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Commande robuste par mode glissant d’un système mécanique sous-‐actionné Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Master 2 EEA

Spécialité : "Robotique"

Rapport de projet Master 2

Préparé au

Laboratoire d’Informatique de Robotique et de Microelectronics de Montpellier LIRMM UMR (CNRS-UM2) N◦ 5506��

161, rue Ada

34095, Montpellier

Présenté par

Chourouk El Biad – Samy Lafnoune

Encadré par

Ahmed CHEMORI

Soutenu le

21 Février 2014

1

Table des matières :

1 INTRODUCTION GENERALE : ................................................................................. 2

2 CONTEXTE ET ETAT DE L’ART : ............................................................................ 3 2.1 LES SYSTEMES SOUS-ACTIONNES ........................................................................................... 3 2.2 EXEMPLES DE SYSTEMES SOUS-ACTIONNES ........................................................................... 3

3 PROBLEMATIQUE : STABILISATION DU PENDULE INVERSE A ROUE D’INERTIE : ......................................................................................................................... 4

3.1 DESCRIPTION DU SYSTEME : .................................................................................................. 4 3.2 MODELISATION DYNAMIQUE ET ANALYSE DU SYSTEME : ..................................................... 6 3.3 PROBLEMATIQUES DE STABILISATION : ................................................................................. 8

4 APPLICATION D’APPROCHES EXISTANTES: ..................................................... 9 4.1 APPROCHE 1 : LA COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT ............................................................ 9 4.2 APPROCHE 2 : LA COMMANDE OPTIMALE LINEAIRE QUADRATIQUE (LQ) ........................ 10

5 NOTRE CONTRIBUTION : APPROCHES DE COMMANDE ROBUSTE PAR MODE GLISSANT ............................................................................................................. 11

5.1 PRINCIPE DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT : ........................................................... 11 5.2 SYNTHESE D’UNE COMMANDE PAR MODE GLISSANT : ......................................................... 11 5.3 ADAPTATION DE LA COMMANDE AU PENDULE INVERSE RI: ............................................... 13

6 RESULTATS DE SIMULATIONS ET D’EXPERIMENTATIONS : ..................... 14 6.1 APPLICATION DES APPROCHES 1 ET 2 : COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT ET LQ ............ 14

6.1.1 Simulation dans le cas nominal avec rejet de perturbation : ...................................................... 14 6.1.2 Effet du choix des coefficients de pondérations de la commande LQ: ...................................... 15 6.1.3 Robustesse vis à vis des incertitudes : ........................................................................................ 16

6.2 APPLICATION DE LA COMMANDE ROBUSTE PAR MODE GLISSANT ...................................... 17 6.2.1 Simulation dans le cas nominal .................................................................................................. 17 6.2.2 Simulation avec rejet de perturbation : ....................................................................................... 18 6.2.3 Simulation avec des incertitudes : .............................................................................................. 19 6.2.4 Expérimentation : ........................................................................................................................ 20

- Scénario 1 : Cas nominal .................................................................................................................................. 20 - Scénario 2 : Cas de rejet de perturbation .......................................................................................................... 21 - Scénario 3 : Cas de rejet des perturbations persistantes ................................................................................... 22 - Scénario 4 : Combinaison de deux types de perturbations ............................................................................... 23

7 CONCLUIONS ET PERSPECTIVES : ...................................................................... 24

8 BIBLIOGRAPHIE : ...................................................................................................... 25

9 ANNEXE : ...................................................................................................................... 26

EL BIAD - LAFNOUNE 2

1 Introduction générale : Les systèmes mécaniques sont utilisés par l’homme depuis des siècles pour l’aider à réaliser des missions difficiles ou nécessitantes des efforts qui dépassent ses capacités physiques. Avec l’évolution de la robotique de nos jours et devant les problèmes délicats de modélisation et de commande de systèmes mécaniques complexes, les outils utilisés deviennent de plus en plus pointus. L’un des axes les plus importants de recherche dans le domaine de la robotique concerne la commande de systèmes mécaniques qui se divisent en trois types de mécanismes actionnés par rapport aux nombres d’actionneurs avec le nombre de leurs degrés de liberté. Quand il ’y a plus d’actionneurs que d’articulations dans un mécanisme, on dit que c’est un système redondant ou sur-actionné. Un système complètement actionné compte, lui, autant d’actionneurs qu’il a de degrés de liberté. Finalement, le type de système qu’on étudie par la suite est celui des systèmes sous-actionnés qui ont moins d’actionneurs que de degrés de liberté. Le pendule inversé est un système sous-actionné classique très intéressant et largement étudié dans la communauté automaticienne, vu sa dynamique non linéaire et instable. Il a toujours constitué un défi intéressant pour le contrôler. On trouve différentes formes de pendule inversé, les plus connus sont : le pendule inversé pimple, le pendule inversé double, le pendule inversé de Furuta, le pendule inversé gyroscopique etc… Dans notre cas, l’étude s’est portée sur le pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie car il est pratique pour étudier ce type de systèmes sous-actionnés vu on cout et la facilité de son utilisation. L’objectif de ce projet est de stabiliser le système démonstrateur en le ramenant vers son point d’équilibre instable et de le maintenir dans cette position malgré la présence de perturbations externes ponctuelles ou permanentes. Pour cela, il faut étudier et appliquer une commande robuste capable de respecter le cahier de charge. La première partie du travail consiste à étudier le modèle du système et ainsi appliquer des commandes simples comme la commande par retour d’état ou la commande optimale et de les valider par simulation. La deuxième partie de ce projet consiste à concevoir une commande par mode glissant qui soit adaptée au sous-actionnement de notre système et de la valider par simulation dans un premier lieu, puis appliquer cette commande au système réel.

Figure 1.1 : Différentes catégories de systèmes actionnés

3

2 Contexte et état de l’art :

2.1 Les systèmes sous-actionnés Les systèmes sous-actionnés possèdent moins d’actionneurs que de degrés de liberté. Ceci a pour conséquence la présence de contraintes dynamiques généralement non linéaires et non intégrables. Le sous-actionnement peut se retrouver dans plusieurs situations comme par exemple dans le cas des véhicules tels que les avions, les hélicoptères, les robots sous-marins, etc. Il peut aussi être intentionnellement introduit lors de la conception du système pour réduire son poids et son coût de production. Enfin, lorsqu’une panne d’un actionneur survient, un système mécanique complètement actionné peut devenir sous-actionné et présenter les mêmes propriétés et difficultés.

2.2 Exemples de systèmes sous-actionnés

On trouve plusieurs exemples de systèmes sous-actionnés dans la robotique.

Les satellites : Les satellites sont un très bon exemple pour montrer l’utilité des

commandes des systèmes sous-actionnés. Lorsqu’un des actionneurs du satellite tombe en panne, il passe d’un système complètement actionné à un système sous-actionné. Sa réparation est donc impossible ou trop coûteuse, pour anticiper cette défaillance technique, les satellites peuvent alors être commandés par des lois de dédiées aux systèmes sous-actionnés.

Les Quadrirotors:

Les Quadrirotors sont des systèmes que l’on peut représenter par un corps solide équipé à ses extrémités de 4 actionneurs couplés à des hélices, ils sont sous-actionnées car ils possèdent six ddl et quatre actionneurs ; Cependant avec seulement ses quatres actionneurs et l’implémentation d’une commande adaptée aux systèmes sous-actionnés, les déplacements du quadrirotor restent totalement actionnés dans l’espace dans lequel il se trouve. Les bateaux à simple propulseur :

De nombreux bateaux naviguent avec un simple propulseur et un gouvernail, ils disposent donc de deux actionneurs et de trois degrés de liberté, ils sont considérés donc comme des systèmes sous-actionnés. Pour qu’ils puissent se déplacer latéralement, ils doivent être équipés de propulseurs latéraux relativement chers. La solution adaptée sera de leur appliquer une commande qui prend en compte le sous-actionnement du bateau.


3 Problématique : Stabilisation du pendule inversé à roue d’inertie :

3.1 Description du système :

Le pendule inversé est un système très utilisé dans le domaine de l’automatique et de la robotique. Il présente l’avantage d’avoir une dynamique similaire de celles des mécanismes sous-actionnés les plus complexes. Par conséquent, il est très convenable et moins coûteux pour tester rapidement différentes approches de commande.

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est constitué d’un pendule libre en rotation autour d’un axe, et d’une roue d’inertie fixée au centre du pendule est actionnée par un moteur.�� Le principe de fonctionnement de ce pendule est assez simple, la rotation de la roue d’inertie exerce un couple sur le pendule qui lui permet de tourner autour de son axe de rotation libre avec le bâti.

Figure 3.1 : Vu du pendule inversé stabilisé par roue d'inertie

- Architecture du système : La plateforme expérimentale de notre démonstrateur est constituée d’un PC de commande équipé d’un système d’exploitation Windows XP avec un noyau temps réel RTX (Real-Time Extension for Control of Windows), ce dernier est en charge de réaliser tous les calculs de commande. Le PC est relié au pendule à travers une carte d’acquisition qui récupère les informations issues des capteurs (inclinaison, position du volant) et envoie la commande au moteur. La position du pendule est mesurée par un inclinomètre.

Figure 3.2 : Vue de la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

-

PC de commande

Alimentation (12V)

Variateur de vitesse

Inclinomètre

Pendule

Volant d’inertie

5

- Schéma de principe :

Le pendule inversé stabilisé par roue d’inertie (cf. figure 3.1) est un système mécanique sous-actionné. Il dispose de deux axes de rotation et un seul actionneur. La figure 3.1 montre que le système est constitué de trois corps : un bâti, un pendule et une roue d’inertie. Le pendule est en rotation libre (pivot) autour du bâti alors que le volant d’inertie possède un axe de rotation solidaire. Le système dispose de deux points d’équilibres : • Le point d’équilibre stable : correspond à la position dans laquelle le pendule est dirigé vers le bas (cf. Figure 3.3). Lorsque que le système n’est pas commandé, il reste naturellement dans cette position sous l’effet de la gravité. • Le point d’équilibre instable : qui correspond à l’état dans lequel le pendule est pointé vers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en l’absence d’une force de contrôle, le pendule, sous l’effet d’une quelconque perturbation, est incapable de rester dans cette position.

Figure 3.3 : Schéma du pendule et illustration des points d’équilibre

- Notation utilisés : Les tableaux 1 et 2 (Voir Annexe) représentent l’ensemble des variables et constantes du système :

Variable Description Unité C1 Couple appliqué du bâti sur le pendule (Couple perturbateur) N.m C2 Couple appliqué du volant d’inertie sur le pendule N.m 𝜽𝟏 Position angulaire du pendule Rad 𝜽𝟏 Vitesse angulaire du pendule Rad.s-1 𝜽𝟏 Accélération angulaire du pendule Rad.s-2 𝜽𝟐 Position angulaire du volant Rad 𝜽𝟐 Vitesse angulaire du volant Rad.s-1 𝜽𝟐 Accélération angulaire du volant Rad.s-2

Tableau 1 : Variables utilisées lors de la modélisation


3.2 Modélisation dynamique et analyse du système :

Afin d’élaborer le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, les hypothèses suivantes sont considérées [1] [7] : – Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont considérées comme étant des masses ponctuelles situées à leurs centres de gravité (respectivement G1 et G2). – Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du pendule inversé est réalisée en négligeant les phénomènes mécaniques liés aux frottements. – Hypothèse 3 : La dynamique du moteur actionneur associée au volant d’inertie n’est pas prise en compte dans le cadre de la modélisation du système. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on peut démontrer facilement la façon dont la partie actionnée (volant d’inertie) agit sur l’angle du pendule afin de le ramener autour de la position verticale (pendule dirigé vers le haut). L’application du principe fondamental de la dynamique à notre système donne :

!MO

FA+!MO

FB+!MO

FG1+!MO

FG 2= Σ!MDynamique

Avec : !MO

FA le moment relatif à la force FA appliqué par le volant à son extrémité haute.

!MO

FB le moment relatif à la force FB appliqué par le volant à son extrémité basse.

!MO

FG1 et !MO

FG 2 Les moments relatifs au poids du pendule et du volant respectivement. Soit :

!CRI +

!MPendule = Σ

!MDynamique

Avec : !CRI =

!MO

FA+!MO

FB et !MPendule =

!MO

FG1+!MO

FG 2

Le pendule est mis en mouvement lorsque le couple généré par la roue d’inertie CRI est supérieur ou inférieur au moment résistant (MDynamique - MPendule). La synthèse ci-après précise l’état du système en fonction de ces différences de moment : - !MO

FA=!MO

FB+!MPendule : Le pendule est en équilibre statique.

- !MO

FA>!MO

FB+!MPendule : Le pendule est en phase ascendante.

- !MO

FA<!MO

FB+!MPendule : Le pendule est en phase descendante.

Figure 3.4 : Modèle mécanique équivalent

Le modèle mathématique du pendule inversé RI est obtenu en appliquant le formalisme de Lagrange. Cette approche nécessite le calcul des énergies cinétiques et potentielles des composants du système en fonction des coordonnées généralisées. Le Formalisme d’Euler-Lagrange repose sur l’équation de Lagrange :

ddt

∂L∂ !qi

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ∂L∂qi

=Qi; avec i = 1,2

7

Avec L = T −V est le Lagrangien T : L’énergie cinétique ; V : L’énergie potentielle ; Qi : Les forces généralisées appliquées à la

coordonnée qi ; q =q1q2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

θ1θ2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ Le vecteur de coordonnées généralisées.

- Energie cinétique total T: T = TPendule +TRI

TPendule =12(m1l

21 + i1) !θ1

2

TRI =12m2l

22!θ22 + 12i2 ( !θ1 + !θ2 )

2

Donc : T = 1

2(m1l

21 +m1l

22 + i1)+ i2 ( !θ1 + !θ2 )

- Energie potentielle total V: V =VP +VRI avec : VP = m1l1gcosθ1VRI = m2l2gcosθ1

Donc : V = (m1l1 +m2l2 )gcosθ1 Le Lagrangien s’écrit donc :

L = 1

2I !θ 2

1 + i2 ( !θ1 + !θ2 )−m0gcosθ1

Avec : m0 = m1l1 +m2l2 et I = m1l21 +m2l

22 + i1

- Dynamique du pendule :

Les équations de la dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie peuvent être déduites des équations d’Euler-Lagrange. Elles décrivent la dynamique du pendule et la dynamique du volant d’inertie [1] [2].

!!θ1 =

1I(C1 −C2 +m0gsinθ1) : L’accélération angulaire du pendule

!!θ2 =

1Ii2[−i2C1 + (i2 + I )C2 − i2m0gsinθ1] : L’accélération angulaire de la roue d’inertie

Ces équations peuvent être mises sous forme matricielle plus compacte :

I + i2 i2i2 i2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟!!θ1!!θ2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

−m0gsinθ10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

C1C2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

- Linéarisation du système : La représentation d’état linéaire du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenue

par la linéarisation de son modèle dynamique autour du point d’équilibre instable (Pendule dirigé vers le haut).

On choisit comme vecteur d’état X = [ θ1 !θ1 !θ2 ]

T et comme commande u = C2 Le model linéarisé s’écrit sous la forme :

!X = AX + BuY = CX + Du⎧⎨⎩


Avec : A =

0 1 0m0gI

0 0

− m0gI

0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

et B =

0

− 1I

(I + i2 )i2I

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

et C =1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Remarque : Dans cette représentation, le couple perturbateur C1 est négligé afin de simplifier l’analyse. - Analyse du système en boucle ouverte : Les pôles du système en boucle ouverte sont calculés en cherchant les solutions de l’équation caractéristique det(A − λI) = 0. Dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, l’équation caractéristique est :λ(λ2 – m0g/I) = 0 et les pôles sont : 0; 𝑚!g/I; −𝑚!g/I . ��La présence de pôles à partie réelle nulle ou positive, vient confirmer le fait que le système est naturellement instable. Commandabilité: La commandabilité (appelée aussi gouvernabilité) a un impact direct sur la conception de la loi de commande du système. Un système d’équation d’état est dit commandable (ou complètement commandable) si pour n’importe quel état initial, il existe une commande sans contrainte permettant de conduire le système à n’importe quel état final en un temps fini [5]. Un système est dit entièrement commandable si et seulement si le rang de sa matrice de commandabilité C = [B AB ... An−1B] est égal à la dimension du système (n). Dans notre cas C = [B AB ... A2B] et n = 3. Le rang(C) = n = 3 , donc le système est complètement gouvernable. Observabilité : L’observabilité est une propriété fondamentale nécessaire pour la conception d’un observateur d’état. Un système est dit observable (ou complètement observable) si pour n’importe quel état initial x0, il existe un temps fini tf telle que la connaissance de la commande et de la sortie pour t0 et tf est suffisante pour déterminer x0. Un système est entièrement observable si et seulement si le rang de sa matrice d’observabilité O = [CT [CA]T ...[CAn−1]T ]T est égal à la dimension du système. Dans notre cas le rang(O) = n = 3 , donc le système est entièrement observable.

3.3 Problématiques de stabilisation :

La stabilisation du pendule revient à synthétiser une commande initiale en position d’équilibre instable et de le maintenir autour de cette position (cf. figure 3.5), en dépit de présence de perturbations externes ou par de variations paramétriques (modification des centres masse ou de la masse).�� Outre les contraintes de stabilité, la commande doit assurer la meilleure performance tous en respectant les contraintes énergétiques.

Par ailleurs, il faut aussi assurer une certaine robustesse envers toutes incertitudes qui sont présentes naturellement dans le modèle réel du fait de l’utilisation d’un système idéal pour la simulation ou qui peuvent intervenir suite à un changement de paramètre tel que la masse.

Il existe de nombreuses techniques de synthèse qui permettent de concevoir des lois de commande le plus rapidement et le plus simplement possible, tout en étant en adéquation avec le cahier des charges définit au préalable.

9

Dans ce travail, nous proposons d’appliquer deux approches de commandes existantes et nous proposons une nouvelle contribution basée sur la commande par mode glissant. On verra aussi par la suite que, du fait de son sous-actionnement, l’application directe de commande telle que la technique par mode glissant nécessite de trouver des astuces afin de l’adapter à ce système.

Figure 3.5 : Schéma représentatif de la stabilisation du pendule

4 Application d’approches existantes:

4.1 Approche 1 : La commande par retour d’état Cette loi de commande consiste à trouver un retour d’état sous la forme u=-KX+Ne permettant de stabiliser le système.

Le schéma-bloc du système en boucle fermée est le suivant :

Figure 4.1 : Schéma bloc de la commande par retour d'état

D’après l’analyse du système, ce dernier est complètement commandable il est donc possible d’appliquer la technique de placement de pôles, permettant de choisir le gain de retour K afin de placer arbitrairement les valeurs propres du système en boucle fermée. Pour ce faire, il nous faut choisir les pôles correspondants au comportement désiré en boucle fermée en se basant sur la technique de pôles dominants. Dans le but de déterminer les deux premiers pôles relatifs à un système standard du deuxième ordre 2, on impose à notre système un dépassement de 5% et un temps de réponse inférieur à te5% = 0.5 sec. Ceci nous amène à déterminer w0 = 12rd.s

−1 (pulsation

propre)ξ = 0.7 (facteur d’amortissement).

H (p) = K

1+ 2ξw0

s + 4w20

s2= 1(s − λ1)(s − λ2 )

Par ce calcul, on détermine les deux premiers pôles désirés du système, et selon le principe des pôles dominants, on trouve le 3eme pôle dont la valeur réelle doit être au moins 10 fois inférieure aux valeurs réelles des deux premiers pôles.

K

u X0+

-

Pendule RI


À partir de ces pôles, il nous est possible de déterminer le polynôme caractéristique désiré de notre système en boucle fermée [5].

PBF (s) = (s − λi,BF ) = sn + βn−1s

n−1 + ...+ β1i=1

n=3

∏ s + β0

On calcule la matrice de gain de retour K grâce à la formule d’Ackermann suivante : K = [0...01](C(A,B))−1PBF (A)

4.2 Approche 2 : La commande optimale linéaire quadratique (LQ) Le contrôleur Linéaire Quadratique (LQR Linear Quadratic Regulator) est un contrôleur dit optimal car il réalise un bon compromis entre performance et impact énergétique. Il se base sur le modèle linéarisé du pendule. La réalisation de ce contrôleur consiste en le calcule d’une matrice gain de retour optimale K opt telle que la commande par retour d’état soit U = -KoptX, cette dernière doit permettre la convergence du système global. Le calcul de la matrice de gain optimal est déterminé par la minimisation du critère quadratique suivant [5] :

J = (XTQX +UTRU )dt0

∞

∫

Avec : Q est la matrice de pondération du vecteur d’état. R est la matrice de pondération de la commande. Cette optimisation représente un compromis entre le temps de convergence qui est affectée par le choix de Q et l’énergie utilisée qui est affectée par le choix de R. La matrice gain Kopt est donc calculée avec la relation suivante : K = R−1BTPC Avec Pc la solution de l’équation de RICCATI suivante [5] : PCA + ATPC − PCBR

−1BTPC +Q = 0 Le schéma-bloc de la commande est le même que la figure 4.1. Nous donnons plus de détails sur le choix et l’effet de pondération.

11

5 Notre contribution : Approches de commande robuste par mode glissant

5.1 Principe de la commande par mode glissant :

L’origine de la commande par mode glissant remonte aux années 60, du fait d’un besoin crucial en robustesse dans le domaine de l’aéronautique. Elle fait partie des commandes dite robuste car elle est insensible aux variations paramétriques et donc idéale dans le domaine de l’aéronautique car, par exemple, la masse d’un avion varie dans le temps à cause de la combustion du carburant. Elle est robuste aussi par rapport aux perturbations externes ainsi que les incertitudes, et peut-être appliquer à la fois aux systèmes linéaires et non linéaires. L’idée de cette commande consiste à amener le système sur un hyperplan de commutation stable (appelé aussi surface de glissement), puis glisser sur la surface vers le point d’équilibre désiré, comme le montre la figure 5.1 :

Figure 5.1 : Illustration de la convergence vers la surface de glissement

5.2 Synthèse d’une commande par mode glissant : On considère notre système suivant :

!x1 = x2!x2 = f1(x)+ g1(x)u!x3 = x4!x4 = f2 (x)+ g2 (x)u

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

On souhaite stabiliser que la position du pendule, donc on va réaliser la synthèse du mode glissant sur la partie pendule, on écrit donc notre système sous la forme :

!x1 = x2!x2 = f (x)+ g(x)u

⎧⎨⎩

Avec : f (x) = m0 gsin(x1)I

; g(x) = − 1I

;

x2

x1

Suface de glissement


L’objectif donc est de stabiliser x1 et x2 autour de 0. La dynamique de x1 est stable pour x2 = −α x1 , on définit donc une surface de glissement : s = x2 +α x1 avec α > 0 Donc !x1 = x2 = −α x1 + s ce qui signifie que x1 est stable pour s = 0. Remarque : L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de f (x)+ g(x) . ��Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra amener le système sur cette surface. On considère la surface de glissement : s = x2 +α x1 Donc : !s = !x2 +α !x1 = f (x)+ g(x)u +α x2

On considère la fonction de Lyapunov : V (s) = 12s2

Le système est stable si V est définie positive et 𝑉 est semi-définie négative. V est définie positive, on calcul donc 𝑉 : !V (s) = s!s = s( f (x)+ g(x)u +α x2 ) 𝑉 est définie négative si :

f (x)+ g(x)u +α x2 > 0 pour s < 0f (x)+ g(x)u +α x2 = 0 pour s = 0f (x)+ g(x)u +α x2 < 0 pour s > 0

- Calcule de la commande équivalente pour satisfaire cette condition : Soit f (x)+ g(x)u +α x2 = 0 , alors ue = − f (x)+α x2

g(x)= β(x)

Pour satisfaire donc la condition précédente, la commande ue doit satisfaire :

u > β(x) pour s < 0u = β(x) pour s = 0u < β(x) pour s > 0

Pour réaliser cela, on choisit comme commande [3]: u = β(x)− K Sign(s) avec K > 0

Avec -Ksign(s) la commande discontinue. Démonstration :

!V (s) = s( f (x)+ g(x)u +α x2 ) = s( f (x)+α x2 )+ g(x)s(β(x)− Ksign(s)) = s( f (x)+α x2 )+ s(− f (x)−α x2 − Kg(x)sign(s)) = −Kg(x)s sign(s) ≤ −Kg(x) s

Donc 𝑉 est négative car g(x) > 0. Donc la commande globale s’écrit [ ] :

u = β(x)− K tanh(s) Avec K > 0 Remarque : On remplace Sign(s) par tanh(s) pour éviter les phénomènes de réticences qui peuvent endommager les actionneurs.

13

5.3 Adaptation de la commande au pendule inversé RI:

Nous avons vu dans le paragraphe précédant la synthèse d’une commande par mode glissant, appliquée comme cela, cette dernière ne marche pas car la roue d’inertie ne stabilise pas vu que la synthèse n’a était faite que sur le pendule. Pour adapter cette commande à notre système l’astuce et de faire un changement de variable puis une génération de trajectoire désirée du pendule basée sur ce changement de variable. On écrit notre système sous forme de cascade [4] :

z1 =∂L∂ !θ1

= (I + i2 ) !θ1 + i2 !θ2

z2 = θ1z3 = !θ2

et

!z1 =∂L∂θ1

= m0 gsin(z2 )

!z2 =1

(I + i2 )z1 −

i2(I + i2 )

z3

!z3 = u

Le système est stable pour z1 = 0

On doit donc trouver un x1d = z2d pour satisfaire V (z1) = 1

2z2

1 > 0 et !V (z1) = z1!z1 < 0

On choisit donc : x1d = z2d = −a tanh(bz1), 0 < a < π / 2 et b > 0 Démonstration :

!V (z1) = z1!z1 = z1m0 gsin(z2 ) = z1m0 gsin(−a tanh(bz1))

On a Sign(sin(x)) = Sign(x) si − !!< 𝑥 < !

! et tanh est compris entre -1 et 1, donc pour 0 < 𝑎 < !

!

− π2< −a tanh(bz1) <

π2

ce qui satisfait donc la condition précédente.

Donc pour

z1 > 0 !V (z1) < 0z1 = 0 !V (z1) = 0z1 < 0 !V (z1) < 0

ce qui satisfait donc les conditions de convergence du système.

Notre surface de glissement s’écrit alors : s = (x1d − x1)+α (x2d − x2 ) avec x2d = 0

Le schéma de commande global se traduit par le schéma bloc de la Figure 5.2 :

Figure 5.2 : Schéma bloc de la commande par mode glissant

Commande par mode glissant

X1d XGénération de trajectoire

XPendule RI

uX


6 Résultats de simulations et d’expérimentations : 6.1 Application des approches 1 et 2 : Commande par retour d’état et LQ

6.1.1 Simulation dans le cas nominal avec rejet de perturbation : On simule notre système avec la commande par retour d’état ainsi qu’avec la commande linéaire quadratique, les conditions initiales sont fixées à X = 10° 0 0⎡⎣ ⎤⎦

T , avec les gains suivants :

Gain de la commande RE : K = [-9.5730 -1.3868 -0.0035] Gain de la commande LQ : K = [-5.6343 -0.8187 -0.0010] La Figure 6.1 représente les résultats de cette simulation.

Figure 6.1 : Résultats de simulation de la commande RE et LQ

Remarque : Le moteur est relié au volant d’inertie par un réducteur de 13/3, le couple et la vitesse au niveau moteur sont calculés par les formules suivantes :

Vmoteur =Vvolant × R × 60

2π

Cmoteur =Cvolant

R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

10

Temps (s)

O1 (D

eg)

Evolution de langle du pendule

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2

Temps (s)

dO1 (

rad/s)

Evolution de la vitesse du pendule

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200

0

200

400

Temps (s)

dO2 (

rad/s)

Evolution de la vitesse du volant

Commande LQCommande RE



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps (s)

U (N

m)

Evolution du couple de la roue


0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5x 104 Plage d’utilisation du moteur

Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)

Coupe du moteur (mNm)

Plage dutilisation du moteurPlage dutilisation MaxCommande LQCommande RE

15

Interprétation des résultats :

On remarque que le système converge bien vers la position d’équilibre instable que ce soit avec la commande RE ou LQ, la différence réside dans le temps de convergence, la commande RE permet de converger plus vite que la commande LQ, mais on utilise beaucoup d’énergie et on arrive même à la saturation du moteur.

la commande LQ permet un choix plus simple ou niveau des réglages de l’impact énergétique par le choix de la matrice R qu’on verra par la suite. Au bout de 6sec, on applique une perturbation au système qui est introduite via la couple perturbateur C1 et qui a la forme d’une impulsion Dirac, le pendule se décale mais le moteur effectue une forte accélération pour compenser cette erreur et ramène rapidement le système vers ca position d’équilibre.

6.1.2 Effet du choix des coefficients de pondérations de la commande LQ: Comme on l’a vu dans le chapitre précédent, le choix des coefficients Q et R agit sur le temps de convergence et sur l’impact énergétique : On observe dans la Figure 6.2 les différents effets de choix des coefficients sur la convergence et l’impact énergétique sur le système.

Figure 6.2 : Effet du choix des coefficients sur le comportement du système

Figure 6.3 : Effet du choix des coefficients de pondération sur l'énergie utilisé

0 1 2 3 4 5 6 7−5

0

5

10

Temps (s)

O1 (D

eg)


0 1 2 3 4 5 6 7−2

−1

0

1

2

Temps (s)

dO1 (

rad/s)


0 1 2 3 4 5 6 70

100

200

300

Temps (s)

dO2 (

rad/s)


0 1 2 3 4 5 6 7−2

−1

0

1

2

Temps (s)

U (N

m)


Q1=1;R=1Q1=1;R=1e6Q1=100;R=1e6

Q1=1;R=1Q1=1;R=1e6Q1=100;R=1e6

Q1=1;R=1Q1=1;R=1e6Q1=100;R=1e6

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5x 104 Plage dutilisation du moteur

Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)

Coupe du moteur (Nm)

Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurQ1=1;R=1Q1=1;R=1e6Q1=100;R=1e6


Interprétation des résultats :

Nous avons fait plusieurs essais pour mesurer l'influence des paramètres des coefficients de pondérations Q et R sur le comportement de la commande LQ. Au début, nous avons pris Q égale à R, puis Q très inférieur à R et Q inférieur à R.�� De toutes les courbes résultats, nous avons choisi de vous présenter les résultats des Figure 6.2Figure 6.3 car elle illustre nos conclusions. Avec R égal à Q la convergence du système est très rapide et le rejet de perturbation et très efficace, mais l’impact énergétique est très grande et on arrive largement à la saturation du moteur, la même remarque se fait aussi pour Q = 100 et R = 106, le choix le plus adéquat à notre utilisation est Q=1 et R=106, il assure une convergence correcte avec un impact énergétique modéré.

6.1.3 Robustesse vis à vis des incertitudes : Dans cette partie, on va faire des modifications sur les paramètres de notre modèle du pendule, en l’occurrence le terme I et m0 qui regroupe tous les paramètres du pendule, on va appliquer une incertitude de 20% et 40%. La Figure 6.4 représente les différentes réponses de notre système dans le cas d’une commande RE et LQ.

Figure 6.4 : Résultat de simulation pour le test de robustesse vis à vis des incertitudes

On remarque dans les deux cas que le système converge malgré les incertitudes, mais plus les incertitudes sont élevés, plus des oscillations apparaissent, aussi l’impact énergétique et plus élevé lorsque l’incertitude est élevée.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5

0

5

10

Temps (s)

Angl

e du

pen

dule

(Deg

)

Evolution de langle du pendule pour la commande LQ

Cas nominal6I=20%6I=40%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5

0

5

10

Temps (s)

Angl

e du

pen

dule

(Deg

)Evolution de langle du pendule pour la commande RE


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 104 Plage dutilisation du moteur avec incertitude LQ

Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)


Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurCas nominal6I=20%6I=40%

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5x 104 Plage dutilisation du moteur avec incertitude RE

Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)

Coupe du moteur (Nm)

Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurCas nominal6I=20%6I=40%

17

6.2 Application de la commande robuste par mode glissant

6.2.1 Simulation dans le cas nominal

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le pendule inversé avec un volant d’inertie à partir de la condition initialeX = 9.32 0 0⎡⎣ ⎤⎦

T . On choisit comme paramètre :

α = 8; k = 3exp(−1.5abs(s)); x1d = − π3

tanh(z1)

La Figure 6.5 représente l’évolution de la position et de la vitesse du pendule, ainsi que la vitesse du volant d’inertie. La Figure 6.6 représente la plage d’utilisation du moteur ainsi que le couple de la roue et la tension appliquée au moteur.

Figure 6.5 : Evolution de la position et de la vitesse du pendule ainsi que la vitesse de la roue

Figure 6.6 : Résultats de simulation pour la commande par mode glissant dans le cas nominal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

Temps (s)

O1 (Deg

)


Position pendule

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1

−0.5

0

0.5

Temps (s)

dO1 (rad

/s)


Vitesse pendule

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

0

100

200

Temps (s)

dO2 (rad

/s)


Vitesse Volant

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4Plan de phase

O1

dO1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

V (V

olt)

Evolution de la Tension

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Temps (s)

U (N

m)


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 104


Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)

Plage dutilisation du moteur

Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurCommande SM


Interprétation des résultats : On remarque d’après la Figure 6.5 que la position du pendule converge bien rapidement vers sa position d’équilibre instable. On voit bien que la vitesse du volant d’inertie accélère pour ramener le pendule à sa position d’équilibre puis stabilise à 0 lorsque le pendule converge. Pour réaliser cela on applique une tension maximale de 6.8V au moteur qui est loin de la tension de saturation de +-10V. On peut voir aussi que la plage d’utilisation du moteur est respectée. On conclue que par rapport à une commande optimale, les résultats de convergence sont assez proches mais l’impact énergétique est bien moindre avec une commande par mode glissant.

Figure 6.7 : Evolution du gain dynamique de la commande K

Dans la Figure 6.7 on remarque que le gain varie selon la valeur de la surface de glissement, quand l’erreur est grande, le gain est faible, et quand le système converge, le gain est grand, cela permet de meilleurs performances tous en ayant un impact énergétique faible.

6.2.2 Simulation avec rejet de perturbation : On simule cette fois notre système, mais on ajoute une perturbation sous forme d’impulsion qui sera introduite sur le pendule au niveau du couple perturbateur C1. La Figure 6.8 montre le résultat de cette simulation :

Figure 6.8 : Résultats de simulation dans le cas du rejet de perturbation

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Temps (s)

Gain

Evolution du gain dynamique k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

0

5

10

Temps (s)

O1 (De

g)


Position pendule

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

0

1

2

Temps (s)

dO1 (ra

d/s)


Vitesse pendule

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−200

0

200

400

Temps (s)

dO2 (ra

d/s)


Vitesse Volant

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−4

−2

0

2

4

6

8

Temps (s)

V (V

olt)


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 104


Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)


Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurCommande SM

19

Dans la Figure 6.8, le système rejette la perturbation qui s’applique au bout de 6 sec, la commande par contre est plus élevée car le système doit compenser l’énergie cinétique pris par le pendule lors de son accélération induite par la perturbation.

6.2.3 Simulation avec des incertitudes :

Le test de la robustesse de la commande nous permet de vérifier si la commande appliquée peut s’adapter aux incertitudes des paramètres de système qui peuvent être dû à la précision des capteurs, les forces de frottements, les facteurs externes imprévisibles. Ces derniers n’ont pas été pris en compte dans la modélisation du système.

On choisit d’introduire une incertitude ∆I sur le paramètre I qui est une combinaison de plusieurs paramètres et on observe ce que se passe sur la sortie.�� On remarque bien d’après la Figure 6.9 que le système peut surmonter cette incertitude et amener le système vers la stabilisation bien plus efficacement qu’avec une commande RE ou LQ sans pour autant saturer le moteur.

Figure 6.9 : Résultats de simulation de la commande par mode glissant dans le cas d'une incertitude

Les résultats de simulation sont très satisfaisants et permettent d’avoir une idée sur le choix des paramètres à appliquer au système réel.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−4

−2

0

2

4

6

8

10

Temps (s)

Angle

pend

ule (D

eg)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−4

−2

0

2

4

6

8

Temps (s)

V (V

olt)



0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 104


Vite

sse

du m

oteu

r (tr/

min

)


Plage dutilisation normal du moteurPlage dutilisation Max du moteurCas Nominal6I=25%6I=50%


6.2.4 Expérimentation : Après réalisation de toutes les simulations, on implémente l’algorithme de commande par mode glissant sur le pc de commande, le langage utilisé est le C. On réalise plusieurs scénarios d’expérimentation avec le pendule et on obtient les résultats suivants :

- Scénario 1 : Cas nominal Les courbes de la Figure 6.10 mettent en évidence les résultats de l’expérimentation dans le cas nominal sur le pendule inversé sur une durée de 30 secondes. Dans ce premier scénario, aucune perturbation externe n’est appliquée. ��On remarque que la position et la vitesse angulaire du pendule ainsi que la vitesse du volant d’inertie oscillent autour de 0rad jusqu’à atteindre la valeur nulle. On observe une vitesse angulaire du pendule 𝜃! très bruitée car cette dernière est calculée par différentiation numérique de la mesure brute de l’angle du pendule qui est elle même légèrement bruitée. On trouve des erreurs entre la simulation et l’expérimentation qui sont dues à différents facteurs tels que la précision des capteurs, les forces de frottements et les incertitudes sur les paramètres du système réel. Ces derniers n’ont pas été pris en compte lors de la modélisation du système.

Figure 6.10 : Résultats d'expérimentation dans le cas nominal

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

6

8

10

12Evolution de langle du pendule

Temps (s)

O1(

Deg

)

0 5 10 15 20 25 30−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2Evolution de la vitesse du pendule

Temps (s)

dO1(

rad/

s)

0 5 10 15 20 25 30−50

0

50

100

150

200Evolution de la vitesse du volant d’inertie

Temps (s)

dO2(

Rad

/s)

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

6

8Evolution de la tension de commande du moteur

Temps (s)

U (V

olt)

21

- Scénario 2 : Cas de rejet de perturbation Ce cas met en évidence la robustesse de la commande par mode glissant vis à vis des perturbations ponctuelles sur le pendule. On applique une force latérale sur le pendule afin de perturber le système comme le montre la Figure 6.11.

Figure 6.11 : Pendule soumis à une perturbation externe

Dans la Figure 6.12, on remarque que le contrôleur rejette parfaitement les perturbations et stabilise le pendule dans sa position d’équilibre.

Figure 6.12 : Résultats d'expérimentation dans le cas de rejet de perturbation ponctuelle

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

6

8

10

12Evolution de l’angle du pendule

Temps (s)

O1(

Deg

)

0 5 10 15 20 25 30−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4


Temps (s)

dO1(

rad/

s)

0 5 10 15 20 25 30−150

−100

−50

0

50

100

150

200


Temps (s)

dO2

(Rad

/s)

0 5 10 15 20 25 30−8

−6

−4

−2

0

2

4

6


Temps (s)

U (V

olt)


- Scénario 3 : Cas de rejet des perturbations persistantes Ce cas consiste en une perturbation persistante représentée par une masse qui s’ajoute sur le côté du pendule comme le montre la Figure 6.13. Le poids fixé de manière asymétrique sur le corps du pendule induit un couple externe perturbateur agissant sur la liaison passive entre le pendule et le bâti. Dans la Figure 6.14, on voit que le contrôleur applique une tension continue sur le moteur, ce qui le fait tourner en permanence afin de compenser ce couple perturbateur et ainsi permettre au pendule de se stabiliser.

Figure 6.13 : Pendule soumis à une perturbation persistante

Figure 6.14 : Résultats d'expérimentation dans le cas d'un rejet de perturbation persistante

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

6

8

10

12Evolution de langle du pendule

Temps (s)

O1(

Deg

)

0 5 10 15 20 25 30−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1


Temps (s)

dO1(

rad/

s)

0 5 10 15 20 25 30−100

−50

0

50

100

150

200Evolution de la vitesse du volant d"inertie

Temps (s)

dO2(

Rad

/s)

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

6


Temps (s)

U (V

olt)

23

- Scénario 4 : Combinaison de deux types de perturbations Dans ce scénario, on combine les deux scénarios précédents. Comme le montre la Figure 6.15, le contrôleur réussit à stabiliser le pendule malgré l’application de deux perturbations. On en conclut que le contrôleur implémenté est robuste vis à vis des perturbations.

Figure 6.15 : Résultats d’expérimentation dans le cas d'un rejet d'une perturbation persistante et ponctuelle

0 5 10 15 20 25 30−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4Evolution de l’angle du pendule

Temps (s)

O1(

Deg

)

0 5 10 15 20 25 30−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Temps (s)dO

1(ra

d/s)

0 5 10 15 20 25 30−200

−150

−100

−50

0

50


Temps (s)

dO2(

Rad

/s)

0 5 10 15 20 25 30−10

−8

−6

−4

−2

0

2


Temps (s)

U (V

olt)


7 Concluions et perspectives :

Le travail réalisé durant ce projet consiste à étudier un système sous-actionné : le pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie, qui dispose de deux degrés de liberté et un seul actionneur. Le modèle dynamique Lagrangien du système est non linéaire et sa dynamique interne est instable. La commande de ce système a fait l’objet de nombreuses études, car la dynamique du pendule inversé se rapproche de celle de systèmes plus complexes, par exemple les fusées, les avions de chasse etc. ce mécanisme est un outil faible coût de mise en œuvre et pratique pour illustrer de nouveaux principes de commande.

Pour la stabilisation du système, il faut d’abord amener le pendule depuis sa position d’équilibre stable (pendule pointant vers le bas) jusqu’à sa position d’équilibre instable (pendule pointant vers le haut) et ensuite le maintenir dans cette position en dépit des perturbations externes qui l’affectent.

Durant ce projet, on a appliqué différentes approches de commande sur le système, mais on s'est intéressé plutôt à la commande par mode glissant. Pour cela il a fallu adapter cette commande en trouvant une astuce afin de stabiliser le système.

La technique trouvée pour cette commande est très facile à mettre en œuvre, elle présente un algorithme de commande simple qui est facilement implantable dans un calculateur. Avec un choix approprié des paramètres, les résultats obtenus sont très intéressants, ils montrent l’efficacité de l’approche proposée et qu'elle a des bonnes performances au niveau de la robustesse et la stabilité de convergence aussi bien pour la stabilisation que pour le rejet de perturbations introduites que se soient externes, ponctuelles ou persistantes au système.

Les améliorations qu’on peut introduire à notre étude est de générer des cycles limites stables (oscillation autour de point de l’équilibre) pour le pendule inversé car jusqu’à présent l’étude s’est limité à la stabilisation. Dans un premier lieu on doit trouver des trajectoires de références et après faire une poursuite sur ces trajectoires.

25

8 Bibliographie : [1] N. Touati and A. Chemori, « Predictive control for the stabilization of a fast mechatronic system from simulation to real-time experiments », IFAC MECHATRONICS, 2013. [2] S. Andary, A Chemori, and S. Krut, « Control of the under-actuated Inertia Wheel Inverted Pendulum for ��Stable Limit Cycle Generation », RSJ Advanced Robotics, vol 23, 2009. [3] Jean Pierre Barbot, SLIDING MODE CONTROL INENGINEERING, Wilfrid Perruquetti, 2002. [4] Reza Olfati-Saber, « Nonlinear Control of Underactuated Mechanical Systems with Application to Robotics and Aerospace Vehicles », PhD Thesis, MIT 2001. [5] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering (5th Edition), Prentice Hall, 2009. [7] A. Chemori, S. Krut, N. Touati, « Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, un système non linéaire sous-actionné », 3èmes Journées Démonstrateurs , Angers (France), 2010.


9 Annexe : Datasheet du moteur :

27

Tableau des paramètres dynamique du pendule :

Constante Description Valeur Unité m1 Masse du pendule 3.30810 Kg m2 Masse du volant 0.33081 Kg 𝒍𝟏 Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.06 m 𝒍𝟐 Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.044 m 𝒊𝟏 Moment d’inertie du pendule 0.031468 Kgm2 𝒊𝟐 Moment d’inertie du volant d’inertie 0.0004176 Kgm2 𝒈 Gravité 9.81 m.s-2

Tableau 2 : Paramètres géométriques et dynamiques du système

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