Régulation numérique

Encadré par : M. ELMAGRI Réalisé par : AMARA Anas

EL ÂRNABI Karim

Introduction :

ENSET-M SEER :

Ce TP a pour objectif la vérification des méthodes théoriques et les vérifier à l’aide d’un outil informatique.

Matlab un est outil mathématique qui permet le calcul matriciel en utilisant l’interface (ligne de commande, script,…). Simulink est un outil d’analyse des systèmes linéaires qui permet de décrire sous forme de schéma simulink le système à étudier, de lancer une simulation temporelle et de récupérer les résultats pour les exploiter. Simulink est une interface graphique qui facilite l’analyse des systèmes dans le domaine temporel.

I. Discrétisation

Soit un système continu défini par sa fonction de transfert :

G ( P )= Y (P )U (P )

= 11+P

u(t) y(t)

On désire obtenir un modèle échantillonné de ce système.

La réponse indicielle du système en utilisant les deux bloqueurs d’ordre zéro et d’ordre un, on prend la période d’échantillonnage T=1s.

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ENSET-M SEER :

On remarque pour le bloqueur d’ordre zéro l’effet d’un filtre passe-bas avec le retard d’une 1 seconde, or

pour le bloqueur d’ordre 1, on remarque la forte extrapolation surtout aux environs de 3τ. Le transformée en z, G(Z) de système échantillonnée et Z{B0(P) G(P)} du système avec le bloqueur

d’ordre zéro :

G (Z )= Z

Z−e−Te Z {B 0 ( P )G ( P ) }=1−e−Te

Z−e−Te

l’expression de la réponse indicielle dans les deux cas, ainsi que la valeur initiale et la valeur finale de la sortie : En utilisant le théorème de la valeur finale :

Réponse indicielle Valeur initiale Valeur finale

Y (Z )=G ( Z )U ( Z )=

ZZ−1

∗Z

Z−e−Te

1 1

1−e−Te=1.58

Y (Z )=Z {B 0 ( P ) G (P ) }U ( Z )=

ZZ−1

∗1−e−Te

Z−e−Te

0 1

G(Z) et Z {B0(P) G(P)} pour plusieurs valeurs de période d’échantillonnage avec la détermination des valeurs des pôles, selon le tableau suivant :

T G(Z) Z {B0(P) G(P)} Pôle

1sZ

Z−0.3670.632

Z−0.367Z1=0.367

0.5sZ

Z−0.6060.393

Z−0.606Z1=0.606

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SIGNAL CONTINU

SIGNAL BOZ

SIGNAL BO1

ENSET-M SEER :

0.25sZ

Z−0.7780.221

Z−0.778Z1=0.778

Simulation des réponses indicielles du système continu et des différents systèmes échantillonnés selon le schéma Simulink suivant :

II. Régimes libres

1.1. Système du 1ère ordre :

Z {B 0 ( P )G ( P ) }=Y ( Z )U ( Z )

= 1Z−a

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L’équation de récurrence et l’expression générale de y(KT) lorsque l’entrée est une impulsion unitaire.

Y(kT)= Y(k)=u(k-1)+ay(k-1) et y(0)=0

Les réponses impulsionnelles de système pour les valeurs de a suivantes :

a=1.5 : INSTABLE (divergeant)

a=1 : Limite de stabilité (converge vers une valeur une finie)

a=0.5 : STABLE

a=- 0.5 : STABLE (signal oscillatoire amorti)

a= -1: limite de stabilité (signal oscillatoire)

a= -1.5 : INSTABLE (signal divergeant)

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1.2. Système du 2ème ordre :

Z {B0 ( P ) G ( P ) }= Y ( Z )U (Z )

= Z

Z2+a1 Z+a0

l’’équation de récurrence reliant la sortie à l’entrée en fonction de a1 et a0. Ainsi que les expressions des 5 premiers échantillons de la réponse indicielle : On pose K=kT

Y(K)=U(K-1)-a1Y(K-1)-a0Y(K-2)

Y(0)=0 Y(1)=1 Y(2)=-a1 Y(3)=-a0 + a2 Y(4)=2a0a1 – a3

La simulation des réponses indicielle pour les valeurs de (a1 ;a0 ) suivantes :

(a1 ;a0 ) = (-1.2 ; 0.35) :

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(a1 ;a0 ) =(-0.4 ; -0.05) :

(a1 ;a0 ) = (-1 ; 1) :

En utilisant un script sur MATLAB, on a calculé les pôles pour les différentes valeurs de a1 et a0 :

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ENSET-M SEER :

III. Bouclage

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1.3. Soit un système échantillonné de fonction de transfert suivante :

Z {B0 ( P ) G ( P ) }=Y ( Z )U ( z )

= Z−bZ ( Z−a )

On calcule le gain statique de système :

K=1−b1−a

On calcule l’expression de Y(Z) et y(k):

Y (Z )= Z−b( Z−a ) ( Z−1 )

y (k )=¿U(K-1)-bU(K-2)+aY(K-1)

La simulation de la réponse indicielle unitaire du système pour les valeurs suivantes :

b= -0.5 et a=0.8 :

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b= -0.5 et a=1:

Boule ouverte Gain statique Pôlesb= -0.5 et a=0.8 7.5 0 et 0.8b= -0.5 et a=1 infini 0 et 1

1.4. Le système bouclé :

FTBF (Z )= Z ( Z−a )z (Z−a+1 )−b

Boule fermée Gain statique Pôlesb= -0.5 et a=0.8 2/17 3b= -0.5 et a=1 0 2

Simulation de la repense indicielle de système boucle pour les valeurs suivant :

b= -0.5 et a=0.8 :

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ENSET-M SEER :

b= -0.5 et a=1 :

IV. Calcul des correcteurs

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1.5. Synthèse par transposition du continu :

Fonction de transfert de système :G ( P )= Y (P )U (P )

= 1P (1+P )

Fonction de transfert de correcteur : C ( P )=U ( P )E ( P )

=K1+0.53P1+0.21P

Avec K=5

Vérification de correcteur en continu :

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ENSET-M SEER :

Ça montre que le correcteur est satisfit les performances de cahier de charge.

On fait les trois approximations :

Discrétisation avant P= Z−1T

C 1=−3 .83+8 . 83 Z0 .3+0 .7 Z

Discrétisation arrière P= Z−1ZT

C 2=13.83 Z−8.831.7 Z−0.7

Approximation de TustinP= 2Z

Z−1T +1

C 3=9.07 Z−101.32 Z−2

.

Discrétisation avantP= Z−1T

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ENSET-M SEER :

Discrétisation arrière P= Z−1ZT

:

 Approximation de Tustin P= 2Z

Z−1T +1

:

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