"RAYONNEMENT ET ANTENNES"

LABORATOIRE D’ELECTROMAGNETISME ET D’ACOUSTIQUE

INSTITUT "TRANSMISSION ONDES ET PHOTONIQUE"(LEMA– ITOP –EPFL)

Prof. Juan R. Mosig

"RAYONNEMENT ET ANTENNES"

Électriciens, SEL-EPFL, 3e année Bachelor

RAYONNEMENT [Rejonmã]. n.m. (1 558 de rayon, XIIIe ; lat.radius). → 1o Littér. Lumière rayonnante, clarté. → 2o Emission etpropagation d’un ensemble de radiations avec transport d’énergie etémission de corpuscules. ♦ Occult. Fluide. → 3o Phys. Ensemblede radiations de nature similaire ou voisine, mais dont les longueursd’onde et les énergies peuvent être différentes : rayonnements élec-tromagnétiques. → 4o Fig. (1 869). Influence heureuse, éclat excitantl’admiration.

ANTENNE [ãtεn]. n.f. (Antaine, XIIIe ; lat. antenna). → 1o Mar.Vergue longue et mince des voiles latines. → 2o (1 712). Appendicesensoriel à l’avant de la tête de certains arthropodes dits Antennifères.Fig. Avoir des antennes, une sensibilité très aiguë, de l’intuition. →3o Par anal. Conducteur (ou ensemble de conducteurs) aérien destinéà rayonner ou à capter les ondes électromagnétiques. V. Aérien. An-tenne de télévision. → 4o Par ext. Antenne chirurgicale, unité avancéedu service de santé militaire. Tout poste avancé en liaison avec uncentre.

EPFL — Station 11 Hiver 2007-2008

Table des matières

1 INTRODUCTION 11.1 Le rayonnement électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Longueur d’onde, fréquence et vitesse . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Le spectre électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le concept d’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Une antenne est également un filtre spatial . . . . . . . . . . 4

1.3 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Modèle intuitif d’une antenne à fil conducteur . . . . . . . . . . . . 6

2 CALCUL DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE 92.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 La forme des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Conditions aux limites, puissances, énergies (rappel) . . . . . 11

2.2 Les courants sources et les courants induits . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Solution des équations de Maxwell : les potentiels . . . . . . . . . . 152.4 Les champs et la densité de puissance rayonnés . . . . . . . . . . . 162.5 Un exemple : le dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE ANTENNE 213.1 Diagrammes de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Diagramme en champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Diagramme en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3 Paramètres caractéristiques d’un diagramme de rayonnement

en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Puissance totale rayonnée et directivité . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Résistance de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Application au dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

i

TABLE DES MATIÈRES

4 ETUDE D’ANTENNES IDEALES 294.1 Théorème de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Réciprocité en terme de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Equivalence des diagrammes à l’émission et à la réception . . . . . . 324.4 Circuit équivalent d’un système émetteur – récepteur . . . . . . . . 334.5 L’hypothèse unilatérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5.1 Réciprocité des puissances dans l’hypothèse unilatérale . . . 354.5.2 Puissances dans un système émetteur-récepteur idéal . . . . 36

4.6 Surface de captation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Application au dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8 Rapport surface de captation / directivité . . . . . . . . . . . . . . 384.9 Formule de transmission de FRIIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.10 Equation du radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONS PAR RAPPORTAU CAS IDÉAL 415.1 RENDEMENT ET GAIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 DESADAPTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Antenne réelle à l’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Antenne réelle à la réception . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 POLARISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS POUR DES ANTENNES

RÉELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 LES ANTENNES A OUVERTURE 516.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE . . . . . . . . . . 52

6.2.1 Asymétrie des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Un univers parallèle : l’Antimonde . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 LE PRINCIPE DE DUALITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 LE THÉORÈME D’ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 THEORIE DES IMAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.6 RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANS UN PLAN CONDUC-

TEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.7 LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LA DIFFRACTION 61

7 THÉORIE DES RÉSEAUX 657.1 COURANTS DANS LE RÉSEAU : COUPLAGE MUTUEL . . . . 657.2 LE FACTEUR DU RÉSEAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTS ÉQUIDISTANTS . . 68

7.3.1 Réseaux à déphasage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ii Rayonnement et Antennes, c© Juan Mosig, Septembre 2007

TABLE DES MATIÈRES

7.3.2 Réseaux équiamplitude à déphasage linéaire . . . . . . . . . 707.3.3 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.4 RÉSEAUX A POINTAGE VARIABLE : CAS BROADSIDE ETENDFIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.5 SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.6 LE RÉSEAU BINOMIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.7 RÉSEAUX SYMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.7.1 Cas pair N = 2M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.7.2 Cas impair N = 2M + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.7.3 Remarque générale sur les réseaux symétriques . . . . . . . . 77

7.8 SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POUR RÉSEAUX SY-MÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

I ANNEXE I 797.9 L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME . . . . . . . . . . 80

II ANNEXE II 867.10 UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . 87

Rayonnement et Antennes, c© Juan Mosig, Septembre 2007 iii

Chapitre 1

INTRODUCTION

1.1 Le rayonnement électromagnétiqueLe mot "rayonnement" a plusieurs sens dans le dictionnaire (voir la définition

du Petit Robert en page de garde). Nous nous restreindrons dans ce cours aucas du rayonnement électromagnétique, que le dictionnaire définit comme "uneémission et propagation d’énergie sous forme d’un ensemble d’ondes électroma-gnétiques à travers un milieu matériel". Toutefois, cette définition – introduite en1874 – est inexacte de nos jours, car nous acceptons maintenant que les ondesélectromagnétiques n’ont pas besoin d’un support matériel pour se propager. Cefait les distingue nettement d’autres ondes, également présentes dans les sciencesde l’ingénieur comme les ondes acoustiques et les ondes élastiques.

Aussi, il existe une différence technique très importante entre la propagation etle rayonnement d’ondes électromagnétiques, qui est bien marquée dans la plupartdes ouvrages spécialisés. Le mot propagation est réservé et se dit dans le casoù l’acheminement des ondes est guidé par une structure matérielle (câble, guided’onde, fibre optique, couche atmosphérique. . .) qui définit une direction privilégiéedans l’espace, tandis que le mot rayonnement est réservé et se dit dans le cas d’uneémission et d’une propagation libre dans un espace souvent vide et théoriquementinfini. Toutefois, la frontière entre propagation et rayonnement n’est pas très préciseet de nombreuses situations hybrides existent dans la vie réelle.

1.1.1 Longueur d’onde, fréquence et vitesse

Le Petit Robert introduit aussi le concept de longueur d’onde comme indissolu-blement lié au rayonnement. En effet, longueur d’onde λ, fréquence f et vitesse depropagation v sont trois grandeurs essentielles dans tout phénomène ondulatoire.Rappelons (Traité, vol.3) que dans un cas simple unidimensionnel, une onde dé-pend de la coordonnée spatiale x et du temps t à travers la combinaison algébrique

1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

x− vt. Symboliquement :Onde = fonction(x− vt).

Par conséquent, les phénomènes ayant lieu à l’instant t1 au point x1, se re-trouvent à l’instant t2 en x2 ; si x1 − vt1 = x2 − vt2 alors nous avons la relation :

v =x2 − x1

t2 − t1

Donc, la quantité v, qui a forcément les dimensions d’une vitesse, représente réel-lement la vitesse de propagation de l’onde (plus précisément la vitesse de phaseou du front d’onde, ce dernier étant le lieu géométrique des points x− vt = cste).

Pour une onde monochromatique sinusoïdale de fréquence f = ω/2π, la lon-gueur d’onde λ est définie comme étant la distance parcourue par le front d’ondedans une période T = 1/f . Cette distance vaut λ = vT et nous avons la relationfondamentale suivante :

λ · f = v (longueur d’onde x fréquence = vitesse)

En théorie, des ondes électromagnétiques peuvent être générées à n’importequelle fréquence. Toutefois, on ne construit pratiquement pas d’antennes fonction-nant à très basse fréquence (en dessous du kilohertz) suite à des considérationspratiques concernant la taille et le rendement à ces fréquences. En effet, on verrapar la suite que des dimensions de l’antenne comparables ou supérieures à la lon-gueur d’onde sont souhaitables pour un bon rendement.

1.1.2 Le spectre électromagnétique

Le spectre électromagnétique est l’ensemble de toutes les fréquences entre zéroet l’infini. Il est traditionnellement divisé en bandes dont l’ampleur est d’une dé-cade. Donc, dans chaque bande, la fréquence limite supérieure est dix fois la valeurde la limite inférieure. Ces fréquences limites sont choisies de telle façon que leslongueurs d’onde associées soient toujours une puissance décimale du mètre.

Les bandes les plus utilisées sont :

2 Rayonnement et Antennes, c© Juan Mosig, Septembre 2007

1.2. LE CONCEPT D’ANTENNE

Bande Fréquence Longueur d’onde ApplicationsVLF 3 – 30 KHz 100 – 10 Km Navigation, sonar

Very Low FrequencyLF 30 – 300 KHz 10 – 1 Km Ondes longues, radio

Low FrequencyMF 300 KHz – 3 MHz 1 Km – 10O m Goniométrie,

Medium Frequency radio AMHF 3 – 30 MHz 100 – 10 m CB, ondes courtes,

High Frequency trafic aérienVHF 30 – 300 MHz 10 – 1 m Radio FM, TV, radar

Very High Freqency communic. mobilesUHF 300 MHz – 3 GHz 1 m – 10 cm Natel, Satellite, TV,

Ultra High Frequency chauffage, radarSHF 3 – 30 GHz 10 – 1 cm Satellite, faisceauxSupra hertziens,

High Frequency radioastronomieEHF 30 – 300 GHz 10 – 1 mm Satellite, radar,

Extremely radioastronomie,High Frequency millimétriques

La plage 300 MHz – 300 GHz est considérée comme le domaine des hyperfré-quences (micro-ondes) caractérisé par le fait que les circuits et appareillages utilisésont des dimensions comparables à la longueur d’onde.

A titre de comparaison, la longueur d’onde vaut 6 000 Km ( !) à la fréquencedu réseau (50 Hz) tandis qu’elle est de l’ordre de 600 nanomètres aux fréquencesoptiques visibles qui correspondent aux fréquences de 500 000 GHz ( !).

1.2 Le concept d’antenne

1.2.1 Définition

La définition d’antenne, telle qu’on la trouve dans le Petit Robert a été repriseen page de garde. Une définition un peu plus précise du point de vue techniqueque celle du Petit Robert est la suivante :

Une antenne est un transducteur servant à transformer uneénergie électromagnétique guidée en énergie électromagnétiquerayonnée et réciproquement.

Autrement dit, une antenne peut accepter une puissance électrique fournie parun générateur sous forme tension/courant et l’émettre dans l’espace environnantsous forme d’onde électromagnétique (Émission). Mais elle peut également capterdes ondes électromagnétiques et fournir une puissance électrique à une charge

Rayonnement et Antennes, c© Juan Mosig, Septembre 2007 3


(Réception). Cet aspect dual ou réciproque des antennes, qui n’a pas échappéau Petit Robert, est d’une plus grande importance.

Dans la plupart des applications actuelles, le rôle de l’antenne est de trans-mettre une information. Les mots énergie/puissance peuvent alors être remplacésdans les définitions précédentes par le mot signal. Il y a toutefois des applica-tions énergétiques où la densité de puissance électromagnétique de l’onde émise oucaptée est aussi importante que l’information transportée.

Par exemple, au sens de la définition précédente, les panneaux solaires photo-voltaïques, peuvent être considérés comme des antennes à la réception fonctionnantà très haute fréquence.

1.2.2 Une antenne est également un filtre spatial

A l’émission, elle distribue une puissance dans l’espace en privilégiant certainesdirections par rapport à d’autres. A la réception, elle est beaucoup plus sensibleaux ondes électromagnétiques en provenance de ces mêmes directions privilégiées.

L’aspect "transducteur" se reflète dans certaines grandeurs caractéristiquescomme l’impédance d’entrée, la résistance de rayonnement ou encore le rende-ment de l’antenne. Tandis que l’aspect "filtre spatial" apparaît nettement dans lediagramme de rayonnement.

L’étude des antennes a comme partie essentielle le développement de méthodesde calcul et de mesure de ces grandeurs caractéristiques.

Le Petit Robert demeure trop classique quand il définit les antennes commedes conducteurs aériens. En effet, on peut fabriquer des antennes avec des maté-riaux non-conducteurs (par exemple des barreaux diélectriques) et on peut les fairerayonner dans des milieux autres que l’air (l’eau, pour les antennes sous-marines).Toutefois, il est vrai que les antennes formées par un ensemble de conducteursrayonnant dans l’air ont été les premières connues et demeurent les plus courantes.Par ailleurs, elles constituent un très bon point de départ pour l’étude théoriquedes propriétés générales des antennes.

1.3 Historique

Comme souvent dans les phénomènes électromagnétiques, l’histoire des an-tennes commence en 1868, date à laquelle l’écossais James Clerk Maxwell pu-blie ses équations reliant les quatre vecteurs associés au champ électromagnétique−→E ,

−→D,

−→H,

−→B aux densités de charge (ρ, scalaire) et de courant (

−→J , vecteur) :

−→∇ ×−→E = −∂

−→B

∂t

−→∇ · −→D = ρ


1.3. HISTORIQUE

−→∇ ×−→H =

−→J +

∂−→D

∂t

−→∇ · −→B = 0

Charges et courants (charges en mouvement) sont les sources des phénomènesélectromagnétiques. Ceux-ci se manifestent et interagissent avec la matière à tra-vers les quatre champs

−→E ,

−→D,

−→H,

−→B . En général, toute composante scalaire des

champs et des sources est une fonction réelle des trois coordonnées spatialesx, y, z (r = f(x, y, z)) et du temps t. A partir de ces équations, on peut dériver(cf. cours d’Électromagnétisme) les équations d’onde ou d’Alembert pour les quatrevecteur-champs. La prédiction théorique des ondes électromagnétiques était déjàcontenue dans les équations de Maxwell. Malheureusement, le pauvre James ne vi-vra pas assez longtemps pour voir ses prédictions confirmées. En effet, la premièreobservation d’une onde électromagnétique en laboratoire est le fait de l’allemandHeinrich Hertz en 1888, neuf ans après la mort de Maxwell. Chienne de vie !

En 1901, Guglielmo Marconi, italien émigré en Grande-Bretagne, sort les ondesélectromagnétiques des laboratoires universitaires pour réaliser la première trans-mission sans fil au-dessus de l’Atlantique. L’antenne utilisée par Marconi était unlong mât vertical supportant un fil conducteur. En 1909, Arnold J.W. Sommerfeldcommence l’étude théorique des effets de la terre et de la mer sur la propaga-tion des ondes électromagnétiques. En même temps il découvre les phénomènes deréflexion dans l’ionosphère. Le rêve de la communication directe et presque instan-tanée entre deux points quelconques du globe devient réalité grâce aux réflexionsmultiples des ondes radio entre la surface de la Terre et l’ionosphère.

En envoyant des bribes d’information du Vieux au Nouveau Monde, Marconiaccomplit, sans le savoir, un geste prémonitoire : après la Grande Guerre de 1914 –1918, le poids de la recherche est transféré aux États-Unis, qui réussissent à attirerles plus brillants chercheurs. Dans les décades suivantes, presque la totalité desnouvelles innovations et découvertes sont sorties de ce pays.

Du temps de Marconi, les générateurs et les amplificateurs disponibles n’al-laient guère au-delà de quelques KHz. Il était donc impossible de construire desantennes de taille comparable à la longueur d’onde. Or de très petites antennes parrapport à la longueur d’onde ont un très mauvais rendement dans la transforma-tion de l’énergie guidée en énergie rayonnée. Ces problèmes ont été résolus en 1920avec l’invention du triode par l’américain Lee de Forest. Le triode, premier tubeamplificateur, permet de disposer de puissances raisonnables à 1 MHz (λ = 300m).Ce qui a donné la possibilité de construire de grandes antennes-mâts de longueurλ/4 et λ/2.

Peu après, le professeur R.W. P. King à Harvard conçoit et étudie des an-tennes rhomboïdales et des antennes à boucle dans les années 1920 – 1930. A lamême époque John Kraus construit dans l’Ohio des antennes à hélice – encoretrès courantes de nos jours – et les premiers réflecteurs. Les efforts théoriques pour



la compréhension des antennes à fil conducteur culminent dans les années 1930 –1940 avec les travaux de Stratton, Chu et Schelkunoff. Des géométries ellipsoïdaleset biconiques incluant le fil cylindrique de longueur finie comme cas limite, sontétudiées. Les techniques pour le groupement d’antennes en réseaux se sont égale-ment développées. Dans les années 1940, en pleine guerre mondiale, les recherchessur le radar entraînent l’introduction de nouveaux types d’antennes fonctionnantà de très hautes fréquences (hyperfréquences ou micro-ondes, autour de 1 GHz).De nouveaux tubes amplificateurs (klystron, magnétron . . . ) fournissant lapuissance requise ont également vu le jour. Les laboratoires Bell et le M.I.T. sontparticulièrement actifs dans ces domaines. Des tuyaux conducteurs creux (guides

d’ondes) remplacent les câbles traditionnels pour véhiculer l’énergie. En prati-quant des ouvertures sur ces mêmes tuyaux, une nouvelle génération d’antenness’est développé : les antennes à fente, à ouverture et les cornets.

Avec le développement de la TV commerciale vers la fin des années cinquante,le besoin d’une antenne domestique robuste et bon marché se fait pressant. Lechoix se porte sur l’antenne Yagi-Uda. Cette antenne avait été proposée en 1926par un professeur japonais, Yagi, et son assistant Uda dans un obscur journaltechnique de Tokyo et aussitôt oubliée. Cinquante ans plus tard elle est devenuepartie intégrante du paysage urbain, et hante encore les cauchemars des urbanistes.

Dans les années 1950 J.B. Keller introduit la théorie géométrique de la diffrac-tion (GTD) pour l’étude de structures aux dimensions très grandes par rapport àla longueur d’onde. Le calcul précis d’antennes paraboliques, de lentilles électro-magnétiques, et de réflecteurs devient alors possible. L’avènement de l’ordinateurfait naître des méthodes numériques puissantes comme la méthode des moments(MoM) développée par R.F. Harrington vers la fin des années soixante. Ces tech-niques sont toujours utilisées pour l’étude de petites antennes en termes de lon-gueur d’onde. Des nos jours la tendance vers les hautes fréquences continue avec lesondes millimétriques. Des antennes miniaturisées en technologie circuit imprimé(antennes microruban) connaissent un grand essor. Dans leur sillage appa-raissent de nouvelles antennes (antennes diélectriques, à ondes de fuite, antennesactives intégrées) avec à la clé des méthodes numériques puissantes permettantleur analyse. En parallèle, de nouvelles méthodes pour la synthèse de groupementd’antennes conduisant à des réseaux adaptatifs "intelligents" voient le jour.

1.4 Modèle intuitif d’une antenne à fil conducteur

Considérons une ligne de transmission bifilaire de longueur L finie en circuitouvert (Figure 1.1a). La ligne est connectée à un générateur de fréquence f = ω/πdont la nature précise est pour l’instant sans importance.

D’après la théorie des lignes de transmission (cf. Cours d’Électromagnétisme)


1.4. MODÈLE INTUITIF D’UNE ANTENNE À FILCONDUCTEUR

(a) (b) (c)

Figure 1.1: La transformation d’une ligne de transmission en antenne filaire

la distribution de courant sur les fils est toujours donnée par une combinaison dedeux ondes guidées, incidente et réfléchie :

I(z) = A cos(ωt− βz) − B cos(ωt+ βz)

Rappelons que β est la constante de propagation sur la ligne (appelée aussi dé-phasage linéique) qui dépend du type de ligne de transmission employée. Aussi, lavitesse de propagation des ondes sur la ligne est v = ω/β et la longueur d’onde gui-dée vaut : λg = 2π/β. Revenant à notre ligne particulière, les conditions aux limitesdans les extrémités (générateur en z = 0 et circuit ouvert en z = L) permettentd’écrire le courant sur chacun des fils comme :

I1(z) = −I2(z) = I(z) = C cos(ωt) sin(β(z − L))

où C est une constante de proportionnalité. Le terme sin(β(z − L)), typiqued’une onde stationnaire, est forcé par le circuit ouvert.

Maintenant, on sait que n’importe quel courant alternatif est susceptible decréer un rayonnement électromagnétique, puisqu’il est constitué d’électrons accé-lérés. Toutefois, les courants dans les fils de notre ligne sont de même amplitudemais de sens opposé. Donc les champs rayonnés par les deux brins de fil ont ten-dance à s’annuler. Ce cas arrive surtout quand la distance entre les fils est petitepar rapport à la longueur d’onde et qu’on observe le champ à grande distance.



Imaginons maintenant qu’on "ouvre" la ligne en redressant les fils (Figure 1.1bet Figure 1.1c). On peut admettre, en première approximation, que les courantsdans les fils demeurent inchangés. Néanmoins, si la situation n’a pratiquement paschangé du point de vue circuit, elle est tout autre du point de vue électroma-gnétique. En effet, les courants dans les fils ont maintenant le même sens et leurrayonnement se renforce : nous venons de fabriquer une antenne.

Signalons finalement que le rayonnement de cette antenne se décrit aussi entermes d’ondes électromagnétiques rayonnées. Cependant, on verra par la suiteque ces ondes sont bien différentes des ondes guidées existant originairement sur laligne. En particulier, bien que la fréquence des ondes guidées et des ondes rayonnéessoit la même, leurs vitesses, leurs exposants de propagation et leurs longueursd’onde peuvent être différentes.

Du point de vue impédance d’entrée, la théorie des lignes prédit pour la confi-guration de la Figure 1.1a une valeur purement imaginaire :

ZIN = −jZc cot(βL)

où Zc est l’impédance caractéristique de la ligne. Pour l’antenne de la Figure 1.1con peut s’attendre à une impédance dont la partie imaginaire suivra essentielle-ment la loi ci-dessus. Mais la structure ainsi obtenue rayonne et envoie une cer-taine puissance dans l’espace. Ceci ajoute à l’impédance d’entrée une partie réellemême si l’on admet que les fils conducteurs sont parfaits, sans résistance ohmique.Beaucoup d’antennes sont conçues pour que cette partie réelle, dite résistance derayonnement, devienne la partie dominante de l’impédance d’entrée.


Chapitre 2

CALCUL DU CHAMPELECTROMAGNETIQUE

2.1 Les équations de Maxwell

2.1.1 La forme des équations de Maxwell

La forme la plus générale des équations de Maxwell a été rappelée au para-graphe 1.3. On les reproduit ici en termes de l’opérateur vectoriel "nabla" utilisécouramment pour représenter les opérations "rot", "div" ou "grad" :

−→∇ ×−→E = −∂

−→B

∂t(2.1)

−→∇ ×−→H =

−→J +

∂−→D

∂t(2.2)

−→∇ · −→D = ρ (2.3)−→∇ · −→B = 0 (2.4)

En outre, les charges et les courants sont liés, en général, par l’équation de conti-nuité :

−→∇ · −→J +∂ρ

∂t= 0 (2.5)

En théorie des antennes, on travaille le plus souvent en régime sinusoïdal perma-nent. En effet, même les phénomènes transitoires sont souvent étudiés par décom-position de l’onde temporelle en spectre de fréquences (transformation de Fourier)

9

CHAPITRE 2. CALCUL DU CHAMPELECTROMAGNETIQUE

et par analyse sur chaque fréquence, suivie d’une transformation inverse. En ré-gime sinusoïdal de pulsation ω = 2πf , on peut donc admettre une dépendancetemporelle du type cos(ωt+ φ) et écrire :

A cos(ωt+ φ) = �e(Aejφejωt) =√

2�e

(A√2ejφejωt

)=

√2�e(Aee

jφejωt) (2.6)

A est ici la valeur crête et Ae = A/√

2 la valeur efficace.On remplace alors les vraies grandeurs physiques

−→E (t),

−→D(t),

−→H (t),

−→B (t),

−→J (t),

ρ(t) – quantités réelles et fonction du temps – par de nouvelles grandeurs associéesE, D, H, B, J , ρ qui seront des quantités complexes mais indépendantes du temps(phaseurs). Par souci de simplicité on retiendra les mêmes symboles. La relationgénérale permettant de retrouver la grandeur physique f(r, t) à partir du phaseurassocié f(r) est :

f(r, t) =√

2�e(f(r) · ejωt) (2.7)

Le facteur√

2 est introduit dans la définition pour que le module du phaseurcorresponde à la valeur efficace du signal sinusoïdal, conformément à la conventionadoptée dans le traité d’Electricité.

Remarque : Dans la plupart des textes anglo-saxons, le facteur√

2 n’est pasprésent dans la définition des phaseurs. La norme du phaseur est alors la valeurcrête et un facteur supplémentaire 1/2 apparaît dans les formules associées auxénergies et aux puissances. Nous suivrons la convention adoptée au traité d’Elec-tricité et garderons le facteur

√2. En revanche, et dans un souci de simplicité,

nous ne soulignerons pas les phaseurs.

L’introduction des phaseurs permet aussi de remplacer les dérivées temporellespar des facteurs jω. Finalement, les équations de Maxwell en termes de vecteurs-phaseurs s’écrivent :

−→∇ ×−→E = −jω

−→B (2.8)

−→∇ ×−→H =

−→J + jω

−→D (2.9)

−→∇ · −→D = ρ (2.10)−→∇ · −→B = 0 (2.11)

plus l’équation de continuité

−→∇ · −→J + jωρ = 0 (2.12)


2.1. LES ÉQUATIONS DE MAXWELL

Nous allons nous restreindre dans ce cours à l’étude de milieux linéaires. En effet,la plupart des milieux (par exemple l’air ou l’eau) qui véhiculent le rayonnementélectromagnétique sont linéaires pour les niveaux usuels de puissance. On peutalors relier les deux vecteurs électriques et les deux vecteurs magnétiques entreeux par des relations simples :

−→D = ε

−→E (2.13)

−→B = μ

−→H (2.14)

où ε et μ sont deux constantes du milieu qui peuvent, en général, prendre desvaleurs complexes (Traité d’Electricité, vol. III) :

ε = ε′ − jε′′ (2.15)

μ = μ′ − jμ′′ (2.16)

Les parties imaginaires introduisent un déphasage entre−→D et

−→E ou entre

−→B et−→

H et correspondent physiquement à l’existence de pertes dans le milieu. Si on estdans l’espace libre (l’air en est une bonne approximation), alors on a des valeurspurement réelles : ε = ε0 = 8, 854·10−12 [farad/m] et μ = μ0 = 4π ·10−7 [henry/m].

On peut finalement écrire les équations de Maxwell sous la forme qu’on utiliseradans ce cours :

−→∇ ×−→E = −jωμ

−→H (2.17)

−→∇ ×−→H =

−→J + jωε

−→E (2.18)

−→∇ · −→E =ρ

ε(2.19)

−→∇ · −→H = 0 (2.20)

2.1.2 Conditions aux limites, puissances, énergies (rappel)

En présence d’une surface séparant deux milieux #1 et #2 de nature différente,les équations de Maxwell doivent être complétées par les conditions aux limitessuivantes (Figure 2.1) :

−→n × (−→E2 −−→

E1) =−→0 (2.21)

−−→n × (−→H2 −−→

H1) =−→Js (2.22)

où −→n est le vecteur unitaire normal traversant la surface de séparation du milieu#1 vers le milieu #2 et

−→Js [A/m] est un éventuel courant pouvant exister sur la

surface.



��

��

Figure 2.1: Conditions aux limites

Les définitions suivantes sont aussi valables en régime sinusoïdal (phaseurs) :

1. we = (1/2) · ε−→E · −→E [J/m3] : Valeur moyenne de la densité d’énergieélectrique ;

2. wm = (1/2) · μ−→H · −→H [J/m3] : Valeur moyenne de la densité d’énergiemagnétique ;

3.−→S =

−→E ×−→

H ∗ [W/m2] : Valeur moyenne du flux de puissance (Vecteur dePoynting).

Il s’agit, bien sûr, de moyennes temporelles (voir Traité, vol. III). L’intégrationdes équations de Maxwell sur un volume v entouré par une surface s donne alorsle théorème de Poynting :∫

s

−→S · −→n ds+ jω

∫v

(We +Wm)dv = −∫v

−→J · −→Edv [W] (2.23)

où −→n est le vecteur unitaire normal à s et dirigé vers l’extérieur de v. Le premierterme de gauche est le flux du vecteur de Poynting, c’est à dire la puissances’échappant du volume à travers la surface s (rayonnement). Le deuxième termede gauche correspond à la puissance réactive emmagasinée dans le volume v. Lasomme de ces deux puissances est égale à celle fournie par les sources de courant(terme de droite).

2.2 Les courants sources et les courants induitsDans tout problème d’électromagnétisme, on admet l’existence des courants

sources−→J src qui ne sont pas susceptible d’être modifiés ni par les champs qu’ils

génèrent ni par un autre champ quelconque. Ces courants sources génèrent deschamps électromagnétiques d’excitation. Si un objet quelconque est placé au voi-sinage des sources, ces champs d’excitation produisent sur l’objet des courantsinduits

−→J ind. A leur tour, ces courants induits dans l’objet génèrent des champs

diffractés. Le champ total est la somme des champs d’excitation et des champs


2.2. LES COURANTS SOURCES ET LES COURANTSINDUITS

diffractés, crées par ces deux types de courant. Il n’y a presqu’aucune différencephysique entre ces deux courants (dans les deux cas, ce sont essentiellement desélectrons en mouvement). On doit toutefois établir une différence conceptuelle,subtile mais essentielle.� −→

J src est un courant connu et imposé. Il n’est pas affecté par le champ existant.C’est le courant source, donnée du problème ;

� −→J ind est un courant le plus souvent inconnu qui est "induit" dans les objects

environnant la source et qui dépend du champ total.

Dans l’équation de Maxwell−→∇ × −→

H =−→J + jωε

−→E le courant

−→J est une valeur

totale, et donc−→J =

−→J src +

−→J ind(

−→E ,

−→H ). On aimerait isoler la partie du courant

total indépendante des champs,−→J src, qui jouera le rôle mathématique de terme

inhomogène dans l’équation différentielle. Ce souhait est facile à réaliser pour desobjets composés de matériaux linéaires non magnétiques car le courant induit estlié exclusivement au champ électrique total par la loi d’Ohm :

−→J ind = σ

−→E . On

peut donc écrire :

jωε−→E+

−→J = jωε

−→E+

−→J src+

−→J ind = (jωε+σ)

−→E+

−→J src = jω(ε+

σ

jω)−→E+

−→J src (2.24)

et le tour de passe-passe est joué en introduisant une permittivité globale

εT = ε+σ

jω(2.25)

ce qui permet d’écrire comme nouvelle équation de Maxwell :−→∇ ×−→

H = jωεT−→E +

−→J src (2.26)

Toutefois, pour ne pas alourdir la notation, on continuera à écrire la forme originalede l’équation. Mais désormais,

−→J ne contiendra que la partie "source"

−→J src et ε

(qui pourrait déjà être complexe au départ) inclura une partie imaginaire négativesupplémentaire −jσ/ω.

La séparation entre ces deux types de courant est souvent matière de conve-nance et les courants qui jouent le rôle de courants induits dans un problème donnépeuvent être assimilés à des courants sources dans un problème ultérieur plus com-pliqué. Par exemple, considérons une antenne filaire excitée par un générateur decourant. Ici, la formulation la plus évidente est de prendre comme courant sourceconnu le courant du générateur

−→J gen et comme courant induit inconnu le courant

sur l’antenne−→J ant0 (Figure 2.2a).

Donc :−→J src =

−→J gen et

−→J ind =

−→J ant0



(a) Antenne iso-lée

(b) Antenne plus obstacle (c) Approximation pour (b)

Figure 2.2: Courants sources et courants induits

Une fois les courants sur l’antenne calculés, on place un objet métallique au voi-sinage de l’antenne (Figure 2.2b). Sur cet objet vont apparaître de nouveauxcourants inconnus

−→J obs tandis que les courants dans l’antenne changent (influen-

cés par la présence de l’objet) et deviennent−→J ant. Dans la nouvelle situation, on

a en principe :

−→J src =

−→J gen et

−→J ind =

−→J ant +

−→J obs

La solution des équations de Maxwell nous fournirait alors les valeurs de−→J ant et−→

J obs. Mais, si on peut admettre à priori que la présence de l’objet ne modifie pasde façon sensible les courants de l’antenne (

−→J ant =

−→J ant0), on peut formuler un

problème plus simple (Figure 2.2c) en considérant que les courants dans l’antennesont aussi des sources connues, dont la valeur

−→J ant0 a été trouvée lors d’un calcul

préalable. Cette façon de raisonner permettra d’obtenir une estimation raisonnable−→J obs0 des courants dans l’objet avec la décomposition :

−→J src =

−→J gen +

−→J ant0 et

−→J ind =

−→J obs0


2.3. SOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL : LESPOTENTIELS

2.3 Solution des équations de Maxwell : les poten-tiels

Le problème de base en théorie des antennes est de trouver par résolution deséquations de Maxwell, des expressions donnant les champs électromagnétiques

−→E

et−→H en fonction des sources

−→J et ρ. Pour faciliter les calculs mathématiques, il

est de tradition d’introduire deux quantités auxiliaires intermédiaires appelées po-tentiel vecteur

−→A et potentiel scalaire V . Les potentiels sont liés aux champs

par les relations (cours d’Électromagnétisme) :

μ−→H =

−→∇ ×−→A (2.27)

−→E = −jω

−→A −−→∇V (2.28)

En plus, ils sont liés entre eux par la relation, dite jauge de Lorentz :

−→∇ · −→A + jωμεV = 0 ⇔ V = − 1

jωμε

−→∇ · −→A (2.29)

Il est à remarquer que, suite à cette relation, la connaissance de−→A seule suffit à

déterminer les champs car on peut écrire :

−→E = −jω

−→A +

−→∇(−→∇ · −→A )

jωμε(2.30)

En remplaçant dans les équations de Maxwell les champs par leurs expressions entermes des potentiels on arrive à :

∇2−→A + k2−→A = −μ−→J (2.31)

∇2V + k2V = −ρε

(2.32)

où k2 = ω2με.Ces deux dernières équations sont des équations d’onde ou de Helmholtz.

Elles montrent que l’on peut attacher le potentiel vecteur aux courants et le poten-tiel scalaire aux charges. On peut montrer aussi que les champs

−→E et

−→H satisfont

aussi une équation d’onde du même type, bien que les termes indépendants soientplus compliqués.

D’après les propriétés de l’équation d’onde, les potentiels et les champs vont sepropager avec une vitesse c = ω/k = (με)−1/2. Pour le vide on obtient simplementc = c0 = 299 800 Km/s, la vitesse de la lumière.

Considérons maintenant un volume v qui contient une distribution arbitrairede courant

−→J (�r ′) et de charge ρ(�r ′) (Figure 2.3).



Figure 2.3: Potentiels d’une distribution de courant et de charge

Ces sources sont entourées par un milieu homogène infini. Les potentiels en unpoint �r sont obtenus par intégration des équations de Helmholtz en coordonnéessphériques avec le résultat :

−→A (�r) =

μ

4π

∫v

−→J (�r ′)

e−jk|�r−�r ′|

|�r − �r ′| dv′ (2.33)

V (�r) =1

4πε

∫v

ρ(�r ′)e−jk|�r−�r ′|

|�r − �r ′| dv′ (2.34)

Donc on peut dire que les potentiels sont donnés par une superposition (inté-grale) d’ondes sphériques ayant une constante de propagation k = ω

√με et une

longueur d’onde λ = 2π/k. Dans les expressions ci-dessus le vecteur radial �r repré-sente un point quelconque qui peut se trouver loin, près et même à l’intérieur dessources. Une fois les potentiels connus, le calcul des champs est immédiat à partirdes équations Equation (2.27) et Equation (2.30).

2.4 Les champs et la densité de puissance rayonnés

Pour le calcul du rayonnement d’une antenne, on s’intéresse aux points d’obser-vation �r très éloignés (champ lointain) car, en général la distance source-observateurest bien plus grande que les dimensions linéaires de l’antenne.

La distance source — observateur |�r − �r ′| apparaît dans les formules dansdeux rôles différents : soit comme dénominateur (amplitude) soit à l’intérieur del’exponentielle (phase). Si |�r ′| << |�r| on peut remplacer l’expression exacte decette distance par un développement limité. Pour l’amplitude, le terme dominant|�r − �r ′| ≈ |�r| = r suffit. Par contre on doit être plus précis dans l’estimation dela phase et prendre un terme supplémentaire en faisant l’approximation suivante


2.4. LES CHAMPS ET LA DENSITÉ DE PUISSANCERAYONNÉS

dans l’exponentiel :

|�r− �r ′| ≈ r− �er · �r ′ = r− x′ sin(θ) cos(ϕ)− y′ sin(θ) sin(ϕ)− z′ cos(θ) (2.35)

Ces relations approchées sont évidentes du point de vue géométrique quand onconsidère que les vecteurs (�r− �r ′) et �r sont pratiquement parallèles. Ces approxi-mations introduisent une simplification notable dans le calcul de

−→A et des champs−→

E ,−→H . En effet, on trouve aisément :

−→A (�r) =

μ

4π

e−jkr

r�f(θ, ϕ) (2.36)

avec

�f(θ, ϕ) =

∫v

−→J (r′)ejk�er·�r ′

dv′ (2.37)

L’intégrale vectorielle (également appelée intégrale de rayonnement) �f donnantla dépendance angulaire, joue un rôle essentiel dans la théorie des antennes.

Le calcul des expressions approchées pour les champs se fait alors en calculantle rotationnel et la divergence de

−→A et en négligeant les termes à décroissance plus

rapide que 1/r. Le résultat final est :

−→H =

jω

Zc

−→A × �er (2.38)

−→E = −jω[

−→A − �er · (�er · −→A )] (2.39)

où Zc =√μ/ε est une constante appelée impédance caractéristique du milieu. En

utilisant l’identité �er · �er = 1 on peut aussi écrire le champ électrique comme undouble produit vectoriel :

−→E = jω�er × (�er ×−→

A ) (2.40)

A partir de ces relations, ou en partant directement des équations de Maxwell, onpeut montrer que les champs rayonnés satisfont entre eux la relation simple :

−→H =

1

Zc�er ×−→

E (2.41)

−→E = Zc

−→H × �er (2.42)

En définitive, le calcul du champ électromagnétique lointain se réduit à celui du po-tentiel vecteur à travers l’évaluation de l’intégrale de l’équation Equation (2.36).Puis les composantes du champ en coordonnées sphériques sont données par :−→E θ = −jω

−→A θ,

−→E ϕ = −jω

−→A ϕ,

−→H θ = −−→

E ϕ/Zc,−→Hϕ =

−→E θ/Zc,

−→E r =

−→H r = 0



En terme de l’intégrale angulaire, on trouve pour les composantes du champ élec-trique :

Eθ(r, θ, ϕ) = − jZc2λ

e−jkr

r�eθ · �f(θ, ϕ) (2.43)

Eϕ(r, θ, ϕ) = − jZc2λ

e−jkr

r�eϕ · �f(θ, ϕ) (2.44)

Les champs rayonnés par une antenne dépendent bien sûr des trois coordonnéessphériques du point de vue calcul. Tandis que l’intégrale �f donne la dépendanceangulaire du champ par rapport à θ et à ϕ, la fonction universelle e−jkr/r quant àelle donne la dépendance par rapport à la coordonnée radiale r.

Dans la région du champ lointain, le vecteur de Poynting est purement radialet réel :

�S =−→E ×−→

H ∗ =1

Zc|−→E |2�er (2.45)

Cette composante radiale donne la densité de puissance rayonnée vers l’extérieurque l’on peut écrire sous la forme :

p(r, θ, ϕ) = �S · �er =1

Zc|−→E |2 =

1

Zc(|−→E θ|2 + |−→E ϕ|2) [W/m2] (2.46)

où en terme des composantes de l’intégrale vectorielle �f :

p(r, θ, ϕ) =Zc4λ2

1

r2(|fθ|2 + |fϕ|2) [W/m2] (2.47)

A l’instar des champs, la densité de puissance dépend des trois coordonnées sphé-riques mais la dépendance par rapport à la coordonnée radiale est toujours la même(inversement proportionnel au carré de la distance). On définit alors l’intensité derayonnement U comme :

U(θ, ϕ) = r2p(r, θ, ϕ) =Zc4λ2

(|fθ|2 + |fϕ|2) [W/steradians] (2.48)

Cette intensité de rayonnement correspond à la puissance par unité d’angle solideet ne dépend pas de la distance r.

2.5 Un exemple : le dipôle de HertzL’antenne la plus simple possible est le dipôle de Hertz, appelé aussi doublet.

Il s’agit d’un filament de courant de petite longueur �l parcouru par un courant


2.5. UN EXEMPLE : LE DIPÔLE DE HERTZ

I (de valeur temporelle i(t) =√

2I cos(ωt)). Dans un sens strict, le doublet n’aqu’une utilité mathématique : il est la source élémentaire que l’on intègre pourobtenir les champs d’une antenne de dimensions finies. Sa longueur est alors unevraie quantité différentielle dl.

Mais en pratique, le dipôle de Hertz peut être un bon modèle mathématiquepour des antennes à fil, petites par rapport à la longueur d’onde et dont le cou-rant I est pratiquement indépendant de la position à l’intérieur du fil. Sous ceshypothèses, on donnera alors des valeurs finies à la longueur du dipôle �l.

Considérons maintenant un tel dipôle placé à l’origine de coordonnées et dirigésuivant une direction arbitraire définie par le vecteur unitaire �el. Si �s est lasection du dipôle, la densité de courant vaut

−→J = �elI/�s et l’élément de volume

vaut dv′ = �s · dl′. L’intégrale angulaire vaut (Equation (2.37)) :

�f(θ, ϕ) = �el

∫ �l

0

Idl′ = I�l�el (2.49)

avec :

fθ = −I�l sin(θ), fϕ = 0 et �el = −→e zLe potentiel vecteur peut alors être écrit comme :

−→A (r) =

μI�l4π

e−jkr

r�el (2.50)

et le champ électrique rayonné est donné par :−→E =

jZc2λ

I�l e−jkr

r�er × (�er × �el) (2.51)

ou, en composantes sphériques par (Equation (2.43) et Equation (2.44)) :

Eθ(r, θ, ϕ) =jZc2λ

I�l e−jkr

rsin(θ) (2.52)

Eϕ(r, θ, ϕ) = 0 (2.53)Si nécessaire, le champ magnétique se déduit alors facilement :

−→H =

j

2λI�l e

−jkr

r�el × �er (2.54)

et en composantes sphériques :

Hϕ(r, θ, ϕ) =j

2λI�l e

−jkr

rsin(θ) (2.55)

Hθ(r, θ, ϕ) = 0 (2.56)Quant à l’intensité du rayonnement (équation Equation (2.48)), elle vaut :

U(θ, ϕ) =Zc4λ2

(I�l)2 sin2(θ) (2.57)


Chapitre 3

PARAMETRESCARACTERISTIQUES D’UNEANTENNE

3.1 Diagrammes de rayonnement

Pour représenter les caractéristiques angulaires du rayonnement électromagné-tique d’une antenne on utilise les diagrammes de rayonnement. La dépendance parrapport à la coordonnée radiale (c’est à dire la distance par rapport à la source)des champs et de la densité de puissance est toujours la même et n’est donc jamaisincluse dans ces diagrammes.

3.1.1 Diagramme en champ

Un diagramme de rayonnement en champ est une représentation gra-phique des deux composantes de l’intégrale angulaire (intégrale de rayonnement)fθ (associée à Eθ et à Hϕ) et fϕ (associée à Eϕ et à Hθ).

Il ne faut pas oublier que l’on travaille avec des phaseurs. Donc, les composantesdu champ sont en général des valeurs complexes et il en va de même pour lescomposantes de l’intégrale angulaire �f . Dans la plupart des problèmes d’antennes,on s’intéresse surtout à l’amplitude du champ rayonné. La seule information àretenir est alors celle contenue dans les normes |fθ(θ, ϕ)| et |fϕ(θ, ϕ)|.

Le plus souvent, on travaille avec des diagrammes normalisés et on dessine lafonction appelée diagramme en champ normalisé (normalized field pattern).Pour la composante θ, il est donné par :

DEθ(θ, ϕ) =|Eθ(θ, ϕ)||Eθ(θ0, ϕ0)| =

|fθ(θ, ϕ)||fθ(θ0, ϕ0)| (3.1)

21

CHAPITRE 3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNEANTENNE

où la direction (θ0, ϕ0) correspond à la valeur maximale de |Eθ| :

Eθ(θ0, ϕ0) = max(θ,ϕ)

[Eθ(θ, ϕ)] (3.2)

Une normalisation similaire est utilisée pour la composante Eϕ et on définit undeuxième diagramme en champ normalisé :

DEϕ(θ, ϕ) =|Eϕ(θ, ϕ)||Eϕ(θ0, ϕ0)| =

|fϕ(θ, ϕ)||fϕ(θ0, ϕ0)| (3.3)

Mais, attention : les angles θ0 et ϕ0 ne sont pas forcément les mêmes pour lescomposantes Eθ et Eϕ !

Rappelons que ces diagrammes en champ représentent aussi bien des champsélectriques que des champs magnétiques. Les composantes Hθ et Hϕ ayant la mêmedépendance angulaire que Eϕ et Eθ respectivement.

Les diagrammes de rayonnement ainsi définis ont des valeurs toujours comprisesentre 0 et 1 et atteignent la valeur unité dans la direction où le champ est maximal.Pour les diagrammes de rayonnement d’amplitude, on utilise souvent desvaleurs en décibels données par les relations standards :

DEθ(dB) = 20 log10 |DEθ

| (3.4)

DEϕ(dB) = 20 log10 |DEϕ| (3.5)Les valeurs possibles s’échelonnent alors entre −∞ (champ nul) et 0 dB (champmaximal), mais évidemment on tronque la représentation en dessous d’une valeurminimale (par exemple −40 dB, correspondant à 1% du champ maximal).

Les diagrammes de rayonnement sont des fonctions de deux variables quiexigent une représentation graphique tridimensionnelle ou par des lignes de ni-veau. Souvent, on essaie de choisir les axes de coordonnées de telle façon que lesdirections où l’on veut étudier le rayonnement se trouvent dans les plans ϕ = 0ou ϕ = 90 , appelés plans principaux. On peut alors représenter – souvent en coor-données polaires – le diagramme de rayonnement comme une fonction de la seulecoordonnée angulaire θ.

Il faut finalement remarquer qu’en normalisant chaque composante par rapportà sa valeur maximal, on perd l’information concernant le rapport d’amplitude entreles composantes suivant θ et ϕ. C’est pour cela qu’on utilise souvent le mêmefacteur de normalisation pour les deux composantes. Ce facteur peut être parexemple le "maximum des maximums" : max(|Eθ|max , |Eϕ|max) — ou encore lavaleur maximale du module du champ :(√

E · E∗)

max= max

(θ,ϕ)

[√Eθ · E∗

θ + Eϕ · E∗ϕ

]Avec ces normalisations les diagrammes de rayonnement n’atteignent pas for-

cément la valeur maximale unité (0 dB).


3.1. DIAGRAMMES DE RAYONNEMENT

3.1.2 Diagramme en puissance

Le diagramme de rayonnement en puissance (normalized power pat-tern) est une représentation graphique de la densité de puissance p(r, θ, ϕ) oude l’intensité (puissance par unité d’angle solide) U(θ, ϕ) = r2p, en fonction desangles θ et ϕ.

Dans la région du champ lointain, la densité de puissance p est un scalaire réel.Donc il ne faut pas distinguer de composantes ou séparer amplitude et phase. Ici,la normalisation est unique et on représente la quantité appelée diagramme depuissance DP comme :

DP (θ, ϕ) =p(θ, ϕ)

p(θ0, ϕ0)=

U(θ, ϕ)

U(θ0, ϕ0)(3.6)

où les valeurs maximales de p et de U sont atteintes pour une certaine directiondonnée par des angles θ0 et ϕ0.

U(θ0, ϕ0) = max(θ,ϕ)

[U(θ, ϕ)] (3.7)

Pour les diagrammes de rayonnement en puissance, on utilise souventdes valeurs en décibels, données par la relation standard :

DP (dB) = 10 log10 |DP | (3.8)

Il est important de rappeler que la densité de puissance p est donnée, à uneconstante près, par le carré de la norme du champ électrique : |Eθ|2 + |Eϕ|2.

Donc, si une des composantes θ ou ϕ du champ est nulle, le diagramme derayonnement de puissance et celui de la composante non nulle sont strictementidentiques quand ils sont exprimés en décibels.

3.1.3 Paramètres caractéristiques d’un diagramme de rayon-nement en puissance

En général, un diagramme de rayonnement présente plusieurs lobes séparéspar des directions où le rayonnement est nul (mais certaines antennes simplesdonnent un rayonnement presque omnidirectionnel – sans aucune direction où lechamp s’annule – donnant ainsi un lobe unique de forme patatoïde). La Figure 3.1présente une coupe à ϕ = cste d’un diagramme typique en échelle linéaire.

On appelle lobe principal ou majeur (main lobe) le lobe contenant la directionde rayonnement maximal. Les autres lobes sont des lobes secondaires ou encoremineurs (minor lobe). Un lobe latéral (side lobe) est un lobe dans une directionautre que celle souhaitée pour le rayonnement de l’antenne. Dans la plupart des



Figure 3.1: Diagramme de rayonnement en puissance

cas, l’antenne est conçue pour exploiter son rayonnement dans la direction du lobeprincipal et donc tous les lobes latéraux sont secondaires et vice versa.

La largeur du lobe principal ou largeur du faisceau (beamwidth, θBW) estl’angle formé par les deux directions du champ nul entourant le lobe principal. Sila position des nuls n’est pas bien définie, on prendra la largeur du faisceauà moitié puissance (half power beamwidth, θHPBW) qui est l’angle entre deuxdirections où la densité de puissance est la moitié de la valeur maximale.

L’importance des lobes latéraux peut se chiffrer en considérant la directionappartenant à ceux-ci où l’intensité est maximale. On définit alors le niveau deslobes latéraux (side lobe level, SLL) comme :

SLL = 10 log10

Pmax(lobe principal)Pmax(lobes latéraux)

(3.9)

En général, après une normalisation, on a Pmax(lobe principal) = 1. Ceci impliqueque :

SLL = −10Pmax(lobes latéraux) (3.10)

3.2 Puissance totale rayonnée et directivitéLa puissance totale rayonnée ou émise Prad par une antenne est obtenue par

intégration de la densité de puissance sur une surface sphérique de rayon r. Avec


3.2. PUISSANCE TOTALE RAYONNÉE ET DIRECTIVITÉ

ds = r2 sin(θ)dθdϕ on obtient :

Prad =

∫s

p(r, θ, ϕ)ds =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

r2 sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ

=

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sin(θ)U(θ, ϕ)dθ (3.11)

Le terme r2 du différentiel surfacique compense la dépendance 1/r2 de la densitéde puissance et permet d’exprimer la puissance comme une intégrale de l’inten-sité U . On peut dire que la puissance totale rayonnée Prad demeure indépendantedu rayon r mais, en s’éloignant de l’antenne, elle se distribue sur des surfacessphériques de plus en plus grandes donnant lieu à une décroissance de la densité.

La densité de puissance p(r, θ, ϕ) peut varier fortement avec la direction. Onobtient sa valeur moyenne en divisant la puissance totale rayonnée à travers unesurface sphérique par la surface de cette sphère. Cette valeur moyenne est appeléedensité de puissance isotropique :

< p >= piso =Prad

4πr2(3.12)

Une antenne qui émettrait réellement cette densité de puissance indépendantede la direction serait appelée antenne isotrope ou omnidirectionnelle. Une telleantenne est irréalisable en pratique, mais constitue un concept très utile pour lacaractérisation des antennes réelles.

Le quotient D(θ, ϕ) de la densité de puissance par sa valeur moyenne est unegrandeur adimensionnelle, une fonction de la direction, mais pas de la distance,appelée gain de directivité ou tout simplement directivité. On trouve :

D(θ, ϕ) =p(r, θ, ϕ)

piso=

4πr2p(r, θ, ϕ)

Prad=

4πr2p(r, θ, ϕ)∫ 2π

0dϕ

∫ π0r2 sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ

(3.13)

On peut donc imaginer la directivité comme une "intensité de rayonnementnormalisée". Aussi, la directivité donne le rapport entre la densité de puissanced’une antenne réelle et celle d’une antenne fictive rayonnant la même puissancetotale mais de façon isotropique. Des valeurs de la directivité supérieure à l’unitéindiquent des directions "favorisées" où l’antenne concentre son rayonnement.

La directivité peut être calculée à partir du diagramme de rayonnement. Elleest couramment exprimée en dB :

D(θ, ϕ)dB = 10 log10(D(θ, ϕ)) (3.14)

En pratique, on s’intéresse surtout à la valeur maximale de la directivité atteintepour une direction (θ0, ϕ0) :

Dmax = max(θ,ϕ)

[D(θ, ϕ)] = D(θ0, ϕ0) ≥ 1 (3.15)



ou

Dmax(dB) = 10 log10(Dmax) ≥ 0 (3.16)

On voit facilement qu’un diagramme de directivité est simplement un dia-gramme de rayonnement de puissance multiplié par la valeur Dmax (ou augmentéd’une valeur constante 10 log10(Dmax) si l’on travaille en dBs).

Une antenne est un élément passif. Elle peut concentrer le rayonnement danscertaines directions privilégiées par rapport aux autres. Si l’on calcule la valeurmoyenne de la directivité sur toutes les directions de l’espace, on obtient forcémentl’unité :

< D(θ, ϕ) >=1

4π

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sin(θ)D(θ, ϕ)dθ = 1 (3.17)

3.3 Résistance de rayonnementDu point de vue de la théorie des circuits, une antenne à l’émission correspond

à un élément passif linéaire dissipatif, possédant une impédance d’entrée complexeZin qui est une fonction de la fréquence. Si cet antenne est excitée par un courantde valeur efficace I, la puissance fournie à l’antenne est :

Pf = I2�e(Zin) (3.18)

Si l’on admet que l’antenne est faite en matériaux idéaux sans pertes, la conser-vation de l’énergie implique que cette puissance soit égale à la puissance électro-magnétique rayonnée Prad. On peut donc obtenir la partie réelle de l’impédanced’entrée d’une antenne idéale, dite résistance de rayonnement Rrad, comme :

Rrad = �e(Zin) =Prad

I2(3.19)

En revanche, le calcul de la partie imaginaire de l’impédance d’entrée est beau-coup plus délicat. La réactance n’est pas liée au rayonnement mais plutôt au champproche. Elle est très sensible à la géométrie et à la façon dont l’antenne est connec-tée au générateur. Sauf pour des antennes à géométrie très simple, des calculsnumériques à l’ordinateur sont nécessaires pour son évaluation. Mais souvent, onse contente d’une estimation empirique approchée.

3.4 Application au dipôle de HertzPour un dipôle de Hertz, le diagramme de rayonnement en puissance normalisé

est indépendant de la coordonnée ϕ (symétrie de révolution) et il est donné par la


3.4. APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZ

fonction :

DP (θ) = sin2(θ) (3.20)

en échelle linéaire ou :

DP (dB) = 10 log10(sin2(θ)) = 20 log10(sin(θ)) (3.21)

en échelle logarithmique.Donc un diagramme à deux dimensions est suffisant. Le rayonnement maximal

se produit pour θ = 90 où DP = 1, et comme sin2(θ) = 0 pour θ = 0 et θ = 180et sin2(θ) = 0.5 pour θ = 45 et θ = 135 . On trouve : θBW = 180 − 0 = 180 etθHPBW = 135 − 45 = 90 .

Il est bien entendu que ce diagramme ne comporte pas de lobes secondaires.Comme Eϕ = 0, les diagrammes en décibels pour la puissance (DP ) et pour lechamp (DEθ

) sont les mêmes.La puissance totale rayonnée est :

Prad = 2π

∫ π

0

r2 sin(θ)p(r, θ, ϕ)dθ =2π

3ZcI

2

(�lλ

)2

(3.22)

Le calcul de la directivité est alors immédiat et l’on obtient :

D(θ, ϕ) =3

2sin2(θ) (3.23)

et une valeur maximale : Dmax = 1.5 = 1.76 dB. Quant à la résistance de rayon-nement, on obtient :

Rrad =2π

3ZcI

2

(�lλ

)2

≈ 800

(�lλ

)2

[Ω] (3.24)

Pour une longueur donnée, la résistance de rayonnement est proportionnelle aucarré de la fréquence. Par exemple, un fil de cuivre de 1 mètre de longueur a unerésistance de rayonnement de 0.0088 Ω à 1 MHz, 0.88 Ω à 10 MHz, et 88 Ω à 100MHz.


Chapitre 4

ETUDE D’ANTENNES IDEALES

Une antenne idéale est essentiellement une antenne construite avec des maté-riaux sans pertes. L’antenne idéale ne produit pas de la chaleur par effet joulequand elle fonctionne en émission ou en réception ! A l’émission, toute la puissancefournie par le générateur est rayonnée. A la réception, toute la puissance reçueest transmise à la charge. Pour étudier le comportement des antennes idéales,et en particulier d’un couple d’antennes idéales constituant un système émetteur-récepteur, il nous faut encore aller plus en profondeur dans le contenu des équationsde Maxwell, en développant les théorèmes de réciprocité.

4.1 Théorème de réciprocité

Un système émetteur-récepteur formé par deux antennes quelconques possèdeun ensemble de propriétés générales qui découlent directement des équations deMaxwell. Parmi elles, les plus importantes sont rattachées au théorème de récipro-cité, dont nous discuterons dans ce qui suit.

��

�

(a) Problème A

�

�

(b) Problème B

Figure 4.1: Théorème de réciprocité

29

CHAPITRE 4. ETUDE D’ANTENNES IDEALES

Considérons un problème A où des sources−→J A occupant un volume vA pro-

duisent des champs−→E A et

−→HA en tout point de l’espace. Le milieu environnant

les sources est linéaire, isotrope mais peut être inhomogène (Figure 4.1a). Leséquations de Maxwell pour ce problème sont :

−→∇ ×−→E A = −jωμ

−→HA (4.1)

−→∇ ×−→HA =

−→J A + jωε

−→EA (4.2)

Sans changer de fréquence, on considère maintenant le même milieu mais avecun ensemble différent de sources

−→J B occupant un volume vB et produisant en tout

point des champs−→EB et

−→HB. C’est le problème B (Figure 4.1b), obéissant aux

équations :−→∇ ×−→

E B = −jωμ−→HB (4.3)

−→∇ ×−→HB =

−→J B + jωε

−→EB (4.4)

Construisons maintenant un vecteur assez "capricieux"−→X =

−→E A ×−→

HB −−→EB ×−→

HA (4.5)

qui mélange les champs des deux problèmes. Prenant alors la divergence de cevecteur et faisant usage des équations de Maxwell (équations Equation (4.1) —Equation (4.4)) on obtient :

−→∇ · −→X =−→J A · −→E B −−→

J B · −→EA (4.6)

Si maintenant, on intègre cette divergence sur un volume arbitraire v et on faitusage du théorème de la divergence, on arrive au résultat :∫

s

(−→EA ×−→

HB −−→E B ×−→

HA) · d�s =

∫v

(−→J A · −→E B −−→

J B · −→E A)dv (4.7)

où s est la surface fermée entourant le volume v. Cette égalité est l’expressionclassique du théorème de réciprocité.

Un cas particulier très intéressant est obtenu quand on laisse le volume v remplirtout l’espace. La surface s est alors à l’infini et donc dans le champ lointain dessources qui occupent toujours des volumes finis vA, vB. Les champs sur la surfacesatisfont alors les relations (chapitre 2) :

−→E A = −Zc�er ×−→

HA (4.8)−→E B = −Zc�er ×−→

HB (4.9)On peut montrer qu’avec ces relations l’intégrale de surface dans l’équation Equation (4.7)s’annule, et on obtient comme expression particulière du théorème de réciprocité :∫

vA

−→J A · −→EBdv =

∫vB

−→J B · −→E Adv (4.10)


4.2. RÉCIPROCITÉ EN TERME DE CIRCUIT

Figure 4.2: Réciprocité en terme de circuit

4.2 Réciprocité en terme de circuit

Prenons une paire d’antennes quelconques #1 et #2. On appliquera le théorèmede réciprocité sous la forme de l’équation Equation (4.10) aux deux situationssuivantes (Figure 4.2) :

A : #1 est l’émetteur connecté à un générateur idéal de courant I1 et #2 est lerécepteur laissé en circuit ouvert et ayant une tension V open

2 entre ses bornes ;

B : #2 est l’émetteur connecté à un générateur idéal de courant I2 et #1 est lerécepteur laissé en circuit ouvert et ayant une tension V open

1 entre ses bornes.

On applique à ces deux situations la réciprocité en se rappelant qu’ici les sourcessont les courants des générateurs et que, par conséquent, le volume occupé par lessources se trouve à l’extérieur des antennes et se réduit à l’ensemble générateuridéal + fils de connexion reliant les bornes des antennes. Ces considérations nouspermettent d’écrire pour l’antenne #1 (Figure 4.2) :

−→J Adv =

−→I 1dl (4.11)

avec dv = s dl et−→J = �el I1/s et l’intégrale de volume comme :∫

VA

−→J A · −→EB dv = I1

∫LA

−→E B · −→dl (4.12)

où :

−→dl = �el dl



Figure 4.3: Equivalence des diagrammes

Mais−→E B est le champ créé par l’antenne #2 dans la situation "B" et l’inté-

grale curviligne est évaluée entre les bornes de l’antenne #1. On conclut que cetteintégrale donne la tension en circuit ouvert aux bornes de l’antenne #1 quandl’antenne #2 est excitée par un courant I2. On appellera cette tension V open

1 (I2).Finalement, le théorème de réciprocité Equation (4.10) donne en termes de cir-cuit :

I1 Vopen1 (I2) = I2 V

open2 (I1) (4.13)

En particulier, si les courants d’excitation ont la même valeur numérique (parexemple 1 A) on trouve :

V open1 (I2 = 1 A) = V open

2 (I1 = 1 A) (4.14)

C’est à dire : "à égalité de courant d’excitation, la tension détectéepar #1 quand #2 émet est la même que celle détectée par #2 quandl’émetteur est #1".

4.3 Equivalence des diagrammes à l’émission et àla réception

Le dernier résultat de la section précédente est de la plus haute importance,car il implique l’identité entre les diagrammes de rayonnement à l’émission et àla réception. En effet, considérons une situation où l’antenne #1, alimentée parun courant unité, est stationnaire et joue le rôle d’émetteur. Autour d’elle onfait tourner une antenne sonde #2 sur une surface sphérique de rayon r >> l(champ lointain), l étant la distance maximale entre deux points distincts del’antenne. En chaque point de la surface sphérique, on oriente l’antenne #2 pourobtenir toujours une réception optimale (Figure 4.3a). La tension V open

2 détectéepar l’antenne #2 donne clairement une mesure du diagramme de rayonnement àl’émission de l’antenne #1.


4.4. CIRCUIT ÉQUIVALENT D’UN SYSTÈME ÉMETTEUR –RÉCEPTEUR

(a) Biporte (b) Circuit en T

Figure 4.4: Circuits équivalents

Maintenant (Figure 4.3b), on fait émettre #2 (toujours en mouvement) avecun courant unité et on capte une tension dans #1 (qui demeure stationnaire).Comme précédemment, on oriente #2 en chaque point de la surface sphérique pourune réception optimale dans #1. La tension captée est une mesure du diagrammede rayonnement à la réception de l’antenne #1. Or, d’après l’équation Equation (4.14),ces tensions sont égales. On conclut donc à l’équivalence des diagrammes de rayon-nement à l’émission et à la réception d’une antenne donnée : "Les directionsprivilégiées par une antenne à l’émission sont aussi celles où l’antennese montrera être la plus sensible à la réception".

4.4 Circuit équivalent d’un système émetteur – ré-cepteur

Un système émetteur-récepteur formé par un couple d’antennes est équivalentà une biporte linéaire passive (Figure 4.4a). Du point de vue de la théorie descircuits, on doit donc pouvoir le représenter avec une matrice impédance [Z] avecles relations classiques :

V1 = Z11 I1 + Z12 I2 (4.15)

V2 = Z21 I1 + Z22 I2 (4.16)

On constate tout de suite que :

Z12 =

[V1

I2

]I1=0

=V open

1

I2(4.17)

et

Z21 =

[V2

I1

]I2=0

=V open

2

I1(4.18)



(a) Schéma du système

��

��

��

��

��

��

�

��

��

(b) Circuit équivalent

Figure 4.5: Hypothèse unilatérale

Or, d’après le théorème de réciprocité ces valeurs sont identiques : donc lamatrice impédance est réciproque (Z12 = Z21). "La réciprocité électromagnétiqueimplique la réciprocité au niveau de la circuiterie". On arrive ainsi au circuit équi-valent en T de la Figure 4.4b. On introduira la notation Z12 = Z21 = Zm (impé-dance mutuelle).

Si les antennes émettrice et réceptrice sont identiques, la symétrie du problèmeexige en plus que Z11 = Z22.

Une représentation en termes d’admittances combinée avec un circuit équi-valent en T et un générateur de Norton est aussi possible.

Considérons maintenant que l’antenne #1 est l’émetteur excité par un géné-rateur de tension Ug et d’impédance interne Zg. L’antenne #2 est le récepteurchargé par une impédance ZL. L’impédance d’entrée de l’antenne #1 est, d’aprèsle circuit équivalent (Figure 4.4b) :

Zin,#1 = Z11 − Zm + ZmZ22 − Zm + ZL

Z22 + ZL(4.19)

Elle est donc affecté par l’antenne #2 et même par l’impédance de charge de cetteantenne.

4.5 L’hypothèse unilatéraleDans la plupart des cas pratiques (Figure 4.5a), on peut admettre que la den-

sité de puissance p produite par l’antenne émettrice au voisinage de l’antenne ré-ceptrice est la même que celle qui existerait dans cette région de l’espace en absencedu récepteur. Autrement dit, l’existence du récepteur n’altère aucune des carac-téristiques de l’émetteur : densité de puissance, impédance d’entrée, diagrammede rayonnement. . . (l’émetteur de la radio locale ne se rend pas compte du faitque vous enclenchez votre poste récepteur à la maison). D’un point de vue circuitéquivalent, on peut alors remplacer les équations générales de la biporte par des


4.5. L’HYPOTHÈSE UNILATÉRALE

relations approchées où le terme Z12 I2 est négligé et le terme Z21 I1 est transforméen générateur dépendant de tension UT = Z21 I1 (Figure 4.5b). On a alors :

V1 = Z11 I1 (4.20)

V2 = UT + Z22 I2 (4.21)

Ce qui donne d’après le circuit équivalent de la Figure 4.5b :

Zin,#1 = Z11 (4.22)

L’impédance d’entrée de l’émetteur est indépendante des paramètres du récepteur.Le circuit équivalent approché tiré de l’hypothèse unilatérale établit une différenceclaire entre le coté émetteur et le coté récepteur. Tandis que dans le circuit généralen T on peut échanger les rôles entre émetteur et récepteur, l’hypothèse unilatéraleexige un circuit équivalent différent de celui de la Figure 4.5b si l’antenne #2 estl’émetteur.

Si l’on considère un système formé par deux antennes identiques, les équationsci-dessus permettent d’affirmer qu’une antenne à la réception est équivalente àun générateur dont l’impédance interne est identique à l’impédance d’entrée de lamême antenne à l’émission.

4.5.1 Réciprocité des puissances dans l’hypothèse unilaté-rale

Considérons maintenant une situation où l’hypothèse unilatérale est acceptéeet où l’émetteur (antenne #1) et le récepteur (antenne #2) sont connectés, res-pectivement à un générateur et à une charge. On suppose d’autre part qu’on a uneparfaite adaptation d’impédance en entrée (Z11 = Z∗

g ) et en sortie (ZL = Z∗22). La

puissance rayonnée par l’émetteur est :

Prad−1 =|Ug|2

4�e(Z11)(4.23)

tandis que la puissance disponible au niveau du récepteur est donnée par :

Pav−r2 =|UT |2

4�e(Z22)=

|ZmI1|24�e(Z22)

(4.24)

Comme |Ug| = 2�e(Z11)|I1|, le rapport entre ces deux puissances vaut :

Pav−r2

Prad−1=

|Zm|24�e(Z11)�e(Z22)

(4.25)



Cette relation demeure inchangée si on échange les rôles entre émetteur etrécepteur (autrement dit, si on échange les indices 1 et 2). On obtient donc larelation de réciprocité entre puissances :

Pav−r2

Prad−1

=Pav−r1

Prad−2

(4.26)

En résumé, si les quelques centaines de watts fournis à votre émetteur radiopréférée produisent quelques milliwatts dans votre transistor, vous êtes en droitd’attendre une perturbation de quelques milliwatts dans le studio central si vousréussissez à fournir à votre transistor des centaines de watt et qui sont ensuite en-tièrement émises par ce dernier (et si l’hypothèse unilatérale demeure acceptable).

4.5.2 Puissances dans un système émetteur-récepteur idéal

Considérons maintenant un couple d’antennes idéales formant un systèmeémetteur-récepteur. En admettant la validité de l’HYPOTHESE UNILATÉRALE,prenons un cas où la ligne de visée entre émetteur et récepteur correspond à ladirection (θ1, ϕ1) dans le système de coordonnées rattaché à l’antenne #1 (émet-

teur) et à la direction (θ2, ϕ2) par rapport à l’antenne #2 (récepteur). Ona alors la relation suivante entre la puissance rayonnée par un émetteur et lapuissance disponible dans le récepteur situé à une distance r :

Pav−r2 = Ae2(θ2, ϕ2)p = Ae2(θ2, ϕ2)pisoD1(θ1, ϕ1)

= Ae2(θ2, ϕ2)D1(θ1, ϕ1)Prad−1

4πr2(4.27)

où, en plus de considérer des antennes idéales, on a admis que le récepteur estcapable d’accepter intégralement la densité de puissance incidente.

4.6 Surface de captationConsidérons une antenne à la réception située dans le champ lointain d’un

émetteur. Si les dimensions de l’antenne-récepteur sont petites en comparaisonavec sa distance de l’émetteur, l’antenne-récepteur peut être considérée commeexcitée par une onde plane de densité de puissance constante p.

Du point de vue de la théorie des circuits, l’antenne à la réception peut êtreconsidérée comme un générateur dépendant de tension ou de courant selon que l’onutilise l’équivalent de Thévenin ou de Norton. On a vu que l’impédance interne dece générateur est la même impédance Zin de l’antenne à l’émission.

La puissance maximale disponible (available) à la réception Pav−r est la puis-sance que l’antenne réceptrice fournit quand on la connecte sur une impédance


4.7. APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZ

de charge qui est égale à la valeur complexe conjuguée de l’impédance interne del’antenne (Zload = Z∗

in, adaptation conjuguée).On définit alors la surface de captation équivalente Ae (effective aperture)

d’une antenne à la réception comme le rapport entre la puissance maximale dis-ponible à la réception et la densité de puissance incidente.

Ae2(θ, ϕ) =Pav−r

p[m2] (4.28)

Cette surface de captation dépend bien sûr de l’orientation de l’antenne réceptricepar rapport à l’onde incidente. En pratique, on s’intéresse souvent à sa valeurmaximale, lorsque l’orientation de l’antenne est telle qu’elle capte un maximum depuissance.

La surface de captation équivalente maximale Aemax est atteinte pour une di-rection (θ0, ϕ0) et vaut donc :

Aemax = max(θ,ϕ)

[Ae(θ, ϕ)] = Ae(θ0, ϕ0) (4.29)

Comme pour la directivité, quand on parle dans la littérature technique de"surface de captation" on se réfère le plus souvent à sa valeur maximale. Laquantité Ae mérite bien le nom de surface de captation car, outre sa relationévidente avec les propriétés réceptrices de l’antenne, elle a les dimensions d’unesurface. Toutefois, il faut remarquer qu’aucune surface géométrique n’est interve-nue dans sa définition. Pour certaines antennes comme les paraboles et les cornets,la surface de captation est directement liée à la surface géométrique interceptéepar l’onde plane. Dans d’autres cas, comme les antennes à fil, on ne peut rattacherAe à aucune surface géométrique.

4.7 Application au dipôle de HertzEn utilisant un schéma équivalent de Thévenin, un dipôle de Hertz à la ré-

ception est équivalent à un générateur de tension dont la valeur est obtenue enmesurant la tension induite entre les extrémités du dipôle en circuit ouvert.

On sait que la densité de puissance de l’onde incidente est liée au champ élec-trique

−→E par la relation :

p =E2

Zc(4.30)

avec :

E = |−→E |



La tension induite dans le dipôle de Hertz sera simplement le produit de la longueurdu dipôle par la composante tangentielle du champ (ou bien le produit de la normedu champ par la valeur de la longueur "effective" offerte par le dipôle) :

Vop = E�l sin(θ) =√Zcp�l sin(θ) (4.31)

La puissance disponible à la réception est alors (équation Equation (4.24)) :

Pav−r =V 2

op

4�e(Zin)[W] (4.32)

et la surface de captation vaut :

Ae =Pav−r

p=V 2

op

p

1

4�e(Zin)[m2] (4.33)

En admettant un dipôle idéal où �e(Zin) = Rrad , et en utilisant la valeurdésormais connue de cette résistance de rayonnement (équation Equation (3.24)),on trouve pour la surface de captation d’un dipôle de Hertz :

Ae =3λ2 sin2(θ)

8π(4.34)

Elle est indépendante des dimensions du dipôle mais plutôt fonction seulement dela fréquence ! Sa valeur maximale est :

Ae(max) =3λ2

8π(4.35)

4.8 Rapport surface de captation / directivitéLa réciprocité des puissances que nous venons de démontrer a une conséquence

analytique importante. En effet, si l’antenne #1 est l’émetteur et l’antenne #2 lerécepteur, on sait que le rapport entre la puissance disponible à l’émission et celledisponible à la réception est donnée par :

Pav−r2

Prad−1=Ae2(θ2, ϕ2)D1(θ1, ϕ1)

4πr2(4.36)

Si maintenant on fait émettre l’antenne #2 et l’antenne #1 devenant le récepteur,on trouve :

Pav−r1

Prad−2=Ae1(θ1, ϕ1)D2(θ2, ϕ2)

4πr2(4.37)


4.9. FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS

La relation de réciprocité entre puissances implique alors que :

Ae1(θ1, ϕ1)

D1(θ1, ϕ1)=Ae2(θ2, ϕ2)

D2(θ2, ϕ2)(4.38)

Comme aucune hypothèse n’a été faite concernant la nature des antennes et lesangles de visée, il faut en conclure que "le rapport surface de captation / direc-tivité est une constante indépendante du type et de l’orientation des antennes".La valeur de ce rapport peut alors être obtenue à partir des résultats connuspour un système formé par deux dipôles de Hertz orientés pour une transmissionoptimale. A partir des valeurs maximales connues pour la directivité (équationEquation (3.23)) et la surface de captation (équation Equation (4.34)) d’undipôle de Hertz on trouve :

Ae

D=λ2

4π(4.39)

Cette relation, fort utile, permet de calculer la surface de captation à partir de ladirectivité et vice versa.

Par exemple, pour une antenne à réflecteur parabolique, on peut estimer quela surface de captation efficace maximale est proche de la surface de l’ouverturecirculaire sous-tendue par la paraboloïde. Si R est le rayon de ce cercle, on obtientalors comme estimation raisonnable de la directivité maximale d’une antenneparabolique :

Dmax =

(2πR

λ

)2

(4.40)

4.9 Formule de transmission de FRIISOn peut maintenant exprimer la relation entre puissance disponible à la ré-

ception et puissance rayonnée par l’émetteur en termes des directivités des deuxantennes comme :

Pav−r = D1D2

(λ

4πr

)2

Prad (4.41)

Cet expression est connue comme formule de transmission de Friis pour deuxantennes idéales.

4.10 Equation du radarConsidérons un émetteur #1 qui illumine une cible avec une densité de puis-

sance incidente pi (Figure 4.6). La cible renvoie un écho et une certaine densité



��

� ��

��

��

��

��

��!��

"�#$�

Figure 4.6: Equation du radar

de puissance diffractée pd qui arrive sur un récepteur #2. La cible se trouve à unedistance R1 de l’antenne #1 et à une distance R2 de l’antenne #2. Le pouvoirréfléchissant de la cible est quantifié par le paramètre "surface effective radar,SER" (en anglais "radar cross section, RCS") défini par :

SER =4πR2

2pdpi

(4.42)

C’est à dire, on admet que la cible absorbe une puissance (pi ·SER) et la re-rayonneintégralement de façon isotrope sur une sphère de rayon R2.

La puissance disponible dans le récepteur est Pav−r2 = Ae1pd, tandis que lapuissance totale rayonnée par l’émetteur est Prad1 = 4πR2

1pi/D1. On peut combinertoutes ces relations et obtenir le résultat :

Pav−r2

Prad1

=λ2D1D2SER

(4π)3R21R

22

(4.43)

connu comme équation du radar. Quand la même antenne joue le rôle d’émetteuret de récepteur, (#1 et #2 confondues) le radar est dit monostatique. Autrement,il est appelé bistatique.


Chapitre 5

LES ANTENNES RÉELLES :DÉVIATIONS PAR RAPPORT AUCAS IDÉAL

5.1 RENDEMENT ET GAINToute antenne réelle est construite avec des matériaux non idéaux exhibant

des pertes. Ces pertes se traduisent par une dissipation de chaleur dans l’antenne(effet Joule). Pour les antennes auxquelles on peut associer un modèle équivalenten ligne de transmission, on pourra alors parler des pertes ohmiques dues à larésistivité non nulle des conducteurs réelles et des pertes diélectriques dues à desisolants imparfaits. Du point de vue circuit équivalent, on verra apparaître respec-tivement une résistance série et une conductance parallèle à ajouter à la résistancede rayonnement. Dans tous les cas, pour une antenne réelle la puissance fournie àl’antenne Pf = I2�e(Zin) ne se transforme pas intégralement en puissance rayonnéePrad (obtenue par intégration du diagramme de rayonnement). Une partie de lapuissance fournie est dissipée par effet Joule dans l’antenne. On a donc Prad < Pf

et on peut définir un rendement η comme :

η =Prad

Pf≤ 1 (5.1)

Le rendement est une mesure, souvent empirique, de la qualité des matériauxfaisant partie de l’antenne. Une version plus réaliste de la directivité est obtenuequand on remplace dans sa définition la puissance totale rayonnée par la puissancefournie à l’antenne. On obtient alors le gain en puissance, ou gain tout courtG(θ, ϕ), qui est défini comme :

G(θ, ϕ) = 4πU(θ, ϕ)

Pf= ηD(θ, ϕ) (5.2)

41

CHAPITRE 5. LES ANTENNES RÉELLES : DÉVIATIONSPAR RAPPORT AU CAS IDÉAL

Figure 5.1: Schéma équivalent de l’antenne à l’émission et à la réception

On peut considérer le gain comme une directivité pratique qui inclut l’effetdes pertes par effet joule la directivité comme la limite théorique supérieure pourle gain et vice versa,. On a vu que la directivité peut être calculée à partir dudiagramme de rayonnement. En revanche, il est clair que le calcul du gain exigela connaissance du rendement et de la puissance fournie. Comme la directivité, leGain est couramment exprimé en dB :

G(θ, ϕ)dB = 10 log10(G(θ, ϕ)) (5.3)

APPLICATION AU DIPÔLE DE HERTZNous avons vu que la puissance totale rayonnée, obtenue par intégration du

vecteur de Poynting était :

Prad = 2π

∫ π

0

U(r, θ, ϕ) sin(θ)dθ =2π

3ZcI

2

(Δl

λ

)2

(5.4)

Ce qui correspondait à une résistance de rayonnement :

Rrad =2π

3Zc

(Δl

λ

)2

≈ 800

(Δl

λ

)2

[ohms] (5.5)

Quand on prend en compte les pertes, nous pouvons considérer qu’un dipôle deHertz réel consiste essentiellement en un fil métallique de longueur Δl. Il aura alorsune résistance ohmique, qui en haute fréquence est surtout due à l’effet pelliculaireet est donnée par :

Rloss =Δl

2πa

√μπf

σ(5.6)

où μ et σ sont respectivement la perméabilité et la conductivité électrique dumatériau du fil.

Le même courant qui produit le rayonnement cause aussi les pertes. Du pointde vue circuit équivalent, dans une antenne réelle à fils conducteurs, la résistance


5.2. DESADAPTATION

ohmique Rloss doit être ajoutée en série avec l’impédance d’entrée idéale et on peutécrire :

Zin = Rloss +Rrad + jX (5.7)

En termes de circuit équivalent, le rendement est donc donné par :

η =Prad

Pf=

Rrad

Rrad +Rloss(5.8)

Nous devons remarquer que, pour une longueur donnée, la résistance de rayon-nement est proportionnelle au carré de la fréquence. Un fil de cuivre de 1 mètre delongueur a une résistance de rayonnement de 0.0088 Ω à 1 MHz, 0.88 Ω à 10 MHzet 88 Ω à 100 MHz. En revanche, la résistance de pertes, due à l’effet pelliculaire,augmente seulement avec la racine carrée de la fréquence. On peut alors trouverles résultats de la Table 5.1 pour un fil de cuivre (σ = 5.7 107 S/m) de longueurL = 1 m et de rayon a = 0.4 mm : ce qui nous permet de voir clairement l’intérêtdes hautes fréquences.

Table 5.1: Tableau récapitulatiff (MHz) Rrad(ohms) Rloss(ohms) η

1 0.0088 0.1 8%10 0.88 0.3 73%100 88 1 98.9%

5.2 DESADAPTATIONLa puissance fournie Pf n’est souvent pas la puissance maximum disponible

dans le générateur Pav−e . Considérons, pour simplifier, un générateur de tensionU et d’impédance interne réelle Rg. Ce générateur a une puissance maximale dis-ponible U2/4Rg. Malheureusement, cette puissance ne sera fournie à l’antenne quesi son impédance d’entrée est aussi Rg. Un calcul simple sur le circuit équivalentmontre que la puissance fournie vaut en réalité :

Pf = (1 − |Γ2g|)Pav−e (5.9)

où :

Γg =Zin − Rg

Zin +Rgest le coefficient de réflexion entre générateur et antenne-émetteur.



Figure 5.2: Schéma équivalent de l’antenne à l’émission et à la réception

Le terme |Γ2g|Pav−e donne la puissance perdue par désadaptation et renvoyée vers

le générateur. Remarquons ici que le gain aurait pu être défini par rapport à lapuissance disponible et non à la puissance fournie. On aurait ainsi tenu compte despertes par désadaptation. Telle n’est pas la pratique courante, car l’on considèreque, contrairement aux pertes ohmiques, les pertes par désadaptation ne sont pasintrinsèques à l’antenne et peuvent être facilement éliminées avec un circuit externed’adaptation.

5.2.1 Antenne réelle à l’émission

En combinant les effets de la désadaptation et des pertes ohmiques, on trouveque pour une antenne réelle la puissance rayonnée Prad par une antenne-émettrice#1, vaut :

Prad = η1Pf = η1(1 − |Γ2g|)Pav−e (5.10)


5.3. POLARISATION

au lieu d’avoir, comme dans le cas idéal, tout simplement

Prad = Pav−e (5.11)

5.2.2 Antenne réelle à la réception

Les mêmes considérations sont valables pour une antenne réceptrice. La puis-sance délivrée à la charge Pload n’est pas égale en réalité à la puissance disponibleà la réception Pav−r. En général, on a, à cause des pertes et d’une désadaptationéventuelle :

Pload = η2(1 − |Γ2L|)Pav−r (5.12)

au lieu de (cas idéal) :

Pload = Pav−r (5.13)

Ici

ΓL =Zin − RL

Zin +RLest le coefficient de réflexion de la charge.

5.3 POLARISATIONEn plus des pertes ohmiques et par désadaptation, un facteur additionnel peut

réduire la puissance reçue dans une antenne-réceptrice, même idéale. Il s’agit là duphénomène des pertes par dépolarisation , lié à la nature vectorielle des champsélectromagnétiques. Considérons une antenne où l’on fait coïncider la directionen étude du rayonnement avec l’axe (oz). Les seules composantes possibles deschamps rayonnés sont transverses et se trouvent alors selon les axes (ox) et (oy) :

−→E = Ex�ex + Ey�ey (5.14)

Ici,−→E est un vecteur-phaseur et ses composantes sont des nombres complexes

(phaseurs) :

Ex = E0xejϕx (5.15)

Ey = E0yejϕy (5.16)

qui représentent des grandeurs en fonction du temps :

Ex(t) =√

2E0x cos(ωt+ ϕx) (5.17)



Figure 5.3: Polarisation

Ey(t) =√

2E0y cos(ωt+ ϕy) (5.18)

La courbe décrite par l’extrémité du vecteur−→E (t) en fonction du temps donne

la polarisation du champ (cours d’Électromagnétisme). On peut connaître cettecourbe sans passer par le domaine temporel. En effet, si l’on sépare les partie réelleet imaginaire du vecteur-phaseur

−→E , on peut écrire :

−→E =

−→E r + j

−→E i (5.19)

et on vérifie aisément les équivalences :

−→E (ωt = 0) =

√2−→E r (5.20)

−→E (ωt = π/2) = −

√2−→E i (5.21)

Il suffira donc d’examiner ces deux vecteurs :– s’ils sont colinéaires, la polarisation est linéaire ;– s’ils sont perpendiculaires et de même amplitude, la polarisation est circu-

laire ;– dans tous les autres cas, la polarisation est elliptique.

Les axes de l’ellipse peuvent être trouvés en calculant les valeurs maximale etminimale de la norme du vecteur

−→E (t).


5.3. POLARISATION

ÉTAT DE POLARISATION

La polarisation d’une antenne peut être définie par un vecteur-phaseur �e ditétat de polarisation et défini comme le champ électrique normalisé de l’antenne :

�e =

−→E

|−→E |=

−→E√−→E · −→E ∗

(5.22)

Prenons alors deux antennes #1 et #2 avec des états de polarisation �e1 et �e2.Si l’on construit avec elles un système émetteur-récepteur et on définit l’axe (oz)comme allant de #1 à #2, l’antenne #2 pointe vers les z négatives. De ce fait, ilfaut utiliser dans les calculs qui s’ensuivent le complexe conjugué de �e2. Du champ−→E 1 rayonné par l’émetteur, le récepteur ne peut utiliser que la projection sur �e ∗

2 ,c’est à dire :

−→E 1 ·�e ∗

2 . Les pertes de puissance par rapport à une situation optimalesont alors données par le Facteur DéPolarisant (FDP) :

FDP =

∣∣∣∣∣−→E 1 · �e ∗

2−→E 1

∣∣∣∣∣2

= |�e1 · �e ∗2 | =

puti

p(5.23)

qui relie la densité de puissance p existante aux points occupés par le récepteur àla partie puti qui peut être réellement utilisée.

Figure 5.4: Obtention d’une polarisation circulaire



EXEMPLE

Figure 5.5: Facteur Dépolarisant

Suivant le schéma ci-dessus, nous avons :−→E 1 = C1 · �ex Linéaire−→E 2 = C2 · (�ex + j�ey) Circulaire

En normalisant les vecteurs directeurs de chaque champ, nous avons :

�e1 = �ex

�e2 =�ex + j�ey√

2

En calculant le facteur dépolarisant nous obtenons :

FDP = |�e1 · �e ∗2 | =

1√2

= 50%

Nous remarquons la perte de la moitié de la puissance existante.

5.4 FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIISPOUR DES ANTENNES RÉELLES

Avec les considérations des paragraphes précédentes, on peut modifier la for-mule de Friis pour établir, dans le cas d’un système émetteur-récepteur réel, larelation entre puissance disponible à l’émission et puissance délivrée à la chargedu récepteur. On trouve facilement :

Pload = FDP · (1 − |Γg|2)(1 − |ΓL|2)η1η2 ·D1D2

(λ

4πr

)2

Pav−e


5.4. FORMULE DE TRANSMISSION DE FRIIS POUR DESANTENNES RÉELLES

= FDP · (1 − |Γg|2)(1 − |ΓL|2)G1G2

(λ

4πr

)2

Pav−e (5.24)

formule à utiliser pour tous les systèmes réels.


Chapitre 6

LES ANTENNES A OUVERTURE

6.1 INTRODUCTION

Plusieurs types d’antennes parmi les plus utilisées (cornets, guides d’ondes ou-verts, antennes à fentes...) appartiennent à une famille caractérisée par la présencede surfaces métalliques dans lesquelles on a pratiqué une ou plusieurs ouvertures(anglais : aperture antenna) : voir par exemple le guide d’onde débouchant sur uncornet dans la Figure 6.1.

Figure 6.1: Le cornet : une antenne à ouverture typique.

Du point de vue physique, le rayonnement électromagnétique de ces antennesest toujours produit par les courants électriques J circulant sur les parties métal-liques de l’antenne. On a cependant l’impression intuitive que le rayonnement sortpar l’ouverture et que celle-ci est l’élément essentiel de ces antennes. Par ailleurs,le rayonnement est très sensiblement modifié par un objet bloquant l’ouverture et

51

CHAPITRE 6. LES ANTENNES A OUVERTURE

ce phénomène contribue à notre perception intuitive d’un flux électromagnétiques’échappant par l’ouverture.

L’analyse mathématique directe de ces antennes à partir des courants élec-triques dans les parois est malaisée, surtout à cause de l’énorme difficulté à cal-culer la valeur exacte de ces courants en réponse à une excitation connue, commela sonde coaxiale de la Figure 6.1. Ce calcul peut être fait, mais demande desméthodes numériques sophistiquées (éléments finis) et un puissant ordinateur.

Historiquement, l’étude et le développement de plusieurs de ces antennes àouverture à précédé de quelques décennies l’apparition des ordinateurs. On avaitalors introduit des modèles intuitifs qui voyaient dans l’ouverture l’élément gé-nérateur du rayonnement. Ces modèles débouchent sur un traitement analytiquefacilement transformable en prédictions quantitatives et dont la précision est, en-core de nos jours, suffisante pour la plupart des applications. En revanche, cesmodèles exigent l’introduction de quelques concepts relativement sophistiqués quiont pour nom : courants magnétiques, principe de dualité, théorème d’équivalence,théorie des images...etc.

Nous donnerons par la suite un aperçu de ces concepts sans chercher une tropgrande rigueur dans le développement. L’effort investi à maîtriser ces conceptssera largement récompensé par l’établissement au bout du compte d’une méthodesimple pour l’analyse du rayonnement des antennes à ouverture.

Le modèle ainsi développé suffit pour des prédictions raisonnables du rayonne-ment dans des directions pas très éloignés de l’axe perpendiculaire à l’ouvertureet vers l’avant. Lorsqu’on souhaite un calcul du rayonnement dans des directionsproches du plan de l’ouverture ou vers l’arrière, on doit recourir à l’étude rigoureusedes courants sur les parois métalliques.

Il faut finalement remarquer que le modèle est aussi applicable à d’autres typespratiques d’antennes comme les réflecteurs paraboliques.

6.2 LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE

6.2.1 Asymétrie des équations de Maxwell

Les équations de Maxwell :

−→∇ ×−→E = −jωμ

−→H (6.1)

−→∇ ×−→H =

−→J + jωε

−→E (6.2)

−→∇ · −→E =ρ

ε(6.3)


6.2. LE CONCEPT DE COURANT MAGNÉTIQUE

−→∇ · −→H = 0 (6.4)

mettent en évidence une forte asymétrie entre le champ électrique et le champmagnétique. En effet, contrairement au champ électrique, le champ magnétiquea une divergence nulle, relation mathématique qui traduit le fait que des chargesmagnétiques isolées ne semblent pas exister dans la Nature.

Cette absence de charges magnétiques se manifeste clairement dans le fait qu’onne peut pas séparer les deux pôles d’un aimant. Depuis l’époque de Maxwell, lacommunauté scientifique a cherché et cherche toujours le fameux monopôle magné-tique, qui serait la preuve de l’existence de charges magnétiques. Ces recherches sesont avérées jusqu’à maintenant infructueuses nonobstant les moyens très considé-rables engagés et malgré quelques fausses alertes.

L’inexistence de charges magnétiques entraîne forcément l’absence dans notreunivers d’éventuels courants magnétiques (qui seraient des charges magnétiquesen mouvement). Donc, il n’y a pas de terme équivalent à la densité de courantélectrique J dans l’équation pour le rotationnel du champ électrique.

Également, on remarque une asymétrie dans les conditions aux limites associéesaux équations de Maxwell, quand on a affaire aux valeurs des composantes tangen-tielles des champs d’un coté et d’autre part d’une surface donnée. Tandis qu’unediscontinuité peut apparaître pour le champ magnétique , traduisant la présenced’éventuels courants de surface Js, le champ électrique tangentiel est lui toujourscontinu. Ceci s’exprime mathématiquement avec les conditions aux limites bienconnues :

−�n× (−→E 2 −−→

E 1) = �0 (6.5)

�n× (−→H 2 −−→

H 1) =−→J s (6.6)

6.2.2 Un univers parallèle : l’Antimonde

Imaginons pour un instant qu’il existe un univers parallèle au notre, l’Antimonde,où les charges magnétiques sont monnaie courante et donnent lieu à des densitésde charge magnétique ρm et à des densités de courant magnétique

−→M . En revanche,

personne n’a jamais vu dans l’Antimonde une charge électrique isolée. Les densi-tés de charge électrique ρ et de courant électrique

−→J n’existent donc pas dans ce

monde.

Nous pouvons être surs que tôt ou tard, un certain Monsieur Anti-Maxwellaurait trouvé là-bas que les champs électrique et magnétique sont liés dans l’An-timonde par les équations suivantes :



−−→∇ ×−→E =

−→M + jωμ

−→H (6.7)

−→∇ ×−→H = jωε

−→E (6.8)

−→∇ · −→E = 0 (6.9)−→∇ · −→H =

ρm

μ(6.10)

et les conditions aux limites associées s’écriraient dans l’antimonde :

−�n× (−→E 2 −−→

E 1) =−→M s (6.11)

�n× (−→H 2 −−→

H 1) = �0 (6.12)

où−→M s est une densité de surface de courant magnétique. Remarquons, en

passant, qu’une densité de courant magnétique−→M a les mêmes dimensions que le

rotationnel d’un champ électrique et de ce fait se mesure en [V/m2]. La densité decourant magnétique de surface

−→M s s’exprime donc en [V/m] et un éventuel courant

magnétique−→I m circulant dans un fil aurait comme dimension [V ] (les courants

magnétiques se mesurent en volts ! !).

Ce qui est maintenant très intéressant est le fait que nous pouvons prédire lerayonnement d’une source magnétique sans besoin de refaire des développementsà partir des équations d’Anti-maxwell. On peut tout simplement appliquer aurésultat obtenu pour la source électrique correspondante le soi-disant principe dedualité.

6.3 LE PRINCIPE DE DUALITÉ

Les deux ensembles d’équations, de Maxwell et d’Anti-maxwell, sont formel-lement identiques du point de vue mathématique. En fait on peut déduire unensemble à partir de l’autre ensemble à l’aide des correspondances suivantes (at-tention au signe négatif dans le couple (

−→H , −−→

E )) :

Table 6.1: Tableau de correspondance au niveau des sources−→J ρ

−→E

−→H ε μ Notre univers−→

M ρm−→H −−→

E μ ε L’Anti-monde


6.3. LE PRINCIPE DE DUALITÉ

Cette correspondance formelle reçoit le nom de Principe de Dualité. Pourla compléter, on peut affirmer que les coordonnées spatiales et temporelles sontles mêmes dans les deux ensembles d’équations (Notre monde et l’Antimondepartagent le même espace-temps...). Donc la fréquence et la longueur d’onde de-meurent invariables en changeant de monde. Une quantité composite commek = ω

√εμ se transforme en ω

√εμ , c’est à dire en elle-même. En revanche, notre

impédance caractéristique Zc =√μ/ε devient dans l’Antimonde une admittance

caractéristique Yc =√ε/μ. On complète alors le tableau de la façon suivante :

Table 6.2: Tableau de correspondance au niveau des caractéristiquesf λ k Zc I

−→A Notre univers

f λ k Yc Im−→Am L’Anti-monde

Avec le principe de dualité le calcul des champs dus à une source magnétiquedevient immédiat si l’on possède le résultat pour la source électrique correspon-dante. En effet, on définit l’équivalent du potentiel vecteur

−→Am (souvent noté

−→F )

comme :

�Am(�r) =ε

4π

e−jkr

r�f(θ, ϕ) (6.13)

avec :

�f(θ, ϕ) =

∫v

−→M(�r

′)ejk�er·�rdv′ (6.14)

et les champs sont donnés par :

−−→E = jωZc

−→Am × �er (6.15)

−→H = jω�er × (�er ×−→

Am) (6.16)

EXEMPLE : LE DIPÔLE MAGNETIQUE

Par exemple, on a trouvé qu’un filament de longueur élémentaire dl placé àl’origine des coordonnées, dirigé suivant �el et parcouru par un courant électriqueI (dipôle de Hertz) produit un champ rayonné (section 2.5) :

−→E =

jZc

2λI�l e

−jkr

r�er × (�er × �el) (6.17)

−→H =

j

2λI�l e

−jkr

r�el × �er (6.18)



Donc, les champs d’un dipôle magnétique de moment ImΔl seront, par dualité :

−→H =

j

2λZcIm�l e

−jkr

r�er × (�er × �el) (6.19)

−−→E =

j

2λIm�l e

−jkr

r�el × �er (6.20)

Dans le cas particulier d’un dipôle magnétique orienté suivant l’axe (oz), onobtient en composantes sphériques :

−→H θ(r, θ, ϕ) =

j

2λZc

Im�l e−jkr

rsin(θ) (6.21)

−→Hϕ(r, θ, ϕ) = 0 (6.22)

−−→E ϕ(r, θ, ϕ) =

j

2λIm�l e

−jkr

rsin(θ) (6.23)

−→E θ(r, θ, ϕ) = 0 (6.24)

6.4 LE THÉORÈME D’ÉQUIVALENCEAprès l’introduction des sources magnétiques et du principe de dualité, l’outil

mathématique suivant, nécessaire pour l’étude des antennes à ouverture, est lethéorème d’équivalence. Les théorèmes d’équivalence en Électromagnétisme sontune conséquence directe de l’unicité de la solution des équations de Maxwell, unefois que l’ensemble des conditions aux limites et la nature des milieux matérielsintervenant dans un problème donné ont été parfaitement spécifiés.

La version particulière qui nous intéresse ici fait référence à un problème oùl’on considère deux demi espaces infinis. Celui de gauche comporte un ensemblebien défini de sources

−→J 1 et ρ1, tandis que dans le demi espace de droite il existe

une distribution de matière quelconque où l’on détermine les champs−→E 1,

−→H 1. En

particulier, les composantes tangentielles de ces champs prennent dans le plan z =

0 (plan séparant les deux demi espaces) les valeurs−→E TAN1,

−→HTAN1 (Figure 6.2).

Admettons maintenant que l’on remplace les sources−→J 1 et ρ1 par un ensemble

nouveau−→J 2 et ρ2. Le théorème d’équivalence affirme alors que si on ajuste ces

nouvelles sources afin que les champs tangentielles en z = 0 demeurent inchangés(−→E TAN1 =

−→E TAN2 et

−→HTAN1 =

−→HTAN2) alors on peut assurer que les champs seront

identiques partout dans le demi espace de droite (−→E 1 =

−→E 2 et

−→H 1 =

−→H 2) si l’on


6.5. THEORIE DES IMAGES

Figure 6.2: Illustration du théorème d’équivalence.

ne touche pas à la distribution de la matière. Des preuves mathématiques de cethéorème à partir des équations de Maxwell et des théorèmes vectoriels de Green setrouvent dans la plupart de textes avancés sur la théorie des Antennes (cf Balanis).

6.5 THEORIE DES IMAGESUn dipôle magnétique crée un champ électrique azimutal qui tourne autour

de l’axe du dipôle. On comprend alors aisément que lorsqu’on place un tel dipôleparallèlement à un plan conducteur, l’image du dipôle représentant l’effet du planconducteur a le même sens que le dipôle original, afin de produire un champélectrique tangentiel nul dans tous les points du plan. En ce qui concerne les imagesremplaçant l’effet d’un plan conducteur, dipôles électriques et magnétiques ont uncomportement opposé ! La Figure 6.3 résume les différentes situations possibles.



Figure 6.3: Théorie des images pour des dipôles au-dessus d’un plan de masse

6.6 RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANSUN PLAN CONDUCTEUR

Considérons maintenant un plan conducteur infini z = 0 dans lequel on apratiqué une ouverture S. A gauche de ce plan nous avons une excitation connue(par exemple une onde plane qui arrive de z = −∞ ou un guide d’ondes connectéà l’ouverture. On souhaite déterminer les champs rayonnés vers le demi espace dedroite (Figure 6.4.a). On remarque que la valeur du champ électrique tangentielsur le plan z = 0 est :

−→E tan(z = 0) =

{ −→E ap dans l’ouverture S0 ailleurs

(6.25)

En toute rigueur, la valeur du champ dans l’ouverture−→E ap (en anglais : aper-

ture) n’est pas connue. Toutefois, on admet souvent en pratique que ce champ estcelui qui existerait en ces mêmes points du plan z = 0 en absence du plan conduc-teur : il serait le champ de l’onde plane non perturbée ou celui du guide d’ondeinfini dans les deux types d’excitation mentionnés plus haut. Cette approximationéquivaut à négliger la réaction du plan conducteur sur les champs d’excitation.Elle fournit souvent des résultats raisonnables et, de toutes les façons, si on ne l’a


6.6. RAYONNEMENT D’UNE OUVERTURE DANS UN PLANCONDUCTEUR

Figure 6.4: Principe d’équivalence

pas fait et qu’on traite−→E ap comme une inconnue, on est bon pour une thèse de

doctorat.Nous allons maintenant considérer un problème fictif équivalent où l’écran

conducteur n’aurait pas d’ouverture (Figure 6.4.b). Comme l’écran est continu,on a de toute évidence :

−→E tan(z = 0) = �0 Partout dans le plan (6.26)

Pour recréer artificiellement les conditions aux limites de départ on peut placeraux points où se trouve l’ouverture dans le problème réel, une densité fictive decourant magnétique de surface qui vaut exactement :

−→M s = −�ez ×−→

E ap (6.27)

car d’après la condition aux limites on a :

�ez ×−→E tan(z = 0+) = �ez ×−→

E tan(z = 0−) −−→M s (6.28)

et comme−→E tan(z = 0−) = �0 (plan conducteur) on récupère directement les

conditions aux limites de l’Equation (6.25). On peut alors affirmer, grâce au



théorème d’équivalence, que le plan métallique percé, qui est un objet physique réel(Figure 6.4.a), produit dans le demi espace de droite les mêmes champs qu’unobjet mathématique formé par un plan conducteur continu avec une distribution ensurface de courant magnétique (Figure 6.4.b). Nous venons de montrer l’intérêtdes courants magnétiques, même si elles ne correspondent pas directement à unphénomène physique !

Il va de soi que si l’on fait un tel effort en remplaçant l’objet physique parun objet mathématique équivalent c’est parce que l’étude du nouvel objet estbeaucoup plus simple. En effet, du fait que le plan conducteur soit continu, onpeut appliquer la théorie des images et remplacer ce plan par la distribution decourant magnétique image. Comme les courants originaux sont à une distance nulledu plan et leurs images ont le même sens, l’effet du plan métallique est de doublerles courants magnétiques.

On arrive ainsi à la conclusion suivante :"un plan métallique avec une ouverture où le champ électrique tangentiel vaut−→

E ap est équivalent à une distribution de courant magnétique de surface de valeur−→M s = −2�n × −→

E ap , où �n est le vecteur unitaire normal à l’ouverture et orientévers la région de calcul".

Aussi surprenante qu’elle paraisse, cette conclusion est absolument correcte etpermet de réduire l’étude du rayonnement des ouvertures dans des plans métal-liques à un calcul trivial des champs rayonnés par des courants magnétiques.

L’emploi des images justifie aussi le fait de ne jamais s’être préoccupés deschamps magnétiques tangentiels dans les deux situations avec ou sans ouverture.En effet la différence entre deux valeurs distinctes d’un champ magnétique tan-gentiel peut être effacée par introduction d’un courant électrique de surface

−→J s et,

indépendamment de sa valeur, ce courant s’annulera toujours avec son image.

Les expressions pour les champs rayonnés par une ouverture sont maintenantimmédiates par application des équations (6.13) à (6.16). En effet, on a :

�r′= x

′�ex + y

′�ey (6.29)

k · �r ′ · �er = kxx′+ kyy

′(6.30)

où :

kx = k sin(θ) cos(ϕ)

ky = k sin(θ) sin(ϕ)

Le résultat final peut s’écrire :


6.7. LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LADIFFRACTION

−→E rad =

j

2λ

e−jkr

r�er × F [

−→M s] (6.31)

où F est une transformée de Fourier vectorielle bidimensionelle :

F [−→V ] =

∫ ∫∑−→V (x

′, y

′)ejkxx

′+jkyy

′dx

′dy

′(6.32)

L’Equation (6.32) montre que la dépendance angulaire du champ rayonnéproduit du courant magnétique dans l’ouverture par la transformée de Fourier enutilisant kx et ky comme variables dans le plan transformé. Ce résultat, qui résumela théorie des ouvertures, est général et valable pour toute ouverture dans un planconducteur infini.

6.7 LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE :LA DIFFRACTION

Un phénomène électromagnétique de la plus haute importance est celui de latransmission d’une onde plane à travers une rainure rectangulaire pratiquée dansun plan conducteur. Ce problème a été étudié au XIXe siècle pour la lumièrevisible (Fresnel, Young) et les phénomènes de diffraction qui s’y rattachent ontété un des arguments de poids en faveur d’une théorie ondulatoire de la lumière.Le phénomène de diffraction existe bien sûr à d’autres fréquences et est utilisédans la conception d’antennes à fentes en hyperfréquences. Aussi, la transmissiond’une onde électromagnétique à travers une fente dans un plan métallique est unphénomène très important à caractériser dans le cadre de la compatibilité électro-magnétique. Considérons alors une onde plane se propageant dans la direction z+

et dont le champ électrique est donné par :

−→EONDE(z ≤ 0) = E0e

−jkz�ex (6.33)

On place dans le chemin de cette onde et dans le plan z = 0 un écran conducteurdans lequel on a pratiqué une fente rectangulaire dans la région −a < x < +a et−b < y < +b. Les dimensions de cette fente sont donc 2a suivant x et 2b suivanty. On accepte, tel que nous l’avons montré dans la section précédente, que lechamp dans l’ouverture est celui qui existait là avant l’introduction de l’écran,soit :

−→E AP =

−→E ONDE(z = 0) = E0�ex . Le rayonnement dans la région z > 0 est

alors celui d’un courant magnétique de surface :



Figure 6.5: Fente mince

−→MS = −2�ez ×−→

E AP = −2E0�ey (6.34)

dirigé selon y. Dans le cas de notre fente, la transformée de Fourier se calculefacilement avec le résultat final pour le champ rayonné :

−→E rad = − j

2λ

e−jkr

r4abE0

(cos(θ) sin(ϕ)�eϕ± cos(ϕ)�eθ

)sinc(kxa)sinc(kyb) (6.35)

En particulier dans le plan (xz)(ϕ = 0) nous avons :

−→E rad =

j

2λ

e−jkr

r4abE0sinc(ka sin(θ))�eθ (6.36)

Ce résultat montre clairement le phénomène de diffraction. Le champ dans leplan xz est fonction de la largeur 2a de la fente suivant x, mais pas en fonction de lalongueur 2b suivant y (la réciproque est vraie dans le plan (yz)). Le champ rayonnéest maximum dans la direction normale à la fente, mais ne décroît pas de façonmonotone lorsque l’angle θ augmente. Bien au contraire, l’amplitude du champoscille avec l’angle suivant une fonction sinus cardinal et s’annule par exemplepour un angle :

θnull = arcsin(π/ka) (6.37)


6.7. LE RAYONNEMENT D’UNE FENTE MINCE : LADIFFRACTION

Donc, des fentes larges par rapport à la longueur d’onde produisent beaucoupde lobes très minces (pour autant que l’hypothèse de départ d’un champ constantdans l’ouverture soit respectée). En revanche, des fentes étroites (ka < π) nedonnent pas lieu à des angles à rayonnement nul.


Chapitre 7

THÉORIE DES RÉSEAUX

On peut définir un réseau d’antennes comme un ensemble d’antennes identiqueset possédant la même orientation. Chaque antenne du réseau est appelée élément duréseau ; tous les éléments d’un réseau doivent pouvoir être obtenus par translationdans l’espace d’un élément quelconque.

Le terme réseau, utilisé au sens strict, exclut donc les groupements d’antennesoù les éléments seraient identiques mais possèderaient des orientations différentesdans l’espace.

7.1 COURANTS DANS LE RÉSEAU : COUPLAGEMUTUEL

Considérons un réseau de N antennes. Ces antennes sont, bien sûr, identiqueset repérées par les vecteurs de position �dn (n = 1, 2...N) caractéristique de chaqueélément.

Un point quelconque de l’antenne #n est repéré par le vecteur �r ′ . On introduitpour chaque antenne des vecteurs de position locaux �p

′n , dont les composantes

correspondent aux cordonnées locales ayant comme origine l’extrémité de �dn. Donc,au sein de l’antenne #n on a :

�r′= �dn + �p

′n (7.1)

La densité de courant dans l’antenne #n s’écrit alors−→J (�dn + �p

′n ) ou, dans une no-

tation locale,−→J n(�p

′n ). La question qu’on se pose tout de suite quant à la nature de

ces densités de courants est la suivante : Puisque tous les éléments d’un réseau sontidentiques, peut-on affirmer par exemple que si tous les éléments sont excités defaçon identique, on obtiendra la même distribution de courant dans chacun de ceséléments ? La réponse précise est négative. Considérons par exemple trois sphères

65

CHAPITRE 7. THÉORIE DES RÉSEAUX

Figure 7.1: Le Réseau générique

métalliques alignées. On introduit en trois points équivalents de ces antennes (parexemple leurs trois pôles Sud) des courants identiques en amplitude et en phase.

Figure 7.2: Exemple

On comprend aisément que la densité de courant dans le pôle Nord de la sphèredu centre n’est sûrement pas la même que dans le pôle Nord de la sphère de gaucheou de droite. C’est une affaire de position relative : l’environnement géométriquen’est pas le même pour une antenne placée au centre d’un réseau et pour uneantenne à l’extrémité du réseau. L’influence d’un élément du réseau sur un autredépend de leur position relative.

Cette influence entre éléments est connue sous le nom générique de couplagemutuel. Le couplage mutuel a été longtemps le cauchemar des ingénieurs, car il estdifficile à inclure dans des modèles théoriques simples pour prédire son importance.Il est vrai que dans beaucoup de situations pratiques on constate a posteriori quele couplage mutuel est un effet de deuxième ordre. Dans ce chapitre, on négligerasystématiquement l’existence du couplage mutuel entre éléments. Pour en tenircompte, il faudrait des modèles bien plus compliqués, qui font largement appel àl’ordinateur et où les résultats purement analytiques sont presque inexistants.

Hypothèse "couplage mutuel nul"

Soit−→J (�p

′) la distribution de courant existant dans un élément du réseau quand


7.2. LE FACTEUR DU RÉSEAU

Figure 7.3: Elément isolé de reférence

on le considère isolé dans l’espace et excité par un courant unité. Si maintenantchaque élément du réseau est excité par un courant complexe In, on peut enpremière approximation écrire :

−→J (�dn + �p

′n ) =

−→J n(�p

′n ) = In

−→J (�p

′n ) (7.2)

où :−→J n(�p

′n )

−→J m(�p ′

m)=In

Im

(7.3)

ce qui peut s’exprimer en affirmant qu’en absence de couplage, "le rapport entreles densités de courant dans deux éléments quelconques est égal à celui existantentre les courants d’excitation respectifs".

7.2 LE FACTEUR DU RÉSEAU

Quant on néglige le couplage mutuel, on peut alors calculer aisément le champrayonné par le réseau en un point lointain r à partir du potentiel vecteur et del’intégrale vectorielle associée �f . Comme le volume du réseau est formé par l’uniondes volumes vn de chaque élément, l’intégrale �f aura comme expression (section2.4) :

�f(θ, ϕ) =∑

n

∫vn

−→J (r′)ejk�er·�r ′

dv′ (7.4)

ou bien, en introduisant les coordonnées locales :

�f(θ, ϕ) =∑

n

ejk�er·�dn∫vn

−→J (�dn + �p

′n )ejk�er·�p ′

n dv′ (7.5)



et en se référant à la densité de courant d’un élément isolé avec une excitationunité :

�f(θ, ϕ) =

[∫ve

−→J (p ′)ejk�er·�p ′

dv′][∑

n

Inejk�er·�dn

](7.6)

où ve est le volume de l’élément de référence et l’intégrale a pu être extraite del’intérieur de la somme.

On remarque que �f(θ, ϕ) est le produit de deux quantités bien distinctes, et onécrit symboliquement :

�f(θ, ϕ) = �fe(θ, ϕ) · AF (θ, ϕ) (7.7)

où :

AF (θ, ϕ) =∑

n

Inejk�er·�dn (7.8)

est une quantité appelée facteur du réseau (Array Factor). Comme la dépen-dance angulaire des champs rayonnés est directement donnée par l’intégrale �f(θ, ϕ),on peut affirmer que : "Le diagramme de rayonnement d’un réseau est le produitdu diagramme de rayonnement d’un élément isolé par le facteur du réseau".

Le facteur du réseau traduit l’effet de la position relative et de l’excitation deséléments. Si |�fe(θ, ϕ)| = 1 , alors |�f(θ, ϕ)| = |AF (θ, ϕ)|. Le facteur du réseau estdonc le diagramme de rayonnement qu’on obtiendrait si tous les éléments du ré-seau étaient des sources isotropes. En pratique on construit souvent des réseauxavec des éléments dont le rayonnement a une dépendance angulaire peu marquée(quasi-isotropes). La forme du diagramme de rayonnement est alors contrôlée es-sentiellement par le facteur du réseau AF (θ, ϕ).

Le facteur du réseau n’est pas influencé par la nature des antennes et chaqueélément peut être assimilé à un point en ce qui concerne le calcul du facteur duréseau. On doit finalement remarquer que le facteur du réseau est une quantitéscalaire complexe. Il ne comporte donc aucune information sur la polarisation deschamps rayonnés, mais agit sur leur amplitude et sur leur phase.

7.3 LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTSÉQUIDISTANTS

On appelle réseau linéaire celui dont les éléments sont alignés le long d’uneligne droite. De plus, les éléments sont fréquemment séparés par un écart constant


7.3. LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTSÉQUIDISTANTS

d . On peut alors développer une théorie simple pour le calcul des facteurs duréseau.

Figure 7.4: Réseau linéaire

Traditionnellement, on fait coïncider l’axe des coordonnés z avec l’axe du réseauet on numérote les éléments depuis n = 0 jusqu’à n = N − 1 (un total de Néléments). Le premier élément définit l’origine de coordonnées et on a alors :

�dn = nd�ez

et

�er · �dn = nd cos(θ)

Le facteur du réseau possède alors une symétrie de révolution autour de l’axez et dépend donc de l’angle sphérique θ mais pas de ϕ. On l’écrit :

AF (θ) =N−1∑n=0

Inejnkd cos(θ) (7.9)

Les courants d’excitation In sont des phaseurs complexes possédant une ampli-tude An et une phase αn. On a alors In = Ane

j(nkd cos(θ)+αn) et on peut écrire :

AF (θ) =

N−1∑n=0

Anej(nkd cos(θ)+αn) (7.10)

Les expressions des équations (7.9) et (7.10) seront à la base de tous les calculssuccessifs dans la théorie des réseaux linéaires équidistants.



7.3.1 Réseaux à déphasage linéaire

Une excitation assez courante en pratique consiste en une distribution de cou-rants Ane

jαn à déphasage linéaire (αn = nα ), incluant le cas equiphase α = 0 .En effet, il est relativement aisé d’introduire un déphasage en contrôlant simple-ment la longueur des lignes de transmission amenant la puissance aux antennes.De plus, on verra que les diagrammes de rayonnement résultants présentent descaractéristiques intéressantes et facilement modifiables. Nous avons dans ce cascomme facteur du réseau :

AF (θ) =

N−1∑n=0

Anejnψ (7.11)

avec :

ψ = kd cos(θ) + α

La variable auxiliaire ψ joue un rôle très important dans la théorie des réseaux.Elle inclut notamment l’effet de :

– la fréquence (k) ;– la distance entre éléments (d) ;– l’angle de pointage (θ) ;– le déphasage entre excitations successives (α).Le facteur du réseau est une fonction périodique de la variable ψ qui a les

dimensions d’un angle mais qui ne doit pas être confondue avec l’angle géométriqueθ. On peut dire qu’à l’ensemble des directions physiques possibles θ ∈ [−π, π]correspond une plage de valeurs de ψ[−kd+α, kd+α] qui constitue la région ditevisible de ψ. Si kd < π, la plage de valeurs visibles de ψ ne remplit pas une période2π . On peut alors envisager des valeurs de ψ à l’extérieur de la région visible quicorrespondent à des valeurs imaginaires de l’angle géométrique θ et on parle doncde région invisible. Ces concepts de région visible et invisible en ψ sont très utilesdans la synthèse de réseaux linéaires.

7.3.2 Réseaux équiamplitude à déphasage linéaire

Si toutes les amplitudes des excitations sont identiques (An = 1) le facteur duréseau est une progression géométrique facilement sommable :

AF (θ) = A

N−1∑n=0

ejnψ =ejNψ − 1

ejψ − 1=

sin(Nψ/2)

sin(ψ/2)ej(N−1)ψ/2 (7.12)


7.3. LES RÉSEAUX LINÉAIRES A ÉLÉMENTSÉQUIDISTANTS

En pratique, on ne s’intéresse souvent qu’à l’amplitude des champs rayonnéset non pas à la phase. On prend alors la norme du facteur du réseau et on trouve :

|AF (θ)| =

∣∣∣∣sin(Nψ/2)

sin(ψ/2)

∣∣∣∣ (7.13)

Aussi, ce qui importe souvent est le niveau relatif des champs quand la directionθ change. On utilise alors un facteur de réseau normalisé NAF (Normalized ArrayFactor) dont la valeur ne dépasse pas l’unité. On a NAF = |AF |/max|AF | etdans notre cas d’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire :

NAF (θ) =

∣∣∣∣ sin(Nψ/2)

N sin(ψ/2)

∣∣∣∣ (7.14)

Dans l’écriture courante on se passe souvent des barres du module, mais il estsous-entendu qu’un "NAF" ne comporte que des valeurs réelles positives.

On voit facilement dans le NAF que le faisceau principal de l’antenne estcompris entre les directions de rayonnement nul Nψ/2 = π. Donc la largeur dufaisceau est 4π/N , en termes de variable ψ, ce qui veut dire qu’un faisceau mincedemande un nombre d’éléments élevé. Pour N grand, le lobe latéral atteint sonmaximum approximativement pour Nψ/2 = 3π/2 . Cette valeur maximale estalors 1/(N sin(3π/2N)). Le niveau du lobe secondaire tend alors vers la valeurlimite de 2/(3 π) soit environ −13.3 dB, lorsque N augmente indéfiniment. Cesdonnées sont facilement transformables en termes d’angle géométrique θ.

7.3.3 Méthode graphique

Une méthode graphique traditionnelle permet l’esquisse rapide du diagrammede rayonnement d’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire. Il s’agit de dessi-ner la fonction universelle NAF pour un nombre d’éléments donné N en fonctionde la variable auxiliaire ψ. D’autre part, on reconnaît aisément que l’équationψ = kd cos(θ) + α correspond à un cercle de coordonnées (ψ, θ) en coordonnéespolaires. Ceci permet l’esquisse directe en coordonnées polaires du diagramme derayonnement (cf Stutzman, section 3.1)



Figure 7.5: Méthode graphique

7.4 RÉSEAUX A POINTAGE VARIABLE : CASBROADSIDE ET ENDFIRE

Il est évident qu’un réseau équiamplitude à déphasage linéaire émet un rayon-nement maximum pour ψ = 0, c’est à dire dans la direction θmax solution de :

kd cos(θmax) + α = 0 (7.15)


7.5. SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF

Ceci implique qu’on peut pointer le réseau vers n’importe quelle direction enintroduisant un déphasage entre éléments α = −kd cos(θmax). Ceci est le principemême des antennes à pointage électronique variable où il est possible d’orienter lefaisceau sans faire tourner mécaniquement l’antenne. Mais, attention !, contraire-ment au pointage purement mécanique, le pointage électronique déforme le dia-gramme de rayonnement et par exemple le niveau des lobes secondaires peut mon-ter fortement quand on force l’antenne à pointer dans certaines directions parcontrôle du déphasage.

Si les éléments du réseau sont alimentés avec la même amplitude et la mêmephase (α = 0), le réseau émet un rayonnement maximum pour θ = π/2 et ceci pourtoute valeur de kd. On a affaire à un réseau rayonnant essentiellement perpendi-culairement à son axe. Ce cas est connu sous le nom broadside dans la littérature.

Si l’on souhaite un rayonnement maximum dans l’axe du réseau (configurationendfire) il faut alors que θmax = 0, et donc α = ±kd.

On remarquera finalement que la condition du rayonnement maximum n’estpas seulement liée à la valeur ψ = 0 mais en réalité aussi à tous les multiplesψ = 2nπ. Si kd > π(d > λ/2), il se pourait qu’une où plusieurs de ces valeurs mul-tiples tombe dans la région visible de ψ. La conséquence est que ces réseaux, oùl’espacement entre les éléments est supérieur à la demi-longueur d’onde, peuventmontrer plusieurs directions θmax de rayonnement maximum. On parle alors sou-vent de lobes d’ambiguïté (anglais : grating lobes).

7.5 SYNTHÈSE DE SCHELKUNOFF

Le problème générale de la synthèse des réseaux est analogue à celui de lasynthèse des filtres en théorie des circuits linéaires, avec l’angle θ remplaçant lafréquence. Il faut remarquer que si le réseau n’a pas de symétrie de révolution,il faut deux angles θ et ϕ pour définir chaque direction de pointage, et alors leproblème devient plus compliqué. Mais on se cantonnera ici aux réseaux à symétriede révolution.

En principe, on se donne un ensemble de spécifications relatives au compor-tement du facteur du réseau en fonction de l’angle (un gabarit) et le problèmemathématique consiste à synthétiser une fonction AF (θ) obéissant à ce gabarit.

Une des possibilités de synthèse, partielle mais très utile, fut déjà introduitedans les années quarante par Serguei A. Schelkunoff.

L’idée de Schelkunoff repose sur un constat mathématique simple : avec lavariable complexe auxiliaire w = ejkd cos(θ), le facteur du réseau dans le cas linéaireéquidistant (Equation (7.9)) devient un polynôme de la variable complexe w où



les coefficients complexes sont les excitations des éléments :

AF (θ) =

N−1∑n=0

Inwn (7.16)

Donc, d’après le théorème générale de l’algèbre, ce polynôme aura N−1 racinescomplexes wn et pourra s’écrire :

AF (θ) = IN−1(w − w1)(w − w2)......(w − wN−1) (7.17)

Schelkunoff reconnût immédiatement une possibilité de synthèse : pour toutréseau linéaire à N éléments équidistants on peut fixer à l’avance N − 1 directionsθn pour lesquelles on aura un rayonnement nul (AF (θ) = 0). En effet, il suffitde choisir les racines du polynôme wn = ejkd cos θn , construire le polynôme selonl’équation (7.17) et calculer les excitations en revenant à la forme donnée parl’équation (7.16).

Les N − 1 directions ne doivent pas nécessairement être différentes. On peutrépéter des racines wn, ou les choisir dans la région invisible, c’est à dire les fairecorrespondre à des directions imaginaires θn. Pour cela il suffit de prendre |wn| =1, ou encore dans le cas kd < π, |wn| = 1 mais avec arg(wn) en dehors de laplage [−kd,+kd]. Ceci donne des possibilités très intéressantes à la synthèse deSchelkunoff. Mais il ne faut pas oublier qu’il s’agit d’une synthèse très partielle oùseulement sont contrôlées les directions de rayonnement nul. On n’a aucun contrôlesur le comportement du AF entre les zéros et on ne sait même pas où se trouverale lobe principale et donc la direction du rayonnement maximum.

EXEMPLE

On souhaite avec un réseau à N = 5 éléments avec un espacement d = λ/4 etqui puisse garantir un rayonnement nul dans les directions θ = 60◦, 90◦ et 120◦.

Solution :L’espacement correspondant à kd = π/2, on choisit :

w1 = ejπ/2 cos(60◦) = (1 + j)/√

2

w2 = ejπ/2 cos(90◦) = 1

w3 = ejπ/2 cos(120◦) = (1 − j)/√

2

On a le choix de la quatrième racine. Si on ne souhaite pas créer une directionsupplémentaire de rayonnement nul, on peut répéter une racine ou bien la prendredans la région invisible, par exemple w4 = −1. Donc une solution possible est :


7.6. LE RÉSEAU BINOMIAL

AF (θ) = (w − 1)(w + 1)(w − (1 + j)/√

2)(w − (1 − j)/√

2)

c’est à dire :

AF (θ) = w4 −√

2w3 +√

2w − 1

d’où l’on obtient directement les excitations In (I4 = 1, I3 = −√2, I2 = 0,

I1 =√

2, I0 = −1). Remarquons que I2 = 0. On n’a donc pas besoin dans ce casde l’élément central et en réalité le réseau ne comporte que 4 éléments (mais ils nesont plus équidistants). Des surprises semblables sont courantes dans la synthèsede Schelkunoff.

7.6 LE RÉSEAU BINOMIALOn a vu que dans le cas d’un réseau equiamplitude, l’apparition de lobes secon-

daires est inévitable quand le nombre N d’éléments augmente. De plus le niveau deces lobes ne descend jamais en-dessous de la valeur limite de −13.3dB. On peut seposer la question de savoir si on peut éliminer les lobes secondaires en utilisant uneloi différente pour les amplitudes des courants d’excitation. L’excitation binomialerépond à cette question. Commençons avec le cas trivial N = 2 avec excitationéquiamplitude. On sait que (Equation (7.11)) :

AF (θ) = 1 + ejψ = 1 + w (7.18)

où on a généralisé la notation de Schelkunoff avec la nouvelle variable complexe :

w = ejψ = ej(kd cos(θ)+α) (7.19)

On voit que le polynôme complexe 1 + w ne s’annule que si w = −1, c’est àdire si kd cos(θ) + α) = ±π.

Par exemple, dans le cas où le déphasage est nul (α = 0), il n’y aura pas dedirections à rayonnement nul si kd < π et dans le cas limite kd = π les nuls nepeuvent apparaître que pour θ = 0, π.

Maintenant, on sait que si une fonction n’est pas nulle pour une certaine valeurde la variable, les puissances successives de cette fonction sont toujours non nulles.L’idée est alors d’essayer de synthétiser un diagramme de rayonnement donné par :



AF (θ) = (1 + w)N−1 =

N−1∑n=0

(N − 1n

)wn (7.20)

La réponse est donc de donner aux éléments des amplitudes d’excitation An

correspondant aux coefficients du binôme de Newton. On sait alors que les seulesdirections de rayonnement nul sont celles du réseau initial à deux éléments et onpeut alors contrôler l’existence des lobes secondaires.

Par exemple, un réseau à N = 5 éléments equiphase avec d = λ/2 et avec uneloi d’amplitudes 1, 4, 6, 4, 1 ne possède pas de lobes secondaires et le lobe principalpointe vers θmax = 90◦ avec une directivité Dmax = 3.66 et une largeur de faisceauà puissance moitié θHPBW = 30.3◦.

Pour comparaison, le même réseau avec une loi équiamplitude 1, 1, 1, 1, 1 a unlobe principal toujours pointé vers θmax = 90◦ et plus étroit (θHPBW = 20.8◦) cequi se traduit par une directivité supérieure (Dmax = 5). Mais en revanche il ya des lobes secondaires avec un niveau SLL = −12 dB (voir Stutzman, figure

3.23, pages 148 − 149).

7.7 RÉSEAUX SYMÉTRIQUES

Très souvent, les réseaux linéaires équidistants et à déphasage linéaire ont uneloi d’excitation symétrique, avec A0 = AN−1, A1 = AN−2, etc. Une façon pluspratique pour étudier ces réseaux consiste alors à prendre l’origine de coordonnéesau centre géométrique du réseau plutôt que sur son premier élément. On distinguealors deux possibilités.

7.7.1 Cas pair N = 2M

On numérote les éléments du réseau −M,−M+1, ...,−1, 1, ...,M−1,M . L’ori-gine des coordonnées se trouve entre les éléments # − 1 et #1. On trouve alorscomme facteur du réseau :

AF (θ) = 2M∑n=1

An cos[(n− 1/2)ψ] (7.21)

où ψ = kd cos(θ) + α.


7.8. SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POURRÉSEAUX SYMÉTRIQUES

7.7.2 Cas impair N = 2M + 1

On numérote les éléments du réseau −M,−M + 1, ...,−1, 0, 1, ...,M − 1,M .L’origine de coordonnées se trouve à l’élément #0. On trouve alors comme facteurdu réseau :

AF (θ) = A0 + 2

M∑n=1

An cos(nψ) (7.22)

où ψ = kd cos(θ) + α.

7.7.3 Remarque générale sur les réseaux symétriques

On constate au vue des équations (7.21) et (7.22) qu’un réseau symétriquepossède un facteur qui peut toujours s’exprimer comme un polynôme en puissancesde la variable auxiliaire u = cos(ψ/2). Par ailleurs, la direction du rayonnementmaximum correspond toujours à ψ = 0 et donc à u = 1. Dans le cas de l’excitationà déphasage nul (α = 0) ceci équivaut à la direction θ = 90◦ (cas broadside)

7.8 SYNTHÈSE DE DOLPH-TCHEBICHEFF POURRÉSEAUX SYMÉTRIQUES

La synthèse de Dolph-Tchebicheff correspond en théorie des réseaux à la syn-thèse de Tchebicheff pour les filtres. Elle garantit un niveau des lobes secondairesSLL pré-établi. On peut la considérer comme un compromis pratique entre lecas binomial où SLL = −∞ dB (pas de lobes du tout) et le cas equiamplitude(SLL > −13.3 dB). La synthèse se base sur les propriétés bien connues des po-lynômes de Tchebicheff dont on rappelle ici les plus importantes. Ces polynômessont définis par la relation de récurrence :

T0(x) = 1T1(x) = xTn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x)

(7.23)

ou par la formule générale :

Tn(x) =

⎧⎨⎩

(−1)n cosh(n arcosh(x)) si x < −1cos(n arccos(x)) si − 1 < x < 1cosh(n arcosh(x)) si x > 1

(7.24)



On montre facilement que ces polynômes oscillent à l’intérieur de l’intervalle−1 < x < 1 sans jamais dépasser les limites −1 < Tn(x) < 1. Au delà de lavaleur critique |Tn(|x| = 1)| = 1, la valeur absolue |Tn| croît très rapidement pour|x| > 1.

D’autre part, on sait que le facteur d’un réseau symétrique (équations (7.21 et(7.22)) peut toujours s’écrire comme un polynôme en puissance de la variable auxi-liaire u = cos(ψ/2). L’idée intuitive est alors d’assimiler les valeurs du polynômeTN−1 au facteur d’un réseau à N éléments en introduisant une correspondance li-néaire entre la variable x du polynôme de Tchebicheff et la variable auxiliaire u,de telle façon à ce que la direction de rayonnement maximum u = 1 correspondeà une valeur |x| > 1.

En pratique, on réalise souvent la synthèse dans le cas excitation à déphasagenul (α = 0) et on procède de la façon suivante :

1. On se donne le nombre d’éléments N et le niveau des lobes secondairessouhaités en décibels (SLLdB).

2. On traduit le SLL en échelle linéaire : SLLdB = −20 log(R) et donc R =10−SLLdB/20.

3. On calcule une valeur xmax > 0, telle que |TN−1(xmax)| = R.4. On établit la correspondance u⇔ x comme : u = cos(ψ/2) = cos[(kd cos(θ))/2] =x/xmax.

5. On remarque que les valeurs possibles de la variable x s’étalent entre x =xmax, correspondant à la direction de rayonnement maximum donnée parl’équation θmax = 90◦ et x = xmin = xmax cos(kd/2) pour l’angle θ = 0◦, 180◦.Il faut absolument que cette valeur xmin tombe dans l’intervalle [−1, 1].Souvent on choisit un espacement kd = π ce qui donne automatiquementxmin = 0.

6. On écrit le facteur du réseau comme AF = TN−1(x = xmax cos(ψ/2)) et onidentifie avec les équations (7.21) et (7.22) pour trouver les coefficients An.

ExempleOn souhaite avec un réseau à N = 5 éléments équidistants de (d = λ/2) obtenir

une direction de rayonnement maximum pour θ = 90◦ et des lobes sécondaires à−20 dB.


Première partie

ANNEXE I

79

7.9 L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME

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7.9. L’EVOLUTION DE L’ELECTROMAGNETISME

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Deuxième partie

ANNEXE II

86

7.10. UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE

7.10 UN EXEMPLE ANALYTIQUE SIMPLE

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"RAYONNEMENT ET ANTENNES"

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