à l’unité).


8. On évalue à environ 5 milliards d’années la durée de vie restant à notre soleil. a) Quelle serait, à ce moment-là, la masse de déchets radioactifs ? b) Ces déchets peuvent-ils être complètement dégradés ?

* EX 2.37. Soit la fonction définie sur l’intervalle [-2 ; 4] par �� b��

1. Déterminer la dérivée ’de la fonction . 2. Résoudre l’équation ’(�) = 0. 3. Étudier le signe de ’. 4. En déduire le tableau de variations de . 5. Réaliser le tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction sur la calculatrice et vérifier votre tableau de variations.

* EX 2.38. Le taux d’anticorps présents dans le sang d’un jeune enfant est lié à l’âge. Depuis la

naissance jusqu’à deux ans, on considère que cette relation est donnée par :

�(�) = �� + �� − ��(�� + �) V : taux d’anticorps en g/L

Y: l’âge du jeune enfant en années 1. Calculer le taux d’anticorps à la naissance ; puis à deux ans. 2. On modélise le taux d’anticorps par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par : (�) = 12� + 12 − 12ln(3� + 1)

a) Réaliser le tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction sur la calculatrice. (prendre un pas de 0,1) b) Déterminer la dérivée ’de la fonction .

c) Résoudre l’équation ’(�) = 0. d) Étudier le signe de ’. e) En déduire le tableau de variations de .

3. Indiquer l’âge pour lequel le taux d’anticorps est minimal (arrondir au mois) 4. À quel âge le jeune enfant retrouve-t-il le même taux d’anticorps qu’à sa naissance ?

Remise à niveau 2 : FONCTIONS...Le graphique obtenu montre la distance parcourue par...

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