RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 1/11

Quelques mots à propos de

RELATIVITE RESTREINTE

Ces quelques mots sont centrés sur le postulat de l’invariance de la vitesse de la lumière. Nous

commençons donc par l’énoncer et le commenter. Puis nous en déduisons une de ses conséquences,

la relativité du temps. Enfin pour formuler cette relativité nous introduisons les notions

d’évènements, de durée propre et de durée mesurée.

Commençons donc par ce postulat.

A. L’invariance de la vitesse de la lumière

1. Le postulat

Dans sa théorie de la Relativité restreinte Albert Einstein postule que :

La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens

Ce qui conduit à cinq questions (au moins !) :

Qu’est-ce que la Relativité restreinte ?

Qu’est-ce qu’un référentiel ?

Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen ?

Pourquoi Einstein a-t-il posé ce postulat ?

Pourquoi s’étonner que la vitesse de la lumière soit identique dans tous les référentiels

galiléens ?

2. Qu’est-ce que la Relativité restreinte ?

Cette question trouvera une réponse au moins partielle quand nous aurons répondu aux autres.

Cependant nous pouvons dès maintenant brosser un tableau succinct de la Relativité.

Albert Einstein a construit deux théories, la Relativité restreinte et la Relativité générale. La

première modifie les notions d’espace et de temps tels qu’on les connaissait en Physique

classique ainsi que dans la vie courante. La seconde modifie la façon dont la Physique étudie la

gravitation.

3. Qu’est-ce qu’un référentiel, qu’est-ce qu’un référentiel galiléen ?

Le premier complément « Référentiels » attaché à ce chapitre répond aux deux questions en

rappelant le cours de Mécanique classique (dite aussi newtonienne). En effet la notion de

référentiel et celle de référentiel galiléen sont tout aussi fondamentales en Mécanique relativiste

qu’en Mécanique classique. Rappelons succinctement ces notions :

Un référentiel est un solide imaginaire parfaitement rigide par rapport auquel on observe

les mouvements, par rapport auquel on mesure les déplacements.

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 2/11

Les référentiels galiléens sont ceux dans lesquels les trois lois de Newton s’appliquent

(loi de l’inertie, loi des actions réciproques, loi fondamentale de la Dynamique). Nous

nous concentrerons sur la loi de l’inertie dans le paragraphe 5.b. suivant.

4. Pourquoi Albert Einstein a-t-il posé ce postulat ?

Le deuxième complément « Expérience du miroir » répondra à cette question en suivant les

interrogations d’Einstein. Mais cela sort du cadre du nouveau programme de Terminale S.

5. Pourquoi s’étonner ?

a) Le triomphe newtonien

Pour répondre à cette question il faut prendre conscience de l’état de la Mécanique à la fin du

19e siècle. La mécanique newtonienne triomphe car elle explique tous les mouvements

terrestres et célestes. L’exemple de la découverte de Neptune est significatif. On n’arrivait pas à

calculer la trajectoire d’Uranus ce qui conduisait soit à mettre en doute la mécanique

newtonienne, soit à postuler l’existence d’une planète perturbatrice pas encore connue. En 1845

l’anglais John Adams établit la trajectoire de la planète hypothétique mais les astronomes

anglais ne se mobilisent pas pour la trouver. En 1846 le français Urbain Le Verrier calcule sa

trajectoire et demande à l’allemand Johann Galle de la rechercher ; celui-ci l’observe quelques

jours plus tard. D’où le triomphe newtonien. Les bases de la Mécanique semblaient donc bien

établies. Et elles conduisaient à une vitesse de la lumière dépendante du référentiel. C’est ce que

nous allons voir dans les paragraphes suivants.

b) Expérience de composition des vitesses

La loi de l’inertie s’énonce ainsi : Un corps qui n’est soumis à aucune force possède un

mouvement rectiligne et uniforme. Ceci ne peut être vrai que dans certains référentiels qui sont

appelés galiléens.

Nous allons réaliser une expérience sur la table à coussin d’air. La table est horizontale. Nous

posons dessus deux feuilles enregistreuses, la première restera immobile (fixée à la table) et

nous ferons bouger la seconde grâce à deux poignées en ruban adhésif. Sur l’ensemble nous

posons un mobile autoporteur. Un expérimentateur lance le mobile tandis qu’un autre

déclenche les étincelles et qu’un troisième tire sur la feuille mobile en lui donnant un

mouvement très quelconque.

La première feuille est rigidement liée au référentiel « Terre ». Dans ce référentiel, le mobile est

soumis à deux forces (son poids et l’action du coussin d’air) qui se compensent. Donc à une

force totale qui est nulle. Sur cette feuille le mouvement enregistré est rectiligne et uniforme. Le

référentiel « Terre » est ici galiléen.

Tandis que le référentiel constitué par la feuille mobile ne l’est pas. En effet le mouvement du

mobile autoporteur n’est pas rectiligne et uniforme par rapport au référentiel « feuille mobile ».

Remarque : La trajectoire d’un mobile est relative au référentiel. Nous rencontrons ainsi un

premier exemple de relativité en Physique.

Cependant lorsqu’on donne à la feuille mobile un mouvement rectiligne et uniforme par rapport

à la table (si on y arrive !), le mouvement du mobile autoporteur est rectiligne et uniforme dans

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 3/11

ce nouveau référentiel qui constitue donc un autre référentiel galiléen. Mais la vitesse du mobile

n’est pas la même dans les deux référentiels galiléens (la feuille fixée à la table et la feuille

mobile).

c) Loi galiléenne de composition des vitesses

Explicitons cette modification de la vitesse sur un autre exemple emprunté à Albert Einstein.

Un train se déplace à la vitesse constante de 108 km/h = 30 m/s sur une voie rectiligne. Un

voyageur se déplace (lentement) dans l’allée centrale à la vitesse constante de 3,6 km/h = 1m/s

vers l’avant du train.

Analysons la situation en précisant les référentiels et les vitesses : Le train se déplace par

rapport au référentiel Terre à la vitesse VTrain/Terre = 108 km/h. Le voyageur se déplace par

rapport au référentiel Train à la vitesse VVoyageur/Train = 3,6 km/h.

Figure 1 : Loi galiléenne de composition des vitesses

La loi galiléenne de composition des vitesses s’écrit alors ainsi : La vitesse du voyageur par

rapport au référentiel Terre est la somme de sa vitesse par rapport au wagon et de celle du

wagon par rapport à la Terre.

/ / /Voyageur Terre Train Terre Voyageur TrainV V V = 108 + 3,6 km/h =111,6 km/h

Pour ceux que cette loi de composition des vitesses laisse perplexes, nous pouvons la justifier

ainsi : En une seconde, le voyageur parcourt VVoyageur/Train x 1 = 1 mètre par rapport au train.

Pendant la même durée le train a parcouru VTrain/Terre x 1 = 30 mètres par rapport à la Terre. Au

total le voyageur s’est « donc » déplacé de (VVoyageur/Train + VTrain/Terre ) x 1 = 31 mètres par rapport

à la Terre.

Lorsque le voyageur se dirige vers l’arrière du train, la loi devient :

/ / / 108 3,6 km/h =104,4 km/hVoyageur Terre Train Terre Voyageur TrainV V V

Il y a contradiction entre la loi galiléenne de composition des vitesses et le postulat de la

relativité restreinte sur la vitesse de la lumière. En effet si on remplace le voyageur par un flash

lumineux sa vitesse par rapport au quai serait 300 000 030 m/s en appliquant la loi galiléenne

de composition des vitesses. Or ce n’est pas ce que la théorie relativiste et l’expérience

montrent.

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 4/11

De multiples expériences confirment la validité du postulat d’Albert Einstein. L’expérience de

Michelson et Morley est l’une d’elles. Voir paragraphe 6 ci-après. Notons que déjà le 19e siècle

avait vu l’essor de l’électromagnétisme dont les équations donnent à la lumière une vitesse

identique dans tous les référentiels galiléens. La loi galiléenne de composition est donc erronée.

Le complément « Composition relativiste » donne la loi relativiste de composition des vitesses

et l’utilise dans quelques exemples. (Hors programme de terminale S.)

6. Expérience de Michelson et Morley 18871

Cette expérience, décrite dans de nombreux ouvrages, a été refaite maintes et maintes fois en

utilisant des dispositifs toujours plus performants et dans des conditions très variées ; avec la

précision atteinte actuellement, on peut déduire que la vitesse de la lumière reste bien

identique dans toutes les directions de l’espace à 0,5 mm/s près.

On supposait à l’époque que la vitesse de la lumière par rapport à un milieu hypothétique

support de l’onde lumineuse, appelé « éther », était égale à c. L’objectif de l’expérience était de

mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à l’éther. Pour cela on utilisa le

mouvement de la Terre sur son orbite autour du Soleil dont la vitesse est de l’ordre de 30 km.s-1.

Ainsi selon une vision classique de la mécanique, la vitesse de la lumière devait, soit être plus

grande, soit plus petite, selon la manière dont s’effectue la composition des vitesses. Les

variations relatives de la vitesse étant de l’ordre de 10-4, Michelson eut l’idée de recourir à une

méthode optique.

Figure 2 : Expérience de Michelson et Morley

La lumière émise par une source est partiellement transmise ou réfléchie par la lame semi-

réfléchissante et peut emprunter ainsi deux chemins différents. Les deux ondes peuvent alors

interférer au niveau de la lunette où l’on observe des franges d’interférence. Le dispositif, placé

sur un bloc de pierre, repose sur une pièce en bois placée sur un bain de mercure. Ce dispositif

dont la taille est de l’ordre du mètre permet de réduire les vibrations et de faire tourner

lentement l’interféromètre autour d’un axe vertical.

Sans entrer dans le détail des calculs, si l’on note v la vitesse du laboratoire par rapport à l’éther

et si on adopte la configuration décrite sur la figure ci-dessus, puis celle où l’appareil a effectué

une rotation de 90°, ce qui permet d’échanger le rôle des deux voies de l’interféromètre, la

1 Ce paragraphe est entièrement repris du document Eduscol « Temps et relativité ».

Vitesse par rapport à l’éther

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 5/11

différence Δt des différences des durées de parcours de la lumière entre le trajet utilisant M1 et

celui utilisant M2 est donnée par l’expression :

2

1 23( )

vt l l

c

En utilisant un repliement astucieux des rayons, la longueur des bras était de l’ordre de 11 m et

ainsi pour une longueur d’onde de 550 nm, on s’attendait à un déplacement de 0,4 frange ; la

sensibilité du dispositif permettait alors de détecter une variation de l’ordre de 0,01 frange.

Le résultat de l’expérience fût clairement négatif ; ainsi en prenant en compte d’autres

arguments comme l’observation de l’aberration des étoiles, les physiciens ont commencé à

douter sérieusement de l’existence de l’éther.

Voir d’autres expériences dans le complément « Invariance de la vitesse de la lumière ».

7. Conséquences : Relativité du temps et de l’espace

La vitesse de la lumière dans le vide est donc bien identique dans tous les référentiels galiléens.

Comme toutes les vitesses, elle est le quotient d’une longueur par une durée et pour obtenir le

même quotient il faut que le numérateur et le dénominateur changent simultanément. Donc

pour que la vitesse de la lumière ne dépende pas du référentiel il faut que les durées et les

longueurs en dépendent, qu’elles soient « relatives » au référentiel.

Et cela ne peut pas être vrai uniquement pour la vitesse de la lumière. Les durées et les

longueurs dépendent du référentiel même pour des mouvements ne s’effectuant pas à la vitesse

de la lumière. Cette relativité est commune à tous les référentiels et à tous les phénomènes.

Dans la Mécanique newtonienne il existait un espace absolu. Les mouvements réalisés dans cet

espace absolu étaient étudiés par rapport à différents référentiels d’espace. Il existait aussi un

temps absolu qui s’écoulait de la même façon dans tous les référentiels d’espace. On ne prenait

donc souvent pas la peine de préciser que l’on utilisait aussi un référentiel de temps, c’est-à-dire

une horloge. En Mécanique einsteinienne, il est indispensable de préciser le référentiel

d’espace-temps choisi car les durées et les longueurs sont relatives.

Le temps et l’espace sont relatifs à un référentiel d’espace-temps.

Le programme se restreint (!) à la relativité du temps.

Nous allons voir comment les durées changent avec le référentiel. Nous commençons par la

description qualitative et quantitative d’une « horloge de lumière » puis nous formaliserons et

généraliserons les résultats en précisant les référentiels d’espace-temps utilisés et les repères

choisis.

B. Relativité du temps

1. Expérience de l’horloge de lumière

Dans un wagon pouvant se déplacer à la vitesse v constante sur une voie rectiligne se trouvent

sur le sol, pratiquement au même endroit, une source de lumière et un récepteur. Un miroir

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 6/11

horizontal est collé au plafond du wagon. Nous allons utiliser deux référentiels galiléens, le quai

et le wagon. (Le référentiel « quai » peut aussi se nommer « voie ferrée » ou « Terre ».)

a) Dans le référentiel du wagon

La source émet un bip lumineux, c’est le « tic » de l’horloge. Le bip voyage à la vitesse de la

lumière jusqu’au miroir, s’y réfléchit, voyage à nouveau à la vitesse de la lumière jusqu’au

récepteur, c’est le « tac » de l’horloge.

Figure 3 : Horloge de lumière dans le référentiel du wagon

Calculons la durée d’un tic-tac dans le référentiel galiléen lié au wagon :

(1) 2h h h

tc c c

Nous avons utilisé le fait que la vitesse de la lumière vaut la même valeur c dans tous les

référentiels galiléens, ici celui du wagon.

b) Dans le référentiel du quai

Calculons la durée t’ d’un tic-tac dans le référentiel lié au quai. Le bip parcourt maintenant une

longueur 2l plus grande que 2h. Voir figure 4, page suivante.

Nous utilisons encore le fait que la vitesse de la lumière vaut la même valeur c dans tous les

référentiels galiléens, ici celui du quai. Donc à une longueur parcourue plus longue, correspond

une durée de tic-tac plus longue dans le référentiel lié au quai que dans celui lié au wagon :

(2) ' 2l l l

tc c c

D’après le théorème de Pythagore2 :

2 Nous admettons qu’il n’y a pas contraction des longueurs dans une direction perpendiculaire à celle du

mouvement. C’est-à-dire que la hauteur h est la même dans les deux référentiels, wagon et quai.

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 7/11

2 22 2 2(3)

2 4

d dl h h

Figure 4 : Horloge de lumière dans le référentiel du quai

Dans le référentiel lié au quai, la distance d est parcourue par le train à la vitesse v en une durée3

t’ :

(4) 'd v t

De la relation (2) nous tirons :

2

2

'

2

( ')(5)

4

c tl

c tl

En remplaçant les expressions (4) et (5) dans la relation (3), nous obtenons t’ :

2 22

22

2 2

2 2

( ') ( ')

4 4

( ') 4

(6) ' 2

c t v th

ht

c v

ht

c v

3 La mesure de t’ nécessite deux horloges synchronisées situées au début et à la fin du quai utile. Voir RR1 Ce.

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 8/11

Cette dernière relation donne la durée du tic-tac dans le référentiel lié au quai en fonction de la

distance source-miroir dans le wagon ainsi que des vitesses du wagon et de la lumière.

Elle est en effet plus longue que la durée du tic-tac dans le référentiel lié au wagon puisque le

dénominateur est plus petit que la vitesse de la lumière.

2. Commentaires importants

a) Aucun objet ne peut atteindre la vitesse de la lumière

La vitesse d’un objet ne peut jamais atteindre la vitesse de la lumière. En effet c2 – v2 doit être

positif puisqu’on en prend la racine carrée.

En 1964, l’expérience de Bertozzi consista à mesurer la vitesse d’électrons accélérés par une

tension électrique. Les résultats expérimentaux ont été en accord avec les résultats théoriques

de la Relativité restreinte. En particulier plus la tension électrique est grande, plus la vitesse de

l’électron se rapproche de celle de la lumière mais sans jamais l’atteindre.

b) Relation entre les deux durées t et t’

Nous allons préciser cette relation en faisant apparaître explicitement dans la durée t’ la

durée t :

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

'1

1 1

h h h

tc c ctc v v vc v

c c c c

c) Réciprocité

Si une horloge de lumière identique est posée sur le quai et qu’un voyageur dans le wagon

observe son tic-tac, il mesurera la durée t’ tandis que le voyageur attendant sur le quai

mesurera la durée t. En effet le rapport entre ces deux durées ne dépend que de la vitesse

relative du quai et du wagon.

d) Le coefficient et le choix entre mécanique classique et relativiste

On introduit le coefficient relativiste

't t

2

2

1

1v

c

Le coefficient est toujours plus grand que 1. Voir figure 5, tableau inspiré de celui d’Eduscol.

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 9/11

Au repos v = 0

γ = 1

Vélo v = 20 km/h = 0,006 km/s

γ = 1 + 1,7x10-16

TGV v = 300 km/h = 0,083 km/s

γ = 1 + 3,9x10-14

Navette spatiale v = 7,7 km/s

γ = 1 + 3,3x10-10

Muons cosmiques : v = 0,993c

γ = 8,5

Figure 5 : Différentes valeurs du coefficient gamma

Nous constatons que lorsque la vitesse est faible devant celle de la lumière le coefficient est

pratiquement égal à 1. Ce qui veut dire qu’il n’y a pratiquement pas de différence entre les deux

durées, la dilatation des durées devient négligeable.

Cela montre qu’aux faibles vitesses il est inutile de faire appel à la Mécanique relativiste, la

Mécanique newtonienne suffit.

3. Evènements, durée propre, durée mesurée, dilatation des durées

Figure 6 : Le référentiel d'espace-temps du wagon et le repère choisi dans ce référentiel

Nous allons préciser et généraliser la formulation du résultat précédent. Pour cela nous

définissons dans chaque référentiel un repère d’espace et de temps, respectivement (O, x, y, z, t)

y

x

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 10/11

et (O, x’, y’, z’, t’). Nous matérialisons le référentiel d’espace-temps par une série de règles et

d’horloges. Le repère d’espace choisi est figuré par les deux axes (Ox) et (Oy). L’axe (Oz) n’est

pas représenté, il est orienté vers l’avant de la feuille. Le repère de temps n’est pas symbolisé.

Dans le référentiel lié au wagon, l’origine du repère d’espace est le lieu de la source et du

récepteur, l’origine des dates est la date d’émission du tic. Dans le référentiel lié au quai,

l’origine du repère d’espace est le lieu de la source et du récepteur à l’instant de l’émission du

tic, l’origine des dates est la date d’émission du tic.

a) Evènements

Dans le référentiel lié au wagon et dans celui lié au quai, nous avons considéré deux

évènements, émission du tic et réception du tac :

(Evènement 1) = émission du tic par la source

(Evènement 2) = réception du tac par le récepteur

Les évènements sont définis dans l’espace-temps et sont indépendants du référentiel.

b) Durée propre

Par définition on appelle durée propre d’un phénomène, la durée qui sépare les dates de deux

évènements s’étant produits en un même lieu.

La durée observée dans le référentiel lié au wagon est donc la durée propre du tic-tac.

(Evènement 1) = émission du tic par la source = (x1 =0, y1 = 0, z1 = 0, t1 = 0)

(Evènement 2) = réception du tac par le récepteur = (x2 =0, y2 = 0, z2 = 0, t2 = t)

Figure 7 : Les deux repères choisis, un pour chaque référentiel

c) Durée mesurée, dilatation des durées

Dans le référentiel lié au quai, ces deux évènements se sont produits en deux lieux différents, la

durée mesurée est toujours plus grande que la durée propre.

(Evènement 1) = émission du tic par la source = (x’1 = 0, y’1 = 0, z’1 = 0, t’1 = 0)

(Evènement 2) = réception du tac par le récepteur = (x’2 = v t’, y’2 = 0, z’2 = 0, t’2 = t’)

WagonQuai

O

x ’x

RR 1 Relativité restreinte, quelques mots page 11/11

Les physiciens montrent que le résultat que nous avons obtenu pour l’horloge de lumière est

toujours vrai. C’est ce qu’on appelle la dilatation des durées. La relation reliant la durée mesurée

tm à la durée propre tp s’écrit :

2

21

p

m p

tt t

v

c

Le phénomène de la dilatation des durées est souvent faible mais de nombreuses expériences le mesurent dans deux situations différentes : La vitesse est très proche de celle de la lumière dans le vide et l’effet est alors très net ; La vitesse est faible devant celle de la lumière et les horloges utilisées pour mesurer les durées sont très précises. La désintégration des muons dans l’accélérateur du CERN appartient au premier cas, voir paragraphe suivant. L’utilisation d’horloges atomiques embarquées dans des avions, la navette spatiale ou des satellites illustre le second cas, voir complément « Dilatation des durées ».

4. Muons dans l’accélérateur du CERN4

Les muons sont des particules instables qui se désintègrent en un électron ou un positon en produisant des neutrinos. Par exemple, pour un muon négatif on peut écrire la réaction sous la forme suivante :

ee

La durée de vie des muons au repos, notée τo, vaut environ 2,2 μs. Cela signifie que si l’on considère une population de No muons au repos à une date prise comme origine des temps dans le référentiel où ils sont au repos, alors à la date t il n’en reste plus que :

0( ) exp( )t

N t N

En 1976, au Centre Européen pour la Recherche Nucléaire, le CERN, on a comparé la durée de vie des muons au repos τo à celle de muons en mouvement très rapide, à la vitesse de 0,9994c. On a mesuré dans le laboratoire une durée de vie τ environ égale à 63,8 μs. Ceci est conforme à la prédiction de la relativité restreinte sur le phénomène de la dilation des durées, sachant que :

2

0

2

1 63,829 et 29

2,21

v

c

On constate que τ = γτo.

Bien que peu conforme à notre expérience ordinaire la Relativité restreinte est corroborée par de

nombreuses expériences, de nombreux faits expérimentaux. Il nous reste à nous y habituer. Il est

vrai que nous nous déplaçons rarement à des vitesses proches de celle de la lumière. Sauf dans Star

Wars ! Ce chapitre a tenté de commencer cette familiarisation.

4 Ce paragraphe est entièrement repris du document Eduscol « Temps et relativité ».