RECHERCHE OPERATIONNELLE

RO I: OPTIMISATION COMBINATOIRENotes de Cours R.O MASTER M1

Recherche Oprationnelle

P L A N:

INTRODUCTION

RO I (Optimisation combinatoire)

1. Problmes doptimisation combinatoire

2. Mthodes de rsolution des problmes combinatoires

RO II

3. Programmation non linaire

4. Thorie des jeux

BIBLIOGRAPHIE

- METHODES ET MODELES DE LA RECHERCHE OPERATIONNELLE

3 tomes, A. KAUFMANN Dunod, 1974.

- INTRODUCTION TO OPERATIONS RESEARCH

ECKER & KUPFERSCHMID, John Wiley, 1988.

- INTRODUCTION TO OPERATIONS RESEARCH

HILLIER & LIEBERMAN, 7th edition, Holden day Inc., 2001.

Notes de Cours R.O MASTER M1

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Mias2011.wordpress.com

INTRODUCTION

Qu'est-ce que la recherche oprationnelle ?

La recherche oprationnelle (RO) vise l'amlioration du fonctionnement des entreprises et des organismes publics par l'application de l'approche scientifique. Reposant sur l'utilisation de mthodes scientifiques, de techniques spcialises et des ordinateurs, la RO permet d'obtenir une valuation quantitative des politiques, stratgies et actions possibles dans le cours des oprations d'une organisation ou d'un systme.

La RO est apparue en Grande-Bretagne durant la Seconde Guerre mondiale, lorsqu'on dcida d'employer des mthodes scientifiques pour tudier divers aspects des oprations militaires. Depuis lors, la RO est devenue un lment important du processus de prise de dcision dans de nombreux contextes commerciaux, industriels et gouvernementaux, car elle permet d'apprhender de faon systmatique la complexit toujours grandissante des problmes de gestion auxquels sont confronts tant le secteur priv que public.

la suite des succs obtenus dans le domaine militaire durant la Seconde Guerre mondiale, la RO a t applique durant de nombreuses annes des problmes de nature oprationnelle dans l'industrie, le transport, etc. Depuis une dizaine d'annes, le champ d'application de la RO s'est largi des domaines comme l'conomie, la finance, le marketing et la planification d'entreprise. Plus rcemment, la RO a t utilise pour la gestion des systmes de sant et d'ducation, pour la rsolution de problmes environnementaux et dans d'autres domaines d'intrt public. Parmi les sujets d'application rcents de la RO, on peut mentionner :

les tudes logistiques (Forces armes),

la scurit ferroviaire,

la conception d'emballages,

la gestion prvisionnelle du personnel,

le transport arien,

les oprations forestires,

l'optimisation du carburant nuclaire,

l'affectation des ressources dans un hpital,

l'tude des rseaux de commutation,

la planification de la production.

Une carrire en recherche oprationnelle

Pour russir, le chercheur oprationnel doit faire preuve de grandes habilits analytiques, d'un esprit ouvert et d'un intrt marqu pour la rsolution de problmes pratiques.

l'heure actuelle, on retrouve des personnes possdant une formation en RO l'intrieur d'quipes spcialises en RO uvrant pour certains dans divers secteurs d'organismes privs ou publics. Les mthodes de la RO sont aussi appliques par des conomistes, des ingnieurs, des scientifiques, des administrateurs et des cadres suprieurs dans la rsolution de problmes de gestion et de politique d'entreprise.

Depuis l'apparition de la RO, les dcideurs et les gestionnaires y ont recours trs frquemment. Ses applications sont en pleine expansion alors que l'envergure et la complexit des problmes soumis aux praticiens de la RO n'ont pas cess de s'accrotre. En consquence, le dveloppement de techniques et mthodes nouvelles pour faire face ces nouveaux problmes a provoqu chez les gestionnaires de tous les secteurs des affaires, de l'industrie et du gouvernement une prise de conscience sans cesse grandissante de la ncessit de telles techniques et mthodes ainsi qu'une plus grande confiance en ce que la RO peut faire pour la gestion et la prise de dcisions. Il y a dans les secteurs public et priv une demande croissante et un besoin certain des services de la RO.

INTRODUCTIONNotes de Cours R.O MASTER M1

RECHERCHE OPERATIONNELLE

PARTIE I

CHAPITRE I

Problmes doptimisation combinatoire (POC)

I. DEFINITION DUN POC

Dcouvrir le plus court chemin pour se rendre un endroit prcis, concevoir un circuit lectronique, placer des antennes pour diffuser des chanes TV, ou des relais pour les rseaux GSM, reconstruire le code gntique des tres humains, cette liste peut paratre htrogne et provenant de domaines diffrents, mais elle contient des problmes qui ont tous une structure combinatoire. En effet, chacun dentre eux revient choisir la meilleure combinaison parmi un nombre souvent exponentielle de possibilits.

Les problmes doptimisation combinatoire se rpartissent en 2 catgories: ceux rsolus "optimalement" par des algorithmes efficaces (de complexit polynomiale), et ceux dont la rsolution optimale peut prendre un temps exponentiel sur les grands cas. La thorie de la complexit permet dvaluer et de classer les divers algorithmes disponibles pour un problme, et permet de mieux comprendre pourquoi certains problmes ne disposent toujours pas dalgorithmes efficaces.

Dfinition: Un POC peut tre dcrit en gnral sous la forme suivante: Min F(x)

x X

O F dsigne une fonction valeurs relles (fonction objectif) valuant les solutions dsignes par x. Il sagit de minimiser la fonction F sur lensemble de toutes les solutions ralisables not X.

Les solutions x X peuvent tre des objets mathmatiques de nature trs diverse; souvent x reprsentera un vecteur dun espace n dimensions et F dsignera une fonction de cet espace dans IR. Lensemble des solutions ralisables X est gnralement dtermin par des contraintes souvent exprimes comme des ingalits.

Remarque: Suivant la nature de lensemble X et de la fonction F, le POC peut tre facile (rsoluble en temps polynomial) ou difficile. Par exemple, si X est un polydre convexe et F une fonction linaire, on retrouve un PL rsoluble efficacement par le simplexe ou mme par dautres algorithmes polynomiaux. Par contre si X ,on retrouve des programmes en nombre entiers qui sont des problmes difficiles; aucun algorithme polynomial na t trouv lheure actuelle pour les rsoudre.

II. NOTION DE THEORIE DE LA COMPLEXITE

II.1. Complexit des algorithmes

La complexit dun algorithme A est une fonction CA(N) donnant le nombre dinstructions excutes par A dans le pire des cas pour une donne de taille N. La complexit est base gnralement sur le pire cas afin de borner le temps dexcution de lalgorithme. De plus la connaissance du pire cas est critique pour les applications temps rel (contrle arien, robots, systmes darmes, etc.). Nanmoins, la complexit pire cas peut fausser notre vision sur lefficacit dun algorithme. Le simplexe en est lexemple type. Malgr sa complexit pire cas exponentielle, cet algorithme est efficace pour la rsolution de la plupart des PLs.

On distingue en gnral les algorithmes polynomiaux (complexit de lordre dun polynme), et les autres, dits exponentiels. Des exemples de complexits polynomiales sont logn, n0.5, nlogn, n2, Une complexit exponentielle peut tre une vraie exponentielle au sens mathmatique (en , 2n) mais aussi des fonctions comme nlogn (sous exponentielle), la fonction factorielle n! et nn.

Un bon algorithme est polynomial. Ce critre defficacit est confirm par la pratique:

Une exponentielle dpasse tout polynme pour n assez grand. Par exemple, 1.1n croit dabord lentement, mais finit par dpasser n100. En plus il est rare de trouver des complexits polynomiales dordre suprieur n5 en pratique.

Lensemble des polynmes a dintressantes proprits de fermeture. Laddition, la multiplication et la composition de polynmes donnent des polynmes. On peut ainsi constituer de grands algorithmes polynomiaux partir de plus petits.

Lesprit humain a du mal apprhender ce quest une croissance exponentielle. Le tableau suivant illustre ces croissances, par rapport des croissances polynomiales. Les temps de calculs supposent 0.1 nanoseconde par instruction (quivalent un processeur cadenc plus de 6 GHZ). Les cases non remplies ont des dures suprieures 1000 milliards dannes (suprieur lge estim de lunivers!).

Taille

Complexit

20

50

100

200

500

1000

107 n log2 n

0.09 s

0.3 s

0.7 s

1.5 s

4.5 s

10 s

106 n

0.04 s

0.25 s

1 s

4 s

25 s

100 s

105 n3

0.08 s

1.25 s

10 s

80 s

21 min

2.7 h

0.04 ms

0.4 s

32 min

1.2 ans

5. 107 ans

--

2n

100 s

31 h

--

--

--

--

n!

7.7 ans

--

--

--

--

--

Ces calculs montrent quil est faux de croire quun ordinateur peut rsoudre tous les problmes combinatoires. Lexplosion combinatoire est telle que laugmentation de la puissance des ordinateurs ne change pas fondamentalement la situation. En particulier, il faut se mfier des mthodes numratives, consistant examiner tous les cas possibles, puisquelles conduisent des algorithmes exponentiels.

II.2. Complexit des POC

a) POC faciles (polynomiaux)

Chemin de cot minimal (min-cost path, shortest path)

Donne: G(X,U,C) un graphe orient valu et deux sommets s et t de X.

But: Trouver un chemin de cot minimal entre s et t

Ce problme apparat dans les transports, mais galement en sous problme dans de nombreux problmes de graphes.