Reconstruction 3d par tomosynthèse généralisée...

no d’ordre : 02 ISAL xxxx Année 2002

THÈSEprésentée

DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

ÉCOLE DOCTORALE : Électronique, Électrotechnique, AutomatiqueFORMATION DOCTORALE : Images et Systèmes

par

Pierre BLEUETIngénieur ENSPG-Grenoble

RECONSTRUCTION 3D PAR TOMOSYNTHÈSE GÉNÉRALISÉE.APPLICATION À L’IMAGERIE MÉDICALE PAR RAYONS X.

Soutenue le 17 Octobre 2002 devant la Commission d’Examen

Jury : Rapporteurs Michel DefriseFrançoise Prêteux

Examinateurs Régis GuillemaudFrançoise PeyrinPhilippe Merloz

Directeur Isabelle Magnin

Cette thèse a été préparée au laboratoire CREATIS - UMR CNRS 5515 de l’INSA de Lyon

Remerciements

Ce travail a été réalisé dans le cadre d’une collaboration entre le Centre de Recherche et d’Appli-cations en Traitement de l’Image et du Signal (CREATIS, Lyon), unité CNRS (UMR 5515) affiliée àl’INSERM et le laboratoire Systèmes d’Imagerie et de Rayonnement, dans le service Systèmes pourla Biologie et la santé du Laboratoire d’Electronique, de Technologies et d’Instrumentation (LETI), auCEA Grenoble.

Je tiens en premier lieu à remercier chacun des responsables (et ils sont nombreux !) de ces différentesstructures. En particulier, je remercie sincèrement les Professeurs G. Gimenez et D. Revel, co-directeursde CREATIS, et bien sûr I. Magnin, Directeur de Recherche à l’INSERM et qui a succédé au ProfesseurGimenez à la direction de CREATIS. J’adresse également mes remerciements à H. Fanet et J. Chabbal,Chefs successifs du Service Systèmes pour la Biologie et la Santé (autrefois nommé Service Capteurset Systèmes d’Imagerie), ainsi qu’à J-L. Amans, Chef du Laboratoire Systèmes d’Imagerie et de Rayon-nement (autrefois nommé «Groupe» SIR). Bref, tout cela est bien compliqué mais tout le monde s’yretrouvera et c’est là l’essentiel !

Une thèse n’est rien sans un bon jury, un bon directeur de thèse et un bon responsable technique.Pour cela je tiens à exprimer ma profonde gratitude à toutes ces personnes:

A Isabelle Magnin, Directeur de Recherche à l’INSERM, qui a dirigé cette thèse et a accetpé deprésider le jury. Je la remercie pour tout ce qu’elle m’a apporté durant ces trois années, ainsi que pour samotivation et sa faculté incroyable de motiver les troupes.

Aux Professeurs Françoise Prêteux et Michel Defrise, qui ont réalisé la lourde tâche de rap-porter sur mes travaux. Je les remercie tous deux de leur remarques pertinentes qui ont contribuées àl’élaboration de ce manuscript.

A Madame Françoise Peyrin, Docteur d’Etat et Chargée de Recherche à l’INSERM, qui s’estintéressée à mes travaux et m’a fait le plaisir de participer à mon jury.

Au Professeur Philippe Merloz, Chirurgien Orthopédique au CHU Grenoble, qui m’a égalementfait le plaisir de participer à mon jury, et pour son enthousiasme quant à la tomosynthèse .

A Régis Guillemaud bien sûr, Ingénieur et Chef de Projet au CEA/LETI, qui m’a encadré pen-dant ces trois années. Je le remercie pour son aide, sa motivation et les réponses qu’il a su apporter àl’intégralité de mes questions.

De nombreuses personnes ont participé de près ou de loin à ces travaux. Nombreuses également ontété les personnes avec qui j’ai pu discuter plus ou moins sérieusement (pour certaines plus moins queplus). Cela est d’autant plus vrai que deux entités sont impliquées, le LETI et CREATIS. Je remerciedonc tout autant le groupe SIR du LETI que l’ensemble du personnel à CREATIS.

Côté LETI, mention spéciale aux thésards : Thomas, qui dans un élan de générosité parfois trop fort,a participé autant à son travail de recherche qu’à celui des autres. Même chose pour Lionel, la seulepersonne capable d’apporter un tel recul sur les choses, et avec qui j’ai partagé de bons moments auboulot. Dans la série des doctorants, je n’oublie pas l’explosive Magali, ni bien sûr le Bru, comprenezJean-Pierre, pour leur soutien et pour nos moments passés de délire plus ou moins profond. Bon courage

aux thésards qui nous suivent, Ludo et Séb...Merci bien sûr à Stéphane pour avoir partagé avec moi debonnes sorties en Montagne, et notamment les moments intenses où l’on coince son rappel sur la Meijeou ceux où la corde se transforme magiquement en sac de nœuds en descendant du Mont Aiguille.

Côté CREATIS, idem, mais la liste des thésards serait un poil plus longue...Merci quand mêmeà Julien, Jean-Martial, Marcela, Johan, Jérémie, Fabrice et tous les autres. Merci vivement à l’équipeinformatique (Fabrice, Johan, Eric, Daniel) pour leur participation à la connexion CEA/CREATIS.

Tout aussi chaleureusement, je tiens à remercier mes parents pour le soutien qu’ils m’apportent auquotidien malgré les kilomètres qui nous séparent. Merci également à mes frères : la famille Bleuet deTours, François&Joëlle et leurs petits Clément, Mathieu, ainsi que la dernière venue Margaux. Merciégalement à la famille Bleuet du SAMU02, Nico&F.A.B. et leur petit Thibault.

Je n’oublie pas Stéphanie avec qui je vais avoir la chance de me marier dans deux jours pour sapatience et son calme qui ont contribué à tempérer ma nervosité. Peut être avec le temps deviendrai-jemoins pénible? L’agrandissement prochain de notre petite famille va sans aucun doute y contribuer.

Table des matières

Table des figures vii

Index des Notations xi

Résumé xv

Abstract xvii

Introduction 1

I Reconstruction en tomosynthèse 5

1 Présentation générale d’un système de tomosynthèse 71.1 La radiographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Chaîne d’acquisition radiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Formation de l’image radiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Interaction Rayonnement X - matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Principes de la Tomosynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Place de la tomosynthèse parmi les différentes modalités d’imagerie X . . . . . . 131.2.2 La tomosynthèse sur film . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 La tomosynthèse numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 Dose et autres modes d’acquisition des projections en tomosynthèse . . . . . . . 151.2.5 Les domaines d’application de la tomosynthèse en milieu clinique . . . . . . . . 15

1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Mathématiques en tomographie et en tomosynthèse 192.1 Opérateurs et relations entre les différents espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Transformée Radon 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Transformée en Rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3 Opérateur de rétroprojection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Inversion de la transformée de Radon 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.5 Transformée de Radon 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.6 Théorème coupe-projection en tomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse linéaire . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Théorème coupe-projection en tomosynthèse linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii TABLE DES MATIÈRES

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Reconstruction en tomosynthèse : État de l’art 293.1 Les approches par filtrage rétroprojection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Lien avec la tomographie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Calcul du filtre analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.3 Optimisation du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.4 Modification de la réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Les approches par déconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1 Déconvolution par filtrage de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2 Utilisation de la transformée en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Restauration « géométrique » basée sur les plans voisins . . . . . . . . . . . . . 333.2.4 Procédé MITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.5 Approches itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Formule de reconstruction exacte dans le cas d’une trajectoire linéaire infinie . . . . . . 353.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II État de l’art de la reconstruction avec données incomplètes 37

4 Le problème de l’angle limité 394.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Méthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Les méthodes POCS (Projection Onto Convex Sets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Contrainte dans le domaine de Fourier : extrapolation de spectre . . . . . . . . . . . . . 414.5 Contraintes dans le domaine de Radon : restauration du sinogramme sous contraintes . . 424.6 Contraintes dans le domaine des ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Contraintes & utilisation d’algorithmes statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Les méthodes ART 475.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 L’algorithme de descente de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.2 Les méthodes par blocs de Kaczmarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.3 Agencement des blocs de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.4 Récentes innovations en ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Régularisation par recouvrement des discontinuités 556.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2 Reconstruction et estimation Bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3 Définition des modèles utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3.1 Le modèle de formation des données 7→ évaluation de −log[P(y|x)] . . . . . . 576.3.2 Le modèle a priori 7→ évaluation de −log[P(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.3 Fonctionnelle à minimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 Minimisation de la fonctionnelle J(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4.1 Analyse de la fonctionnelle J(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4.2 Minimisation et algorithmes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4.3 Minimisation et algorithmes déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

TABLE DES MATIÈRES iii

6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III Optimisation d’un système de tomosynthèse : de l’algorithmie à la réalisationd’un banc de test 65

7 An Adapted Fan Volume Sampling Scheme for 3D Algebraic Reconstruction 677.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.2 Linear digital tomosynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2.1 Basic principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.2.2 The limited angle problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3 Algebraic reconstruction methods and regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.1 Formulating the 3D direct problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.2 First inversion methods: ART methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.3 Second inversion methods: edge preserving regularization . . . . . . . . . . . . 70

7.4 Adapted Fan Volume Sampling Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.4.1 Geometrical concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.4.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5.1 Projection simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5.2 Reconstruction step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5.3 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.5.4 Computation times and parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.6 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Analyse d’un système de tomosynthèse 818.1 Rappel du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.1.2 La zone de bonne reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.1.3 Particularités de l’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2 Analyse des artefacts de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2.1 Analyse du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2.2 Prolongement des projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2.3 Normalisation adaptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2.4 Prolongement du volume reconstruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 Artefacts dus aux corps étrangers absorbants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.2 Artefacts métalliques et reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.3 Notre approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.4 Traitement du problème du diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4.2 Simulation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.5 Échantillonnage de la trajectoire source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5.1 Objectifs et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5.2 En linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.5.3 En circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.5.4 Schéma original : deux translations perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . 958.5.5 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

iv TABLE DES MATIÈRES

9 Développement, mise en œuvre et utilisation d’un banc de test 999.1 Le banc de tomosynthèse «PALMETO» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.1.1 Configuration géométrique initiale et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.1.2 Choix d’une configuration géométrique de translation optimale . . . . . . . . . . 1009.1.3 Caractéristiques et partie logicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.2 Prétraitement des projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.2.1 Corrections gain/«offset» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.2.2 Calibrage géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

IV Reconstruction en tomosynthèse numérique médicale 109

10 Tomosynthèse généralisée sur le banc PALMETO 11110.1 Reconstruction à partir de projections acquises sur PALMETO . . . . . . . . . . . . . . 112

10.1.1 Reconstruction 3D d’un fantôme de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.1.2 Reconstruction 3D cheville + pied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.1.3 Reconstruction 3D d’un genou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.2 Artefacts métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.2.1 Test sur des données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.3 Optimisation de la trajectoire d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.3.1 Comparaison linéaire-croix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11 Tomosynthèse grand champ 12311.1 Présentation de la table de radiologie et du capteur utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.2 Reconstruction 3D d’un thorax entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.2.1 Acquisition des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.2.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Conclusion et Perspectives 131

V Annexes 133

A Calcul de la formule de reconstruction exacte pour une trajectoire linéaire infinie 135A.1 Cas continu infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.2 Cas discret fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B Théorème de Geman&Reynolds étendu [20] 137

C Mise en œuvre de l’algorithme de minimisation semi-quadratique 138

D Schémas du banc de test pour la tomosynthèse PALMETO 140

E Interface graphique du logiciel d’acquisition pour PALMETO 142

Liste des Publications/Communications Personnelles 144

TABLE DES MATIÈRES v

Bibliographie 145

vi TABLE DES MATIÈRES

Table des figures

1.1 Production et détection de rayonnement X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Illustration de la loi de Beer-Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Exemple d’une radiographie 4096×4096 acquise sur détecteur numérique, sur une dy-

namique de 12 bits. La taille du pixel est 100µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Principales interactions des rayons X avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Coefficients d’atténuation massique µ

ρ pour l’eau ρ étant la masse volumique du matériau. 121.6 La radiographie, la tomosynthèse et la tomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Principe de la reconstruction en tomosynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Système de tomosynthèse en mammographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 A gauche, vue de la visée pédiculaire. A droite, montage final. La vis fait entre 30 et 35

mm. D’après [63] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Paramètres géométriques pour la transformée de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Illustration des opérations de projection et de rétroprojection . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Illustration des opérations de projection et de rétroprojection en tomosynthèse . . . . . . 212.4 Transformée de Radon 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Théorème coupe projection à 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Analyse dans le domaine de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Schéma de base pour le théorème coupe-projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Représentation tridimensionnelle de l’espace de Fourier dans le cas de la tomosynthèse

linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Filtre Hinv(ωr, ωθ, ωφ) [71] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 La fonction Hprofile(ωz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Modification de la réponse impulsionnelle. La nouvelle réponse impulsionnelle est plus

homogène hors du plan focal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Schémas de base pour la formule de reconstruction exacte. A gauche, le détecteur est

perpendiculaire à la distance source-détecteur. A droite, il est parallèle à la trajectoiresource. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Principales contraintes utlisées en reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Répartition des filtres G et H dans le domaine de Fourier. Le domaine des données

manquantes est représenté en gris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Influence de l’ordre des projections dans le processus de reconstruction . . . . . . . . . 515.2 Gradient d’énergie déposé entre la zone près de la source et la zone près du détecteur . . 53

6.1 Trois voisinages possibles : 4, 8 et 26 à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Diverses fonctions de potentiels ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Principe de l’algorithme de Non Convexité Graduelle (d’après [14]) . . . . . . . . . . . 62

vii

viii TABLE DES FIGURES

7.1 The geometrical configuration of the imaging system in which the source and detectormove in opposite directions along lines located above and below the patient. . . . . . . . 68

7.2 3D Fourier representation for linear tomosynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3 Position of each of the reconstruction planes. The gray surfaces represent the reconstruc-

ted planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4 A 2D (y, z) representation of Fig.7.3 showing the fan organization of the reconstructed

plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.5 A noiseless radiographic image of the spine and surrounding region (left) with the source

located directly above the focal point of the tomographic system. The same projectionwith noise added is shown on the right. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.6 Reconstructed (x, y) planes with simple backprojection, M-ART and Edge PreservingRegularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.7 The left radiographic projection is identical to Fig. 7.5. The right image represents atomosynthetic slice through the trachea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.8 Reconstruction of the resolution phantom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.9 CTF for shift and add process, S-ART, M-ART and edge preserving regularization . . . . 787.10 Reconstruction of the resolution phantom with noisy data . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.11 Vertical profiles of the reconstruction 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.12 From left to right, the sum of 20 segmented CT slices, and a tomosynthetic slice. Similar

details can be found from 20 summed CT slices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1 Définition de la zone de « bonne » reconstruction dans deux situations : à droite, le dé-battement angulaire est plus fort qu’à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2 Irrégularité de l’échantillonnage des projections et anisotropie de l’échantillonnage duvolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.3 La troncature des projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.4 Prolongement artificiel des projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.5 Correction de la normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.6 Reconstruction d’un plan axial (de 8.6(a) à 8.6(d)) et d’un plan frontal correspondant

(8.6(e)et 8.6(f)). Les axes sont ceux de la figure 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.7 Correction des projections pour la réduction des artefacts métalliques à la reconstruction 908.8 Fantôme utilisé pour évaluer l’influence du diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.9 Rayonnement direct, rayonnement diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.10 Un plan de reconstruction, sans diffusé, avec diffusé, avec diffusé+grille . . . . . . . . . 938.11 Deux types d’échantillonnage possibles des positions de la source de rayons X . . . . . . 948.12 Echantillonnage circulaire optimal et échantillonnage en croix . . . . . . . . . . . . . . 958.13 Les difficultés rencontrées en reconstruction en tomosynthèse, et les solutions proposées 97

9.1 Dispositif de tomosynthèse circulaire optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.2 Photos du banc PALMETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.3 Caractéristiques techniques de PALMETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.4 Coupe d’une image de noir et d’une image de plein flux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.5 Reconstruction d’un plan avec et sans décalibrage géométrique. A droite, on aperçoit au

niveau de la clavicule un phénomène de duplications irrégulières de structures. . . . . . 1049.6 Paramètres géométriques d’acquisition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.7 Calibrage géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.8 Configuration et paramètres géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10.1 Résultats de reconstruction du plan 6 mm sur un fantôme de résolution . . . . . . . . . . 11310.2 Courbe de convergence pour un S-ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

TABLE DES FIGURES ix

10.3 Reconstruction de l’ensemble cheville+pied à l’aide d’un algorithme S-ART et cinq ité-rations. Les cinq coupes sont à environ 1.5cm de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.4 Projection centrale du fantôme anthropomorphique du genou. . . . . . . . . . . . . . . . 11610.5 Reconstruction du genou à l’aide d’un algorithme S-ART et cinq itérations . . . . . . . . 11710.6 Projection centrale, avec et sans correction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.7 Reconstruction de quatre plans. Colonne de gauche, reconstruction avec correction de

défauts puis combinaison avec la reconstruction binaire de la vis. Au centre, reconstruc-tion avec correction de défauts. Colonne de droite, reconstruction brute. . . . . . . . . . 120

10.8 Trois plans de reconstruction; à gauche, schéma linéaire; à droite, schéma en croix. . . . 121

11.1 Schéma de la table de radiologie BACCARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.2 Vue d’ensemble du système d’acquisition table BACCARA+ capteur PALADIO . . . . . 12511.3 A gauche, une projection à 0 degrés avec 3 mAs; à droite, la même projection mais avec

une dose 10 fois plus faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.4 11.4(a), une radiographie classique avec 0.3mAS. 11.4(b),11.4(c),11.4(d) un plan recons-

truit par rétroprojection, M-ART et régularisation semi-quadratique, respectivement. . . 12711.5 De gauche à droite et de haut en bas, un plan se focalisant sur les épines dorsales, la

colonne vertébrale, les bronches et une artère. Sur la coupe 11.5(c), les deux cerclesentourent deux nodules pulmonaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

D.1 Vue frontale et axiale de PALMETO. Sur le schéma de gauche, on distingue bien letube, le bras d’asservissement mécanique. L’axe de rotation est situé dans le plan duscintillateur. On voit la platine de translation; à droite, on voit les rails de translation. . . 140

D.2 Différentes vues dans différentes configurations géométriques du banc PALMETO. . . . 141

E.1 IHM du logiciel PALMETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

x TABLE DES FIGURES

Index des Notations

Symbole Partie Chapitre Significationa 1 1 ÉvénementA Annexe A Longueur détecteurα - - Angle de vueβ 1 4 Facteur de pondération données a priorib 2 6 Variable auxiliairec 2 6 Clique~cn 1 2 Vecteur directeur de la source~cns 1 2 Vecteur directeur de la source après changement de repèreC 1 3 Contrainte appliquée sur l’objetCi 1 4 Sous ensemble convexec 1 1 Vitesse de la lumière, c=299 792,458 km.s−1

cij 1 4 Contribution du voxel i de objet au pixel j de la projectionD Annexe A Distance source détecteurD(m) 2 6 Opérateur différentiel d’ordre m∂t 2 6 Facteur de pondération données-a priorid1 1 2 Distance traversée dans l’objetd2 1 2 Distance traversée dans l’objetdg 3 9 Position du point Gδξ Annexe A Pas d’échantillonnage sur le détecteurδ 1 2 Fonction de Diracδ 2 6 Hauteur minimale d’une discontinuité∆ 1 2 Réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse linéaire∆(χ) 3 9 Largeur du filtre f∆(χ) pour les artefacts métalliques∆x 3 9 Pas d’échantillonnage suivant x∆y 3 9 Pas d’échantillonnage suivant ye 3 9 Distance gille de calibrage-détecteurE 1 1 Énergie du flux incident/du photon incidentE′ 1 1 Énergie du photon diffuséE 1 4 Énergie maximale de l’imageη 2 - Bruit additif supposé gaussienf(x, y, z) 1 2 Objet à reconstruireF - - Opérateur de transformée de Fourierf(ωx, ωy, ωz) 1 2 Transformée de Fourier de l’objet à reconstruireF (3)(r) 1 2 Filtre passe haut [36]FG 3 9 Distance verticale source détecteurg(x) 1 4 f(x) sur [−x0,+x0]g(λ, θ⊥) Annexe A Transformée en Rayons X

A suivre . . .

xi

xii Index des Notations

Symbole Partie Chapitre Signification(suite) (suite) (suite) (suite)Gj 1 4 Filtre de décomposition en ondelettesGj 1 4 Filtre miroir de Gj

G(3)(r) 1 2 Filtre passe haut [36]h∆(χ) 3 9 Filtre pour les artefacts métalliquesh(x, y, z) 1 2 Réponse impulsionnelleH 2 - Matrice de projectionHε Annexe A Fonction permettant d’éviter une singularité en ε = 0Hj 1 4 Filtre de décomposition en ondelettesHj 1 4 Filtre miroir de Hj

H(3)(r) 1 2 Filtre passe haut [36]H(ωx, ωy|z) 1 2 Slice Transfert Function, cas continuHN (ωx, ωy|z) 1 2 Slice Transfert Function, cas discretH(ωx, ωy, ωz) 1 2 Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelleHinv(ωr, ωθ, ωφ) 1 2 Transformée de Fourier du filtre inverseH 1 4 Espace de Hilbertik 3 - Indice des blocsilink 3 8 Indice des blocs de translation principaleicroixk 3 8 Indice des blocs de translation transverseI 1 4 Fonctionnelle à minimiserI(.) - - Fonction indicatrice, égale à 1 si (.) est vérifiée, 0 sinonI(~ri) 3 8 Intensité du rayonnement X au point iJ 2 - Fonctionnelle globale à minimiserJ (r) 2 - Approximation à l’étape r de la fonctionnelle globale à minimiserJART 2 - Fonctionnelle ART à minimiserJ1 2 - Fonctionnelle correspondant au modèle de formation des donnéesJ2 2 - Fonctionnelle correspondant au modèle a prioriJ0 - - Fonction de Bessel d’ordre 0Jk

lm 1 4 Contrainte de ConsistanceK 2 - Contrainte de positivitéxi Annexe A Position pixell 1 1 Longueur traversée dans le matériauλi - - Facteur de relaxationλ Annexe A Position sourceL 3,4 8,19 Rapport entre nombre de projection longitudinales et transversalesL 1 2 Ligne d’intégration pour Radonm 2 5 Taille caractéristique d’une projectionm0 1 1 Masse de l’électronµ(l, E) 1 1 Coefficient d’atténuation linéaireM 2 - Algorithme de minimisation semi-quadratique généraliséM 1 2 GrandissementM 3 8 Nombre de projections transversalesN Annexe A Nombre de pixelsN 1 1 Nombre de projectionsNx 3,4 8,10 Nombre de projections suivant la direction longitudinaleNy 3,4 8,10 Nombre de projections suivant la direction transversaleN 2 5 Taille caractéristique de l’objet x

A suivre . . .

Index des Notations xiii

Symbole Partie Chapitre Signification(suite) (suite) (suite) (suite)n 1 1 Nombre d’événements d’une variable aléatoireν 2 6 Système de voisinage d’un champ de Markovω 1 1 Fréquence spatiale radialeΩ 1 4 Support spatial de l’objetΩM 3 9 Zone objet métalliqueOGx 3 9 Distance horizontale projection source - origine détecteur suivant xOGy 3 9 Distance horizontale projection source - origine détecteur suivant yp 2 5 Nombre de projectionsp(x, y) 1 - Projectionpepd 3 9 Pas d’échantillonnage suivant ~upeqd 3 9 Pas d’échantillonnage suivant ~vpi 3 9 Projection du point Ti

yf 3 9 Projection filtréeφ 1 1 Flux atténuéΦ 2 - Fonction concaveφdirect 3 8 Flux directφscatter 3 8 Flux diffuséφ0(E) 1 1 Flux incidentP() 2 - Probabilité d’un événementP (ωx, ωy) 1 - Transformée de Fourier de la ProjectionPϕ 3 9 Ensemble des projections disponiblesϕ 2 6 Fonction de potentielQk 1 - Polynômes de Legendreq(.) 2 - Terme strictement convexeqi 3 9 Projection du point Ti

R 1 2 Filtre rampeR 1 4 Opérateur de RadonS2j 1 4 Opérateur de sous échantillonnageρ 1 2 Distance Origine Ligne d’intégration pour Radonρ 1 1 Masse volumiqueρ 3 8 Rayon de la trajectoire source circulaires 2 6 Site du champ de Markov considérés1, s2, sd 3 9 Distance inter-trousS 2 6 Ensemble des sites du champ de Markov considéréSlm 1 4 Harmonique sphériqueς 1 4 Support fréquentiel de l’objetσ 1 4 Écart type du bruitti(r) 1 3 Plan reconstruction par sommation et décalageTi 3 9 Trous sur la grille de calibrageT (~r) 3 8 Code source définissant la trajectoireτP 3 8 Pourcentage du primaire traversant une grille antidiffuséτS 3 8 Pourcentage du diffusé traversant une grille antidiffuséθ 1 2 Angle définissant la ligne d’intégration pour Radonθ⊥ Annexe A Angle définissant une ligne d’intégration source pixel détecteurTV (f) 1 4 Norme «Total Variation »U(f) 1 4 Fonctionnelle d’énergieΥM 3 9 Zone projection métallique

A suivre . . .

xiv Index des Notations

Symbole Partie Chapitre Signification(suite) (suite) (suite) (suite)~ξ 1 2 Vecteur unitaire pour Radonx 2 - Objet à reconstruirexn 1 2 Position de la sourcexns 1 2 Position de la source après changement de repèrey

acorrtt 3 9 Image corrigée

ypleinflux 3 9 Image de plein fluxy 3 9 Image acquise brutey

noir 3 9 Image de noirwij 1 2 Position de la source après changement de repère

W(1)

2j 1 4 Transformée en Ondelettes, détails horizontaux

W(2)

2j 1 4 Transformée en Ondelettes, détails verticaux

W(3)

2j 1 4 Transformée en Ondelettes, détails diagonauxy 2 - Ensemble des projectionsydirect 3 8 Ensemble des projections directyscatter 3 8 Ensemble des projections diffuséytotal 3 8 Ensemble des projections direct + diffuséy

# 2 7 Ensemble des projections prolongéesY 1 4 Sinogramme completY0 1 4 Sinogramme partielZ 2 6 Fonction de partition

Résumé

Ce travail concerne la reconstruction en tomosynthèse numérique médicale. Cette technique permet,à partir d’un faible nombre de projections (typiquement une vingtaine) acquises sur un détecteur numé-rique plan, d’obtenir des informations tridimensionnelles sur la structure de l’objet étudié. L’avantagemajeur de cette technique est la possibilité d’obtenir ces informations à partir d’une table de radiolo-gie standard équipée d’un capteur numérique et de fonctions de translation/rotation, pour une dose derayonnement équivalente à celle d’une radiographie classique. Par ailleurs, on accède en tomosynthèse àdifférents plans de profondeur parallèles au détecteur (des plans frontaux), ce qui diffère de la tomogra-phie classique à partir de peu de points de vue où l’on cherche plutôt à reconstruire un plan transverse.Un problème important en tomosynthèse est le manque important de données, et plus particulièrementl’angle limité de prises de vues qui restreint considérablement la résolution spatiale verticale dans lesreconstructions.

D’un point de vue mathématique, ce problème de reconstruction est un problème inverse mal poséau sens où le débattement angulaire est limité, le nombre de projections réduit, ces projections étantpotentiellement bruitées. Pour inverser ce problème, nous avons opté pour les méthodes algébriques etplus particulièrement les algorithmes ART (Algebraic Reconstruction Technique). Ce type de méthodepermet d’améliorer la résolution par rapport à l’approche classique de reconstruction en tomosynthèse(une simple rétroprojection) mais ne traite pas le problème du bruit. Afin de stabiliser l’inversion duproblème, nous adoptons un algorithme de minimisation semi-quadratique existant, dans le contexte dela tomosynthèse. Afin de limiter les temps de calcul propres à la reconstruction algébrique, nous avonsdéveloppé un schéma de reconstruction et de régularisation original permettant de décomposer le volumed’intérêt en une série de plans indépendants dans le cas particulier de la tomosynthèse linéaire.

Nous proposons par ailleurs des traitements visant à réduire les artefacts de troncature des projectionsliés à l’angle de projection où les artefacts métalliques dus à la présence éventuelle de prothèses chirur-gicales dans le corps humain. Afin de tester et valider nos approches, nous avons également développéun banc de test nous procurant une certaine souplesse dans la géométrie d’acquisition.

Nous montrons qu’il est possible de reconstruire des coupes grand champ pour l’imagerie thoraciqueavec une résolution verticale de l’ordre du centimètre et une résolution dans le plan égale à celle du détec-teur (100 µm au maximum). Pour d’autres applications osseuses telles que la radiographie de la chevilleou le vissage pédiculaire, les résultats sont très satisfaisants en terme de qualité image et d’artefacts dereconstruction.

Mots-clés : Tomosynthèse, radiographie, détecteur numérique, problème inverse, reconstruction 3D,régularisation, minimisation semi-quadratique, angle limité, artefacts de troncature, artefacts métalliques.

xv

Abstract

This work deals with reconstruction in digital medical tomosynthesis. This technique allows, star-ting from a low number of projections (typically twenty) acquired on a digital detector, to obtain three-dimensional information on the structure of the studied object. The main advantage of this techniqueis the ability to obtain such information using a standard radiological remote table with a digital detec-tor. The X-Ray tube and detector are moving along a specific path defining the acquisition geometry.Furthermore, the total exam dose is equivalent to a single radiograph dose. The main drawback of thisacquisition technique is the significant lack of data, and more particularly the limited angle of view whichsignificantly restricts the vertical spatial resolution.

From the mathematical point of view, the problem of reconstruction is a severely ill-posed inverseproblem : angular range is limited, and only a few possibly noisy number of projections is available. Weinverse this problem using the algebraic methods and more particularly the algorithms ART (AlgebraicReconstruction Technique). This type of method makes it possible to improve the resolution but does notdeals with the noise problem. In order to improve the quality of the reconstructed object, we adapted thehalf-quadratic minimization algorithm in this tomosynthesis context. In order to limit the computationtime, we developed a dedicated reconstruction and regularization scheme that allows to decompose thevolume of interest into a series of independent reconstructed planes.

Other processing are necessary to reconstruct high quality tomosynthetic slices. We propose a methodto reduce truncation artifacts related to high projection angles and a metal artifacts reduction algorithmdue to the possible presence of surgical prostheses within the body. In order to test and validate ourapproach, we built a radiological remote table with a certain flexibility in the acquisition geometry.

Finally we show that it is possible to reconstruct large size images for thoracic imaging with a verti-cal resolution of about 1cm and a spatial resolution in the detector plane equal to the detector resolution(about 100 µm). For other bone-related applications such as the radiography of ankle or pedicular scre-wing, the results are very satisfactory in terms of image quality and artifacts suppression.

Keywords : Tomosynthesis, Radiography, digital detector, inverse problem, 3D reconstruction, re-gularization, half-quadratic minimization, limited angle, interior problem, metal artifacts.

xvii

Introduction

Contexte de l’étude

Nos travaux concernent la tomosynthèse numérique médicale, une technique permettant de recons-truire en trois dimensions un volume d’intérêt du corps humain. Cette technique est séduisante dans lamesure où l’on obtient ces informations tridimensionnelles à partir d’une table de radiologie standardéquipée d’un capteur numérique. Ainsi, on trouve là un compromis intéressant entre la radiographieclassique où l’on ne dispose que d’informations bidimensionnelles et la tomographie 3D qui nécessiteun dispositif coûteux et dédié.

En tomosynthèse, on acquiert un faible nombre de radiographies à différents angles de vue. Le tube Xet le détecteur se déplacent suivant une trajectoire spécifique de part et d’autre du patient et l’on chercheà reconstruire des plans parallèles au plan du détecteur, ce qui diffère de la tomographie faible nombre devues où l’on reconstruit des coupes transverses à partir de projections acquises sur un cercle englobantl’objet. En combinant différemment ces projections, on peut sélectionner le plan de reconstruction surlequel on veut se focaliser, ce plan étant parallèle au plan du détecteur. Les structures appartenant à ceplan seront nettes, tandis que les structures situées de part et d’autre de ce plan seront floues. L’acquisitiond’une seule séquence contenant un nombre fini de projections permet de reconstruire toutes les coupessouhaitées dans le volume d’intérêt. Par ailleurs, étant donné que toutes les projections sont somméesdurant le processus de reconstruction, on peut limiter la dose de rayonnement pour chaque projection etainsi délivrer une dose totale faible (typiquement équivalente à une ou deux radiographies).

Pour des raisons historiques, la tomosynthèse souffre en général d’une mauvaise réputation dans lemilieu hospitalier en raison de la faible qualité des reconstructions. En effet, la tomosynthèse a vu le jourau début des années 70, à une époque où le film était le support de l’image. Les récentes avancées enmatière de détecteurs numériques de rayons X contribuent à améliorer les performances de l’imageriediagnostique par rayons X, et plus particulièrement de la tomosynthèse. En effet, pouvoir collecter uneséquence d’images numériques permet d’effectuer des traitements a posteriori et permet de reconstruire,dans les meilleures conditions, l’objet étudié là où le film interdisait tout traitement.

D’un point de vue plus formel, nous sommes face à un problème inverse mal posé puisque la géo-métrie d’acquisition limite l’angle de vue théoriquement nécessaire à une reconstruction exacte commeon cherche à le faire en tomographie 3D. Il est donc impossible de calculer une formule analytique dereconstruction exacte. Le challenge des dernières études sur la tomosynthèse a été de trouver le meilleurmoyen d’exploiter les données pour obtenir la meilleure reconstruction possible. Parmi tous ces travaux,une écrasante majorité s’est basée sur des méthodes de reconstruction dites analytiques (voir partie 1),essayant ainsi d’appliquer des traitements de filtrage ou plus généralement de post-reconstruction pouraméliorer la qualité des reconstructions. Généralement, ces méthodes s’avèrent efficaces et améliorentsignificativement les résultats par rapport à l’approche standart de sommation et décalage des projections.

Ce travail de thèse a été réalisé à travers une collaboration entre le Centre de Recherche et d’Applicationsen Traitement de l’Image et du Signal (CREATIS), unité CNRS (UMR 5515) affiliée à l’INSERM àLyon, et le Laboratoire d’Electronique, de Technologie de l’Information (LETI), au CEA Grenoble.Ainsi, nous avons pu bénéficier du savoir faire en terme de reconstruction 3D, que ce soit analytique ou

1

2 Introduction

algébrique, de ces deux laboratoires. Par ailleurs, cette thèse s’appuie sur un côté expérimental impor-tant que nous avons pu mettre en œuvre au CEA-LETI, en utilisant notamment le capteur numériquePALADIO développé par la société DMS-APELEM avec le CEA-LETI.

Objectifs

Dans le cadre de cette étude, nous avons cherché à atteindre trois objectifs :

1. Améliorer la qualité des reconstructions par rapport aux approches existantes en optimisant l’al-gorithmie de reconstruction,

2. Réduire les artefacts de troncature et les artefacts métalliques,

3. Développer et mettre en œuvre un banc de test au CEA-LETI afin de tester et valider nos approches.

En ce qui concerne le premier point, notre choix s’est rapidement porté vers les approches algé-briques. Si ce choix diffère radicalement de la majorité des méthodes récemment développées, il sejustifie néanmoins largement. En effet, d’un point de vue mathématique, nous avons un problème in-verse mal posé avec des données incomplètes : faible nombre de vues, faible débattement angulaire,projections potentiellement bruitées. Ce contexte est propice à l’utilisation de méthodes algébriques,couramment utilisées en Contrôle Non Destructif. Parmi ces méthodes, on trouve les approches ART(Algebraic Reconstruction Technique) qui améliorent la qualité des images, mais ne prennent pas encompte d’informations connues a priori sur l’objet. Ainsi, ces méthodes peuvent dans certaines condi-tions diverger. Afin de stabiliser la solution, nous avons régularisé l’inversion du problème en imposantune contrainte de continuité par morceaux sur la solution. Nous nous sommes placés dans un contexteBayésien et avons utilisé l’estimateur du Maximum A Posteriori (MAP). Une fois ces options retenues,il nous a fallu choisir une méthode d’optimisation de la fonctionnelle. Ce choix s’est fait en fonctionde la facilité d’implantation et du temps de calcul, puisqu’il nous faut respecter certaines contraintesliées à l’application médicale de notre étude. Ainsi, nous avons opté pour un algorithme de minimisa-tion semi-quadratique qui présente l’avantage de posséder des propriétés de convergence globale, tout enconservant des temps de calcul raisonnables.

Ayant retenu une méthode de reconstruction/régularisation, nous avons encore à faire face à un cer-tain nombres de problèmes inhérents à la tomosynthèse : le problème des projections tronquées, le pro-blèmes des artefacts métalliques, ou encore le temps de calcul important soulevé par le choix de mé-thodes algébriques. Notre objectif est alors de chercher à résoudre chacun de ces problèmes séparémentafin de pouvoir produire des images de qualité avec le minimum d’artefacts et dans des temps de calculraisonnables.

Enfin, un objectif majeur de cette thèse est de tester nos algorithmes sur banc expérimental afin depouvoir donner des résultats les plus proches possibles de la réalité et d’établir dans quelle mesure latomosynthèse peut être applicable en milieu hospitalier. Il s’agira alors de concevoir et développer unbanc de test de tomosynthèse autorisant une certaine souplesse dans les déplacements, le tout dans unsouci de simplicité de mise en œuvre.

Structure du document

Ce manuscrit comporte quatre parties distinctes. Dans la première partie, nous présentons de manièregénérale les techniques d’imagerie dont la tomosynthèse. Ensuite, nous rappelons les principes fonda-mentaux de la reconstruction tomographique et analysons le cas de la tomosynthèse de ce point de vue.Ce chapitre nous permet de mettre en évidence les limitations de la tomosynthèse et les différents pro-blèmes que nous allons rencontrer. Le chapitre suivant fait le point sur les techniques récentes employéespour la reconstruction en tomosynthèse. Nous verrons que la plupart de ces approches sont basées sur

Introduction 3

des méthodes analytiques. Nous mettons en évidence un problème crucial en tomosynthèse qui est celuide l’angle limité.

En tomosynthèse, la source parcourt une trajectoire finie, ce qui engendre une restriction sévère auniveau débattement angulaire : nous n’avons «angulairement »pas assez d’informations pour reconstruireexactement le volume 3D. Nous consacrerons donc un chapitre aux méthodes de reconstruction dans lecas de données angulaires limitées. La suite de la partie 2 de ce document se focalise sur la reconstruc-tion algébrique. Ayant mis en évidence que ces approches sont les plus appropriées à la résolution denotre problème, nous présentons dans un premier temps les méthodes ART (Algebraic ReconstructionTechnique). Le chapitre suivant présente une vue générale de la régularisation avec prise en compte desdiscontinuités. En particulier, nous détaillons les principales étapes théoriques de la mise en œuvre detels algorithmes en essayant d’être le plus synthétique et le plus clair possible.

La partie 3 de cette thèse se focalise plus sur nos développements en tomosynthèse. Le premier cha-pitre de cette partie détaille comment nous nous sommes placés par rapport aux méthodes algébriquesprécédemment décrites. Plus précisément, nous détaillons un schéma de reconstruction et de régula-risation adapté à la géométrie de la tomosynthèse linéaire. Ces schémas nous permettent entre autresd’optimiser le temps de reconstruction. Nous présentons ensuite des moyens simples et efficaces pourréduire un certain nombre d’artefacts en tomosynthèse, par exemple les artefacts de troncature des pro-jections où les artefacts métalliques dus à la présence éventuelle de prothèses chirurgicales dans le corpshumain. La suite de cette quatrième partie comprends également les développements liés au banc de testque nous avons mis en œuvre, le banc PALMETO.

Dans la dernière partie de ce manuscrit nous présentons une synthèse des différents résultats que nousavons obtenu. Pour cela, nous exposons les résultats que nous avons établi sur le banc PALMETO, et surdifférents fantômes. Notre méthode de réduction des artefacts dus à la présence d’objets métalliquesdans le corps humain est testée sur un fantôme spécifique. Des reconstructions avec une géométrie d’ac-quisition moins contrainte sont également présentées. Enfin, nous présentons les reconstructions issuesd’acquisitions sur une autre table de radiologie, la table BACCARA, développée par DMS/APELEMavec le capteur PALADIO grand champ développé au LETI. Nous présentons ainsi des coupes grandchamp sur un fantôme de thorax.

I. Reconstruction en tomosynthèse

5

Chapitre 1

Présentation générale d’un système detomosynthèse

La radiographie est fondée sur la différence d’atténuation des rayons X entre les différents tissus ducorps humain. Elle permet d’obtenir la projection plane d’un volume tridimensionnel. Cette techniquefournit donc des informations bidimensionnelles qui permettent ensuite au radiologue d’établir sondiagnostic. La tomographie 2D (ou scanner) permet quant à elle de reconstruire une série de coupes2D transversales qui, assemblées, viennent former un volume 3D. Ces deux techniques d’imagerie parrayons X sont aujourd’hui largement utilisées en milieu hospitalier. La tomosynthèse vient s’inscrireentre ces deux techniques, en permettant de se focaliser à différents plans de profondeur du volume 3D.Dans ce chapitre, nous présentons les principes de la tomosynthèse.Pour cela, nous rappelons dans une première partie les principes de la radiographie sur lesquelles s’ap-puie la tomosynthèse. Nous introduisons ensuite la tomosynthèse et mettons en évidence les avantagesde la tomosynthèse numérique par rapport à la tomosynthèse analogique classique sur film. Enfin, nousprécisons quelques éléments théoriques avant de détailler les principales méthodes développées dans lalittérature pour améliorer la qualité des plans de profondeur reconstruits.

7

8 Présentation générale d’un système de tomosynthèse

1.1 La radiographie

La découverte des rayons X par Röntgen en 1895 a ouvert de nouvelles perspectives dans le milieumédical, notamment avec l’apparition de la radiographie. La radiographie est une technique non-invasivemais ionisante qui permet de visualiser l’intérieur du corps humain. De manière générale, un systèmestandard de radiographie est composé d’un tube pour générer les rayons X et d’un capteur qui détecte lerayonnement ayant traversé l’objet ou l’organe étudié.

1.1.1 Chaîne d’acquisition radiologique

Génération du rayonnement X

Le principe de production d’un rayonnement X [11] est basé sur le bombardement d’une cible métal-lique par un faisceau d’électrons incidents accélérés par une différence de potentiel élevée. Les électronssont ensuite très fortement décélérés par la cible et produisent un rayonnement de freinage sous formede rayons X (figure 1.1(a)), dont l’énergie maximale sera directement dépendante de la haute tensionappliquée. Les rayons X seront émis sur une bande d’énergie définissant un spectre. Afin de « mono-chromatiser » le rayonnement, c’est à dire de le centrer sur une bande d’énergie très étroite, on peutplacer à la sortie du tube un filtre (en cuivre par exemple) qui va éliminer les photons basse énergie, etainsi augmenter l’énergie moyenne du rayonnement et réduire la largeur du spectre. On parle de durcis-sement de spectre. Pour une radiographie pulmonaire, on utilisera typiquement une tension de 130kV,qui produira ainsi un spectre entre 0 et 130 keV.

CathodeElectrons

Anode

Filtre

Rayons X

(a) Tube X

Ecran scintillateur

Photons X

Photons visibles

Caméra CCD Miroir

Optique

(b) Conversion indirecte

FIG. 1.1 – Production et détection de rayonnement X

Détection du rayonnement X

Après avoir traversé et interagi avec le patient, les rayons X peuvent être collectés de différentesmanières :

1. A l’aide d’un film : le degré de noircissement d’un film radiographique est proportionnel à la dosede rayonnement ayant impressionné l’émulsion pendant l’examen. Cette dernière dépend directe-ment de la structure de l’objet étudié et de l’atténuation du milieu. Le film est encore largementutilisé en radiographie, et a constitué l’élément de base en tomosynthèse jusqu’au développementdes capteurs numériques.

I-1.1 La radiographie 9

2. Par un intensificateur d’image radiologique, qui effectue une transformation photons X 7→ photonsvisibles 7→ électrons. Une fois ces électrons amplifiés, ceux-ci viennent former une image visiblesur un écran fluorescent alors filmé par une caméra.

3. Par un détecteur à conversion indirecte, qui permet à l’aide d’un écran scintillateur de convertir lesphotons X en photons lumineux. Ceux-ci sont ensuite redirigés via une optique vers une caméraCCD (Charge Couple Device) ou une matrice de photodiodes qui assurent à la fois la création descharges électriques mais aussi la collection des charges. Ces charges sont ensuite transférées pixelpar pixel sur un registre de sortie avec la conversion analogique digitale. On peut alors former uneimage numérique [42].

4. Par un détecteur à conversion directe, basé sur une conversion directe photons X 7→ électrons. Cettetechnique présente des avantages certains en terme taux de conversion et de résolution. La collectedes charges est réalisée par une matrice dite TFT (Thin film Transistor) qui permet de collecter lescharges au niveau d’un pixel, puis d’adresser les différents pixels pour en faire la lecture avant laconversion analogique/digitale.

5. La technologie basée sur les systèmes FPD (Flat Panel Detector) repose sur l’utilisation de matricesde lecture de charges grande surface en Silicium Amorphe pour réaliser les matrices TFT. Lesrécents détecteurs permettent d’acquérir des séquences d’images à quelques images par seconde,ce qui peut être intéressant en tomosynthèse où l’on vient acquérir un ensemble de projections. Ceprocédé doit être rapide afin d’éviter tout bougé du patient.

Pour cette étude, les images expérimentales ont été acquises sur un capteur numérique à conversionindirecte schématisée figure 1.1(b).

1.1.2 Formation de l’image radiologique

Loi de Beer-Lambert

L’intensité du rayonnement X diminue lors de la traversée de la matière, à cause d’un certain nombred’interactions avec le milieu qui seront décrites ultérieurement. L’atténuation des rayons X par la matièreest donnée par la loi de Beer-Lambert :

φ =

∫

Eφ0(E)e−

∫SD

µ(l,E)dldE (1.1)

Dans cette équation, φ0 est le flux incident qui est fonction de l’énergie E, µ est le coefficient d’atténua-tion (cf. figure 1.5) qui dépend du matériau traversé et de l’énergie, et SD est la droite source détecteurreprésentée figure 1.2.

FIG. 1.2 – Illustration de la loi de Beer-Lambert

Dans le cas d’un rayonnement monochromatique, une mesure de ln(

φ0

φ

)donne alors théoriquement

exactement l’intégrale de µ sur la droite S-D. En réalisant cette mesure pour chaque pixels du détecteurnumérique 2D, on forme ainsi une image décrivant l’atténuation subie par les rayons X en traversant lepatient (figure 1.3).


FIG. 1.3 – Exemple d’une radiographie 4096×4096 acquise sur détecteur numérique, sur une dynamiquede 12 bits. La taille du pixel est 100µm.

Rappels sur le bruit d’émission photonique

Le bruit d’émission photonique suit un modèle de bruit poissonnien dont la loi est donnée par l’équa-tion suivante :

P (a) =(pn)ae−pn

a!(1.2)

avec P (a) la probabilité de compter exactement a événements, n le nombre d’événements et p la proba-bilité d’un événement. Ce modèle est couramment utilisé en tomographie d’émission où la statistique estrelativement faible. En atténuation, on est en général en présence de nombreux événements et on peutalors se ramener à un modèle simplifié Gaussien, dès lors que n est supérieur à 20 [58] :

P (a) =1√

(2πa)e−

(a−a)2

2a (1.3)

Trois propriétés caractérisent cette distribution :

1. Elle est normalisée :∑∞

a=0 P(a) = 1,

2. La distribution est caractérisée par la moyenne a,

3. La variance est égale à la moyenne.

D’autres sources de bruit viennent s’ajouter au bruit photonique, par exemple le bruit électronique.Une étude et une modélisation détaillée et récente se trouve dans [17] et [97].

Remarques

En réalité, ces modèles sont simplistes dans la mesure où l’on ne prend pas en compte l’ensemble desphénomènes physiques qui interviennent lors de l’interaction rayonnement matière. En radiographie, ontravaille avec des images bidimensionnelles de grande taille et le rayonnement incident sur le détecteurest composé non seulement du flux défini par la loi de Beer-Lambert, mais également du rayonnementdiffusé. Afin de clarifier ce point, nous allons rappelons quelques notions élémentaires sur les interactionsrayonnement X - matière.

I-1.1 La radiographie 11

1.1.3 Interaction Rayonnement X - matière

Le rayonnement X issu du tube va traverser les objets et engendrer un certain nombre d’interactions.Quatre interactions vont principalement nous intéresser en imagerie médicale : l’effet photoélectrique,l’effet Compton, l’effet Rayleigh et la création de paires d’électrons. Lors d’un effet photoélectrique, unphoton incident est totalement absorbé par un électron périphérique d’un atome. Lors d’une diffusionCompton, un photon incident communique une fraction de son énergie à un électron pour donner nais-sance à un photon d’énergie plus faible et à un électron. La diffusion Rayleigh est l’interaction entre unphoton incident et un électron périphérique d’un atome. Ces deux dernières interactions sont sources deperturbations puisque les photons diffusés, dont la trajectoire n’est plus rectiligne en partant de la source,vont venir s’ajouter au rayonnement direct qui porte l’information sur la structure de l’objet irradié. En-fin, lors de la création de paires, un photon se matérialise en une paire particule-antiparticule. Chacunede ces quatre interactions est schématisée figure 1.4. Enfin, il y a l’interaction « nulle » pour laquelle lephoton n’interagit pas avec la matière et est détecté directement par le capteur.

hν

e−

(a) Effet photoélec-trique

hν

hν’

e−

(b) Effet Compton

hνhν

(c) Effet Rayleigh

hν

e−

e+

(d) Effet de créationde paires

FIG. 1.4 – Principales interactions des rayons X avec la matière

Afin de mieux quantifier l’importance relative de ces interactions, on peut tracer les courbes d’at-ténuation massique pour chacun de ces effets en fonction de l’énergie du rayonnement (figure 1.5),pour l’eau qui a des propriétés d’atténuation voisines des tissus mous du corps humain. On voit qu’auxénergies utilisées en radiologie, l’effet photoélectrique, l’effet Compton et l’effet Rayleigh sont les troisinteractions qui vont nous intéresser. L’effet de création de paires n’existera pas, puisqu’une énergie seuilde 1022keV est nécessaire à la matérialisation de la paire particule-antiparticule de 511keV chacune. Legraphique montre qu’une partie importante du rayonnement incident subit une interaction Compton etque donc nous aurons en plus du rayonnement direct une composante diffusée importante.

Évaluer analytiquement le rayonnement diffusé reste un problème difficile. La formule de Klein etNishina [56] donne la distribution des photons diffusés en fonction de leur énergie incidente et permet detracer pour une énergie donnée la probabilité de diffusion en fonction de l’angle de diffusion. De même,il est facilement possible de calculer l’énergie d’un photon diffusé E ′ connaissant son énergie incidenteE et son angle de diffusion θ (avec m0c

2 l’énergie au repos de l’électron) :

E′ = E1

1 + Em0c2

(1 − cosθ)(1.4)

Néanmoins, les calculs se compliquent dès lors que les photons subissent plusieurs interactionsCompton, ce qui est, en pratique, toujours le cas. On doit alors avoir recours à des calculs basés surdes codes Monte-Carlo pour évaluer ce rayonnement diffusé[97],[113].Il existe des moyens de limiter ou de soustraire analytiquement ce rayonnement diffusé. Nous citons iciquelques exemples.

– Les moyens physiques : on peut utiliser une grille antidiffusé. Placée juste au-dessus du détecteur


FIG. 1.5 – Coefficients d’atténuation massique µρ pour l’eau ρ étant la masse volumique du matériau.

et composée de fines lamelles d’un matériau opaque aux rayons X, elle est plus ou moins efficaceselon le type de grille utilisé. Si elle supprime une partie importante du diffusé, elle supprimeégalement une partie importante du rayonnement direct, ce qui nécessite d’augmenter la dosedélivrée au patient. Une autre méthode efficace est d’éloigner le détecteur de l’objet. C’est laméthode dite de « l’airgap » (couche d’air)[1]. Une partie importante des photons diffusés vaalors naturellement sortir du champ. Si la méthode est simple et efficace, elle pose néanmoins leproblème du grandissement : augmenter la couche d’air augmente le grandissement et accentue leflou géométrique, et la projection de l’objet pourra alors également sortir du champ.

– Calibration ou étalonnage expérimentale du diffusé : Cette méthode permet d´éliminer quasicomplètement le rayonnement diffusé. On réalise deux images, une image en plaçant une grillede billes de plomb sur l’objet et une sans. Sur l’image avec grille, seul le rayonnement diffuséparviendra derrière ces billes de plomb sur le détecteur, et on pourra alors obtenir la nappe dediffusé par interpolation. En soustrayant cette nappe à l’image sans billes de plomb, on élimineune très grande partie du rayonnement diffusé. On trouvera dans [29] une application de cetteméthode en ostéodensitométrie. Si la technique est en pratique relativement simple à mettre enœuvre, elle pose encore une fois l’épineux problème de la dose délivrée au patient, puisque deuximages doivent être réalisées.

– Les moyens analytiques : On cherche ici à calculer analytiquement le diffusé pour ensuite lesoustraire. Dans [119], on trouve une méthode qui estime le diffusé comme étant une convolutiondu rayonnement direct. Un processus de déconvolution permet alors de réduire la composantediffusée.

Ayant maintenant brièvement décrit la radiographie et les principales interactions rayonnement ma-tière, nous allons dans la partie suivante aborder la tomosynthèse qui utilise un ensemble de radiographiespour reconstruire l’objet étudié.

I-1.2 Principes de la Tomosynthèse 13

1.2 Principes de la Tomosynthèse

1.2.1 Place de la tomosynthèse parmi les différentes modalités d’imagerie X

Différentes techniques d’imagerie par rayonnnement X permettent de détecter et d’analyser certainespathologies chez un patient. On peut regrouper ces techniques en trois catégories :

– La radiographie, utilisée couramment par les médecins. Dans ce cas, l’ensemble de la zone àétudier est projetée sur un capteur 2D. On perd alors toute notion d’informations 3D sur la structurede l’objet irradié, tous les plans perpendiculaires à la direction source-capteur étant sommés lesuns aux autres suivant cette direction.

– La tomosynthèse utilise un ensemble de projections acquises sous différents angles de vue à partird’une trajectoire source quelconque. En combinant ces projections, il est possible de reconstruireen trois dimensions le volume projeté et ainsi d’obtenir des informations 3D sur l’organe examiné.

– La tomographie ou scanner permet, à partir d’un grand nombre de projections acquises sur 360

autour du patient, de reconstruire une coupe transversale 2D de manière exacte. En faisant dumulti-coupes, on parvient à former un volume 3D. En scanner hélicoïdal, couramment utilisé enroutine clinique, le patient est déplacé d’un mouvement lent et continu pendant l’acquisition tomo-graphique conventionnelle[26]. La tomographie 3D à partir de projections bidimensionnelles surune intervalle angulaire restreint est une autre alternative permettant de reconstruire directementun volume tridimensionnel.

Ces trois techniques sont représentées sur la figure 1.6, dans laquelle la tomosynthèse est illustréepour deux cas particuliers de trajectoire source, les trajectoires linéaire et circulaire. Le cas circulairemet bien en évidence la différence entre tomosynthèse et tomographie. Dans le cas de la tomographie, latrajectoire est un cercle situé dans le plan de reconstruction. En tomosynthèse, la trajectoire n’appartientpas au plan de reconstruction. Or, pour pouvoir reconstruire l’objet exactement, il est nécessaire devérifier la condition de « complétude » de Tuy [115] sur la trajectoire de la source : « Tout plan coupantl’objet à reconstruire doit couper en au moins un point la trajectoire de la source ». En tomosynthèsecirculaire comme en tomosynthèse linéaire, on voit aisément que cette condition n’est pas vérifiée. Ils’en suit un problème d’angle limité qui va limiter la résolution spatiale suivant l’axe vertical.L’apport d’une technique telle que la tomosynthèse est potentiellement très important en médecine dansla mesure où elle rend possible l’obtention d’informations sur la structure 3D de l’objet étudié à partird’une simple table de radiologie classique munie de fonctions de translation et/ou de rotation du tubeet du détecteur. La tomosynthèse vient donc se placer entre ces deux extrêmes que sont la radiographieet la tomographie. L’inconvénient majeur de la tomosynthèse par rapport au scanner est la mauvaiserésolution verticale due à une acquisition sur un secteur angulaire limité.

1.2.2 La tomosynthèse sur film

Les fondements de la tomosynthèse développés par Ziedses Des Plantes [124] et Grant [40] utilisaientun film comme capteur. L’examen consiste ici à déplacer en continu source et film dans des directionsopposées. Dans ces conditions, les structures situées dans le plan de focalisation sont nettes alors que lesstructures situées dans les autres plans sont entachées d’un flou dû au déplacement synchrone source-film. Un examen de tomosynthèse sur film permet de se focaliser sur un unique plan de profondeur. Dansla mesure où l’on intègre en continu le rayonnement sur le film, une dose équivalente à une radiographieclassique suffit à produire un plan de focalisation avec un niveau de bruit convenable. Néanmoins, pouravoir accès à d’autres plans de profondeur, il est nécessaire de modifier la géométrie et de recommencerl’examen, ce qui soulève alors le problème de dose délivré au patient. L’avantage majeur de cette tech-nique est la possibilité de produire ces plans de profondeur à partir d’une table de radiologie classique,la plupart étant munies de fonctions de translations ou de rotations du tube et du détecteur.


FIG. 1.6 – La radiographie, la tomosynthèse et la tomographie

L’arrivée du scanner et la possibilité de reconstruire précisément des coupes 2D transversales a rendupeu fréquente l’utilisation de la tomosynthèse en milieu hospitalier. Il a fallu attendre l’avènement desdétecteurs numériques pour relancer l’intérêt de la communauté scientifique à l’égard de cette technique.

1.2.3 La tomosynthèse numérique

Plutôt que d’intégrer les photons en continu sur un film, l’utilisation de capteurs numériques rendpossible l’acquisition de plusieurs projections distinctes. Ainsi, une fois l’acquisition effectuée, il de-vient possible de combiner a posteriori et à volonté ces projections pour reconstruire un volume 3Dentier.En tomosynthèse numérique, l’acquisition ne se fait plus continûment : pour chacune des positions de lasource, on réalise une acquisition. L’algorithme de reconstruction est ensuite relativement simple puis-qu’il consiste en une sommation et un décalage des projections. En sommant point par point toutes lesprojections, on a accès au plan de focalisation, le procédé est analogue à la tomosynthèse sur film. Endécalant les projections avant de les sommer, on peut cette fois avoir accès à n’importe quel plan de fo-calisation (figure 1.7). L’important est que ces opérations peuvent se faire après l’examen, et permettentà partir d’un nombre fini d’acquisitions radiographiques d’obtenir un nombre infini de plans de recons-truction [74]. De même que pour le film, il est possible de réaliser cet examen à partir d’une table deradiologie classique munie de fonction de rotation/translation, avec une option en plus, un détecteurnumérique.

Néanmoins le plan sur lequel on se focalise va être, selon le même procédé qu’en tomosynthèse surfilm,« contaminé » par les plans voisins. Sur un plan de reconstruction, les structures situées sur ce planseront représentées de manière nette alors que les structures situées au-dessus et en-dessous de ce planapparaîtront de façon floue. Le défi est alors de supprimer ou d’atténuer les structures floues provenantdes autres plans, autrement dit d’augmenter la résolution verticale.


FIG. 1.7 – Principe de la reconstruction en tomosynthèse

1.2.4 Dose et autres modes d’acquisition des projections en tomosynthèse

Il existe plusieurs modes d’acquisition des projections. Les deux méthodes les plus utilisées sont latomosynthèse linéaire et la tomosynthèse circulaire (figure 1.6), avec les variantes qui leur sont associées.On peut en effet trouver des configurations où le détecteur est fixe et d’autres où il est mobile. Si ledétecteur est fixe, la zone de reconstruction sera plus petite que si le détecteur est mobile. Les projectionsseront alors moins tronquées, ce qui aura pour effet d’introduire moins d’artefacts de reconstruction.

Que ce soit pour la tomosynthèse linéaire ou circulaire, le principe d’acquisition reste le même :on réalise un ensemble de projections en décentrant la source par rapport au détecteur, sur un secteurangulaire limité. On peut alors imaginer des déplacements plus compliqués ayant pour but de rassemblerle plus possible d’information pertinente sur l’objet. Cette optimisation de la géométrie d’acquisition anotamment été étudié par Webber [122].

Par ailleurs, l’utilisation de la tomosynthèse dans le domaine médical soulève le problème de la dosedélivrée au patient. Un examen de tomosynthèse doit théoriquement délivrer une dose équivalente à uneradiographie [40]. Chaque projection est donc réalisée avec une dose égale à 1/N fois la dose pour uneradiographie classique, N étant le nombre de projections générées. Une tomosynthèse permet donc dereconstruire à trois dimensions à partir d’un système classique de radiologie, tout en délivrant une doseéquivalente à une radiographie. Ce point qui est un avantage par rapport à la tomographie classique pourraentraîner un problème de bruit sur les projections qu’il faudra traiter pour reconstruire correctement.

1.2.5 Les domaines d’application de la tomosynthèse en milieu clinique

Avec le développement des détecteurs numériques, la tomosynthèse a fait l’objet de nombreuses pu-blications et s’est montrée être intéressante dans de nombreux domaines. Étant donné le faible nombrede données disponibles, que ce soit au niveau débattement angulaire ou nombre de projections, il sembleillusoire de reconstruire des objets type « tissus mous » où les structures sont peu contrastées. La tomo-synthèse est bien plus intéressante et efficace pour des objets à fort contraste, type os ou réseau vasculaireavec injection de produit de contraste par exemple.


En mammographie

On cherche à améliorer la détection et la caractérisation de cancers du sein. Dans [82], on trouveune application de la tomosynthèse en mammographie, pour la détection de cancers du sein. L’auteursouligne que même avec les récentes avancées en matière de d’imagerie du sein, entre 10 et 30% decancers ne sont pas détectés. Une des raisons est la présence de tissus denses qui tendent à masquerles éventuelles calcifications. La possibilité de reconstruire le volume à trois dimensions, même avec unprocédé simple de sommation et décalage, permet au radiologue de voir à travers ces structures et dediagnostiquer ou non leur présence. Par ailleurs, la possibilité de réaliser cet examen avec une dose iden-tique à celle d’une mammographie standard est un atout important. L’épaisseur de coupe est calculée etévaluée expérimentalement à 2.5mm, ce qui semble faible mais reste cohérent dans la mesure où la dis-tance source détecteur est elle aussi faible. La configuration géométrique proposée pour cette applicationest représentée figure 1.8, sur laquelle nous pouvons voir que le détecteur reste fixe.

Tube X

Axe de Rotation

Plaque de compression

Détecteur numérique

Sein

FIG. 1.8 – Système de tomosynthèse en mammographie

En angiographie soustractive

L’angiographie soustractive consiste à réaliser deux acquisitions, l’une avec injection de produit decontraste en intra-veineux, et l’autre sans injection. Une soustraction des deux images permet d’obte-nir une image des vaisseaux. Comme souligné dans [61],[24],[108], cette technique pose problème sile patient a un débit cardiaque faible et surtout si les différentes artères opacifiées se superposent. Cetype d’application est favorable à l’utilisation de la tomosynthèse, dans la mesure où les structures sonttrès contrastées et que la tomosynthèse permet de reconstruire différentes coupes et donc d’éviter lesproblèmes de superposition des artères. On trouvera également dans [111] une étude plus récente sur latomosynthèse en angiographie. Un problème peu évoqué dans ces études est la durée de l’examen qui doitêtre compatible avec l’élimination naturelle du produit de contraste. Par ailleurs, ce type d’applicationest aujourd’hui plus réservée à la reconstruction 3D avec un arceau en C.

En dentaire

Webber propose dans [122] d’utiliser une géométrie d’acquisition fonction de l’organe à explorer,les paramètres géométriques étant inconnus a priori. Cela laisse une certaine liberté au radiologue pourl’acquisition, les paramètres géométriques sont évalués a posteriori en combinant la position de mar-queurs placés sur l’objet (typiquement de petites billes de plomb) et la position de la projection de cesmarqueurs. Dans [122], l’application visée est le domaine dentaire.Lauritsch[64] propose également une technique de rétroprojection filtrée en dentaire. La géométrie deprojection est « intra-orale » et est basée sur un système de tomosynthèse circulaire. La technique permet


de mettre en évidence la partie alvéolaire de la dent. L’auteur souligne l’intérêt de la méthode pour desapplications en chirurgie dentaire, et pour le placement d’implants.

La tomosynthèse est une technique courante en imagerie panoramique dentaire, avec film ou détec-teur numérique. Un cliché panoramique dentaire (ou orthopantomogramme) est une radiographie desdents et des mâchoires. Cet examen est indiqué pour rechercher diverses anomalies dentaires commeles caries, les abcès, les tumeurs osseuses ou les fractures maxillaires ou dentaires. Lors de la prise ducliché, la caméra se déplace devant le visage tout autour de la mâchoire. On parvient ainsi à former un« développé » de la mâchoire par intégration en continu des photons sur le capteur.

En orthopédie

On s’intéresse plutôt ici au diagnostic sur des fractures complexes, des traumatismes sur des zonestelles que le rachis, le plateau tibial, la cheville, le poignet, le genou (rupture du ligament croisé parexemple[108]) ou la hanche. Le suivi de prothèse peut également être une application envisageable, bienque la présence d’objets métalliques puisse engendrer de sévères artefacts à la reconstruction. La possi-bilité de reconstruire des images «grand champ» laisse penser qu’on peut également utiliser la tomosyn-thèse pour l’imagerie des os longs, tels que le tibia ou le fémur. Dans [121] , des coupes tomosynthétiquesde mains sont présentées, et permettent de mettre en évidence des détails intéressants dans la région dupoignet. Une étude sur l’arthrose au niveau des mains et des doigts[31] montre également le potentiel dela tomosynthèse pour de telles applications.L’article de Sone [108] détaille de nombreuses applications potentielles de la tomosynthèse, avec no-tamment l’imagerie de petites structures anatomiques, telle que l’oreille par exemple, la bi-énergie ou ladétection de nodules pulmonaires. Pour le genou, la tomosynthèse se révèle utile pour l’arthrographie 1.

Imagerie thoracique

Pour le dépistage et le suivi de cancers, la résolution demandée par les médecins est une couped’épaisseur 1 à 3 mm, ce qui est assez exigeant par rapport aux possibilités de la tomosynthèse. Nousverrons néanmoins qu’il est possible de détecter des nodules pulmonaires dans une partie dédiée. Desreconstructions sur thorax entier sont présentées dans [121]. Les artefacts de troncature ne sont pas traités,et donc l’auteur suggère de limiter le débattement angulaire pour éviter ces artefacts. Néanmoins, avecseulement 6.4 degrés de débattement angulaire, on parvient déjà à distinguer les côtes en coupe et à sefocaliser sur certaines structures.

En chirurgie interventionnelle

Si on ne trouve pas dans la littérature d’application de la tomosynthèse en chirurgie interventionnelle,on peut néanmoins facilement envisager un tel cas. En effet, la configuration géométrique d’une tabled’opération est propice à l’utilisation de la tomosynthèse, en déplaçant la source dans la direction de latable, le détecteur étant situé sous le lit opératoire. On peut ainsi améliorer les images radiographiqueshabituelles en apportant une information 3D et en améliorant le contraste, puisque les diverses structuresmétalliques du lit opératoire sont sur un plan situé sous le plan d’intérêt. Par ailleurs, la dose délivrée aupatient est identique voire inférieur à celle d’une radiographie classique.Pour approfondir ce point, nous pouvons citer l’exemple du vissage pédiculaire, illustré figure 1.9. Levissage pédiculaire a été préconisé dès 1962 en chirurgie vertébrale afin d’assurer une fixation segmen-taire rigide du rachis pour le traitement de nombreuses pathologies comme les fractures ou certainesformes de scoliose[73]. C’est une technique délicate en raison de la proximité de la moelle et surtout

1. L’arthrographie est un examen qui ne nécessite pas d’hospitalisation et consiste à injecter dans l’articulation un produitopaque iodé, puis à prendre des clichés radiographiques qui permettront de visualiser l’intérieur de l’articulation, en particulierles ligaments et le ménisque en ce qui concerne le genou.


de l’artère vertébrale. La visée et le vissage transpédiculaire s’effectuent sans contrôle visuel direct, lechirurgien utilisant ses connaissances anatomiques pour réaliser ce geste. Des visées non strictementintrapédiculaires peuvent être à l’origine de complications neurologiques ou vasculaires. La chirurgieassistée par ordinateur s’est récemment révélée être une technique efficace pour réduire le nombre de visnon strictement intrapédiculaires[73]. Une autre alternative, pouvant éventuellement se combiner aveccette technique, serait d’utiliser la tomosynthèse pour contrôler et suivre dans un plan frontal la viséepédiculaire.

FIG. 1.9 – A gauche, vue de la visée pédiculaire. A droite, montage final. La vis fait entre 30 et 35 mm.D’après [63]

1.3 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre le principe de la radiographie puis de la tomosynthèse. D’unpoint de vue clinique, la tomosynthèse est intéressante dans la mesure où elle permet d’obtenir des in-formations tridimensionnelles sur l’organe étudié à partir d’une table de radiologie standard. Nous avonségalement isolé les principales applications envisageables en tomosynthèse, et avons soulevé l’intérêtpotentiel de cette technique en chirurgie interventionnelle.Par ailleurs, nous avons d’ores et déjà mis en évidence une limite en terme de résolution verticale, ce quipeut être restrictif pour certaines de ces applications. Afin d’avoir une idée plus précise sur cette perte derésolution, nous allons dans le chapitre suivant formaliser un peu plus le problème et notamment analyserl’information disponible dans le domaine de Fourier.

Chapitre 2

Mathématiques en tomographie et entomosynthèse

Après avoir défini de manière assez générale la tomosynthèse dans le chapitre précédent, nous allonsmaintenant analyser le problème théoriquement. La tomographie fait aujourd’hui l’objet de nombreusesrecherches , ce qui a conduit à un cadre mathématique rigoureux. Dans ce chapitre, nous proposons d’ap-pliquer une partie de ces principes à la tomosynthèse afin de mieux formaliser le problème de résolutionverticale déjà évoqué. Nous nous attacherons plus à la tomosynthèse linéaire dans la mesure où c’estl’objet principal de cette thèse, mais il est facile de passer de la géométrie linéaire à la géométrie circu-laire par exemple.Dans cette partie, afin de se conformer aux conventions usuelles de la tomographie et des méthodesanalytiques, l’objet à reconstruire est noté f ,et les coordonnées spatiales 2D x et y.

19

20 Mathématiques en tomographie et en tomosynthèse

2.1 Opérateurs et relations entre les différents espaces

L’objectif de ce paragraphe est de rappeler les notions élémentaires de reconstruction analytique entomographie, et notamment l’expression des différents opérateurs couramment utilisés. Même si noustravaillerons toujours sur des données coniques, nous nous restreignons volontairement au cas parallèleafin de ne pas faire un état de l’art trop complexe et trop détaillé qui sortirait du cadre de cette thèse. Lelecteur pourra trouver dans [49] une étude complète et détaillée sur le sujet.

2.1.1 Transformée Radon 2D

La transformée de Radon [94] a été introduite en 1917 par J. Radon. En 2D, la transformée de Radonest une transformation linéaire qui associe à un objet f(x, y) l’ensemble des intégrales sur les droites duplan. Commençons par définir une ligne L dans le plan (x, y) par :

ρ = x cos θ + y sin θ

En utilisant le vecteur unitaire ~ξ défini par ~ξ = (cos θ, sin θ), on peut déterminer le point d’intersectionentre la normale à l’origine et la ligne L :

(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ~ξ

FIG. 2.1 – Paramètres géométriques pour la transformée de Radon

La transformée de Radon 2D Rf(ρ~ξ) est alors définie par l’intégrale de la fonction f(x, y) sur toutesles lignes possibles du plan :

Rf(ρ~ξ) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − ρ)dxdy (2.1)

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(~x)δ(~x · ~ξ − ρ)d~x (2.2)

avec~x = (x, y)

2.1.2 Transformée en Rayons X

Pour faire le lien avec les projections physiquement acquises, nous allons définir la transformée enrayons X. On sait que chaque rayon X traversant l’objet produit l’intégrale de l’objet le long de ce rayonentre la source et le détecteur. La transformée en rayons X est définie par :

Xf(ρ~ξ) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − ρ)dxdy (2.3)

I-2.1 Opérateurs et relations entre les différents espaces 21

A deux dimensions, on voit alors qu’il y a équivalence entre la transformée en rayons X et la transforméede Radon définie dans l’équation 2.1.

2.1.3 Opérateur de rétroprojection

L’opérateur de rétroprojection d’une projection g ou opérateur d’épandage est l’adjoint de l’opérateurde projection. Il est défini en 2D par :

R#g(~x) =

∫ 2π

0g(θ, x cos θ + y sin θ)dθ (2.4)

Il existe également un opérateur de rétroprojection en géométrie divergente et qui tient compte de laconicite [88],[91].

FIG. 2.2 – Illustration des opérations de projection et de rétroprojection

On comprend sur la figure 2.2 qu’en tomographie, pour retrouver l’objet original à partir de ses pro-jections, une simple rétroprojection ne suffira pas. Dans l’exemple de cette figure, il subsistera toujoursun niveau continu autour du disque à reconstruire, même si on a un grand nombre de projections.Nous pouvons ici faire un lien entre cette figure et la figure 1.7 et nous apercevoir que l’opération desommation et décalage en tomosynthèse est analogue à une opération de rétroprojection à une différenceprès. Pour reconstruire tous les plans en tomosynthèse, il est nécessaire de réaliser autant d’opérationsde sommation et décalage que de plans souhaités. C’est ainsi qu’on peut choisir de ne reconstruire qu’unplan de profondeur. En rétroprojection, on reconstruit 1 en une seule fois l’objet projeté. La rétroprojec-tion en tomosynthèse est illustrée sur la figure 2.3

FIG. 2.3 – Illustration des opérations de projection et de rétroprojection en tomosynthèse

1. Reconstruire est un abus de langage dans la mesure où l’on ne reconstruit pas exactement l’objet


2.1.4 Inversion de la transformée de Radon 2D

L’inversion de la transformée de Radon 2D se fait grâce à la formule de rétroprojection filtrée :

f(x, y) =1

2

∫ +π

−πF−1

ωR

[|ωR|FRf(ωR

~ξ)]dθ (2.5)

Dans cette équation, FωRest l’opérateur de transformée de Fourier suivant ωR =

√ω2

x + ω2y , défini par :

F(ωx) =

∫ +∞

−∞f(x)eiωxxdx, à 1D (2.6)

F(ωx, ωy) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y)ei(ωxx+ωyy)dxdy, à 2D (2.7)

FRf(ωR~ξ) est la transformée de Fourier de Rf(ωR

~ξ). On peut ainsi interpréter l’équation 2.5 de lafaçon suivante : pour reconstruire exactement l’objet f(x, y), il faut :

– Calculer la transformée de Fourier des projections : FRf(ωR~ξ) = FX f(ωR

~ξ)

– Multiplier le résultat par le filtre |ωR|, appelé filtre rampe à cause de sa forme,

– Calculer la transformée de Fourier inverse du résultat,

– Rétroprojeter les projections filtrées

– Pondérer le résultat par un facteur 12

On peut également écrire l’équation 2.5 sous la forme suivante :

f(x, y) =1

4π2

∫ +π

−π

∫ +∞

−∞

∂

∂ρRf(ρ~ξ)

1

x cos θ + y sin θ − ρdρdθ (2.8)

2.1.5 Transformée de Radon 3D

La reconstruction 3D analytique exacte d’objets à partir

FIG. 2.4 – Transformée de Radon 3D

de ses projections 2D reste encore aujourd’hui un vaste sujetd’étude. A trois dimensions, nous considérons des plans d’in-tégration à la place de lignes d’intégration. La transformée deRadon associe alors à l’objet f(x, y, z) l’ensemble des inté-grales sur les plans de l’espace. De manière tout à fait équiva-lente au cas 2D, on obtient :

Rf(ρ~ξ) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(~x)δ(~x · ~ξ − ρ)d~x (2.9)

avec

ρ = x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ

~ξ = −(sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ)

Une formule d’inversion analogue à 2.5 peut être écrite, faisant intervenir cette fois ci non plus lefiltre rampe |ωR|, mais le filtre ω2

R [49]. Par ailleurs, la transformée en rayons X étant basée sur des inté-grales sur des lignes, elle diffère de la transformée de Radon 3D qui intègre sur des plans. En géométrieparallèle, une simple intégration supplémentaire sur une ligne permet de passer de l’un à l’autre. Celan’est plus vrai en géométrie conique où un algorithme spécifique a été développé par Grangeat[39].

I-2.2 Réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse linéaire 23

2.1.6 Théorème coupe-projection en tomographie

Il est possible d’établir un lien direct entre le domaine de Fourier et le domaine de Radon à travers lethéorème coupe-projection. A 2D et en géométrie parallèle, on peut l’énoncer de la façon suivante :Théorème 1. La transformée de Fourier 1D FRf(ωR

~ξ) d’une projection Rf(ρ~ξ) de f(x, y) dans ladirection θ est égale à la coupe suivant le même angle de la transformée de Fourier 2D de f(x, y).Mathématiquement, cela s’écrit :

FRf(ωR~ξ) = Ff(ωR cos θ,R sin θ) (2.10)

La figure2.5 illustre le théorème coupe-projection en géométrie parallèle.

FIG. 2.5 – Théorème coupe projection à 2D

A trois dimensions et en géométrie parallèle, on peut énoncer le même théorème :

Théorème 2. La transformée de Fourier 2D d’une projection dans la direction θ de la fonction f(x, y, z)est égale à la coupe de la Transformée de Fourier 3D de f(x, y, z) suivant le plan passant par l’origineet orthogonal à la direction θ. Ce théorème s’écrit :

FRf(ωR~ξ) = Ff(ωR sin θ cosϕ, ωR sin θ sinϕ, ωR cos θ) (2.11)

2.1.7 Conclusion

Nous avons dans cette partie rappelé une propriété importante : le théorème coupe projection. Dans lecas de la tomographie, nous avons un grand nombre de projections uniformément réparties sur [0,180].Le domaine de Fourier associé est « entièrement rempli », on dit que les données sont complètes. Dans lecas de la tomosynthèse linéaire, l’intervalle angulaire de prise de vues est restreint et le nombre de pro-jections est faible. Le reste de ce chapitre est consacré à la tomosynthèse, avec tout d’abord la définitionde la réponse impulsionnelle, puis le théorème coupe-projection en tomosynthèse. Nous nous focalisonsplus particulièrement sur le cas de la tomosynthèse linéaire.

2.2 Réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse linéaire

2.2.1 Système continu

Dans l’article fondateur de Grant [40], la notion de Fonction de Transfert d’une coupe (STF pourSlice Transfert Function ) est introduite. La STF est un critère proche de la réponse impulsionnelle qui


permet de caractériser l’influence d’un plan sur ses plans voisins. Pour définir ce critère, Grant calculela réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse. Pour une trajectoire linéaire, cette réponseimpulsionnelle est une droite de longueur ∆ (M étant le grandissement et α l’angle maximum de vue) :

∆ = 2Mz tanα (2.12)

En prenant la transformée de Fourier en (x, y) de l’équation 2.12 on obtient dans le cas de la tomosyn-thèse linéaire et pour un déplacement continu :

H(ωx, ωy|z) =

∫ ∆/2

−∆/2e−jxωxdx (2.13)

=sin(ωxMz tanα)

ωxMz tanα(2.14)

On voit que la STF dépend de z. Nous mettons ainsi en évidence une propriété intéressante : larésolution dépend de la profondeur. Pour la tomosynthèse circulaire la STF s’écrit :

H(ωx, ωy|z) = J0[Mz. tanα.ωr] , avec ω2r = ω2

x + ω2y (2.15)

H(ωx, ωy|z) caractérise l’influence des fréquences (ωx, ωy) situées à la distance z du plan étudié. Cettefonction est un sinus cardinal (respectivement une fonction de Bessel d’ordre 0 pour le cas circulaire). Sion considère que toute l’énergie du signal est dans le premier lobe, celui-ci va nous donner l’épaisseurde coupe pour une fréquence donnée, et donc une idée de la résolution à atteindre.

(a) La Fonction de Transfert de Coupe (b) H(ωx, ωy, ωz)

FIG. 2.6 – Analyse dans le domaine de Fourier

La fonction tangente étant croissante, on voit qu’un angle de projection croissant permettra d’obtenirune épaisseur de coupe plus faible. Le cas limite où α = π

2 donne une épaisseur de coupe nulle, on aalors équivalence entre un système de tomographie classique et un système de tomosynthèse avec unangle de vue α = π

2 correspondant à une trajectoire linéaire infinie. Par ailleurs, on voit sur la figure2.6(a) que l’épaisseur de coupe est inversement proportionnelle à la fréquence spatiale. Ainsi, les objetshaute fréquence (petits objets) diffuseront moins loin que les objets basse fréquence (gros objets). Ceciest particulièrement important pour notre étude puisque cela joue directement sur l’application pourlaquelle la tomosynthèse peut être utilisée. Il sera plus facile de reconstruire des petits objets contrastéstypiquement rencontrés en orthopédie que des gros objets peu contrastés.

I-2.3 Théorème coupe-projection en tomosynthèse linéaire 25

On peut également représenter la fonction de transfert dans le domaine de Fourier (ωx, ωy, ωz). Il suffitde calculer la transformée de Fourier suivant z de l’expression 2.14 qui conduit à :

H(ωx, ωy, ωz) =1

Mωx tanα

∏

largeur(Mωx tan α)

(ωz) (2.16)

La représentation graphique deH(ωx, ωy, ωz) est présentée sur la figure 2.6(b). Cette courbe confirmetrois éléments :

– Tout d’abord, le problème de l’angle limité apparaît clairement puisque l’opération de projection,représentée mathématiquement par h(x, y, z) qui a pour transformée de Fourier H(ωx, ωy, ωz),coupe toutes les fréquences suivant z supérieures à ωmax

z = Mωx tanα. Aucune information surles fréquences supérieures à ωmax

z ne sera disponible sur les données (les projections).

– La forme de H(ωx, ωy, ωz) dans le plan (ωx, ωz) montre que plus la fréquence spatiale ωx seraélevée, plus d’information en profondeur (suivant ωz) sera disponible.

– Enfin, nous voyons que l’opération de projection est un filtre passe-bas, les projections seront plusbasse fréquence que l’objet lui même.

2.2.2 Système discret

Dans le cas de la tomosynthèse numérique, on vient acquérir un certain nombre de projections,et la translation est discrète. La STF pour un tel système peut être calculée de la même manière queprécédemment et donne, pour une translation discrète :

HN (ωx, ωy|z) =1

N

sin(ωxMz tanα)

sin(

ωxMz tan αN

) (2.17)

Cette fonction de transfert est en fait une périodisation de la fonction sinus cardinal 2.14. Chaque sinuscardinal est à la distance 2π

N.2Mz tan α de son voisin.Dans [40], le nombre de projections permettant de produire le même flou que dans le cas continu estcalculé. Pour cela, il faut supposer que le plan P0 auquel on s’intéresse est à support spectral limité :

F0(ωx, ωy) = 0, |ωx| > ω0 (2.18)

On a alors :

N >2Mz tanα

πω0 (2.19)

Ainsi, si N est choisi suffisamment large, une acquisition discrète produira logiquement un filtragedes fréquences identique au cas continu. On peut aussi montrer que le processus d’acquisition réduitle contenu fréquentiel de chaque plan de l’objet par un facteur 1

N . Finalement, un nombre de projectionsde l’ordre d’un vingtaine suffit à approcher la tomosynthèse linéaire avec déplacement continu.

2.3 Théorème coupe-projection en tomosynthèse linéaire

Notations :

f(x, y, z) l’objet à reconstruire,f(ωx, ωy, ωz) = Ff(ωx, ωy, ωz) sa transformée de Fourier,p(x, y) une projection,p(ωx, ωy) = Fp(ωx, ωy) sa transformée de Fourier,~cn le vecteur directeur de la source.F l’opérateur de transformée de Fourier


(a) Géométrie d’acquisition pourune projection. α varie entre−αmax, +αmax

(b) Changement de repère

FIG. 2.7 – Schéma de base pour le théorème coupe-projection

Il est intéressant d’analyser le problème dans le domaine de Fourier, pour bien comprendre le lienentre projections et fréquences manquantes. Pour cela, on se replace dans le cas de la tomosynthèselinéaire. En suivant l’approche décrite dans [18] pour la tomosynthèse circulaire, nous allons établirl’expression analytique du théorème coupe-projection dans le cas de la tomosynthèse linéaire. Pour cela,on part de la figure 2.7(b) où l’on observe qu’on passe de la configuration 1 à la configuration 2 par unsimple changement de repère.

Dans le cas 1 de la figure 2.7(b), chaque rayon traverse une distance d1 = |~cn| =√

1 + x2n dans

l’objet f(x, y, z). Dans le cas 2, chaque rayon traverse la distance d2 = |~cns| = 1 dans l’objet f(x −xnz, y, z). Pour obtenir la même projection dans les deux cas, il faut multiplier l’image ayant subie lechangement de repère par d1

d2= |~cn|

|~cns| = |~cn|. La projection s’écrit alors:

p(x, y) = |~cn|∫f(x− xnz, y, z)dz (2.20)

La transformée de Fourier de p(x, y) s’écrit :

p(ωx, ωy) =

∫ ∫p(x, y)e−2iπ(ωx,ωy).(x,y)dxdy (2.21)

En introduisant p(x, y), on obtient :

p(ωx, ωy) =

∫ ∫ [|~cn|

∫f(x− xnz, y, z)dz

]e−2iπ(ωx,ωy).(x,y)dxdy (2.22)

En effectuant le changement de variable suivant

x′ = x− xnz; y′ = y; z′ = z (2.23)

on obtient

p(ωx, ωy) = |~cn|∫ ∫ ∫

f(x′, y′, z′)e−2iπ(ωx,ωy).(x′+xnz,y′)dx′dy′dz′ (2.24)

On peut réécrire la formule précédente :

p(ωx, ωy) = |~cn|∫ ∫ ∫

f(x′, y′, z′)e−2iπ.(x′,y′,z′)(ωx,ωy ,ωxxn)dx′dy′dz′ (2.25)

I-2.4 Conclusion 27

Sachant que la transformée de Fourier de f(x, y, z) s’écrit :

f(ωx, ωy, ωz) =

∫ ∫ ∫f(x, y, z)e−2iπ.(x,y,z)(ωx,ωy ,ωz)dxdydz (2.26)

on obtient le résultat suivant :

f(ωx, ωy, ωxxn) =1

|~cn|p(ωx, ωy) (2.27)

Cette équation correspond au théorème coupe-projection, dans le cas de la tomosynthèse linéaire etpour un rayonnement incident parallèle. Elle montre comment on peut passer de p(ωx, ωy) à f(ωx, ωy, ωxxn).Elle montre également que la composition du domaine de Fourier dépend complètement de la géométried’acquisition. Ce théorème coupe-projection montre qu’une coupe de la transformée de Fourier 3D del’objet correspond à la transformée de Fourier 2D d’une projection. On aura donc un domaine de Fourierqui ne sera pas rempli complètement, on parle de données angulaires manquantes [80]. La représentationde l’espace de Fourier à trois dimensions est faite sur la figure 2.8.

FIG. 2.8 – Représentation tridimensionnelle de l’espace de Fourier dans le cas de la tomosynthèse li-néaire.

On voit sur cette figure que l’espace de Fourier est composé de deux zones : une zone où les donnéessont disponibles, et une zone où les données ne le sont pas. Cela se traduit dans le domaine spatial parune perte de résolution dans la direction verticale. L’objet principal de cette thèse est d’améliorer cetterésolution verticale. Par ailleurs, notons que la nature discrète de l’espace de Fourier est due au nombrefini de projections. Si l’acquisition était faite en continu, la partie du domaine de Fourier où les donnéessont disponibles serait également continu.Remarque : Selon l’orientation de l’objet étudié, l’effet de l’angle limité sera plus ou moins important.En effet, un objet ayant pour direction privilégiée ωx dans l’espace de Fourier subira moins les effets del’angle limité qu’un objet orienté suivant ωz . On voit donc l’importance d’orienter correctement l’objetpour obtenir une reconstruction de bonne qualité. Un exemple typique de ce phénomène est donné dans[53].

2.4 Conclusion

En se basant sur les principes mathématiques de la tomographie, nous avons établi l’équivalent duthéorème coupe-projection pour la tomosynthèse linéaire. On a ainsi pu mettre en évidence de manièreplus formelle un « vide » dans l’espace de Fourier se traduisant par une perte de résolution verticale.Ayant diagnostiqué et analysé le problème, nous allons dans la suite essayer de compléter le domaine de


Fourier afin d’améliorer la résolution. Le terme « données manquantes » signifie clairement que l’on nepossède pas toute l’information nécessaire pour reconstruire exactement l’objet. Ainsi, dans la mesureoù l’on ne rajoute pas de données supplémentaires sous une forme ou sous une autre, il sera impossible,en théorie de l’information, de compléter ce domaine de Fourier avec des éléments exacts, et ce quelque soit l’algorithme utilisé. «Compléter le domaine de Fourier » est donc quelque peu illusoire, mêmesi certains algorithmes itératifs vont en ce sens en le remplissant artificiellement (voir la partie sur lesalgorithmes algébriques).Cela ne signifie pas que l’on doive s’arrêter là et se contenter d’un simple algorithme de sommation etdécalage. S’il est impossible, sans ajouter d’information, de compléter le domaine de Fourier, on peutnéanmoins chercher à exploiter au maximum les données disponibles. De ce point de vue, l’algorithme desommation et décalage n’est pas optimal. La suite de cette thèse a pour but de tirer un meilleur profit desdonnées disponibles par la recherche d’un algorithme optimal. Pour cela, nous analysons dans le chapitresuivant les principales méthodes développées dans la littérature dans un contexte de tomosynthèse, avantde nous replacer dans le cadre plus général des méthodes de reconstruction à angle limité dans le chapitresuivant.

Chapitre 3

Reconstruction en tomosynthèse : État del’art

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que le domaine de Fourier est incomplet, ce qui causeune perte de résolution suivant la direction verticale. Depuis la publication en 1972 de l’article de Grant[40], de très nombreux auteurs se sont penchés sur le problème de l’amélioration de la résolution, ou ladiminution des artefacts (par exemple [36, 53, 60, 64, 71, 101, 109] et plus récemment [110, 121]).Afin « d’éclaircir » la situation, nous avons distingué deux catégories d’approche de reconstruction entomosynthèse :

– Les approches par filtrage rétroprojection

– Les approches par déconvolution

Nous abordons dans ce chapitre chacune de ces deux catégories.

29

30 Reconstruction en tomosynthèse : État de l’art

3.1 Les approches par filtrage rétroprojection

3.1.1 Lien avec la tomographie locale

Dans [53, 69], Karlströms part de la formule de rétroprojection filtrée en tomographie locale et fait lelien avec la tomosynthèse linéaire. Le filtre utilisé classiquement pour la reconstruction tomographiqueest le filtre rampe défini par :

F−1|R|

Le filtre rampe étant très longue portée, la reconstruction correcte de l’objet est impossible si les projec-tions sont tronquées. L’auteur utilise donc un filtre à décroissance plus rapide défini par :

F−1R2

A partir de ce filtre, il calcule la formule de rétroprojection filtrée en géométrie conique, et ce pour unangle limité. L’algorithme comprend trois étapes :

1. Filtrage des projections par le filtre de tomographie locale

2. Rétroprojection des projections filtrées

3. Pondération de chaque plan tomosynthétique par un facteur permettant de prendre en compte laconicité.

Cet algorithme permet de diminuer significativement les artefacts de diffusion de structures suivant l’axevertical, par rapport à une simple rétroprojection. Par ailleurs, la mise en œuvre est relativement simple.On observe néanmoins deux effets perturbateurs, une déformation des objets qui découle directement duproblème de l’angle limité, et un phénomène de rehaussement de contours dans la direction dans laquelleest appliqué le filtre.

3.1.2 Calcul du filtre analytique

Dans [71], la réponse impulsionnelle est calculée analytiquement et est utilisée ensuite dans un pro-cessus de filtrage inverse. Le filtre inverse est uniquement appliqué dans la région où les données sontconnues.

Hinv(ωr, ωθ, ωφ) =

sin ωr

√sin2 ωθ−cos2 ωθ

2√

2dans la zone complète

0 dans la zone incomplète(3.1)

Cela permet de ne pas introduire d’artefacts supplémentaires par une mauvaise estimation des compo-santes de Fourier manquantes. Ainsi, si aucune composante de Fourier n’est générée dans la région où lesdonnées ne sont pas connues, les composantes de Fourier dans la région où les données sont disponiblessont reconstruites exactement. En utilisant cette méthode, aucun artefact de reconstruction n’apparaît surles images, mais par contre la résolution verticale reste très faible.

Nous voyons sur la figure 3.1 que le filtre utilisé est proche d’un filtre rampe filtr(«apodisé») pour lazone où les données sont disponibles.

3.1.3 Optimisation du filtre

On trouve dans [64] une analyse détaillée de la réponse impulsionnelle d’un système de tomosyn-thèse circulaire pour la définition de filtres spécifiques pour la tomosynthèse. Le filtre est décomposé endifférents « sous-filtres», dont l’un est identique à la formule 3.1. Par ailleurs, nous avons vu, notammentdans l’équation 2.14 et sur la figure 2.6(b), que la réponse impulsionnelle dépend de la profondeur duplan considéré z. On aura donc une résolution qui varie avec z. Une des originalités de cet article estl’introduction d’un sous-filtre Hprofile(ωz) afin d’assurer une résolution en profondeur constante quelleque soit la résolution spatiale dans le plan ωx, ωy. Cette fonction prend la forme d’une cloche qui est

I-3.1 Les approches par filtrage rétroprojection 31

FIG. 3.1 – Filtre Hinv(ωr, ωθ, ωφ) [71]

tronquée pour les basses fréquences spatiales. La fonction Hprofile(ωz) est illustrée figure 3.2.Cette approche est limitée par le fait que pour les basses fréquences ωρ, la fonction Hprofile(ωz) esttronquée (figure 3.2) et que l’on retrouve le problème de résolution dépendant de la profondeur. Testéeen tomosynthèse circulaire pour des applications dentaires avec 24 projections et un angle de 12, cetype d’approche améliore nettement la résolution par rapport à une rétroprojection simple. On retrouvecependant sur les images des « rebonds » induits par le filtrage.

FIG. 3.2 – La fonction Hprofile(ωz).


3.1.4 Modification de la réponse impulsionnelle

Stevens [110] a tout récemment proposé une technique originale visant à modifier la réponse im-pulsionnelle du système. Cette approche repose sur la forme « en sablier» de la réponse impulsionnelleen tomosynthèse circulaire, représentée figure 3.3. L’algorithme consiste à passer d’un sablier vide de

Réponse impulsionnelle 3D Coupe de la réponse impulsionnelle 3D

Coupe après modification de la réponse

impulsionnelle 3D

zz

yyxx

xx

yy

Plan focal

FIG. 3.3 – Modification de la réponse impulsionnelle. La nouvelle réponse impulsionnelle est plus ho-mogène hors du plan focal.

forte intensité à un sablier plein, mais d’intensité plus faible. La fonction de transfert devient ainsi plushomogène pour les objets hors du plan de focalisation, ce qui permet d’atténuer les objets situés hors duplan de focalisation et ainsi de gagner en résolution.

Toutes ces approches sont basées sur un processus de filtrage/rétroprojection. Dans la partie suivante,nous allons nous intéresser aux approches basées sur des déconvolutions.

3.2 Les approches par déconvolution

Dans ce cas, on commence par reconstruire l’objet selon le processus de sommation et décalage décritdans les chapitres 1 et 2. Dans un second temps, on applique sur l’objet reconstruit une déconvolution demanière à gagner en résolution.

3.2.1 Déconvolution par filtrage de Wiener

Dans [109], le processus de déconvolution est mis en œuvre par un filtrage de Wiener. La réponseimpulsionnelle est estimée expérimentalement avant d’être utilisée dans le processus de déconvolutionpour rehausser la reconstruction. Ce type de méthode présente l’inconvénient majeur d’être très sensibleau bruit puisqu’on inverse le problème directement par une division dans le domaine de Fourier.

3.2.2 Utilisation de la transformée en ondelettes

On trouve dans un article relativement récent[10] une méthode pour limiter la diffusion des structuresd’un plan à l’autre, en utilisant la transformée en ondelette[70]. Pour cela, l’auteur utilise le fait que surun plan tomosynthétique, les structures appartenant effectivement à ce plan apparaissent de manièrenette (ce qui correspond à des hautes fréquences),tandis que les structures provenant des autres plans

I-3.2 Les approches par déconvolution 33

apparaissant de manière floues (ce qui se traduit par des fréquences plus faibles dans ce plan).A partir de là, l’algorithme est le suivant :

– Reconstruction d’un plan f0 que l’on cherche à restaurer, et des plans adjacents f+1 et f−1.

– Décomposition en ondelette à différentes échelles de ces trois plans, et recherche des maximalocaux dans le domaine des ondelettes pour les trois plans.

– Comparaison des maxima locaux entre les différents plans. Pour une échelle fixée (pour des hautesfréquences), si un maximum local de f+1 ou f−1 est supérieur à un maximum local de f0, alors lecontour associé dans f0 est considéré comme venant de f+1 ou f−1, donc à éliminer.

– On élimine les coefficients en ondelette correspondant aux contours de f0 venant de f+1 ou f−1.

– Transformée en ondelette inverse.

Cette méthode, basée sur un approche originale, semble donner de bons résultats en éliminant « com-plètement », selon l’auteur, les structures venant des plans voisins. Néanmoins, l’auteur souligne quel’approche est efficace uniquement pour des petits objets contrastés, comme en imagerie vasculaire, parexemple. Sur des structures plus larges, donc correspondant à des plus basses fréquences, l’algorithmeest moins efficace puisque ces fréquences se retrouvent à des échelles plus basses de la transformée enondelette qui ne sont pas prises en compte ici.On retrouve en fait ici une propriété établie avec l’équation 2.14 : l’épaisseur de coupe est inversementproportionnelle à la fréquence spatiale, et donc il sera plus facile de reconstruire de petits objets contras-tés. Le principal problème de la tomosynthèse est donc de reconstruire correctement les basses fré-quences.

3.2.3 Restauration « géométrique » basée sur les plans voisins

Roy [36] a développé une approche originale où la restauration se fait après la reconstruction et enutilisant géométriquement les plans voisins du plan que l’on cherche à restaurer. On peut en effet écrirel’expression d’un plan quelconque après reconstruction :

ti(r) = fi(r) +

N−12∑

j=−N−12

,j 6=i

[fj(r) ∗ ∗hij(|r − r′|)] (3.2)

Pour N = 3 (on considère donc que chaque plan est seulement contaminé par deux plans voisins),on peut inverser l’équation 3.2 et obtenir l’expression analytique du plan central :

f0(r) ∗ ∗F (3)(r) = t0(r) ∗ ∗G(3)(r) − [t+1(r) + t−1(r)] ∗ ∗H(3)(r) (3.3)

F (3)(r),G(3)(r),H(3)(r) étant fonction de la réponse impulsionnelle propre au système de tomosynthèseemployé. Ces termes sont passe-haut et viennent rehausser la reconstruction obtenue pas le processus desommation et décalage. Cette approche est relativement simple dans sa mise en œuvre et fonctionne bienpour séparer des petits objets appartenant à différents plans. Néanmoins, elle semble être moins efficacepour des objets plus gros.

3.2.4 Procédé MITS

Plus récemment, Warp [121] s’est basé sur la méthode décrite dans le paragraphe 3.2.3 pour mettreen œuvre une déconvolution tout en stabilisant le processus. Cette approche baptisée MITS pour MatrixInversion Tomosynthesis est en fait équivalente à un filtrage inverse. La modélisation du problème direct


est faite selon l’équation 3.2, mais en prenant en compte tous les plans du volume.

t1 = f1 ∗ h11 + f2 ∗ h12 + . . .+ fn ∗ h1n

t2 = f1 ∗ h21 + f2 ∗ h22 + . . .+ fn ∗ h2n...tn = f1 ∗ hn1 + f2 ∗ hn2 + . . .+ fn ∗ hnn

(3.4)

hij représentant la fonction de diffusion des structures appartenant au plan j venant du plan i. En pre-nant la transformée de Fourier de chacune des équations, les convolutions deviennent des multiplicationset l’on obtient :

T1 = F1H11 + F2H12 + . . .+ fnh1n

T2 = F1H21 + F2H22 + . . .+ fnh2n...Tn = F1Hn1 + F2Hn2 + . . .+ fnhnn

(3.5)

On peut écrire de manière plus concise ce système :

T = F.H (3.6)

qu’on inverse classiquement selon la forme :

f = F−1(H−1.T ) (3.7)

L’opération d’inversion dans le domaine de Fourier étant problématique pour les basses fréquences (lesmatrices étant mal conditionnées) il combine les fréquences spatiales après filtrage inverse avec celles dela reconstruction sans déconvolution. Cette technique hybride élimine sensiblement les structures situéeshors du plan de focalisation et produit des reconstructions de bonne qualité.L’auteur souligne l’intérêt de n’utiliser qu’un faible débattement angulaire pour éviter les artefacts detroncature, notamment pour l’imagerie thoracique où il n’utilise que 6.4 de débattement ! Si limiterce débattement diminue effectivement les artefacts de troncature, cela diminue encore plus fortementla résolution verticale des reconstructions et la technique s’apparente alors plus à de la « radiographielégèrement augmentée » qu’à une reconstruction 3D.

3.2.5 Approches itératives

En 1984, Ruttimann[101] propose d’utiliser une approche itérative pour restaurer la reconstruction.Là encore, une première étape de reconstruction par rétroprojection simple t est effectuée. Dans unsecond temps, le volume est restauré à partir de la formulation suivante :

fk+1 = Cfk + λ(t− Chfk) (3.8)

Dans cette équation, C est une contrainte appliquée sur l’objet f (contrainte de positivité et de supportdans ce cas) et h est l’opérateur qui traduit la réponse impulsionnelle du système de tomosynthèse. Cetype d’approche est en fait complètement équivalent à une méthode de gradient décrite par Landweber[62], avec la contrainte C en plus.L’année suivante, I.E. Magnin [68] propose en tomosynthèse par sources codées une déconvolution baséesur un processus itératif analogue à la formule précédente, mais avec en plus une décomposition en blocsde Kaczmarz. Ce type de décomposition, qui possède des propriétés de convergence bien plus robustes,sera abordé en détail dans la partie suivante et ne sera pas décrit ici.Robini [97],[100] utilise des méthodes Bayesiennes avec des algorithmes de minimisation stochastiquespour reconstruire les défauts présents dans certaines structures métalliques, avec une géométrie de tomo-synthèse circulaire. La reconstruction est réalisée avec un très faible nombre de projections, typiquement

I-3.3 Formule de reconstruction exacte dans le cas d’une trajectoire linéaire infinie 35

7, et un angle de vue de 15. Les reconstructions, de très bonne qualité, exigent néanmoins un tempsde calcul conséquent qui limite l’application de tels algorithmes en milieu médical avec les processeursactuels. De même que précédemment, ce type d’algorithme sera détaillé dans la partie suivante.

3.3 Formule de reconstruction exacte dans le cas d’une trajectoire linéaireinfinie

Dans [107], Smith propose une formule de reconstruction exacte dans le cas de la reconstruction àpartir d’une ligne de points source. La configuration est donc équivalente à la tomosynthèse. En partantde l’équation 2.8, Smith calcule la formule de reconstruction exacte pour une trajectoire linéaire, maisdans le cas particulier où le détecteur est perpendiculaire à la distance source-détecteur, comme illustréfigure 3.4.

FIG. 3.4 – Schémas de base pour la formule de reconstruction exacte. A gauche, le détecteur est perpen-diculaire à la distance source-détecteur. A droite, il est parallèle à la trajectoire source.

Pour établir la formule de reconstruction, on suppose que le détecteur est placé au milieu de l’objet,ce qui n’est physiquement pas réalisable mais simplifie considérablement les calculs. En se basant sur cescalculs, nous avons établi une formule analogue dans le cas où le détecteur est parallèle à la trajectoiresource (voir figure 3.4), comme en tomosynthèse linéaire. Les calculs sont présentés dans l’annexe A.Ainsi, la trajectoire source linéaire infinie permet de reconstruire exactement l’objet. Néanmoins, dèsqu’on passe au cas discret fini, la formule est une approximation et une reconstruction exacte est mal-heureusement impossible. Afin d’obtenir de meilleures reconstruction, Smith propose un traitement depost-reconstruction qui s’avère en réalité être basé sur l’ajout d’information connue a priori sur l’ob-jet. Comme nous le verrons plus loin dans le document, la reconstruction dans un tel contexte ne peuteffectivement se faire correctement qu’en ajoutant des connaissances a priori sur l’objet.


3.4 Conclusion

Ce chapitre était consacré à l’état de l’art des principaux travaux relatifs à l’amélioration de la ré-solution des reconstructions en tomosynthèse. Nous pouvons dégager deux grandes tendances pour lareconstruction en tomosynthèse.

– Utilisation d’un algorithme de filtrage rétroprojection, avec un filtre adapté à la géométrie d’acqui-sition,

– Utilisation de post-traitements type déconvolution/filtrage inverse sur une reconstruction par simplerétroprojection.

D’autres approches, basées sur une inversion itérative mathématique rigoureuse du problème, semblentêtre plus appropriées à un problème tel que la reconstruction en tomosynthèse où l’on a un grave manquede données. Afin de nous replacer dans un contexte général, nous allons dans le chapitre suivant analyserune partie des très nombreuses méthodes de reconstruction avec un problème d’angle limité.

II. État de l’art de la reconstruction avecdonnées incomplètes

37

Chapitre 4

Le problème de l’angle limité

Dans un ouvrage récent, Natterer [81] définit les différentes classes de problèmes de reconstructionà partir de données incomplètes :

1. Le problème de l’angle limité. Dans ce cas, (Rf)(θ, ·) n’est connu que pour les angles θ apparte-nant à un sous ensemble de la demi-sphère.

2. Le problème extérieur. (Rf)(·, s) n’est connu que pour |s| > a, et on cherche à évaluer f(x)seulement pour |x| > a.

3. Le problème intérieur (problème des projections tronquées dans notre cas). (Rf)(·, s) n’est connuque pour |s| < a

En tomosynthèse, nous avons un problème d’angle limité, et les projections sont potentiellementtronquées. Les projections tronquées feront l’objet d’une discussion ultérieure, nous nous attardons icisur l’angle limité.Dans ce contexte, ce chapitre a pour objectif de faire un point sur les méthodes de reconstruction dans lecas de données angulaires limitées, en dehors de toutes considérations relatives à la tomosynthèse. Nousn’abordons pas du tout ici les méthodes algébriques qui feront l’objet d’une description détaillée dans lechapitre suivant.

39

40 Le problème de l’angle limité

4.1 Introduction

Dans beaucoup de situations en reconstruction tomographique, il n’est pas possible d’obtenir desprojections sur la demi-sphère complète, mais seulement sur un sous ensemble de cette demi-sphère.Nous présentons ici quelques unes des méthodes les plus connues. Une bibliographie peu récente maisexhaustive sur le sujet a été réalisée dans [95]; un comparatif plus récent est détaillé dans [118]. En gé-néral, les approches itératives avec introduction d’information a priori se sont révélées les plus efficaces.En effet, la tomographie à angle limité est un problème inverse sévèrement mal posé, et seul l’ajout d’in-formation connue a priori améliore les images en régularisant le problème.Différents types d’a priori peuvent améliorer les reconstructions. Les principaux a priori sont repré-

Support spatial connu Support fréquentiel connu∀x /∈ Ω, f(x) ≥ 0 ∀x /∈ ς, f(ω) = Ff(ω) = 0

Énergie maximale Entropie maximale∫Ω |f(x)|2dx ≤ E

Amplitudes maximales & minimales Continuité par morceauxfmin < f(x) < fmax Voir partie 2

Positivité∀x, f(x) > 0 Autres?

FIG. 4.1 – Principales contraintes utlisées en reconstruction

sentés sur le tableau 4.1. La plupart des approches sont itératives; après avoir abordé les approchesanalytiques, nous décrivons quelques approches utilisant une connaissance a priori plus ou moins fortesur l’objet.

4.2 Méthodes analytiques

On trouve dans [66],[67],et plus récemment dans [93] et [54] des approches analytiques en recons-truction à angle limité. Louis [66],[67] propose une méthode d’extrapolation basée sur des polynômes deLegendre pour calculer les projections manquantes. En notant Qm un polynôme de Legendre normaliséd’ordre m, la méthode part du développement de la transformée de Radon g = Rf de l’objet f suivantune base de coefficients de décomposition en polynômes de Legendre :

qm(θ) =

∫ 1

−1Qm(s)g(s, ω)ds (4.1)

Par ailleurs, la périodicité de la transformée de Radon permet d’écrire :

qm(θ) =

m/2∑

k=0

(amk cos cmk θ + bmk sin cmk θ) (4.2)

avec cmk =

2k si m est pair2k + 1 si m est impair

Les coefficients qm peuvent être facilement calculés pour les angles connus (pour les p+1 angles θj ,j allant de 0 à p) à l’aide de 4.1. L’équation 4.2 devient alors un système d’équations linéaires pour lescoefficients am

k ,bmk , qui peut être résolu par une décomposition en valeur singulière par exemple. On peutalors calculer les qm pour les angles inconnus, et l’on obtient l’approximation suivante de la transforméede Radon g :

gp(s, ω) =

∑pm=0Qm(s)qm(θ) pour |s| < 1

0 pour |s| > 1(4.3)

II-4.3 Les méthodes POCS (Projection Onto Convex Sets) 41

Avec cette équation, on peut calculer une approximation du domaine de Fourier manquant. Ce typede méthode s’applique bien lorsqu’il ne manque que peu d’angles de vue, 60 dans cet article. Nousrappelons ici qu’en tomosynthèse, nous avons plutôt l’inverse, à savoir 60 de données disponible aumaximum. On retrouve en fait dans ces approches l’équivalent d’une interpolation afin de compléter ledomaine de Fourier, basée sur divers types de fonctions. On trouvera dans [106] ou [89] des approcheséquivalentes.L’article de Quinto[93] décrit un algorithme capable de traiter le problème extérieur et le problème del’angle limité. En fait, l’auteur se focalise plus sur le problème extérieur et se contente d’une interpola-tion linéaire en θ pour combler les données manquantes.

4.3 Les méthodes POCS (Projection Onto Convex Sets)

Nous partons d’une image f(x) ∈ H, l’espace de Hilbert des fonctions à carré sommable.L’idée de base des algorithmes POCS[104] est la suivante : chaque propriété connue de f ∈ H réduitl’ensemble des solutions possibles à un sous ensemble convexe Ci ∈ H. Ainsi, en supposant que l’onconnaisse m propriétés sur f , on dispose alors de m sous ensembles convexes Ci, i = 1, 2, . . . ,m et lasolution

f ∈ C0 = ∩i=mi=1 Ci (4.4)

Le problème revient alors à trouver un point dans C0 connaissant les sous-ensembles Ci et les opérateursde projection Pi sur Ci, i = 1, 2, . . . ,m (la projection ici doit être entendue au sens mathématique et n’arien à voir avec la projection physique d’un objet sur un détecteur). De manière tout à fait générale, onpeut alors établir un processus itératif donnant, l’estimée de f à l’itération k + 1 :

fk+1 = TmTm−1 . . . T1fk, k = 0, 1, . . . (4.5)

Dans cette équation, Ti = I + λi(Pi − I), 0 < λi < 2, avec P l’opérateur de projection sur Ci et Il’opérateur identité. Le paramètre λi est appelé facteur de relaxation et permet d’accélérer la convergencede l’algorithme.Cette description qui vise à introduire de l’information a priori est en fait tout à fait générale et peuts’adapter à plusieurs algorithmes. Dans [104], Sezan cherche à reconstruire un objet à partir d’un inter-valle angulaire limité en combinant un algorithme de reconstruction directe dans le domaine de Fourier[81] avec une méthode de projection de type POCS. La plupart des algorithmes décrits dans la suite sonttoujours fortement liés à l’approche POCS, dans la mesure où l’introduction d’a priori revient toujoursà restreindre l’ensemble des solutions possibles. Le problème majeur est que bien souvent, l’ensemblerésiduel des solutions reste vaste et il est alors difficile de s’approcher de la solution.

4.4 Contrainte dans le domaine de Fourier : extrapolation de spectre

Dans [87], Papoulis cherche à déterminer la transformée de Fourier f(ω) d’une fonction f(x) àsupport spectral limité, en ne connaissant qu’une partie g(x) de f(x), sur [−x0,+x0]. L’a priori iciest la connaissance du support spectral de f(x). On part alors du calcul de la transformée de Fourierg(ω) = Fg(ω) sur l’intervalle connu :

g(ω) = g0(ω) =

∫ +x0

−x0

g(x)e−jωxdx

La méthode suit alors un processus itératif. A l’itération k :

1. On multiplie dans le domaine de Fourier gk−1 par la fonction porte. C’est ici qu’on apporte l’a


priori correspondant à la connaissance du support spectral.

fk(ω) = gk−1(ω)Iς(ω), avec Iς(ω) =

1, si |ω| < ς0, si |ω| > ς

(4.6)

2. On calcule alors la transformée de Fourier inverse :

fk(x) =

∫ +ς

−ςfk(ω)ejωxdω

3. On combine cette estimée de fk(x) avec le signal original g0(x) connu :

gk(x) = fk(x) + [f(x) − fk(x)]Ix0(x) =

g(x) , si |x| < x0

fk(x), si |x| > x0

4. On estime à nouveau la transformée de Fourier :

gk(ω) =

∫ +∞

−∞gk(x)e

−jωxdx

On voit, en effectuant une transformée de Fourier inverse de chaque terme de l’équation 4.6, que

fk(x) = gk−1(x) ∗sin ςx

πx(4.7)

Ainsi, fk(x) peut être obtenue à la sortie d’un filtre passe-bas idéal qui aurait pour entrée gk−1(x).Comme souligné dans [88], cela montre que plus le support sera étroit, plus la fonction sin ςx

πx sera large,et donc plus lointaine sera l’extrapolation du spectre, et réciproquement. Une contrainte de support doitdonc être précise pour être intéressante. On trouvera par ailleurs dans l’article de Papoulis la preuvethéorique de la convergence de cet algorithme ainsi que l’analyse des erreurs d’implantation en termesd’effets de troncature dus au nombre fini d’itérations, de repliement de spectre (la fonction est supposéeà support spectral limité) et de problèmes de bruit et d’arrondis.

4.5 Contraintes dans le domaine de Radon : restauration du sinogrammesous contraintes

Plus récemment, Prince[92] a proposé une méthode de restauration en appliquant des contraintesdirectement sur le sinogramme. En appelant Y le sinogramme complet contenant les projections p(t, θ)et Y0 ∈ Y le domaine sur lequel les données sont connues et notées y(t, θ), le sinogramme restauré estobtenu en minimisant :

I =

∫ ∫

Y0

1

2σ2(y − p)2dtdθ +

∫ ∫

Y

[β

(∂p

∂t

)2

+ γ

(∂p

∂θ

)2]dtdθ (4.8)

Dans cette équation, le premier terme fait référence à la fidélité de l’estimation par rapport au sinogrammeconnu tandis que le second terme, faisant intervenir des dérivées partielles, impose une contrainte de dou-ceur sur le sinogramme restauré. Ce type de fonctionnelle sera largement détaillé dans la partie suivante.Par ailleurs, une contrainte supplémentaire est imposée pour rendre le domaine de Radon le plus consis-tant possible (voir [81] pour plus de détails sur le théorème de consistance) :

Jklm =

∫ π

0

∫ +1

−1p(t, θ)Slm(θ)Qk(t)dtdθ = 0 (4.9)

II-4.6 Contraintes dans le domaine des ondelettes 43

Dans cette équation, Slm(θ) sont des harmoniques sphériques et Qk(t) sont les polynômes de Legendrenormalisés de degré k. La minimisation 4.8 sous la contrainte 4.9 conduit à une équation différentielledu second ordre qui est résolue numériquement.Cette approche originale a été testée sur un fantôme numérique sur un intervalle angulaire de 2

3π avec 40projections. Les données ayant été fortement bruitées, il est difficile d’apprécier l’apport direct de cetteméthode pour l’angle limité. Un point important de cette approche est l’allure de la fonctionnelle 4.8,que nous allons étudier plus profondément dans la partie suivante, et qui est analogue à la formulationdes champs aléatoires de Markov.

4.6 Contraintes dans le domaine des ondelettes

Une approche proposée dans [103] vise à appliquer des contraintes dans le domaine des ondelettes;l’auteur suppose connus les positions et les niveaux approximatifs de certains contours. Bien qu’étantun a priori très fort, un des principaux avantages est la localité des erreurs résiduelles même si certainscontours ne sont pas connus précisément, à cause de la localité de la transformée en ondelette. D’aprèsl’auteur, une connaissance de la position et des niveaux des contours à 20% près produit déjà des résultatsintéressants.Rappelons quelques définitions sur la transformée en ondelettes 2D. La transformée en ondelettes def(x, y) fournit la décomposition en sous-images de détails et d’approximation suivante :

W(1)2j+1f(x, y) = S2jf(x, y) ∗Gj(x) ∗Hj(y) (4.10)

W(2)

2j+1f(x, y) = S2jf(x, y) ∗Hj(x) ∗Gj(y) (4.11)

W(3)2j+1f(x, y) = S2jf(x, y) ∗Gj(x) ∗Gj(y) (4.12)

S2j+1f(x, y) = S2jf(x, y) ∗Hj(x) ∗Hj(y) (4.13)

C’est l’étape d’analyse : à chaque échelle j, 0 ≤ j ≤ J , l’algorithme décompose S2jf(x, y), l’image

f(x, y) à la résolution 2j , en trois images de détails W (1)

2j+1f(x, y), W(2)

2j+1f(x, y), W(3)

2j+1f(x, y) et en uneimage d’approximation S2j+1f(x, y) à la résolution 2j+1. Notons que S1f(x) = f(x). Les filtre Gj(x)et Hj(y) sont respectivement des filtres passe-haut et passe-bas devant vérifier certaines propriétés [70].Lors de la synthèse, on peut calculer S2j−1f(x, y) :

S2j−1f(x, z) = W(1)2j f(x, y) ∗ Gj(x) ∗ Hj(y)

+ W(2)

2j f(x, y) ∗ Hj(x) ∗ Gj(y)

+ W(3)

2j f(x, y) ∗ Gj(x) ∗ Gj(y)

+ S2jf(x, y) ∗ Hj(x) ∗ Hj(y)

Dans cette formule, nous avons Gj(x) = G0(−2jx) et Hj(x) = H0(−2jx). Le domaine de Fourierassocié avec la répartition des filtres G et H est représenté figure 4.2. On voit sur cette figure que si ledomaine angulaire manquant ne dépasse pas θ = 2 arctan 1

2 = 53.1 (domaine représenté en blanc),

alors W(1)

2j f(x, y) et W(3)

2j f(x, y) ne seront pas affectés. Par contre, W (2)

2j f(x, y) sera partiellement af-fecté. Ainsi, on retrouve ici une propriété assez intuitive et déjà établie avec la figure 2.8 montrant quel’angle limité de prises de vue empêche la reconstruction de certains contours.

Dans [103], l’angle manquant est de 22.5. L’auteur réalise alors une approximation de W (2)2j f(x, y)

grâce à son a priori constitué par la connaissance de certains contours. Par ailleurs, la perte des bassesfréquences est compensée par l’interpolation des projections manquantes. Cette approche est intéressantedans la mesure où elle permet de comprendre l’effet de l’angle limité dans le domaine de Fourier et dans


FIG. 4.2 – Répartition des filtres G et H dans le domaine de Fourier. Le domaine des données man-quantes est représenté en gris.

celui des ondelettes. Néanmoins, les données manquantes sont d’emblée comblées par la connaissance apriori, et le problème est alors proche d’un problème de reconstruction standard, avec données complètes.

Remarque : En tomosynthèse, nous avons exactement la situation inverse : le domaine angulairemanquant est le complément du domaine précédent, représenté en gris sur la figure. Ainsi, en tomosyn-thèse, nous n’avons accès qu’à W (1)

2j f(x, y).

4.7 Contraintes & utilisation d’algorithmes statistiques

Les algorithmes statistiques sont basés sur une modélisation probabiliste du problème et sont engénéral utilisés en tomographie d’émission ([28] et plus récemment [8]), bien qu’on trouve quelquesexemples d’application en radiographie,par exemple [16],[72].Dans [90], Persson utilise un algorithme EM (Expectation-Maximization) en ectomographie avec unangle limité, pour des applications cardiaques. L’algorithme utilisé est le suivant :

fk+1i =

fki∑

j cij + β(

∂∂fi

)U(fk)

∑

j

cijpj∑l cljf

kl

(4.14)

cij est la contribution du voxel i de l’objet au pixel j de la projection. En prenant β = 0, on retrouvela formule bien connue de l’algorithme EM. Le paramètre β vient contrôler l’influence respective desdonnées et de l’a priori. La forme de U(f) détermine la douceur de l’image finale reconstruite. L’ori-ginalité de l’approche est l’utilisation d’une norme spécifique, dénommée « TV norm » (Total VariationNorm), qui permet de ne pas pénaliser les contours dans l’image. Cette norme ne renforce pas non plusles contours, elle les « ignore » tout en lissant les zones sans contours francs. Elle est définie par :

TV (f) =

∫ √f2

x + f2y dxdy

II-4.8 Conclusion 45

L’algorithme est appliqué à un fantôme cardiaque, avec seulement 40 de données angulaires. L’algo-rithme améliore la résolution en profondeur ainsi que la résolution sur chaque plan de coupe, tout enpermettant de contrôler le bruit.

4.8 Conclusion

Parmi les nombreuses approches développées en reconstruction à partir de données angulaires res-treintes, nous en avons sélectionnées quelques unes, remarquées pour leur originalité ou leur importance.Beaucoup d’autres approches existent, citons par exemple [86] où l’utilisation de la multirésolution per-met de stabiliser le processus d’inversion, ou encore [50], [45], et [55].Le point commun à la plupart de ces approches est l’utilisation d’information a priori pour obtenir unesolution plus « proche » de la solution idéale recherchée. Nous pouvons alors nous poser la questionsuivante : quel est le type d’a priori le plus intéressant pour la tomosynthèse, sachant que le contexte mé-dical limite fortement l’introduction d’une quelconque connaissance sur l’objet? Nous avons vu qu’unecontrainte de support est peu efficace, et que les autres approches utilisent un a priori en général tropfort; par ailleurs, l’intervalle angulaire manquant est souvent faible. Nous allons donc dans la suite tenterd’utiliser un autre type d’a priori qui nécessite l’emploi de méthodes de reconstruction « algébriques ».

Chapitre 5

Les méthodes ART

La reconstruction tomographique est un cas typique de problème inverse mal posé au sens de Hada-mard [44], dans la mesure où au moins l’une des trois conditions suivante n’est pas respectée :

1. Existence de la solution

2. Unicité de la solution

3. Stabilité de la solution

Les deux premières conditions se comprennent aisément. La troisième condition correspond à la stabilitéde la solution par rapport aux données : si deux mesures très proches (l’écart pouvant être dû à un bruitadditif par exemple) fournissent deux solutions radicalement différentes, alors la solution n’est pas stableet le problème est mal posé.Afin de résoudre numériquement ce problème inverse, il est nécessaire de discrétiser le problème. Deuxformulations existent : la discrétisation se fait lors de l’implantation numérique ou alors d’emblée, dansla formulation du problème. Dans la mesure où la tomosynthèse est un cas sévère de problème inversemal posé à cause de l’angle très limité (voir partie précédente) et du faible nombre de projections, nousretenons cette dernière formulation où la discrétisation se fait dès la formulation du problème. Celapermet facilement d’introduire de l’information a priori afin de stabiliser le processus de reconstruction.On parle alors de reconstruction algébrique. Dans ce chapitre, nous passons en revue les méthodes ART(Algebraic Reconstruction Technique) qui fournissent un moyen efficace d’approcher la solution au coursd’un processus itératif.

47

48 Les méthodes ART

5.1 Introduction

Toute la théorie de la reconstruction repose sur l’inversion d’une équation mathématique classique-ment écrite sous la forme linéaire et additive suivante :

y = Hx + η (5.1)

Le vecteur y est de taille p ∗ m2 (p est le nombre de projections et m la taille d’une projection) et re-présente les données ordonnées lexicographiquement, x est l’objet à reconstruire de taille N 3 et H estla matrice de projection de taille p ∗ m2 ∗ N3. Le vecteur η traduit le bruit présent dans les données.L’inversion de l’équation 5.1 est un problème mal posé au sens de Hadamard : les conditions d’existence,d’unicité et de dépendance continue de la solution par rapport aux données ne sont pas toujours véri-fiées simultanément. Toute une famille de méthodes de reconstruction itératives a été développée afind’optimiser ce problème. On parle de méthodes de reconstruction algébriques lorsque le problème estd’emblée discrétisé, par opposition aux méthodes analytiques où la discrétisation se fait seulement à lamise en œuvre informatique. L’avantage majeur des méthodes de reconstruction algébriques est la facilitéd’introduction d’information a priori sur l’objet, par exemple des informations sur la densité, le supportou la positivité qui permettent de stabiliser le processus de reconstruction et d’améliorer la qualité desimages.Dans ce chapitre, nous détaillons les méthodes ART (Algebraic Reconstruction Technique) pour les-quelles aucune information a priori n’est explicitement utilisée.

5.2 Principe

Les méthodes ART visent à minimiser la fonctionnelle :

JART (x) = ‖y −Hx‖2 (5.2)

On néglige donc dans toutes ces méthodes le terme de bruit η de l’équation 5.1. Cette fonctionnelled’erreur est quadratique et la solution ART s’écrit :

x =Argminx

JART (x) (5.3)

La minimisation de la fonctionnelle 5.2 dans un contexte de reconstruction ART s’effectue à l’aided’algorithmes itératifs de la forme :

xk+1 = x

k + λkrk (5.4)

Dans cette formulation, λk est un paramètre de relaxation qui peut varier en fonction des itérations k etrk est le terme de correction apporté à chaque itération au volume x

k.Nous voyons qu’il déjà est possible avec cette formulation d’utiliser une information connue a priori surl’objet. En effet, nous savons que nous avons projeté un objet composé de matériaux dont le coefficientd’atténuation linéaire est positif. Chaque voxel reconstruit doit donc être positif, ce qui n’est pas garantitpar la formulation 5.4. Ainsi nous pouvons apporter une contrainte de positivité sur l’objet et réécrire lafonctionnelle 5.2 de la façon suivante :

JART+(x) = ‖y −Hx‖2 + ‖Kx‖2 (5.5)

avec

Kxi,j,k =

xi,j,k si xi,j,k < 0

0 sinon

En pratique, la contrainte de positivité est appliquée au cours des itérations en forçant les voxels négatifsà 0. La contrainte de positivité joue en fait un rôle faible dans la reconstruction : en présence d’un fondétendu, elle se réduit à une convolution par un noyau presque ponctuel qui ne prolonge pas significative-ment le spectre dans le cas de données angulaires manquantes [88].

II-5.2 Principe 49

5.2.1 L’algorithme de descente de gradient

La méthode développée par Landweber [62] s’écrit sous la forme :

xk+1 = x

k + λHT (y −Hxk) (5.6)

Cette méthode converge dans le cas particulier où l’initialisation x0 est nulle et si ‖λHTH‖ < 2. On

trouvera dans le tableau 5.1 la mise en œuvre de l’algorithme.

– Initialisation x0 ≡ 0,

– Reprojection de l’objet pour la géométrie donnée, et ce pour toutes les projections : termeHx

k,

– Pour chacune des projections, calcul de l’erreur entre reprojections et projections réelles :terme y −Hx

k,

– Rétroprojection de cette erreur pour chacune des projections via le terme HT ,

– Mise à jour additive de xk.

TAB. 5.1 – L’algorithme de descente de gradient

Remarques: Les basses fréquences sont reconstruites avant les hautes fréquences. Une telle méthodeest très lente à converger et produit des reconstructions basses fréquences si on coupe trop tôt les itéra-tions. Par ailleurs, la mise à jour se fait simultanément par l’ensemble des projections ce qui aura un effetimportant comme nous pourrons l’observer dans la partie 5.2.3.

5.2.2 Les méthodes par blocs de Kaczmarz

Mise à jour additive

Le principe de ces méthodes consiste à diviser le système initial en plusieurs sous-systèmes et d’ap-pliquer sur chacun de ces sous-systèmes une méthode de descente de gradient telle que celle décrite auparagraphe précédent. L’écriture de la solution pour un bloc ik prend la forme suivante :

xk+1 = x

k + λkHT

ik(yik −Hikx

k)

‖HikHTik‖ (5.7)

Classiquement, yik correspond à une projection et une partition Hik de H a une taille de m2 ∗ N3. Onparle alors de méthode S-ART pour Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique. La convergencede cet algorithme est vérifiée si il existe au moins une solution exacte et si :

0 < limk→∞

infλk < limk→∞

supλk < 2

Cette solution, comme soulevé plus haut, est celle de l’équation y = Hx. On ne tient donc pascompte du bruit, et la solution n’est alors qu’une pseudo-solution. Par ailleurs, cette méthode convergebien plus vite qu’une descente de gradient puisque l’information est introduite au fur et à mesure dans leschéma itératif. La mise en œuvre est détaillée dans le tableau 5.2.

On observe qu’une mise à jour du volume reconstruit est effectuée à chaque projection, l’algorithmeva donc avoir tendance à converger plus rapidement. On conçoit de ce fait que l’ordre de balayage desprojections jouera un rôle fondamental, les dernières projections traitées ayant le plus d’influence sur lareconstruction finale.


– Initialisation x0 ≡au choix,

– Pour chaque projection :

1. Reprojection de l’objet : terme Hikxk,

2. Calcul de l’erreur entre la reprojection et la projection réelle : terme (yik −Hikxk),

3. Rétroprojection de cette erreur via le terme HTik

,

4. Mise à jour additive de xk.

– Passage à la projection suivante.

TAB. 5.2 – L’algorithme S-ART

L’implantation d’un tel algorithme avec une contrainte de positivité est réalisée de la façon suivante :

xk+1 = max(0,xk + λk

HTik

(yik −Hikxk)

‖HikHTik‖ ) (5.8)

Mise à jour multiplicative

Dans [38], une formule de mise à jour multiplicative est proposée. Plutôt que de mettre à jour le vo-lume x

k en lui ajoutant un terme d’erreur, on le met à jour en le pondérant par le rapport entre projectionréelle et reprojection. L’algorithme s’écrit alors :

xk+1j = x

kj

(yi

Hikxk

)γhij

(5.9)

γ étant le facteur de relaxation. Le terme hij représente la contribution du pixel i du détecteur au voxelj. On pondère x

k par une erreur rétroprojetée. Les opérations se déroulent selon le schéma suivant :

– Initialisation x0 ≡ 1,

– Pour chaque projection :

1. Reprojection de l’objet pour cette projection : terme Hikxk,

2. Calcul de l’erreur entre la reprojection et la projection réelle : terme(

yi

Hikxk

),

3. Rétroprojection de cette erreur pour la projections via le terme hij ,

4. Mise à jour multiplicative de xk.

– Passage à la projection suivante.

TAB. 5.3 – L’algorithme M-ART

Cette algorithme possède plusieurs propriétés intéressantes. Pour les distinguer, réécrivons la formule5.9 sous une forme additive :

xk+1j = x

kj

(yi

Hikxk

)γhij

xk+1j = x

kj

(1 +

yi−Hikx

k

Hikxk

)γhij

II-5.2 Principe 51

On peut espérer que l’erreur normalisée soit faible devant 1. On a alors, en faisant un développementlimité au premier ordre :

xk+1j ' x

kj

(1 + γhij

yi −Hikxk

Hikxk

)

xk+1 ' x

k + γxkHTik

yi −Hikxk

Hikxk

(5.10)

Cette équation montre que l’algorithme M-ART rétroprojette l’erreur le long d’un rayon en la pon-dérant par rapport à la densité déjà affectée à l’itération précédente, par opposition à l’algorithme S-ARTqui rétroprojette l’erreur de façon uniforme le long d’un rayon. Ce point important montre que M-ARTaura tendance à favoriser la reconstruction de petits objets contrastés. M-ART présente néanmoins l’in-convénient majeur de laisser des voxels ayant pris une valeur nulle à cette valeur nulle. Par ailleurs,il aura tendance à atténuer les objets de faible densité au profit des objets à haute densité. Une formeplus générale de l’algorithme est proposée dans [88] permettant de trouver un compromis entre S-ARTet M-ART. Par ailleurs, toujours dans [88], est montrée l’équivalence entre l’algorithme M-ART et lastabilisation de l’inversion du problème y = Hx par optimisation sous contraintes, avec un critère demaximum d’entropie. Ces techniques visent à améliorer les reconstructions en choisissant parmi l’en-semble des solutions possibles de y = Hx celle qui minimise un critère traduisant des informations apriori sur l’objet.La mise à jour multiplicative a donc de larges conséquences sur la reconstruction finale puisqu’elle favo-rise la reconstruction de petits objets contrastés et est indirectement liée à l’introduction d’une forme deconnaissance a priori sur la solution.

5.2.3 Agencement des blocs de reconstruction

La décomposition de la matriceH en blocs est habituellement réalisée en considérant un bloc commeétant représentatif d’une projection. En conséquence, le sens de parcours des projections durant le pro-cessus de reconstruction jour un rôle primordial. Il a été montré que la rapidité des méthodes peut êtreaméliorée en choisissant de traiter les blocs successifs les plus « orthogonaux » possibles. On comprendalors que, chaque bloc successif étant fortement décorrélé du précédent, la convergence sera plus rapide.

(a) Reconstruction tomogra-phique avec projections prisesdans l’ordre séquentiel

(b) Reconstruction tomogra-phique avec projections prisesdans un ordre aléatoire

FIG. 5.1 – Influence de l’ordre des projections dans le processus de reconstruction


Un cas typique est illustré figure 5.1. Nous avons reconstruit un fantôme à partir de 180 projectionséquiréparties sur 2π radians, avec 1 itération S-ART, donc 180 mises à jour. Le fantôme utilisé est celuidéfini par Shepp and Logan dans [105]. On voit nettement sur l’image 5.1(a) l’influence des dernièresmises à jour par rapport aux premières qui ont été atténuées au cours des itérations. Sur l’image 5.1(b),l’orthogonalité des projections induites par un balayage des projections dans un ordre aléatoire vientdiminuer à chaque mise à jour l’énergie déposée hors de l’objet au cours de la rétroprojection.Afin d’optimiser la vitesse de convergence, divers agencements de projections ont été proposés dans lecas de la tomographie ([47], [46],[41], [116] et plus récemment [48]). Dijke[116] conclue que parmitoutes les configurations possibles, c’est la configuration aléatoire qui donne les meilleurs résultats. Plusrécemment, Mueller [77] a défini un nouveau schéma et a posé un postulat pour l’agencement des pro-jections :

a) Les projections doivent être appliquées régulièrement en couvrant le plus grand débattement angulairepossible

b) A aucun moment il ne doit y avoir un espace angulaire couvert avec une densité de projection plusforte qu’un autre

Toutes ces études ont été faites dans le cas de la tomographie, où les données sont complètes. Dansle cas de la tomosynthèse où les données disponibles sont peu nombreuses, il sera là aussi nécessaired’exploiter au mieux le peu de données disponibles. L’agencement des projections jouera donc un rôlerelativement important dans nos futures reconstructions.

5.2.4 Récentes innovations en ART

L’objet de la plupart des publications récentes sur le sujet est d’accélérer l’algorithme ART. En effet,cet algorithme étant itératif, les temps de calcul sont souvent prohibitifs par rapport aux méthodes ana-lytiques. Il s’ensuit une utilisation dans la pratique très restreinte. Néanmoins, il est parfois nécessairede recourir à de telles méthodes pour certaines applications où l’introduction d’information a priori estindispensable.Deux voies ont été explorées pour l’accélération de l’ART :

L’agencement pertinent des projections

L’optimisation des procédures de projection/rétroprojection

Dans [46], Herman s’attache à diminuer le temps nécessaire de reconstruction en faisant convergerl’algorithme plus rapidement. Pour cela, il optimise le choix du paramètre de relaxation λ. Herman pré-cise que le choix de λ dépend du contexte, du bruit et du nombre d’itérations. Le meilleur λ doit êtrerecherché de manière totalement empirique. La technique proposée consiste à rechercher le λ qui fournitla meilleure reconstruction à la première itération (au sens d’un critère de qualité spécifique traduisantl’apport de la reconstruction pour le diagnostic médical). En fixant ce λ(1), on recommence jusqu’à trou-ver la meilleure reconstruction à l’itération 2. On trouve alors λ(2), et ainsi de suite. Le deuxième pointétudié dans [46] est l’ordre des projections, déjà discuté au paragraphe précédent.Citons également, parmi les nombreux travaux récents de Mueller [77] en ART, la même recherched’optimisation de l’ordre des projections. Le même auteur décrit dans un autre article publié la mêmeannée [79] une technique d’accélération des algorithmes ART et S-ART. Les constituants de base deces algorithmes étant les opérations de projection et rétroprojection, Mueller s’attache à optimiser cesopérations.Enfin, une toute autre méthode d’accélération du S-ART est proposée dans [76]. Afin d’accélérer lesopérations de projection/rétroprojection, Mueller propose d’utiliser les cartes graphiques des stations detravail ou des PC qui ont été naturellement été conçues pour produire des projections rapides. Au prixd’une perte de qualité relative, il parvient à gagner un facteur 50 sur le temps de reconstruction, passantainsi de 1,8 heures pour reconstruire un fantôme 1283 avec 80 projections à seulement 2 minutes ! Cette

II-5.2 Principe 53

technique ne permet bien sûr d’accélérer que les algorithmes S-ART qui travaillent projection par pro-jection, puisque les cartes graphiques produisent une projection de l’objet entier.

Le même auteur s’est également attaché à améliorer la qualité des reconstructions ART. Dans [78],Mueller analyse et corrige les artefacts de repliement de spectre présents dans les reconstructions ART.Ces artefacts, inexistants en géométrie parallèle, sont dus à la conicité du faisceau incident. En ART, ontravaille rayon par rayon; on se trouve donc en présence d’un gradient d’énergie déposé entre la zoneprès de la source et la zone près du détecteur. Dans cette dernière zone, les effets de discrétisation dus àla faible densité des rayons (figure 5.2) sont sources de phénomènes de repliement de spectre, amplifiépar les itérations.

FIG. 5.2 – Gradient d’énergie déposé entre la zone près de la source et la zone près du détecteur

Afin de corriger ces artefacts, Mueller reformule l’opération de projection :

y(k)i =

N∑

j=1

xjwij =N∑

j=1

xj h(ri)

ri correspond au rayon allant de la source au pixel i, wij l’influence du voxel xj sur le pixel y(k)i et h(ri)

et le noyau d’interpolation préintégré suivant la direction ri, et ne dépendant donc que du rayon ri.

Pour éliminer ces artefacts, Mueller réécrit le processus de projection différemment :

y(k)i =

∫

z

N∑

j=1

xjwij(z) =

∫

z

N∑

j=1

xjh(z − zj , ri)

En rendant h dépendant linéairement de z, la densité de rayon devient uniforme et les artefacts de replie-ment de spectre disparaissent. Le même type d’opération est appliqué sur l’opération de rétroprojection.Ces artefacts n’apparaissent pas en S-ART où l’on ne travaille pas rayon par rayon, mais projectionpar projection. Mueller analyse également l’influence du facteur de relaxation λ, de l’initialisation, dunombre d’itérations et du niveau de bruit sur la qualité des reconstructions. Seulement trois itérationssemblent être suffisantes pour reconstruire des images de bonne qualité. L’erreur de reprojection estensuite faible est itérer plus devient désuet.

Remarque :La résolution spatiale anisotrope en ART due aux trajets «radiaires» pourrait également être corrigée enfaisant un changement de variable et en passant en corrdonnées polaires (ρ, θ).


5.3 Conclusion

Nous avons présenté une technique de reconstruction basée sur un processus itératif, l’ART. Pourl’instant, aucun a priori fort n’a été explicitement introduit dans les algorithmes, exception faite dela contrainte de positivité. En utilisant la cohérence entre le volume objet à reconstruire et chacune desprojections de manière récursive, il est possible de mieux exploiter des données en éliminant les artefacts.Le chapitre suivant présente ce même type d’algorithmes en exploitant une propriété supplémentaire desobjets que l’on cherche à reconstruire qui est la contrainte de continuité par morceaux.

Chapitre 6

Régularisation par recouvrement desdiscontinuités

Afin de combler le manque de données, il est aisé dans un schéma de reconstruction algébriqued’introduire des informations a priori. Ces informations connues a priori sur l’objet vont permettrede régulariser le problème, de le stabiliser. Parmi les a priori classiques, on distingue la positivité, laconnaissance du support, des amplitudes extrêmes, l’énergie maximale ou tout autre information propreau problème traité. Nous détaillons dans cette partie la prise en compte d’une contrainte de continuité parmorceaux qui suppose que l’objet étudié présente des zones homogènes séparées par des bords francs,ou discontinuités. L’objet d’une telle technique est de lisser les zones homogènes tout en préservant cesdiscontinuités.

55

56 Régularisation par recouvrement des discontinuités

6.1 Introduction

La théorie de la régularisation avec prise en compte des discontinuités a largement été explorée etétudiée [12],[15],[20],[27],[33]-[35],[97]-[100], ce qui a conduit au développement d’un cadre mathé-matique rigoureux dont nous rappelons les grandes lignes. Trois grandes étapes définissent les processusde reconstruction et de régularisation :

– On se place dans un contexte Bayésien et on choisit un estimateur

– On définit les modèles utilisés : le modèle de formation des données et le modèle a priori

– On choisi une technique de minimisation de la fonctionnelle obtenue

Chacune de ces étapes est brièvement présentée dans les trois sous-paragraphes suivants.

6.2 Reconstruction et estimation Bayesienne

Nous cherchons à utiliser une information connue a priori sur l’objet pour améliorer encore la qua-lité des reconstructions. Comment introduire cette information dans la reconstruction? Pour répondre àcette question, un moyen élégant est l’utilisation des méthodes Bayésiennes. Une formule fondamentalepermet de relier les termes d’attaches aux données et les termes d’a priori dans une même fonctionnelleque l’on cherchera ensuite à minimiser.

Les approches Bayesiennes permettent d’exprimer la distribution a posteriori P(x|y) en fonctionde :

– la vraisemblance des données par rapport à l’objet original P(y|x),

– la distribution de probabilité P(x) qui constituera notre a priori,

– P(y) qui joue le rôle d’une constante de normalisation.

La formule de Bayes reliant chaque terme est la suivante :

P(x|y) =P(y|x)P(x)

P(y)(6.1)

Afin de passer de la distribution P(x|y) à l’estimation de l’objet x, on utilise un estimateur Bayesien.Différentes méthodes existent pour estimer x à partir de P(x|y). On trouve principalement trois estima-teurs, l’estimateur du Maximum A Posteriori (MAP), l’estimateur de la Moyenne a posteriori (MP) etl’estimateur des Modes des Marginales a posteriori (MMP). Ces trois estimateurs sont définis respecti-vement par :

xMAP =Argmaxx

P(x|y) (6.2)

xMP =Argminx

∣∣∣∣x −∫tP(x|y)dt

∣∣∣∣ (6.3)

xMMP =Argmaxxs∈ω

P(xs|y) (6.4)

Pour cette thèse, nous avons choisit d’utiliser l’estimateur MAP (équation 6.2) car il peut se mettreen œuvre dans la plupart des cas et il permet de faire le lien avec les approches déterministes de larégularisation. Plutôt que de maximiser la distribution a posteriori, on préfère en général minimiser laquantité :

−log[P(x|y)] ∼ −log[P(y|x)]︸︷︷︸Attache aux données

− log[P(x)]︸︷︷︸a priori

(6.5)

On parle alors de la minimisation de la log-vraisemblance de l’objet connaissant les données. On voitd’ores et déjà sur cette équation combien l’estimateur permet aisément de séparer données et a priori.Les paragraphes suivant s’attachent à évaluer chacun des deux termes de cette équation.

II-6.3 Définition des modèles utilisés 57

6.3 Définition des modèles utilisés

6.3.1 Le modèle de formation des données 7→ évaluation de −log[P(y|x)]

En supposant que le bruit additif η soit blanc et suive la loi G(0, σ2) (bruit Gaussien de moyenne nulleet d’écart type σ, voir partie 1, chapitre 1) et indépendant des données, nous avons le modèle linéaire etadditif de formation des données :

y = Hx + η (6.6)

Suivant ce modèle, on peut alors déterminer −log[P(y|x)] :

J1(x) = −log[P(y|x)] ∼ 1

σ2‖y −Hx‖2 + Cte (6.7)

On retrouve en fait ici la formulation ART de l’équation 5.2. Dans la minimisation de la fonctionnellefinale, c’est ce terme qui va faire le lien avec les données. L’autre terme, plus complexe, est explicitédans le paragraphe suivant.

Nous pouvons justifier le choix d’une modélisation aléatoire gaussienne de la distribution des intensi-tés des voxels objets et des pixels projections par le grand nombre d’événements rencontrés en imageried’atténuation. De plus, ce modèle porésente l’avantage de simplifier grandement la formulation de lafonctionnelle d’optimisation.

6.3.2 Le modèle a priori 7→ évaluation de −log[P(x)]

Introduction et définition d’un champ de Markov

Nous nous plaçons dans le cadre mathématique rigoureux des champs Markoviens. Ce type de mo-dèle est tel que l’état d’un pixel ne dépend que de l’état des pixels voisins. Cela permet de passer facile-ment de la distribution globale P(x) à des propriétés locales de l’objet f .Soit un système de voisinage sur lequel sera construit le champ de Markov. Considérons x commeétant un champ aléatoire défini sur un ensemble de sites S. On définit alors un système de voisinagesV = Vs, s ∈ S vérifiant les deux propriétés suivantes :

1.∀s ∈ S, s /∈ Vs

2.∀(s, t) ∈ S, s ∈ Vs ⇔ t ∈ Vs

À deux dimensions, on peut utiliser un voisinage à quatre ou huit voisins. À trois dimensions, le voisinagepeut atteindre 26 voisins(figure 6.1) voire plus si on s’intéresse à des voisinages supérieurs.

FIG. 6.1 – Trois voisinages possibles : 4, 8 et 26 à trois dimensions


Ayant défini ce voisinage, on dit que x est un champ de Markov par rapport au voisinage V si etseulement si il vérifie, pour tout s ∈ S :

1.P(xs) > 0

2.P(xs|xt, s 6= t) = P(xs|xt, t ∈ Vs)

De l’approche locale à l’approche globale

Le théorème de Hammersley-Clifford permet véritablement d’associer les caractéristiques globaleset locales de x. Cet théorème stipule que le champ x est un champ de Markov par rapport au voisinageV si et seulement si P(x) a une distribution de Gibbs relativement à V :

P(x) =1

Ze−J2(x) (6.8)

Z est appelé fonction de partition, par analogie complète avec la physique statistique [30]. J2 estappelée fonction de potentiel et s’écrit :

J2(x) =∑

c∈Vϕc(x)

c est une clique qui dans le cas d’un champ de Markov d’ordre 1, comprend les sites singletons et les sitesvoisins deux à deux suivant les directions verticales ou horizontales voir diagonales. Si l’on s’attache àreconstruire des objets constants par morceaux, c’est-à-dire des objets localement lisses, alors la fonctionJ2 qui va modéliser notre a priori prend la forme :

J2(x) =∑

s∈S

wm

∑

m

ϕ[(D(m)x)s]

Dans cette équation, D(m) est l’opérateur différentiel d’ordre (m). Si m = 1, alors l’algorithme auratendance à favoriser des objets localement constants. Si m = 2 l’objet aura tendance à être formé dezones à pentes constantes et si m = 3, il sera formé de zones quadratiques [33]. Pour ces trois cas, onparle respectivement de modèles localement constants, plans et quadratiques. Dans le cas particulier d’unchamp de Markov d’ordre 1, pour m = 1 et à deux dimensions, nous avons :

J2(x) =∑

i,j

ϕ(xi,j − xi,j−1) +∑

i,j

ϕ(xi,j − xi−1,j) (6.9)

Toujours à deux dimensions, mais dans le cas d’un champ de Markov d’ordre 2, deux termes diago-naux supplémentaires viennent s’ajouter, pondérés par

√2 :

J2(x) =∑

i,j

ϕ (xi,j − xi,j−1) +∑

i,j

ϕ (xi,j − xi−1,j) +

∑

i,j

ϕ

(xi,j − xi−1,j−1√

2

)+

∑

i,j

ϕ

(xi,j − xi+1,j−1√

2

)

En utilisant le théorème fondamental de Hammersley-Clifford (formule 6.8) et le résultat 6.9, nouspouvons maintenant écrire :

−log[P(x)] =1

ZJ2(x) + Cte =

∑

i,j

ϕ(xi,j − xi,j−1) +∑

i,j

ϕ(xi,j − xi−1,j) (6.10)

II-6.4 Minimisation de la fonctionnelle J(x) 59

6.3.3 Fonctionnelle à minimiser

Forts des résultats 6.7 et 6.10, et en ajoutant la contrainte de positivité (voir équation 5.5) nouspouvons écrire l’expression finale de la fonctionnelle à minimiser :

J(x) = ‖y −Hx‖2

︸︷︷︸Attache aux données

+ ‖Kx‖2

︸︷︷︸Positivité

+λ2∑

i,j

ϕ

(xi,j − xi,j−1

δ

)+ λ2

∑

i,j

ϕ

(xi,j − xi−1,j

δ

)

︸︷︷︸a priori

(6.11)

Le paramètre δ est la valeur du gradient au dessus duquel on souhaite préserver les discontinuités. Lapartie « positivité » de la fonctionnelle précédente, si elle améliore sensiblement les images, a un effetbien moindre que la partie «modèle localement constant» proprement dite. Pour établir le résultat 6.11,les hypothèses suivantes ont été posées :

1. Estimateur du Maximum a Posteriori

2. Bruit blanc gaussien indépendant des données, de moyenne nulle et d’écart type σ2

3. Champ Markovien d’ordre 1

4. Dimension 2

Le passage de deux à trois dimensions est évident, même s’il complexifie l’écriture de J(x).

6.4 Minimisation de la fonctionnelle J(x)

6.4.1 Analyse de la fonctionnelle J(x)

Notion de convergence

Différents types de convergence vers une solution sont définis, parmi lesquels on trouve [27] :

– La convergence locale : convergence des itérations vers un minimum local de la fonction de coût,si l’initialisation est assez proche de ce minimum local

– La convergence globale : c’est la convergence des itérations vers un minimum local de la fonctionde coût quelle que soit l’initialisation

– La Convergence globale vers un minimum global, quelle que soit l’initialisation.

Le mode de convergence le plus fort est ce dernier mode, mais il est en général difficile à atteindre pourdifférentes raisons : implantation numérique, nombre fini d’itérations, ...

Sur la convexité de J(x)

La minimisation de la fonctionnelle J(x) n’est pas triviale, puisque J(x) peut être convexe ou nonconvexe, et dans ce cas admettre des minima locaux. Une fonctionnelle convexe est facilement « mini-misable » par un algorithme simple, tel qu’une descente de gradient, comme proposé dans le paragrapheprécédent. Si les deux premiers termes de l’équation 6.11 sont quadratiques et donc convexes, le troi-sième terme ne l’est pas nécessairement, puisqu’il dépend du choix de la fonctionnelle ϕ.Le choix d’une « bonne » fonction ϕ va donc être déterminant pour la reconstruction. Théoriquementune fonction ϕ non convexe fournit de meilleurs résultats qu’une fonction ϕ convexe dans la mesure oùcelle-ci pénalise moins sévèrement les fortes transitions. Néanmoins, l’usage d’une telle fonction conduità un problème d’optimisation non convexe plus difficile à résoudre. Dans ce contexte, les algorithmesdéterministes (paragraphe 6.4.3) fourniront généralement une solution correspondant à un minimum lo-cal de la fonctionnelle. La qualité de la solution dépendra, entre autres choses, de la solution initialementchoisie.


FIG. 6.2 – Diverses fonctions de potentiels ϕ

Exemple :Le choix d’une forme quadratique pure (donnant une fonctionnelle J(x) convexe), qui correspond à larégularisation de Tikhonov[114], décourage très fortement la présence de forts gradients dans l’image :on aura donc une reconstruction lisse. On peut alors tronquer la fonction quadratique pour un gradientnormalisé supérieur à l’unité et la laisser à la valeur constante 1 (quadratique tronquée). Cette fonctionétant non dérivable en un, il est plus commode d’utiliser la fonction u2

1+u2 . Dans ces deux derniers cas, leproblème devient non convexe, donc plus complexe. Un compromis entre ces deux types de fonctions estl’utilisation de la fonction 2

√(1 + u2) − 2 définie par Charbonnier [20] qui présente l’avantage d’être

convexe et dérivable à l’origine. La particularité de cette fonction est qu’elle est quadratique en 0 et li-néaire à l’infini, ce qui préserve relativement bien les gradients présents dans l’image. Par ailleurs, cettefonction permet d’imposer indirectement une contrainte sur la longueur totale des courbes décrites parles lignes et les colonnes de l’image [19]. Ces fonctions sont représentées sur la figure 6.2.

La mise en œuvre d’algorithmes stochastiques permet théoriquement de converger vers un minimumglobal au prix de temps de calculs importants, quoique récemment significativement améliorés [97].Nous abordons dans le paragraphe le recuit simulé qui est une technique de minimisation stochastique.

6.4.2 Minimisation et algorithmes stochastiques

Les algorithmes stochastiques trouvent leur inspiration du processus de recuit utilisé en métallurgie :après avoir porté le matériau à une température très élevée, on le laisse se refroidir très lentement (onparlerait plutôt de relaxation en reconstruction) afin d’obtenir une cristallisation parfaite. Afin de calculerl’état du système à une température donnée et de le relaxer, on utilise couramment deux algorithmes : lerecuit simulé avec dynamique de Metropolis et l’échantillonneur de Gibbs avec recuit. Dans la mesureoù n’envisageons pas d’utiliser de telles méthodes (voir conclusion), seul le recuit simulé est abordé ici.

Recuit simulé avec dynamique de Metropolis

Le lecteur trouvera dans [97] une analyse et une utilisation très avancée du recuit simulé, ainsi quedans [32], [35], [21].La probabilité pour qu’un système se trouve dans un état x est donnée par :

P(x) =1

Ze−βJ(x)

Z est la fonction de partition du système, par analogie avec la mécanique statistique [30], β = 1kT , k étant

la constance de Boltzmann (1, 38.10−23J.K−1) et T est la température. Si T → ∞ alors tous les états

II-6.4 Minimisation de la fonctionnelle J(x) 61

sont équiprobables et une baisse brutale de la température figerait le matériau dans une configurationmétastable. Inversement, si T → 0, on a la configuration d’énergie minimale correspondant à la cristal-lisation parfaite. L’analogie avec la physique statistique se fait de la façon suivante : on considère que lespixels représentent les atomes du matériau, et que les niveaux de gris représentent les états possibles dechacun des atomes. A partir de cet état, l’algorithme consiste alors à apporter de petites modificationsau système (par exemple en changeant la valeur d’un pixel) jusqu’à ce que celui ci trouve sa positiond’équilibre. L’avantage majeur de cet algorithme est la possibilité d’accepter des configurations d’éner-gie supérieure à la précédente, permettant ainsi de sortir d’éventuels minima locaux et de converger versle minimum global du critère MAP.

Conclusion

Étant donné le contexte médical de notre étude, il semble difficile d’utiliser des méthodes stochas-tiques pour optimiser le problème car leur temps de calcul est trop long. Même si la contrainte de tempsréel n’apparaît pas explicitement pour nous, il est important de conserver des temps de calcul raison-nables pour une éventuelle implantation en milieu hospitalier. Nous ne nous attarderons donc pas sur cesméthodes, par ailleurs largement étudiées pour d’autres applications.

6.4.3 Minimisation et algorithmes déterministes

Modes Conditionnels Itérés (ICM)

L’ICM a été introduit par [13] dans le cadre de la restauration d’images fortement dégradées et aété adapté dans d’autres types de problèmes inverses et notamment la reconstruction tomographique. Achaque itération, on modifie la valeur en un site s uniquement. On cherche alors à minimiser le critèreMAP par rapport à xs uniquement. On montre que l’algorithme converge vers un minimum local del’énergie du MAP. Si l’initialisation est bonne, c’est à dire relativement proche de la solution recherchée,alors l’estimée sera de bonne qualité, tout en convergeant rapidement. La dépendance de l’estimée parrapport à l’initialisation étant trop forte pour une application médicale comme la notre, on voit qu’il seradifficile d’utiliser un tel algorithme, bien qu’il soit en général facilement adaptable à un grand nombred’applications. On trouvera dans [17] une application de l’ICM en reconstruction tomographique enContrôle Non Destructif à partir de peu de projections.

Non Convexité Graduelle (GNC)

L’algorithme GNC a été introduit par Blake & Zisserman en 1987 [14], puis repris et étendu large-ment par Nikolova[83],[84],[85].La version originale du GNC vise à minimiser une fonctionnelle du type J(x), mais dans le cas par-ticulier ou H = I . Pour cela, l’algorithme réduit le calcul du minimum global de J(x) à une suited’optimisations locales de fonctions continûment dérivables, réalisées par une simple descente de gra-dient. A partir de J(x), on construit une famille J (r)(x) de fonctionnelles d’approximations de J(x).Cette famille doit vérifier les conditions suivantes :

– Les approximations J (r)(x) sont deux fois dérivables

– Elles convergent vers la fonctionnelle originale : limr→∞ J (r)(x) = J(x)

– Il existe un r0 qui rend J (r0)(x) convexe.

A la première étape, on minimise une approximation discrète J (0)(x) du critère du MAP à l’aided’une descente de gradient, obtenant ainsi facilement le minimum global quelle que soit l’initialisation(figure 6.3). On minimise ensuite aux étapes suivantes une fonctionnelle non convexe J (r)(x) à l’aided’une méthode de descente de gradient, mais en utilisant le minimum de J (r−1)(x) comme initialisation.Si la convergence théorique de cet algorithme n’est pas prouvée, on peut néanmoins espérer trouver un


FIG. 6.3 – Principe de l’algorithme de Non Convexité Graduelle (d’après [14])

minimum global du critère du MAP si la variation de forme de J (r)(x) est infime entre deux étapes. Lestravaux de Nikolova [83],[84],[85] ont permis d’adapter cet algorithme au cas général où H 6= I . S’il estfacile d’étendre le GNC au cas d’un opérateur H bien conditionné, cela est plus subtil dans le cas d’unopérateur mal conditionné. Afin d’assurer l’unicité du minimum initial, on ajoute à J (r)(x) un termestrictement convexe :

J (r)(x) = ‖y−Hx‖2+‖Kx‖2+λ2∑

i,j

ϕr

(xi,j − xi,j−1

δ

)+ ϕr

(xi,j − xi−1,j

δ

)+ q(xi,j − xi−1,j)

2

(6.12)Pour chaque fonction de potentiel ϕr, le but est alors de calculer le couple (r, q) qui rend le terme derégularisation convexe.

Minimisation semi-quadratique

Pour l’étude de cette technique de minimisation, nous partons d’une formulation plus générale de lafonctionnelle 6.11 du type:

J(x) = Q(x) + λ2M−1∑

m=0

Φ[Vm(x)] (6.13)

avec Q et Vm deux fonctionnelles convexes, et Φ est une fonction strictement concave. Delaney & Bresler[27] ont récemment proposé un algorithme de minimisation d’une fonctionnelle du type 6.13. Nousdécrivons ici brièvement cet algorithme.Soit :

J0(x, e) = Q(x) + λ2M−1∑

m=0

emVm(x)

Cette fonctionnelle est strictement convexe par rapport à x, étant données les propriétés de Q et Vm.L’algorithme procède alors de façon itérative suivant le schéma suivant :

xk+1 = M(xk)

avecM(xk) =Argmin

z

J0[z,Φ

′[Vm(xk)]

(6.14)

La minimisation de la fonctionnelle 6.14 ne pose pas de problème particulier dans la mesure où J0 estconvexe par rapport à la variable z. A chaque itération k, on commence par chercher le minimum de

II-6.5 Conclusion 63

J0[z,Φ′[Vm(xk)] (à l’aide par exemple d’une méthode de descente de gradient); ce minimum fournit la

valeur de xk+1 conduisant à la nouvelle fonctionnelle J0[z,Φ

′[Vm(xk+1)], et ainsi de suite. La conver-gence de cet algorithme vers le minimum global a été prouvée [27] dans le cas d’une fonction de potentielϕ non convexe avec en plus la contrainte d’une matrice H creuse. L’application visée était la tomogra-phie avec un angle limité. C’est pourquoi nous nous attardons ici sur cet algorithme.Dans le cas particulier où l’on choisit :

Q(x) = ‖y −Hx‖2 (6.15)

Vm(x) = [D]2m (6.16)

Φ(t) = ϕ(√t) (6.17)

alors on retrouve la fonctionnelle 6.11, puisque σ(Vm(x)) = ϕ([D]m). La convergence de l’algorithme« M » est démontrée dans un cas général, la fonctionnelle 6.11 étant un cas particulier.

Par ailleurs, on peut remarquer que Φ′(t) = ϕ′(√

t)

2√

tet l’on retrouve alors l’algorithme de régularisation

semi-quadratique décrit par Charbonnier [19]. Nous décrivons ici cet algorithme afin de faire le lien avecl’algorithme M. La méthode proposée par Charbonnier est basée sur la transformation de la fonctionnelle6.11 en une fonctionnelle duale semi-quadratique utilisant une variable auxiliaire, b. En se basant alorssur le théorème défini dans l’annexe B par Geman et Reynolds[33] et repris par Charbonnier[20], on peutréécrire 6.13 (ou plus particulièrement 6.11) de la façon suivante :

J∗(x) = ‖y −Hx‖2 + ‖Kx‖2 +λ2∑

i,j

(bx)i,j(Dxx)2i,j + ψ[(bx)i,j ]

+λ2∑

i,j

(by)i,j(Dyx)2i,j + ψ[(by)i,j ]

On voit alors apparaître la propriété fondamentale suivante : si bx et by sont fixés alors le critèreJ∗(x) est quadratique en x. Si x est fixé, le critère est convexe en b nous avons analytiquement sontminimum (voir annexe B). Cette interprétation conduit à l’algorithme ARTUR qui procède par minimi-sations successives, d’abord par rapport à x, puis par rapport à b.

bk+1i,j =

ϕ′([D(1)x]i,j)

2[D(1)x]i,j, (i, j) = 0, 1, ..., N − 1 (6.18)

xk+1 =Argmin

x

‖y −Hx‖2 + λ

∑

i,j

bk+1i,j [D(1)

x]2i,j

(6.19)

Ces étapes sont répétées successivement jusqu’à un certain critère d’arrêt. Le tableau de l’annexe Cprésente les étapes de calcul dans le cas du choix d’un méthode de descente de gradient pour minimiser6.19. Dans la formule de mise à jour, on retrouve le paramètre λ qui vient régler l’attache aux donnéespar rapport à l’a priori, et le paramètre ∂t qui est le facteur de relaxation analogue à celui utilisé en ART.

6.5 Conclusion

La partie I a permis de mettre en évidence le grave manque de données en tomosynthèse numé-rique. Le chapitre 5 a montré l’intérêt d’utiliser des méthodes algébriques pour résoudre le problèmeinverse à partir d’un faible nombre de projections, tout en restant limité par ce manque d’information.Les méthodes permettant d’introduire de l’information connue a priori sur l’objet ont été abordées dansle chapitre 6; bien que plus lourdes à mettre en œuvre, celles-ci s’avèrent néanmoins très prometteuses


en tomosynthèse.Ces méthodes reposent sur trois choix :

– Un modèle de formation des données

– Un modèle a priori

– Une technique de minimisation

Dans notre cas, nous choisissons un modèle de formation des données linéaire et additif avec unbruit blanc gaussien. Pour le modèle a priori, nous choisissons de reconstruire un objet à valeurs posi-tives, constitué de zones de densité homogène séparées par des bords francs. Enfin, parmi les méthodesde minimisation présentées ici, nous retenons la minimisation semi-quadratique. Ce choix résulte desconsidérations suivantes : i) il est en effet difficile d’imaginer utiliser des méthodes stochastiques à causede la lenteur de convergence, même si ces méthodes garantissent en théorie une convergence globale. ii)Les algorithmes ICM sont en général bien adaptés à la reconstruction d’objets binaires, mais dépendenttrop de l’initialisation pour une application médicale. iii)Dans la mesure où il est difficile de trouver despropriétés de convergence de l’algorithme GNC, nous ne retenons pas cet algorithme, bien que séduisantet original.Notre choix se porte donc naturellement vers la minimisation semi-quadratique, qui possède des pro-priétés de convergence globale même dans le cas d’un opérateur mal conditionné avec une fonction depotentiel non convexe. Par ailleurs, nous pouvons noter (tableau de l’annexe C.1) la proximité de l’algo-rithme ARTUR avec un algorithme ART classique : il suffit « d’ajouter » un terme de lissage pondéré,l’ensemble étant au cœur d’un double processus itératif. En plus de présenter des garanties de conver-gence, cet algorithme est également intéressant du point de vue de son implantation informatique.

III. Optimisation d’un système detomosynthèse : de l’algorithmie à la

réalisation d’un banc de test

65

Chapitre 7

An Adapted Fan Volume SamplingScheme for 3D Algebraic Reconstructionin Linear Tomosynthesis 1

Après avoir présenté dans les chapitres précédents les algorithmes algébriques avec et sans régula-risation, nous allons maintenant les mettre en œuvre. Le point fort de ce chapitre est l’introduction d’unschéma de reconstruction et de régularisation particulier permettant de décomposer le volume 3D de re-construction en une série de plans 2D indépendants, chaque plan intersectant la trajectoire linéaire de lasource et une des lignes détecteur. Cette décomposition est également à l’origine d’un schéma de régu-larisation particulier [5] adapté à la tomosynthèse linéaire. Les algorithmes sont testés sur des donnéesissues d’un thorax réel reconstruit et projeté numériquement. Nous essayons par ailleurs de caractériserl’épaisseur de coupe pour un tel objet en comparant les coupes tomosynthétiques et les coupes scanner.

We study the reconstruction process when the X-ray source translates along a finite straight line, thedetector moving or not. This process called linear tomosynthesis induces a limited angle of view whichcauses the vertical spatial resolution to be poor. To improve this resolution we use iterative algebraic re-construction methods which are commonly used for tomographic reconstruction from a reduced numberof projections. With noisy projections, such algorithms produce poor quality reconstructions. To preventthis, we use a first object prior knowledge consisting in piecewise smoothness constraint. To reduce thecomputation time associated with both reconstruction and regularization processes, we introduce a se-cond geometrical prior knowledge based on the linear trajectory of the X-ray source. This linear sourcetrajectory allows us to reconstruct a series of 2D planes in a fan organization of the volume. Using thisAdapted Fan Volume Sampling Scheme, we reduce the computation time by transforming the initial 3Dproblem into a series of 2D problems. Obviously the algorithm becomes directly parallelizable. Focusingon a particular region of interest becomes easier too. The regularization process can be easily implemen-ted with this scheme. We test the algorithm using experimental projections. Quality of the reconstructedobject is conserved while the computation time is considerably reduced even without any parallelizationof the algorithm.

1. Ce chapitre est issu de l’article : Bleuet P., Guillemaud R., Desbat L. and Magnin I.E. An Adapted Fan Volume SamplingScheme for 3D Algebraic Reconstruction in Linear Tomosynthesis, IEEE Transactions on Nuclear Science, 2002, in press.

67

68 An Adapted Fan Volume Sampling Scheme for 3D Algebraic Reconstruction

7.1 Introduction

Tomosynthesis is used in nondestructive evaluation and medical imaging. In medical imaging, to-mosynthesis allows the physician to obtain 3D information of a region of the body, with projectionsacquired with an X-ray tube and detector moving in opposite directions. This technique was first deve-loped by Ziedses Des Plantes [124] using a film, and could only provide one plane in which structuresare visualized without blurring with one predefined scan. The recent development of digital detectorsrenewed the interest for tomosynthesis with the ability to acquire several projections during a scan andthen to reconstruct the whole object. Applications have been found for example in breast imaging[82],pulmonary nodule detection, lung imaging or bone applications[108],[121]. Recent studies can be foundin [10],[110],[31].

Our objective is to develop and validate algorithms for the particular case of linear tomosynthesis.After a presentation of tomosynthesis, we briefly review the reconstruction and regularization algorithmswe used. In a second part, we introduce the Adapted Fan Volume Sampling Scheme. It is based on aparticular decomposition of the 3D volume and allows to reconstruct a series of independent 2D planes.Finally we present our results using experimental data and we conclude in a last part.

7.2 Linear digital tomosynthesis

7.2.1 Basic principle

The general process of digital tomosynthesis was first defined by Grant [40]. It basically consists ofacquiring a reduced number of projections over a limited angular domain. Different geometrical configu-rations have been developed, but the circular and the linear source paths are the most used. We choose tostudy the linear case because a practical system to implement linear tomography has a relatively simpleand straightforward geometry (Fig. 7.1).

Object

Detector Detector

Focus Plane

Linear X−ray Source Trajectory

z

y x

FIG. 7.1 – The geometrical configuration of the imaging system in which the source and detector movein opposite directions along lines located above and below the patient.

The tomosynthesis reconstruction algorithm as defined in [40] simply consists of shifting and ad-ding projections to obtain the desired plane of focus. This algorithm is similar to a backprojection. Thereconstructed or focusing plane is parallel to the detector plane, which is specific to tomosynthesis.

III-7.2 Linear digital tomosynthesis 69

7.2.2 The limited angle problem

Due to the finite straight line of source points, we have a limited angle problem. From [81] we knowthat a 2D slice of the 3D Fourier transform of the object is equal to a the 2D Fourier transform of the2D projection at the same angle. For the particular case of linear tomosynthesis, this so-called projectionslice theorem produces a typical Fourier domain represented Fig. 7.2. The discrete nature of the Fourierdomain is due to finite number of projections. Furthermore, we see that the limited angle over which thedata are acquired creates regions in the associated Fourier space where data are not available.

Let ωx and ωz denote the spatial frequencies along the source trajectory direction x and the verticaldirection z, respectively, and let α define the maximum projection angle. During the projection step,frequencies ωz > ωmax

z = ωxtanα are lost. As a consequence, we will have a poor spatial resolutionalong x and z.

In the y-direction, there is no blur due to the motion of the source. Therefore, the spatial resolutionof the image is limited primarily by the intrinsic resolution of the detector.

The tomosynthesis process, which consists of a simple backprojection, is not adapted for such aninversion problem since it simply backprojects the projections without any filtering or additional proces-sing (for example the well-known “ramp filter” [81]).In this context, many authors tried to restore the reconstructions using various techniques, for example

FIG. 7.2 – 3D Fourier representation for linear tomosynthesis

[110], [71] or [121]. They mainly used dedicated filters or deconvolution to enhance images. We are mo-tivated by using algebraic reconstruction algorithms instead of these analytical methods for the followingreasons.

First, we have to respect the Shannon sampling contraints. To reconstruct without significant ar-tifacts, one has to dispose of m = n.π

2 projections covering an angular range of 180 with a volumecomposed of n3 voxels[57],[81]. In tomosynthesis, we only have a few projections on a limited angulardomain and this constraint is not respected. This can produce reconstruction artifacts using such analyti-cal methods. To solve this underdetermined problem, one usually uses algebraic methods which producegood results even with limited angular range and with only few projections[27],[9].

Secondly, it is easier to introduce a priori knowledge to stabilize the reconstruction process in thepresence of noise, and a specific and robust mathematical background has been developed to solve suchan ill-posed inverse problem. The next section details the algebraic algorithms we used for this paper.


7.3 Algebraic reconstruction methods and regularization

7.3.1 Formulating the 3D direct problem

We use the following formulation to describe the data formation model :

y = Hx + η (7.1)

In (7.1), y represents the 2D projections set, x represents the object to be recovered, η is an additivenoise. The matrix H is the 3D projection matrix 2.

7.3.2 First inversion methods: ART methods

As the source moves along a finite straight line, we have a typical limited angle problem. We thenpropose to use Algebraic Reconstruction Technique (ART) which minimizes the following cost function :

JART (x) = ‖y −Hx‖2 (7.2)

This algorithm is particularly appropriated for our application because ART methods do not need allprojections to reconstruct the whole object [9]. We then naturally use ART methods and more particularlySimultaneous ART (S-ART) [9],[76] and Multiplicative ART (M-ART) which can be formulated asshown in (7.3) and (7.4).

xn+1 = x

n + λ(n)HTin

(yin −Hinxn)

‖HTinHin‖

(7.3)

xn+1 = x

n

(yin

Hinxn

)λ(n)hij

(7.4)

In these two equations, yin represents the in block of 2D projections, each block containing a setof projection. In this paper, each block contains one projection, thus ensuring better convergence byupdating the volume for each projection. xn represents the 3D reconstruction at the iteration n, H is the3D projection matrix and λ is a relaxation factor. As developed in [46], a decreasing relaxation factorduring the iteration could improve convergence properties.

In (7.3), (yin −Hinxn) is the difference between the measured and estimated projection data. Thisquantity is then backprojected with HT

inoperator, and added to the previous estimate x

n. It is an additiveupdate. In (7.4), (yin/Hinxn) is the quotient of the measured and estimated projection data. This quantityis then backprojected and multiplied by the previous estimate of the image data to obtain the next imageestimate. We have a multiplicative update.

For both cases, reconstruction is performed iteratively between the 2D space of projections and the3D space of the current reconstruction.

7.3.3 Second inversion methods: edge preserving regularization

ART formulation does not take into account any noise consideration. To preserve a good imagequality even with noisy projections, we propose to use edge preserving regularization during reconstruc-tion process. The regularization is implemented by introducing a piecewise smoothness constraint on theobject to be reconstructed. The cost function to be minimized takes the form :

JEPR(x) = ‖y −Hx‖2

︸︷︷︸Data

+λ

3∑

i=1

∑

k

ϕ

(D

(1)i x

)k

δ

︸︷︷︸Prior knowledge

(7.5)

2. Les notations sont conservées par rapport aux deux chapitres précédents.

III-7.4 Adapted Fan Volume Sampling Scheme 71

The index i defines the three spatial coordinates x,y,z respectively. The index k defines each voxel ofthe volume. D(1) is the first derivative operator. The choice of this operator depends on the constraintone have to apply[33]. For a piecewise constant smoothness constraint, the first derivative operator mustbe used. A piecewise planar smoothness constraint is applied using the second derivative operator andpiecewise quadratic smoothness constraint is applied using the third derivative operator. For our study,we used the first derivative operator for two reasons. First, it is computationally much less expensive.Secondly, in many cases, medical images can be supposed to be composed of smooth regions separatedby sharp edges.

ϕ(u) is the potential function which can be chosen either convex or non-convex. A non-convex ϕ(u)ensures better discontinuity detection while conducing to a difficult optimization problem of (7.5) ([98]).We have chosen the convex ϕ(u) function defined by Charbonnier [20]:

ϕ(u) = 2√

1 + u2 − 2 (7.6)

This function presents the following advantages :

– It is convex, thus ensuring a convex optimization problem.

– It is quadratic near 0, and approaches linearity for large values of u. Large gradient will be lesspenalized than with the pure quadratic function ϕ(u) = u2.

– It is computationally easier to use than the classical Green function defined byϕ(u) = 2log cosh(u)which has also the first two properties.

The half quadratic regularization algorithm developed by Charbonnier[20] was used to minimize(7.5). Basically, the algorithm is based on the transformation of (7.5) into a half quadratic dual functionalby introducing an auxiliary variable, b, and then alternately minimizing this dual functional, first withrespect to x, and then with respect to b. Given an initial estimate image x

0, the algorithm called ARTUR[20] consists of the following steps :

bn+1k =

ϕ′([Dxn]k)

2[Dxn]k(7.7)

xn+1 =Argmin

x

‖y −Hx‖2 + λ

3∑

i=1

∑

k

bn+1k

[D

(1)i x

]2

k

(7.8)

These steps are repeated until convergence. The last minimization is easily performed with a classicalgradient descent since the criterion is quadratic when b is fixed[20].

Both ART and edge preserving regularization presented in this section are implemented in the whole3D volume.

7.4 Adapted Fan Volume Sampling Scheme

7.4.1 Geometrical concept

In this section we propose to use a second prior knowledge based on the linear trajectory describedby the X-ray source. Smith [107] derived an exact reconstruction formulation for an infinite straightline of source points using 1D detector. He also proved that it was possible to obtain reconstructionof good quality even when the source moves along a finite straight line. For our study we have a 2Ddetector and then we can consider each line of the 2D detector as independent 1D detectors. Moreoverwe assume these 1D detectors to be parallel to the source path. Therefore for linear tomosynthesis, insteadof considering 2D cone beam projections and using 3D methods as proposed in the previous section, wesee that it is possible to exploit the linear source trajectory to work with 1D fan beam projections andreconstruct a series of 2D planes. Each plane intersects the source trajectory line and one of the detectorlines, and is tilted by an angle depending on the position of the corresponding line on the detector. Finally,


the set of reconstruction planes forms a rectangular basis pyramidal whose top is defined by the lineartrajectory of the x-ray source, as shown in Figs. 7.3 and 7.4. The main difference between this AdaptedFan Volume Sampling Scheme and tomosynthesis method defined in section 7.2 is the orientation of thereconstructed planes. For the Adapted Fan Volume Sampling Scheme, reconstructed planes are verticallytilted while for classical tomosynthesis algorithm, reconstructed planes are parallel to the detector.This type of decomposition of the 3D volume has the following advantages. First, working in a 2D

Source points distributed along a linear tra

jectory

Detector Plane

z

x

y

Fan organisation of the reconstructed planes

Reconstructed Plane

FIG. 7.3 – Position of each of the reconstruction planes. The gray surfaces represent the reconstructedplanes.

configuration saves computation time by avoiding 3D geometrical computation and 3D interpolation.Secondly the algorithm is directly parallelizable because each reconstructed plane does not depend onthe other reconstructed planes. Furthermore, it is easier to choose a Region Of Interest by selecting thedesired tilted planes to be reconstructed. The only drawback of such a configuration is that the volume isnot sampled on a square grid. A post-reconstruction resampling process can be used to obtain a volumesampled on a square grid. Nevertheless, we see in Fig. 7.4 that if the source-to-detector distance is large,the cone beam effects will be small enough to avoid resampling of the image data before presenting theimage to a radiologist or other observer.

7.4.2 Reconstruction

We now discuss how we have adapted the cone-beam reconstruction to obtain the planar decom-position scheme described above. The direct model formulation described by (7.1) is transformed in ny

equations :

y = Hx + η 7→

y1 = H1x1 + η1

y2 = H2x2 + η2...yny = Hnyxny + ηny

(7.9)

In (7.9), yi, Hi, xi and ηi represent respectively the ith line of the detector, the 2D projection matrixcorresponding to this line, the ith tilted plane and the additive noise for this 1D projection.

III-7.4 Adapted Fan Volume Sampling Scheme 73

Detector Plane

z

x y

Source axis

Plane index1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

FIG. 7.4 – A 2D (y, z) representation of Fig.7.3 showing the fan organization of the reconstructed plane.

In Section 7.2, we mentioned that the spatial resolution of the image is determined primarily bythe spatial resolution of the detector. We then propose to use this knowledge to regularize only in the2D (x, z) tilted planes. We do not apply any regularization treatment in th y direction. The inversionformulation for edge preserving regularization can then be written :

JEPR(x1) = ‖y1 −H1x1‖2 + λ∑2

i=1

∑k ϕ

[(D

(1)i x1

)k

δ

]

JEPR(x2) = ‖y2 −H2x2‖2 + λ∑2

i=1

∑k ϕ

[(D

(1)i x2

)k

δ

]

...

JEPR(xny)=‖yny−Hnyxny‖2+λ∑2

i=1

∑k ϕ

[(D

(1)i xny

)

δ

]

(7.10)

These ny cost functionals can then be minimized independently. The initial problem :

x =Argminx

JEPR(x) (7.11)

is transformed into :

x =

ny∑

j=1

Argminxj

JEPR(xj) (7.12)

with JEPR(xj) defined in (7.10).

Finally, we see this Adapted Fan Volume Sampling Scheme allows us to reconstruct and regularizeny independent 2D planes instead of a 3D volume.


7.5 Results

7.5.1 Projection simulation

To test the algorithms we used a computed tomographic (CT) reconstruction of a whole real thorax.The values of this CT phantom are expressed in Hounsfield units 3. This numerical thorax was firstnumerically projected using the Sindbad software [37] developed at CEA-LETI. The projection stepuses the phantom with its materials properties converted from Hounsfield units to linear attenuationcoefficients, and segmented into three materials: air, soft tissue and compact bone. This new segmentedvolume will constitute the volume reference.

Once this segmentation was done, our simulation tool was used to project the phantom in a lineartomosynthesis geometry as shown in Fig. 7.1. The source to detector distance was 1290mm, ensuringsmall cone beam effects. The angular range covers 40 degrees was -20 and +20 degrees, and 21 simu-lated projections were generated. A simulated gaussian noise was added to the projections. We limitedour simulation to the region of the thorax surrounding the spine, and only objects in this region of thephantom anatomy was projected. Fig. 7.5 shows projection data with the source located directly abovethe focal point(i.e., zero degree projection) so that the central ray from the source is perpendicular to theplane of the detector.

FIG. 7.5 – A noiseless radiographic image of the spine and surrounding region (left) with the sourcelocated directly above the focal point of the tomographic system. The same projection with noise addedis shown on the right.

7.5.2 Reconstruction step

The phantom was projected, and the reconstruction step was performed with the algorithms descri-bed above. Then a comparison between the tomosynthetic reconstruction and the reference volume wasdone. Due to the cone-beam geometry, pixel size (measured on the projections) was 1 millimeter whilevoxel size (measured on the reconstructed volume) was slightly smaller, 600 µm.

We first present three series of reconstructions corresponding to three algorithms: the simple back-projection process, the M-ART algorithm and Edge Preserving Regularization. M-ART algorithm is

3. Hounsfield Units (HU) are defined by 1000 ×µ−µwater

µwater

, where µ is the linear attenuation expressed in cm−1. The scaleis then centered on the water, with a 0 HU. Air is -1000 HU, and compact bone is 1000 HU.

III-7.5 Results 75

(a) Backprojection reconstruction: plane z0, z0 +6mm and z0 +12mm.

(b) M-ART reconstruction: plane z0, z0 + 6mm and z0 + 12mm.

(c) Edge Preserving Regularization reconstruction: plane z0, z0 +6mm andz0 + 12mm.

FIG. 7.6 – Reconstructed (x, y) planes with simple backprojection, M-ART and Edge Preserving Regu-larization


well-known for introducing noise in the reconstruction if large numbers of iterations are performed. Wetherefore performed a maximum of 5 iterations. For edge preserving regularization, 8 gradient-descentiteration and 7 half-quadratic iteration were used. For S-ART as for M-ART, the relaxation factor waschosen constant and equal to one for each iteration, for S-ART as well as for M-ART.

Fig. 7.6 shows three (x, y) reconstructed planes parallel to the detector plane for each algorithm.Each plane is separated by a vertical distance of 6 millimeters.

We see in Fig. 7.6(a) that simple backprojection produces poor quality reconstruction. The spatialresolution in the vertical direction in the images is very poor, making it difficult to differentiate the inter-vertebral spaces and other details in the image. The spatial resolution of the image is greatly improvedwith M-ART in which the vertebrae and intervertebral spaces are clearly delineated. Different detailsbecome visible in moving from one plane to another, with the dorsal spine and dorsal ribs becomingmost visible in the last plane. While producing good image quality, M-ART reconstructions are noisyand present severe truncation artifacts at the top and the bottom of the reconstructions. By using edgepreserving regularization, this noise is reduced while preserving high frequency details. Furthermoretruncation artifacts on top and bottom of slices of Fig. 7.6(b) are eliminated, which is very important fortomosynthesis where data are often truncated. It may be possible to obtain a better resolution with edgepreserving regularization with additional iterations but it becomes too expensive computationally .

Fig. 7.7 shows a tomosynthesis slice passing through the trachea. Fig. 7.7 shows a plane whichclearly delineates the trachea which cannot be seen in any of the noisy projection data. This demonstratesthe ability of tomosynthesis to reconstruct even soft tissue as well as bony structures in the phantom.

FIG. 7.7 – The left radiographic projection is identical to Fig. 7.5. The right image represents a tomo-synthetic slice through the trachea.

7.5.3 Resolution

Using a resolution phantom 4

In order to characterize reconstructions along the z direction, we used a phantom made up of 5spheres regularly spaced and aligned along this axis. The phantom is illustrated on the figure 7.8(a).To characterize reconstructions for different frequencies, one defines several phantoms with differentcharacteristic radius, each one corresponding to a different frequency. Then we numerically projected

4. Ce paragraphe sur ne fait pas partie de l’article original

III-7.5 Results 77

each phantom in a linear tomosynthesis geometry. Once this projection step has been performed, wereconstructed with the following algorithms :

– Shift and add process, similar to the backprojection algorithm,

– S-ART,

– M-ART,

– Edge preserving regularization

(a) Original ob-ject

(b) Shift andadd

(c) S-ART (d) M-ART (e) Edgepreservingregulariza-tion

FIG. 7.8 – Reconstruction of the resolution phantom

By taking the central vertical profile on each reconstructed phantom, one calculates for each fre-quency :

CTFi(%) =Max value at the sphere center - Min value between two spheres

Max value at the sphere center(7.13)

Thus we obtained a Contrast Transfert Function (CTF) curve represented on figure 7.9, depending on thevertical spatial fraquencies along z and for each studied algorithm.

The CTF for shift and add process is close to 0, which agrees with previous analysis. S-ART givesa higher CTF, corresponding to a significant improvement of the vertical resolution. M-ART producesa perfect constant CTF. That does not mean that the reconstruction is perfect, but simply that M-ARTmakes it possible to reach a zero value between two spheres, for all the frequencies. Nevertheless, wesee on the figure 7.8(c) that M-ART introduces high frequencies inside the objects. These frequenciesare eliminated by the half-quadratic regularization algorithm (figure 7.8(d)) which gives to the object apiecewise smoothness property. This last algorithm provides a CTF lower than with M-ART, and evenzero high frequency. For these frequencies, the algorithm smoothes artifacts and useful information com-pletely, which produces a nearly constant object and thus a null CTF.

CTF criterion clearly demonstrates that ART methods improve vertical resolution. On the other hand,one does not see the contribution of the half-quadratic regularization. The regularization algorithms arebased on the presence of noise in the images. Therefore such algorithms are more adapted for noisy


FIG. 7.9 – CTF for shift and add process, S-ART, M-ART and edge preserving regularization

(a) Shift andadd

(b) S-ART (c) M-ART (d) EdgePreservingRegulariza-tion

FIG. 7.10 – Reconstruction of the resolution phantom with noisy data

data. We then simulated a new set of noisy projections, and then performed a reconstruction. Figure 7.10presents the reconstructions while figure 7.11 presents the associated vertical profiles.

S-ART, M-ART and regularization are represented with the same image range. Backprojectionimage level is too low to be representated on the same figure. The strong diffusion of the structuresspreads out energy over the reconstruction zone, which produces low level reconstructions. Even withnoisy data, S-ART has a pretty good behavior and reduces the limited angle artifacts. M-ART is moresensitive to noise. More particularly, null pixels are conserved during iterations. The half-quadratic re-gularization produces constant deformed spheres. On the profiles, one sees that M-ART produces verynoisy reconstruction. S-ART is preferable, but the regularization gives more encouraging results. Thecomparative curves of CTF were not plotted, because the noise present in the reconstructions preventsany accurate determination of the extrema and thus of the CTF.

III-7.5 Results 79

(a) S-ART, M-ART, Edge Preserving Re-gularization

(b) Isolated Curve for Backprojection

FIG. 7.11 – Vertical profiles of the reconstruction 7.10

Comparing CT with tomosynthesis

To determine the resolution we can achieve with a linear tomosynthesis system, we used both origi-nal CT reconstruction and tomosynthesis reconstruction. By comparing a tomosynthetic slice with a sumof nz(y, z) slices, we can state that a tomosynthesis is equivalent to nz CT slices, and then determine thetomosynthetic slice thickness. We have observed that by summing 20 CT slices, similar details can be

FIG. 7.12 – From left to right, the sum of 20 segmented CT slices, and a tomosynthetic slice. Similardetails can be found from 20 summed CT slices.

found in tomosynthetic slices with regularization algorithm. This demonstrates that the slice thicknessof the linear tomosynthesis system is about 1 centimeter for an acquisition over 40 degrees, since thedistance between adjacent CT slices is 0.6 mm.


7.5.4 Computation times and parallelization

The projection data are acquired in a 500×500 pixel format. The image is represented as 512×312×512volumetric data, requiring a large amount of data that must be processed during the tomosynthetic re-construction process. We observed that the computation time is 50% higher with classical reconstructionthan with our adapted sampling scheme. Nevertheless, computation times is very high due to the iterativeprocess and the huge quantity of data. Using a SUN Blade 1000, with 1.7Gb and 750Mhz Processor, thecomputation time is about three hours for five M-ART iterations. This large computation time is very res-trictive for any clinical use. However we saw in section 7.4 that the algorithm is directly parallelizable.We then used this property to significantly reduce the computation time. With nproc processors, the pa-rallelization strategy simply consists in reconstructing each series of consecutive nproc tilted planes oneach of the nproc independent processors. Table 7.1 presents the correspondence between the plane indexof Fig. 7.4 and the processor number. Following this scheme, the source code was then implemented and

TAB. 7.1 – Processor and plane index for parallelizationProcessor index Plane index

1 0,4,8,12,· · ·2 1,5,9,13,· · ·3 2,6,10,14,· · ·4 3,7,11,15,· · ·

recompiled on a DEC ALPHA parallel computer with 6 Gb memory and four 500Mhz processors. Weobserved that the computation time is reduced by a factor three with four processors compared to thecomputation time with a single 500Mhz processor. Two steps will allow a further reduction of the com-putation time. First we may test the algorithm on a PC cluster, exploiting a superior processor number.We are here only limited by the number of planes. Secondly, it is possible to optimize the source codeimplementation. Projection and backprojection steps, which are the basis components of all algorithms(with, respectively, H and HT operators), could be improved to reduce the volume size. Indeed, a voxel-driven approach is actually used, and constrains us to have a voxel size smaller than the pixel size tolimit sampling artifacts. The Joseph approach[51] is less sensitive to this point. Using it would allowsus to use parallelepiped voxels instead of cubic voxels, producing a volume with high resolution in the(x, y) plane and with a lower resolution in the z plane. This would be compatible with tomosynthesiswhich produces high resolution slices parallel to the detector plane, while suffering from a low verticalresolution. Furthermore, it would reduce the computation time by reducing the the amount of data thatwe need to process for image reconstruction.

7.6 Concluding remarks

We have proposed an Adapted Fan Volume Sampling Scheme for a linear tomosynthesis system.This scheme reduces the computation time and allows a parallelization of the reconstruction algorithm.Thus, it becomes realistic to use iterative methods in a medical context. ART methods dramaticallyimprove image quality compared against conventional tomosynthesis algorithm. ART methods and moreparticularly M-ART methods produce reconstructions with good vertical spatial resolution, but can benoisy if the projection data are noisy. The regularization step overcomes this drawback by reducing thenoise, preserving discontinuities. This regularization step can be directly included in the Adapted FanVolume Sampling Scheme as multiple 2D reconstructions rather than as a single 3D reconstruction. Thusit is still possible to parallelize the algorithm. Furthermore, the regularization step considerably reducestruncation artifacts, thus achieving tomographic reconstruction over a wider volume of the object.

Chapitre 8

Analyse d’un système de tomosynthèse

Dans tout ce qui précède, nous avons largement discuté du problème de reconstruction avec desdonnées angulaires limitées, et présenté des algorithmes permettant de reconstruire dans un tel cas. Entomosynthèse, nous sommes potentiellement confrontés à deux autres problèmes :

– Le problème des projections tronquées, ou problème intérieur.

– La présence éventuelle d’objets métalliques dans le corps humain, par exemple des prothèses chi-rurgicales (le problème extérieur).

Ainsi, si l’on reprend l’introduction du chapitre 4, on s’aperçoit que l’on est confronté aux trois pro-blèmes définissant les données incomplètes ! La partie précédente s’est attachée à montrer les algorithmesexistants que nous avons sélectionnés pour traiter l’angle limité, le faible de nombre de projections et lesprojections bruitées. Dans ce chapitre, nous proposons des solutions pour traiter simplement et effi-cacement les projections tronquées et la présence d’objets métalliques dans le corps. Pour cela, nousproposons des prétraitements adaptés avant le processus de reconstruction.Un autre point étudié dans ce chapitre est l’influence du rayonnement diffusé. En effet, la reconstructionen tomosynthèse étant basée sur des projections bidimensionnelles, nous sommes confrontés à ce phéno-mène physique dont les deux conséquences principales sont la diminution du contraste et l’augmentationdu bruit. Nous présentons les résultats de nos premières investigations sur le diffusé en tomosynthèse.Nous nous intéressons également à l’échantillonnage de la trajectoire d’acquisition et proposons unschéma original d’acquisition des projections.

81

82 Analyse d’un système de tomosynthèse

8.1 Rappel du contexte

Cinq points importants caractérisent la tomosynthèse linéaire :

1. Le problème de l’angle limité,

2. Le problème de la troncature des projections,

3. La forme et la taille de la zone de reconstruction,

4. Les irrégularités de l’échantillonnage pour les projections et pour l’objet,

5. La trajectoire linéaire de la source.

L’angle limité, dû à une acquisition sur un secteur angulaire restreint, se traduit dans les reconstructionspar une perte de résolution suivant la direction z qu’on retrouve dans le domaine de Fourier au traversd’un cône manquant. Les méthodes algébriques décrites dans la partie précédente permettent en principede «combler» partiellement cet espace de Fourier et ainsi de gagner en résolution.

8.1.1 Généralités

Dose : En imagerie médicale par Rayons X et pour toute forme d’examens nécessitant l’utilisation derayonnements ionisants, le problème de la dose délivrée au patient est assez crucial. En scanner, la dosedélivrée au patient est en général bien plus élevée que pour la plupart des autres techniques utilisantdes rayonnements ionisants[75]. La tomosynthèse bénéficie d’un contexte favorable en terme de dosepuisqu’on vient combiner une série d’images. Le fait de sommer les images vient lisser les effets dubruit, ce qui permet de réaliser ces images à une dose faible. Typiquement, un examen de tomosynthèsepeut se faire avec une dose équivalente à celle d’une radiographie classique[22], et ce que nous avons puréaliser au chapitre 11 consacré à la tomosynthèse grand champ.

Application générale de la tomosynthèse : Etant donnée toute l’étude précédente sur le contexte dereconstruction, nous pouvons affirmer qu’il est plus facile de reconstruire des objets contrastés type osplutôt que de tissus mous. Ainsi, nous nous dirigeons vers des applications ossseuses type orthopédie.Par ailleurs, il est difficile d’obtenir des informations de densité exacte comme en scanner par exemple.Ainsi, on ne pourra pas quantifier les reconstructions en densité. Les niveaux de gris sur les imagesreconstruites ne sont pas représentatifs de la densité exacte de l’objet et permettent d’apprécier qualitati-vement l’image.

8.1.2 La zone de bonne reconstruction

La région 3D de reconstruction correspondant au volume intersection de toutes les projections varieen taille et en forme selon la géométrie d’acquisition. Cette région est déterminée par les deux projectionsextrêmes et défini un losange à deux dimensions, un rhomboèdre à trois dimensions. Plus l’angle de vueest fort, plus la zone de reconstruction sera petite et inversement. Ce problème illustré figure 8.1 rejointdirectement le problème de troncature des projections soulevé plus haut. En pratique, on sera amené àreconstruire sur un domaine plus grand, un rectangle (un parallélépipède à trois dimensions) englobantle losange (le rhomboèdre).

8.1.3 Particularités de l’échantillonnage

L’échantillonnage du volume reconstruit et des projections est aussi particulier dans le cas de latomosynthèse linéaire. Le volume est échantillonné irrégulièrement dans la mesure où la résolution estanisotrope : alors que dans le plan du détecteur on peut a priori s’attendre à avoir la résolution du capteur,on sait que la résolution en profondeur est beaucoup plus faible. Les pixels suivant z seront donc plus

III-8.2 Analyse des artefacts de troncature 83

FIG. 8.1 – Définition de la zone de « bonne » reconstruction dans deux situations : à droite, le débatte-ment angulaire est plus fort qu’à gauche.

grands que les pixels dans le plan (x, y). Les projections sont également échantillonnées irrégulièremententre elles (figure 8.2). En effet, le détecteur n’étant pas perpendiculaire à la direction source-détecteurpour toutes les projections, la taille des pixels va dépendre de l’angle de projection. On aura une taille depixel plus élevée pour les projections extrêmes.

FIG. 8.2 – Irrégularité de l’échantillonnage des projections et anisotropie de l’échantillonnage du vo-lume

8.2 Analyse des artefacts de troncature

8.2.1 Analyse du problème

En tomosynthèse, nous sommes confrontés au problème de troncature dû à une acquisition desprojections avec un mouvement suivant la grande longueur de l’objet(figure 8.3). Pour les angles deprojection élevés, certains rayons se projettent hors du détecteur et sont à l’origine d’artefacts à la re-construction (voir figure 8.6(a)). Pour résoudre le problème, certains auteurs n’hésitent pas à restreindrel’angle maximal de vue [121]. Ayant clairement mis en évidence dans la partie I l’intérêt d’avoir le plusgrand débattement angulaire possible, nous allons chercher à traiter le problème de troncature plutôt qu’à


l’éviter.Tout d’abord, nous rappelons que nous nous sommes dirigés vers des approches itératives algébriques,qui vont venir renforcer ces artefacts de troncature. En effet, avant de mettre à jour le volume, on calculela différence (y − Hx) (voir équation 5.7) qu’on va ensuite rétroprojeter. Si le rayon concerné atteintle détecteur, alors cette différence sera faible et la mise à jour du voxel sera cohérente. Si par contre lerayon passe à côté du détecteur, nous avons deux solutions :

– Soit la mise à jour n’est pas faite. On limite alors certains artefacts, mais on perd aussi de l’infor-mation

– Soit la mise à jour est faite. Dans ce cas, il faut savoir par rapport à quoi on réalise cette mise àjour, puisqu’aucune donnée n’est disponible.

En se plaçant dans ce dernier cas et si l’on suppose qu’en dehors du détecteur, la projection possède enchaque pixel une valeur nulle, alors la différence (y −Hx) = −Hx va être très élevée et la mise à jourdu voxel, en plus d’être inexacte, sera surtout incohérente avec la mise à jour du même voxel mais pourun rayon se projetant effectivement sur le détecteur (pour une autre projection). Ainsi, les mises à jourde voxels ne sont plus cohérentes d’une projection à l’autre, ce qui introduit d’importants artefacts. Enitérant, on cumule de plus en plus les erreurs, et l’algorithme va très rapidement diverger.

FIG. 8.3 – La troncature des projections

8.2.2 Prolongement des projections

Pour limiter ces artefacts, on peut dans un premier temps prolonger artificiellement les projections.En effet, si à la place de rétroprojeter (−Hx) on rétroprojette (y# −Hx), (y#) étant estimé correcte-ment, alors on limite la divergence de l’algorithme. Pour cela, nous proposons un traitement simple quiutilise les dernières colonnes de chaque projection pour calculer une « colonne moyenne» qu’on va du-pliquer pour agrandir chaque projection (voir figure 8.4), et ainsi former (y#). Même si l’erreur ensuiterétroprojetée est fausse, l’ordre de grandeur est respecté ce qui permet déjà de réduire les artefacts (voirfigure 8.6(b)).

8.2.3 Normalisation adaptive

Si le fait de prolonger les projections permet de diminuer significativement les artefacts, on introduitnéanmoins encore une fois une incohérence d’une projection à l’autre. Pour mieux le comprendre, nous

III-8.2 Analyse des artefacts de troncature 85

FIG. 8.4 – Prolongement artificiel des projections.

FIG. 8.5 – Correction de la normalisation

rappelons la formule du S-ART (équation 5.7) :

xk+1 = x

k + λkHT

ik(yik −Hikx

k)

‖HikHTik‖

Dans cette formule, on trouve au dénominateur le terme H qui permet de normaliser l’intensité parrapport à la longueur traversée dans l’objet. Dans la zone prolongée « virtuelle » du détecteur, nousavons affecté à la projection une valeur qui suppose que le rayon ait traversé tout l’objet (la longueurl1 sur la figure 8.5). Or, pour un rayon ayant un angle d’incidence élevé, seule la partie l2 de l’objet esttraversée et la normalisation n’est plus la même. Il convient alors d’adapter la normalisation aux donnéesartificiellement ajoutées afin de rendre cohérente la valeur d’atténuation artificielle sur les projections etla longueur traversée par le rayon, et ce en normalisant par rapport à l3. Comme illustré figure 8.6(c), cetraitement améliore nettement l’image résultante et permet d’élargir sensiblement le champ d’acquisition.


8.2.4 Prolongement du volume reconstruit

Après ces deux corrections, il subsiste toujours quelques artefacts sur les bords qui peuvent provenird’effets de bord, ou également de la normalisation qui, si elle a été nettement améliorée, n’est pas exacte.Afin d’éviter la propagation de ces effets de bord dans le volume au cours des itérations (rappelons quenous effectuons des séries de projections/rétroprojections), nous avons agrandi le volume parallélépipè-dique de reconstruction suivant la direction de translation de la source. Une fois le volume reconstruit,nous pouvons extraire la région d’intérêt. Les artefacts sont ainsi rejetés sur les bords du volume initial etn’apparaissent pas sur le volume extrait. Si ce traitement permet encore d’améliorer la qualité des images(voir figure 8.6(d)), il augmente néanmoins considérablement le temps de calcul.

8.2.5 Conclusion

Nous avons vu qu’il est facilement possible de réduire sensiblement les artefacts de troncature.Indirectement, ce traitement vient augmenter le temps de calcul puisqu’il faut agrandir la taille des pro-jections et augmenter la taille du volume de reconstruction. Cependant, cela permet d’obtenir des coupesgrand champ d’un thorax par exemple, comme illustré sur la figure 8.6(f). Ce type d’image est relati-vement inhabituel en imagerie médicale. En effet, en tomographie 2D, il est nécessaire de reconstruireun grand nombre de coupes axiales afin de pouvoir former une telle coupe frontale. En radiographie,on obtient des images dans ce plan mais sans informations tridimensionnelles. La tomosynthèse permetdonc d’obtenir des coupes frontales grand champ.

8.3 Artefacts dus aux corps étrangers absorbants

8.3.1 Position du problème

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à l’influence de la présence d’objets métalliques sur leprocessus de reconstruction. En effet, en imagerie, on est souvent confronté à la présence de prothèseschirurgicales qui peuvent engendrer de sévères artefacts. En tomographie, les artefacts métalliques li-mitent l’évaluation des tissus mous mais également des structures osseuses entourant ces prothèses. Cetype de problème se retrouve principalement en imagerie dentaire, en orthopédie, ou encore en oncologie.Plusieurs effets viennent perturber la reconstruction en tomographie[123] :

1. Le durcissement de spectre : la composante basse énergie du flux est plus atténuée que la compo-sante haute énergie.

2. Le faible rapport signal à bruit, dû au faible nombre de photons ayant traversé le métal.

3. L’augmentation des artefacts dus au mouvement du patient.

4. La présence d’une composante de rayonnement diffusée supplémentaire.

Pour diminuer ces artefacts, on peut penser sélectionner un matériau moins absorbant pour la fabricationdes prothèses. Cela se fait déjà, en utilisant des prothèses en titane à la place de l’acier inoxydable (deuxfois plus atténuant à 50keV). Cependant, le choix du matériau se fait en général en fonction des propriétésmécaniques et de biocompatibilité des matériaux plutôt que des propriétés d’atténuation aux rayons X.Une autre solution efficace serait l’augmentation de l’énergie du faisceau incident, mais au prix d’uneperte de contraste des structures situées hors du métal.

8.3.2 Artefacts métalliques et reconstruction

D’un point de vue reconstruction, nous sommes une fois de plus confrontés à un problème de don-nées manquantes : sur la zone où l’objet métallique est projeté, nous n’avons plus d’information dedensité cohérente à cause de l’absence de photons sur le détecteur. Ainsi, après avoir été confronté auproblème de l’angle limité et au problème intérieur (les projections tronquées), nous sommes maintenant

III-8.3 Artefacts dus aux corps étrangers absorbants 87

(a) Plan (x, z) sans corrections (b) Plan (x, z) en prolongeant les projections

(c) Plan (x, z) en prolongeant les projections et en cor-rigeant la normalisation

(d) Plan (x, z) en prolongeant les projections, en cor-rigeant la normalisation et en reconstruisant sur un do-maine plus large

(e) Une coupe frontale (x, y) sans correc-tion.

(f) Une coupe frontale (x, y) corrigée.

FIG. 8.6 – Reconstruction d’un plan axial (de 8.6(a) à 8.6(d)) et d’un plan frontal correspondant (8.6(e)et8.6(f)). Les axes sont ceux de la figure 8.1.

confronté au dernier problème de données manquantes existant, le problème extérieur (voir page 39,chapitre 4 ). Ce point a fait l’objet de nombreuses publications dont nous ne donnerons ici que quelquesexemples récents.

Les approches par interpolation

On interpole ici dans la région des projections où se projette l’objet métallique afin de rendre à cettezone des valeurs d’atténuation « raisonnables». On trouve alors des approches plus ou moins sophisti-


quées, de la simple interpolation linéaire (ou des interpolations plus complexes [65], [117]) à l’utilisationd’ondelettes[123]. Le but principal est de combler les données manquantes par des valeurs d’atténuationplausibles. Dans tous les cas, il sera nécessaire à un moment ou à un autre d’utiliser un seuil pour isolerla région à interpoler. Le choix de ce seuil, toujours problématique, est en partie résolu dans [52]. Outrela détermination automatique du seuil, cette approche est intéressante puisqu’elle est basée sur un filtrageadaptatif dont la largeur du filtre dépend du niveau d’atténuation : en notant y(χ) la projection, on a lalargeur du filtre :

∆(χ) = ∆(χ)(y(χ))

Le filtrage consiste alors en une simple convolution :

yf =

∫y(χ′)h∆(χ)(χ− χ′)dχ′

∣∣∣∣∆(χ)=∆(χ)(y(χ))

Il est noté dans [52] que la méthode est relativement insensible au type de filtre h∆(χ). Par ailleurs,ce type d’approche est efficace dans la mesure où les artefacts métalliques se traduisent par un bruitde photon plus important, typiquement pour des prothèses de hanche. Dans d’autres cas (par exemplepour les applications dentaires) où le bruit n’est pas le problème prédominant, il n’y a pas d’avantages àutiliser cette approche.

Les approches par «non prise en compte» des valeurs manquantes

Ce type d’approche consiste simplement à ignorer les pixels correspondant à la projection de l’objetmétallique. Typiquement, dans [120], la reconstruction est effectuée par des algorithmes itératifs de typeART, et les opérations de projection et de rétroprojection ne sont effectuées que si l’interpolation nerequière aucun pixel de la région métallique de la projection ou de l’objet. Pour formaliser un peu plus cepoint, nous allons réécrire la formule 5.7 sous une forme un peu différente explicitant chacun des voxelsou des pixels du volume ou des projections.Soient :

ΩM le volume métallique,ΥM la partie de la projection correspondante,Pϕ l’ensemble des projections disponibles.

On peut alors écrire la mise à jour de la façon suivante :

xk+1j =

xkj si xk

j ∈ ΩM ou si yi ∈ ΥM,

xkj + λ

∑pi∈Pϕ

(pi−

∑Nn=1 hinx

kn∑N

n=1 hin

)

∑pi∈Pϕ

hijsinon.

(8.1)

Ainsi, on ne met à jour xkj que si les voxels ou pixels concernés ne font pas intervenir de voxels ou pixels

métalliques. Ce type d’approche est mis en œuvre dans [120] pour des algorithmes de type ART et EM.Dans [23], le même principe est appliqué à des algorithmes basés sur le MAP.

8.3.3 Notre approche

Principe

Dans ce paragraphe, nous appellerons par abus de langage « défauts» les parties métalliques desprojections. Nous choisissons de traiter les projections directement plutôt que de modifier les opérationsde projection/rétroprojection pour prendre ou non en compte certains rayons. Nous allons en fait « com-bler» la partie manquante des projections, ce qui vient à nous placer dans la catégorie des approches par

III-8.3 Artefacts dus aux corps étrangers absorbants 89

interpolation. Une fois ces projections complétées, nous reconstruirons le volume normalement.Il y a donc trois étapes dans le traitement :

– Détection de pixels en défaut

– Correction de pixels en défaut

– Reconstruction

Notons que nous avons plutôt à faire à des agglomérats de pixels en défaut qu’à quelques pixels en défautisolé, ce qui rend le processus de détection beaucoup plus délicat.

Détection de pixels en défaut

La détection des défauts repose sur une analyse statistique de l’image et de son gradient. Un pixelen défaut a soit une valeur aberrante, soit un fort gradient par rapport à ses voisins. Partant de cetteobservation, nous choisissons d’établir une carte d’indice de confiance sur chaque pixel de la projection,cet indice variant entre 0 et 1. Une valeur nulle indique que l’on a détecté un défaut franc qu’il faudratraiter, une valeur unité correspondant à un pixel non métallique.Pour effectuer ce traitement, nous avons procédé comme suit :

– Localisation et détection de la structure absorbante métallique. En général, l’atténuation subie parles rayons X lors de leur traversée dans le métal est suffisamment forte pour se différentier dureste de l’image. On commence alors par faire une recherche du maximum d’atténuation sur laprojection. On opère alors un algorithme de croissance de région afin d’isoler la région du défaut(vis) du reste de l’image. Un simple seuil se révèle trop sensible en raison de l’angle de projectionqui peut conduire à des niveaux d’atténuation élevés même en dehors du défaut.

– Afin de ne pas sous-estimer la largeur du défaut (ou objet métallique), on utilise la morphologiemathématique afin de dilater légèrement le défaut.

Correction de pixels en défaut

La méthode de correction est basée sur une technique proposée par Knutsson [59]. L’algorithme estle suivant :

– On considère une image p(x, y), qui sera pour nous une projection quelconque,

– On considère que l’on dispose d’une image de confiance C(x, y) sur les pixels de l’image, C(x, y)ayant été calculée précédemment, On construit alors une version filtrée p′(x, y) de p(x, y) de lafaçon suivante :

p′(x, y) =[p.C] ∗ A(x, y)

C ∗ A(x, y)(8.2)

Dans cette équation, A(x, y) est un noyau de convolution défini par :

A(x, y) =

r−α cosβ

(πr

2rmax

)si r < rmax

0 Sinon

Nous avons retenu α = 1 et β = 1. Ainsi, l’image filtrée p′(x, y) obtenue possède les caractéristiquessuivantes :

1. Sur les zones qui ont un indice de confiance uniforme, et pour lesquels le pixel est supposé êtrecorrect, le traitement est équivalent à un filtrage,

2. Sur les zones qui ont un indice de confiance inférieur à leurs voisins, le traitement correspond àune « interpolation douce », avec une valeur de p′(x, y) dépendant en majorité des pixels voisinssupposés avoir une forte confiance.


Dans le cas de pixels isolés en défaut, on choisira un noyau de convolution étroit. Dans notre cas, oùles défauts sont larges, le noyau de convolution doit être adapté à la taille des objets métalliques sur lesprojections. La valeur d’un pixel corrigé ayant une confiance nulle dépend de la valeur des pixels voisinsselon leur distance et leur indice de confiance. Ainsi, le filtrage permet de corriger les défauts en utilisantau mieux l’information des pixels corrects. L’inconvénient majeur de cette méthode est l’introductiond’un filtrage même sur les zones à fort indice de confiance. Afin de réduire cette effet, on préfère utiliserla correction suivante, où l’on combine image filtrée et image originale, en pondérant par la confiancesur les pixels (en fait dans notre cas C = 1 et C est un masque binaire) :

p′′(x, y) = p(x, y).C(x, y)︸︷︷︸Image originale pondérée

+ (1 − C(x, y)).p′(x, y)︸︷︷︸Image filtrée pondérée

(8.3)

Sur les zones de forte confiance, p′′(x, y) correspond à l’image initiale, tandis que sur les zones defaible confiance, l’image finale prend les valeurs obtenues par filtrage.

Premier test sur objet métallique simulé

Pour un premier test, nous avons inséré sur une radiographie d’un fantôme de pied un disque deforte densité simulant un objet métallique. Sur la figure 8.7 sont représentées l’image originale, l’imagesimulée, et l’image corrigée avec les zooms respectifs sur la zone métallique.

FIG. 8.7 – Correction des projections pour la réduction des artefacts métalliques à la reconstruction

L’effet de la correction est clairement visible. La méthode permet de remplacer la zone de très fortedensité par une zone très basse fréquence mais où les niveaux sont cohérents avec les pixels voisins.

III-8.4 Traitement du problème du diffusé 91

8.4 Traitement du problème du diffusé

8.4.1 Position du problème

En tomosynthèse, on vient acquérir des projections sur un capteur bidimensionnel. Ce type d’ac-quisition soulève le problème du rayonnement diffusé présent sur les images (voir chapitre 1). Sur lesradiographies, le rayonnement diffusé est à l’origine d’une diminution de contraste des images, d’uneaugmentation du niveau de bruit général (on cumule le bruit du rayonnement direct et le bruit du rayon-nement diffusé) et également d’une augmentation du niveau moyen des images.

En tomosynthèse, l’effet du diffusé est multiple. Tout d’abord, les deux effets présents en radiogra-phie se retrouvent en tomosynthèse, à savoir bruit et diminution du contraste. Par ailleurs, un autre effetimportant est la non-cohérence des projections entre elles du fait de la déviation des rayons diffusés dansl’objet et de l’augmentation du niveau moyen des images. En introduisant des processus itératifs, onrisque de faire plus facilement diverger l’algorithme en mettant à jour du volume par des valeurs fausses.

Plus simplement encore, un processus de reconstruction est basé sur la connaissance du modèledirect, la matriceH dans notre formulation algébrique. Nous connaissons cette matriceH si l’on supposequ’il n’y a pas de diffusé, mais il est impossible de calculer analytiquement la matrice de projection pourle rayonnement diffusé. Ainsi, ne disposant pas du modèle direct exact, le processus de reconstructionest d’autant plus perturbé. On comprend donc intuitivement qu’une correction du rayonnement diffusésemble importante en tomosynthèse.

Nous proposons dans ce chapitre d’évaluer l’influence du diffusé de manière qualitative en recons-truisant des objets avec et sans diffusé à partir de données simulées.

8.4.2 Simulation des données

Le fantôme

Pour simuler les données, nous sommes partis d’un fantôme numérique que nous avons projetésuivant une géométrie de tomosynthèse linéaire, représenté sur la figure 8.8. 1

FIG. 8.8 – Fantôme utilisé pour évaluer l’influence du diffusé

1. Ce fantôme a été développé au LETI pour des applications osseuses.


Vingt et une projections entre +20 et -20 degrés ont été générées en conique, avec une distancesource-détecteur de 1290mm, et avec un détecteur mobile de manière augmenter la zone de bonne re-construction. La tension du tube a été fixée à 100kV.

Pour chaque angle de projection, nous avons simulé analytiquement (en se basant sur la loi deBeer-Lambert (équation 1.1)) le flux direct φdirect que nous avons combiné avec une simulation Monte-Carlo du rayonnement diffusé total φscatter. Connaissant ces deux flux, on peut exprimer l’image totaled’atténuation sous la forme

ytotal = lnφ0

φdirect + φscatter(8.4)

Ainsi, nous avons bien ajouté les flux correspondant au direct et au diffusé avant de passer en atténuation.Cette équation montre que l’ajout du flux φscatter venant augmenter le flux total arrivant sur le détecteur,on aura une baisse de l’atténuation. La présence d’un rayonnement diffusé engendre une sous-estimationdu niveau d’atténuation de objet.

Simplifications

La simulation du rayonnement diffusé par des codes Monte Carlo est une opération lourde d’unpoint de vue informatique. Pour cette raison, nous avons dû simplifier le fantôme et avons supprimé unepartie des structures le composant afin de limiter le nombre de régions. Par ailleurs nous nous sommesrestreint à la région du thorax pour cette étude.

Le diffusé étant une composante basse fréquence pour ce type d’objet et évoluant peu d’une pro-jection à l’autre (si l’incrément angulaire n’est pas trop fort), nous n’avons simulé qu’une projection surdeux. Pour récupérer les projections manquantes, nous avons utilisé une simple interpolation linéaire.

La dernière simplification utilisée a consisté à limiter le nombre de photons envoyés. Nous reposantencore sur le caractère basse fréquence du diffusé, nous avons alors lissé les projections afin d’obtenirune image avec un statistique satisfaisante. 2.108 photons ont été envoyés pour simuler le rayonnementdiffusé avec un code Monte Carlo, et 1e13 pour le rayonnement direct, soit un rapport de 5.104 qui nousa servi de normalisation entre direct et diffusé.Remarque : Ce traitement supprime complètement le bruit du diffusé. Néanmoins, notre objectif est deréaliser une première évaluation du diffusé en terme de niveau et de forme et nous nous en tiendrons là.

La figure 8.9 illustre la projection centrale du fantôme ainsi que le rayonnement diffusé correspon-dant. Notons que le diffusé simulé est le diffusé total.

FIG. 8.9 – Rayonnement direct, rayonnement diffusé

III-8.5 Échantillonnage de la trajectoire source 93

Reconstructions

Disposant maintenant d’un jeu de projections de direct ydirect et d’un jeu de projections de diffusé

yscatter, nous allons pouvoir reconstruire avec et sans diffusé afin de pouvoir comparer. Pour cela, nous

avons utilisé un algorithme S-ART avec 5 itérations, en traitant notamment les artefacts de troncature.Pour simuler une grille, nous avons retenu une approche très basique basée sur les coefficients ca-

ractérisant une grille antidiffusé, notamment les pourcentages de direct τP et de diffusé τS qui traversentla grille. Nous avons retenu les valeurs suivantes :

τP = 0.75 et τS = 0.25

Utilisant ces paramètres, nous avons simplement pondéré le flux de direct et le flux de diffusé sur chacunedes projections afin de simuler une grille pour venir former l’image suivante :

ygrille = lnφ0

τPφdirect + τSφscatter(8.5)

Nous présentons sur la figure 8.10 trois plans de reconstruction se focalisant sur la colonne verté-brale, respectivement sans diffusé, avec diffusé, et avec diffusé et en simulant une grille antidiffusé.

FIG. 8.10 – Un plan de reconstruction, sans diffusé, avec diffusé, avec diffusé+grille

La différence de contraste est saisissante entre les deux premières images et montre l’importancedu niveau de diffusé et d’un traitement adapté. L’utilisation d’une grille montre qu’on parvient déjà àlimiter le niveau de diffusé et ainsi à gagner en contraste. Des traitements plus spécifiques de correctiondu diffusé, tels que ceux présentés brièvement dans le chapitre 1 (page 11), peuvent également être utiles.

Même si notre modèle de simulation est assez simpliste dans la mesure où l’on a fait un certainnombre de simplifications, que ce soit au niveau modélisation du fantôme ou simulation, ce paragraphesoulève un problème important en tomosynthèse, le rayonnement diffusé.

8.5 Échantillonnage de la trajectoire source

8.5.1 Objectifs et notations

Nous nous intéressons dans ce paragraphe à la répartition des positions de la source de rayons X dansl’espace. L’objectif principal est d’obtenir quelques projections dans une direction transverse de manièreà «casser» certains artefacts d’angle limité. On ne cherche donc pas à acquérir un nombre importantde projections dans une direction transverse, mais de montrer si oui ou non quelques projections trans-verses peuvent améliorer les reconstructions. On trouve dans [102] et [122] des recherches de trajectoireoptimales en tomosynthèse.

Notons :N le nombre de projections,


T (~r) le «code source» définissant la trajectoire discrète [68],I(~ri) l’intensité du rayonnement X au point i,~r = (x, y, z) le vecteur position.

8.5.2 En linéaire

En se limitant au cas linéaire, il est possible de concevoir différents types d’échantillonnage despositions de la source de rayons X. On a l’équation générale suivante qui est en fait un peigne de Dirac:

T (~r) =N−1∑

i=0

I(~ri)δ(x− xi, y − yO, z − zO) (8.6)

La première idée qui vient à l’esprit est de diviser le débattement angulaire total par le nombre deprojections, et ainsi d’avoir un incrément angulaire constant. On a alors

xi = x0 + FGd ∗ arctan i2α

N(8.7)

α dénotant l’angle maximal de vue en tomosynthèse linéaire, x0 une position d’origine et FGd ladistance entre la source et sa projection sur le détecteur. Ce type de schéma n’exploite pas au mieux lespossibilités offertes par un débattement angulaire fixé. En effet, on peut concevoir qu’en échantillonnantrégulièrement en x plutôt qu’en α, on pourra tirer plus forte partie des angles importants situés auxextrêmes de la trajectoire. Pour cela, on utilise :

xi = x0 + i ∗ FGd ∗ arctan2α

N(8.8)

Chacune de ces deux situations est représentée sur la figure 8.11. Dans le cas de droite, on estéchantillonné régulièrement en angle suivant l’arc de cercle représenté. Dans ce cas, on se retrouve avecune «densité» de projections constante tout au long de la trajectoire, alors que dans le cas de gauche, ladensité est plus forte au centre qu’à l’extérieur; on profite alors moins des angles forts.

FIG. 8.11 – Deux types d’échantillonnage possibles des positions de la source de rayons X

8.5.3 En circulaire

L’équation générale en circulaire est la suivante :

T (~r) =N−1∑

i=0

I(~ri)δ(x2i + y2

i − ρ2, z − z0) (8.9)

III-8.5 Échantillonnage de la trajectoire source 95

Comme montré dans la partie 1, la réponse impulsionnelle d’un système de tomosynthèse circulaire estbasée sur des fonctions de Bessel. En se basant sur l’orthogonalité de ces fonctions de Bessel, Ruttimana montré que la configuration optimale pour limiter les artefacts dus aux «rebonds» de ces fonctions deBessel est composée de trois cercles concentriques, avec 25 projections, comme représenté figure 8.12

(a) (b)

FIG. 8.12 – Echantillonnage circulaire optimal et échantillonnage en croix

8.5.4 Schéma original : deux translations perpendiculaires

Afin de récupérer de l’information dans une direction transversale et de passer de la tomosynthèselinéaire à la tomosynthèse pseudo-circulaire, nous proposons un schéma original basé sur une «croix»composée de deux trajectoires perpendiculaires (figure 8.12). Plus formellement, on a :

T (~r) =N−1∑

i=0

I(~ri)δ(x− xi, y − yO, z − zO) +M−1∑

j=0

j 6= M2

I(~ri)δ(x− x0, y − yj , z − zO) (8.10)

Dans cette équation, xi et yi peuvent être choisis selon les équations 8.8 ou 8.7. Ce type d’échan-tillonnage présente les avantages suivants :

– Le dispositif expérimental associé est relativement simple (voir chapitre suivant) par rapport à undispositif circulaire. Il est en effet matériellement toujours plus difficile de déplacer des structures(tube X, capteur) sur un cercle plutôt que sur une droite.

– Le fait de disposer de projections dans une direction transverse va renforcer la résolution verticaleen venant «casser» les artefacts d’angle limité de l’autre direction.

– Même quelques projections transverses peuvent suffire à produire cet effet. Ainsi, il n’est pasforcément nécessaire d’ajouter beaucoup de projections ce qui est toujours favorable d’un point devue traitement informatique (temps de reconstruction). Par ailleurs, ajouter peu de projections estégalement favorable du point de vue dose.


La STF (chapitre 2) pour une telle géométrie est la somme de deux sinus cardinaux qui sont perpen-diculaires dans le domaine de Fourier:

H(ωx, ωy|z) =sin(ωxMz tanα1)

ωxMz tanα1+

sin(ωyMz tanα2)

ωyMz tanα2(8.11)


Dans le cas d’une reconstruction algébrique, une particularité est à apporter dans le processus dereconstruction si l’on veut tenir compte raisonablement des projections transverses. Pour mieux com-prendre, plaçons nous dans le cas d’un échantillonnage en croix avec Nx projections dans la directionprincipale et Ny projections dans la direction transverse, avec Ny << Nx. On aura alors un nombre demises à jour plus important pour la translation principale. Si l’on réécrit la formule 5.7 de reconstructiondu S-ART en l’explicitant pour chacune des directions, on a :

xk+1 = x

k + λkHT

ilink

(yilink

−Hilink

xk)

‖HilinkHT

ilink

‖ + λkHT

icroixk

(yicroixk

−Hicroixk

xk)

‖Hicroixk

HTicroixk

‖ (8.12)

avec

ilink ∈ [0, Nx[ correspondant aux Nx premières projections dans la direction principale.

et

icroixk ∈ [Nx, Nx +Ny[ correspondant aux Ny projections dans la direction transverse.

Afin d’«équilibrer» la reconstruction pour chacune des directions, il suffit de réaliser plusieurs fois lamise à jour dans la direction transversale :

xk+1 = x

k + λkHT

ilink

(yilink

−Hilink

xk)

‖HilinkHT

ilink

‖ +L∑

l=1

λkHT

icroixk

(yicroixk

−Hicroixk

xk)

‖Hicroixk

HTicroixk

‖ (8.13)

Dans notre cas, sachant que l’on a Nx

Nyfois plus de projections dans une direction que dans l’autre, il

suffit de choisir L ' Nx

Ny. Plutôt que de réaliser L fois la même mise à jour, on peut choisir une solution

plus économique qui utiliserait deux facteurs de relaxation différents, ce qui revient rigoureusement aumême :

xk+1 = x

k + λkHT

ilink

(yilink

−Hilink

xk)

‖HilinkHT

ilink

‖ + L ∗ λkHT

icroixk

(yicroixk

−Hicroixk

xk)

‖Hicroixk

HTicroixk

‖ (8.14)

En introduisant cette pondération des projections, on équilibre la balance entre projections linéaireset projections transverses et l’on peut alors se contenter de peu de projections dans la direction transverseet observer un effet sur les reconstructions (voir chapitre 10).

8.6 Conclusion

Nous avons résumé dans le tableau 8.13 l’ensemble des difficultés rencontrées pour reconstruire entomosynthèse, avec les solutions que nous y avons apportées. Si la vision de ces difficultés peut semblerpessimiste au premier abord, nous nous sommes rendu compte que par des méthodes simples et efficaces,il est possible de combattre chacune de ces difficultés. Avant d’aborder les résultats sur des données expé-rimentales, nous allons dans le chapitre suivant présenter le banc de test que nous avons développé dansle but de valider nos approches. En s’appuyant sur les méthodes proposées précédemment, la suite dudocument sera alors organisée autour de différents tests et résultats sur divers fantômes, afin de montrerl’intérêt de la tomosynthèse dans un milieu clinique.

III-8.6 Conclusion 97

FIG. 8.13 – Les difficultés rencontrées en reconstruction en tomosynthèse, et les solutions proposées

Chapitre 9

Développement, mise en œuvre etutilisation d’un banc de test

Afin de pouvoir tester et valider nos algorithmes expérimentalement, nous avons été conduits àréaliser un banc de test pour la tomosynthèse. L’objectif de ce chapitre est de présenter ce banc detest baptisé «PALMETO» (PALADIO MEDICAL TOMOSYNTHESIS), d’un point de vue technique.Toute la chaîne d’acquisition y est détaillée, des objectifs que nous nous sommes fixés au traitement desprojections avant reconstruction. Le développement de ce banc s’est fait au travers du projet DIRANavec pour partenaires DMS (Insutriel), MEDASYS (industriel), l’Université Joseph Fourier à Grenoble(TIMC, CHU-Grenoble/radiologie et orthopédie), et le CEA/LETI. C’est un projet exploratoire ayantpour objectif de valoriser l’image numérique en introduisant de nouveaux outils ou de nouveaux procédéscapables d’accroître la valeur diagnostic de l’image. Trois thèmes sont abordés pour DIRAN, la radio-graphie double énergie, l’aide au diagnostic et la tomosynthèse. C’est ce dernier point qui nous concerneplus particulièrement. Plusieurs personnes (T.Bordy, J.J.Gagelin, G.Gonon, R.Guillemaud, C.Robert-Coutant, R.Sauze, F.Sauvage) ont participé au développement et à la mise en œuvre du banc PALMETO.Mes contributions ont été diverses :

– Etablir un cahier des charges afin de définir notamment les déplacements et les débattements vou-lus.

– Participer à la définition d’une configuration mécanique optimale permettant d’assurer ces dépla-cements le plus simplement possible.

– Participer au montage mécanique/électronique du banc PALMETO.

– Participer et assister à une partie des développements informatiques de pilotage des diverses struc-tures.

– Participer à la recherche des différents problèmes qui sont intervenus et pour lesquels nous avonstrouvé des solutions.

99

100 Développement, mise en œuvre et utilisation d’un banc de test

9.1 Le banc de tomosynthèse «PALMETO»

Afin d’obtenir des trajectoires plus diverses que la trajectoire linéaire, nous avons développé un bancspécifique baptisé PALMETO. Nous pourrons ainsi accéder à la tomosynthèse «généralisée».

9.1.1 Configuration géométrique initiale et objectifs

Nous disposions d’un capteur PALADIO quart de champ que nous avons décidé de faire évoluerpour accéder à de la tomosynthèse. Le dispositif de base dont nous disposions était composé d’un capteurPALADIO quart de champ, c’est à dire de 20cm × 20cm2, capable de fournir des images 2048 × 2048pixels. L’ensemble était fixe dans les trois directions de l’espace. Le tube, notamment, était plaçé sur unepotence fixe.En partant de cette configuration, l’objectif est de pouvoir réaliser une tomosynthèse circulaire avec enplus une possibilité de pouvoir jouer sur le grandissement. Ainsi, d’un système fixe, nous cherchons àpasser à un système mobile dans les trois directions de l’espace et il convient de choisir la meilleuresolution en terme de complexité du dispositif et de coût. Nos objectifs sont les suivants, par ordre depriorité :

1. Pouvoir faire de la tomosynthèse linéaire avec un fort débattement angulaire et une bonne précision(de l’ordre du millimètre en translation)

2. Pouvoir accéder à une information dans l’autre sens et ainsi faire de la tomosynthèse circulaire

3. Pouvoir modifier la distance source-détecteur

9.1.2 Choix d’une configuration géométrique de translation optimale

Pour un système «standard» de tomosynthèse circulaire, source et détecteur se déplacent suivant uncercle dans des directions opposées. On voit tout de suite que ce type de système est assez complexepuisqu’il faut pouvoir gérer les deux ensembles de manière synchrone. Une configuration équivalentebeaucoup souple serait de faire tourner l’objet sur 360 degrés, source et détecteur étant décentrés (figure9.1). Ce dispositif, s’il est simple, est en général plus utilisé en tomosynthèse pour le Contrôle non

FIG. 9.1 – Dispositif de tomosynthèse circulaire optimal

Destructif, ou laminographie, dans la mesure où il est difficile de placer un patient sur le support enrotation. Si ce système pourrait nous convenir pour des études sur fantôme, il nous restreint par contre àde la tomosynthèse circulaire, alors que nous voulons pouvoir implanter les deux systèmes.Pour résoudre ce problème le plus simplement possible, nous avons choisi de mettre en œuvre le systèmesuivant :

– C’est le détecteur qui se déplace, dans les trois directions de l’espace.

III-9.1 Le banc de tomosynthèse «PALMETO» 101

– Le tube suit le mouvement suivant la direction x et c’est l’ouverture du tube qui permet d’assu-rer des angles de projection suivant y. Ainsi, le mécanisme de rotation du tube reste relativementsimple puisque la rotation ne se fait que suivant un axe. Par contre, on est limité en débattement an-gulaire par l’ouverture du tube. Les schémas de conception du banc PALMETO sont dans l’annexeD.

On trouve des photos du banc sur la figure 9.2. De bas en haut, on distingue :

– La table élévatrice qui permet d’assurer une translation suivant la direction verticale et de jouerainsi sur le grandissement.

– Les rails horizontaux permettent de déplacer le système suivant la direction longitudinale x.

– Dans la direction transversale y, le système est composé d’une table MicroControl ayant unecourse de 25cm au total.

– Le capteur PALADIO.

– Le bras d’asservissement du tube.

– Le tube X.

FIG. 9.2 – Photos du banc PALMETO

Le bras d’asservissement du tube permet, lors de la translation longitudinale sur les rails, que le tube«éclaire» en permanence le détecteur. Ce tube est fixé sur un support sous la platine MicroControl, afinque ces deux éléments n’interfèrent pas entre eux. Un couplage translation transversale/tube X auraitnécessité des éléments mécaniques plus complexes, avec notamment des cardans. Cela aurait permisd’avoir un débattement angulaire plus important au prix d’un dispositif plus complexe. Sans réaliserce couplage et en profitant de l’ouverture du tube X, on peut déjà obtenir un débattement angulaireintéressant, 12 au total. Par ailleurs, on voit sur la photo de droite qu’un bras intermédiaire vient déporterl’axe de rotation afin que celui-ci soit au niveau de l’écran scintillateur.


9.1.3 Caractéristiques et partie logicielle

Caractéristiques techniques

L’essentiel des caractéristiques techniques du banc est résumé sur le tableau 9.3.

Matériel de translationx Rails + moteur pas à pas, pilotéey Platine MicroControl, pilotéez Table élévatrice mécanique manuelle

Coursex 1300mmy 250mmz Distance source-détecteur 800mm < FG < 1400mm

Débattement angulaire à 1mx ±30

y ±6 (ouverture du tube : 40 à 1m)Caractéristiques de l’image

Résolution 200µmTaille image 2048 × 2048 pixelsDynamique 12 bits

Taille d’une image 8Mo

FIG. 9.3 – Caractéristiques techniques de PALMETO

Interface Homme Machine

Excepté le pilotage de la table élévatrice qui est manuel, les deux autres translations sont pilotéesdepuis un PC, par des liaisons RS232, à l’aide d’un logiciel développé en C++ dont on trouvera l’interfaceen annexe E. Quatre modes ont été développés :

1. Un mode statique pour les acquisitions de noir ou d’offset,2. Un mode de translation longitudinale permettant de faire de la tomosynthèse linéaire,3. Un mode où les deux translations sont couplées afin de faire de la tomosynthèse elliptique,4. Un mode où les deux trajectoires sont parcourues une par une, afin d’obtenir un schéma « en

croix».

9.2 Prétraitement des projections

Avant de reconstruire le volume étudié, il est nécessaire d’effectuer un certain nombre de prétraite-ments que nous allons détailler un par un.

9.2.1 Corrections gain/«offset»

Sur une image brute issue d’une caméra CCD, on trouve trois signaux :– Le signal lumineux : mesuré et amplifié, il constitue la composante principale de l’image. C’est le

signal porteur de l’information utile.– Le signal thermique : L’agitation des atomes du capteur CCD provoque l’accumulation d’électrons

d’origine thermique qui se mêlent aux électrons d’origine lumineuse. Ce signal est proportionnelau temps de pose, et diminue lorsque la température du capteur s’abaisse.

III-9.2 Prétraitement des projections 103

– Le signal d’«offset» : l’électronique de la caméra CCD biaise l’information d’intensité qui en estissue. A une intensité lumineuse nulle ne correspond pas un niveau zéro, mais un niveau positifdont la valeur dépend de la caméra.

Les deux derniers signaux, que l’on nomme communément par abus de langage « image de noir» ou« image d’offset », doivent être soustraits de l’image brute. On obtient cette image globale sans émissionde flux de rayonnement X, et on caractérise ainsi le bruit de la caméra CCD et le niveau de noir.Une autre correction indispensable est la correction de plein flux, qui permet d’estimer l’uniformité dela chaîne d’acquisition. En particulier, cela permet de soustraire d’éventuelles traces sur le scintillateuret de mettre à plat l’image. En effet, deux phénomènes viennent distordre l’image :

– Le caractère bombé du flux de rayonnement X : le niveau est plus fort au centre de l’image que surles bords.

– L’angle de vue ! En effet, en tomosynthèse, on vient acquérir des images en décentrant la source parrapport au détecteur, ce qui vient considérablement déformer les images. Une coupe de l’image deplein flux et de l’image de noir est illustrée figure 9.4. Pour corriger cette distorsion, on est amenéà diviser par l’image de plein flux.

Coupe de l’image de plein flux

Coupe de l’image de noir

Pixel

Niv

eau

de g

ris

FIG. 9.4 – Coupe d’une image de noir et d’une image de plein flux.

Le dernier traitement à appliquer est la conversion des images en images d’atténuation. En effet, lecapteur délivre un signal proportionnel au flux de rayonnement X. Rappelons que lors de la projection,on projette un volume homogène à une atténuation µ, ce qui donne des projections homogènes à uneatténuation multipliée par une longueur l, soit µ.l. En reconstruction, on cherche à réaliser à l’étapeinverse, il nous faut donc des projections en µ.l et non en flux. Pour cela, on inverse l’équation 1.1. Enprenant en compte toutes ces corrections, on obtient :

yattcorr = ln

ypleinflux − ynoir

y − ynoir(9.1)

avec

yattcorr l’image corrigée prête à être utilisée,ypleinflux l’image de plein flux,y l’image acquise de l’objet,ynoir l’image de noir.

Nous avons donc des images qui peuvent maintenant être utilisées pour la reconstruction. Néan-moins, afin de reconstruire, il est indispensable de bien connaître les paramètres géométriques d’acqui-sition. Ce point fait l’objet du paragraphe suivant.


9.2.2 Calibrage géométrique

Position du problème

Pour reconstruire et inverser le problème correctement, il est nécessaire de connaître le modèle di-rect de projection, c’est à dire la matrice H . Il faut donc maîtriser les paramètres géométriques lors del’acquisition.Pour miex mettre en évidence le problème d’une calibrage géométrique approximative, nous avons vo-lontairement décalibré une reconstruction basée sur des projections simulées. Nous avons utilisé le fan-tôme décrit au chapitre 7, page 74, et nous l’avons projeté et reconstruit dans deux cas :

– Paramètres de projection et de reconstruction identiques (cas idéal),– Introduction s’un bruit aléatoire se traduisant par un écart type sur l’angle de projectin de 1.

La figure 9.5 montre un plan de reconstruction dans les deux situations dans le cas d’une reconstructionS-ART avec 5 itérations.

FIG. 9.5 – Reconstruction d’un plan avec et sans décalibrage géométrique. A droite, on aperçoit auniveau de la clavicule un phénomène de duplications irrégulières de structures.

On voit très nettement apparaître certains artefacts dus à une mauvaise calibrage géométrique. Celavient nous pousse donc à mettre en œuvre des moyens pour déterminer la géométrie du système. Dans leparagraphe suivant, nous décrivons une méthode pour déterminer cette géométrie.

Calibrage du banc PALMETO

Lors de l’initialisation de PALMETO, le système d’acquisition vient se placer à l’origine, c’est à direà la position 0 degrés. Cette recherche d’origine étant stoppée lors du passage sur une butée, nous avonsune imprécision sur cette position d’origine. Toutes les positions suivantes étant repérées par rapportà cette origine, une erreur sur cette position se répercutera sur toutes les positions, ce qui pourra êtreà l’origine d’artefacts. Nous allons donc chercher à connaître cette position a posteriori à l’aide de laméthode décrite dans [96] que nous rappelons brièvement ici.

Cinq paramètres nous intéressent plus particulièrement (voir figure 9.6) :– Le pas d’échantillonnage suivant x, noté ∆x,– Le pas d’échantillonnage suivant y, noté ∆y,– La distance entre la projection de la source sur le plan détecteur et l’origine détecteurOGx, suivantx,

– La distance entre la projection de la source sur le plan détecteur et l’origine détecteurOGx, suivanty,


FIG. 9.6 – Paramètres géométriques d’acquisition.

– La distance source-détecteur FG.

Calcul de ∆x et ∆y : Pour les évaluer, on réalise une acquisition avec une grille métallique percée detrous placée juste sur le détecteur (figure 9.7(a)).

(a) Mesure du pas d’échantillon-nage détecteur.

(b) Mesure de la distance source-détecteur.

FIG. 9.7 – Calibrage géométrique.

Connaissant s1 et s2, les distances inter-billes sur la grille, on mesure pi et qi, les projections despoints Ti. On a alors [96] :

∆x =s1s2√

((p2 − p1)(p3 − p4)s22 + (p4 − p1)(p3 − p2)s21)(9.2)

∆y =s1s2√

((q2 − q1)(q3 − q4)s22 + (q4 − q1)(q3 − q2)s21)(9.3)


Calcul de FG : Pour mesurer FG, on réalise cette fois deux acquisitions, une en position basse et uneavec la grille placée à une distance e du détecteur (figure 9.7(b)). En utilisant le théorème de Thalès, ona directement :

FG =sd

sd − se (9.4)

Calcul de la position du point G : En utilisant le même théorème et en se basant sur la figure 9.7(b),on obtient directement :

dg =FG− e

eδg (9.5)

Calibrage angulaire

Dans le cas du banc PALMETO, on peut affirmer que connaissant précisément FG ainsi que laprojection de la source sur le détecteur pour l’angle nul, on est assez précis lors des futurs déplacements.En effet, les déplacements angulaires sont assurés par une vis sans fin et la précision est de l’ordre dumillimètre. Les méthodes précédemment décrites suffisent donc pour PALMETO.

Dans d’autres situations, on pourra être amené à effectuer une calibrage angulaire plus précise, c’estle cas du chapitre 11. Pour cela, nous avons placé des objets de référence destinés à affiner la calibrage.Cette opération de correction est réalisée après acquisition, et permet de retrouver les paramètres réelsd’acquisition et de les utiliser pour la reconstruction.Les objets de référence sont des billes posés sur la table de radiologie et dont la position spatiale estinconnue car difficilement mesurable précisément. Le principe est alors le suivant : connaissant précisé-ment la position de la projection de la bille sur le détecteur et ayant une première estimation de la positionde la source, on vient estimer en utilisant toutes les projections la position réelle de la bille. On tire ainsiprofit de toutes les projections pour calculer une position spatiale moyenne de la bille. Connaissant alorsla position de la bille et de sa projection, on estime facilement le paramètre de translationOG permettantde calculer l’angle de projection. La configuration géométrique est illustrée figure 9.8.

FIG. 9.8 – Configuration et paramètres géométriques

Les deux paramètres importants sont FG et OG, qui influent directement sur l’angle de projection.L’algorithme procède alors de la façon illsutrée tableau 9.1.

L’utilisation de toutes les projections permet de calculer précisément la position réelle de la bille etd’exploiter ensuite le résultat pour calculer OG.Un autre point important est la mobilité du capteur. Sur la table de radiologie utilisée, le détecteur sedéplace en sens opposé de la source, selon une loi non déterminée. Une mesure sur la table de radiologie


1. Estimation de la position réelle de la bille : on procède par moindres carré. p⊥ étant laprojection d’un point quelconque p sur la droite (FM) reliant la source à la projection de labille, on calcule :

p =Argminp

∑

projections

‖p− p⊥‖2

On minimise en fait la somme sur les projections des distances entre un point de l’espace etsa projection sur la droite.

2. Calcul de OG : un calcul géométrique conduit directement à

OG = pM + (p− pM ).FG

mM

TAB. 9.1 – Algorithme de calcul de OG

utilisée pour le chapitre 11 a permis de montrer que le détecteur se déplace de 1.5mm/. Ainsi, noussommes capable en utilisant deux méthodes de calibrage distinctes de calculer certains paramètres avantet après acquisition assurant une reconstruction dans de bonnes conditons.

9.2.3 Conclusion

Nous avons décrit au début de ce chapitre le banc d’acquisition PALMETO, de nos objectifs jusqu’àla réalisation, avec les limites techniques associées. Dans le paragraphe précédent, nous avons détaillé letraitement des images à effectuer avant reconstruction en abordant chaque point en détails. En se basantsur des images réalisées avec ce banc de test, le chapitre suivant détaille les reconstructions correspon-dantes sur divers types de fantôme.

IV. Reconstruction en tomosynthèsenumérique médicale

109

Chapitre 10

Tomosynthèse généralisée sur le bancPALMETO

Le contexte de reconstruction, détaillé dans la partie I de ce document, nous a motivé à utiliser desméthodes de reconstruction algébriques. Ces méthodes ont été détaillées dans la partie II, et nous avonspu isoler des algorithmes permettant de reconstruire avec une bonne résolution, tout en conservant destemps de calcul raisonnables. Ce point a été renforcé par notre schéma de reconstruction. Dans cettedernière partie, nous appliquons ces algorithmes sur des données expérimentales.

Dans ce chapitre nous nous proposons d’exploiter le banc PALMETO que nous avons présentédans le chapitre 9 pour reconstruire en tomosynthèse en étudiant l’influence de différents paramètres.Nous allons notamment nous intéresser à différents types de fantômes, un fantôme de résolution afinde caractériser expérimentalement la résolution spatiale, et deux fantômes anthropomorphiques, unpied et un genou. Par ailleurs, nous allons également étudier l’influence de la présence des prothèseschirurgicales sur les reconstructions selon la méthode présentée précédemment.Nous aborderons également une étude sur des géométries d’acquisition différentes, et plus particulière-ment une géométrie d’acquisition elliptique comme le permet le banc PALMETO.

111

112 Tomosynthèse généralisée sur le banc PALMETO

10.1 Reconstruction à partir de projections acquises sur PALMETO

Pour cela, nous abordons successivement trois types d’objets :

– Un fantôme de résolution, permettant de caractériser expérimentalement la résolution verticalesuivant z

– Un fantôme anthropomorphique de cheville.

– Un fantôme anthropomorphique de genou.

– Deux vertèbres sèches.

Ces fantômes vont nous permettre d’établir différents résultats sur la reconstruction en tomosynthèse. Unavis médical sera alors utile pour confirmer que nos images sont intéressant pour les besoins cliniques.

10.1.1 Reconstruction 3D d’un fantôme de résolution

Afin d’avoir une idée de la résolution en profondeur que l’on peut obtenir, nous présentons desreconstructions obtenues à partir d’un fantôme de résolution. Ce fantôme est un disque de Plexiglas danslequel ont été insérés des chiffres en plomb sur une hélice, chaque chiffre étant espacé de 1mm. Lafigure 10.1 montre une projection à 0 degrés du fantôme, ainsi que des reconstructions pour différentsalgorithmes, respectivement une simple rétroprojection (analogue au procédé de sommation et décalage),et pour un S-ART avec 1 et 5 itérations.

Paramètres d’acquisition

Tension du tube : 50 kVCourant : 50 mATemps d’intégration : 200 msDistance source-détecteur : 1369 mmAngle max de vue : 25 degrésNombre de projections : 21

Paramètres de reconstruction

Algorithme utilisé : S-ARTNombre d’itérations : 1 et 5Taille des projections : 512×512Taille d’un pixel : 400µmDimensions du volume : 512×512×50Taille d’un voxel : 400µm

Le nombre d’itérations choisi peut sembler faible. Néanmoins, nous avons calculé la reconstructionen poussant les itérations jusqu’à 20, et obtenu la courbe de convergence de la figure 10.2. Cette figuremontre clairement qu’au-delà d’un certain nombre d’itérations, l’apport reste très faible et qu’il est inutilede continuer.

D’un point de vue résolution, on voit qu’au delà de trois millimètres du chiffre 6, on distingue demoins en moins bien les autres chiffres; ainsi, on pourrait affirmer qu’on a une épaisseur de coupe de2 × 3 = 6mm. Néanmoins, ce chiffre n’est valable que pour ce type d’objet de faible épaisseur. Cettefaible épaisseur facilite la reconstruction dans la mesure où il n’existe que peu de structures de part etd’autre du plan à la côte 6mm.

IV-10.1 Reconstruction à partir de projections acquises sur PALMETO 113

(a) Projection (b) Reconstruction par rétropro-jection

(c) Reconstruction par S-ARTavec 1 itération

(d) Reconstruction par S-ARTavec 5 itérations

FIG. 10.1 – Résultats de reconstruction du plan 6 mm sur un fantôme de résolution

FIG. 10.2 – Courbe de convergence pour un S-ART

10.1.2 Reconstruction 3D cheville + pied

Dans ce paragraphe, nous présentons les résultats sur un fantôme cheville + pied complet. Le pied estradiographié latéralement, le tibia étant dans l’axe de translation du tube X. Les projections ont toutes été


traitées selon les méthodes de correction décrites précédemment. Les résultats de la figure 10.3 montrentune radiographie de pied ainsi que 5 plans de reconstruction, chaque plan de reconstruction venant sefocaliser sur chacune des 5 phalanges.




Algorithme utilisé : S-ARTNombre d’itérations : 5Taille des projections : 512×512Taille d’un pixel : 400µmDimensions du volume : 500×300×250Taille d’un voxel : 400µm

Nous rappelons que l’objet étudié est un fantôme et non pas un véritable pied. Le fantôme en ques-tion ne comporte que la partie tissus mous et la partie osseuse, aucun ligament n’a été matérialisé. Ilsemble de toute façon peu probable de parvenir à mettre en évidence des ligaments en tomosynthèse.Les résultats n’en demeurent pas moins intéressants : en éliminant les structures situées de part et d’autrede chacun des orteils reconstruits , on accède à un certain nombre de détails. En particulier, les articula-tions métatarso-phalangiennes sont nettement démarquées, ce qui est plus subtil sur la radiographie. Parailleurs, il serait plus aisé d’identifier une fracture ou une fissure quelconque sur le calcanéum à l’aided’un plan de reconstruction que sur une radiographie. Enfin et surtout, l’articulation de la cheville, quiest assez complexe, apparaît de manière bien plus nette sur le plan reconstruit que sur la radiographie.

10.1.3 Reconstruction 3D d’un genou

Un deuxième type d’objet exploré est le genou. Pour cela, nous avons encore utilisé un fantômeanthropomorphique composé d’os et de Plexiglas. Comme pour le cas précédent, aucun ligament ouménisque n’a été matérialisé. La figure 10.4 illustre une radiographie centrale du genou.




Algorithme utilisé : S-ARTNombre d’itérations : 5Taille des projections : 512×512Taille d’un pixel : 400µmDimensions du volume : 512×512×250Taille d’un voxel : 400µm

Comme dans le cas précédent, nous avons dû prétraiter les projections selon les méthodes déjàdécrites, notamment en ce qui concerne les artefacts de troncature. La figure 10.5 montre quatre plans dereconstructions du genou, chacune des coupes étant à 8 millimètres de l’autre.

Les images sont moins spectaculaires que pour la cheville, dans la mesure où il y a moins de struc-tures osseuse sur ce type de fantôme que sur la cheville. Il aurait été intéressant que les ménisques ou lesligaments soient modélisés afin de vérifier si oui ou non on est capable de les mettre en évidence. Néan-moins, les surfaces articulaires sont clairement mises en évidence, notamment les deux compartimentsfémoro-tibial externes et internes au niveau desquels se situent les ménisques. Il est possible qu’on puissemettre en évidence une éventuelle rupture du (ou des) ligament croisé sur un genou réel. Par ailleurs, cefantôme ne présente pas de pathologies qui pourraient éventuellement être plus facilement détectées entomosynthèse, par exemple des fractures au niveau des extrémités des os type fémur, tibia ou péroné.Il semble donc intéressant de pousser plus loin nos investigations dans le domaine du genou ou plusgénéralement de l’imagerie des os longs, notamment en se basant sur des objets réels.

IV-10.2 Artefacts métalliques 115

(a) Radiographie (b) Reconstruction, pouce

(c) Reconstruction, orteil 2 (d) Reconstruction, orteil 3

(e) Reconstruction, orteil 4 (f) Reconstruction, orteil 5

FIG. 10.3 – Reconstruction de l’ensemble cheville+pied à l’aide d’un algorithme S-ART et cinq itéra-tions. Les cinq coupes sont à environ 1.5cm de distance

10.2 Artefacts métalliques

10.2.1 Test sur des données réelles

Le vissage pédiculaire est une technique au cours de laquelle une vis, d’une longueur moyenne de30 mm, est insérée dans le pédicule. Afin de nous placer dans ce contexte, nous avons perforé le pédicule


FIG. 10.4 – Projection centrale du fantôme anthropomorphique du genou.

d’une vraie vertèbre sèche et inséré une vis en titane du même type que celles utilisées en chirurgie. Nousavons alors projeté le fantôme ainsi formé (ce fantôme est formé de deux vertèbres qui ne sont en réalitépas voisines, mais qui ont été accolées pour ce test) et reconstruit l’ensemble des deux vertèbres et dela vis. On voit sur la figure 10.6 la radiographie originale du fantôme sur lequel nous avons réalisé unpseudo vissage pédiculaire, ainsi que la radiographie corrigée et les zooms respectifs sur la région de lavis.


Tension du tube : 45 kVCourant : 200 mATemps d’intégration : 200 msDistance source-détecteur : 1021mmAngle max de vue : 30 degrésNombre de projections : 21


Algorithme utilisé : Rég. semi-quadratiqueNombre d’itérations : 10 * 10Taille des projections : 512×512Taille d’un pixel : 400µmDimensions du volume : 256×256×100Taille d’un voxel : 400µm×400µm×800µm

Dans la région de la vis, l’information est très basse fréquence mais on conserve néanmoins uneinformation valable et une certaine continuité en terme d’atténuation.Partant de ces projections, nous avons cherché à reconstruire l’ensemble des deux vertèbres. Pour cela,nous avons utilisé un algorithme de régularisation semi-quadratique, avec 10 itérations de descente degradient et 10 itérations semi-quadratiques.Sur les reconstructions (10.7), l’apport de la correction est flagrant. On parvient quasi complètement àsupprimer la vis dans les reconstructions, excepté pour le plan se focalisant sur la tête de la vis. La têtede la vis étant plus large, on conserve à cet endroit dans les reconstructions une zone basse fréquence.Partant de cette reconstruction, il devient maintenant possible de reconstruire indépendamment la vis.Cette reconstruction est plus aisée dans la mesure où l’on peut apporter un a priori de niveau sur la vispuisque l’on connaît son atténuation. Nous sommes donc face à une reconstruction d’un objet binaire.Sur la figure 10.7, on voit les trois types de reconstructions :

– Reconstruction de la vertèbre avec correction de défauts, puis combinaison avec la reconstructionbinaire de la vis.

– Reconstruction de la vertèbre avec correction de défauts.– Reconstruction brute.

On voit qu’on élimine complètement les artefacs d’angle limité de la vis. Ainsi, cela permet une meilleureestimation de la position de la vis dans le pédicule.

IV-10.3 Optimisation de la trajectoire d’acquisition 117

(a) Plan 1 (b) Plan 2

(c) Plan 3 (d) Plan 4

FIG. 10.5 – Reconstruction du genou à l’aide d’un algorithme S-ART et cinq itérations

10.3 Optimisation de la trajectoire d’acquisition

Nous nous proposons dans ce paragraphe d’utiliser des trajectoires source différentes afin d’accéderà de la tomosynthèse «généralisée». Pour cela, nous avons exploité les possibilités offertes par le bancPALMETO et avons comparé deux types d’échantillonnage :

– Le cas standard linéaire, qui constitue notre approche.

– Un échantillonnage en croix (voir paragraphe 8.5.4, page 95).

10.3.1 Comparaison linéaire-croix

Nous avons commencé par comparer deux types d’échantillonnage, la géométrie linéaire et la géo-métrie en croix.


(a) Image originale (b) Image corrigée

(c) Zoom image originale (d) Zoom image corrigée

FIG. 10.6 – Projection centrale, avec et sans correction.

Conditions d’acquisition

Nous avons utilisé deux fantômes, le fantôme de vertèbre avec la vis insérée dans le pédicule, etavons projeté et reconstruit les deux fantômes simultanément. La tension du tube a été fixée à 60 kV, avec160mA et 160ms, soient 25mAs par projection. Dans la mesure où ne nous intéressons pas au problèmede bruit sur les projections dans ce paragraphe, nous avons utilisé une dose élevée. 21 projections entre-30 et +30 degrés ont été générées suivant x et 6 projections entre -6 et +6 suivant y, soient une projectiontous les 3 degrés suivant x et une tous les 2 degrés suivant y.

Reconstruction

Les projections étant peu bruitées, nous nous sommes contentés d’un S-ART avec 5 itérations. Lefacteur de pondération des projections L (voir chapitre 8) a été fixé à 3 afin d’équilibrer la contributiondes projections pour les deux directions. La figure 10.8 montre deux plans de reconstruction dans le caslinéaire et dans le cas du schéma en croix. On observe principalement deux effets :

1. La diminution des artefacts d’angle limité sur les objets métalliques et flagrante : les artefactsrésiduels sont éliminés par la mise à jour par les projections transverses. Cet effet est celui auquelon pouvait s’attendre. Il est nettement visible sur les objets métalliques, mais il existe égalementsur les structures moins contrastées type os.

IV-10.4 Conclusion 119

2. Un effet de «restauration» des coupes tomosynthétiques. Cela est particulièrement mis en évidencesur le fantôme de résolution. Quand on se focalise sur le chiffre 8 par exemple, le chiffre 12 esttrès flou dans le cas du schéma linéaire, alors qu’il est restauré en utilisant le schéma en croix.Le “2” du chiffre 12 vient diffuser sur le “1” en linéaire. Ces deux chiffres étant presque alignéspar rapport à l’axe x, quelques projections dans une direction transverse suffisent à les dissocierparfaitement.

Ce dernier point est troublant mais logique. Nous aurions pu nous attendre à ce que la résolution verti-cale soit augmentée en utilisant une direction d’acquisition supplémentaire. Indirectement, la résolutionverticale est presque diminuée : les structures qui n’appartiennent pas au plan de focalisation deviennentplus nettes que dans le cas linéaire standard à cause de cette «restauration».

10.4 Conclusion

Ce chapitre était consacré aux tests et à la validation de nos algorithmes. En particulier, nous avonspu montrer un certain nombre de coupes dans des plans frontaux pour une cheville, un genou, et unensemble de deux vertèbres sèches. Par des méthodes simples proposées dans le chapitre 8, nous sommescapable de réuire les artefacts de troncature et la artefacts métalliques et ainsi de produire des imagesexploitant un fort débattement angulaire.

Un autre point abordé dans cette partie est l’étude de trajectoires différentes de la tomosynthèselinéaire, et plus particulièrement d’un échantillonnage «en croix». Avec seulement 6 projections et 12degrés de débattement angulaire, nous avons pu mettre en évidence deux effets. Le premier est un effetde «restauration» de chaque coupe tomosynthétique, que ce soit pour le plan de focalisation ou pour lesautres plans. Le second, plus favorable, est la diminution significative des artefacts métalliques.

Dans le chapitre suivant, nous allons montrer des reconstructions sur un fantôme de thorax entier,afin de montrer qu’il est possible de produire des coupes tomosynthétique grand champ.


FIG. 10.7 – Reconstruction de quatre plans. Colonne de gauche, reconstruction avec correction de dé-fauts puis combinaison avec la reconstruction binaire de la vis. Au centre, reconstruction avec correctionde défauts. Colonne de droite, reconstruction brute.


FIG. 10.8 – Trois plans de reconstruction; à gauche, schéma linéaire; à droite, schéma en croix.

Chapitre 11

Tomosynthèse grand champ

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à une autre application, l’imagerie thoracique. Pour ce typed’application, il est nécessaire de disposer d’un capteur grand champ afin de pouvoir imager un thoraxcomplet. Nous avons pu disposer d’un tel capteur que nous commençons par présenter avant de montrerles reconstructions correspondantes. De telles reconstructions avec des algorithmes algébriques sont trèslourdes à gérer d’un point de vue informatique (mémoire allouée, temps de calcul) et n’ont pu êtreréalisées qu’en se basant sur notre méthode de décomposition du volume décrite au chapitre 8 a.

a Notons que ce chapitre est largement inspiré de la publication [6]

123

124 Tomosynthèse grand champ

11.1 Présentation de la table de radiologie et du capteur utilisés

Pour cette première étude, nous avons utilisé une table de radiologie BACCARA développée parle groupe DMS/APELEM, équipée du capteur PALADIO développée par le CEA/LETI[43]. Cette tableest schématisée figure 11.1. L’axe du tube à rayons X subit une rotation, mais le tube reste à une côteverticale constante, assurant ainsi un mouvement de tomosynthèse linéaire classique. Le détecteur estégalement mobile, dans une direction opposée à la trajectoire source.

FIG. 11.1 – Schéma de la table de radiologie BACCARA

Comme discuté plus haut, le détecteur est un détecteur à conversion indirecte composé d’un écranscintillateur de 43cm×43cm. Quatre optiques coudées associées à 4 caméras CCD permettent de formerune grande image composée de 4096 × 4096 pixels de 100µm.

11.2 Reconstruction 3D d’un thorax entier

11.2.1 Acquisition des données

En utilisant le capteur PALADIO[42],[43], une séquence de projections d’un fantôme anthropomor-phique ont été acquises sur la table de radiologie BACCARA décrite plus haut et illustrée figure 11.2.La résolution des projections a été fixée à 200 µm. La taille du détecteur est 43 cm, ce qui corres-pond à 20482 pixels. Afin de réduire la quantité d’informations à traiter, ces projections ont été sous-échantillonnées à 5122 pixels. De plus, ce traitement permet également indirectement de traiter le bruitprésent sur les projections (voir paragraphe 11.3).Pour ces acquisitions, le débattement angulaire est de 40 degrés entre -20 et +20 degrés. Vingt et uneprojections ont été acquises, soit une projection tous les 2 degrés. Au niveau dose, deux configurationsont été testées :

– Une configuration à 3 mAs par projection (100 mA, 0.03s). Cette dose est l’quivalent de cellepour une radiographie pulmonaire classique, ce qui porte la dose totale à 21 fois la dose pour uneradiographie.

– Une configuration à 0.3 mAs par projection (10 mA, 0.03s). Dans ce cas, l’examen est équivalentà 2 radiographies pulmonaires en terme de dose.

La tension maximale du tube est de 130 kV, et la distance source détecteur est de 1290mm. Afin delimiter l’effet du rayonnement diffusé qui est d’autant plus élevé que l’objet est volumineux, une grilleantidiffusé a été placée directement au-dessus du détecteur. Si mettre une grille antidiffusé peut êtresurprenant en tomosynthèse, cela permet néanmoins de gagner en contraste à condition de placer la

IV-11.2 Reconstruction 3D d’un thorax entier 125

FIG. 11.2 – Vue d’ensemble du système d’acquisition table BACCARA+ capteur PALADIO

grille dans le bon sens : les lames de la grille doivent être parallèles à la trajectoire de la source afin deréduire les artefacts dus à l’angle de projection.

FIG. 11.3 – A gauche, une projection à 0 degrés avec 3 mAs; à droite, la même projection mais avec unedose 10 fois plus faible.

Suivant cette configuration, une séquence de projections dans le sens postéro-antérieur a été acquise;la projection centrale est représentée figure 11.3, où l’on distingue les deux configurations de dose.


Trois algorithmes de reconstruction différents ont été testés

1. Rétroprojection simple, analogue au processus de sommation et décalage des projections;

2. M-ART;

3. Régularisation semi-quadratique;

Pour ce dernier cas, aucun traitement de régularisation n’a été réalisé suivant la direction y, puisqu’on saitque dans cette direction, nous avons la résolution du capteur et qu’il n’y a pas d’artefacts. Le coefficient


qui fait la balance entre l’attache aux données et le modèle a priori a été fixé à trois, et le facteur derelaxation à 1. Pour les paramètres δ, nous avons retenu une configuration anisotrope avec δx = 10−3

et δz = 10−6. Ainsi, la détection des discontinuités est plus forte dans la direction verticale afin deconserver le maximum de détails possibles dans cette direction. La fonction de potentiel ϕ définie parCharbonnier[20] a été utilisée.

ϕ(u) = 2√

1 + u2 − 2 (11.1)

Cinq itérations de descente de gradient ont été associées à cinq itérations semi-quadratiques, ce afin d’as-surer un résultat correct sans tomber dans des temps de calcul excessifs.

La figure 11.4 représente un plan reconstruit se focalisant sur la colonne vertébrale, pour ces troisalgorithmes. Sur la figure 11.4(b), on voit qu’un simple algorithme de rétroprojection ne suffit pas àproduire des images de qualité suffisante pour satisfaire au besoin clinique. La résolution est très faible,il est très difficile de distinguer les espaces intervertébraux et toutes les structures semblent avoir étésuperposées. Cette résolution est clairement améliorée avec des algorithmes algébriques (figures 11.4(c)et 11.4(d)). Les vertèbres et les espaces intervertébraux sont bien plus nets. Cependant, l’algorithme M-ART produit des images avec un niveau de bruit assez élevé et il subsiste des artefacts sur les bords. Larégularisation vient effectivement stabiliser la reconstruction et permet d’obtenir des reconstructions debonne qualité avec peu de bruit et des artefacts de troncature quasi-inexistants. L’hypothèse sous-jacentede continuité par morceaux apparaît sur ce plan reconstruit : l’image est composée de zones homogènesséparées par des bords francs, ce qui est particulièrement visible sur les côtes et les vertèbres.En se basant maintenant sur cet algorithme, nous allons maintenant « explorer » le thorax complet. Pourcela, nous présentons sur la figure 11.5 quatre plans reconstruits se focalisant respectivement sur lesépines dorsales, la colonne vertébrale, les bronches et une artère. Même pour des plans de reconstructionsélevés, les artefacts de troncature restent quasi-inexistants, ce qui montre la robustesse de notre méthode.Sur l’image 11.5(a), on distingue clairement les côtes et les épines dorsales ainsi que l’omoplate gauche.Sur l’image 11.5(b), on se focalise sur la colonne vertébrale, et les espaces intervertébraux sont bien misen évidence, renforcés par notre hypothèse de continuité par morceaux. Sur l’image 11.5(c), la colonneet les côtes ne sont plus visibles (on distingue en réalité les côtes, mais prises par leur coupe frontale).On vient par contre se focaliser sur les bronches. Moins esthétique mais plus intéressant, il est possiblede distinguer deux nodules artificiels dans le milieu du poumon droit et dans le bas du poumon gauche.La dernière image se focalise sur une artère dans laquelle un agent de contraste a été injecté. A cause dela densité élevée d’un tel objet, cette artère vient diffuser très loin sur les autres plans.

11.3 Discussion

Sur ces quelques exemples, nous avons pu mettre en évidence l’intérêt de la tomosynthèse en utilisa-tion clinique. Malgré une problème d’angle limité sévère, il est possible de produire des reconstructionsde bonne qualité avec des algorithmes appropriés. En utilisant des algorithmes habituellement réservés àla reconstruction à partir de peu de points de vue, nous sommes capable de fournir au médecin radiologuedes images grand champs sans artefacts de troncature qui peuvent aider au diagnostic, en particulier pourla recherche de nodules pulmonaires.En comparant des coupes tomosynthétiques avec une reconstruction tomographique, nous avons pu es-timer ([2] ou paragraphe précédent) qu’avec 40 degrés de débattement angulaire, l’épaisseur de coupeest de l’ordre du centimètre. Si cela peut être restrictif pour certaines applications, l’imagerie thoracique,la chirurgie de la vertèbre ou plus généralement la chirurgie des os longs (fémur, tibia) peuvent être desdomaines d’application très intéressants pour la tomosynthèse. De plus, nous pouvons voir sur l’image11.5(c) qu’il est également possible d’obtenir des informations pertinentes même pour des objets moinscontrastés.Le principal problème soulevé par l’utilisation de tels algorithmes est le temps de calcul. Pour limiter ce

IV-11.3 Discussion 127

(a) (b)

(c) (d)

FIG. 11.4 – 11.4(a), une radiographie classique avec 0.3mAS. 11.4(b),11.4(c),11.4(d) un plan reconstruitpar rétroprojection, M-ART et régularisation semi-quadratique, respectivement.


(a) (b)

(c) (d)

FIG. 11.5 – De gauche à droite et de haut en bas, un plan se focalisant sur les épines dorsales, lacolonne vertébrale, les bronches et une artère. Sur la coupe 11.5(c), les deux cercles entourent deuxnodules pulmonaires.


temps de calcul, les algorithmes ont été parallélisés sur une grappe de 8 PC cadencés à 1 GHz avec 1Go de RAM. Pour 25 itérations au total, avec une reconstruction de 500 × 500 × 200 voxels, le tempsde calcul est de l’ordre de 50 mn. Cela reste incompatible avec des applications temps réel, mais onpeut supposer que la prochaine génération de processeurs pourra permettre de reconstruire suffisammentrapidement pour être directement utilisable en milieu clinique. Par ailleurs, on peut envisager optimiserencore le schéma de reconstruction, comme proposé dans [112]. Dans cette approche, on réarrange lesdonnées et le volume de reconstruction (dans une direction perpendiculaire à la trajectoire de la source)afin de ne calculer qu’une seule fois la matrice de projection. On peut ainsi gagner en temps de calcul.Les effets du bruit sont peu apparents sur les reconstructions. Deux raisons à cela : premièrement, l’algo-rithme de régularisation est fait pour limiter les bruit! De plus, l’opération de sous échantillonnage desprojections (qui vise au départ à réduire la quantité d’information à traiter) vient réduire le bruit sur lesdonnées par regroupement des pixels. Cependant, on peut penser que le fait de sous échantillonner forte-ment les projections nous fait perdre en qualité d’image, puisque nous éliminons une partie des donnéesdisponibles alors que nous n’en avons déjà pas beaucoup. L’idéal serait donc de trouver un compromisentre le gain apporté par le sous échantillonnage en terme de bruit et la perte de résolution.En terme de dose, ces images correspondent, pour le cas 0.3mAs par projection, à une dose totale équi-valente à deux radiographies pulmonaires. En d’autres termes, il est possible d’obtenir de tels résultats àpartir de l’équivalent en dose de deux radiographies pulmonaires.

11.4 Conclusion

Nous avons mis en évidence la possibilité de reconstruire des images de bonne qualité sans artefactsde troncature, permettant ainsi de produire des coupes grand champ, même sur un volume de dimen-sions importantes comme un thorax. La possibilité de réaliser rapidement avec une dose très limitée derayonnement des images grand champ constitue un atout majeur par rapport au scanner qui nécessite denombreuses coupes transversales pour pouvoir réaliser une coupe frontale de cette taille.

Conclusion et Perspectives

Les quatre parties de ce document nous ont permis d’aborder la tomosynthèse sous un point de vuedifférent.

Dans la première partie, nous avons rappelé les fondements de la tomosynthèse et les propriétésmathématiques de la reconstruction analytique. Cela nous a notamment permis d’établir un expressionanalytique du théorème coupe-projection dans le cas particulier de la tomosynthèse linéaire. Un étatde l’art sur les principales méthodes de reconstruction nous a permis d’isoler deux grandes lignes dereconstruction : l’algorithme de filtrage-rétroprojection, et la déconvolution sur un volume reconstruitpar simple rétroprojection. Ces premiers éléments ont attiré notre attention vers un problème épineux enreconstruction, le problème de l’angle limité.

Dans la seconde partie, nous avons alors repris quelques grandes approches en reconstruction à partirde données angulaires limitées pour comprendre qu’un point important est l’introduction d’information apriori sur l’objet. Nous avons alors détaillé les approches algébriques de reconstruction qui sont propicesà l’utilisation d’information a priori.

La troisième partie concerne spécifiquement nos développements en tomosynthèse. Celle-ci débutepar la construction d’un schéma de reconstruction et de régularisation adapté au cas de la tomosyn-thèse linéaire. Ce schéma permet notamment de contrecarrer un temps de calcul important inhérent auxméthodes algébriques, grâce à une méthode originale en tomosynthèse de reconstruction 3D par sériede plans 2D organisés en éventail. Ainsi, notre méthode est rendue plus utilisable en milieu hospitalier.Nous apportons une solution efficace au problème de la troncature des projections. Nous avons égalementapporté une solution appropriée pour la correction d’artefacts de reconstruction en présence de structuresmétalliques. Un chapitre a ensuite été consacré au développement d’un banc expérimental pour tester etvalider nos algorithmes.

De ces trois premières parties, nous pouvons tirer les conclusions suivantes. Tout d’abord, la re-construction en tomosynthèse est un problème à part entière avec un certain nombre de difficultés sousjacentes :

1. Le problème de l’angle limité,

2. Le faible nombre de projections,

3. Les projections bruitées,

4. Le temps de calcul,

5. Les projections tronquées,

6. Le rayonnement diffusé,

7. Les artefacts métalliques. 1

Nous avons traité les trois premiers points à l’aide d’algorithmes algébriques. Nous avons pu évaluerà 1 cm la résolution verticale que l’on peut atteindre avec une tomosynthèse sur un thorax entier et 40degrés de débattement angulaire, avec une dose équivalente à deux radiographies classiques. Un autre

1. Ce point n’est pas directement lié à la tomosynthèse. Cependant, nous avons pu isoler une application pour laquellela réduction des artefacts métalliques est indispensable, le vissage pédiculaire. Par ailleurs, il semble important de tester nosalgorithmes en présence de tels objets, sachant que cette situation est fréquence en milieu clinique.

131

132 Conclusion et Perspectives

point important est l’amélioration de la résolution dans la direction horizontale perpendiculaire à latranslation de la source procurée par l’utilisation d’algorithmes algébriques.

En ce qui concerne le temps de calcul, notre schéma de reconstruction et de régularisation originala permis de le limiter en autorisant une parallélisation directe des algorithmes, dans le cas particulier dela tomosynthèse linéaire.

Le traitement du sixième point n’est pas sans importance : il permet aisément d’améliorer de façonsignificative la largeur des coupes reconstruites et ainsi de pouvoir profiter d’un débattement angulaireimportant, augmentant ainsi l’intérêt de la tomosynthèse pour une utilisation clinique.

En résumé, il est possible en tomosynthèse de produire un volume avec une résolution anisotrope,c’est à dire des coupes grand champ (40×40 cm2) haute résolution dans le plan du détecteur (la réso-lution du détecteur, typiquement 100 µm), avec une moins bonne résolution verticale (1 cm pour unthorax avec 40 de débattement angulaire), le tout avec une dose faible (dose totale équivalement à deuxradiographies) et un temps de calcul restreint.

Perspectives

Plusieurs points restent encore à approfondir. Tout d’abord, nous n’avons pas directement étudiél’influence du nombre de projections sur les reconstructions. En particulier, il serait intéressant d’étudierle compromis entre le nombre de projections et le débattement angulaire. Il est possible qu’en-deçà d’uncertain nombre de projections, les effets de la discrétisation soient trop forts pour qu’un débattementangulaire plus important soit intéressant. Par ailleurs, il faut toujours avoir à l’esprit que si augmenterl’angle améliore la résolution, on reste par ailleurs confronté à un problème de projections tronquées plusimportant.

Suivant la même idée, nous pouvons nous demander l’influence réelle du bruit sur les projections. Eneffet, ayant à disposition un capteur haute résolution, nous avons dû sous échantillonner les projections,ce qui, inévitablement, a amélioré la statistique des projections. Ainsi, nous avons involontairement maisfortuitement limité l’influence du bruit. Dans [17], il est précisé qu’il est plus intéressant d’augmenter lenombre de projections au détriment du rapport signal à bruit, en tomographie faible nombre de vues. Ilserait intéressant d’aborder ce point en tomosynthèse où l’on a par ailleurs un problème d’angle limitédifférent de celui en tomographie faible nombre de vues.

Le traitement du rayonnement diffusé s’est limité dans ces travaux à l’utilisation d’une grille anti-diffusé dont les lames sont parallèles à la translation de la source. Cette grille semble indispensable entomosynthèse grand champ (nous ne l’avons par contre pas retenue pour le banc PALMETO). Une étudesur l’influence du rayonnement diffusé en tomosynthèse reste à faire, notamment sur la suppressionnumérique du rayonnement diffusé après acquisition, au lieu d’utiliser une grille qui pénalise inévi-tablement la qualité des projections. Un tel traitement pourrait permettre d’augmenter le contraste ensupprimant la composante basse fréquence du diffusé sans utiliser de grille qui nécessite d’augmenter ladose.

Un point important pour notre étude serait une validation médicale, notamment pour définir lescréneaux d’application précis pour la tomosynthèse. Une travail avec les médecins/radiologues sembledonc indispensable.

V. Annexes

133

Annexe A

Calcul de la formule de reconstructionexacte pour une trajectoire linéaire infinie

A.1 Cas continu infini

En se basant sur l’article de Smith [107] mais avec une géométrie de tomosynthèse linéaire, nousproposons la formule de reconstruction exacte pour une trajectoire linéaire infinie de la source.Pour cela, nous rappelons l’équation 2.8.

f(x, y) =1

4π2

∫ +π

−π

∫ +∞

−∞

∂

∂ρRf(ρ~ξ)

1

x cos θ + y sin θ − ρdρdθ (A.1)

Dans [107], on voit qu’on peut mettre cette équation sous la forme :

f(x, y) =1

4π2

∫ +π

−πlimε→0

∫ +∞

−∞Hε(x cos θ + y sin θ − ρ)Rf(ρ~ξ)dρdθ (A.2)

avec

avecHε(t) =

1ε2

, si |t| < ε−1t2

, sinon(A.3)

Cette formulation permet d’éviter la singularité de l’équation 2.8 pour ρ = x cos θ + y sin θ. Lafonction Hε(t) présente notamment la propriété :

limε→0

∫ +∞

−∞Hε(kt)f(t)dt =

1

k2limε→0

∫ +∞

−∞Hε(t)f(t)dt (A.4)

Toujours dans [107], Smith calcule l’équation d’inversion suivante pour des données en éventailcollectées sur une trajectoire infinie, avec un détecteur courbe perpendiculaire à la direction source-détecteur.

f(x, y) =1

4π2

∫ +∞

−∞

1

(x1 − λ)2 + (x2 +D)2limε→0

gε(λ, θ′⊥)dλ (A.5)

avec

gε(λ, θ′⊥) =

∫ +π

−πHε(sin(θ⊥ − θ′⊥))g(λ, θ⊥)| sin θ⊥|dθ⊥ (A.6)

Dans A.6, g(λ, θ⊥) est la transformée en Rayons X :

g(λ, θ⊥) = Xf(ρ~ξ)

135

136 Calcul de la formule de reconstruction exacte pour une trajectoire linéaire infinie

Nous partons de cette équation pour établir la formule de reconstruction exacte dans le cas de la tomo-synthèse linéaire avec une trajectoire source infinie.Pour cela, il nous faut calculer sin(θ⊥ − θ′⊥) et sin θ⊥. On a (voir figure 3.4):

cos θ⊥ =ξ − λ√

D2 + (λ− ξ)2(A.7)

sin θ⊥ =D√

D2 + (λ− ξ)2(A.8)

Sachant quesin(θ⊥ − θ′⊥) = sin θ⊥ cos θ′⊥ − sin θ′⊥ cos θ⊥

On parvient à :

sin(θ⊥ − θ′⊥) =D(ξ′ − ξ)√

[D2 + (λ− ξ)2][D2 + (λ− ξ′)2](A.9)

En différenciant l’équation A.7, on obtient :

− sin θ⊥∂θ⊥∂ξ

=D2

(D2 + (λ− ξ)2)3/2(A.10)

En injectant A.9 et A.10 dans l’équation A.6 et en utilisant la propriété A.4, on peut calculer gε(λ, ξ)puis f(x, y) :

f(x, y) =1

4π2

∫ +∞

−∞

D2

[D2 + (λ− ξ′)2][(x1 − λ)2 + (x2 +D)2]limε→0

g′ε(λ, ξ′)dλ (A.11)

avec

g′ε(λ, ξ′) =

∫ +∞

−∞Hε(ξ − ξ′)

D2

[D2 + (λ− ξ)2]3/2g(λ, ξ)dξ (A.12)

Cette équation est une formule d’inversion par rétroprojection filtrée pour une trajectoire linéaire infiniedans une configuration typique de la tomosynthèse. Dans la partie suivante, cette formule est discrétisée.

A.2 Cas discret fini

On note δξ le pas d’échantillonnage sur le détecteur de longueur A composé deN pixels, on a alors :

δξ =A

N − 1

ξi étant la position du ième pixel, il vient :

f(x, y) =1

4π2

M∑

j=1

gj(ξ′)

D2

[D2 + (λj − ξ′)2][(x1 − λj)2 + (x2 +D)2]δλ (A.13)

avec

gi′j =

N∑

i=1

Hi−i′D2

[D2 + (λj − ξ)2]3/2gijδξ (A.14)

La fonction gj(ξ′) est interpolée à partir de gi′j et gi′+1j

Annexe B

Théorème de Geman&Reynolds étendu[20]

Nous détaillons ici le théorème de Geman & Reynolds étendu.

Théorème 3. Soit ϕ : [0,+∞[→ [0,+∞[, telle que ϕ(√u) soit strictement concave sur ]0,+∞[.

Soient L et M définis comme :

L = limu→+∞

ϕ′(u)2u

et M = limu→0+

ϕ′(u)2u

Alors :

1. Il existe une fonction ψ : [L,M ] → [α, β] strictement convexe et décroissante telle que :

ϕ(u) = infL≤b≤M

(bu2 + ψ(b)

)

avec :

α = limu→+∞

(ϕ(u) − u2ϕ

′(u)2u

)et β = lim

u→0+ϕ(u)

2. Pour tout u ≥ 0 fixé, la valeur bu pour laquelle l’inf est atteint :

infL≤b≤M

(bu2 + ψ(b)

)=

(buu

2 + ψ(bu))

est unique et donnée par :

bu =ϕ′(u)2u

137

Annexe C

Mise en œuvre de l’algorithme deminimisation semi-quadratique

Nous avons la propriété fondamentale suivante : si bx et by sont fixés alors le critère J∗(x) est qua-dratique en x. Si x est fixé, le critère est convexe en b et nous avons analytiquement son minimum (voirannexe B). Cette interprétation conduit à l’algorithme ARTUR qui procède par minimisations succes-sives, d’abord par rapport à x, puis par rapport à b.

bk+1i,j =

ϕ′([D(1)x ]i,j)

2[D(1)x ]i,j

, (i, j) = 0, 1, ..., N − 1 (C.1)

xk+1 =Argminx

‖y −Hx‖2 + λ

∑

i,j

bk+1i,j [D(1)

x ]2i,j

(C.2)

Le processus de reconstruction/régularisation est donc basé sur une double boucle. On commencepar calculer la variable auxiliaire b. Une fois cette variable établie, on utilise un algorithme de descentede gradient pour minimiser la fonctionnelle par rapport x. Quand cette minimisation est faite, on recal-cule les variables auxiliaires à partir de la dernière mise à jour de x, et on recommence le processus.Ces étapes sont répétées successivement jusqu’à un critère d’arrêt. Le tableau C.1 présente les étapesde calcul dans le cas du choix d’un méthode de descente de gradient pour minimiser l’équation C.2. Eneffet, on peut très bien imaginer utiliser d’autres algorithmes pour minimiser la fonctionnelle quadratique.

Dans la formule de mise à jour, on retrouve le paramètre λ qui vient régler l’attache aux donnéespar rapport à l’a priori, et le paramètre ∂t qui est le facteur de relaxation analogue à celui utilisé enART. L’algorithme effectue une mise à jour analogue au cas de l’ART à un terme de régularisationsupplémentaire près.

138

139

Répéter1. Calcul des variables auxiliaires :

(bk+1x

)i,j+1

=ϕ′[xk

i,j+1−xki,j]

2[xki,j+1−xk

i,j]

(bk+1x

)i,j

=ϕ′[xk

i,j−xki,j−1]

2[xki,j−xk

i,j−1](bk+1y

)i+1,j

=ϕ′[xk

i+1,j−xki,j]

2[xki+1,j−xk

i,j]

(bk+1y

)i,j

=ϕ′[xk

i,j−xki−1,j]

2[xki,j−xk

i−1,j]

2. Minimisation à b fixé : descente de gradient modifiéexk+1,0 = xk

Répéter

Pour (i,j) allant de 1 à N :

– Calculer

Li,j = (xk+1,li,j − xk+1,l

i+1,j ).(bk+1y

)i+1,j

+ (xk+1,li,j − xk+1,l

i−1,j ).(bk+1y

)i,j

+

(xk+1,li,j − xk+1,l

i+1,j+1).(bk+1x

)i,j+1

+ (xk+1,li,j − xk+1,l

i,j−1).(bk+1x

)i,j

– Mise à jour :xk+1,l+1

i,j = xk+1,li,j + ∂t

[HT (y −Hx)

]︸︷︷︸

Mise à jour type ART

− ∂tλ2Li,j︸︷︷︸Régularisation

Jusqu’à convergencexk+1 = xk+1,l+1

Jusqu’à convergence

TAB. C.1 – Mise en œuvre de l’algorithme ARTUR. Par rapport à un ART, on ajoute le terme de régula-risation ∂tλ2Li,j dans la fonctionnelle à minimiser

Annexe D

Schémas du banc de test pour latomosynthèse PALMETO

Les deux figures suivantes illustrent le banc PALMETO. 1

FIG. D.1 – Vue frontale et axiale de PALMETO. Sur le schéma de gauche, on distingue bien le tube,le bras d’asservissement mécanique. L’axe de rotation est situé dans le plan du scintillateur. On voit laplatine de translation; à droite, on voit les rails de translation.

1. Ces schémas ont entièrement été réalisés par F.Sauvage.

140

141

FIG. D.2 – Différentes vues dans différentes configurations géométriques du banc PALMETO.

Annexe E

Interface graphique du logicield’acquisition pour PALMETO

Un logiciel permettant de gérer les différents déplacements a été crée, avec une Interface HommeMachine (IHM) associée. La figure suivante illustre l’IHM. 1 Quatre modes sont disponibles :

– Acquisition d’images de noir ou d’offset: choix du nombre d’images (en bas à droite),– Acquisition en translation : choix du nombre d’images, de l’angle maximum de vue et de FG,– Acquisition en ellipse : Mêmes paramètres qu’en linéaire, avec en plus l’angle maximal de vue

suivant la direction orthogonale,– Acquisition de croix : Mêmes paramètres qu’en ellipse, avec en plus le choix du nombre de pro-

jectoins à acquérirpour chacune des directions de translations.

FIG. E.1 – IHM du logiciel PALMETO

1. Le logiciel de gestion des déplacements a été entièrement réalisé par R.Sauze.

142

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FOLIO ADMINISTRATIF

THÈSE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

NOM : BLEUET DATE DE SOUTENANCE : 17 Octobre2002PRÉNOM : Pierre

TITRE : Reconstruction 3D par Tomosynthèse Généralisée. Application à l’Imagerie Médicale par Rayons X.

NATURE : Doctorat NUMÉRO D’ORDRE : 02 ISALFORMATION DOCTORALE : Images et Systèmes

Cote B.I.U. - Lyon T : 50/210/19 / et bis CLASSE :

RÉSUMÉ : Ce travail concerne la reconstruction en tomosynthèse numérique médicale. Cette technique permet,à partir d’un faible nombre de projections (typiquement une vingtaine) acquises sur un détecteur numériqueplan, d’obtenir des informations tridimensionnelles sur la structure de l’objet étudié. L’avantage majeur de cettetechnique est la possibilité d’obtenir ces informations à partir d’une table de radiologie standard équipée d’uncapteur numérique et de fonctions de translation/rotation, pour une dose de rayonnement équivalente à celled’une radiographie classique. Par ailleurs, on accède en tomosynthèse à différents plans de profondeur parallèlesau détecteur (des plans frontaux), ce qui diffère de la tomographie classique à partir de peu de points de vue oùl’on cherche plutôt à reconstruire un plan transverse. Un problème important en tomosynthèse est le manqueimportant de données, et plus particulièrement l’angle limité de prises de vues qui restreint considérablementla résolution spatiale verticale dans les reconstructions.D’un point de vue mathématique, ce problème de reconstruction est un problème inverse mal posé au sensoù le débattement angulaire est limité, le nombre de projections réduit, ces projections étant potentiellementbruitées. Pour inverser ce problème, nous avons opté pour les méthodes algébriques et plus particulièrement lesalgorithmes ART (Algebraic Reconstruction Technique). Ce type de méthode permet d’améliorer la résolutionpar rapport à l’approche classique de reconstruction en tomosynthèse (une simple rétroprojection) mais netraite pas le problème du bruit. Afin de stabiliser l’inversion du problème, nous adoptons un algorithme deminimisation semi-quadratique existant, dans le contexte de la tomosynthèse. Afin de limiter les temps de calculpropres à la reconstruction algébrique, nous avons développé un schéma de reconstruction et de régularisationoriginal permettant de décomposer le volume d’intérêt en une série de plans indépendants dans le cas particulierde la tomosynthèse linéaire.Nous proposons par ailleurs des traitements visant à réduire les artefacts de troncature des projections liés àl’angle de projection où les artefacts métalliques dus à la présence éventuelle de prothèses chirurgicales dansle corps humain. Afin de tester et valider nos approches, nous avons également développé un banc de test nousprocurant une certaine souplesse dans la géométrie d’acquisition.Nous montrons qu’il est possible de reconstruire des coupes grand champ pour l’imagerie thoracique avecune résolution verticale de l’ordre du centimètre et une résolution dans le plan égale à celle du détecteur (100µm au maximum). Pour d’autres applications osseuses telles que la radiographie de la cheville ou le vissagepédiculaire, les résultats sont très satisfaisants en terme de qualité image et d’artefacts de reconstruction.

MOTS CLÉS : Tomosynthèse, radiographie, détecteur numérique, problème inverse, reconstruction 3D, régu-larisation, minimisation semi-quadratique, angle limité, artefacts de troncature, artefacts métalliques.

LABORATOIRE DE RECHERCHE : Centre de Recherche et d’Application en Traitement de l’Image et duSignal (CREATIS) - UMR CNRS 5515

DIRECTEUR DE THÈSE : Isabelle Magnin

PRÉSIDENT DU JURY : F.PrêteuxCOMPOSITION DU JURY : F.Prêteux, M. Defrise, F.Peyrin, P. Merloz, R. Guillemaud, I. Magnin

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