Rapport Stabilité de Pentes

8/12/2019 Rapport Stabilité de Pentes

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Elément de module Stabilité de Pentes

Rapport de Mini-Projet Année : 2013/2014 Page1 Module : FONDATIONS

Travail et Rapport réalisés par :

MOUNIR ABOUAALI

ABDELMONAIM MAGHRAOUI

MEHDI ZAOU

ANAS SAMIH

MOHAMED TAHA FADEL

MOHAMED CHRIFI ALAOUI

Travail encadré par : Pr. Mr. JAMAL BENBOUZIYANE Ing, M.Sc.A, Ph.D





Table des matièresIntroduction ..............................................

Présentation Générale de la solutionproposée pour le confortement :.............. 4

Présentation de l’application C ............ 5

Etude de la stabilité de pente : ............... 12

Modélisation des isocontours:................... 32

Positionnement du cercle critique:........... 34

Conclusion: ............................................... 35





IntroductionDans le cadre du du cours de Stabilité de Pentes et pour nous initier au

monde professionnel, nous étions appelés à effectuer une étudegéotechnique théorique de la stabilité d’un confortement dans le cadre duréaménagement d’une carrière.

Ce document constitue synthèse de cette étude qui s’étalait sur 4 parties principales :

I. On a commencé d’abord par programmer une application enlangage C afin de limiter le champ d’étude .Nous avons determinéainsi les divers Fs correspondant à 100 points différents.

II. Par ailleurs, nous avons analysé les résultats mises à la disposition

par l’étape 1 pour affiner “le maillage” des centres de cerclessupposés contenir le cercle critique. Cette analyse réduite, a étéeffectué par Autocad® et le tableur Excel sur une surface réduite de60 points .

III.Puis nous avons déterminé le Fs minimal qui correspond au cerclecritique.

IV. La dernière partie était dédiée au tracé des isocontours, pourdéterminer l’allure de la répartition des Facteurs de Sécurité et pourvérifier la localisation proposée du Cercle Critique .

Finalement nous tenons à remercier Mr. Jamal BENBOUZIYANE, notre professeur de Fondations, pour son dévouement incontournable tout aulong du cours, pour nous doter d’un bagage considérable autour de lamatière.





Présentation Générale de la solutionproposée pour le confortement :

Pour neutraliser le danger de l’instabilité d e cette pente provoquée par le

terril d’une cimenterie, on a opté pour un chargement de pied . Cette solutionest connue pour être généralement la plus utilisée et la plus efficace.

En se référant au MANUEL DU GEOTECHNICIEN MAROCAIN – GEOTECHNIQUE DES PENTES de Mr JAMAL BENBOUZIYANE, l’ouvrage deconfortement également nommé butée ou banquette agit de façon à équilibrerles masses et balancer les forces motrices. Ainsi l’analyse de la stabilité dans cecas doit tenir compte des reprises de mouvement en aval et en amont. Cettevérification s’effectuera à l’aide de la méthode Bishop ‘simplifiée’ .

Par ailleurs, il est judicieux de mentionner que le choix d’un Géotextile deséparation est justifié par le besoin d’utiliser d’un matériau drainant pour laconstruction du remblai.

Enfin l’étude et la pratique a montré que c’est la butée de pied qui offre lameilleure amélioration de sécurité, cette solution est généralement retenuemalgré des problèmes d’emprise qui en résultent.





Présentation de l’application C :L’élaboration de cette application a, pour but, de définir un domaine réduit

pour calculer les Fs point par point.

En effet, à priori, il faut tester un très grand nombre de points susceptibles

d’être le centre du cercle critique, puis déduire le centre qui présente un Fs

minimal. Cette suite de tests sembles fastidieuse pour l’adopter, d’où le rôle de

l’application po ur réduire le nombre de tests à effectuer.

On présente le code source de cette application :

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

float min(float x, float y)

{

if (x<y)

return x;

return y;

}

float Abs(float x)

{

if (x<0)

return -x;

return x;

}

float integrale(float x,float a, float b)

{

float a1,a2;

a1=-(0.25*(-2*x+2*a))*sqrt(b*b-x*x+2*x*a-a*a);

a2=0.5*b*b*atan((x-a)/sqrt(b*b-x*x+2*x*a-a*a));





return a1+a2;

}

float surf_cercle(float t1, float t2,float a, float b)

{

return -Abs(integrale(t2,a,b)-integrale(t1,a,b))+b*Abs(t2-t1);

}

float surf_trap(float t1, float t2,float a, float b)

{

return (Abs(t2-t1)*(59-(t1+t2)/sqrt(3)))/2;

}

float inter1_min(float a, float b)

{

return 0.75*a+12.7739-0.4330*b-0.125*sqrt(-12*a*a+1226.2912*a-41.5692*a*b-31329+2124*b+12*b*b);

}

float inter1_max(float a, float b)

{

return 0.75*a+12.7739-0.4330*b+0.125*sqrt(-12*a*a+1226.2912*a-41.5692*a*b-31329+2124*b+12*b*b);

}

double inter2_max(float a, float b)

{

return 0.6711*a-0.4698*b+21.9448+0.6711*pow(10,-3)*sqrt(-4.9*pow(10,5)*a*a-1.4*pow(10,6)*a*b+6.5395*pow(10,7)*a+4.9*pow(10,5)*b*b+9.3422*pow(10,7)*b-2.1819*pow(10,9));

}

float cosinus(float t1, float t2, float a, float b)

{

return (sqrt(b*b-((t1+t2)/2-a)*((t1+t2)/2-a)))/b;

}





float sinus(float t1, float t2, float a, float b)

{

return (a-(t1+t2)/2)/b;

}

float bishop(float Fs0,float a, float b)

{

int i;

float xmin=inter1_min(a,b),ymin,xmax=inter1_max(a,b),ymax;

float t[11],m[10],A[10],B[10];

float S1,S2,M,x;

if (xmin<0)

{

ymin=29.5;

xmin=a-sqrt(29.5*(2*b-29.5));

}

if(xmax>=44.17)

{

ymax=4;

xmax=2*sqrt(2*b-4)+a;

if (xmax>=61.02)

{

xmax=inter2_max(a,b);

ymax=-0.7*(xmax-66.73);

}

}

for(i=0;i<11;i++)

{

t[i]=xmin+i*(xmax-xmin)/10;

}

for(i=0;i<10;i++)





{

m[i]=cosinus(t[i],t[i+1],a,b)+sinus(t[i],t[i+1],a,b)/(sqrt(3)*Fs0);

if (t[i]<0 && t[i+1]<0)

{

A[i]=(29.5*(t[i+1]-t[i])-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20/(sqrt(3)*m[i]);

B[i]=(29.5*(t[i+1]-t[i])-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

if (t[i]<0 && t[i+1]>0)

{

A[i]=(-29.5*t[i]+(59-t[i+1]/sqrt(3))*t[i+1]/2-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20/(sqrt(3)*m[i]);

B[i]=(-29.5*t[i]+(59-t[i+1]/sqrt(3))*t[i+1]/2-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

if (t[i]>=0 && t[i+1]<44.17)

{

A[i]=(surf_trap(t[i],t[i+1],a,b)-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20/(sqrt(3)*m[i]);

B[i]=(surf_trap(t[i],t[i+1],a,b)-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

if (t[i]<=44.17 && t[i+1]>=44.17)

{

A[i]=(0.5*(44.17-t[i])*(33.5-t[i]/sqrt(3))+4*(t[i+1]-44.17)-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20/(sqrt(3)*m[i]);

B[i]=(0.5*(44.17-t[i])*(33.5-t[i]/sqrt(3))+4*(t[i+1]-44.17)-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

if (t[i]>44.17 && t[i+1]<=61.02)

{

A[i]=(4*(t[i+1]-t[i])-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20/(sqrt(3)*m[i]);

B[i]=(4*(t[i+1]-t[i])-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b))*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

if (t[i+1]>61.02)

{





x=0.2462*a+0.4308*b+44.2733-0.6154*pow(10,-3)*sqrt(-4.9*pow(10,5)*a*a+5.6*pow(10,5)*a*b+5.7555*pow(10,7)*a+4.9*pow(10,5)*b*b-3.2889*pow(10,7)*b-1.6901*pow(10,9));

S2=4*(t[i+1]-x)-0.5*((61.02-x)*(4-1.75*(x-58.73))+(t[i+1]-61.02)*(4-b+sqrt(b*b-(t[i+1]-a)*(t[i+1]-a))))-surf_cercle(x,t[i+1],a,b);

S1=4*(t[i+1]-t[i])-S2-0.5*(t[i+1]-61.02)*(4-b+sqrt(b*b-(t[i+1]-a)*(t[i+1]-a)))-surf_cercle(t[i],t[i+1],a,b);

M=cosinus(t[i],t[i+1],a,b)+sinus(t[i],t[i+1],a,b)/(sqrt(2)*Fs0);

A[i]=S1*20/(sqrt(3)*m[i])+S2*22*(sqrt(2)*M);

B[i]=S1*20*sinus(t[i],t[i+1],a,b)+S2*22*sinus(t[i],t[i+1],a,b);

}

}

for(i=0,S1=0,S2=0;i<10;i++)

{

S1+=A[i];

S2+=B[i];

}

return S1/S2;

}

int main(int argc, char *argv[])

{

float a1,a2,b1,b2,B2,fs1,fs2;

int i,a,b ;

printf("1: calcul du Fs d'un cercle\n");

printf("2: faire un maillage\n");

scanf("%d",&i);

switch (i){

case 1:{printf("Entrez l'abscisse du cercle : ");

scanf("%f",&a1);

printf("\nEntrez l'ordonnee du cercle : ");

scanf("%f",&b1);

fs1=bishop(1.4,a1,b1);

fs2=bishop(fs1,a1,b1);

while(Abs(fs2-fs1)>=0.0001)

{





fs1=fs2;

fs2=bishop(fs2,a1,b1);

};

printf("\nLe facteur de securite du cercle (%.0f,%.0f) est : %f\n\n",a1,b1,fs1);

break;

} ;

case 2:{ printf("\t\t\tMaillage Fs\n");

printf("\t\t\t-----------\n");

printf("\nEntrez l'abscisse min du cercle : ");

scanf("%f",&a1);

printf("\nEntrez l'abscisse max du cercle : ");

scanf("%f",&a2);

printf("\nEntrez l'ordonnee min du cercle : ");

scanf("%f",&b1);

printf("\nEntrez l'ordonnee max du cercle : ");

scanf("%f",&b2);

for(a=a1;a<=a2;a++)

{

printf("\t%d",a);

}

printf("\n");

for(b=b1;b<=b2;b++)

{

printf("%d\t",b);

for(a=a1;a<=a2;a++)

{

fs1=bishop(1.4,a,b);

fs2=bishop(fs1,a,b);

while(Abs(fs2-fs1)>=0.0001)

{

fs1=fs2;

fs2=bishop(fs2,a,b);





};

printf("%.3f\t",fs2);

}

printf("\n");

}

break;

}

default : break;

}

system("PAUSE");

return 0;

}

L’exécution de ce programme a donné l’écran suivant qui nous a permis de

définir la surface réduite de maillage.

Bilan :

Pour la suite de l’étude de stabilité, le calcul va

se limiter sur la surface suivante :





( ,) ∈ ,∗ ,

Le pas du maillage est : 1m .

N.B : il faut mentionner que cette application présente untrès bon degré de précision. En effet on a confronté lesrésultats de cette application avec ceux obtenus

ultérieurement par le tableur Excel à partir des donnéesd’Autocad, et la marge d’erreur était de l’ ordre de − (relativement acceptable puisqu’on s’intéresse à 3 chiffresdécimaux significatifs)

Etude de la stabilité de pente :En exploitant les deux outils informatiques de modélisation et de calcul :

Autocad® ET Excel® , et en exploitant la grille de centres proposée par

l’application précédente, on a calculé les Fs de ces point à partir de la

formule de Bishop simplifiée.

Le calcul va s’effect uer par itérations successives, pour trouver la valeur

de convergence de la formule pour l’ordre de 3 chiffres après la virgule.

Les résultats présentés ci-dessous, se sont basés sur les formules

suivantes :





∑ [ ∗′ ( ∗ℎ )∗( ) ]=

∑ ∗ℎ ∗ ∗=0

Etant donné

( )= cos ∗1 ∗

Sur les feuilles de calculs d’EXCEL, on va noter ‘ LE PREMIER TERME’, le

terme suivant : ∗+( ∗− )∗( )

Par ailleurs, on va désigner par ‘ LE DEUXIÈME TERME’, le terme suivant :

∗ℎ ∗ ∗

Les mesures géométriques des angles et des distances sont précisées

dans l’illustration suivante :





Sous dessus on présente quelques points qui ont servi pour détérminer

le cercle critique :

Colonne X=41:

Le point Y=47

1. Caractéristiques géométriques :

2. Les itérations de calcul :

Fs initiale m(alpha i) premier terme deuxieme

terme1,5 0,83933073 522,672782 654,615024

Tranche bi hi alpha i(deg)

alpha i(rad)

1 6,259 6,07 59,487 1,038242 6,259 10,798 46,747 0,815893 6,259 12,748 36,525 0,637484 6,259 13,049 27,516 0,480245 6,259 12,138 19,198 0,335076 6,259 10,23 11,283 0,196937 6,259 7,432 3,583 0,062548 6,259 3,882 -4,053 -0,07074

9 6,259 3,013 -10,762 -0,1878310 6,259 1,25 -19,695 -0,34374





0,96555743 808,238494 984,485913

1,03267962 892,176475 949,774647

1,06470431 885,773205 754,658853

1,07095599 819,124334 499,641352

1,05598047 700,154796 250,5543431,02209942 525,517133 58,1408966

0,97029465 289,152008 -34,3464769

0,91053898 239,152491 -70,4283804

0,81178356 111,28691 -52,7341246

Somme 5793,24863 3994,36205

Fs 1,45035642

2 émeitération

0,85068081 515,699101 654,615024

0,97515294 800,285429 984,485913

1,04052078 885,453212 949,774647

1,07079091 880,738282 754,6588531,07528824 815,824153 499,641352

1,05855814 698,449864 250,554343

1,02292276 525,094151 58,1408966

0,96936349 289,429766 -34,3464769

0,90807889 239,800382 -70,4283804

0,80734355 111,898934 -52,7341246

Somme 5762,67327 3994,36205

Fs 1,44270179

3 émeitération

0,8525004 515,699101 654,6150240,97669125 800,285429 984,4859131,04177784 885,453212 949,7746471,07176669 880,738282 754,6588531,07598276 815,824153 499,6413521,05897138 698,449864 250,554343





0,96945193 277,870197 -33,838703

0,89887638 238,338954 -76,680908

0,80896947 109,823655 -52,441515

Somme 5637,19997 3873,25417

Fs 1,455417

2émeitération

0,84305449 490,916129 621,0661410,97150741 777,578446 958,108965

1,03867207 862,769349 928,385829

1,06990067 859,02899 738,622141

1,07488279 796,387136 489,092816

1,0583042 682,433752 244,857221

1,02253907 513,998019 56,0821879

0,96859684 278,115506 -33,838703

0,89643991 238,986746 -76,680908

0,8049514 110,37186 -52,441515

Somme 5610,58593 3873,25417

Fs 1,44854577

3émeitération

0,8446848 490,916129 621,0661410,97288532 777,578446 958,108965

1,03979758 862,769349 928,3858291,07077378 859,02899 738,6221411,07550352 796,387136 489,0928161,05867253 682,433752 244,8572211,02265499 513,998019 56,08218790,96846036 278,115506 -33,8387030,89605106 238,986746 -76,6809080,80431013 110,37186 -52,441515

Somme 5610,58593 3873,25417





Somme 5942,2056 4095,77054

Fs 1,45081506

2émeitération

0,85682939 535,876347 681,257935

0,97765375 824,154298 1010,95767

1,04146718 909,049558 971,0433811,07098306 903,020425 770,439481

1,07519033 835,685728 510,0140511,05849954 714,540568 256,088131

1,0231716 536,143683 60,1070102

0,97017081 293,557012 -34,0235950,89948431 245,90282 -77,0797890,81008793 113,359201 -53,033732

Somme 5911,28964 4095,77054

Fs 1,4432668

3émeitération

0,85861226 535,876347 681,2579350,97916142 824,154298 1010,957671,04269964 909,049558 971,0433811,07194031 903,020425 770,4394811,07587239 835,685728 510,014051

1,05890639 714,540568 256,0881311,02330327 536,143683 60,10701020,97002726 293,557012 -34,0235950,89906557 245,90282 -77,0797890,80939398 113,359201 -53,033732

Somme 5911,28964 4095,77054

Fs 1,4432668





Colonne X=40: Le point Y=46



alpha i(rad)

1 6,17 6,387 60,042 1,04793

2 6,17 11,181 47,076 0,82163

3 6,17 13,156 36,736 0,64116

4 6,17 13,477 27,645 0,48250

5 6,17 12,592 19,260 0,33616

6 6,17 10,714 11,287 0,19700

7 6,17 7,955 3,532 0,06164

8 6,17 4,358 -4,159 -0,07260

9 6,17 3,007 -11,927 -0,20816

10 6,17 1,246 -19,925 -0,34776

2. Calcul des itérations

Fs initiale m(alpha i) Premierterme

Deuxièmeterme

1,5 0,83284 546,34128 682,811240,96287 827,27919 1010,289801,03162 908,54095 970,99680

1,06443 902,07428 771,67122

1,07099 837,63970 512,55116

1,05599 722,87620 258,78840

1,02181 554,62782 60,46513

0,96945 320,30663 -39,010920,89887 238,33330 -76,68435

0,80896 109,76162 -52,41258

Somme 5967,78096 4099,46591

Fs 1,45575

Deuxième itération





0,84298 539,77114 682,81124

0,97144 819,98269 1010,28980

1,03862 902,41892 970,99680

1,06986 897,49662 771,671221,07485 834,63184 512,55116

1,05828 721,31184 258,78840

1,02253 554,23688 60,46513

0,96860 320,58728 -39,01092

0,89645 238,97619 -76,68435

0,80498 110,30534 -52,41258

Somme 5939,71874 4099,46591

Fs 1,44890

Troisième itération

0,84460 539,77114 682,811240,97281 819,98269 1010,289801,03974 902,41892 970,996801,07073 897,49662 771,671221,07547 834,63184 512,551161,05865 721,31184 258,788401,02265 554,23688 60,465130,96846 320,58728 -39,010920,89606 238,97619 -76,684350,80434 110,30534 -52,41258

Somme 5939,71874 4099,46591

Fs 1,44890

Le point Y=47



alpha i(rad)

1 6,2594 6,364 59,486 1,03823

2 6,2594 11,375 46,746 0,815883 6,2594 13,326 36,523 0,63745





4 6,2594 13,626 27,514 0,48021

5 6,2594 12,715 19,195 0,33502

6 6,2594 10,806 11,280 0,19688

7 6,2594 8,008 3,579 0,06247

8 6,2594 4,368 -4,057 -0,070819 6,2594 3,012 -11,767 -0,20537

10 6,2594 1,249 -19,701 -0,34384



Deuxièmeterme

1,5 0,83934 548,02062 686,36349

0,96556 851,49658 1037,17206

1,03269 932,64881 992,82711

1,06471 924,98598 788,02444

1,07095 858,10582 523,34930

1,05597 739,63152 264,61987

1,02208 566,32357 62,59185

0,97026 325,41775 -38,69013

0,90049 241,78355 -76,90274

0,81171 111,20943 -52,70740

Somme 6099,62362 4186,64786

Fs 1,45692


0,84914 541,69313 686,36349

0,97385 844,24931 1037,17206

1,03946 926,57176 992,82711

1,06997 920,44096 788,02444

1,07470 855,11816 523,34930

1,05820 738,07556 264,61987

1,02279 565,93016 62,59185

0,96946 325,68800 -38,690130,89817 242,40829 -76,90274





0,80788 111,73754 -52,70740

Somme 6071,91288 4186,64786

Fs 1,45030

Troisième itérationm(alpha i)

0,85070 541,69313 686,363490,97517 844,24931 1037,172061,04054 926,57176 992,82711

1,07080 920,44096 788,024441,07529 855,11816 523,34930

1,05855 738,07556 264,619871,02290 565,93016 62,591850,96933 325,68800 -38,690130,89781 242,40829 -76,90274

0,80727 111,73754 -52,70740

Somme 6071,91288 4186,64786

Fs 1,45030

Le point Y=48



alpha i(rad)

1 6,3474 6,265 58,940 1,02869

2 6,3474 11,572 46,418 0,81014

3 6,3474 13,496 36,309 0,63372

4 6,3474 13,774 27,381 0,47789

5 6,3474 12,837 19,127 0,33383

6 6,3474 10,896 11,270 0,19669

7 6,3474 8,061 3,623 0,06323

8 6,3474 4,378 -3,960 -0,06911

9 6,3474 3,017 -11,613 -0,2026810 6,3474 1,251 -19,483 -0,34005






Fs initiale m(alpha i) Premier terme Deuxièmeterme

1,5 0,84566 543,01021 681,32238

0,96821 875,97923 1064,12780

1,03375 956,86897 1014,50793

1,06499 947,92220 804,16447

1,07091 878,54092 533,95745

1,05594 756,31848 270,32417

1,02232 577,92785 64,66096

0,97103 330,43084 -38,376250,90205 245,17647 -77,10824

0,81436 112,63165 -52,98793

Somme 6224,80682 4264,59274

Fs 1,45965

Deuxièmeitération

0,85477 537,21984 681,32238

0,97592 869,06081 1064,12780

1,04005 951,07222 1014,50793

1,06988 943,58645 804,16447

1,07440 875,69000 533,95745

1,05802 754,83203 270,324171,02299 577,54802 64,66096

0,97030 330,68106 -38,37625

0,89991 245,76000 -77,10824

0,81081 113,12464 -52,98793

Somme 6198,57508 4264,59274

Fs 1,45350

Troisième





itération

0,85621 537,21984 681,322380,97713 869,06081 1064,12780

1,04104 951,07222 1014,507931,07065 943,58645 804,164471,07495 875,69000 533,95745

1,05834 754,83203 270,324171,02310 577,54802 64,660960,97018 330,68106 -38,37625

0,89957 245,76000 -77,108240,81025 113,12464 -52,98793

Somme 6198,57508 4264,59274

Fs 1,45350

Colonne X=42: Le point Y=46



alpha i(rad)

1 6,17 5,231 60,041 1,04792

2 6,17 10,032 47,076 0,82163

3 6,17 12,000 36,736 0,64116

4 6,17 12,322 27,645 0,48249

5 6,17 11,437 19,260 0,33615

6 6,17 9,559 11,287 0,197

7 6,17 6,799 3,531 0,06163

8 6,17 3,878 -4,159 -0,07259

9 6,17 3,006 -11,927 -0,20816

10 6,17 1,246 -19,925 -0,34776







Deuxièmeterme

1,5 0,83285 447,48068 559,25710

0,96287 742,28801 906,49652

1,03162 828,73480 885,704201,06443 824,74238 705,50741

1,07099 760,81677 465,53291

1,05599 644,91955 230,87724

1,02181 474,05675 51,67463

0,96945 284,99446 -34,70710

0,89887 238,25769 -76,65853

0,80897 109,73411 -52,39907

Somme 5356,02519 3641,28531

Fs 1,47092


0,83944 443,96581 559,25710

0,96845 738,01658 906,49652

1,03617 825,09407 885,70420

1,06796 822,01541 705,50741

1,07350 759,03762 465,53291

1,05748 644,01110 230,87724

1,02228 473,83938 51,67463

0,96890 285,15681 -34,70710

0,89730 238,67531 -76,65853

0,80637 110,08705 -52,39907

Somme 5339,89916 3641,28531

Fs 1,46649


0,84047 443,96581 559,257100,96932 738,01658 906,496521,03688 825,09407 885,70420

1,06851 822,01541 705,507411,07389 759,03762 465,53291





1,05772 644,01110 230,877241,02235 473,83938 51,674630,96881 285,15681 -34,707100,89705 238,67531 -76,65853

0,80597 110,08705 -52,39907

Somme 5339,89916 3641,28531

Fs 1,46649

Le point Y=47



alpha i(rad)

1 6,259 5,492 59,486 1,03823

2 6,259 10,220 46,746 0,81587

3 6,259 12,170 36,523 0,63745

4 6,259 12,471 27,514 0,480215 6,259 11,560 19,195 0,33502

6 6,259 9,651 11,280 0,19688

7 6,259 6,853 3,579 0,06247

8 6,259 3,882 -4,057 -0,070806

9 6,259 3,012 -11,766 -0,20536

10 6,259 1,248 -19,701 -0,34384



Deuxièmeterme

1,5 0,83934 472,89736 592,27612

0,96557 764,96774 931,77121

1,03269 851,71737 906,67287

1,06471 846,53491 721,18338

1,07095 780,11963 475,78289

1,05597 660,53244 236,319501,02208 484,58595 53,55557





0,97026 289,16119 -34,37934

0,90050 241,73864 -76,88629

0,81172 111,11818 -52,66408

Somme 5503,37342 3753,63182

Fs 1,46615


0,84700 468,62251 592,27612

0,97204 759,87373 931,771211,03798 847,37717 906,67287

1,06881 843,28307 721,18338

1,07388 777,99688 475,78289

1,05771 659,44678 236,31950

1,02263 484,32303 53,55557

0,96964 289,34870 -34,37934

0,89869 242,22614 -76,88629

0,80872 111,52983 -52,66408

Somme 5484,02784 3753,63182

Fs 1,46099


0,84819 468,62251 592,276120,97305 759,87373 931,771211,03880 847,37717 906,672871,06946 843,28307 721,183381,07433 777,99688 475,782891,05798 659,44678 236,319501,02272 484,32303 53,555570,96954 289,34870 -34,379340,89840 242,22614 -76,886290,80825 111,52983 -52,66408

Somme 5484,02784 3753,63182

Fs 1,46099





Le point Y=48



alpha i(rad)

1 6,3474 5,755 58,939 1,02868

2 6,3474 10,417 46,418 0,81014

3 6,3474 12,341 36,309 0,63371

4 6,3474 12,619 27,381 0,477885 6,3474 11,681 19,127 0,33383

6 6,3474 9,741 11,270 0,19669

7 6,3474 6,906 3,622 0,06322

8 6,3474 3,885 -3,959 -0,0691

9 6,3474 3,017 -11,612 -0,20267

10 6,3474 1,251 -19,483 -0,34004



Deuxièmeterme

1,5 0,84566 498,78500 625,83339

0,96821 788,56454 957,93754

1,03375 874,98354 927,68279

1,06499 868,45242 736,73627

1,07091 799,45012 485,88624

1,05594 676,13048 241,661691,02232 495,11397 55,38824

0,97104 293,23782 -34,05252

0,90206 245,13547 -77,09273

0,81437 112,59058 -52,96772

Somme 5652,44394 3867,01319

Fs 1,46171






0,85430 493,74202 625,83339

0,97552 782,66025 957,937541,03972 869,95893 927,68279

1,06962 864,68735 736,73627

1,07422 796,99132 485,88624

1,05791 674,87110 241,66169

1,02296 494,80564 55,38824

0,97034 293,44821 -34,05252

0,90003 245,68826 -77,09273

0,81100 113,05746 -52,96772

Somme 5629,91055 3867,01319

Fs 1,45588


0,85565 493,74202 625,833390,97666 782,66025 957,93754

1,04066 869,95893 927,682791,07035 864,68735 736,736271,07473 796,99132 485,886241,05822 674,87110 241,661691,02306 494,80564 55,388240,97023 293,44821 -34,052520,89971 245,68826 -77,092730,81048 113,05746 -52,96772

Somme 5629,91055 3867,01319

Fs 1,45588

Commentaires :

L’orde de grandeur des valeurs de Fs retrouvé (entre 1.497 et 1.442)

correspond largement à la marge de sécurité théorique proposée par le





MANUEL DU GEOTECHNICIEN MAROCAIN – GéotechniqueDes Pentes: de 1.2 à 1.3 .

On a constaté que la valeurs suivent une variation sous forme decuvette , ce qui est conforme à la règle générale :





Le maillage a permis de gagne plus en terme de précison surtout pourle deuxième et le troisième chiffre après la virgule. A priori, on savaitau préalable, grâce à l’application, que la valeur de Fs≈1.4 .

Fs minmal = 1.442

Modélisation des isocontours

A l’aide du logiciel de modélisa tion des courbes de niveaux QUICKGRID®,

nous avons tracé les courbes d’égal Facteur de Sécurité Fs : LESISOCONTOURS.

Ces lignes isocontours permettent de vérifier la surface de maillage

trouvée. En effet dans cette surface, on remarque que les courbesconvergent vers une courbe caractérisant la valeur de Fs minimal : LE

CERCLE CRITIQUE, que nous allons présenter dans la partie suivante.





Bilan :

Les isocontours convergent vers un unecourbe défini par son centre : O(x,y)=(41,47)

qui donne un Fs minimal= 1.4.

Positionnement du cercle critique dansle repère prédéfini :

Une fois le Fs minimal est bien détérminé, et le centre du cerclecorrespondant est déduit à partir des isocontours, nous pouvons tracer le

cercle critique qui va donner la surface de rupture la plus défavorable en

terme de sécurité et de stabilité.

Ce centre est donné par : O(x,y)=(41,47), l’illustratio n suivante montre la

surface de rupture « théorique » déduite de ce calcul.




Conclusion :La synthèse de cette étude a montré que cette solution de confortement

est relativement sécuritaire avec un Fs théoriquement acceptable, nous

résumons dans le tableau suivant les résultats principaux de notre étude :

Xcritique Ycritique Rayoncritique

Fs minimal

41 47 47 1.442

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