1

Références

Classical electrodynamicsJohn David JacksonWiley

Computational ElectromagneticsAnders Bondeson, Thomas Rylander, Pär IngelströmSpringerE-book (accessible sur le campus) : http://dx.doi.org/10.1007/b136922

Ce cours sur le web : http://bruno.lepetit.pagesperso-orange.fr/teaching.html

Une question ? bruno.lepetit@irsamc.ups-tlse.fr

2

modélisation multiphysique à l’échelle méso-macroscopique

Plan

1. Introduction : que veut-on calculer ?

2. Rappels d’électromagnétisme

3. Une méthode de résolution des équations de Maxwell :Différences finies domaine temporel

4. Equation de la chaleur : traitement des non-linéarités

5. Applications industrielles Mécanique : Stéphane Guinard, EADSElectromagnétisme : Ivan Revel, EADS

787 Dreamliner Composite Profile

Les matériaux : métalliques et composites…

Les composites : fibres et résines

Délaminages

Composite ; un empilement complexe : plis, protection de surface, peinture

Un matériau doit assurer une multitude de fonctions : tenue mécanique (efforts, chocs),thermique, protection électromagnétique (champs forts, foudre effets directs et indirects, électrostatique, furtivité…), tenue à la corrosion, au feu, esthétique…

La modélisation aide à dimensionner le matériau en amont dans le développementd’un programme, soit en amont d’essais, soit pour économiser des essais.

Plusieurs types de contraintes se prêtent bien à une modélisation de type physique,Passant par la résolution d’équations aux dérivées partielles :Mécanique, thermique, électromagnétique…

Modélisation électromagnétique

Que cherche-t-on ?Effet d’une agression extérieure (champ fort, foudre) sur les systèmes embarqués(câblages, équipements…).

Une modélisation à 2 niveaux :

1. Modélisation locale Ex : matériau et efficacité de blindage , câblages, fentes…

2. Modélisation globale

Des outils utilisant les équation deMaxwell permettent de réaliser ces modèles.

Modélisation thermique

Tenue en température de matériaux

Tenue à la foudre (effets directs) de matériaux : électro-thermo-mécanique

11

EQUATIONS DE

MAXWELL

Conservation de la charge :

Milieux linéaires : permittivité électrique perméabilité magnétique

Loi d’Ohm :

E, H : champsD, B : inductions

12

Liens entre les différentes équations de Maxwell

0... D

tJH

Par ailleurs je prends la divergence de l’équation d’Ampère :

Par comparaison avec l’équation de conservation de la charge :t

Dt

.

Je prends la divergence de l’équation de Faraday : 0.. B

tE

Conclusion : si à l’instant initial les champs satisfont : D. Et 0. B

Alors à tout instant suivant, il suffit que les champs satisfassent les équations d’Ampèreet de Faraday (et de conservation de la charge) pour satisfaireles autres équations de Maxwell.

On ne propage numériquement que les équations de Faraday et Ampère.

13

Propagation dans un milieu conducteur

Expulsion de la charge :

E.

0

t

as2.0

10.51

3610

7

9

00 t

e

Equations de propagation :

tHE

tEEH

Solution recherchée

sous la forme : )(0

)(0

rkti

rkti

eHH

eEE

14

Ei

iHki

HiEki

)1(

nkk

Ei

Ekk

)1()( 2

21

21

1)(

ik

Vitesse de phase : nc

ii

kv

rr

21

212

1

0021

21

1)(

1

)(

1

1)(

1

Indice du milieu : 21

21

1)(

in rr

Impédance d’onde : 21

21

1

1

1

1

ii

kHn

E

H

EZ

(relation de dispersion)

15

Cas particulier : mauvais conducteur : 1

21

Z

Vide (SI):

377120104

3610

70

9

0

Z

Cas particulier : bon conducteur : 1

iik

1)1()

2( 2

1

δ : épaisseur de peau(décroit quand ω croit) :

21

2

iLRiiZ

1)1()

2( 2

1

21

1

kv

16

zztikzti

zztikzti

eeHeHH

eeEeEE

)(

0)(

0

)(

0)(

0

Propagation avec atténuation :

Exemples pour f=100 kHz (foudre…) :

- Métal : σ=5 107 S/m δ≈0.2 mm

- Composite Carbone (CFC, CFRP…) σ= 104 S/m δ≈15 mm

17

Interfaces

1

2 n

Discontinuités aux interfaces

ρs (C/m2) , Js (A/m): densités surfaciques

18

Discontinuités à la surface d’un conducteur

Parfait Réel

- La composante normale de E peut connaitre une discontinuitépour un conducteur chargé.-La composante tangentielle de H peut êtrediscontinue s’il y a des courants de surface- Les autres composantes sont continues

- Seule la composante normale de Epeut être discontinue- Les autres décroissent avec l’effet de peau en pénétrant dans le conducteur.

19

Propagation d’un paquet d’ondes

u(x,t) : une composante de E ou H à une dimension

dkekAtxu kxtki ))((

21 )(

)2(

1),(

Transformée de Fourier :

ω(k) : relation de dispersion

dxetxukA ikx)0,(

)2(

1)(21

Onde plane infinie : Δk=0 , Pulse infiniment étroit : Δk=+∞

Δx.Δk≈π

20

Dispersion

Supposons une loi de dispersion linéaire (vide, diélectrique…) : )()()( 0

00 kk

dkdkk

)0,()()2(

),(0

)()(

21

)(0

00

0

00

0

ttdkdxuedkekAetxu

tkdkdit

dkdxik

tkdkdi

Le paquet d’onde se propage sans déformation

à la vitesse de groupe :

0dkdvg

Dans le cas général (conducteur...) la relation de dispersion n’est pas linéaire. Il y a donc déformation du paquet d’onde durant sa propagation.

21

Dispersion numérique

tHE

tEH

Dans un milieu diélectrique (dispersion linéaire) combinant

avec j’obtiens (équation de Helmholtz)2

22

2

2

zEc

tE

Grille spatiale et temporelleutilisée pour la résolution

numérique

Question : Quelle relation de dispersion ?

22

L’équation de Helmholtz,Pour une composante de champ,en différences finies,devient :

Le champ à l’instant n+1 est donc donné par la récurrence :

Je cherche la relation de dispersionque doit satisfaire une onde du type

Pour être solutionde l ’équation discrétisée

)(0

kztjeEE

Nouvelle relation de dispersion :

QUESTION : Limite pour des intervalles tendant vers 0 ?

23

ztcR

R=0.01

R=0.9

R=1.

R=1.2

zkx

czy

2sinsin2 xRArc

Ry

R=1 : on retrouve la loi de dispersion physique : ω=ck

R>1 : pour certains intervalles en k, ω devient complexe eiωt a une composante exponentielle réelle amplification non physique de cette contribution. Instabilité

R<1 : dispersion non linéaire sur les k élevésdéformation du signal

24

CRENEAU

kakaadxekA

dxetxukA

a

a

ikx

ikx

)sin(2

)2(

1)(

)0,()2(

1)(

21

21

21

25

PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELLCAS 1D

On ne propage que les eq. d’Ampère et Faraday 1D

Elles ont les 2 la même structure :Dérivée spatiale=dérivée temporelle

Premières idées :

1. Différences finies centrées 2. Utiliser la même grille pour E et H(celle déjà utilisée).

zE

tH

zH

tE

xy

yx

1

1

26

zE

tH

zH

tE

xy

yx

1

1

zEE

t

HH

z

HH

tEE

n

rxn

rx

n

ry

n

ry

n

ry

n

ryn

rxn

rx

21

2

21

2

11

11

11

11

Différences finiesAu point (r,n) :

Algorithme du type « saut de grenouille » (leapfrog) : je passe directement du tempsn-1 au temps n+1 en passant par-dessus n.

Inconvénient de l’algorithme : précision réduite du fait que, en temps comme en distance,On fait des sauts de 2 pas.

En utilisant des grilles décalées (staggered) pour E et H, on peut réduire le saut à un seul pas !

Différences finies, grille unique

27

zE

tH

zH

tE

xy

yx

1

1Différences finies, grilles décalées

Au point (r,n+1/2) :

Grille Ex : (r,n)Grille Hy : (r+1/2,n+1/2)

Au point (r+1/2,n) :

- Les sauts sont bien d’un seul pas

- Les points où sont utilisées les équations n’appartiennent ni à la grille E, ni à la grille H

- QUESTION : quelle relation de dispersion ?

28

PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELLCAS 3D : ALGORITHME DE YEE

(K.S. Yee, IEEE Trans. Ant. Propag., AP-14, 302-307, 1966)

Composantes du champ E : milieu des arêtesTemps entiersEx : points (p+1/2, q, r, n)Ey : points (p, q+1/2, r, n)Ez : points (p, q, r+1/2, n)

Composantes du champ H : milieu des facesTemps demi-entiersHx : points (p, q+1/2, r+1/2, n+1/2)Hy : points (p+1/2, q, r+1/2, n+1/2)Hz : points (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)

29

Et

H

Au point (p, q+1/2, r+1/2, n)

Au point (p+1/2, q, r+1/2, n)

Au point (p+1/2, q+1/2, r, n)

CALCUL DES CHAMPS H AU TEMPS n+1/2

30

HtE

Au point (p+1/2, q, r, n+1/2)

Au point (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)

Au point (p, q, r+1/2, n+1/2)

CALCUL DES CHAMPS E AU TEMPS n+1

31

ALGORITHME DE YEE : RELATION DE DISPERSION 3D

Quelle relation ω(k) pour avoir une solution du type )(

0

)(0

rkti

rkti

eHH

eEE

Expressions des opérateurs différentiels

Si f(x)=e i(ωt-kx) alors

),(),()

2sin(2)

2,()

2,(

),(),()

2sin(2),

2(),

2(

txfdtxfx

xki

x

xxtfxxtf

xf

txfdtxft

ti

t

xttfxttf

tf

x

t

FdF

z

y

x

ddd

d

...

)2

sin(2

)2

sin(2

x

xkid

t

tid

x

x

t

FdFt t

32

EdHdEt

Ht

HdEdHtE

t

)(0

)(0

rkti

rkti

eHH

eEE

Si Alors les équations de Yee donnent :

Combinant ces 2 équations : )(2 EddEdt

dEdd

)( donc dE

Par ailleurs )( Edd

Donc EdEddEdd 2

)(

22222zyxt ddddd

Résultat

222

22 )

2sin()

2sin()

2sin(

)()2

sin(z

zk

y

yk

x

xk

tctzyx

Relation de dispersion 3D

33

1)

2sin()

2sin()

2sin(

)(),,,(

222

2

z

zk

y

yk

x

xk

tckkkzyx

zyxCondition de stabilité :

Qui est satisfaite si : 1111)(222

2

zyx

tc

Condition CFL (Courant-Friedrichs-Levy) :

21

222 111

1

zyxc

t

34

Choix de la taille de maille :

- Description suffisamment précise des détails géométriques

- Critère de longueur d’onde ≈ 10 points par longueur d’onde

Choix du pas de temps : critère CFL

Occupation mémoire : (2 pas de temps stockés)*(6 composantes)*Nx.Ny.Nz=12 Nx.Ny.Nz

Temps de calcul : proportionnel à 6 Nx.Ny.Nz.Nt

Proportionnel à (fréquence)**4

Impossibilité pratique du calcul à très hautes fréquences : autres méthodes (asymptotiques : optique, théorie de rayons…)

35

Exemple : on veut modéliser un avion. Taille : 50 m.On considère un coup de foudre qui dure 100 μs.

On veut représenter de façon suffisamment fine les détails taille de maille : 0.1 mNombre de mailles ≈ 10003=109 (en fait on a moins besoin pour la hauteur) soit 12*8=96 Go d’occupation mémoire

Pas de temps max : Δx/31/2c≈0.2 ns, soit Nt=500 000

Nombre d’opérations : de l’ordre de 6*500 000*109=3 1015

Temps de calcul sur un processeur à 30 Gflops : 105 s ≈ la journée

Fréquence max traitée correctement dans ce calcul : longueur d’onde = (10 points par longueur d’onde)*0.1m=1m, soit 300 MHz.

36

Limitations du volume maillé

Il faut absorber l’onde en bords de volume. Si on mettait un conducteur (effet de peau…) il y aurait des réflexions très importantes.

Ht

HE

*

tEEH

Impédance d’onde :

(cf page 14) 21

21

*

21

1

1

i

iH

EZ

On ajoute une couche absorbante de matériaux fictifs (conductivité magnétique !)en bords de volume

Pour une onde normale à la surface le coefficient de réflexion est :ZZ

ZZ

0

0

Si Z=Z0 : pas de réflexion ! Adaptation d’impédance

On obtient cette adaptation d’impédance si : 0

0

*

37

Ei

Hi

ki

Et

Ht

kt

Er

Hr

-ki

tri

tri

HHHEEE

tri

tri

HHHZHHZHZ

00

Pas de discontinuité à l’interface(Courant réparti dans l’épaisseur)

tri

tri

HHHZHHZHZ

00

CALCUL DU COEFFICIENT DE REFLEXION A L’INTERFACE

tr

ti

HZ

ZZH

HZ

ZZH

0

0

0

0

2

2

0

0

ZZZZ

Donc :

MILIEU Z0 MILIEU Z

38

Cas général : onde incidente non normale

J.P. Bérenger, J. Comput. Phys. 114, 185 (1994)

Séparer les composantes du champ parallèle à la couche absorbante en 2

morceaux(ici, la couche absorbante

en perpendiculaire à z)

yH

xH

tE

xH

tE

Ez

Ht

E

Ez

Ht

E

yH

tE

xyz

zyx

yzxyz

xzyxz

zxy

yzyxy

xzxyx

EEE

EEE

yzyxy

xzxyx

HHH

HHH

yE

xE

tH

xE

tH

Hz

Et

H

Hz

Et

Hy

Et

H

xyz

zyx

yzxyz

xzyxz

zxy

*

*

Quand σ=σ*=0, on retrouve les équations dans le milieu physique.

Seule les morceaux en z (cad correspondant à une propagationen z) sont modifiés. La propagationen x,y est inchangée.

39

Dans la pratique, il faut considérer des murs perpendiculaires à x, y ,z.

…et il faut augmenter progressivement les conductivités, par exemple : 2

00)(

Lzzz 000 )(,0)( Lzzzz

40

Plaques minces : cas 2D (pour simplifier)L.K. Wu et L.T. Han, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 40, 628, 1992

On ne veut pas mailler l’épaisseur de la plaque, cela conduirait à des maillages énormes !

On remplace la plaque par une résistance équivalente modèle basse fréquence(pas d’effet de peau = pas d’induction)

-Pas de

dépendanceen z

Question : S1, S2 ?

41

Loi d’Ohm sur la plaque résistive :

L

e

L

Plaque carrée :eLe

LR11

= Impédance de surface

Continuité de la composantetangentielle du champ

et loi d’Ohm dans la plaque

Discontinuité du champH tangentiel

aux interfacesen présence de courant de surface

+-

Ce qui rend caduque eq. 5c

42

Algorithme initial Algorithme modifiésur la plaque

2R

En supposant une dépendance linéaire en temps autour de n+1/2

43

Prise en compte de fils mincesR. Holland, L. Simpson, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 23, 88, 1981

- Une perturbation EM est susceptible d’induire des courants parasites sur les systèmes

- Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à

des équations sur les courants et charges induits sur les fils

Etablissement des équations sur I et Q

tHE

t

Hr

Ez

E zr

r

ar

r

azz dE

zdH

taErE )()(

On a Ez(a)=0 (pourquoi ?)

44

Hypothèses sur les champs(basse fréquence, et localement) r

IH 2

(Théorème d’Ampère en magnétostatique)

rQEr 2

(Théorème de Gauss en électrostatique)

r

ar

r

az dE

zdH

trE )(

zQ

tIa

r

rEz 1

2

)ln()(

zQ

tILEz

1

À une distance moyenne R

Q(z)dzI(z) I(z+dz)

zI

tQ

dtdzzIdtzIdzzdQ

)()()(

Equation de continuité

0

zI

tQ

45

Modification de l’algorithme de Yee avec fil (vertical)

- Par cellule : 8 quantités (6 composantes de champ+Q+I) à propager

- Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à

des équations sur les courants et charges induits sur les fils

Intensités I : milieu des arêtesTemps demi-entiersI : points (p, q, r+1/2, n+1/2)

Charges Q : coins du cube, temps entiersQ: points (p, q, r, n)

Intensité

Charge

46

1. Calculer I au temps n+1/2, à partir de I au temps n-1/2et de E et de Q au temps n

2. Calculer H au temps n+1/2, à partir de H au temps n-1/2et de E au temps n

3. Calculer E au temps n+1, à partir de E au temps net de H et de I au temps n+1/2

4. Calculer Q au temps n+1, à partir de Q au temps net de I au temps n+1/2

z

QQLE

LtII

npqr

npqrn

pqrznpqr

npqr

12/1

2/12/1

2/12/1

Yee sans changement

Yee avec rajout du courant du fil

2/12/1

2/12/1

1

n

pqrnpqr

npqr

npqr II

ztQQ

Modification de l’algorithme de Yee avec fils

YXI n

pqr

.

2/12/1