Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral au...

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Mémoire de Master 2 IC2A Didactique des sciences

Université Joseph Fourier

Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral au collège : construction et utilisation d’un modèle praxéologique de référence pour les trois types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale.

Geneviève FERRATON

Soutenu le 9 septembre 2011

Encadré par Hamid CHAACHOUA

Jury : Hamid Chaachoua

Marie-Caroline Croset Denise Grenier

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Remerciements Je tiens à remercier tout particulièrement Hamid Chaachoua pour l’aide et les précieux

conseils prodigués tout au long de mon travail.

Mes pensées vont également à toute ma famille pour sa patience et son indéfectible

soutien...

Merci à tous !

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Table des matières Introduction ........................................................................................................................... 5 Chapitre 1 - Cadre théorique et problématique..................................................... 6

I- Le calcul littéra l… ............................................................................................................ 7 I.1 Première approche ........................................................................................................ 7 I.2 Le symbolisme algébrique ............................................................................................ 7 I.3 La rupture….................................................................................................................. 8 I.4 Les expressions algébriques......................................................................................... 9 I.5 Conclusion .................................................................................................................. 10

II- Vers une analyse praxéologique… .............................................................................. 10 II.1 La TAD...................................................................................................................... 10 II.2 Une première question............................................................................................... 11 II.3 Une deuxième question ............................................................................................. 11

Chapitre 2 - Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral ............................... 13

I- Les programmes............................................................................................................. 14 II- Les manuels : première approche… ........................................................................... 15

II.1 Choix des manuels..................................................................................................... 16 II.2 Une première analyse ................................................................................................ 16

III- Les différents types de tâche institutionnels ............................................................. 17 III.1 Le document d’accompagnement............................................................................. 18 III.2 Retour sur les manuels ............................................................................................. 18

IV- Une première conclusion............................................................................................. 18 Chapitre 3 - Caractérisation des OM de référence............................................... 19

I- Définitions des types de tâche en jeu............................................................................ 20 I.1 Des précisions… ........................................................................................................ 20 I.2 Nos choix… ................................................................................................................ 21

II- Vers un modèle de référence….................................................................................... 21 III- OM complexes de référence........................................................................................ 22

III.1 Concernant la réduction ........................................................................................... 22 III.2 Concernant le développement… .............................................................................. 27 III.3 Concernant la factorisation…................................................................................... 32

IV- Synthèse des résultats….............................................................................................. 36 IV.1 Premières remarques ................................................................................................ 36 IV.2 Arbre relatif à la réduction ....................................................................................... 37 IV.3 Arbre relatif au développement................................................................................ 37 IV.4 Arbre relatif à la factorisation .................................................................................. 38

Chapitre 4 - Aujourd’hui au collège…....................................................................... 39

I- Retour sur la progression des apprentissages.............................................................. 40 I.1 Concernant la réduction .............................................................................................. 40 I.2 Concernant le développement..................................................................................... 41 I.3 Concernant la factorisation ......................................................................................... 41

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II- Les OM à enseigner......................................................................................................42 II.1 Définitions des types de tâche ................................................................................... 42 II.2 Analyse praxéologique des manuels relative à la réduction...................................... 44 II.3 Analyse praxéologique des manuels relative au développement .............................. 53 II.4 Analyse praxéologique des manuels relative à la factorisation ................................. 63 II.5 Au final ...................................................................................................................... 70

Conclusion............................................................................................................................ 72 Bibliographie ....................................................................................................................... 75 Annexes................................................................................................................................. 77

Annexe A: étude détaillée des programmes de la 6ème à la 1ère S............................... 78 Annexe B: Quelques remarques suite à l’étude des manuels de niveau 6ème................ 84 Annexe C: tableau extrait du document d’accompagnement ........................................ 85 Annexe D: les exercices proposés dans le cadre de RedRedRedRedTTTT ................................................. 88

Annexe E: les exercices proposés par les différents manuels dans le cadre de DvpDvpDvpDvpTTTT .... 92

Annexe F: les exercices proposés par les différents manuels dans le cadre de FactFactFactFactTTTT .... 96

Lexique des principales abréviations......................................................................... 99

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Introduction

Enseignant depuis plus de 11 ans simultanément sur les quatre niveaux de collège, les difficultés récurrentes de nombre de mes élèves m’ont amenée très tôt à m’interroger sur ma pratique professionnelle. Bien qu’essayant d’adapter mon enseignement au quotidien, j’ai décidé de m’engager l’an dernier dans une formation m’offrant tout à la fois un moyen d’approfondir ma réflexion mais aussi d’accroître mes connaissances et compétences dans le domaine didactique. C’est dans ce cadre que s’inscrit le travail présenté ici.

La transition du primaire au collège est source de nombreuses ruptures pour les élèves.

Parmi elles, en mathématiques, le difficile passage de l’arithmétique à l’algébrique par l’introduction du calcul littéral, m’a semblé un sujet de choix. En effet, de par leur nombre conséquent et leur nature, les erreurs commises posent question. Si d’aucuns se contentent d’arguer le manque de travail des élèves, ne faut-il pas cependant s’interroger sur des causes plus profondes ? Quels obstacles peuvent entraver cet apprentissage ? Le système d’enseignement actuel propose-t-il une approche cohérente susceptible d’aider à les franchir ?

Certes, la littérature didactique foisonne d’articles à ce propos. Toutefois, de récents travaux m’ont conduite à me pencher plus particulièrement sur les rapports qu’entretient l’institution « enseignement » avec l’objet que constitue le calcul littéral.

C’est ainsi que, s’appuyant sur de multiples références bibliographiques, un premier

chapitre proposera de restreindre le domaine d’analyse considéré, en précisant, tout à la fois, quelles caractéristiques du calcul littéral seront privilégiées et quel cadre théorique sera utilisé. Puis, dans un second temps, l’étude conjointe des programmes officiels et de quelques manuels permettra de faire un premier état des lieux du rapport institutionnel à l’objet calcul littéral. Dans une troisième partie, une grille de référence des organisations mathématiques inhérentes au calcul littéral sera établie. Le dernier chapitre de ce mémoire sera alors l’occasion de soumettre le système d’enseignement actuel à ce nouvel outil.

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Chapitre 1

Cadre théorique et problématique

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Avant de le considérer comme activité et sujet scolaire, il convient avant tout de définir ce que nous entendons par calcul littéral et dans quel cadre théorique nous placerons notre étude.

I- Le calcul littéral…

Dans ce premier paragraphe, le but pour nous n’est pas de procéder à une synthèse exhaustive de tous les travaux consacrés au calcul littéral mais plutôt d’en dégager les principales caractéristiques semblant à même de servir notre projet.

I.1 Première approche Le calcul littéral, qui n’existe pas en tant que tel dans le savoir savant, peut néanmoins

être considéré comme une transposition dans l’enseignement de l’algèbre dite élémentaire. Mais au fait qu’est-ce que l’algèbre ? Ayant soumis cette question à des chercheurs en mathématiques, en didactique des mathématiques, à des enseignants mais aussi à des étudiants, Lee relève dans sa thèse [Lee, 1997], sept principales réponses : un sujet scolaire, une activité, un outil, une arithmétique généralisée, un langage, une culture ou un type de raisonnement.

Forts de cette constatation, il nous est donc apparu souhaitable de pousser plus avant nos lectures afin de caractériser le plus précisément possible ce que nous entendions par algèbre élémentaire et plus particulièrement par calcul littéral. Face à la diversité des points de vue, nous avons alors décidé d’adopter la position suivante :

HT1 : le calcul littéral est un jeu formel d’écritures permettant de résoudre efficacement divers problèmes. Bien que très générale, cette « définition » présente l’avantage de souligner toute

l’importance que revêt pour nous la maîtrise du symbolisme algébrique. C’est en effet la pierre d’angle de notre futur travail !

I.2 Le symbolisme algébrique Bien qu’apparu très tôt dans l’histoire des mathématiques1, le symbolisme algébrique a

subi bien des évolutions. C’est ainsi qu’au fil du temps la lettre a acquis différents statuts. Datant de 2008, le document d’accompagnement des programmes de collège, intitulé

« Du numérique au littéral »2, s’avère pour nous une source d’information de choix. Si en primaire, les lettres s’apparentent plutôt à des abréviations (symbole d’unité, désignation d’un objet précis ou d’une grandeur…), elles acquièrent dès le début du second cycle bien d’autres statuts : 1 Voir les travaux de Harper [Harper, 1987] où sont détaillées les trois étapes de l’évolution du symbolisme

algébrique (l’algèbre rhétorique, avant Diophante soit 250 av J.C/ l’algèbre syncopée, à partir de Diophante et jusqu’à Viète au 16ème siècle/l’algèbre symbolique, à partir de Viète).

2 Ce document est disponible sur le site : http://eduscol.education.fr.

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- celui de variable, travaillé dès la 6ème par le biais de l’utilisation de formules ; - celui d’indéterminée, rencontré dès la 5ème, avec la mise en place d’identités telles

que ( )k a b ka kb+ = + ; - celui d’inconnue, abordé en 5ème, mais principalement étudié en 4ème dans le cadre des

résolutions d’équations ; - celui de paramètre, surtout travaillé en 3ème, notamment par l’intermédiaire des

fonctions. Si le texte stipule que les désignations de ces différents statuts sont à la seule destination

de l’enseignant et ne doivent donc en aucun cas être un enjeu d’enseignement, il précise toutefois « qu’il est essentiel que les élèves sachent distinguer en situation les rôles différents joués par les lettres ». On mesure ici le degré d’abstraction et d’adaptation demandé aux apprenants, d’autant que « pour une même expression, le statut de la lettre varie en fonction de la tâche » !

Mais la complexité de l’algèbre élémentaire (et donc du calcul littéral) ne se limite malheureusement pas au seul usage de lettres. Elle entre en effet dans le cadre beaucoup plus général de la rupture entre arithmétique et algèbre.

I.3 La rupture… Dans sa thèse, Grugeon [Grugeon, 1995] réalise une remarquable synthèse de nombreux

travaux de didactique et met en évidence le fait que « la pensée algébrique se construit sur le support de la pensée arithmétique mais aussi en rupture avec cette dernière. Ceci intervient aussi bien dans l’analyse en termes d’outil : opposition caractéristique de la résolution arithmétique à la résolution algébrique (détour algébrique), que dans l’analyse en termes d’objet : opposition des modes d’appréhension des écritures algébriques et numériques (statut du signe d’égalité, statut des lettres), des modes de contrôle dans la transformation des écritures ».

A la lecture de ce travail, il apparaît donc que l’algèbre constitue un outil puissant de résolution de divers problèmes, qu’ils relèvent du domaine arithmétique (à condition toutefois que la résolution algébrique apparaisse plus opératoire que la résolution arithmétique) 3, qu’ils permettent de prouver des propriétés générales sur les nombres (même si cela constitue pour beaucoup d’élèves un exercice fort difficile) 4 ou encore qu’ils entrent dans le vaste cadre de la modélisation5. Cependant, avant de pouvoir utiliser l’algèbre (et plus particulièrement le calcul littéral) en tant qu’outil, il convient bien entendu d’en maîtriser les usages et donc de la (de les) considérer en tant qu’objet(s). Car « l’outil n’acquiert et n’accroît son rendement qu’à faire lui-même l’objet d’une étude approfondie » [Chevallard, 1987]. Outre le changement de statut des lettres, celui du signe égal est inévitablement à prendre en compte. En effet, en arithmétique, le signe d’égalité est tout d’abord utilisé pour annoncer un résultat. Cette vision réductrice (car il ne se résume bien évidemment pas à cela lorsqu’on considère par exemple :2 7 5 4+ = + ) peut être source de réelles difficultés dans le cadre algébrique où, ce même signe, prend une tout autre dimension à savoir celle de relation d’équivalence. A noter 3 Le lecteur intéressé pourra consulter les travaux de G.Vergnaud et al [Vergnaud et al, 1987]. 4 Voir à ce propos les travaux de Chevallard et Conne [Chevallard et Conne, 1984]. 5 Voir l’article de Chevallard [Chevallard, 1989].

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que les signes opératoires doivent eux aussi faire l’objet d’une « autre » interprétation dans le cadre algébrique. En effet, ils sont généralement considérés en arithmétique comme de simples instructions conduisant à un résultat qui en est exempt !

Par conséquent, le calcul littéral, dérivé de l’algèbre élémentaire, constitue un véritable objet d’étude doté d’un langage propre, qui bien que partageant avec l’arithmétique des symboles et des signes, est régi par ses propres règles. C’est ainsi qu’apparaissent en son sein de nouveaux objets parmi lesquels les expressions algébriques qui nous intéressent tout particulièrement.

I.4 Les expressions algébriques

Mais qu’entend-on réellement par expression algébrique ? Là encore nous avons dû effectuer un choix qui sera le suivant :

HT2 : une expression algébrique est une expression comportant des signes opératoires, des parenthèses, des nombres et des lettres, d’où son autre appellation : écriture littérale. Adopter un tel point de vue peut réellement surprendre dans la mesure où comme le

souligne fort justement Croset dans sa thèse [Croset, 2009] : « Face à des expressions du type5 4 2x x+ + , ( )12 x+ , ( ) ( )1 15 x x x+ + + […] un mathématicien répondrait qu’en dehors de toute autre précision, ces objets n’ont pas de sens, n’ont pas de raison d’être ». Pourtant, ce genre de « définition » existe bel et bien dans les manuels français du secondaire et prend donc toute sa place dans le cadre de notre travail. Précisons cependant que l’on peut considérer ces expressions algébriques comme de simples transposés des polynômes de[ ]Xℝ , ces derniers étant étudiés beaucoup plus tard dans l’enseignement français. En effet, « l’objet polynôme n’y est certes pas définis mais des objets tels que expressions littérales, variable ou terme semblable semblent être les transposés des objets polynômes, indéterminée et monôme du monde savant. » [Croset, 2009].

On peut alors s’interroger sur le « sens » à donner à ces « nouveaux » objets. Pour beaucoup, et comme il l’est rappelé dans le document d’accompagnement des programmes de collège6, « une même expression peut être considérée de deux points de vue :

- soit elle exprime un programme de calcul […] ; on évoque alors le caractère « procédural » de l’expression ;

- soit elle est considérée comme un objet dont on peut décrire la forme et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction, factorisation, développement, substitution dans une autre expression…) ; on évoque alors le caractère « structural » de l’expression ».

Ce même texte précise d’ailleurs un peu plus loin qu’il existe une réelle « difficulté à distinguer le travail sur l’aspect procédural de celui sur l’aspect structural et […] dans l’enseignement, le deuxième est souvent écrasé par le premier » ! Ce dernier point de vue, partagé par de nombreux spécialistes, ne nous empêchera pourtant pas de nous pencher principalement sur l’aspect structural des expressions littérales. Mais il est vrai que le problème soulevé ici est des plus délicats. Comment donner réellement sens à une expression littérale sans en comprendre la syntaxe ? C’est d’ailleurs le point de vue que semble adopter 6 Nous avons déjà fait mention de ce document intitulé « Du numérique au littéral» disponible sur

http://eduscol.education.fr.

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Drouhard [Drouhard, 1992] lorsqu’il construit un modèle de type linguistique pour décrire les expressions algébriques et leurs transformations7.

I.5 Conclusion

D’un contenu didactique fort modeste, notre travail nous permet néanmoins de préciser les caractéristiques principales auxquelles nous allons dorénavant nous attacher. Il s’agira donc avant tout de considérer l’objet calcul littéral en privilégiant l’aspect structural des expressions qui s’y rapportent.

Il nous reste maintenant à choisir un cadre théorique pour notre étude afin d’être à même de formuler plus explicitement nos questions et de mener à bien nos recherches.

II- Vers une analyse praxéologique…

Dans ce paragraphe, nous nous proposons tout d’abord de rappeler quelques fondamentaux de la Théorie Anthropologique du Didactique (ou TAD) puis de décrire dans quel cadre et à quelles fins nous l’utiliserons.

II.1 La TAD

Sans revenir précisément sur cette théorie8 introduite par Chevallard en 1992, nous allons toutefois en dégager les principales caractéristiques.

La TAD situe l’activité mathématique, et donc l’activité d’étude en mathématiques, dans l’ensemble des activités humaines et des institutions sociales. Elle considère ainsi que toute activité humaine consiste à accomplir une tâche t d’un certain type T, au moyen d’une techniqueτ , justifiée par une technologie θ qui permet en même temps de la penser voire de la produire, et qui à son tour est justifiable par une théorie⊙ . Ces notions vont donc permettre de modéliser les pratiques sociales en général et l’activité mathématique en particulier ! Ainsi, toute activité humaine met en œuvre une organisation que Chevallard note [T/τ /θ /⊙ ] et nomme praxéologie ou organisation praxéologique9. On parle de praxéologie mathématique (ou d’organisation mathématique) lorsque les types de tâches T relèvent des mathématiques.

Au fil du temps, deux concepts pour nous fondamentaux ont vu le jour, ceux de rapports personnel10 et institutionnel11 au savoir. Ces deux notions s’avèrent intimement liées car il est vrai

7 Dans son travail, Drouhard définit les concepts de dénotation, de sens, d’interprétation et de connotation qui, bien que d’une grande portée, ne seront pas développés ici.

8 Pour plus de précisions, il est possible de consulter [Chevallard, 1992]. 9 Le bloc [T/τ ] représente la pratique, le savoir-faire ; quant à [θ /⊙ ], il se rapporte au logos, au savoir. 10 Une personne X connaît un objet O si cet objet existe pour X, c’est-à-dire s’il existe un rapport personnel

R(X,O) de X à O [Chevallard, 1992]. Dans le cadre qui nous intéresse, un élève X rentrant dans l’institution « collège » va être confronté à O et être amené à interagir avec lui (en en parlant, en le manipulant, en l’observant…) et donc à s’en forger une idée propre [Chevallard, 2003].

11 Le rapport institutionnel d’une institution I avec un objet O, noté RI(O), témoigne de tout ce qui est fait dans

I avec O.

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que « le rapport institutionnel à un objet, pour une position institutionnelle donnée, est façonné et refaçonné par l’ensemble des tâches que doivent accomplir, par des techniques déterminées, les personnes occupant cette position. C’est ainsi l’accomplissement des différentes tâches que la personne se voit conduite à réaliser tout au long de sa vie dans les différentes institutions dont elle est le sujet successivement ou simultanément qui conduira à faire émerger son rapport personnel à l’objet considéré » [Bosch et Chevallard, 1999].

A la lecture de cette citation, il apparaît donc clairement qu’avant de pouvoir décrire le rapport personnel d’un sujet à un quelconque objet de savoir, il convient de déterminer à quel(s) rapport(s) institutionnel(s) est soumis ce sujet. Mais comment ? Il s’avère en fait que « l’étude du rapport institutionnel peut-être effectuée par l’analyse praxéologique » [Bosch et Chevallard, 1999]. De nombreux travaux montrent d’ailleurs l’efficience de cette pratique.

II.2 Une première question

Comme nous l’avons déjà souligné, le calcul littéral est un domaine d’étude crée par l’institution « enseignement » afin de faire vivre en son sein des notions purement algébriques. Depuis la fin des mathématiques modernes, l’algèbre n’est d’ailleurs plus mentionnée dans les programmes officiels de collège et de lycée; c’est ainsi que le « calcul littéral » a remplacé le « calcul algébrique ».

D’où notre première interrogation : QR1 : Quel est actuellement le rapport institutionnel à l’objet calcul littéral dans le secondaire français ? Nous tâcherons de répondre à cette question dans la deuxième partie de notre travail en

procédant à une première analyse des programmes et de certains manuels. Il s’agira notamment de déterminer :

- si l’institution donne des définitions précises de ce qu’elle entend par calcul littéral et expression algébrique. Si oui, lesquelles ? Sont-elles en accord avec nos hypothèses HT1 et HT2 ?

- les types de tâche que l’institution associe au domaine d’étude que constitue l’objet calcul littéral.

II.3 Une deuxième question

Nous intéressant particulièrement aux types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale (qui seront à n’en pas douter présents dans la liste précédemment établie !), il nous est alors apparu indispensable d’essayer de répondre à la question suivante :

QR2 : comment les trois types de tâche précédents sont-ils actuellement définis et traités dans l’institution « collège » ? Pour ce faire, nous allons pousser plus avant l’analyse praxéologique ébauchée au chapitre

2 en nous appuyant sur le travail mené dans [Chaachoua, 2010]. En effet, si le rapport institutionnel peut être approché par l’analyse praxéologique des programmes et des manuels, il n’en demeure pas moins vrai qu’il s’agit avant tout d’une « reconstruction » du chercheur. Ce dernier pouvant être parfois amené à se détacher de l’institution, il va sous la tutelle du savoir savant construire une organisation mathématique (notée OM) dite de référence. Celle-

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ci récapitule tous les types de tâche possibles des OM à enseigner, enseignées mais également enseignables.

Au regard de ces nouveaux éléments et dans l’optique de répondre à QR2, notre

méthodologie sera donc la suivante : nous allons dans le chapitre 3 nous attacher à construire un modèle de référence (au sens précédemment défini) qui, dans le chapitre 4, nous permettra d’analyser en détail ce qui a cours actuellement au collège par le biais d’une étude plus ciblée des programmes et de quelques manuels.

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Chapitre 2

Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral

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Rappelons que dans cette seconde partie notre objectif est de caractériser le rapport institutionnel à l’objet calcul littéral dans le secondaire français (QR1), en essayant notamment de répondre aux questions suivantes :

- L’institution donne-t-elle des définitions précises de ce qu’elle entend par calcul littéral et expression algébrique ? Si oui, lesquelles ? Sont-elles en accord avec nos hypothèses HT1 et HT2 ?

- Quels types de tâche l’institution associe-t-elle au domaine d’étude que constitue l’objet calcul littéral?

Pour ce faire, nous avons décidé de nous intéresser aux programmes scolaires de la 6ème à

la 1ère S. Mais pourquoi nous restreindre au niveau de la 1ère S en lycée ? Nous justifions ce choix par le fait que la filière scientifique nous semble, de par sa spécificité, la plus à même de nous fournir des réponses. De plus, la réforme actuellement en cours au lycée, amène de profonds bouleversements dans la structure même des programmes et seuls ceux de 2de et de 1ère sont pour le moment officialisés.

A noter que nous complèterons l’étude précédente en nous intéressant également à divers manuels…

I- Les programmes

Les programmes de collège ont fait l’objet d’un « toilettage » en 2008. C’est sur leurs dernières versions respectives, publiées au BO spécial du n°6 du 28 août 2008, que nous nous appuyons ici. Ils sont disponibles sur http://eduscol.education.fr.

En ce qui concerne les très récents programmes de seconde et de 1ère S, nous nous les sommes procurés sur le même site.

Après une analyse détaillée14, il apparaît que c’est sur le long terme que l’institution envisage la construction des connaissances et capacités inhérentes au calcul littéral ; elle propose ainsi une véritable chronologie des apprentissages.

Si la classe de 6ème doit permettre à l’élève de se familiariser petit à petit avec l’usage des

lettres en Mathématiques, ces dernières ne font toutefois l’objet d’aucun traitement spécifique à ce niveau ! Ce premier état des lieux peut ainsi sembler bien inutile dans le cadre de notre étude… Toutefois, outre qu’il puisse présenter un certain intérêt lors d’une analyse des conceptions et autres praxis des élèves, nous devons avant tout le considérer comme la première étape d’un long cheminement.

S’il fait clairement référence au calcul littéral et mentionne à de très nombreuses reprises les expressions littérales (et non pas algébriques!), le programme de 5ème n’en donne cependant aucune définition. De plus, il nous semble par certains côtés bien ambitieux ! C’est ainsi qu’au travers des divers thèmes abordés, mais sans aucune formalisation, « la lettre » va acquérir différents statuts à savoir ceux de variable, d’inconnue mais aussi d’indéterminée.

Ce texte sous-entend aussi que les élèves devront être à même, par le biais des formules de simple distributivité, de manipuler ces expressions littérales afin de les réduire, de les développer ou encore de les factoriser. Pourtant, ce vocabulaire spécifique n’est jamais utilisé ! De ce fait, l’application de ce programme permettra-t-elle vraiment à tout un chacun de comprendre ce qu’il fait ?

14 Voir Annexe A.

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Contrairement à celui de 5ème, le programme de 4ème utilise (sans toutefois les définir !) chacun des verbes réduire, développer et factoriser, termes qui doit-on le rappeler, vont constituer le cœur de notre étude. La classe de 4ème s’avère donc un tournant majeur !

Concernant les divers statuts de « la lettre » (variable, inconnue et indéterminée), on peut réitérer ici la même réserve que celle formulée au niveau précédent : un élève sera-t-il vraiment capable de faire la distinction eu égard au flou artistique savamment entretenu ?

Enfin, notons que la résolution de problèmes demeure centrale et devra permettre à tous de donner du sens aux activités proposées. Cependant, dans le cadre de notre thématique, c’est avant tout l’acquisition d’automatismes qui nous intéresse…

Concernant le programme de 3ème, il convient de préciser que, dans le cadre de notre travail (étude du calcul littéral en tant qu’objet), seul le troisième paragraphe « Ecritures littérales » de la partie 2 « Nombres et calculs » nous intéresse au premier chef. Même si quelques nouveautés y sont introduites (comme la mise en place de trois identités remarquables), ce texte semble avoir pour principal objectif de dresser un bilan de tout ce qui a été vu au cours des quatre années de collège, comme en témoigne d’ailleurs la phrase « les activités visent la maîtrise du développement et de la factorisation d’expressions simples ». L’absence du terme réduire, pourtant très présent dans le programme de 4ème, semble suggérer que la réduction est de fait acquise, ce qu’il conviendra peut-être de vérifier !

Enfin, notons que, par le biais des fonctions (notamment linéaires et affines), « la lettre » se voit attribuer un nouveau statut, à savoir celui de paramètre, qu’il faudra donc travailler au même titre que ceux de variable, d’inconnue et d’indéterminée.

Lié à chacune des parties du programme de 2de, le calcul littéral ne semble pourtant pas faire l’objet de réels nouveaux apprentissages (du moins dans le cadre restreint de notre étude !) et cela même si le traitement des fonctions homographiques est un inédit qui nécessitera obligatoirement quelques ajustements…

Si en 1ère S de nouvelles techniques sont mises en place, avec en point d’orgue l’introduction du discriminant, le programme nous semble avant tout illustrer la puissance de l’outil calcul littéral; en effet, il intervient nécessairement dans chacune de ses parties !

C’est donc au collège que l’objet calcul littéral va être principalement étudié et que les élèves seront amenés à construire les différents concepts qui y sont associés. C’est pourquoi, nous avons à ce stade décidé de nous concentrer sur ce premier cycle de l’enseignement secondaire français

Comme nous l’avons déjà remarqué, les programmes ne proposent aucune définition de ce que l’institution appelle expression littérale, ni même de ce qu’elle entend par calcul littéral. Si cette double absence nous permet dans un premier temps de ne pas invalider nos hypothèses de travail, elle laisse cependant un grand vide qu’une première étude des manuels sera peut-être susceptible de combler…

II- Les manuels : première approche…

Le but pour nous est ici de déterminer si nos hypothèses de travail HT1 et HT2 ne sont pas remises en cause par les définitions proposées par les manuels. Ces derniers offrent en effet un autre regard sur le rapport institutionnel au calcul littéral.

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II.1 Choix des manuels Envisageant par la suite une analyse approfondie et soucieux de faciliter d’éventuelles

comparaisons, nous avons décidé, pour chacun des quatre niveaux de collège, de considérer quatre manuels de collections différentes. Le tableau ci-dessous en donne la liste et les références précises.

Phare (Hachette)

Prisme (Belin)

Transmath (Nathan)

Triangle (Hatier)

6ème, année 2009 5ème, année 2010 4ème, année 2007 3ème, année 2008




Notons que les ouvrages de 4ème, publiés en 2007, sont antérieurs à la dernière version du

programme datant de 2008. Cependant, les modifications apportées dans ce dernier document s’apparentant à de simples ajustements, ces manuels devraient tout de même nous permettre de mener à bien notre étude.

II.2 Une première analyse C’est en 5ème qu’apparaissent dans les manuels les premières références explicites au

calcul littéral15. Chaque ouvrage y consacre d’ailleurs un chapitre spécifique incluant une sensibilisation aux notions d’égalité et d’équation.

Parmi ces ouvrages de 5ème, seul le Triangle précise, dès l’introduction au chapitre, ce qu’il entend par calcul littéral, en mentionnant même le domaine des mathématiques dont il est issu, à savoir l’algèbre.

15 Pour plus de précisions concernant le contenu des manuels de 6ème, consulter l’annexe B.

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Dans sa partie cours, ce manuel formalise « sa » définition du calcul littéral et en indique les utilisations possibles :

Les trois autres manuels de 5ème à notre disposition ont adopté une position totalement

différente en ne choisissant de définir que les seules expressions littérales. Ils considèrent ces dernières comme des écritures contenant une (ou plusieurs) lettre(s) qui représente(nt) un (ou des) nombre(s). Seul le Prisme va un peu plus loin en conférant immédiatement à ces lettres différents statuts : « une lettre peut désigner un nombre quelconque ou une quantité dont on ne connaît pas la valeur ».

En 4ème, seuls le Phare et le Transmath rappellent, tout en la complétant, « leur » définition des expressions littérales. Pour le premier, il semble important de préciser que « si une même lettre apparaît plusieurs fois dans l’expression, elle désigne le même nombre ». Le second préfère souligner le fait qu’une expression littérale peut exprimer un programme de calcul mais aussi permettre de décrire des nombres.

Précisons enfin qu’au niveau 3ème aucun ouvrage ne revient sur ces notions… Au terme de ce travail, force est donc de constater que si les trois quarts des manuels

étudiés s’accordent dans leurs grandes lignes sur la définition d’une expression littérale, ils négligent de manière flagrante le domaine auquel elle se rapporte, à savoir le calcul littéral. Cependant, les points de vue adoptés ne contredisent aucunement HT1 et HT2 qui, bien que pouvant apparaître plus précises dans leur formulation, se trouvent, de ce fait, confortées.

III- Les différents types de tâche institutionnels Si l’on se réfère aux seuls programmes16, il nous semble que l’institution ne distingue pas

très clairement ce qui dans le calcul littéral relève de l’objet et de l’outil. Dans ces conditions, la détermination des différents types de tâche associés à l’objet calcul littéral s’avère pour le moins laborieuse ! Nous appuyant une nouvelle fois sur le document d’accompagnement intitulé « Du numérique au littéral », et plus particulièrement sur le tableau présentant « les éléments pour une programmation des apprentissages au collège »17, nous allons tenter de dresser une première liste qu’une nouvelle étude des manuels viendra éventuellement amender.

16 Voir Annexe A.

17 Voir Annexe C.

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III.1 Le document d’accompagnement

Le tableau synoptique qui y est présenté propose de classer les compétences à construire, décrites par les programmes, autour de cinq grands axes :

- travail sur les formules ; - résolution algébrique d’un problème ; - résolution d’équations, d’inéquations ; - expressions littérales ; - calcul littéral et démonstration. Considérant dans ce mémoire le calcul littéral en tant qu’objet, seuls les points 1 et 4

s’avèrent donc susceptibles de nous intéresser. Leur étude plus approfondie nous a alors permis de déterminer les différents types de tâches18 semblant attendus par l’institution :

- produire une expression littérale ; - évaluer une expression littérale pour une valeur donnée de la (ou des) lettre(s) ; - réduire une expression littérale ; - développer une expression littérale ; - factoriser une expression littérale.

III.2 Retour sur les manuels Chacun des précédents types de tâche est effectivement travaillé, à tel ou tel niveau, dans

les parties « exercices » des différents ouvrages à notre disposition. Nous avons pu également constater que trois de « nos » quatre manuels de 4ème en

proposent un nouveau, semblant parfaitement entrer dans le cadre de notre étude. Il s’agit de : « supprimer les parenthèses d’une expression littérale ».

Pourtant, nous avons fait le choix de ne pas l’ajouter à notre première liste mais de le considérer comme relevant de la réduction. Nous nous en expliquerons plus précisément dans le chapitre 3…

IV- Une première conclusion Si l’institution « enseignement » a crée de toute pièce le domaine d’étude que constitue le

calcul littéral, elle semble éprouver quelques difficultés à le définir clairement. Il n’en va toutefois pas de même pour les objets particuliers qui y vivent, à savoir les expressions littérales. Notons d’ailleurs à ce propos que l’adjectif littéral est préféré à celui d’algébrique. Est-ce à dire que l’institution nie l’affiliation du calcul littéral à l’algèbre élémentaire ? Quoi qu’il en soit, nos hypothèses de travail HT1 et HT2 peuvent être considérées comme valides. Dans la suite de notre travail, le calcul littéral sera donc définitivement assimilé à « un jeu formel d’écritures permettant de résoudre efficacement divers problèmes » et une écriture littérale sera vue comme « une expression comportant des signes opératoires, des parenthèses, des nombres et des lettres ».

Dans ce chapitre, nous avons également souligné à plusieurs reprises qu’à notre sens l’institution ne distinguait pas suffisamment l’objet calcul littéral de l’outil du même nom. Malgré tout, nous avons pu particulariser cinq types de tâche inhérents à l’objet, l’aspect structural des trois derniers nous intéressant particulièrement.

18 Rappelons qu’un type de tâche est un verbe d’action suivi d’une expression précisant sur quoi porte cette action. Il se distingue ainsi d’un genre de tâche qui lui se limite à un verbe d’action !

19

Chapitre 3

Caractérisation des OM de référence

20

Rappelons tout d’abord que nous avons décidé de cibler notre étude sur les trois types de tâche majeurs que sont :

- RedT : réduire une expression littérale;

- DvtT : développer une expression littérale ;

- FactT : factoriser une expression littérale.

L’objectif est ici de nous détacher quelque peu de ce qui a cours aujourd’hui dans l’institution scolaire afin de décrire les OM de référence associées à chacun de ces types de tâche. En effet, ce travail nous permettra d’élaborer une grille d’analyse praxéologique à laquelle, dans le chapitre 4, nous soumettrons le système d’enseignement actuel en vue de répondre à QR2.

Dans cette partie, plus longue que les précédentes, nous présenterons tout d’abord les

définitions adoptées pour chacun des trois types de tâche considérés. Dans un second temps, nous exposerons les éléments permettant de mieux appréhender la démarche adoptée. Puis, nous caractériserons les OM de référence relatives à chacun des trois types de tâche en question pour enfin terminer par présenter des arbres synthétisant les différents résultats établis.

I- Définitions des types de tâche en jeu Comme nous l’avons déjà mentionné dans le chapitre 1, les expressions littérales peuvent

être considérées comme les transposés des polynômes de [ ]Xℝ et donc des fonctions

polynomiales19. C’est pourquoi, si nous voulons définir convenablement RedT , DvtT et FactT , un

petit détour « théorique » s’impose ! Il s’agira en fait tout simplement, dans le cadre de la transposition, de préciser quelques éléments de vocabulaire mais aussi de rappeler quelques résultats…

I.1 Des précisions…

Nous appelons monôme, une expression littérale dans laquelle les opérations portant sur les variables sont uniquement des multiplications ou des puissances. Ainsi en s’appuyant sur la commutativité et l’associativité de la multiplication dansℝ mais aussi sur les règles relatives aux puissances, on peut définir la forme réduite d’un monôme comme le produit d’un coefficient numérique et d’une partie purement littérale ( 2 74x y− par exemple). Deux monômes ayant la même forme réduite sont dits égaux. Deux monômes réduits qui ont la même partie littérale et qui ne diffèrent donc que par leurs coefficients sont dits semblables. Toujours dans ce cadre, on peut définir la somme de monômes semblables et le produit de monômes quelconques.

Nous appelons polynôme, une somme de monômes qui ne sont éventuellement pas tous réduits ni même semblables. Réduire un polynôme consiste à réduire chacun de ses monômes puis à effectuer les sommes de monômes semblables qu’il contient20. Comme précédemment, deux polynômes ayant la même forme réduite (à l’ordre près des monômes les constituant) sont dits égaux et l’on peut définir la somme et le produit de polynômes.

19 Voir p 12 à 18 de [Croset, 2009] . 20 Nous ne développerons pas ici les notions de polynôme réduit ordonné et de forme canonique.

21

I.2 Nos choix…

Au vu de ce qui précède, nous avons décidé de définir les trois types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale de la façon suivante :

- RedT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes réduits

non semblables. - DvtT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes.

- FactT : écrire l’expression littérale considérée comme un produit de polynômes.

Nous avons bien conscience qu’adopter un tel point de vue peut surprendre. Mais il nous semblait essentiel d’axer « nos » définitions sur le type d’objet à obtenir et non sur une règle, une formule ou une technique à appliquer.

II- Vers un modèle de référence…

Comme nous l’avons déjà mentionné au chapitre 1, nous reprenons ici la démarche adoptée dans [Chaachoua, 2010]. Dans toute la suite de ce paragraphe, il s’agira donc pour nous de préciser quels éléments de cette étude nous avons décidé de retenir21 et de quelle manière nous allons les utiliser.

En vue de construire un modèle de référence, sont définies les OM ponctuelles (notées

OMP). Un type de tâche T étant donné, une OM ponctuelle regroupe les tâches pouvant être accomplies par une seule technique, justifiée par une technologie, elle-même légitimée par une certaine théorie. Mais pour un même type de tâche, plusieurs techniques peuvent parfois être envisagées. C’est ainsi qu’à certains types de tâche peuvent être associées plusieurs OMP, l’agrégat de ces dernières formant ce que l’on appelle une OM complexe. Mais alors, en vue d’accomplir T, comment choisir la technique la plus efficace? Il apparaît en fait que, d’une façon générale, l’institution scolaire organise progressivement l’étude des (OMPk(T))k, c’est-à-dire des ((T,kτ , kθ , kΘ ))k, tout au long de la scolarité et préfère donc particulariser les

énoncés des tâches relatives à chacune de ces OMPk. C’est pourquoi ont été introduits des sous-types de tâche de T, notés Tk, correspondant à chacune des techniqueskτ 22.

Par conséquent, notre première préoccupation sera de déterminer les sous-types de tâche

associés àRedT , DvtT et FactT . Ce travail étant fait, nous nous placerons alors à un niveau

générique en étudiant la technique « générale » relative à chacun des sous-types de tâche en présence. Cette technique se déclinera comme une suite d’autres sous-types de tâche, chacun pouvant être doté de sa propre organisation praxéologique. Cependant, comme le souligne Chaachoua, ces derniers sous-types de tâche peuvent être de deux sortes :

- intrinsèques, s’ils n’existent qu’au sein de la technique considérée ; - extrinsèques, si l’on peut les prescrire indépendamment du type de tâche en présence.

21 Ne reprenant pas tous les éléments mentionnés dans ce travail, nous invitons le lecteur intéressé à s’y reporter. Il y trouvera notamment les définitions des notions de tâche prescrite, de tâche mathématique ou encore de portée institutionnelle…

22 À terme, l’élève sera pourtant confronté à T dans sa globalité et devra donc de lui-même choisir la technique adéquate. Mais cet aspect n’est généralement pas pris en charge par l’institution scolaire !

22

On peut ainsi décomposer chaque technique pas à pas jusqu’à un niveau qui pourra être qualifié d’élémentaire. Notons à ce propos que les sous-types de tâche intrinsèques sont par essence élémentaire.

Pour achever notre modèle, il ne nous restera alors qu’à déterminer les technologies et

théories sous-jacentes…

III- OM complexes de référence

Il est donc maintenant temps de procéder à la construction pas à pas de notre modèle de référence, en respectant scrupuleusement le cadre précédemment défini.

III.1 Concernant la réduction

Par nos différentes lectures23, nous avons pu déterminer cinq sous-types de tâche associés àRedT :

- RedT∏ : réduire un produit de monômes « sans parenthèses »;

- RedT∑ : réduire une somme de monômes « sans parenthèses » ;

- ,RedT∏ ∑ : réduire une expression algébrique présentant à la fois des produits et des

sommes de monômes « sans parenthèses ». - (...)T + : supprimer des parenthèses précédées d’un signe « + » et non suivies d’un

signe « × » ou « ÷ ». - (...)T − : supprimer des parenthèses précédées d’un signe « − » et non suivies d’un signe

« × » ou « ÷ ».

Cependant, RedT∑ regroupe une très vaste palette de tâches au demeurant fort différentes. En

effet, réduire 2 24 5x x+ ou 4 7 2 3x x+ − + ne demande pas le même degré de technicité dans la mesure où, contrairement à la seconde expression, la première est une somme de monômes de même degré. Dans ces conditions, doit-on envisager un découpage plus fin de RedT∑ ? Si l’on

s’en tient à ce qui se fait actuellement dans les manuels, la réponse est non. Cependant, nous intéressant ici aux OM de référence, il nous semble opportun de faire cette distinction. D’où l’introduction de deux nouveaux sous-types de tâche remplaçant RedT∑ :

- RemêmedT∑ : réduire une somme de monômes de même degré « sans parenthèses »;

- RedifférentsdT∑ : réduire une somme de monômes de degrés différents « sans parenthèses ».

De plus, il nous faut obligatoirement envisager le cas de réductions nécessitant la mobilisation de plusieurs des sous-types de tâche précédemment considérés. C’est ainsi que nous considèrerons un dernier sous-type de tâche :

ReMixte

dT : réduire une expression algébrique complexe pouvant comporter des produits,

des sommes mais également des parenthèses (au sens précédemment défini !). 23 Manuels de différents niveaux et de diverses époques !

23

C’est ainsi que RedT admet pour nous une OM complexe composée de sept organisations

mathématiques ponctuelles (OMP). En résumé, on a donc : OM ( RedT ) = [ RedT ; {OMP1 ( RedT∏ ), OMP2 ( Re

mêmedT∑ ), OMP3 ( Re

différentsdT∑ ), OMP4 (

,RedT∏ ∑ ),

OMP5 ( (...)T + ), OMP6 ( (...)T − ), OMP7 ( ReMixte

dT )}].

Caractérisons maintenant chacune de ces OMPi… A- Caractérisation de OMP1

Exemples de tâche : réduire25 3x x× ; réduire 24 3 2y x y× × ; … OMP1 ( RedT∏ ) = ( RedT∏ , Redτ ∏ , Redθ ∏ , lgaΘ )

RedT∏ Réduire un produit de monômes « sans parenthèses ».

Redτ ∏

-Regrouper les facteurs de même « espèce » (les nombres avec les nombres et les différentes lettres avec leurs puissances respectives). -Effectuer les produits de nombres et, pour chaque lettre, utiliser la règle concernant le produit de puissances (n m n ma a a +× = ). -Respecter les conventions d’écriture (les nombres se placent avant les lettres, le signe ×peut être supprimé entre un nombre et une lettre, entre les puissances de différentes lettres…).

Redθ ∏ -Commutativité et associativité de la multiplication. -Conventions d’écriture.

lgaΘ Algèbre.

B- Caractérisation de OMP2

► Exemples de tâche : réduire5 3x x+ ; réduire 2 24y y+ ; …

Notons qu’associé à cette technique, ce sous-type de tâche peut être considéré comme intrinsèque et élémentaire puisque relevant du dénombrement de collections étudié dans l’enseignement primaire. Après réflexion, il nous est apparu judicieux de changer sa notation et ce afin de faciliter la compréhension de notre propos. Il sera donc par la suite appeléCompteT ,

la technique associéeCompteτ et la technologie justificativeCompteθ .

Par la suite, nous considérerons donc: OMP2 ( CompteT ) = ( CompteT , Compteτ , Compteθ , arithΘ ).

OMP2 ( RemêmedT∑ ) = ( Re

mêmedT∑ , Re

mêmedτ ∑ , Re

mêmedθ ∑ , arithΘ )

RemêmedT∑ Réduire une somme de monômes de même degré « sans parenthèses ».

Remêmedτ ∑ Compter les termes de la catégorie en présence.

Remêmedθ ∑ Dénombrement de collections.

arithΘ Arithmétique.

24

Si la technique de réduction consistant à « compter » les termes de même catégorie s’avère relativement prégnante dans la pratique enseignante et très prisée des élèves, elle n’est que peu présente dans les manuels actuels. De plus, elle n’est réellement pertinente que lorsque les expressions algébriques présentent des coefficients entiers naturels et a donc de ce fait une portée limitée. Certes elle peut être « forcée » et étendue assez facilement à des expressions aux coefficients relatifs ou rationnels… Mais peut-on vraiment envisager de compter les

« x » dans une expression comme 4

23

x x+ ? Cela ne peut tout de même pas être considéré

comme mathématiquement correct ! Ces diverses constatations nous amènent donc tout naturellement à envisager une nouvelle OM relative à Re

mêmedT∑ , que nous noterons '

2OMP .

► Exemples de tâche : réduire4 7x x+ ; réduire 2 22 1

3 2y y+ ; …

Le sous-type de tâche simple

FactT a sa propre organisation mathématique que nous détaillerons un

peu plus tard (voir paragraphe III.3A). Cependant, compte tenu de l’immense portée de l’argument technologique que constitue la distributivité de la multiplication sur l’addition, nous avons fait le choix de singulariser dès à présent sa notation en le désignant parDistrθ .

Par la suite, nous considérerons donc: OMP’2 ( RemêmedT∑ ) = ( Re

mêmedT∑ , Re

mêmedτ ∑ , Distrθ , lgaΘ )

C- Caractérisation de OMP3

Exemples de tâche : réduire2 24 3 5 4x x+ + + ; 1

5 3 47

x y x y+ + + ; 2 25 2 12x x+ − + ; …

OMP’2 ( RemêmedT∑ ) = ( Re

mêmedT∑ , Re

mêmedτ ∑ , Re

mêmedθ ∑ , lgaΘ )

RemêmedT∑ Réduire une somme de monômes de même degré « sans parenthèses ».

Remêmedτ ∑

( )Resimple

d FactTτ ∑ =

où simpleFactT consiste à factoriser un « regroupement » de termes de même catégorie en

utilisant la (les) formule(s) de simple distributivité.

Remêmedθ ∑ Distributivité de la multiplication sur l’addition pour simple

FactT .

lgaΘ Algèbre.

25

D- Caractérisation de OMP4

Exemples de tâche : réduire 22 4 2x x x× × + × × ; réduire 2 25 3 3 2 4 4 2 3x x x x− × − × + × + × ;

réduire2 3x x× + × ; … Bien que très peu présent dans les manuels, ce type de tâche devra absolument être maîtrisé pour aborder sereinement les développements. D’où notre choix de lui consacrer un paragraphe spécifique. Cependant, afin de ne pas alourdir notre travail, nous ne distinguerons pas ici les réductions de sommes de monômes de même degré de celles de degrés différents. OMP4 (

,RedT∏ ∑ ) = ( ,

RedT∏ ∑ , ,Redτ ∏ ∑ , ,

Redθ ∏ ∑ , lg,a arithΘ )

,RedT∏ ∑ Réduire une expression algébrique présentant à la fois des produits et des

sommes de monômes « sans parenthèses ».

,Redτ ∏ ∑

Réduire chaque terme de la somme puis réduire cette somme. Ainsi : ,

Redτ ∏ ∑ = ( RedT∏ , RedifférentsdT∑ ).

,Redθ ∏ ∑ Redθ ∏ et Re

différentsdθ ∑ (voir les paragraphes III.1A et III.1C précédents)

lg,a arithΘ Algèbre et « éventuellement » arithmétique.

E- Caractérisation de OMP5

Exemples de tâche : réduire ( )3 4 7y x+ + ; réduire( )4 7 2x y xy+ + ; …

OMP5 ( (...)T + ) = ( (...)T + , (...)τ + , (...)θ + , lgaΘ )

(...)T + Supprimer des parenthèses précédées d’un signe « + » et non suivies d’un signe « × » ou « ÷ ».

τ +∑

-supprimer le signe + ; -supprimer les parenthèses ; -réécrire l’expression entre parenthèses sans changer les signes intérieurs.

θ +∑

Distributivité de la multiplication sur l’addition. En effet : ( ) ( )1+ ∑ = × ∑ .

lgaΘ Algèbre.

3OMP ( RedifférentsdT∑ ) = ( Re

différentsdT∑ , Re

différentsdτ ∑ , Re

différentsdθ ∑ , lg,a arithΘ )

RedifférentsdT∑ Réduire une somme de monômes de degrés différents « sans parenthèses ».

Redifférentsdτ ∑

( )Re Re Re, ,différents mêmed grt Compte dT T Tτ ∑ ∑=

où RegrtT consiste à repérer les termes « de même catégorie » voire à les regrouper.

Quant à CompteT et RemêmedT∑ , ils viennent d’être étudiés dans le paragraphe précédent !

Redifférentsdθ ∑

-Commutativité de l’addition pourRegrtT .

-Voir paragraphe III.1B pourCompteθ justifiant CompteT et Distrθ relative à RemêmedT∑ .

lg,a arithΘ - Algèbre pour RegrtT .

- Arithmétique pourCompteT et algèbre pourRemêmedT∑ .

26

Pour M.C.Croset, [Croset, 2009], ce sous type de tâche, tout comme le suivant, ne relève pas de RedT dans la mesure où la technologie justificative fait appel à la distributivité de la

multiplication sur l’addition et donc au développement. Alors, pourquoi avons-nous adopté ici un point de vue si différent ? Si l’on oublie un instant l’argument technologique pour revenir seulement sur la technique effectivement mise en œuvre pour traiter ce sous-type de tâche, le lien avec DvtT apparaît

beaucoup moins flagrant puisque aucun produit n’est « véritablement » effectué ! Nous rejoignons ainsi l’opinion soutenue par S.Baruk [Baruk, 1992]… Quoi qu’il en soit, compte tenu de la nature de l’argument technologique et au regard de ce qui a été fait précédemment, nous considérerons par la suite : OMP5 ( (...)T + ) = ( (...)T + , (...)τ + , Distrθ , lgaΘ )

F- Caractérisation de OMP6

Exemples de tâche : réduire ( )3 4 7y x− + ; réduire ( )4 7 2x y xy− + + ; …

OMP6 ( (...)T − ) = ( (...)T − , (...)τ − , (...)θ − , lgaΘ )

(...)T − Supprimer des parenthèses précédées d’un signe « − » et non suivies d’un signe « × » ou « ÷ ».

τ −∑

-supprimer le signe - ; -supprimer les parenthèses ; -réécrire l’expression entre parenthèses en changeant tous les signes intérieurs.

θ +∑

Distributivité de la multiplication sur l’addition. En effet : ( ) ( )1− ∑ = − × ∑

lgaΘ Algèbre.

Toujours pour des raisons d’ordre technologique, nous considérerons par la suite : OMP6 ( (...)T − ) = ( (...)T − , (...)τ − , Distrθ , lgaΘ )

G- Caractérisation de OMP7

Exemples de tâche : réduire ( ) ( )3 7 4 3 7x x x+ + − − + ; ( ) ( )2 2 3 2 3x x x y x y x y+ + − + × − + ; …

OMP7 ( ReMixte

dT ) = ( ReMixte

dT , ReMixte

dτ , ReMixte

dθ , lg,a arithΘ )

ReMixte

dT Réduire une expression algébrique complexe pouvant comporter des produits, des sommes mais également des parenthèses (au sens précédemment défini !).

ReMixte

dτ ReMixte

dτ = ( (...)T + , (...)T − , ,RedT∏ ∑ ).

ReMixte

dθ Distrθ et ,Redθ ∏ ∑ qui ont été détaillées dans les paragraphes III.1B et III.1D précédents.


27

III.2 Concernant le développement…

Nous avons a priori déterminé cinq sous-types de tâche associés à DvtT :

- simpleDvtT : développer un produit en utilisant la simple distributivité.

- doubleDvtT : développer un produit en utilisant la double distributivité.

- 1IdDvtT : développer( )2a b+ où aetb sont des monômes.

- 2IdDvtT : développer( )2a b− où aetb sont des monômes.

- 3IdDvtT : développer( ) ( )a b a b+ − où aetb sont des monômes.

De plus, il nous faut également considérer le cas de développement nécessitant une itération d’un des sous-types de tâche précédemment envisagés et /ou une combinaison de plusieurs d’entre eux. Une itération n’étant, après tout, qu’une combinaison particulière nous considèrerons donc un nouveau sous-type de tâche :

CombDvpT : développer un produit en combinant un ou plusieurs des cinq sous-types de

tâche précédents.

Enfin, certaines expressions algébriques à développer sont des sommes algébriques dont plusieurs des termes sont des produits que nous qualifierons de « développables » dans la mesure où ils relèvent d’un des six sous-types de tâche précédents. C’est pourquoi nous envisageons un dernier sous-type de tâche :

. lgSom aDvpT : développer une somme algébrique dont certains termes sont des produits dits

« développables ».

C’est ainsi queDvtT admet sept organisations mathématiques ponctuelles.

En résumé, on a donc: OM ( DvtT ) = [ DvtT ; {OMP1 ( simple

DvtT ), OMP2 ( doubleDvtT ), OMP3 ( 1Id

DvtT ), OMP4 ( 2IdDvtT ), OMP5

( 3IdDvtT ), OMP6 (

CombDvtT ), OMP7 (

. lgSom aDvtT )}].

Caractérisons maintenant chacune de ces OMPi… A- Caractérisation de OMP1

Exemples de tâche : développer( )7 2x− ; développer ( )3 5 2x x+ ; …

OMP1 (simple

DvtT ) = ( simpleDvtT , simple

Dvtτ , simpleDvtθ , lgaΘ )

simpleDvtT

Développer une expression du type ( )k a b+ (ou ( )k a b− ) lorsque ,k aetb sont des

monômes.

simpleDvtτ

( )Re,simple simpleDvt Formule dT Tτ ∏=

où simpleFormuleT : appliquer « dans le bon sens » une des deux formules de simple

distributivité afin de développer. Il suffira alors de réduire l’expression obtenue avec RedT∏ (voir paragraphe III.1A).

simpleDvtθ

-Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

- Redθ ∏

lgaΘ Algèbre.

28

A noter que pour nous simpleFormuleT peut être considérée comme élémentaire car elle résulte de la seule

application d’une formule, sans réduction d’aucune sorte ! Voici son OM : OMP ( simple

FormuleT ) = ( simpleFormuleT , simple

Formuleτ , simpleFormuleθ , lgaΘ )

simpleFormuleT Appliquer « dans le bon sens » une des deux formules de simple distributivité afin de

développer.

simpleFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée ( )k a b+ (ou ( )k a b− ).

-Reconnaître « qui » jouent les rôles dek , aetb . -Ecrire alors l’égalité : ( )k a b ka kb+ = + (ou ( )k a b ka kb− = − ).

simpleFormuleθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

En accord avec les conventions précédemment adoptées, nous considérerons par la suite : OMP ( simple

FormuleT ) = ( simpleFormuleT , simple

Formuleτ , Distrθ , lgaΘ )


Exemples de tâche : développer( ) ( )7 1x x+ + ; développer( )( )4 7 3 1x x+ − ; …

OMP2 (

doubleDvtT ) = ( double

DvtT , doubleDvtτ , double

Dvtθ , lg,a arithΘ )

doubleDvtT Développer une expression du type ( ) ( )a b c d+ + où , ,a b cetd sont des monômes.

doubleDvtτ

( )Re,double doubleDvt Formule dT Tτ =

où doubleFormuleT : appliquer la formule de double distributivité.

Il suffira alors de réduire l’expression obtenue avec RedT (voir paragraphe III.1).

doubleDvtθ


- Redθ .


A noter que pour nous double

FormuleT peut être aussi considéré comme élémentaire puisqu’il résulte de la

seule application d’une formule, sans réduction d’aucune sorte ! Voici son OM : OMP ( double

FormuleT ) = ( doubleFormuleT , double

Formuleτ , doubleFormuleθ , lgaΘ )

doubleFormuleT Appliquer la formule de double distributivité.

doubleFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée( ) ( )a b c d+ + .

-Reconnaître « qui » jouent les rôles dea ,b , cetd . -Ecrire alors l’égalité :( ) ( )a b c d ac ad bc bd+ + = + + + .

doubleFormuleθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

29

Nous considérerons donc par la suite : OMP (doubleFormuleT ) = ( double

FormuleT , doubleFormuleτ , Distrθ , lgaΘ )


Exemples de tâche : développer( )22x+ ; développer( )2

3 5x+ ; …

OMP3 (

1IdDvtT ) = ( 1Id

DvtT , 1IdDvtτ , 1Id

Dvtθ , lgaΘ )

1IdDvtT Développer une expression du type ( )2

a b+ où aetb sont des monômes.

1IdDvtτ

( )1 1Re,Id Id

Dvt Formule dT Tτ ∏=

où 1IdFormuleT : appliquer « dans ce sens » la formule( )2 2 22a b a ab b+ = + + .

Il suffira alors de réduire l’expression obtenue avec RedT∏ (voir paragraphe III.1A).

1IdDvtθ


- Redθ ∏ .

lgaΘ Algèbre.

A noter que pour nous 1Id


seule application d’une formule, sans réduction d’aucune sorte ! Voici son OM : OMP ( 1Id

FormuleT ) = ( 1IdFormuleT , 1Id

Formuleτ , 1IdFormuleθ , lgaΘ )

1IdFormuleT Appliquer « dans ce sens » la formule( )2 2 22a b a ab b+ = + + .

1IdFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée( )2a b+ .

-Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb .

-Ecrire alors l’égalité :( )2 2 22a b a ab b+ = + + . 1Id

Formuleθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

Là encore, nous considérerons par la suite : OMP (1Id


Formuleτ , Distrθ , lgaΘ ).

D- Caractérisation de OMP4

Exemples de tâche : développer( )26x− ; développer( )2

2 3x− ; …

30

OMP4 (2Id

DvtT ) = ( 2IdDvtT , 2Id

Dvtτ , 2IdDvtθ , lgaΘ )

2IdDvtT Développer une expression du type ( )2

a b− où aetb sont des monômes.

2IdDvtτ

( )2 2Re,Id Id


où 2IdFormuleT : appliquer « dans ce sens » la formule( )2 2 22a b a ab b− = − + .


2IdDvtθ


- Redθ ∏ .

lgaΘ Algèbre.

A noter que pour nous 2Id





2IdFormuleT Appliquer « dans ce sens » la formule( )2 2 22a b a ab b− = − + .

2IdFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée ( )2a b−

-Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb .

-Ecrire alors l’égalité :( )2 2 22a b a ab b− = − + . 2Id


lgaΘ Algèbre.

Evidemment, nous considérerons par la suite : OMP (2Id




Exemples de tâche : développer( )( )1 1x x+ − ; développer( )( )3 7 3 7x x+ − ;…

OMP5 (

3IdDvtT ) = ( 3Id

DvtT , 3IdDvtτ , 3Id

Dvtθ , lgaΘ )

3IdDvtT Développer une expression du type ( ) ( )a b a b+ − où aetb sont des monômes.

3IdDvtτ

( )3 3Re,Id Id


où 3IdFormuleT : appliquer « dans ce sens » la formule( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − .


3IdDvtθ

- Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

- Redθ ∏

lgaΘ Algèbre.

31

A noter que pour nous 3IdFormuleT peut être aussi considéré comme élémentaire puisqu’il résulte de la




3IdFormuleT Appliquer « dans ce sens » la formule( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − .

3IdFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée ( ) ( )a b a b+ −

-Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb . -Ecrire alors l’égalité : ( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − .

3IdFormuleθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

Par la suite, nous considérerons donc : OMP (3Id




Exemples de tâche : développer( )24 1x+ ; développer ( ) ( )7 4 1 3 7x x x− − ;…

OMP6 (

CombDvtT ) = ( Comb

DvtT , CombDvtτ , Comb

Dvtθ , lg,a arithΘ )

CombDvtT Développer un produit en combinant un ou plusieurs des cinq sous-types de tâche

précédents.

CombDvtτ

( )1 2 3Re, , , , ,Comb Id Id Id Double Simple

Dvt Dvp Dvp Dvp Dvp Dvp dT T T T T Tτ = .

En fait, CombDvtτ consiste dans un premier temps à combiner voire itérer dans cet

ordre 1IdDvtT , 2Id

DvtT , 3IdDvtT , Double

DvtT et SimpleDvtT (voir les points A à E du paragraphe III.2), chaque

développement partiel étant mis entre parenthèses et soumis RedT (voir paragraphe

III.1). Puis, il convient de réduire l’expression obtenue à l’aide une nouvelle fois de RedT .

CombDvtθ


- Redθ



Exemple de tâche : développer( ) ( ) ( ) ( )23 7 4 3 2 5 2 4x x x x x+ − − + + − ; …

32

OMP7 (. lgSom a

DvtT ) = ( . lgSom aDvtT , . lgSom a

Dvtτ , . lgSom aDvtθ , lg,a arithΘ )

. lgSom aDvtT Développer une somme algébrique dont certains termes sont des produits dits

« développables ».

. lgSom aDvtτ

( ). lgRe Re, ,Som a Comb

Dvt pérer Dvp dT T Tτ = .

RepérerT consiste à repérer les différents termes en présence. Chacun d’eux devra ensuite

être soumis à CombDvtT (voir paragraphe III.2F)) puis l’expression obtenue à RedT .

. lgSom aDvtθ


- Redθ


III.3 Concernant la factorisation…

Un survol des programmes et des manuels de la 6ème à la 2de, nous a permis de mettre en évidence quatre sous-types de tâche associés à FactT :

- SimpleFactT : factoriser ka kb± où ,k a etb sont des polynômes.

- 1IdFactT : factoriser 2 2

2a ab b+ + où a etb sont des monômes.


2a ab b− + où a etb sont des monômes.


a b− où a etb sont des polynômes.

Cependant, il nous est apparu intéressant d’introduire un 5ème type de tâche, enseigné actuellement en 1ère S, à savoir la factorisation systématique des trinômes du second degré, basée sur le calcul du discriminant.

FactT ∆ : factoriser 2ax bx c+ + ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠ , grâce au calcul du discriminant.

Ceci nous oblige alors à étudier le cas particulier des expressions bicarrées au travers de:

BicarréFactT : factoriser 4 2

ax bx c+ + ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠ .

Enfin, il nous faut également considérer le cas de factorisations nécessitant une itération d’un des sous-types de tâche précédemment envisagés et/ou une combinaison de plusieurs d’entre eux. Une itération n’étant qu’une combinaison particulière, nous considérons donc un nouveau sous-type de tâche :

CombFactT : factoriser en combinant un ou plusieurs des six sous-types de tâche précédents.

C’est ainsi queFactT admet, pour nous, sept organisations ponctuelles.

En résumé, on a donc: OM ( FactT ) = [ FactT ; {OMP1 ( simple

FactT ), OMP2 ( 1IdFactT ), OMP3 ( 2Id

FactT ), OMP4 ( 3IdFactT ), OMP5

( FactT ∆ ), OMP6 (Bicarré

FactT ), OMP7 (Comb

FactT )}].

Caractérisons chacune de ces OMPi…

33

A- Caractérisation de OMP1

Exemples de tâche : factoriser3 4x x+ ; factoriser 6 4xy x+ ; factoriser ( ) ( )4 7 2 7x x x+ − + ; …

OMP1 (Simple

FactT ) = ( SimpleFactT , Simple

Factτ , SimpleFactθ , lgaΘ )

SimpleFactT

Factoriser une expression du type ka kb+ (ouka kb− ) lorsque ,k aetb sont des polynômes.

SimpleFactτ

( ).Re, ,Simple Fact simple

Fact Formule Calcul dT T Tτ =

où .Fact simpleFormuleT consiste appliquer « dans le bon sens » une des deux formules de simple

distributivité, où CalculT est le type de tâche élémentaire « calculer la somme de deux

nombres réels » et où RedT a été caractérisé au paragraphe III.1. SimpleFactθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ mais aussi Redθ

lgaΘ Algèbre et arithmétique.

.Fact simple

FormuleT admet sa propre organisation mathématique que nous allons expliciter ci-dessous.

OMP ( .Fact simple

FormuleT ) = ( .Fact simpleFormuleT , .Fact simple

Formuleτ , .Fact simpleFormuleθ , lgaΘ )

.Fact simpleFormuleT Appliquer « dans le bon sens » une des deux formules de simple distributivité afin de

factoriser.

.Fact simpleFormuleτ

-Repérer chaque terme de la somme algébrique. -Identifier chacun d’eux comme un produit. -Reconnaître dans l’expression donnéeka kb+ (ouka kb− ), en déterminant précisément « qui » jouent les rôles dek ,aetb . -Ecrire alors l’égalité ( )ka kb k a b+ = + (ou ( )ka kb k a b− = − ) en n’oubliant pas de

mettreaetb entre parenthèses lorsque ceux-ci ne sont pas des monômes. .Fact simple


lgaΘ Algèbre.

Nous considérerons donc par la suite que : OMP1 (

.Fact simpleFormuleT ) = ( .Fact simple

FormuleT , .Fact simpleFormuleτ , Distrθ , lgaΘ ).


Exemples de tâche : factoriser2 2 1x x+ + ; factoriser 225 30 9x x+ + ; … OMP2 (

1IdFactT ) = ( 1Id

FactT , 1IdFactτ , 1Id

Factθ , lgaΘ )

1IdFactT Factoriser une expression du type 2 22a ab b+ + où aetb sont des monômes.

1IdFactτ

-Reconnaître dans l’expression donnée 2 22a ab b+ + -Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb .

-Ecrire alors l’égalité : ( )22 22a ab b a b+ + = + . 1Id

Factθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

34

La technologie étant une nouvelle foisDistrθ , nous considérerons donc par la suite que :

OMP2 (1Id

FactT ) = ( 1IdFactT , 1Id

Factτ , Distrθ , lgaΘ ).


Exemples de tâche : factoriser2 2 1x x− + ; factoriser 225 30 9x x− + ; …

OMP3 (2Id


Factτ , 2IdFactθ , lgaΘ )

2IdFactT Factoriser une expression du type 2 22a ab b− + où aetb sont des monômes.

2IdFactτ

-Reconnaître dans l’expression donnée 2 22a ab b− + -Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb .

-Ecrire alors l’égalité : ( )22 22a ab b a b− + = − . 2Id

Factθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

Nous considérerons donc dorénavant que : OMP3 (2Id


Factτ , Distrθ , lgaΘ ).

D- Caractérisation de OMP4 Exemples de tâche : factoriser2 1x − ; factoriser 29 25x − ; … OMP4 (

3IdFactT ) = ( 3Id

FactT , 3IdFactτ , 3Id

Factθ , lg,a arithΘ )

3IdFactT Factoriser une expression du type 2 2a b− où aetb sont des polynômes.

3IdFactτ

( )3 . 3Re,Id Fact Id

Fact Formule dT Tτ =

où . 3Fact IdFormuleT consiste à appliquer « dans ce sens » la formule ( ) ( )2 2a b a b a b− = + − .

Il suffira alors de réduire chacun des deux facteurs avec RedT (voir paragraphe III.1).

3IdFactθ


- Redθ .


. 3Fact Id

FormuleT admet sa propre organisation mathématique que nous allons expliciter ci-dessous.

OMP ( . 3Fact Id

FormuleT ) = ( . 3Fact IdFormuleT , . 3Fact Id

Formuleτ , . 3Fact IdFormuleθ , lgaΘ )

. 3Fact IdFormuleT Appliquer « dans ce sens » la formule ( ) ( )2 2a b a b a b− = + − .

. 3Fact IdFormuleτ

-Reconnaître dans l’expression donnée 2 2a b− -Reconnaître « qui » jouent les rôles deaetb . -Ecrire alors l’égalité : ( ) ( )2 2a b a b a b− = + − en n’oubliant pas de mettreaetb entre

parenthèses lorsque ceux-ci ne sont pas des monômes. . 3Fact Id


lgaΘ Algèbre.

35

C’est ainsi que nous aurons par la suite : OMP (. 3Fact IdFormuleT ) = ( . 3Fact Id

FormuleT , . 3Fact IdFormuleτ , Distrθ , lgaΘ )


Exemples de tâche : factoriser22 2 12x x+ − ; factoriser 2 3 1x x− + − ; … OMP5 ( FactT ∆ ) = ( FactT ∆ , Factτ ∆ , Factθ ∆ , lgaΘ )

FactT ∆ Factoriser une expression du type 2ax bx c+ + où ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠

Factτ ∆

- Calculer le discriminant : 2∆ = b - 4ac.

▪ Si :∆ < 0 , conclure que l’expression n’est pas factorisable.

▪ Si :∆ = 0, conclure que : ( )22

0ax bc c a x x+ + = − , où : 02

bx

a

−= .

▪Si :∆ > 0, conclure que : ( ) ( )2

1 2ax bc c a x x x x+ + = − − , où : 12

bx

a

− − ∆= et

2 2

bx

a

− + ∆= .

Factθ ∆ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ .

lgaΘ Algèbre.

Par la suite nous considérerons donc : OMP5 ( FactT ∆ ) = ( FactT ∆ , Factτ ∆ , Distrθ , lgaΘ ).


Exemples de tâche : factoriser4 25 4x x− + ; factoriser 4 23 2 5x x− − + ; … OMP6 (

BicarréFactT ) = ( Bicarré

FactT , BicarréFactτ , Bicarréθ , lgaΘ )

BicarréFactT factoriser 4 2

ax bx c+ + ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠ .

BicarréFactτ

- Effectuer le changement de variable :2x X= .

- On obtient alors l’expression : 2aX bX c+ + à laquelle on appliqueFactT ∆ .

- Effectuer le changement de variable : 2X x= .

- Soumettre chacun des facteurs « 2x d− », où d réel positif, à 3IdFactT .

- Eventuellement réduire le produit obtenu.

BicarréFactθ


- La technologie justifiant les changements de variables, notéeVarθ , repose sur le fait

que si P est un polynôme alors : ( )2P x ⇔ ( )P X .

x ∈ℝ 2X x= - Redθ ∏ .

lgaΘ Algèbre.

36


Exemples de tâche : factoriser( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 4 1 3x x x x x x+ − + + − − + + ; factoriser

( ) ( )20 4 5 1 2 3x x x+ + + + ; factoriser ( ) ( )216 9 4 3 7 1x x x− − + + ; …

OMP7 (

CombFactT ) = ( Comb

FactT , CombFactτ , Combθ , lg,a arithΘ )

CombFactT Factoriser en combinant un ou plusieurs des six sous-types de tâche précédents.

CombFactτ

( )Re, , ,Comb Simple Partiel SimpleFact Fact Fact Fact dT T T Tτ =

La technique peut être décrite par la « boucle » suivante: - si l’expression peut être factorisée par itération de simple

FactT , le faire ;

- si ce n’est pas le cas, recourir à PartielFactT en repérant un groupement de termes pouvant

être factorisé par SimpleFactT , 1Id

FactT , 2IdFactT , 3Id

FactT ou FactT ∆ . Ceci étant fait, réitérer le traitement en

soumettant l’expression nouvellement obtenue àSimpleFactT .

Une fois la « boucle » terminée, utiliserRedT pour réduire chaque facteur et écrire le

résultat. CombFactθ Distributivité de la multiplication sur l’addition soit Distrθ mais aussiRedθ .


IV- Synthèse des résultats…

Bien que complet, le travail précédent ne s’avère guère lisible ou utilisable sous cette forme. Rappelons tout de même que ce modèle de référence doit nous aider à analyser ce qui a cours actuellement dans les manuels scolaires !

Afin de répondre à cet impératif, nous avons essayé dans un premier temps de faire quelques observations puis d’élaborer des arbres récapitulant les principaux résultats établis.

IV.1 Premières remarques

Si nous avons fait plusieurs fois référence à arithΘ (ou lg,a arithΘ ), il apparaît en fait que la

théorie de l’arithmétique n’intervient que dans le cadre très restreint de CompteT et de CalculT !

Mais le second type de tâche est nous l’avons déjà mentionné élémentaire ; de plus, la technologie et la technique associées au premier ont une portée fort limitée24. C’est pourquoi, nous avons fait le choix de ne plus considérer cette dépendance explicite à l’arithmétique. Ainsi, l’étude du calcul littéral en tant qu’objet marque la rupture effective entre la théorie de l’arithmétique et celle de l’algèbre !

Si l’on s’intéresse maintenant d’un peu plus près aux technologies présentes dans notre modèle, on constate la prégnance de deux d’entre elles à savoir Redθ ∏ et Distrθ . Mais en est-il de

même dans les manuels ? Nous le verrons au chapitre 4… Ces constatations étant faites, il convient de nous pencher plus attentivement sur les blocs

[ ],T τ relatifs aux savoir-faire. Pour cela, nous allons pour chacun des trois types de tâcheRedT ,

24 Voir paragraphe III.1B de ce chapitre.

37

DvtT et FactT , considérer le sous-type tâche le plus « général » puis illustrer à l’aide d’un arbre

ses liens avec les autres sous-types de tâche plus « particuliers ».

IV.2 Arbre relatif à la réduction

IV.3 Arbre relatif au développement

( ReMixte

dT , ReMixte

dτ ) ReMixte

dτ = ( (...)T + , (...)T − , ,RedT ∏ ∑ )

,Redτ ∏ ∑ = ( RedT ∏ , Re

différentsdT∑ )

Redτ ∏ Redifférentsdτ ∑ = (

RegrtT , Re

mêmedT∑ )

Remêmedτ ∑ = ( Simple

FactT )

( . lgSom aDvtT , . lgSom a

Dvtτ ) . lgSom aDvtτ = (

RepérerT , Comb

DvtT ,Red

T )

CombDvtτ = ( 1Id

DvtT , 2IdDvtT , 3Id

DvtT , DoubleDvtT , Simple

DvtT ,Red

T )

1IdDevτ = ( 1Id

FormuleT , RedT ∏ )

2IdDevτ = ( 2Id


3IdDevτ = ( 3Id


DoubleDevτ = ( Double

FormuleT ,

RedT )

SimpleDevτ = ( Simple


( )...τ +( )...τ −

1IdFormuleτ

2IdFormuleτ

3IdFormuleτ

DoubleFormuleτ

SimpleFormuleτ

38

IV.4 Arbre relatif à la factorisation

( CombFactT , Comb

Factτ ) CombFactτ = ( Simple

FactT , Partiel

FactT , Simple

FactT ,

RedT )

SimpleFactτ = ( .Fact simple

FormuleT ,Red

T ∏ ) PartielFactτ =( Simple


FactT , 3IdFactT , FactT ∆ , Bicarré

FactT )


FormuleT ,Red

T ∏ )


FormuleT ,Red

T ∏ )

1IdFactτ 2Id

Factτ 3Id

Factτ = ( . 3Fact IdFormuleT ,

RedT ) Factτ ∆ Bicarré

Factτ

.Fact simpleFormuleτ . 3Fact Id

Formuleτ

39

Chapitre 4

Aujourd’hui au collège…

40

Le modèle de référence, construit au chapitre précédent, constitue a priori un outil de

choix pour répondre à notre seconde question de recherche qui, rappelons-le, est : QR2 : comment les trois types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale sont-ils actuellement définis et traités dans l’institution « collège » ? Pour ce faire, nous allons dans une première partie revenir sur la chronologie des

apprentissages proposée par l’institution, afin de préciser à quel niveau scolaire tel ou tel sous-type de tâche caractérisé dans le chapitre 3 est introduit et travaillé. Puis, nous nous pencherons plus en détail sur la(les) définition(s) et le(s) traitement(s) dont les types et sous-types de tâche relatifs au collège font actuellement l’objet. Bien entendu, nous essayerons de souligner, à chaque étape de notre travail, les similitudes et les différences existant avec notre modèle de référence…

I- Retour sur la progression des apprentissages Pour chacun des trois types de tâche réduire, développer et factoriser une expression

littérale, nous avons déjà constaté que l’institution envisageait une acquisition progressive des connaissances et compétences sur différents niveaux scolaires. Mais quel découpage en propose-t-elle ? L’étude des programmes officiels figurant en annexe A ainsi que le survol de différents manuels nous ont permis de compléter les arbres précédemment élaborés dans le chapitre 3 ; nous y avons ainsi fait figurer les niveaux de classe où apparaissent a priori les sous-types de tâche relatifs respectivement à la réduction, au développement et à la factorisation. Précisons toutefois qu’un sous-type de tâche introduit à un certain niveau peut tout à fait être retravaillé dans les classes supérieures !

I.1 Concernant la réduction

4ème

( ReMixte

dT , ReMixte

dτ ) ReMixte

dτ = ( (...)T + , (...)T − , ,RedT ∏ ∑ )

,Redτ ∏ ∑ = ( RedT ∏ , Re

différentsdT∑ )

Redτ ∏ Redifférentsdτ ∑ = (

RegrtT , Re

mêmedT∑ )

Remêmedτ ∑ = ( Simple

FactT )

( )...τ +( )...τ −

4ème 4ème

5ème

5ème

5ème

5ème

41

I.2 Concernant le développement

Associer à chaque sous-type de tâche, et donc à chaque technique, un seul niveau scolaire s’est avéré ici plus difficile que prévu. En effet, bien qu’a priori introduit dans une classe particulière, tel ou tel sous-type de tâche peut apparaître au moins partiellement au niveau précédent au travers certains exercices à l’énoncé très simple.

Après réflexion, il nous a semblé opportun de ne pas négliger cet aspect. C’est pourquoi, sur l’arbre ci-dessous, figurent entre parenthèses les niveaux où, sur quelques exemples, une partie de la technique considérée est mise en jeu. Ainsi Comb

Dvtτ est mobilisée partiellement dès la

5ème (respectivement la 4ème) avec le développement d’expressions telles que ( )25 4 3 2a a b+ +

(respectivement ( ) ( )3 2 9 3x x x− + + ) trouvée dans le Transmath de 5ème (respectivement le

Prisme de 4ème). Et il en va de même pour . lgSom aDvtτ !

(5ème, 4ème), 3ème (5ème, 4ème), 3ème

I.3 Concernant la factorisation

Adoptant les mêmes conventions que précédemment, on trouve entre parenthèses les niveaux où telle ou telle technique est susceptible d’être mobilisée, au moins partiellement, par le biais de quelques exercices.

C’est ainsi que CombFactτ (et donc Partiel

Factτ ) est mobilisée partiellement dès la 4ème

(respectivement la 3ème) avec la factorisation d’expressions telles que 28 6 2x x− +

( . lgSom aDvtT , . lgSom a

Dvtτ ) . lgSom aDvtτ = (

RepérerT , Comb

DvtT ,Red

T )

CombDvtτ = ( 1Id

DvtT , 2IdDvtT , 3Id

DvtT , DoubleDvtT , Simple

DvtT ,Red

T )

1IdDevτ = ( 1Id


2IdDevτ = ( 2Id


3IdDevτ = ( 3Id


DoubleDevτ = ( Double

FormuleT ,

RedT )

SimpleDevτ = ( Simple


1IdFormuleτ

2IdFormuleτ

3IdFormuleτ

DoubleFormuleτ

SimpleFormuleτ

4ème

5ème

3ème

3ème

3ème

42

(respectivement ( ) ( )220 60 45 2 3 7x x x x− + − − + ) trouvée dans le Transmath de 4ème (respectivement

le Phare de 3ème).

(4ème, 3ème), 2de (4ème, 3ème), 2de

II- Les OM à enseigner Le but de ce paragraphe est de dresser un état des lieux de ce qui a cours aujourd’hui au

collège. Ce travail se fera principalement par le biais d’une étude approfondie des manuels que nous avons particularisés25. En effet, les programmes officiels s’avèrent parfois bien peu précis dans leur formulation…

Nous allons donc, dans un premier temps, nous pencher sur les définitions proposées pour RedT , DvtT , FactT et les comparer avec celles de notre modèle de référence. Puis, nous

analyserons chaque type de tâche séparément, en considérant les praxéologies associées aux différents sous-types de tâche en relevant. Enfin, nous essayerons de dresser un bilan des différentes remarques qui auront émaillé l’ensemble de ce travail.

II.1 Définitions des types de tâche

Dans les programmes26, les verbes réduire, développer et factoriser n’apparaissent qu’en 4ème. Pourtant trois de « nos » quatre manuels utilisent un vocabulaire beaucoup plus précis et spécifique dès la 5ème. Des définitions sont même parfois formalisées dans cette classe; elles sont toutefois souvent reprises aux niveaux supérieurs. Le tableau qui suit en propose le décompte global…

25 Voir paragraphe II.1 du chapitre n°2. 26 Voir annexe A.

( CombFactT , Comb

Factτ ) CombFactτ = ( Simple

FactT , Partiel

FactT , Simple

FactT ,

RedT )


FormuleT ,Red

T ∏ ) PartielFactτ =( Simple


FactT , 3IdFactT , FactT ∆ , Bicarré

FactT )


FormuleT ,Red

T ∏ )


FormuleT ,Red

T ∏ )

1IdFactτ 2Id

Factτ 3Id

Factτ = ( . 3Fact IdFormuleT ,

RedT ) Factτ ∆ Bicarré

Factτ

.Fact simpleFormuleτ . 3Fact Id

Formuleτ

5ème

3ème 3ème

3ème

2de 2de

43

Définition de…. Niveau

réduire développer factoriser

5ème 0 3 3 4ème 3 4 3 3ème 1 4 4

Mais quelles sont ces définitions ? Dépendent-elles du niveau où elles sont établies ?

Sont-elles conformes à celles que nous avons choisies comme référence ? Que peut-on en conclure ?

Afin de répondre à ces diverses questions, nous avons fait le choix de traiter séparément chacun des trois types de tâche en jeu.

A- Réduire une expression littérale

Bien qu’en 5ème deux manuels utilisent le verbe réduire dans diverses consignes (les deux autres préférant le terme simplifier), ce n’est qu’en 4ème que des définitions sont explicitées. Elles sont de deux types.

Voici celle donnée par le Phare (qui la reprendra en 3ème) et par le Prisme :

Voici celle donnée par le Transmath :

Sachant que nous avions précisé en amont ce que nous entendions par monômes,

monômes réduits et monômes semblables, nous avions quant à nous établi la définition de référence suivante27:

« RedT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes

réduits non semblables ». En comparaison, les définitions proposées par les manuels nous semblent bien

imprécises. C’est ainsi que la réduction d’un produit ne peut entrer dans le cadre de la première et que la seconde s’avère par bien des côtés trop généraliste… En fait, les manuels ne peuvent qu’être gênés par le manque de vocabulaire adéquat à leur disposition. Ce qui explique probablement que seuls certains se soient risqués à formuler, parfois tardivement, de telles « définitions » !

B- Développer une expression littérale

La majorité des manuels étudiés définit ce type de tâche pour chacun des niveaux de 5ème, 4ème et 3ème.

27 Voir le paragraphe I du chapitre 3. Il en sera de même pour le rappel des définitions deDvtT et FactT .

44

- En 5ème, trois livres s’accordent sur le fait que « développer un produit consiste à le

transformer en une somme ou une différence ». - En 4ème et en 3ème, si tous les ouvrages suppriment purement et simplement le terme

différence, deux manuels sur quatre juxtaposent l’adjectif algébrique au mot somme. Dans notre modèle, nous avions fait le choix de définir le développement de la manière

suivante : « DvtT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes ».

Ainsi, le vocabulaire mis à part, notre position diffère une nouvelle fois nettement de

celle adoptée par les manuels. En effet, contrairement à nous, les ouvrages sous-entendent que l’expression à développer est nécessairement un produit (comme le confirme d’ailleurs les exemples illustrant chaque définition). Mais le développement de( ) ( ) ( )8 6 2x x x x+ − − + , pourtant demandé dans le Prisme de 4ème, n’entre absolument pas dans ce cadre ! Est-ce à dire que les différents manuels considèrent que tout un chacun sera à même d’adapter et de généraliser leur définition pour le moins restrictive ?

C- Factoriser une expression littérale

La plupart des manuels proposent très tôt une définition de la factorisation, en la « calquant » sur celle donnée pour le développement.

- En 5ème, trois livres considèrent ainsi que « factoriser une somme (ou une différence) consiste à la transformer en un produit ».

- En 4ème, deux des manuels précédents suppriment le mot différence mais un seul d’entre eux qualifie la somme de départ d’algébrique.

- En 3ème, il n’est plus fait mention de la différence et deux des quatre ouvrages en présence précisent que la somme de départ est algébrique.

Rappelons que pour notre part, nous avions opté pour la définition suivante :

« FactT : écrire l’expression littérale considérée comme un produit de polynômes ».

C’est donc sur ce dernier type de tâche que notre définition s’avère le plus en

adéquation avec celle énoncée dans les manuels. Mais il est vrai que factoriser un polynôme a une véritable signification dans la sphère mathématique…

II.2 Analyse praxéologique des manuels relative à la réduction

Nous avons tout d’abord cherché à déterminer les similitudes et les différences existant entre les techniques et les technologies de notre modèle de référence et celles exposées dans les quatre manuels à notre disposition ; pour ce faire, nous nous sommes penchés attentivement sur les parties « cours » (ou « connaissances ») et « méthodes » (ou « savoir-faire ») de ces différents ouvrages. Dans un second temps, nous avons décidé de faire suivre cette analyse qualitative d’une étude quantitative des exercices proposés par les différents ouvrages.

45

A- Techniques et technologies

► RedT∏

Comme nous l’avons déjà remarqué, ce sous-type de tâche apparaît dès la classe de 5ème. Pourtant, à ce niveau scolaire, seul le Prisme consacre un exemple de sa partie « savoir-faire » (p 68) à la description de la technique associée.

Cette dernière se trouve principalement justifiée par les conventions d’écriture énoncées

dans la partie « cours », même si l’argumentaire proposé dans cet exercice résolu sous-entend l’utilisation des règles de commutativité et d’associativité de la multiplication.

Tous les autres manuels de 5ème se contentent de présenter quelques exemples dans leurs parties « cours » respectives, sans autre description de la technique mise en place. La technologie justificative repose exclusivement sur les conventions d’écriture, sauf pour le Triangle qui évoque certaines propriétés de la multiplication (commutativité, 1 élément neutre et 0 élément absorbant) sans toutefois utiliser le vocabulaire « savant » correspondant.

En 4ème, les manuels semblent considérer ce sous-type de tâche comme élémentaire. C’est

ainsi que deux sur quatre n’exposent aucune technique spécifique dans leurs parties « cours » et « méthodes », que ce soit dans le chapitre consacré au calcul littéral ou dans celui traitant des puissances. En fait, seuls le Prisme et le Triangle effectuent quelques mises au point dans leurs parties « cours » respectives:

- le premier « rappelle » deux règles « vues » en 5ème à savoir « dans l’écriture d’une expression, le signe×peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse » et « pour calculer un produit ou simplifier son écriture, on peut changer l’ordre des facteurs et les regrouper différemment ». Suivent alors 5 exemples non commentés.

- le second « rappelle » simplement que « multiplier plusieurs facteurs peut se faire dans n’importe quel ordre » et illustre cette propriété par un seul exemple.

En 3ème, l’unanimité est de mise ! Les quatre manuels ne nous apportent aucun nouvel

élément d’ordre technique ou technologique dans les parties que nous avons étudiées. Soulignons toutefois que, par le biais d’une activité, le Phare s’avère plus précis qu’il ne l’a jamais été, en mettant clairement en évidence trois propriétés nécessaires à la réduction d’un produit. On trouve en effet à la page 34 :

46

De cette analyse praxéologique, on peut donc conclure que les manuels de collège se contentent dans leur majorité d’un « petit » argumentaire technologique donné dès la 5ème. De plus, seul le Prisme relatif à ce niveau expose une technique de réduction digne de ce nom. Le problème est que, dans sa formulation, cette dernière ne fait aucunement mention des puissances respectives des différentes lettres et des propriétés concernant leur produit ; elle se distingue ainsi nettement deRedτ ∏ et peut, par son imprécision, soulever quelques difficultés auprès des élèves.

► RemêmedT∑

C’est une nouvelle fois au niveau 5ème qu’apparaît ce sous type de tâche. Comme précédemment, seul le Prisme accorde un paragraphe spécifique de sa partie « savoir-faire » (p 68) à la description détaillée d’une technique.

Cette dernière se trouve donc entièrement justifiée par l’application de la formule de

simple distributivité énoncée dans le « bon sens ». Notons cependant qu’aucun des exemples de la partie « cours » ne traite un tel cas !

Le Phare et le Transmath abordent eux aussi ce thème mais au travers d’exemples figurant au sein de leur partie « cours », dans un paragraphe spécifiquement dédié à la factorisation. Si chacun d’eux remarque que l’on peut parfois factoriser pour réduire une expression littérale, rappelons qu’aucun n’a défini à ce niveau le verbe réduire ! Quoi qu’il en soit, la formule de simple distributivité peut là encore être considérée comme la technologie justifiant une technique avant tout basée sur la factorisation. Notons enfin que le Triangle adopte un point de vue tout à fait similaire mais sans jamais mentionner le mot factorisation.

En 4ème, les manuels semblent considérer ce sous-type de tâche comme élémentaire. En

effet, le Transmath n’y fait jamais référence et les trois autres se contentent d’un « tout petit » exemple de leur partie cours (deux au sein d’un paragraphe consacré à la réduction, le troisième comme illustration de la factorisation). Bien que deux d’entre eux agrémentent leur propos de couleur, il n’en reste pas moins vrai qu’aucune technique n’est vraiment exposée, alors que la technologie est elle bien présentée ! En effet, aucun manuel n’oublie de rappeler la formule de simple distributivité !

En 3ème, seul le Phare traite, dans sa partie « cours », un exemple de ce genre ; les autres

ouvrages semblent juger le sujet clos! L’ensemble des manuels s’accorde donc pour considérer la réduction d’une somme

comme une application de la formule de simple distributivité (écrite dans le sens de la factorisation), formule qui se voit donc de ce fait attribuer le double statut de technique et de technologie. Par conséquent, la position de l’institution « collège » s’avère en

47

accord avec l’OMP’2 de notre modèle de référence28. Toutefois, on peut tout de même déplorer que la technique ne soit pas toujours décrite très précisément...

Notons enfin qu’aucune référence n’est faite au dénombrement de collection, ce qui nous conforte dans notre choix de ne plus considérer la « dépendance » du calcul littéral à l’arithmétique.

► RedifférentsdT∑

Si ce sous-type de tâche est introduit en 5ème, les différents manuels adoptent une position pour le moins surprenante. En effet, aucun n’y consacre ne serait-ce qu’un exemple de sa partie « cours ». Pourtant, trois d’entre eux l’utilisent dans leur partie « méthodes » pour résoudre d’autres sous-types de tâche ! C’est par exemple le cas du Triangle qui, page 128, fait référence à ce genre de réduction mais ne détaille pas précisément29 la technique employée et n’apporte aucune justification d’ordre technologique.

En 4ème, la situation est bien différente. Deux manuels exposent au sein de leurs parties

« cours » et/ou « méthodes » une technique commune. Elle consiste à : ▪ repérer les différents termes ; ▪ regrouper : - pour le Phare, les termes ayant la même partie littérale; - pour le Prisme, les termes en x2, les termes en x, les termes constants ; A noter que les deux manuels utilisent un code de couleur pour repérer ces termes parfois aussi qualifiés « de même catégorie ». ▪ utiliser la formule de distributivité dans le sens factorisation. A noter que cette dernière étape n’est traduite en termes de phrases que par le seul Prisme (« on met en facteur x2dans la somme algébrique des termes en x2 et x dans la somme des termes en x ») alors que le Phare se contente d’écrire un calcul détaillé correspondant à cette factorisation.

Mais alors, qu’en est-il des deux autres manuels ? Le Transmath ne présente aucun exercice résolu relatif à ce seul sous-type de tâche. Cependant, la technique qu’il expose page 86 pour la réduction d’une expression mixte, est très proche de celle précédemment décrite. On remarquera cependant l’utilisation de l’appellation « termes semblables » et le fait qu’il souligne la forme générale que doit revêtir le résultat final (du moins à ce niveau).

28 Voir le paragraphe III.1B du chapitre 3. 29 L’ordre des termes est tout de même changé !

48

Si le Triangle présente un exemple relevant deRe

mêmedT∑ , il ne pousse pas plus avant son

exposé et se contente de faire remarquer, exemples à l’appui, que certaines sommes ne peuvent être réduites.

En 3ème, une nouvelle fois seul le Phare revient sur le sujet au travers d’un « tout petit »

exemple agrémenté de couleurs. Ainsi, on peut considérer que la technique proposée par la majorité des manuels est

conforme à celle de notre 3OMP ( RedifférentsdT∑ ). Cependant, aucun ouvrage ne mentionne la

commutativité de l’addition en tant que technologie ; cet argument s’avère pourtant essentiel si l’on veut justifier correctement les regroupements !

► ,RedT∏ ∑

Si la maîtrise de ce type de tâche nous semble indispensable pour le traitement des développements « futurs », aucune technique n’est exposée dans les parties « cours » et « méthodes » des quatre manuels que ce soit en 5ème, en 4ème ou en 3ème !

En fait, tout se passe comme si le passage de tâches simples à des tâches plus

complexes relevait de l’évidence et semblait laisser à la seule charge des élèves ! Loin de remettre en cause l’existence même de l’OMP4 ( ,

RedT∏ ∑ ) au sein de notre modèle de référence, cette absence ne peut cependant que nous questionner…

► (...)T + et (...)T − (que nous noterons par la suite,(...)T + − )

Nous avons fait ici le choix d’étudier conjointement ces deux sous-types de tâche. En effet, tous deux apparaissent en 4ème et leurs traitements respectifs présentent de nombreuses similitudes.

On constate d’emblée qu’aucun des manuels en présence ne consacre un exercice résolu

de sa partie « méthodes » relevant uniquement de ces nouveaux sous-types de tâche. C’est pourquoi un retour sur les différentes parties « cours » voire « activités » semble à ce stade indispensable ! Cependant, compte tenu de la diversité des approches proposées par les quatre ouvrages, nous nous voyons contraints dans un premier temps d’étudier chacun d’eux séparément.

On trouve ainsi à la page 72 du Phare:

49

Cet exposé, bien qu’assez complet, peut néanmoins paraître à certains relativement confus ; en effet, les formules ne sont en fait que des exemples illustrant les différentes affirmations et n’ont donc pas le même statut que celles de distributivité précédemment mises en place. En fait, seules les remarques peuvent à notre sens relever de l’exposé d’une véritable technique c'est-à-dire de la marche à suivre lors de la résolution d’un exercice. Mais alors, qu’en est-il de la technologie sous-jacente? Pour le savoir, il nous faut considérer l’activité intitulée « J’établis les règles de suppression de parenthèses », page 70, où est clairement utilisée la propriété de simple distributivité et le fait que soustraire un nombre revient en fait à ajouter son opposé.

L’étude de la partie « cours » du Prisme peut, par son manque de clarté, laisser quelque

peu perplexe.

50

Si l’argument « l’opposé d’une somme est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes» se comprend assez facilement, que penser de l’affirmation suivante « l’opposé d’une différence est égal à la différence des opposés de chacun de ses termes » ? D’autant plus que les élèves de 4ème sont sensés savoir que soustraire un nombre revient en fait à ajouter son opposé ! Cependant, l’étude de la partie « activités » nous éclaire sur le cheminement proposé ; en effet, avant d’établir cette « règle » de suppression des parenthèses, tout un travail est mené sur l’opposé d’une somme et l’opposé d’une différence (justifiée une nouvelle fois par l’utilisation de la simple distributivité). En résumé, ce manuel nous semble lui aussi privilégier l’exposé d’une pseudo technologie et ce au détriment de celui d’une véritable technique !

Le Transmath a mis en place les règles de suppression de parenthèses dès son premier

chapitre intitulé « Opérations sur les nombres relatifs ». Il nous faut donc nous y reporter… Son approche est relativement voisine de celle du Prisme, puisque aucune technique n’est vraiment exposée mais, qu’a contrario, l’argument pseudo technologique « l’opposé d’une somme est la somme des opposés » occupe une place de choix tant dans sa partie « cours » que dans sa partie « savoir-faire » !

Dans sa partie « cours », le Triangle met en exergue deux propriétés :

- « Quand les parenthèses sont précédées d’un signe + et qu’elles ne sont pas suivies de × ou de÷ , on peut supprimer les parenthèses »

- « Quels que soient les nombres relatifs a et b, on a : ( ) ( )1a b a b a b− + = − × + = − − ».

La première peut être qualifiée de technique et est relativement voisine de la première remarque du Phare concernant les parenthèses précédées d’un signe +. La seconde n’est pas sans rappeler les arguments pseudo technologiques développés dans le Prisme et le Transmath ; elle ne constitue donc pas selon nous une véritable technique !

En 3ème, ce n’est que par le biais de quelques rares remarques pour le moins sibyllines que

les quatre manuels à notre disposition font référence aux techniques associées à ces deux sous-types de tâche !

C’est ainsi que les différents ouvrages choisis se distinguent nettement de notre

modèle de référence ; en effet, une grande place est faite à des arguments que nous avons qualifiés de pseudo technologiques et ce au détriment de l’exposé de véritables techniques. Cette attitude s’avère ainsi en totale rupture avec les éditions antérieures et laisse à penser que les critiques émises alors ont été entendues et suivies d’effets. Cependant ce changement ne s’avère-t-il pas trop radical ? Ne peut-il pas être source de nouvelles difficultés ? En effet, en prenant le pas sur le comment, le pourquoi ne risque-t-il pas de l’occulter ?

► ReMixte

dT

Seul le Prisme de 4ème propose dans sa partie « méthodes» un exemple relevant de ce seul sous-type de tâche. Une fois encore, on ne peut que constater l’absence pour le moins déroutante du traitement d’expressions comme ( )4 2 3 2 3x x y x y× + × − + qui, rappelons-le,

nous semble essentiel à maîtriser avant d’aborder le développement et la réduction d’expressions comme ( )( )3 3 8 6 5t t t− − − + − (exercice résolu à la page 53 du Prisme).

51

Notre modèle semble donc à ce titre proposer un découpage beaucoup plus précis de

RedT que celui qui a cours dans les différents manuels en présence ! B- Travail effectif des différents sous-types de tâche

Il nous reste maintenant à préciser quels sous-types de tâches sont les mieux travaillés au sein de l’institution et ce en étudiant cette fois-ci les parties « exercices »30 des différents manuels.

Pour ce faire, nous avons analysé tous les énoncés, niveau par niveau et manuel par manuel31. Suite à ce long travail, nous avons dressé différents tableaux récapitulatifs. Avant de vous les présenter, il convient de préciser que seuls ont été comptabilisés les exercices dont plus de la moitié des questions travaillent le sous-type de tâche concerné.

En 5ème RedT∏ RemêmedT∑ Re

différentsdT∑ ,

RedT∏ ∑

Phare 1 3 3 4

Prisme 5 1 2 0

Transmath 1 1 1 0

Triangle 0 0 2 2

Total 7 5 8 6

En 4ème RedT∏ RemêmedT∑ Re

différentsdT∑ ,

RedT∏ ∑ ,(...)T + − Re

MixtedT

Phare 0 6 6 0 4 5

Prisme 1 0 5 2 0 4

Transmath 4 2 4 0 3 3

Triangle 5 9 2 2 0 2

Total 10 17 17 4 7 14

En 3ème RedT∏ RemêmedT∑ et Re

différentsdT∑ ,

RedT∏ ∑ ,(...)T + − Re

MixtedT

Phare 5 2 0 1 0

Prisme 0 0 0 0 0

Transmath 0 0 0 0 0

Triangle 0 2 0 0 0

Total 5 4 0 1 0

30 Les exercices pris en compte ne font bien entendu référence qu’au traitement d’expressions littérales (et non simplement numériques). De plus, nous avons fait le choix de ne pas considérer les énoncés relevant d’un travail autonome de l’élève ou encore ceux présentant « l’habillage » d’un problème.

31 Les détails sont consignés dans l’annexe D.

52

Au vu de ce qui précède, plusieurs remarques peuvent être formulées ; mais elles dépendent nécessairement du niveau de lecture des résultats que l’on choisit.

Tout d’abord, il apparaît clairement que chaque manuel adopte une position qui lui est toute personnelle. C’est ainsi qu’au niveau 5ème, le Phare travaille davantage ,RedT ∏ ∑ que RedT ∏ ,

alors que le Prisme fait exactement l’inverse ! D’ailleurs, cette constatation demeure de mise si l’on se réfère au paragraphe II.2A analysant les techniques et les technologies. Ceci explique peut-être pourquoi tant de professeurs élaborent leur cours en consultant divers manuels…

Quoi qu’il en soit, si l’on souhaite tirer des conclusions plus générales, il convient de considérer avant tout les résultats globaux (en bleu). Ce faisant, nous constatons que c’est en 4ème que la réduction est principalement travaillée. Au niveau précédent, les quatre sous-types de tâche introduits le sont également mais dans une moindre mesure. En 3ème, les manuels semblent considérer la réduction acquise et ne lui consacrent donc que très peu d’exercices. Mais il est vrai qu’elle intervient obligatoirement dans le traitement d’autres types de tâche comme le développement…

C- Bilan

A ce stade, il nous est alors apparu indispensable de croiser les précédentes études, qualitative et quantitative, afin de dresser un bilan le plus clair possible du traitement effectif de

RedT au sein de l’institution « collège ». Le tableau synthétique qui suit récapitule ainsi les

divers résultats obtenus, en s’attachant, pour tous les sous-types de tâche associés, à rendre compte pour chaque niveau : - de la présence (ou non) d’une technique conforme32 à celle de notre modèle de référence ; - du travail effectif réalisé par le biais d’exercices ciblés33.

Pour ce faire, nous avons adopté les notations suivantes : - Technique : cette colonne indique la présence ou le degré de conformité de la technique au

regard du modèle de référence ; - Travail : cette colonne quantifie le travail effectif mené au sein des manuels et ce au vu du

nombre d’exercices comptabilisés ; - HP : hors programme ; - Abs : absence de technique ou de travail effectif ; - − − : technique très peu conforme ou très peu de travail ; - − : technique peu conforme ou peu de travail ; - + : technique relativement conforme ou travail significatif ; - + + : technique conforme ou travail soutenu. 32 L’adjectif conforme revêt ici un sens très particulier ! Une technique sera jugée conforme au modèle de

référence si elle en respecte toutes les étapes ! 33 A noter que nous avons exclu volontairement le volet technologique dans la mesure où nous avons constaté

à de nombreuses reprises que les technologies sous-jacentes, généralement disponibles et présentes, n’étaient que bien peu utilisées à titre de justification ! De plus, le cœur de notre étude repose avant tout sur

les praxis c'est-à-dire les blocs [ ],T τ figurant dans les arbres établis au paragraphe I de ce chapitre.

53

5ème 4ème 3ème

Technique Travail Technique Travail Technique Travail

RedT∏ − + − + + Abs +

RemêmedT∑ − + Abs + + Abs −

RedifférentsdT∑ − + + + + Abs −

,RedT∏ ∑ Abs + Abs − Abs Abs

,(...)T + − HP HP − + Abs Abs

ReMixte

dT HP HP − − + + Abs Abs Rappelons tout d’abord que nous avions établi au paragraphe II.1A que les définitions que

l’institution propose pour Red

T s’avèrent bien imprécises au regard de celle de notre modèle de

référence. Au vu du tableau précédent, force est de constater qu’il en va généralement de même pour les techniques afférentes aux cinq sous-types de tâche associés ! On peut même parfois observer des faits pour le moins surprenants ! Ainsi : - Re

mêmedT∑ fait l’objet en 4ème d’un très grand nombre d’exercices alors qu’aucune technique n’est

institutionnalisée à ce niveau. Est-ce à dire que les élèves devront se rappeler et se contenter du semblant de technique exposée en 5ème ?

- Toute technique relative à ,RedT ∏ ∑ est absente alors que nous pensons sincèrement la maîtrise de

ce sous-type de tâche essentielle pour envisager sereinement les développements. - ,

(...)T + − et ReMixte

dT ne sont travaillés seuls qu’en 4ème mais les techniques proposées à ce niveau se

résument bien souvent à une suite d’arguments peu compréhensibles du commun des mortels ! Pourtant ces deux sous-types de tâches interviendront de façon non négligeable dans le cadre des développements.

- Etc.… Un autre fait marquant se doit d’être souligné : en 3ème,

RedT semble être,

institutionnellement parlant, considéré comme totalement maîtrisé.

II.3 Analyse praxéologique des manuels relative au développement


►simple

DvtT

Introduites dès la 5ème, les formules de simple distributivité sont formalisées dans les parties « cours » de chacun des manuels de ce niveau. Cet exposé est toujours accompagné d’exemples et on peut remarquer que trois des quatre ouvrages les agrémentent de couleurs voire de flèches ; l’extrait suivant, tiré du Phare, en témoigne.

54

A noter que ce dernier manuel est le seul à présenter un exemple purement numérique

dont le traitement, qui relève uniquement desimpleFormuleT , n’est pas suivi d’une réduction. En fait,

pourtant effective dans tous les autres exemples, la réduction finale n’est jamais mentionnée ! Poursuivant notre cheminement, nous avons constaté que seuls deux des quatre manuels

choisis, le Phare et le Transmath, proposent d’exposer dans leurs parties « méthodes » une technique de développement plus explicite, composée de deux étapes : distribuer (en utilisant les formules de distributivité mises en place) puis réduire (ou simplifier). On trouve ainsi à la page 76 du Transmath :

Si l’on peut considérer que les techniques de réduction n’ont pas forcément à être

détaillées ici, on peut tout de même déplorer que l’exposé de la technique associée àsimpleFormuleT se

résume à l’utilisation de quelques ostensifs. En fait, les manuels adoptent parfois des positions fort surprenantes. C’est le cas du

Triangle qui ne mentionne jamais le mot développement ; il se contente seulement d’appliquer

55

la formule de distributivité dans « le bon sens » et de la faire suivre d’une réduction mais sans jamais expliciter ce qu’il fait, ni utiliser un quelconque ostensif ! Notons également que dans le paragraphe « Prouver que deux expressions littérales sont égales » de sa partie « méthodes », il semble même assimiler le développement à une simplification lorsqu’il commente la transformation de ( )10 2B x= × + en 10 20B x= + ! Une telle assimilation ne

pourrait-elle s’avérer à terme une source de confusion ? Quoi qu’il en soit, à ce stade, une question demeure : des éléments technologiques

justifient-t-ils cette technique basée sur la formule de simple distributivité ? Si oui, lesquels ? Tous les manuels considérés établissent les deux formules de distributivité en proposant aux élèves de calculer l’aire d’un rectangle aux dimensions bien choisies et ce de deux manières différentes. Par suite, la propriété de distributivité peut être considérée comme la technologie justificative du développement et ce dans tous les manuels considérés.

S’il relève donc de la 5ème, simple

DvtT est cependant repris dans les parties « cours » et/ou «

méthodes» de tous les manuels de 4ème. Il faut dire qu’à ce niveau, il est a priori demandé d’étendre l’utilisation des différentes formules aux cas où les lettres désignent des monômes de divers degrés pouvant présenter des coefficients négatifs, parfois écrits en notation fractionnaire.

L’étude détaillée des différents ouvrages n’apporte cependant aucune précision nouvelle au regard de ce qui avait été constaté en 5ème. En conséquence de quoi, nous pouvons conclure que la technique et la technologie relatives au sous-type de tâche en question se réduit à la seule expression de « la » (ou des) formule(s) de simple distributivité, comme c’était d’ailleurs le cas en 5ème (mais avec deux formules !).

En 3ème, les quatre manuels se contentent de rappeler dans leur partie « cours » la (ou les)

formule(s) de simple distributivité et tous, sauf le Triangle, illustre leur propos à l’aide d’un seul exemple « coloré ». Ainsi les remarques que nous avions formulées au niveau 4ème restent de mise. Notons cependant qu’à la page 50 du Transmath, une bulle explicative détaille enfin la technique basée sur la simple utilisation de la formule, en précisant les rôles joués par les différentes lettres :

C’est ainsi que « nos » manuels exposent une technique et une technologie conformes

à l’OMP 1 ( simpleDvtT ) définie dans notre modèle de référence. On peut toutefois déplorer

que la technique relative à simpleFormuleT ne soit pas plus détaillée…

►double

DvtT

Nouveauté de la classe de 4ème, la double distributivité fait l’objet d’un paragraphe spécifique dans chacune des parties « cours » des quatre manuels. Tous formalisent la formule en spécifiant que les lettres utilisées désignent des nombres relatifs, mais seuls trois d’entre

56

eux l’agrémentent de flèches colorées. Un (ou deux) exemple(s) suive(nt) cette présentation. Voici ce que propose le Transmath à la page 87 :

L’extrait précédent n’a pas été choisi au hasard. En effet, le Transmath est le seul manuel

qui expose dans sa partie « cours » une technologie justificative qui repose en fait sur une itération de la formule de simple distributivité. Est-ce à dire qu’aucun des trois autres ouvrages n’explique l’origine de cette nouvelle formule ? Pour répondre à cette question, nous nous sommes penchés sur les parties « activités » de chacun d’eux. En fait, tout comme le Transmath, Le Phare et le Prisme proposent d’abord une approche géométrique permettant d’établir la formule dans le cas de nombres positifs puis, dans un second temps, l’étendent aux nombres négatifs en itérant la formule de simple distributivité. Le Triangle se distingue une nouvelle fois en n’établissant la formule qu’à partir d’une illustration géométrique, la généralisation étant laissée à la charge de l’enseignant et/ou des élèves.

Trois des quatre manuels considérés consacre également un paragraphe de leur partie « méthodes » à ce seul sous-type de tâche. Bien que décrite un peu différemment (plus ou moins explicitement, sous forme de formule ou encore de schéma), la technique associée est toujours la même à savoir l’utilisation de la formule de double distributivité suivie d’une réduction. Toutefois, quelle que soit leur nature, les commentaires relatifs à la première étape nous semblent bien succincts contrairement à ce à ce que nous avions proposé au sein de notre modèle de référence par le biais dedouble

Formuleτ !

En 3ème, les quatre manuels à notre disposition rappellent dans leur partie « cours » la

formule établie au niveau précédent et l’illustrent par un exemple. A noter que tous, sauf le Triangle, utilisent l’ostensif couleur. Par contre, aucun des exercices résolus de la partie « méthodes » ne traite de ce seul sous-type de tâche.

57

C’est ainsi que l’ OMP2 (double

DvtT ) de référence ne diffère que peu de ce qui a cours

dans les manuels. Seule la technique relative à doubleFormuleT ne nous semble pas toujours

décrite avec clarté…

►1Id

DvtT , 2IdDvtT et 3Id

DvtT (que nous noterons par la suiteIdDvtT )

Faisant l’objet de traitements similaires, nous avons choisi d’étudier simultanément les trois sous-types de tâche précédents qui, doit-on le rappeler, apparaissent en 3ème.

Dans les parties « cours » de tous les manuels, chacune des trois identités remarquables est formalisée et illustrée. Toutefois, seuls trois ouvrages exposent dans cette partie (ou celle relative aux « méthodes) des techniques détaillées qui ne sont pas sans rappeler celles décrites dans notre modèle de référence. C’est par exemple le cas du Phare à la page 37 :

58

Le Triangle semble quant à lui considérer les élèves comme « habitués » à utiliser ce genre de formules et ne propose donc aucune technique spécifique pour traiter ces sous-types de tâche.

Enfin, il convient de remarquer que chacune des trois identités remarquables est, à un moment ou à un autre, prouvée et ce par application de la formule de double distributivité (voir les différentes parties « activités »). Si, à première vue, cette propriété constitue donc la technologie sous-jacente, il convient de ne pas oublier qu’elle n’est qu’une conséquence de la simple distributivité. C’est donc cette dernière qui revêt de droit le statut de technologie, même si cela n’apparaît pas toujours très clairement !

Par conséquent, il apparaît donc que notre modèle de référence n’a jamais été plus

en adéquation avec les différents manuels étudiés !

►Comb

DvpT

Dès la 5ème, on peut envisager une approche de ce sous-type de tâche par itération de simple

DvtT . Pourtant on n’en trouve aucune trace dans les parties « cours » et « méthodes » des

manuels. Mais ceci peut sembler à bien des égards compréhensible ; en effet, de nombreuses nouveautés figurent déjà au programme de cette classe…

En 4ème, les élèves disposent de plusieurs outils pour traiter convenablement ce sous-type

de tâche. Pourtant aucun de « nos » manuels ne proposent dans ses parties « cours » et « méthodes » d’exemples de ce genre. Surpris, nous avons alors décidé de nous pencher dès à présent sur les parties « exercices ». Nous avons alors constaté que trois énoncés de ce type étaient effectivement proposés, deux d’entre eux étant guidés. Notons tout de même que la technique suggérée par ces derniers nous semble, en comparaison avec celle de notre modèle de référence, manquer singulièrement de précision; en effet, le fait de ne pas spécifier que chaque développement partiel doit obligatoirement être mis entre parenthèses peut s’avérer, à terme, une grande source d’erreurs !

Tout comme en 4ème, les manuels de 3ème ne détaillent pas le traitement de ce sous-type de

tâche, étant en ce sens parfaitement cohérents puisque seulement deux d’entre eux proposent quelques exercices de ce genre. Notons cependant que, contrairement à ce qui avait cours en 4ème, ces derniers ne sont jamais guidés et ne nous apportent donc aucun élément d’ordre technique ou technologique !

On constate donc ici un réel manque institutionnel, du moins au regard de notre

modèle de référence !

►. lgSom a

DvpT

Comme précédemment, aucun des manuels de 5ème considérés ne propose, dans ses parties « cours » et « méthodes », une technique relative à ce seul sous-type de tâche. Pourtant, la résolution de l’exercice corrigé de la page 77 du Transmath, sous-entend que les élèves peuvent y être confrontés.

59

Il convient de remarquer que les commentaires figurant en marge de la solution proposée n’apportent là encore aucune précision. Pourtant tous les arguments technologiques nécessaires sont disponibles à ce niveau scolaire….

En 4ème, seul le Prisme consacre, à la page 53, tout un paragraphe de sa partie « méthodes » aux traitements commentés de deux exemples.

60

Les explications fournies alors ne nous semblent pourtant pas exposer une technique

suffisamment précise pour permettre à tout un chacun de la réutiliser le cas échéant. En effet, la première étape ne consiste aucunement à repérer les différents termes en présence. Par la suite, il n’est une nouvelle fois pas préciser que chaque développement partiel devra être mis entre parenthèses…

En 3ème, trois de « nos » quatre manuels présentent une technique par l’intermédiaire

d’exercices résolus et commentés. Adaptée à chaque exemple, elle ne revêt malheureusement pas un caractère générique ! Notons toutefois que les explications proposées s’avèrent beaucoup plus précises qu’en 4ème dans la mesure où chacun des manuels concernés incite dans un premier temps à repérer les différents termes de la somme algébrique puis fait référence à la mise entre parenthèses des développements partiels. Mais il n’en reste pas moins vrai que notre modèle demeure, tout du moins à nos yeux, plus clair et détaillé.

C’est ainsi que par l’intermédiaire de OMP7 ( . lgSom a

DvtT ), notre modèle propose une technique qui nous semble beaucoup plus claire, détaillée et donc susceptible d’être par la suite réinvestie. Notons toutefois que, compte tenu de leur nature, les arguments technologiques en jeu sont présents dans tous les manuels considérés mais peu mis en valeur.

B- Travail effectif des différents sous-types de tâche

Reprenant ici la méthodologie adoptée dans le paragraphe II.2B, nous avons obtenu les tableaux récapitulatifs suivants34.

En 5ème simpleDvtT Comb

DvpT . lgSom aDvpT

Phare 8 0 0

Prisme 2 0 2

Transmath 3 1 0

Triangle 1 0 0

Total 14 1 2

34 L’analyse détaillée des exercices est consignée dans l’annexe E.

61

En 4ème simpleDvtT double

DvtT CombDvpT . lgSom a

DvpT

Phare 4 11 0 3

Prisme 2 6 2 8

Transmath 0 21 1 4

Triangle 4 5 0 6

Total 10 43 3 21

En 3ème simpleDvtT double

DvtT IdDvtT Comb

DvpT . lgSom aDvpT

Phare 2 4 9 0 11

Prisme 0 2 12 0 5

Transmath 1 1 4 0 5

Triangle 1 1 9 0 4

Total 4 8 34 035 2536

Comme nous l’avons déjà remarqué, les différents sous-types de tâche ne sont pas

travaillés de la même façon selon le manuel considéré. Les écarts observés sont parfois bien loin d’être négligeable. Ainsi, le Transmath de 4ème consacrent 21 exercices à double

DvtT alors que

le Triangle ne dédie que 5 énoncés à ce seul sous-type de tâche… Cependant, si l’on se penche sur les résultats globaux, de grandes tendances se dessinent.

On peut ainsi observer que : - simple

DvtT est principalement travaillé en 5ème et 4ème.

- doubleDvtT est le sujet très de nombreux exercices de 4ème mais semble jugé maîtrisé en 3ème.

- CombDvpT est pour le moins négligé et ce à tous les niveaux.

- . lgSom aDvpT est globalement très travaillé en 4ème et en 3ème.

-… Beaucoup de ces constatations peuvent soulever des interrogations. En effet, peut-on

réellement considérerdoubleDvtT comme un acquis de 4ème ? Le fait de négligerComb

DvpT de façon si

flagrante ne limite-t-il pas le traitement . lgSom aDvpT ? Cela n’aura-t-il pas des conséquences sur le

long terme ? C- Bilan

Reprenant la méthodologie adoptée au paragraphe II.2C, l’heure est maintenant venue de croiser les résultats de nos analyses (qualitative et quantitative) relatives au développement. Ainsi nous pourrons juger de la conformité (ou non) de ce qui est proposé par l’institution.

35 Ce résultat provient de notre choix de ne comptabiliser un exercice que lorsque plus de la moitié des questions qui y sont posées concernent effectivement le sous-type de tâche considéré. Cela étant dit, sur les

centaines d’énoncés étudiés à ce niveau, on dénombre seulement 5 questions relatives à Comb

DvpT ! 36 A ce résultat s’ajoutent une multitude de questions disséminées dans divers exercices ! Pour plus de détails,

consulter l’annexe E…

62

A toutes fins utiles, nous rappelons la nomenclature choisie: - Technique : cette colonne indique la présence ou le degré de conformité de la technique au

regard du modèle de référence ; - Travail : cette colonne quantifie le travail effectif mené au sein des manuels et ce au vu du

nombre d’exercices comptabilisés ; - HP : hors programme ; - Abs : absence de technique ou de travail effectif ; - − − : technique très peu conforme ou très peu de travail ; - − : technique peu conforme ou peu de travail ; - + : technique relativement conforme ou travail significatif ; - + + : technique conforme ou travail soutenu.

5ème 4ème 3ème

Technique Travail Technique Travail Technique Travail simple

DvtT + + + + + − double

DvtT HP HP + + + + + Id

DvtT HP HP HP HP + + + + Comb

DvpT Abs − − Abs − − Abs − − . lgSom a

DvpT Abs − − − + + + + +

Nous avions déjà remarqué au paragraphe II.1B que l’institution adopte une attitude pour le moins ambiguë face à

DevT . En effet, la définition qu’elle propose semble sous-entendre que

les expressions à développer sont nécessairement des produits, ce qui n’est absolument pas le cas dans notre modèle de référence37. Au vu du tableau récapitulatif précédent, mais aussi des différentes remarques émaillant le paragraphe II.3, d’autres divergences apparaissent. Ainsi : - Si simple

Dvtτ et doubleDvtτ sont relativement bien exposées, il n’en va pas de même pour simple

Formuleτ et doubleFormuleτ qui sont ostensiblement négligées.

- En ce qui concerneCombDvpT , le vide institutionnel est incontestable ; en effet, aucune technique

n’est jamais explicitée et le nombre d’exercices s’y référant s’avère très faible ! Pourtant, à terme, ce sous-type de tâche devra être maîtrisé.

- Dès la 4ème, . lgSom aDvpT fait l’objet de nombreux énoncés alors même que la technique exposée

manque singulièrement de clarté. Nous avions en effet remarqué que cette dernière ne mentionne pas la première étape consistant à repérer les différents termes en présence. De plus, elle ne précise pas que chaque développement partiel doit être mis entre parenthèses.

- Etc.… Force est néanmoins de constater que contrairement à

RedT ,

DevT fait encore en fin de

collège l’objet d’un réel travail.

37 Nous avions alors défini DvtT par : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes.

63

II.4 Analyse praxéologique des manuels relative à la factorisation


►Simple

FactT

Tous les manuels de 5ème, excepté le Triangle, définissent la factorisation dans leur partie « cours ». Toutefois, seule l’utilisation de couleurs suggère une technique de résolution. Nous trouvons ainsi à la page 75 du Transmath :

Seul le Phare consacre une question dans sa partie « méthodes» à ce sous-type de tâche ; il

n’apporte cependant aucune autre précision concernant la technique à employer, comme en témoigne l’extrait ci-dessous :

Notons enfin que si le Triangle n’utilise jamais le verbe factoriser, il propose cependant

dans sa partie « cours » deux exemples d’utilisation de la formule de distributivité dans le sens de la factorisation.

En 5ème, une technique semble donc tout au plus suggérée et ne peut qu’apparaître bien floue pour un néophyte. La technologie justificative, à savoir la distributivité, est quant à elle bien présente dans tous les manuels considérés.

Compte tenu de la diversité des points de vue rencontrés, nous avons choisi de présenter

séparément les approches des quatre manuels de 4ème à notre disposition. Le Phare se contente de reprendre dans sa partie « cours » l’exposé proposé en 5ème et ce

sans donner la moindre précision supplémentaire. Le Prisme procède fort différemment. Certes sa partie « cours » est une simple redite de la

présentation réalisée en 5ème. Toutefois, ce manuel énonce dans sa partie « méthodes » (p 52), une technique générique de factorisation agrémentée de deux exercices résolus où figurent bulles explicatives et couleurs.

64

C’est à la page 87 de sa partie « cours » que le Transmath est le plus précis quant à la

technique employée. Comme en témoigne l’image ci-dessous, la seconde bulle explicative incite à déterminer « qui » jouent effectivement les rôles des différentes lettres dans « la » formule de simple distributivité, précision qui n’était apportée par aucun des manuels précédents !

65

Notons que les commentaires qui émaillent l’exercice résolu proposé dans la partie « méthodes » de ce même manuel ne reprennent pas cette technique et s’avèrent de ce fait bien décevants !

Quant au Triangle, il se refuse toujours à faire référence à la factorisation ! C’est ainsi que deux de « nos » quatre manuels de 4ème se rapprochent de notre modèle de

référence tant au niveau de la technique exposée que de la technologie justificative. Pour le niveau précédent, nous avions constaté que « nos » quatre manuels adoptaient des

attitudes totalement différentes en ce qui concerne le sous-type de tâche en jeu. D’où notre choix de les considérer de nouveau séparément afin de déterminer si il en est toujours de même en 3ème…

Reprenant une nouvelle fois dans sa partie cours l’argumentaire proposé dans les classes antérieures, le Phare rajoute un paragraphe intitulé « Factorisation lorsque le facteur commun est une expression littérale ». Il se résume à l’exposé de deux exemples agrémentés de couleurs et ne formalise donc pas de véritable technique. Il en va d’ailleurs de même dans les deux exercices résolus présentés dans sa partie « méthodes ».

Le Prisme avait en 4ème formalisé, au sein de sa partie « méthodes », une technique générique de factorisation lorsque aet b étaient des monômes. En 3ème, c’est dans cette même partie (p 88) qu’il va un peu plus loin en « suggérant » une technique valable cette fois-ci lorsque le facteur commun est une somme algébrique.

C’est sciemment que nous avons utiliser le verbe suggérer. En effet, la technique ne nous

semble pas exposée de façon suffisamment claire et précise, notamment en ce qui concerne l’obligation de ne pas oublier les parenthèses à l’intérieur des crochets !

Si le Transmath reprend la démarche qu’il avait adoptée en fin de cycle central, c’est par le biais d’un exemple agrémenté de bulles explicatives et de couleurs figurant à la page 53 de sa partie « méthodes ». Force est donc de constater que s’il se contente lui aussi de suggérer une technique plus générale, il le fait d’une manière qui, de par sa précision, nous semble plus conforme à notre modèle de référence.

N’ayant jamais traité la factorisation dans les classes antérieures, le Triangle se contente dans sa partie « cours » de rappeler (entre autres !) la formule de simple distributivité écrite dans le « bon sens » mais ne l’illustre par aucun exemple. Toutefois, il consacre l’intégralité de sa partie « méthodes » à ce thème. Parmi les quatre paragraphes en présence, deux relèvent

66

exclusivement deSimpleFactT . Par leurs intermédiaires, et plus particulièrement grâce aux étapes

détaillées en marge, le Triangle présente selon nous une technique d’un plus haut degré de généricité.

Si l’idée d’exposer la méthode sous forme de questionnement nous semble intéressante,

on constate toutefois dans le second exemple un léger manque concernant l’obligation d’utiliser des parenthèses lorsque les différents facteurs ne sont pas exclusivement des monômes.

Au final, trois des quatre manuels proposent donc une technique qui, bien que moins

précise que SimpleFactτ , s’en approche singulièrement. Notons également que la technologie

envisagée dans notre modèle est aussi celle présentée dans tous les manuels, à savoir la distributivité de la multiplication sur l’addition.

67

►1Id

FactT , 2IdFactT et 3Id

FactT (que nous noterons par la suiteIdFactT )

Tout comme pour le développement, nous avons décidé de mener conjointement l’étude de ces trois sous-types de tâche introduits en 3ème.

Trois manuels « réécrivent », dans leur partie « cours », les trois identités remarquables dans le sens de la factorisation. Le Prisme les énoncent seulement une fois dans le sens du développement ; il précise néanmoins que les membres de gauche et de droite constituent respectivement « l’expression factorisée » et « l’expression développée ». S’en suivent dans chacun des ouvrages des exemples d’application… Cependant, on constate que seuls ceux de la page 38 du Phare explicitent de réelles techniques.

68

Tous les manuels consacrent au moins un exemple commenté de leur partie « méthodes » à certains de ces sous-types de tâche. Les explications sont pour chaque édition de même nature que celles données pour le traitement de Simple

FactT (bulles, couleurs, détail des différentes

étapes sous forme de questionnement…) et s’appuient sur la reconnaissance de telle ou telle identité remarquable. A titre d’exemple, voici ce que propose le Prisme à la page 89 :

Tous les manuels décrivent donc des techniques fort semblables à celles de notre

modèle de référence. Cependant, on peut remarquer le manque de précision concernant la présence indispensable de parenthèses lors de la factorisation d’expression de la forme 2 2a b− lorsqueb n’est pas un monôme. Mais il est vrai qu’aucun des manuels ne considère un exemple de ce genre…

L’argument technologique majeur, à savoir la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition, est bien entendu à disposition dans chacun des ouvrages.

►Comb

FactT

Si a priori l’étude de ce sous-type de tâche pourrait être proposée en 5ème, et ce par itération de simple

FactT , aucun de nos « manuels » ne l’envisage. Mais, comme nous l’avions déjà

souligné dans le cadre desimpleDvtT , est-ce réellement si étonnant ?

On constate la même absence au niveau 4ème. Anticipant sur le travail à venir, nous nous

sommes alors tournés vers les parties « exercices ». Force est alors de constater que seul le Transmath propose quelques exercices relevant de ce sous-type de tâche. Tous (sauf un !) demandent la factorisation d’une somme de trois termes (comme 28 6 2x x− + ou encore ( ) ( )2 2 23 7 2 2 1x x x x x+ − − + ), le facteur commun étant conformément au programme du

typea ,ax ou 2x . Cependant aucune technique n’est mise en évidence pour répondre à ce genre

69

de questions. C’est pourquoi nous ne pouvons tester ici la pertinence de l’OMP7 (CombFactT ) de

notre modèle de référence ! En 3ème, toujours aucun exemple n’est consigné dans les parties « cours » et « méthodes »

des différents ouvrages. Les parties « exercices » regorgent pourtant d’énoncés de ce type38. Cependant, la plupart sont guidés par le biais de questions intermédiaires (ou de commentaires insérés dans des bulles) et ce afin d’aider aux factorisations partielles. En conséquence, aucune technique générique n’est réellement mise en évidence et ne peut donc être comparée celle de notre modèle de référence.

Comme dans le cas du développement, le manque institutionnel est ici plutôt

flagrant… Mais il est vrai que tous les sous-types de tâche nécessaires à sa maîtrise ne seront vraiment à disposition des élèves qu’en seconde.

B- Travail effectif des différents sous-types de tâche

Les tableaux ci-dessous récapitulent les résultats obtenus par l’analyse détaillée des « parties » exercices des différents manuels, consultable dans l’annexe F.

En 5ème SimpleFactT Comb

FactT

Phare 6 0

Prisme 3 0

Transmath 1 0

Triangle 1 0

Total 11 0

En 4ème SimpleFactT Comb

FactT

Phare 7 0

Prisme 8 0

Transmath 7 2

Triangle 0 0

Total 22 2

En 3ème SimpleFactT Id

FactT CombFactT

Phare 7 7 6

Prisme 7 5 4

Transmath 2 3 3

Triangle 14 8 1

Total39 30 23 14 38 Voir l’annexe F qui présente l’analyse détaillée des manuels.

39 Ces totaux ont été obtenus sans tenir compte de la multitude de questions isolées ! Voir l’annexe F.

70

Comme pour les types de tâche précédents, chaque manuel interprète les instructions officielles à sa guise. A titre d’exemple, le Prisme de 4ème consacre tout de même 8 exercices à Simple

FactT alors que le Triangle n’en propose aucun !

Au regard des différents totaux obtenus, on peut tout de même remarquer que : - Simple

FactT est beaucoup plus travailler en 4ème et en 3ème qu’en 5ème; pourtant, les élèves disposent

à ce dernier niveau de tous les outils nécessaires pour traiter ce sous-type de tâche ! - Comb

FactT est l’objet de nombreux énoncés de 3ème alors qu’il est proprement ignoré dans les

classes antérieures… - …

Le dernier point mentionné amène inévitablement des questions. En effet, nous avons précédemment constaté qu’aucune technique digne de ce nom n’était exposée aux élèves. Dans ces conditions, comment expliquer la présence d’un si grand nombre d’exercices traitant de Comb

FactT ? Est-ce dans l’optique d’une poursuite d’étude ? Est-ce seulement un moyen de

dresser le bilan des différentes techniques vues à ce jour ?

C- Bilan

Comme pour Red

T etDev

T , le tableau ci-dessous a pour but de synthétiser les résultats

qualitatifs et quantitatifs préalablement obtenus. Si nous ne rappelons pas ici les notations adoptées, elles restent néanmoins disponibles

aux paragraphe II.2C et II.3C.

5ème 4ème 3ème

Technique Travail Technique Travail Technique Travail Simple

FactT − + + + + + + + + Id

FactT HP HP HP HP + + + + Comb

FactT Abs Abs Abs − − Abs + Si la définition que donne l’institution est, vocabulaire mis à part, des plus conformes à

celle adoptée comme référence, nous constatons qu’il en va de même pour les techniques relatives à Simple

FactT en 4ème et IdFactT en 3ème. Cependant, on peut remarquer :

- simpleFactτ est plutôt mal décrite en 5ème alors qu’elle fait l’objet d’un réel travail.

- CombFactτ n’est jamais explicitée alors même qu’elle sera utilisée dans de nombreux exercices de

3ème. - Etc.…

II.5 Au final

Ce chapitre nous a ainsi permis, au regard de notre modèle de référence, de mettre en exergue un certain nombre de manques institutionnels potentiels.

Tout d’abord, il nous semble que les définitions proposées peuvent parfois être source de confusion. Certes, le vocabulaire disponible au collège est des plus restreints ; cependant, nous pensons sincèrement que la situation pourrait être sensiblement améliorée. C’est ainsi

71

que l’on peut effectivement en 5ème se contenter de définir Dev

T en précisant que « développer

un produit consiste à le transformer en une somme ou une différence » ; mais alors il faudra veiller à ne proposer aucun exercice relevant de . lgSom a

DvpT ! Dès l’apparition de ce dernier sous-

type de tâche, soit en 4ème, il conviendrait de compléter la définition initiale, par exemple en introduisant la notion de « produit développable » et en institutionnalisant le fait que « développer une expression littérale consiste à transformer les produits développables en somme ».

Pour ce qui est des techniques, le constat est pour le moins alarmant. En effet, la plupart d’entre elles ne sont que suggérées et ne font pas, selon nous, l’objet d’un exposé suffisamment clair et précis. Nous avons même parfois remarqué que quelques-unes se résumaient à une suite d’arguments que nous avons qualifiés de pseudo technologiques (comme pour ,

(...)T + − que nous avons étudié au paragraphe II.2A). Si nous comprenons le souci

de certains de ne pas résumer la pratique des mathématiques à l’application d’une succession de « recettes », il nous semble néanmoins préjudiciable de ne pas faire preuve de plus de clarté sur ce sujet! D’autant, qu’a priori, cela ne semble pas constituer une tâche insurmontable !

Quant aux technologies, elles sont généralement présentes dans tous les manuels. Pourtant, leur rôle majeur dans les justifications ne nous apparaît pas suffisamment mis en valeur. Pourquoi donc ne sont pas clairement systématisées les preuves de tel ou tel résultat ? Est-ce par peur des démonstrations ? Pourtant le fait que les mathématiques forment un tout cohérent nous semble un aspect à ne surtout pas négliger…

72

Conclusion Transposition dans l’enseignement de l’algèbre dite élémentaire, le calcul littéral est à ce

titre un pur produit de l’institution. Pourtant, cette dernière semble éprouver de singulières difficultés à en proposer une approche cohérente susceptible de conduire tous les élèves à en maîtriser les divers aspects. Mais il est vrai que pour introduire le calcul littéral, l’institution se doit nécessairement d’initier une rupture avec le seul appui dont elle dispose, à savoir la pensée arithmétique. Une véritable gageure !

Face à cet échec relatif de l’institution, nous avons avant tout cherché dans ce mémoire à dresser un bilan le plus objectif possible de l’approche qu’elle propose. Ce constat sera peut-être alors à même de fournir quelques explications voire de suggérer quelques remédiations…

C’est dans cette optique que, dans le chapitre 1, nous nous sommes tout d’abord interrogés

sur ce que représente réellement le calcul littéral. Nous avons alors été conduits à formuler une première hypothèse de travail :

HT1 : le calcul littéral est un jeu formel d’écritures permettant de résoudre efficacement divers problèmes. Nous avons alors établi, qu’avant de pouvoir utiliser le puissant outil que constitue le

calcul littéral, l’étudier en tant qu’objet s’avère indispensable. En effet, il dispose sans conteste d’un langage propre, qui bien que partageant avec l’arithmétique des symboles et des signes, est régi par ses propres règles. En son sein apparaissent ainsi de nouveaux objets parmi lesquels figurent les expressions algébriques. C’est à ces dernières que nous avons décidé de nous intéresser tout particulièrement. Mais, comment définir explicitement ce qu’est une expression algébrique ? Pour notre part, nous avons adopté la position suivante :

HT2 : une expression algébrique est une expression comportant des signes opératoires, des parenthèses, des nombres et des lettres, d’où son autre appellation : écriture littérale. Bien que conscients que de telles expressions revêtent tout à la fois un caractère

procédural et structural, nous avons fait le choix de négliger sciemment le premier au profit du second. En effet, comment donner un réel sens à une expression littérale sans en comprendre la syntaxe ?

Nous avons alors formulé plus clairement notre première question de recherche : QR1 : Quel est actuellement le rapport institutionnel à l’objet calcul littéral dans le secondaire français ? Pour y répondre, la TAD nous a alors fourni un cadre théorique de choix. En effet, en

soumettant les programmes et les manuels à l’analyse praxéologique qu’elle prône, nous pensions être à même de dégager les principales caractéristiques de ce rapport institutionnel. Nous pourrions alors déterminer :

- si l’institution donne des définitions précises de ce qu’elle entend par calcul littéral et expression algébrique, puis, dans l’affirmative, si ces dernières s’avèrent en accord avec nos hypothèses HT1 et HT2 ;

- les types de tâche institutionnels associés à l’objet que constitue le calcul littéral.

C’est ainsi que, dans le chapitre 2, une première analyse des programmes nous a tout d’abord menés à restreindre notre cadre de travail au premier cycle de l’enseignement secondaire français. C’est en effet au collège que l’objet calcul littéral est principalement étudié et que les élèves sont amenés à construire les différents concepts qui y sont associés.

73

Cependant, ces instructions officielles ne proposent aucune définition générale et ne nous ont donc pas permis de valider (ou non) nos hypothèses de travail.

Nous penchant alors sur les contenus de quelques manuels de collège, nous avons constaté que si ces derniers s’accordent dans leurs grandes lignes sur la caractérisation d’une expression littérale, ils négligent de manière flagrante le domaine d’étude auquel elle se rapporte, à savoir le calcul littéral. Néanmoins, les points de vue adoptés ne contredisent aucunement HT1 et HT2 qui, bien que pouvant apparaître plus précises dans leur formulation, se trouvent de ce fait confortées.

Au terme de ce travail, nous avons également remarqué que l’institution ne distingue pas toujours clairement l’objet calcul littéral de l’outil du même nom. Cependant, nous avons tout de même pu particulariser cinq types de tâche inhérents à l’objet :

- produire une expression littérale ; - évaluer une expression littérale pour une valeur donnée de la (ou des) lettre(s) ; - réduire une expression littérale ; - développer une expression littérale ; - factoriser une expression littérale. L’aspect structural des trois derniers nous intéressant particulièrement, il s’est agi pour

nous de répondre à une seconde interrogation : QR2 : comment les trois types de tâche précédents sont-ils actuellement définis et traités dans l’institution « collège » ? Pour ce faire, nous avons envisagé la construction d’un modèle praxéologique de

référence à même de nous guider dans une étude plus ciblée des programmes et des manuels. C’est ainsi que dans le chapitre 3, nous nous sommes provisoirement détachés de ce qui a

cours aujourd’hui au collège, afin : - de définir chacun des trois types de tâche en question ; - d’en proposer un découpage en sous-types de tâche ; - d’associer à chaque sous-type de tâche une technique, une technologie et une théorie

particulières. Cette étape s’est avérée des plus laborieuses dans la mesure où elle nous a obligés à : - d’incessants allers-retours avec des manuels de différents niveaux et de diverses

époques ; - nous poser de nombreuses questions sur le degré de granularité à adopter ; - revenir sur l’origine épistémologique de telle ou telle notion ; - etc.… Une fois ce travail terminé, nous avons pu constater la prégnance de la théorie de l’algèbre

et de deux technologies (l’une basée sur la commutativité et l’associativité de la multiplication et les conventions d’écriture, l’autre se résumant à la distributivité de la multiplication sur l’addition). Nous avons donc fait le choix de nous pencher plus attentivement sur les savoir-faire en jeu et de dresser, pour chaque type de tâche, un arbre récapitulant les liens étroits entre les différents sous-types de tâche le caractérisant.

Notre modèle étant ainsi achevé, le chapitre 4 a été l’occasion de l’utiliser! Fonctionnant

comme une véritable grille d’analyse praxéologique, nous y avons donc soumis le système d’enseignement actuel. Après un rapide retour sur la chronologie des apprentissages que ce dernier propose, nous avons opté pour une étude détaillée de quatre manuels scolaires de niveau collège. Mêlant qualitatif et quantitatif, celle-ci nous a permis pour chacun des types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale, de dresser un tableau synthétique rendant compte pour chaque niveau de classe :

74

- de la présence (ou non) d’une technique conforme à notre modèle de référence ; - du travail effectif réalisé par le biais d’exercices ciblés. C’est ainsi que nous avons pu mettre en évidence un certain nombre de manques

institutionnels potentiels. Tout d’abord, il nous semble que les définitions actuellement proposées peuvent parfois

être source de confusion. Certes, le vocabulaire disponible au collège est des plus restreints ; cependant, nous pensons sincèrement que la situation pourrait être sensiblement améliorée. Nous avons d’ailleurs émis quelques propositions en ce sens…

Pour ce qui est des techniques, le constat est pour le moins alarmant. En effet, la plupart d’entre elles ne sont que suggérées et ne font pas, selon nous, l’objet d’un exposé suffisamment clair et précis. Nous avons même parfois remarqué que quelques-unes se résumaient à une suite d’arguments que nous avons qualifiés de pseudo technologiques. Si nous comprenons le souci de certains de ne pas résumer la pratique des mathématiques à l’application d’une succession de « recettes », il nous semble néanmoins préjudiciable de ne pas faire preuve de plus de clarté sur ce sujet! D’autant, qu’a priori, cela ne semble pas constituer une tâche insurmontable !

Quant aux technologies, elles sont généralement présentes dans tous les manuels. Pourtant, leur rôle majeur dans les justifications ne nous apparaît pas suffisamment mis en valeur. Pourquoi donc ne sont pas clairement systématisées les preuves de tel ou tel résultat ? Est-ce par peur des démonstrations ? Pourtant le fait que les mathématiques forment un tout cohérent nous semble un aspect à ne surtout pas négliger…

Le travail mené dans ce mémoire ouvre donc à notre sens de multiples perspectives… Face aux insuffisances institutionnelles constatées, des expérimentations pourraient

légitimement être envisagées et seraient peut-être à même d’y remédier. Mais ces dernières restent à construire intégralement. En effet, notre modèle de référence ne constitue aucunement un cours type mais seulement un outil d’analyse. Organiser les apprentissages en adoptant notre découpage en sous-types de tâches nous semble même une erreur à ne surtout pas commettre ! La prégnance de la technologie, basée sur la distributivité de la multiplication sur l’addition, semble au contraire suggérer une approche beaucoup plus générale permettant d’introduire des « sur-sous-types de taches » et des « sur-techniques »…

Quoi qu’il en soit, le modèle de référence construit s’avère opérationnel et complète à n’en pas douter celui que propose H.Chaachoua dans le cadre de la résolution des équations de degré 2[Chaachoua, 2010]. Nous pourrions alors envisager de :

- nous en servir pour en élaborer d’autres ; - l’élargir afin de décrire les pratiques d’un élève en tant que sujet de l’institution et

donc d’en modéliser les connaissances ; - etc.…

75

Bibliographie Baruk S. Dictionnaire de mathématiques élémentaires. Seuil édition. Bosch M. et Chevallard Y. (1999) Ostensifs et sensibilité aux ostensifs dans l’activité mathématique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19, pp. 77-124. Chaachoua H. (2010) La praxéologie comme modèle didactique pour la problématique EIAH. Etude de cas : la modélisation des connaissances des élèves. Note de synthèse pour une HDR, Université Joseph Fourier, Grenoble. Chevallard Y. et Conne F. (1984). Jalons à propos de l’algèbre. Interactions Didactiques, 3, pp. 1-54, Universités de Genève et de Neuchâtel. Chevallard Y. (1987) La dialectique entre études locales et théorisation : le cas de l’algèbre dans l’enseignement du second degré. Didactique et acquisition des connaissances scientifiques, pp.305-324, Editions La Pensée Sauvage. Chevallard Y. (1989) Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège - Deuxième partie. Perspectives curriculaires : la notion de modélisation. Petit x n°19, pp.43-75. Chevallard Y. (1992) Concepts fondamentaux de didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques. Chevallard Y. (2003) Approche anthropologique du rapport au savoir et didactiques des mathématiques. In S. Maury & M. Caillot, Rapport au savoir et didactiques, pp. 81-104. Paris. Fabert. Croset M.C. (2009)

76

Modélisation des connaissances des élèves au sein d’un logiciel éducatif d’algèbre. Etude des erreurs stables inter-élèves et intra-élève en termes de praxis-en-acte. Thèse de Doctorat, Université Joseph Fourier, Grenoble. Drouhard J.P (1992) Les écritures symboliques de l’algèbre élémentaire. Thèse de Doctorat, Université Paris VII, Paris. Grugeon B. (1995). Etude des rapports institutionnels et des rapports personnels des élèves à l’algèbre élémentaire dans la transition entre deux cycles d’enseignement : BEP et Première G. Thèse de Doctorat, Université Paris VII, Paris. Harper (1987). Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, n°18, pp. 75-90. Lee L. (1997). Algebraic understanding: The search for a model in the mathematics education community. Education. PhD Thesis, Université du Québec, Montréal. Vergnaud G., Cortès A. et al (1987). Apprentissage de l’algèbre par des élèves faibles : 4ème et 3ème de LEP. Colloque de la Société Française de Psychologie. Les apprentissages-Perspectives actuelles, Saint-Denis-30/31 Janvier 1987.

77

Annexes

78

Annexe A

Etude détaillée des programmes de la 6ème à la 1ère S En 6ème

Si le programme de 2008 ne fait aucunement référence au calcul littéral, une analyse plus fine de ce texte peut nous permettre d’affirmer que le travail mené en classe de 6ème en constitue cependant une première approche.

En effet, dans la partie 2 intitulée « Nombres et calculs » le vocabulaire somme, différence, produit, terme, facteur est introduit et une grande place est faite au calcul mental et au sens des opérations.

De plus, dans la partie 4 intitulée « Grandeurs et mesures », il est précisé en introduction qu’ « à travers les activités sur les longueurs, les aires et les volumes, les élèves peuvent se construire et utiliser un premier répertoire de formules ». En fait, même si dans cette partie la priorité est donnée au sens (notamment à la distinction des notions de périmètre, d’aire et de volume), les activités proposées vont nécessairement confronter les élèves à différentes expressions littérales. En 5ème

Dans trois des quatre parties du texte officiel, il est cette fois-ci clairement fait référence au calcul littéral par le recours fréquent à l’adjectif littéral (« écritures littérales », « expression littérale », « exemples littéraux »…). Cependant, les termes réduire, développer et factoriser sont absents.

Dans la partie 1 « Organisation et gestion de données, fonctions », un des objectifs affiché est de familiariser les élèves avec les écritures littérales en leur demandant « d’utiliser et de produire une expression littérale ». En outre, on trouve en amont qu’« il est possible d’envisager, dans une formule, des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue ».

Dans la partie 2 « Nombres et calculs », trois objectifs sont en rapport avec notre thème : - « familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales » ;

79

- « apprendre à choisir et interpréter l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation, d’apprendre à effectuer des transformations simples d’écriture » ;

- « d’initier à la notion d’équation ». C’est ainsi qu’est clairement explicitée la propriété de distributivité de la multiplication

par rapport à l’addition avec la mise en place des formules : ( )k a b ka kb+ = + ; ( )k a b ka kb− = − .

A noter que ces formules devront être utilisées dans les deux sens sur des exemples numériques mais aussi littéraux. Ce dernier point sous-entend donc que les notions de réduction, développement et factorisation sont effectivement utilisées sans être toutefois clairement définies.

Dans la partie 4 « Grandeurs et mesures », le formulaire débuté en 6ème s’enrichit avec la mise en place des expressions donnant l’aire d’un triangle quelconque, d’un parallélogramme, le volume d’un prisme droit ou encore d’un cylindre de révolution.

Notons que bien d’autres points du programme sont liés à la bonne compréhension de la notion de calcul littéral. C’est ainsi qu’un élève n’ayant pas acquis le vocabulaire spécifique (somme, terme, produit, facteur), ne saisissant pas toujours le sens des opérations ou encore n’ayant pas assimilé l’idée même de priorité opératoire, se verra obligatoirement confronté à des difficultés qui pourront parfois s’avérer bien malaisées à surmonter ! En 4ème

Tout comme pour le niveau précédent, le calcul littéral est grandement présent au sein de ce programme que ce soit explicitement (dans les parties 2 et 4) ou plus implicitement (dans les parties 1 et 3).

Dans la partie 1 « Organisation et gestion de données, fonctions », il est d’emblée précisé que « comme en classe de 5ème, le mot « fonction » est employé chaque fois que nécessaire, en situation, et sans qu’une définition formelle de la notion de fonction soit donnée ». Un peu plus avant dans le texte est mentionné « le travail sur la notion de variable ».

Dans la partie 2 « Nombres et calculs », l’introduction indique que « le calcul littéral qui a fait l’objet d’une première approche en classe de 5ème, par le biais de la transformation d’écritures, se développe en classe de 4ème, en veillant à ce que les élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulier par l’utilisation de formules issues des sciences et de la technologie ». Deux des quatre objectifs affichés sont on ne peut plus clairs :

- « conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations […] à l’aide de calculs numériques, d’équations ou d’expressions littérales » ;

- « de savoir choisir l’expression appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation ».

Ainsi, si la première moitié de cette partie 2 est consacrée au calcul numérique, la seconde est intitulée « Calcul littéral » et mentionne différentes capacités à acquérir :

- « calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques » ;

- « réduire une expression littérale à une variable, du type : ( )4 23 xx −− ou 2 22 3x x x− + ou

… » suivi du commentaire « les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique, établissement d’un résultat général) » ;

80

- « développer une expression de la forme( ) ( )a b c d+ + » suivi des commentaires suivants « l’objectif reste de développer pas à pas puis de réduire l’expression obtenue […] les activités de factorisation se limitent aux cas où le facteur commun est du type a ou ax ou 2x » ;

- « connaître et utiliser l’équivalence entrea c

b d= etad bc= (b etd non nuls), l’équivalence

entrea b= et 0a b− = , … » suivi du commentaire suivant « ces propriétés sont l’occasion de réaliser des démonstrations dans le registre du littéral » ;

- « mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue ».

Dans la partie 3 « Géométrie », il n’est certes jamais fait mention de calcul littéral.

Cependant, des connaissances et capacités en relevant seront obligatoirement nécessaires pour la résolution de problèmes utilisant « la propriété » de Thalès, la formule du cosinus…

Dans la partie 4 « Grandeurs et mesures », concernant les aires et les volumes, un des objectifs est « d’une part, d’entretenir les acquis des classes antérieures et, d’autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral ». Pour ce qui est des grandeurs quotients courantes, il s’agira entre autre de « calculer les distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalitéd vt= ». En 3ème

Dès le préambule, le texte officiel précise qu’« à la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise de plusieurs types de savoirs est visée » et parmi eux les « premiers éléments de calcul littéral » ! C’est ainsi que, comme au niveau précédent, toutes les parties du programme de 3ème peuvent être considérées comme faisant référence, certes plus ou moins directement, à notre thème.

Dans la partie 1 « Organisation et gestion de données, fonctions », la notion de fonction est abordée comme « un processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. […] L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de » amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l’introduction de la notation f(x) ». Sans reprendre l’intégralité de cette partie du programme, il apparaît évident qu’un certain nombre d’exigibles nécessiteront un recours à des connaissances et capacités relevant du calcul littéral comme :

- « déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par […] une formule » ;

- connaître la modélisation d’une fonction linéaire (respectivement affine) par « x ax→ » (respectivement par « x ax b→ + »);

- « déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné » par une fonction linéaire ou affine ;

- « déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image » ;

- « déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images » ;

- etc.… Dans la partie 2 « Nombres et calculs », est d’emblée précisé que « pour le calcul littéral,

l’un des objectifs visés est qu’il prenne sa place dans les moyens d’expression des élèves, à

81

côté de la langue usuelle, de l’emploi des nombres ou des représentations graphiques ». Le texte précise un peu plus loin ses objectifs à savoir : « de compléter les bases du calcul littéral et d’en conforter le sens, notamment par le recours à des équations ou des inéquations du premier degré pour résoudre des problèmes, de savoir choisir l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation ». Si les paragraphes « Nombres entiers et rationnels » et « Calculs élémentaires sur les radicaux » nécessiteront l’utilisation de lettres et autres formules en tant qu’outils, ceux intitulés « Ecritures littérales » et « Equations et inéquations du premier degré » étudieront le calcul littéral en tant qu’objet. A noter que seul le troisième nous intéresse dans le cadre de notre étude et doit voir, de ce fait, son contenu détaillé !

- Le premier point sur les puissances demande d’ « utiliser sur des exemples les

égalités : .m n m n

a aa += , /m n m n

a aa −= […] où a et b sont des nombres non nuls et met n des entiers relatifs.[…] La mémorisation de ces égalités est favorisée par l’entraînement à leur utilisation en calcul mental ».

- Le second traite la factorisation. La capacité visée est de « factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur commun est apparent ». Les commentaires précisent que « les travaux se développent dans trois directions : utilisation d’expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes ; utilisation pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). Les activités visent à la maîtrise du développement ou de la factorisation d’expressions simples. »

- Le dernier point précise qu’il faudra « connaître les identités :( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − ,

( ) 2 222a b a ab b+ = + + ; ( ) 2 22

2a b a ab b− = − + » et « les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples ».

Dans la partie 3 « Géométrie », les connaissances et capacités inhérentes au calcul littéral

seront parfois indispensables pour comprendre et utiliser certaines propriétés ou théorèmes (voir les relations trigonométriques, le théorème de Thalès, …) et ce, même s’il n’en est pas fait mention explicitement dans le texte.

Dans la partie 4 « Grandeurs et mesures », le programme souligne dès l’introduction que « les activités de comparaison d’aires d’une part, et de volumes d’autre part, de figures ou d’objets obtenus par agrandissement ou réduction, sont, en particulier, autant d’occasions de manipulations de formules et de transformations algébriques. ». Enrichir le formulaire ne sera donc pas une fin en soi mais au contraire le prétexte à un nouveau travail sur le calcul littéral ! En 2de

En vigueur depuis la rentrée 2010, ce texte s’articule autour de trois parties (Fonctions / Géométrie / Statistiques et probabilités) auxquelles s’ajoutent des thèmes qu’il convient de développer transversalement (Logique / Algorithmique). Se distinguant ainsi nettement dans sa composition de ce qui a cours au collège, ce nouveau programme de seconde propose-t-il de grands changements dans notre domaine d’étude à savoir le calcul littéral ? Après une première lecture, cela ne semble pas des plus évidents ! C’est en ce sens que semble s’inscrire le commentaire « le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important en classe de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental, du calcul numérique et du calcul littéral ». Analysons néanmoins chaque partie plus en détail afin de confirmer (ou non !) cette première impression.

82

L’introduction relative aux « Fonctions » précise que « la résolution de problèmes vise

aussi à progresser dans la maîtrise du calcul algébrique ». Une étude plus approfondie des contenus, capacités attendues et commentaires de cette partie, permet d’affirmer que les élèves vont de nouveau être confrontés aux différents statuts de la lettre déjà rencontrés au collège :

- variable : « Traduire le lien entre deux quantités par une formule/ Identifier la variable »

- indéterminée : «Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression/ Développer, factoriser des expressions polynomiales simples/ Transformer des expressions rationnelles simples ».

- inconnue : «Résolution graphique et algébriques d’équations/ Résoudre une équation se ramenant au premier degré/ Résolution graphique et algébrique d’inéquations/ Résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression produit ou quotient de facteurs du premier degré ».

- paramètre : lors de l’étude de telle ou telle fonction. La partie intitulée « Géométrie » sera aussi l’occasion de mettre en perspective certaines

capacités relevant du calcul littéral. En effet, outre l’utilisation de formules maintenant bien connues permettant « d’effectuer des calculs de longueur, d’aire ou de volume », il faudra en établir de nouvelles pour déterminer « la distance de deux points connaissant leurs coordonnées / les coordonnées du milieu d’un segment / les coordonnées d’un vecteur… ». De plus, la notion d’équation de droite étant introduite, il est clairement préciser qu’ « on démontre que toute droite a une équation soit de la forme y mx p= + soit de la formex c= ». Enfin, « déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes » sera l’occasion « de résoudre des systèmes d’équations linéaires ».

Dans une moindre mesure, la troisième partie du programme officiel « Statistiques et

probabilités » amène elle aussi les élèves à se confronter à différentes formules utilisant les lettres. Et que dire de l’utilisation d’un tableur ou de la programmation d’une calculatrice ? En 1ère S

Le programme de 1ère S, en vigueur depuis 2000, a fait l’objet en 2010 de modifications non négligeables. Cependant, il sera totalement abrogé à la rentrée 2011-2012 pour reprendre l’organisation du nouveau programme de 2de précédemment étudié. Nous nous attacherons donc à cette toute dernière version présentée dans le journal officiel du 28 août 2010. Le texte s’articule une nouvelle fois autour de trois parties principales (Analyse/Géométrie/ Statistiques et probabilités) auxquelles s’ajoutent deux thèmes qu’il convient là encore de traiter transversalement (Algorithmique / Notations et raisonnement mathématiques). Reprenant indépendamment chaque partie, nous nous proposons une nouvelle fois de mettre en exergue les points susceptibles d’être en lien avec notre étude.

La partie « Analyse » se trouve bien entendu au centre de notre problématique comme en témoignent les contenus du paragraphe intitulé « Second degré » :

- « forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux » ; - « équations du second degré, discriminant, signe du trinôme ». Les capacités attendues sont elles aussi on ne peut plus claires : « Déterminer et utiliser la

forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique ».

83

Les statuts de variable, d’indéterminée et d’inconnue de la lettre seront ainsi consolidés. Quant à la notion de paramètre, elle sera bien entendue travaillée dans le paragraphe « Etude de fonctions » où sont introduites deux nouvelles fonctions de référence (racine carrée et valeur absolue) et étudiés les sens de variations de diverses fonctions (u k+ , uλ … où k est une fonction constante etλ un réel). Dans le paragraphe « Dérivation », le calcul de dérivée est une des capacités attendues ; il permettra à n’en pas douter de réinvestir tout le travail effectué en calcul littéral et ce même si les commentaires précisent que l’ « on évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation » et que « si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est facilité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel » ! Enfin, le dernier paragraphe, intitulé « Suites », constitue lui aussi un cadre intéressant de manipulation de l’outil calcul littéral (« modes de générations d’une suite numérique, suites arithmétiques et géométriques » avec mise en place de formules…).

Comme en 2de, la partie « Géométrie » sera une nouvelle fois l’occasion d’utiliser le calcul

littéral lors de la mise en place de : - « la condition de colinéarité de deux vecteurs » ; - « l’équation cartésienne d’une droite […] déterminer une équation cartésienne de

droite connaissant un vecteur directeur et un point » ; - « l’utilisation du cercle trigonométrique pour […] résoudre dans ℝ les équations

d’inconnuex : cos cosx a= et sin sinx a= »; - calculer le produit scalaire de deux vecteurs […] analytiquement ; - etc.…

La troisième partie « Statistiques et probabilités », par l’intermédiaire des différentes

formules qui seront établies et manipulées, constitue elle aussi un nouveau cadre de mise en œuvre du calcul littéral, tout comme le sont d’ailleurs les deux thèmes transversaux « Algorithmique » et « Notations et raisonnement mathématiques ».

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Annexe B

Quelques remarques suite à l’étude des manuels de niveau 6ème

Conformément au programme, aucun de « nos » manuels ne fait de référence explicite au calcul littéral. Cependant, l’utilisation des lettres est de mise dans chacun d’eux et ce dans différents chapitres, qu’ils relèvent du domaine numérique ou géométrique. Après réflexion, il nous semble d’ailleurs judicieux de distinguer ces deux domaines où les lettres, nous le verrons, n’ont pas le même statut.

En ce qui concerne le numérique, tous les manuels utilisent des lettres dans leurs parties cours respectives afin de définir des objets (comme le quotient) ou d’établir des formules (comme pour multiplier un nombre par une fraction). Cependant, tous n’y ont pas systématiquement recours. C’est ainsi que le Phare les utilise très souvent (pour introduire les signes de comparaison des décimaux au chapitre n°2, pour définir un quotient au chapitre n°5, pour mettre en place la propriété des quotients égaux au chapitre n°6 ou encore celle permettant de déterminer le pourcentage d’une quantité au chapitre n°7). Le Transmath, quant à lui, n’utilisent les lettres que dans un seul chapitre (lors de la définition d’une fraction en tant que quotient au chapitre n°5). A noter que tous les manuels précisent que ces lettres désignent des nombres de telle ou telle nature mais non encore précisément choisis. On peut donc, à juste titre, conférer à ces lettres le statut d’indéterminée.

L’étude des parties exercices correspondantes nous apprend cependant que les différents manuels proposent également de travailler sur le sens du signe égal et le calcul d’un nombre manquant représenté par « … », « □ » etc. et parfois (mais rarement !) une lettre. Outre l’acquisition du sens des opérations, le but recherché semble être de préparer les élèves à la mise en place d’un nouveau statut de la lettre, à savoir celui d’inconnue. Notons enfin que certains manuels adoptent une attitude plus marginale, comme le Phare, dans lequel on trouve des exercices du type « Calculer x + y pour x = … et y = … ». De là à penser qu’il nous invite à considérer la lettre comme variable…

Dans le domaine géométrique, tous les manuels à notre disposition utilisent des lettres, avec le statut d’abréviation puis de variable, lors de la mise en place des différentes formules de périmètre (rectangle, losange, carré, cercle), d’aire (rectangle, carré, triangle rectangle, triangle quelconque, disque) et de volume (parallélépipède rectangle, cube). Il faut dire que le programme est très clair à ce propos ! Cependant, on peut remarquer que trois manuels sur quatre (sauf le Triangle) établissent clairement l’égalité « ( ) ( ) ( )2 22 L l L l+ = × + ×× » qui peut être, à ce titre, considérée comme un premier pas vers la propriété dite de simple distributivité.

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Annexe C

Tableau extrait du document d’accompagnement « Du numérique au littéral au collège »

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Annexe D

Les exercices proposés par les différents manuels dans le cadre de RedRedRedRedTTTT En 5ème

▪ RedT∏

Il est pour le moins remarquable que les exercices traitant ce seul sujet soient si peu nombreux dans les manuels en présence (qui d’ailleurs utilisent le verbe « simplifier » et non pas « réduire » !). On recense ainsi : - le n°44 p37 du Phare. - le n°15 p68, les n°19 et 20 p 70 mais aussi les n°32 p71 et 86 p76 du Prisme. - le n°25 p81 du Transmath. - aucun exercice dans le Triangle.

Toutefois le n°34 p71 du Prisme, où il est demandé de « Supprimer les parenthèses inutiles ainsi que les signes × inutiles », s’y ramène dans la mesure où les expressions proposées ne comportent que des produits. ▪ Re

mêmedT∑

- les n°16 p34, 61 et 62 p38 du Phare. - le n°16 p68 du Prisme. - le n°37 p81 du Transmath. - aucun exercice dans le Triangle.

▪ Re

différentsdT∑

- les n°17 p34, 63 et 64 p38 du Phare. - les n°26 p70 et n°42 p71 du Prisme. - le n°38 p81 du Transmath. - les n°55 et 56 p132 du Triangle. ▪

,RedT∏ ∑

- les n°5 et 6 p34, les n°45 et 46 p37 du Phare. - aucun exercice dans le Prisme et le Transmath. - les n°53 et 54 p132 du Triangle.

Cependant, des exercices comme le n°43 p37 du Phare, le n°35 p71 du Prisme ou encore le n°24 p80 du Transmath proposent des expressions telles que ( )4 8-y× ou ( )3 2 1b× × − qui

relèvent a priori d’une réduction mixte et ce malgré la présence de parenthèses ; en effet leurs consignes sont du style « Recopier chaque expression en supprimant le signe ×quand c’est possible »! En 4ème ▪ RedT∏

Les exercices consacrés à ce sous-type de tâche sont très peu nombreux voire complètement absents des manuels, ce qui semble suggérer que tous considèrent cette capacité maîtrisée dès la fin de la 5ème.

89

Le Phare adopte ce point de vue en ne proposant aucun exercice de ce genre dans le chapitre consacré au calcul littéral. Toutefois, au sein du chapitre « Puissances » traité en amont, trois exemples de la partie cours p56 et la seconde question du n°63 p62 en relèvent. Nous utilisons ici le terme relever dans la mesure où les consignes ne mentionnent pas les verbes simplifier ou réduire ; il en sera de même dans toute la suite de ce paragraphe.

Pour le Prisme, seul le n°10 p54 et deux questions du n°17 p55 demandent aux élèves de simplifier l’écriture de différents produits dans le chapitre consacré au calcul littéral ; dans celui intitulé « Puissances d’exposant entier relatif » et traité en aval, seules trois questions du n°78 p78 relèvent de ce sous-type de tâche.

Dans le chapitre n°1 du Transmath, intitulé « Opérations sur les nombres relatifs », les n°36 et 37 p 27 proposent d’ « écrire plus simplement des produits » tels que « 3 5x− × ou

( )2 7 x− × − ». De plus, trois des six questions du n°45 p71 et l’intégralité des n° 46 et 47 p71 traitent de ce sous-type de tâche et ce au sein du chapitre n°3 consacré aux puissances. Dans le chapitre dédié au calcul littéral, il est demandé de réduire des produits dans trois des neuf questions du n°5 p92 mais aussi dans une des quatre questions des n° 25 et 26 p94.

Le Triangle propose quant à lui cinq exercices complets de ce type, à savoir les n°40 à 44 p36, mais aussi trois des six questions des n° 46, 47 et 49 p 36. Toutefois, on ne trouve aucune référence sur le sujet dans le chapitre « Puissances » traité un peu plus tard. ▪ Re

mêmedT∑

- n°1 à 4 p74, n°35 à 38 p76 du Phare. - aucun exercice dans le Prisme. - pour le Transmath, n°10 p26 et 46 p28 du chapitre « Opérations sur les nombres relatifs »

mais aussi 2 des 8 questions du n°5 p92 et 1 des 4 questions du n°25 p94 de celui intitulé « Calcul littéral ».

- dans le Triangle, on retrouve beaucoup d’exercices s’y référant : 4 des 6 questions du n°17 p34, des n°24, 24, 26 p35, 5 des 6 questions du n°27 p35, l’intégralité du n°28 p35, 4 des 6 questions du n°30 p35, 5 des 6 questions du n°31 p35, 2 des 6 questions des n°46 et 47 p36 et 6 des 9 questions du n°50 p36.

▪ Re

différentsdT∑

- n°5 à 7 p74, n°39 p76, n°62 et 63 p78 du Phare. - n°11 à 14 p54 et 3 des 5 questions du n°17 p55 du Prisme. - pour le Transmath, n°47 et 48 p28 du chapitre « Opérations sur les nombres relatifs » mais

aussi 4 des 8 questions du n°5 p92, 1 des 4 questions du n°7 p92, 2 des 4 questions du n°25 p94, 3 des 4 questions du n°26 p94 et l’intégralité du n°89 p97 du chapitre intitulé « Calcul littéral ».

- pour le Triangle, 2 des 6 questions du n°17 p34, 2 des 6 questions des n°24, 25, 26 p25, 1 des 6 questions du n°27 p35, 2 des 6 questions du n°30 p35, 1 des 6 questions du n°31 p35, l’intégralité des n°34 p35 et 38 p36, enfin 2 des 10 questions du n°128 p44.

▪

,RedT∏ ∑

- aucun exercice dans le Phare. - n°15 et 16 p54-55 du Prisme. - aucun exercice du Transmath. - n°51 p36 et 52 p37 du Triangle.

90

▪,

(...)T + −

- dans le Phare, le n°30 p76 traite exclusivement de (...)T + , le n°31 p76 de(...)T − alors que les n°32

p76 et 51 p78 travaillent simultanément ces deux sous-types de tâche. - aucun exercice dans le Prisme. - dans le Transmath, aucun exercice du chapitre « Calcul littéral » ne travaille ces deux sous-

types de tâche ; toutefois, dans le chapitre « Opérations sur les nombres relatifs », le n°20 p26 traite exclusivement de(...)T − et les n°92,93 p30 simultanément de(...)T + et (...)T − .

- aucun exercice du Triangle. ▪ Re

MixtedT

- n°8 et 9 p74, n°52,53 et 64 p78, enfin 2 des 9 questions du n°104 p82 du Phare. - n°21 à 24 p55 et 2 questions sur 4 du n°62 p59 du Prisme. - pour le Transmath, n°21 p26, n°96 et 1 des 2 questions du n°110 p31 dans le chapitre

« Opérations sur les nombres relatifs » (mais avec la consigne développer et réduire pour les deux premiers exercices et calculer pour le dernier!) mais aussi 3 des 4 questions du n°7 p92

- pour le Triangle, 4 des 5 questions des n°63 et 64 p37, 2 des 4 questions du n°66 p37 et 1 des 10 questions du n°128 p44.

Remarques

Concernant le type de tâcheRedT , précisons que contrairement à ce qui se passait en 5ème,

la plupart des manuels n’hésitent plus à utiliser le verbe réduire. De plus, il convient de souligner que « nos » quatre manuels n’accordent pas la même attention à tous les sous-types de tâche en présence. C’est ainsi que le Prisme ne propose aucun énoncé relevant deRe

mêmedT∑ .

A contrario, seuls le Prisme et le Triangle proposent deux exercices relatifs à ,RedT∏ ∑ .

Pourtant, ce sous-type de tâche devra absolument être maîtrisé pour envisager sereinement les développements futurs. Les quelques exemples traités dans les parties « cours » et/ou « méthodes » seront-ils suffisants pour pallier à toutes les difficultés? On peut dès à présent en douter ! En 3ème ▪ RedT∏

Les exercices relatifs à ce sous-type de tâche, déjà peu présents en 4ème, sont cette fois-ci totalement absents de « nos » manuels. Toutefois, une compétence proche est travaillée à

savoir : écrire sans parenthèses les expressions de la forme( )2ax . Certes relevant plutôt du

traitement des puissances, sa maîtrise s’avère pour le moins essentielle pour la suite et plus particulièrement pour l’utilisation des identités remarquables. C’est ainsi que sont proposés : - pour le Phare, dans le chapitre dédié aux puissances les n°31 à 35 p23 et 1 des 6 questions

des n°115 et 116 p29 (le travail « inverse » étant proposé dans les n°41 et 42 p23) puis, dans

le chapitre consacré au calcul littéral, les n°10 et 11 p39 (L’égalité ( )2 255 xx = est-elle vraie

ou fausse ? […] Compléter :( )23 ...x− = ). - pour le Prisme, dans le chapitre intitulé « Puissances d’exposant entier relatif », seulement 1

des 4 questions des n°45 et 46 p58 mais aucun dans le chapitre « Identités remarquables, équations produit nul » !

91

- pour le Transmath, aucun exercice, et ce malgré la présentation conjointe des notions de puissances et de calcul littéral au sein du même chapitre !

- pour le Triangle, aucun exercice du chapitre dédié aux puissances mais, dans celui réservé au calcul littéral, les n°55 à 60 p122 (avec 2 des 6 expressions de chaque exercice) permettent de travailler sur le carré d’un produit.

▪ Re

mêmedT∑ et Re

différentsdT∑

Le peu d’exercices proposés par les manuels travaillent conjointement ces deux sous-types de tâche. D’où notre choix de les regrouper… - dans le Phare, n°5 et 6 p39. - dans le Prisme, aucun exercice. - dans le Transmath, sur les 127 exercices proposés, seulement 2 des 4 questions du n°11 p57 concernent ces deux sous-types de tâche ! - dans le Triangle, une majorité des questions des n°19 et 20 p119 traitent du sujet. ▪

,RedT∏ ∑

Ici, l’unanimité est de mise ! Aucun exercice relevant de ce seul sous-type de tâche n’est proposé par les différents manuels en présence ! ▪

,(...)T + −

Seul le Phare, au travers des 6 questions du n°3 p39, « le » travaille. ▪ Re

MixtedT

Seul le Transmath, au travers de 2 des 4 questions du n°11 p57, propose de mêler ,

(...)T + − et RedifférentsdT∑ , soit par voie de conséquence, de travailler le sous-type de tâche qui nous

intéresse ici. Remarques

Il apparaît donc ici clairement que le type de tâche RedT semble être considéré par tous les

manuels comme un acquis des classes antérieures sur lequel il s’avère donc inutile de s’attarder. Cette appréciation semble d’ailleurs se confirmer si l’on considère les exercices sensés faire le point sur les connaissances des élèves en tout début de chapitre. En effet : - une des activités « J’ai déjà vu » du Phare travaille effectivement RedT∏ et Re

mêmedT∑ .

- dans son paragraphe « Pour bien commencer », le Prisme revient tout à la fois surRedT∏ ,

RedifférentsdT∑ , ,

(...)T + − et ReMixte

dT .

- le « Test de démarrage » du Transmath ne fait que référence àRemêmedT∑ .

- dans le manuel Triangle, aucune des questions du paragraphe «Je fais le point sur mes connaissances » ne traite d’un des sous-types de tâche nous intéressant. Cependant, les n°19 et 20 p119 de la partie « Réactiver les connaissances » abordent RedT∏ au travers 4 des 11

questions qu’ils posent.

92

Annexe E

Les exercices proposés par les différents manuels dans le cadre de DvpDvpDvpDvpTTTT

En 5ème

▪ simple

DvtT

Trois de « nos » quatre manuels proposent ce genre d’exercices en utilisant explicitement le verbe développer dans leurs consignes : - les n°11 et 12 p34, les n°22 à 25 p35, les n°54 et 55 p38 du Phare. - 1 des deux questions du n°25 p70, les n°45 et 46 p72, 1 des 2 questions des n°88 et 89 p76

du Prisme. - les n°30, 31, 33 et 34 p81, la question c) du n°45 p82 du Transmath. - Conformément aux instructions officielles, le Triangle n’utilise jamais le verbe développer

mais propose néanmoins aux élèves d’ « utiliser la distributivité pour transformer les expressions proposées » dans le n°41 p131.

▪ Comb

DvpT

- aucun exercice dans le Phare, le Prisme et le Triangle. - le n°32 p81 du Transmath.

▪ . lgSom a

DvpT

- aucun exercice dans le Phare, le Transmath et le Triangle. - les n°88 et 89 p 76 du Prisme dont les énoncés sont guidés. En 4ème ▪ simple

DvtT

- n°10 à 12 p75, n°27 p76 et 1 des 9 questions du n°104 p82 du Phare. - n°26 et 27 p55 du Prisme. - aucun exercice du Transmath. - n°55 à 58 p37 du Triangle. ▪

doubleDvtT

- dans le Phare, n°13 et n°15 à 21 p75, n°29 p76, n°84 et 85 p80 mais aussi 3 des 9 questions du n°104 p82.

- n°40 p56 et n°41 à 45 p57 du Prisme. - dans le Transmath, n°9 à 14 p92, n°43 à 45 puis n°47 à 50, n°52 à 55 et n°58 à 60 p95, enfin

n°91 p97. - dans le Triangle, n°67, 68, 70, 72 et 73 p38, 2 des 4 questions du n°75 p38, 1 des 3 questions

du n°76 p38, 1 des 2 questions du n°91 p40 et 1 des 10 questions du n°128 p44. ▪

CombDvpT

- 2 des 4 questions du n°28 p76 du Phare.

93

- n°66 p59 et n°76 p60 du Prisme (où « la » méthode à utiliser est explicitée pour la 1ère des 4 expressions à traiter).

- n°61 p95 du Transmath (où les élèves sont guidés). - aucun exercice dans le Triangle. ▪ . lgSom a

DvpT

- n°13 p75, n°65 et 68 p78 du Phare. - dans le Prisme, n°29 à 32 p56, n°34 et 1 des 2 questions du 36 p56, n°47 à 49 p57, 2 des 4

questions du n°62 p59, 1 des 3 questions des n°69,70 et 71 p59. - dans le Transmath, 1 des 2 questions des n°29 à 36 p94, les n°63 à 65 p96 et le n°90 p97. - dans le Triangle, n°22 p34 (mais avec la consigne « simplifier » !), n°60 et 61 p37, 1 des 5

questions des n°63 et 64 p37, 2 des 4 questions des n°66 p37 et 75 p38, 2 des 3 questions du n°76 p38, l’intégralité du n°77 p38, 1 des 2 questions du n°121 p43, enfin 6 des 10 questions du n°128 p44.

Remarques

Au vu du peu d’exercices consacrés àsimpleDvtT , « nos » quatre manuels semblent donc

considérer que la simple distributivité est un acquis de 5ème. Cela peut apparaître assez présomptueux dans la mesure où la présence de coefficients relatifs négatifs, parfois écrits sous forme fractionnaire, peut constituer une difficulté non négligeable. Notons cependant que beaucoup d’énoncés travaillent ce type de tâche conjointement avec d’autres comme la réduction de somme (voir le paragraphe . lgSom a

DvpT ) avec suppression de parenthèses voire

quelquefois utilisation de la double distributivité. Concernant cette dernière, nouveauté de la classe de 4ème, tous les manuels considérés proposent un nombre conséquent d’exercices, de difficulté croissante et travaillant spécifiquement ce savoir-faire. Notons d’ailleurs qu’anticipant nous semble-t-il sur le programme de 3ème, des énoncés plus ou moins guidés

amènent à développer des expressions du type ( )2a b± (n°86 p80 du Phare, n°50 p57 et 1 des

2 questions du n°75 p60 du Prisme, n°62 p96 du Transmath et n°72 et 73 p38 du Triangle). Enfin, on peut remarquer le peu d’exercices relevant de Comb

DvpT . Mais il est vrai que s’il exclut

toute virtuosité, le programme officiel ne précise pas réellement le degré de technicité attendu par les élèves en cette fin de cycle central. En 3ème ▪ simple

DvtT

Comme en 4ème, les manuels semblent considérer que les élèves, à ce stade de leur scolarité, ne doivent plus éprouver de difficulté à mettre en œuvre la seule simple distributivité. En effet, les exercices du genre « développer ( )3 5x+ ou ( )5 9a a− − » sont peu ou pas nombreux : - dans le Phare, les n°1 p39, 19 p 40 et 1 des 5 questions du n°66 p44. - pour le Prisme, aucun exercice de ce type ! - dans le Transmath, le seul n°12 p57. - dans le Triangle, 3 des 11 développements demandés dans le n°4 p112 du paragraphe « Je

fais le point sur mes connaissances » et le n°21 p119 de la partie « Exercices ». Cependant, on peut constater que dans le cadre de. lgSom a

DvpT , les manuels proposent un très

grand nombre d’exercices où la maîtrise de simpleDvtT sera un impératif !

94

▪ double

DvtT

La double distributivité, nouveauté de la classe de 4ème, ne semble demander que quelques mises au point dans la mesure où tous les manuels considérés proposent de la travailler « seule » dans des exercices somme toute assez peu nombreux. - pour le Phare, 4 des 6 questions du n°2 p39, les n°7 et 8 p39, le n°23 p40 et 1 des 6

questions du n°85 p46. - pour le Prisme, n°3 et 4 p90, 1 des 3 questions des n°79 p94 et 130 p98. - pour le Transmath, le seul n°13 p57. - pour le Triangle, le n°23 p119 et 1 des 6 questions du n°66 p122. ▪ 1Id

DvtT

- n° 12 p 39, n°38 p42 et 1 des 4 questions du n°42 p42 du Phare. - n°23 à 25 p91, 2 des 6 questions du n°27 p91, 3 des 6 questions du n°32 p91 et 1 des 4

questions du n°72 p93 du Prisme. - 2 des 4 questions du n°14 p57, 1 des 3 questions des n°16 p57 et 76 p61 du Transmath. - 2 des 6 questions des n°55 à 60 et du n°66 p122 du Triangle. ▪ 2Id

DvtT

- n° 13 p39, n°39 p42 et 1 des 4 questions du n°42 p42 du Phare. - n°26 p91, 4 des 6 questions du n°27 p91, 3 des 6 questions du n°32 p91 et 1 des 4 questions

du n°72 p93 du Prisme. - 2 des 4 questions du n°14 p57, 1 des 3 questions des n°16 p57 et 76 p61 du Transmath. - 2 des 6 questions des n°55 à 60 p122 et 1 des 6 questions du n° 66 p122 du Triangle. ▪ 3Id

DvtT

- n°14 et 15 p39, n°40 et 41 p42 et 1 des 4 questions du n°42 p42 du Phare. - n°54 à 57 p92, 2 des 4 questions du n°72 p93 du Prisme. - n°15 p57, 1 des 3 questions des n°16 p57 et 76 p61 du Transmath. - n°62, 63 p122 et 2 des 6 questions du n°66 p122 du Triangle. ▪ Comb

DvpT

- 2 des 6 questions du n°2 p39 du Phare. - 1 des 4 questions du n°34 p91 et 2 des 4 questions du n°35 p91 du Prisme. - aucun exercice du Transmath. - aucun exercice du Triangle. ▪ . lgSom a

DvpT

Les manuels en présence ont visiblement fait le choix de multiplier les exercices associés à ce sous-type de tâche. Leur nombre est en effet pour le moins conséquent ! - dans le Phare, les n°20 à 22, 24 à 27 p40, les n°43 à 45 p42 et le n°60 p43 auxquels se

rajoutent l’une des questions du n° 42 p42, des n°67, 68, 70 à 73 p44, des n°86, 88, 89, 97 p46, des n°100 et 101 p47 sans oublier des n°107, 108 et 110 p48 !

- dans le Prisme, les n°1, 2 et 5 p90, le n°75 p93, 3 des 4 questions du n°34 p91, 2 des 4 questions du n°35 p91 auxquels s’ajoutent l’une des questions du n°52 p92, des n°65, 70, 74, 75 p93, des n° 92, 93, 95 et 96 p95.

95

- dans le Transmath, les n°36, 37 et 41 à 43 p59 auxquels s’ajoutent l’une des questions du n°38 p59, des n°47, 48, 60 et 61 p60, du n°68 p61, des n°97 et 98 p63, du n°105 p64, du n°112 p65 et des n°126,127 p66.

- dans le Triangle, le n°22 p119, les n°68 et 69 p122, 3 des 9 questions des n°79 et 80 p123, 2 des 4 questions du n°82 p123, 1 des questions des n°86 p124, 99 et 100 p125 et enfin 3 des 4 questions du n°128 p128.

Remarques

Si le programme n’en fait pas un exigible, tous les manuels à notre disposition accordent une place de choix à . lgSom a

DvpT . Il est vrai que cela permet de travailler conjointement l’ensemble

des sous-types de tâches associés à DvtT (notamment IdDvtT quelque peu délaissé pour une

nouveauté !) etRedT , facilitant ainsi un bilan tout aussi souhaitable que souhaité !

A contrario, très peu d’exercices ont pour objetCombDvpT . Pourtant, ce sous-type de tâche peut

aussi être prétexte à une synthèse de connaissances et ce sans avoir recours à des expressions « complexes » (par opposition aux expressions « simples » mentionnées dans les directives officielles !).

96

Annexe F

Les exercices proposés par les différents manuels dans le cadre de FactFactFactFactTTTT En 5ème

▪ Simple

FactT

Il est clairement demander aux élèves de factoriser dans : - les n°14 et 15 p34, les n°30 et 31 p35, n°58 et 59 p38 du Phare. - 1 des deux questions du n°25 p70, les n°48, 50, 51 p72 du Prisme.

Mais alors, qu’en est-il dans les deux autres manuels ? Dans le Transmath, bien que la partie « cours » définisse le terme factoriser, aucune

consigne d’exercice ne le mentionne. Toutefois, le n°35 p81 fait travailler cette capacité en demandant de compléter des égalités.

Le Triangle reste quant à lui fidèle à sa ligne de conduite et propose une nouvelle fois d’ « utiliser la distributivité pour transformer les expressions proposées » dans les n°42 et 43 p131. ▪ Comb

FactT

Aucun des manuels à notre disposition ne propose des énoncés de ce type ! En 4ème ▪ Simple

FactT

- n°34 et 35 p76, n°57 à 61 p78, 3 des 9 questions du n°104 p82 du Phare. - n°1 à 7 p54 (le dernier étant un QCM relatif au choix du facteur commun), n°60 p59, 1 des 3

questions du n°69 p59 du Prisme. - n°15 et 16 p92 puis n°69 à 73 p93 du Transmath. - aucun exercice du Triangle. ▪ Comb

FactT

- aucun exercice du Phare. - aucun exercice du Prisme. - n°74 et 75 p96, 1 des 2 questions des n°77 à 79 p97 du Transmath. - aucun exercice du Triangle. En 3ème ▪ Simple

FactT

Déjà apparu dans les classes antérieures, ce sous-type de tâche est un exigible du programme de 3ème (« factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur commun est apparent »). Il fait référence à des énoncés tels que :

- « factoriser 6 9x + » (déjà rencontré dans les classes antérieures dans 3 des 4 manuels) ; - « factoriser ( ) ( )8 5 1 8 12x x x x− − − ou encore( ) ( ) ( ) ( )1 2 9 1 9 1 7 3x x x x− − − − + ».

97

Si notre premier exemple nécessite le « seul » recours à la formule de simple distributivité, la totale réussite des deux suivants sous-entend la parfaite maîtrise deRedT .

Quoi qu’il en soit, tous les manuels considérés font une large place à ce genre d’énoncés, même si sont clairement privilégiés les exercices en rapport avec nos deux derniers exemples (en gras dans ce qui suit!). - dans le Phare, n°4 p39, n°28 à 31 p41, n°34 et 35 p41, 2 des 4 questions du n°37 p41, 1

des 3 questions des n°67, 68 p44, 88 p 46 et 107 p48, 1 des 7 questions du n°69 p44 et enfin 1 des 4 questions du n°100 p47.

- dans le Prisme, n°10 p90 (où le facteur commun est donné !), n°12 et 13 p90, n°14 p90, 2 des 4 questions du n°15 p90, n°16 à 18 p90, 1 des 3 questions des n°52 p92 et 93 p95, 1 des 3 factorisations demandées au n°94 p95, 1 des 8 factorisations demandées au n°104 p97.

- dans le Transmath, 1 des 4 questions du n°18 p57, 1 des 4 questions du n°18 p57 et du n°102 p64, 1 des 3 questions du n°35 p60 et du n°61 p60, n°52 p60, 1 des 6 questions du n°54 p60, 1 des 8 questions du n°100 p64, 1 des 5 questions du n°101 p64, n°104 p64 et 1 des 5 questions du n°126 p66.

- dans le Triangle, n°1 à 4 p117, n°5 à 8 p117, n°31 et 32 p120, 2 des 8 factorisations du n°46 p121, 2 des 6 factorisations du n°47 p121, 4 des 6 factorisations du n°49 p121, 2 des 3 factorisations des n°50 p121, 79 et 80 p123, 1 des 10 factorisations du n°54 p122, 3 des 10 factorisations du n°54 p122, 1 des 4 questions du n°82 p123.

▪ 1Id

FactT

- pour le Phare, 2 des 4 questions du n°17 p39 et le n°47 p42. - pour le Prisme, n° 38 et 39 p92, 2 des 4 questions du n° 40 p92, 3 des 4 questions du n°41

p92, 1 des 4 questions du n°45 p92, 1 des 2 questions des n°49 et 50 p92, 2 des 6 questions du n°76 p93, 1 des 3 factorisations demandées au n°94 p 95 et 1 des 8 demandées au n°104 p97.

- pour le Transmath, 1 des 4 questions du n°18 p57, 2 des 6 questions des n°56 à 58 p60, 1 des 8 factorisation du n°100 p64

- pour le Triangle, 3 des 4 factorisations des n°34 et 35 p120, 1 des 8 factorisations du n°46 p121, 1 des 6 factorisations du n°47 p121 et 1 des 10 factorisations du n°54 p122.

▪ 2Id

FactT

- dans le Phare, 2 des 4 questions du n°17 p39, le n°48 p42, 1 des 9 questions du n°61 p43, 1 des 3 questions des n°99 p46 et 101 p47.

- dans le Prisme, 3 des questions des n°42 à 44 p92, 1 des 4 questions du n°45 p92 et 1 des 6 questions du n°76 p93.

- dans le Transmath, 2 des 6 questions des n°56 et 57 p60 et 1 des 8 factorisations du n°100 p64.

- dans le Triangle, 3 des 4 factorisations des n°37 et 38 p120, 1 des 8 factorisations du n°46 p121, 1 des 6 factorisations du n°47 p121 et 1 des 10 factorisations du n°54 p122.

▪ 3Id

FactT

- pour le Phare, n°18 p39, n°49 à 51 p42, n°93 p46, 3 des 9 questions du n°61 p43, 1 des 7 questions du n°69 p44, 1 des 4 questions des n°70 p44 et 100 p47, 1 des 3 questions des n°71 et 73 p44, du n°99 p46 et du n°108 p48, 2 des 4 questions du n°96 p46, et enfin 1 des 5 questions du n°110 p48.

- pour le Prisme, n°61 et 62 p93, 1 des 4 questions des n°65 p93 et 95 p95, n°66 et 67 p93, 1 des 2 questions du n°68 p93, 3 des 6 questions du n°76 p93, 1 des 3 questions du n°79 p94,

98

1 des 5 questions du n°90 p94, 1 des 6 questions des n°92 et 96 p95, 1 des 3 factorisations demandées au n°94 p95 et enfin 1 des 5 questions du n°97 p95.

- pour le Transmath, 1 des 4 questions du n°18 p57, 2 des 6 questions des n°56 et 57 p60, 4 des 6 questions du n°58 p60, 1 des 3 questions du n°60 p60, 2 des 8 factorisations du n°100 p64 et 1 des 9 questions du n°112 p65.

- pour le Triangle, 3 des 4 factorisations des n°43 et 44 p121, 2des 8 factorisations du n°46 p121, 2 des 6 factorisations du n°47 p121, l’intégralité du n°51 p121, 3 des 10 factorisations du n°54 p122, 1 des 3 factorisations des n°79 et 80 p123, 1 des 6 questions du n°99 p125 et 1 des 4 questions du n°100 p125.

▪ Comb

FactT

Très peu travaillé en 4ème, ce sous-type de tâche est le prétexte à bon nombre d’exercices en cette fin de collège. Cependant, la plupart des énoncés sont guidés par le biais de questions intermédiaires (ou de commentaires insérés dans des bulles) et ce afin d’aider aux factorisations partielles; ils sont indiqués en gras dans la liste qui suit… A noter que le Triangle se distingue une nouvelle fois des trois autres manuels en ne proposant aucune indication aux élèves ! - dans le Phare, les n° 32, 33 et 36 p41, 2 des 4 questions du n°37 p41, 1 des 5 questions du

n°66 p44, 1 des 5 questions du n°70 p44, 1 des 3 questions du n°71 p44, du n°101 p47 et du n°108 p48, l’intégralité des n°94 et 95 p46, 2 des 4 questions du n°96 p46, 1 des 3 questions du n°97 et 99 p46, le n°98 p46, 1 des 4 questions du n°100 p47.

- dans le Prisme, 2 des 4 questions du n°15 p90, 1 des 2 questions des n°49, 50 p92 et du n°68 p93, 1 des 6 questions du n°96 p95, 6 des 8 factorisations demandées au n°104 p97, 5 des 6 factorisations demandées au n°105 p97, les n°107 à 109 p97.

- dans le Transmath, n°53 p60, 1 des 8 factorisations du n°100 p64, 1 des 5 questions du n°101 p64, 3 des 4 questions du n°102 p64 et le n°103 p64.

- dans le Triangle, 2 des 6 factorisations du n°49 p121, 1 des 3 factorisations du n°50 p121, 1 des 10 factorisations du n°54 p122 et l’intégralité du n°127 p128( comportant tout de même 6 expressions à factoriser !).

Remarques

Les identités remarquables sont en fait très peu travaillées de manière séparée. De plus, celle que nous avons affectée de l’indice 3 semble clairement privilégiée eu égard aux nombreuses questions qui y sont consacrées.

Enfin, il convient de souligner que tous les manuels en présence proposent, certes à des fréquences diverses, des consignes du genre « Factoriser si possible » afin, nous semble-t-il, que les élèves donnent un réel sens à l’activité de factorisation et développent ainsi leur capacité à reconnaître des expressions dites factorisables.

99

Lexique des principales abréviations

RedT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes réduits non semblables.

- RedT∏ : réduire un produit de monômes « sans parenthèses »;

- Re

mêmedT∑ : réduire une somme de monômes de même degré « sans parenthèses »;

- Re

différentsdT∑ : réduire une somme de monômes de degrés différents « sans parenthèses » ;

- ,

RedT∏ ∑ : réduire une expression algébrique présentant à la fois des produits et des

sommes de monômes « sans parenthèses » ; - (...)T + : supprimer des parenthèses précédées d’un signe « + » et non suivies d’un signe

« × » ou « ÷ » ; - (...)T − : supprimer des parenthèses précédées d’un signe « − » et non suivies d’un signe

« × » ou « ÷ » ;

- ReMixte

dT : réduire une expression algébrique complexe pouvant comporter des produits,

des sommes mais également des parenthèses (au sens précédemment défini !).

DvtT : écrire l’expression littérale considérée comme une somme de monômes.

- simpleDvtT : développer un produit en utilisant la simple distributivité ;

- doubleDvtT : développer un produit en utilisant la double distributivité ;

- 1IdDvtT : développer ( )2

a b+ où aetb sont des monômes;

- 2IdDvtT : développer ( )2

a b− où aetb sont des monômes;

- 3IdDvtT : développer( ) ( )a b a b+ − où aetb sont des monômes;

- Comb

DvpT : développer un produit en combinant un ou plusieurs des sous-types de tâche

précédents. - . lgSom a

DvpT : développer une somme algébrique dont certains termes sont des produits

dits « développables ».

100

FactT : écrire l’expression littérale considérée comme un produit de polynômes.

- Simple

FactT : factoriser ka kb± où ,k a etb sont des polynômes ;


2a ab b+ + où a etb sont des monômes;


2a ab b− + où a etb sont des monômes ;


a b− où a etb sont des polynômes ;

- FactT ∆ : factoriser 2ax bx c+ + ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠ , grâce au calcul du discriminant ;

- BicarréFactT : factoriser 4 2

ax bx c+ + ( ,a b et c réels, avec 0)a ≠ ;

- CombDvpT : factoriser en combinant un ou plusieurs des sous-types de tâche précédents.

.

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Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral au collège : construction et utilisation d’un modèle praxéologique de référence pour les trois types de tâche réduire, développer et factoriser une expression littérale. Résumé. Transposition dans l’enseignement de l’algèbre dite élémentaire, le calcul littéral est un pur produit de l’institution. Afin de caractériser au mieux le rapport institutionnel à l’objet calcul littéral, nous nous proposons ici de construire un modèle praxéologique de référence relatif aux types de tâche particuliers que sont réduire, développer et factoriser une expression littérale. Le nouvel outil ainsi élaboré permet alors une analyse plus fine du système d’enseignement actuel qui, à terme, nous ouvre bien des perspectives…

Mots-clés. Calcul littéral, algèbre, praxéologie, modèle de référence, réduction, développement, factorisation.

Rapport institutionnel à l’objet calcul littéral au...

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