rdm29.1

RDM - Ossatures

Exercices

Yves DEBARD

Institut Universitaire de Technologie du MansDpartement Gnie Mcanique et Productique

www.geniecivilpro.blogspot.com

Yves DEBARD Fvrier 2001

Institut Universitaire de TechnologieDpartement Gnie Mcanique et ProductiqueAvenue Olivier Messiaen72085 Le MANS Cedex 9

Tel 02 43 83 34 64Fax 02 43 83 31 49

e-mail : [email protected]

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogihttp://iut.univ-lemans.fr/gmp/cours/rdmyd

RDM - Ossatures

Exercices

Sommaire :

Pages

1 Analyse statique

25 Section droite : caractristiques et contraintes

32 Flambement

43 Modes propres

Exercices 1

Analyse statique

E1 : Treillis plan noeuds articuls

Rfrence : F. FREY - Analyse des structures et milieux continusPresses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1985 , page 108

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de neuf poutres droites articules entre elles.L'ensemble est li l'extrieur par un appui simple en 4 et une rotule en 1.

La structure est en acier de module d'Young E = 210000 MPa.

Les poutres sont des carrs creux de ct 70 mm et d'paisseur 5 mm ( bibliothque ).

Le noeud 1 porte une force :rQ =

0

1800daN. Les noeuds 2 et 3 portent une force :

rP =

0

3600daN.

Rsultats :

Actions de liaison : R1x = 0 , R1y = 5400 daN , R4y = 3600 daN

Efforts normaux : N12 = N23 = -5143 daN , N34 = -3600 daN , N15 = 6278 daN

N56 = 3758 daN , N64 = 5091 daN , N25 = -3600 daN

N53 = 1883 daN , N63 = -4680 daN

x

y

1.4 m

2 m 2 m 2 m

P PQ

12 3

4

5

6

2m

2 RDM - Ossatures

E2 : Ossature plane

Rfrence : A. JALIL - Calcul pratique des structures - Eyrolles, 1985 , page 55

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de trois poutres droites soudes entre elles.L'ensemble est li l'extrieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4.

La structure est en acier.

Les trois poutres sont des HEA 600.

La poutre ( 1 - 2 ) porte en son milieu A une force :rPA =

0

2000daN.

La poutre ( 3 - 4 ) porte en son milieu C une force :rPC =

1000

0daN.

La poutre ( 2 - 3 ) porte en son milieu B une force :rPB =

0

2000daN et sur le tronon ( 2 - B ) une charge

uniformment rpartierq =

0

1000daN/m.

Rsultats :

Actions de liaison : R1y = 4679 daN , R4x = 1000 daN , R4y = 2321 daN

Le moment flchissant maximal est gal 18301 daN.m et situ sur la poutre ( 2 - 3 ) X = 2.66 m.

6m4m 4m

4m

x

y

1

2 3

4

A

B

C

PA

PB

PC

q

Exercices 3

E3 : Ossature plane


Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de quatre poutres droites. L'ensemble est li l'extrieur par deux rotules en 1 et 5. Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) sont lies entre elles par une rotule.

La structure est en acier.

Les quatre poutres sont des HEA 600.

Le noeud 2 porte une force :rP =

4000

0daN

La poutre ( 1 - 2 ) porte une charge uniformment rpartierq1

1000

0= daN/m.

Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) portent une charge uniformment rpartierq2

0

5000=

daN/m.

Rsultats :

Actions de liaison : R1x = -1250 daN , R1y = 9583 daN , R5x = -7750 daN , R5y = 20417 daN

Le moment flchissant est maximal en 4 et gal 38750 daN.m

y

x

3 m 3 m

5 m

1

2 4

5

P

q1

q2

3

4 RDM - Ossatures

E4 : Ossature plane


Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de quatre poutres droites. L'ensemble est li l'extrieur par deux articulations en 1 et 5. Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) sont lies entre elles par unerotule.

La structure est en acier de module d'Young 210000 MPa.

Les quatre poutres sont des HEA 600.

Le noeud 2 porte une force :rF =

2000

5000daN et un couple

rC =

0

0

3000

daN.m

Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) portent une charge uniformment rpartierq =

0

1000daN/m projet.

Rsultats :

Actions de liaison : R1x = -250 daN , R1y = 6000 daN , R5x = -1750 daN , R5y = 5000 daN

1.5 m

4.5 m

3 m3 m

q

C

F

x

y

1

2

3

4

5

Exercices 5

E5 : Ossature plane

Rfrence : W. WEAWER, J. GERE -Matrix analysis of framed structuresVan Nostrand Reihnold, 1990 , page 228

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de six poutres droites articules entre elles.L'ensemble est li l'extrieur par deux articulations en 3 et 4.

L'ossature est en acier de module d'Young E.

Les caractristiques des poutres sont :

- poutres ( 1 - 4 ) et ( 3 - 2 ) : aire = A- poutres ( 1 - 2 ) et ( 3 - 4 ) : aire = 0.6 A- poutres ( 3 - 1 ) et ( 4 - 2 ) : aire = 0.8 A

La structure porte les charges suivantes :

- le noeud 2 porte une forcerP1 de composantes ( 2P , P , 0 ).

- la poutre (2-4) porte en son milieu une forcerP2 de composantes ( P , -P , 0 ).

- la poutre (1-2) porte en son milieu un couplerC de composantes ( 0 , 0 , -1.2 PL ).

- la poutre ( 3-1 ) porte sur toute sa longueur une charge uniformment rpartie. La charge parunit de longueur

rq a pour composantes : ( 2.5 P/L , 0 , 0 ).

- la poutre ( 3-4 ) porte en son milieu une forcerP3 de composantes ( 0 , -2P , 0 ).

3 4

2

0.6 L

0.8 L

y

x

P2

P1

P3

C

q

1

6 RDM - Ossatures

Donnes numriques :

* module d'Young : E = 200000 Mpa

* L = 1.25 m

* sections droites :

- poutres (1-4) et (3-2) : carr plein de ct 50 mm

- poutres (3-1) et (4-2) : rectangle plein ( dY = 40 mm dZ = 50 mm )

- poutres (1-2) et (3-4) : rectangle plein ( dY = 30 mm dZ = 50 mm )

* P = 1000 N

Rsultats :

- Dplacements :

u1 = 25.00 10-3 mm , v1 = 10.37 10

-3 mm , u2 = 26.53 10-3 mm , v2 = 10.05 10

-3 mm

- Actions de liaison :

R3x = - 2890 N R3y = - 5667 N R4x = -2110 N R4y = 7667 N

- Efforts aux extrmits des poutres ( en N ) :

poutre N l'origine TY l'origine N l'extrmit TY l'extrmit1 - 2 610 2000 610 20003 - 4 0 - 1000 0 10003 - 1 4147 - 1000 4147 10004 - 2 - 4520 - 500 -3520 5001 - 4 - 2683 0 -2683 03 - 2 3150 0 3150 0

Exercices 7

E6 : Poutre droite

Rfrence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures - AFNOR - 1990 - page 20

Problme :

Considrons la poutre droite AB d'axe x, de section droite constante ( aire = 10-3 m2 , IZ = 1.7 10-8 m4 ) et

de module d'Young E = 2.1 1011 Pa. Cette poutre est encastre en A et B.

Elle porte :

- sur toute sa longueur une force uniformment rpartierp =

0

24000

0

N/m.

- au point d'abscisse x = 0.3 m une forcerF1

30000

0

0

= N et un couplerC =

0

0

3000

N.m.

- au point d'abscisse x = 0.7 m une forcerF2

10000

20000

0

= N.

Remarque :

Modliser la poutre comme une ossature plane.

Rsultats :

Action de liaison : RAx = - 24000 N

Dplacement : v ( x = 0.5 m ) = - 4.90 10-2 m

Forces intrieures : TY ( x = 0.5 m ) = - 540 N , MfZ ( x = 0.5 m ) = 2800 N.m

1 m0.3 m 0.3 m

A B

x

y

F2

C

p

F1

8 RDM - Ossatures

E7 : Poutre courbe

Rfrence : Solution analytique

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue d'unepoutre courbe AB de centre O et de rayon moyen R = 60 mm.La section droite est un carr plein de ct 30 mm. La poutreest encastre en B.

Elle porte en A une force de composante ( 0 , P = 6000 , 0 )N.

Les caractristiques lastiques du matriau sont :

E = 210000 MPa et = 0.28.

Le cisaillement transverse est pris en compte.

Modlisation et rsultats :

Ossature paramtre 30 ( 20 lments , rayon = 60 mm , angle de dpart = 0 , angle de l'arc = 270 ).

Rsultats :

Dplacement vertical du point A ( en mm ) : vPR

EA

PR

EI

PR

Gk AA

Z Z

= + + +3

4

9

42

3

4

3

( )

o A est l'aire de la section droite et IZ son moment quadratique par rapport Z. La module d'lasticit

transversal G est gal :E

2 1( )+ . Le dernier terme reprsente l'influence du cisaillement transverse.

Le coefficient d'aire cisaille est gal kZ = 0.833.

nombre d'lments avec cisaillement transversal sans cisaillement transversal10 0.8285 0.814820 0.8426 0.828940 0.8462 0.832460 0.8469 0.8331100 0.8472 0.8334

thorie 0.8474 0.8336

x

y

R

P

A

B

O

Exercices 9

E8 : Ossature plane


Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de trois poutres droites articules entre elles. Elleest en acier de module d'Young E L'ensemble est li l'extrieur par trois articulations en 1 et 2 et 3.

Les caractristiques des poutres sont : poutre ( 1 - 4 ) : rectangle plein [ 5a x a ]

poutre ( 2 - 4 ) : rectangle plein [ 3a x a ]

poutre ( 3 - 4 ) : rectangle plein [ 4a x a ]

La poutre ( 1 - 4 ) porte une charge dintensit liniquerq qui lui est perpendiculaire.

On donne :

L = 10 cm

E = 200000 MPa.

a = 10 mm

q = 8 N/mm

Rsultats :

On obtient :

uqL

Eamm v

qL

Eamm4

2

23

4

2

233

2610

2810= = = =

N qL N N qL N24 432 16003

21200= = = =

1 2

34

4L4L

3L

x

y

q

10 RDM - Ossatures

E9 : Poutre section droite variable soumise son poids propre

Rfrence : solution analytique

Problme :

La poutre droite AB de longueur L est encastre en A. Soient E et respectivement le module d'Young etla masse volumique du matriau. La section droite est un rond plein dont le diamtre varie linairemententre les noeuds A et B. La poutre est soumise son poids propre. Soit g l'acclration de la pesanteur.

On donne :

E = 200000 MPa = 8000 kg/m3 , g = 10 m/s2 , L = 1.2 m , d = 50 mm

Calculer la flche en B.

Rsultat :

La flche en B est gale :

vg L

E dB =

423= -0.110592 mm

y

L

B

x d

2 d

A

Exercices 11

E10 : Treillis spatial nuds articuls

Rfrence : W. WEAWER, J. GERE -Matrix analysis of framed structuresVan Nostrand Reihnold, 1990 , page 352

Problme :

La structure reprsente sur la figure ci-dessous est constitue de 9 poutres articules entre elles.

Les coordonnes des nuds sont gales ( en m ) :

Soient E = 80000 MPa et = 0.3 les caractristiques lastiques du matriau.

Les poutres sont des I ailes gales :

- DE , DF et EF : H = 240 , L = 150 , tw = 20 , tf = 20 mm.

- AD , AF , CE , CF , BD et BE : H = 280 , L = 150 , tw = 40 , tf = 40 mm.

y

x

z

F

A

B

C

D

E

noeud A B C D E Fx 3 0 -3 3 -3 0y 0 0 0 5 5 5z 0 3 0 0 0 -3

12 RDM - Ossatures

L' ensemble est fix au mur par 3 rotules en A, B et C.

Le nud F porte une force de composantes ( 48 , 24 , -24 ) kN. La poutre AD porte en son milieu uneforce de composantes ( 0 , 0 , -24 ) kN. La poutre DE porte sur toute sa longueur une force uniformmentrpartie d'intensit linique ( 0 , 0 , 24 ) kN/m.

Rsultats :

Dplacements nodaux :

En D : ( 0.44359 , 0.30312 , 2.08842 ) mm

En E : ( 0.02059 , 0.33437 , 1.79382 ) mm

En F : ( 0.41121 , 1.34562 , 2.10171 ) mm

Actions de liaison :

En A : ( -13.8 , -74 , -1.8 ) kN

En B : ( -6 , 204 , -122.4 ) kN

En C : ( -28.2 , -154 , 28.2 ) kN

Exercices 13

E11 : Portique plan poutre soumise une variation de temprature


Problme :

La structure plane reprsente sur la figure ci-dessous est constitue de 3 poutres de mme matriau et demme section droite ( rond creux de diamtre d et dpaisseur t ) . La poutre BC est articule en B et C.Lensemble est encastr en A et D. Soient E et respectivement le module dYoung et le coefficient dedilatation du matriau.

La poutre BC subit une variation de temprature gale T .

On donne :

L = 1 m , H = 0.3 m , d = 80 mm , t = 5 mm

E = 210000 MPa , = 13 10-6 K-1

T = 50 K

Rsultats :

Soient A et I respectivement laire et le moment quadratique de la section droite.

Lallongement de la poutre BC est gal :

AE

LNLT +=

o N est leffort normal dans la poutre BC.

Leffort normal N est solution de lquation :IE3

HN5.0

3

=

On obtient : N = -6071.3 N et = 0.62546 mm

A

B C

D

H

L

14 RDM - Ossatures

E12 : Treillis plan - poutre soumise une variation de temprature


Problme :

Le treillis plan nuds articuls reprsent sur la figure ci-contreest constitue de 5 poutres de mme matriau et de mme sectiondroite ( carr creux de ct extrieur c et dpaisseur t ) . Lespoutres OA, OB et OC ont la mme longueur L. Le triangle ABCest quilatral.

Lensemble est articul en A et C.

Soient E et respectivement le module dYoung et le coefficient dedilatation du matriau.

La poutre OB subit une variation de temprature gale T .

On donne :

L = 0.5 m , c = 40 mm , t = 5 mm

E = 200000 MPa , = 12.5 10-6 K-1

T = 30 K

Rsultats :

Soit A laire de la section droite.

Leffort normal dans les poutres OA, OB et OC est gal :332

AET3N

+

= = -12636 N

Leffort normal dans les poutres AB et BC est gal :3

N= 7296 N

Le dplacement vertical du point O est gal :AE

LN2= -0.09026 mm

Lallongement de la poutre OB est gal :AE

LNLT += = 0.14237 mm

A

B

CO

Exercices 15

E13 : Appui inclin


Problme :

La structure plane reprsente sur la figure ci-dessous est constitue de 2 poutres de mme matriau et demme section droite ( rond creux de diamtre d et dpaisseur t ) . Elle est articule en A et repose en Csur un appui inclin 45 par rapport laxe x. Soit E le module dYoung du matriau.

La poutre BC porte une charge uniformment rpartie dintensit ( 0 , q , 0 ).

On donne :

L = 0.3 m , d = 30 mm , t = 5 mmE = 210000 MPaq = -1000 N/m

Lnergie de dformation due leffort tranchant est nglige.

Modlisation :

Ajouter un changement de repre { x , y } en C, puis dfinir la liaison dans ce repre local.

Rsultats :

Posons :3

Lq2X

= = 200 N

Les actions de liaison sont gales ( dans le repre { x , y } ) :

- en A : ( X , 2 X ) = ( 200 , 400 ) N- en C : ( - X , X ) = ( -200 , 200 ) N

Le moment flchissant en B est gal : - X L = -60 M.m

Soient A et I respectivement laire et le moment quadratique de la section droite. Le dplacementhorizontal de C dans le repre { x , y } est gal :

AE9

Lq12

IE27

Lq6u

24

C += = - 0.27009 mm

A

B C

L

2L

xy

x

y

Section droite 17

Sections droites :caractristiques et

contraintes

S1 : Caractristiques d'une section droite

Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ci-dessous. Soient O le centre de gravit et C lecentre de torsion.

Premire tude :

On donne : H = B = 100 mm , t = 20 mm.

Calculer les caractristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

Deuxime tude :

Pour plusieurs valeurs de l'paisseur t ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractristiques de lasection et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modlisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modliser la section ( section paramtre ) puis activer lemenu Calculer section droite.

Pour la deuxime tude, prendre comme paramtres du maillage : 400 triangles 6 noeuds, coefficient dedilution : 1.2 ( slectionner la commande Paramtres du menuModliser ).

C

Y

ZB

H

t

t

O

18 RDM - Ossatures

Rsultats :

Pour diter les caractristiques, slectionner la commande Caractristiques du menu Fichier.

Premire tude :

On obtient ( la valeur en % reprsente l'cart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage J ( cm4 ) I ( cm6 ) YC ( mm ) kY kZ

100 TR3 72.976.77 %

63792.95 %

-64.780.89 %

0.63312.81 %

0.24082.99 %

400 TR3 70.132.62 %

65110.94 %

-65.100.40 %

0.62190.99 %

0.23661.20 %

20 TR6 71.344.39 %

65350.58 %

-65.010.54 %

0.62281.14 %

0.23781.71 %

100 TR6 68.800.67 %

65630.15 %

-65.260.15 %

0.61740.26 %

0.23480.43 %

150 TR6 68.730.57 %

65630.15 %

-65.260.15 %

0.61740.26 %

0.23470.38 %

400 TR6 68.450.16 %

65700.05 %

-65.320.06 %

0.61630.08 %

0.23410.13 %

2200 TR6 68.34 6573 -65.36 0.6158 0.2338

Deuxime tude :

Les formules de rsistance des matriaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donns dansles rfrences [B6, P1, Y1] :

Jt

h b Ih b t h b

h bY

b

h b

b

h bC= + =

+

+=

+

+

3 2 3 2 2

32

12

2 3

6

3

6 2( )

( )

( )

o h = H - t et b = B - 0.5 t

On obtient ( E.F. = solution lments finis ) :

t J (cm4) I (cm6) YC (mm)

(mm) E.F. R.d.M. ( % ) E.F. R..d.M. ( % ) E.F. R.d.M. ( % )5 1.206 1.208 0.17 2500 2473 1.08 -74.45 -74.71 0.3610 9.286 9.333 0.51 4269 4077 4.50 -72.12 -73.25 1.5720 68.44 69.33 1.29 6569 5393 17.91 -65.32 -70.30 7.7030 211.3 216.0 2.22 7835 5123 34.61 -55.17 -67.47 22.2940 454.9 469.3 3.17 7653 4096 46.48 -41.40 -64.64 56.16

reprsente l'cart entre la solution analytique et la solution lments finis, cette dernire servant derfrence.

Section droite 19

S2 : Torsion dune poutre rectangulaire

Rfrence : S. LAROZE, Mcanique des structures - tome 2, Eyrolles/Masson, 1988, page 112

Problme :

La poutre console reprsente sur la figure est en acier de caractristiques lastiques E et . Sonextrmit libre est soumise un couple de composantes ( 0 , C , 0 ).

On donne : E = 200000 MPa , = 0.3L = 1 m , a = 100 mmC = 100 kN.m

Calculer la constante de torsion de la section droite, la rotation de l'extrmit libre de la poutre et lecisaillement maximal max pour plusieurs maillages de la section.

Modlisation :

Activer le menu Calculer section droite du menuModliser.

Rsultats :

rfrence : J an

thn a C

J n chn

C L

G Jn n=

=

=

=

=

4 5 51 3

221 3

164 1 3

21

8 13

2

, ...max

, ...

, ,

On obtient ( activer le menu Contraintes sur section droite du menu Rsultats ) :

maillage J ( cm4 ) ( rad ) max ( MPa )100 TR3 8040.34 0.0161685 114.77400 TR3 7934.79 0.0163835 119.5950 TR6 7913.64 0.0164273 124.55100 TR6 7902.96 0.0164495 124.64400 TR6 7899.86 0.0164560 124.73rfrence 7899.51 0.0164567 124.75

remarque : le cisaillement est maximal en A et B.

y

L

z

x 3 a

a

Y

Z

AC

Y

Z

B

20 RDM - Ossatures


Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ci-dessous :

Premire tude :

On donne : h = 120 mm b = 100 mm , tw = tf = t = 20 mm.


Deuxime tude :

Pour plusieurs valeurs de l'paisseur t = tw = tf ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer lescaractristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profilsminces.

Modlisation :



h

tw

tf

b

Z

Y

Section droite 21

Rsultats :


Premire tude :


Deuxime tude :

Les formules de rsistance des matriaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donns dans lesrfrences [B6, P1, Y1] :

Jt

h t b Ih t b t

= + =

3 2 3

32

24( )

( )



Maillage J ( cm4 ) I ( cm6 ) kY kZ

100 TR3 84.158.78 %

77662.61 %

0.37453.14 %

0.67684.33 %

400 TR3 80.203.67 %

78831.14 %

0.36761.24 %

0.65911.60 %

100 TR6 78.221.11 %

79460.35 %

0.36460.41 %

0.65150.43 %

200 TR6 77.940.75 %

79530.26 %

0.36420.30 %

0.65080.32 %

400 TR6 77.630.35 %

79630.14 %

0.36370.17 %

0.64980.17 %

800 TR6 77.510.19 %

79670.09 %

0.36340.08 %

0.64930.09 %

4552 TR6 77.36 7974 0.3631 0.6487

t J (cm4) I (cm6)

(mm) E.F. R.d.M. ( % ) E.F. R.D.M. ( % )5 1.306 1.313 0.53 2749 2755 0.2210 10.206 10.333 1.24 4991 5042 1.0220 77.627 80.000 3.06 7963 8333 4.6530 247.74 261.00 5.35 8990 10125 12.6340 546.82 597.33 9.24 8285 10667 28.75

22 RDM - Ossatures


Problme :


Premire tude :

On donne : H = 250 mm L = 100 mm , t = 20 mm.


Deuxime tude :

On donne : H = 250 mm L = 100 mm.

Pour plusieurs valeurs de l'paisseur t ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractristiques de lasection et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modlisation :



H

t

2 t

2 L

ZY

1.5 t

L

Section droite 23

Rsultats :


Premire tude :



100 TR3 473.119.71 %

1256225.08 %

-59.240.49 %

0.33982.81 %

0.51433.86 %

400 TR3 416.75.44 %

1306831.25 %

-59.360.29 %

0.33411.18 %

0.50181.33 %

100 TR6 401.51.59 %

1319130.32 %

-59.480.08 %

0.33210.58 %

0.49730.42 %

200 TR6 398.60.86 %

1320810.20 %

-59.480.08 %

0.33150.39 %

0.49690.34 %

400 TR6 396.60.35 %

1322260.09 %

-59.510.03 %

0.33070.15 %

0.49580.12 %

800 TR6 395.90.18 %

1322790.05 %

-59.520.02 %

0.33050.09 %

0.49550.06 %

2500 TR6 395.2 132342 -59.53 0.3302 0.4952

Deuxime tude :

Les formules de rsistance des matriaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donns dans larfrence [Y1] :

7

tLhI)L75.14h(

3

tJt75.1Hh

323

=+==



t J (cm4) I (cm6)

(mm) E.F. R.d.M. ( % ) E.F. R.D.M. ( % )5 6.96 7.25 4.17 41581 41573 0.0210 53.7 56.9 5.96 77286 77223 0.0820 397 451 13.60 132226 132071 0.1230 1219 1505 23.46 166662 167170 0.3040 2599 3531 35.86 182568 185143 1.41

24 RDM - Ossatures


Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ( UPN 400 ) :

On donne ( en mm ) :

h = 400 b = 110tw = 14 tf = 18r = 18 r1 = 9

Calculer les caractristiques de la section droite pour plusieursmaillages.

Modlisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modliser la section ( bibliothque ) puis activer le menuCalculer section droite.

Rsultats :




100 TR3 101.2525.54 %

1950718.87 %

-48.624.14 %

0.235322.62 %

0.58663.15 %

400 TR3 84.695.01 %

2113691.26 %

-50.490.45 %

0.19752.92 %

0.57020.26 %

100 TR6 81.000.43 %

2071733.22 %

-49.901.62 %

0.20587.24 %

0.57601.28 %

200 TR6 80.750.12 %

2139080.07 %

-50.720.00 %

0.19220.16 %

0.56870.00 %

400 TR6 80.720.09 %

2140760.00 %

-50.740.04 %

0.19190.00 %

0.56850.04 %

800 TR6 80.700.06 %

2141090.02 %

-50.740.04 %

0.19180.05 %

0.56850.04 %

2600 TR6 80.65 214066 -50.72 0.1919 0.5687

h

btwtf

r

r1Y

Z

C

Section droite 25


Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ( IPN 500 ) :


h = 500 b = 185tw = 18 tf = 27r = 18 r1 = 10.8


Modlisation :


Rsultats :



h

b

twtf r

r1

Y

Z


100 TR3 511.2636.72 %

116481611.49 %

0.49902.72 %

0.654626.13 %

400 TR3 398.116.46 %

12985201.33 %

0.48660.16 %

0.53382.85 %

100 TR6 402.157.54 %

12700043.5 %

0.48410.35 %

0.55567.05 %

200 TR6 376.440.67 %

13194750.26 %

0.48410.35 %

0.51710.37 %

400 TR6 375.950.54 %

13209640.37 %

0.48400.37 %

0.51610.56 %

800 TR6 375.440.40 %

13208120.36 %

0.48410.35 %

0.51600.58 %

3200 TR6 373.94 1316060 0.4858 0.5190

26 RDM - Ossatures


Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ( HEM 320 ) :


h = 359 b = 309tw = 21 tf = 40r = 27


Modlisation :


Rsultats :



b

htw

tf r

Z

Y


100 TR3 1754.8116.20 %

48135701.56 %

0.23561.82 %

0.72043.02 %

400 TR3 1607.626.46 %

48576780.66 %

0.23350.91 %

0.70821.27 %

100 TR6 1521.790.77 %

48888560.02 %

0.23150.04 %

0.69970.06 %

200 TR6 1514.090.26 %

48889070.02 %

0.23150.04 %

0.69960.04 %

400 TR6 1511.220.07 %

48897010.01 %

0.23140.00 %

0.69940.01 %

800 TR6 1510.420.02 %

48899380.00 %

0.23140.00 %

0.69930.00 %

3600 TR6 1510.13 4890017 0.2314 0.6993

Section droite 27


Problme :

Considrons la section droite reprsente sur la figure ( cornire ailesingales et coins arrondis : [ 70 x 50 x 7 ] ) :


a = 70 b = 50t = 7 r = 7 r1 = 3.5

Calculer les caractristiques de la section droite pour plusieursmaillages.

Modlisation :


Rsultats :



a

b

t

r r1

Z

Y

Maillage J (cm4) I (cm6) (cm6) YC (mm) ZC (mm) kY kZ

200 TR3 1.45926.73 %

2.930715.45 %

0.730121.05 %

-11.991.64 %

15.931.30 %

0.51712.34 %

0.38913.26 %

400 TR3 1.41753.68 %

3.24886.27 %

0.85917.10 %

-12.070.98 %

16.020.74 %

0.51191.31 %

0.38361.80 %

100 TR6 1.36860.10 %

3.46560.02 %

0.91251.33 %

-12.170.16 %

16.120.12 %

0.50590.12 %

0.37750.19 %

200 TR6 1.36770.04 %

3.46590.01 %

0.92780.32 %

-12.190.00 %

16.140.00 %

0.50530.00 %

0.37680.00 %

400 TR6 1.36730.01 %

3.46610.01 %

0.92430.05 %

-12.190.00 %

16.140.00 %

0.50530.00 %

0.37690.03 %

800 TR6 1.36720.00 %

3.46630.00 %

0.92490.01 %

-12.190.00 %

16.140.00 %

0.50530.00 %

0.37680.00 %

1360 TR6 1.3672 3.4663 0.9248 -12.19 16.14 0.5053 0.3768

28 RDM - Ossatures


Problme :


Premire tude :

On donne : H = 200 mm B = 120 mm , tw = tf = t = 20 mm.


Deuxime tude :

Pour plusieurs valeurs de l'paisseur t = tw = tf ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer lescaractristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profilsminces.

Modlisation :


Pour la deuxime tude, prendre comme paramtres du maillage : 400 triangles 6 noeuds, coefficient dedilution : 1.2 .

H

tw

tf

B

Z

Y

Section droite 29

Rsultats :


Premire tude :


Deuxime tude :

Les formules de rsistance des matriaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donns dansles rfrences [B6, P1, Y1] :

h H t b B t Jt

h b Ih b t b h

b h= = = + =

+

+05

32

12

2

2

3 2 3

. ( )( )

( )



Maillage J ( cm4 ) I ( cm6 ) ( cm6 ) kY kZ

100 TR3 114.358.14 %

837051.13 %

1317930.41 %

0.47721.53 %

0.46551.39 %

400 TR3 110.814.79 %

841860.56 %

1320300.23 %

0.47320.68 %

0.46140.50 %

100 TR6 106.430.65 %

845660.11 %

1322410.07 %

0.47100.21 %

0.45930.04 %

200 TR6 106.080.32 %

845900.08 %

1322680.05 %

0.47070.15 %

0.45920.02 %

400 TR6 105.850.10 %

846270.04 %

1323030.02 %

0.47030.06 %

0.45920.02 %

700 TR6 105.750.01 %

846550.00 %

1323300.00 %

0.47000.00 %

0.45910.02 %

1240 TR6 105.74 84658 132333 0.4700 0.4591

t J (cm4) I (cm6)

(mm) E.F. R.d.M. ( % ) E.F. R.D.M. ( % )5 1.791 1.792 0.06 30337 30335 0.0110 13.96 14.00 0.29 53944 53923 0.0420 105.8 106.7 0.85 84627 84452 0.2130 337.5 342.0 1.33 98495 97945 0.5640 753.0 768.0 1.99 100656 99556 1.0950 1379 1417 2.76 95008 93381 1.7160 2218 2304 3.88 84668 82605 2.44

30 RDM - Ossatures

S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion dvie


Problme :

La poutre console reprsente sur la figure ci-dessous est soumise en son extrmit libre une force decomposantes ( P , 0 , -3P ).

On donne : L = 1 m , a = 100 mm , P = 10000 N

Etudier la contrainte normale dans la section encastre.

Modlisation :

Slectionner l'option Ossature spatiale.

Rsultats :

Solution analytique : dans la section encastre, la contrainte normale est gale :

= +Mf

IY

Mf

IZZ

Z

Y

Y

avec Ia

Ia

Mf P L Mf P LY Z Y Z= = = = 4 4

6

2

33

soit : = 6

0 754

P L

aY Z( . )

La contrainte de traction est maximale en A ( a , -0.5 a ) : TP L

a=

15

2 3= 75 MPa .

La contrainte de compression est maximale en B ( -a , 0.5 a ) : C = -75 MPa .

Mthode des lments finis : pour extraire les rsultats ci-dessus, activer le menu Contraintes sursection du menu Rsultats, dsigner la poutre, puis entrer l'abscisse de la section encastre (commandeAbscisse de la section du menuModliser).

y

L

z

x 2 a

a

Y

Z

AY

Z B

P0-3P

Section droite 31

S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion


Problme :

La structure ABC reprsente sur la figure ci-dessous est compose de deux poutres de section droitecarre ( ct a ). Elle est encastre en A et porte en C une force de composantes ( 0 , 0 , -P ). Soient E et les caractristiques lastiques du matriau.

On donne : E = 200000 MPa , = 0.3 , L = 0.5 m , H = 0.4 m , a = 40 mm , P = 3000 N

Pour plusieurs maillages de la section droite, calculer :

- le dplacement vertical des nuds B et C.

- dans la section encastre, la contrainte de cisaillement et la contrainte quivalente de Von Mises aupoint M.

- dans la section encastre, la position et la valeur du cisaillement maximal.

Modlisation :

Slectionner l'option Ossature spatiale ou l'option Ossature plancher.

Rsultats :

Solution analytique :

le dplacement vertical du noeud B est gal ( kY = 5 / 6 ) :

AkG

LP

IE3

LPw

YZ

3

B = = -2.92969 0.01463 = -2.94431 mm

Hx

Y

Z

z

y

00-P

L

A

C

B

Y

a

Z

M

NA

32 RDM - Ossatures

le dplacement vertical du noeud C est gal ( J = 0.1405770 a4 ) :

AkG

)HL(P

JG

LHP

IE3

)HL(Pw

Y

2

Z

33

C

+

+

+= = -13.09931 0.02633 = -13.12564 mm

en M et dans le repre {XYZ}, le tenseur des contraintes a pour expression :

( )M =

0

0 0 0

0 0

avec : =6

3

L P

aet =

4803873

. H P

a

On obtient donc : = 140.63 MPa et = - 90.07 MPa.

On en dduit la contrainte quivalente de Von Mises : VM = +2 23 = 210.03 MPa

Le cisaillement est maximal en N. En ce point, le tenseur des contraintes a pour expression :

( )N =

0 0

0 0

0 0 0

avec = 4 80387 3

23 2. H P

a

P

a

Le cisaillement maximal est donc gal : max = = 92.89 MPa.

Remarque : le deuxime terme de l'expression ci-dessus est d l'effort tranchant.

Mthode des lments finis :

Dplacements ( utiliser le bouton droit de la souris ) :

sans cisaillement avec cisaillementmaillage wB ( mm ) wC ( mm ) wB ( mm ) wC ( mm )50 TR3 -2.92969 -12.91785 -2.94308 -12.94196400 TR3 -13.05862 -2.94414 -13.0846450 TR6 -13.08275 -2.94431 -13.10906400 TR6 -13.09886 -13.12519rfrence -2.92969 -13.09931 -2.94431 -13.12564

Contraintes : pour extraire les rsultats demands, activer le menu Contraintes sur section du menuRsultats, dsigner la poutre AB, puis entrer l'abscisse de la section encastre (commande Abscissede la section du menuModliser).

maillage max ( MPa ) VM ( MPa )100 TR3 86.27 205.20400 TR3 89.93 206.59100 TR6 92.49 209.66400 TR6 92.77 209.89rfrence 92.89 210.03

Section droite 33

S12 : Cisaillement du l'effort tranchant

Rfrence : thorie lmentaire du cisaillement

Problme :

La poutre console reprsente sur la figure est constitue d'une demi-poutrelle IPE 500.

L'extrmit de la poutre est soumise une force de composantes ( 0 , 0 -100 ) kN.

Calculer le cisaillement au centre de gravit O et le cisaillement maximal pour plusieurs maillages.

Rsultats :

Activer le menu Contraintes sur section du menu Rsultats.

Solution analytique : au centre de gravit de la section, le cisaillement du l'effort tranchant TY est gal :

OY

Z w

T S

I t= ( thorie lmentaire du cisaillement )

o S est le moment statique par rapport l'axe Z de la surface de la section situe au dessus de l'axe Z

Les caractristiques de la section sont ( commande Caractristiques du menu Fichier ) :

IZ = 3262.67 cm4 S = 183.98 cm3 tw = 10.2 mm

d'o O = 55.28 MPa.

Mthode des lments finis : on obtient ( pour extraire la quantit O , effectuer une coupe droiteparallle Y au voisinage de O ) :

maillage max ( MPa ) O ( MPa )100 TR3 55.53 55.53400 TR3 55.35 55.34100 TR6 57.02 55.58400 TR6 56.90 55.28

250

10.2

200

16 21

Y

Z

O

y

z

x

00-100

kN

Y

Z

1 m

34 RDM - Ossatures

S13 : Contrainte normale dans une poutre section droite variable


Problme :

La poutre droite AB de longueur L est encastre en A. Soit E le module d'Young du matriau. La sectiondroite est un rond plein dont le diamtre varie linairement entre les noeuds A et B. La poutre porte en Bune force de composantes ( 0 , -P ).

On donne :

L = 1 m , dA = 100 mm , dB = 50 mm

P = 10000 N

Etudier la contrainte normale le long de la poutre.

Rsultat :

Solution analytique : la contrainte normale maximale dans la section droite d'abscisse x est gale :

=

323

P L x

d

( )

o le diamtre d de la poutre est gal : d d dx

Ld

x

LA B A B+ = ( ) ( )2

Cette contrainte normale est maximale dans la section d'abscisse 0.5 L et vaut alors :

max =128

27 3P L

d B= 120.72 MPa

Mthode des lments finis : activer le menu Poutre du menu Rsultats :

max = 120.72 MPa x = 0.5 m

y

L

B

P

x dB

dA=2 dB

A

Section droite 35

S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion dvie


Problme :

La poutre droite AB de longueur L est encastre en A. La section droite est une cornire ailes ingales (grande aile : a , petite aile : b , paisseur : t ).

La poutre porte en B une force de composantes ( 0 , 0 , -P ).

On donne : L = 0.8 m , a = 100 mm , b = 60 mm , t = 9 mm , P = 1000 N .

Etudier la contrainte normale dans la section encastre.

Modlisation :

- Slectionner l'option Ossature spatiale.- Pour crer la poutre, dsigner le point B puis le point A.- Modifier l'orientation angulaire de la poutre.

Rsultats :


Les composantes de la charge dans le repre { XYZ } sont ( 0, P cos , -P sin ). Dans la sectionencastre, la contrainte normale est donc gale :

= + = +Mf

IY

Mf

IZ

P L

IY

P L

IZZ

Z

Y

Y Z Y

cos sin

avec : IY = 22.9774 cm4 et IZ = 153.1764 cm

4

La contrainte de traction est maximale en M (-27.629 mm , 25.498 mm ) : T = 43.65 MPa .

La contrainte de compression est maximale en N ( 63.412 mm , -16.841 mm ) : C = -51.02 MPa .

Mthode des lments finis :

Pour extraire ces rsultats, activer le menu Contraintes sur section du menu Rsultats, puis entrerl'abscisse de la section encastre ( commande Abscisse de la section du menuModliser ).

BL

A

x

z

y

Y

Z

M

N

A

t

a

b

00-P

36 RDM - Ossatures

S15 : Section droite parois minces

Rfrence : A. BAZERGUI, T. BUI-QUOC, A. BIRON, G. McINTYRE, C. LABERGE,Rsistance des matriaux, Recueil de problmes - tome 1, exercice 16.7Editions de l'Ecole Polytechnique de Montral

Problme :

Les deux sections droites parois minces reprsentes sur la figure ci-dessous ont une paisseurconstante t.

On donne : a = 100 mm t = 10 mm.

Calculer pour chaque section droite :

- les caractristiques en utilisant plusieurs maillages.

- la contrainte moyenne de cisaillement dans la paroi en A et B quand la section droite est soumise un moment de torsion MX = 10000 N.m

Modlisation :

Modliser une poutre console spatiale soumise un moment de torsion.

Dfinir la section ( gomtrie importe : fichier IGES ou .GEO ).

2aa

a

2a

Section I Section II

a

Z

Y

C

Y

Z

C

A

B

OO

Section droite 37

Rsultats :

Pour valuer les caractristiques, activer le menu Calculer section droite du menuModliser.

Pour valuer les contraintes, activer le menu Contraintes sur section droite du menu Rsultats.

Section I ( section ouverte ) :

Rfrence ( rsistance des matriaux ) :

J a t a t cm= + =2 20202 2 4( ) , AXM

t a tMPa=

+=

424 75

2 2( ). , B

XM

a a tMPa=

+=

24 95

2 2( ).

On obtient :

- caractristiques :

- contraintes moyennes : A = 24.54 MPa B = 4.70 MPa ( ~ 900 triangles 6 nuds )

Section II ( section ferme ) :

Rfrence ( rsistance des matriaux ) :

J a t cm= =10 100003 4 AXM

a tMPa= =

20500

2. B

XM

a tMPa= =

1010 00

2.

On obtient :

- caractristiques :

- contraintes moyennes : A = 5.10 MPa B = 9.90 MPa ( ~ 900 triangles 6 nuds )

Maillage J (cm4) I (cm6) ZC (mm) kY kZ

270 TR3 2190 2015578 -248.69 0.1184 0.42381000 TR3 2153 2021152 -248.69 0.1175 0.4204160 TR6 2140 2022219 -248.67 0.1172 0.4192220 TR6 2137 2022294 -248.66 0.1171 0.4188900 TR6 2131 2022509 -248.64 0.1169 0.41791800 TR6 2129 2022511 -248.63 0.1168 0.4176

Maillage J (cm4) I (cm6) ZC (mm) kY kZ

240 TR3 10577 578053 -66.06 0.3281 0.3735850 TR3 10480 578457 -66.06 0.3249 0.3699170 TR6 10427 579207 -66.00 0.3237 0.3684240 TR6 10414 579239 -66.01 0.3231 0.3678850 TR6 10388 579895 -66.07 0.3221 0.36671900 TR6 10379 579995 -66.09 0.3217 0.3663

38 RDM - Ossatures

S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire

Rfrence : Rsistance des matriaux : cisaillement dans les poutres parois minces

Problme :

Considrons la poutre console dont la section droite ( caisson rectangulaire deux cloisons ) estreprsente ci-dessous. Les parois et les cloisons ont la mme paisseur t.

On donne : a = 500 mm , t = 20 mm.

Premire tude :


Deuxime tude :

La section droite est soumise un moment de torsion MX = 1000 kN.m .

Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en A, B et C.

Troisime tude :

La section droite est soumise un effort tranchant TY = 1000 kN .

Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en en A, B et C.

Modlisation :

Modliser une poutre console spatiale.

La section droite est paramtre : [ 1000 2000 1000 20 20 20 ] mm

C

A

BO

Y

Z

2 a

a a a a

Section droite 39

Rsultats :

Premire tude : caractristiques

rfrence : ta5

112J 3= = 5600 103 cm4

On obtient :

Deuxime tude : cisaillement d au couple de torsion Mx

rfrence :ta56

Mavec34

2X

BCA ====

On obtient ( ~ 1000 triangles 6 nuds ) :

rfrence RDM-OssaturesA 14.29 MPa 14.33 MPaB 3.57 MPa 3.61 MPaC 10.71 MPa 10.76 MPa

Troisime tude : cisaillement d leffort tranchant TY

rfrence :ta32

Tavec450 YCBA ====


rfrence RDM-OssaturesB 15.63 MPa 15.63 MPaC 12.50 MPa 12.52 MPa

Maillage J ( cm4 ) kY kZ100 TR3 5752 103 0.4385 0.4550400 TR3 5683 103 0.4337 0.4502100 TR6 5664 103 0.4322 0.4486400 TR6 5650 103 0.4315 0.44751000 TR6 5648 103 0.4313 0.4473

40 RDM - Ossatures

S17 : Cisaillement dans un profil mince ferm et simplement cloisonn

Rfrence : S. LAROZE, M. LORRAIN,Mcanique des structures tome II bis: exercices poutres, ENSAE, 1989, pages 133,167

Problme :

Considrons le gouvernail de profondeur dont la section droite est reprsente ci-dessous.

On donne : L = 600 mm , R = 75 mm , t1 = 2 mm , t2 = 4 mm , t3 = 3 mm.

Premire tude :

Evaluer les caractristiques de la section : constante de torsion de Saint Venant J, constante degauchissement I, position du centre de cisaillement C, coefficients d'aire cisaille ( kY , kZ ).

Deuxime tude :

Evaluer le cisaillement moyen dans les parois 1, 2 et 3 quand la section droite est soumise un couple detorsion Mt = 10000 N.m.

Troisime tude :

La section droite est soumise un effort tranchant TY = 10000 N. Evaluer le cisaillement maximal.

2 3 1

t3

t2

t1L

Z

YOC

R

A

B

Section droite 41

Rsultats :

Premire tude : caractristiques de la section

Rfrence : J = 1809 cm4.

On obtient :

Deuxime tude : cisaillement d au couple de torsion


rfrence RDM - Ossatures1111 42.90 MPa 43.24 MPa2 32.24 MPa 32.16 MPa3 14.39 MPa 14.06 MPa

Troisime tude : cisaillement d l'effort tranchant TY

rfrence : le cisaillement est maximal en A et B et vaut : max = 5.16 MPa.

On obtient ( maillage : ~ 1000 triangles 6 nuds ) : max = 5.23 MPa.


200 TR3 1828 531 -200.6 0.6166 0.0958400 TR3 1820 297 -201.1 0.6146 0.0949200 TR6 1819 370 -201.4 0.6140 0.0946400 TR6 1816 343 -201.2 0.6136 0.09431200 TR6 1815 334 -201.2 0.6134 0.0942

42 RDM - Ossatures

S18 : Flexion - torsion


Problme :

La structure ABC reprsente sur la figure ci-contre estconstitue de deux poutres identiques de longueur L.Soient E et les caractristiques lastiques du matriau.L'ensemble est encastr en A. Les poutres AB et BCportent une charge uniformment rpartie d'intensitlinique ( 0 , 0 , p ).

On donne :

E = 200000 MPa , = 0.3

L = 0.6 m , section droite : IPN 180

p = - 1000 N/m

Dans chacun des cas suivants et pour plusieurs maillages de la section droite, valuer le dplacementvertical des points B et C.

C

z

x

A

B

y

Cas 2

Y

Y

Z

Z

Cas 1

Y

YZ

Z

Section droite 43

Rsultats :

Les caractristiques J, kY utilises dans la solution analytique sont extraites de la bibliothque deprofils ( maillage = 4 x 1993 triangles 6 nuds ).

Cas 1 :

Rfrence :

AkG2

Lp3

IE24

Lp11w

Y

2

Z

4

B += = - 0.02057 - 0.00582 = - 0.02638 mm

JG2

Lp

AkG

Lp2

IE12

Lp7w

4

Y

2

Z

4

C ++= = - 0.02618 - 0.00775 - 9.28441 = - 9.31834 mm

On obtient :

sans cisaillement avec cisaillementNombre dlments wB ( mm ) wC ( mm ) wB ( mm ) wC ( mm )

400 TR3 -0.02057 -8.46166 -0.02635 -8.46937800 TR3 -8.83228 -0.02638 -8.84003400 TR6 -9.25606 -0.02640 -9.26384800 TR6 -9.26805 -0.02641 -9.27583

bibliothque -9.31059 -0.02638 -9.31834rfrence -0.02057 -9.31059 -0.02638 -9.31834

Cas 2 :

Rfrence :

AkG2

Lp3

IE24

Lp11w

Z

2

Y

4

B += = - 0.36576 - 0.00444 = - 0.37020 mm

JG2

Lp

AkG

Lp2

IE12

Lp7w

4

Z

2

Y

4

C ++= = - 0.46551 - 0.00592 - 9.28441 = - 9.75584 mm

On obtient :

sans cisaillement avec cisaillementNombre dlments wB ( mm ) wC ( mm ) wB ( mm ) wC ( mm )

400 TR3 -0.36576 -8.90356 -0.37000 -8.90921800 TR3 -9.27178 -0.37071 -9.27759400 TR6 -9.69548 -0.37022 -9.70143800 TR6 -9.70751 -0.37023 -9.71347

bibliothque -9.74992 -0.37020 -9.75584rfrence -0.36576 -9.74992 -0.37020 -9.75584

44 RDM - Ossatures

S19 : Contraintes dans une poutre section droite variable


Problme :

La poutre droite AB de longueur L est encastre en A. La section droite est un carr plein dont le ctvarie linairement entre les noeuds A et B.

La poutre est soumise en B :

- une force de composantes ( N , F , 0 )

- un couple de composantes ( 0 , 0 , C ).

On donne : L = 1 m , a = 10 mm , N = 1000 N , F = 1 N , C = 1 Nm

Evaluer les contraintes normales en A et B.

Rsultats :


MPa4a

)LFC(3N

a4

12infA

=

+

+= , MPa1a

)LFC(3N

a4

12supA

=

+

=

MPa16a

C6N

a

12infB

=

+= , MPa4a

C6N

a

12supB

=

=

Mthode des lments finis : pour extraire ces rsultats, activer le menu Poutre du menu Rsultats, puisentrer l'abscisse de la section ( commande Valeur en un point du menu Rsultats ).

y

L

B

x

A

2a

a

Flambement 45

Flambement eulrien

F1 : Ossature plane

Rfrence : S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE, Thorie de la stabilit lastique, Dunod, 1966, page 69

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de trois poutres droites soudes entre elles.L'ensemble est li l'extrieur par une rotule en A et C, un appui simple en B. La structure est en acier demodule dYoung E. Les poutres ont une section droite rectangulaire ( b , t ). Le noeud B porte une forcede composante ( F , 0 ).

On donne : E = 200000 MPa , t = 20 mm , b = 100 mm , L = 1 m , F = -10 kN

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Rsultats :

La charge critique est gale : FE I

LC

Z=

1392

.= 18.53 kN

Le coefficient de charge critique est donc gal : C = 18.53 .

On obtient avec RDM-Ossatures :

Nombre dlments C3 24.825 18.7010 18.5320 18.52

y

x

0.5 L

L L

( F , 0 )

A B

Ct

b

46 RDM - Ossatures

F2 : Poutre droite

Rfrence : Z.P BAZANT, L. CEDOLIN, Stability of structures, Oxford, 1991, page 70

Problme :

Lossature plane reprsente sur la figure est constitue de deux poutres droites de longueur L et desection rectangulaire. Elle est lie l'extrieur par une rotule en A et un appui simple en B. Soit E lemodule dYoung du matriau. La poutre porte en C une force ( - P , 0 ).

On donne :

L = 0.8 m , b = 25 mm , t = 10 mm ( IZAB = 2 IZBC )

E = 210000 MPa

P = 1000 N


Rsultats :

La charge critique est gale : PE I

LC

Z= 01813

2

2.

= 1223 N. On en dduit C = 1.223 .


Nombre dlments C2 1.2274 1.22310 1.223

x

y

L

A B P

L

C

t

b2b

t

Flambement 47

F3 : Poutre droite section variable

Rfrence : S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE, Thorie de la stabilit lastique, Dunod, 1966, page 127

Problme :

La poutre droite AB de longueur L est encastre en A. Soit E le module dYoung du matriau. La sectiondroite est un rond plein dont le diamtre varie linairement entre les noeuds A et B. La poutre porte en Bune force ( - P , 0 ).

On donne :

L = 1.2m , dA = 50 mm , dB = 28.117 mm ( IZB = 0.1 IZA )

E = 200000 MPa

P = 10000 N


Rsultats :

La charge critique est gale : PE I

LC

Z= 1202 1

2. = 51218 N. On en dduit C = 5.1218 .


Nombre dlments C1 5.3222 5.15410 5.127

y

L

B

Px

A

dB

dA

48 RDM - Ossatures

F4 : Poutre console - flexion-torsion


Problme :

La poutre droite AB ( ossature spatiale ), reprsente sur la figure, a une longueur L et une sectionconstante ( rectangle plein : b, t ). Elle est en acier de constantes lastiques E et . Elle est encastre enA.

Cas de charge 1 : le noeud B porte une force ( 0 , 0 , - P ).

Cas de charge 2 : la poutre porte une charge uniformment rpartie sur toute sa longueur ( 0 , 0, - q ).

Cas de charge 3 : le noeud B porte un couple ( M , 0 , 0 ).

On donne :

L = 1.2 m , b = 100 mm , t = 6 mmE = 200000 MPa , = 0.3P = 100 N , q = 100 N/m , M = 100 Nm

Pour chaque cas de charge, calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages etplusieurs hypothses de calcul ( petites rotations / rotations modres ).

Modlisation :

La poutre est une ossature spatiale.

Pour valuer la constante de torsion de Saint Venant, activer le menu Calculer section droite ( ~ 600triangles 6 noeuds ). Les caractristiques de la section sont : IY = 0.18 cm

4 , J = 0.6928 cm4.

b

t

L

z

xA

y

B

Y

Z

Y

Z

Flambement 49

Rsultats :

Cas 1 :

La charge critique est gale :

FL

E I G JC Y=4 0126

2

.= 1221 N ( petites rotations / rotations modres )

Le coefficient de charge critique est donc gal : C1 = 12.21

Cas 2 :

La charge critique est gale :

qL

E I G JC Y=12 85

3

.= 3257 N/m ( petites rotations / rotations modres )


Cas 3 :

hypothse petites rotations :

La charge critique est gale : ML

E I G JC Y=

2= 573.4 Nm


hypothse rotations modres :

La charge critique est gale : ML

E I G JC Y=

= 1146.7 Nm


remarque : quand les rotations ne sont pas petites, le rsultatdpend de la manire dont le couple extrieur est appliqu. Lersultat ci-dessus est obtenu avec un couple semi-tangentiel [Z2].

On obtient avec RDM :

Nombre dlments C 1 C 2 C 3 C41 18.25 57.48 6.322 12.6442 13.05 38.61 5.882 12.6443 12.54 34.74 5.799 11.99510 12.24 32.75 5.739 11.51420 12.21 32.62 5.735 11.479

solution analytique 12.21 32.57 5.734 11.467

X

50 RDM - Ossatures

F5 : Lame querre - flexion-torsion

Rfrence : J.H. ARGYRIS, O. HILPERT, G.A. MALEJANNAKIS, D.W. SCHARPF, On thegeometrical stiffness of a beam in space - a consistent v. w. approach - CMAME, vol 20 (1979) 105-131

Problme :

La structure spatiale reprsente sur la figure estcompose de deux poutres droites de longueur L et desection constante ( rectangle plein : b , t ). Elle estencastre en A.

Soient E et les constantes lastiques du matriau.

Le noeud B porte une force ( 0 , P , 0 ) o P peut trepositif ou ngatif.

On donne :

L = 240 mm b = 30 mm t = 0.6 mm

E = 71240 MPa = 0.31

P = 1 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothses decalcul ( petites rotations / rotations modres ).

Modlisation :

Modliser la section droite comme une section quelconque :

logo = 5 , A = 0.18 cm2 , IY = 0.000054 cm4 , IZ = 0.135 cm

4 , constante de torsion = 0.000216 cm4

Rsultats :

Rfrence ( avec 2 x 10 lments ) :

hypothse petites rotations : C ( P > 0 ) = 0.5507 , C ( P < 0 ) = 0.4214hypothse rotations modres : C ( P > 0 ) = 1.0880 , C ( P < 0 ) = 0.6804

On obtient avec RDM - Ossatures :

petites rotations rotations modresNombre dlments C ( P > 0 ) C ( P < 0 ) C ( P > 0 ) C ( P < 0 )

2 x 1 0.5604 0.4269 1.1754 0.70852 x 2 0.5531 0.4227 1.1101 0.68732 x 10 0.5507 0.4214 1.0880 0.68042 x 20 0.5506 0.4213 1.0873 0.6802

y

z

x

L

L

b

t

B

A

P

Y

Z

Y

Z

Flambement 51

F6 : Lame querre - flexion-torsion

Rfrence : J.H. ARGYRIS, O. HILPERT, G.A. MALEJANNAKIS, D.W. SCHARPF, On thegeometrical stiffness of a beam in space - a consistent v. w. approach - CMAME, vol 20 (1979) 105-131

Problme :

La structure spatiale reprsente sur la figure est compose de deux poutres droites de longueur L,perpendiculaires entre elles et de section constante ( rectangle plein : b , t ).

Soient E et les constantes lastiques du matriau.

Les conditions aux limites sont :

noeud A : u = v = w = y = z = 0noeud C : u = w = y = z = 0

Cas de charge 1 :

noeud A : un couple de composante ( -M , 0 , 0 )noeud C : un couple de composantes ( M , 0 , 0 )

o M peut tre positif ou ngatif.

Cas de charge 2 :

noeud B : une force de composantes ( 0 , 0 , P )

o P peut tre positif ou ngatif.

On donne :

L = 240 mm , b = 30 mm , t = 0.6 mmE = 71240 MPa , = 0.31M = 1 Nmm , P = 1 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothses decalcul ( petites rotations / rotations modres ).

x y

z

A

C

b

t

L

L

Y

Z

Z

Y

B

M-M

P

52 RDM - Ossatures

Modlisation :

Modliser la section droite comme une section quelconque :

logo = 5 , A = 0.18 cm2 , IY = 0.000054 cm4 , IZ = 0.135 cm

4 , constante de torsion = 0.000216 cm4

Rsultats :

Cas de charge 1 :


hypothse petites rotations : C ( M > 0 ) = 315.79 , C ( M < 0 ) = 937.84hypothse rotations modres : C ( M > 0 ) = 624.77 , C ( M < 0 ) = 624.77

On obtient ( 4 modes demands, prcision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

petites rotations rotations modresNombre dlments C ( M > 0 ) C ( M < 0 ) C ( M > 0 ) C ( M < 0 )

2 x 4 317.31 985.38 638.30 638.302 x 10 315.79 937.84 624.77 624.772 x 20 315.58 931.14 622.85 622.852 x 50 315.51 929.27 622.31 622.31

Remarque : la charge critique thorique ( hypothse rotations modres ) est gale :

ML

E I G J NmmC Y= =

622 21.

pour M positif ou ngatif [T3]. Cette valeur est indpendante de langle que font entre elles les deuxpoutres.

Cas de charge 2 :


hypothse petites rotations : C ( P > 0 ) = 19.326 , C ( P < 0 ) = 2.419hypothse rotations modres : C ( P > 0 ) = 11.744 , C ( P < 0 ) = 3.947

On obtient ( 5 modes demands, prcision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

petites rotations rotations modresNombre dlments C ( P > 0 ) C ( P < 0 ) C ( P > 0 ) C ( P < 0 )

2 x 4 15.419 2.420 12.265 3.9512 x 10 14.908 2.419 11.744 3.9472 x 20 14.836 2.419 11.672 3.946

remarque : la valeur C ( P>0 , hypothse petites rotations ) donne dans la rfrence correspond aupremier mode symtrique. On obtient ( 5ime valeur propre ) : 19.326 avec 20 lments.

Flambement 53

H

F7 : Flambement dun mt vertical sous son poids propre

Rfrence : J. COURBON, Stabilit de lquilibre lastique, Les Techniques de lIngnieur, C 2040

Problme :

Le mt reprsent sur la figure ci-contre est encastr sa base et libre son extrmitsuprieure. Ce mt de hauteur H, de section droite constante : rond plein de diamtre Dest soumis son poids propre. Soient E le module dYoung du matriau et sa massevolumique. Soit g lacclration de la pesanteur.

On donne :

H = 4 m , D = 30 mmE = 200000 MPa , = 7800 kg/m3g = 10 m/s2

Evaluer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Rsultats :

La charge critique par unit de longueur est gale :3Z

CH

IE8373.7p = = 973.804 N/m. Le poids

propre par unit de longueur est gal : g4

Dp

2

= = 55.035 N/m. On en dduit C = 17.662 .


Nombre dlments C1 17.7792 17.7073 17.6734 17.66610 17.662

54 RDM - Ossatures

F8 : Flambement dune poutre droite


Problme :

La poutre droite reprsente ci-dessous, de longueur L = 1.2 m et de section droite constante ( rectangleplein : 20 x 100 mm ) est en acier de module Young E = 200000 MPa. Elle porte son extrmitsuprieure une force de composantes ( 0 , P = -1000 N ).

Calculer le coefficient de charge critique pour les conditions aux limites suivantes :

Cas 1 2 3 4Base encastrement rotule encastrement encastrementExtrmit suprieure libre u = 0 u = 0 u = 0 , z = 0

Rsultats :

Rfrence : C1 = 0.25 , C2 = , C3 = 2.04575 , C4 = 4 avec 2Z

2

LP

IE=

On obtient :

Nombre dlments C 1 C 2 C 3 C41 23.018 111.110 - -2 22.858 92.073 191.750 -3 22.849 91.530 188.100 373.5504 22.847 91.432 187.340 368.3005 22.847 91.405 187.110 366.72020 22.846 91.385 186.950 365.550

solution analytique 22.846 91.385 186.951 365.541

L

y

x

Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4

Flambement 55

F9 : Flambement dun cadre

Rfrence : C. MASSONNET, Rsistance des matriaux, Dunod, 1968, page 410

Problme :

Le cadre ABCD reprsent sur la figure ci-contre est constitu dequatre poutres de longueur L et de section droite constante :rectangle plein ( cY , cZ ). Soit E le module dYoung du matriau.Le cadre est articul en A et D. Il porte en B et C deux forcesgales de composantes ( 0 , -P ).

On donne :

L = 0.6 m , cY = 10 mm , cZ = 50 mmE = 200000 MPaP = 1000 N

Calculer le coefficient de charge critique C quand le dplacementhorizontal du point B est libre et quand celui-ci est nul.

Rsultats :

Premire tude : le nud B est libre

La charge critique est gale :2Z

CL

IE68783.5P = = 13166 N. On en dduit C = 13.166 .


Nombre dlments C4 13.1948 13.18112 13.16816 13.165

rfrence 13.166

Deuxime tude : le dplacement horizontal du nud B est nul

La charge critique est gale :2Z

CL

IE4634.16P = = 38110 N. On en dduit C = 38.110 .


Nombre dlments C4 -8 38.46812 38.20916 38.14440 38.111

rfrence 38.110

0-P

0-P

x

y

B

A

C

D

L

L

Modes propres 57

Modes propres

D1 : Treillis plan noeuds articuls

Rfrence : M. GRADIN, D. RIXEN, Thorie des vibrations, Masson, 1996 , page 265

Problme :

L'ossature plane reprsente sur la figure est constitue de neuf poutres droites articules entre elles. Elleest lie l'extrieur par une rotule en O et un appui simple en E. Les poutres sont des carrs creux de ctd et d'paisseur t. Soient E le module d'Young du matriau et sa masse volumique.

On donne :

L = 1 m d = 40 mm t = 5 mm

E = 200000 MPa = 8000 kg m-3

Calculer les 9 premires frquences propres.

Modlisation :

Pour obtenir les vibrations de membrane, ne pas discrtiser les poutres.

Rsultats :

On obtient ( frquences en Hz ) :

Mode rfrence RDM - Ossatures1 171.40 171.392 290.50 290.489 1663.5 1663.41

L L L

L

y

x

O

E

58 RDM - Ossatures

D2 : Poutre droite section variable

Rfrence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 200

Problme :

La poutre droite ( 1-2 ) de longueur L est encastre en 1. Soient E le module dYoung du matriau et samasse volumique. La section droite est un rectangle plein dont les dimensions varient linairement entreles noeuds 1 et 2.

On donne : L = 1 m , E = 200000 MPa , = 7800 kg m-3

hY1 = 40 mm , hZ1 = 50 mm

hY2 = 10 mm , hZ2 = 10 mm

Calculer les 5 premires frquences propres.

Modlisation :

Modliser la poutre comme une ossature plane. Utiliser plusieurs maillages.

Rsultats :

On obtient ( frquences en Hz ) pour les modes de flexion :

Mode rfrence 1 lment 2 lments 5 lments 10 lments1 56.55 37.43 54.96 56.52 56.552 175.79 - 169.52 175.09 175.693 389.01 - 334.59 385.40 388.364 702.36 - 644.29 701.07 700.125 1117.63 - - 1179.07 1112.65

y

L

2

x

1

Modes propres 59

D3 : Vibrations transversales dune poutre droite bi-encastre

Rfrence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 108

Problme :

Lossature plane reprsente sur la figure est constitue dune poutre droite ( 1-2 ) de longueur L et desection constante : carr plein de ct c. Elle est encastre en 1 et 2. Soient E le module dYoung dumatriau et sa masse volumique.

On donne : L = 1 m , E = 210000 MPa , = 7800 kg m-3

c = 10 mm

Calculer les 5 premires frquences propres en utilisant plusieurs maillages.

Rsultats :

rfrence :

fh

L

E I

Aii Z

=

1

2

2

2 avec hi = 4.73004 , 7.85320 , 10.9956 , 14.1372 , 17.2788


Mode rfrence 2 lments 3 lments 10 lments 20 lments1 53.34 54.20 53.55 53.34 53.332 147.02 195.38 149.93 147.03 147.003 288.22 - 348.62 288.39 288.124 476.45 - 692.49 477.37 476.195 711.73 - - 715.02 711.22

L

y

x

1 2

60 RDM - Ossatures

D4 : Portique plan

Rfrence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 230

Problme :

Lossature plane reprsente sur la figure est constitue de 6 poutres droites de section constante :rectangle plein ( b , h ). Elle est encastre en A et B. Soient E le module dYoung du matriau et samasse volumique.

On donne :

b = 29 mm , h = 4.8 mm

E = 210000 MPa , = 7800 kg/m3

Le cisaillement transversal est nglig.


Rsultats :


Mode rfrence 6 lments 20 lments 60 lments1 8.8 8.79 8.78 8.782 29.4 29.52 29.44 29.443 43.8 52.93 43.87 43.854 56.3 86.77 56.35 56.305 96.2 118.64 96.41 96.1813 335 - 343.36 335.48

x

y

OA B

CD

EF

0.3 m0.3 m

0.36 m

0.81 m

traverses

b

h

b

h

poteaux

Y

Z

Y

Z

Y

Y

Modes propres 61

D5 : Ossature spatiale

Rfrence : M. PETYT, Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press,1990, page 108.

Problme :

Lossature spatiale reprsente sur la figure est constitue de 16 poutres droites. Elle est encastre sabase. Soient E et les caractristiques lastiques du matriau et sa masse volumique.

On donne : E = 219900 MPa , = 0.3 , = 7900 kg m-3

Le cisaillement est nglig ( hypothse de Bernoulli ).


Rsultats :


Mode rfrence 16 lments 32 lments 64 lments 128 lments1 11.8 11.81 11.81 11.81 11.813 15.38 15.38 15.38 15.384 34.1 34.13 34.11 34.11 34.116 43.28 43.25 43.24 43.247 134.76 122.05 121.59 121.5610 178.04 153.70 152.81 152.75

1 m

1 m

1 m

1 m

AA

B

B

Poutres verticales :carrs pleins de ct 50 mm

Poutres horizontales :rectangles pleins ( 50 x 150 ) mm

BB

A A

62 RDM - Ossatures

D6 : Ossature plancher

Rfrence : J.P REZETTE, F. LELEUX, Calcul dynamique des structures par la mthode des lmentsfinis, Les notes techniques du CETIM, 1974, page 58.

Problme :

Lossature plancher reprsente sur la figure est constitue de 40 poutres droites ( ronds pleins dediamtre 0.01 m ). Soient E et les caractristiques lastiques du matriau et sa masse volumique. Lesnuds extrieurs reposent sur un appui simple.

On donne : E = 200000 MPa , = 0.3 , = 8000 kg m-3

Le cisaillement est nglig ( hypothse de Bernoulli ).


Modlisation :

Ossature plancher paramtre : numro 50 [ L = 0.8 m , H = 0.4 m , N = M = 4 ]

Rsultats :


Mode rfrence 40 lments 80 lments 160 lments 320 lments1 96 96 96 96 962 165 165 165 165 1653 278 278 276 275 2754 306 306 301 300 3005 369 370 361 361 3616 468 469 453 452 452

z

yx

Modes propres 63

D7 : Vibrations transversales dune poutre droite libre


Problme :

Lossature plane reprsente sur la figure est constitue dune poutre droite ( 1-2 ) de longueur L et desection constante : carr plein de ct c. Soient E le module dYoung du matriau et sa massevolumique.

On donne : L = 1.2 m , E = 210000 MPa , = 7800 kg m-3

c = 20 mm

Le cisaillement transversal est nglig ( hypothse de Bernoulli ).

Problme : tudier les 5 premiers modes propres lastiques en utilisant plusieurs maillages.

Calcul :

Introduire un dcalage spectral gal 20 Hz ( il y a 3 modes rigides ).

Rsultats :

Rfrence :

A

IE

L2

hf Z

2

2i

i = avec hi = 4.73004 , 7.85320 , 10.9956 , 14.1372 , 17.2788


Mode rfrence 10 lments 20 lments 40 lments1 74.08 74.04 74.04 74.042 204.20 203.99 203.95 203.943 400.31 399.81 399.47 399.454 661.73 661.14 659.67 659.575 988.52 988.91 984.31 983.97

L

y

x

1 2

64 RDM - Ossatures

D8 : Premier mode propre dune poutre console avec masses


Problme :

La poutre console de longueur L reprsente sur la figure ci-dessous est un rectangle plein de base b et dehauteur h. Soient E et les caractristiques lastiques du matriau et sa masse volumique. La poutreporte une masse ponctuelle M son extrmit et une masse uniformment rpartie sur toute sa longueurdintensit m.

On donne : L = 0.8 m , E = 200000 MPa , = 0.3 , = 7800 kg m-3

b = 100 mm h = 10 mm

M = 2 kg , m = 4 kg/m

Le cisaillement transversal est nglig ( hypothse de Bernoulli ).

Problme : tudier le premier mode propre en utilisant plusieurs maillages.

Rsultats :

Rfrence :

( )L)mA(24267.0MLIE3

2

1f

3Z

++=


Maillage M = m = 0 M , m = 0 M = 0 , m M , m1 lment 12.84 8.43 8.95 6.982 lments 12.79 8.42 10.00 7.453 lments 12.78 8.42 10.21 7.5520 lments 12.78 8.42 10.39 7.62rfrence 12.78 8.39 10.39 7.59

L

y

x

1 2

m M

rdm29.1

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