Rapport de Statistiques Appliquées «Etude des propriétés statistiques dune série à haute...

Rapport de Statistiques Rapport de Statistiques AppliquéesAppliquées

«Etude des propriétés statistiques «Etude des propriétés statistiques

d’une série à haute fréquence : d’une série à haute fréquence : le Notionnel»le Notionnel»

L. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. GuezL. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. Guez

Soutenance 22/06/98 slide n°1Soutenance 22/06/98 slide n°1

Plan de l’exposéPlan de l’exposé

Introduction : présentation des donnéesIntroduction : présentation des données Statistique généraleStatistique générale Adéquation à un processus ARCHAdéquation à un processus ARCH ConclusionConclusion


Présentation des Données (1)Présentation des Données (1)

Origine : contrat Matif sur NotionnelOrigine : contrat Matif sur Notionnel– 471.919 points471.919 points– 1er avril 1994- 27 mars 19971er avril 1994- 27 mars 1997

Transformation initiale de la sérieTransformation initiale de la série– nettoyagenettoyage– recollementrecollement


Présentation des Données (2)Présentation des Données (2)

Discrétisation de la sérieDiscrétisation de la série– 5, 10, 30 mn, 1h 30, 7h 305, 10, 30 mn, 1h 30, 7h 30– passage au logarithme (rendements)passage au logarithme (rendements)


Statistique descriptiveStatistique descriptive

Similitude avec l’étude de TeiletcheSimilitude avec l’étude de Teiletche Caractéristiques des sériesCaractéristiques des séries

– trend positif (moyenne positive)trend positif (moyenne positive)– skewness négativeskewness négative– kurtosis significativement différente de troiskurtosis significativement différente de trois

InterprétationInterprétation– augmentation en moyenne du coursaugmentation en moyenne du cours– valeurs extrêmes négativesvaleurs extrêmes négatives– présence de queues de distribution épaisses présence de queues de distribution épaisses


Stationnarité des séries : TestsStationnarité des séries : Tests

Tests de racine unitéTests de racine unité Dickey Fuller Dickey Fuller

YYtt==YYt-1 t-1 + + tt

Dickey Fuller augmentéDickey Fuller augmenté

YYtt= = + + t + t + YYt-1t-1 + + ii YYt-it-i + + tt

KPSSKPSSYYtt= = tt + r + rtt + u + utt


Stationnarité des séries:RésultatsStationnarité des séries:Résultats


Forte non stationnarité de la série bruteForte non stationnarité de la série brute

Stationnarité de la série différenciéeStationnarité de la série différenciée

Evolution avec la fréquence Evolution avec la fréquence

Effet leptokurtiqueEffet leptokurtique

KurtosisKurtosis Exposant caractéristiqueExposant caractéristique

• entre 1,3 et 1,8entre 1,3 et 1,8• gaussienne : 2 gaussienne : 2

Effet de la fréquenceEffet de la fréquence


Tests d’adéquationTests d’adéquation

Tests du Tests du 22

adéquation rejetée pour les lois classiques:adéquation rejetée pour les lois classiques:– normalesnormales– lognormaleslognormales– weibull weibull – StudentStudent

Tests de Kolmogorov SmirnovTests de Kolmogorov Smirnovmêmes résultatsmêmes résultats


Saisonnalité Saisonnalité

Etude d’une journée moyenneEtude d’une journée moyenne

Saisonnalité à 3 moisSaisonnalité à 3 mois


8 10 12 14 16

NUMERO

0.0002

0.0003

0.0004

MOY

Saisonnalité Saisonnalité

Série brute et série désaisonnaliséeSérie brute et série désaisonnalisée

Coefficient de Hurst: Coefficient de Hurst:

processus à mémoire longueprocessus à mémoire longue


0 100 200 300 400 500 600

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Autocorrelogrammes de la serie originale et serie desaisonnalisee

Modèle ARCH (1)Modèle ARCH (1)

Caractéristique de la série (5mn)Caractéristique de la série (5mn)• leptokurtiqueleptokurtique• dissymétriquedissymétrique• ordre de différenciation = 1ordre de différenciation = 1• exposant caractéristique 1,3 et 1,8exposant caractéristique 1,3 et 1,8

IGARCH = modèle bien adapté.IGARCH = modèle bien adapté.• leptokurtiqueleptokurtique• hétéroscédastiquehétéroscédastique



Calibration de modèlesCalibration de modèles• détermination des ordres par les détermination des ordres par les

corrélogrammes corrélogrammes • tests de significativité (Student)tests de significativité (Student)• critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC)critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC)• test de normalité : Jarque Beratest de normalité : Jarque Bera• test d’autocorrélation des résidus (Ljung-Box)test d’autocorrélation des résidus (Ljung-Box)• test de Lagrange d’homoscédasticitétest de Lagrange d’homoscédasticité


Modèle ARCH (3)Modèle ARCH (3) RésultatsRésultats

• AR(1) avec résidus ARCHAR(1) avec résidus ARCH• rejet de la normalité des résidusrejet de la normalité des résidus• autocorrélation des résidusautocorrélation des résidus• hétéroscédasticitéhétéroscédasticité

ModèlesModèles• ARIMA : AR(1)ARIMA : AR(1)

XXtt=1.73 10=1.73 10-6-6-0.0164 X-0.0164 Xt-1t-1++

~BB(0,1.21 10~BB(0,1.21 10-7-7))



ModèlesModèles• ARCH (1) sur AR(1)ARCH (1) sur AR(1)

XXtt=1.567 10=1.567 10-7-7+0.0219 X+0.0219 Xt-1t-1++

~BB(0,~BB(0,) )

• GARCH(1,1) sur AR(1)GARCH(1,1) sur AR(1)XXtt=2.0810=2.0810-6-6-0.03 X-0.03 Xt-1t-1++

~BB(0,~BB(0,) )



Justification d’un modèle GARCHJustification d’un modèle GARCH• hétéroscédasticitéhétéroscédasticité• augmentation sensible du critère AIC et augmentation sensible du critère AIC et

BIC BIC – amélioration de 1% entre ARIMA/ARCHamélioration de 1% entre ARIMA/ARCH– amélioration de 2% entre ARCH/GARCHamélioration de 2% entre ARCH/GARCH

• corrélation des résiduscorrélation des résidus• leptokurticité des résidusleptokurticité des résidus


Modèle ARCH (6)Modèle ARCH (6) Défauts:Défauts:

• leptokurticité des résidusleptokurticité des résidus

loi conditionnelle non normaleloi conditionnelle non normale– StudentStudent

– Gaussienne généraliséeGaussienne généralisée

• dissymétrie des donnéesdissymétrie des données

modèle à seuil et asymétriemodèle à seuil et asymétrie– modèle PGARCH avec seuilmodèle PGARCH avec seuil

– modèle TGARCH (peu intéressant)modèle TGARCH (peu intéressant)

– modèle à deux composantesmodèle à deux composantes



RésultatsRésultats• modèle le plus performant modèle le plus performant

– PGARCH PGARCH – avec loi de Studentavec loi de Student– et effet de seuilet effet de seuil

• amélioration des critères AIC et BICamélioration des critères AIC et BIC• prise en compte des défautsprise en compte des défauts


Prévision et modèles ARCHPrévision et modèles ARCH RésultatsRésultats

• prévisions plates prévisions plates • choix de l’ensemble d’informationchoix de l’ensemble d’information

– prévisions à horizon donnéprévisions à horizon donné– prévisions adaptativesprévisions adaptatives

• point de retournementpoint de retournement– faible influencefaible influence– imprévisibilité d’un nouveau point de retournementimprévisibilité d’un nouveau point de retournement

• très grand intervalle de confiancetrès grand intervalle de confiance


Prévisions et résultatsPrévisions et résultats AR(1) (1 mois)AR(1) (1 mois)

GARCH(1,1) (10 mn) (1 heure)GARCH(1,1) (10 mn) (1 heure)


0 10 20 30 40 50

128.

30

128.

35

128.

40

0 20 40 60 80 100

127.

812

8.0

128.

212

8.4

128.

6

0 20 40 60 80 100

128.

30

128.

35

128.

40

128.

45

128.

50

Prévisions et résultatsPrévisions et résultats GARCH(1,1) (1 mois)GARCH(1,1) (1 mois)

GARCH(1,1) (1 an et 3 mois)GARCH(1,1) (1 an et 3 mois)


0 20 40 60 80 100

128.

30

128.

35

128.

40

128.

45

128.

50

0 20 40 60 80 100

128.

30

128.

35

128.

40

128.

45

128.

50

Prévisions et résultatsPrévisions et résultats PGARCH(1,1) loi de Student (1 mois)PGARCH(1,1) loi de Student (1 mois)

GARCH(1,1) (1 mois)GARCH(1,1) (1 mois)


0 20 40 60 80 100

128.

25

128.

30

128.

35

128.

40

128.

45

128.

50

0 20 40 60 80 100

128.

30

128.

35

128.

40

128.

45

128.

50

ConclusionConclusion

Impact de la fréquence de la sérieImpact de la fréquence de la série Rejet de la normalité des rendementsRejet de la normalité des rendements Rejet d’adéquation à des lois classiquesRejet d’adéquation à des lois classiques Amélioration sensible de la modélisation Amélioration sensible de la modélisation

avec un modèle PGARCH avec loi avec un modèle PGARCH avec loi conditionnelle de Student et effet de seuilconditionnelle de Student et effet de seuil

Extensions possibles (analyse bivariée et Extensions possibles (analyse bivariée et causalité)causalité)


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