Universit Sidi M'd Ben AbdallahF.S.D.M. - FES-

A.U 11-12

PROBL

OnI

s un tube aux parois une mole de gaz qui sedtend lentement et fiavers une paroi poreuse depuis l'tatinitial la pressionPl, la temprature Tr et au volume Vt iuseu' l'tatfinaf la pression P2 , la temprature T, et au volume V, (voir figure ci-dessous) o P, < Pt : C'est la dtente de Joule Ih*q.tllq.

On crira Q en variables P et T:Q=cP dr+hdP

O Cp et h sont des coefficients calorimtriques.

Etat initial

Vt

Pr, Tr

Etat final

Yz

Ut

{

6

T

L- Sachant que I'entropie S et l'enthalpie H sont des fonctions d'tat,montrer, en considrant une volution rversible, que les diffrentielles deS et de H s'expriment sous les formes suivantes:

dH=Cp dT+(h+V)dPdS=9.ar+lapTT

2- En utilisant la relation de Schwartz {voir la fin du problme}, tablir lesrelations suivantes: lacPl h,1Ahl

T aP l"=- Tz 'Tarl*col anl , avl-l

=_t T-l-lPl, Tlp TlpDterminer l'expression de h en fonction de t

".[*)r't'(f ' ='L T )r'En dduire h en fonction de T, ct et V o

" = +(#)*.* '"

coefficient de dilatation isobare.Montrer que le travail reu par le gaz des forces de pression est donnpar:

w = &vr -PrY,Endduire,parapp|ication@que|adtentedeJou|eThomson dfinie ci-dessus est isenthalpique(dH - 0) 'On considre une dtente de Joule Thomson lmentaire faisant varier

T T + dT et PP + dP;calculerlecoefficient p, =* "n'dP

fonction deCl, Cp, V et T .Si le gaz considr est parfai! Exprimer:a- les coefficients h et c[; et en dduire que C, ne dpend pas de la

pressionP.b- Le coeffic ur la dtente de Joule Thomson considre ainsi$bque temPratureT = Tz - T1.

Le gaz considr n'est pas un gaz parfait, Cl n'obit pas I'expressioncalcule en question 6-a. Montrer que la dtente s'accompagne d'unchauffement ou d'un refroidissement selon le signe de p, que I'ontudiera en fonction des valeurs du produit Cf T, en prcisant dans queldomaine il y a chauffement et dans quelle domaine il y arefroidissement.Soit une mole d'un gaz rel dont le coefficient de dilatation isobaredpend de la temprature, ct(T), et est donn par:

Y

Y/,4'

.1-

o(D=+ v -'u

"-otv-b RTv' v'R, a et b sont des constantes.a- Soit \ la temprature d'inversion dfinie parcr(T, ) = +. Montrerr1

que s'crit sous la forme :,rt 2a .. b r,,i=-*t-)-

b- En utilisant la question 7-, prcisgr le signe de p selon queT estinfrieur ou suprieur I dans le cas o la dtente conduise unrefroidissement.

N.B: On rappelle la relation de Schwartz : Soit f(x,y) une fonction dedeux variables possdant des proprits de continuit et de drivabilitsuffisante et df(x'y) = a(x'y)dx + b(x'y)dy sa variation lmentaire.Alors, f est une fonction d'tat si elle vrifie la relation de Schwartz suivante:

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